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Asignatura
1º año
1) ¿Cuáles de las siguientes expresiones
son proposiciones?
a) ¿2 es un número positivo?
b) Juan es estudiante.
c) a + b + 10 = 20
d) a + b + 10 = 20; donde a = 4, b= 7
No es proposición ya que una interrogación no tiene valor de verdad
Es una proposición porque es una oración afirmativa de la cual puede decirse V o F , pero no ambas
Esta afirmación no tiene valor de verdad ya que depende de los valores de a y b entonces , no es una proposición
Es una proposición porque , asignados los valores de a y b, la afirmación tiene valor de verdad, en este caso, F
2)Dadas las proposiciones, p: Fernando viajó en sus
vacaciones , y q: Fernando estudió en sus
vacaciones. .3
Exprese verbalmente las siguientes expresiones lógicas
p
p q
(p q)
Responda: ¿Tienen la misma interpretación (p q) y
p q ? Analice los valores de verdad de ambas
proposiciones compuestas en el caso en que p = V y
q = F
: “Fernando no viajó en sus vacaciones”
: “Fernando viajó y estudió en sus vacaciones”
: “No es cierto que, Fernando viajó y estudió
en sus vacaciones”
No tienen la misma interpretación, la 1º es “No es cierto que, Fernando
viajó y estudió en sus vacaciones” , la cual es Verdadera y la 2º es
“Fernando no estudió ni viajo en sus vacaciones” la cual es Falsa
2)Dadas las proposiciones, p: Fernando viajó en sus
vacaciones , y q: Fernando estudió en sus
vacaciones. .4
p q
p q
Responda: ¿Tienen la misma interpretación p q y
p q ? Analice los valores de verdad de ambas
proposiciones compuestas en el caso en que p =
V y q = V
: “Fernando viajó o estudió en sus vacaciones”
: “Fernando viajó o estudió en sus vacaciones,
pero no ambas”
No tienen la misma interpretación, la 1º brinda la posibilidad de haber
hecho las dos cosas y en este caso es Verdadero y la 2º excluye la
posibilidad de haber hecho ambas, y por lo tanto es Falsa
3)Escriba una oración que corresponda a cada una de las siguientes proposiciones:
p: llueve, q: hace frío, r: voy al cine
a)¬r Λ q
b) ¬ (r Λ q)
c) ¬p ¬ q
d) ¬(p q)
e) ( r Λ q) ν p
f) r Λ (q ν p)
No voy al cine pero hace frío
No es cierto que, voy al cine y hace frío
No voy al cine o no hace frío
No es cierto que, voy al cine o hace frío
Voy al cine y hace frio, o llueve
Voy al cine y, hace frio o llueve
4) Construya las tablas de verdad de las siguientes
expresiones, diga cuál de ellas es tautología o
contradicción6
Entonces ¬p Λ q Λ p es una contradicción
Entonces ¬ (p Λ q) p es una tautología
a) ¬p Λ q Λ p
b) ¬ (p Λ q) p
p q ~p ~p Λ q ¬p Λ q Λ p
p q p Λ q ~(p Λ q) ¬ (p Λ q) p
p q ~p ~p Λ q ¬p Λ q Λ p
V V F F F
V F F F F
F V V V F
F F V F F
p q p Λ q ~(p Λ q) ¬ (p Λ q) p
V V V F V
V F F V V
F V F V V
F F F V V
5) a)Escriba las siguientes proposiciones en forma
simbólica, luego escriba la recíproca y contrarecíproca
Si veo un marciano con mis propios ojos, entonces hay vida extraterrestre
p q
q p
~q ~p
7
Sean
p: “Veo un marciano con mis propios ojos”
q: “creo que hay vida extraterrestre”
La recíproca es :
La Contrarecíproca es
Si hay vida extraterrestre, veré un marciano
con mis propios ojos
Si no hay vida extraterrestre, no veré un
marciano con mis propios ojos
u v
Es suficiente un disco rígido de 80 GB para que pueda navegar en Internet.
u: Tengo un disco rígido de 80 GB
v: Puedo navegar en Internet
v u
5) b)Escriba las siguientes proposiciones en forma
simbólica, luego escriba la recíproca y contrarecíproca
Su recíproca es:
~v ~ u
Su contrarecíproca es:
Es suficiente navegar por internet para tener
un disco rígido de 80 GB
Si no puedo navegar por internet, entonces
no tengo un disco rígido de 80 GB
8
5) c)Escriba las siguientes proposiciones en forma
simbólica, luego escriba la recíproca y contrarecíproca
Si encuentro petróleo, soy rico
p q
q p
~q ~p
9
Sean
p: “Encuentro petróleo”
q: “Soy rico”
La recíproca es :
La Contrarecíproca es
Si soy rico, encuentro petróleo
Si no soy rico, entonces no encontré petróleo
5) c)Escriba las siguientes proposiciones en forma
simbólica, luego escriba la recíproca y contrarecíproca
Si llueve, voy al cine.
p q
q p
~q ~p
10
Sean
p: “llueve”
q: “voy al cine”
La recíproca es :
La Contrarecíproca es
Si voy al cine, llueve
Si no voy al cine, no llovió
5) e)Escriba las siguientes proposiciones en forma
simbólica, luego escriba la recíproca y contrarecíproca
Voy a la facultad, cuando es lunes
q p
q p
~q ~p
11
Sean
p: “Voy a la facultad”
q: “Es lunes”
La recíproca es :
La Contrarecíproca es
Si voy a la facultad, es lunes
Si no voy a la facultad, no es lunes
6) Al inicio de un programa de Pascal, las variables enteras “m” y “n” reciben los valores de 3 y 8 respectivamente. Durante la ejecución del programa, se encuentran los siguientes enunciados sucesivos. [Aquí, los valores de m y n después de la ejecución del enunciado de la parte a) se convierten en los valores de “m” y “n” para el enunciado de la parte b), etc, hasta el enunciado de la parte g)]
n m
Valores iniciales 8 3
If n-m=5 then n := n -2
If ( ( 2*m=n) and (n Div 4 = 1 ) then n: = 4*m-3)
If (( n<8) or ((m Div 2 = 2 )) then n : = 2*m else m:=2*n
If ((m<20) and (n Div 6 = 1 ) then m : = m – n – 5
If ((n = 2*m) or ( ( n Div 2 = 5 )) then m : = m +2
If ((n Div 3 = 3) and ( m Div 3 ) < > 1) ) then m : = n
If m*n <> 35 then n: = 3*m +7
12
n m
Valores iniciales 8 3
If n-m=5 then n := n -2 6 3
If ( ( 2*m=n) and (n Div 4 = 1 ) then n: = 4*m-3) 9 3
If (( n<8) or ((m Div 2 = 2 )) then n : = 2*m else m:=2*n 9 18
If ((m<20) and (n Div 6 = 1 ) then m : = m – n – 5 9 4
If ((n = 2*m) or ( ( n Div 2 = 5 )) then m : = m +2 9 4
If ((n Div 3 = 3) and ( m Div 3 ) < > 1) ) then m : = n 9 4
If m*n <> 35 then n: = 3*m +7 19 4
7 a) Demuestre las siguientes implicaciones lógicas
i) (p Λ (p→ q)) q ( Modus Ponens)
p q p→ q p Λ (p→ q) (p Λ (p→ q)) → p
13
(p Λ (p→ q)) implica lógicamente a p dado que (p Λ (p→ q)) → q
es una tautología
p q p→ q p Λ (p→ q) (p Λ (p→ q)) → q
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
7 a) Demuestre las siguientes implicaciones lógicas
ii) ( q Λ (p→ q)) p ( Modus Tollens)
14
( q Λ (p→ q)) implica lógicamente a p dado que ( q Λ (p→q)) → p es una tautología
p q pq
p→ q q Λ (p→ q) ( q Λ (p→ q)) → p
V V
V F
F V
F F
p q pq
p→ q q Λ (p→ q) ( q Λ (p→ q)) → p
V V F F V F V
V F F V F F V
F V V F V F V
F F V V V V V
7 a) Demuestre las siguientes implicaciones lógicas
iii) ( q Λ (p q)) p (Silogismo Disyuntivo)
15
q Λ (p q) implica lógicamente a p dado que ( q Λ (p q)) →p
es una tautología
p q
q
p q q Λ (p q) ( q Λ (p q)) →p
V V F F
V F V V
F V F V
F F V F F
p q
q
p q q Λ (p q) ( q Λ (p q)) →p
V V F V F V
V F V V V V
F V F V F V
F F V F F V
7 a) Demuestre las siguientes implicaciones lógicas
iv) ((p→ q) Λ (q→ r)) (p→ r) (Silogismo
Hipotético)
16
((p→ q) Λ (q→ r)) implica lógicamente a p→ r dado que
((p→ q) Λ (q→ r)) (p→ r) es una tautología
p q r
A
p q
B
q r A B
C
pr A B C
V V V V V V V V
V V F V F F
V F V V
V F F V
F V V V
F V F V V
F F V V V
F F F v V v v
p q r
A
p q
B
q r A B
C
pr A B C
V V V V V V V V
V V F V F F F V
V F V F V F V V
V F F F V F F V
F V V V V V V V
F V F V F F V V
F F V V V V V V
F F F v V v v V
7)b) Demuestre las siguientes implicaciones lógicas
usando las leyes ya probadas17
r qpr))(q(p i)
qp)r))(q((p derecha a izquierda de asociando
qr)(q : Ponens Moduspor
r : nuevamente Ponens ModusPor
r pr)(q q)(p ii)
pr))(q q)(p( derecha a izquierda de asociando
pr)(p : Hip Silogismopor
r : Ponens ModusPor
8) Escriba las proposiciones dadas en forma simbólica.
Analice su valor de verdad
18
a) 113 es primo si y solo si 113 es impar
b) Es necesario y suficiente que nieve para que el día esté frio
p:”113 es primo”
q: “113 es impar” p q
p = V y q = V , entonces (p q) = V
r:”Nieva”
s: “Hace frio”
r s
r s será V si ambos, r y s tienen el mismo
valor de verdad, caso contrario r s será
F
9) a) Demuestre las siguientes equivalencias
lógicas
19
i) (p q) r (p r) (q r) (una de las leyes distributiva)
p q r (p q) r p r q r (p r) (q r)
V V V V V V V V
V V F F F V
V F V V V V
V F F F F V
F V V V V
F V F F F
F F V F F
F F F F F F F V
p q r (p q) r p r q r (p r) (q r)
V V V V V V V V
V V F F F F F V
V F V V V F V V
V F F F F F F V
F V V V F V V V
F V F F F F F V
F F V F F F F V
F F F F F F F V
1 2
1 2
p q p q (p q)
p
V V V
V F V
F V V
F F F
9) a) Demuestre que las siguientes equivalencias
lógicas
20
ii) (p q) p p (una de las leyes de
absorción)
p q p q (p q)
p
V V V V V
V F V V V
F V V F V
F F F F V
1 2
12
9) a) Demuestre que las siguientes equivalencias
lógicas
21
iii) ~(p q) ~p ~ q (una de las leyes de De
Morgan)
p q ~p ~q p q ~(p q) ~p ~ q
V V F F V F V
V F F V F V
F V V F F
F F V V V V
p q ~p ~q p q ~(p q) ~p ~ q
V V F F V F F V
V F F V F V F V
F V V F F V F V
F F V V F V V V
1 21 2
9) a) Demuestre que las siguientes equivalencias
lógicas
22iv) ~(p→ q) p ~ q (una de las leyes de la
condicional)
p q ~q p→ q ~(p→ q) p ~ q
V V F V
V F V
F V F
F F V V
p q ~q p→ q ~(p→ q) p ~ q
V V F V F F V
V F V F V V V
F V F V F F V
F F V V F F V
1 2
1 2
9) a) Demuestre que las siguientes equivalencias
lógicas
23
v) ~(p↔ q) (p ~ q) (q ~ p) (ley de la bicondicional)
p q p q ~(p
q)
p ~ q q ~ p ˅
V V V
V F
F V
F F V
p q p q ~(p
q)
p ~ q q ~ p ˅
V V V F F F V
V F F V V F V
F V F V V V V
F F V F V F V
1 2 3
1 2 3
b) Demuestre las siguientes equivalencias lógicas
usando las Leyes Lógicas ya probadas
24
q q qp i)
qqp q qp Cond la deLey Por
q qqp Absorcion deLey por y
q rp qr qp ii)
qr qp qr qp cond la deley Por
q rp qr qp distribley Por
F rqpr)qp( iii)
rqpr)qp(
rqprqpMorgan DePor
F Opuestos los deLey Por
10) Encuentre la negación de las siguientes
proposiciones usando las equivalencias lógicas
convenientes. Exprese el resultado en lenguaje
simbólico y coloquial.25
a)Hoy llueve o hace frio
p:Hoy llueve
q: Hoy hace frioLa frase dada es: p v q
Su Negación:¬ (p v q) ¬p Λ ¬q)
Lenguaje coloquial
“Hoy , ni llueve ni hace frio”
b) Salgo de paseo y estudio.
p: Salgo de paseo
q: Estudio
La frase dada es :p q
Lenguaje coloquial
“No salgo de paseo o no estudio”
Esta frase es la negación de
~(p q) ≡ ~ p v qSu Negación:
c) Si se caen los precios de las acciones, perderé dinero
p: Caen los precios de las acciones.
q: Perderé dinero.p→ q
Lenguaje coloquial
“Caen los precios de las acciones y no perderé
dinero.”
¬(p→ q) ≡ p Λ ¬ q
27
Negación:
d) Sólo si vamos de paseo, pondré la correa
a mi perro
p: Vamos de paseo.
q: Pongo la correa a mi perro.q→ p
Lenguaje coloquial
“Le puse la correa a mi perro y no fuimos de paseo”
¬(q→ p) ≡ q Λ ¬ p
28
Negación:
e) El mineral es metal si y sólo si es buen
conductor de la electricidad
p: el mineral es metal.q: el mineral es buen conductor de la
electricidad
p q
Lenguaje coloquial
“El mineral es metal y no es buen conductor de electricidad o , es buen conductor de electricidad y no es metal”
¬(p q) ≡(p Λ ¬ q)˅(q Λ ¬ p)
29
Negación:
11a) Escriba una subrutina que genere la tabla de
verdad de (~p ν q) Λ r
b) Escriba una subrutina que demuestre la
implicación lógica p Λ q p
c) Escriba una subrutina que demuestre la
equivalencia lógica ~(p→ q) p ~ q
30
12) a)Establezca si el argumento dado es válido
o no. Justifique su respuesta.
31
Seré famoso o seré escritor
No seré escritor
∴ Seré famoso
p v q¬q
El razonamiento es válido por el Silogismo Disyuntivo
En forma simbólica, sean:
p: Seré famoso q: Seré escritor
p
12) b)Establezca si el argumento dado es válido
o no. Justifique su respuesta.
32
Hay escasez de nafta
Si las empresas petroleras están en crisis , hay escasez de nafta
∴ Las empresas petroleras están en crisis
p
q → pEl razonamiento no es válido (lo
demostramos con la tabla de verdad)
En forma simbólica, sean:p: Hay escasez de naftaq: las empresas petroleras están en crisis
q
pΛ(q → p) q
p q q → p pΛ(q → p) pΛ(q → p) →q
V V V V V
V F V V F
F V F F V
F F V F V
Contingencia, por lo tanto el razonamiento no es válido
13) Establezca la validez de los siguientes
razonamientos. Realice una derivación formal de la
conclusión, usando cualquier método de
demostración34
a) p Λ q →r , ¬r ν t , ¬t ⇒ ¬p ν ¬q
Por demostración directaPasos Justificación
1. p Λ q →r Premisa2. ¬r ν t Premisa3. ¬t Premisa4. ¬r 2 y 3 ,Silogismo disyuntivo 5. ¬( p Λ q) 1 y 4 ,Modus Tollens6. ¬p ν ¬q 5, Leyes de De Morgan
Se mostro que si las premisas son verdaderas, la conclusión también lo es. Por lo tanto el razonamiento es válido
13) Establezca la validez de los siguientes
razonamientos. Realice una derivación formal de la
conclusión, usando cualquier método de
demostración35
b) p ν q , p→r , q→r ⇒ r
Por demostración indirecta (por contradicción)Pasos Justificación
1. p ν q Premisa2. p→r Premisa3. q→ r Premisa4. ¬r Niego la conclusion5. ¬p 2 y 4, Modus Tollens6. ¬q 3 y 4, Modus Tollens7. ¬ p Λ ¬ q 5 y 6 ,Ley de Combinacion8. ¬(p ν q) 7, Ley de De Morgan9. F 1 y 8 , Contradiccion
Esta contradicción vino de haber supuesto que mientras las premisas son verdaderas la conclusión no lo era. Por lo tanto r es verdadero y el razonamiento es válido
13) Establezca la validez de los siguientes
razonamientos. Realice una derivación formal de la
conclusión, usando cualquier método de
demostración36
c) p→q , p→ ¬q ⇒ ¬p
Por demostración indirecta (por contradicción)Pasos Justificación
1. p→q Premisa2. p→ ¬q Premisa3. ¬ ¬ p Niego la conclusion4. p 3, ley de la negacion5. q 1 y 4, Modus Ponens6. ¬q 2 y 4, Modus Ponens6. F 5 y 6 , Contradicción
Esta contradicción vino de haber supuesto que mientras las premisas son verdaderas la conclusión no lo era. Por lo tanto ¬p es verdadero y el razonamiento es válido
13) Establezca la validez de los siguientes
razonamientos. Realice una derivación formal de la
conclusión, usando cualquier método de
demostración37
d) p → q ν r , p→ ¬q , p ⇒ ¬r
Por demostración directa Pasos Justificación
1. p → q ν r Premisa2. p→ ¬q Premisa3. p Premisa4. ¬q 2 y3, Modus Ponens5. q ν r 1 y 3, Modus Ponens6. r 4 y 5, Silog disyuntivo
El razonamiento no es válido ya que , si las premisas son verdaderas, la conclusion a la que se llega es r.
14) Complete los siguientes esquemas lógicos agregando
una conclusión de tal modo que resulten razonamientos validos
a) p →q r
~q ~r
… …
Reglas Justificación
1. p →q r Premisa
2. ~q ~r Premisa
3. ~(q r) 2,Ley de De Morgan
4. ~p 1y 3,Modus Tollens
p →q r~q ~r
~p
SE obtuvo por Demostración directa
14) Complete los siguientes esquemas lógicos agregando
una conclusión de tal modo que resulten razonamientos validos
b) p q r
p → ~t
… …
Reglas Justificación
1. p q r Premisa
2. p → ~t Premisa
3. p 1,Ley de Simplificación
4. ~t 2y 3, Modus Ponens
p q r. p → ~t .
~t
Se obtuvo por demostración directa
15) Lea las siguientes frases, a) extraiga los
predicados
Considerando el conjunto de los estudiantes entonces:
i) Todos los estudiantes mayores de 25 años trabajan
P(x) : ‘ x es mayor de 25 años’
Q(x) : ‘x trabaja’
ii) Ningún estudiante aprobó el examen
A(x) : ‘ x aprobó el examen’
iii) Existen dos compañeros que viven en la misma pensión
P(x,y): ‘x vive en la misma pensión que y’
iv) Algún estudiante presta sus apuntes a todos sus compañeros.
Q(x,y): ‘x presta sus apuntes a y’
40
15) Lea las siguientes frases, b) exprese las
frases en lenguaje simbólico
i) Todos los estudiantes mayores de 25 años trabajan
P(x) : ‘ x es mayor de 25 años’ y Q(x) : ‘x trabaja’
x, [P(x) Q(x) ]
ii) Ningún estudiante aprobó el examen
A(x) : ‘ x aprobó el examen’
~ x,A(x)
iii) Existen dos compañeros que viven en la misma pensión
P(x,y): ‘x vive en la misma pensión que y’
xy , P(x,y)
iv) Algún estudiante presta sus apuntes a todos sus compañeros.
Q(x,y): ‘x presta sus apuntes a y’
x y , Q(x,y)
41
15) Lea las siguientes frases, c) Niegue en
forma simbólica y coloquial
i) Todos los estudiantes mayores de 25 años trabajan
P(x) : ‘ x es mayor de 25 años’ y Q(x) : ‘x trabaja’
~ x, [P(x) Q(x) ] ˅x, ~ [P(x) Q(x) ] ˅
˅x, [P(x) ~Q(x) ]
Algun estudiante es mayor de 25 años y no trabaja
ii) Ningún estudiante aprobó el examen
A(x) : ‘ x aprobó el examen’
~ [~ x,A(x)] ˅x,A(x)
Algun estudiante aprobó el examen
42
15) Lea las siguientes frases, c) Niegue en
forma simbólica y coloquial
iii) Existen dos compañeros que viven en la misma pensión
P(x,y): ‘x vive en la misma pensión que y’
~[x y , P(x,y)] ˅xy, ~P(x,y)
Todos los compañeros no comparten pensión con ningún compañero
iv) Algún estudiante presta sus apuntes a todos sus compañeros.
Q(x,y): ‘x presta sus apuntes a y’
~[x y , Q(x,y)] ˅˅x y, ~Q(x,y)
Todos los estudiantes no prestan los apuntes a algún compañero
43
16)Suponga que x, y son números naturales. Sean P(x): x >3, Q(x): x < 0, R(x, y): x =y
Niegue las siguientes expresiones en forma simbólica y coloquial
a) ∃x Q(x)
¬ ∃x Q(x) ˅x , ~Q(x)
“Todos los números naturales no son menores que cero” o “Ningún numero natural es menor que cero”
b) x P(x)
¬ x P(x) ˅∃ x , ~P(x)
“Existe un numero natural que no es mayor que 3”
44
16)Suponga que x, y son números naturales. Sean P(x): x >3, Q(x): x < 0, R(x, y): x =y
Niegue las siguientes expresiones en forma simbólica y coloquial
c) x y R(x,y)
~ x y R(x,y)˅∃ x ∃y , ~R(x,y)
“Algún par de números naturales no son iguales”
d) ∃ x [~Q(x) ~P(x)]
~ ∃ x [~Q(x) ~P(x)] ˅ x , [Q(x) ˅ P(x)]
“Todos los números naturales son, menores que cero o mayores que tres”
45
16)Suponga que x, y son números naturales. Sean P(x): x >3, Q(x): x < 0, R(x, y): x =y
Niegue las siguientes expresiones en forma
simbólica y coloquial
e) ∃ x y R(x,y)
~ ∃ x y R(x,y)˅ x ∃y , ~R(x,y)
“Cualquier número natural es distinto a algún numero natural”
f) ∃ x ∃ y R(x,y)
~ ∃ x ∃ y R(x,y)˅ x y , ~R(x,y)
“Todo número natural es distinto a cualquier numero natural”
46
47
5) b) Suponga que x, y son números naturales. Sean P(x): x es par, Q(x): x <0, R(x, y): x + y =2.
c) ∀x ∀ y R(x, y) : “La suma de todo número natural con cualquier otro natural da como resultado dos”
Su valor de verdad es F, ya que si x=2 e y=2, resulta x+y= 2+2=4.
d) ∃x[ ¬Q(x) Λ ¬P(x) ]
¬ Q(x): ‘x ≥0’
¬ P(x): x no es par
“Existe algún número natural que es no negativo y no es un número par”
Su valor de verdad es V, ya que por ejemplo el númeronatural 9 no es negativo y tampoco es un número par
48
5) b) Suponga que x, y son números naturales. Sean P(x): x es par, Q(x): x <0, R(x, y): x + y =2.
e) ∃x ∀y R(x, y) se puede leer
“Existe algún número natural que sumado a cualquier otronúmero da como resultado dos”
Su valor de verdad es F, ya que solo se cumple para unvalor determinado de x e y.
f) ∃x ∃ y R(x, y)
“Existe algún número natural que sumado a algún otronúmero da como resultado dos”
Su valor de verdad es V, ya que para x=1 e y=1 secumple se cumple R(x,y)
6) a) Escriba las siguientes proposiciones en termino de predicados y cuantificadores. Encuentre el valor de verdad en cada apartado
Sean los siguientes predicados:
P(x): x es número par, Q(x): x es número primo
S(x): x es positivo
i) Todo entero es un número par
x Z, P(x)
Su valor de verdad es F ,por ejemplo 3 es entero impar
ii) Ningún entero positivo primo es par.
¬ ∃ x Z [S(x) Q(x) P(x)]
Su valor de verdad es F porque 2 es primo y par
50
6) a) Escriba las siguientes proposiciones en termino de predicados y cuantificadores. Encuentre el valor de verdad en cada apartado
Sean los siguientes predicados:
E(x): x es raíz de la ecuación x3 = x2
D(x): x es divisor de 6
S(x): x es positivo
iii)Algún número real positivo es raíz de la ecuación x3 = x2
∃ x R [S(x) E(x)]
Verdadero, para x=1
51
6) a) Escriba las siguientes proposiciones en termino de predicados y cuantificadores. Encuentre el valor de verdad en cada apartado
Sean los siguientes predicados:
P(x): x < 1
S(x): x es positivo
iv) 1 es mayor que algún entero positivo
∃ x Z, [ S(x) P(x)]
Falso
6) -b)Exprese verbalmente y encuentre el valor de verdad de las siguientes afirmaciones.
i) x ℝ, x2 +1 >0
“Todo número real satisface la inecuación x2 +1 >0”
Su valor de verdad es V puesto que x2 0 y por lo tantox2 +1 > 1 > 0
ii) ∃n ℕ, [n es impar y 3n es par]
“Existe un número natural impar cuyo triplo es par”
Su valor de verdad es F, puesto que el triple de todo número impar es otro impar. Para ver esto, examinemos que 3 (2n+1)=6n+3 ; par + impar =impar
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6) -b)Exprese verbalmente y encuentre el valor de verdad
de las siguientes afirmaciones.
iii) ∃n ℕ, [n es impar y 3+n es par]
“Existe un número natural impar que sumado a 3 da unnúmero par”
Su valor de verdad es V, puesto que existe x = 1 que cumplela condición que sumado a 3 es par.
iv) n ℕ, [n >0 y n < 1]
“Todo número natural es mayor que cero y menor que 1”
Su valor de verdad es F, puesto que 1 es el primer elemento del conjunto de números naturales.
15) Establezca la validez de los siguientes razonamientos. Realice una derivación formal de la conclusión, usando cualquier método de demostración
a)p Λ q →r, ¬r ν t, ¬t ⇒ ¬p ν ¬qPor demostración directaPasos 1. p Λ q →r2. ¬r ν t3. ¬t4. ¬r5. ¬( p Λ q)6. ¬p ν ¬q
El razonamiento es válido
JustificaciónPremisaPremisaPremisa 2 y 3 ,Silogismo disyuntivo 1 y 4 ,Modus Tollens5, Leyes de De Morgan
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b) p q, p →r, q →r ⇒rlo demostramos por contradicción
Pasos1.p q2.p →r3.q →r4.¬r5. ¬p6. ¬q7. q8. q ¬q9. F
Justificación
Premisa
Premisa
Premisa
Negacion de la conclusion
2 y 4 , Modus Tollens
3 y 4 , Modus Tollens
1 y 5 . Silogismo Disyuntivo
6 y 7, Ley de Combinacion
8, Ley de los inversosEsta contradicción vino de haber supuesto ¬r. Por lo tanto vale r,con lo que esta demostrado que el razonamiento es válido
56
c)p →q, p →¬q ⇒ ¬p lo demostramos por contradicción
1.p →q2.p →¬q3. p 4. q5. ¬q
6. q ¬q
7. F
PremisaPremisaNiego la conclusion1 y 3, Modus Ponens2 y 3, Modus Ponens4 y 5, Ley de combinación6, Ley de los inversos
Esta contradiccion que vino de haber supuesto que no se cumplía la conclusiónPor lo tanto el razonamiento es válido
57
d) p →q r , p →~q , p ⇒ ~r
Reglas
1. p →q r
2. p →~q
3. p
4. q r
5. ~ q
6. ~r
Justificación
Premisa
Premisa
Premisa
1 y 3 ,Modus Ponens
2 , 3 ,Modus Ponens
4y5, Silogismo disyuntivo
Demostración directa
16) Complete los siguientes esquemas lógicos agregando
una conclusión de tal modo que resulten razonamientos validos
a) p →q r
~q ~r
… …
Reglas Justificación
1. p →q r Premisa
2. ~q ~r Premisa
3. ~(q r) 2,Ley de De Morgan
4. ~p 1y 3,Modus Tollens
p →q r~q ~r
~p
SE obtuvo por Demostración directa
Paso Inductivo : Suponer que P(k) es verdadero, esto es
12 =1
31 2.1 + 1 2.1 − 1 =
1
3. 1.3.1
a) 12 + 32 + 52 + ⋯ + 2n − 1 2 =1
3n 2n + 1 2n − 1
12 + 32 + 52 + ⋯ + 2k − 1 2 =1
3k 2k + 1 2k − 1
12 + 32 + 52 + ⋯ + 2k + 1 2 =1
3 k + 1 2k + 1 2k + 3
Se debe probar que P(k+1) es verdadero, esto es
17) Usando el Principio de Inducción demuestre que para
toda n ∈ ℕ se cumple que:
Entonces P(1) es verdadero
60
Paso base
Entonces queda probado que
12 + 32 + 52 + ⋯ + 2n − 1 2 =1
3n 2n + 1 2n − 1 ∀n ∈ ℕ
61
Partiendo del 1º miembro de la igualdad que se quiere probar
Paso Inductivo: Supongo que P(k) es verdadero
1 = 12
1 + 3 + 5 + ⋯ + (2k − 1) = k2
1 + 3 + 5 + ⋯ + (2k + 1) = k + 1 2
b) 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2n − 1) = n2
1 + 3 + 5 + ⋯ + 2k − 1 + 2k + 1 = k2 + 2k + 1
62
Paso base: Entonces P(1) es verdadero
Se debe probar que P(k+1) es verdadero
Partiendo del 1º miembro y usando la hipótesis se tiene que
= k2 + 2k + 1 = k + 1 2
Por lo tanto P(k+1)es verdadero
1 + 3 + 5 + ⋯ + 2n − 1 = n2 ∀n ∈ ℕ Queda probado que: