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Presentacion Semana 3
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Medardo Galindo
“El éxito consiste en vencer el
temor al fracaso.”
5.5 Factorización de trinomios
• Factorizar trinomios de la forma
• Factorizar un factor común
• Factorizar trinomios de
mediante prueba y error
• Factorizar trinomios de
mediante agrupación.
• Factorizar trinomios mediante sustitución
𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, a ≠ 1
𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, a ≠ 1
Con la forma
• Determinar dos números cuyo producto
sea c y cuya suma sea b.
𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑇𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠
3𝑥2 + 2𝑥 − 5
−1
2𝑥2 − 4𝑥 + 3
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑎 = 3, 𝑏 = 2, 𝑐 = −5
𝑎 = −1
2, 𝑏 = −4, 𝑐 = 3
Factorizar
Por lo tanto
𝑥2 − 𝑥 − 12
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 − 12
1 (−12)
2 (−6)
3 (−4)
4 −3
6 −2
12 (−1)
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
1 + −12 = −11
2 + −6 = −4
3 + −4 = −1
4 + −3 = 1
6 + −2 = 4
12 + −1 = 11
𝑥2 − 𝑥 − 12 = 𝑥 + 3 (𝑥 − 4)
Factorizar un factor común
• El factor es común en los tres
términos del trinomio.
• Por lo tanto
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑐𝑒 3𝑥4 − 6𝑥3 − 72𝑥2
3𝑥2
3𝑥4 − 6𝑥3 − 72𝑥2 = 3𝑥2(𝑥2 − 2𝑥 − 24)
3𝑥4 − 6𝑥3 − 72𝑥2 = 3𝑥2 𝑥 − 6 (𝑥 + 4)
Con la forma
mediante prueba y error• Factorizar
• Escriba todos los pares de factores del
coeficiente del termino a.
• Escriba pares de la constante c
• Intente diferentes combinaciones con
estos factores hasta encontrar el termino
𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, a ≠ 1
2𝑥2 + 5𝑥 + 3
Importante
• Cuando el termino constante c es positivo
y el coeficiente numérico también, ambos
serán positivos
• Cuando c es positivo y b es negativo,
serán negativos
• Cuando c es negativo, uno de los factores
será positivo y el otro será negativo
𝑥2 + 7𝑥 + 12 = 𝑥 + 3 (𝑥 + 4)
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 𝑥 − 2 (𝑥 − 3)
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 𝑥 + 2 (𝑥 − 2)
Calcular el área sombreada
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
= 𝑥 + 3 𝑥 + 2
= 𝑥2 + 2𝑥 + 3𝑥 + 6
= 𝑥2 + 5𝑥 + 6
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 = 2𝑥1 = 2
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 𝐴. 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 − 𝐴. 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑎
𝑥2 + 5𝑥 + 6 − 2
𝑥2 + 5𝑥 + 4
𝑥 + 4 (𝑥 + 1)
Con la forma
mediante agrupación
• Determine dos números cuyo producto
sea a x c, y cuya suma sea b.
• Rescriba el termino central, bx, mediante
los números determinados en el paso 1
• Factorice por agrupacion
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 1
• Vemos que . Debemos
encontrar dos números cuyo producto sea
• Los dos números son - 8 y 3, ya que
, por tanto
Factorice 2𝑥2 − 5𝑥 − 12
𝑎 = 2, 𝑏 = 5 𝑦 𝑐 = −12
𝑎 ∙ 𝑐 𝑜 2 −12 = 24, 𝑦 𝑐𝑢𝑦𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑏, −5
−8 3 = 24 𝑦 − 8 + 3 = −5
2𝑥2 − 5𝑥 − 12 = 2𝑥2 − 8𝑥 + 3𝑥 − 12
Por agrupación
2𝑥 𝑥 − 4 + 3 𝑥 − 4
𝑥 − 4 (2𝑥 + 3)
Mediante Sustitución
• Si podemos reescribir esta expresión en la
forma , será mas fácil de
factorizar. Como sustituimos
, el trinomio se convierte en
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑦2 2 = 𝑦4
𝑦2 𝑝𝑜𝑟 𝑥
𝑦4 − 𝑦2 − 6 = 𝑦2 2 − 𝑦2 − 6
𝑥2 − 𝑥 − 6 = 𝑥 + 2 𝑥 − 3
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑦2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟
𝑦2 + 2 (𝑦2 − 3)
5.6 Formulas Especiales
• Trinomios Cuadrados Perfectos
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 2
𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 − 𝑏 2
• Diferencia de dos cuadrados
• Suma de dos cubos
• Diferencia de dos cubos
𝑎2 − 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 (𝑎 − 𝑏)
𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎 + 𝑏 (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)
𝑎3 − 𝑏3 = 𝑎 − 𝑏 (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)
Resolver
1) 25𝑥2 − 9𝑦2
2) 𝑥6 − 𝑦4
3)27𝑥3 + 8𝑦3
4) 8𝑦3 − 64𝑥6
5) 25𝑎2 − 10𝑎𝑏3 + 𝑏6
6) 4𝑎2 + 12𝑎𝑏 + 9𝑏2 − 25
Encontrar el volumen
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 = 4𝑥 3
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 = 33
𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑒𝑠 = 4𝑥 3 − 33
4𝑥 − 3 4𝑥 2 + 4𝑥 3 + 32
4𝑥 − 3 (16𝑥2 + 12𝑥 + 9)
5.7 Repaso General
Para factorizar un Polinomio
• Determinar si todos los términos tienen
MFC.
• Si el polinomio tiene dos términos,
determine si es una diferencia de
cuadrados o suma o diferencia de dos
cubos
• Si el polinomio tiene tres términos,
determine si es un trinomio cuadrado
perfecto, de lo contrario utilice en método
de prueba y error.
• Si el polinomio tiene mas de tres términos,
intente mediante agrupación, sino pruebe
si son el cuadrado de un binomio.
• Como paso final, examine si los factores
enumerados tienen un factor común.
Resolver
• Factorizar
• Factorizar
3𝑥4 − 48𝑥2
3𝑥2 𝑥2 − 16 = 3𝑥2 𝑥 + 4 (𝑥 − 4)
3𝑥2𝑦2 − 24𝑥𝑦2 + 48𝑦2
3𝑦2 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = 3𝑦2(𝑥 − 4)2
• Factorice
• Factorice
24𝑥2 − 6𝑥𝑦 + 16𝑥𝑦 − 4𝑦2
2 12𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 8𝑥𝑦 − 2𝑦
2 3𝑥 4𝑥 − 𝑦 + 2𝑦 4𝑥 − 𝑦
2 4𝑥 − 𝑦 (3𝑥 + 2𝑦)
2𝑥4𝑦 + 54𝑥𝑦
2𝑥𝑦(𝑥3 + 27)
2𝑥𝑦 𝑥 + 3 (𝑥2 − 3𝑥 + 9)
• Factorice
3𝑥2 − 18𝑥 + 27 − 3𝑦2
3 𝑥2 − 6𝑥 + 9 − 𝑦2
3[ 𝑥 − 3 2 − 𝑦2]
3 𝑥 − 3 + 𝑦 (𝑥 − 3 − 𝑦)
5.8 Ecuaciones Polinomiales
• Usar la propiedad del factor nulo
• Usar factorización para resolver
ecuaciones
• Usar factorización para problemas de
aplicación
• Usar factorización para determinar
intersecciones del eje x
• Siempre que se establece que dos
polinomios son iguales entre si, tenemos
una ecuación polinomial
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑥2 + 2𝑥 = 𝑥 − 5
𝑦3 + 3𝑦 − 2 = 0
4𝑥4 + 2𝑥2 = −3𝑥 + 2
• El grado de una ecuación polinomial es el
mismo que el termino con mayor grado.
Con frecuencia, una ecuación de segundo
grado con una variable se denomina
ecuación cuadrática.
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠
3𝑥2 + 6𝑥 − 4𝑥 = 0
5𝑥 = 2𝑥2 − 4
𝑥 + 4 (𝑥 − 3)
Propiedad Factor Nulo
• Resolver
Verificar
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝑦 𝑏, 𝑠𝑖 𝑎 ∙ 𝑏 = 0,
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 0 𝑜 𝑏 = 0, 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑎 𝑦 𝑏 = 0
𝑥 + 5 𝑥 − 2 = 0
𝑥 + 5 = 0
𝑥 = −5
𝑥 − 2 = 0
𝑥 = 2
Factorización para resolver
ecuaciones• Utilizar propiedad de la suma para
eliminar todos los términos de un lado
• Sumar términos semejantes y factorizar
• Iguale a cero cada factor que contenga
cada variable
• Verificar soluciones en la ecuación original
Resolver
2𝑥2 = 12𝑥
2𝑥2 − 12𝑥 = 0
2𝑥 𝑥 − 6 = 0
2𝑥 = 0
𝑥 = 0
𝑥 − 6 = 0
𝑥 = 6
Resolver
3𝑥2 + 2𝑥 − 12 = −7𝑥
3𝑥2 + 9𝑥 − 12 = 0
3 𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 0
3 𝑥 + 4 𝑥 − 1 = 0
𝑥 + 4 = 0
𝑥 = −4
𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 1
Sugerencia
• Al resolver una ecuación cuyo termino
principal es un coeficiente negativo, por lo
general lo convertimos en positivo para
facilitar el procedimiento.
−𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0
−1(−𝑥2 + 5𝑥 + 6) = 0
𝑥2 − 5𝑥 − 6 = 0
Factorización para resolver
aplicación• Determine la base y la altura de la entrada
de la tienda de campaña
𝐴 = 12 𝑏𝑎𝑠𝑒 (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)
27 =1
2 𝑥 (2𝑥 − 3)
2 27 = 2 1
2 𝑥 (2𝑥 − 3)
54 = 𝑥(2𝑥 − 3)
54 = 2𝑥2 − 3𝑥
2𝑥2 − 3𝑥 − 54 = 0
2𝑥 + 9 = 0 𝑥 − 6 = 0
𝑥 = − 92 𝑥 = 6
• Como las dimensiones no pueden ser
negativas. Se elimina – 9 / 2 como
respuesta a nuestro problema, por tanto
𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑥 = 6𝑝𝑖𝑒𝑠
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 2𝑥 − 3 = 2 6 − 3 = 9𝑝𝑖𝑒𝑠
Teorema de Pitagoras
Resolver
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2 + 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2 = 𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎2
𝑥2 + (𝑥 + 1)2 = (𝑥 + 2)2
𝑥2 + 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4
2𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4
𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0
𝑥 − 3 𝑥 + 1 = 0
𝑥 − 3 = 0
𝑥 = 3
𝑥 + 1 = 0
𝑥 = −1
Determinar intersecciones del
eje x