i

Penerapan Kalkulus Diferensial Pada Matematika

Ekonomi

Dosen Pengampu: Prof. Dr. Edi Syahputra, M.Pd

Nailul Himmi Hasibuan 814 6172 050

PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA PENDIDIKAN PASCASARJANA

UNIMED

2014

ii

DAFTAR ISI

Daftar Isi ............................................................................................................ i

BAB I. PENDAHULUAN.......................................................................................... 1

1.1 Kalkulus Diferensial ............................................................................................. 1

1.2 Laju Perubahan Rata-rata ..................................................................................... 1

1.3 Laju Perubahan Sesaat ......................................................................................... 2

1.4 Kaidah-kaidah Diferensial .................................................................................... 2

1.4.1 Kaidah Fungsi Konstan .............................................................................. 3

1.4.2 Kaidah Fungsi Linier .................................................................................. 3

1.4.3 Kaidah Fungsi Pangkat............................................................................... 3

1.4.4 Kaidah Fungsi Penjumlahan dan Pengurangan........................................... 4

1.4.5 Kaidah Fungsi Perkalian ............................................................................. 4

1.4.6 Kaidah Fungsi Pembagian .......................................................................... 4

1.4.7 Kaidah Berantai .......................................................................................... 5

1.4.8 Kaidah Logaritma ....................................................................................... 5

1.4.9 Kaidah Eksponensial................................................................................... 6

BAB II. PEMBAHASAN........................................................................................... 7

2.1 Konsep Marginal................................................................................................... 7

2.1.1 Produksi Marginal....................................................................................... 7

2.1.2 Pendapatan Marginal................................................................................... 8

2.1.3 Biaya Marginal............................................................................................ 8

2.2 Konsep Elastisitas ................................................................................................. 9

2.2.1 Elastisitas Permintaan ................................................................................. 9

2.2.2 Elastisitas Penawaran ................................................................................. 10

2.2.3 Elastisitas Produksi..................................................................................... 10

2.3 Maksimasi dan Minimasasi................................................................................... 11

2.4 Pendapatan Konsumsi ........................................................................................... 13

2.5 Pendapatan Tabungan ........................................................................................... 13

BAB III. PENUTUP................................................................................................... 15

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................ 16

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1.KALKULUS DIFRENSIAL

Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang

mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input.

Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara

umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.

Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation). Teorema dasar

kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan. Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif.

Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatanbenda, dan turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan darimomentum suatu benda sama dengan gaya yang

diberikan kepada benda.

Laju reaksi dari reaksi kimia juga merupakan turunan. Dalam riset operasi, turunan

menentukan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan mendesain pabrik. Dengan menerapkan teori permainan, turunan dapat memberikan strategi yang paling baik untukperusahaan yang sedang bersaing. Turunan sering digunakan untuk mencari titik

ekstremum dari sebuah fungsi. Persamaan-persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena alam.

Turunan dan perampatannya (generalization) sering muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak. (http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensial)

1.2.LAJU PERUBAHAN RATA-RATA

Laju perubahan rata-rata suatu fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dalam daerah interval 𝑎 < 𝑥 < 𝑏,

dengan 𝑎 < 𝑏 dituliskan:

𝐿𝑃𝑅 [𝑎, 𝑏] =∆𝑦

∆𝑥=

𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

𝑏 − 𝑎 … … … (1)

Laju perubahan rata-rata ini dapat ditafsirkan secara geometris sebagai ukuran

kecuraman atau kemiringan garis lurus yang menggabungkan titik-titik [a,f(a)] dan

[b,f(b)]. Pada fungsi linier 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 , laju perubahan rata-rata (∆𝑦

∆𝑥) selalu sama

dengan 𝑚 (kemiringan) dalam setiap himpunan bagian daerah defenisinya. Sebaliknya,

laju perubahan rata-rata suatu fungsi kurvalinier 𝑓(𝑥) berubah-rubah menurut gerakan

berurutan sepanjang kurva.

Contoh 1. Laju perubahan rata-rata fungsi linier 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 4 sebesar 5

dalam setiap himpunan bagian daerah defenisinya yaitu:

𝐿𝑃𝑅 [𝑎, 𝑏] =∆𝑦

∆𝑥=

𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

𝑏 − 𝑎=

(5𝑏 + 4) − (5𝑎 + 4)

𝑏 − 𝑎=

5(𝑏 − 𝑎)

(𝑏 − 𝑎)= 5

Oleh karena itu, untuk sembarang bilanga real 𝑎 > 0 diperoleh:

2

𝐿𝑃𝑅[𝑎,𝑎+1] =∆𝑦

∆𝑥=

{[𝑚(𝑎 + 1) + 4] − [𝑚(𝑎) + 4]}

(𝑎 + 1) − 𝑎= 𝑚(𝑎 + 1) − 𝑚(𝑎)

Besarnya kenaikan atau penurunan ordinat fungsi linier untuk setiap pertambahan

satu absis sama dengan LPR-nya. Adakalanya laju perubahan suatu factor terhadap factor

lain diketahui, seddangkan model fungsi yang sesungguhnya antara kedua fungsi tidak

diketahui. Pada kondisi ini, nilai-nilai fungsi tersebut dapat dihampiri dengan

menggunakan laju perubahan rata-ratanya.

1.3.LAJU PERUBAHAN SESAAT

Seperti yang telah dikemukakan diatas, laju perubahan rata-rata fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥)

kontinu pada suatu selang waktu tertentu yang secara geometri ditafsirkan sebagai

kemiringan yang menghubungkan sepasang titik tertentu pada kurva fungsi tersebut. Laju

perubahan sesaat diperoleh melalui proses limit terhadap laju perubahan rata-rata fungsi

𝑦 = 𝑓(𝑥) dengan cara membuat ∆𝑥 menuju nol. Dengan demikian yang dimaksud dengan

laju perubahan sesaat pada 𝑐 = 𝑥 dituliskan sebagai:

𝐿𝑃𝑆[𝑐] = lim∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥= lim

𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)

𝑥 − 𝑐 … … … (2)

Dengan memisalkan 𝑥 = 𝑐 + ∆𝑥 atau ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑐, maka ∆𝑥 → 0 mempunyai arti

yang sama dengan 𝑥 → 𝑐. oleh karena itu bentuk limit diatas dapat ditulis menjadi:

𝐿𝑃𝑆[𝑐] = lim∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

𝑓(𝑐 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑐)

∆𝑥 … … … (3)

Untuk sembarang fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dengan bilangan real 𝑐 kita dapat mengevaluasi

dan menghitung ada tidaknya nilai limit tanpa memandang bentuk tafsiran geometrisnya,

jika nilai limit ini ada pada titik di sekitar 𝑥 = 𝑐, maka secara matematis disebut turunan

fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dititik 𝑥 = 𝑐. Proses untuk mendapatkan turunan semacam ini disebut

pendiferensial fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥). Fungsi 𝑓(𝑥) yang mempunyai turunan dititik 𝑥 = 𝑐

dikatakan terdiferensial di 𝑐. terminologi formal untuk menuliskan turunan di 𝑥 = 𝑐 adalah

𝑓′(𝑐) = lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)

𝑥 − 𝑐… … … (4)

atau

𝑓′(𝑐) = lim∆𝑥→0

𝑓(𝑐 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑐)

∆𝑥 … … … (5)

Ada juga penulisan lambing turunan yang diperkenalkan ahli matematika

kebangsaan Jermal yaitu Gottfried Leibnitz (1646-1716):

𝑑𝑦

𝑑𝑥| 𝑥 = 𝑐 𝑎𝑡𝑎𝑢

𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥| 𝑥 = 𝑐

(Wibisono,1999)

1.4.KAIDAH-KAIDAH DIFERENSIAL

Proses penurunan sebuah fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) disebut diferensiasi yaitu mencari

perubahan 𝑦 berkenaan dengan suatu perubahan 𝑥 apabila perubahan 𝑥 yaitu ∆𝑥 → 0.

Hasil yang diperoleh dari proses pendiferensiasi tersebut disebut derivative. Ada kaidah-

kaidah diferensial dari suatu fungsi, dengan mengetahui turunan fungsi-fungsi tersebut

dapat pula ditenteukan dari beberapa fungsi lainnya.

3

1.4.1. Kaidah Fungsi Konstan

Suatu turunan fungsi konstan 𝑓(𝑥) = 𝑘, dimana 𝑘 adalah suatu konstanta adalah

nol.

𝑓′(𝑐) = lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)

𝑥 − 𝑐= lim

𝑥→𝑐

(𝑘) − (𝑘)

𝑥 − 𝑐= 0 … … (6)

Jadi 𝑓 ′(𝑥) = 0 untuk semua bilangan nyata 𝑥. Oleh karena 𝑓(𝑥) konstan, maka

𝑓(𝑥) tidak berubah untuk setiap perubahan 𝑥. dengan demikian 𝑓 ′(𝑥) = 0 tanpa

memperhatikan berapapun perubahan variable 𝑥.

Contoh 2. Tentukan hasil turunan dari fungsi konstan 𝑓(𝑥) = 12 disekitar 𝑥 = 3.

𝑓(𝑥) = 12 → 𝑓 ′(𝑥) = 0

1.4.2. Kaidah Fungsi Linier

Turunan fungsi linier 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 dimana 𝑏 adalah suatu konstanta adalah sama

dengan 𝑎 yaitu sama dengan koefisien dari 𝑥.

𝑓′(𝑐) = lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)

𝑥 − 𝑐= lim

𝑥→𝑐

(𝑎𝑥 + 𝑏) − (𝑎𝑐 + 𝑏)

𝑥 − 𝑐= lim

𝑥→𝑐

𝑎(𝑥 − 𝑐)

𝑥 − 𝑐= 𝑎 … … (7)

Contoh 3. Tentukan hasil turunan dari fungsi linier 𝑓(𝑥) = 8𝑥 − 3 disekitar 𝑥 = 5.

𝑓(𝑥) = 8𝑥 − 3 → 𝑓 ′(𝑥) = 8

1.4.3. Kaidah fungsi pangkat

Turunan fungsi pangkat 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 adalah sama dengan eksponen 𝑛 dikalikan

dengan variable 𝑥 dipangkatkan 𝑛 − 1 dengan 𝑛 bilangan asli.

𝑓′(𝑐) = lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)

𝑥 − 𝑐= lim

𝑥→𝑐

𝑥𝑛 − 𝑐𝑛

𝑥 − 𝑐

= lim𝑥→𝑐

(𝑥 − 𝑐)(𝑥𝑛−1 + 𝑐𝑥𝑛−2 + ⋯ + 𝑐𝑛−3𝑥−2 + 𝑐𝑛−2𝑥 + 𝑐𝑛−1

𝑥 − 𝑐

= 𝑐𝑛−1 + 𝑐𝑛−1 + ⋯ + 𝑐𝑛−1 ada sebanyak n suku maka:

𝑓 ′(𝑐) = 𝑛𝑐𝑛−1 … … … (8)

Jadi 𝑓 ′(𝑥) = 𝑛𝑥 𝑛−1 untuk semua bilangan real 𝑥. secara umum lambang-lambang

turunan sampai ordo ke-n dituliskan:

𝑓 ′(𝑥) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥) 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎

𝑓 ′′(𝑥) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑2

𝑑𝑥 2𝑓(𝑥) 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎

𝑓 ′′′(𝑥) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑3

𝑑𝑥 3𝑓(𝑥) 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑔𝑎

𝑓𝑛(𝑥) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑛

𝑑𝑥 𝑛𝑓(𝑥) =

𝑑

𝑑𝑥[

𝑑𝑛−1

𝑑𝑥 𝑛−1𝑓(𝑥)] 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑘𝑒 − 𝑛

Contoh 4. Tentukan hasil turunan dari fungsi pangkat 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 6𝑥 pada 𝑥 = 2.

𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 6𝑥 → 𝑓 ′(𝑥) = 4𝑥 3 − 6 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑥 = 2,𝑓 ′(2) = 26

𝑓 ′(𝑥) = 4𝑥 3 − 6 → 𝑓 ′′(𝑥) = 12𝑥2 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑥 = 2, 𝑓 ′′(2) = 48

𝑓 ′′(𝑥) = 12𝑥 2 → 𝑓 ′′′(𝑥) = 24𝑥 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑥 = 2, 𝑓 ′′(2) = 48

(Martono, 1999)

4

1.4.4. Kaidah fungsi penjumlahan dan pengurangan

Turunan bentuk penjumlahan dan pengurangan 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ± 𝑣(𝑥) adalah sama

dengan turunan-turunan fungsi individu 𝑓 ′(𝑥) = 𝑢′ (𝑥) ± 𝑣 ′(𝑥).

𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

[𝑢(𝑥 + ∆𝑥) + 𝑣(𝑥 + ∆𝑥)] ± [𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥)]

∆𝑥

= lim∆𝑥→0

𝑢(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑢(𝑥)

∆𝑥± lim

∆𝑥→0

𝑣(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑣(𝑥)

∆𝑥= 𝑢′(𝑥) ± 𝑣′(𝑥) … … (9)

Dengan demikian untuk fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ± 𝑣(𝑥) ± 𝑤(𝑥) ± 𝑧(𝑥) fungsi

turunannya adalah:

𝑑

𝑑𝑥[𝑢(𝑥) ± 𝑣(𝑥) ± 𝑤(𝑥) ± 𝑧(𝑥)] =

𝑑

𝑑𝑥𝑢(𝑥) ±

𝑑

𝑑𝑥𝑣(𝑥) ±

𝑑

𝑑𝑥𝑤(𝑥) ±

𝑑

𝑑𝑥𝑧(𝑥)

Contoh 5. Tentukan hasil turunan dari fungsi penjumlahan dan pengurangan

𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 𝑥 + 4 pada 𝑥 = 3.

𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 𝑥 + 4 → 𝑓 ′(𝑥) = 6𝑥 − 1; 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 3, 𝑓 ′(3) = 17.

1.4.5. Kaidah perkalian

Turunan bentuk perkalian 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥).𝑣(𝑥) adalah sama dengan fungsi pertama

dikalikan turunan fungsi kedua ditambah fungsi kedua dikalikan dengan turunan fungsi

pertama. Jika ∆𝑥 merupakan pertambahan dalam 𝑥 yang menyebabkan pertambahan

masing-masing 𝑢, 𝑣 dan 𝑦 sebesar ∆𝑢,∆𝑣 dan ∆𝑦 selanjutnya:

𝑦 + ∆𝑦 = (𝑢 + ∆𝑢)(𝑣 + ∆𝑣) = 𝑢𝑣 + 𝑢∆𝑣 + 𝑣∆𝑢 + ∆𝑢∆𝑣 … … (10)

Karena 𝑦 = (𝑢𝑣), maka rumus dengan mengetur kembali dan membanginya

dengan ∆𝑥 diperoleh:

∆𝑦

∆𝑑𝑥= 𝑢

∆𝑣

∆𝑥+ 𝑣

∆𝑢

∆𝑥+ ∆𝑢

∆𝑣

∆𝑥… … . (11)

Pada ∆𝑥 → 0, maka: ∆𝑦

∆𝑥→

𝑑𝑦

𝑑𝑥 dan

∆𝑣

∆𝑥→

𝑑𝑣

𝑑𝑥 dan

∆𝑢

∆𝑥→

𝑑𝑢

𝑑𝑥 sehingga:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥= lim

∆𝑥→0[𝑢

∆𝑣

∆𝑥+ 𝑣

∆𝑢

∆𝑥+ ∆𝑢

∆𝑣

∆𝑥] = 𝑢 lim

∆𝑥→0

∆𝑣

∆𝑥+ 𝑣 lim

∆𝑥→0

∆𝑢

∆𝑥+ [ lim

∆𝑥→0∆𝑢][ lim

∆𝑥→0∆𝑣]

Karena ∆𝑢 = 0, maka fungsi turunan menjadi;

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑢

𝑑𝑣

𝑑𝑥+ 𝑣

𝑑𝑢

𝑑𝑥… … … (12)

Contoh 6. Diketahui fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2(3𝑥 + 2) tentukan nilai turunan pada

𝑥 = 1.

Misalkan 𝑢 = 2𝑥 2 →𝑑𝑢

𝑑𝑥= 4𝑥 dan 𝑣 = 3𝑥 + 2 →

𝑑𝑣

𝑑𝑥= 3 dengan

mensubstitusikan rumus diatas, diperoleh:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑢

𝑑𝑣

𝑑𝑥+ 𝑣

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 2𝑥 2(3) + 4𝑥(3𝑥 + 2) = 6𝑥 2 + (12𝑥 2 + 8𝑥) = 18𝑥 2 + 8𝑥

Pada 𝑥 = 1, maka nilai 𝑓 ′(1) = 18(1)2 + 8(1) = 26.

1.4.6. Kaidah pembagian

Turunan bentuk hasil bagi 𝑓(𝑥) =𝑢(𝑥)

𝑣(𝑥) adalah sama dengan penyebut kali turunan

pertama pembilang dikurangi pembilang kali turunan pertama penyebut, semuanya dibagi

kuadrat penyebutnya. Misalkan 𝑢 = 𝑓(𝑥).𝑣(𝑥), maka:

5

𝑢′(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑣 ′(𝑥) + 𝑓 ′(𝑥).𝑣(𝑥)

𝑓 ′(𝑥). 𝑣(𝑥) = 𝑢′(𝑥) − 𝑓(𝑥).𝑣 ′(𝑥)

𝑓 ′(𝑥) =𝑢′(𝑥) − 𝑓(𝑥).𝑣 ′(𝑥)

𝑣(𝑥)

Karena 𝑓(𝑥) =𝑢(𝑥)

𝑣(𝑥), maka bentuk akhir dapat ditulis menjadi

𝑓 ′(𝑥) =𝑢′(𝑥) −

𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)

. 𝑣 ′(𝑥)

𝑣(𝑥)=

𝑢′ (𝑥)𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥).𝑣 ′(𝑥)

[𝑣(𝑥)]2… … (13)

Contoh 7. Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = 3𝑥/(5𝑥 − 2) tentukan nilai turunan pada 𝑥 =

1.

Misalkan 𝑢 = 3𝑥 →𝑑𝑢

𝑑𝑥= 3 dan 𝑣 = 5𝑥 − 2 →

𝑑𝑣

𝑑𝑥= 5 dengan mensubstitusikan

rumus diatas, diperoleh:

𝑓 ′(𝑥) =𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥). 𝑣 ′(𝑥)

[𝑣(𝑥)]2=

3(5𝑥 − 4) − 3𝑥(5)

(5𝑥 − 4)2=

15𝑥 − 12 − 15𝑥

(5𝑥 − 4)2=

−12

(5𝑥 − 4)2

Untuk nilai 𝑥 = 1 → 𝑓 ′(𝑥) =−12

(5(1)−4)2 = −12

1.4.7. Kaidah berantai

Suatu fungsi turunan (𝑑𝑦

𝑑𝑥) fungsi dari fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑔) dimana 𝑔 = ℎ(𝑥) adalah

sama dengan turunan fungsi pertama berkaitan dengan 𝑔 dikalikan dengan turunan fungsi

kedua berkaitan dengan 𝑥. Misalkan 𝑦 = 𝑓𝑜𝑔 dimana 𝑓(𝑔) dan 𝑔(ℎ(𝑥) masing-masing

mempunyai turunan disetiap titik, maka (𝑓𝑜𝑔𝑜ℎ) juga mempunyai turunan di setiap titik

dan berlaku:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑔.𝑑𝑔

𝑑𝑥… … (14)

Jiak 𝑦 = 𝑓(𝑧),𝑧 = 𝑔(𝑡) dan 𝑡 = ℎ(𝑥), fungsi 𝑓, 𝑔, ℎ mempunyai turunan disetiap titik,

maka (𝑓𝑜𝑔𝑜ℎ) juga mempunyai turunan di setiap titik berlaku:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑧.𝑑𝑧

𝑑𝑡.𝑑𝑡

𝑑𝑥… … (15)

Contoh 8. Diketahui fungsi 𝑦 = (𝑥 2 + 5)2 tentukan nilai turunan pada 𝑥 = 1.

Misalkan 𝑢 = 𝑥 2 + 5 →𝑑𝑢

𝑑𝑥= 2𝑥; 𝑦 = 𝑢2 →

𝑑𝑦

𝑑𝑢= 2𝑢

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢.𝑑𝑢

𝑑𝑥= 2𝑢(2𝑥) = 4𝑢𝑥

Karena 𝑢 = 𝑥 2 + 5 → 4𝑥(𝑥 2 + 5) = 4𝑥 3 + 20𝑥

Untuk 𝑥 = 1 maka 𝑓 ′(𝑥) = 4(1)3 + 20(1) = 24

1.4.8. Kaidah logaritma

Suatu fungsi logaritma 𝑓(𝑥) = log 𝑔(𝑥) dapat dicari fungsi turunannya yaitu:

𝑓 ′(𝑥) =𝑔′(𝑥)

𝑔(𝑥).

1

ln 𝑎… … (16)

Contoh 9. Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = ln(2𝑥 + 3)2 . tentukan 𝑓 ′(𝑥)

Misalkan 𝑔(𝑥) = (2𝑥 + 3)2 → 𝑔′(𝑥) = 4(2𝑥 + 3)

6

𝑓 ′(𝑥) =𝑔′(𝑥)

𝑔(𝑥).

1

ln 𝑎=

4(2𝑥 + 3)

(2𝑥 + 3)2 ln 𝑒

Untuk ln 𝑒 = 1 maka

𝑓 ′(𝑥) =4

2𝑥 + 3

1.4.9. Kaidah eksponensial

Dengan menggunakan aturan rantai dapat mencari fungsi yang berbentuk 𝑓(𝑥) =

𝑔(𝑥)ℎ(𝑥), dimana 𝑔(𝑥) > 0 untuk setiap himpunan definitf 𝑥. Kaidah eksponensial dapat

membuktikan rumus-rumus turunan yang berbentuk 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥).ℎ(𝑥) atau

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)/ℎ(𝑥).

1. Jika 𝑔 dan ℎ keduanya mempunyai turunan, 𝑔 > 0 dan 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥),

hitunglah 𝑓 ′(𝑥). Dari 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) diperoleh 𝑙𝑛|𝑓(𝑥)| = ℎ(𝑥). ln|𝑔(𝑥)|.

Jadi, 𝑓′ (𝑥)

𝑓(𝑥)= ℎ(𝑥).

𝑔′ (𝑥)

𝑔(𝑥)+ ℎ′(𝑥). ln|𝑔(𝑥)|.

𝑓 ′(𝑥) = 𝑓(𝑥) [ℎ(𝑥).𝑔′(𝑥)

𝑔(𝑥)+ ℎ′(𝑥). ln|𝑔(𝑥)|] … … (17)

Contoh 10. Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 . tentukan 𝑓 ′(𝑥)

Misal 𝑔(𝑥) = 𝑎 → 𝑔′(𝑥) = 0; ℎ(𝑥) = 𝑥 → ℎ′(𝑥) = 1

𝑓 ′(𝑥) = 𝑎𝑥 [1.0

𝑎+ 1. ln|𝑎|] = 𝑎𝑥 [0 + ln|𝑎|]

Jadi

𝑓 ′(𝑥) = 𝑎𝑥 ln 𝑎

2. Rumus turunan berbentuk perkalian 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). ℎ(𝑥) ataupun rumus

pembagian 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)/ℎ(𝑥) dapat diambil turunan logaritma.

Bentuk perkalian: ln 𝑓(𝑥) = ln 𝑔(𝑥) + ln ℎ(𝑥)

Bentuk pembagian : ln 𝑓(𝑥) = ln 𝑔(𝑥) − ln ℎ(𝑥)

Dapat dituliskan

𝑓 ′(𝑥)

𝑓(𝑥)=

𝑔′(𝑥)

𝑔(𝑥)±

ℎ′(𝑥)

ℎ(𝑥) → 𝑓 ′(𝑥) = 𝑓(𝑥) [

𝑔′(𝑥)

𝑔(𝑥)±

ℎ′(𝑥)

ℎ(𝑥)] … (18)

Contoh 11. Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 2)/𝑒𝑥 . tentukan 𝑓 ′(𝑥)

Misal 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 2 → 𝑔′(𝑥) = 3; ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥 → ℎ′(𝑥) = 𝑒𝑥

𝑓 ′(𝑥) = 𝑓(𝑥) [𝑔′(𝑥)

𝑔(𝑥)−

ℎ′(𝑥)

ℎ(𝑥)] =

3𝑥 − 2

𝑒𝑥[

3

3𝑥 − 2−

𝑒𝑥

𝑒𝑥]

=3𝑥 − 2

𝑒𝑥[

3

3𝑥 − 2− 1] =

3𝑥 − 2

𝑒𝑥[

3

3𝑥 − 2−

3𝑥 − 2

3𝑥 − 2]

= [3𝑥 − 2

𝑒𝑥] [

−3𝑥 + 5

3𝑥 − 2]

(Purcell,1987)

7

BAB II

PEMBAHASAN

PENERAPAN KALKULUS DEFERENSIAL

PADA MATEMATIKA EKONOMI

2.1.KONSEP MARGINAL

Istilah marginal digunakan pada perubahan sedikit demi sedikit pada

pendapatan, biaya, produksi, keuntungan, cash-flow dan juga input-output. Secara

matematik pendapatan marginal dan biaya marginal dapat dirunkan dari fungsi total

masing-masing.

2.1.1. Produksi Marginal

Produksi fisik marginal (MPP) didefenisikan sebagai output tambahan yang

dihasilkan dari adanya penggunaan satu unit tambahan input (𝑀𝑃𝑃 =∆𝑇𝑃𝑃

∆𝑄). Jika

perubahan ∆𝑄 → 0, maka turunan pertama dari fungsi produksi marginal dinyatakan

sebagai:

𝑀𝑃𝑃 = lim∆𝑄→0

∆𝑇𝑃𝑃

∆𝑄=

𝜕𝑇𝑃𝑃

𝜕𝑄… … (19)

Produksi fisik rata-rata akan sama dengan marginal produksi fisik (𝐴𝑃𝑃 =

𝑀𝑃𝑃) yaitu pada saat produksi rata-rata mencapai maksimum. Secara geometris, dapat

ditunjukan oleh perpotongan kurva produksi rata-rata pada posisi maksimum dengan kurva

produksi marginalnya.

Contoh 12. Diketahui fungsi produksi pada persamaan 𝑃 = 60𝑄2 − 𝑄3

dimana P output produksi dan Q input produksi.

a. Carilah fungsi produksi marginal dan fungsi produksi rata-rata

b. Hitunglah produksi total, produksi marginal dan produksi rata-rata jika

digunakan input sebanyak Q=10 unit.

c. Berapa total biaya maksimumnya.

Penyelesaian:

𝑃 = 𝑇𝑃𝑃 = 60𝑄2 − 𝑄3

a. Fungsi produksi marginal, 𝑀𝑃𝑃 =𝜕𝑇𝑃𝑃

𝜕𝑄= 120𝑄 − 3𝑄2

Fungsi produksi rata-rata, 𝐴𝑃𝑃 =𝑇𝑃𝑃

𝑄= 60𝑄 − 𝑄2

b. Pada 𝑄 = 10 unit, maka

𝑇𝑃𝑃 = 60𝑄2 − 𝑄3 = 60(10)2 − (10)3 = 6000 − 1000 = 5000

𝑀𝑃𝑃 = 120𝑄 − 3𝑄2 = 120(10) − 3(10)2 = 1200 − 300 = 900

𝐴𝑃𝑃 = 60𝑄 − 𝑄2 = 60(10) − (10)2 = 600 − 100 = 500

c. Total produksi maksimum (TPP) dicapai pada saat MPP=0, yaitu:

120𝑄 − 3𝑄2 = 0 → 𝑄(120 − 3𝑄) = 0 diperoleh 𝑄 =120

3= 40unit

Jadi, TPP maksimum

60𝑄 − 𝑄2 = 60(40) − (40)2 = 96.000 − 64.000 = 32.000

8

2.1.2. Pendapatan Marginal

Pendapatan marginal dapat didefenisikan sebagai perubahan pendapatan total yang

diakibatkan oleh penjualan suatu barang tambahan, yaitu:

𝑀𝑅 =𝑑𝑇𝑅

𝑑𝑄… … (20)

Pendapatan rata-rata dapt dinyatakan sebagai pendapatan toal(TR) yang dihasilkan

dari setiap unit barang yang diminta yaitu

𝐴𝑅 =𝑇𝑅

𝑄… … (21)

Pada saat pendapatan rata-rata mencapai maksimum maka pendapatan rata-ratanya

sama dengan pendapatan marginalnya (AR=MR)

Contoh 13. Diketahui fungsi permintaan pada persamaan 𝑄 = 15 − 𝑃 .

a. Carilah fungsi produksi marginal yang berhubungan dengan fungsi permintaan

tersebut

b. Hitunglah pendapatan marginal dan rata-rata pada 𝑄 = 3unit

Penyelesaian:

Fungsi permintaan 𝑄 = 15 − 𝑃 → 𝑃 = 15 − 𝑄

Fungsi pendapatan total, 𝑇𝑅 = 𝑃𝑄 = (15 − 𝑄)𝑄 = 15𝑄 − 𝑄2

a. Fungsi pendapatan marginal, 𝑀𝑅 =𝑑𝑇𝑅

𝑑𝑄= 15 − 2𝑄

Untuk 𝑄 = 3unit, 𝑀𝑅 = 15 − 2(3) = 9unit

b. Fungsi pendapatan rata-rata, 𝐴𝑅 =𝑇𝑅

𝑄=

15𝑄 −𝑄2

𝑄= 15 − 𝑄

Untuk 𝑄 = 3unit, 𝐴𝑅 = 15 − (3) = 12unit

2.1.3. Biaya Marginal

Biaya marginal didefenisikan sebagai perubahan dalam biaya total yang

dikeluarkan untuk menghassilkan satu unit tambahan output.

𝑀𝐶 =𝑑𝑇𝐶

𝑑𝑄… … (22)

Biaya rata-rata (AC) merupakan hasil bagi biaya total terhadap jumlah barang yang

diproduksi yang dinyatakan 𝐴𝐶 =𝑇𝐶

𝑄. Pada saat biaya rata-rata mencapai minimum maka

biaya rata-rata sama dengan biaya marginalnya (AC=MC).

Contoh 14. Jika fungsi biaya suatu perusahaan berdasrkan fungsi 𝑇𝐶 = 0,5𝑄2 +

2𝑄 + 20.

a. Carilah fungsi produksi marginal

b. Fungsi biaya rata-rata pada 𝑄 = 2 unit

Diketahui: fungsi biaya total 𝑇𝐶 = 0,5𝑄2 + 2𝑄 + 20.

a. Fungsi biaya marginal, 𝑀𝐶 =𝑑𝑇𝐶

𝑑𝑄= 𝑄 + 2

Untuk 𝑄 = 2unit, maka 𝑀𝐶 = 2 + 2 = 4unit.

b. Fungsi biaya rata-rata, 𝐴𝐶 =𝑇𝐶

𝑄

𝐴𝐶 =𝑇𝐶

𝑄=

0,5𝑄2 + 2𝑄 + 20

𝑄= 0,5𝑄 + 2 +

20

𝑄

9

Untuk 𝑄 = 2unit, maka 𝐴𝐶 = 0,5(2) + 2 +20

(2)= 1 + 2 + 10 = 13unit

2.2.KONSEP ELASTISITAS

Elastisitas dari suatu fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) berkenaan dengan x dapat didefinisikan sebagai :

𝜂 = 𝐸𝑦

𝐸𝑥= lim

∆𝑥→0

(∆𝑦𝑦 )

(∆𝑥𝑥 )

= 𝑑𝑦

𝑑𝑥 .

𝑥

𝑦… … (23)

Ini berarti bahwa elastisitas 𝑦 = 𝑓(𝑥) merupakan limit dari rasio antara perubahan

relative dalam y terhadap perubahan relative dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil

atau mendekati nol. Dengan terminology lain, elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan

sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap perubahan x.

2.2.1 Elastisitas Permintaan

Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga permintaan, price

elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah

barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara

persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga.

Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya :

𝜂𝑑 = %∆𝑄𝑑

%∆𝑃=

𝐸𝑄𝑑

𝐸𝑃= lim

∆𝑃→0

(∆𝑄𝑑

𝑄𝑑)

(∆𝑃𝑃 )

= 𝑑𝑄𝑑

𝑑𝑃.

𝑃

𝑄𝑑

… … (24)

Dimana 𝑑𝑄𝑑

𝑑𝑃 tak lain adalah Q'd atau f'(P)

Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila |𝜂𝑑| > 1, elastic –

uniter jika |𝜂𝑑| = 1, dan inelastic bila |𝜂𝑑| < 1. Barang yang permintaanya elastic

mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut berubah sebesar persentase tertentu,

maka permintaan terhadapnya akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase

yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya.

Contoh 15:

Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan 𝑄𝑑 = 25 – 3 𝑃2 .

tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 5.

𝑄𝑑 = 25 – 3 𝑃2 𝜂𝑑 = 𝑑𝑄𝑑

𝑑𝑃 .

𝑃

𝑄𝑑= −6𝑃 .

𝑃

25−3𝑃2 .

𝑄′𝑑 = 𝑑𝑄𝑑

𝑑𝑝= −6𝑃 = −6 (5).

5

25−75= 3 (𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑘)

ηd = 3 berarti bahwa apabila, dari kedudukan 𝑃 = 5, harga naik (turun) sebesar 1 % maka

jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3 %.

10

2.2.2 Elastisitas Penawaran

Elastisitas penawaran (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga penawaran, price

elasticity of supply) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah

barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara

persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f(P), maka

elastisitas penawarannya :

𝜂𝑠 = %∆𝑄𝑠

%∆𝑃=

𝐸𝑄𝑠

𝐸𝑃= lim

∆𝑃→0

(∆𝑄𝑠

𝑄𝑠)

(∆𝑃𝑃 )

= 𝑑𝑄𝑠

𝑑𝑃.

𝑃

𝑄𝑠

… … (25)

Dimana 𝑑𝑄𝑠

𝑑𝑃 tak lain adalah Q's atau f'(P).

Penawaran suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila 𝜂𝑠 > 1, elastic – uniter

jika 𝜂𝑠 = 1 dan inelastic bila 𝜂𝑠 < 1. Barang yang penawarannya inelastic mengisyaratkan

bahwa jika harga barang tersebut (secara searah) dengan persentase yang lebih kecil

daripada persentase perubahan harganya.

Contoh 16 :

Fungsi penawaran suatu barang dicerminkan oleh 𝑄𝑠 = −200 + 7 𝑃2. Berapa

elastisitas penawarannya pada tingkat harga P = 10 dan P = 15 ?

𝑄𝑠 = −200 + 7 𝑃2 𝜂𝑠 = 𝑑𝑄𝑠

𝑑𝑃 .

𝑃

𝑄𝑠= 14𝑃 .

𝑃

−200 +7𝑃2

𝑄’𝑠 =𝑑𝑄𝑠

𝑑𝑃 = 14 𝑃

Pada 𝑃 = 10, 𝜂𝑠 = 140 . 10

−200 +700= 2,8

Pada 𝑃 = 15, 𝜂𝑠 = 210 . 15

−200 +1575= 2,3

𝜂𝑠 = 2,8 berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 10, harga naik (turun) sebesar 1

% maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,8%. Dan

𝜂𝑠 = 2,3 berarti bahwa apabila dari kedudukan 𝑃 = 15, harga naik (turun) sebesar 1%

maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,3%

2.2.3 Elastisitas Produksi

Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan

jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input)

yang digunakan. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran

terhadap persentase perubahan jumlah masukan. Jika P melambangkan jumlah produk

yang dihasilkan sedangkan X melambangkan jumlah factor produksi yang digunakan, dan

fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(X), maka efisiensi produksinya :

11

𝜂𝑝 = %∆𝑃

%∆𝑋=

𝐸𝑃

𝐸𝑋= lim

∆𝑋→0

(∆𝑃𝑃 )

(∆𝑋𝑋 )

= 𝑑𝑃

𝑑𝑋.𝑋

𝑃… … (25)

Dimana 𝑑𝑃

𝑑𝑋 adalah produk marjinal dari X [P' atau f' (X)].

Contoh 17 :

Fungsi produksi suatu barang ditunjukan oleh persamaan 𝑃 = 6 𝑥2 – 𝑥 3. Hitunglah

elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan factor produksi sebanyak 3 unit dan 7

unit.

𝑃 = 6 𝑥2 – 𝑥 3 𝑃’ =𝑑𝑃

𝑑𝑋 = 12 𝑥 – 3 𝑥2

𝜂𝑝 = 𝑑𝑃

𝑑𝑋 .

𝑋

𝑃= (12 𝑋 − 3 𝑋2).

𝑥

(6 𝑥2 − 𝑥)

Pada 𝑥 = 3, 𝜂𝑝 = (36 − 27) . 3

(54−27)= 1

Pada 𝑥 = 7, 𝜂𝑝 = (84 − 147) . 7

(294−343)= 9

𝜂𝑝 = 1 berarti bahwa, dari kedudukan 𝑥 = 3, maka jika jumlah input dinaikkan

(diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 1 %.

Dan 𝜂𝑝 = 9 berarti bahwa, dari kedudukan 𝑥 = 7, maka jika jumlah input dinaikkan

(diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 9 %.

2.3.MAKSIMASI DAN MINIMASASI

Masalah maksimasi dan minimasi akan dikatakan sebagai optimisasi yang biasanya

ditemukan pada saat menentukan kombinasi yang dioptimum dari barang/jasa yang

dihasilkan atau akan dijual oleh perusahaan, menentukan camburan bahan-bahan yang

terbaik akan tetapi menekan biaya sekecil-kecilnya, dan lainnya. Untuk mencapai suatu

maksimum atau minimum relative suatu fungsi harus berada pada tidak naik atau turunnya

pada titik itu, dimana turunannya nol.

Syarat pertama untuk mencari nilai-nilai optimum dari suatu fungsi bebas 𝑦 = 𝑓(𝑥)

dibutuhkan syarat perlu yaitu turunan pertama harus nol. Syarat kedua merupakan syarat

cukup dimana turunan kedua negative untuk nilai maksimum relative dan positif untuk

nilai minimum relative. Taksiran secara gometris fungsi kuatrat 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

mempunyai turunan pertama yaitu 𝑓 ′(𝑥) = 2𝑎𝑥 + 𝑏 dan turunan kedua 𝑓 ′′ = 2𝑎.

1. Untuk 𝑎 > 0: Kurva 𝑓( 𝑥) berupa fungsi linier yang memotong sumbu-X di

titik stationer 𝑥 = −𝑏

2𝑎. Karena 𝑓 ′′ (−

𝑏

2𝑎) < 0 maka kurva fungsi 𝑓 ′(𝑥)

bersifat turun disekitar titik stationer 𝑥 = −𝑏

2𝑎. Akan tetapi𝑓 ′ (−

𝑏

2𝑎) = 0,

sehingga pada sebelah kiri titik stationer diperoleh 𝑓 ′(𝑥) > 0 dan disebelah

kananya diperoleh 𝑓 ′(𝑥) < 0. Dengan demikian menurut uji turunan pertama

fungsi 𝑓(𝑥) mencapai maksimum pada titik stationer 𝑥 = −𝑏

2𝑎.

12

2. Untuk 𝑎 < 0: Kurva 𝑓′( 𝑥) berupa fungsi linier yang memotong sumbu-X di

titik stationer 𝑥 = −𝑏

2𝑎. Karena 𝑓 ′′ (−

𝑏

2𝑎) > 0 maka kurva fungsi 𝑓 ′(𝑥)

bersifat turun disekitar titik stationer 𝑥 = −𝑏

2𝑎. Akan tetapi𝑓 ′ (−

𝑏

2𝑎) = 0,

sehingga pada sebelah kiri titik stationer diperoleh 𝑓 ′(𝑥) < 0 dan disebelah

kanannya diperoleh 𝑓 ′(𝑥) > 0. Dengan demikian menurut uji turunan pertama

fungsi 𝑓(𝑥) mencapai minimum pada titik stationer 𝑥 = −𝑏

2𝑎.

Untuk suatu maksimum relative: 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0;

𝑑2 𝑦

𝑑𝑥2 < 0

Untuk suatu minimum relative: 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0;

𝑑2 𝑦

𝑑𝑥2 > 0

Fungsi keuntungan dapat didefenisikan berupa selesih dari pendapatan dan biaya

produksi. 𝐿 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶 = 𝑓(𝑄). Keuntungan maksimum dapat diperoleh dari turunan

pertama fungsi pendapatan(MR) dan fungsi biaya (MC) adalah nol. Dan turunan kedua

harus negative untuk maksimum dan positif untuk minimum.

𝑑𝐿

𝑑𝑄= 𝐿′𝑄 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑀𝑅 = 𝑀𝐶 … … (26)

𝑑2𝐿

𝑑𝑄2= 𝐿′′(𝑄) < 0 … … (27)

Contoh 18: fungsi permintaan suatu perusahaan 𝑃 = 300 − 𝑄 dan biaya rata-rata

yang dikeluarkan ditunjukkan oleh fungsi 𝐴𝐶 = 𝑄 − 200 −20000

𝑄. Tentukanlah a.

memaksimumkan pendapatan total, b. meminumkan biaya, dan c. memaksimumkan

keuntungan.

a. Pendapatan total, 𝑇𝑅 = 𝑃𝑄 = (300 − 𝑄)𝑄 = 300𝑄 − 𝑄2

Pendapatan TR maksimum jika, 𝑑𝑇𝑅

𝑑𝑄= 300 − 2𝑄 = 0 → 𝑄 = 150unit

𝑑2 𝑇𝑅

𝑑𝑄2 = −2 < 0. Karena pada 𝑄 = 150 unit pendapatan akan maksimum,

𝑇𝑅 = 300(150) − (150)2 = 22.500

b. Biaya total, 𝑇𝐶 = 𝐴𝐶. 𝑄 = (𝑄 − 200 −20000

𝑄)𝑄 = 𝑄2 − 200𝑄 − 20000

Biaya TC minimum jika, 𝑑𝑇𝐶

𝑑𝑄= 2𝑄 − 200 = 0 → 𝑄 = 100unit

𝑑2 𝑇𝐶

𝑑𝑄2 = 2 > 0. Karena pada 𝑄 = 100 unit pendapatan akan maksimum, 𝑇𝑅 =

(100)2 − 200(100) − 20000 = 10000

c. Fungsi laba, 𝐿 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶 = (300𝑄 − 𝑄2) − (𝑄2 − 200𝑄 − 20000) =

−2𝑄2 + 500𝑄 − 20000

Laba maksimum jika, 𝑑𝐿

𝑑𝑄= −4𝑄 + 500 = 0 → 𝑄 = 125 unit

𝑑2𝐿

𝑑𝑄2 = −4 < 0. Karena pada 𝑄 = 125 unit pendapatan akan maksimum, 𝐿 =

−2(125)2 + 500(125) − 20000 = 11250

13

2.4.Pendapatan konsumsi

Dalam ekonomi makro, pendapatan masyarakat suatu negara secara keseluruhan

(pendapatan nasional) dialokasikan ke dua kategori penggunaan, yakni dikonsumsi dan

ditabung. Jika pendapatan dilambang dengan Y, sedangkan konsumsi dan tabungan

masing – masing dilambangkan dengan C dan S, maka kita dapat merumuskan persamaan:

𝑌 = 𝐶 + 𝑆 … … (28)

Baik konsumsi nasional maupun tabungan nasional pada umumnya dilambangkan

sebagai fungsi linear dari pendapatan nasional. Keduanya berbanding lurus dengan

pendapatan nasional. Semakin besar pendapatan nasional maka konsumsi dan tabungan

akan semakin besar pula. Sebaliknya apabila pendapatan berkurang, konsumsi dan

tabungan pun akan berkurang pula, sehingga :

𝑑𝑌 = 𝜕𝐶 + 𝜕𝑆 diferensial

Karena 𝜕𝐶 + 𝜕𝑆 = 𝑑𝑌 𝑑𝑌/𝑑𝑌 = ¶𝐶/𝑑𝑌 + ¶𝑆/𝑑𝑌 derivasi

¶𝐶/𝑑𝑌 = 𝑀𝑃𝐶 (Marginal Propensity to Consume)

¶𝑆/𝑑𝑌 = 𝑀𝑃𝑆 (Marginal Propensity to Save)

Sehingga terbukti bahwa MPC + MPS = 1

(Supangat, 2006)

2.5.Pendapatan Tabungan

Konsep diferensial dengan mudah dapat diperluas menjadi fungsi yang terdiri dari

dua atau lebih variabel bebas. Perhatikan fungsi tabungan berikut ini :

𝑆 = 𝑆 (𝑌, 𝑖) … … (29)

Dimana 𝑆 adalah tabungan (savings). 𝑌 adalah pendapatan nasional (national

income), dan i adalah suku bunga (interes rate). Fungsi ini kita asumsikan seperti semua

fungsi yang akan kita gunakan disini diasumsikan kontinu dan memiliki derivative

(parsial) kontinu, atau secara simbolis, 𝑓 Є 𝐶′. Derivatif parsial 𝛿𝑆/𝛿𝑌 mengukur

kecenderungan marginal (marginal propensity to save). Jadi, untuk semua perubahan

dalam 𝑌, 𝑑𝑌, perubahan 𝑆 hasilnya dapat diaproksima dengan kuantitas (𝛿𝑆

𝛿𝑌) 𝑑𝑌 . Demikian

juga jika perubahan dalam i, di kita dapat (𝛿𝑆

𝛿𝑖) 𝑑𝑖 sebagai aproksimasi untuk menentukan

perubahan S yang dihasilkan. Jadi perubahan total dalam S diaproksimsi dengan diferensial

𝑑𝑆 = (𝜕𝑆

𝜕𝑌) 𝑑𝑌 + (

𝜕𝑆

𝜕𝑖) 𝑑𝑖 … … (30)

Atau dengan menggunakan notasi yang lain,

𝑑𝑆 = 𝑆𝑌 𝑑𝑌 + 𝑆𝑖𝑑𝑖 … … (31)

Perhatikan bahwa kedua derivative parsial Sy dan Si kembali menaikan peran sebagai

“pengubah” yang masing – masing mengubah dY dan di menjadi dS yang bersesuaian.

Pernyataan dS, yang merupakan jumlah perubahan – perubahan hasil aproksimasi dari

14

kedua sumber, disebut diferensial total dari fungsi tabungan. Dan proses untuk mencari

diferensial total ini disebut diferensiasi total (total differentiation), sebaliknya kedua

komponen yang ditambahkan di ruas kanan disebut sebagai diferensial parsial dari fungsi

tabungan.

Tentu saja ada kemungkinan dimana Y dapat berubah sedangkan i konstan. Dalam

hal ini dY= 0 dan diferensial total akan disederhanakan menjadi diferensial parsial: 𝑑𝑆 =

(𝛿𝑆

𝛿𝑌) 𝑑𝑌 . Dengan membagi kedua sisi persamaan dengan dY diperoleh

(𝛿𝑆

𝛿𝑌) = (

𝑑𝑆

𝑑𝑌) i konstan

(Dumairy, 1991)

15

BAB III

PENUTUP

Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan

perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Derivasi adalah hasil

yang diperoleh dari proses diferensiasi.

Istilah marginal digunakan pada perubahan sedikit demi sedikit pada

pendapatan, biaya, produksi, keuntungan, cash-flow dan juga input-output. Secara

matematik pendapatan marginal dan biaya marginal dapat dirunkan dari fungsi total

masing-masing.

Elastisitas 𝑦 = 𝑓(𝑥) merupakan limit dari rasio antara perubahan relative dalam

y terhadap perubahan relative dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil atau

mendekati nol. Dengan terminology lain, elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan

sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap perubahan x.

Dalam ekonomi makro, pendapatan masyarakat suatu negara secara keseluruhan

(pendapatan nasional) dialokasikan ke dua kategori penggunaan, yakni dikonsumsi dan

ditabung. Jika pendapatan dilambang dengan Y, sedangkan konsumsi dan tabungan

masing – masing dilambangkan dengan C dan S, maka kita dapat merumuskan persamaan:

Y = C + S

Semakin besar pendapatan nasional maka konsumsi dan tabungan akan semakin

besar pula. Sebaliknya apabila pendapatan berkurang, konsumsi dan tabungan pun akan

berkurang pula, sehingga : DY = ¶C + ¶S diferensial

S = S (Y,i), dimana S adalah tabungan (savings). Y adalah pendapatan nasional

(national income), dan i adalah suku bunga (interes rate).

Demikian juga jika perubahan dalam i, di kita dapat (𝛿𝑆

𝛿𝑖) 𝑑𝑖 sebagai aproksimasi

untuk menentukan perubahan S yang dihasilkan. Jadi perubahan total dalam S

diaproksimsi dengan diferensial

𝑑𝑆 = (𝜕𝑆

𝜕𝑌) 𝑑𝑌 + (

𝜕𝑆

𝜕𝑖) 𝑑𝑖

16

DAFTAR PUSTAKA

Dumairy. (1991). Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. edisi kedua.

Yogyakarta: BPFE

Martono, K. (1999). Kalkulus. Jakarta: Erlangga

Purcell,EJ. (1987). Kalkulus dan Geometri Analitis. Terjemahan Nyoman Susila,dkk.

Jakarta: Erlangga

Supangat,A. (2006). Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi. Jakarta: Kencana

Wibisono, Y. (1999). Manual Matematika Ekonomi. Yogyakarta: Gajahmada university

press

Wikipedia. (2000). Kalkulus diferesial. (http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensial,

akses 10 Februari 2015)