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Otimizac ¸˜ ao Est´ atica Vers˜ ao Preliminar. Sujeita a alterac ¸˜ oes. abio Augusto Reis Gomes [email protected] March 28, 2005

Otimização Estática

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Otimizacao Estatica

Versao Preliminar. Sujeita a alteracoes.

Fabio Augusto Reis Gomes

[email protected]

March 28, 2005

Abstract

Nestas notas apresentamos metodos de otimizacao estatica, considerando prob-

lemas irrestritos e restritos. Primeiramente, apresentamos uma breve revisao de

calculo e algebra linear. Em seguida discutimos problemas de otimizacao sem

restricao e com restricoes de igualdade e de desigualdade.

Contents

I Revisao 5

1 Calculo de uma variavel 6

1.1 Algumas Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Regras de Derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Regras Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3 Outras Regras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Derivada Primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Derivada Segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Maximos e Mınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.1 Identificacao de Maximos e Mınimos . . . . . . . . . . . 18

1.5.2 Funcoes com Apenas um Ponto Crıtico . . . . . . . . . . 20

1.5.3 Funcoes com Derivada Segunda Sempre Distinta de Zero . 20

1.5.4 Funcoes cujo Domınio e um Intervalo Fechado Finito . . . 20

1.6 Funcao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Algebra Linear 29

2.1 Norma e Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.2 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1

3 Calculo de Varias Variaveis 34

3.1 Conjuntos Abertos, Fechados e Compactos . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Funcoes de Varias Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.2 Representacao Geometrica das Funcoes . . . . . . . . . . 36

3.3 Calculo de Varias Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.1 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.2 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.3 Derivadas Direcionais e Gradientes . . . . . . . . . . . . 40

3.3.4 Derivadas de Segunda Ordem e a Matriz Hessiana . . . . 43

3.4 Funcao Implicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5 Curvas de Nıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

II Otimizacao Estatica 49

4 Formas Quadraticas e Matrizes Definidas 50

4.1 Formas Quadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2 Formas Quadraticas Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3 Matrizes Simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4 Teste para Classificar uma Matriz Simetrica . . . . . . . . . . . . 53

4.5 Restricoes Lineares e Matrizes Orladas . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Otimizacao Irrestrita 58

5.1 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2 Condicoes de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3 Condicao de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.3.1 Condicoes Suficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.3.2 Condicoes Necessarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2

5.4 Maximo Global e Mınimo Global . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.5 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.5.1 Maximizacao do Lucro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.5.2 Monopolista Astuto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.5.3 Monopolista que produz dois bens distintos . . . . . . . . 68

5.5.4 Concorrencia Perfeita: Producao de dois Bens . . . . . . . 70

5.5.5 Monopolista que Produz dois Bens Substitutos . . . . . . 71

5.6 Exercıcios de Fixacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6 Otimizacao Restrita I 84

6.1 Restricoes com igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.1.1 Duas Variaveis e uma Restricao de Igualdade . . . . . . . 84

6.1.2 Varias Restricoes de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.1.3 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.1.4 Exercıcios de Fixacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.2 Restricoes de desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.2.1 Uma Restricao de Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . 102

6.2.2 Caso com varias restricoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.2.3 Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.2.4 Exercıcios de Fixacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.3 Restricoes de Igualdade e Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . 114

7 Otimizacao Restrita II 116

7.1 O Multiplicador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.1.1 Uma Restricao de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.1.2 Varias Restricoes de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.1.3 Restricoes de Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.1.4 Interpretando o Multiplicador . . . . . . . . . . . . . . . 118

3

7.2 Teorema do Envelope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.2.1 Problemas sem restricao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.2.2 Problemas com restricao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.3 Condicao de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4

Part I

Revisao

5

Chapter 1

Calculo de uma variavel

1.1 Algumas Definicoes

Definition 1 Uma funcao � e estritamente crescente se

�� � �� � � ���� � � ����

Example 1 Examine se a funcao � ��� � �� � � e estritamente crescente. Tome

�� e �� tais que �� � ��. Entao queremos verificar se

� ���� � � ����

��� � � � ��� � �

�� � ��

Obviamente, tal funcao e estritamente crescente.

Definition 2 Uma funcao � e estritamente decrescente se

�� � �� � � ���� � � ����

6

Example 2 Examine se a funcao � ��� � ��� e estritamente decrescente. Tome

�� e �� tais que �� � ��. Entao queremos verificar se

� ���� � � ����

���� � ������� � ���

�� � ��

Obviamente, tal funcao e estritamente decrescente.

Observe que se uma funcao � passa de decrescente para crescente em ��, isto

implica que ���� � ����� e um mınimo local desta funcao, isto e, � ���� � � ���

para todo � na vizinhanca de ��. Por outro lado, se uma funcao passa de crescente

para decrescente em ��, isto implica que ���� � ����� e um maximo local desta

funcao, isto e, � ���� � � ��� para todo � na vizinhanca de ��.

Definition 3 Se uma funcao e derivavel em cada ponto �� de seu domınio �,

dizemos que tal funcao e derivavel ou diferenciavel.

Definition 4 Se a funcao � ��� possui derivadas de ordem �� �� ���� � e se a � ���� derivada de �

� ��� ����

������

e uma funcao contınua, nos dizemos que � e � vezes continuamente diferenciavel

ou � � �� para abreviar.

Remark 1 Para � � � ao inves de � vez continuamente diferenciavel dizemos

apenas continuamente diferenciavel.

7

1.2 Regras de Derivacao

1.2.1 Regras Basicas

Seja � � � ���, � � � ��� e � uma constante.

1. Constante

��� �

2. Multiplicacao por uma constante

�� ���� � ����

3. Soma (subtracao)

�� ��� �� � �������

4. Multiplicacao

�� ���� � ���� � ����

5. Divisao

��

���

������� ����

��

1.2.2 Regra da Cadeia

A regra da cadeia e usada para derivar funcoes formadas pela composicao de

outras funcoes. Se � e � sao funcoes no ��, a funcao � obtida pela aplicacao da

funcao � ao resultado de � ��� e chamada funcao composta das funcoes � e �, de

modo que

� ��� � � � ���� ou � ��� � �� � �� ���

A regra da cadeia e usada para derivar funcoes compostas e estabelece que

��� �� ����� � �� �� ���� �� ���

8

1.2.3 Outras Regras

1. Potencia

���� � ��������

2. Exponencial

��� � ����

�� � � � � � ����

3. Logaritmo

�� � ��� ��

����

�� ���� ��� ��

� � ���

4. Trigonometricas

��� ��� � ��� ������

�� ��� ��� � �� ������

���� ��� � ���� ������

�� ��� ��� � � ���� ������

�� ��� ��� � ��� ��� �� ������

�� ��� ��� � � ��� ��� ��� ������

����� ��� �

��� ��

���

�� ����� ��� �

���� ��

���

������ ��� �

� � �����

�� ����� ��� �

��� � �

���

9

Example 3�

��

� �� � ��� �

�� � �� �

Example 4

��

���� � ��� �

� ��� � ��

��� ���� ��

��� � ��

����� � ��� �

� ���� � �

Example 5

��

��� � �

�� � �

��

��

�� � ����� � �

� ��

��� � ���

��� ��� � ��� �� ��� � ��

��� � ���

Example 6

��

��� � ��� � �

�� ���� � ��� � �

� ���� � ��

Example 7�

��

������ � ����

�� ������ � ����

Example 8

��

����� � ��

���������� � ��

�� ���� � �

Example 9�

��

���� ��

Example 10�

��

��

� ���� ��

� ����

Example 11�

��� � �� � � � �� �

10

Example 12�

��

�� ��

��

���� �

Example 13�

��

��� ���

�� �� � ��

��

� � �

Example 14

��

�����

�� ��� � ���� ���� � ��� ��� ��

Example 15

��

�� ��� � ��� �

���

�� � ��� ����� ��

Example 16�

����� � �� �� ��

1.3 Derivada Primeira

Usando a derivada primeira podemos examinar se uma funcao e crescente ou de-

crescente. Esta informacao esta contida no sinal da derivada primeira.

Theorem 1 Seja � uma funcao continuamente diferenciavel em ��. Entao:

1) se � � ���� � , existe um intervalo aberto contendo �� no qual � e crescente�

2) se � � ���� � , existe um intervalo aberto contendo �� no qual � e decrescente.

Proof. Faremos a prova para o primeiro caso (o segundo e analogo). Como � e

diferenciavel

������

� ��� � ��� � �����

� � � ���� �

11

Logo se � e pequeno e positivo � ��� � ��� � ���� � . Seja �� � �� � �, entao

para � pequeno e positivo

�� � �� � � ����� � ���� �

E, portanto, � e crescente na vizinhanca de ��.

O teorema anterior pode ser estendido do seguinte modo.

Theorem 2 Seja f uma funcao continuamente diferenciavel no domınio � ��.Com isso,

1) se � � � no intervalo � � �� �, entao � e crescente em � � ���

2) se � � � no intervalo � � �� �, entao � e decrescente em � � ���

3) se f e crescente em � � ��, entao � � � em � � ���

4) se f e decrescente em � � ��, entao � � � em � � ���

A derivada primeira e usada tambem para encontrar pontos crıticos de uma

funcao � .

Example 17 Examine em quais regioes a funcao e crescente

� ��� � ��� �

Derivada primeira

� � ��� � �

Portanto, � � ��� � em todo domınio. Ou seja, a funcao e crescente em todo

domınio.

Example 18 Examine em quais regioes a funcao e crescente

� ��� � �� � ��

Derivada primeira

� � ��� � ��� � �

12

Portanto, � � ��� � quando

��� � �

�� � �

Ou seja, a funcao e crescente quando � � �� ou � � �.

Example 19 Examine em quais regioes a funcao e crescente

� ��� � � �� �

em que � � . Derivada primeira

� � ��� � ���� �

Portanto, � � ��� � quando

��� � �

� � �

Ou seja, a funcao e crescente quando � � � �.

Example 20 Examine em quais regioes a funcao e crescente

� ��� ��� � �

em que � � . Derivada primeira

� � ��� ��

������ � �

Portanto, � � ��� � quando

������ �

���� � �

� � �

Ou seja, a funcao e crescente quando � � �.

13

Definition 5 Os pontos nos quais � � ��� � ou � � ��� nao e definido sao chama-

dos pontos crıticos.

Example 21 Encontre os pontos crıticos

� ��� � �� � ��� � � ��� � ��� � � � � � � ��

Example 22 Encontre os pontos crıticos considerando que � � .

� ��� � � �� �� � � ��� � ���� � � � � � �

Note � � ��� nao esta definido para � � . Porem este ponto foi excluıdo inicial-

mente.

Example 23 Encontre os pontos crıticos considerando que � �

� ��� ��� � �� � � ��� �

������ � �

�� � � � �

Note � � ��� nao esta definido para � � . Porem estes pontos foram excluıdos

inicialmente.

1.4 Derivada Segunda

Em muitas situacoes gostarıamos de saber mais do que se uma funcao e crescente

ou decrescente. Gostariamos de saber por exemplo se � � ��� e crescente ou decres-

cente. Para tanto e preciso computar a derivada segunda, � �� ���. Caso � �� ��� �

a derivada primeira e crescente na vizinhanca de �. Se � �� ��� � a derivada

segunda e decrescente na vizinhanca de �.

Definition 6 Seja � � ��. Se � �� ��� � no intervalo � , entao � e denominada

concava (concava para baixo) em � . Se � �� ��� � no intervalo � , entao � e

denominada convexa (concava para cima) em �.

14

Existe tambem uma definicao para funcoes concavas e convexas baseada no

seguinte argumento. Observando o grafico de uma funcao concava, notamos que

a reta secante ligando dois pontos quaisquer do grafico da funcao fica acima deste

grafico. Para uma funcao convexa, a reta secante fica a baixo do grafico. Para

chegarmos a esta definicao alternativa e preciso aprsentar alguns conceitos.

Para dois pontos e �, � �, o conjunto de pontos entre e � e dado pelo

conjunto ��� � � �� de todas as combinacoes convexas de e �:

��� � ���� �� � ��� � � � ��

Assim, o grafico de � em ��� e o conjunto de pontos

���� �� � ��� � ���� �� � ��� � � � � ��

Por outro lado, a reta secante ligando os pontos � � � � �� e ��� � ���� no grafico

de � e dada por

��� �� � � � � �� � � ��� � ���� � ���� �� � ��� ��� �� � � � � �� ����

para � � � ��.

Definition 7 Uma funcao � e concava (concava para baixo) no intervalo � se e

somente se

� ���� �� � ��� � ��� �� � � � � �� ��� (1.1)

para todo , � � � e para todo � � � ��. Uma funcao � e convexa (concava para

cima) no intervalo � se e somente se

� ���� �� � ��� � ��� �� � � � � �� ��� (1.2)

para todo , � � � e para todo � � � ��

Esta definicao e mais geral porque se aplica a funcoes nao diferenciaveis. No

entanto a condicao (1.1) ������ e equivalente a � �� ��� � � �� ��� � � no inter-

valo ��� para funcoes ��.

15

Example 24 Verifique se a funcao � � �� e convexa, no intervalo ��� � � ��.

Pela definicao, tal funcao e convexa se

���� �� � ���� � ��� �� � � ���

��� ��� � � �� ��� �� �� ���� � ��� �� � � ���

�� ��� �� � ��� ��� ��� � ��� ��

� � �

���� � �

���

�� ��� �� � � ��� ���� ��� �� � �� � � ���

� � � � � ��

� � � � �� ��

� � � ���

Portanto, fica claro que tal funcao e convexa no intervalo ���. Usando a nocao de

derivada terıamos

�� � ��

��� � � �

Fica claro que a funcao e convexa em todo seu domınio.

Example 25 Verifique se a funcao � � ��� e concava, no intervalo ��� � � ��.

Pela definicao, tal funcao e concava se

� ���� �� � ���� � � ��� �� � � ���

���� �� � ���� � ��� �� � � ���

Como vimos no exemplo acima, esta ultima desigualdade e satisfeita. Usando a

nocao de derivada terıamos

�� � ���

��� � �� �

Fica claro que a funcao e concava em todo seu domınio.

16

Example 26 Analise a concavidade da funcao

� ��� � �� � ��

Derivada primeira e segunda

� � ��� � ��� � �

� �� ��� � ��

Portanto,

� �� ��� � quando � �

� �� ��� � quando � �

E, quando � � a funcao e convexa e quando � � a funcao e concava.

Example 27 Verifique a concavidade da funcao densidade da distribuicao nor-

mal padrao

� ��� ������

���

Derivada primeira

� � ��� ������

��� ����

� � ������

���

Derivada segunda

� �� ��� � � ���

��

��� � ������ ����

� � ���

��

��� � �������

���

���

��

��� � �

17

Como ����� � ,

� �� ��� � �� � � � � � ��

Portanto,

�� � � � ��� � �� ��� � � convexa

�� � � � ��� � �� ��� � � concava

�� � � � ��� � �� ��� � � convexa

A derivada segunda e usada tambem para encontrarmos pontos crıticos de

segunda ordem e pontos de in�exao.

Definition 8 Os pontos nos quais � �� ��� � sao chamados pontos crıticos de

segunda ordem. Caso a derivada segunda mude de sinal nestes pontos, eles sao

chamados pontos de in�exao.

1.5 Maximos e Mınimos

1.5.1 Identificacao de Maximos e Mınimos

Os resultados acima sao utilizados para encontrarmos pontos de maximo ou mınimo

de uma funcao � no ��.

1. A funcao � apresenta um maximo local em �� se � ��� � � ���� para cada

� em algum intervalo aberto contendo ��.

2. A funcao � apresenta um maximo global em �� se � ��� � � ���� para cada

� no domınio de � .

3. A funcao � apresenta um mınimo local em �� se � ��� � � ���� para cada

� em algum intervalo aberto contendo ��.

18

4. A funcao � apresenta um mınimo global em �� se � ��� � � ���� para cada

� no domınio de � .

Seja � uma funcao cujo domınio e ���. Entao um maximo ou mınimo podem

ocorrer na borda (fronteira) do intervalo ���, isto e, em ou �, ou no interior

do intervalo. No primeiro caso, temos um maximo ou mınimo de fronteira. No

segundo caso temos um maximo ou mınimo interiores. Para o caso interior o

seguinte teorema se mostra bastante util.

Theorem 3 Se �� e um maximo ou mınimo interior de � , entao �� e um ponto

crıtico de � .

Proof. fazer grafico

Caso �� seja um ponto crıtico de � como saberemos se �� e um maximo ou

mınimo, ou nenhum dos dois? Usamos a segunda derivada de � em ���, como

segue.

Theorem 4

1) se � � ���� � e � �� ���� � , entao �� e um maximo de � �

2) se � � ���� � e � �� ���� � , entao �� e um mınimo de � �

3) se � � ���� � e � �� ���� � , entao �� pode ser um maximo, um mınimo ou nenhum dos dois�

Proof. fazer grafico

Em muitas situacoes gostarıamos de saber se um maximo local e um maximo

global, ou se um mınimo local e um mınimo global. Em tres casos, tal investigacao

se torna bastante simples:

1. Quando � tem apenas um ponto crıtico em seu domınio�

2. Quando � �� � ou � �� � em todo o domınio de � �

3. Quando o domınio de � e um intervalo fechado e limitado.

19

1.5.2 Funcoes com Apenas um Ponto Crıtico

Theorem 5 Suponha que

1) o domınio de � e um intervalo � ��

2) �� e uma maximo local de � ,

3) �� e o unico ponto crıtico de � em �

Entao, �� e um maximo global de � em � .

Proof. ....

1.5.3 Funcoes com Derivada Segunda Sempre Distinta de Zero

Theorem 6 Se � e uma funcao �� cujo domınio e � e se � �� nunca e zero em � ,

entao � tem no maximo um ponto crıtico em � . Este ponto crıtico e um mınimo

global se � �� � e uma maximo global se � �� � .

Proof. ....

1.5.4 Funcoes cujo Domınio e um Intervalo Fechado Finito

O teorema de Weierstrass estabelece que uma funcao contınua cujo domınio e um

intervalo fechado e limitado � �� possui um maximo global e um mınimo global

em seu domınio.

Pelos teoremas apresentados, sabemos que um ponto de maximo ou mınimo

interior de � e um ponto crıtico desta funcao. Os outros candidatos para maximo

oum mınimo sao os limites do intervalo: � � e � � �. Portanto, se estamos

procurando por um maximo (mınimo) global de uma funcao � � �� de domınio

� �� nos precisamos somente de:

1. encontrar os pontos crıticos de � , resolvendo � � ��� � para � � � � ���

20

2. calcular � nesses pontos crıticos e nos pontos e ��

3. escolher dentre esses pontos aquele que da o maior (menor) valor de ��

Example 28 Considere a funcao

� ��� � ��� � ���� � ��� �

Encontre o valor de � que maximiza esta funcao no intervalo � ��. Primeira-

mente obtemos os valores crıticos.

� � ��� � ��� � ��� � �

�� � ���� � �

� ����

���� �

��

��� �

��

��

Entao calculamos � ��� nos pontos crıticos, � e � e nas fronteiras, e �.

� �� � �, � ��� � ����, � ��� � � e � ��� � ����

Assim, o maximo global ocorre quando � � � e o mınimo global ocorre quando

� � .

Example 29 Ache os pontos crıticos da funcao

� ��� � �� � ���� � ���� �

E examine se os mesmos correspondem a pontos de maximo ou mınimo. Primeiro

obtemos a sua derivada

� � ��� � ��� � ���� ��

Igualando a zero

��� � ���� �� �

�� � ��� �� �

21

Cuja solucao e dada por

� ���

��� ��

� ��� �

� �

��

Como nao existe � tal que � � ��� nao esta definido, os pontos crıticos sao � e �.

Note que � ��� � � e � ��� � �, o que sugere que � e um ponto de maximo e � e

um ponto de mınimo. Vamos analisar a derivada segunda nestes pontos.

� �� ��� � ��� ��

� �� ��� � ��� � � concavo � maximo local

� �� ��� � �� � � convexo � mınimo local

Example 30 Ache os pontos crıticos da funcao custo medio

�� � � ��� � �� � ��� �

E examine se os mesmos correspondem a pontos de maximo ou mınimo. Derivando

� � ��� � ��� �

Igualando a zero

��� � � � � � ���

Como nao existe � tal que � � ��� nao esta definido, o unico ponto crıtico e ���.

Calculamos a derivada segunda.

� �� ��� � � �

� �� ����� � � � � convexo � mınimo local

22

E facil notar que este mınimo local e um mınimo global. Uma razao simples e

que a funcao apresenta apenas um ponto crıtico. Outra razao e que a funcao e

convexa em todo domınio (� �� ��� � , independente de �)

Example 31 Ache os pontos crıticos da funcao

� ��� � ��� � �

E examine se os mesmos correspondem a pontos de maximo ou mınimo. Derivando

� � ��� � ��� �

Igualando a zero

��� � � � � ��

Como nao existe � tal que � � ��� nao esta definido, o unico ponto crıtico e ���.

Calculando a derivada segunda

� �� ��� � �

� �� ����� � � � � convexo � mınimo local

Novamente, observe que temos apenas um ponto crıtico e que a funcao e convexa

em todo domınio.

Example 32 Ache os pontos crıticos da funcao

� ��� � �� � ��� � �

E examine se os mesmos correspondem a pontos de maximo ou mınimo. Derivando

� � ��� � ��� � ��

Igualando a zero

��� � �� �

�� � �� �

� ��� �� �

23

Logo, � � e � � � sao os pontos crıticos. Como nao existe � tal que � � ��� nao

esta definido, o unicos pontos crıticos sao e �. Note que � �� � � enquanto

� ��� � ��. Calculando a derivada segunda

� �� ��� � ��� �

� �� �� � �� � � concavo � maximo local

� �� ��� � � � � convexo � mınimo local

1.6 Funcao Inversa

Para qualquer funcao � � � � ��, em que o domınio � de � e um subconjunto

do ��, nos dizemos que a funcao � � � � �� e uma inversa de � se:

1) � �� ���� � � para todo � no domınio � de � � e

2) � �� �!�� � ! para todo ! no domınio � de �.

Example 33 Considere a funcao de demanda pelo bem �

� �"� � �� �" (1.3)

em que " e o preco. Isolando o preco

" ��� ��

���� �� (1.4)

Para verificar se (1.4) e a inversa de (1.3) procedemos como indicado acima.

� �" ���� � �� �

��

���� ��

�� �� � � � � �

" �� �"�� ��

��� ��� �"�� �

���� � � �"� � "

24

Suponha que � seja uma inversa de uma funcao � qualquer, de modo que,

� ���� � �� � ���� � ��

Suponha agora que � �!�� � ��, em que !� �� ��. Entao � precisa ser tal que

� ���� � !�. Ou seja, ao mesmo tempo temos � ���� � �� e � ���� � !�, o que

e impossıvel. Portanto, observamos que, para � possuir uma inversa e necessario

que � nao associe o mesmo ponto na imagem a diferentes pontos de seu domınio,

isto e,

�� �� �� � � ���� �� � ���� (1.5)

Ou equivalentemente,

� ���� � � ����� �� � �� (1.6)

Definition 9 Uma funcao � que satisfaz (1.5) ou (1.6) em um conjunto e de-

nominada injetora, neste intervalo .

Example 34 Considere a funcao � � � ��� � ��. Como uma funcao definida em

todo ��, � nao e injetora pois � � e � � � geram � ��� � �. Logo, nao

existe uma fincao inversa. Contudo, se restringirmos o domınio a ��� entao a

funcao � passa a ser injetora e sua inversa e � ��� �� com domınio ���.

Theorem 7 Uma funcao � definida no intervalo do �� possui uma inversa

bem definida no intervalo � � � se e somente se � e monotonamente crescente ou

monotonamente decrescente em todo intervalo .

Note que, se � e monotonamente crescente ou descrescente automaticamente

�� �� �� � � ���� �� � ����. Para funcoes diferenciaveis este teorema pode ser

reescrito, nos fornecendo uma maneira simples de verificar se uma funcao possui

inversa.

25

Theorem 8 Uma funcao � � �� definida no intervalo do �� e injetora e,

portanto, invertıvel em se � � ��� � para todo � � ou � � ��� � para todo

� � .

O seguinte teorema sumariza alguns resultados importantes.

Theorem 9 (Teorema da Funcao Inversa) Seja � uma funcao �� definida no

intervalo � do ��. Se � � ��� �� para cada � � � entao:

1) � e invertıvel em � ,

2) sua inversa � e uma funcao �� no intervalo � ��� e

3) para todo ! no domınio da funcao inversa �, vale

�� �!� ��

� � �� �!��

Note que � �� �!�� � !, logo aplicando a regra da cadeia � � �� �!�� �� �!� � �

e com isso �� �!� � ��� � �� �!��.

Example 35 A inversa de � � � ��� � �� e � � � ��� � ���. Observe que

�� ��� ��

Pelo Teorema da Funcao Inversa,

�� ��� ��

� � �� �����

� � ����

Example 36 Problema do Monopolista. Escolher a quantidade � de modo a max-

imizar a receita, levando em conta a funcao de demanda� �"� � �.

����

"� � � ���

� �"� � �

Assuma que � ��� � �� e que a funcao de demanda e linear� �"� � ��", em que

�� � �� � . O domınio de " e dado pelo intervalo � � �����. Como � �"� e

26

monotonamente decrescente, neste intervalo, sabemos que a funcao inversa existe.

No caso,

� � � �"� " �

�� �

Substituindo no problema do consumidor, temos

����

"� � ��

" � ��� �

Equivalendo a

����

�� ��

� � ��

����

� �� ��� � ��

Pontos crıticos:

��

�� �� ��� � ��

��

� �� ��� �

��

�� ��

� �� ��

�� ��

Concavidade (derivada segunda):

��

� �� ��� �

� ��

��

Pois � � . Portanto a funcao e concava em todo domınio e �� e um ponto de

maximo global.

Example 37 No exemplo anterior assuma que � ��� � �� e � �"� � �"��, em

que �� �� #�� . O domınio de " e dado pelo intervalo � � �����. Como� �"�

27

e monotonicamente decrescente, neste intervalo, sabemos que a funcao inversa

existe. No caso,

� � �"�� � " ����

�� �

Deste modo podemos proceder como no exemplo anterior.

28

Chapter 2

Algebra Linear

2.1 Norma e Produto Interno

2.1.1 Norma

Definition 10 Seja � � ���� ���� ��� � ��. O numero nao negativo ��� ����� � � � �� ��� e chamado norma ou comprimento do vetor �.

Definition 11 Se ���� ���� ��� e ���� ���� ��� sao as coordenadas de � e �, respecti-

vamente, no espaco euclidiano n-dimensional, entao a distancia entre � e � e

� ��� �� � ��� ��

���� � ���� � � � �� ��� � ����

Definition 12 Um vetor � tal que ��� � �, e chamado de vetor unitario.

Example 38 O comprimento do vetor � � ������ �� e dado por

������� ��� �

��� � ����� � ��

���

29

Portanto, o vetor � � ���� e unitario. Pois,

����

����������

���

����� �

�����

���

� ����

���

����

��

��

���

���

��

� �

Example 39 Seja � � ��� �� ����� e � � ��� �� �� ��. Entao

��� ��

�� � �� � �� � ����� ���

��� ��� � �� � �� � �� �

Logo, o comprimento de � e�� enquando o comprimento de � e

�. A

distancia entre � e � e

��� �� �

���� ��� � ��� ��� � ��� ��� � ���� ���

������ � �� � �� � �����

���

Theorem 10 �#�� � �#� ��� para todo # � �� e � � ��.

Proof.

�#�� � �# ���� ���� ����

� ��#��� ���� #����

��#���

� � � � �� �#����

��#������

� � � � �� ������

� # ���

30

2.1.2 Produto Interno

Definition 13 Seja �� � � ��. Entao o produto interno euclidiano de � e �, de

modo que � � � e o numero

� � � � ���� � � � �� ����

Example 40 Seja � � ������ �� e � � ��� ����� entao

� � � � ��� �� �

� ��

Example 41 Seja � a quantidade demandada do bem �, entao � � ���� ���� ���

constitui uma cesta de mercadorias. Como a quantidade de cada mercadoria e

nao-negativa, o conjunto de todas as cetas de mercadorias e dada por

����� ���� ��� � �� � � ���� �� � �

que denominamos espaco de mercadorias. Seja " o preco da mercadoria �. Entao

o custo de uma cesta � e

" � � � "��� � � � �� "���

Dada uma renda � o conjunto orcamentario e formado por todas as cestas tais

que

" � � � �

Example 42 Considere uma firma que utiliza � insumos. A quantidade utilizada

de cada insumo e $ � � � �� ���� �. O custo unitario de cada insumo e dado por

% � � � �� ���� �. Entao o custo total torna-se

$ � % � �$�� ���� $�� � �%�� ���� %��

� $�%� � � � �� $�%�

31

Example 43 Considere � � ���� ���� ��� um portfolio de um investidor qualquer,

em que � representa a fracao da riqueza investida no ativo �. Obviamente estas

fracoes devem somar �. De modo que a restricao orcamentaria e

� � � ����� ���� ��� � ��� ���� �� � �� � � � �� �� � �

Seja #� o retorno do ativo � no estado da natureza . Entao, o vetor de retornos

no estado da natureza e

#� � �#��� ���� #���

Um portfolio � e livre de risco se o seu retorno e o mesmo em todos os estados &

da natureza, isto e,

#� � � � #� � � � � � � #� � �

O seguinte teorema resume as propriedades do produto interno.

Theorem 11 Seja �� �� % � �� e # � ��. Entao

1) � � � � � � �2) � � �� � %� � � � � � � � %3) � � �#�� � # �� � �� � �#�� � �4) � � � �

5) � � � � implica que � �

6) ��� �� � ��� �� � � � �� � �� � �� � � � �

Remark 2 Note que

� � � � ��� � � � �� ���

��� �� � ��� �� � ��� � ��� ���� �� � ��� � ��� � ��� ���� �� � ���

� ��� � ���� � � � �� ��� � ����

32

Logo,

��� ����� � � � �� ���

�� � �

��� �� �

���� � ���� � � � �� ��� � ����

��

��� �� � ��� ��

O produto interno relaciona o comprimento de dois vetores �� � � �� e o

angulo ' entre eles, sendo util na discussao de problemas geometricos.

Theorem 12 Seja �� � � �� e ' o angulo entre eles. Entao,

� � � � ��� ��� ��� '

Example 44 Seja � � ��� � � e � � ��� �� ��, entao

��� ' �� � ���� ��� �

������ � �� � ��

���

Example 45 Seja � � ��� � � �� e � � �� �� � ��, entao

��� ' �� � ���� ��� �

����

Portanto, ' � ��.

33

Chapter 3

Calculo de Varias Variaveis

3.1 Conjuntos Abertos, Fechados e Compactos

Em muitos casos queremos analisar a vizinhanca de um ponto � do ��. Nestes

casos, as seguintes definicoes mostram-se uteis.

Definition 14 Seja ! � �� e ( um numero positivo. A bola aberta de raio ( em

torno de � e o conjunto

)� �!� � �� � �� � ��� !� � (�

Definition 15 Um conjunto & �� e aberto se para cada � � & existe uma

bola aberta de raio ( em torno de � completamente contida em &:

� � & � existe um ( � tal que )� ��� &

Um conjunto aberto contendo o ponto � e chamado uma vizinhanca aberta

de �. O termo aberto tem conotacao de sem fronteira: de qualquer ponto pode-

mos nos movimentar um pouco em qualquer direcao que ainda permanecemos no

conjunto.

34

Example 46 O intervalo

�� �� � �� � � � � � � ��

e um conjunto aberto. Se � e um ponto neste intervalo, entao � �� e � �� �. O

numero ��� esta mais proximo de do que �, e ainda pertence a �� ��. Enquanto

� � ��� �� �� esta mais proximo de � do que �, e ainda pertence a �� ��. Se

( � �� ����� ��� �� ���, entao o intervalo ��� (� �� (� e um intervalo aberto

em torno de � contido �� ��.

Definition 16 Um conjunto & �� e fechado se, sempre que ������� e uma

sequencia convergente completamente contida em &, seu limite tambem esta em

&.

Com isso, um conjunto fechado deve conter todos os seus pontos de fronteira,

que e exatamente oposto do que ocorre em conjuntos abertos.

Theorem 13 Um conjunto & �� e fechado se, e somente se, seu complementar

&� � �� � & e aberto.

Lembre-se que um conjunto & �� e limitado se existe um numero ) tal

que ��� � ) para cada � � &, ou seja, & esta contido em alguma bola de ��.

Exemplos de conjuntos limitados incluem qulaquer intervalo ou uniao finita de

intervalos de ��, exceto aqueles que tem �� ou �� como extremidades.

Definition 17 Um conjunto & �� e compacto se, e somente se, e fechado e

limitado simultaneamente.

35

3.2 Funcoes de Varias Variaveis

3.2.1 Definicao

Definition 18 Uma funcao de um conjunto * em um conjunto ) e uma regra

que associa, a cada objeto de *, um e somente um objeto de ). Neste caso,

escrevemos � � *� ).

O domınido de uma � � * � ) e o conjunto * dos elementos nos quais �

esta definida� o conjunto ) no qual � assume seus valores e denominado con-

tradomınio, ou espaco-alvo. Seja � � *, entao dizemos que � � � ��� e a

imagem de � por � . O conjunto de todos os � ���, com � no domınio de � , e

denominado imagem de � .

Example 47 Considere a funcao

� ��� �� � �� � ��

O domınio de � e todo ��, o contradomınio de � e o �� e a imagem de � e o

conjunto de todos os numeros reais nao-negativos.

3.2.2 Representacao Geometrica das Funcoes

Para construir o grafico de uma funcao do �� em �� precisamos de tres di-

mensoes. Seja ! � � ��� ��. Para cada valor ��� �� no domınio calculamos �

em ��� �� e marcamos o ponto ��� �� � ��� ���.

Example 48 Pagina 289 - Figura 13.1

� ��� �� � �� � ��

Example 49 Pagina 289 - Figura 13.2

� ��� �� � �� � ��

36

Existe uma outra maneira de visualizar-se uma funcao de �� em ��, que so

requer esbocos bidimensionais - o estudo de curvas de nıvel no plano. Para cada

��� �� novamente calculamos � ��� �� para obter, digamos, !�. Agora, esbocamos

no plano ��, o lugar geometrico de todos os outros pares ��� �� nos quais � toma

o mesmo valor !�. Este conjuno, que e em geral uma curva, e denominado curva

de nıvel de � .

Example 50 Pagina 292 - Figura 13.7. Considere novamente a funcao

� ��� �� � �� � ��

Comece com o ponto �� ��, no qual � vale �. Agora encontre todos os demais

pontos nos quais � vale �. Isto e o conjunto ���� �� � �� � �� � ��, um cırculo de

raio � em torno da origem. Tambem denotamos esta curva de nıvel por ��� ���.

No caso de ��� �� temos

��� ��� ����� �� � �� � �� � �

um cırculo de raio� em torno da origem.

Uma vez feita as curvas de nıvel, fica mais facil visualizar o grafico no espaco

tridimensional. Temos no espaco bidimensional as curvas de nıvel de � ��� ��

no plano ��, visualize os eixos coordenados de ��, de tal modo que os eixos

� e � estejam no plano da pagina e o eixo ! parta da pagina em sua direcao.

Considerando o exemplo anterior, pegamos a curva de nıvel ��� ��� e puxamos

para cima ate o plano �! � ��. Portanto, para cada � � , puxe ��� ��� e ate

o plano �! � ��. Com este procedimento passarıamos do grafico 13.7 para o

grafico 13.1.

Example 51 Considere a funcao de producao

� � ��

37

em que � e � sao insumos, digamos capital e trabalho, respectivamente. Os con-

juntos de nıveis de uma funcao de producao sao chamados isoquantas. A iso-

quanta para � � � e

�� � �� � ��

Ou seja, temos uma funcao � � � ��� de uma variavel, cujo grafico foi rotulado

� [pagina 295, grafico 13.10]. Para o consumidor o analogo seria as curvas de

indiferenca.

3.3 Calculo de Varias Variaveis

3.3.1 Definicoes

Definition 19 Seja � � �� � �. Entao, para cada variavel � em cada ponto

�� � ����� � � � � ���� do dominio de � , a derivada parcial de � em relacao a � e

dada por

+�

+�

����� � � � � �

��

�� ���

���

� ����� � � � � �� � �� � � � � �

���� � ����� � � � � �� � � � � � �����

se este limite existir. Somente a i-esima variavel muda, as outras sao tratadas

como constantes.

A derivada parcial mostra como uma funcao varia em direcoes paralelas aos

eixos coordenados.

Example 52 Considere a funcao

� ��� �� � ����� � ���� � ��

Entao,+�

+�� ���� � ��

38

Observe que tratamos � como uma constante. E ainda,

+�

+�� ���� � ����� � �

Observe que tratamos � como uma constante.

Outra nocao importante e a de diferencial total. Considere a funcao , ���� ���� ���

de � variaveis na vizinhanca de algum ponto selecionado �� � ���� ���� ���, entao

a diferencial total de , em �� e dada por

�, �+,

+������ ��� � � � ��

+,

+������ ���

3.3.2 Regra da Cadeia

Definition 20 Uma funcao � � �� � � e continuamente diferenciavel (ou ��)

em um conjunto aberto - �� se, e somente se, para cada �, a derivada parcial

�+��+� � ��� existe em cada � de - e e contınua em �.

Example 53 (Regra da Cadeia) Considere a funcao de producao:

� � �.���/���

Suponha que . e / dependem do tempo e da taxa de juros,

. ��� #� ����

#e / ��� #� � ��� � ��#

Dai,

+�

+��

+�

+.

+.

+��+�

+/

+/

+�

���.����/���

����

#

���.���/����

������

� ��

#

�/

.

����� ���

�.

/

����

39

3.3.3 Derivadas Direcionais e Gradientes

Definition 21 Considere a funcao , ���� ���� ��� de � variaveis na vizinhanca de

algum ponto selecionado �� � ���� ���� ���. Entao a derivada de , em �� na

direcao de � (derivada direcional) e dada por

�,�� � � ��

�����

���� � � � �����

�����

����

��...

��

����

�+,

+������ �� � � � ��

+,

+������ ��

A derivada direcional mede a taxa a qual , aumenta ou diminui quando saımos

de �� na direcao de �.

Example 54 Seja � � �, entao

�,�� � � ��

�����

���� �����

���� � � � �����

�����

�������

...

�������

�+,

+������

Ou seja, obtemos a derivada , na direcao de ��, que e a derivada parcial com

respeito a ��. Obtemos este resultado porque nos movemos apenas no eixo ��.

Example 55 Considere a funcao de producao

� � , �.�/� � �.���/���

40

em que �.�/� � ��� ����. Entao,

+,

+.��� ���� � �

�/

.

����

� �

����

����

� �

��

� �� �

+,

+/��� ���� �

�.

/

����

��

��

� �

A derivada de , em ��� ���� na direcao ��� �� e, simplesmente

+,

+.��� ����� � �

+,

+/��� ����� � � �� �� � � �� �

� �� �

Example 56 Considerando o exemplo anterior, perguntamos a que taxa creseria

a producao se aumentassemos . e / a mesma taxa? Como nao sabemos a mag-

nitude da variacao e so a sua direcao, usamos o vetor unitario����� ��

��

na

direcao ��� ��. A taxa de variacao de , na direcao de����� ��

��

e

���� ��� �� �

��

�� ��� �� ����

Definition 22 Seja � � , ���� ���� ��� e considere o seguinte vetor de derivadas

no ponto ��:

�, ���� �

����

�����

����...

�����

����

����

Tal vetor e denominado vetor gradiente de , em ��.

41

Note que, podemos usar o gradiente para calcular a derivada direcional de ,

na direcao de �, pois

�, ���� � � �

����

�����

����...

�����

����

�����

����

��...

��

����

���

+,

+� ���� �

As caracterısticas importantes de um vetor sao:

1. Comprimento

2. Direcao

3. Sentido

Vamos nos concentrar primeiro na direcao e sentido, de modo que fazemos

��� � �. Por se equivalente a derivada direcional,�, ���� � � mede a taxa a qual

, aumenta ou diminui quando saımos de �� na direcao de �. Pela propriedade

conhecida do produto interno, a derivada de , na direcao de � e

�, ���� � � � ��, ����� ��� ��� '

� ��, ����� ��� '

pois ��� � � e ' e o angulo entre os vetores�, ���� e � no ponto base �� (Pagina

333 - Figura 14.9).

E natural perguntar: em qual direcao a funcao , cresce mais rapidamente?

Como �� � ��� ' � �, �, ���� � � e maior quando ��� ' � �, ou seja, quando

' � �, ou seja, quando � aponta na mesma direcao e sentido de�, ����.

Theorem 14 Seja , � �� � � uma funcao ��. Em cada ponto � do domınio

de , em que�, ���� �� , o vetor gradiente aponta na direcao em que , cresce

mais rapidamente.

42

Example 57 Considere mais uma vez a funcao de producao

� � , �.�/� � �.���/���

em que �.�/� � ��� ����. Se quisermos saber em quais proporcoes devemos

acrescentar . e / a ��� ���� para aumentar a producao mais rapidamente,

calculamos o vetor gradiente

�, ��� ���� �

� �� �

e deduzimos que devemos acrescentar . e / em uma proporcao de �� � para �.

(pagina 334, Figura 14.10)

3.3.4 Derivadas de Segunda Ordem e a Matriz Hessiana

Seja � � � ���� ���� ���. Entao a matriz hessiana de � e denotada por ��� ��� ou

����:

��� ��� �

�������

������

���������

� � � ���������

���������

������

� � � ���������

...... . . . ...

���������

���������

� � � �������

�������

Se todas estas �� derivadas de segunda ordem existem e sao funcoes contınuas

de ���� ���� ���, dizemos que � e duas vezes continuamente diferenciavel (ou ��).

Remark 3 Notacao+��

+� +��� ����� � � � � � ��

Theorem 15 (Teorema de Young)Suponha que � � � ���� ���� ��� � �� numa

regiao aberta 0 de ��. Entao, para cada � de 0 e para cada par de ındices � e 1,

+��

+� +����� �

+��

+��+� ���

Portanto, para funcoes �� a matriz ��� ��� e simetrica.

43

3.4 Funcao Implicita

Em geral trabalhamos com funcoes do seguinte modo

� � , ���� ���� ���

em que a variavel endogena e uma funcao explıcita das variaveis exogenas. No

entanto, em problemas de maximizacao, as vezes, as condicoes de primeira ordem

tem variaveis exogenas misturadas com variaveis endogenas, como em

2 ���� ���� ��� �� �

Se para cada ���� ���� ���, a equacao acima determinar um valor � correspon-

dente, diremos que tal equacao define a variavel � como uma funcao implıcita das

variaveis exogenas ��� ���� ��. Muitas vezes nao e possıvel tornar � uma funcao

explıcita de ��� ���� ��, no entanto, ainda assim gostarıamos de saber como uma

pequena variacao em uma das variaveis exogenas afeta a variavel endogena.

Example 58 Considere a funcao demanda:

� � �"��� � �"

���

Facilmente, obtemos a derivada de � em relacao a ":

��

�"� �#� �"����� � #� �"�����

Porem, nao e possıvel escrever " como funcao de �. Nesta secao vamos desen-

volver uma forma simples para calcular �"���.

Example 59 Considere uma firma que maximiza o lucro. A funcao de producao

� depende de um unico insumo �, o custo de cada unidade de insumo e %, e seja

o preco " o preco de venda do produto produzido pela firma. Para " e % fixos o

lucro e o problema da firma e

����"� ���� %�

44

Tomando a derivada primeira e igualando a zero, obtemos:

"� � ���� % �

Para cada valor das variaveis exogenas " e % a firma escolhera um valor otimo

de � que satisfaca a condicao de primeira ordem. Dependendo do formato de � ,

nao e possıvel escrever � como uma funcao explıcita de " e %, mas ainda assim

queremos computar ����" e ����%. Alem disso, queremos saber se ha multiplas

solucoes para a condicao de primeira ordem e se existe um maximo global.

Uma nota de cautela e necessaria. O simples fato de podermos escrever uma

funcao implıcita 2 ��� �� � � nao significa que esta equacao define � como uma

funcao de �. Por exemplo,

�� � �� � � (3.1)

Quando � � � nao existe � que satisfaca (3.1). No entanto, em geral comecamos

com uma solucao especıfica ���� ��� da equacao implıcita 2 ��� �� � � e pergun-

tamos se e possıvel encontrar � proximo de �� que satisfaca a equacao quando

� esta proximo de ��. Considere � � e � � �, note que tais pontos satis-

fazem a equacao implıcita. Variando � um pouco podemos encontrar um unico

� ��� �� perto de � � � que corresponde ao novo �. (Figura 15.1 - Pagina

347)

Contudo, iniciando em � � � e � � , nao existe tal relacao funcional. Se

aumentarmos � um pouco, digamos � � �� (, entao nao existe � correspondente

tal que �� � (� �� resolva (3.1). (Figura 15.2 - Pagina 348) Para ficar claro, como

( � , nao existe � resolva

�� � (�� � �� � �

� � �(� (� � �� � �

�� � ��(� (�

45

O seguinte teorema responde a duas questoes basicas, a saber:

1. A equacao 2 ��� �� � � determina � como uma funcao contınua de � para

� perto de �� e para � perto de ��?

2. Neste caso, como sao os � correspondentes afetados por variacoes em �?

Theorem 16 (Teorema da funcao implıcita) Seja 2 ��� �� uma funcao �� numa

bola em torno de ���� ��� em ��. Suponha que 2 ���� ��� � � e considere a

expressao

2 ��� �� � �

Se �+2�+�� ���� ��� �� , entao existe uma funcao � � � ��� definida num inter-

valo � em torno do ponto ���� ��� que e �� e tal que:

a) 2 ��� � ���� � � para qualquer � em �

b) � ���� � ��

c) �� ���� � �����������

����������

Remark 4 Considere uma funcao implıcita 2 ��� �� � � em torno de ���� ���.

Supondo que exista uma funcao � � � ��� � �� que e solucao da equacao

2 ��� �� � �, ou seja,

2 ��� � ���� � �

Pela Regra da Cadeia podemos derivar esta equacao com respeito a � em ��:

+2

+����� � �����

��

���+2

+����� � �����

��

������ �

+2

+����� � ����� �

+2

+����� � ����� �

� ���� �

Portanto,

�� ���� � �����

���� � ���������

���� � �����

46

Example 60 Vamos retomar a discussao de

�� � �� � �

Note que,

�� ��� � �����

���� �������

���� ���

� ���

��

No primeiro caso consideramos ���� ��� � �� ��, neste caso

+2

+����� ��� � ��� � � �� e �� ��� � �

��

Porem, no caso ���� ��� � ��� �

+2

+����� ��� � ��� �

e as condicoes necessarias para se aplicar o teorema da funcao implıcita nao se

aplicam

Example 61 Considere

�� � ��� � �� � � �

Queremos calcular ����� em � � � e � � �. Primeiramente vamos verificar se

+2

+���� �� ��

Calculando esta derivada e avaliando em ��� ��,

+2

+���� �� � ���� ��� � ��� � �� � �� ��

Aplicando o Teorema da Funcao Implıcita:

��

����� �� � �

����

��� ������

��� ��� � ��� ��

���� ���� ���

���

��

47

Theorem 17 (Teorema da funcao implıcita) Seja2 ���� ���� ��� �� uma funcao ��

numa bola em torno de ����� ���� ���� �

��. Suponha tambem que ����� ���� ���� �

�� sat-

isfaz ambos

2 ����� ���� ���� �

�� �

+2

+������ ���� �

��� �

�� ��

Entao, existe uma funcao ��, � � � ���� ���� ��� definida numa bola aberta ) em

torno de ����� ���� ���� tal que:

a) 2 ���� ���� ��� � ���� ���� ���� � � para qualquer ��� ���� �� � )b) �� � � ����� ���� �

���

c)Para cada ındice i: �����

����� ���� ���� � �

�����

���������������� ������������

3.5 Curvas de Nıvel

p342

48

Part II

Otimizacao Estatica

49

Chapter 4

Formas Quadraticas e Matrizes

Definidas

Seja � � � ���, � � ��. Se �� e um ponto crıtico de � , entao a segunda

derivada � �� ���� da uma condicao necessaria e suficiente para determinar se ��

e um maximo ou mınimo (ou nenhum dos dois). A generalizacao do teste da se-

gunda derivada para � � � ���, � � �� envolve avaliar se a matriz de derivadas

segunda de � ��� (Hessiano) e definida positiva, definida negativa ou indefinida

num ponto crıtico de � . Por exemplo, � � � ���, � � �� e concava (convexa)

em uma dada regiao se a sua matriz de derivadas segunda e semidefinida negativa

(positiva) para todo � nesta regiao.

4.1 Formas Quadraticas

Um funcao quadratica bastante simples e a seguinte � ��� � ���.

Definition 23 Uma forma quadratica em �� e uma funcao real da forma

� ���� � � � � ��� ��

��

�� ��

50

na qual cada termo e um monomio de grau dois.

A forma quadratica� pode ser representada por uma matriz simetrica* como

segue

� ��� � ��*�

Example 62 Caso bidimensional:

� ���� ��� � ����� � ������ � ���

��

Que pode ser reescrita como

��� ��

��

� ���� ��

�� �� ��

� ��

��

Example 63 Caso tridimensional:

� ���� ��� ��� � ����� � ���

�� � ���

�� � ���

�� � ������ � ������ � ������

Que pode ser reescrita como

��� �� ��

����

���� ��

�� ��

�� �� ��

�� ��

�� ��

�� �� ��

����

����

��

��

��

����

Theorem 18 A forma quadratica geral

� ���� ���� ��� ���

��

�� ��

pode ser escrita na forma matricial como

��� �� � � � ��

�������

���� �� � � � �

� ��

�� �� �� � � � �

� ��

...... . . . ...

�� ��

�� �� � � � ��

�������

�������

��

��...

��

�������

isto e ��*� em que * e uma matriz simetrica (unica).

51

4.2 Formas Quadraticas Definidas

A forma quadratica geral de uma variavel e � � ��. Se � , entao �� �

para todo �, sendo nula apenas quando � � . Logo, tal forma e chamada de

definida positiva� � � e seu mınimo global. Se � , entao �� � para

todo �, sendo nula apenas quando � � . Neste caso, temos uma forma definida

negativa� � � e seu maximo global. Note que, determinar a classificacao de

�� e equivalente a determinar se � � e um maximo ( � ) ou um um mınimo

( � ).

De forma geral, se � ���� � � � � ��� � para todo � �� , entao � e definida

positiva. Se � ���� � � � � ��� � para todo � mas existe � �� tal que � � ,.

entao� e semidefinida positiva (nao-negativa). De forma analoga, se� ���� � � � � ��� �

para todo � �� , entao � e definida negativa. Se � ���� � � � � ��� � para todo

� e � � mas existe � �� . tal que � � , entao � e semidefinida negativa

(nao-positiva).

Portanto, determinar a classificacao de uma forma quadratica � e equivalente

a determinar se � � e um maximo, um mınimo ou nenhum dos dois para a

funcao real�. Assim, � � e o unico mınimo global da forma quadratica� se, e

somente se, � e positiva definida. Similarmente, � � e o unico maximo global

da forma quadratica � se, e somente se, � e negativa definida.

4.3 Matrizes Simetricas

Uma matriz simetrica e chamada definida positiva, semidefinida positiva, definida

negativa ou semidefinida negativa, etc., se a forma quadratica a ela associada,

� ��� � ��*�, e definida positiva, semidefinida positiva, definida negativa ou

semidefinida negativa, etc.

52

Definition 24 Seja� uma matriz �� � simetrica e � � ��. Entao� e

1) definida positiva se ��*� � � para qualquer � �� �2) semidefinida positiva se ��*� � � para qualquer � �� �3) definida negativa se ��*� � � para qualquer � �� �4) definida positiva se ��*� � � para qualquer � �� �5) indefinida se ��*� � � para alguns � e ��*� � � para outros �

Remark 5 Uma matriz definida positiva (negativa) e automaticamente semidefinida

positiva (negativa)

4.4 Teste para Classificar uma Matriz Simetrica

Nesta secao apresentamos um simples teste para determinar a classificacao de uma

forma quadratica ou de uma matriz simetrica. Primeiramente vamos introduzir

algumas definicoes.

Definition 25 Seja * uma matriz � � �. Uma submatriz principal de ordem

� de * e uma submatriz de tamanho � � � formada a partir de * suprimindo

� � � colunas, digamos, as colunas ��� ��� ���� ���� e as mesmas � � � linhas, ou

seja, as linhas ��� ��� ���� ���� O determinante de uma submatriz principal � � � e

denominado um menor principal de ordem � de *.

Definition 26 Seja * uma matriz �� �. A submatriz principal de ordem � de *

obtida ao se eliminar as ultimas ��� colunas e linhas de *, *�, e denominada a

submatriz principal lıder de ordem � de*. Seu determinante, �*��, e denominado

menor principal lıder de ordem � de *.

53

Example 64 Considere a matriz�

����

�� �� ��

�� �� ��

�� �� ��

����

Entao

�*�� � � ��� , �*�� �

������

�� ��

�� ��

������e �*�� �

���������

�� �� ��

�� �� ��

�� �� ��

���������

O proximo teorema fornece um algorıtimo direto que utiliza os menores prin-

cipais lıderes para determinar a classificacao de uma matriz dada.

Theorem 19 Seja * uma matriz simetrica �� �. Entao,

1. * e definida positiva se, e somente se, todos os seus � menores principais

lıderes sao (estritamente) positivos.

�*�� � , �*�� � , �*�� � , . . .

2. * e definida negativa se, e somente se, os seus � menores principais lıderes

alternam de sinal do seguinte modo:

�*�� � , �*�� � , �*�� � , . . .

Ou seja, �*�� deve ter o mesmo sinal de �����.

3. Se algum �*�� e nao-nulo mas nao encaixa em nenhum dos dois casos

padroes de sinal acima, entao * e indefinida.

Se uma matriz nao e definida, ela pode ser ou nao semidefinida. Para conferir

se uma matriz e semidefinida precisamos conferir o sinal de cada menor principal

de *, como descrito no teorema abaixo.

54

Theorem 20 Seja* uma matriz ��� simetrica. Entao* e semidefinida positiva

se, e somente se, todos os seus menores principais sao � � * e semidefinida

negativa se, e somente se, os seus menores principais de ordem ımpar sao � e

os seus menores principais de ordem par sao � .

Example 65 Seja * uma matriz simetrica �� �, entao:

1. �*�� � , �*�� � , �*�� � , �*�� � � * e definida positiva.

2. �*�� � , �*�� � , �*�� � , �*�� � � * e definida negativa.

3. �*�� � , �*�� � , �*�� � , �*�� � � * e indefinida.

4. �*�� � , �*�� � , �*�� � , �*�� � � * e indefinida.

Example 66 Considere

* �

� � �

� �

� e ) �

� � �

� �

Entao, �*�� � � e �*�� � ���� � � e * e definida positiva. Alem disso, �)�� � �

e �)�� � ��� �� � �� e ) e indefinida.

4.5 Restricoes Lineares e Matrizes Orladas

Como foi dito, determinar a classificacao de uma forma quadratica � e equiva-

lente a determinar se � � e um maximo, mınimo, ou nenhum dos dois para a

funcao real �. Por exemplo, � � e o unico mınimo (maximo) global da forma

quadratica� se, e somente se,� e definida positiva (negativa). Nesta secao vamos

incluir nesta discussao restricoes lineares, ja que em muitas aplicacoes e comum

haver tal tipo de restricao.

55

Theorem 21 Para determinar a classificacao da forma quadratica� ��� � ��*�,

� � ��, sujeita a � equacoes lineares )� � , ) e � � �, contrua a matriz

simetrica orlada

3�� ����� ��

� )

)� *

Confira os sinais dos ultimos ��� menores principais lıderes de3 , comecando

com o determinante de 3 mesmo.

1. Se �3� tem o mesmo sinal de ����� e se estes ultimos ��� menores prin-

cipais lıderes alternam de sinal, entao � e definida negativa no conjunto-

restricao )� � e � � e um maximo global estrito de� neste conjunto-

restricao.

2. Se �3� e estes ultimos ��� menores principais lıderes tem todos o mesmo

sinal de �����, entao � e definida positiva no conjunto-restricao )� �

e � � e um mınimo global estrito de � neste conjunto restricao.

3. Se ambas as condicoes � e � sao violadas por menores principais lıderes

nao-nulos, entao � e indefinida no conjunto-restricao )� � e � � nao

e nem um maximo nem um mınimo de � neste conjunto-restricao.

Example 67 Para conferir a classificacao de

� ���� ��� ��� ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ����� � �����

no conjunto-restricao

�� � �� � �� �

�� � ��� � �� �

56

construa a matriz orlada

3� �

�������������

� � �

� �� �

� � ��� �� �� �

� � �

� � �� �

�������������

Como este problema tem � � � variaveis e� � � restricoes, precisamos conferir

as ultimas ��� � � submatrizes principais lıderes de 3�: a propria 3� e

3 �

����������

� �

� ��

� �

� �� �� �

� � �

����������

Como � � � e ����� � �, precisamos de �3�� � e �3� � para verificar se

� e definida positiva. Por outro lado, como � � � e ����� � �, precisamos de

�3�� � e �3� � para verificar se � e definida negativa. Como �3�� � �� e

�3� � ��, concluımos que � e definida positiva no conjunto-restricao e � � e

um mınimo de � restrita ao conjunto-restricao.

57

Chapter 5

Otimizacao Irrestrita

Adiantamos que os principais resultados para funcoes multivariadas sao analogos

aos resultados unidimensionais, isto e:

1. Uma condicao necessaria para �� ser um maximo interior de ! � , ��� e

que as derivadas primeiras de , avaliadas em �� sejam zero�

2. Se incluirmos uma condicao apropriada sobre a derivada segunda de , ,

entao esta condicao necessaria torna-se tambem suficiente.

5.1 Definicoes

Seja , � - � �� uma funcao real de � variaveis, cujo domınio e um subconjunto

de ��. Entao,

1. �� � - e um maximo global de , em - se , ���� � , ���, para cada

� � - �

2. �� � - e um maximo global estrito se �� e um maximo e , ���� � , ���

para cada � � - , � �� ���

58

3. �� � - e um maximo local de , se existe uma bola )� ���� em torno de

�� tal que , ���� � , ��� para cada � � )� ���� � - �

4. �� � - e um maximo local estrito de , se existe uma bola )� ���� em

torno de �� tal que , ���� � , ��� para cada � � )� ���� � - , � �� ���

Invertendo as desigualdades nas quatro definicoes acima, obtemos as definicoes

de mınimo global, mınimo global estrito, mınimo local e mınimo local estrito, re-

spectivamente.

5.2 Condicoes de Primeira Ordem

A condicao de primeira ordem para um ponto �� ser um maximo ou mınimo de

uma funcao � de uma variavel e que � � ���� � , ou seja, �� seja um ponto crıtico

de � . Esta condicao requer que �� esteja no interior do domınio de � . A mesma

condicao vale para uma funcao , de � variaveis, considerando as � derivadas

parciais +,�+� em ��, para � � �� � � � � �. Neste caso, �� e um ponto interior do

domınio de , se existir uma bola )� ���� em torno de �� contida no domınio de

, .

Theorem 22 Seja , � - � �� uma funcao �� definida no subconjunto - de��.

Se �� e um maximo local ou mınimo local de , em - e se �� e um ponto interior

de - , entao+,

+� ���� � para � � �� � � � � �

Proof. ....

Example 68 Seja , ��� �� � �� � �� � ���.

+,

+�� ��� � �� � � � � ��

59

+,

+�� ���� � �� �

Logo,

�����

��� �� �

��� � ��� �

���� � ��

��

As solucoes sao � � e � � �. Substituindo em � � �����, obtemos � � e

� � ��. Logo, �� � e ������ sao candidatos a maximo local ou mınimo local

de � .

5.3 Condicao de Segunda Ordem

Definition 27 Um ponto n-dimensional �� e um ponto crıtico de uma funcao

, ���� � � � � ��� se �� satisfaz

+,

+� ���� � para � � �� � � � � �

Assim, no exemplo anterior, os pontos crıticos de , ��� �� � ��������� sao

�� � e ������. Para determinar se algum destes pontos crıticos e um maximo ou

um mınimo, precisamos usar as derivadas segunda de , , supondo que , � ��.Construımos entao a matriz � � � de derivadas parciais de segunda ordem de ,

denominada Hessiana:

��, ���� �

����

������

���� � � � ���������

����... . . . ...

���������

���� � � � �������

����

����

Como derivadas parciais cruzadas de funcoes �� sao iguais, ��, ���� e uma

matriz simetrica.

60

5.3.1 Condicoes Suficientes

Theorem 23 Seja , � - � �� uma funcao �� cujo domınio e um conjunto

aberto - ��. Suponha que �� e um ponto crıtico de , , isto e, �����

���� �

para � � �� � � � � �.

1. Se��, ���� e uma matriz simetrica definida negativa, entao �� e um maximo

local estrito de , �

2. Se��, ���� e uma matriz simetrica definida positiva, entao �� e um mınimo

local estrito de , �

3. Se ��, ���� e indefinida, entao �� nao e nem um maximo local nem um

mınimo local de , �

Definition 28 Um ponto crıtico �� de , para o qual ��, ���� e indefinida e

chamado ponto de sela.

Theorem 24 Seja , � - � �� uma funcao �� cujo domınio e um conjunto

aberto - ��. Suponha que

+,

+� ���� � para � � �� � � � � �

e que os � menores principais lıderes de ��, ���� alternam de sinal em �� do

seguinte modo

�,���� � � ,

������

,���� ,����

,���� ,����

������� ,

���������

,���� ,���� ,����

,���� ,���� ,����

,���� ,���� ,����

���������

� , � � �

Entao, �� e uma maximo local estrito de , .

61

Theorem 25 Seja , � - � �� uma funcao �� cujo domınio e um conjunto

aberto - ��. Suponha que

+,

+� ���� � para � � �� � � � � �

e que os � menores principais lıderes de ��, ���� sao todos positivos em ��:

�,���� � � ,

������

,���� ,����

,���� ,����

������� ,

���������

,���� ,���� ,����

,���� ,���� ,����

,���� ,���� ,����

���������

� , � � �

Entao, �� e uma mınimo local estrito de , .

Theorem 26 Seja , � - � �� uma funcao �� cujo domınio e um conjunto

aberto - ��. Suponha que

+,

+� ���� � para � � �� � � � � �

e que alguns dos menores principais lıderes nao-nulos de ��, ���� violam o

padrao de sinais dos dois teoremas anteriores. Entao, �� e um ponto de sela

de , � nao e um maximo local nem um mınimo local de , .

5.3.2 Condicoes Necessarias

(melhorar o texto, pagina 412) As condicoes de segunda ordem necessarias para

um maximo ou um mınimo de uma funcao sao mais fracas do que as condicoes su-

ficientes. De fato, ao inves de avaliarmos se a matriz Hessiana e definida positiva

ou definida negativa, nos avaliamos se tal matriz e semidefinida negativa (maximo

local) ou semidefinida positiva (mınimo local).

Theorem 27 Seja , � - � �� uma funcao �� cujo domınio e um conjunto

aberto - ��. Suponha que �� e um ponto interior de - e que �� e um maximo

(mınimo) local de , . Entao, �, ���� � e ��, ���� e semidefinida negativa

(positiva).

62

Theorem 28 Seja , � - � �� uma funcao �� de � variaveis. Suponha que �� e

um ponto interior de - .

1. Se �� e um mınimo local de , , entao �����

���� � para � � �� � � � � � e

todos os menores principais da Hessiana��, ���� sao � .

2. Se �� e um maximo local de , , entao �����

���� � para � � �� � � � � �

e todos os menores principais de ordem impar da Hessiana ��, ���� sao

� e todos os menores principais de ordem par da Hessiana��, ���� sao

� .

Example 69 Seja , ��� �� � �� � �� � ���.

+,

+�� ��� � �� � � � � ��

+,

+�� ���� � �� �

Logo,

�����

��� �� �

��� � ��� �

���� � ��

��

As solucoes sao � � e � � �. Finalmente, substituindo em � � ����� obtemos

�� � e ������.

+�,

+��� ��,

+�,

+�+�� �,

+�,

+�+�� � e

+�,

+��� ���

��, ���� �

� �� �

� ���

Os menores principais sao,

���� � ��

63

������

�� �

� ���

������� ����� � ��

Em �� � obtemos e ��� respectivamente, sendo �� � um ponto de sela. Em

������ obtemos �� e ���, entao ��, ������ e definida positiva e ������ e um

mınimo local estrito.

5.4 Maximo Global e Mınimo Global

Na secao anterior discutimos as condicoes suficientes de primeira e segunda or-

dem para encontrarmos todos os maximos e mınimos locais de uma funcao difer-

enciavel cujo domınio seja um conjunto aberto em ��. Nesta secao discutimos

condicoes suficientes para um extremo local ser um maximo global ou um mınimo

global de uma funcao real em ��.

Theorem 29 Seja , � - � �� uma funcao �� cujo domınio e um conjunto

convexo aberto - ��.

1. As tres condicoes a seguir sao equivalentes

� , e uma funcao concava em - �

� , ���� , ��� � �, ��� �� � �� para quaisquer �� � � - �

� ��, ��� e semidefinida negativa para qualquer � � - .

2. As tres condicoes a seguir sao equivalentes

� , e uma funcao convexa em -�

� , ���� , ��� � �, ��� �� � �� para quaisquer �� � � - �

� ��, ��� e semidefinida positiva para qualquer � � - .

64

3. Se , e uma funcao concava em - e �, ���� � para algum �� � - ,

entao �� e um maximo global de , em - .

4. Se , e uma funcao convexa em - e�, ���� � para algum �� � - , entao

�� e um mınimo global de , em - .

(O esboco da prova e interessante, pagina 414-415)

5.5 Aplicacoes

5.5.1 Maximizacao do Lucro

Suponha que uma firma usa � insumos, � � ��, para gerar um unico produto,

� � 2 ��� � ��. O preco de venda e ". A receita e dada por � ��� � "2 ���, e o

custo e representado por uma funcao � ��� � ��. A firma maximiza o lucro

, ��� � "2 ���� � ���

Assumindo que a firma usa quantidades positivas de todos os insumos (� pertence

ao interior do �� ), entao no ponto de lucro maximo, ��, temos

+, ���

+� � � "

+2 ���

+� �+� ���

+� para � � �� � � � � �

Ou seja, a receita marginal e igual ao custo marginal para cada insumo � . Suponha

que

� ��� ���

% �

Entao, a condicao de receita marginal igual a custo marginal torna-se

"+2 ���

+� � % �

+2 ���

+� �%

"para � � �� � � � � �

A condicao necessaria de segunda ordem para que �� seja um maximo local e

que ��, ���� seja semidefinida negativa. No caso de custo marginal constante, e

necessario entao que ��2 ���� seja semidefinida negativa.

65

Example 70 Considere uma firma que produz o bem ! usando dois insumos, � e

�. Os precos sao dados. O preco de venda e ��, enquanto o preco do insumo � e

� e o do insumo � e �. A funcao de producao da firma e dada por:

! ��

��

���� � ��� ��� � � �� � ���

Assim a funcao lucro tem a seguinte expressao:

� ��� �� � ��! � ��� ��

� ��� �� � ��� � ��� ��� � � �� � ��� � ��� ��

CPO:

�� � �� ��� ��� � �

� �� � � � �

� �� � �

�� � ��� �� � ��� � �

� � �� � �� � � �

� �� � �� � � �

� �� ���

CSO:

��� � ��, ��� � ��� � , ��� � ���

3 �

� ��

���

�3�� � �� � , �3�� � ��� �

Portanto, a estrategia de producao ��� ����� maximiza o lucro.

66

5.5.2 Monopolista Astuto

Suponha que um monopolista produz um unico bem e atua em dois mercados

distintos e separados (um mercado domestico e outro externo, por exemplo). Seja

� a quantidade demandada no mercado �, 4 � 2 �� � a funcao de demanda

inversa no mercado �, de modo que a receita neste mercado e dada por

� �� � � 4 � � 2 �� ��

Suponha que o custo de producao � dependa da soma � � �� � ��, isto e,

� ��� ����. Entao o lucro torna-se

� ���� ��� � 2� ������ �2� ������ � � ��� ����

Se soubermos que a firma ira produzir quantidades positivas em cada mer-

cado, e que a funcao lucro seja concava, o nosso problema e calcular os pontos

de maximo da funcao lucro � no interior do quadrante positivo. Esses maximos

satisfazem:

+�

+��� � + 2� �������

+��� � � ��� ����

+�

+��� � + 2� �������

+��� � � ��� ����

A receita marginal em cada mercado deve igualar-se ao custo marginal de producao.

Example 71 No modelo acima considere as seguintes especificacoes:

4� ���� � �� ���

4� ���� � �� ���

� ��� � � � ��

67

em que � � �� ���. Com isso, a funcao lucro torna-se

� ���� ��� � ��� ������ � ��� ������ � � � � ��� �����

� ��� � ���� � ��� � ���� � �� ��� � ���

� ��� � ���� � ��� � ���� � �

Condicao de primeira ordem:

+�

+��� � �� ��� � � �� � �

+�

+��� � �� ��� � � �� � �

Condicao de segunda ordem:

+��

+���� ��,

+��

+���� ��,

+��

+�����

+��

+�����

3 �

� ��

��

Portanto, �3�� � �� e �3�� � �, o que implica que � ���� ��� e uma funcao

concava e a estrategia de demanda ��� �� maximiza o lucro.

5.5.3 Monopolista que produz dois bens distintos

Considere um monopolista que produz dois bens distintos, � e �� e quer maximizar

seu lucro A funcao demanda de cada bem e tal que

"� � ��� ��

"� � �� ��

A funcao custo do monopolista e a seguinte:

� ��� �� � �� � ��� � ���

68

Observe que a producao dos bens e interligada, pois o custo possui o temo ���. A

funcao lucro e dada por

� ��� �� � "� ����� "� ��� � � � ��� ��

� ��� �� � ���� ����� ��� ��� � ���� � ��� � ���

� ��� �� � ���� ��� � �� � ��� � ���

CPO:

�� � ��� ��� �� �

� ��� � � ��

�� � �� ��� � �� �

� �� �� � �

� � � �� ��

Resolvendo o sistema:

� ��� ��� � � � ��

�� ��� � � � ��

�� � �

�� � �� ��� � �

CSO:

��� � ��, ��� � ��� � ��, ��� � ���

3 �

� �� ���� ���

�3�� � �� � , �3�� � ��� �

Portanto, a estrategia de producao ��� �� maximiza o lucro.

69

5.5.4 Concorrencia Perfeita: Producao de dois Bens

Considere uma firma que produz dois bens sob concorrencia perfeita, de modo

que os precos sao dados. A funcao receita e dada por

� ���� ��� � 4��� � 4���

Supomos que a funcao custo tem o seguinte formato

� ���� ��� � ���� ����� � ����

A funcao lucro pode ser escrita como

� ���� ��� � 4��� � 4��� � ���� ����� � ����

Queremos encontrar �� e �� que maximizam o lucro. Se soubermos que a

firma ira produzir quantidades positivas em cada mercado, e que a funcao lucro

seja concava, o nosso problema e calcular os pontos de maximo da funcao lucro

� no interior do quadrante positivo. As condicoes necessarias de primeira ordem

sao:

+� ���� ���

+��� � 4� � ��� ��� �

+� ���� ���

+��� � 4� ��� � ��� �

Temos um sistema.

��� ��� � 4�

�� � ��� � 4�

!�� �

�4� � 4���

e �� ��4� � 4�

��

Portanto, se 4� � �� e 4� � ��, �� � � e �� � �.

Condicao de segunda ordem:

+��

+���� ��,

+��

+���� ��,

+��

+�����

+��

+����� ��

70

3 �

� �� ���� ��

Portanto, �3�� � �� e �3�� � �� � � � ��, o que implica que � ���� ��� e

uma funcao concava e a estrategia de demanda ��� �� maximiza o lucro quando

4� � �� e 4� � ��.

5.5.5 Monopolista que Produz dois Bens Substitutos

Considere um monopolista que produz dois bens substitutos, com as seguintes

funcoes de demanda:

�� � �� �4� � 4� (5.1)

�� � �� � 4� � 4� (5.2)

Observe que o aumento no preco de uma mercadoria aumenta a demanda da outra.

Queremos expressar 4� e 4� como funcao das quantidades para construir a funcao

lucro que dependa somente das quantidades. Note que (5.1) implica

4� � �� � � � �4� (5.3)

Substituindo em (5.2) obtemos:

�� � �� � 4� ��� � �� �4�

�� � ����� � 4�

4� � ����� ���

Substituindo em (5.3) obtemos:

4� � �� � � � � ������ ����

4� � �� � � � ��� ��� � ���

4� � ���� � ���

71

A receita da firma pode ser escrita como:

� ���� ��� � 4� ���� ����� � 4� ���� �����

� ������ ������ � ����� � ������

� ���� ���� ����� � ��� ����� � ����

� ���� ���� � ����� � ��� � ����

A funcao custo total e dada por

� ���� ��� � ��� ����� ����

Como o custo marginal de �� depende de �� e, vice-versa, as duas mercadorias

sao tecnicamente relacionadas na producao.

A funcao lucro torna-se:

� ���� ��� � � ���� ���� � ���� ���

� ���� ���� � ����� � ��� � ���� ����� ����� ��

��

� ���� � ���� � ����� � ��� � ����

Queremos encontrar �� e �� que maximizam o lucro. Se soubermos que

a firma ira produzir quantidades positivas em cada mercado, o nosso problema

torna-se calcular os pontos de maximo da funcao lucro � no interior do quadrante

positivo. As condicoes necessarias de primeira ordem sao:

+� ���� ���

+��� � ��� ��� � ��� �

+� ���� ���

+��� � ���� � �� ��� �

Temos um sistema.

��� � ��� � ��

��� � ��� � �

!�� � � e �� �

��

72

Condicao de segunda ordem:

+��

+���� ��,

+��

+���� ��,

+��

+�����

+��

+����� ��

3 �

� �� ���� ��

Portanto, �3�� � �� e �3�� � ��� � � ��, o que implica que � ���� ��� e uma

funcao concava e a estrategia de demanda ��� ����� maximiza o lucro.

5.6 Exercıcios de Fixacao

Questao 1) Analise se as funcoes abaixo possuem pontos de maximo local e/ou

mınimo local.

a) ���� �� � �� � �� � ��� ��

CPO:

�� � ��� � � � � � ��

�� � ��� � � � � � � �

CSO:

��� � �

��� � ��� �

��� � ��

3 �

� �

��

�3�� � � � �3�� � �� �

Assim ���� �� e um ponto de sela.

73

b) ���� �� � � �� � � � � �� ��

CPO:

�� ��

�� � � � � � �

�� ��

�� � � � � � �

CSO:

��� � � �

��

��� � ��� �

��� � � �

��

3 �

� � ���

� ���

3 ��� �� �

� ��

���

�3�� � �� � �3�� ��

��

Assim, ��� �� e um ponto de maximo.

c) � ��� �� � �� ��� � �� � ��� � ��, em que � �� �� �� � .

CPO

�� � � ���� � � � � �� � ���

�� � �� ��� � � �

Resolvendo o sistema:

�� ��

�� � ���

�� � �

�� � �� ����� �� � �� � ���

�� � � �� �

�� �� �� �� � ���

74

�� � � � �

�� �� �� � ���

CSO

��� � ��

��� � ��� �

��� � ��

3 �

� ��

��

�3�� � �� �3�� � ���� �

Assim, ���� ��� e um ponto de maximo se:

�� � � �

���� � � ��� � �

Note que, como � e negativo, ��� � , se e somente se � � . Por outro lado,

���� ��� e um ponto de mınimo se:

�� � � �

���� � � ��� � �

Note que, como � e positivo, ��� � , se e somente se � � .

d) � ��� �� !� � ��� � �� � !� � �� � �!CPO

�� � ���� � � � �� � �

�� � ��� � �� ! �

�� � ��! � � � � �! � �

75

Logo,

� ��

�� !

Substituindo,

��� � �� ! �

��� � �

���

��

� �

Obtemos �� � �.

CSO

��� � ��� ��� � �� ��� �

��� � �� ��� � ��� ��� � �

��� � � ��� � �� ��� � ��

3 �

����

�� �

� �� �

� ��

����

�3�� � �� �

�3�� � �� � � � �

�3�� � ��� ���� �� � �� �

Logo, �� � � e um ponto de maximo.

e) � �.�/� � .���/��� �. � ��/�

CPO

�� ��

�.����/��� � � �

��/

.

� �

� �� /

.� �� / � �.

76

�� ��

�.���/���� � / �

��.

/

����� �/� .

/� �/� � . � �/�

Portanto,

. � � ��.��

. � ����.�

. � ���.�

.� ��

���

.� ��

��� /� �

CSO

��� � ��

�.����/���

��� � ��� ��

�.����/����

��� � ��

�.���/���� � �

3

��

����

��

� ���

����

�� �

���

� �� �

����

�� �

���

�� �

��

����

�� �

���

�� �

� ���

����

� ��

���

�� �

� � �

3

��

����

��

� ���� ��� �

���� �� �

��� �� � ��

�� �

�� �� �

3

��

����

��

� �� �

� ���

�3�� � �� � �3�� � ��� � � � �

Portanto, ������ ���� e um ponto de maximo.

f) � ��� �� !� � 5 � �� 6 � � � 7 � ! � �� � � !, em que 5� 6� 7 � .

77

CPO

�� �5

�� � � � � � 5

�� �6

�� � � � � � 6

�� �7

!� � � � ! � 7

Encontramos �5� 6� 7�.

CSO

�� � � 5��

�� � � 6��

�� � � 7!�

As demais derivadas de segunda ordem sao nulas. Entao,

3 �

����

� ���

� ���

� ��

����

3 �5� 6� 7� �

����

� ��

� ��

� �

����

�3�� � � �

5�

�3�� ��

56�

�3�� � � �

567�

E, �5� 6� 7� e um maximo local.

g) � ��� �� � �� � �� � �� � ��� �

78

CPO:

�� � ��� � � � �

�� � �� �� �

Logo, � � ���, e

� ����� � � � � �

��� � � � �

�� � ��

O que implica que �� � �.

CSO:

��� � �, ��� � ��� � �, ��� � �

3 �

� � �

� �

�3�� � � � , �3�� � � �

Assim, ������ e um ponto de mınimo.

h) � ��� �� � �� � � ��� � ���

CPO:

�� � � � ��

�� � ��� � �� � �� �

��

�� � �� ��

�� � ��� � �� � �� �

��

Dai,��

��

��

�� �� � ��

79

Portanto, se � � sabemos que � � � . Substituindo nas condicoes de

primeira ordem:

�� � �� ���

��� ���

�� � �

Mas, �� �� � � �, entao � � � � � ou � ��. Portanto, obtemos

��� �� e �������.CSO:

��� � ��

�� � ��� ��

��� � ������

���� � � ��� � ���

��� � ����

��� � ��

�� � ��� ��

��� � ������

���� � � ��� � ���

��� � ����

��� � ���

� � ���

��� � �����

� � ����

��� � ���

3 ��� �� � 3 ������� �

� �

�3�� � , �3�� � �� �

Portanto, ��� �� e ������� sao pontos de sela.

80

i) � ��� �� � � � �� � ��

CPO:

�� � �� � � � �

�� � ��� � � � �

CSO:

��� � �, ��� � ��� � , ��� � ��

3 �

� �

��

�3�� � � , �3�� � �� �

Portanto, �� � e um ponto de sela.

j) � ��� �� !� � ���� � ���� � ���� � ���� � ��� � �

CPO:

��� � ��� � �� � �� �

��� � �� � ��� � � �� � ��

���

��� � �� � ��� � � �� � ��

���

Logo,

��� ��

��� ��

��� �

�� �

� �� � �� �

81

CSO:

3 �

����

� � �

� �

� �

����

�3�� � � �

�3�� � ��� � � �� �

�3�� � ��� �� � �� � �� �

Portanto, �� � � e um ponto de mınimo.

k) � ��� �� !� � ���� � ����� � ��� � ��� � ����

CPO:

��� � ����� � ��� �

��� � �� ��� � � �� � �

��� � ��� � ��� � � �� � ���

Logo,

�� ������ � ��� �

����� � �� �

�� ����� � �� �

��� � � �� �

�� ���� � �� �

��

Portanto, obtemos os pontos �� �� � e ����� �� ����

82

CSO:

3 �

����

���� �

��

� ��

����

�3�� � ����

�3�� � ����

�3�� � ����� � �����

Considerando, �� �� �, temos �3�� � , �3�� � e �3�� � �� � , nao

sendo possıvel concluir se este ponto e um ponto de maximo local, mınimo local

ou sela. Considerando, ����� �� ����, temos �3�� � �� � , �3�� � � � e

�3�� � ��� � , e trata-se de um ponto de maximo.

83

Chapter 6

Otimizacao Restrita I

O problema tıpico estudado neste capıtulo e a maximizacao de uma funcao obje-

tivo sujeita a algumas restricoes.

� � � ���� � � � � ��� , ���� � � � � ��� � ��

sujeito a

��� ���� � � � � ��� � ��� � � � � �� ���� � � � � ��� � ���� ���� � � � � ��� � ��� � � � � �� ���� � � � � ��� � ��

A funcao � e denominada funcao objetivo, enquanto as funcoes ��� � � � � �� e

��� � � � � �� sao denomiadas funcoes restricao. As funcoes ��� � � � � �� sao restricoes

de desigualdade e as funcoes ��� � � � � �� sao restricoes de igualdade.

6.1 Restricoes com igualdade

6.1.1 Duas Variaveis e uma Restricao de Igualdade

(Motivacao: p423 (teoria do consumidor) e p 426 (gradiente))

Theorem 30 Seja � e � funcoes�� de duas variaveis. Suponha que �� � ����� ����

e a solucao do problema

� � � ���� ���

84

sujeito a � ���� ��� � �

Suponha tambem que ����� ���� nao e um ponto crıtico de � (qualificacao de restricao).

Entao, existe um numero real 8� tal que ����� ���� 8

�� e um ponto crıtico da funcao

lagrangeana

/ ���� ��� 8� � � ���� ��� � 8 �� � ���� ����

Ou seja, em ����� ���� 8

��

+/

+��� ,

+/

+��� ,

+/

+8�

Remark 6 A conclusao do teorema anterios vale tanto para maximizacao quanto

para minimizacao no conjunto-restricao.

Example 72

� � ���� (6.1)

sujeito a �� � ��� � ��

Portanto,

/ ���� ��� 8� � ���� � 8 ��� �� � ����

+/

+��� �� � 8 � � 8 � �� (6.2)

+/

+��� �� � �8 � � 8 �

���

(6.3)

+/

+8� ��� �� � ��� � (6.4)

Temos tres equacoes e tres variaveis. Igualando (6.2) e (6.3) obtemos

�� ����

(6.5)

Substituindo em (6.4):

�� � �����

�� ��� �� � � (6.6)

85

As equacoes (6.2), (6.5) e (6.6) implicam que �� � 8 � �. Note que ���� ��� �

��� �� nao e um ponto crıtico de �, sendo atendida a qualificacao de restricao.

Portanto, teorema anterior afirma que o unico candidato a solucao do problema

(6.1) e ���� ��� � ��� ��.

Example 73

� � ����� (6.7)

sujeito a ���� � ��� � �

Para verificar a qualificacao de restricao calculamos os pontos crıticos de � ���� ��� �

���� � ���.

+� ���� ���

+��� ��� � � �� �

+� ���� ���

+��� ��� � � �� �

Portanto, ���� ��� � �� � e o unico ponto crıtico de � ���� ��� e, claramente, nao

pertence ao conjunto-restricao. Podemos, entao, formar o lagrangeano

/ ���� ��� 8� � ����� � 8��� ���� � ���

Condicoes de primeira ordem:

+/

+��� ����� � �8�� � ��� ��� � �8� � (6.8)

+/

+��� ��� � �8�� � (6.9)

+/

+8� �� ���� � ��� � (6.10)

A equacao (6.8) fornece �� � ou �� � �8. Se �� � , entao a equacao (6.10)

implica que �� � ��, usando a equacao (6.9) obtemos 8 � . Portanto,

���� �

e���

�� �

86

sao duas solucoes do sitema formado pelas equacoes (6.8), (6.9) e (6.10). Se

�� �� em (6.8), entao ���� � 8. Substituindo em (6.9) obtemos ��� � ���, e

usando (6.10) temos ���� � � ou seja, �� � ��. Se �� � �, 8 � �� e �� � ��.

Por outro lado, se �� � ��, 8 � �� � e �� � ��, assim

��� �� ��� e ���� �� ��� e ���������� e �����������

6.1.2 Varias Restricoes de Igualdade

Considere o problema:

� � � ���� � � � � ��� , ���� � � � � ��� � ��

sujeito a �� � �� � ���� � � � � ��� � �� ��� � �� � � � � �� ��� � ��

A qualificacao de restricao significa que (para o caso de 1 restricao):�+��+��

���� � � � � �+��+��

����

��� �� � � � � �

Para generalizar a qualificacao de restricao para o caso de � � � restricoes

usamos a derivada Jacobiana das funcoes restricao:

�� ���� �

�������

������

���� � � � ������

����

������

���� � � � ������

����... . . . ...

�����

���� � � � �����

����

�������

Em geral, um ponto �� e chamado um ponto crıtico de � � ���� � � � ��� se o posto

da matriz �� ���� e menor do que �. Assim, a generalizacao da qualificacao

de restricao e que o posto da matriz �� ���� seja �, o maior possıvel. Mais

formalmente, nos dizemos que ���� � � � ��� satisfaz a qualificacao de restricao

nao-degenerada (QRND) em �� se o posto da matriz jacobiana �� ���� em �� e

�.

87

Theorem 31 Sejam �� ��� � � � � �� funcoes �� de � variaveis. Considere o prob-

lema de maximizar (ou minimizar) � ��� no conjunto-restricao

�� � �� � ���� � � � � ��� � �� ��� � �� � � � � �� ��� � ��

Suponha que �� � �� e que �� e uma maximo (local) ou mınimo (local) de �

em ��. Suponha ainda que �� satisfaz a condicao QRND acima. Entao, existem

8��� � � � � 8�� tais que ����� � � � � �

��� 8

��� � � � � 8

��� � ���� 8�� e um ponto crıtico do

lagrangeano

/ ��� 8� � � ��� � 8� � � �� ���� � � � �� 8� � � �� ����

Ou seja,

+/

+������ 8�� � � � � � �

+/

+������ 8�� �

+/

+8����� 8�� � � � � � �

+/

+8����� 8�� �

Example 74

� � ��!

sujeito a �� ����� �� !� � �� � �� � �� � � � � �� ! � �

Matriz Jacobiana

�� ��� �� !� �

������

�����

�����

�����

�����

�����

� �� ��

� �

Seu posto e menor do que � � � se, e somente se, � � � � . Como qualquer

ponto com � � � � violaria a primeira restricao, todos os pontos no conjunto-

restricao satisfazem a QRND. Formamos o lagrangeano,

/ ��� �� !� 8�� 8�� � ��! � 8���� �� � ��

�� 8� �� �� !�

88

Condicoes de primeira ordem:

+/

+�� �! � �8��� 8� �

+/

+�� �! � �8�� � � 8� �

�!

��

+/

+!� �� � 8� � � 8� � ��

+/

+8�� �� �� � �� � � �� � �� ��

+/

+8�� �� �� ! � � ! � �� �

Substituindo a segunda e a terceira equacoes na primeira,

�! � �

��!

��

��� �� �

��! � ��! � ��� � (6.11)

Substituindo as duas ultimas equacoes em (6.11) obtemos:

��� ��

���� ��� �� ��� ��� �

��� ��

��

Uma solucao e � � �, que implica � � ! � . Para obter solucoes diferentes,

podemos dividir esta expressao por �� �,

��� ��� ��� ���� �

� �� ��� ���� �

� ���� �� �� � ���� �

���� ��

�� �� � � �� � �� �

�� � �� � �� � �� �� �

��� � �� � �

Logo,

� ����

� � ��

�����

��

89

Com isso obtemos

� ��� �

��

� � �

"

#��$�� �

��

%�&

'

! � �� �� ���

E,

� ����

��

� � �

"

#��$���

��

%�&

'

! � �� �����

6.1.3 Aplicacoes

Maximizacao da Receita

Considere uma firma cujo preco de venda e unitario, e sua funcao de producao e

a seguinte:

� � .���/���

Suponha que o objetivo desta firma e maximizar a receita, sujeita a ter um custo

�, isto e,

�����

.���/���

#. � %/ � �

Como � �.�/� � #.�%/ tal funcao nao possui ponto crıtico e a qualificacao

de restricao e claramente atendida. Podemos, entao, formar o lagrangeano

� � .���/��� � 8 �� � #. � %/�

90

+�

+.�

�.����/��� � 8# � � 8 �

�#

�/

.

����

+�

+/�

�.���/���� � 8% � � 8 �

�%

�.

/

����

+�

+8� � � #. � %/ � � #. � %/ � �

Portanto,

�#

�/

.

�����

�%

�.

/

����

/ �#

%.

#. � %� #%.�

� �

�#. � �

.� ��

�#

/� �#

%

��

�#

���

�%

Minimizacao do Custo

Considere uma firma cujo preco de venda e unitario, e sua funcao de producao e

a seguinte:

� � .���/���

Suponha que o objetivo desta firma e minimizar o custo, sujeita a produzir �, isto

e,

�� ��

#. � %/

� � .���/���

Como � �.�/� � .���/���, esta funcao e sempre crescente em . e / nao

possuindo pontos crıticos. Podemos, entao, formar o lagrangeano

� � #. � %/� 8� � �.���/���

91

+�

+.� # � �

�8.����/��� � � 8 �

�#

.����/���

+�

+/� % � �

�8.���/���� � � 8 �

�%

.���/����

+�

+8� � �.���/��� � � � � .���/���

Portanto,

�#

.����/����

�%

.���/����

#.���

/���� %

/���

.���

/ �#

%.

� � .���/���

� � .���� #%.����

� � .� #%

����

.� � ��%#

����

/ �#

%.�

/ �#

%

� ��%#

�����

/ � �#

%

� #%

�����

/� � �� #%

����

Geracoes Sobrepostas

��������

� ���� � 6 � ����

��� � � 9�

�� � 9� ��

92

Formando a matriz jacobiana, obtemos

�� ���� ��� �

�������

������

�����

������

������

�����

� � �

� ��

Tal matriz possui posto igual a � � �, sendo atendida a QRND.

/ � � ���� � 6 � ���� � 8� �9� � �� � � � 8� �9� ��� ���

+/

+���

��� 8� � � 8� �

��+/

+���

6

��� 8� � � 8� �

6

��+/

+� �8� ��8� � � 8� � �8�

Portanto,

��� �

6

���� � 6���

Atuacao do Governo

�� !"

�� � ��� ��- � -

��� �

� � �# � ��- � -

�� � �

Assim, � ���-� � � � �- , nao possuindo ponto crıtico. Logo, passando ao

lagrangeano

/ � �� � ��� ��- � -

��� 8��# � �

�- � -

�� ��

93

+/

+�� � �� � ��� 8 � � 8 � � �� � ��

+/

+-� �

�- � -

�� �8 � � 8 �

�- � -

+/

+8� �# � �

�- � -

�� � � � � � �# � �

�- � -

Logo,

� �� � �� ��

�- � -

� �� � �� � - � -

Assim,

� � �# � � � �� � ���

� � �# � ��� � �� ��� � ��

�� � �# � �� �

�� ��

� � ����# � �� �

-� � - � �

��

� � ����# � �� �

�� �

Observacao: se �# � �, entao o governo alcanca as metas.

�� ��

� � ��� � � �� �

�� � �

-� � - � � � � ��

-� � -

Intuicao: se �# � � a restricao se torna

� � �# � ��- � -

� � � � ��- � -

� � � � ���- � -

94

Substituindo na funcao objetivo:

�� !"

�� � ��� ��- � -

��� �

� �� !"

����- � -

�����- � -

��� �

� �� "

���- � -

����- � -

��� � � �

� �� "

�� � ��

� �- � -

��� � � �

Fica claro que o governo escolhe - � - , para minimizar sua perda. Voltando

na restricao, - � - implica � � �.

Maximizacao da utilidade sujeita a restricao orcamentaria

Suponha que a funcao utilidade seja - � �� e que "� � ��, "� � � e renda igual

a ��.

�����

��

���� �� � ��

Note que � ��� �� � ��� � ��, nao possuindo pontos crısticos. Formando o

lagrangeano

/ � �� � 8 ���� ���� ���

+/

+�� � � ��8 � � 8 �

��

+/

+�� �� �8 � � 8 �

+/

+8� � ���� �� � ��

Logo,�

����

�� � � ��

95

���� � ���� � ��

�� � ��

�� � �

�� � ��

Vamos considerar agora outra funcao utilidade, precos e renda, de modo que

o problema do consumidor torna-se

�����

��� � ��

��� �� � ���

Note que � ��� �� � �� � ��, nao possuindo pontos crıticos. Formando o

lagrangeano

/ � ��� � ��� 8 ����� ��� ���

+/

+�� �� � �� �8 � � 8 �

�� � �

�+/

+�� ��� � �8 � � 8 �

��

+/

+8� � ��� �� � ���

Logo,

�� � �

��

��

��� � � � ��

� ���� � �

���� � �

�� �� � ���

��� � � � ��� � ����

���� � ���� � � �

��� � ��� � � �

96

� ����

��� � ��

� ���� ��

� �

��

���

Portanto,

�� � �

�� �� ���� � �

�� ��

Producao de dois bens com funcao custo-conjunta

A fabrica produzd dois tipos de maquinas - � e � - com funcao custo-conjunta

� ��� �� � �� � ��� � ��

A firma quer minimizar o custo sujeita a produzir pelo menos � maquinas.

�� ��

�� � ��� � ��

�� � � �

Note que � ��� �� � � � �, nao possuindo pontos crıticos. Formando o la-

grangeano

/ � �� � ��� � �� � 8 ��� �� ��

+/

+�� ��� � � 8 � � 8 � ��� �

+/

+�� �� � �� 8 � � 8 � �� � �

+/

+8� �� �� � � � �� � � �

97

Assim,

��� � � �� � �

�� � ��

� ��

��

��

��

�� � � �

�� � �� � ��

�� � �

�� ��

�� � � �

6.1.4 Exercıcios de Fixacao

Questao 1) Ache candidatos a maximo e mınimo.

a) � ��� �� � ��� � ��� � ��, a restricao e �� �� � ��.

Assim, � ��� �� � � � ��, nao possuindo pontos crıticos. Contruindo o la-

grangeano

/ � ��� � ��� � �� � 8 ���� �� ���

+/

+�� ��� � � 8 � � 8 � ��� �

+/

+�� ��� � �� �8 � � 8 �

��� � ��

+/

+8� ��� �� �� � � �� �� � ��

Logo,

��� � ���� � �

��� �� � ��� � �

��� � ���

� ��

��

98

��

��

�� �� � ��

�� � �� � ��

�� � �

�� ��

���� � �

b) � ��� �� � ���� � ��� � ��, a restricao e �� � � ��.

Assim, � ��� �� � � � �, nao possuindo pontos crıticos. Contruindo o la-

grangeano

/ � ���� � ��� � �� � 8 ���� �� ��

+/

+�� ��� � ��� 8 � � 8 � ��� � ��

+/

+�� ���� �� � 8 � � 8 � ���� ��

+/

+8� ��� �� � � � �� � � ��

Logo,

��� � �� � ���� ��

��� � ���

� ��

��

��

��

��

�� ��

��� �� � ���

�� � �

�� � �

Questao 2) Ache candidatos a maximo e mınimo de � ��� �� !� � � � � � !�

sujeito a �� � �� � !� � � e � � .

99

Ora, mas � � , a funcao objetivo torna-se � ��� !� � � � !� e a restricao

�� � !� � �. Formando a matriz jacobiana, obtemos

�� ��� !� ��

�����

�����

��

�� �!�

Seu posto e menor do que� � � se, e somente se, � � ! � . Como o ponto com

� � ! � violaria a restricao �� � !� � �, todos os pontos no conjunto-restricao

satisfazem a QRND. Formamos o lagrangeano,

/ ��� !� 8� � �� !� � 8��� �� � !�

Condicoes de primeira ordem:

+/

+�� �� �8� � � � �

�8

+/

+!� �! � �8! � � ! ��� 8� �

+/

+8� �� �� � !� � � ! � �

�� ��

Portanto, se 8 � �, � � ��� e ! � ����. Se 8 �� �, entao ! � , e pela ultima

derivada parcial � � ��. Obtemos, considerando �,$�

�� �

%

$�

�� ���

%

� ��� � � � ���� � �

Questao 3) Ache candidatos a maximo e mınimo de � ��� �� !� � �! � �!

sujeito a �� � !� � � e �! � �.

Ora, mas se �! � �, a funcao objetivo torna-se � ��� !� � �!� �. Formando a

matriz jacobiana, obtemos

�� ��� !� ��

�����

�����

��

�� �!�

100

Sabemos que no conjunto restricao � �� ou ! �� , o que ja garante que o

posto e igual � � � e todos os pontos no conjunto-restricao satisfazem a QRND.

Formamos o lagrangeano,

/ ��� !� 8� � �! � � � 8��� �� � !�

Condicoes de primeira ordem:

+/

+�� ! � �8� � � �8 �

!

+/

+!� � � �8! � � �8 �

!+/

+8� �� �� � !� �

Logo,!

���

!� !� � ��

Na restricao

�!� � �

! � � ��� �

Usando a restricao �! � �, obtemos

� � ���

Por fim, obtemos����

�����

��

����

���� �

��

������ �

����

��

������ �

��� �

6.2 Restricoes de desigualdade

A maioria dos problemas em economia tem suas restricoes definidas por desigual-

dades:

�� ���� � � � � ��� � ��� � � � � �� ���� � � � � ��� � ��

101

6.2.1 Uma Restricao de Desigualdade

[Motivacao p436 (restricao ativa e inativa)]

Theorem 32 Suponha que � e � sao funcoes �� em �� e que ���� ��� maximiza

� no conjunto-estricao � ��� �� � �. Se � ���� ��� � �, suponha que

+�

+����� ��� �� ou

+�

+����� ��� ��

Em qualquer caso, construa o lagrangeano:

/ ��� �� :� � � ��� �� � : �� � ��� ���

Entao, existe um multiplicador :� tal que:

1) ����

���� ��� :�� �

2) ����

���� ��� :�� �

3) :� �� � ���� ���� �

4) :� �

5) � ���� ��� � �

Example 75 Ache candidatos a maximo e mınimo de � ��� �� � �� sujeito a

�� � �� � �. O unico ponto crıtico de � ocorre em �� �, ou seja, fora do

conjunto-restricao. Assim a qualificacao de restricao esta satisfeita em qualquer

candidato a solucao. Forme o lagrangeano

/ ��� �� :� � �� � :��� �� � ��

Condicoes de primeira ordem

+/

+�� � � �:� � � : �

��, para � ��

+/

+�� �� �:� � � : �

��, para � ��

102

:��� �� � ��

��

: �

�� � �� � �

Logo,

: ��

����

��� �� � ��

Primeiro observe que se : � , das duas primeiras condicoes implicam que � �

� � . Observe que �� � � satisfaz todas as restricoes. Se : �� , entao pela

terceira equacao sabemos que �� � �� � � e usando �� � ��,

��� � �� � � � ��

��� � �� � � � ��

Assim, combinando os casos de � e � obtemos :, pois : � ����.�

�������

��

�� �

��� �

���

��

����� �

����

��

�� �

�������

Como os dois ultimos candidatos envolvem um multiplicador negativo, eles sao

descartados. Portanto, temos tres candidatos

�� � � �

��������

��

�� �

��� �

���

6.2.2 Caso com varias restricoes

Theorem 33 Suponha que � � ��� � � � � �� sao funcoes �� de � variaveis. Suponha

que �� � �� e um maximo de � no conjunto-restricao definido pelas � desigual-

dades

�� ���� � � � � ��� � ��� � � � � �� ���� � � � � ��� � ��

Para facilitar a notacao, assuma que as primeiras �� restricoes sao ativas e que

as ultimas � � �� sao inativas. Suponha que a seguinte qualificacao de restricao

103

nao-degenerada seja satisfeita em ��. O posto em �� da matriz jacobiana

�� ���� �

�������

�$����

���� � � � �$����

����

�$����

���� � � � �$����

����... . . . ...

�$����

���� � � � �$����

����

�������

das restricoes ativas e ��. Entao, forme o Lagrangeano:

/ ���� � � � � ��� :�� � � � � :�� � � ��� � :� �� � �� ���� � � � �� :� �� � �� ����

Entao, existem multiplicadores :��� � � � � :�� tais que:

1) �����

���� :�� � para � � �� � � � � �

2) :�� �� � �� ����� � para 1 � �� � � � � �

3) :�� � para 1 � �� � � � � �

4) �� ���� � �� para 1 � �� � � � � �

Example 76 Considere o problema de maximizar a utilidade - ��� �� !� � ��!

no conjunto restricao dado pelas desigualdades

�� � � ! � �, � � , � � , ! �

O preco de cada bem e � e a renda e �. A primeira coisa a fazer e escrever todas

as restricoes como no teorema acima

�� � � ! � �, � � � , � � � , � ! �

A matriz jacobiana das funcoes restricao e�

�������

� � �

��

��

��

�������

104

Como as colunas sao linearmente independentes, seu posto e tres. Como no

maximo tres das quatro das quatro restricoes podem ser ativas em qualquer ponto,

a QRND vale em qualqer candidato a solucao. Forme o lagrangeano

/ � ��! � :� ��� �� � � !� � :� ��� � :� ��� � :� �!�

Condicoes de primeira ordem

+/

+�� �! � :� � :� � � :� � �! � :�

+/

+�� �! � :� � :� � � :� � �! � :�

+/

+!� �� � :� � :� � � :� � �� � :�

:� ��� �� � � !� � � :�� � � :�� � � :�! �

:� � � :� � � :� � � :� �

�� � � ! � �, � � , � � , ! �

Logo,

:� � �! � :� � �! � :� � �� � :�

Vamos examinar dois casos: :� � e :� � . Se :� � temos

� �! � :�

� �! � :�

� �� � :�

Porem, como os multiplicadores nao-negativos, :� � :� � :� � , e

�! � �! � �� �

As equacoes levam a um conjunto de candidatos a solucao nos quais duas variaveis

sao nulas e a terceira e qualquer numero no intervalo � ��. Por exemplo, se

105

� � ! � , garantimos que �! � �! � �� � e usando �� � � ! � � e � � ,

obtemos � � � �. Isto e, � � � ��. Vejamos o caso com :� � . Como

:� ��� �� � � !� � � �� � � ! � �

Pelo menos uma dessas variaveis e nao-nula. Suponha que � � . Entao

:� � �! � :� � �! � :� � �� � :�

:� � �! � :� � :� � :�

� :� � :� � :� �

Porem, :�� :� � implicam que � � ! � . Ou seja, � � � � ! � , con-

tradizendo a restricao �� �� ! � �. Como a hipotese � � leva a contradicao,

concluımos que � � . Analogamente, �� ! � . Com isso, :�� :�� :� � , e

�! � :� � �! � :� � �� � :�

�! � �! � ��

(((�

(((�

�! � �! � � � �

�! � �� � ! � �

� � � � � !

Usando a retricao

�� � � ! � �

� � � � ! ��

6.2.3 Aplicacao

Maximizacao da utilidade

��� - ���� ���

�"��� � "��� � ��� � , �� �

106

Por ora vamos ignorar as restricoes de nao-negatividade. Hipoteses:

- ���� ��� � ��

-�� � +-

+���

-�� � +-

+���

Supomos que exista nao-saciedade. O lagrangeano torna-se

/ � - ���� ��� � : �� � "��� � "����

Condicoes de primeira ordem

+/

+��� -�� � :"� � � : �

-��

"�

+/

+��� -�� � :"� � � : �

-��

"�

: �� � "��� � "���� �

: �

"��� � "��� � �

Ja observe que no maximo : nao pode ser zero pois isto implicaria-�� � -�� � .

Logo, : � , e a terceira equacao implica que

� � "��� � "��� �

Portanto, o consumidor gasta toda sua renda. Note ainda que

: �-��

"��-��

"�� -��

-��

�"�"�

Example 77 FAZER WEBER, pagina 367, exercıcios 15 e 17

��� �����

���� � ��� � ��� � , �� �

107

6.2.4 Exercıcios de Fixacao

a)

�����

� ��� �� � ���� � ��� � ��

� � �� � � ��

Note que

� ��� �� � �� ��+� ��� ��

+��+� ��� ��

+�

�� ��� �� �� �� �

Logo, podemos contruir o lagrangeano.

/ � ���� � ��� � �� � : ���� �� ��

+/

+�� ��� � ��� : � � : � ��� � ��

+/

+�� ���� �� � : � � : � ���� ��

: ���� �� �� �

: �

�� � � ��

Se : � , entao

��� � �� � � � ��

��

���� �� � � � � ��

��

�� � �� � � � � �

E temos, � � � � : � .

Se : �� , entao

: ���� �� �� � � �� � � ��

108

E ainda,

��� � �� � ���� ��

��� � ���

� ��

��

Logo,

���

�� � ��

�� � �

�� � �

Note que

� ��� �� � ���� � ��� � ��

� �� � �

� ��� �� � ��� �� �� � ���� � ����

� ��� �� � ���� ���� ��

� ��� �� � ���

b)

�����

� ��� �� � ���� ��� � ��� � ���

� � �� � � ��

Note que

� ��� �� � �� ��+� ��� ��

+��+� ��� ��

+�

�� ��� �� �� �� �

Logo, podemos contruir o lagrangeano.

/ � ���� ��� � ��� � ��� � : ���� �� ��

109

+/

+�� ��� ��� : � � : � ��� ��

+/

+�� ��� �� � : � � : � ��� ��

: ���� �� �� �

: �

�� � � ��

Se : � , entao

��� �� � � � � �

��� �� � � � � �

Note que �� � � � � ��, sendo atendidas todas as restricoes.

Se : �� , entao

: � ��� �� � ��� �� � � � � ��

��

: ���� �� �� � � �� � � ��

Entao,�� �

��

�� � � ��

�� � �

� � �

� � ��� �

� � �

Portanto, para : � , obtemos ��� �� e para : �� obtemos ��� ��.

� ��� �� � ���� ��� � ��� � ���

110

� ��� �� � ��� � � ��� �� � ���� � � ����

� ��� �� � �� � ��� ��� ��

� ��� �� � ��

� ��� �� � ��� � � ��� �� � ���� � � ����

� ��� �� � ��� � ��� ��� ��

� ��� �� � ��

c)

�����

� ��� �� � ��� � ��� � ��� � ��

� � �� � � ��

Note que

� ��� �� � �� ��+� ��� ��

+��+� ��� ��

+�

�� ��� �� �� �� �

Logo, podemos contruir o lagrangeano.

/ � ��� � ��� � ��� � ��� : ���� �� ��

+/

+�� �� � ��� �� : � � : � �� � ��� �

+/

+�� ��� ��� � : � � : � ��� ���

: ���� �� �� �

: �

�� � � ��

Se : � , entao

�� � ��� � � � ��� �� � �

��� ��� � � �� � ���

111

Logo,

������ �� � �

� � �

� � ��

Note que �� � � �� � ��, nao sendo atendida a restricao do problema.

Se : �� , entao

�� � ��� � � ��� ���

��� � ��� �

E ainda,

: ���� �� �� � � �� � � ��� � � ��� �

Entao,

��� � � ���� ��� �

��� � ��� �� � �

��� � ��

� � �

� � ��� �

� � �

Portanto, para : �� , obtemos ��� ��:

� ��� �� � ��� � ��� � ��� � ��

� ��� �� � �� ��� ��� � ��

� ��� �� � ���

112

d)

�����

� ��� �� � �� � ��� � ���

� � ��� �� � ��

Note que

� ��� �� � ��� ���+� ��� ��

+��+� ��� ��

+�

�� ��� �� �� �� �

Logo, podemos contruir o lagrangeano.

/ � �� � ��� � ��� � : ���� ��� ���

+/

+�� ��� �� � �: � � : � ��

��

+/

+�� ��� �� � �: � � : �

��� �

��

: ���� ��� ��� �

: �

��� �� � ��

Se : � , entao

���

�� � � � � ��

��

��� �

�� � � � �

��

� ��

�� �

�� � � � � � �

Note que �� � � � ��, sendo atendida a restricao do problema.

Se : �� , entao

���

�� �

��� �

��

��� ��� � ��� ���

��� � ��

� ��

���

113

E ainda,

: ���� ��� ��� � � ��� ��� �� �

Entao,

��� ��� �

��

���

��

����� ���� ��� �

� � ��

��� � ����� �� �

��� �� �

� � �

Portanto, para : � obtemos �� � e para : �� , obtemos ���� ��:

� ��� �� � �� � ��� � ���

� �� � �

� ���� �� � ��� � ��� ��

� ���� �� � ����

6.3 Restricoes de Igualdade e Desigualdade

Theorem 34 Suponha que � � ��� � � � � ��� ��� � � � � �� sao funcoes�� de � variaveis.

Suponha que �� � �� e uma maximo local de � no conjunto-restricao definido

pelas � desigualdades e � igualdades:

�� ���� � � � � ��� � ��� � � � � �� ���� � � � � ��� � ��

�� ���� � � � � ��� � ��� � � � � �� ���� � � � � ��� � ��

114

Sem perda de generalidade, assuma que as primeiras �� restricoes de desigual-

dade sao ativas e que as demais � � �� restricoes de desigualdade sao inativas

em ��. Suponha que a seguinte qualificacao de restricao nao-degenerada esta

satisfeita em ��. O posto em �� da matriz jacobiana

�� ���� �

�������������������

�$����

���� � � � �$����

����

�$����

���� � � � �$����

����... . . . ...

�$����

���� � � � �$����

����

������

���� � � � ������

����

������

���� � � � ������

����... . . . ...

�����

���� � � � �����

����

�������������������

de derivadas das restricoes de desigualdades ativas e das restricoes de igualdade

e �� ��. Entao, forme o lagrangeano:

/ ���� � � � � ��� :�� � � � � :�� 8�� � � � � 8�� �

(((�

(((�

� ����

:� �� � �� ���� � � � �� :� �� � �� ���� �8� � � �� ���� � � � �� 8� � � �� ����

Entao, existem multiplicadores :��� � � � � :��� 8

��� � � � � 8

�� tais que:

1) �����

���� :�� 8�� � para � � �� � � � � �

2) :�� �� � �� ����� � para 1 � �� � � � � �

3) �� ���� � �� para � �� � � � � �

4) :�� � para 1 � �� � � � � �

5) �� ���� � �� para 1 � �� � � � � �

Example 78 18.10 (exercıcio)

115

Chapter 7

Otimizacao Restrita II

7.1 O Multiplicador

Veremos nesta secao que os multiplicadores desempenham um papel muito im-

portante na analise economica, pois eles medem a sensibilidade do valor otimo da

funcao objetivo a variacoes nos recursos escassos em problemas de maximizacao

economica.

7.1.1 Uma Restricao de Igualdade

Considere o problema:

�����

� ��� ��

� ��� �� �

Vaos considerar como um parametro que muda de problema a problema.

Para cada valor fixo de , �� � �, �� � � e 8� � � denotam asolucao deste prob-

lema. Assim, � ��� � � � �� � �� e o valor otimo da funcao objetivo. Vamos mostrar

que, sob certas condicoes, 8� � � mede a taxa de variacao do valor otimo de � em

relacao ao parametro .

116

Theorem 35 Sejam � e � funcoes �� de duas variaveis. Para qualquer valor fixo

do parametro , seja ��� � � � �� � �� a solucao do problema

�����

� ��� ��

� ��� �� �

com multiplicador correspondente 8� � �. Suponha que ��, �� e 8� sao funcoes

�� de e que a ��;� vale em ��� � � � �� � � � 8� � ��. Entao,

8� � � ��

� � ��� � � � �� � ��

Proof. O lagrangeano do problema e

/ ��� �� 8� � � � ��� �� � 8 � � � ��� ���

Para cada a condicoes de primeira ordem implica que

�+/

+���� � � � �� � � � 8� � � � �

�+�

+���� � � � �� � � � 8� � � � �� 8� � � +�

+���� � � � �� � � � 8� � � � �

�+/

+���� � � � �� � � � 8� � � � �

�+�

+���� � � � �� � � � 8� � � � �� 8� � � +�

+���� � � � �� � � � 8� � � � �

Alem disso, como � ��� � � � �� � �� � , temos

+�

+����� ���

���

� � � �

+�

+����� ���

���

� � � � �

Portanto, usando a Regra da Cadeia e os resultados acima,

� � ��� � � � �� � �� �

+�

+���� � � � �� � ��

���

� � � �

+�

+���� � � � �� � ��

���

� � �

� 8�+�

+���� � � � �� � ��

���

� � � � 8�

+�

+���� � � � �� � ��

���

� � �

� 8��+�

+���� � � � �� � ��

���

� � � �

+�

+���� � � � �� � ��

���

� � �

� 8� �

� 8�

117

7.1.2 Varias Restricoes de Igualdade

.....

7.1.3 Restricoes de Desigualdade

......

7.1.4 Interpretando o Multiplicador

Considere o problema do consumidor

�����

- ��� ��

"��� "�� �

Em que e a renda do consumidor. Entao,

� - ��� � � � �� � �� � 8� � �

mede o quanto o valor otimo se altera quando a renda se altera. Ou seja, o multi-

plicador representa a variacao na utilidade otima resultante da disponibilidade de

uma unidade a mais da renda. As vezes, o multiplicador e chamado preco-sombra,

no caso da renda.

7.2 Teorema do Envelope

Os teoremas da envoltoria nos dizem como o valor otimo da funcao objetivo num

problema de otimizacao parametrizado se altera quando um dos parametros se

modifica.

118

7.2.1 Problemas sem restricao

Theorem 36 Seja � ��� � uma funcao �� de � � �� e do escalar . Para cada

escolha do parametro , considere o problema sem restricoes

����

� ��� �

Seja �� uma solucao do problema. SUponha que �� e uma funcao �� de . Entao

� � ��� � � � � �

+

+ � ��� � � � �

Proof. Pela regra da cadeia

� � ��� � � � � �

��

+�

+� ��� � � � �

��� �

�+�

+ ��� � � � �

�+�

+ ��� � � � �

Pois, �����

��� � � � � � para � � �� ���� � pelas condicoes de primeira ordem.

Este teorema e bastante util porque a derivada parcial no lado direito e bem

mais facil de calcular do que a derivada total no lado esquerdo.

Example 79 Considere o problema de maximizar

� ��� � � � ��� � ���� � ��� � ��

em torno de � �. Como � e um polinomio com coeficiente lıder negativo quando

� �, temos � ��� � �� quando �� ��. Lofo, � possui um maximo global

finito �� � � para cada valor de perto de �. Pelo teorema,

� � ��� � � � � �

+

+ � ��� � � � �

�+

+

�� � ����� � �� ����� � � ����� � ��

� �� � ����� � � �����

119

que e negativo em e cada � �� . Assim, mesmo sem resolver o problema

para �� � � otimo, podemos dizer que � ��� � � � � e uma funcao decrescente de

quando cresce para alem de .

Example 80 Qual sera o efeito o aumento de uma unidade de sobre o valor

maximo de � ��� � � ��� � � � � � �, qaundo maximizamos � em relacao a

� para cada ? Inicialemte calculamos a resposta diretamente. A condicao de

primeira ordem implica que

� � ��� � ���� � � � �� � � �

Logo, colocando este valor em � ��� � obtemos

� ��� � � � � � � � � �

� � � � � � � � �

� � �

que aumenta a uma taxa de � quando cresce. Se, ao inves disso, tivessemos

aplicado o Teorema do Envelope, poderıamos obter rapidamente

� � ��� � � � � �

+

+ � ��� � � � �

�+

+

�� ����� � � �� � � �

� ��� � �

� �

pois �� � � � .

Example 81 Considere uma firma que produz o bem �, em um mercado com-

petitivo, com custo � ���, �� ��� � e ��� ��� � . Suponha que ��� 5�! da

producao esta com esta com defeito. O lucro da firma depende de

� �"� 5� � ����

"5� � � ����

120

Como 5 afeta o lucro otimo?

��

�5�

+

+5�"5�� � � �����

� "�� �

Como esperavamos, quanto maior 5 (proporcao da producao nao defeituosa)

maior e o lucro. Observe que nao precisamos calcular �� para chegar a esta

conclusao.

7.2.2 Problemas com restricao

Theorem 37 Sejam �� ��� ���� �� � �� � �� � �� funcoes ��. Seja �� � � �

���� � � � ���� ��� � �� a solucao do problema de maximizar � �� � ��� � no conjunto-

restricao

�� ��� � � � ���� �� ��� � �

para qualquer escolha do parametro . Suponha que �� � � e os multiplicadores

de Lagrange 8� � � � ���� 8� � � sao funcoes �� de e que vale a ��;�. Entao,

� � ��� � � � � �

+/

+ ��� � � � 8 � � � �

em que / e o lagrangeano natural deste problema.

Example 82 Considere o problema

�����

��

�� � �� � �

Logo, o lagrangeano fica

/ ��� �� :� � � �� � :��� �� � ��

121

Aplicando o Teorema do Envelope,

� � ��� � � � � �

+/

+ ��� � � � �� � � � 8 � � � �

�+

+

����� � :

��� ����� � �����

��

� �: �����

Como ����� � e : � , podemos concluir que o valor otimo decresce quando

aumenta.

7.3 Condicao de Segunda Ordem

Vamos analisar o caos duas variaveis e uma restricao de igualdade. Como estu-

damos anteriormente, se o problema tem � � � variaveis e � � � restricoes, logo

basta conferir o sinal de �� � � � ultimo menor principal, isto e, o determinante

da propria hessiana orlada. Entao, se "�� �3� tem o mesmo sinal de ����� � �,

entao se trata de um maximo local. Como veremos no teorema a seguir, se "�� �3�

tem o mesmo sinal de ����� � ��, entao se trata de um mınimo local.

Theorem 38 Sejam � e � funcoes�� em��. Considere o problema de maximizar

� no conjunto-restricao �� � ���� �� � � ��� �� � ��. Forme o lagrangeano

/ ��� �� 8� � � ��� �� � 8 �� � ��� ���

Suponha que ���� ��� 8�� satisfaz:

�+/

+�� �

+/

+�� �

+/

+8� em ���� ��� 8�� , e

�� "��

����

����

����

����

������

�������

����

������

������

����� em ���� ��� 8��

Entao, ���� ��� e um maximo local de � em ��.

122

Theorem 39 Sejam � e � funcoes�� em��. Considere o problema de maximizar

� no conjunto-restricao �� � ���� �� � � ��� �� � ��. Forme o lagrangeano

/ ��� �� 8� � � ��� �� � 8 �� � ��� ���

Suponha que ���� ��� 8�� satisfaz:

�+/

+�� �

+/

+�� �

+/

+8� em ���� ��� 8�� , e

�� "��

����

����

����

����

������

�������

����

������

������

����� em ���� ��� 8��

Entao, ���� ��� e um mınimo local de � em ��.

Example 83 No problema de maximizar � ���� ��� � ����� no conjunto-restricao

� ���� ��� � �������� � � encontramos seis solucaoes das condicoes de primeira

ordem:

���� ��� 8� �

����

���

�� �

���� �� ��������������

Vamos usar a condicao de segunda ordem para avaliar quais destes pontos sao

maximos e quais sao mınimos locais. A matriz hessiana orlada e:

3 �

����

��� ���

��� /���� /����

��� /���� /����

����

����

��� ���

��� ��� � �8 ���

��� ��� ��8

����

Nos pontos ����������� �

3 �

����

�� �

�� ��� �� �

����

123

e o "�� �3� � ��� � , de modo que os dois pontos sao mınimos locais. Nos

pontos ���� �� ��� �

3 �

����

�� �

�� ��� �� ��

����

e o "�� �3� � �� � , de modo que os dois pontos sao maximos locais. Nos

pontos���

�� ��

3 �

����

���

���

���

����

Para ���� ��� �����, temos "�� �3� � ���

� � de modo que este e um

mınimo local. Para ���� ��� ����

��, temos "�� �3� � ��

� � de modo

que este e um maximo local.

124