ÁLGEBRA CIENCIAS ECONÓMICAS

Trabajos Prácticos

2013

CONTENIDO PRÁCTICA 1 RECTAS Y PLANOS EN R2 Y R3

1 PRÁCTICA 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 7 PRÁCTICA 3 ESPACIOS VECTORIALES 14 PRÁCTICA 4 MATRICES 20 PRÁCTICA 5 PROGRAMACIÓN LINEAL EN R2 31 PRÁCTICA 6 ALGORITMO SIMPLEX 38 EJERCICIOS DE FINAL RECTAS Y PLANOS EN R2 Y R3 44 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 45 ESPACIOS VECTORIALES 46 MATRICES 47 PROGRAMACIÓN LINEAL EN R2 49 ALGORITMO SIMPLEX 50

Práctica 1

1

PRÁCTICA 1 RECTAS Y PLANOS EN R2 Y R3

1. a) Representar en R2 los puntos:

A = (3,3) B = (−2,1) C = 2A D = −A

E = A + B F = B − A G = −B.

b) Calcular las coordenadas de C, D, E y F.

c) Representar en el plano 5 puntos de la forma kA, con k un número real.

d) Representar en el plano 5 puntos de la forma kF, con k un número real.

2. a) Encontrar un punto P de la forma (x,2x) que verifique P + (1,−2) = (3,2).

b) ¿Existe un punto Q de la forma (x, x+2) que verifique Q + (1,1) = (2,5)?

c) Encontrar todos los a y b en R para los cuales sea

2(a,−1) + (1,3) = (5,−b).

3. Representar en R2:

a) todos los puntos de abscisa 3

b) todos los puntos de abscisa mayor o igual que 3

c) todos los puntos de ordenada −1 y abscisa x tal que x2 = 16.

4. a) Representar la recta que pasa por los puntos (1,−1) y (−2,2).

b) En cada caso decidir si el punto P pertenece a la recta representada:

i) P = (2,1); ii) P = (0,0); iii) P = (−2,3); iv) P = (x,−x) .

c) Representar la recta que pasa por los puntos (1,2) y (1,5).

5. Dar las ecuaciones paramétrica e implícita de las rectas del ejercicio 4.

6. Dar las ecuaciones paramétrica e implícita de la recta que pasa por los

puntos (3,1) y (4,−1).

7. a) Dar las coordenadas de dos puntos de la recta de ecuación x + y = −2.

b) Graficarla y dar su ecuación paramétrica.

8. Dar la ecuación:

a) implícita de la recta L: X = β (5,−1) + (2,1)

Práctica 1

2

b) implícita de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (−3,2)

c) paramétrica de la recta que pasa por los puntos (5,5) y (4,−1)

d) paramétrica de la recta L1: x + 3y = −1

e) implícita de la recta L2: X = α(1,5) + (2,0).

9. a) Escribir la ecuación implícita de las rectas de los ejercicios 8.c) y 8.d). b) Determinar la pendiente de esas rectas.

10. Dar la ecuación de la recta:

a) de pendiente 2 que pasa por (−1,0) b) de pendiente 0 que pasa por (1,3).

11. Hallar un punto P de modo que la pendiente de la recta que pasa por P y

por (3,1) sea −4.

12. Representar gráficamente, en el mismo plano, las rectas

L1: −x + 3y = 2 y L2: −x + 3y = −2.

Comparar sus pendientes.

13. a) Dar la ecuación paramétrica de la recta paralela a

L: X = β(2,−3) + (1,1) que pasa por (0,0).

b) Dar la ecuación implícita de la recta paralela a L: 3x + 2y = 3 que pasa

por (−1,1).

14. Las ganancias de cierta empresa crecen linealmente. El primer año

fueron de $ 750 y en el quinto año llegaron a $ 6750.

a) Plantear la ecuación que representa las ganancias en función de los

años transcurridos. Graficarla.

b) ¿Cuál será la ganancia a los 12 años de instalada?

c) ¿Cuándo llegará a ser de $ 21750?

15. El costo de un viaje en taxi es una suma fija más una cantidad por cuadra

recorrida. Si cobra $ 3,90 por un recorrido de 10 cuadras y $ 6,24 por un

recorrido de 23 cuadras:

a) expresar el costo en función de las cuadras recorridas

Práctica 1

3

b) indicar la suma fija

c) indicar cuántas cuadras se recorrieron si se pagaron $ 5,16.

16. La factura mensual por el uso de un teléfono celular se compone de un

cargo fijo y cierta cantidad por minuto utilizado. Por un mes con

30 minutos de uso se pagaron $ 39 y por otro, con 23 minutos de uso, se

pagaron $ 36,20.

¿Cuál es el cargo fijo y cuál es la cantidad que se paga por minuto?

17. Hallar la intersección de las rectas L1 y L2 si:

a) L1: 3x + y = −3 y L2: X = α(1,3) + (2,0)

b) L1: −2x + 3y + 13 = 0 y L2: y = 7x + 2

c) L1: X = α(−4, 1) + (2,1) y L2: X = α(1,2) + (0,−1).

18. En cada caso graficar las rectas, analizar las posiciones relativas y

encontrar los puntos de intersección:

a) L1: 2x + y = 3 L2: 2x − y = 1

b) L1: x + 3y = 6 L2: −2x − 6y = 2

c) L1: x − 2y =−1 L2: 3x − 6y =−3

d) L1: x − y = 3 L2: −2x + y = 1

e) L1: x − y = 3 L2: 3x + y = 5

19. Sean L1: x − 2y = 2; L2: − 2x + y = −3 y L3: X = t (1,−7).

Dar la ecuación paramétrica de la recta L que pasa por el punto de

intersección de L1 y L2 y por el punto de intersección de L2 y L3.

20. L es la recta que pasa por P = (1,−3) y Q = (2,−4). Hallar b tal que la

recta que es paralela a L y pasa por (b,5), también pase por (2,2).

21. Dos empresas familiares fabrican zapatos deportivos.

La empresa A hizo una inversión inicial de $ 2800 y cada par de zapatos

que vende le rinde una ganancia de $ 7. La ganancia de la empresa B

está dada, en función de los pares de zapatos vendidos, por la fórmula

g(x) = 11 x − 5500.

Práctica 1

4

a) ¿Cuál de las dos empresas hizo una mayor inversión inicial?

b) ¿Cuántos pares de zapatos debe vender la empresa A para recuperar

su inversión inicial?

c) ¿A partir de cuántos pares de zapatos vendidos, la ganancia de la

empresa B será mayor que la de la empresa A?

22. Un fabricante de guantes tiene costos fijos mensuales de $ 2100 y de

$1,20 por cada par de guantes que produce.

Si vende cada par de guantes a $5,40, encontrar el punto de equilibrio y

el costo de producción en ese punto.

Observación: El punto de equilibrio es el nivel de producción mensual

necesario para cubrir el costo de producción.

23. La fábrica de empanadas El Repulgo invirtió $ 5200 en instalaciones y

obtiene $ 3,60 de ganancia por la venta de cada docena de empanadas.

La fábrica Pachamama hizo una inversión inicial de $ 1600 y la ganancia

que obtiene por cada docena de empanadas es la mitad de la que obtiene

El Repulgo. ¿A partir de cuántas docenas de empanadas El Repulgo

obtiene más ganancia que Pachamama ?

24. Representar en R3: A = (2,0,0) B = (2,2,0) C = (2,2,2)

D = (0,0,−1) E = (0,3,1) F = (2,0,−1).

25. Si A = (0,0,2); B = (4,0,0) y C = A + B,

a) representar A, B y C

b) calcular las coordenadas de C.

26. Un cubo tiene vértices en (0,0,0); (2,0,0); (0,2,0) y (0,0,2);

escribir las coordenadas de los otros 4 vértices del cubo.

27. a) Si A = (1,1,−2); B = (−1,−3, 4) y C = (1,−1, 0),

hallar α tal que αA + B = C.

b) Encontrar, si es posible, α y β tales que

i) (1,3,0) = α(1,2,−1) + β(0,2,2)

ii) (1,2,2) = α(1,2,0) + β(0,2,0).

Práctica 1

5

28. Escribir la ecuación paramétrica de la recta:

a) que tiene dirección (1,−1,2) y pasa por el origen de coordenadas

b) que tiene dirección (1,−1,2) y pasa por el punto (0,2,−3)

c) que es paralela a L: λ (2,1,−1) + (−2, 4,1) y pasa por el punto (0,3,2)

d) que pasa por el punto (3,4,−1) y por el origen de coordenadas

e) que pasa por los puntos (1,5,1) y (−4,3,2).

29. Sean en R3 las rectas L1: λ (1,2,−1) + (1,3,5) y L2 que es paralela a L1 y

pasa por el punto (3,2,4)

a) hallar el punto de L2 que tiene coordenada x3 = 0

b) decidir si los puntos (−1,−1,7) y (1,−2,6) están en L2.

30. Hallar todos los valores de k para los cuales la recta que pasa por los

puntos (1,−1,1) y (4, k,−2) es paralela a la recta L: t(1,2,−1) + (0,3,2).

31. Dadas las rectas L1: α(1,2,1) + (2,3,2) L2: β(0,1,−1) + (1,3,−1)

L3: γ(2,4,2) + (1,5,0) L4: δ(2,4,2) + (3,5,3)

a) hallar: i) L1 ∩ L2 ii) L1 ∩ L3 iii) L2 ∩ L3 iv) L1 ∩ L4

b) analizar las posiciones relativas de cada par de rectas.

32. Sean la recta L: β(1,1,−2) + (0,0,3) y el punto A = (3,1,0); determinar un

punto B tal que la recta que pasa por A y B sea paralela a L.

33. Dar las coordenadas de 3 puntos que estén:

a) en el plano coordenado x1x2

b) en el plano paralelo al plano coordenado x1x2, que contiene al punto (0,0,1).

34. Escribir la ecuación paramétrica y representar en R3 el plano:

a) que pasa por los puntos A = (0,0,0), B = (1,0,0) y C = (0,1,0)

b) que pasa por los puntos A = (0,0,1), B = (1,0,1) y C = (0,1,1)

c) coordenado x1 x2, Comparar con a) d) que pasa por los puntos A = (0,0,0), B = (2,0,1) y C = (1,0,3)

e) que pasa por los puntos A = (1,3,1), B = (2,1,1) y C = (3,4,1).

Práctica 1

6

35. Dar la ecuación implícita de:

a) todos los planos coordenados b) todos los planos del ejercicio 34.

36. Hallar las intersecciones de los planos Π1 y Π2 en cada caso:

a) Π1: x1 = 0 Π2: x3 = 0

b) Π1: x2 = 0 Π2: x3 = 2

c) Π1: x1 + x3 = 0 Π2: x2 − x3 = 0

d) Π1: x 1 + x2 − 2x3 = 0 Π2: 2x1 + x3 = 2

e) Π1: x 1 + x2 − x3 = 0 Π2: 2x1 + 2x2 – 2x3 = 3

f) Π1: x 1 + x2 − x3 = 1 Π2: 2x1 + 2x2 – 2x3 = 2

37. Dar las ecuaciones implícitas de las rectas:

a) L1: α(1,3,1) + (2,0,0)

b) L2: β(−3,0,1) + (1,1,1)

38. Dar la ecuación implícita de un plano Π que contenga a la recta

L: β(1,−1,0) + (2,0,1).

39. Encontrar el valor de a para que la recta que pasa por (1,a,2) y (1,5,4)

sea paralela a la recta dada por L: 1

2 3

x 1x x 5

=⎧⎨ + =⎩

.

40. Hallar la intersección de la recta L con el plano Π si:

a) L: α(1,2,1) + (2,2,3) Π: x3 = 0

b) L: 1 2 3

1 3

x x x 1x x 2

+ − =⎧⎨ + =−⎩

Π: x2 = 3

c) L: 1 2 3

1 3

x x x 1x x 2

+ − =⎧⎨ + =−⎩

Π: α(1,0,0) + β(0,1,−2) + (0,0,1)

d) L: α(0,1, −1) + (0,1,1) Π: x2 + x3 = 2

e) L: α(0,1, −1) + (0,1,1) Π: x2 + x3 = 0

Práctica 2

7

PRÁCTICA 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1. Decidir cuáles de los puntos A,B,C,D, son solución del sistema S en cada

caso

a) S 1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x 1x 2x 3x 2 x 5x 5x 3

+ + =⎧⎪ − + − =−⎨⎪ − + − =−⎩

A = (0,0,0) B = (−2,1,2) C = (−1,2,3) D = 4 1( , ,0)3 3−

b) S

2 3 4

1 2 3 4

1 2 3

1 2 4

x x 2x 02x x x x 0

x 3x x 03x 2x x 0

+ + =⎧⎪ − − − =⎪⎨

+ + =⎪⎪ + − =⎩

A = (0,0,0,0) B = (2,1,4,3) C = (−2,5,−13,4) D = (1,1,1,−1)

2. Dar en forma paramétrica las soluciones de cada uno de los sistemas.

a) − + =⎧

⎨ + =⎩

1 2 3

2 3

x 2x x 0 2x x 0

b) − + =⎧

⎨ + =⎩

1 2 3

2 3

x 2x x 3 2x x 4

c) 1 2 3

2 3

3

x x x 1 x x 3 2x 4

− + =⎧⎪ − =−⎨⎪ =⎩

d) 1 2 3

3 4

4

x x x 7x x 3

x 1

− + + =⎧⎪ + =⎨⎪ =⎩

e) 1 4

2 4

x x 0 x x 0

+ =⎧⎨ − + =⎩

f) 1 4

2 4

x x 1 x x 2

+ =⎧⎨ − + =⎩

3. Aplicar el método de Gauss para llevar el sistema a la forma triangulada, y

luego escribir las soluciones en forma paramétrica. Interpretar

geométricamente.

Práctica 2

8

a)− + =⎧

⎨ + − =⎩

1 2 3

1 2 3

x 2x 2x 1 x x x 7

b)1 2

1 2 3

1 3

3x x 1 x x x 52x x 0

− =⎧⎪ + − =⎨⎪ + =⎩

c)1 2 3

1 2

1 2 3

2x x 4x 12x x 34x 3x 2x 7

+ − =⎧⎪ − =⎨⎪ − + =⎩

4. Para cada una de las siguientes matrices, encontrar una matriz triangulada

por filas equivalente y determinar su rango.

a)

1 0 2 12 1 2 01 1 2 21 0 0 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟− −⎝ ⎠

b)

2 2 2 11 0 3 23 2 3 23 4 3 5

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

−⎝ ⎠

c)

3 3 2 0 91 2 4 3 10 2 2 4 01 8 4 8 00 1 0 0 5

− −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

d)

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

2 2 4 4 52 1 3 1 04 3 7 3 50 1 1 5 58 3 11 6 5

5. Para cada uno de los siguientes sistemas:

a) aplicar el método de Gauss para triangularlo

b) hallar el rango de la matriz de coeficientes y el rango de la matriz

ampliada

c) decidir si es: incompatible, compatible determinado o compatible

indeterminado

d) si es compatible, resolverlo.

S1 1 2 3

1 2

1 3

2x x x 1 x x 33x 4x 1

+ − =⎧⎪ − =⎨⎪ + = −⎩

S2 1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x 12x x 3x 25x x 11x 3

+ + =⎧⎪− − − = −⎨⎪ − + = −⎩

S3

2 3 4

1 2 3 4

1 2 3

1 2 4

x x 2x 12x x x x 2

x x 3x 13x x 2x 2

+ + =⎧⎪ − − − =⎪⎨

+ + = −⎪⎪− + − =⎩

S4

2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 3 4

x x x 0x 2x x 5x 0x x 2x x 0x 3 x 2x 0

− + =⎧⎪ − − + =⎪⎨− − − + =⎪⎪ + − =⎩

Práctica 2

9

S5

2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 3 4

x x x 0 x 2x x 5x 0

x x 2x x 0x x 2x 0

− + =⎧⎪ − − + =⎪⎨− − − + =⎪⎪ + − =⎩

S6 1 2 3 4

1 3 4

1 2 3 4

2x x x 3x 1x x 2x 3

3x 2x 3x 4x 1

− + + = −⎧⎪− + − =⎨⎪ − + + =⎩

S7

1 2 3 4 5

1 3 4

1 2 3 4 5

1 2

x 3x 4x 4x 3x 22x x x 2

x x x x x 0x x 2

+ − + + = −⎧⎪ + − =⎪⎨

+ − + + =⎪⎪ + =⎩

6. Hallar las soluciones del sistema + − =⎧

⎪− + − = −⎨⎪ − =⎩

1 2 3

1 2 3

1 2

x x x 0x 3x 2x 1

3x 2x 1

que verifican la ecuación =2x 0 .

7. Encontrar las coordenadas de todos los puntos de la recta de ecuación

X = α(2,2,−2)+(0,1,0) que son soluciones del sistema + + = −⎧

⎨− + =⎩

x y z 1x y 1

8. Dadas las ecuaciones − + =⎧

⎨ − − =⎩

3x y z 3 x 2y 3z 1

agregar una tercera ecuación de manera que el sistema lineal de tres

ecuaciones con tres incógnitas resultante tenga a (0,−2,1) como única solución.

9. Una compañía de enchapados para joyas de fantasía fabrica dos mezclas

distintas, ambas a base de plata y oro.

La mezcla Premium lleva 7 g de polvo de oro por cada 3 g de polvo de plata.

La mezcla Standard lleva 4 g de polvo de oro por cada 6 g de polvo de plata.

La compañía posee en este momento un stock de 35 kg de polvo de oro y 30 kg

de polvo de plata. ¿Cuántos kg de cada tipo de mezcla debe fabricar para

agotar el stock?

10. Las harinas de soja, garbanzos y trigo burgul intervienen en la composición de

tres alimentos: Soji, Garbi y Burgui, fabricados por una empresa.

Práctica 2

10

En la siguiente tabla se detalla la composición de los mismos.

Soja Garbanzos Trigo burgul

Soji 50 % 30 % 20 %

Garbi 10 % 50 % 40 %

Burgui 20 % 20 % 60 %

La empresa pretende agotar los insumos que reciba.

La cantidad de toneladas de cada tipo de harina a recibir está entre una de las

tres opciones siguientes:

Opción I Opción II Opción III

Soja 2 4 6

Garbanzos 3 3 6

Trigo burgul 5 3 8

Determinar las cantidades de los tres alimentos que pueden producirse para

cada opción de insumos recibidos.

11. Un turista que viajó a Europa visitó Berlín, Roma y Praga.

En Berlín gastó por día $150 en hospedaje y $ 100 en alimentos;

en Roma gastó por día $100 en hospedaje y $ 150 en alimentos;

en Praga gastó por día $100 en hospedaje y $ 100 en alimentos.

Por conceptos varios gastó $ 50 por día en cada una de las tres ciudades.

A su regreso, el registro de gastos indicaba en total, $ 1700 en hospedaje,

$ 1600 en alimentos y $ 700 en gastos varios.

Calcular cuántos días estuvo el turista en cada una de las tres ciudades, o

bien mostrar que el registro es incorrecto.

12. Para cada ítem, dar todas las posibilidades, teniendo en cuenta que las

soluciones deben ser números enteros no negativos.

i) Una compañía de detergentes fabrica los productos: LAV, BRI, CIC y PRO

a partir de tres sustancias AS, SP y TS.

La tabla siguiente muestra, en cientos de kg, las cantidades de materia

prima necesarias para fabricar un envase de cada producto y el stock.

Práctica 2

11

LAV BRI CIC PRO stock

AS 4 8 4 4 60

SP 2 5 2 3 36

TS 3 7 4 3 50

Encontrar el número de envases de cada producto que se puede fabricar

utilizando todo el material disponible.

ii) Una empresa tiene tres máquinas para fabricar cuatro productos diferentes.

Para producir una unidad del producto A se requieren 1h de la máquina I,

2h de la máquina II y 1h de la máquina III.

Para producir una unidad del producto B se requieren 2h de la máquina I

y 2h de la máquina III.

Para producir una unidad del producto C se requieren 1h de la máquina I,

1h de la máquina II y 3h de la máquina III.

Para producir una unidad del producto D se requieren 2h de la máquina I

y 1h de la máquina II.

Determinar cuántas unidades se deben fabricar de cada producto en un día

de 8 horas, suponiendo que cada máquina se utiliza 8 horas completas.

iii) Una compañía de transportes posee tres tipos distintos de camiones, que

están equipados para el transporte de dos clases de maquinaria pesada.

Los camiones de tipo A pueden transportar 2 máquinas de la clase I.

Los de tipo B pueden transportar 1 máquina de cada clase.

Los de tipo C pueden transportar 1 máquina de la clase I y 2 de la clase II.

La empresa debe transportar 32 máquinas de la clase I y 10 máquinas de

la clase II.

Determinar cuántos camiones de cada tipo se requieren para transportar

todo el pedido, suponiendo que cada camión debe ir con la carga completa.

13. Una empresa prepara tres clases de alimentos para perros A, B y C.

Dispone de 660 kg de hueso molido, 680 kg de carne disecada y 760 kg de

salvado de cereal.

Práctica 2

12

Para preparar 100 kg de alimento A utiliza 40 kg de hueso molido, 30 kg de

carne disecada y 30 kg de salvado de cereal.

Para preparar 100 kg de alimento B utiliza 40 kg de hueso molido, 50 kg de

carne disecada y el resto de salvado de cereal.

Para preparar 100 kg de alimento C utiliza 20 kg de hueso molido, 20 kg de

carne disecada y el resto de salvado de cereal.

¿Cuántos kg de cada alimento debe preparar para agotar el stock de materia

prima?

14. Determinar todos los valores de k que hacen que el sistema sea: incompatible,

compatible determinado o compatible indeterminado.

a) 1 2 3

1 2 3

1 2 3

x 2x x 5x x 3x 1x 3x 5 x k

− + + =⎧⎪ − + = −⎨⎪− + + =⎩

b) 1 2 3

1 2

1 3

3x x 10x 1x 3x 7x kx 1

+ − =⎧⎪− + = −⎨⎪ + =⎩

15. Determinar los valores de k para los cuales el rango de la matriz ampliada del

sistema S es igual al rango de la matriz del sistema homogéneo asociado.

S 1 2 3

2 3

1 2 3

x 2x 4x 7x 2x 3

x x kx 4

− + + = −⎧⎪ + = −⎨⎪ − + =⎩

16. Determinar el valor de k para que el sistema tenga infinitas soluciones.

Para el valor hallado, resolver el sistema.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x 3x x 24x x 2x 15x 7x kx 4

− + + =⎧⎪ − + = −⎨⎪ + + =⎩

17. Encontrar, en cada caso, todos los valores de a y b para los cuales el

sistema cuya matriz ampliada es M, resulta compatible.

a) M = 1 2 12 2a b⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) M = −⎛ ⎞⎜ ⎟− − +⎝ ⎠

2

1 2 3 b0 a 9 a 3 a b

Práctica 2

13

18. Se sabe que (1,2,−1) es una solución del sistema

1 2 3

1 2 3

ax x bx 1 x ax x 2

+ − =⎧⎨ − + =⎩

. Encontrar todas las soluciones del sistema.

19. Determinar todos los valores de a y b para que el sistema cuya matriz

ampliada es A =

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎝ ⎠

1 1 1 1 20 1 1 2 32 1 1 0 a1 1 3 1 b

tenga solución.

20. Encontrar todos los puntos (a,b,c) de la recta L : X = λ(1,1,1) + (0,1,2)

para los cuales el sistema S 3x 2y z a x y z b

2x 3y 2z c

+ − =⎧⎪ − + =⎨⎪ + − =⎩

tiene solución.

21. Decidir para qué valores de α el sistema S tiene solución única,

para qué valores de α tiene infinitas soluciones y

para qué valores de α no tiene solución.

Resolver el sistema para algún valor de α para el cual el sistema

admita infinitas soluciones.

S 2x 3 y 3z x 2 x y ( 1)z y 1x 3y z z 1,5

αα

+ − = −⎧⎪ + + + = −⎨⎪ + + = −⎩

22. Hallar todos los valores de a y b tales que los sistemas S1 y S2 tienen

exactamente una solución en común.

S1 + − =⎧

⎪− − + = −⎨⎪ − =⎩

1 2 3

1 2 3

1 3

x x x 12x x 3x 3

x ax 2 S2

+ + =−⎧⎪⎨

+ + =⎪⎩

1 2 32

1 2 3

x 4x 2x 2

x a x 2x b

Práctica 3

14

PRÁCTICA 3 ESPACIOS VECTORIALES

Definición 1: Un espacio vectorial real es un conjunto V cuyos elementos se

llaman vectores, provisto de dos operaciones: suma (+) y producto por

escalares (.).

La suma, que a cada par de vectores (v, w) de V le asigna el vector v + w de V y el producto por escalares, que a un número real λ y un vector v de V le

asigna un vector λ.v de V, verifican las siguientes propiedades:

i) (v + w) + s = v + (w + s) (asociatividad)

ii) v + w = w + v (conmutatividad)

iii) 0 + v = v + 0 = v para todo v∈ V (existencia de elemento neutro) iv) para todo v∈ V existe otro vector al que llamaremos –v, que verifica

v + (–v) = (–v) + v = 0 (existencia de inverso aditivo)

v) para todo v∈ V, 1.v = v

vi) si λ∈ R, v∈ V y w∈ V, λ.(v + w) = λ.v + λ.w (distributividad del producto por escalares respecto a la suma de V)

vii) si λ∈ R, μ∈ R y v∈ V, (λ + μ ).v = λ.v + μ.v

(distributividad del producto por escalares respecto a la suma de R)

viii) si λ∈ R, μ∈ R y v∈ V, (λ. μ ).v = λ.(μ.v)

SUBESPACIOS - GENERADORES Definición 2: Un subconjunto S de un espacio vectorial es un subespacio si:

i) 0∈ S

ii) Si v y w son dos vectores de S, la suma v + w ∈ S

iii) Si v∈ S y λ es cualquier escalar en R, el producto λ.v∈ S.

Práctica 3

15

Definición 3: Si V es un espacio vectorial real y v1, v2, …, vr son vectores de V, un vector v de V que se escribe en la forma v = λ1.v1 + λ2.v2 + … + λr.vr para

algún conjunto de escalares λ1, λ2, …, λr en R, es una combinación lineal de v1, v2,…, vr.

El conjunto de todas las combinaciones lineales de v1, v2, …, vr es un

subespacio de V. Se llama el subespacio generado por v1, v2, …, vr y se nota

< v1, v2,…, vr>.

Definición 4: En un espacio vectorial V, un conjunto C = {v1, v2, …, vr} es un

sistema de generadores de V si todo vector de V es combinación lineal de los

vectores de C.

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL – BASES Definición 5: Un conjunto C = {v1, v2, …, vr} de vectores de un espacio vectorial

se llama linealmente dependiente si existe un conjunto de escalares

λ1, λ2, …, λr en R, no todos nulos tales que λ1.v1 + λ2.v2 + … + λr.vr = 0.

En caso contrario, el conjunto se dice linealmente independiente, es decir, un conjunto C = {v1, v2, …, vr} es linealmente independiente si una

combinación lineal de ellos da cero solamente si los escalares son todos cero

( λ1.v1 + λ2.v2 + … + λr.vr = 0 ⇒ λ1 = λ2 = … = λr = 0).

Definición 6: Un conjunto C = {v1, v2,…, vr} de vectores de un espacio vectorial

V es una base de V si es un conjunto de generadores linealmente

independiente.

Propiedad: Dos bases distintas de un mismo espacio vectorial tienen el mismo

número de elementos.

Definición 7: El número de elementos de cualquier base de un espacio vectorial

es la dimensión del espacio vectorial.

En Rn el conjunto de n-uplas (1,0, … ,0); (0,1,0, … ,0); … (0,0, … ,0,1) es una

base, se llama base canónica de Rn.

Práctica 3

16

1. Determinar si es posible escribir el vector v = (2,3,−4) como combinación

lineal de los vectores dados:

a) (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) b) (1,−3,2), (3,0,−2)

c) (2,1,0), (−1,3,2) d) (1,−1,1), (6,9,−12)

2. Hallar el valor de k para que el vector (1,5,k) sea combinación lineal de los

vectores (1,−1,0) y (1,2,−3).

3. Describir geométricamente el subespacio S y decidir en cada caso si los

vectores v y w pertenecen a S.

a) S = < (3,2)> v = (1, 23

) w = (6,−1)

b) S = < (1,−2,3)> v = ( −1 2 3, , )5 5 5

w = (1,2,−3)

c) S = < (1,2,3), 1 2( , ,1)3 3

> v = (−2,−4,−6) w = ( 3 9,3, )2 2

d) S = < (1,0,1), (1,0,−1) > v = (0,0,2) w = (3,1,2)

e) S = < (1,−1,2), (2,1,0) > v = (−1,0,2) w = (3,0,2)

4. Si u = (1,2,−1), v = (−3,0,4) y S = < (−1,0,1), (0,2,−1) >, decidir si el

vector 2u + v ∈ S.

5. Hallar todos los valores de α∈R para que (10,−5,α) no pertenezca al

subespacio < (1,−1,−1), (2,−1,−3) >.

6. Decidir si los siguientes conjuntos de vectores generan Rn:

a) n = 2 {(3,−2), (2,1)}

b) n = 2 {(3,1), (−9,−3)}

c) n = 3 {(1,−1,1), (0,1,1), (0,0,1)}

d) n = 3 {(1,−1,1), (0,1,1), (2,1,5)}

e) n = 3 {(1,−1,1), (0,1,1), (0,0,1), (1,2,1)}

Práctica 3

17

7. Determinar el valor de a para que el vector (1,−1,2) pertenezca al

subespacio S = {(x1, x2, x3) / x1 + ax2 −x3 = 0} .

8. Decidir si los siguientes conjuntos de vectores son o no linealmente

independientes.

a) {(2,−1), (−3,2)} b) {(2,−3), (−4,6)}

c) {(1,1,2), (1,0,−1), (1,0,1)} d) {(1,−1,2), (1,2,−1), (0,1,−1)}

9. Hallar todos los k ∈ R para los cuales:

a) (1,1,−1), (3,2,0), (4,1,k) son linealmente independientes

b) (4,1, k) es combinación lineal de (1,1,−1) y (3,2,0).

10. Determinar cuáles de las siguientes sucesiones de vectores son base de

R3. Justificar.

a) (1,1,0), (0,1,1) b) (1,1,0), (0,1,1), (0,0,0)

c) (1,1,0), (0,1,1), (1,1,1) d) (1,1,0), (0,1,1), (0,−1,−1)

e) (1,2,3), (0,0,1), (1,1,1) f) (1,0,1), (1,2,3), (0,0,1), (1,−2,1)

11. Hallar base y dimensión de los siguientes subespacios

a) S = {x ∈ R3 /1 2 3

1 3

1 2

x x x 02x x 0

x x 0

+ + =⎧⎪ + =⎨⎪ − =⎩

}

b) S = {x ∈ R3 / x1 + 2x2 − x3 = 0}

c) S = {x ∈ R4 / x1 + 3x2 − x4 = 0}

d) S = < (3,1,−2), (−2,1,1) >

Práctica 3

18

e) S = {x ∈ R4 / 1 2 3

3 4

4

x x x 0x x 0

x 0

− − + =⎧⎪ + =⎨⎪ =⎩

}

f) S = < (1,2,1,−1), (2,1,3,0), (3,3,4,−1) >

12. Hallar dos bases distintas de cada subespacio S

a) S = {x∈R3 / x1 + x2 + x3 = 0, x1 + x3 = 0}

b) S = {x∈R4 / x1 + x3 = 0, x2 + x3 = 0}

c) S = < (1,−1,1), (2,2,−4), (2,0,−1) >

d) S = < (−1,3,0), (2,4,1) >

13. Decidir en cada caso si B es base del subespacio S

a) B = {(1,−1,2), (0,1,−3)} S = {x∈R3 / x1 + 3x2 + x3 = 0 }

b) B = {(0,1,1), (1,1,0)} S = < (1,3,2), (1,2,1), (1,6,5) >

c) B = {(2,1,1), (−1,1,0)} S = < (2,1,1), (1,1,1) >

d) B = {(2,1,1), (3,2,2)} S = < (2,1,1), (1,1,1) >

14. a) Dado el subespacio S = {x∈R4 / 2x1 − x2 + 3x3 = 0}, hallar una base

de S que contenga al vector (0,3,1,0).

b) Dado el subespacio S = {x ∈ R3 / x1 − x2 + 2x3 = 0}, encontrar dos

bases distintas de S, tales que una de ellas contenga al vector

v = (4,2,−1) y la otra contenga al vector w = (3,−1,−2).

15. Hallar a∈R para que el vector (1,a,4) pertenezca al subespacio

S = < (1,0,2), (2,−1,3) >.

16. Dados los cinco vectores (1,−1,2), (2,1,1), (1,2,−1), (1,2,1) y (1,2,0)

hallar dos bases distintas de R3 formadas con los vectores dados.

Práctica 3

19

17. Determinar a y b para que B = {(1,1,0), (0,3,2)} sea una base del

subespacio S = {x∈R3 / x1 + ax2 − bx3 = 0}.

18. Dado el subespacio S = {x∈R3 / x1 + x2 − x3 = 0}, encontrar un vector

v∈S tal que {(1,−1,2), (2,2,1), v} sea linealmente independiente.

19. Si S = {x∈R3 / x1 − x2 + x3 = 0}, encontrar v∈S, v ≠ 0, tal que

v∈ < (1,3,1), (0,2,1) >.

20. Determinar una base y la dimensión del subespacio

S = < (1,0,0,−1), (1,0,0,1), (3,2,0,−3), (2,0,0,−2) >.

Encontrar un vector v∈R4 que no pertenezca a S.

21. Extender, si es posible, estas sucesiones de vectores a una base de R3

a) (1,−1,2) b) (2,1,0), (1,0,−3) c) (1,−1,3), (−2,2,−6)

22. Sean el subespacio S = {x∈R4 / 1 2 3 4

1 2 3

1 2 3 4

3x x x 2x 0x x x 0

x x x 2x 0

⎧ − + − =⎪

− + =⎨⎪ + − − =⎩

},

y el vector v = (1,2,1,1). Hallar una base B de S tal que v∈B y escribir el

vector v como combinación lineal de los vectores de B.

23. Si S = < (3,1,−1,0), (1,2,1,−3), (1,−3,−3,6) > y T = {x∈R4 / x2 + x3 + x4 = 0}

a) decidir si S⊂T b) determinar la dimensión de S

c) decidir si es posible extender una base de S a una base de T; en caso

afirmativo, hacerlo.

24. Sea S = {x∈R5 / x1 − 2x3 + x5 = 0}. Determinar todos los valores de α y β

en R de modo que los vectores v1 = (1,0,1,−3,1), v2 = (0,−1,1,0,2) y

v3 = (−3,α,β,9,−1) formen parte de una base del subespacio S.

Práctica 4

20

PRÁCTICA 4 MATRICES

1. Escribir las matrices ( )ijA a= dadas por:

a) A∈ R3x3 : aii = 1 si 1 ≤ i ≤ 3; aij = 0 si i ≠ j (matriz identidad I3)

b) A∈ R3x3 : aij = 0 si i > j; aii = 2 si 1 ≤ i ≤ 3; aij = j si i < j

c) A∈ R3x3 : aij = j − i si 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 3

d) A∈ R3x3 : aij = i si 1 ≤ i ≤ 3; 1 ≤ j ≤ 3

e) A∈ R3x2 : ai1 = i si 1 ≤ i ≤ 3; ai2 = 2i si 1 ≤ i ≤ 3

f) A∈ R4x4 : aij=0 si i ≠ j; aii =i2

si 1 ≤ i ≤ 4

g) A∈ R3x1 : ai1 = −i si 1 ≤ i ≤ 3

h) A∈ R1x4 : a1j = j2 si 1 ≤ j ≤ 4

2. Dados los conjuntos

S1 = {A∈ R3x3 : aij = aji 1 ≤ i, j ≤ 3 } (matrices simétricas)

S2 = {A∈ R3x3 : aij = − aji 1 ≤ i, j ≤ 3 } (matrices antisimétricas)

S3 = {A∈ R3x3 : aij = 0 si i > j } (matrices triangulares superiores)

S4 = {A∈ R3x3 : aij = 0 si i ≠ j } (matrices diagonales)

a) Escribir 3 matrices que pertenezcan a cada uno de los conjuntos dados.

b) Decidir si cada una de estas matrices pertenece a alguno de ellos

1 2 1

A 2 0 31 3 1

⎛ − ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎟⎜− − ⎠⎝

1 0 0

B 0 3 00 0 2

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎟⎜ ⎠⎝

Práctica 4

21

0 2 1

C 2 0 31 3 0

⎛ − − ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎟⎜ − ⎠⎝

1 2 1

D 0 0 30 0 1

⎛ − ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎟⎜ − ⎠⎝

3. Dadas las matrices del ejercicio anterior, a) calcular

A + B; 2C + B; A + B + C; −3(A+D+2B); C t +C; A − At; 1 A2

; C + D

b) encontrar una matriz ( )ijX x= tal que X + A = D.

4. Dadas 1 2 5 z 2 0 1 2 5

A B Cx y 8 w 3 1 w 1 5 10

⎛ ⎛ ⎛− − −⎞ ⎞ ⎞= = =⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟+⎠ ⎠ ⎠⎝ ⎝ ⎝

hallar, si es posible, los valores de x, y, z, w, tales que:

a) A + 2B = C b) 2A + B = C

5. Dadas 1 0 2 1 5 3 1 2

A 2 1 B 1 2 C 5 5 D 4 31 1 1 0 4 1 3 1

⎛ ⎛ ⎛ ⎛⎞ ⎞ ⎞ ⎞⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟= = − = − = −⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜− − −⎠ ⎠ ⎠ ⎠⎝ ⎝ ⎝ ⎝

decidir si: a) C es combinación lineal de A y B

b) D es combinación lineal de A y B

c) A, B y C son linealmente dependientes

d) A, B y D son linealmente dependientes

6. Hallar una base del subespacio de R3x2 generado por A, B y C del ej. 5.

7. Hallar bases de los siguientes subespacios de matrices:

a) {A∈ R2x2 : a11 = 0; a22 = 0}

b) {A∈ R2x2 : a11 + a22 = 0}

c) {A∈ R 3x2 : a11 + a 21 + a12 = 0; a31 + a32 = 0; a22 = a32 }

d) {A∈ R3x3 : a11 + a22 + a33 = 0; aij = aji si i ≠ j }

Práctica 4

22

8. Calcular:

a) ( )0

2 3 1 21

⎛ ⎞⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( )20 0 1 23

⎛ ⎞⎜ ⎟ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

9. Dadas las matrices A = 0 32 21 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

B =1 1 00 2 21 3 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

C =2 0 43 1 20 1 3

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

D = 0 12 5

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

E = 1 1 20 0,5 8

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

calcular, cuando sea posible: BA; AB; BC; CB; (AD)E; A(DE);

AE + B; EA + B; C2 + B; EB + EC; EB – A.

10. Sean las matrices

1 1 3 0 1 1

A 0 2 1 B 1 2 0 y C (2A B)A1 0 2 2 2 2

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. Calcular:

a) c32 b) la primera columna de BA c) la segunda fila de A2

11. Si 0 a

A2 b⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1

B0 2

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

3 6

C7 10

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

,

hallar a y b en R tales que ABt = C.

12. Si 1 a

Aa 1⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ determinar todos los valores de a en R para los cuales

A2 = 17 I2.

13. Si 1 2

A1 3

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

y 1 2x

Bx 3

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, determinar si existe x tal que AB = BA.

14. Hallar una base para cada uno de los subespacios:

a) W1 = {A∈ R2x2 : 1 0 1 0

A. .A0 1 0 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠}

Práctica 4

23

b) W2 = {A∈ R2x2 : 1 1 1 1

A. .A0 1 0 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

}

c) W3 = {A∈ R2x2 : 1 1 1 1

A. .A1 1 1 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

}

15. Las familias Pérez, Hirsch, Ferraro y Smith colaboran con la cooperadora

del hospital.

Hace dos años donaron respectivamente $ 25000; $ 10000; $ 3000 y

$ 8000.

El año pasado, la donación fue de $ 10000; $ 3000; $ 1000 y $ 700

respectivamente.

Este año, cada una donó un 20% más que el año pasado.

a) Presentar los datos en una matriz A ∈ R4x3.

b) Dar una matriz B tal que si se multiplican convenientemente A y B, se

obtenga el total donado por cada una de las cuatro familias.

c) Dar una matriz C tal que si se multiplican convenientemente A y C, se

obtenga el total donado en cada uno de los tres últimos años.

d) Multiplicar la matriz A por dos matrices convenientes de modo que el

producto de las tres matrices sea el total de las donaciones recibidas

por el hospital durante los 3 años, de las 4 familias.

16. En las primeras 15 fechas del campeonato de fútbol, los equipos A, B, C

y D tuvieron las siguientes actuaciones: el equipo A ganó 4 partidos,

empató 8 y perdió 3; el equipo B ganó 3, empató 4 y perdió 8; el equipo

C ganó 4, empató 4 y perdió 7 y el equipo D ganó 7 y perdió 8.

Los equipos se asignan: 3 puntos por cada partido ganado, 1 punto por

cada partido empatado y 0 punto por cada partido perdido.

Escribir la información en forma de matriz y utilizar el producto de

matrices para obtener el puntaje de cada uno de los equipos.

17. a) Escribir el sistema 1 2 4

1 3

2 3 4

x x 2x 22x x 2

x x x 1

+ + =⎧⎪ − =⎨⎪ + − =⎩

en la forma A x = b.

b) Si v1= (4,−4,6,1) y v2=(1,1,0,0) son soluciones del sistema, calcular:

A(v1+ v2) y A(v1− v2).

Práctica 4

24

18. Para las próximas elecciones hay 3 candidatos: X, Y, Z.

En una encuesta se recogieron las siguientes opiniones:

entre las mujeres menores de 50 años, el 30% votará al candidato X,

el 25% a Y y el resto a Z; entre las mayores de 50 años, el 50% votará al

candidato X, el 30% a Z y el resto a Y;

entre los varones menores de 50 años, el 25% votará al candidato X,

el 50% a Y y el resto a Z; entre los mayores de 50 años, el 30% votará al

candidato X, el 40% a Y y el resto a Z.

Se espera que concurran a votar 18000 mujeres, 7000 de ellas menores

de 50 años y 16000 varones, 9000 de ellos menores de 50 años.

Mostrar la información en matrices convenientes y utilizar el producto de

matrices para estimar la cantidad de votos que obtendrá cada candidato

de conservarse las tendencias observadas en la encuesta.

19. La matriz M =

A B C D EA 0 1 0 1 0B 1 0 0 0 0C 0 1 0 1 1D 1 0 0 0 0E 0 0 1 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

muestra los vuelos directos que

existen entre las ciudades A, B, C, D, E.

Por ejemplo: el coeficiente m12=1 indica un vuelo directo desde A hacia B.

a) Dibujar un diagrama de la situación uniendo con una flecha las

ciudades que están conectadas por vuelos directos.

b) Calcular M2. Comprobar que M2 muestra los vuelos con una escala que

hay entre esas cinco ciudades.

20. a) Construir la matriz M correspondiente a los vuelos sin escala para la

situación siguiente:

BC

D

A

Práctica 4

25

b) Determinar, analizando el diagrama, los vuelos con una escala que

hay entre las 4 ciudades. Calcular M2.

c) Calcular M3. ¿Qué significado tiene M3?

21. Determinar si cada una de las siguientes matrices es inversible, en caso

afirmativo calcular la inversa:

1 0 2 3

A B0 1 6 9

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 1 1

C D2 35 0

−⎛ ⎞ − −⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

1 2 2 1 2 2 0 1 2

E 1 2 3 F 1 2 0 G 2 3 10 1 3 0 4 2 2 1 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22. Determinar en cada caso los valores de a, b, c que hacen que la matriz

A sea inversible.

A =a b0 c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

A =a ba b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

A =a 0 00 b 00 0 c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

23. Usar los resultados del ejercicio 21 para resolver los sistemas:

a) D X = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

12

b) E X = ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

213

24. Calcular el determinante de las siguientes matrices:

262 1 5A B3 2 15

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

3 0 1 2 1 1

C 4 1 0 D 0 7 80 1 2 4 5 6

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Práctica 4

26

25. Calcular el determinante de las siguientes matrices desarrollando por la

fila o columna más conveniente:

A =

1 2 1 00 0 1 01 3 0 20 0 5 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎝ ⎠

B =

1 0 4 00 5 8 03 0 5 60 0 4 0

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

C =

2 0 0 1 50 0 6 0 30 9 0 0 05 4 0 0 20 0 2 0 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

26. Si1 1 1

A 0 1 21 0 k

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

, determinar k∈R para que sea det (A) = 2.

27. Sabiendo que ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

a 5det 4,

b 5calcular

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3 1 2det 5 a 5 .

5 b 5

28. a) Dadas −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 0 1 2 1 0A 0 1 3 y B 2 0 1

2 1 0 1 2 0, calcular det (AB).

b) Dadas A =1 01 2

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

y B =2 k 1

k 2 1+⎛ ⎞

⎜ ⎟− −⎝ ⎠, hallar los valores de k∈R

para los cuales det (AB) = 0.

29. Dadas A = 3 1 02 1 10 1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y B = 2 1 21 0 20 0 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

, calcular det (2A+B).

30. Si A = 1 a0 1⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

y B = 0 13 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, determinar todos los a∈R para los cuales

i) det (A + B) = 3

ii) det (A + At ) = −29

Práctica 4

27

31. Sean A =1 2 1x 0 31 4 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y B =1 1 10 0 1x 1 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

; hallar todos los x∈R

tales que det (AB) = det (A).

32. Determinar cuáles de las siguientes matrices son inversibles

a)2 51 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b)2 18 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

c)4 1 32 0 24 1 6

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

d)3 1 16 1 49 0 5

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

e)

1 2 0 60 0 1 30 0 0 11 2 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

33. Determinar los valores de x∈R para los cuales la matriz dada

a) no es inversible:

i)4 1 xx 3

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

ii) 2 3 43 1 21 x 1 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

iii)2 1 2

x 1 1 32 1 x 4

−⎛ ⎞⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

b) es inversible

i)4 xx 4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ii) 2 5 10 1 11 x 2 3

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

iii)1 1 11 x 20 1 x 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

34. Si A = 1 2 01 0 10 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y B = 1 2 01 5 k0 k 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

determinar todos los valores

de k∈R para los cuales AB no admite inversa.

35. Determinar en cada caso todos los valores de k∈R para los cuales el

sistema tiene solución única.

a) 1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x 2x 3x 2x 3x 2x kx 1

+ + =⎧⎪− + + =⎨⎪ + + = −⎩

b)1 2

1 2 3

2 3

2x x 1x kx kx 2

3x 2x 3

+ =⎧⎪− + + = −⎨⎪ + =⎩

c)1 2 3

1 3

1 2

x 2x x 1kx kx 23x kx k

+ + =⎧⎪ − = −⎨⎪ + =⎩

Práctica 4

28

36. Determinar si existe k∈R para que el sistema tenga infinitas soluciones:

1 2 3

1 2

1 2 3

x 2x x 2x 3x 1

3x 7x kx k 3

+ + =⎧⎪ + =⎨⎪ + + = +⎩

37. Determinar en cada caso los valores de a∈R para los cuales el

sistema no tiene solución, tiene solución única, o infinitas soluciones:

a)1 2 3

21 2

2 3

x x x 1

2x (a 3)x 3x 2x 1 a

+ + =⎧⎪

+ − =⎨⎪ + = −⎩

b)1 2 3

1 2 32

1 2 3

x x x 23x 2x 8x 5

2x x a x a 1

⎧ + − =⎪

+ + =⎨⎪ + + = −⎩

38. Si 1 3 2 1

A 0 k 3 y b 0 ,0 0 k 1 2k

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

determinar para qué valores de

k∈R el sistema A x = b tiene solución.

39. En una economía de tres rubros interdependientes I, II y III, la matriz de

tecnología es C =0,8 0 0,10 0,6 0,20 0,2 0,5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y la demanda externa es

(en millones de pesos) de 50 para I, 80 para II y 120 para III.

Determinar qué producción de cada rubro se necesita para satisfacer la

demanda externa.

a) Plantear el sistema correspondiente al problema.

b) Escribir el sistema en la forma (I – C) X = D.

c) Hallar el vector de producción X que satisface la demanda externa D.

d) Hallar el vector de producción X si la demanda externa D aumenta en

10 millones de pesos por cada rubro.

40. Un chapista y un mecánico están asociados y usan sus servicios mutua-

mente para complementar sus trabajos.

Cada peso de trabajo que realiza el chapista tiene un costo de $ 0,30 de

su propio servicio y $ 0,70 de los servicios del mecánico.

Práctica 4

29

Cada peso de trabajo que realiza el mecánico tiene un costo de $ 0,30

de los servicios del chapista y de $ 0,20 de su propio servicio.

a) ¿Qué demanda externa de cada taller se satisface con una producción

de $ 1400 del chapista y $ 1250 del mecánico?

b) Para satisfacer una demanda externa de $ 350 el chapista y $280 el

mecánico, ¿cuánto debe producir cada taller?

41. En una economía de tres rubros interdependientes A, B y C, por cada

peso que produce A, se requieren $ 0,9 de A; por cada peso que produce

B, se requieren $ 0,8 de B y $ 0,2 de C; por cada peso que produce C, se

requieren $ 0,1 de A y $ 0,9 de C.

Calcular la producción necesaria para satisfacer una demanda externa

de (350, 400, 120).

42. En una economía con tres rubros interdependientes A, B y C, para

producir $ 1 de A se requieren $ 0,70 de A y $ 0,20 de B; para producir

$ 1 de B se requieren $ 0,40 de B y $ 0,30 de C y para producir $ 1

de C se requieren α pesos de A y $ 0,80 de C.

Con una producción de $ 5000 de A, $ 2000 de B y γ pesos de C, se

satisface una demanda externa de 4β pesos de A, β pesos de B y $ 2200

de C.

Hallar los valores de α, β y γ.

43. Dos economías A y B tienen los dos mismos rubros interdependientes

I y II.

Las matrices de tecnología de A y B son, respectivamente,

A

0,8 0,1C

0,2 0,4⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

y B

0,6 0,7C

0,4 0,1⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

¿Qué demanda externa satisface B con la misma producción que A

satisface una demanda externa de $ 900 del rubro I y $ 800 del rubro II?

44. Decidir si las siguientes matrices de tecnología corresponden, o no, a

economías productivas.

Práctica 4

30

i) 0,2 0,60,2 0,9⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ii)0,4 0,40,8 0,2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

iii)0,1 0,6 0,40,3 0,2 0,30,4 0,1 0,2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

iv)0 0,1 0,2

0,6 0,1 0,20,4 0,3 0,2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

45. La economía de Costa Pobre está basada en la producción de dos

productos: bananas y aceite de maní. La producción de $ 1 de bananas

requiere de $ 0,40 de bananas y $ 0,20 de aceite mientras que la

producción de $ 1 de aceite insume $ 0,40 de bananas y $ 0,80 de aceite.

a) Determinar la matriz de tecnología (C) del problema.

b) Calcular la suma de los coeficientes de cada fila de C.

c) Calcular la suma de los coeficientes de cada columna de C.

d) ¿Es productiva la economía de Costa Pobre?

e) Hallar la producción necesaria para satisfacer una demanda externa de $ 400 de bananas y de $ 300 de aceite.

46. Los rubros de una economía son: la agricultura, los productos manufactu-

rados y el trabajo.

Un peso de agricultura requiere $ 0,50 de agricultura, $ 0,20 de productos

manufacturados y $ 1 de trabajo.

Un peso de productos manufacturados requiere $ 0,80 de productos

manufacturados y $ 0,40 de trabajo.

Un peso de trabajo requiere $ 0,25 de agricultura y $ 0,10 de productos

manufacturados.

¿Es productiva esta economía?

47. Una economía tiene matriz de tecnología C =0,2 0,20,6 0,9⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

a) ¿Puede satisfacer la demanda externa D =10050

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

?

b) ¿Es productiva esta economía?

Práctica 5

31

PRÁCTICA 5

PROGRAMACIÓN LINEAL EN R2 1. Decidir si es verdadero (V) o falso (F):

a) x < 7 ⇒ − 7 < − x b) x < 0 ⇒ x < 2

c) x < 7 ⇒ x + 3 < 4 d) x < 2 ⇒ x y < 2 y

e) a < b y c > 0 ⇒ a c < b c f) a < b y c < 0 ⇒ a c > b c

2. Representar en la recta real los x que verifican las siguientes

desigualdades:

a) x + 4 < 3x − 8 b) −3x + 2 ≥ 5 − x

c) 2x − 4 ≤ x + 2 ≤ −5 + 4x d) (x + 3).(x − 4 ) > 0

e) −2x + 3 < 8 f) −4x + 2 ≥ −11

3. Representar en el plano todos los puntos (x,y) que verifican:

a) y ≥ 0 b) x ≥ 5 c) x ≤ 0 d) y ≥ 2 e) x − y ≤ 0 f) x − y ≥ 9

4. Tengo $ 3 y quiero comprar golosinas de $ 0,50 y de $ 0,75.

a) Plantear las inecuaciones que restringen las posibles compras

b) Representar la región de todos los pares (x,y) que las verifican

c) Hacer una lista de todos los pares (x,y) que resuelven el problema y

representarlos dentro de la región.

5. a) Representar el conjunto de soluciones de los siguientes sistemas

b) Indicar cuáles son polígonos

c) Calcular las coordenadas de los puntos de esquina

i) + ≤⎧

⎨ ≤⎩

x y 1x 0

ii) + ≤⎧

⎪ ≤⎨⎪ ≥ −⎩

x y 1x 0y 3

iii) + ≥⎧

⎪ − ≤⎨⎪ + ≤⎩

2x y 1x y 2

x 2y 5

Práctica 5

32

iv)+ ≤⎧

⎪ − ≥⎨⎪ + ≤⎩

2x y 1x y 2

x 2y 5 v)

0 x 3y 0

2x y 1x 2y 5

≤ ≤⎧⎪ ≥⎪⎨ + ≥⎪⎪ + ≤⎩

vi) ≤⎧

⎪ ≥⎨⎪− ≤ + ≤⎩

x 0y 1

3 x y 4

6. a) Representar en el plano los puntos A = (1,2), B = (1,4), C = (6,4).

b) Encontrar un sistema de inecuaciones que represente la región R que

tiene vértices A, B y C.

c) Si P = (2α, − α +5), determinar los valores de α para los cuales P∈ R.

7. Sea la región del plano R 3x 4y 85x 2y 30

x 3y a

− + ≤⎧⎪ + ≤⎨⎪ + ≥⎩

Determinar el valor de a de modo que (0,2) sea punto de esquina de R.

8. Dada la función lineal z = 3x + 2y

a) graficar las curvas de nivel para z = 0, z = 3, z = −5

b) determinar, si existen, los valores máximos y mínimos de la función z en

cada una de las siguientes regiones e indicar en qué puntos se alcanzan:

i) + ≤⎧

⎪ ≥⎨⎪ ≥⎩

2x y 4x 0y 0

ii) ≤ ≤⎧

⎨ ≤ ≤⎩

2 x 50 y 3

iii) + ≤⎧

⎪ − ≤⎨⎪ − + ≤⎩

2x y 1x y 2

2x y 4

iv) + ≥⎧

⎪ ≤⎨⎪ − ≥⎩

2x y 1y 3

5x 2y 1 v)

− + ≥⎧⎪ ≤⎨⎪ ≤⎩

x y 1x 1y 0

vi) 2x 3y 6

x 0− ≤⎧

⎨ ≥⎩

vii) + ≤⎧

⎪ ≥⎨⎪ − ≤⎩

3x 2y 6x 0

x y 2 viii)

+ ≥ −⎧⎪ ≤⎨⎪ ≤⎩

6x 4y 12x 2y 4

ix) + ≤⎧

⎪ + ≥−⎨⎪− ≤ ≤⎩

3x 2y 66x 4y 12

4 x 4

Práctica 5

33

9. Una función lineal sujeta a las restricciones

− + ≤⎧⎪ + ≤⎪⎪ + ≤⎨⎪ ≥⎪

≤ ≤⎪⎩

x y 2x y 8

2x y 14x 0

0 y 4

alcanza

máximo en A = (5,1) ó en B = (2,4).

Determinar en cuál de ellos y explicar por qué.

10. Dada z = x + 2y, determinar en qué punto de la región R

alcanza su máximo y dar ese valor.

3

-1

2-2

11. Hallar el valor máximo y el valor mínimo de z = 2x−4y en la región

R

− + ≤⎧⎪ − ≤⎪⎨ + ≤⎪⎪ ≥⎩

x y 4x 2y 6x y 12

x 2

e indicar en qué puntos se alcanzan.

12. Sean R

− + ≤⎧⎪ + ≥⎪⎨ + ≥⎪⎪ ≤⎩

x y 42x 5y 104x 5y 20

y 9

y f = 8x +10y.

Determinar, si existen, los valores máximos y mínimos de f sobre R e

indicar en qué puntos se alcanzan.

13. Una fábrica de quesos tiene dos depósitos A y B. Transportar cada kilo

de queso desde la fábrica hasta A, cuesta $ 0,20, y hasta B, $ 0,30.

Práctica 5

34

Por conveniencia para su distribución posterior, la cantidad de queso

almacenada en B es siempre mayor o igual que la almacenada en A.

La producción mensual de la fábrica está entre 4000 y 5000 kilos que

deben trasladarse íntegramente a los depósitos.

Para llevar la producción a los depósitos, ¿cuál sería el mínimo y cuál el

máximo gasto de la fábrica?

14. Una empresa que elabora productos alimenticios fabrica, con jugo de

naranja, de pomelo y de manzana, dos tipos de mezclas que envasa en

cartones de 1 litro.

El Jugo mixto lleva una parte de jugo de naranja, una parte de jugo de

pomelo y tres partes de jugo de manzana.

El Jugo cítrico lleva tres partes de jugo de naranja, dos partes de jugo de

pomelo y una parte de jugo de manzana.

Dispone de 510 litros de jugo de naranja, 360 litros de jugo de pomelo y

720 litros de jugo de manzana. Si vende el cartón de Jugo mixto a $ 3

y el de Jugo cítrico a $ 2,50, ¿cuántos cartones de cada clase debe

producir para maximizar sus entradas?

15. Un hortelano prepara bandejas de ensalada que puede vender a un

supermercado o a verdulerías. Por cada bandeja que vende al

supermercado gana $ 0,90 y por cada bandeja que vende a las

verdulerías, gana $ 1,10. Puede preparar a lo sumo 2400 bandejas.

La compra de verdulerías es a lo sumo de 1800 bandejas.

Además, la cantidad de bandejas que vende al supermercado, más el

doble de las que vende a verdulerías debe ser por lo menos 1000.

Determinar las cantidades de bandejas que debe vender al supermercado

y a verdulerías para maximizar la ganancia.

Práctica 5

35

16. Un fabricante de sándwiches utiliza, para untar el pan, una mezcla de

mayonesa y crema. Semanalmente utiliza por lo menos 10 kg de

mayonesa y 20 kg de crema y, entre las dos sustancias, nunca menos de

60 kg ni más de 90 kg. La cantidad de crema que usa no puede superar

la de mayonesa.

El kilo de mayonesa cuesta $ 1,20 y el de crema $ 3.

¿Cuántos kilos de mayonesa y cuántos de crema debe comprar por

semana para que el costo sea mínimo?

17. Un comerciante vende dos variedades de bebida: suave y fuerte, en

botellas de 1 litro. Una botella de bebida suave contiene 30% de vino y

70 % de cola y se vende a $2. Una botella de bebida fuerte contiene 50%

de vino y 50 % de cola y se vende a $2,50.

Si el comerciante dispone de 60 litros de vino y 80 litros de cola, ¿cuál es

la máxima cantidad de dinero que puede recaudar con la venta?

18. Un diseñador tiene dos talleres, en ambos produce tejidos artesanales y

estándar. Los dos talleres trabajan 5 días por semana.

El taller 1 tiene un costo operativo de $ 30 por hora, trabaja 10 horas

diarias y necesita 4 horas de trabajo para producir una prenda artesanal

y 2 horas de trabajo para producir una prenda estándar.

El taller 2 tiene un costo operativo de $ 50 por hora, trabaja 8 horas

diarias y necesita 5 horas de trabajo para producir una prenda artesanal

y una hora de trabajo para producir una prenda estándar.

El diseñador recibe un pedido para producir, en una semana de trabajo,

por lo menos 10 prendas artesanales y 29 prendas estándar.

¿Cuántas horas deberá trabajar cada taller para que el costo de

producción sea mínimo?

Práctica 5

36

19. Una empresa de transporte debe trasladar paquetes de los tipos A y B.

Los paquetes A pesan 20 kg y los B, 30 kg.

El total de paquetes a transportar no debe superar 300, y por lo menos un

tercio de los paquetes debe ser del tipo A.

¿Cuántos paquetes de cada tipo debe transportar para que el peso total

transportado sea máximo?

20. Una empresa produce tres tipos diferentes de relojes en sus dos plantas.

La planta I produce 100 relojes de dama, 60 relojes deportivos y 35

despertadores por día y su costo operativo diario es de $ 3000.

La planta II produce 50 relojes de dama, 90 relojes deportivos y 105

despertadores por día y su costo operativo diario es de $ 3300.

Si la empresa ya posee pedidos para la próxima temporada de 5000

relojes de dama, 5400 relojes deportivos y 4200 despertadores, ¿cuántos

días debe operar cada planta para satisfacer los pedidos al menor costo

posible?

21.a) Las 20 chicas y los 10 chicos de un curso de quinto año organizan el

viaje de egresados para el que necesitan juntar dinero. Deciden pedir

trabajo por las tardes en una compañía encuestadora que contrata:

parejas:1 chico y 1 chica; equipos: 1 chico y 3 chicas.

¿Cómo les conviene distribuirse para reunir la mayor cantidad posible

de dinero si se paga $ 30 por día a cada pareja y $ 50 por día a cada

equipo?

b) ¿Y si se paga $ 10 por día a la pareja y $ 40 por día al equipo?

c) ¿Y si se paga $ 20 por día a la pareja y $ 60 por día al equipo?

d) ¿Y si se paga $ 30 por día a la pareja y $ 30 por día al equipo?

e) ¿Y si se paga $ 50 por día a la pareja y $ 40 por día al equipo?

Práctica 5

37

22. Sean la región R

x 3y 1x 2y 4

x 3y 0

+ ≤⎧⎪− + ≤⎪⎨ ≥ −⎪⎪ ≥⎩

y la función z = αx + 2y.

Encontrar un valor de α tal que el máximo de z sobre R se alcance en

el vértice (−2,1) y el mínimo en el vértice (1,0).

23. Hallar, si es posible, α∈ R tal que z = −2x + y sobre la región

+ ≥⎧⎪ + ≤⎨⎪ + ≤ −⎩

3x 2y 65x 2y 10

x 2y 2α

alcance su valor mínimo en (2,0) y su valor máximo en ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

6 ,25

.

24. Sea R la región del plano definida por 3x y 5

x ay 32x by 2

+ ≤⎧⎪ + ≥ −⎨⎪− + ≥⎩

.

Hallar a y b para que el punto (−5,−8) sea un punto de esquina de R.

Para los valores hallados, calcular el máximo que alcanza z = x + 3y en R.

25. Se sabe que en la función f = αx + βy, α + β = 2 y que en la región R1,

la función f alcanza su máximo en P = (4,4).

Hallar el máximo valor de f en la región R2.

R1 ≤ ≤⎧

⎪ + ≤⎨⎪ ≥⎩

0 y 4x 2y 12

x 0 R2

− + ≤⎧⎪ + ≤⎪⎪ + ≤⎨⎪ ≥⎪

≤ ≤⎪⎩

x y 2x y 8

2x y 14x 0

0 y 4

Sugerencia: graficar las regiones R1 y R2.

Práctica 6

38

PRÁCTICA 6 ALGORITMO SIMPLEX

1. a) Plantear el sistema de ecuaciones y confeccionar la tabla simplex inicial

asociados a cada uno de los siguientes problemas lineales.

b) Resolverlos e indicar en la tabla simplex correspondiente a cada paso

las variables básicas y no básicas, la solución factible básica y el valor

de z en esa solución.

i) Maximizar z = −3x1 +4x2 ii) Maximizar z = 7x1 +2x2 +4x3

sujeta a

2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x 6x 94x 5x x 102x 3x 4x 8

x 0, x 0, x 0

− ≤⎧⎪ + + ≤⎪⎨− + + ≤⎪⎪ ≥ ≥ ≥⎩

sujeta a 1 2 3

1 2 3

1 2 3

4x 5x 3x 196x x 2x 12x 0, x 0, x 0

+ + ≤⎧⎪ + + ≤⎨⎪ ≥ ≥ ≥⎩

iii) Maximizar z = −2x2 +4x3 iv) Maximizar z = −x1 +x2 −6x3

sujeta a

1 3

1 2

1 2 3

1 2 3

3x 6x 63x 2x 34x 7x 2x 7

x 0, x 0, x 0

− + ≤⎧⎪ − ≤⎪⎨ + − ≤⎪⎪ ≥ ≥ ≥⎩

sujeta a

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2x x 2x 2x x 2x 5

3x 2x 6x 6x 0, x 0, x 0

− + − ≤⎧⎪ − + − ≤⎪⎨− + − ≤⎪⎪ ≥ ≥ ≥⎩

v) Maximizar z = 6x1−7x2−14x3 vi) Maximizar z = 10x1 +15x2 +4x3

sujeta a 1 2 3

1 2 3

1 2 3

x 2x 4x 73x 5x x 12

x 0, x 0, x 0

+ + ≤⎧⎪− + + ≤⎨⎪ ≥ ≥ ≥⎩

sujeta a

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

5x 2x x 163x x x 122x 4x x 16x 0, x 0, x 0

+ + ≤⎧⎪ + + ≤⎪⎨ + + ≤⎪⎪ ≥ ≥ ≥⎩

2. Para cada una de las siguientes tablas simplex, determinar las variables

básicas y no básicas, la solución factible básica y el valor de z correspon-

diente a dicha solución. Indicar también si la tabla es final o no.

a) b)

1 1 0 −1

1 0 −2 1

3 4

1 0 −1 0 1 2

1 0 −2 1

10 20

0 3 −5 0 z−15 0 0 −9 6 −4 z−100

Práctica 6

39

c) d)

2 0 1 1/2 0 −3/2 −1/2 1 1/2

1 0 00 1 −1/2 0 0 1/2

3 3/2 ½

1 0 1 3 0 0 2 1 0

1 0 0 1 1 1 1 0 1

1 7 5

−3 0 1 0 0 −2 z−2 −10 0 0 −4 0 −10 z−44

3. Maximizar z = 2x1 + x2 sujeta a 1 2

1 2

1 2

4x x 12x 3x 6

x 0, x 0

− + ≤⎧⎪ − ≤⎨⎪ ≥ ≥⎩

a) Aplicar el método simplex y analizar la tabla obtenida después de

pivotear una vez. ¿Se puede seguir pivoteando?

b) Resolver por el método gráfico. Obtener conclusiones.

4. La siguiente es la tabla simplex inicial de un problema estándar de

maximización. Hallar el valor máximo de z y decir en qué punto se

alcanza.

1 5 −2 2 2 1 0 1 2

1 0 0 0 1 0 0 0 1

60 30 10

2 6 −4 0 0 0 z

5. Para la siguiente tabla simplex correspondiente a un problema estándar de

maximización, encontrar la tabla final y decir cuál es el valor máximo de z y

en qué punto lo alcanza.

0 0,5 0 1 0,5 1 2 0,5 0

1 −0,5 0 0 0,5 00 −1,5 1

2 13 4

1 −3 0 0 −1 0 z−26

6. Dada la tabla simplex correspondiente a un problema estándar de

maximización, encontrar α para que el valor máximo de z sea 152

.

0 −1 2 1 1 −1

1 −1 0 1

3 3

0 −7 1 0 −2 z−α 7. Un estudiante que se prepara intensivamente en inglés, francés y

portugués, asistirá a un laboratorio de idiomas.

En total dispone de a lo sumo 94 horas.

Práctica 6

40

La cantidad de tiempo que dedica al idioma inglés no puede superar en

más de 10 horas al doble de la cantidad de tiempo que dedica al idioma

francés. El tiempo que dedica al francés y al portugués en conjunto, no

puede superar en más de 34 horas al tiempo que dedica al inglés.

Si debe abonar $7 la hora de inglés, $ 3 la de francés y $ 6 la de

portugués,¿cuál es el máximo gasto que le puede ocasionar el laboratorio

de idiomas?

8. Maximizar f = 2x+ 4y sujeta a

x 2y 6x y 2x y 3

x 0, y 0

+ ≤⎧⎪− + ≤⎪⎨ − ≤⎪⎪ ≥ ≥⎩

a) Resolver por el método simplex

b) Resolver por el método gráfico

c) ¿Cuántas de las variables tienen indicador cero en la tabla final del

algoritmo simplex? ¿Son básicas todas estas variables?

9. Una empresa agroquímica produce fertilizantes.

El fertilizante Especial contiene 20 % de potasio, 30 % de fosfatos y 50 %

de nitratos. El fertilizante Super contiene 40 % de potasio, 20 % de

fosfatos y 40 % de nitratos. El fertilizante Común contiene 30 % de

potasio, 30 % de fosfatos y 40 % de nitratos. La empresa posee en stock

60 toneladas de potasio, 80 toneladas de fosfatos y 90 toneladas de

nitratos. Si una tonelada del fertilizante Especial se vende a $ 170, una del

Super a $ 160 y una del Común a $ 150, ¿cuántas toneladas de cada

fertilizante debe producir la empresa con la materia prima disponible para

maximizar sus ingresos por la venta? ¿Es única la solución?

10. Hallar la solución factible que produce el mayor valor de

z =−7x1 +6x2 −14x3 sujeta a

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

5x 3x x 123x 3x 6x 22x x 4x 17

x 4, x 4, x 0

− + ≤⎧⎪− − − ≤⎪⎨ + + ≤⎪⎪ ≥ ≥ ≥⎩

.

Sugerencia: hacer el cambio de variables 1 1y x 4= − , 2 2y x 4= − .

Práctica 6

41

11. Resolver los siguientes problemas lineales, convirtiéndolos previamente

en problemas estándar de maximización.

En los ejemplos de R2 dibujar las regiones de factibilidad e identificar los

vértices correspondientes a la solución.

a) Minimizar f = x − 2y b) Minimizar f = x − 4y

sujeta a x y 4x y 1

x 0, y 0

+ ≤⎧⎪− + ≤⎨⎪ ≥ ≥⎩

sujeta a

x 2y 4x y 5

y 3x 0, y 0

− + ≤⎧⎪ + ≤⎪⎨ ≤⎪⎪ ≥ ≥⎩

c) Minimizar f = −4x + 6y + 2z sujeta a

3x 7y 2z 9x 2y z 2

2x 5y 3z 1x 0, y 0, z 0

− + ≤⎧⎪ − + ≤⎪⎨− + + ≤⎪⎪ ≥ ≥ ≥⎩

d) Minimizar f = 2x − 5y − z sujeta a x 3z 6x y z 3x 0, y 0, z 0

+ ≤⎧⎪ + − ≤⎨⎪ ≥ ≥ ≥⎩

e) Minimizar 1 2 3 4f 4x 10x 6x x= + − − sujeta a

1 3 4

1 2 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x 1x x x 2x x x x 4x 0,x 0,x 0,x 0

+ − ≤⎧⎪ − + ≤⎪⎨ + − + ≤⎪⎪ ≥ ≥ ≥ ≥⎩

12. El problema “Maximizar z = 10x1 +15x2 + 5x3

sujeta a

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2x x 3x 123x 2x x 42x 2x 2x 8x 0, x 0, x 0

+ − ≤⎧⎪ + + ≤⎪⎨ + − ≤⎪⎪ ≥ ≥ ≥⎩

”

tiene la siguiente tabla simplex final

0,5 0 −3,5 1,5 1 0,5 −1 0 −3

1 − 0,5 0 0 0,5 0 0 −1 1

10 2 4

−12,5 0 −2,5 0 −7,5 0 z−30

Plantear el problema dual y dar la solución.

Práctica 6

42

13. En cada caso plantear el problema dual y hallar la solución.

a) Maximizar z = −7x1 +4x2 −2x3 b) Maximizar z = 4x1−6x2 −2x3

sujeta a 1 2 3

1 2 3

1 2 3

2x x 2x 23x 2x 3x 8

x 0, x 0, x 0

− + + ≤⎧⎪− + + ≤⎨⎪ ≥ ≥ ≥⎩

sujeta a

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

6x 14 x 4x 182x 4 x 2x 44x 10x 6x 2

x 0, x 0, x 0

− + ≤⎧⎪ − + ≤⎪⎨− + + ≤⎪⎪ ≥ ≥ ≥⎩

c) Maximizar z = 4x1 −x2 +3x3 d) Maximizar z = 4x + 5y

sujeta a 1 2 3

1 2 3

1 2 3

3x 2x x 102x 4x 2x 12x 0, x 0, x 0

+ + ≤⎧⎪ + + ≤⎨⎪ ≥ ≥ ≥⎩

sujeta a

x 1x y 1

2y 3x 0, y 0

≤⎧⎪ − ≤⎪⎨ ≤⎪⎪ ≥ ≥⎩

14. Resolver: a) Minimizar u = 14 w1 + 16 w2 b) Minimizar u = 3 w1 + 6 w2 + 21 w3

sujeta a

1 2

1 2

1 2

1 2

2w 3w 54w 6w 8

w w 2w 0,w 0

+ ≥⎧⎪ + ≥⎪⎨ + ≥⎪⎪ ≥ ≥⎩

sujeta a

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

6w 3w 7w 33w 3w 6w 93w 6 w 8w 1

w 0, w 0, w 0

− − ≥ −⎧⎪− + + ≥⎪⎨− + + ≥ −⎪⎪ ≥ ≥ ≥⎩

c) Minimizar u = 18 w1 + 4 w2 + 2 w3 d) Minimizar u = 6 w1 +24 w2 + 14 w3

sujeta a

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

6w 2w 4w 414w 4w 10w 6

4w 2w 6w 2w 0, w 0, w 0

+ − ≥⎧⎪− − + ≥−⎪⎨ − + ≥ −⎪⎪ ≥ ≥ ≥⎩

sujeta a

1 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

w 2w 2w 2w w 3w w 3w 1

w 0, w 0, w 0

− + ≥−⎧⎪ + + ≥⎪⎨ + + ≥ −⎪⎪ ≥ ≥ ≥⎩

15. La siguiente es la tabla simplex inicial de un problema estándar de

maximización. Hallar la solución del problema dual de minimización.

1 0 2 1 3 2 −1 4 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

2 8 7

3 1 −1 0 0 0 Z

Práctica 6

43

16. Para la siguiente tabla simplex correspondiente a un problema estándar

de maximización, hallar la solución del problema dual asociado.

1 0 −12 2 0 − 3 0 1 2

1 0 −5 0 1 −2 0 0 1

1 1 1

1 0 −16 0 0 −6 z−6 17. Un joven quiere elaborar un programa semanal de ejercicios que incluirá

trote, ciclismo y natación. Planea dedicar al ciclismo por lo menos el

mismo tiempo que le dedicará al trote y a la natación en conjunto.

Quiere nadar al menos 2 horas por semana.

En el trote consume 600 calorías por hora, en el ciclismo 300 calorías por

hora y en la natación 300 calorías por hora.

Si desea quemar en total al menos 3000 calorías semanales debido al

ejercicio, determinar cuántas horas semanales deberá dedicar a cada tipo

de ejercicio para alcanzar sus objetivos en el menor tiempo posible.

18. En el sector de producción de una fábrica, los empleados de categoría A

cobran $ 8 la hora y los de categoría B cobran $ 5 la hora. En la sección

embalaje, los empleados cobran $ 6 la hora y los aprendices $ 3 la hora.

La fábrica necesita al menos 120 personas en producción y 60 personas

en embalaje. Además debe contratar al menos el doble de empleados de

categoría A que de B. También debe contratar, en la sección embalaje,

al menos el doble de empleados que de aprendices.

¿Cuántos empleados de cada clase debe contratar para que el total que

paga por hora en concepto de salarios sea mínimo? ¿Cuál es ese total?

19. Tres alimentos contienen sólo carbohidratos y proteínas.

El alimento I cuesta $ 5 el kilo y el 90 % de su peso son carbohidratos.

El alimento II cuesta $ 10 el kilo y el 60 % de su peso son carbohidratos.

El alimento III cuesta $ 20 el kilo y el 70 % de su peso son proteínas.

¿Qué combinación de estos tres alimentos proporcionará al menos 2 kilos

de carbohidratos y 1 kilo de proteínas a un costo mínimo?

¿Cuál es ese costo?

Ejercicios de final

44

Marcar, en cada ítem, la única respuesta correcta

RECTAS Y PLANOS EN R2 Y R3

1. Si P = (–2,11); 1L : y = –3x+5 y 2L : X =λ(1,–4) + (0,3) , entonces:

1 2 P L y P L∈ ∉ 1 2P L y P L∈ ∈

1 2P L y P L∉ ∉

1 2P L y P L∉ ∈

2. Si P = (1,3), Q = (2,–1) y X = (3,3) , la recta que pasa por X y que es

paralela a la que pasa por P y Q tiene ecuación:

y = x y = –4x+7 y = –4x+15 y = 2x–3

3. Si L es la recta que pasa por (2,−4) y por (1,−1), entonces el punto de L

que tiene ordenada 5 es: (−3,5) (5,−13) (−2,5) (−1,5)

4. Una panadería tiene costos fijos mensuales de $ 800 y un costo de $ 1,20

por cada kg de pan que fabrica. Si cada kg de pan se vende a $2, el punto

de equilibrio es 1000 100 640 250

5. Sean L1: y = 3x+5 ; L2: y = 2x+6 y P el punto donde se cortan L1 y L2.

La recta que pasa por P y es paralela al eje x tiene ecuación

X = λ(1,0) + (1,8) X = λ(1,0) + (8,1)

X = λ(0,1) + (1,8) X = λ(0,1) + (8,1)

6. Sea L: X = λ(1,2,3) + (−1,2,−2). El punto en que L corta al plano xy es

1,5,02

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 10, ,03 3

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

(0,4,1) (−2,0,−5)

7. Sean: 1L la recta que pasa por (1,3,a) y (b, –1,8) y 2L : X = α(–1,1,0).

1L y 2L son paralelas para a = 8 y b = –3 a = 8 y b = 5

a = 8 y b = 2 a = –8 y b =3 8. La recta que corta al plano x1x2 en (–1,3,0) y al plano x2x3 en (0,2,1),

corta al plano x1x3 en ningún punto (2,0,3)

31,0,2

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

2 ,0,13

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejercicios de final

45

9. La ecuación paramétrica del plano que pasa por (0,0,1); (1,0,1) y (0,1,1) es

X = λ(1,0,0) + β(0,1,0) + (0,0,1) X = λ(1,0,1) + β(0,1,1) + (0,0,1)

X = λ(1,0,0 ) + (0,0,1) X = λ(0,0,1) + β(1,0,1) + α(0,1,1)

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1. Los valores de a y b para los cuales (1,0, –2) es solución del sistema

41

2 2

ax y bzx y z

ax y bz

+ + =⎧⎪ + + = −⎨⎪ + − =⎩

son a =3 ; b =– 12

a =1 ; b = 12

a =3 ; b =–2 inexistentes

2. El conjunto de soluciones del sistema de matriz ampliada

1 2 3 10 1 1 21 0 5 3

− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

es { }(3,2,0) { }( 5, 1,1)λ − −

{ }( 5, 1,1) (3,2,0)λ μ− − + { }( 5, 1,1) (3,2,0)λ − − +

3. El conjunto de los k∈R para los cuales el sistema 2 0

2 00

x yx y z

ky z

+ =⎧⎪ + − =⎨⎪ + =⎩

tiene

solución única es ∅ R {3} R − {3}

4. El conjunto de soluciones del sistema 2 1

2 3 4 33 2

x y zx y zx y z

+ − =⎧⎪ + − =⎨⎪ + − =⎩

es

{ }(3, 1,0)− { }( 1,1,0) ( 3,2,1)− + −α

{ }(1, 1,0) ( 2,0,0) (1, 2,1)− + − + −α β { }(3, 1,0) (5, 2,1)− + −α

5. Si S63

2 9

x y zx zx z

+ + =⎧⎪ − =⎨⎪ + =⎩

y v = (a, a, b), entonces v es solución de S

para a = 3 y b = 0 para ningún a y b

para a = 4 y b = 1 siempre que a−b =3

Ejercicios de final

46

6. El sistema de matriz ampliada 2

1 a 2 40 a 3 20 0 a 2 a 4

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟− −⎝ ⎠ admite infinitas

soluciones para a = 2 y a =–2 a =–2 a = 2 a = 0

7. El conjunto de valores de k para los cuales el sistema 2

2 12

2 3

x y zy k z

x y k z

+ + =⎧⎪ + =⎨⎪ + + =⎩

es compatible determinado es

{ }2, 1− { }1, 2− R −{ }1, 2− R −{ }2, 1−

8. El conjunto de los k∈R para los cuales el sistema x 2y 2z 1

2x y 3z 1x 5y kz 2

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪− − + = −⎩

es

compatible es: ∅ R {0} {–3}

9. El conjunto de soluciones del sistema x y z 2x y z 2+ − =⎧

⎨− − + =−⎩ es

{(1,1,0)} ∅ {(0,0,–2)+α(1,–1,0)+β(0,1,1)} {(0,0,–2); (1,1,0)}

10. El rango de

1 2 3 21 4 3 10 2 2 12 2 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

−⎝ ⎠

es 1 2 3 4

ESPACIOS VECTORIALES

1. Sean v1=(1,0,1) ; v2=(1,2,0) ; v3=(2,2,3) y v=(1,2,−2).

Entonces los coeficientes a, b, c tales que v = av1 + bv2 + cv3 son

a =−1; b = 2; c =−1 a =1; b = 2; c =1

a =1; b = 2; c =−1 a =4; b = −1; c =−2

2. Sean v1 =(2,1,–1) ; v2 =(1,1,0) y v =(4,1,k). El conjunto de valores de k

para los cuales v es combinación lineal de v1 y v2 es:

∅ R {–3} R – {–3}

Ejercicios de final

47

3. Sea S = { x∈R3 : x1 +x2 +x3 = 0}. Un sistema de generadores de S que

no es base de S es:

{(1,–1,0); (0,1,–1)} {(1,–2,1); (–2,4,–2); (3,–6,3)}

{(1,2,–3); (1,–1,0); (0,1,–1)} {(1,–1,0); (0,1,–1); (1,0,1)}

4. El conjunto de los a∈R para los que {(1,–2,2); (0,a,0); (2,1,–1); (3,3,1)}

es linealmente independiente es {0} {1} {3} ∅

5. La dimensión del subespacio generado por (1,1,3) ; (−1,−1,3) y (2,2,6) es

3 2 1 4

6. Una base de S = { x∈R4 : x1 − x3 = 0 } es

( ){ }1,0,1,0 { }(1,0,1,0);(0,1,0,0);(0,1,0,1)

{ }(1,0,1,0);(0,1,0,1) { }(1,0,1,0);(0,1,0,0);(1,1,1,0)

7. Si S = { x∈R4 : 1 2

3 4

x 2x 0x x 0

⎧ − =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩ } y v =(2,1,–1,1) , entonces una base

de S que contiene a v es: { }(2,1,0,0);(0,0,1, 1)− { }(2,1, 1,1);(0,0,0,0)−

{ }(2,1,0,0);(0,0,1, 1);(2,,1, 1,1)− − { }(2,1, 1,1);(0,0,1, 1)− −

MATRICES

1. Si A = 1 3 12 1 12 2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y B = 1 0 10 1 00 0 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

entonces la primera fila de A.2B

es (2 6 0) (2 0 −2) (−2 2 0) (2 4 4)

2. Si A∈ R2x2 es tal que ija i.j= y B∈ R2x2 es tal que ijb i j= + ,

1 i, j 2≤ ≤ , la fila 1 de A.B está dada por

(8 16) (16 22) (8 11) (11 22)

Ejercicios de final

48

3. Si A =2 14 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

entonces la inversa de la matriz A es

1 121 14 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3 12 22 1

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

2 14 3− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

2 41 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4. Si A = 1 c2 3⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠

y B =1 1 20 5 02 1 1

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟− −⎝ ⎠, entonces det B = 1 + det A

para c igual a 172

172

− 132

− 0

5. Sea A = −⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 2k 1 10 k 1

. El conjunto de valores de k para los cuales A es

inversible es R – {–1; 0,5} R – {1; –0,5} {–1; 0,5} {1; –0,5}

6. Si A =1 3a 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

y det (A-1) = 116

entonces a es 6 −6 0 1116

7. Sea A = 2

1 1 20 1 k1 2 k

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠. Un valor de k para el que A no es inversible es:

–2 1 2 0

8. Si A∈ R3x3 , B∈ R3x3, A.B = 2 1 11 0 10 2 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y det (A) = 3, entonces el det (B)

es 53

− −1 53

−3

9. La matriz de tecnología de una economía es C =0,2 0,70,4 0,4⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

. Con una

producción de (1100;900) se satisface una demanda externa de

(250;100) (6450;5800) (120;125) (1300;950)

Ejercicios de final

49

10. En una economía de rubros I y II, con matriz de tecnología C, es

I − C =0,7 0,10,5 0,2

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

¿Cuánto requiere el rubro II del rubro I para producir $1?

$0,2 $0,5 $0,1 $0,8

11. En una economía de dos rubros interdependientes I y II, para producir

$1 de I se requieren $ 0,2 de I y $ 0,4 de II, y para producir $1 de II se

requieren $ 0,2 de I y $ 0,6 de II.

La producción que satisface una demanda externa de $ 300 de I y $ 600

de II es (1500,0) (1000,2500) (120,120) (1500,2250)

12. En una economía que depende de dos rubros I y II, para producir $ 1 de I

se requieren $ 0,40 de I y $ 0,60 de II, y para producir $ 1 de II se

requieren $ 0,30 de I y $ 0,80 de II.

La matriz de tecnología de esta economía es:

0,4 0,60,3 0,8⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

0,6 0,60,3 0,2

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜−⎝ ⎠

0,4 0,30,6 0,8⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

0,6 0,30,6 0,2

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜−⎝ ⎠

13. Las matrices de tecnología de dos economías A y B son

CA = 0,4 0,80,5 0,2⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

y CB = 0,2 0,70,5 0,1⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

. Entonces:

ambas son productivas A es productiva y B no

B es productiva y A no ninguna es productiva

PROGRAMACIÓN LINEAL EN R2

1. Sean R0 2x y 10

x 4y 6

≤ + ≤⎧⎪ ≤⎨⎪ ≤⎩

;

A = (−3,6); B = (0,6); C = (2,6); D = (4,6); E = (4,2); F = (5,0); G = (4,0);

H = (4,−8) y O = (0,0). Los puntos esquina de R son

A, C, E, H B, C, E, G, O C, D, E B, C, E, F, O

Ejercicios de final

50

2. Los puntos esquina de una región acotada R son

(−4,6) ; (0,−3) ; (1,6) y (2,2).

Los valores máximo (M) y mínimo (m) de z =−6x+ y en R son

M = 30; m = 0 M = 30; m =−10

M = 0; m =−18 M = 10; m =−3

3. El mínimo de la función z = 7x–3y en x y 2

x 0y 5

⎧− + ≥⎪⎪⎪⎪ ≥⎨⎪⎪ ≤⎪⎪⎩

es m y se alcanza en P

para m =–15; P = (0,5) m =–6; P = (0,2)

m =–14; P = (–2,0) m =6; P = (3,5)

4. La función z = x+2y en R − + ≤⎧⎨ ≤ ≤⎩

x y 32 x 4

tiene máximo pero no tiene mínimo no tiene mínimo ni máximo

tiene mínimo pero no tiene máximo tiene mínimo y máximo

5. Sobre R 4 x y 4

x 4− ≤ − ≤⎧⎨ ≥ −⎩

, f =x +y

tiene máximo y mínimo tiene máximo pero no tiene mínimo

no tiene máximo ni mínimo tiene mínimo pero no tiene máximo

6. Sea R el polígono de vértices A = (–2,0) ; B = (–2,6) ; C = (2,6); D =(6,2) y

E = (4,0). La función z = 4x + αy alcanza valor máximo 38 sobre R para

α = 5 α = 7 α = 233

ningún α

ALGORITMO SIMPLEX

1. La siguiente tabla corresponde a un problema de maximización estándar:

x1 x2 x3 s1 s2 s3

1 1 −1

−1 0 4

1 0 1

1 0 0

−1 1 0

0 0 1

2

2

8

0 0 8 −6 0 0 f−12

Ejercicios de final

51

Las variables básicas son x1 , x2 y x3 x1 , x2 , s2 y s3

x2 , s2 y s3 x1 , x3 y s1

2. Dado el problema: Maximizar f = x + 3y + 2z sujeto a

x z 42x y 3

x y 2z 2x 0, y 0, z 0

+ ≤⎧⎪ + ≤⎪⎨ + + ≤⎪⎪ ≥ ≥ ≥⎩

, el punto donde f alcanza el máximo es

(0,0,3) (4,1,2) (0,2,0) (0,0, −3)

3. La siguiente tabla simplex corresponde a un problema de maximización

estándar

1 0 1

0 1 1

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3

2

6

1 2 −3 0 0 0 f

Entonces el máximo de f es M y se alcanza en P para

M = 7 y P = (3,2,1) M = 7 y P = (3,2,0)

M = 4 y P = (0,2,0) M = 7 y P = (1,2,0) 4. Esta es la tabla de un problema de maximización estándar:

1 0 1

0 1 1

1 0 0

1 0 0

0 1 0

0 −1 1

3

2

6

1 0 −5 0 −2 0 f − 4

Entonces el máximo de f es M y se alcanza en P para

M = 7; P = (3,2,3) M = 7; P = (3,2,0)

M = 4; P = (0,2,0) M = 4; P = (3,2,6)

Ejercicios de final

52

5. La siguiente tabla simplex corresponde al problema de maximizar w =−f en

una región R

1 2 2

1 2 3

−1 3 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3

4

2

1 −1 −1 0 0 0 w

Entonces, en la misma región, el mínimo de f es m y se alcanza en P para

m = 3 y P = (3,0,0) m = − 43

y P = (0, 13

,0)

m = −3 y P = (3,0,0) m = 43

y P = (0, 13

,0)

6. La siguiente tabla simplex corresponde a un problema de maximización

estándar

1 2 1

0 1 0

−1 α 0

1 0 0

−1 1 0

−2 0 1

8

5

9

3 5 0 −1 0 0 f − 8

En el próximo paso, α puede ser pivote si

α = −3 α = 1 α < 94 α > 9

4

7. Esta es la tabla de un problema de maximización estándar

1 0

0 1

1 0

1 0 0

0 1 0

0 −1 1

3

5

6

1 0 0 −2 0 f−10

En el problema dual asociado, el valor mínimo es m y se alcanza en P

para m =13 y P = (1,2,0) m =10 y P = (0,2,0)

m =13 y P = (3,5) m =−13 y P = (3,5)

CBC PROGRAMA DE ÁLGEBRA (CS. ECONÓMICAS) Unidad 1 R2. Pares ordenados. Operaciones Rectas en R2 : ecuación implícita, pendiente; ecuación paramétrica. Rectas paralelas, intersección de rectas. Aplicaciones. R3. Ternas. Operaciones Rectas y planos en R3: ecuaciones implícitas y paramétricas. Posiciones relativas de dos rectas en R3. Intersecciones de:dos rectas, dos planos, un plano y una recta. Unidad 2 Sistemas de ecuaciones lineales en varias variables. Sistemas homogéneos y no homogéneos. Sistemas equivalentes. Matriz asociada a un sistema. Operaciones elementales entre filas. Matriz triangulada. Método de triangulación de Gauss. Rango de una matriz. Resolución de sistemas lineales. Expresión paramétrica de las soluciones. Sistemas incompatibles, compatibles: determinados e indeterminados. Aplicaciones. Unidad 3 Espacios vectoriales. Subespacios. Sistemas de generadores. Dependencia e independencia lineal de vectores. Bases. Dimensión. Subespacios en R2 y R3: rectas y planos por el origen. Unidad 4 Matrices. Operaciones: suma, producto por escalares. Propiedades. Matriz traspuesta. Producto de matrices. Matrices cuadradas. Matriz identidad. Matriz inversa, cálculo. Determinantes: cálculo, propiedades. Existencia de matriz inversa. Aplicaciones: modelo de insumo-producto de Leontief. Unidad 5 Inecuaciones lineales en R2. Representación gráfica de las soluciones. Sistemas de inecuaciones lineales. Regiones. Puntos esquina. Programación lineal en el plano. Conjunto de restricciones. Función objetivo. Valores máximos y mínimos. Aplicaciones. Unidad 6 Inecuaciones lineales en Rn. Forma estándar de un programa lineal. Algoritmo simplex: variables de holgura, tablas simplex. Soluciones factibles básicas. Problemas con soluciones múltiples. Interpretación geométrica en R2. Modelos de producción lineal. Minimización. Definición y resolución del problema dual. Bibliografía - Grossman, Stanley Álgebra lineal. Mc Graw Hill - Grossman, Stanley Aplicaciones de Álgebra lineal. Grupo editorial Iberoamérica. - Strang, Gilbert. Álgebra lineal y sus aplicaciones. Addison-Wesley Iberoamericana. - Haeussler, E. y Paul, R.Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la vida.Prentice-Hall Hispanoamericana.