BAB 1BAB 1PENYELESAIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PENYELESAIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN

NONLINEARNONLINEAR

Pandang bentuk persamaannonlinear orde 2.Pandang bentuk persamaannonlinear orde 2.

a

acbbx

2

42

2,1

02 cbxax

Penyelesaian persamaan di atas dilakukan dengan menggunakan rumus Penyelesaian persamaan di atas dilakukan dengan menggunakan rumus kuadratik,kuadratik,

,01ln

,0sin3

,02311825.14.23

32

247

xxx

exx

xxxx

Sekarang, padang persamaan non linear berikutSekarang, padang persamaan non linear berikut..

Untuk menyelesaiakan persoalan tersebut, digunakan perhitungan Untuk menyelesaiakan persoalan tersebut, digunakan perhitungan numerik.numerik.

Metode Penyelesaian akar-akar persamaan nonlinear

1. Metode Tertutup

teknik yang dilakukan dengan menggunakan pembagian interval :

a. metode bagi dua (bisection)

b. metode posisi palsu (false-position)

2. Metode Terbuka

teknik yang dilakukan dengan leleran atau iterasi

a. iterasi titik tetap (fixed-point)

b. metode newton

c. metode secant

1. Metode Biseksi (Bagi dua)1. Metode Biseksi (Bagi dua)

Metode Biseksi disebut juga metode Bolzano.

2

bac

Di mana nilai f(x1) dan f(x2) harus memenuhi f(x1) f(x2) < 0

Selang [a,b] dibagi 2:1. Jika f(c).f(a) < 0 maka b = c 2. Jika f(c) .f(b) < 0 maka a = c

Iterasi akan berhenti, jika dalam kondisi sebagai berikut:1. | a – b | < , di mana adalah toleransi lebar selang yang diberikan2. Jika f(c) = 03. Galat relatif hampiran akar

baru

lamabaru

c

cc

dengan adalah galat relatif hampiran yang diinginkan

1. Jika terdapat lebih dari satu akar, maka akar-akar tidak dapat secara langsung di tentukan2. Tidak dapat mencari akar-akar imajiner3. Tidak dapat menemukan akar ganda (Tidak terdapat perbedaan tanda pada unjung-ujung selang)4. Silngularitas. Jika terdapat titik singularitas, maka nilai fungsinya tidak terdefinisi Bila [a,b] mengandung titik singularitas, iterasi tidak pernah berhenti.

Kelemahan:

ca b

ba c

ba c

bca

Iterasi 1

c:=1/2*(a+b)

Iterasi 2f(a)*f(c)<0, maka:a = a (a tetap), b = c (b geser)

[a, b] - [a,c]

Iterasi 3f(b)*f(c) <0, maka:a = c (a geser), b = b (b tetap)[a, b] - [c,b]

Iterasi 4f(b)*f(c) <0, maka:a = c (a geser), b = b (b tetap)[a, b] - [c,b]

Algoritma

1. Tentukan c:= ½*(a+b);

2. Definisikan: f(a), f(b), f(c)

3. Jika f(a)*f(c)< 0,maka a=a, b=c

jika tidak : a=c, b = b

3. Jika abs(b-a) < epsilon, maka

Tulis akar-akar := c,

Jika tidak, kembali ke 1

mulai

baca a, b, e

selesai

a a, b c

f(a) * f(c) < 0

ya

tidak

c ½*(a + b)

a c, b b

abs(b – a) < e

Tulis “akar c”

tidak

ya

Contoh.

Tentukan akar-akar persamaan non linear f(x) = x3 – 7x + 1

Tentukan akar-akar persamaan non linear dibawah ini

Metode posisi palsu

A=(a, f(a))

B = (b, f(b))

C = (c, 0)

C

A

B

C

bc

bfmBC

)(0

ab

afbfmAB

)()(

Gradien AB adalah mAB dan gradien BC adalah mBc maka

bc

bfmBC

)(0ab

afbfmAB

)()(

)()(

))((

)()(

))((

)(0)()(

afbf

abbfbc

afbf

abbfbc

bc

bf

ab

afbf

mm BCAB

dan

Oleh karena mAB = mAC, maka

a0 c0 b

a1 c1 b1

c0:= b – fb0(b0-a0)/(fb0-fa0)

c1:= b1 – fb1(b1-a1)/(fb1-fa1)

Oleh karena: f(b0)*f(c0) < 0

maka : a1 = c0, b1 = b0

Pendekatan 1

f(a0)*f(b0) < 0

Pendekatan 0

Untuk interval berikut, periksa :

f(a0)*f(c0) > 0

f(b0)*f(c0) < 0

Untuk interval berikut, periksa :

f(a1)*f(c1) > 0

f(b1)*f(c1) < 0

a c bc2:= b2 – fb2 (b2- a2)/(fb2- fa2)

Oleh karena: f(b1)*f(c1) < 0

maka : a2 = c1, b2 = b1

Pendekatan 2

Algoritma

1. Tentukan c := b – (f(b)(b - a))/(b-a);

2. Definisikan: f(a), f(b), f(c)

3. Jika f(a)*f(c)< 0,maka a=a, b=c

jika tidak : a=c, b = b

3. Jika abs(b-a) < epsilon, maka

Tulis akar-akar := c,

Jika tidak, kembali ke 1

mulai

baca a, b, e

selesai

a a, b c

f(a) * f(c) < 0

ya

tidak

c b – (f(b)(b - a))/(b-a)

a c, b b

abs(b – a) < e

Tulis “akar c”

tidak

ya

2. Metode Newton

10

0 0)()('

xx

xf

x

yxfm

Akar persamaan akan diperoleh ketika kurva melalui sumbu x yang didekati dengan garis singgung x= x0.

Gradien garis singgung di x = xGradien garis singgung di x = x00 adalah adalah

10

0 )()('

xx

xfxf

atauatau

a. Pendekatan Geometri

Bentuk di atas dapat diselesaikan menjadi

... 2, 1, ,0untuk ,)('

)(1 n

xf

xfxx

n

nnn

Jika proses ini berulang, maka untuk x1, x2, …, xn dapat ditulis dalam bentuk umum

)('

)(

0

001 xf

xfxx

b. Pendekatan Deret Taylor

Ekspansi deret Taylor orde pertama di sekitar x0 , adalah

))(()()( 00'

0 xxxfxfxf

0)()()()( 0'

0101 xfxxxfxf nn

Misalkan xn+1 adalah akar-akar pendekatan , maka ekpansi

terhadap x = xn+1

atau

)('

)(

)('

)(

0)()()(

0

001

0

001

0'

010

xf

xfxx

xf

xfxx

xfxxxf

n

n

n

Iterasi akan berhenti, jika dalam kondisi sebagai berikut:1. | xn+1 – xn | < , di mana adalah toleransi lebar selang yang diberikan2. Galat relatif hampiran akar

1

1

n

nn

x

xx Adalah galat relatif hampiran yang diinginkan

Catatan:

1. Jika f’(x0), maka ulangi perhitungan dengan x0 lain

Algoritma

1. Baca x0, f(x), f’(x)

2. definisikan xi+1 := xi – f(xi)/f’(xi)

3. Jika abs (xi+1 – xi) < e, maka tulis akar xi+1

jika tidak, kembali ke 1

mulai

baca x0, f(x), f’(x)

selesai

a a, b c

f(a) * f(c) < 0

ya

tidak

c b – (f(b)(b - a))/(b-a)

a c, b b

abs(b – a) < e

Tulis “akar c”

tidak

ya

3. Metode Secant3. Metode Secant

f(x0)

f(x1)

Kemiringan garis dari titik (x1, f(x1)) dan (x2,0)

01

011

)()(

xx

xfxfm

Kemiringan garis dari titik (x2, 0) dan (x0, f(x0)) 02

02

)(0

xx

xfm

m1 = m2

12

1

01

01 )(0)()(

xx

xf

xx

xfxf

Diperoleh penyelesaian untuk x2

)()().(

01

01112 xfxf

xxxfxx

Secara umum ditulis,

... 3, 2, ,1untuk ,)()(

).(1

11

n

xfxf

xxxfxx

nn

nnnnn

1. Tentukanlah akar-akar pendekatan dari

f(x) = x2 – 3

sebanyak 4 iterasi (5 desimal) dengan menggunakan:

a. Metode bagi dua [1,5]

b. Metode secant x0 = 5, x1 = 2

2. Jika akar-akar = 1,73205, tentukan galat setiap iterasi pada kedua

metode tersebut

Tugas 2