Persamaan Kubik

A. Sejarah Persamaan Kubik

Orang yang pertama kali dapat menyelesaikan persamaan kubik (pangkat tiga) secara

aljabar adalah del Ferro namun tak seorangpun diberitahu olehnya. Del Ferro bernama asli

Scipione del Ferro, anak pembuat kertas yang menanjak menjadi guru besar matematika pada

universitas bologna. Setelah menemukan pemecahan umum pertama persamaan kubik dalam

bentuk yang disederhanakan, yakni x3 + ax = b, del Ferro merahasiakan penemuannya itu,

mungkin untuk menghantam lawan dalam pertandingan matematika. Tetapi menjelang

kematiannya, del Ferro memberikan rahasia itu kepada salah seorang muridnya yang kurang

cakap bernama Antonio Fior. Fior menyombongkan diri dan berkoar bahwa hanya dirinya yang

dapat menyelesaikan persamaan kubik dan menantang Tartaglia. Tartaglia adalah seorang yang

dijuluki “si gagap” karena ketika masih kecil langit-langit mulutnya terbelah oleh pedang

perancis..Pada waktu pertandingan dengan Fior, Tartaglia telah menjadi salah satu orang yang

dapat memecahkan persamaan yang paling benar di italia dan telah menemukan senjata rahasia

buatannya sendiri yakni suatu jawaban umum dalam persamaan kubik dalam bentuk x3 + ax = b.

Pertandingan ditentukan. Masing-masing harus memberi tiga puluh soal kepada

lawannya untuk diselesaikan. Fior penuh percaya diri dengan kemampuannya memecahkan

persamaan kubik. Bilangan negatif tidak digunakan dan ada beberapa tipe persamaan kubik yang

tidak diketahui oleh Fior. Del Ferro hanya memberitahu satu tipe penyelesaikan kepada Fior.

Tartaglia menuliskan tiga puluh soal dengan berbagai tipe pertanyaan, membuat “belang” Fior

sebagai matematikawan kacangan terbongkar. Dini hari menjelang pertandingan, inspirasi datang

dan Tartaglia menemukan metode untuk menyelesaikan berbagai tipe persamaaan kubik. Dengan

bekal rumus itu, Tartaglia dapat menyelesaikan tiga puluh soal Fior dalam waktu kurang dari dua

jam. Tiba saat penentuannya Tartaglia berhasil memecahkan semua soal Fior sedangkan Fior

bingung dengan beberapa problem yang diajukan oleh Tartaglia. Otak jenius “si gagap” bereaksi

terhadap tekanan dengan menciptakan suatu jawabn umum bagi kedua bentuk persamaan kubik.

Sebagai ahli hitung baru yang terkemuka di Italia Tartaglia segera menghadapi

penantang yang lebih gigih yakni Girolamo Cardano. Walaupun hanya anak haram, seorang

pengacara dan dia sendiri ayah seorang pembunuh, Cardano adalah ahli astrologi yang membuat

ramalan untuk raja-raja dan juga menjadi dokter mereka. Selain itu, ia penulis ilmiah. Ia juga

pecandu judi yang selalu berdiri diambang kebangkrutan dan penjara kalau tidak di tepi jurang

ateisme dan bid’ah. Tidak lama kepenasaran Cardano ikut meramaikan kontes di atas. Saat itu

Cardano menjadi dosen matematika pada Yayasan Piatti di Milan, dan mengetahui problem cosa

dan kubik. Sampai kontes berlangsung, Cardano tidak dapat berbicara apa-apa karena, seperti

yang tertulis dalam buku Summa karya Pacioli yang terbit pada tahun 1494, tidak ada solusi

untuk problem tersebut. Cardano tergoda untuk mengetahui metode Tartaglia untuk dirinya

sendiri, namun selalu gagal. Baru beberapa tahun kemudian, tahun 1539, Cardano menghubungi

Tartaglia, tentunya lewat perantara, agar metode itu disebutkan agar dapat diterbitkan dalam

bukunya yang akan segera terbit. Tartaglia menolak kesempatan ini bahkan menyatakan akan

menerbitkan metode itu untuk buku karangannya yang baru akan ditulis. Cardano kembali

membujuk agar metode itu diberitahukan dan berjanji akan menjaganya seperti layaknya sebuah

rahasia besar. Dan sekali lagi, Tartaglia menolak.

Mengetahui dengan cara langsung gagal. Cardano menggunakan cara lain. Mencoba

mengundang Tartaglia untuk berdebat sambil mengupayakan cara lain yaitu menghubungi

Marquis dal Vasto – temannya - di Milan agar mengundang Tartaglia. Tantangan debat ditolak

namun undangan dal Vasto menarik hati Tartaglia. Awal tahun 1539, Tartaglia berangkat dari

Venesia menuju Milan. Saat hari itu tiba, dal Vasto sedang ke luar kota dan Cardano

menggantikan peran itu. Tartaglia berbincang-bincang dengan Cardano sampai akhirnya

menyinggung problem cosa dan kubik sebelum akhirnya Tartaglia bersedia mengungkapkan

rumusnya. Cardano mengangkat sumpah tidak akan membocorkan, atau menulis sampai dia

meninggal, sehingga tidak pernah ada orang yang tahu. Tartaglia memberi rumus dalam bentuk

puisi, untuk melindungi kerahasiaannya, sekaligus untuk menghindari tulisan itu jatuh ke tangan

orang lain. Hanya memperoleh surat perkenalan dari Marquis, Tartaglia meninggalkan Milan dan

kembali ke Venesia. Sampai di Venesia, Tartaglia baru menyadari kesalahannya, yaitu terlalu

percaya pada Cardano. Tahun itu pula Cardano menerbitkan 2 buku matematika. Tartaglia

bergegas mendapatkannya dan memeriksa apakah ada rumus darinya. Tidak ditemukan rumus

pada isi buku itu, membuat dia gembira. Cardano mengirim surat untuk menjalin persahabatan

dengan Tartaglia, namun ditolak.

Berdasar rumus Tartaglia, Cardano dan asistennya, Ferrrari, membuat loncatan besar

dalam menyelesaikan semua persamaan kubik dan lebih impresif lagi persamaan pangkat empat

(quartik). Tartaglia tidak berbuat apapun dengan rumus miliknya, meskipun dia sekarang sudah

terkenal dan diketahui bahwa metode itu ternyata ada. Barangkali Tartaglia berharap dengan

menyimpan rumus rapat-rapat dapat digunakan untuk “senjata” apabila kembali ada kontes atau

debat lagi.

Cardano dan [Ludovico] Ferrari melakukan perjalanan ke Bologna untuk mempelajari

penemuan del Ferro, orang pertama yang mampu menyelesaikan persamaan kubik. Cardano

memang bersumpah tidak akan mengungkapkan rumus Tartaglia, namun tidak ada halangan

menerbitkan rumus del Ferro. Tahun 1545, terbitlah buku Cardano Ars Magna yang berisikan

solusi untuk persamaan kubik dan pangkat empat (quartik) yang merupakan pengembangan dari

rumus Tartaglia. Nama-nama del Ferro dan Tartaglia disebutkan dihormati sebagai penemu.

Setelah membaca buku itu, serta merta Tartaglia menjadi murka dan menganggap Cardano

melanggar sumpah. Timbul permusuhan diantara mereka berdua. Tahun berikutnya Tartaglia

menerbitkan buku New Problems and Inventions yang menjelaskan duduk permasalahnnya dan

menyebut bahwa Cardano memunyai niat jelek. Buku ini juga disisipi penghinaan terhadap

Cardano.

Ars Magna ternyata membumbungkan nama Cardano sebagai matematikawan

terkemuka dan tidak terpengaruh oleh tuduhan Tartaglia. Ferrari menulis surat tantangan kepada

Tartaglia untuk melakukan debat di muka umum. Tartaglia sebenarnya enggan karena merasa

tidak ada urusan dengan Ferrari, seorang matematikawan tidak dikenal, jika menang pun tidak

ada manfaat baginya. Tartaglia mengharapkan debat dengan Cardano yang saat itu sangat

terkenal sebagai matematikawan, ahli pengobatan sehingga kemenangan akan memberinya nama

besar. Tartaglia sendiri masih miskin sebagai seorang guru di Venesia. Surat Ferrari dibalas

namun Tartaglia ingin yang tampil adalah Cardano. Tidak ada hasil. Tak disangka pada tahun

1548, Tartaglia mendapat tawaran mengajar di tanah kelahirannya, Brescia. Untuk memberi

kebanggaan pada kota kelahirannya, Tartaglia mau menerima tantangan Ferrari dan segera

berangkat ke Milan.

Agustus 1548, kontes diadakan di gereja yang terlatk di halaman taman milik Frati

Zoccolanti. Tartaglia yang benyak pengalaman dalam debat tempil penuh percaya diri. Hari

pertama kontes, Tartaglia merasa kemenangan yang diharapkan tidak berjalan berjalan sesuai

rencananya. Ferrari ternyata memahami lebih banyak persamaan kubik dan quartik. Malam

harinya Tartaglia diam-diam meninggalkan Milan, kontes tidak diteruskan dan kemenangan

diberikan kepada Ferrari.

Kembali mengajar di Brescia, namun diberi gajinya tidak memadai. Mencoba menuntut

namun justru tidak mendapat gaji sebelum akhirnya kembali mengajar di Venesia, dengan

membawa rasa malu atas kekalahan.

Tartaglia juga mengarang Nova Scientia (1537) yang berisikan kontruksi jam, orbit

untuk proyektil dan aplikasi matematika untuk (lintasan) peluru. Lewat karya itu, dia

menggambarkan metode baru balistik dan peralatan yang digunakan, dilengkapi – sebagai

perintis - tabel lintasan (proyektil) peluru. Tartaglia dikenal karena mengajarkan aritmatika dan

menjadi orang pertama yang mengalihbahasakan Elements dari Euclid (1543) selain karya-karya

Archimedes.

B. Pembuktian

Salah satu contoh persamaan kubik tertulis didalam Ars magma, cardano menulis persamaan sebagai berikut :

Dengan memisalkan dua variable u dan v.

……………… (1) ……………………. (2)

- = -

- = 20 +

= 20 +

Misalkan

x

= 0

Dengan rumus ABC

=

= = =

=

=

=

Dimana

(1)

(2)

Sehingga