PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Tim Kalkulus 2

Desember 2011

DEFINISI PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Persamaan differensial adalah suatu persamaan yang mengandung satu atau beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui.

Bentuk persamaan differensial (persamaan differensial biasa berorde n)

F(x, y, y´, y(2), … , y(n)) = 0

dimana y(k) adalah turunan y terhadap x yang ke k, dan persamaan differensial di atas disebut persamaan differensial biasa orde / berorde n.

Contoh:

Pada orde 1: y´+2 sin x = 0

Pada orde 2:

Pada orde 3:

0y2dx

dyx3

dx

yd2

2

=−+

0edx

dy

dx

yd x2

3

3

=−

+

f(x) dikatakan penyelesaian atau solusi persamaan differensial apabila f(x) disubstitusikan untuk y dalam persamaan differensial, persamaan yang dihasilkan merupakan suatu kesamaan untuk semua x dalam suatu interval.

Contoh:

f(x) = 2 cos x + 10 adalah suatu penyelesaian dari persamaan differensial y´+2 sin x = 0 karena

f ´(x) + 2 sin x = -2 sin x+ 2 sin x = 0 (terpenuhi)

2 cos x + C disebut penyelesaian atau solusi umum,

2 cos x + 10 disebut penyelesaian khusus (dengan mengganti C suatu nilai tertentu yang memenuhi syarat awal).

ContohTentukan solusi umum dari y´= 2xTentukan solusi khusus dari y´= 2x

yang memenuhi syarat awal y=3 untuk x=0.

Contoh

Tunjukan bahwa

untuk setiap C1,C2∈R merupakan solusi umum dari persamaan differensial y´´ - 25 y = 0

x52

x51 eCeC)x(f −+=

Catatan:

Dari contoh diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa untuk persamaan differensial yang berorde 1 mengandung 1 parameter C, dan untuk persamaan differensial yang berorde 2 mengandung 2 parameter C, maka untuk persamaan differensial yang berorde n terdiri dari n parameter C1, C2 ,…,Cn.

Menyelesaikan PD dengan metode pemisahan variabel

Bentuk PD yang sederhana adalah

M(x) + N(y) y´ = 0

M(x) + N(y) dy/dx = 0

untuk M, N fungsi kontinu.

Apabila f(x) solusi dari PD diatas maka,

M(x) + N(f(x)) f´(x) = 0

apabila f ´(x) kontinu,

Contoh: Selesaikan PD

1.

2.

Cdy)y(Ndx)x(M

Cdx)x(f))x(f(Ndx)x(M '

=+=+

∫∫∫∫

0dx

dyey x24 =+

0x,0dx

dy)x3xy(y2 ≠=++

Persamaan Differensial Linier berorde 1

Definisi

Persamaan Differensial Linier berorde 1

adalah suatu persamaan yang

mempunyai bentuk

y´ + P(x) y = Q(x),

untuk P dan Q suatu fungsi kontinu.

Dari definisi diatas saat Q(x)=0 untuk setiap x, maka

y´+ P(x) y = 0

sehingga dapat ditulis

dengan mengintegralkan kedua ruasnya diperoleh

0ydengandx)x(Pdyy

1

atau)x(Pdx

dy

y

1

≠−=

−=

Selanjutnya,

Cye

eC

y

dx)x(PC

yln

dx)x(PClnyln

Clndx)x(Pyln

dx)x(P

dx)x(P

=∫

∫=

−=

−=−+−=

−

∫∫∫

Jika pada ruas kanan y´+P(x)y=Q(x)

maka persamaan menjadi

[ ]y)x(P'ye

ey)x(Pe'yeyD

dx)x(P

dx)x(Pdx)x(Pdx)x(P

x

+∫=

∫+∫=

∫

∫=

∫ dx)x(Pdx)x(P

x e)x(QeyD

dengan mengintegralkan kedua ruasnya

maka solusi implisit dari persamaan

differensial linier orde 1 dari definisi

diatas adalah:

Kdxe)x(Qeydx)x(Pdx)x(P

+∫=∫ ∫

Theorema

Persamaan Differensial Linier berorde 1 y´+P(x)y=Q(x) dapat ditransformasi ke dalam persamaan differensial terpisah dengan mengalikan kedua sisinya

dengan faktor integral

Contoh

Selesaikan persamaan differensial

22 xyx3dx

dy =−

∫ dx)x(Pe

Contoh

Sebuah tangki mula-mula berisi 120 galon air asin, larutan tersebut mengandung 75 pon garam laut. Air garam yang berisi 1,2 pon garam/galon memasuki tangki dengan laju 2 galon/menit dan air asin keluar mengalir dengan laju yang sama. Tentukan banyaknya garam dalam tangki setelah 1 jam.

Definisi

Persamaan differensial linier orde n adalah persamaan dalam bentuk

untuk fungsi f1, f2, … , fn dan k adalah fungsi satu variabel yang mempunyai domain yang sama. Jika k(x)=0 untuk setiap x, maka persamaan homogen. Jika k(x)≠0 untuk sebarang x, persamaan nonhomogen.

)x(ky)x(f'y)x(f...y)x(fy n1n)1n(

1)n( =++++ −

−