Parte 2

Raíces de un polinomio

La raíz de un polinomio es un número tal que hace que el polinomio valga cero. Es decir que, cuando resolvamos un polimonio a cero, las soluciones son las raíces del polinomio.

Por ejemplo el polinomio

f(x) = x2 + x - 12

Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos:

x2 + x - 12 = 0 I gualando a cero.

(x + 4)(x - 3) = 0 Factorizando.

x = - 4 Solución 1

x = 3 Solución 2

Puesto que x1 = - 4 y x2 = 3 son soluciones de f(x) entonces f( -4 )= 0 y f( 3 )= 0. Decimos entonces que x = - 4 y x = 3 son raíces del polinomio f(x)= x2 + x - 12

Las raíces de f(x) = x3 - 4 x2 + x + 6 son x = - 1, x = 2 y x = 3

Regla de Ruffini

Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar de ejemplo la división:

(x4 − 3x2 + 2 ) : (x − 3)

1-Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros. 2-Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea. 3-Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independen diente del divisor.4-Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5-Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

6-Sumamos los dos coeficientes.

7-Repetimos el proceso anterior.

-Volvemos a repetir el proceso.

-Volvemos a repetir.

8El último número obtenido, 56, es el resto.

9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

x3 + 3 x2 + 6x +18

Teorema del resto

El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

-Calcular por el teorema del resto el resto de la división:

P(x) : Q(x)

P(x)= x4 − 3x2 + 2         Q(x) = x − 3

P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

Teorema Fundamental del álgebra: Teoría.

El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo p de grado n > 0, la ecuación p(z) = 0 tiene exactamente ”n” soluciones complejas, contando multiplicidades. De manera equivalente:

• El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.• Todo polinomio complejo de grado n se puede expresar como un producto de n polinomios de la forma .

Teorema Fundamental del álgebra: Ejemplo.

El polinomio real (y por lo tanto también complejo):

x3 − 2x2 − 4x + 8 = (x − 2)2(x + 2)

Tiene 2 como raíz doble, y -2 como raíz simple, lo que da en total tres raíces.

Factor Común• 1° Paso: Buscamos el factor común (que debe ser el mayor posible)

• 2° Paso: Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que resulta de dividir el polinomio dado por el factor común.

• Ejemplo: 3/4p² - 3p³ + 9p = 3p (1/4p – p² + 3) 5xy² + 5/3x³y³ + 10x³ y² = 5xy² (3x²y + 2x²)

ab³c – 3 a²b² + 2 ab²c= ab (b²c – 3ab + 2bc)

40xy³ - 10x²y³ - 15xy= 5xy (8y² - 2xy² - 3)

FACTOR COMÚN POR GRUPOS Se aplica en polinomios que no tienen factor común en todos sus términos.

•1° Paso: Se forman grupos de igual cantidad de términos que tengan factor común, se sustrae dicho factor común en cada uno de los grupos.

•2° Paso: Debe quedar un paréntesis común.

•3° Paso: Se extrae dicho paréntesis como factor común.•Ejemplo: 2 a x – a y + 5 a + 2 b x – b y + 5 b = a ( 2 x – y + 5 ) + b ( 2 x – y + 5 ) = ( 2 x – y + 5 ) * ( a + b )

• 4/5 a²m³xy – 2/15b²m³x + 10 a²y – 5/3b²= 2/5m³x (2 a²y – 1/3b²) + 5 (2 a²y – 1/3b²) = (2 a²y – 1/3 b²) (2/5m³x + 5)

• 5/6 a²bm³ - 3/2m³ + 6x – 10/3 a²bx= 1/2m³ (5/3 a²b – 3) – 2x (5/3 a²b – 3)= (5/3 a²b – 3) (1/2m³ - 2x)

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

• 1°Paso: Se reconocen los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante.

• Y calculo sus raíces cuadradas, dichas raíces serán las bases.• 2° Paso: Luego calculo el doble producto de sus bases; y luego

nos fijamos si se verifica que el doble producto figura en el trinomio dado,

• 3° Paso: Si el doble producto figura en el trinomio dado, entonces decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; y luego lo factorizo como el cuadrado de un binomio, formado por dichas bases.

• Ejemplo:

CUATRINOMIO CUBO PERFECTO • 1°Paso: Se reconocen los cubos perfectos• Y calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán las bases.

• 2° Paso: Luego calculo:– el triple producto del cuadrado de la primera base por la

segunda– el triple producto de la primera base por el cuadrado de la

segunda• Luego nos fijamos si estos cálculos figuran en el cuatrinomio

dado,

• 3° Paso: Si estos cálculos figuran en el trinomio dado, entonces decimos que es un Cuatrinomio Cubo Perfecto; y luego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas bases.

• Ejemplo:

DIFERENCIA DE CUADRADOS • 1° Paso: Debo identificar la resta (debe haber un solo signo

negativo) y luego los cuadrados perfectos.

• 2° Paso: Calculo las bases de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno)

• 3° Paso: Transformo la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados, formado por dichas bases.

• Ejemplo: x² - 4 = (x + 2) (x-2) • m² - 9n² = (m+3n) (m-3n)

• 25/16 m² n² - 9/16 = (5/4mn)² - (3/4)² = (5/4mn + ¾) (5/4mn – ¾)

Raíces de un polinomio con coeficientes enteros

Lema de Gauss• El lema de Gauss dice que una fracción irreducible

P/Q es raíz de un polinomio de coeficientes enteros si P es divisor del termino independiente y Q es divisor del coeficiente principal.

Este lema no nos da exactamente las raíces, pero nos permite achicar el conjunto de posibles raíces para poder factorizar utilizando Ruffini.

P(x) = 2x³ - 3x² - 2x + 3 P/Q= div termino independiente div coeficiente principal

Raíces múltiples• Si al hallar las raíces de un polinomio una de ellas aparece

mas de una vez, esa es una raíz múltiple. Por Ej: si la raíz aparece dos veces decimos que la raíz es doble o es triple si aparece tres veces; decimos que es múltiple de orden 4 si aparece cuatro veces, etc.

• Una raíz múltiple corresponde a un punto donde una función es tangente al eje x. Por ejemplo, una raíz doble resulta de:

• f(x) = (x-3)(x-1)(x-1)• multiplicando términos este polinomio luce como• f(x) = x³ - 5x² + 7x – 3

Polinomios Primos• Todo polinomio de grado no nulo que no puede expresarse

como producto de polinomios de menor grado no nulo, es un polinomio primo (también llamados irreducible)

• Por Ej: los polinomios de grado 1, como: P(x) = x + 1 ; R(x) = - ¼ x + 2/3, son primos.

• También son, en números reales, los de grado 2 que no tienen raíces reales, como:

• Q(x) = x² + 1• Propiedad: Todo polinomio de grado mayor que 2, puede

escribirse como producto de polinomios primos, de menor grado, con coeficientes reales. Por lo tanto, los polinomios cuyo grado es impar tienen, al menos, una raíz real.

Florencia Paz, Juan Pablo Vasquez, Pamela Araoz, Dana Villa, Lucas Zeitune, Carina Mansilla . 1°2° Economía. 2011

Bibliografía

http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio

http://www.vitutor.net/1/0_14.html

http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/factorizacion/factorizacion_polinomios.htm

Libro de estudio: Matemática I . Ed. Santillana Perspectivas.