• Definizione di Pi greco secondo Archimede• Valore di Pi greco nella storia• Aneddoti e curiosità• Quadratura del cerchio• Approssimazione del valore di Pi greco con

Cabri

(Pi greco)

3,14..... così ce lo hanno insegnato a scuola, quel numero che serve ad esempio a calcolare

l'area di un cerchio.

• Ma quel numero come si calcola e perché?• Fino a quante cifre decimali di pi greco la mente umana conosce?

= C d = C 2r

Cioè C = d

• Pi greco è un numero reale irrazionale trascendente ed è anche detto Costante di Archimede.

• Pochi simboli hanno la notorietà di Pi greco e pochi argomenti matematici competono per fama con il problema della “quadratura del cerchio”.

Pi greco è veramente un numero speciale, che interviene quasi misteriosamente in tanti aspetti della matematica.

• In trigonometria esso è definito come il più piccolo numero strettamente positivo per cui sen(x)=0 oppure il più piccolo numero che diviso per 2 annulla cos(x).

numero reale che non è un razionale, cioè non può essere scritto come una frazione a / b con a e b interi, con b diverso da zero. I numeri irrazionali sono esattamente quei numeri la cui espansione in qualunque base non termina mai e non forma una sequenza periodica. I numeri reali possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, detta retta numerica o retta reale.

Numero trascendente

Numero Irrazionale

numero che non è zero di alcun polinomio a coefficienti interi. Poiché ogni razionale a/b è la soluzione di bx-a =0, tutti i trascendenti sono anche irrazionali. L'insieme di tutti i numeri irrazionali non è numerabile.

Archimede e Pi greco• Nel III secolo a.C. Archimede approssimò il valore di pi greco

con un metodo innovativo che si basava sul calcolo dei perimetri di due poligoni, uno inscritto nel cerchio e l'altro circoscritto, per trovare così un'approssimazione alla circonferenza del cerchio. Egli riconobbe che il rapporto fra circonferenza di un cerchio ed il suo diametro erano costanti.

• In passato già altre popolazioni, come i babilonesi, gli egiziani e i cinesi, riuscirono a trovare diverse approssimazioni di Pi, ma il metodo di Archimede differisce dalle precedenti approssimazioni per un passaggio fondamentale: egli non ottiene il valore attraverso il confronto fra l’area o il perimetro di certi poligoni con quella del cerchio, ma utilizza un procedimento con cui si può trovare un'approssimazione accurata quanto si desidera semplicemente ripetendo il processo, usando le precedenti stime di Pi per ottenerne di nuove. Nella spiegazione del metodo, Archimede, ha saltato molti passaggi e quelli che ci sono spesso non sono chiari, così gli studiosi di matematica hanno introdotto delle variazioni al suo metodo per dimostrarlo in una via più semplice.

TEOREMA PRELIMINARE• Archimede poligoni inscritti e circoscritti in un cerchio utilizza il teorema di Euclide per calcolare il perimetro di un poligono circoscritto di 2n lati, una volta che è noto il perimetro del poligono di n lati.

Esagono circoscritto

Calcolo perimetri dei poligoni di 12, 24, 48 e 96 lati usando i poligoni inscritti

Procedimento di Archimede

(metodo di espansione)

All’aumentare del numero n di lati del poligono regolare inscritto in un cerchio, il perimetro pn approssima sempre meglio la circonferenza

rettificata. Ricordando che essa è legata al raggio dalla relazione c = 2Π ∙ r ricaviamo

approssimazioni per difetto di Π.

Vale la disuguaglianza: pn < c

che può essere riscritta nella forma: pn < 2Π ∙ r

Dividendo per 2r si ottiene: pn /2r < Π

Il rapporto pn /2r dà approssimazioni di volta in volta migliori di Π!!

Il calcolo di Π

Partiamo dall’esagono regolare e ogni volta raddoppiamo il numero di lati. Sappiamo che:

L’esagono regolare inscritto in una circonferenza γ ha lato uguale al raggio;

I vertici del poligono regolare che ha un numero doppio di lati si ottengono bisecando ogni arco di circonferenza limitato da due vertici consecutivi.

Avendo una circonferenza γ di centro

O e raggio r

si prenda una corda AB (che è anche il lato del poligono regolare di n

lati)

si tracci, poi, la bisettrice dell’angolo AÔB e si

indichi con C il punto in cui interseca l’arco AB

In questo modo si dimezza l’arco AB e la corda AC è il lato del

poligono regolare di 2n lati.

O

A

Cn=6

pn= n • AC n • AC/2r approssimazione di ?

n=12

n=24n=48

n=96

Costruiamo ora, una tabella in cui inserire i risultati via via ottenuti dimezzando gli archi.

Numero di lati

Lato AC pn = n ∙ AC n ∙ AC/2r approssimazione di Π

6 r 6r 3

12 0.5176380 6.211656 3.1058285

24 0.2610523 6.2652552 3.1326280

48 0.1308062 6.2786976 3.1393491

96 0.0654381 6.2820576 3.1410305

In questo modo si ottengono approssimazioni per difetto di Π

INFATTI:

Con n = 96 si ottengono le prime due cifre decimali di

Π = 3.14…

Con n = 192 si stabilisce anche la terza cifra decimale.

Un aneddoto su John Horton Conway

Chi parla è John Conway."Un giorno decisi di imparare a memoria le prime mille cifre del pi greco - ricorda Conway - stimolato da mia moglie Larissa, una matematica di origine russa, che aveva bisogno del valore di pi greco e non ricordava che era 3,14. Le insegnai le prime cento cifre che ricordavo già a memoria. Ma questo a lei non bastava e, visto che anch'io non sapevo andare oltre, decidemmo insieme di programmare lo studio di cento nuove cifre ogni giorno, per arrivare almeno a mille, da imparare nei momenti in cui eravamo insieme, al di fuori del nostro lavoro"."E' stato divertente - continua Conway - perché ogni domenica facevamo una passeggiata fino a Grantchester, una graziosa, piccola cittadina vicino a Cambridge e lungo il percorso recitavamo a turno i gruppi successivi di 20 cifre del pi greco, come fossero piccole poesie. Venti cifre io e venti cifre mia moglie e così di seguito, alternandoci nella recita: in questo modo siamo arrivati a memorizzare le mille cifre del pi greco".

Come ricordare pi?Esistono molte frasi o filastrocche in diverse lingue chepermettono di ricordare a memoria un certo numero di

cifredi pi. Eccone un esempio:Ave o Roma o Madre gagliarda di latine virtù che

tantoluminoso splendore prodiga spargesti con la tuasaggezza.Che n'ebbe d'utile Archimede da ustori vetri sua

sommascoperta? Qual è il segreto per ricordare??Ogni parola rappresenta una cifra di pi. Per sapere

quale,basta contare le lettere.

Ave oRom

ao

madre

gagliarda

dilatin

evirtù ...

3, 1 4 1 5 9 2 6 5 ...

Poi c'è il capolavoro, quello che ricalca la poesia "The Raven“

di Poe... 740 cifre di pi greco in un'unica poesia (scritta da

Mike Keith). Questa è la prima strofa:

Near a RavenMidnights so dreary, tired and weary.

Silently pondering volumes extolling all by-now obsolete lore.During my rather long nap - the weirdest tap!

An ominous vibrating sound disturbing my chamber's antedoor.

INGLESE

Now I - even I- would celebratein rymes unapt the great

immortal Syracusan rivaled nevermore

who in his wondroust lorepassed on before

left men his guidancehow to circles mensurate.

ITALIANO

Ora io - anch'io - celebreròcon inadatte rime il grandeimmortale Siracusano senza

rivaliche nel suo meraviglioso

gioconei tempi passati

lasciò agli uomini le sue istruzioni

su come misurare i cerchi.

Le regole di codifica sono le seguenti:Una parola di N lettere rappresenta:- la cifra N se N<10- la cifra 0 se N=10- due cifre adiacenti se N>10 (ad esempio una parola di 12 lettere rappresenta le cifre 1 e 2).

Pi-day Ogni anno, il 14 marzo, simboleggia il giorno del pi

greco, detto appunto pi day.

La quadratura del cerchio costituisce uno dei problemi classici della geometria greca.

Il suo scopo è costruire un quadrato che abbia la stessa area di un dato cerchio, con uso esclusivo di riga e compasso.

Un cerchio e la sua "quadratura", hanno la stessa area

Il problema risale alle origini della geometria, e ha tenuto occupati i matematici per secoli. Fu solo nel 1882 che l'impossibilità venne provata rigorosamente, anche se i geometri dell'antichità avevano afferrato molto bene, sia intuitivamente che in pratica, la sua intrattabilità, che dipende unicamente dalla limitazione di dover usare solo una riga non graduata e un compasso.

Trovare una soluzione richiederebbe la costruzione del numero radice π (infatti l'area del cerchio è πr2, e quindi un quadrato con area πr2 deve avere lato pari a ).

L'impossibilità di una tale costruzione deriva dal fatto che π è un numero trascendente, ovvero irrazionale, e quindi non-costruibile.

Ora vediamo cosa accade se proviamo a risolvere la questione in termini esclusivamente geometrici.

2) Ora, immaginiamo di "srotolare" lungo un piano ciascuna "circonferenza, procedendo dalla più grande “esterna" fino alla più piccola (il punto centrale, il quale resta fisso al suo posto).

3) Fatto? Bene. Allora: ciascuna "circonferenza srotolata" si disporrà al di sopra della precedente, ma ognuna sarà di un frammento, piccolo quanto si vuole, più "corta" della precedente.Tutto questo procedimento andrà ripetuto fino a quando non si giunga alla più "piccola" di tutte, la quale è costituita dal punto centrale del cerchio, che, essendo un punto, non si "srotola".

1) immaginiamo il cerchio come una forma costituita di un numero infinito di cerchi concentrici, sempre più piccoli, ciascuno racchiuso nel precedente. Qualcosa di simile ad una "matrioska" di circonferenze, di cui le più piccole convergono a quel punto che costituisce il centro del cerchio originario.

4) Si sarà così formato un triangolo rettangolo, avente per cateto minore il raggio del cerchio e, per maggiore, la sua circonferenza.(Ne risulterà l'ovvia conseguenza che l'area di quel triangolo, equivalente al cerchio, sarà il prodotto del raggio per la circonferenza, diviso due, ossia il quadrato del raggio per pi greco).

5) Dividiamo a metà, ora, con un compasso, il cateto maggiore di quel triangolo, quindi solleviamo la perpendicolare a quel punto, fino ad incontrare la parallela al cateto che passa per il centro del cerchio.

6) Il rettangolo così ottenuto equivarrà all'area del triangolo ottenuto dal cerchio, infatti il triangolo rettangolo escluso da quest'ultimo è uguale a quello aggiunto nel rettangolo in oggetto.

Continua

Triangolo RettangoloTriangolo Rettangolo

C

A

r

B2rTT

Centro del cerchioCentro del cerchio

C

A

r

B2rTT M

7) A questo punto, disponiamo un altro rettangolo uguale a quello così ottenuto, "al di sopra" del precedente, in modo che il lato più corto, che equivale al raggio del cerchio, abbia origine dal centro del cerchio stesso e collimi con il lato maggiore dell'altro, lato maggiore che è uguale a metà della circonferenza.

8) Il lato maggiore del poligono così ottenuto sarà uguale alla somma del raggio e di metà della circonferenza del cerchio di origine.

9) Dividiamo questo lato con un compasso, quindi, dal punto centrale di questo segmento, tracciamo un semicerchio in modo che esso incontri il lato maggiore del rettangolo di cui al 6).

Continua

SemicerchioSemicerchio

C

A

r

B2rTT M

D

rTT

r

N

E

RettangoloRettangolo

C

A

r

B2rTT M

D

rTT

r

10) Si vuole dimostrare che: il segmento che si ritraccia dal centro del cerchio di partenza, fino al punto in cui il semicerchio di cui al 9) incontra il lato maggiore del rettangolo in cui è stato trasformato il cerchio E' ESATTAMENTE IL LATO DEL QUADRATO la cui area equivale al cerchio stesso.

Dimostrazione tratta da FORUM www.riflessioni.it

Babilonesi ed Egiziani

In Mesopotamia per ottenere l’area del cerchio si usava la formula A=c2/12, dove c indica la circonferenza; ciò

equivale ad usare come valore di π il numero 3.

Per calcolare la lunghezza della circonferenza inscritta nell'esagono regolare, i babilonesi usavano un rapporto che

implicava per π il valore di 3+1/8, che equivale a 3,125.

Gli antichi egizi calcolavano l'area del cerchio mediante la formula A=(8/9 d)2, dove d è il diametro. In questo caso π

assume il valore 256/81 (circa 3,1605).

La scoperta di Archimede.. Occorre arrivare al grande Archimede di Siracusa

(287-212 a.C.), per avere i primi due decimali esatti di π. Egli cerca di calcolare la lunghezza della circonferenza per mezzo del perimetro dei poligoni inscritti e circoscritti. La circonferenza ha infatti una lunghezza compresa tra il perimetro di un poligono inscritto e quello di un poligono circoscritto ad essa.Le misure di tali perimetri si avvicinano sempre più tra loro con l'aumentare del numero dei loro lati, permettendo di restringere sempre più l'intervallo entro il quale dev'essere compresa la misura della circonferenza che si desidera trovare. Per tale via, egli riesce quindi a stabilire due valori tra cui p è compreso: (3+10/71) <π< (3+1/7). Il primo dei due valori vale 3,1408... e il secondo vale 3,1428... Sono occorsi quasi due millenni per passare da una a tre cifre esatte del nostro numero. Non basterà invece il tempo passato e futuro dell'umanità per trovare tutte le altre cifre.

..Le scoperte continuano

Lambert nel 1761 ha dimostrato che πè un numero irrazionale. Perciò le sue cifre decimali sono illimitate e non periodiche e nessuno potrà mai scriverle tutte. Successivamente, nel 1882, Lindemann dimostrò che π è un numero trascendente (significa che esso non può essere ottenuto da un'equazione algebrica a coefficienti razionali), ponendolo in una particolare categoria di numeri irrazionali,

che si distinguono rispetto a quelli cosiddetti algebrici .

Tappe della scoperta delle cifre decimali

I romani, si sa, non dedicavano molti sforzi allo studio delle scienze. Essi si limitarono alla conoscenza, senza ulteriori approfondimenti, delle opere dei greci e gran parte della geometria di Archimede finì per essere dimenticata. Gli uomini del medio evo dovevano risolvere problemi di stretta sopravvivenza e non potevano certo dedicarsi agli studi. Dobbiamo perciò arrivare al Rinascimento, per assistere ad uno spettacolare rifiorire della scienza. In tale periodo, tra i matematici, si sviluppò un'ampia ricerca sui numeri irrazionali. François Viète (1540-1603), riprendendo il metodo di Archimede ed usando le radici quadrate, calcolò il valore di π considerando poligoni regolari di 4, 8, 16,... lati inscritti in un cerchio di raggio unitario. Per tale via egli trovò che il valore di π è dato da:

Il reciproco del valore ottenuto, moltiplicato per 2, fornisce un valore sempre più approssimato di π.

L'inglese John Wallis (1655), usò una frazione, i cui termini sono costituiti da una serie ininterrotta di moltiplicazioni. Dal numero di fattori usati dipende l'approssimazione di π:

π /4 = (3.3.5.5.7.7...)/(2.4.4.6.6.8...)

Wallis usava numeri razionali per calcolare π, contrariamente a Viète che usava le radici quadrate. Tuttavia la formula di Wallis richiede almeno 1000 termini per avere le prime due cifre decimali esatte di π. Il grande Gottfried Wilhelm von Leibniz ottenne nel 1674 il famoso risultato:

Siamo dunque arrivati a definire π come il quadruplo della somma a segni alternati dei reciproci nella successione dei numeri dispari.

Il nome pi greco A questo punto va detto che il nostro π non ha ancora

assunto il suo attuale nome. Fu il matematico inglese William Jones che, nel 1706 usò il simbolo π, in onore di Pitagora (l'iniziale di Pitagora nell'alfabeto greco è appunto Π, ma, trattandosi di un numero, si preferisce usare la minuscola ). Tuttavia, ancora nel 1739 lo svizzero Leonhard Euler (1707-83), da noi italianizzato in Eulero, usava il simbolo π. Fu proprio Euler nel 1743 a fornire una ennesima formula per il calcolo di π:

La formula di Euler è più efficace di quella di Leibniz, per il fatto di usare solo termini positivi.

Anche noi possiamo calcolare il pi greco!

È sufficiente usare una comune calcolatrice per avere con facilità un bel numero di cifre esatte di π eseguendo un rapporto che fornisce le prime 7 cifre decimali d π, con un piccolissimo errore:

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