数学物理方程• 朱瑞 rzhu@scut.edu.cn 18 号楼 205

• 教材：《数学物理方法》梁昆淼 高等教育出版社 （第三版）。

• 内容：教材第七章至第十二章。

• 答疑时间：随时在我办公室答疑，最好提前预约。

• 总成绩：期末考试： 70% ，期中考试：20% ，平时作业及课堂提问： 10%.

参考书• 哈伯曼 (Haberman R). 《实用偏微分方程》 . 英文版 第 4 版 . 北京：机械工业出版社 , 2005.

• Boas M L. 《 Mathematical methods in the physical sciences 》 . 2nd ed. New York: John Wiley and Sons, Inc., 1983.

• 这两本书都是英文的。我们图书馆都有。

中外教材比较

我们美国麻省理工

关于期末考试

• 我每一到两次课给大家透露一道候选期末考题。期末考试中的三道题目将会从这些题目中抽取。

• 期末考试中的另外两道题目从历次布置的作业题中抽取。

• 请大家理解记牢。

大家想一想

质点运动

偶极子产

生的电场

在空间的

分布

扩散和热传导观看动画

数学物理方程

• 在以前的学习中，我们研究某个物理量（位移、电流）怎样随时间而变化。研究以时间为自变数的常微分方程（质点的运动方程、电路微分方程）

• 研究某个物理量（电场强度、电势、磁感应强度、声压、杂质浓度）在空间的某个区域中的分布情况，以及它怎样随时间而变化。

• 这些问题中的自变数同时包括时间和空间坐标。

( ) ( ) ( )2

2

1, .

t

x

d x diF m Ri t L i d v t

dt dt Cτ τ

−∞= + + =∫

数学物理定解问题

• 物理规律 ------ 偏微分方程（泛定方程）– 解决这些问题，首先必须掌握所研究的物理量在空间中的分布规律和在时间中的变化规律。

• 环境影响 ------ 边界条件（定解条件）– 研究对象不能和环境割裂，“超距作用”不存在，环境影响通过边界传给研究对象。

• 历史影响 ------ 初始条件（定解条件）– 研究问题不能割断历史，历史：即研究对象在某个所谓“初始”时刻的状态，即初始条件。 适当举例加以解

释

数学物理方程的导出——均匀弦的微小横振动

均匀弦的微小横振动——基本物理问题描述

• 绷紧的弦相邻小段之间有拉力，这种拉力叫做弦中张力。

• 张力沿着弦的切线方向。

• 弦乐器的弦很轻，重力相对于弦内张力很小，受力分析时可以忽略重力。

均匀弦的微小横振动——基本物理问题描述

• 沿着弦的方向称为 纵向。

• 垂直于弦的方向称为横向。

• 讨论微小横振动问题，即假设弦沿纵向没有运动和位移；沿横向有微小的运动和位移。

均匀弦的微小横振动

超越质点问题和刚体问题，讨论连续弹性体的运动方程

板书推导并讲解

均匀弦的微小横振动 对位置在 x 到 x+dx 之间的一小段弦进行

受力分析，列出牛顿力学方程

( )( )

11

31

11

2

21

1

1122

1122

tan!3

sin

1cos,12

1cos

sinsin

0coscos

ααααα

ααα

ααρααρ

≈≈+−≈

≈≈+−≈

−==−=

=

TTudx

TTxdx

Fam

均匀弦的微小横振动 对位置在 x 到 x+dx 之间的一小段弦进行

受力分析，列出牛顿力学方程

( )

( )

2 1

1

2

,tan ,

tan

0

x xx

x x dx

x x ttx dx x

tt xx

T T T

u x tu

x

u

T u u u dx

u Tu

α

α

ρ

ρ

+

+

= =

∂= =

∂

=

− =

− =

弦在 x 点的斜率

02 =− xxtt uau

均匀弦的微小横振动，期末试题1

作业（任选一）

1. 推导受横向外力均匀弦的微小横振动。

2. P152页 ~P153页习题： 2, 4, 8

均匀杆的纵振动

弹簧的运动我们怎样研究？

弹性杆就是很硬的弹簧，即倔强系数很大的弹簧。

均匀杆的纵振动

均匀杆的纵振动

板书推导

均匀杆的纵振动

( )

2

0

0

tt x xx dx x

x

tt xx

tt xx

Sdx u YSu YSu

uYS dx

xu Yu

u a u

ρ

ρ

+= −

∂=

−

∂=

=

−

热传导问题

热传导问题热传导定律：热量从高温区域向低温区域传递，热流强度 q与高低温度差的差值成正比，温度变化越剧烈，热流越大。

uq k

x

∂= −∂

热传导定律

热传导问题能量守恒定律：单位时间内流入单位体积内的热量等于该体积内热能的增量。

x x dx

uq q c dx

tρ

+

∂− =∂

能量守恒定律

热传导问题

uq k

x

∂= −∂x x dx

uq q c dx

tρ

+

∂− =∂

板书推导

三维热传导问题u

q kx

∂= −∂

x x dx

uq q c dx

tρ

+

∂− =∂

板书推导

2 0tt xxu a u− =

2 0t xxu a u− =

振动方程

输运方程

2

2

( , )

( , )

t xx

tt xx

u a u f x t

u a u f x t

− =

− =

定解条件

得到这样两类方程，物理问题的解定下来了吗？

数学物理定解问题

• 物理规律 ------ 偏微分方程（泛定方程）– 解决这些问题，首先必须掌握所研究的物理量在空间中的分布规律和在时间中的变化规律。

• 环境影响 ------ 边界条件（定解条件）– 研究对象不能和环境割裂，“超距作用”不存在，环境影响通过边界传给研究对象。

• 历史影响 ------ 初始条件（定解条件）– 研究问题不能割断历史，历史：即研究对象在某个所谓“初始”时刻的状态，即初始条件。 适当举例加以解

释

2

2

( , )

( , )

t xx

tt xx

u a u f x t

u a u f x t

− =

− =

定解条件

从数学角度，微分方程的解存在待定常数，待定常数由初始条件和边界条件确定。例如：

0

22

0 02

, .

1, .

2

dxv x vt x

dt

d xa x at v t x

dt

= = +

= = + +

人口密度分布

温度分布

定解条件对于输运过程（扩散、热传导），初始状态指的是所研究的物理量 u 的初始分布（初始浓度分布、初始温度分布）。因此，初始条件是：( ) ( )

0, , , , , ,

tu x y z t x y zϕ

== 已知函

数

定解条件对于振动过程（弦、杆、膜的振动，较高频率交变电流沿传输线传播，声振动和声波，电磁波），只给出初始“位移”：

( ) ( )0

, , , , , ,t

u x y z t x y zϕ=

= 已知函数

是不够的，还需要给出初始“速度”：

( ) ( )0

, , ,, , .

t

u x y z tx y z

tψ

=

∂=

∂已知函

数

定解条件对于振动过程（弦、杆、膜的振动，较高频率交变电流沿传输线传播，声振动和声波，电磁波），只给出初始“位移”是不够的，还需要给出初始“速度”：

观看动画

定解条件从数学的角度看，就时间 t 这个自变数而言，输运过程的泛定方程只出现一阶的导数 ut ，是一阶微分方程，所以只需一个初

始条件；振动过程的泛定方程则出现二阶的导数 utt ，是二阶微分方程，所以需要

两个初始条件。2 0tt xxu a u− =

2 0t xxu a u− =

振动方程

输运方程

初始条件应当给出整个系统的初始状态，而不仅是系统中个别地点的初始状态：

板书推导

( ),u x t

初始条件应当给出整个系统的初始状态，而不仅是系统中个别地点的初始状态：

( ) ( )( ) ( )

[ ][ ]0

0, / 22 /,

2 / / 2,t

Lh L xu x t

h L L x L L=

= −

稳定场问题

策动力驱动振动问题

可以看作没有初始条件的问题

边界条件研究具体的物理系统，还必须考虑研究对

“ ”象所处的特定 环境 ，而周围环境的影响体现为边界上的物理状况，即边界条件。

从数学角度看，泛定方程出现关于空间位 置的二阶导数 uxx ，所以需要两个边界条

件。

什么是边界？

由连接研究对象和环境的所有点组成的物理区域

对于一维系统，它是两个端点

对于二维系统，它是闭合曲线

对于三维系统，它是封闭曲面

要确定一个由数理方程描述的物理问题的解，必须给定所有边界上的信息：确切说明边界上的物理状况

边界条件常见的线性边界条件，数学上分为三类：

第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量在边界上的数值。

第二类边界条件，规定了所研究物理量在边界外法线方向上方向导数的数值。

第三类边界条件，规定了所研究物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。

边界条件第一类

( ) ( ) ( )0 0 0

0 0 0boundary , ,, , , , , ,

x y zu x y z t f x y z t=

第二类

( )( )

0 0 0

0 0 0boundary , ,

, , ,x y z

uf x y z t

n

∂ =∂

第三类

( ) ( ) ( )0 0 0

0 0 0boundary , ,, , ,n x y z

u Hu f x y z t+ =

具体的例子（第一类边界条件）

弦的两端固定而振动，边界条件为

00, 0

x x Lu u

= == =

具体的例子（第一类边界条件）

热传导问题，杆的两端恒温，边界条件为

( ) ( )Fire Ice0, , ,

x x Lu x t u u x t u

= == =

具体的例子（第二类边界条件）

具体的例子（第二类边界条件）

板书推导

具体的例子（第二类边界条件）

纵振动杆一端受沿外法向方向外力，根据胡克定律，边界条件为

( )x L

F tu

x YS=

∂ =∂

具体的例子（第二类边界条件）

一端有已知热流流入的热传导问题，根据热传导定律，边界条件为

( )x L

uk F tx =

∂− =∂

板书推导

具体的例子（第三类边界条件）

具体的例子（第三类边界条件）

板书推导

具体的例子（第三类边界条件）

杆的一端通过弹簧与固定点连接，经过受力分析，边界条件为

0x L

uKu YS

x =

∂+ =∂

一个完整的定解问题的边界条件可以是三类边界条件的组合，例如：

一端固定另一端受力的杆的纵振动问题的完整边界条件为（第一类和第二类边界条件的组合）

( )00,

xx L

F tuu

x YS==

∂= =∂

一端恒温，另一端有已知热流的热传导问题的完整边界条件为（第一类和第二类边界条件的组合）

( )Fire0,

xx L

uu u k F t

x==

∂= − =∂

……还有其他类型的边界条件

边界条件只要确切说明边界上的物理状况就行。

具体问题具体分析：把物理定律应用到边界上，就能得到需要的边界条件。

衔接条件针对研究区域里的跃变点，泛定方程在跃变点失去意义

板书推导

衔接条件针对研究区域里的跃变点，泛定方程在跃变点失去意义

板书推导

作业

1 . 匀质杆一端固定在墙上，另一端自由，匀质杆在 0 1≤ x≤ x 部分的杨氏模量为

1Y ，在 1< 2x x≤ x 部分的杨氏模量为2Y ，在 2<x x≤ L部分的杨氏模量为 1Y 。写出杆纵振动满足的的泛定方程、初始条件、边界条件和衔接条件。

作业

2 . 匀质导热杆一端在火中烤，火恒温200℃ ，另一端在冰中冷却，冰恒温0℃ ，在初始时刻整个杆的温度都是室温30℃ 。匀质杆在 0 1≤ x≤ x 部分的热传导系数为 1k ，在 1<x x≤ L部分的热传导系数为 2k 。写出匀质杆温度变化满足的的泛定方程、初始条件、边界条件和衔接条件。