23
1 การหาร การหารลงตัว การหารเหลือเศษ จํานวนคี,จํานวนคู การหาห... การหาห...โดยวิธีการแยกตัว ประกอบ การหาห...โดยวิธีของยุคลิค การหาค... การหาค...โดยวิธีการแยกตัว ประกอบ การหาค...โดยการใชห... การพิสูจนทางทฤษฎีจํานวน โจทยปญหา

Preliminary number theory

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Preliminary number theory

1

การห

าร

• การห

ารลงตว

การห

ารเหลอ

เศษ

• จานว

นค,จา

นวนค

การห

าห.ร.

ม.

• การห

าห.ร.

ม.โดยวธก

ารแยกต

วปร

ะกอบ

การห

าห.ร.

ม.โดยวธข

องยคลค

การห

าค.ร.

น.

• การห

าค.ร.

น.โดยวธก

ารแยกต

วปร

ะกอบ

การห

าค.ร.

น.โดยการใชห.ร.ม

.

การพ

สจนท

างทฤ

ษฎจานว

น โจทย

ปญหา

Page 2: Preliminary number theory

2

ทฤษฎจานวนเบองตน

1. การหาร กาหนดให a,b เปนจานวนเตม ( , )a b I∈ a หาร b ลงตว เราเขยนสญลกษณ |a b หมายความวา b เปนพหคณของ a หรอเขยนไดวา

a หาร b ไมลงตว เราเขยนสญลกษณ |a b/ หมายความวา b ไมเปนพหคณของ a หรอ a หาร b แลวเหลอเศษ r เขยนไดวา

เราเรยก a วาตวหาร b วาตวตง n วาผลหาร และ r วาเศษจากการหาร ( ) + ตวอยาง เชน

1. จงพจารณาการหารตอไปน 1.1) 3 หาร 7

|a b b an= เมอ n I∈

|a b/ b an r= + เมอ n I∈ และ 0 r a< <

ตวตง = ตวหาร × ผลหาร เศษ

Page 3: Preliminary number theory

3

ตวตง คอ 7 ตวหารคอ 3 หาผลหารกบเศษ โดยการเขยน 3 หาร 7 ใหอยในรป b an= หรอ b an r= + เพราะฉะนน ผลหารคอ 2 และ เศษคอ 1 1.2) -3 หาร 7 ตวตง คอ 7 ตวหารคอ -3 หาผลหารกบเศษ โดยการเขยน -3 หาร 7 ใหอยในรป b an= หรอ b an r= + เพราะฉะนน ผลหารคอ -2 และ เศษคอ 1 1.3) 3 หาร -7 ตวตง คอ -7 ตวหารคอ 3 หาผลหารกบเศษ โดยการเขยน 3 หาร -7 ใหอยในรป b an= หรอ b an r= + เพราะฉะนน ผลหารคอ -3 และ เศษคอ 2 1.4) -3 หาร -7 ตวตง คอ -7 ตวหารคอ -3 หาผลหารกบเศษ โดยการเขยน -3 หาร -7 ใหอยในรป b an= หรอ b an r= + เพราะฉะนน ผลหารคอ 3 และ เศษคอ 2

7=3(2)+1

7=-3(-2)+1

-7=3(-3)+2

-7=-3(3)+2

Page 4: Preliminary number theory

4

2. ให a,b และ c เปนจานวนเตม โดยท 0a ≠ และ 0b ≠ จงพสจนวา ถา |a b และ |b c และ |a c

วธทา 1. |a b b an⇒ = เมอ n I∈ 2. | ,b c c bm m I⇒ = ∈ 3. จาก (1) และ (2)

( )( ),

|

c an mc a nm nm I

a c

== ∈

3. ให m และ n เปนจานวนเตมบวก ถา 5 หาร m เหลอเศษ 4 และ 5 หาร n เหลอเศษ 2 แลว 5 หาร m+n เหลอเศษเทาใด

วธทา 1) ตความหมายของ 5 หาร m เหลอเศษ 4

2) 5 หาร n เหลอเศษ 2

3) 1 2(5 4) (5 2)m n k k+ = + + +

1 2

1 2

1 2

5 5 65( ) 5 15( 1) 1

k kk kk k

= + + = + + + = + + +

4) 1 2 1 25( 1) 1, ( 1)m n k k k k I+ = + + + + + ∈

……………แสดงวา 5 หาร m+n เหลอเศษ 1

1 15 4,m k k I= + ∈

2 25 2,n k k I= + ∈

Page 5: Preliminary number theory

5

4. จงหาจานวนเตมตงแต 1 ถง 500 ทหารดวย 3 หรอ 5 ลงตว วามกจานวน วธทา ใชเรองเซตมาอธบายวธทาขอน

1) ใหเซต A = เซตของจานวนเตมตงแต 1 ถง 500 ท หารดวย 3 ลงตว เซต B = เซตของจานวนเตมตงแต 1 ถง 500 ทหารดวย 5 ลงตว A B∪ = เซตของจานวนเตมตงแต 1 ถง 500 ทหารดวย 3 หรอ 5 ลงตว

2) จาก ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B∪ = + − ∩ {3,6,9,15,..., 498} ( ) 166{5,10,15,20,...,500} ( ) 100

{15,30,45,60,..., 495} ( ) 33( ) 166 100 33 233

A n AB n BA B n A B

n A B

= ⇒ == ⇒ =∩ = ⇒ ∩ =

∴ ∪ = + − =

5. ให A,B และ C เปนจานวนเตม จงแสดงวา ถา |a b และ |a c แลว | ( )a bm cn+ เมอ ,m n I∈ วธทา

1) 1 1| ,a b b ak k I⇒ = ∈

2) 2 2| ,a c c ak k I⇒ = ∈

3) 1 2( ) ( )bm cn ak m ak n+ = +

1 2

1 2

( ) ( )( )k m a k n ak m k n a

= + = +

4) 1 2 1 2( ) ,bm cn k m k n a k m k n I+ = + + ∈ | ( )a bm cn∴ + ลงตว

6. จงพสจนวา ถา a เปนจานวนเตมแลว 22 | ( )a a−

วธทา 1) กรณท a เปนจานวนค 2 ,a n n I⇒ = ∈

2 2

2

2

2 2 2 2

(2 ) (2 )4 22(2 )

2(2 ), 2 2 | ( )

a a n nn n

n na a n n n n I a a

− = −

= −

= −

∴ − = − − ∈ ⇒ −

Page 6: Preliminary number theory

6

2) กรณท a เปนจานวนค 2 1,a n n I⇒ = + ∈ 2 2

2

2

2

2 2 2 2

(2 1) (2 1)4 4 1 2 14 22(2 )

2(2 ), 2 2 | ( )

a a n nn n nn n

n na a n n n n I a a

− = + − +

= + + − −

= +

= +

∴ − = + + ∈ ⇒ −

2. การหาตวหารรวมมาก (ห.ร.ม.)

การหา ห.ร.ม. ของ a และ b เขยนแทนดวย (a,b) คอ การหาจานวนเตมทมากทสดท

สามารถหารจานวนเตม a และ b ลงตว เมอ , 0a b ≠ มวธการหา 2 วธคอ 2.1 การหา ห.ร.ม. โดยวธการแยกตวประกอบ คอ การนาจานวนเตม a และ b มาแยกตวประกอบเปนจานวนเฉพาะ แลวพจารณาวา มจานวนเฉพาะรวมกนใดบาง ตวอยาง เชน

1. จงหา ห.ร.ม. ของ 30 และ 168 วธทา

30 2 3 5168 2 3 = × ×

= × × 3 × 3 × 3

จะเหนวา ทง 30 และ 168 มตวประกอบเฉพาะรวมกน คอ 2 และ 3 ∴ห.ร.ม.ของ 30 และ 168 คอ 2 3× เทากบ 6

2. จงหา ห.ร.ม. ของ 40 และ 180 วธทา

0 2 2 5180 2 4 = × 2 × ×

= × 2 × 3 × 3 × 5

∴ห.ร.ม.ของ 40 และ 180 คอ 2 2 5 20× × =

Page 7: Preliminary number theory

7

3. จงหา ห.ร.ม. ของ 30 และ 73 วธทา

0 2 573 1 73

3 = × 3 × = ×

ทง 30 และ 73 ไมมจานวนเฉพาะรวมกนเลย

∴ห.ร.ม.ของ 30 และ 73 คอ 1 ขอสงเกต จานวนเตม a และ b ทห.ร.ม.ของ a และ b เทากบ (a,b)=1 เราเรยกวา “จานวนเฉพาะสมพทธ”

4. ให a เปนจานวนเตมบวก ซง 2|a และ 5|a ถา a และ 7 เปนจานวนเฉพาะสมพทธ แลว จงหา ห.ร.ม. ของ a และ 70

วธทา

1) 2|a a=2k1, 1k I∈

5|a a=5k2, 2k I∈

2) a และ 7 เปนจานวนเฉพาะสมพทธ หมายความวา ห.ร.ม.ของ a และ 7 เทากบ 1 คอ a และ 7 ไมมจานวนเฉพาะทเปนตวประกอบรวมกน ซงกหมายความวา a ไมใชพหคณของ 7

3) 3 32 5 ,a k k= × × ไมใชพหคณของ 7

70 2 5 7= × × ∴ห.ร.ม. ของ a และ 70 คอ 2x5=10

2.2 การหา ห.ร.ม. โดยวธของยคลค คอการหา ห.ร.ม. โดยใชวธการหารเหลอเศษตอๆกนไปเรอยๆ ตวอยาง เชน

1. จงหา ห.ร.ม. ของ 30 กบ 168 วธทา 168 30(5) 18= + ⇒

3 32 5 ,a k k I= × × ∈

30 18(1) 1218 12(1) 612 6(2)

= + ⇒= + ⇒= ⇒

30 หาร 168 ไมลงตว18 หาร 30 ไมลงตว18 หาร 30 ไมลงตว

12 หาร 18 ไมลงตว

6 หาร 12 ลงตว

เปน ห.ร.ม.ของ 30 กบ 168

Page 8: Preliminary number theory

8

มเทคนคในการหา ห.ร.ม. โดยวธของยคลคดงน

2. จงหา ห.ร.ม.ของ 85 และ 20 วธทา 4 85 20 4 80 20 5 0

3. จงหา ห.ร.ม.ของ 85 และ -20 วธทา ให หา ห.ร.ม. ของ จานวนบวกคอ 85 และ 20 ซงกคอ 5 ∴ห.ร.ม.ของ 85 และ -20 กคอ 5

4. ถงใบหนงมสมอย 126 ผล และถงอกใบหนงมมงคด 198 ผล ถาตองการแบงผลไมเปนกองๆ โดยทแตละกองตองเปนผลไมชนดเดยวกน และแตละกองตองมจานวนเทากน อยากทราบวาแตละกองจะมผลไมไดมากทสดกผลและจะแบงไดกกอง

วธทา ทาไดโดยการหา ห.ร.ม. ของผลไมทง 2 ชนด⇒ ซงกคอ การหาห.ร.ม.ของ 126 กบ 198 ซงในทนจะใชวธของยคลค

30 16818 15012 12

1812

0 6

5

1

1

คอ ห.ร.ม.ของ 30 กบ 168

คอ ห.ร.ม.ของ 85 กบ 20

Page 9: Preliminary number theory

9

1 126 198 1 72 126 3 54 72 1 54 54 0 18 ∴จะแบงผลไมไดมากทสดกองละ 18 ผล และแบงไดสม 7 กอง และแบงไดมงคด 11 กอง

3. การหาตวคณรวมนอย (ค.ร.น.) การหา ค.ร.น. สามารถทาได 2 วธ

3.1) การหา ค.ร.น. โดยวธการแยกตวประกอบ การแยกตวประกอบทาเหมอนการหา ห.ร.ม. โดยมตวอยางดงน

1) จงหา ค.ร.น.ของ 30 กบ 50 วธทา แยกตวประกอบของ 30 และ 50 ไดดงน

30 2 3 550 2

= × × = × 5 × 5

∴ ตวประกอบทซากนเอามาแคตวเดยว⇒ ค.ร.น.ของ 30 และ 50 คอ 2 5 3 5× × ×

การแยกตวประกอบ ค.ร.น.

ห.ร.ม.

วธการแยกตวประกอบ

วธการของยคลค

ตวซา

Page 10: Preliminary number theory

10

2) จงหา ค.ร.น.ของ 100 กบ 150 วธทา

0 2 5 550 2

10 = × 2 × × 1 = × 3 × 5 × 5

∴ ตวประกอบทซากนเอามาแคตวเดยว⇒ ค.ร.น.ของ 100 และ 150 คอ

2 5 5 2 3× × × × 3.2) การหา ค.ร.น. โดยวธการหาห.ร.ม.กอน ใชหลกการทวาการใชวธการหา ห.ร.ม.กอน โดยอาจใชวธของยคลค แลวใชกฎทวา ผลคณของเลข 2 จานวน เทากบ ห.ร.ม.ของ เลข 2 จานวนนน× ค.ร.น.ของเลข 2 จานวนนน ตวอยาง เชน

1. จงหา ค.ร.น.ของ 12 และ 20 วธทา

1) หาห.ร.ม. ของ 12 และ 20 กอน โดยใชวธของยคลค 1 12 20 1 8 12 4 8 2

8 0

2) ผลคณของเลข 2 จานวน = ห.ร.ม. x ค.ร.น.

12x20 = 4 x ค.ร.น. 240 = 4 x ค.ร.น.

ค.ร.น. = 2404

ค.ร.น. = 60

ตวซา

Page 11: Preliminary number theory

11

แบบฝกหด

1. จงใหเหตผลการหารลงตวและไมลงตวในแตละขอตอไปน 1.1) 4 | 20 1.2) 5 | 35 1.3) 7 | 49 1.4) 3 | 25/ 1.5) 8 | 52/ 1.6) 12 | 13/

Page 12: Preliminary number theory

12

2. ใหเตมผลหารและเศษเหลอตอไปน

2.1) 5 8(..........) 5= + 2.2) 28 4(..........) 0= + 2.3) 43 5(8) .............= + 2.4) 24 7( 4) .........− = − + 2.5) 75 9(..........) .........− = + 2.6) 33 5(..........) ...........− = + 2.7) 50 10(..........) .........= + 2.8) 39 40(..........) .........− = + 2.9) 66 3(..........) ..........= + 3. เมอหารจานวนเตมบวก x ดวย 5 มเศษเหลอเปน 3 จงหาเศษเหลอเมอหาร 3x ดวย 5

Page 13: Preliminary number theory

13

4. เมอหารจานวนเตมบวก x ดวย 9 มเศษเหลอเปน 5 จงหาเศษเหลอเมอหาร 7x ดวย 9 5. ให n เปนจานวนเตมบวก จงหาเศษเหลอเมอหาร n(n+1)(n+2) ดวย 3

Page 14: Preliminary number theory

14

6. เมอหารจานวนเตมบวก x ดวย 7 มเศษเหลอเปน 3 จงหาเศษเหลอเมอหาร 5x ดวย 7 7. จงแสดงวา “กาลงสองของจานวนคเปนจานวนค” 8. จงแสดงวา ถา a เปนจานวนเตมแลว 2a a− เปนจานวนค

Page 15: Preliminary number theory

15

9. จงแสดงวา ถา a เปนจานวนคแลว 24 | ( 1)a − 10. ให n เปนจานวนเตมบวก จงหาเศษเหลอเมอหาร n(n+1)(n+2) ดวย 3

Page 16: Preliminary number theory

16

11. จงหาจานวนเตมบวกทงหมดทหาร 406 และ 379 แลวมเศษเหลอเทากน 12. จงหาจานวนเตมบวกทงหมดทหาร 830 และ 1,118 แลวมเศษเหลอเทากน

Page 17: Preliminary number theory

17

13. จงหาห.ร.ม. ของ 3348 และ 2592 โดยใชขนตอนของยคลค 14. จงหาห.ร.ม. ของ 2244 และ 418 โดยใชขนตอนของยคลค

Page 18: Preliminary number theory

18

15. จงหาจานวนเตมทมคามากทสดทหาร 325 , 229 และ 157 แลวมเศษเหลอเทากน 16. จงหาจานวนเตมทมคามากทสดทหาร 2479 , 1998 และ 1073 แลวมเศษเหลอเทากน พรอมทงหาเศษเหลอ

Page 19: Preliminary number theory

19

17. จงหาจานวนเตมบวกทมคามากทสดทหาร 4770 แลวมเศษเหลอเปน 13 และหาร 3970 มเศษเหลอเปน 17 18. นกเรยนคนหนงมเหรยญบาท 198 เหรยญ เหรยญหาบาท 180 เหรยญ และเหรยญสบบาท 126 เหรยญ ตองการแบงเหรยญแตละชนดเปนกองใหมจานวนมากทสด จงหาวาจะไดเหรยญทงหมดกกองและกองละกเหรยญ

Page 20: Preliminary number theory

20

19. จงหาจานวนเตมบวกทมคานอยทสดทหารดวย 6,9 และ 10 มเศษเหลอเปน 1 20. จงหาจานวนเตมบวกทมคานอยทสดทหารดวย 26,36 และ 39 มเศษเหลอเปน 5

Page 21: Preliminary number theory

21

21. จงหาจานวนเตมบวกทมคานอยทสดทหารดวย 7,11 และ 13 แลวมเศษเหลอเปน 2,6 และ 8 ตามลาดบ 22. ทสถานรถโดยสารแหงหนง จะปลอยรถไปจงหวด A ทกๆ 15 นาท และปลอยรถไปจงหวด B ทกๆ 25 นาท ถาสถานนเรมปลอยรถไปจงหวด A และจงหวด B พรอมกน เมอเวลา 8.00 น. จงหาวาอกนานเทาไร สถานนจะปลอยรถไปสองจงหวดนพรอมกนอกครง

Page 22: Preliminary number theory

22

23. จงหาเศษทเหลอจากการหาร 102 ดวย 23 24. จงหาเศษทเหลอจากการหาร 305 ดวย 31

Page 23: Preliminary number theory

23

25. จงแสดงวา 103 9+ หารดวย 51 ลงตว 26. จงแสดงวา ถา (n,7)=1 แลว 6 1n − หารดวย 7 ลงตว