PERSAMAAN KUADRAT

Oleh:

Tri Wahyudi06022681318067

PERSAMAAN KUADRAT

Apa itu persamaan kuadrat?

Cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat.

Jenis-jenis persamaan kuadrat Faktorisasi

Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Rumus abcRumus jumlah dan hasil kali

akar persamaan kuadrat

Kajian Permasalahan

Sebuah perusahaan konstruksi mendapat order pembuatan sebuah gedung pusat perbelanjaan. Menurut rencana, gedung tersebut mempunyai alas berbentuk persegipanjang. Pemesan meminta agar lebar gedung mempunyai selisih 70 meter dengan panjangnya dan luas lantai dasar adalah 12.000 meter persegi. Berapa ukuran panjang dan lebar gedung tersebut ?

BACK NEXTHOME

Definisi Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat suatu persamaan dimana pangkat tertinggi dari variabelnya adalah dua.

Bentuk umum : ax2 + bx + c = 0

Dimana a ≠ 0, a, b, c, Є R

Contoh 1. 2x2 + 4x – 1 = 0 dimana a = 2, b = 4, dan c = -12. x2 + 3x = 0 dimana a = 1, b = 3, dan c = 03. x2 – 9 = 0 dimana a = 1, b = 0, dan c = -9

BACK NEXTHOME

Menentukan Akar-akar PK

Ada tiga cara yang dapat digunakan untuk menentukan akar-akar atau menyelesaiakan persamaan kuadrat, yaitu :

1. Metode faktorisasi2. Metode melengkapkan kuadrat sempurna3. Rumus kuadrat / rumus abc

BACK NEXTHOME

Metode faktorisasi

Untuk menyelesaikan persamaan ax2 + bx + c = 0 dengan faktorisasi, terlebih dahulu cari dua bilangan yang memenuhi syarat berikut :

1.Hasil kalinya adalah sama dengan ac2. Jumlahnya adalah sama dengan b

Misalkan dua bilangan tersebut : x1 dan x2 maka:

x1 . x2 = a.c dan x1 + x2 = b

BACK NEXTHOME

Kasus a = 1Bentuk umum : x2 + bx + c = 0, kita rubah menjadi bentuk : (x + x1)(x + x2) = 0x2 + bx + c = (x + x1)(x + x2) = x2 + x1.x + x2.x + x1.x2

= x2 + (x1 + x2)x + x1.x2

Misalkan dua bilangan di atas adalah : x1 dan x2 maka: x1 . x2 = c dan x1 + x2 = b

BACK NEXTHOME

Kasus a ≠ 1Pada kasus a ≠ 1, persamaan ax2 + bx + c = 0, kita rubah menjadi bentuk :

BACK NEXTHOME

Contoh 1

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : x2 – 9 = 0. Solusia=1, b = 0, c = -9. kasus 1kita cari x1 . x2 = -9 dan x1 + x2 = 0, maka x1 = 3 dan x2 = -3. x2 - 9 = 0 ⇔ (x + 3)(x – 3) = 0 ⇔ x + 3 = 0 atau x – 3 = 0 ⇔ x = - 3 atau x = 3 Penyelesaiannya x = -3 atau x = 3

BACK NEXTHOME

Contoh 2

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : 4x - x2 = 0. Solusia=-1, b = 4, c = 0. kasus 1kita cari x1 . x2 = 0 dan x1 + x2 = 4, maka x1 = 4 dan x2 = 0. 4x - x2 = 0 ⇔ x(4 – x) = 0 ⇔ x = 0 atau 4 – x = 0 ⇔ x = 0 atau x = 4 Penyelesaiannya x = 0 atau x = 4

BACK NEXTHOME

Contoh 3

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : x2 - x – 6 = 0. Solusia = 1, b = -1, c = -6. kasus 1kita cari x1 . x2 = -6 dan x1 + x2 = -1, maka x1 = -3 dan x2 = 2. x2 - x – 6 = 0 ⇔ (x – 3)(x + 2) = 0 ⇔ x – 3 = 0 atau x + 2 = 0 ⇔ x = 3 atau x = -2 Penyelesaiannya x = 3 atau x = -2

BACK NEXTHOME

Contoh 4

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : 2x2 + 3x – 35 = 0. Solusia = 2, b = 3, c = -35. kasus 2

kita cari x1 . x2 = dan x1 + x2 = , maka x1 = dan x2 = 2x2 + 3x – 35 = 0 ⇔ 2(x )(x + ) = 0 ⇔ x - = 0 atau x + = 0

⇔ x = atau x = - Penyelesaiannya x = atau x = -

23

235 2

7210

27 2

10

27

210

27

210

27

210 BACK NEXTHOME

Contoh 5

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : 2x2 - 5x – 3 = 0. Solusia = 2, b = -5, c = -3. kasus 2

⇔ 2x2 - 5x – 3 = 0⇔ 2x2 - 6x + x – 3 = 0⇔ 2x(x - 3) + 1(x - 3) = 0⇔ (2x + 1)(x - 3) = 0 ⇔ 2x + 1 = 0 atau x - 3 = 0⇔ 2x = -1 atau x = 3⇔ x = -1/2 atau x = 3

BACK NEXTHOME

Metode Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Untuk menyelesaikan persamaan ax2 + bx + c = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna dirubah menjadi bentuk (x + p)2 = q, dengan q ≥ 0.

Langkah-langkah :1. Pastikan koefisien dari x2 adalah 1, bila belum

bernilai 1 bagilah dengan bilangan sedemikian hingga koefisiennya adalah 1.

2. Tambahkan ruas kiri dan kanan dengan setengah koefisien dari x, kemudian kuadratkan

3. Buatlah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna, sedangkan ruas kanan disederhanakan.

BACK NEXTHOME

Contoh 6

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : x2 – 9 = 0. Solusia=1, b = 0, c = -9. (karena nilai b tidak ada maka persamaan tersebut di ubah menjadi)

x2 - 9 = 0 ⇔ x2 = 9 ⇔ x = ±√9 ⇔ x = ± 3 ⇔ x = - 3 atau x = 3 Penyelesaiannya x = -3 atau x = 3

BACK NEXTHOME

Contoh 7

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : 4x - x2 = 0. Solusia=-1, b = 4, c = 0. 4x - x2 = 0 ⇔ x2 - 4x = 0 ⇔(½.b)2 = (½.4)2 = 4 ⇔ x2 - 4x + 4 = 0 + 4 ⇔ (x – 2)2 = 4 ⇔ (x – 2) = ±√ 4 ⇔ x – 2 = 2 atau x – 2 = - 2 ⇔ x = 2 + 2 atau x = -2 + 2 ⇔ x = 4 atau x = 0 Penyelesaiannya x = 0 atau x = 4

BACK NEXTHOME

Contoh 8

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : x2 - x – 6 = 0. Solusia = 1, b = -1, c = -6. x2 - x – 6 = 0 ⇔ x2 - x = 6 ⇔(½.b)2 = (½.1)2 = ¼ ⇔ x2 - x + ¼ = 6 + ¼ ⇔ (x - ½)2 = 6¼ ⇔ (x - ½) = ±√25/4

⇔ x - ½ = ±5/2

⇔ x - ½ = 5/2 atau x - ½ = - 5/2

⇔ x = 5/2 + ½ atau x = - 5/2 + ½

⇔ x = 6/2 atau x - ½) = - 4/2

Penyelesaiannya x = 3 atau x = -2

BACK NEXTHOME

Contoh 9

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : 2x2 + 3x – 35 = 0. Solusia = 2, b = 3, c = -35.

Coba Anda cari hasil akar-akarnya dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna !

Apakah hasilnya sama dengan menggunakan metode memfaktorkan !

BACK NEXTHOME

Contoh 10

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : 2x2 - 5x – 3 = 0. Solusia = 2, b = -5, c = -3.

Coba Anda cari hasil akar-akarnya dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna !

Apakah hasilnya sama dengan menggunakan metode memfaktorkan !

BACK NEXTHOME

Rumus kuadrat / abc

Untuk menyelesaikan persamaan ax2 + bx + c = 0 dengan rumus kuadrat/abc maka :

Atau dan

a

acbbx

2

42

2,1

a

acbbx

2

42

1

a

acbbx

2

42

2

BACK NEXTHOME

Contoh 11

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : x2 – 9 = 0. Solusia=1, b = 0, c = -9.

⇔

⇔ ⇔

⇔ dan

Penyelesaiannya x = -3 atau x = 3

a

acbbx

2

42

2,1

1.2

)9.(1.400 2

2,1

x

2

3602,1

x

2

602,1

x

32

601

x 3

2

602

x

BACK NEXTHOME

Contoh 12

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : 4x - x2 = 0. Solusia=-1, b = 4, c = 0.

⇔

⇔ ⇔

⇔ dan

Penyelesaiannya x = 0 atau x = 4

a

acbbx

2

42

2,1

)1.(2

0).1.(444 2

2,1

x

2

01642,1

x

2

442,1

x

02

0

2

441

x 42

8

2

442

x

BACK NEXTHOME

Contoh 13

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : x2 - x – 6 = 0. Solusia = 1, b = -1, c = -6.

Coba Anda cari hasil akar-akarnya dengan menggunakan rumus kuadrat/ rumus abc !

Apakah hasilnya sama dengan cara memfaktorkan dan melengkapkan kuadrat !

BACK NEXTHOME

Contoh 14

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : 2x2 + 3x – 35 = 0. Solusia = 2, b = 3, c = -35.

Coba Anda cari hasil akar-akarnya dengan menggunakan rumus kuadrat/ rumus abc !

Apakah hasilnya sama dengan cara memfaktorkan dan melengkapkan kuadrat !

BACK NEXTHOME

Contoh 15

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : 2x2 - 5x – 3 = 0. Solusia = 2, b = -5, c = -3.

Coba Anda cari hasil akar-akarnya dengan menggunakan rumus kuadrat/ rumus abc !

Apakah hasilnya sama dengan cara memfaktorkan dan melengkapkan kuadrat !

BACK NEXTHOME

Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Jenis-jenis akar persamaan kuadrat bergantung pada nilai D = b2 – 4ac. D disebut diskriminan.

Jenis-jenis akar persamaan kuadrat berdasarkan nilai D.a. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai

dua akar real yang berbedab. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai

dua akar real yang sama atau akar kembarc. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat mempunyai

akar tidak real (imajiner)

BACK NEXTHOME

Contoh 16

Selidiki jenis akar-akar Persamaan Kuadrat dari x2 – 9 = 0. Jawaba=1, b = 0, c = -9. ⇔ D = b2 – 4ac⇔ D = 02 – 4.1.(-9)⇔ D = 0 + 36⇔ D = 36Jadi D = 36, maka nilai D > 0, sehingga mempunyai dua akar real yang berbeda.

BACK NEXTHOME

Contoh 17

Selidiki jenis akar-akar Persamaan Kuadrat dari 4x - x2 = 0. Jawaba=-1, b = 4, c = 0. ⇔ D = b2 – 4ac⇔ D = 42 – 4.(-1).0⇔ D = 16 – 0⇔ D = 16Jadi D = 16, maka nilai D > 0, sehingga mempunyai dua akar real yang berbeda.

BACK NEXTHOME

Contoh 18

Selidiki jenis akar-akar Persamaan Kuadrat dari x2 + x + 3 = 0. Solusia = 1, b = 1, c = 3. ⇔ D = b2 – 4ac⇔ D = 12 – 4.1.3⇔ D = 1 – 12⇔ D = -11Jadi D = -11, maka nilai D < 0, sehingga tidak mempunyai akar real (akar imajiner).

BACK NEXTHOME

Contoh 19

Selidiki jenis akar-akar Persamaan Kuadrat dari x2 + 10x + 25 = 0. Solusia = 1, b = 10, c = 25. ⇔ D = b2 – 4ac⇔ D = 102 – 4.1.25⇔ D = 100 – 100⇔ D = 0Jadi D = 0, sehingga mempunyai dua akar sama atau akar kembar.

BACK NEXTHOME

Contoh 20

Selidiki jenis akar-akar Persamaan Kuadrat dari 2x2 - 5x – 3 = 0. Solusia = 2, b = -5, c = -3.

Coba Anda cari jenis akar-akar persamaan kuadrat seperti contoh sebelumnya !

BACK NEXTHOME

Rumus Jumlah & Hasil Kali PK

Akar-akar persamaan kuadrat :

dan

Jika kedua akar tersebut dijumlahkan, maka :

X1 + X2 = + =

Jika kedua akar tersebut dikalikan, maka :

X1 . X2 = . =

a

acbbx

2

42

2

a

acbbx

2

42

1

2a

4acbb 2 2a

4acbb 2 a

b

2a

4acbb 2 2a

4acbb 2 a

c

BACK NEXTHOME

Contoh 21

Jika X1 dan X2 akar-akar Kuadrat dari x2 – 9 = 0. Tentukan :a. X1 + X2 =b. X1 . X2 =c. =

Penyelesaiana=1, b = 0, c = -9. d. X1 + X2 = b. X1 . X2 = ⇔ ⇔

22

21 xx

a

b

01

0

a

c

91

9-

BACK NEXTHOME

Penyelesaian c

c.

Penyelesaiana=1, b = 0, c = -9. ⇔ (0)2 – 2(-9) ⇔ 0 + 18 ⇔ 18

22

21 xx

22

21 xx 21

221 x2xxx

BACK NEXTHOME

Contoh 22

Jika X1 dan X2 akar-akar Kuadrat dari 4x - x2 = 0. Tentukan :a. X1 + X2 =b. X1 . X2 =c. =

Penyelesaiana=-1, b = 4, c = 0. d. X1 + X2 = b. X1 . X2 =

⇔ ⇔

22

21 xx

a

b

4(-1)

4

a

c

0(-1)

0

BACK NEXTHOME

Penyelesaian c

c.

Penyelesaiana=-1, b = 4, c = 0. ⇔ (4)2 – 2(0) ⇔ 16 – 0 ⇔ 16

22

21 xx

22

21 xx 21

221 x2xxx

BACK NEXTHOME

Contoh 23

Jika X1 dan X2 akar-akar Kuadrat dari x2 + x + 3 = 0. !

Masing-masing contoh coba Anda cari : a. X1 + X2 =b. X1 . X2 =c.

22

21 xx

BACK NEXTHOME

Contoh 24

Jika X1 dan X2 akar-akar Kuadrat dari x2 + 10x + 25 = 0. !

Masing-masing contoh coba Anda cari : a. X1 + X2 =b. X1 . X2 =c.

22

21 xx

BACK NEXTHOME