PROFR. MARCO ANTONIO VÁZQUEZ MONTESTUTORIAL PARA RESOLVER PROBLEMAS DE LEY DE COULOMB

Ejemplo No. 1Calcular la fuerza eléctrica entre dos cargas cuyos valores son: q1 = 4 microcoulombs y q2 = 6 microcoulombs, al estar separadas en el vacío por una distancia de 30 cm.

INSTRUCCIONES PARA EL USO DE ESTE TUTORIAL:o DESCÁRGALO EN TU COMPUTADORAo OBSÉRVALO EN EL MODO DE PRESENTACIÓN CON DIAPOSITIVAS Y CON BOTÓN PRIMARIO DEL MOUSE O LAS FLECHAS

DE DIRECCIÓN DEL TECLADO AVANZA EN EL DESARROLLO DE LOS PROBLEMAS.o ANTES DE VER LOS RESULTADOS REALIZA TUS PROPIOS CÁLCULOS Y POSTERIORMENTE COMPRUÉBALOS CON LOS QUE

SE MUESTRAN. ESTO ES IMPORTANTE POR QUE TE PERMITIRÁ SABER SI ESTÁS COMPRENDIENDO EL PROCEDIMIENTO.

SOLUCIÓN: Identificamos los datos, las ecuaciones necesarias, posteriormente se realizan las operaciones y finalmente se escribe el resultado

𝒒𝟏=𝟒𝝁𝑪DATOS

𝒒𝟐=𝟔𝝁𝑪𝒓=𝟑𝟎𝒄𝒎

Estos datos se deben escribir en las mismas unidades de la

constante k

𝒒𝟏=𝟒×𝟏𝟎−𝟔𝑪

𝒓=𝟎 .𝟑𝒎𝒒𝟐=𝟔×𝟏𝟎

−𝟔𝑪

FÓRMULA

SUSTITUCIÓN Y OPERACIONES

Eliminamos las unidades correspondientes

𝒌=𝟗×𝟏𝟎𝟗 𝑵𝒎𝟐

𝑪𝟐

MAGNITUD

2.4 N

EL RESULTADO ES:

Si el resultado es un número positivo la fuerza es de repulsión, si es negativo será de atracción , para este caso es de repulsión

Ejemplo No. 2¿Cuál será la magnitud de la fuerza de repulsión de las cargas anteriores si la distancia entre ellas es de 60 centímetros (el doble de la anterior)?

𝒒𝟏=𝟒𝝁𝑪DATOS

𝒒𝟐=𝟔𝝁𝑪𝒓=𝟔𝟎𝒄𝒎

Estos datos se deben escribir en las mismas unidades de la

constante k

𝒒𝟏=𝟒×𝟏𝟎−𝟔𝑪

𝒓=𝟎 .𝟔𝒎𝒒𝟐=𝟔×𝟏𝟎

−𝟔𝑪

FÓRMULA

SUSTITUCIÓN Y OPERACIONES

Eliminamos las unidades correspondientes

𝒌=𝟗×𝟏𝟎𝟗 𝑵𝒎𝟐

𝑪𝟐

0.6 N

EL RESULTADO ES:

La magnitud de la fuerza ha disminuido a la cuarta parte de la original mostrada en el ejemplo No. 1

Ejemplo No. 3¿Cuál será la magnitud de la fuerza de repulsión de las cargas del ejemplo No. 1 si la distancia entre ellas se reduce a 10 centímetros (la tercera parte de la original)?

𝒒𝟏=𝟒𝝁𝑪DATOS

𝒒𝟐=𝟔𝝁𝑪𝒓=𝟏𝟎𝒄𝒎

Estos datos se deben escribir en las mismas unidades de la

constante k

𝒒𝟏=𝟒×𝟏𝟎−𝟔𝑪

𝒓=𝟎 .𝟏𝒎𝒒𝟐=𝟔×𝟏𝟎

−𝟔𝑪

FÓRMULA

SUSTITUCIÓN Y OPERACIONES

Eliminamos las unidades correspondientes

𝒌=𝟗×𝟏𝟎𝟗 𝑵𝒎𝟐

𝑪𝟐

21.6 N

EL RESULTADO ES:

La magnitud de la fuerza ha aumentado nueve veces mas con respecto a la mostrada en el ejemplo No. 1

Ejemplo No. 4Dos cargas de -10 µC y 6µC están separadas por una distancia de 100 milímetros en el aire. ¿Cuál es la fuerza sobre una tercer carga de 8 µC colocada en el punto medio las dos primeras cargas?

Calculamos ahora las magnitudes de las fuerzas y por medio de la ecuación de la ley Coulomb

La carga ejerce sobre la carga una fuerza de atracción hacia la izquierda

SOLUCIÓN: Cuando se presentan mas de dos cargas, es importante realizar un esquema que nos ayude a plantear mejor el problema. Además, este problema se resuelve por medio de una suma de vectores, por lo tanto se deben dibujar los que actuarán sobre la carga

𝒒𝟏=−𝟏𝟎𝝁𝑪

- + +

𝒒𝟐=𝟔𝝁𝑪𝒒𝟑=𝟖𝝁𝑪

�⃗�𝟏

�⃗�𝟐

La carga ejerce sobre la carga una fuerza de repulsión también hacia la izquierda

𝟓𝟎𝒎𝒎𝟓𝟎𝒎𝒎

PARA LA FUERZA

𝒒𝟏=−𝟏𝟎𝝁𝑪DATOS

𝒒𝟑=𝟖𝝁𝑪𝒓=𝟓𝟎𝒎𝒎

Estos datos se deben escribir en las mismas unidades de la

constante k

𝒒𝟏=−𝟏𝟎×𝟏𝟎−𝟔𝑪

𝒓=𝟎 .𝟎𝟓𝒎𝒒𝟑=𝟖×𝟏𝟎

−𝟔𝑪

FÓRMULA

SUSTITUCIÓN Y OPERACIONES

Eliminamos las unidades correspondientes

𝒌=𝟗×𝟏𝟎𝟗 𝑵𝒎𝟐

𝑪𝟐

- 288 N

EL RESULTADO ES:

Como el resultado es negativo la fuerza entre las cargas es de atracción

PARA LA FUERZA

𝒒𝟐=𝟔𝝁𝑪DATOS

𝒒𝟑=𝟖𝝁𝑪𝑟=50𝑚𝑚

Estos datos se deben escribir en las mismas unidades de la

constante k

𝑞2=6×10−6𝐶

𝑟=0.05𝑚𝑞3=8×10

− 6𝐶

FÓRMULA

SUSTITUCIÓN Y OPERACIONES

Eliminamos las unidades correspondientes

𝒌=𝟗×𝟏𝟎𝟗 𝑵𝒎𝟐

𝑪𝟐

172.8 N

EL RESULTADO ES:

El resultado es positivo (la fuerza entre las cargas es de repulsión)

Como la suma es vectorial, podemos escribir los vectores anteriores utilizando los vectores unitarios i y j . Además podemos observar que el ángulo que forman ambos vectores con el eje x positivo es de 180°

�⃗�𝟏=− (𝟐𝟖𝟖𝑵 )𝒊�⃗�𝟐=− (𝟏𝟕𝟐 .𝟖𝑵 ) 𝒊

El vector resultante será igual a la suma de los vectores anteriores

�⃗� 𝑹=(−𝟐𝟖𝟖𝑵−𝟏𝟕𝟐 .𝟖𝑵 )𝒊�⃗� 𝑹=− (𝟒𝟔𝟎 .𝟖𝑵 ) 𝒊

|�⃗�𝑹|=√ (−𝟒𝟔𝟎 .𝟖𝑵 )𝟐=𝟒𝟔𝟎 .𝟖𝑵

Para calcular la magnitud del vector resultante aplicamos el teorema de pitágoras

Los resultados son:

MAGNITUD

460.8 N

Este resultado indica que el vector está dirigido hacia la parte negativa del eje x

DIRECCIÓNθ = 180°(Horizontal hacia la izquierda)

Los vectores no tienen componentes verticales ( no se ocupa el vector unitario j )

�⃗�𝟏=[ (𝟐𝟖𝟖𝑵 ) (𝒄𝒐𝒔𝟏𝟖𝟎° ) ]𝒊+ [ (𝟐𝟖𝟖𝑵 ) (𝒔𝒆𝒏𝟏𝟖𝟎° ) ] 𝒋�⃗�𝟐=[ (𝟏𝟕𝟐 .𝟖𝑵 ) (𝒄𝒐𝒔𝟏𝟖𝟎 ° ) ] 𝒊+[ (𝟏𝟕𝟐 .𝟖𝑵 ) (𝒔𝒆𝒏𝟏𝟖𝟎° ) ] 𝒋⇒

Ejemplo No. 5Tres cargas cuyos valores son -2 nanocoulombs, 3 nanocoulombs y 8 nanocoulombs se encuentran colocadas como se muestra en la siguiente figura. ¿Cuál es la fuerza resultante sobre la carga generada por las otras dos cargas?

SOLUCIÓN: Realizamos el esquema con los vectores que actúan sobre la carga

𝒒𝟏

𝒒𝟑 𝒒𝟐

-

+

𝒒𝟏

𝒒𝟑 𝒒𝟐+

-

+

5 cm

4 cm

3 cm

36.86°

143.14 °

+

�⃗� 1

�⃗� 2

𝒙

𝒚

Es necesario conocer el valor del ángulo interno del triángulo rectángulo que se forma entre los lados de 5 y 4 cm

𝑡𝑎𝑛𝛼=3𝑐𝑚4 𝑐𝑚

𝑡𝑎𝑛𝛼=0.75𝛼=𝑎𝑛𝑔𝑡𝑎𝑛0.75𝛼=36.86 °

Podemos ahora calcular fácilmente el ÁNGULO POSITIVO que forma el vector CON EL EJE x POSITIVO

𝜽=180 ° −36.86 °𝜽=143.14 °

¿𝜶¿𝜽

El ángulo del vector es

Calculamos ahora las magnitudes de las fuerzas y por medio de la ecuación de la ley Coulomb

PARA LA FUERZA

𝑞1=−2𝑛𝐶DATOS

𝑞2=3𝑛𝐶𝑟=5𝑐𝑚

Estos datos se deben escribir en las mismas unidades de la

constante k

𝑞1=−2×10−9𝐶

𝑟=0.05𝑚𝑞3=3×10

− 9𝐶

FÓRMULA

SUSTITUCIÓN Y OPERACIONES

Eliminamos las unidades correspondientes

𝒌=𝟗×𝟏𝟎𝟗 𝑵𝒎𝟐

𝑪𝟐

- 2.16 × N

EL RESULTADO ES:

Como el resultado es negativo la fuerza entre las cargas es de atracción

PARA LA FUERZA

𝒒𝟐=𝟑𝒏𝑪DATOS

𝒒𝟑=𝟖𝒏𝑪𝑟=4𝑐𝑚

Estos datos se deben escribir en las mismas unidades de la

constante k

𝑞2=3×10−9𝐶

𝑟=0.04𝑚𝑞3=8×10

− 9𝐶

FÓRMULA

SUSTITUCIÓN Y OPERACIONES

Eliminamos las unidades correspondientes

𝒌=𝟗×𝟏𝟎𝟗 𝑵𝒎𝟐

𝑪𝟐

1.35 × N

EL RESULTADO ES:

Como el resultado es positivo la fuerza entre las cargas es de repulsión

Escribimos los vectores anteriores utilizando los vectores unitarios i y j .

El vector resultante será igual a la suma de los vectores obtenidos

�⃗� 𝑹=(−𝟏 .𝟕𝟐×𝟏𝟎−𝟓𝑵+1.35  ×𝟏𝟎−𝟒𝑵 ) 𝒊+(𝟏.𝟐𝟗×𝟏𝟎−𝟓𝑵 ) 𝒋�⃗� 𝑹=(𝟏 .𝟏𝟕𝟖×𝟏𝟎−𝟒𝑵 ) 𝒊+ (𝟏 .𝟐𝟗×𝟏𝟎−𝟓𝑵 ) 𝒋

Para calcular la magnitud del vector resultante aplicamos el teorema de pitágoras

Los resultados son:

MAGNITUD

Por los resultados de las componentes (AMBOS POSITIVOS) podemos inferir que el vector se encuentra en el primer cuadrante del plano cartesiano

DIRECCIÓNθ = 6.24°(en el primer cuadrante)

�⃗�𝟏=[ (𝟐 .𝟏𝟔×𝟏𝟎−𝟓𝑵 ) (𝒄𝒐𝒔𝟏𝟒𝟑 .𝟏𝟒° ) ] 𝒊+[ (𝟐 .𝟏𝟔×𝟏𝟎−𝟓𝑵 ) (𝒔𝒆𝒏𝟏𝟒𝟑 .𝟏𝟒° ) ] 𝒋�⃗�𝟐=[ (1.35  ×𝟏𝟎−𝟒  N ) (𝒄𝒐𝒔𝟎 ° ) ] 𝒊+[ (1.35  ×𝟏𝟎−𝟒  N ) (𝒔𝒆𝒏𝟎 ° ) ] 𝒋

Por lo tanto se escribirán como se muestra a continuación

�⃗�𝟏=− (𝟏 .𝟕𝟐×𝟏𝟎−𝟓𝑵 ) 𝒊+(𝟏 .𝟐𝟗×𝟏𝟎−𝟓𝑵 ) 𝒋�⃗�𝟐=(1.35  ×𝟏𝟎−𝟒  N ) 𝒊

|𝐹 𝑅|=√ (𝟏 .𝟏𝟕𝟖×𝟏𝟎−𝟒𝑵 )2+(𝟏 .𝟐𝟗×𝟏𝟎−𝟓𝑵 )2

|𝐹 𝑅|=𝟏 .𝟏𝟖×𝟏𝟎−𝟒𝑵La dirección del vector resultante se obtiene por medio de la función tangente aplicada a sus componentes

tan θ= 𝟏 .𝟐𝟗×𝟏𝟎−𝟓𝑵𝟏 .𝟏𝟕𝟖×𝟏𝟎−𝟒𝑵

𝐭𝐚𝐧 𝜽=𝟎 .𝟏𝟎𝟗𝟓

𝛉=𝟔 .𝟐𝟒°

Eliminamos las unidades

El resultado negativo de la magnitud nos permitió saber que era una fuerza de atracción. Sin embargo, para descomponer al vector siempre se considera la magnitud positiva

Al multiplicar por el coseno y el seno del ángulo SI podemos obtener valores negativos, que nos indican hacia que lado del eje x o y actúa la componente calculada

Ejemplo No. 6Calcula la fuerza sobre la carga que se muestra a continuación

- +

+ -

𝒒𝟏=−𝟒𝝁𝑪 𝒒𝟐=𝟑𝝁𝑪

𝒒𝟑=−𝟑𝝁𝑪𝒒𝟒=𝟖𝝁𝑪

60 cm60 cm

80 cm

80 cm

SOLUCIÓN: Realizamos el esquema con los vectores que actúan sobre la carga ,sobre ella actúan dos fuerzas de atracción y una repulsión como se nuestra en la animación

-

+ -

𝒒𝟏

𝒒𝟐

𝒒𝟑𝒒𝟒

60 cm

80 cm

+ Es evidente que necesitamos conocer la longitud de la diagonal que une a con aplicando el teorema de Pitágoras

�⃗�𝟏 �⃗�𝟐

�⃗�𝟑

𝑑𝑞 4𝑞2=√ (80𝑐𝑚 )2+ (60𝑐𝑚 )2

𝑑𝑞4𝑞2=100𝑐𝑚

100 cm

Ahora calculamos la magnitud de las tres fuerzas sobre

𝑭𝟏=−𝟎 .𝟏𝟔𝟖𝟕𝑵

𝑭𝟏=𝟎 .𝟐𝟏𝟔𝑵

𝑭𝟑=−𝟎 .𝟐𝟐𝟓𝑵

Escribimos los vectores anteriores utilizando los vectores unitarios i y j . Recordemos que en este paso las magnitudes se consideran positivas, las componentes si pueden tener valores negativos.

�⃗�𝟏=[ (𝟎 .𝟏𝟔𝟕𝟖𝑵 ) (𝒄𝒐𝒔𝟏𝟖𝟎° ) ]𝒊+ [ (𝟎 .𝟏𝟔𝟕𝟖𝑵 ) (𝒔𝒆𝒏𝟏𝟖𝟎° ) ] 𝒋

�⃗�𝟏

�⃗�𝟐

�⃗�𝟑

También necesitamos conocer los ángulos y

𝜶

𝜷

𝒕𝒂𝒏𝜶=𝟎 .𝟕𝟓 𝜶=𝟑𝟔 .𝟖𝟔° 𝒕𝒂𝒏 𝜷=𝟏 .𝟑𝟑 𝜷=𝟓𝟑 .𝟎𝟔°

Ubicamos ahora los ángulos en posición normal de cada uno de los vectores

𝟐𝟕𝟎°𝟏𝟖𝟎° 𝟑𝟔 .𝟖𝟔°

�⃗�𝟏=(−𝟎 .𝟏𝟔𝟕𝟖𝑵 )𝒊�⃗�𝟐=[ (𝟎 .𝟐𝟏𝟔𝑵 ) (𝒄𝒐𝒔𝟑𝟔 .𝟖𝟔° ) ]𝒊+ [ (𝟎 .𝟐𝟏𝟔𝑵 ) (𝒔𝒆𝒏𝟑𝟔 .𝟖𝟔° ) ] 𝒋�⃗�𝟐=(𝟎 .𝟏𝟕𝟐𝑵 ) 𝒊+(𝟎 .𝟏𝟐𝟗𝑵 ) 𝒋�⃗�𝟑=[ (𝟎 .𝟐𝟐𝟓𝑵 ) (𝒄𝒐𝒔𝟐𝟕𝟎° ) ] 𝒊+[ (𝟎 .𝟐𝟐𝟓𝑵 ) (𝒔𝒆𝒏𝟐𝟕𝟎° ) ] 𝒋�⃗�𝟑=− (𝟎 .𝟐𝟐𝟓𝑵 ) 𝒋Obtenemos el vector resultante

�⃗� 𝑹=(−𝟎 .𝟏𝟔𝟕𝟖+𝟎 .𝟏𝟕𝟐𝑵 ) 𝒊+(𝟎 .𝟏𝟐𝟗𝑵 −𝟎.𝟐𝟐𝟓𝑵 ) 𝒋�⃗� 𝑹=(𝟎 .𝟎𝟎𝟒𝟐𝑵 ) 𝒊− (𝟎 .𝟎𝟗𝟔𝑵 ) 𝒋

Calculamos su magnitud

|�⃗�𝑹|=√ (𝟎.𝟎𝟎𝟒𝟐𝑵 )𝟐+(−𝟎 .𝟎𝟗𝟔𝑵 )𝟐 |�⃗�𝑹|=𝟎 .𝟎𝟗𝟔𝟎𝟗𝑵

Para calcular el ángulo de dirección observamos que el vector se encuentra en el cuarto cuadrante y es casi vertical

𝟎 .𝟎𝟎𝟒𝟐

−𝟎 .𝟎𝟗𝟔

𝜽𝒕𝒂𝒏𝜽=

−𝟎 .𝟎𝟗𝟔𝑵𝟎 .𝟎𝟎𝟒𝟐𝑵 𝜽=−𝟖𝟕 .𝟒𝟗°

Expresamos el ángulo en posición normal

𝜽=𝟑𝟔𝟎° −𝟖𝟕 .𝟒𝟗° 𝜽=𝟐𝟕𝟐 .𝟓𝟏°

𝟐𝟕𝟐 .𝟓𝟏°=¿

Estos son los resultados que buscamos

𝒒𝟏=−𝟒𝒏𝑪

𝒒𝟑=𝟑𝒏𝑪 𝒒𝟐=𝟖𝒏𝑪+

-

+

50 cm

40 cm

30 cm

𝒒𝟏=−𝟒𝝁𝑪

𝒒𝟑=𝟑𝝁𝑪

P

-

+

40 cm

40 cm

40 cm

𝒒𝟏=𝟔𝝁𝑪

𝒒𝟐=−𝟒𝝁𝑪- +1.73 m

1 m1 m120°

+

𝒒𝟑=𝟑𝝁𝑪

𝒒𝟑=−𝟑𝒏𝑪 𝒒𝟐=𝟔𝒏𝑪++

1 m

1.5 m

P