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UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ODONTOLOGÍA UEC ESTADÍSTICA PROBABILIDAD

Probabilidades est

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Page 1: Probabilidades est

UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDESESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ODONTOLOGÍA

UEC ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD

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Previas

Objetivo

Conocer los conceptos básicos de teoría de laprobabilidad, el teorema de distribuciónbinomial y la relación entre las distribucionesbinomial y estándar.

En un aula existen 45 estudiantes con nota aprobatoria, 20 delos cuales son mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que de 12aprobados, 8 sean varones y 4 mujeres?.

Determine y compare por los métodos binomial y normal.Interprete.

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La probabilidad estudia la verosimilidadrelativa de que determinado suceso ocurra o no,con respecto a otros sucesos…

Se enfoca la probabilidad desde dos perspectivas: el empírico y el teórico

Norman G, Streiner D. Bioestadística. Madrid: Harcourt Brace;1998.

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El método empírico

Es la probabilidad de la sucesión de un evento basada enresultados antiguos , con el supuesto de que las circunstanciasque influyeron en dicho evento permanezcan iguales en eltiempo.

Ejemplo

En base a esto es más probable que (o verosímil) que el paciente tenga una enfermedad común que una rara.

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El método empírico

Probabilidad de supervivencia de un enfermo de cáncer, basado en los porcentajes desupervivencia de pacientes con características semejantes, con el mismo nivel deenfermedad y bajo el mismo tratamiento

1. Carcinoma epidermoide

2. Carcinoma basocelular

3. Carcinoma baso-escamoso

4. Tumor maligno de glándula salival

06 meses03 meses12 meses

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El método teórico

Se basan en la teoría de la probabilidad, cuyo fundamento radica en la posibilidad aleatoriade que ocurran diversos eventos. Se toman en cuenta:

Sucesos incompatibles - sucesos condicionados

Dos sucesos X e Y sonincompatibles si el hecho deque uno ocurra conlleva a laimposibilidad de que sucedael otro

Dos sucesos X e Y estáncondicionados si el hecho deque ocurra Y depende de quelo haya hecho X, o viceversa

Ocurrencia de displasiaectodérmica y piezassuplementarias

Aumento de kilovoltaje en un equipo derayos X y el aumento de la densidad deuna radiografía

Cada uno posee sus propias formas de cálculo

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El método teórico

Si X e Y son sucesos incompatibles, la probabilidad de X o Y es la probabilidadde X más la probabilidad de Y.

A esta relación se le denomina ley de la suma.

Sucesos incompatibles y la ley de la suma

Pr (X o Y) = Pr (X) + Pr (Y)

Siendo Pr: probabilidad

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El método teórico

Si X e Y son sucesos condicionados, la probabilidad de que ambos ocurransimultáneamente es la probabilidad de X por la probabilidad de Y, con elsupuesto de que ya sucedió X.

A esta relación se le denomina ley de la multiplicación

Sucesos condicionados y la ley de la multiplicación

Pr (X e Y) = Pr (X) x Pr (Y/X)

Siendo Y/X : la probabilidad de Y condicionado a X

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El método teórico

Aquellos sucesos que no están condicionado por sucesos anteriores

Sucesos independientes

Pr (al menos 1) = 1 - Pr (ninguno)p = 1 - q

Ley de «al menos uno»

En el que la suma de todos los eventos será 1, es decir al elegir habrá un 100%de probabilidad de que ocurra alguna de las alternativas que se pudo escoger,es decir la probabilidad de 1,0.

La probabilidad de al menos 1, es el complemento de la probabilidad de ningúncaso, o sea:

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Ley de «al menos uno»

Para calcular la probabilidad de que ocurra al menos un suceso, determinaremos en primer lugar la probabilidad de que no ocurra

ningún suceso, para luego restar el resultado de 1.

p: Probabilidad de que una chica te acepte: --q: Probabilidad de que una chica NO te acepte: 99%

Suceso: Aceptación = 1

1 = p + q

p = 1- q

p = 100 % - 99%

p = 1%

Ejemplo

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Distribución binomial

Marque la alternativa correcta.1. Las variables cualitativas indican cualidades no medibles en números…( )2. Las variables continuas permiten datos en decimales… ( )

Si te proyectas en el acto de «champear» (adivinar) las respuestas a dospreguntas , tendrías las siguientes alternativas:

a. VV b. FF c. VF d. FV

La distribución binomial da las probabilidades de diferentesresultados de una serie de sucesos aleatorio, cada uno de los cualespuede tomar solamente uno de los dos valores.

Si aumentamos una pregunta más, habrían seisposibilidades, y si aumentamos otra preguntalas posibilidades se elevan a 24….

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Distribución binomial

La distribución binomial da las probabilidades de diferentes resultados de unaserie de sucesos aleatorios, cada uno de los cuales puede tomar solamenteuno o dos valores.

La distribución binomial nos permite describir y darnos lasposibilidades de sucesos dicotómicos

Del ejemplo anterior, si tuviéramos 15preguntas, las probabilidades deacertar a la respuesta correcta enforma ordenada de V o F llegan a 215

formas distintas

Sin embargo existe un método fácilllamado desarrollo binomial paracalcular esto

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Desarrollo binomial

Definamos términos:

En base a un planteamiento:

Pueden existir perlas de esmalte por cada paciente que revisamos,¿Cuál es la probabilidad de hallar 7 perlas de esmalte en 10 consultasdentales?

n: es el número de intentos (10 en nuestroejemplo)r: es el número de resultados favorables (7en este caso)p: es la probabilidad de que tenga lugar elsuceso que nos interesa en cada intento (ennuestro caso 0,5)q: es (1-p)

𝑛!

𝑟! 𝑛−𝑟 !pr.qn-r

Siendo n!: factorial de n

Es decir n!= n x (n-1)x (n-2)x…x 1

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Desarrollo binomial Pueden existir perlas de esmalte por cada pacienteque revisamos, ¿Cuál es la probabilidad de hallar 7perlas de esmalte en 10 consultas dentales?

𝑛!

𝑟! 𝑛−𝑟 !pr.qn-r 10!

7! 10−7 !0,57.0,510-7

La probabilidad de hallar exactamente 7 perlas deesmalte en 10 consultas esta por debajo del 12% siescogemos los pacientes al azar.

= 0,1172

¿Y la probabilidad de hallar por lo menos 7 perlas deesmalte en 10 consultas dentales? 8 de 10 = 0,0439

9 de 10 = 0,009810 de 10 = 0,0010

Si decimos «por lo menos 7», entonces quiere decirque es válido 8, 9, 10 perlas de esmalte en las 10consultas… necesitamos hallar la probabilidadacumulada de 7,8,9,10

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Sumando los resultados obtenemos 17,09%

Respuestas:Existe 11,72% de posibilidades de hallar 7 perlas deesmalte por cada 10 consultas que realizamos, y laposibilidad de 17% de hallar por lo menos 7 perlas deesmalte en la misma cantidad de consultas.

7 de 10= 0,11728 de 10= 0,04399 de 10= 0,009810 de 10= 0,0010

Desarrollo binomial¿Y la probabilidad de hallar por lo menos 7 perlas deesmalte en 10 consultas dentales?

Ahora, si tomamos en cuenta los antecedentes enrevisiones literarias sobre las perlas de esmalte en lapoblación, alcanzan el 20%, ¿Cuál es la probabilidadde hallar 5 perlas en 15 pacientes?

n: 15 pacientesr: 5 pacientesp: 0,20 (prevalencia)q: es (1-p) = 0,80

𝑛!

𝑟! 𝑛−𝑟 !pr.qn-r

= 0,1032

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Desarrollo binomial

¿Cuál es la probabilidad de hallar 5 perlas en 15pacientes?

n: 15 pacientesr: 5 pacientesp: 0,20 (prevalencia)q: es (1-p) = 0,80

= 0,1032

Rpta: la probabilidad de hallar 5 perlas deesmalte en 15 pacientes es del 10,32%

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Propiedades de la distribución binomial

Las propiedades de unadistribución binomialdependen de n y p (tambiénde q). Entonces:

Media= n.p

Varianza= n.p.q

D.E= 𝑛. 𝑝. 𝑞 Cuando aumentamos el valor de n (muestra )manteniendo el valor de p, una gráfica puedeparecerse más a una distribución normal.

Para n=30, una figura (o curva) es idéntica a lanormal

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Propiedades de la distribución binomial

Si trabajamos con distribuciones binomiales con n igual o mayor que 30, podemosaproximar a una curva normal.

Cuando p=0,5, podemos usar la curva normal partir de n=10, pero cuando p sealeja de 0,5 se parece menos a la curva normal, por lo que debemos usar la curvanormal sólo cuando n es por lo menos 30.

Para distribución normal se trabajan con variables continuas

Para distribución binomial se trabajan con variables discretas

De esto de deduce: Que en realidad el valor discreto 5, abarca los extremos continuos 4,5 -5,5

Teaching point

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Aproximación de la distribución binomial a la normal

Representación de la distribución Binomial de parámetros: B (n;p)

Representación de la distribución Normal de parámetros: N (𝜇; 𝜎)

Cuando “n” es grande, la distribución Binomial resultalaboriosa…Abraham de Moivre (1664-1754) demostró que bajociertas condiciones una distribución Binomial se puedeaproximar a una distribución Normal de media: 𝜇 = n.p ydesviación estándar (típica): 𝜎= 𝑛. 𝑝. 𝑞

𝑛!

𝑟! 𝑛−𝑟 !pr.qn-r

B(n,p) ≅ N(n.p, 𝒏. 𝒑. 𝒒)

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Aproximación de la distribución binomial a la normal

Al observar las gráficas de varias distribuciones binomiales se evidencia que a medida queaumenta el parámetro “n” , su gráfica se asemeja más a la gráfica de una distribución normal:

Una diferencia entre losgráficos de y binomial es quela distribución binomial se vadesplazando a la derecha amedida que aumenta “n”.

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Aproximación de la distribución binomial a la normal

Para evitar esta desviación se corrige o ajustan ambas distribuciones restando a la variable lamedia y dividiéndola por la desviación estándar de la distribución binomial con la que trabaja:

La bondad de aproximación es mejor a medida queaumenta “n” (de preferencia mayor a 30) y cuando psea más próximo a 0,5

Si, n. p. ≥ 5 𝑦 𝑛. 𝑞 ≥ 5, entonces laaproximación es adecuadapermitiéndonos calcularprobabilidades con facilidad

𝑋 =𝑥 − (𝑛. 𝑝)

𝑛. 𝑝. 𝑞

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Aproximación de la distribución binomial

Aplicando a nuestro ejemplo¿Cuál es la probabilidad de hallar 5 perlas de esmalte en 15pacientes? Considerando una prevalencia de 20%.

Z=𝑿 − 𝑿

𝑺

Recordemos que 5 es discreto, pero de modo continuo seríarepresentado por sus extremos: de 4,5 a 5.5

Debemos tipificar cada extremo de acuerdo a la fórmula

Media= n.p

D.E= 𝑛. 𝑝. 𝑞

Z0,45= 1,61

Z5,5= 0,97

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Aproximación de la distribución binomial

De acuerdo a la tabla Z, la diferencia entre ellos es 0,1123, queindica que la probabilidad de hallar 5 perlas de esmalte en 15pacientes es 11% aproximadamente.

Considerando el p=20 y que n era menor a 30, la cifra escercana a la calculada con la distribución binomial: 0,1032.

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Práctica

En un aula existen 45 estudiantes con nota aprobatoria, 23 delos cuales son mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que de 12aprobados, 8 sean varones y 4 mujeres?.

Determine y compare por los métodos binomial y normal.Interprete.