PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM

HÌNH HỌC 11

GV: PHAN NHẬT NAM

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC & ĐỐI XỨNG TÂM

A I(-1; 0)

O

D(1; 0)


GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

A. Cơ sở lí thuyết :

1. Định nghĩa : Ký hiệu dĐ là phép đối xứng qua trục d.

:'!MM MM’ nhận đường thẳng d làm đường trung trực.

Ký hiệu : ')( MMĐd

Phép đối xứng trục hoàn toàn xác định khi biết tục đối xứng của nó.

2. Biểu thức tọa độ : : Cho vectơ );( bav . Khi đó ta có phép tịnh tiến :

OxD : M(x ; y) M’(x’ ; y’) có tọa độ được xác định theo công thức

yy

xx

'

'

OxD : M(x ; y) M’(x’ ; y’) có tọa độ được xác định theo công thức

yy

xx

'

'

xyD : M(x ; y) M’(x’ ; y’) có tọa độ được xác định theo công thức

xy

yx

'

'

xyD : M(x ; y) M’(x’ ; y’) có tọa độ được xác định theo công thức

xy

yx

'

'

3. Tính chất của phép đối xứng trục :

Định lý : Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

Hệ quả :

i. Phép đối xứng trục biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không

thay đổi thứ tự của chúng.

ii. Phép đối xứng trục d biến :

Đường thẳng thành đường thẳng

Các trường hợp đặc biệt :

- Nếu trục d thì ( '')( dĐ )

- Nếu // trục d thì ( '//')( dĐ )

- Nếu cắt trục d thì ( dĐd ')( là đường phân giác của )',( )



Biến đa giác thành đa giác bằng đa giác đã cho.

Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã

cho. {khi đó ta chỉ cần xác định ảnh của tâm}.

Định nghĩa : Đường thẳng d là trục đối xứng của hình (H) nếu phép đối xứng trục d

biến (H) thành chính nó.

B. Các dạng toán thường gặp :

I. Bài toán 1 : Cho điểm M(x0, y0) không thuộc đường thẳng d: Ax + By + C = 0. Tìm tọa độ

M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trục d :

Phương pháp :

Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng d:

Lập phương trình đường thẳng qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d

0)()(: 00 yyAxxB

dH tọa độ H là nghiệm của hệ

0)()(

0

00 yyAxxB

CByAx),( HH yxH

M’(x’; y’) là ảnh của M qua phép đối xứng trục d H là trung điểm của MM’

0

0

2'

2'

yyy

xxx

H

H

II. Xác định phương trình ảnh (H’) của đường (H) qua phép đối xứng trục d :

Gọi M(x ; y) là điểm tùy ý trên đường (H): 0),( yxf .

Gọi M’(x’ ; y’) là ảnh của M qua phép đối xứng trục d . Dùng biểu thức tọa độ để tìm mối

quan hệ của x, x’ và y, y’ . Biểu diển lại tọa độ M theo x’, y’

0)';'()( yxgHM

(H’) là ảnh của (H) qua phép đối xứng trục d (H’) là tập hợp tất cả các điểm M’

0);(':)'( yxfH

ĐB :

1. Nếu (H) là đường thẳng ta có thể thực hiện như sau.

Chọn hai điểm M(x0 ; y0) , N(x1 ; y1) cụ thể thuộc đường thẳng (H) .

Dùng biểu thức tọa độ (Sử dụng bài toán 1)để tìm M’(x0’ ; y0’) và N’(x1’ ; y1’) là ảnh

của M và N qua phép đối xứng trục d.



Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua 2 điểm M’ và N’''

'

''

':)'(

10

1

10

1

yy

yy

xx

xxd

2. Nếu (H) là đường tròn ta có thể thực hiện như sau.

Xác định tâm I là bán kính R của đường tròn (H).

Dùng biểu thức tọa độ (Sử dụng bài toán 1)để tìm tọa độ của tâm I’(a’ ; b’) là ảnh của

I qua phép đối xứng trục d.

Đường tròn (C’) {là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục d} có tâm là I’(a’ ; b’) và

bán kính R 222'':)( RbyaxC

III. Chứng minh các tính chất hình học và tính các yếu tố trong một hình :

Phương pháp :

Từ giả thuyết chọn một đường thẳng d cố định phù hợp để xây dựng trục đối xứng.

Thực hiện phép đối xứng qua trục d vừa tìm ở trên.

Dùng tính chất của phép đối xứng trục để chứng minh các yếu tố hình học hoặc xác

định các tính chất của hình.

IV. Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn một tính chất nào đó cho trước : (quỷ tích)

Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho EM nhận đường thẳng d cố định làm trục

đối xứng .

Xác định hình (H) là quỷ tích của E.

Khi đó tập hợp các điểm M là (H’) - ảnh của (H) qua phép đối xứng trục d.

V. Dựng hình :

(Dựng điểm M) Tìm một hình (H) cố định và đường thẳng d cố định cho trước sao

cho khi thực hiện phép đối xứng trục d ta có được ảnh là hình (H’) giao với (C) cố

định tại điểm M cần dựng.

Thực hiện các phép đối xứng trục d để tìm các điểm còn lại từ đó ta có hình cần dựng

.

C. Bài tập áp dụng :

Bài 1. Trong mặt phẳngOxy cho đường thẳng d ,phương trình : 2 5 0x y .

a. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.

b. Tìm tọa độ điểm O’ là ảnh của gốc tọa độ O qua phép đối xứng trục d.



Bài 2. Cho đường thẳng d có phương trình: 2 3 0x y và đường tròn :

2 2

: 2 3 4C x y

a. Viết phương trình đường tròn 'C là ảnh của C qua phép đối xứng trục Ox.

b. Viết phương trình đường tròn 'C là ảnh của C qua phép đối xứng trục d.

Bài 3. Cho đường tròn 2 2( ) : 6 2 1 0C x y x y . Tìm phương trình đường tròn đối xứng với

( )C qua đường thẳng ( ) : 0d x y

Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x – y + 3 = 0 và đường

thẳng d’ có phương trình 2x – y – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng là ảnh của d qua

phép đối xứng trục d’.

Bài 5. Cho điểm A(-5,6), đường thẳng d: 2x - 3y - 1= 0 và đường tròn

(C): (x - 1)2 + (y + 2)

2 = 25.

a. Xác định ảnh của A và đường thẳng d qua Đox.

b. Xác định đường tròn (Co) sao cho (C) là ảnh của (Co) qua Đoy.

c. Xác định ảnh của (C) qua Đd.

Bài 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng (d): x-5y+7 = 0 và (d’): 5x –y-13 = 0. Tìm

phép đối xứng qua trục biến (d) thành (d’).

Bài 7. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(3 ; - 5), đường thẳng d : 3x + 2y – 6 = 0, đường tròn

2 2( ) : ( 1) ( 2) 9C x y . Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục : 2 1 0x y

Bài 8. Cho 2 đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y – 1)

2 = 9 và (C’) : x

2 + y

2 – 4x – 2y – 4 = 0. Tìm

phép đối xứng trục biến (C) thành (C’). Viết phương trình trục đối xứng.

Bài 9. Cho 2 đường thẳng d : x + 3y – 4 = 0 và d’ : 2x – y + 3 = 0. Tìm phép đối xứng trục biế

d thành d’.

Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai điểm A(1 ; 3), B(-2 ; 1) và đường thẳng

d :x – 3y + 3 = 0 . Hãy xác định M thuộc d sao cho AM + MB bé nhất.

Bài 11. Cho tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng : 1

. .2

ABCDS AB CD BC AD ( ABCDS : diện

tích tứ giác ABCD). Dấu " " xảy ra khi nào ?



Hướng dẫn: Gọi d là trung trực của AC. Khi đó ta có: '

: ''

d

AD CDD ACD CAD

CD AD

Do đó ' ' '

1 1. '.sin ' . '.sin ' . ' . '

2 2ABCD ABCD ABD CBDS S S S AB AD BAD CB CD BCD AB AD CB CD

1

. .2

ABCDS AB CD CB AD (đpcm)

" " xảy ra 0sin ' sin ' 1 ' ' 90BAD BCD BAD BCD .

Dễ dàng chứng minh được : 'ABCD D nội tiếp trong đường tròn đường kính BD’ từ

đó ta có : 0DD' 90B BD AC (vì AC // DD’)

Bài 12. Cho A, B, C thuộc đường thẳng 'xx (B nằm giữa A và C). Một đường thẳng ' 'yy xx

tại C. Qua điểm A dựng đường thẳng di động cắt 'yy tại M. Qua B dựng đường vuông

góc với cắt 'yy tại N. Chứng minh khi quay quanh A thì đường tròn ngoại tiếp tam

giác BMN còn đi qua một điểm cố định thứ hai.

Hướng dẫn: Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN . Dễ thấy B là trực tâm

của tam giác AMN. Gọi B’ là giao điểm của 'xx và đường tròn (C), khi đó dễ

chứng minh 'yy là trục đối xứng của BB’. Do đó B thuộc đường tròn '( ') yyC D C .

Vậy '' ( ) ( ')yyB C D C

Bài 13. Cho tam giác ABC là tam giác vuông tại A, kẻ đường cao AH. Về phía ngoài tam

giác dựng hai hình vuông ABDE và ACFG.

Chứng minh tập hợp 6 điểm {B, C, F, G, E, D} có một trục đối xứng.

Gọi K là trung điểm của EG. Chứng minh K , A, H thẳng hàng.

Gọi P là giao điểm của DE và FG. Chứng minh P , A, H thẳng hàng.

Chứng minh : CD BP và BF CP

Chứng minh AH, CD, BF đồng quy.

Hướng dẫn:

a. 045BAD CAF Do đó D,A,F thẳng hàng. DF là trục đối xứng của {B,C,F,G,E,D}

b. DFD ABC AEG . Khi đó dễ chứng minh được : BAH BCA EGA GAK

, ,K A H thẳng hàng



c. Dễ thấy AEPG là hình chữ nhật nên A, K, P thẳng hàng.

d. `EDC DBP DC BP BDC ABP vi AP CB GE BCD APB

mà BC AP DC BP (tương tự ta cũng có : BF CP )

e. AH, CD, BF là trực tâm của tam giác BCP.

Bài 14. Cho ABC có các góc đều nhọn và điểm M chạy trên cạnh BC. Gọi 1 ( )ABM D M và

2 ( )ACM D M . Tìm vị trí của M trên cạnh BC để đoạn thẳng 1 2M M có độ dài ngắn nhất.

Hướng dẫn: 1

1

1

( )AB

AM AMM D M

MAB M AB

và 2

2

2

( )AC

AM AMM D M

MAC M AC

suy ra 1 2 2M AM BAC

Xét 1 2M AM ta có : 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 . cos 2 2cos 2M M AM AM AM AM M AM AM BAC

Từ đó ta có 1 2M M nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất M là hình chiếu của A lên BC.

Bài 15. Cho ABC cân tại A. điểm M chạy trên BC. Kẻ MD AB và ME AC . Gọi

' ( )BCD D D . Tính 'BD M và chứng tỏ tổng MD + ME, không phụ thuộc vào vị trí M

Hướng dẫn: 0: ' ' 90BCD MDB MD B MD B MDB

Dễ thấy: ' '/ /D BC DBC ACB BD AC lại có: ' '

', ,MD BD

D M EME AC

thẳng hàng

Do đó : ' 'ME MD ME MD ED ( , )ME MD d B AC không đổi

Bài 16. Cho tam giác ABC có hai đỉnh B,C di động trên đường thẳng cố định . Biết rằng

trực tâm H của tam giác cố định, và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC luôn đi qua một

điểm cố định P khác H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm quỹ tích O.

Hướng dẫn: Gọi ' ( )H D H 'H là điểm cố định và thuộc đường tròn (O).

Do đó O cách đều hai điểm cố định P và H’ O thuộc đường trung trực của PH’.

Bài 17. Trên đường tròn tâm O, bán kính R có hai điểm cố định A, B. Đường tròn tâm O’,

bán kính R’ tiếp xúc ngoài với đường tròn nói trên tại A. Một điểm M di động trên đường

tròn (O,R). MA cắt đường tròn (O’,R’) tại điểm thứ hai A1. Qua A1 kẻ đường d song song

với AB cắt MB tại B1. Tìm quỷ tích B1.

Hướng dẫn: Gọi A1 là giao điểm của d và (O’,R’). Dựng tiếp tuyến chung xx’ tại điểm A.

Dễ dàng chứng minh: 1 2 1 1 2 1 1 2'A Ax AA A B A A A Ax xAM ABM BB A



1 2ABB A là hình thang cân. Gọi là trung trực của AB.

Khi đó: 2 1:D A B . Do đó 1 ( ', ')B D O R

Bài 18. Cho hai điểm B,C cố định nằm trên đường tròn (O;R) và điểm A thay đổi trên đường

tròn đó . Hãy dùng phép đối xứng trục để chứng minh rằng trực tâm H nằm trên một

đường tròn cố định .

Hướng dẫn : Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp ABC và K là giao điểm của AH và (C).

Khi dó dễ dàng chứng minh được HBC KAC KBC BC là trung trực của HK.

Bài 19. Cho hình vuông ABCD và AB’C’D’ có các cạnh đều bằng a và các đỉnh A chung.

Chứng minh : Có thể thực hiện một phép đối xứng trục biến hình vuông ABCD thành

AB’C’D’.

Hướng dẫn : Giải sử ' 'BC B C E . Ta có : ' : 'AEABE AB F D B B

'

: ''

AE

EC ECD B B

AC AC

,

': '

'AE

EC ECD C C

AC AC

Bài 20. Gọi H là trực tâm ABC . Chứng minh rằng : Bốn tam giác , , ,ABC HBC HAC HAB có

đường tròn ngoại tiếp bằng nhau.

Hướng dẫn : Gọi K là giao điểm của AH và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Khi đó dễ dàng chứng minh được HBK cân tại B :BCD HBC KBC .

Bài 21. Cho tam giác ABC và đường thẳng d đi qua điểm A nhưng không đi qua B, C.

a. Tìm ảnh của ABC qua phép đối xứng dD .

b. Gọi G là trọng tâm ABC , Xác định G’ là ảnh của G qua phép đối xứng trục dD .

Hướng dẫn :

a. Vì d là trục của phép đối xứng dD nên : ( )dA d A D A . ( ) 'dD B B và ( ) 'dD C C

b. Vì G d nên : 'dD G G sao cho d là trung trực của GG’

Bài 22. Cho ABC cân tại A với đường cao AH. Biết A và H cố định. Tìm tập hợp điểm C

trong mỗi trường hợp sau :

a. B di động trên đường thẳng .

b. Bdi động trên đường tròn tâm I, bán kính R.

Hướng dẫn :



c. ,AHC D B B nên 'C với ' AHD .Vậy tập hợp các điểm C là đường thẳng '

d. Tương tự : Tập hợp các điểm C là đường tròn tâm J, bán kính R là ảnh của đường tròn

(I) qua AHD

Bài 23. Cho tam giác ABC có trực tâm H

e. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB,HBC,HCA có bán kính

bằng nhau

f. Gọi 1 2 3, ,O O O là tâm các đường tròn nói trên . Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba

điểm 1 2 3, ,O O O bằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Hướng dẫn :

a. Giả sử 1O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC , thì 1O chính là ảnh của (O)

qua phép đối xứng trục BC . Cho nên bán kính của chúng bằng nhau . Tương tự hai

đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác còn lại có bán kính bằng bán kính của (O) .

b. Ta hoàn toàn chứng minh được 1 2 3, ,O O O là các ảnh của O qua phép đối xứng trục

BC,CA,AB . Vì vậy bán kính các đường tròn này bằng nhau . Mặt khác ta chứng minh

tam giác ABC bằng tam giác 1 2 3O O O .

Bài 24. Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó . Hãy tìm điểm B trên Ox ,

điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất .

Hướng dẫn :

- Tìm A’ đối xứng với A qua Oy , B’ đối xứng với A qua Ox

- Nối A’B’ cắt Ox tại B , cắt Oy tại C . Đó chính là hai điểm cần tìm

- Chứng minh B,C là hai điểm duy nhất cần tìm .

Thật vậy : Do A’ đối xứng với A qua Oy , cho nên CA = CA’ (1) . Mặt khác : B’ đối

xứng với A qua Ox cho nên ta có BA=BB’ (2) . Gọi P là chu vi tam giác ABC thì

P = CA + CB + BA = CA’ + CB + BB’ = A’B’ ( do từ (1) và (2) ).

Bài 25. Cho đường thẳng d và hai điểm A,B ( nằm về hai phía của d ). Tìm điểm M trên d

sao cho MA MB đạt GTLN .

Hướng dẫn :

- Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d



- Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm .

- Thật vậy : ' 'MA MB MA MB A B . Giả sử tồn tại một điểm M’ khác với M trên d ,

khi đó : ' ' ' ' ' 'M A M B M A M B A B . Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’A’B thẳng hàng ,

nghĩa là M trùng với M’.

Bài 26. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) và một đường thẳng d

a. Hãy tìm hai điểm M và M’ lần lượt nằm trên hai đường tròn đó sao cho d là đường

trung trực của đoạn thẳng MM’

b. Hãy xác định điểm I trên d sao cho tiếp tuyến IT với (O;R) và tiếp tuyến IT’ với

(O’;R’) tạo thành một góc TIT’ nhận đường thẳng d là đường phân giác trong hoặc

ngoài .

Hướng dẫn :

a. Giả sử M nằm trên (O;R) và M’ nằm trên (O’;R’) tỏa mãn yêu cầu bài toán

- Vì d là trung trực của MM’ ' ( ') ( ) 'dM C D C M là giao điểm của (C’) và (O’,R’)

- Từ đó suy ra cách tìm :

Tìm hai đường tròn ảnh của hai đường tròn đã cho qua phép đối xứng trục d ( Lần

lượt là (C’) và (C’’)

Hai đường tròn này cắt hai đường tròn đã cho tại 1 2,M M . Sau đó kẻ hai đường thẳng

d’’ và d’’’ qua 1 2,M M cắt (O;R) và (O’;R’) tại 1 2' ; 'M M

Các điểm cần tìm là 1 1, 'M M và 2 2, 'M M

b. : 'dgt D IT IT . Từ đó suy ra cách tìm :

Tìm (C ) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng trục d

Kẻ d’ là tiếp tuyến chung của (C ) và (O’;R’) . Khi đó d’ cắt d tại M.

Chính là điểm cần tìm

Tương tự áp dụng cho (O’;R’)

Số nghiệm hình bằng số giao điểm của các tiếp tuyến chung cắt d .



PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

A. Cơ sở lí thuyết :

1. Định nghĩa : Ký hiệu IĐ là phép đối xứng qua tâm I.

:'!MM MM’ nhận điểm I làm trung điểm.

Ký hiệu : ')( MMĐI

Phép đối xứng tâm hoàn toàn xác định khi biết tâm (điểm cố định )đối xứng của nó.

2. Biểu thức tọa độ : : Cho điểm I(a ; b). Khi đó ta có phép đối xứng tâm I :

);( baID : M(x ; y) M’(x’ ; y’) có tọa độ của ảnh M’ được xác định theo

công thức

yby

xax

2'

2'

3. Tính chất của phép đối xứng trục :

Định lý : Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

Hệ quả :

i. Phép đối xứng tâm biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không

thay đổi thứ tự của chúng.

ii. Phép đối xứng tâm I biến :

Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

Biến đa giác thành đa giác bằng đa giác đã cho.

Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã

cho. {khi đó ta chỉ cần xác định ảnh của tâm đường tròn gốc}.

Định nghĩa : Điểm I là tâm đối xứng của hình (H) nếu phép đối xứng tâm I biến (H)

thành chính nó.

B. Các dạng toán thường gặp :

I. Bài toán 1 : Cho điểm điểm I(a ; b) và hình (H) có phương trình 0),( yxf tìm phương

trình ảnh (H’) của hình (H) qua phép đối xứng tâm I:

Phương pháp :



Gọi M(x ; y) là điểm tùy ý trên đường (H): 0),( yxf .

Gọi M’(x’ ; y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I . Dùng biểu thức tọa độ

yby

xax

2'

2' ta có )'2;'2( ybxaM

0)';'()( yxgHM

(H’) là ảnh của (H) qua phép đối xứng tâm I (H’) là tập hợp tất cả các điểm M’

0);(':)'( yxfH

ĐB :

i. Nếu (H) là đường thẳng ta có thể thực hiện như sau.

Chọn hai điểm M(x0 ; y0) , N(x1 ; y1) cụ thể thuộc đường thẳng (H) .

Dùng biểu thức tọa độ ta có M’(2a - x0 ; 2b - y0) và N’(2a - x1 ; 2b - y1) là ảnh của M

và N qua phép đối xứng trục d.

Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua 2 điểm M’ và N’

)2()2(

)2(

)2()2(

)2(:)'(

10

1

10

1

ybyb

yby

xaxa

xaxd

ii. Nếu (H) là đường tròn ta có thể thực hiện như sau.

Xác định tâm O(x0 ; y0) và bán kính R của đường tròn (H).

Dùng biểu thức tọa độ ta có tọa độ của tâm O’(2a - x0 ; 2b - y0) là ảnh của O qua phép

đối xứng tâm I.

Đường tròn (C’) {là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm I} có tâm là

O’(2a - x0 ; 2b - y0) và bán kính R 22

0

2

0 )2()2(:)'( RybyxaxC

II. Chứng minh các tính chất hình học và tính các yếu tố trong một hình :

Phương pháp :

Từ giả thuyết chọn một điểm I cố định phù hợp để xây dựng tâm đối xứng.

Thực hiện phép đối xứng qua tâm I vừa tìm ở trên.

Dùng tính chất của phép đối xứng tâm để chứng minh các yếu tố hình học hoặc xác

định các tính chất của hình.



III. Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn một tính chất nào đó cho trước : (quỷ tích)

Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho EM nhận điểm cố định I làm làm trung

điểm.

Xác định hình (H) là quỷ tích của E.

Khi đó tập hợp các điểm M là (H’) là ảnh của (H) qua phép đối xứng tâm I.

IV. Dựng hình :

(Dựng điểm M) Tìm một hình (H) cố định và điểm I cố định cho trước sao cho khi

thực hiện phép đối xứng tâm I ta có được ảnh là hình (H’) giao với (C) cố định tại

điểm M cần dựng.

Thực hiện các phép đối xứng tâm để tìm các điểm còn lại từ đó ta có hình cần dựng .

V. Chứng tỏ một phép biến hình f là phép đối xứng tâm :

Từ giả thuyết tìm điểm I cố định .

Chứng tỏ với mọi điểm M qua phép biến hình f cho ra M’ thì ta đều có I là trung

điểm của đoạn thẳng.

C. Bài tập áp dụng :

Bài 1: Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(-2; 6), C(0; 6), D(4; -3) qua phép đối xứng tâm với :

a. Tâm O(0; 0). b. Tâm I(1; -2) c. Tâm H(-2; 3)

Bài 2: Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0).

a. 2x – y = 0 b. x + y + 2 = 0 c. y = 2 d. x = – 1

Bài 3: Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1).

a. 2x – y = 0 b. x + y – 3 = 0 c. y = 2 d. x = – 1

Bài 4: Phép đối xứng tâm I biến d : x – y – 2 =0 thành d’ : x – y + 3 = 0 đồng thời biến

: 2x + y – 1 = 0 thành ' : 2x + y + 4 = 0. Tìm tâm I

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm 1,2 ; 3,0 ; 3, 2A B C .

a. Tìm ảnh của A, B, C qua phép đối xứng tâm O.

b. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

c. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua

phép đối xứng tâm A.



Bài 6: Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1).

a. 2 2( 1) ( 1) 9x y b. 2 2( 2) 4x y

c. 2 2 4 2 4 0x y x y d. 2 2 2 4 11 0x y x y

Bài 7: Tìm ảnh của các đường elip sau qua phép đối xứng tâm I(1; -2).

a. 2 2

1

16 9

x y+ = b. 2 2

4 1x y+ = c. 2 29 16 144x y

Bài 8: Tìm ảnh của các đường hypebol sau qua phép đối xứng tâm I(-1; 2).

a. 2 2

1

16 9

x y- = b. 2 2

4 1x y- = c. 2 29 25 225x y

Bài 9: Tìm ảnh của các đường parabol sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0).

a. 2 2y x b. 2 2x y c. 2y x

Bài 10: Chứng minh rằng tam giác đều ABC không có tâm đối xứng.

Bài 11: Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm G, biết G là trọng tâm

của tam giác ABC.

Bài 12: Trên đường tròn cho hai điểm B,C cố định và điểm A thay đổi. Gọi H là trực tâm

của tam giác ABC . Sử dụng phép đối xứng tâm để tìm quỷ tích của trực tâm H.

Hướng dẫn: Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC. Kẻ đường kính AA’ . Gọi M là

trung điểm của BC (M cố định). Dễ dàng chứng minh được HCA’B là hình bình

hành M là trung điểm của HA’ 'MH D A .

Từ đó suy ra quỷ tích H là ( ') ( )MI D I

Bài 13: Điểm M thuộc miền trong của tứ giác ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là các

điểm đối xứng của M qua các trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA.

Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành.

Hướng dẫn: Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác ta chứng minh được:

' ' ' ' ' ' ' 'A B AC D C A B C D là hình bình hành.

Bài 14: Cho đường tròn (O,R) có dây cung cố định 2AB R . Điểm M chạy trên cung lớn AB

thỏa mãn MAB có các góc đều nhọn, có H là trực tâm của ABM. AH và BH cắt (O) theo

thứ tự tại A’và B’. A’B cắt AB’ tại N.

a. Chứng minh A’B’ là đường kính của đường tròn (O)



b. Chứng minh tứ giác AMBN là hình bình hành.

c. NH có độ dài không đổi khi M chạy như trên.

d. NH cắt A’B’ tại I. Tìm tập hợp các điểm I khi M chạy như trên.

Hướng dẫn:

a. Sử dụng góc nội tiếp và BM là trung trực của HA’ ta chứng minh được 0' ' 90A BB

b. Chứng minh: AM // A’N và BM // AN

c. Chứng minh ' ' ' ' 2BB A BNH NH A B R

d. Gọi J là trung điểm AB. ( )JD M N , ( ) 'JD O O dễ dàng chứng minh được 0' 90OIO .

Do đó I chạy trên cung tròn đường kính OO’ (Vì O và O’ cố định)

Bài 15: Cho đường thẳng d đi qua tâm O của hình bình hành ABCD cắt các cạnh DC, AB

tại P và Q. Chứng minh rằng các giao điểm của các đường thẳng AP, BP, CQ, DQ với

các đường chéo của ABCD cùng là các đỉnh của một hình bình hành.

Hướng dẫn: Xét phép đối xứng tâm O ta dễ dàng chứng minh được O là trung điểm

của hai đường chéo của tứ giác được tạo thành như giả thuyết.

Bài 16: Cho tam giác ABC có AM và CN là hai trung tuyến .

Chứng minh rằng : nếu 030BAM BCN thì tam giác ABC là một tam giác đều.

Hướng dẫn:

Bài 17: Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A,B cố định . Với mỗi điểm M , ta xác định

điểm M’ sao cho 'MM MA MB . Tìm quỹ tích điểm M’ khi điểm M chạy trên (O;R) .

Hướng dẫn:

- Gọi I là trung điểm của AB . Theo tính chất của véc tơ trung tuyến thì :

2MA MB MI , suy ra : ' 2MM MI . Do đó là I là trung điểm của MM’

- Ví A,B cố định , cho nên I cố định . Do đó : 'ID M M . Nhưng M chạy trên (O;R) cho

nên M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I sẽ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R)

Bài 18: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại hai điểm B,C . Hãy dựng một

đường thẳng d đi qua A và cắt (O;R) và (O’;R’) lần lượt tại M và N sao cho A là trung

điểm của MN .



Hướng dẫn:

- Giả sử đường thẳng d đã dựng xong , do A là trung điểm của MN cho nên N là ảnh của

M qua phép đối xứng tâm A vì vậy N phải nằm trên đường tròn (O’’) là ảnh của đường tròn

(O;R) ( vì M chạy trên (O) ). Mặt khác N lại thuộc (O’;R’) vì thế cho nên N là giao của

(O’’) với (O’;R’) . Từ đó suy ra cách dựng .

+/ Dựng đường tròn (O’’) là ảnh của đường tròn (O) : Nối OA , đặt OA=O’’A .

+/ Đường tròn (O’’) cắt đường tròn (O’) tại N . Nối NA cắt (O) tại M .

Biện luận : Số nghiệm hình bằng số giao điểm của (O’’) cắt (O’) .

Bài 19: Cho đường tròn (O;R) , đường thẳng d và điểm I . Tìm điểm A trên (O;R) và

điểm B trên d sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB .

Hướng dẫn:

- Vẽ hình . Do I là trung điểm của AB cho nên B là ảnh của A qua phép đối xứng tâm I .

Mặt khác A chạy trên (O;R) vì thế B chạy trên đường tròn (O’’) là ảnh của (O) qua phép

đối xứng tâm I . Nhưng B lại nằm trên d vì vậy B là giao của d với (O’’)

-Từ đó suy ra cách tìm . Nối IO đặt IO=IO’’ , sau đó dựng đường tròn (O’’) bán kính R ,

cắt d tại B . Nối BI cắt (O;R) tại A .

- Biện luận : Số nghiệm hình bằng số giao điểm của (O’’) với d .

Bài 20: Cho hai tam giác đều OAB và OA’B’ . Gọi C và D lần lượt là trung điểm của

các đoạn thẳng AA’ và BB’ . Chứng minh rằng OCD là tam giác đều ?

Hướng dẫn:

Xét phép quay tâm O với góc quay bằng góc lượng giác ( OA,OB)= 060 . Rõ ràng A biến

thành B và A’ biến thành B’ , vì thế cho nên phép quay đã biến đoạn thẳng AA’ thành đoạn

thẳng BB’ . Từ đó suy ra phép quay đã biến C thành D , do đó OC=OD . Vì góc quay bằng

060 cho nên tam giác cân OCD là tam giác đều .



Bài 21: Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các hình vuông BCMN và ACPQ có tâm lần

lượt là O và O’ .

a. Chứng minh rằng khi cố định hai điểm A,B và cho C thay đổi thì đường thẳng NQ luôn

đi qua một điểm cố định .

b. Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh rằng IOO’ là tam giác vuông cân .

Hướng dẫn:

a. Vẽ hình theo giả thiết đã cho . Từ hình vẽ , giải cho học sinh bài toán phụ : Cho hai điểm

A,B cố dịnh , với mỗi điểm M và với hai phép quay tâm A , tâm B có cùng góc quay thì

phép hợp của hai phép quay là một phép đối xứng mà tâm đối xứng là đỉnh goác vuông

của tam giác vuông cân OAB ( O là tâm đối xứng ).

Như vậy : : , :A BQ C N Q C Q NQ đi qua tâm đối xứng H được xác định bằng cách

dựng tam giác vuông cân HAB

b. Tương tự như trên : ': ; :O OQ C B Q C A AB đi qua tâm đối xứng I được xác định

bằng tam giác vuông cân OO’I ( với I là đỉnh của góc vuông ). Như vậy tam giác O’OI

là tam giác vuông cân .

Bài 22: Cho đường tròn (O), dây cung AB cố định, M là một điểm di động trên (O),

M không trùng A và B. Hai đường tròn (O1) và (O2) cùng đi qua M và theo thứ tự

tiếp xúc với AB tại A, B. Gọi N là giao điểm thứ 2 của (O1) và (O2).

a. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

b. Tìm tập hợp các điểm N khi M chạy trên (O).

Hướng dẫn:

a. Gọi I MN AB . Khi đó sử dụng phương tích : 2

2

.

.

IA IM INIA IB

IB IM IN

.

Do đó MN đi qua I là trung điểm AB

b. Gọi P là giao điểm của MN và (O). khi đó ta có:

2

2

. .

.

IP IM IA IB IA

IA IM IN

. .IP IM IM IN IP IN :ID P N (với P chạy trên đường tròn (O)).



Bài 23: Cho Hai đường tròn (O, R) và (O’,R’) cắt nhau tại A, B. Hãy dựng đường thẳng

qua A cắt (O,R) và (O’,R’) lần lượt tại M và M’ sao cho A là trung điểm của MM’.

Hướng dẫn: Xét phép đối xứng tâm A.

Bài 24: Cho hai đường thẳng d1 và d2. Hai điểm A, G không thuộc d1 và d2. Hãy dựng

tam giác ABC có trọng tâm G và hai điểm B, C lần lượt nằm trên d1 và d2.

Hướng dẫn: Xét phép đối xứng tâm I. với I được xác định : 3AI GI

Education

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM