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Instituto Tecnológico de Mexicali
Ingeniería Química
Materia:
Laboratorio Integral I
Tema:
Práctica
Ecuación de Bernoulli
Integrantes:
Nombre del profesor
Norman Edilberto Rivera Pazos
Mexicali, B.C. a 10 de marzo de 2015
Aranda Sierra Claudia Janette
Castillo Tapia Lucero Abigail
Cruz Victorio Alejandro Joshua
De La Rocha León Ana Paulina
Guillén Carvajal Karen Michelle
Lozoya Chávez Fernanda Viridiana
Rubio Martínez José Luis
12490384
11490627
12490696
11490631
12940396
12490402
12490417
Índice
Práctica
Título: “Ecuación de Bernoulli”
Objetivo 2
Introducción 2
Marco teórico 3
Principio de Bernoulli 3
Restricciones de la ecuación de Bernoulli 3
Ganancias y pérdidas de energía 4
Procedimiento para aplicar la ecuación de Bernoulli 5
Material, equipo y reactivos 6
Procedimiento 7
Diseño del prototipo 7
Cálculos 8
Análisis 15
Observaciones 16
Evidencias 17
Bibliografía 17
1
Práctica VIII
Título:
“Ecuación de Bernoulli”
Objetivo:
Obtener las presiones y las pérdidas totales (por fricción y pérdidas menores) según sea el caso
en distintos puntos (por secciones) de un prototipo elaborado con el fin de comprobar que aun
si tomamos distintos puntos de apoyo se obtiene el mismo valor para cada término.
Objetivos específicos:
Diseñar y montar un prototipo.
Con los valores experimentales obtener las variables de intereses en cada punto que se han
elegido hacer.
Comparar las variables obtenidas en distintos puntos del sistema-prototipo y comprobar que
dichos cálculos arrojan un valor similar entre ellos.
Introducción
El flujo de un fluido tiene que ajustarse con un número de principios científicos, en particular la
conservación de masa y la conservación de energía. El primero de estos cuando se aplica al
flujo de un líquido a través de un conducto necesita que, para que el flujo sea constante, que la
velocidad sea inversamente proporcional a la área del flujo. El segundo supone que si la
velocidad se incrementa, entonces la presión debe disminuir. La ecuación de Bernoulli llega a
explicar estos dos sucesos.
Esta ecuación es la que describe el comportamiento de los fluidos en conductos cerrados
(como las tuberías) en función de le velocidad, la presión y la altura, además de las
propiedades del fluido, como el peso específico. Esta ecuación surge de la aplicación de las
leyes de Newton y el teorema de la energía cinética sobre fluidos en movimiento. Se deduce
suponiendo que el flujo que conserva la energía, es estacionario (líneas de flujo suaves con
velocidad, densidad y presión constantes en el tiempo) y este es un líquido incompresible.
La ecuación de Bernoulli es de gran utilidad para la hidrodinámica, es especial en el diseño y la
predicción de las variables de sistemas de tuberías en el área industrial, cálculo de redes de
agua potable, además de que también puede ser aplicable en el mismo cuerpo humano.
2
Marco teórico
Principio de Bernoulli
El principio de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una
línea de corriente que expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen
de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo
largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres
componentes:
1.- Cinético: Es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.
2.- Potencial gravitacional: Es la energía debido a la altitud que un fluido posea.
3.- Energía de flujo: Es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee.
Para comprobar este principio, se pueden considerar dos puntos de un fluido en movimiento,
determinando los tres tipos de energía en estos puntos, matemáticamente la ecuación de
Bernoulli puede expresarse de la siguiente manera:
P1γ
+Z1+v12
2g=P2γ
+Z2+v22
2g
Donde:
P= presión del punto (Kpa).
γ= peso especifico del fluido (kgm/m3).
Z= altura del punto (m).
g= gravedad (m/s2).
Cada uno de los términos de esta ecuación tiene unidades de longitud, y a la vez representan
formas distintas de energía; en hidráulica es común expresar la energía en términos de
longitud, y se habla de altura o cabezal. Es por esta razón que a los términos suelen llamarse
alturas o cabezales de velocidad, de presión y cabezal hidráulico.
Por lo tanto, el principio de Bernoulli nos expresa que la suma de las energías en un punto es el
mismo que en otro punto.
Restricciones de la ecuación de Bernoulli
Es válida solamente para fluidos incompresibles, puesto que el peso específico del fluido
se toma como el mismo en las dos secciones de interés.
3
No puede haber dispositivos mecánicos entre las dos secciones de interés que pudieran
agregar o eliminar energía del sistema, ya que la ecuación establece que la energía total
del fluido es constante.
No puede haber transferencia de calor hacia adentro o afuera del sistema.
No puede haber pérdidas de energía debidas a la fricción.
En realidad ningún sistema satisface todas estas restricciones. Sin embargo, hay muchos
sistemas donde se utiliza la ecuación de Bernoulli, y solo se generan errores mínimos.
Asimismo, el empleo de esta ecuación permite hacer una estimación rápida del resultado,
cuando esto es todo lo que se desea.
Ganancia y pérdida de energía
Existen muchos dispositivos y componentes que forman parte de los sistemas de circulación de
flujo de un fluido. Estos se encuentran en la mayoría de los sistemas y pueden agregar energía
al fluido, la retiran de este, o provocan perdidas indeseables de ella. Ejemplos de estos
dispositivos son las bombas, los motores de fluido y la perdida por fricción conforme el fluido
pasa por ductos y tubos, perdidas de energía por cambios en el tamaño de la trayectoria de
flujo, y perdidas de energía por las válvulas y accesorios.
Bomba
Una bomba es un ejemplo común de dispositivo mecánico que añade energía a un fluido. Un
motor eléctrico o algún otro aditamento importante impulsan un eje rotatorio en la bomba.
Entonces, la bomba aprovecha esta energía cinética y la trasmite al fluido, lo que provoca el
movimiento de este y el incremento de su presión.
Motores
Los motores de fluido, turbinas, actuadores rotatorios y lineales, son algunos ejemplos de
dispositivos que toman energía de un fluido y la convierten a una forma de trabajo, por medio
de la rotación de un eje o el movimiento de un pistón.
Fricción del fluido
Un fluido en movimiento presenta resistencia por fricción al fluir. Parte de la energía del sistema
se convierte en energía térmica (calor), que se disipa a través de las paredes de la tubería por
la que circula el fluido. La magnitud de la energía que se pierde depende de las propiedades del
fluido, velocidad del flujo, tamaño de la tubería, acabado de la pared de la tubería y longitud de
la misma.
4
Válvulas y accesorios
Es común que los elementos que controlan la dirección o el flujo volumétrico del fluido en un
sistema generen turbulencia local en este, lo que ocasiona que la energía se disipe como calor.
Siempre que hay una restricción: por ejemplo, un cambio en la velocidad o dirección del flujo,
hay pérdidas de ese tipo. En un sistema grande la magnitud de las perdidas por las válvulas y
accesorios, por lo general es pequeña en comparación con las perdidas por fricción en las
tuberías. Por esta razón, dichas pérdidas reciben el nombre de perdidas menores.
Las pérdidas y ganancias de energía en un sistema se contabilizan en términos de energía por
unidad de peso del fluido que circula por él. Esto también se conoce como carga. Como
abreviación de la carga se emplea el símbolo h, para las pérdidas y ganancias de energía. Por
lo tanto, estos términos pueden escribirse de la siguiente manera:
Considerando estas pérdidas y ganancias, la ecuación de Bernoulli se modifica, quedando de la
siguiente manera:
P1γ
+Z1+v12
2g+h A−hR−hL=
P2γ
+Z2+v22
2g
Donde:
P = presión del punto (kpa).
γ = peso especifico del fluido (kgm/m3).
Z = altura del punto (m).
G = gravedad (m/s2).
hA = Energía que se agrega al fluido con un dispositivo mecánico, como una bomba; es
frecuente que se le denomine carga total sobre la bomba.
hR = Energía que se remueve del fluido por medio de un dispositivo mecánico, como un motor
de fluido.
hL = Perdidas de energía del sistema por la fricción en las tuberías, o perdidas menores por
válvulas y otros accesorios.
Procedimiento para aplicar la ecuación de Bernoulli
1. Decidir cuáles son los términos conocidos y cuales deben calcularse.
2. Determinar cuáles son las dos secciones del sistema que se usaran para escribir la ecuación
de Bernoulli. Una de ellas se elige porque se concentran varios datos conocidos.
En la otra, por lo general, algo habrá que calcularse.
5
3. Escribir la ecuación de Bernoulli para las dos secciones elegidas en el sistema. Es importante
que la ecuación se escriba en la dirección del flujo. Es decir, el flujo debe proceder de la
sección que este en el lado izquierdo de la ecuación y dirigirse hacia la sección derecha.
4. Es necesario ser explícito en la denominación de los subíndices de los términos de la carga
de presión, carga de elevación y carga de velocidad en la ecuación de Bernoulli.
En un dibujo del sistema hay que señalar la posición de los puntos de referencia.
5. Simplificar la ecuación, si es posible, con la cancelación de los términos que valgan cero o de
los que aparezcan como iguales en ambos lados de la ecuación.
6. Despejar de la ecuación, en forma algebraica, el término que se busca.
7. Sustituir cantidades conocidas y calcular el resultado, con unidades consistentes en todos los
cálculos.
Reactivo:
Nombre tradicional Observación
Agua De la llave
Material y equipo:
Cant. Nombre Observaciones
1 Bomba Sumergible
6 Mangueras 5 de ½ in y 1 de 1 in
4
2
Codos
Cubas Hidrodinámicas
1 Probeta 1000 ml
1 Cronómetro
1 Vernier
6
Fig. 1 “Aplicación de Principio de Bernoulli”
1 Termómetro
2 Soporte universal
2 pinzas Tres dedos
1 Cinta métrica
Procedimiento:
1. Limpiar los materiales a utilizar y ordenar el equipo.
2. Comprobar los diámetros de las mangueras con un vernier.
3. Abrir un agujero a la botella donde se pueda colocar la manguera de diámetro de 1/2
pulgada y de 20 cm de largo. Al colocarla sellar con pegamento.
4. Conectar un codo en el otro extremo de la manguera.
5. Colocar la manguera de ½ i n de diámetro y 45 cm de largo en el otro extremo del
codo, de forma que quede en posición vertical.
6. Colocar otro codo en el extremo y otra manguera de ½ in de diámetro y 20 cm de
largo para después conectar un difusor, el cual estará unido a una manguera de 1 in
de diámetro de 35 cm de largo.
7. Colocar en el extremo de la manguera de 1 in otro codo pero que tenga el otro
extremo para colocar una manguera de ½ in de diámetro. Colocar dicha manguera
pero de 35 cm de largo. Conectar el último codo.
8. Colocar el extremo en la botella contenida en la otra cuba hidrodinámica.
9. Llenar la primera botella con agua.
10. Poner la botella en la cuba con agua y con la bomba ya sumergida.
11. Medir la temperatura.
12. Conectar una manguera de ½ in en la bomba y poner el otro extremo en la parte
superior de la botella.
13. Quitarles un gran pedazo rectangular a las botellas en la parte superior, con el fin de
que la altura del agua se mantenga constante.
14. Abrir la toma de agua conectada a la manguera de ½ in y mantenerla a flujo
constante.
15. Medir el caudal. El caudal se mide tomando el tiempo (con un cronómetro) necesario
para que una probeta de 1 L se llene.
Diseño del Prototipo
7
Cálculos, resultados y gráficas
Para obtener el peso específico del agua es necesario obtener la densidad ya que:
γ= ρ∗g
El agua fue pesada para el cálculo de su densidad. La fórmula utilizada fue:
ρ=m(gr)V (ml)
∙1×106ml ∙1kg1000 gr ∙1m3
Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
Sustancia Peso (kg) Volumen (m3) Densidad (kg /m3)
Agua 0.0495 5.0 X 10-5930.764
γ=9130.79 Nm3
Para la estimación de las caídas de presión y las pérdidas de fricción se utilizó la ecuación de
Bernoulli de la forma:
8
P1γ
+Z1+v12
2g−hL=
P2γ
+Z2+v22
2 g
Donde se valorarán las condiciones de dos puntos (sección) para determinar las pérdidas por
fricción (hL) si en su caso lo requiriéramos o la presión en dicho punto.
Cálculos por secciones
En el primer caso se explicarán los detalles del porque algunas de las variables son cero o se
cancelan, en las demás se dejarán especificadas.
Fórmulas a utilizar cuando se requiera:
vn=QAn
An=0.25π Dn2 hL=f ∙
LD∙v2
2g
hL=f T ∙LeD∙v2
2gf=64ℜ
f= 0.25
[ log( 13.7 (D / ϵ )
+5.74
ℜ0.9 )]2
Volumen (m3) Tiempo (s) Caudal (m3/s) Área (m2) Velocidad (m/s)
0.001 87.75 1.1396x10-50.00018869 0.06039481
0.001 6.34 1.1396x10-50.00055155 0.02066195
Si se toma en cuenta la velocidad medida en el cambio de diámetro (aumento) directamente, el
resultado es el siguiente:
Volumen (m3) Tiempo (s) Caudal (m3/s) Área (m2) Velocidad (m/s)
0.001 6.34 1.58x10-40.00055155 0.28597569
Como se podrá observar en un principio se sabe que teóricamente la velocidad de dicha tubería
debe de ser menor ya que la presión disminuye al aumentar el diámetro, pero en realidad por la
gran altura (o diferencia entre los puntos) la velocidad aumento considerablemente ya que
influyó mayormente la gravedad. Mientras en el teórico sólo es por una diferencia de altura
menor lo que genera un menor flujo.
a) Condiciones (A-E)
Calcular: hL y f y comparar con los teóricos
9
Como los recipientes están abiertos a la atmosfera, la presión en la superficie es igual a cero.
PA=PE=0
La velocidad en el punto A tiende a cero pero no es cero.
V A≈0
La altura en el punto A es cero ya que es el punto de inicio y apoyo.
ZA=0
P1γ
+Z1+v12
2g−hL=
P2γ
+Z2+v22
2 g
Reduciendo y despejando:
hL=−(ZE+ vE2
2 g )Cálculo por experimento Cálculo teórico
Para f=2g ∙hL ∙D
L∙ v2hL=f ∙
LD∙v2
2g
hL=¿ 1.98981409 f=¿ 0.0639775 y 0.10938088
f=¿ 11.431696 hL−TOTAL=¿ 0.00228596
b) Condiciones (A-B)
Calcular:PB , hL y f
PA=0 V A≈0 ZA=0
P1γ
+Z1+v12
2g−hL=
P2γ
+Z2+v22
2 g
Reduciendo y despejando:
PB=−γ (ZB+ vB22g +hL)Cálculo por experimento y teoría
f=64ℜ f=¿ 0.0639775
10
hL=f ∙LD∙v2
2ghL=¿ 0.00015347
PB=¿ 672.580012
c) Condiciones (B-C)
Calcular:PC , hL y f
V B=V C ZB=0
P1γ
+Z1+v12
2g−hL=
P2γ
+Z2+v22
2 g
Reduciendo y despejando:
PC=γ ( PB
γ−ZC−hL)
Cálculo por experimento y teoría
f=64ℜ f=¿0.06635548
hL−tubo= f ∙LD∙v2
2ghL−total=¿ 0.00157583
hL−acc=f T ∙LeD∙v2
2 gPC=¿ 4767.04907
d) Condiciones (C-D)
Calcular:PD , hL y f
ZC=Z D
P1γ
+Z1+v12
2g−hL=
P2γ
+Z2+v22
2 g
Reduciendo y despejando:
PD=γ ( PCγ +vC2−vD
2
2 g−hL)
Cálculo por experimento y teoría
11
f=64ℜ f=¿ 0.10938088 y 0.0639775
hL−tubo= f ∙LD∙v2
2ghL−total=¿ 0.00018491
PD=¿ 4766.85956
Otras formas de obtener algunas de las mismas variables
a) Condiciones (A-C)
Calcular:PC , hL y f
PA=0 V A≈0 ZA=0
P1γ
+Z1+v12
2g−hL=
P2γ
+Z2+v22
2 g
Reduciendo y despejando:
PC=−γ (ZC+ vC22g +hL)Cálculo por experimento y teoría
f=64ℜf=¿0.0639775
hL−tubo=f ∙LD∙v2
2ghL−total=¿ 0.00136589
hL−acc=f T ∙LeD∙v2
2 gPC=¿ 4094.68852
b) Condiciones (B-C)
Calcular:PB , hL y f
V B=V C ZB=0
P1γ
+Z1+v12
2g−hL=
P2γ
+Z2+v22
2 g
Reduciendo y despejando:
12
PB=γ ( PCγ +ZC+hL)Cálculo por experimento y teoría
f=64ℜf=¿ 0.05242027
hL−tubo= f ∙LD∙v2
2g
hL−total=¿ 0.00274456
hL−acc=f T ∙LeD∙v2
2 gPC=¿ 683.251407
c) Condiciones (B-D)
Calcular: hL y f
ZB=0
P1γ
+Z1+v12
2g−hL=
P2γ
+Z2+v22
2 g
Reduciendo y despejando:
hL=−( PD−PB
γ+ZD+
vD2−v B
2
2 g )Cálculo por experimento Cálculo teórico
Para f=2g ∙hL ∙D
L∙ v2hL=f ∙
LD∙v2
2g+ f T ∙
LeD∙v2
2g
hL=¿ 0.00292947 f=¿ 0.10938088 y 0.0639775
f=¿ 0.49372659 hL=¿ 0.00129737
d) Condiciones (B-E)
Calcular:hL y f
PE=0 ZB=0 vB=vE
13
P1γ
+Z1+v12
2g−hL=
P2γ
+Z2+v22
2 g
Reduciendo y despejando:
hL=PB
γ−Z E
Cálculo por experimento Cálculo teórico
Para f=2g ∙hL ∙D
L∙ v2hL=f ∙
LD∙v2
2g+ f T ∙
LeD∙v2
2g
hL=¿ 0.19982935 f=¿ 0.10938088 y 0.0639775
f=¿ 0.38223994 hL−TOTAL=¿ 0.00304564
Condiciones (D-E)
Calcular:hL y f
PE=0 ZD=0
P1γ
+Z1+v12
2g−hL=
P2γ
+Z2+v22
2 g
Reduciendo y despejando:
hL=−(ZE+ vE2−vD22 g−PD
γ )Cálculo por experimento Cálculo teórico
Para f=2g ∙hL ∙D
L∙ v2hL=f ∙
LD∙v2
2g+ f T ∙
LeD∙v2
2g
hL=¿ 0.17189988 f=¿ 0.0639775 y 0.10938088
f=¿ 38.6289141 hL=¿ 0.0008817
Nota: Cálculos de las demás variables que intervienen se encuentran en el Excel anexo.
Resultados unidos
A continuación se presentan los resultados obtenidos en cada caso. Recordando que hL tiene
unidades de m y la presión de Pascales.
Condicione
14
s
A-E A-B B-C C-DExperiment
oExperimento y teoría
Experimento y teoría
Experimento y teoría
hl0.1988140
9 f 0.0639775 f0.0663554
8 f10.1093808
8
f 11.431696 hl0.0001534
7 hl0.0015758
3 f2 0.0639775
Teórico PB672.58001
2 PC4768.5024
7 hl total0.0001849
1
f1 0.0639775 PD
4768.31295
f20.1093808
8
hl total0.0022859
6
A-C B-C B-D B-E
Experimento y teoría Experimento Experimento
f 0.0639775 f 0.0639775 hl 0.0015508 hl 0.19860985
hl 0.00136589 hl 0.00136589 f 0.26136817 f 0.20234955
PC 4779.49813 PB 672.116453 Teórico Teórico
Caso B-D f1 0.10938088 f1 0.10938088
f1 0.10938088 hl 0.00129737 f2 0.0639775 f2 0.0639775
f 0.0639775 PD 4770.62693 hl total 0.00129737 hl total 0.00304564
D-E hl total al sumar distintos hl
Experimento Experimento Teórico
hl 0.17189988 B-C 0.00141666 B-C 0.00141666
F 38.6289141 C-D 0.00018491 C-D 0.00018491
Teórico D-E0.17205906
D-E0.00077886
f1 0.0639775 hl total 0.17366063 hl total 0.00238043
f2 0.10938088 A-E 0.19881409 A-E 0.00228596
hl total0.00077886
B-E 0.19982935 B-E 0.00304564
15
Análisis
Los f fueron calculados por ser flujos laminares, aunque si se comparaba con la forma de
calcularlo como si fuera turbulento, no hay mucha diferencia.
Primeramente se podrá observar que el cálculo de la presión en B desde A-B y de B-C es muy
parecido entre ellos (672.580012 y 672.116453), así como la presión en D ya sea de C-D y B-D
(4768.31295 y 4770.62693). El cálculo de la presión en el punto C fue el que mayor diferencia
tuvo entre los dos cálculos hechos de los puntos de A-C y de B-C (4779.49813 y 4768.50247)
ya que fue de 11 unidades aproximadamente, pero si se analiza más a fondo puede resultar
que dicha diferencia no sea tan significativa recordando que todo esto es más teórico que
práctico.
Otro punto a analizar es el hL total tanto del experimento como del obtenido teóricamente; en un
principio dichos valores parecen ser iguales pero cuando interviene la sección del aumento del
diámetro, el hL cambia drásticamente en el experimento mientras que en el teórico disminuye. Al
momento de sumar las secciones y compararlas, su diferencia fue demasiada grande; como ya
se dijo esto es básicamente por la sección D-E. En el experimento fue mucho más grande y en
el teórico también aumento a diferencia de las demás secciones porque aumenta la fricción,
pero dicho aumento es común.
Al comparar la suma de las secciones con las secciones completas (A-E y B-E) dichos valores
son muy parecidos entre ellos (ya sean experimentos o teóricos) pero entre experimento y
teoría no son nada parecidos por eso que ya se ha mencionado: el cambio de diámetro.
También hicimos los mismos cálculos pero considerando la velocidad real del aumento de
diámetro pero no son significativamente distintos entre ellos (en algunos casos) (pueden
observarse en el Excel adjunto con el nombre: Cálculos práctica 8 con datos de velocidad dist.).
Pero estos no se consideraron en este reporte porque los valores ya mostrados son más
convenientes o más seguros.
En cuanto a que significa lo anterior, es en sí porque la gravedad influye mayormente sobre el
caudal que el cambiar en el diámetro, lo que provoca que la velocidad calculada sea mucho
mayor a la esperada. Y es porque la diferencia de altura entre la fuente de abastecimiento y la
ubicación del sitio a abastecer (la cuba), es tal que la presión proporcionada es mayor a la
requerida. Esto se ve mucho mejor comparando las presiones obtenidas: en el punto B puede
16
que la velocidad en un principio sea mayor teóricamente pero la diferencia de alturas con el
punto A es muy baja por lo que la presión en dicho punto es menor que en C y D. En C y D las
presiones son muy parecidas en cuanto al valor siendo que son a distintos diámetros pero es
entonces cuando se aplica este razonamiento de que es más importante la gravedad que el
cambio de diámetros.
También se hicieron cálculos considerando la velocidad real y cambios en los cálculos de f ya
que el flujo ahora era turbulento.
Esta práctica aunque hicimos un prototipo, fue mucho más importante los cálculos teóricos,
pero sin antes observar las cuestiones prácticas.
Como ya se mencionó, se podrán observar dichos cálculos observados en este reporte, así
como los anexos en esta misma entrada.
Observaciones
Es muy importante tener en consideración la toma de las alturas de forma correcta.
Para calcular la velocidad en la tubería de mayor diámetro fue demasiado difícil ya que
el caudal fue mucho mayor que el anterior.
Se pretendió tomar el caudal si se conectaba directamente de la bomba (y no que el
fluido fuera por gravedad y diferencia de alturas) con el propósito de obtener la presión
en el punto A, pero se encontró que se necesitaba de muchas más variables que no se
conocían, por eso ya no se llevó a cabo.
Evidencias
17
Bibliografías
Fuentes de libros
Mott, Robert. (2006). “Mecánica de fluidos”. Ed. Pearson, 6ta edición.
Calleja, G. y col. (1999). “Introducción a la Ingeniería Química”. Ed. Síntesis. 2da edición.
McCabe, W. L. y col. (1996). “Operaciones unitarias en Ingeniería química” 4tª edición.
Ed. Mc Graw Hill.
18
