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Centro Regional Universitario de San Miguelito
Facultad de Ciencias de la Educación
Escuela de Formación Pedagógica
Carrera Educación Primaria
Profesora:
Raquel Atencio
Participantes:
Arrieta, Dessiré 8-725- 1931 García, Aida 4-791-1884 Torres, Yadira 8-404-425 Bazo, Yisell 8-372-251
Ortiz, Carmen 1-27-2419 Vega, Yanette 8-708-1733 Morales, Ameth 1-18-1557
II Semestre 2015
Justificación En el nivel primario la enseñanza de la asignatura de matemática se divide en cinco áreas a saber: Aritmética, Sistemas de medidas, Geometría, Estadísticas, y prevalida, Algebra.
El curso de geometría tiene como propósito preparar a los estudiantes de la licenciatura de educación primaria en el dominio de los conocimientos matemáticos básicos de las áreas de Geometrías y Estadística. El manejo correcto de estos temas le permitirá a este egresado. En los ejercicios de su profesión, escoger apropiadamente las estrategias didácticas que llevaran en el futuro alumnos a lograr aprendizajes significativos.
Cabe indicar, que el conocimiento de geometría es indispensable en el quehacer diario de todo individuo pues ella aparece en cualquier contexto ya sea de manera directa o indirecta, ayuda a la formación del razonamiento lógico y desde la antigüedad hasta nuestros días ha contribuido al desarrollo de la humanidad.
Descripción: El curso de geometría es una asignatura obligatoria del plan de estudio de la licenciatura en educación primaria que se ofrece en el IV Semestre de la carrera. El mismo permitirá al estudiante adquirir el conocimiento de los temas correspondiente a las áreas de geometrías y Estadísticas que se añaden a nivel universitarios
El mismo se desarrolla a través de módulos:
El primero: hemos considerados concepto de geométricos fundamentales aborda los conocimientos preliminares necesarios para estudiar los temas que siguen, como lo son términos no definidos en Geometrías, clases de líneas, segmentos, rayos, y ángulos. A demás se ilustrara el juego de geometría.
El segundo módulo: corresponde al estudio de los polígonos estudiamos los triángulos y cuadriláteros. Cabe indicar que en la sección de triangulo se estudia el teorema de Pitágoras.
Competencias:
1. Básicas: Comunica de forma oral y escrita de manera clara concisa, continua y fluida los conocimientos matemáticos básicos útiles básicas para la formación
2. Genéricas: trabaja en equipo para solucionar problemas considerando las ideas de los compañeros
3. Identifica, plantea, resuelve los problemas. 4. Aplica los conocimientos adquiridos en la prácticas 5. Presenta capacidad de abstracción, análisis y síntesis.
Especificas: Aplica concepto geométrico fundamental (punto, líneas, superficie, segmento, rayo y Angulo) en la solución de los problemas geométricos Evaluación: se considera los tres momentos y forma de la evaluación; la evaluación diagnostica, formativa y sumativa. El proceso de evaluación debe ser continuo por los que debe considerar la evaluación. El proceso de evaluación debe ser continuo por lo que debe considerar la evaluación diagnostica, lluvias de ideas. Para la evaluación sumativa debe hacerse con los estatutos de la universidad de Panamá, que el capítulo VIII artículo 280, 281,282. 1. Exámenes parciales 30% a un 40% 2. Pruebas cortas talleres, etc. de un 20% a un 30% examen
final 30% -40% Programación Analítica Módulo #1 conceptos geométricos fundamentales Competencia de módulo. Aplica concepto geométricos fundamentales (punto, líneas, superficie, segmentos rayos, y ángulos) es la solución de problema geométricos del entorno valorando su importancia
Sub-Competencia contenidos Estrategias didácticas
evaluación
Conoce de manera intuitiva los términos no definidos en geometrías valorando su importancia en la construcción de figuras geométricas
1.1 Términos no definidos
1.1.1 punto 1.1.2 líneas 1.1.3 Superficie
Brinda ejemplos de objetos que nos dan ideas de punto, líneas y superficie Presenta carteles con dibujos que contengan líneas, rectas, curvas, mixta y quebradas,
1. diagnóstica prueba escrita
2. formativa, talleres, presentación oral, escrita
3. sumativa prueba corta, trabajo en grupo
Clasificas las líneas de acuerdo a su forma, posiciones en el espacio y por la relación que guardan entre si
1.2 Clasificación de las líneas
1.2.1por su forma Recta C:Curva D:Quebrada mixta
Demuestra pericia en el trazo a mano alzada de líneas horizontales, verticales y oblicuas
1.2.2 Por su posición en el espacio a. Vertical horizontal
1 UNIDAD
I. ¿CÓMO Y CUÁNDO NACIÓ LA GEOMETRÍA? A- Precursores:
1. Pitágoras 2. Euclides
II. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRÍA Punto Línea Superficie
III. GENERALIDADES DE LÍNEAS Y ÁNGULOS 1. Puntos y líneas en el plano 2. Líneas quebradas y mixtas 3. Líneas horizontales, verticales y oblicua 4. Líneas entre dos puntos 5. La semirrecta 6. El segmento
6.1 Clases de segmento 6.1.1 Consecutivos 6.1.2 Adyacentes 6.1.3 Incidentes 6.1.4 Disyuntos
1. El ángulo 1.1 cóncavo y convexo 1.2 consecutivos y adyacentes 1.3 clasificación de los ángulos atendiendo a su
amplitud. 1.4 Suma y restas de ángulos 1.5 Ángulos complementarios y suplementarios.
I. EL JUEGO DE GEOMETRÍA a) Instrumentos b) Uso del juego de geometría
b.1 Trazado de una perpendicular a un segmento dado.
b.2 Trazado de paralelas
ALGUNOS PRECURSORES DE LA GEOMETRÍA
Pitágoras ( 582-500 a.C)
Filósofo y matemático griego creador de la escuela Pitagórica, en ella se estudiaron los números pares, impares, primos, los cuadrados que son necesarios en la Teor ía de los números.
En la geometr ía, su gran descubrimiento fue el Teorema que establece:
“El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados”, conocido como Teorema de Pitágoras.
EUCLIDES ( 365-275 a.C)
Matemático griego famoso por su libro
LOS ELEMENTOS.
Su geometría se basa en el postulado: “por un punto exterior a una recta solo puede trazarse una perpendicular a la misma y una sola”.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRÍA
El punto: no tiene longitud, ni anchura, ni espesor; es cero dimensional no tiene no ninguna dimensión.
La línea: solo tiene longitud, no tiene ancho ni espesor. Es uni- dimensional.
Superficie: tiene largo y ancho, pero no tiene este espesor. Es bidimensional.
GENERALIDADES DE LÌNEAS Y ÀNGULOS• Desde un punto puede originar una serie
infinitas de líneas, en un plano existen infinitos puntos y en una línea existen infinitos puntos.
LÌNEAS QUEBRADAS Y MIXTAS
Línea quebrada: combinación de porciones de líneas rectas.
Línea mixta: combinación de porciones de líneas rectas y curvas.
LÌNEAS VERTICALES, HORIZONTALES Y OBLICUASLínea vertical: sigue trayectoria
de cualquier objeto.
Línea horizontal: no tiene ninguna inclinación.
Línea oblicua: tiene una inclinación, no es vertical ni horizontal.
I. Llena los espacio con la respuesta correcta.1. Conceptos fundamentales de la geometría: punto , Línea , superficie
2. Atendiendo a su dirección o posición, las rectas pueden ser: Vertical , horizontal , oblicua
3. Dos clases de líneas: curva , recta
4. Dos combinaciones de líneas: quebrada , mixta
5. Si las líneas se tocan en sus extremos, se llaman: cerrada
6. Por un punto pueden pasar infinitas líneas rectas.
7. Semirrectas conoce origen Común y sentidos opuestos adyacentes .
8. Atendiendo a la unión o no de sus extremos, ya su posición, los segmentos se clasifican en: Consecutivos , adyacentes , incidentes , disyuntos
9. Al comparar dos segmentos, se puede presentar una de tres situaciones que son: Menor , mayor , igual
10. Por dos puntos pasa sólo una línea recta.
11. En un plano se originan infinitas semirrectas.
1. Combinación de porciones de líneas rectas 8 Línea2. Segmentos que no tienen ningún punto en común 6 Semirrecta 3. Semirrectas con origen y sentidos opuestos 12 Segmento 4. No tiene longitud ni anchura ni altura 7 Línea Mixta5. Línea que no tiene inclinación 14 Segmentos Incidentes6. Tiene una sola dirección y un solo sentido 3 Semirrectas adyacentes7. Combinación de porciones de líneas rectas y curvas 13 Euclides8. Sólo tiene longitud 1 Línea quebrada9. Semirrectas con origen común 15 Medir10. Líneas que tienen una inclinación 11 Superficie12. Porción de línea recta limitada por dos puntos 5 Línea horizontalllamados extremos. 2 Disyuntos13. Autor del libro “Los Elementos” 10 Línea oblicua14. Segmentos que tienen punto en común que no es 9 Semirrectas consecutivasninguno de sus extremos.15. Comparar dos magnitudes 4 Punto
Atendiendo a su forma, escribe el nombre de cada figura y clasifícala en abierta o cerrada.
a: ________Curva________ a: _________Abierta______
b:_____Mixta_____ b:____Cerrada____
c:_____Mixta_____c:____Abierta_____
Basándose en su definición, escribe cómo son los segmentos:
a. ___Vertical___ b. __Horizontal___ c. ___Oblicua___
Identifica cada línea por su nombre:
a. _Semirrecta_ b. ___Segmento__ c. _Línea horizontal_ ___ (recta) ______
IV. Sopa de letrasBusca los siguientes conceptos geométricos.
OBJETIVOS: 1Definir el concepto de ángulo.
2Clasificar ángulos de acuerdo con su amplitud.3Resolver suma y restas de ángulos.
EL ÁNGULOEl ángulo es la porción de plano limitado por dos semirrectas con origen común llamado lados.
A
Lados
RegiónVértice angular
< A o BLados B
• Ángulo convexo: está comprendido entre los lados o semirrectas del ángulo.
• Ángulo cóncavo: al prolongar sus lados por el origen común, contiene dichas prolongaciones.
ángulocóncavo ángulo
convexo
ÁNGULOS CONSECUTIVOS Y ADYACENTES
Ángulos consecutivos:
C
B
A
< A o B y < B o C Son consecutivos.
Ángulos adyacentes:
B
C A
< A o B y < B o C Son adyacentes
CLASIFICACIÓN DE LOS SÁNGULOS ATENDIENDO A SU AMPLITUD
Ángulo agudo: mide menos de 90°
Ángulo obtuso: mide más de 90°, pero menos de 180°.
Ángulo recto: es el que mide 90°.
Ángulo llano: mide 180°.
Ángulo giro: es el que mide 360°.
SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS
Suma:
Resta:
C B
AO
< A o C - < A o B = < B o CÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS
Ángulos complementarios: es la suma de dos ángulos complementarios dando como resultado un ángulo recto.
C
B
AO
< A o B + <B o C = 90°
Ángulos suplementarios: la suma de sus dos ángulos suplementarios es igual a un ángulo llano (180°).
B
C AO
< A o B + < B o C = 180°
Define los siguientes conceptos:
a) ÁNGULOS ADYACENTES: son dos ángulos que tiene origen en común
y lados no comunes, son semirrecta apuesta.
b) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS: es cuando hay una suma de dos ángulos que es igual a noventa grados.
c) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS: es la suma de dos ángulos
suplementarios y es igual a ciento ochenta grados.
d) ÁNGULOS CONSECUTIVOS: es donde un ángulo tiene un lado y
origen común con otro ángulo.
e) ÁNGULO CONVEXO: es aquel que está comprendido entre los lados
o semirrecta del ángulo.
II. PAREO. Sobre el espacio de la columna izquierda, escribe el número correspondiente de la columna derecha.
Mide la amplitud de los siguientes ángulos con tu transportador y coloca su medida en grados.
C
20° B
17°
o A< A o B 17° ; < B o C 20°
N
P
70°
60°
M O
< M o N 60° ; < N o P = 70°
R
Q40°
35°
P O
< P o Q 35° ; < Q o R 40°
G
H
F O< F o G 75° ; < G o H = 68°
Con el transportador mide los ángulos 1, 2, 3, 4; luego resuelve las oraciones. C
B
D 60° 50°
30° 3 2 40°E 4 1 A
1) < 1 + < 4 ____ 40° + 30°= 70°_______
2) < 2 + < 3 50° + 60° = 110° 3) < 2 + < 3 + < 4 = 50° + 60° + 30° 4) < 3 - < 2= 60° - 50°= 10° 5) < 4 - < 1= 30° - 40° = -10°
Resuelve los siguientes problemas:Halla:• El ángulo que forman las manecillas del reloj a las
3:00 en punto.R= El ángulo que forma es de: ______90°__________
• El ángulo que forman las manecillas del reloj a las 6:00 en punto.
R= El ángulo que forma es de: ______180°_________
Dos ángulos complementarios, tales que el mayor sea el doble del menor.
<A mayor <B menor <A = 2<B
< A + < B = 90° 2 <B + <B = 90° 3 <B= 90° <B = 90° 3
< B = 30° < A= 2<B < A = 2 (30°)
<A = 60°
Verificación < A + < B = 90° 60° + 30° =90°
1. Dos ángulos complementarios, tales que el menor sea la quinta parte del mayor.
< A mayor < B menor < B = 1 < A 5
5< B + A < A + < B = 90°
6 < B = 90° <B = 90°
6 < B = 15° < A = 5 < B
< A= 5 (15°) < A= 75°
Verificación < A + < B = 90° 75° + 15°= 90°
1. Dos ángulos suplementarios, tales que el mayor sea el triple del menor.
Verificación < A + < B = 180° 135° + 45°=180°
< A mayor < B menor < A = 3 <B < A + < B = 180° 3 < B + < B= 180° 4 < B = 180° < B = 180° 4
< B = 45° < A = 3 <B
< A = 3 (45°) < A = 135°
1. Dos ángulos suplementarios, tales que el menor sea 20° menor que el mayor.
<A menor < B mayor <A + <B=180° <A= <B -20° <A= <B -20° <B-20°+ <B= 180° -20°+ 2<B=180° 2<B=180° + 20° 2<B=200° <B=200°
2 <B = 100° <A = <B -20°
<A = 100° - 20° <A = 80 °
Verificación <A + <B=180° 80 + 100= 180°
1. El ángulo que forman las manecillas del reloj a las 6:30.
R= El ángulo que forma es de: ______ 0°_____________
1. El ángulo que forman las manecillas del reloj a las 6:20.
R= El ángulo que forma es de: _________60° ________
1. Si el ángulo < A o D es recto y < AoB= 2x; <BoC= 3x y <CoD=4x. ¿Cuánto mide cada ángulo?
Si el < BoC = 2< AoB, halla <AoB; <CoD; <BoC; <AoD.
D
130°
A
2 x
65°
x
O
65°
130° C
B
D
C
40°
20° A
O
C
Mida la amplitud de los ángulos
D
55°
C O
B
125°
AO
F
35°
E O
Traza los ángulos con la amplitud que se indica:
B
78°
A
B
115°
A
O
B
123°
A
O
B
82°
A O
215°
A
O
B
B
27°
A
O
175°
B
A
O
B
142°
A
O
210°
A
o
B
300°
A
o
B
B
54°
A O
B
106°
A O
B
151°
A
O
265°
A
O
B
335°
A
O
B
Busca en la siguiente sopa de letra los siguientes conceptos geométricos:
Adyacentes agudo circular Complementarios consecutivos convexo cóncavo giro grado llano minutos obtuso radián recto segundos sexagesimal suplementarios transportador ángulo
EL JUEGO DE GEOMETRÍA
Instrumentos:
1. Una regla 2. Una escuadra de 45° 3. Una escuadra de 60° y 30° 4. El compás 5. El transportador
USO DEL JUEGO DE GEOMETRÍA:
Trazado de una perpendicular a un segmento dado:
A. Usando el transportador: a) Traza una línea de trabajo y marcaras el segmento A B y el punto P. b) Coloca el transportador sobre la línea, el punto P coincida con 90° y
marca el punto Q. c) Retira el transportador y une el punto Q con el punto P.
P
Q
9 0°
A
B
El resultado de la perpendicular se esbrirá matemáticamente así:
P Q ḻ A B, lo cual significa: El segmento PQ es perpendicular al segmento AB:
a) El resultado es que la línea P Q es perpendicular al segmento A B.
A. Usando una regla y una escuadra: a) Traza una línea A B y marca el punto P. b) Coloca una de las dos escuadras de manera que un ángulo recto
coincida con el punto P sobre la línea A B y marcaras el punto O. c) Traza la línea sobre el lado recto que marca la escuadra desde el punto
O hasta el punto P.
O
O P ḻ A B
A BP
Q
P Q ḻ A B
A
B
P
O
O P ḻ A B
A BP
a) Retira la escuadra y el resultado será :
C) Usando la regla y el compás:
1) Traza el segmento AB y marca el punto P. 2) Abre el compás con una amplitud menor que AP. 3) Haciendo centro en P marca dos arco E y F en el AB.
4) Abre el compás mayor que AP y haciendo centro en E, traza un arco superior de AB, luego haciendo centro en F traza otro arco en el mismo plano de manera que se corte con el otro y en el punto donde se intersecan determinar el punto O.
O
A
E
F B
P
1) Una los puntos O y P. 2) El resultado es que O P es perpendicular a A B.
O
A E
F B
P
D) Una perpendicular desde un punto exterior a un segmento:
1. Abre el compás con una amplitud un poco mayor que la
distancia entre C y AB.
2. Traza un arco desde C que interseque AB en E y F.
3. Abre ahora el compás con una amplitud mayor que la mitad de
EF, haciendo centro E marca un arco en plano inferior de AB y
centrando en F, marca otro arco en el mismo plano de manera
que se intersequen, determinando el punto P.
x
C
A
E
F
B
P
4) Traza el segmento que une a C con P y resulta que CP es perpendicular al segmento AB.
C
CP ḻ AB
A
E
F
B
P
P Q
Mover
A B
0
1
2
0
1
2
Trazado de paralelas
A. Usando una regla:
1. Primero traza una paralela a una recta AB, desde un punto P fuera de la recta.
2. Mide la distancia perpendicular de P a la recta AB. 3. Mueve la regla a un lado del punto P y con la misma medida, marca
otro punto que llamaras Q.
4. Retira la regla, une los puntos P y Q para obtener una recta PQ que es paralela a la recta AB.
P Q
A B ǁ P Q
A B
Identificaremos el resultado de la paralela así: A B ǁ P Q, lo que significa que el segmento o la recta AB es paralela a la recta PQ.
A. Usando dos escuadras o una regla y una escuadra.
1º. Coloca una escuadra de manera que uno de los bordes que forman el ángulo recto, coincida con la recta AB, con el punto P ya colocado fuera de la recta.
2º. Coloca la otra regla o la escuadra, coincidiendo uno de sus bordes con el otro, de la escuadra sobre AB y con el punto P.
3º. Mueve hacia arriba la primera escuadra hasta el punto P, y marca un punto Q en la línea que demarca el borde de dicha escuadra, sin mover la otra escuadra o regla.
P
A B
P Q
A B
La escuadra de 60° y 30° , se movió hacia arriba.
4°. Retira, las escuadras y une los puntos P y Q para obtener la línea PQ que resulta ser paralela a la recta AB.
P
Q
PQ ǁ AB
A
B
La primera escuadra se puede reemplazar por una regla así:
P Q
A B
2 UNIDAD
I. EL TRIÁNGULO
1. Clasificación de los triángulos atendiendo a sus lados y sus construcciones
2. Clasificación de los triángulos atendiendo a sus
ángulos.
3. Teorema para demostrar
4. Resolución de triángulos rectángulos
4.1 El teorema de Pitágoras
OBJETIVOS:
Identificar los triángulos según sus lados y según sus ángulos.
Construir diferentes tipos de triángulos.
EL TRIÁNGULOEs la porción de un plano limitada por tres rectas
que se cortan dos a dos.
Los ángulos formados en un triángulo se expresan de esta manera, generalmente:
< ABC; < ACB; <BAC, se pone en el medio la letra que corresponde al vértice del ángulo.
C
A
B
EL TRIÁNGULO
según sus LADOS
C
A B
___ ___ AC = BC y < A = < B
C
A B ___ ___ ___ AB = BC = AC < A = < B = < C
C
A B ____ _____ _____ AB ≠ BC ≠ AC < A ≠ < B ≠ < C
Dos lados iguales
ISÓSCELES
Tres lados iguales
EQUILÁTERO
Tres lados desigualesESCALENO
TEOREMA PARA DEMOSTRAR Demostración de algunos teoremas sobre ángulos internos y ángulos externos de triángulos. Ángulos internos: es la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo, lo cual es de 180°.
Hipótesis: < A, < B y < C son ángulos interiores. Tesis: < A + < B + < C = 180° Demostración: se traza por el vértice C, la recta PQ y se forman los ángulos Ѳ y ф, entonces:
< Ѳ + < C + < ɸ= 180° por ser consecutivos formado a un lado de una recta.
< Ѳ = < A Por ser alternos internos. < ɸ = < B Por ser alternos internos.
Reemplazando: < A + < C + < B= 180° Ordenando: < A + < B + < C = 108°
P ------------------------------- --C--------------------------------------------Q
Ѳ ф
A B
Ángulos externos: es la suma de los ángulos exteriores de un triángulo que es de 360°.
C
Z
Y
A
B
X
Hipótesis: < x, < y, < z, son ángulos exteriores.
Tesis: < x + < y + < z= 360°
Demostración: < A + < x= 2R Por ser adyacentes.
< B + < y = 2R Por ser adyacentes.
< C + < z= 2R Por ser adyacentes.
Sumando todo esto: <A + <B + <C + < x + <y + <z= 6R
Pero: < A + <B + <C=2R por ser la suma de los ángulos interiores de un triángulo.
Entonces: 2R + < x + < y + < z= 6R
<x + <y + <z= 6R-2R (restando 2R)
<x + <y + < z= 4R
<x + < y + <z= 360°
2R significa dos ángulos rectos.
Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacente.
B
ф
A
C
Hipótesis: < ф es un ángulo exterior.
< A y < B son ángulos interiores no adyacentes a ф.
Tesis: < ф = <A + <B
Demostración: <ф + < C =180° Por ser adyacentes,
Entonces (1) <ф=180°-<C.
También < A + < B + <C= 180° (suma de ángulos internos de
Un triángulo), Entonces (2) <A + <B= 180°-<C restando <C Aplicando la propiedad transitiva en (1) y (2): Se cumple que < ф = < A + <B.
II- Identifica los siguientes triángulos atendiendo a sus ángulos:
III- Identifica los siguientes triángulos atendiendo a sus lados:
a)__Rectángulo b) Obtusángulo c) Acutángulo
a) Isósceles b) Equilátero c) Escaleno
IV- En la siguiente figura, identifica:
Triángulo acutángulo: _______E, C , D_______ Triángulo obtusángulo: ______A, C , D_______ Triángulo rectángulo: __________A, C, B____________
B
D
E
c
A
V. Dado el triángulo A, B, C, halla los datos que se piden:
A
< A = _ 90°__ AB = __4__ cm< C = __53°_ BC = __5__ cm< A + <B + <C= 180° AC = __3__ cm
Perímetro= ___12_cm
C B37°
< A= 90° AB = __6 __cmC < B = _30° BC= __7___cm
< A + < B + < C = 180° AC= __4___cmPerímetro=___17__cm
145°
A B
T
R
< T + < R + < S = 180° Valor T6x + 50° + 4x + 30° + 2x + 40°= 180° T= 6(5) + 50°12x + 120° = 180° T= 30° + 50°
T = 80°12x = 180°-120°= 60°12x = 60° Valor de RX= 60 R= 4(5) + 30°
12 R= 20° + 30°x= 5 R= 50°
Valor de SS= 2(5) + 40°S= 10° + 40°S= 50°
Resultado es:< T + < R + < S = 180°80° + 50° + 50°= 180°
6x + 50
2x + 404x + 30
< a= 36°
< b= 70°
< c = 112°
< d= 70°
B
< BAC = 1 recto <1= 60° < 2= 30°
AQ = BQ < 3= 55° Q < 4= 75°
< 5= 30°
A C5
4
• VII. Construye los siguientes triángulos siguiendo los procedimientos explicados:
Un triángulo equilátero de 5 cm de lado.
Un triangulo isósceles de 5 cm de base y los lados iguales de 7 cm.
5 cm
5 cm
5 cm
7 cm
7 cm
5 cm
Un triángulo escaleno cuya base es de 7 cm y los lados 5 cm y 9 cm.
Un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 4 cm y 7cm.
9 cm
5 cm
7 cm
7 cm
4 cm
Un triangulo obtusángulo en el cual los lados que forma el ángulo obtuso midan 3 cm y 7 cm y el ángulo obtuso, 125°.
Un triángulo acutángulo en el cual la base mida 3 cm y uno de los lados, 5 cm y el ángulo comprendido entre ellos, 70°.
5 cm
3 cm
Un triángulo isósceles cuya base mida 8 cm y el ángulo de la base 70 °.
Un triángulo escaleno cuya base mida 9 cm, el ángulo izquierdo de la base, 30° y el de la derecha, 50°.
8 cm
9 cm
Un triángulo rectángulo cuya base es la hipotenusa de 10 cm y los catetos midan 8 cm y 6 cm, respectivamente:
Cateto de 6 cm
Cateto de 8 cm
Hipotenusa de 10 cm
Un triángulo rectángulo cuya base es la hipotenusa de 15 cm y los ángulos de la base midan 37° y 53°, respectivamente:
Hipotenusa de 15 cm
Dentro de las figuras que se presentan, construye los triángulos que se indican.
Cuatro Triángulos equiláteros
de 3 cm de lado.
Cuatro triángulos isósceles de
5 cm de base.
Tres triángulos isósceles
EL TEOREMA DE PITÁGORASEl teorema de Pitágoras dice: “En un triángulo
rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.
La expresión que indica el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, se basa en la construcción geométrica sobre un triángulo rectángulo.
Fórmula:
Para buscar C?: La respuesta es, (c=5 cm), C es igual a 5 cm. 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑐2 = ሺ3ሻ2 +ሺ4ሻ2
𝑐2 = 9+ 16
ඥ𝑐2 = ξ𝟗+ 𝟏𝟔
𝒄= ξ𝟗+ 𝟏𝟔
𝑐= √25
𝒄= 𝟓 𝒄𝒎
Para buscar b?: La respuesta es, (b=4 cm), b es igual a 4 cm.
𝑏2 = ඥ𝑐2 − 𝑎2 b = ඥ(5)2 − (3)2
𝑏= ξ25− 9 𝑏= √16
𝒃= 𝟒 𝒄𝒎
Para buscar A?: La respuesta es, (a=3 cm), A es igual a 3 cm.
a = ඥ𝑐2 − 𝑏2
a = ඥሺ5ሻ2 − (4)2
𝑎 = ξ25− 16
𝑎 = √9
𝒂 = 𝟑 𝒄𝒎
3 UNIDAD
A. Los polígonos
1) Polígono convexo y cóncavo
2) Ángulo interno y externo
Denominación atendiendo a sus lados
OBJETIVO:
a. Definir polígonos
Identificar y construir las diferentes clases de polígonos
Los polígonos• Polígono: Es la porción de plano limitada por
rectas que se cortan dos a dos. También se dice que es la porción de plano limitada por una poligonal cerrada.
• Poligonal: Es una figura formada por varios segmentos que tienen como origen, el extremo del segmento anterior y pueden ser abiertas o cerradas, ya sea que su primer y último segmento se unan o no por sus extremos.
PoligonalAbierta
Poligonal Cerrada
Una poligonal cerrada sí constituye un polígono.
Una poligonal abierta no es un polígono.• Polígono convexo: es aquel que está situado
en un semiplano determinado por la prolongación de un lado cualquiera del polígono. B
A
C
Polígono cóncavo: es aquel que al prolongar cualquiera de sus laos, queda parte del polígono en uno de los semiplanos determinados y parte en el otro de los semiplanos.
D
C
Denominación atendiendo a sus lados
NÚMERO DE LADOS NOMBRE
Tres Triángulo Cuatro Cuadrilátero Cinco Pentágono Seis Hexágono Siete Heptágono Ocho Octágono Nueve Eneágono Diez Decágono Once Endecágono Doce Dodecágono
Quince Pentadecágono
Triángulo
𝑖 = 2R ( n− 2) n
𝑖 = 180° (3− 2)3
𝑖 = 180° (1)3
𝑖 = 180°3
𝒊 = 𝟔𝟎°
Cuadrilátero
𝑖 = 2R ( n− 2) n
𝑖 = 180° (4− 2)4
𝑖 = 180° (2)4
𝑖 = 360°4
𝒊 = 𝟗𝟎°
Pentágono
𝑖 = 2R ( n− 2) n
𝑖 = 180° (5− 2)5
𝑖 = 180° (3)5
𝑖 = 540°5
𝒊 = 𝟏𝟎𝟖°
𝑖 = 2R ( n− 2) n
𝑖 = 180° (6− 2)6
𝑖 = 180° (4)6
𝑖 = 720°6
𝒊 = 𝟏𝟐𝟎°
Hexágono
𝑖 = 2R ( n− 2) n
= 180° (7− 2)7
𝑖 = 180° (5)7
𝑖 = 900°7
𝒊 = 𝟏𝟐𝟖.𝟓°
Heptágono
Octágono
𝑖 = 2R ( n− 2) n
𝑖 = 180° (8− 2)8
𝑖 = 180° (6)8
𝑖 = 1080°8
𝒊 = 𝟏𝟑𝟓°
Eneágono
𝑖 = 2R ( n− 2) n
𝑖 = 180° (9− 2)9
𝑖 = 180° (7)9
𝑖 = 1260°9
𝒊 = 𝟏𝟒𝟎°
Decágono
𝒊 = 𝟏𝟒𝟒°
𝑖 = 2R ( n− 2) n
𝑖 = 180° (10− 2)10
𝑖 = 180° (8)10
𝑖 = 1440°10
𝑖 = 2R ( n− 2) n
𝑖 = 180° (11− 2)11
𝑖 = 180° (9)4
𝑖 = 1620°11
𝒊 = 𝟏𝟒𝟕.𝟐°
Dodecágono
𝒊 = 𝟏𝟓𝟎°
𝑖 = 2R ( n− 2) n
𝑖 = 180° (12− 2)12
𝑖 = 180° (10)12
𝑖 = 1800°12
𝒊 = 𝟏𝟓𝟔°
𝑖 = 2R ( n− 2) n
𝑖 = 180° (15− 2)15
𝑖 = 180° (13)15
𝑖 = 2340°15
4 UNIDAD
La circunferencia y el círculo 1. Circunferencia y sus elementos
A. Radio B. Arco C. Cuerda D. Diámetro E. Secante F. Tangente
2. Círculo y sus elementos I. Segmento circular II. Sector circular III. Corona circular IV. Trapecio circular
3. Ángulos de la circunferencia 1) Ángulo central 2) Ángulo inscrito 3) Ángulo semi-inscrito 4) Ángulo interior y exterior
OBJETIVOS:
A. Definir e identificar los elementos de la circunferencia.
B. Definir e identificar los elementos del círculo.
C. Definir e identificar los ángulos de la circunferencia.
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULOLa circunferencia y sus elementos• Circunferencia: Es el conjunto de los puntos
de un plano que equidistan de otro punto fijo llamado centro.
CI RCUNFERENCI A Y SUS ELEMENTOS Radio
Es la distancia del cent ro a cualquier punto de la circunf erencia.
Arco de la Circunferen-cia
Es una porción de la circunf erencia.
Cuerda
Porción de recta que une dos puntos de la circunf erencia.
C
D
C
A
BO
C
A
Diámetro
Es toda cuerda que pasa por el cent ro.
A
B
Secante
Recta que corta a la circunf erencia en dos puntos.
P
Q
Tangente
Recta que solo t iene un punto de contacto con la circunf erencia, es decir, que t iene solo un punto de tangencia.
M
N
• El círculo y sus elementosCírculo: Es el conjunto de todos los
puntos de la circunferencia y todos los puntos interiores de la misma.
CÍRCULO Y SUS ELEMENTOS
Segmento circular
Es la parte de un círculo limitada entre una cuerda y un arco.
Sector circular
Es la parte de un círculo limitada por dos radios y el arco comprendido.
Q
P
Corona circular
Es la parte del plano limitada por dos circunferencias concéntricas.
N
O
M
Ángulos de la circunferencia
Ángulo interior
Su vértice es un punto interior, a la circunferencia.
Ángulo
exterior
Su vértice es un punto exterior de la circunferencia.
TALLERI - Llena los espacios con la respuesta correcta:
1) Conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro llamado centro: circunferencia 2) Porción de circunferencia arco de la circunferencia 3) Conjunto de todos los puntos de circunferencia y todos los puntos interiores de la misma Círculo 4) Porción de recta que une dos puntos de la circunferencia cuerda 5) Porción de recta que une un punto de la circunferencia y el centro de la misma6) Cuerda que pasa por el centro Diámetro 7) Parte del circulo limitada entre una cuerda y un arco Segmento circular 8) Porción del plano limitada por dos circunferencias concéntricas Corona circular 9) Recta que corta a la circunferencia en dos puntos Secante 10) Parte de un circulo limitadas por dos radios y el arco comprendido: Sector circular 11) Recta que solo tiene un punto de contacto con la circunferencia tangente 12) Porción de plano limitada por dos circunferencia concéntricas y dos radios Trapecio circular 13) Punto donde la tangente toca la circunferencia
14) Ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia ángulo central
Pareo: en el espacio de la columna izquierda, coloca el número correspondiente de la columna derecha.
____8__ ___tiene sus vértice en la circunferencia 1. ángulo central____10__ __su vértice es un punto interior a la circunferencia 2. polígono circunscrito____2_____ sus lados son tangente a la circunferencia 3. 94, 25 cm ___9__ ____ longitud de la circunferencia 4. circunferencia inscrita____5__ _su vértice es un punto exterior a la circunferencia 5. ángulo exterior____7__ ___ pasa por lo vértice de un polígono 6. 3, 1416____1_ ____su vértice se origina en el centro de la circunferencia 7. circunferencia circunscrita____4______es tangente a todos lados de un polígono 8. polígono inscrito____3___ _longitud de una circuferencia de 15 cm de radio 9. 2 r____6______el valor del numero 10. ángulo interior
C
N
M
O
Q
BA
E
F
Identifica cada uno de los elementos de la circunferencia.
AB= ____cuerda____ _______CD= ___arco de la circunferencia_OQ=___radio___________________MN= ___secante________________EF= ___tangente________________RS= ___diámetro________________
C
N
M
O
Q
BA
E
F
Identifica los siguientes elementos del círculo:
a) segmento circular b) trapecio circular
c) sector circular
d) Círculo ___ e) corona circular
Identifica los siguientes ángulos:
a) ángulo interior
b) semi-inscrito
c) ángulo inscrito
Define los siguientes conceptos:
Circunferencia: Es el conjunto de los puntos de un plano que equidistan otro punto fi jo llamado centro.
Círculo: Es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y todos los puntos interiores de la misma.
Radio: Es la de distancia del centro a cualquier punto de la circunf erencia.
5
UNI DAD
ÁREA DE FI GURA PLANA
A. Fórmula para calcular el área de figura plana:
A.1 Triángulo
Fórmula para calcular el área de figura plana. Triángulo: Para calcular el área se reemplazar los datos de la siguiente f órmula:
b
h 𝐴= b x h 2
Ejemplo:
Hallar el área de un triángulo de 15 cm de base y 12 cm de altura.
b= 15 cm
h= 12 cm
h
𝐴= b x h2
A = ሺ15 𝑐𝑚ሻ𝑥(12 𝑐𝑚)2 = 180 cm22
𝐴= 90 cm2
CONCLUSIÓN Después de realizar esta tarea nos damos cuenta la importancia de
conocer las figuras geométricas, ya que es algo que está muy unido a
nuestra vida, nos topamos con ellas día a día y las vemos donde
quiera que nuestra vista se dirigida y estamos en pleno contacto con
ellas.
Hemos logrado crear figuras nuevas a partir de las ya existentes y lo
más importante es que hemos aprendido a identificarlas no sólo en
imágenes, sino que también en objetos creados por el hombre e
incluso por Dios.
Ahora ya sabrás que muchas de las grandes construcciones que nos
dan abrigo, o de las cosas que son de gran utilidad nacen a base de
las figuras geométricas
INTEGRANTES
EL TRABAJO FUE ELABORADO DE UNA FORMA GRUPAL, TODOS LOS PARTICIPANTES APORTÓ AL DESARROLLO DE CADA TEMA Y PARTE DEL PORTAFOLIO, DEMOSTRANDO ASÍ LA CAPACIDAD DE COOPERACIÓN.
Arrieta Dessiré
8-725-1931
Bazo Yisell
8-372-251
García Aida
4-791-1884
Morales Ameth
1-18-1557
Ortiz Carmen
1-27-2419
Torres Yadira
8-404-425
Vega Yanette
8-708-1733
CRONOGRAMA DE TRABAJO
MUCHAS GRACIAS
