primer parcial de matematica del cbc

CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 1995 - Pág. 1

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Primer Parcial de Matemática 1995 Cátedra de Gutiérrez

(1) Matemática – Primer Parcial: 1995

1. Representar en el plano }01;011

/R),{( 2 ≥+<+−∈= y

xx

yxA

2. Hallar los ceros de la función polinómica f y determinar los intervalos de positividad y de negatividad. f(x) = (x4 – 1)(− x2 + 2 x – 3)

3. Dada la función f: R – {– 1}→ R / f(x) =132

++

xx

, calcular f –1, dar el dominio de f –1.

4. En un jardín cuadrado de 10 metros de lado, (ver figura) se quiere diseñar un cantero cuadrado como muestra la zona rayada del dibujo. Determinar los valores de x para que la superficie del cantero sea de 82 cm 2.

Respuestas. :

1) Ver Gráfico 2) C º = {– 1, 1} C – = (– 1, 1) C + = (– ∞, – 1)∪(1, + ∞)

3) x

xf x −

−=−2

31)( Dom f -1 = R – {2} 4) x = 1 ó x = 9.


1) Hallar todos los x ∈ R que verifican simultáneamente: x > 0 y 2 9

31

xx

−−

>

Escribir la solución como intervalo o como unión de intervalos.

2) La función cuadrática f tiene un cero en x = 5, alcanza mínimo en x = 2 y su gráfico corta al eje de las ordenadas en – 4. Encontrar la fórmula de f(x) y determinar su imagen.

3) Sean f(x) = 6 x – 1, g(x) = 45

2+x

y h(x) = f o g(x). Hallar la fórmula de la inversa h–1(x) y graficarla.

4) Hallar los ceros de f(x) = 2 sen2 x + sen x pertenecientes a los intervalos [0, 3 π].

Respuesta.:

1) Sol. : (0,3)∪(6, + ∞) 2) f(x) = – 2/5 (x – 5)(x – 2) Img. [6, + ∞)

3) 54

)1(5121

)( −+

=−x

h x 4) C º = {0, π, 7/6 π, 11/6 π, 2π, 3π}

} x

x {

}

}

x

x

- 1 1- 1

Jorge

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Zona Oeste: Moreno, Lujan.

Primer parcial, Matemática, Cátedra Gutierrez. Pág. 1

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Primer parcial de Matemática

Cátedra Gutiérrez

Paternal 2000:

1) Hallar un polinomio de grado tres tal que sus únicas raíces sean –1 y 3, además cumpla con P(2) = 4.

2) La ganancia de un comerciante (en pesos) en función de los artículos vendidos, viene dada por g(x) = x2 – 15x . Determinar a partir de cuántos artículos vendidos gana más de $1000.

3) Sea f: R – {– 4} → R / 34

1)( +

+=

xf x Calcular f – 1 y hallar las ecuaciones de sus

asíntotas.

4) Hallar todos los ceros de f(x) = 4 sen (3x − π) para x ∈ [0, π] .

1) P(x) = a (x – xo) (x – x1) … (x – xn)

Grado 3: P(x) = a (x – xo) (x – x1) (x – x2) ,

Hay dos opciones : (1) : P(x) = a (x – 3)2 (x + 1)

: (2) : P(x) = a (x – 3) (x + 1) 2

Como sabemos que P(2) = 4 (quiere decir que cuando x = 2, el resultado del polinomio es 4).

Reemplacemos en (1) : P(2) = a (2 – 3)2 (2 + 1) → 4 = a (– 1)2 . 3 → 4 = a 3 → a = 4/3.

De allí que el polinomio (1) sea P(x) = 4/3 (x – 3)2 (x + 1)

Reemplacemos en (2) : P(2) = a (2 – 3) (2 + 1)2 → 4 = a (– 1) . 9 → 4 = a (− 9) → a = − 4/9.

De allí que el polinomio (1) sea P(x) = − 4/9 (x – 3)2 (x + 1)

2) Dada la ecuación g(x) = x2 – 15x tenemos que : x2 – 15x > 1000 (trabajemos como si fuera una ecuación, el modo operativo es el mismo).

x2 – 15x – 1000 > 0 (aplicamos cuadrática) (x – 40) (x + 25) > 0 (resolvamos sin tomar en cuenta al 25 que al despejarse quedará – 25, valor que no tiene aplicación para el problema.)

x – 40 > 0 → x > 40

Necesita vender más de 40 artículos.

Jorge

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Zona Oeste: Moreno, Lujan

Primer parcial, Matemática, Cátedra Gutierrez. Pág. 2

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3) Primero hallemos dominio e imagen de: 34

1)( +

+=

xf x

34

1)( +

+=

xf x AH: 3 Img.: R – {AH} → Img.: R – {3}

AV: − 4 Dom. : R – {AV} → Dom. : R – {− 4}

Así que tenemos: f(x) : Dom. : R – {− 4}→ Img.: R – {3}/ 34

1)( +

+=

xf x

Para hallar la inversa el Dominio (Dom.) se intercambia con la imagen (Img.), de esa manera tenemos que: f(x)

– 1 : Dom. : R –{3}→ Img.: R –{− 4}/ f(x) – 1

Ahora hallemos f(x) – 1. Para ello cambiemos x por f(x)

– 1 y a f(x) por x.

34

13

41

1)(

)( ++

= →++

=−x

doreemplazanxf

xx

f

Despejen la ecuación en hoja aparte y les quedará: 43

11)( −

−=−

xf x

Entonces quedará f(x) – 1 : Dom. : R –{3}→ Img.: R –{− 4}/ 4

311

)( −−

=−x

f x

4) 4 sen (3x − π) = 0 → sen (3x − π) = 0

Se debe tener en cuenta que para sen α = 0 hay dos valores para el ángulo α, α = 0 (1) y α´= π. (2)

(1) (3x − π) = 0 + kπ (2) (3x − π) = π + kπ (descartado por quedar fuera de [0, π] )

kπ permite hallar todos los valores de x en el intervalo [0, π] dándole valores enteros a “k”.

3x − π = 0 + kπ (despejemos x) π+π= kx31

3

π=π+π=⇒=

π=π+π=⇒=

π=⇒=

32

3 2 k si

32

31

3 1 k si

3 0 k si

x

x

x

Solución:

πππ

;32

;3

Jorge

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CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 1996 – Pág. 1

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1. Representar en el plano: {(x, y) ∈ R2/ 1 < y – 3 x < 2, 5>y }

2. Hallar dominio, imagen y asíntotas de la función h = f o g si 1

1)( +

=x

f x y g(x) = − 2 x + 3

3. Hallar a ∈ R de modo que la función f(x) = sen 2 x – ½ tenga 6 ceros en el intervalo [0, a]

4. La función cuadrática f tiene ceros en x = – 1, x = 1 y verifica f(3) = 2. Determinar los ceros y los intervalos de positividad y de negatividad de ( ) ( ) ( )xx fxh .

31−=

Respuestas:

1) (ver gráfico)

2) Dom: R – {2}, Img. : R – {0}, A.V. = {2}, A. H. = {0}

3) )11;9[ 44ππ∈a

4) { }1,,1C 31o −= ( ) ( )+∞∪−=+ ,1,1C 3

1 ( ) ( )1,1,C 31∪∞−=−

(2) Matemáticas – Primer Parcial :1996

1. Los puntos A = (1; 1) , B = (1; 6) , C = (4; 6) y D = (4; 1) son los vértices de un rectángulo. Dar las ecuaciones de las rectas que contienen a las diagonales AC y BD y determinar, analíticamente, las coordenadas del punto en que se cortan.

2. Hallar los intervalos de positividad y negatividad de: f(x)= − 3 (x 2 – 4 x + 4) (x 2 – 4 x – 5)

3. Dadas f(x)= x – 2 y g(x)= 24

5+xx

, siendo h = g o f , hallar h –1. Trazar el gráfico de la función.

4. Determinar el conjunto de ceros de f : [− π, π]→ R definida por: f(x)= cos 2 x – ½ cos x

Respuestas. :

1) )3

42;25(,

323

35,

32

35 +−=−= xyxy

2) C+ = (–1, 2) ∪(2, 5); C − = (– ∞, −1)∪(5, + ∞)

3) 31

1

52

1)( +

−=−

xh x 4) },,,{ 2332

ππππ −−

Jorge

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Zona oeste: Moreno, Lujan

CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutierrez. – 1997 – Pág. 1

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(1) Matemática – Primer Parcial: 1997: (Recuperatorio)

1) Determinar analíticamente la ecuación de la recta que corta al gráfico 3

4)( −

=x

f x en los

puntos de abscisas x1 = 2 y x2 = 5.

2) Hallar el conjunto de positividad de f(x) = (x – 3)(5x2 + 8x – 4).

3) Hallar los ceros de f(x) = 4 sen (x + π/6) para x ∈ [0, 3π]

4) Según un estudio de mercado, a partir de enero de 1996 una fábrica de lácteos tuvo un ingreso mensual (en miles de pesos) dado por f(x) = x2 – 10x + 36 (x en meses).

¿Cuál fue el ingreso mínimo?.

Respuestas. :

1) y = ½ x – ½ 2) Intervalo de positividad: (– 2; 0,4) ∪(3, + ∞) 3)

πππ

617

,611

,65

4) Mínimo: (5, 11). El ingreso mínimo fue en el quinto mes, $11.000


1) Hallar el polinomio de grado 3, cuyos ceros son –1, 2 y 3, para que verifique que f(0) = 12

2) Dada f (x) = 9 – (x + 2)2 y g (x) = x – 3, hallar intervalos de positividad y negatividad de h(x) = g o f(x)

3) Determinar los x ∈ [0, 2π] / sen x. Cos x – ½ cos x = 0

4) Sea la función indicada en el gráfico: Hallar analíticamente {x ∈ R / f (x) > 2}

Respuestas. :

1) P(x) = – 2 (x + 1) (x – 2) (x – 3)

2) Intervalo de positividad: (–2, 4); intervalo de negatividad: (– ∞, – 2) (4, + ∞)

3)

ππππ

;;2

;6 6

5

4) ( )∞+− ,31 (Recomendación: primero hallar la recta usando los puntos del gráfico y luego

resolver la inecuación).

3

1


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1) Sean f(x) = 3 x2 + 2 x + 6 y g(x) = − 5 x + 4

Sea A = {x ∈ R / f(x) > g (x)}. Determinar analíticamente el conjunto A.

2) Sea f (x) – 2 x3 – x2 + k x una función polinómica. Hallar k para que x = 2 sea un cero de f. Para el valor de k hallado, encontrar todos los ceros y los conjuntos de positividad y de negatividad de f.

3) Sea f : [– π, π] → R definida por f(x) = – ½ cos(x – ½ π). ¿En que puntos alcanza f su valor máximo? ¿Cuáles son estos valores máximos?

4) Un bioquímico observa un cultivo de bacterias. Ve que la población (en miles de bacterias) t horas después de las 7 AM se puede aproximar mediante la fórmula P(t) = 15.e0,4 t. ¿Cuándo la población será el doble de lo que era a las 10 AM.?

Respuestas. :

1) A = (− ∞ , – 2] ∪� [–1/3, + ∞) 2) a) k = 10 b) Ceros en: x = 0, x = 2, y en x = –5/2

3) máx.: (-π /2 , ½ ) , mín.: (π /2 , - ½ )

4) 10 AM → t = 10 – 7 = 3 → P(3) = 15 e0,4..3. El doble: 30 e1,2 = 15 e0,4 t → t = 4,733 = 4 hs. 44’ (después de las 7 A. M) O sea a las 11 hs 43 minutos.


1) Escribir como intervalo o unión de intervalos el conjunto }31

5/{ −≥

−∈=

xRxA

2) Sea f(x) = – x2 + 6x – 7 y los puntos del plano P y Q tales que : P = vértice de la parábola que define f ; Q = el punto donde dicha parábola corta al eje y. Escribir la ecuación de la recta que pasa por P y Q.

3) Si f(x) = x – 1, g(x) = x – 4, hallar todos los x ∈ R que verifican (f o g)(x) = 25

4) Si f : [0, 2π]→ R, f(x) = 1 – e sen (2x) ; hallar el conjunto de ceros de f.

Respuestas. : 1) (− ∞, − 2/3] ∪ (1, + ∞) 2) y = 39 x – 7 Donde: P = (3, 2) y Q = (0, – 7)

3) 25

101 4) {0, π/2 , π, 3π/2 , 2π}

Jorge

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1) Hallar la distancia entre el vértice de la parábola y el punto que corta al eje y para la parábola : y = 2x2 + 6x – 1.

2) Sean 4

2,103 )()( −

=+=x

xgxf xx hallar: g o f (x) y determinar las ecuaciones de sus asíntotas.

3) Hallar los ceros y los intervalos de positividad y de negatividad: f(x) = (2x +1) (x2 – 2x)

4) Sea L la recta que pasa por (2, –1) y (–1, 3); hallar la ecuación de la recta L’ que pasa por (– 2, 0) y tiene la misma pendiente que L.

Respuestas. :

1) (raíz de 10) Vertice: (– 3, –1) C = (0, – 1) 2) x = –2 y = 2 4) y = – 4/3x + 8/3

3) Co = {–½ ; 0, 2} C− = (−∞, −½ ) ∪ (0, 2) C + = (−½ , 0) ∪ (2, + ∞)

(2) Matemática – Primer Parcial: (Agronomía) 1999

(agronomía)

1) Dados los puntos P = (3, a) y Q = (–1, – 4), determinar todos las a ∈ R de modo que 5)PQ( =d

2) Dadas las funciones lineales: f(x) = 3x + 1 y g(x) = 2x + b; hallar b ∈ R de modo que el conjunto A = {x ∈ R/ f(x) > g(x)} para valores entre (3, + ∞).

3) Hallar el dominio, la imagen y los ceros de la función para 42

1)( −

−=

xf x

4) Hallar los intervalos de positividad de f(x) = (x2 + 1)(x2 – 5 x + 6)

Respuestas. :

1) a = – 1 ó a = – 7 2) b = 4 3) Dominio: R – { 2}, imagen: R – {– 4} C º = {9/4}

4) Intervalos de positividad: (– ∞, 2) (3, + ∞)


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(1) Matemática – Primer Parcial:1er Cuat. 2000

1) Dados los puntos A = (–1, 7) y B =

−2,45 , de las coordenadas de un punto P del primer

cuadrante que pertenezca a la recta que pasa por los puntos A y B

2) Dada 2

13)( +

+−=x

xf x calcular f – 1

(x) y el dominio de f – 1

3) Dada 43

1

22)( +

−=

x

xf x calcular los siguientes límites:

11 −→→−∞→ xxxlímlímlím

4) Si f(x) = sen (x – π) y g(x) = 2x + 4 determinar {x ∈ [0, 2π] / g o f(x) = 5}

Respuestas. :

1) (Está pidiendo las coordenadas posibles de un punto P que pertenece a la recta AB y se encuentra en el primer cuadrante.)

Recta AB: y = – ¼ x – 27/16 , así que P = (x; – ¼ x – 27/16) para valores de “x” comprendidos en el intervalo: – 27/4 < x < 0

2) Cambiamos “x” por “y” e “y” por “x” así despejamos a “y”.

⇒++= →

++−=→

++−=

312

213

213

)( xx

yy

yx

xx

f despejandox 3

12)(

1

++=−

xx

f x

Dominio de f – 1: R – {– 3}.

3) 43

43

1

243

1

2

0

22=+

−=+

− −∞→−∞→−∞→ xxxlím

x

xlím

x

xlím

4434421

∞=+∞=+=+−

=+− →→→ 4

343

02

43

1

243

1

2

12121 xxxlím

x

xlím

x

xlím

∞=+∞=+=+−

=+− −→−→−→ 4

343

02

43

1

243

1

2

12121 xxxlím

x

xlím

x

xlím

4) g o f(x) = 2 sen (x – π) + 4 = 5 → x – π = π/6 + 2kπ ó x – π = 5π/6 + 2kπ

Los resultados serán: 7π/6 y 11π/6. (tomar k = 0)

Jorge

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CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutierrez. – 2001 - Pág. 1

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Primeros Parciales de Matemática Cátedra de Gutiérrez

(1) Paternal: 2do Cuat. 01

1) Escribir como intervalo o unión de intervalo el conjunto

<

+−∈= 7

12

/x

RxA

2) dada f(x) = 2x – 6 y g(x) = 81 – x2, hallar todos los ceros de la función g o f(x)

3) Hallar a, b y c para que cbx

af x +

+=)( cumplan simultáneamente :

i) 5 ∉ Domf ii) Imgf = R – {4} iii) f(0) = 10 Justificar.

4) Hallar el conjunto de negatividad de f: [0, 8π] → R dada por 23

3sen)( −

= x

f x

Respuestas:

1) C – = (1, 5/7) 2) C o = {– 3/2, 15/2} 3) b = – 5 (asíntota vertical),

c = 4 (asíntota horizontal), a = – 30 (con la ecuación utilizando b, c y el punto dado).

4) {π, 2π, 7π, 8π}

(2) Ciudad Universitaria: 1er Cuat. 01 Tema 3

Ejercicio 1: Escribir como intervalo o como unión de intervalos el conjunto:

}0543

:{ >+−−ℜ∈=

xx

xA

Ejercicio 2: Sean 221

)( +−= xf x y g(x) = – 4 x2 + 5 Indicar el intervalo de crecimiento y decre-

cimiento de g o f

Ejercicio 3: Hallar el valor de a para el cual: 27

154

62lím

2

2−=

−+

−++∞→ xx

xaxx

Ejercicio 4: Hallar los ceros de: )2cos(6)(π+−= xf x en el intervalo [0, 2π]

Respuestas:

1) (4/3 , 5) 2) Intervalo de Crecimiento: (4, + ∞) Intervalo de Decrecimiento: (- ∞, 4) 3) a = – 14 4) Sol.: {π/6 , 7π/6}.


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(3) Cuidad Universitaria: 1º Cuat. de 2001

Ejercicio1: Dada f(x) = ½ x2 – 4x; g(x) = x – 8 escribir como intervalo o unión de intervalos: A = {x ∈ R /f(x) > g(x)} Ejercicio 2: Hallar una función polinómica f de grado 4 cuyo gráfico corte al eje de las abscisas solamente en los puntos (-2, 0) y (4, 0) y además que verifique f(0) = 8

Ejercicio 3: Sea x

gx

f xx1

31

1)()( =−

−= . Calcular h(x) = f o g. Analizar la existencia de asíntotas

verticales y horizontales en la función h y dar las ecuaciones de las mismas. Ejercicio 4: Hallar todos los ceros de la función f(x)= sen(x − π) – ½ en el intervalo [ −π; 2π].

Respuestas: 1) (- ∞, 2) ∪ (8, + ∞) 2) f(x) = 1/8 (x + 2)2 (x – 4)2 3) y = – 4, x = 1 4) };{67

65 ππ−

(4) Ciudad 1º Cuat. 2001 (Se nota que es casi igual al tema anterior) Ejercicio 1: Dada f(x) = ½ x2 – 4x; g(x) = x – 12 escribir como intervalo o unión de intervalos: A = {x ∈ R /f(x) > g(x)} Ejercicio 2: Hallar una función polinómica f de grado 4 cuyo gráfico corte al eje de las abscisas solamente en los puntos (– 3, 0) y (5, 0) y además que verifique f(0) = 15

Ejercicio 3: Sea x

gx

f xx1

21

1)()( =−

−= – 3. Calcular h(x) = f o g. Analizar la existencia de asín-

totas verticales y horizontales en la función h y dar las ecuaciones de las mismas.

Ejercicio 4: Hallar todos los ceros de la función f(x)= sen(x − π) – 22 en el intervalo [π; 2π]

Respuesta: 1) (- ∞, 4) ∪ (6, + ∞) 2) f(x) = 1/15 (x + 3)2 (x – 5)2 3) y = – 9/4, x = ¼ 4) }{45 π

(5) Ciudad Universitaria 1º Cuat. de 2001 Ejercicio 1: Dada la f(x) = 9x(x – 2), escribir como intervalo o unión de intervalos al conjunto C ={x ∈ R / f(x) > − 8} Ejercicio 2: Si la f es la función lineal que satisface f(½) = 5 y

)(25−f = 4, determinar analíticamente

el conjunto de positividad y el conjunto de negatividad de f.

Ejercicio 3: Sean f(x) = 3x + α, 45)( +

=xx

g x y h(x) = f o g(x). Determinar el valor de α para que

101

)( =∞→

xx

hlim .

Ejercicio 4: Sea f(x) = 3ex – 2 + 1. Calcular 1−f (x). y determinar su dominio. Respuesta: 1) (− ∞, 2/3) ∪ (4/3, + ∞) 2) y = 1/3 x + 29/6 C + = (- 29/2 , + ∞) C – = ( − ∞, 29/2) 3) α = – ½ 4) f – 1 = ln(x – 1) + ln3 + 2 Dom.: (1, +∞)


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Ciudad Universitaria: Primer trimestre 2002

Ejercicio 1: La recta de ecuación y = x + 3 corta al eje x en el punto A, y corta al eje y en el punto B. Calcular la distancia entre A y B.

Ejercicio 2: Hallar la expresión de la función cuadrática que verifica f(2) = 0, Img. f = [– 2, + ∞); el intervalo de decrecimiento de f es (– ∞, – 1).

Ejercicio 3: Dado 23

4)( −

−=

xf x , calcular f – 1 y el dominio de f – 1.

Ejercicio 4: Para f(x) = – 2 + e 3/x, calcular )(0

lím xx

f+→

y )(lím xx

f−∞→

. Hallar todas las asíntotas de f.

Solución de los Ejercicios:

Ejercicio 1: Cuando un punto de una función corta al eje x quiere decir que la coordenada “y” del punto es cero (y = 0). Para hallar la coordenada x, igualemos la ecuación a cero y despejemos “x”.

y = x + 3 → 0 = x + 3 → – 3 = x

A = (– 3, 0)

El punto donde la recta corta al eje y, tiene coordenada x igual a cero (x = 0). Para hallar el valor de la coordenada y reemplazamos a x por cero y realizamos la cuenta.

y = x + 3 → y = 0 + 3 → y = 3

B = (0, 3)

Para hallar la distancia entre los dos puntos aplicamos Pitágoras: D2 = (y2 – y1)2 + (x2 – x1)2

Se reemplaza las coordenadas por sus respectivos valores y se calcula la raíz cuadrada del resultado.

24,418)30()03( 22 =→=→−+−−= DDD

Ejercicio 2: Como la función cuadrática es un polinomio de grado dos, lo que te están pidiendo es que “armes” un polinomio de segundo grado. Hay que utilizar la información que te dan: uno de los ceros es (2, 0), el otro lo tenés que “sacar” a partir del eje que se ubica donde termina el “intervalo de decrecimiento”: x = – 1. El eje siempre deja a los ceros de la fun-ción a la misma distancia (uno de cada lado), así que el otro cero lo encontramos en el punto de abscisa – 4. Así que x1 = 2 y x2 = – 4. La imagen de la función empieza en – 2, lo que implica que es la ima-

gen del vértice de la parábola, cuyas coordenadas quedarán como (–1, –2). Con estos datos pode-mos armar el polinomio.

(2,0)– 1(– 4, 0)


Si necesitas clases para rendir parciales, finales, libre puedes llamar al 011-15-67625436 (Moreno, Lujan)

f(x) = a (x – x1) (x – x2)

f(x) = a (x – 2) (x – (–4)) para hallar a reemplazamos “x” e “y” por el vértice de la parábola.

– 2 = a (– 1 – 2) (– 1 + 4) despejamos a y nos queda: a =92

De esa manera tenemos la ecuación factorial de la parábola

)4)(2(92

)( +−= xxf x

Podemos transformarla en un polinomio, simplemente aplicando distributiva.

916

942

92

)( −+= xxf x

Ejercicio 3: Para hallar la inversa de una función nos conviene cambiar f(x) por x, mientras que x la cambiaremos por f(x)

– 1; la que despejaremos.

23

4

1)(

)( −−

=

↓−

↓876

xf

x x

x

f

32

42

4343)2(

3

422

3

4 11111 )()()()()(

++

=⇒+

=−⇒=

−+⇒

−=+⇒−

−= −−−

−− xf

xffx

fx

fx

xxxxx

En el denominador de la fracción, el número que lo anula (lo hace cero) es “– 2”, ese valor no puede estar en el dominio.

Dom. f = R – {– 2}

El problema termina acá pero también se les puede pedir las asíntotas de la función inversa:

Asíntota Vertical: es el valor correspondiente al dominio que tiene como límite el infinito ya que no posee imagen en la función.

∞=+∞=++−

=++−→

3322

43

24

lím2 xx

A. V. = {– 2}.

Ecuación de la asíntota: x = – 2

Asíntota Horizontal: es el valor del límite de la función cuando el elemento del dominio (x) tiende a infinito (es cada vez más grande). Este valor no posee preimagen, o sea que no pertenece a la ima-gen de la función.



33034

32

43

24

lím =+=+∞

=++∞

=++∞→ xx

0lím 1 =∞→ xx

A. H. = {3} Ecuación de la asíntota horizontal: y = 3.

Ejercicio 4: calculemos los límites.

El signo + que aparece a la derecha del cero indica que el límite se calcula sólo desde los valores mayores a cero (los número positivos).

∞=∞+−=+−=+−=+−=+− ∞

→→→

+→+++

222lím2lím2lím

3lím

000

033

eeee x

xxx

xxx

11222lím2lím2lím 0lím 333

−=+−=+−=+−=+−=+− −∞→−∞→−∞→−∞→

eeee xxxx

xxx

Nos piden calcular las asíntotas.

Asíntota vertical: valor correspondiente al dominio que tiene como límite el infinito ya que no po-see imagen en la función. En este caso el límite de x tendiendo a cero por izquierda (valores negati-vos) no da como límite infinito, sino – 2. Pero la función tiene asíntota vertical contando el límite de x tendiendo a cero por derecha que sí da infinito.

∞=∞+−=+−=+−=+−=+− ∞→→→

→ 222lím2lím2lím

3lím

0000

33eeee x

xxxxxx

A. V. = {0} ó x = 0 (que es la ecuación de la asíntota vertical)

Asíntota Horizontal: valor del límite de la función cuando el elemento del dominio (x) tiende a infi-nito (es cada vez más grande). En este caso, existe la asíntota horizontal, el valor de ella es – 1.

11222lím2lím2lím 0lím 333

−=+−=+−=+−=+−=+− ∞→∞→∞→∞→

eeee xxxx

xxx

A. H. = {– 1} ó y = – 1 (que es la ecuación de la asíntota horizontal)




Primer Parcial: Drago – 1er Cuat. de 2002

1. Hallar analíticamente las coordenadas de todos los puntos de la recta y = 2x –1 que están a dis-tancia “1” del punto (0,0)

2. Hallar los intervalos de positividad del polinomio P(x) = x3 + 7x² + 8x – 16, sabiendo que x = 1 es una raíz de P.

3. Si 2

1)( +

=x

f x y g(x) = 4x – 1, hallar h = f o g y calcular la inversa de h para x = 5

4. Sea f(x) = 5.cos(2x – π). Hallar todos los x en el intervalo [– π;2π] donde f alcanza su máximo valor.


1) Para hallar las coordenadas de los puntos pertenecientes a la recta y = 2 x – 1 debemos aplicar la ecuación de la distancia entre dos puntos (Pitágoras).

P = (0, 0)

Q = (x, y) = (x, 2x – 1)

(x – 0)2 + (2x – 1 – 0)2 = 12

x2 + (2x – 1)2 = 1

x2 + 4x2 – 4x + 1 = 1

3x2 – 4x = 0 (nos conviene factorizar x) (también podés aplicar la ecuación cuadrática, da el mismo resultado)

x (3x – 4) = 0 (al ser una multiplicación tenemos dos resultados posibles)

x = 0 ó 3x – 4 = 0 (se despeja x) x = 4/3.

De esa manera las coordenadas del punto puede ser:

Para x = 0, y = 2.0 – 1 = – 1. Solución: (0, – 1)

Para x = 4/3, y = 2. 4/3 – 1 = 8/3 – 1 = 5/3 Solución: (4/3, 5/3)

2) Para hallar los intervalos de positividad necesitamos los ceros de la función. Uno de ellos es “1”, con él dividiremos al polinomio (aplicando Ruffini) para calcular después las otras raíces mediante la ecuación cuadrática.

P(x) = x3 + 7x² + 8x – 16



1

1 7

1

8

8

– 16

16

1 8 16 0

Cuando se divide por Ruffini, se baja un grado al polinomio solución, quedando como resultado:

P(x) = x3 + 7x² + 8x – 16 = (x2 + 8x + 16) (x – 1) (el polinomio de grado dos es un trinomio cuadrado perfecto por lo que queda)

P(x) = (x + 4)2 (x – 1)

Los ceros de la función son, entonces, – 4 y 1. Armemos un cuadro para analizar el signo de la fun-ción entre ellos (Bolzano). No olvidemos que todo número elevado al cuadrado es positivo, de allí que para P(x) cualquier valor menor de 1, excepto – 4, dará signo negativo. Para cualquier número mayor que 1, la imagen tendrá signo positivo.

(– ∞, – 4) – 4 (– 4, 1) 1 (1, + ∞)

– 0 – 0 +

Por lo tanto, la solución de este problema es: (1, + ∞)

3) 2

1)( +

=x

f x y g(x) = 4x – 1 Hallemos h = f o g

141

2141

)14()()( )( +=

+−=== − xx

ffgf xgx xo

Para hallar la inversa reemplazamos x por y (y viceversa) para despejar “y”.

141

141

)( +=→

+=

yx

xh x (despejemos y)

41

41

41

41

11

41

1414

1)(

1 −=⇒−=→−=→=+→+

= −x

hx

yx

yx

yy

x x

41

31

121

41

3.41

)3(1 −=−=−=−h

4) La función coseno alcanza sus máximos en “1”; en este caso, el valor será “5”.

5.cos(2x – π) = 5 → cos(2x – π) = 1 → 2x – π = 0 + 2kπ (“k” nos permite hallar todos los valores de x)

2x = 2kπ + π (despejamos x)

x = k π + ½ π (al darle los valores a “k” se puede hallar los distintos resultados)

Si k = – 1 → x = – π + ½ π = – ½ π Si k = 0 → x = ½ π

Si k = 1 → x = π + ½ π = G π Solución: {– ½ π , ½ π , G π}




Matemática: (Parcial tomado en Ciudad Universitaria el Jueves 17/10/02) Tema 4

1) Dadas las parábolas de ecuaciones y = x2 + 4x + 1, y = x2 + 1. Calcular la distancia entre sus vértices.

2) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A = (2, 6) y corta al gráfico de f(x) = 2x3 – 3x + 1 en el punto de abscisa – ½.

3) Dada bx

xf x +

+= 37)( , determinar b para que f(4) = – 1. Para el valor de b hallado, dar las

ecuaciones de las asíntotas de la función inversa f – 1.

4) Hallar el dominio, ceros y conjunto de negatividad y de positividad de f(x) = (x – 4) ln (x + 8).


1) En la parábola y = x2 + 4x + 1 podemos hallar el vértice aplicando 224

2−=−=⇒−= xx v

ab

v

Reemplazamos en la ecuación original para hallar vy = (– 2)2 + 4 (– 2) + 1 = – 3

V1 = (– 2; – 3) (coordenadas del vértice de la primera parábola)

Ahora trabajemos en la segunda parábola.

y = x2 + 1 vx = 0 vy = 02 + 1 = 1

V2 = (0, 1) (coordenadas del vértice de la segunda parábola)

Para calcular la distancia entre V1 y V2 aplicamos Pitágoras: D2 = (– 2 – 0)2 + (– 3 – 1)2 = 13

D = 13

2) Calculemos primeramente el punto dentro de la función f(x) = 2x3 – 3x + 1

f(– ½ ) = 2(– ½)3 – 3(– ½) + 1 = 9/4

El punto es: P = (– ½, 9/4)

Tenemos los dos puntos: A = (2, 6) y P = (– ½, 9/4)

Hallemos la pendiente: 23

2

6

21

49

=−−

−=m .

Suplantamos el valor de la pendiente y el punto A = (2, 6) en la ecuación de la recta y = mx + b.


Si necesitas clases para rendir parciales, finales, libre puedes llamar al 011-15-67625436 (Lujan)

6 = 23

2 + b → b = 3

La ecuación de la recta que nos piden es: y = 2 3

x + 3

3) Para determinar b resolvamos f(4) = – 1

→++=−→

++=

bbxx

f x 4328

137

)( b = – 35.

3537

)( −+=

xx

f x Para hallar la inversa es conveniente intercambiar “x” por “y” y viceversa.

3537

3537

)( −+= →

−+=

yy

xxx

f osreemplazamx (despejamos y).

73351

)( −+=−

xx

f x

Las ecuaciones de las asíntotas:

Asíntota vertical: x = 7

Asíntota horizontal: y = 35

4) f(x) = (x – 4) ln (x + 8).

Dominio: x + 8 > 0 → x > – 8

Dom. = (– 8, + ∞)

Cero de la función: (x – 4) ln (x + 8) = 0 (Es un producto, entonces, hay dos posibilidades)

a) x – 4 = 0 → x = 4

b) ln (x + 8) = 0 → x + 8 = 1 → x = – 7.

Para hallar los intervalos de positividad y negatividad nos conviene tomar valores intermedios (a los ceros encontrados) y ver el signo de la imagen.

– 8 – 7 4+ ++ ∞

C º = {– 7, 4}

C – = (– 8, – 7) ∪ (4, + ∞)

C + = (– 7, 4)




Matemática: R Matemática – Primer Parcial: 1° Cuat. de 2003 Tema 4

1. Hallar todos los puntos de la recta y = – 2x que distan 30 del punto (2, 1)

2. Determinar k ∈ R para que la función 3

82)( +

−=

kx

xf x verifique 5lim )( =

+∞→ xx

f . Para el valor de k

encontrado, calcular las ecuaciones de todas las asíntotas de f.

3. Hallar la fórmula de la función cuadrática f cuya imagen es el intervalo (– ∞, 2] y cuyo gráfico pasa por los puntos (– 3, 0) y (5, 0).

4. Sea f(x) = 6 + ln (x + 4), hallar el conjunto dominio de f y calcular {x ∈ R: f(x) = 1}.


1) La ecuación de distancia es: D2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

Uno de los puntos es (2, 1); el otro pertenece a la recta y = – 2x que se expresa como (x, – 2x). Así que aplicamos a la ecuación y tenemos:

( 30 )2 = (2 – x)2 + [1 – (–2x)]2

30 = (2 – x)2 + (1 + 2x)2

30 = 4 – 4x + x2 + 1 + 4x + 4x2

30 = 5x2 + 5

(30 – 5) / 5 = x2

5 = x2

5 = |x| → 5 = x1 ó – 5 = x2

Reemplazamos cada punto por su coordenada

Operamos aritméticamente.

Recordar que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Sumamos las x2, las x y los números.

Despejamos x

No olvidar el módulo

Si x = 5 entonces y = – 2 5 ; siendo el punto ( 5 , – 2 5 )

Si x = – 5 entonces y = 2 5 ; siendo el punto ( 5 , – 2 5 )

2) Tenemos3

82)( +

−=

kx

xf x así que reemplazamos en 5

382

lim =+−

+∞→ kxx

x. Resolvemos el límite, igua-

lamos los resultados y despejamos k .

kkkkkx

x

xxx

kxxx

x

xx=→=→=

+−

=+

−=

+−

+∞→+∞→+∞→ 52

522

002

limlim382

lim3

82

08

lim3

lim ==∞→∞→ xx xx



3) En toda función cuadrática entre los ceros, justo en la mitad se encuentra el eje de simetría por

donde se ubica el vértice: 12

2

2

53==

+−=xv . La imagen del vértice es el máximo de la función

(puede ser un mínimo, según la función), en este caso 2. El vértice (1, 2).

Nos conviene utilizar la ecuación factorial: f(x) = a (x – x1) (x – x2)

f(x) = a (x + 3) (x – 5)

Necesitamos saber el valor de a, para ello utilizaremos las coordenadas del vértice y la despejare-mos.

2 = a (1 + 3) (1 – 5) → 2 = a . 4 (– 4) → a = 81−

De esa manera la ecuación de la función cuadrática queda: f(x) = 8

1− (x + 3) (x – 5)

4) Para hallar el dominio de f(x) = 6 + ln (x + 4) necesitamos establecer una inecuación:

x + 4 > 0 → x > – 4.

El dominio de esta función corresponde al conjunto que contiene a todos los números reales mayo-res que – 4: Dom f : (– 4, + ∞)

Para hallar f(x) = 1, necesitamos hallar el valor de x que nos de cómo resultado 1.

1 = 6 + ln (x + 4)

– 5 = ln (x + 4)

e – 5 = x + 4

e – 5 – 4 = x

Reemplazamos f(x) por 1 para despejar x.

Pasamos al 6 restando y el resultado es – 5.

Recordando la definición de logaritmo lo expresamos como exponencial

Despejamos x

e – 5 – 4 (– 3,9933 aproximadamente) es el valor de x que da como imagen 1.

Silvia Sokolovsky

Primer parcial – Matemática – CBC – Gutiérrez

Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011-15-67625436 (Lujan)

Jorge

Text Box

Rta: 12/25 (x + 4) (x – 1)

Jorge

Text Box

Rta: (3, 2) y (–2, – 3)

Jorge

Text Box

Rta: C = (–∞, –2) (–2, 2/3) (0, 5/2) C = (2/3,0)

Jorge

Text Box

+

Jorge

Text Box

–

Jorge

Text Box

Rta: π/2, 2π/3, 5π/2, 8π/3, 9π/2, 14π/3, 17π/2, 20π/3, 19π/2, 26π/3, etc...

Jorge

Text Box

Rta: x = 3/2 y = 3/2

Jorge

Text Box

Rta: a = 3 se cortan en x= – 2 y en X = 1.

Jorge

Text Box

Rta: C :(–∞, -1) (–1/3, +∞) C : (–1, – 1/3)

Jorge

Text Box

+

Jorge

Text Box

–

Jorge

Text Box



Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011-15-67625436 (ZonaOeste: Lujan)

Primer Parcial matemática


Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011-15-67625436 (Zona oeste: Lujan)

Jorge

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Rta: x > 3/2 o sea, de 3/2 a más infinito.

Jorge

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Rta: h = 11 – 2x/6 – x

Jorge

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–1

Jorge

Text Box

Rta: Dom de –7 a más infinito, Ceros = {e – 7}

Jorge

Text Box

4

Jorge

Text Box

Rta; X > 2 o sea de 2 a más infinito.

Jorge

Text Box

Rta: B = – 4 y su imagen es de – 6 a más infinito

Jorge

Text Box

Rta: B = – 4 y siu imagen es de – 9 a más infinito

Jorge

Text Box

h = 34–35x/7–x

Jorge

Text Box

–1

Jorge

Text Box

Rta:

Jorge

Text Box

Rta: Dom: – 8 a más infinito, cero = {e – 8}

Jorge

Text Box

–5

Jorge

Text Box

Más parciales en:

Jorge

Text Box

http://soko.com.ar/

http://soko.com.ar/

Matemática – CBC – Primer Parcial (Silvia: 4585 – 1548) Pág. 1

Si necesitas clases para preparar tu parcial, final o libre llamá al 011-15-67625436 (Zona Oeste: Moreno, Lujan)

Matemática

Primer Parcial – Cátedra Gutiérrez

Primer Parcial: Ciudad Universitaria – 1er Cuat. 2004

1) Hallar la distancia entre los puntos donde se cortan la recta y = – 3x + 5 y la parábola

y = 3x2 – 9x + 5

Respuesta: 40

2) Si 19

52

2

)(−

−=x

axf x calcular a ∈ R tal que la recta de ecuación y = 2 sea asíntota del gráfico de f.

Para el valor de a encontrado, determinar las ecuaciones de todas las asíntotas de f.

Respuesta: a = 18 Asíntota vertical: x = – 1/3; x = 1/3 Asíntota horizontal: y = 2.

3) Calcular el conjunto de positividad de 323

)( −+=

xx

f x

Respuesta: (– ∞, – 2/3) ∪ (3, + ∞)

4) Sean f(x) = 2x – 3; g(x) = 4 + ex y h(x) = g o f(x). Calcular h– 1(30).

Respuesta: h– 1(x) = ½ ln (x – 4) + 3/2.

h– 1(30) = ½ ln 26 + 3/2 = 3,129 (aproximadamente)

CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 2004 Pág. 1

Si necesitas clases para rendir parciales, finales, libre puedes llamar al (011) 4585 – 1548.

Primer Parcial de Matemática 2004

Cátedra de Gutiérrez

Matemática: R Matemática – Primer Parcial: tomado el 19 – 05 – 04 Tema 4

1) Escribir como intervalo o como unión de intervalos el conjunto A = {x ∈ R / 75 <x

}

2) Sea f (x) = ax2 + x + 4, hallar el valor de a ∈ R de manera que la imagen de f sea el interva-lo (– ∞ ; 9/2). Para el valor de a encontrado, hallar los ceros de la función.

3) Sean f (x) = x2 + 1; g (x) = 214

+−−

xx

y h = g o f

Hallar las ecuaciones de todas las asíntotas de h, mediante los limites correspondientes.

4) Sea f (x) = 4 + ln (3 – x) Calcular f – 1 (x), dominio e imagen de f – 1(x)

Solución: 1) (– ∞, 0) ∪ (5/7, + ∞) 2) a = – ½ , para un valor de x = 1. Ceros: {– 2, 4}

3) h (x) = 2

2

134

xx−

+ Asíntota vertical: {–1, 1}; Asíntota horizontal: {– 4}.

4) f – 1 (x) = 3 – e x – 4. Dominio: R Imagen: (– ∞, 3)


Si necesitas clases particulares para rendir parciales, finales, libre puedes llamar a 011-15-67625436



1) Sea f(x) = 6 (x – 1) (x – k). Hallar el valor de k pertenece a R de manera que el gráfico de la fun-ción corte al eje Y en el punto de ordenada 12. Para el valor de k hallado determinar el conjunto de crecimiento y decrecimiento.

2) Sean f(x) = x2 + 4x + 1 y g(x) = 4x + 10. Escribir como intervalo o unión de intervalos al conjun-to A= {x pertenece R/ la función f(x) > g(x)}

3) Sea f(x) = xx

x3

242

2

−+

Hallar el límite de x tiende al infinito y dar las ecuaciones de todas las asíntotas

4) Sean f(x) = x + 2 y g(x) = 3 ex – 4 y h(x) = g o f, hallar h–1 y su dominio.

Respuestas:

1) Debemos usar el punto que nos han dado (0, 12) para hallar k = 2.

De esta manera el eje pasará por: (1 + 2) / 2 = 3/2. Teniendo la coordenada x del vértice se puede, por lo tanto, ubicar lo que se está pidiendo. Entonces tenemos: intervalo de decrecimiento: (– ∝ , 3/2) e intervalo de crecimiento: (3/2, + ∞ ).

2) Solución: (– ∞ , 3] ∪ [3, + ∞ ).

3) Limite = 4. Ecuaciones de las asíntotas Verticales: x = 0, x = 3 Asíntota horizontal: y = 4.

4) h(x) = g o f(x) = 3 e x + 2 – 4 entonces h– 1 = ln [(x – 4)/3] – 2. Dom (h– 1) = (4, + ∞ ).

Jorge

Text Box






1) Si P = (4, 2) y Q = (– 20, a), hallar todos los valores de a que pertenece a los reales para que la dis-tancia entre P y Q sea igual a 25.

2) Sabiendo que el gráfico de f es un parábola que tiene vértice (3, 5) y pasa por (2, 8), hallar f y dar el intervalo de decrecimiento.

3) Para f (x) = 6

7−x

+ 1, calcular f – 1 y dar el dominio e imagen de f – 1.

4) Dadas f(x) = x2 – 32, g(x) = ln(x + 7) y h = g o f(x), hallar los ceros y los intervalos de positividad de h.

Resultados :

1) a = 5 ó a = – 9 por lo que el punto será: (– 20, 5) ó (– 20, – 9)

2) f(x) = 3(x – 3)2 + 5 Decrece desde: (– ∞ , 3/5)

3) f –1(x) =

17−x

+ 6 Para f – 1:

Dominio: R – {1}

Imagen: R – {6}

4) h(x) = ln (x2 – 25) Cº = {– 5, 5} C+ = ,26 + ∞)()26,(– ∞ ∪��−

Jorge

Text Box

Zona oeste: Moreno, Lujan

CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 2006- Pág. 1




1) Si f es la función lineal cuyo grafico pasa por los puntos (0, 4) y (1, – 2) escribir como intervalo al conjunto A = {x ∈ R/ f(x) < 28}

Solución: f(x) = – 6x + 4 A= [– 4,+ ∞ ) 2) Hallar la función cuadrática g que verifique g (3) = g (6) = 0 y g(0) = 2. Solución: f(x) = 1/9 (x-3)(x-6)

3) Si f(x) = 32

4−xx

+ 1, hallar f– 1y calcular el conjunto imagen de f – 1.

Solución: f(x)– 1 =

6233

−−

xx

Img f(x)– 1 : R – {3/2}

4) Si f(x) = ln (x² – 25) hallar dominio, ceros y conjunto de positividad y negatividad de f . Solución:

Dom f = (– ∞ , – 5) ∪ (5, + ∞ )

C º = {– 26 ; 26 }

C + = (– ∞ , – 26 ) ∪ ( 26 , + ∞ )

C – = (– 26 ; – 5) ∪ ( 5 ; 26 )

Jorge

Text Box

zona oeste: Moreno, Lujan.





1) Escribir como intervalo o unión de intervalos A = {x ∈ R / 3

13+

x

– 4 < 0}

Rta.: (– ∞ , – 3) ∪ (1/4, + ∞ )

2) Sabiendo que (1, 0) es un punto del gráfico de f (x)= x4 – 3x3 – x2 + 3x determinar el conjunto de positividad de f.

Rta. : (– ∞, – 1) ∪ (0, 1) ∪ (3, + ∞ )

3) Dada f (x)= 325

+−

xx

y g (x) = x + a para h = f o g, hallar a ∈R de modo que h(4) = 3.

Rta. : a = 3/2

4) Hallar los ceros pertenecientes al intervalo [ – π, π] de la función f (x)= 6 cos (2x – π/4) – 6

Rta. : {π/8}

Jorge

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CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 2006- Pág. 1




1) Escribir como intervalo o unión de intervalos A = {x ∈ R / 4

3�−x

– 5 < 0}

Rta.: (– ∞ , 4) u (23/5, + ∞ )

2) Sea f(x) = x (x – 3). Hallar el vértice de la función y calcular la distancia entre ese vértice y el punto (0, f (0) ).

Rta.: Vértice (3/2, – 9/4); distancia : √117 / 4 ---> aprox (2,7)

3) Hallar a ∈ R de modo que y = 5 sea asíntota de h = f o g, siendo f (x)= 25

−+

xax

y g (x) = 3x.

Para el valor de a hallado escribir ecuación de las asíntotas.

Rta. : a = 5;

Asíntota horizontal y = 5;

Asíntota vertical x = – 2/3.

4) sea f (x)= – ex–2. Calcular f –1 y dar domino de f –1.

Rta. : f –1 = ln (– x) + 2 Dom. : (– ∞ , 0)

Jorge

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Cátedra Gutiérrez – 2007

Matemática – Primer parcial – Primer Cuatrimestre 2007 – Tema 3

1) Sea f una función lineal cuyo gráfico es la recta de pendiente ¼, que pasa por el punto (– 2, – 1), hallar B que pertenece a la recta si B = (6, f(6))

Rta.: f(x) = ¼ x – ½ y B = (6, 1)

2) Sea 34

)( −−

=bxaxf x Determinar los valores de a y b que perteneces a los reales de manera que 2/3

sea cero de la función y la recta de ecuación y = – 3 sea asíntota horizontal de f. Para los valores hallados, determinar dominio de f.

Rta.: a = 6, b = – 2 Dominio: R – {– 3/2}

3) Sean f (x) = x – 16 ; g(x) = (x + 2)2 y h(x) = f o g(x) , hallar el conjunto de negatividad de h.

Rta.: h(x) = f o g(x) = f ( g(x) ) = f ((x + 2)2 ) = (x + 2)2 – 16

C – = (– 6, 2)

4) Hallar los ceros de f (x) = 2 cos (2x) – 1 que pertenece al intervalo [0, 2π]

Rta.: {π/6; 5π/6, 7π/6} Por más parciales soko.com.ar

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Matemática – Primer parcial – Segundo Cuatrimestre 2007 – Tema 2

1) Escribir el conjunto A = {x∈ R / 4312

−>−+

xx } como intervalo o unión de intervalos.

Solución: (– ∞, 11/6) ∪ (3, + ∞)

2) Sean P y Q los puntos en donde se interfecta la recta de ecuación y = – 5x – 7, y la

parábola de ecuación y = x2 – 2x – 5. Hallar la distancia entre P y Q.

Solución: P = (– 1, – 2), Q = (– 2, 3) Dist PQ = 26

3) Sea 245

5)( +

−=

xf x , hallar f(x)

– 1 y dar las ecuaciones de sus asíntotas.

Solución: 54

1055

)(1 +

−=−

xf x

Asíntota vertical: x = 2, Asíntota horizontal: y = 4/5.

4) Hallar el conjunto B = {x∈ [– 2π, 2π] / cos (2x – π/2) + 1 = 0}

Solución: {– 5π/4, 3π/4} Más parciales en: soko.com.ar


Jorge

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Matemática – Primer parcial – segundo Cuatrimestre 2007

1) Expresar como intervalo o unión de intervalos al conjunto }12

3/{ <+

∈=x

RxA

Rta. (– ∞, – 2) ∪ (1, + ∞)

2) Hallar la función cuadrática f(x) que pasa por los puntos (4, 0); (–1, 0) y (5, 2)

Rta. f(x) = 1/3 (x – 4) (x + 1)

3) Calcular el valor de a ∈ R para la cual x = – 2 es raíz de la función polinómica

f(x) = x3 + ax2. Para el valor de a hallado, determinar el conjunto de positividad y

negatividad de f.

Rta. a = 2 C– = (– ∞, – 2) C+ = (–2, 0) ∪ (0, + ∞)

4) Sean f(x) = x + 4; g(x) = e3x – 2 y h (x) = f o g(x). Calcular h(5)– 1 .

Rta. h(x)– 1 = 1/3 ln (x – 4) + 2/3 h(5)

– 1 = 2/3.


Jorge

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Solución:

1) La ecuación de la recta es: y = m x + b

Para hallar la pendiente (m) usemos 145

)( +−= xf x de allí que m = 45

−

Como el punto es entonces x = 4 e y = 4 Reemplacemos en la ecuación y despejemos b. 4)4( =g

4 = 45

− . 4 + b entonces b = 9 La ecuación lineal es: 945

)( +−= xg x

2) Como f(– 1) = g(– 1) entonces: – 6. (– 1) + 5 = – 4 (– 1)2 + (– 1) k + 17 Resolviendo tenemos que k = 2 Así que g(x) = – 4x2 + 2x + 17 Para hallar los puntos donde se cortan ambas funciones las igualamos, igualamos a cero y resolvemos la cuadrática. Cuyas x son: – 1 y 3.

3) xx

fhxgx 54

4)51(–5

4)()( )( +

=++

== La asíntota vertical es x = 54

− , la horizontal es y = 0

4) Primero cambiemos las variables: )5ln()5ln(

2127

21

27 −=

−

−→−−= y

xyx resolvemos para

hacerlo más pequeño: lo pasamos como exponencial y despejamos )5ln(27 −=− yx 527 −=− ye x

ye x =+− 527

Allí obtenemos la inversa: 5271)( += −− x

x eg

Jorge

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Dom = R – {–4/5}

Jorge

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Primer parcial – Matemática – CBC – Cátedra Gutiérrez – soko.com.ar

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Solución:

1) (– ∝, 1/3] U [3, + ∝)

2) Intersección entre g y h = (1/3, – 3)

Vértice de la parábola: (1/3, – 3)

De allí que la ecuación es: 33163

2

)( −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= xf x

3) )2)()(5(25

51

)( ++−−= xxxP x

C + = ),5(),2( 51 +∞∪−− C – = )5,()2,( 5

1−∪−−∞

4) ; 12 2)( −= +x

x eh 22

1ln1)( −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=− xh x ; Dom h – 1: ),1( +∞−


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Solución:

1) P = (0, – 7) Q = (0, 9)

2) La ecuación de )5)(4(41

)( −+= xxf x y )5)(4)(2(41

)( −+−= xxxh x

),5()2,4( +∞∪−=+C

3) x

xx

xfg x −+

=+−

=6

36667

)(o

AV x = 6, AH y = – 1.

4) 314)( −= −x

x ef ; ( )413ln

411

)( ++=− xf x ; Dom f – 1: ),3( +∞−


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Solución:

1) f(x) = x + 5 g(x) = – x + 9 A = (2, )∞+

2) Queda factoriado f(x) = x (x – 2) (x + 3) 2

Aplicando Bolzano: )2,0(=−C ),2()0,3()3,( +∞∪−∪−−∞=+C

3) 3

42)(

1xxf x

−+

=−

La imagen de la función original es el dominio de la función inversa.

Ambas son: R – {3}

4) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−= πππ

32;

31;

34oC

Jorge

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Primer parcial de Matemática Cátedra Gutiérrez – 2009

Solución:

1) A = (– ∞, – 4) U ( 5, + ∞)

2) Intersección entre las rectas: (1, 5). Se aplica Pitágoras y podemos calcular a cuyo valor es: a = – 7 ó a = 9

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primer parcial de matematica del cbc