Sequências Sequências ou ou

sucessõessucessões

Uma sequência ,ou sucessão , é um Uma sequência ,ou sucessão , é um conjunto de objetos de qualquer conjunto de objetos de qualquer natureza organizados ou escritos numa natureza organizados ou escritos numa ordem bem definida.ordem bem definida.

Por exemplo, a sequência formada Por exemplo, a sequência formada pelos números ímpares:pelos números ímpares:

(1;3;5;7;9;....)(1;3;5;7;9;....)

Ou a sequência formada pelos dia da Ou a sequência formada pelos dia da semana:semana:

(domingo; segunda-feira, terça-feira, (domingo; segunda-feira, terça-feira, quarta- feira,quinta-feira, sexta-feira, quarta- feira,quinta-feira, sexta-feira, sábado)sábado)

Uma sequência pode ser classificada Uma sequência pode ser classificada como como finitafinita..

Por exemplo, podemos falar na Por exemplo, podemos falar na sequência dos meses do ano:sequência dos meses do ano:

(Janeiro, fevereiro,março..., (Janeiro, fevereiro,março..., dezembro)dezembro)

EE infinita,,

Por exemplo a sequência dos Por exemplo a sequência dos números pares escritos em ordem números pares escritos em ordem crescente:crescente:

(2,4,6,8,10,12....)(2,4,6,8,10,12....)

Para representar uma sequência, Para representar uma sequência, escrevemos seus elementos, ou escrevemos seus elementos, ou termos , entre parênteses. Por termos , entre parênteses. Por exemplo, para representar a exemplo, para representar a sequência dos números pares, sequência dos números pares, fazemos assim:fazemos assim:

(2,4,6,8,10,12,14,...)(2,4,6,8,10,12,14,...)

É importante destacar que , ao É importante destacar que , ao contrário do que ocorre num contrário do que ocorre num conjunto, qualquer alteração na ordem conjunto, qualquer alteração na ordem dos elementos de uma sequência dos elementos de uma sequência altera a própria sequência.altera a própria sequência.

Por exemplo:Por exemplo:

{2,4,6,8}={4,2,8,6}{2,4,6,8}={4,2,8,6}

MasMas

(2;4;6;8)≠(4;2;8;6)(2;4;6;8)≠(4;2;8;6)

Uma sequência genérica pode ser Uma sequência genérica pode ser representada por:representada por:

(a; a; a; a;...;a;...)(a; a; a; a;...;a;...) 1 2 3 4 n1 2 3 4 n

NoteNote que os índices associados à que os índices associados à letra letra aa indicam as posições dos indicam as posições dos termos na sequencia, isto é, termos na sequencia, isto é,

a - a - representa o 1° termorepresenta o 1° termo 11

aa - - representa o 2° termorepresenta o 2° termo 22

.. ..

..

a - a - representa o n-ésimo termorepresenta o n-ésimo termo nn

Por exemplo, na sequênciaPor exemplo, na sequência

(1;4;9;16;25;36;...)(1;4;9;16;25;36;...)

a a = 1,= 1, a = a = 4,4, a a = = 9, a 9, a = 16 e assim = 16 e assim porpor

1 2 3 41 2 3 4

diante.diante.

Três termos consecutivos de uma Três termos consecutivos de uma sequência qualquer podem ser sequência qualquer podem ser representados porrepresentados por

a ; a ; a a ; a ; a n-1 n-1 n n n+1n+1

Dizemos também que:Dizemos também que:

a a é o antecessor deé o antecessor de a a n-1n-1 nn

a a é o sucessor deé o sucessor de a a n+1n+1 n n

Assim, na sequência Assim, na sequência (1;4;9;16;25;36;...)(1;4;9;16;25;36;...) 9 é o 9 é o antecessorantecessor de 16 e 25 é o de 16 e 25 é o

sucessor sucessor de 16.de 16. Determinação de uma sucessão:Determinação de uma sucessão:

As sucessões são dadas, em sua As sucessões são dadas, em sua maioria, por meio de uma regra maioria, por meio de uma regra chamada chamada lei delei de formaçãoformação e que nos e que nos permite calcular qualquer termo da permite calcular qualquer termo da sucessão.sucessão.

Exemplos:Exemplos:

Escrever a sucessão em que Escrever a sucessão em que a = 2.n a = 2.n ee

nn

n n ЄЄ {1,2,3,4} {1,2,3,4}

Solução:Solução:

aa= 2.1= 2.1 =2;=2;aa= 2.2=4;= 2.2=4;aa== 2.3=6;2.3=6;aa= = 2.4= 82.4= 8

1 2 3 41 2 3 4

A sucessão procurada é:A sucessão procurada é:

( 2;4;6;8)( 2;4;6;8)

Progressões aritméticas:Progressões aritméticas:

Chama-se progressão aritmética (P.A) Chama-se progressão aritmética (P.A) toda sequência numérica em que toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é cada termo, a partir do segundo, é igual à soma de seu antecessor com igual à soma de seu antecessor com um número constante r.um número constante r.

a = a + r (n ≥ 2)a = a + r (n ≥ 2) n n-1n n-1

A constante r é a razão da P.AA constante r é a razão da P.A

Vejamos estes exemplos:Vejamos estes exemplos:

a) (2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18;...) P.A de razão 4a) (2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18;...) P.A de razão 4 +4 +4 +4 +4+4 +4 +4 +4

b) (5 ; 2 ; -1 ; -4 ; -7 ; ...) P.A de razão -3b) (5 ; 2 ; -1 ; -4 ; -7 ; ...) P.A de razão -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3

c) (6 ; 6; 6; 6; 6; 6 ;...) P.A de razão 0 c) (6 ; 6; 6; 6; 6; 6 ;...) P.A de razão 0

Observações!!!!Observações!!!!

Uma p.a pode ser definida como Uma p.a pode ser definida como uma sequência em que a diferença uma sequência em que a diferença entre cada termo e seu antecessor é entre cada termo e seu antecessor é constante. Isto é,constante. Isto é,

a = a + r a – a = r (n ≥ 2)a = a + r a – a = r (n ≥ 2) n n-1 n n-1n n-1 n n-1

Por exemplo, na p.aPor exemplo, na p.a

(2; 9; 16; 23; 30...) de razão 7 (2; 9; 16; 23; 30...) de razão 7 tem-se:tem-se:

a a -- a a = 9 - 2= 9 - 2 a a –– a a = 7= 7 2 1 2 12 1 2 1

a a -- a a = 16 - 9= 16 - 9 a a –– a a = 7= 7 3 2 3 23 2 3 2

a a -- a a = 23 -19= 23 -19 a a –– a a = 7= 7 4 3 4 34 3 4 3

Uma p.a de razão r é dita:Uma p.a de razão r é dita:

Crescente , se r › 0Crescente , se r › 0

ex.: ex.: (2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18;...) (2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18;...)

p.a de razão 4p.a de razão 4 Decrescente, se r‹0Decrescente, se r‹0

ex.: (5 ; 2 ; -1 ; -4 ; -7 ; ...) ex.: (5 ; 2 ; -1 ; -4 ; -7 ; ...)

p.a de razão -3p.a de razão -3

Constante, se r=0Constante, se r=0

ex.: (6 ; 6; 6; 6; 6; 6 ;...)ex.: (6 ; 6; 6; 6; 6; 6 ;...)

Termo geral de uma p.aTermo geral de uma p.a O termo geral de uma p.a é dado pela O termo geral de uma p.a é dado pela

fórmula:fórmula:

a = a + (n-1) . ra = a + (n-1) . r n 1n 1

Sua tradução para a linguagem Sua tradução para a linguagem comum é a seguinte:comum é a seguinte:

“ “ Para obter o enésimo termo de uma Para obter o enésimo termo de uma p.a, basta somar n-1 vezes à razão p.a, basta somar n-1 vezes à razão ao primeiro termo. “ ao primeiro termo. “

Por exemplo, para determinar o 10° termo Por exemplo, para determinar o 10° termo de uma p.a basta somar 9 vezes a razão de uma p.a basta somar 9 vezes a razão ao 1° termo. Logo, na p.a,ao 1° termo. Logo, na p.a,

(1;4;7;10;13;16;19;...) p.a de razão 3(1;4;7;10;13;16;19;...) p.a de razão 3

Temos:Temos:

a a == a + 9r a a + 9r a == 1 + 9. 31 + 9. 3 .: a .: a=28=28 10 1 10 1010 1 10 10

Da mesma forma que ,Da mesma forma que ,

a a == a +50r a a +50r a = 1 + 50.3 .:= 1 + 50.3 .: a a= 151= 151 51 1 51 5151 1 51 51

Termos equidistantes de uma Termos equidistantes de uma p.ap.a

Numa sequência finita o primeiro e o Numa sequência finita o primeiro e o último termo são chamados último termo são chamados extremos.Por exemplo,1 e 15 são os extremos.Por exemplo,1 e 15 são os extremos da p.a,extremos da p.a,

(1;3;5;7;9;11;13;15)(1;3;5;7;9;11;13;15)

Dizemos que dois termos são de Dizemos que dois termos são de uma sequência são equidistantes dos uma sequência são equidistantes dos extremos se o número de termos que extremos se o número de termos que antecede um é igual ao número de antecede um é igual ao número de termos que sucedem o outro.termos que sucedem o outro.

Então , na p.a do exemplo dado, temos:Então , na p.a do exemplo dado, temos: (1;3;5;7;9;11;13;15)(1;3;5;7;9;11;13;15)

Onde os pares de termos 3 e 13, 5 e 11, Onde os pares de termos 3 e 13, 5 e 11, 7 e 9 são equidistantes dos extremos.7 e 9 são equidistantes dos extremos. Propriedade:Propriedade:

Numa p.a finita, a soma de quaisquer

dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.

Utilizando ainda o exemplo dado temos :Utilizando ainda o exemplo dado temos :

(1;3;5;7;9;11;13;15)(1;3;5;7;9;11;13;15)

Onde:Onde:

1 e 15 são os extremos, sua soma é 1 e 15 são os extremos, sua soma é dada por: 1+15= 16. A partir daí dada por: 1+15= 16. A partir daí temos,temos,

3 e 13 , 5 e 11 ,7 e 9 são termos 3 e 13 , 5 e 11 ,7 e 9 são termos equidistantes desta p.a.Sua soma é equidistantes desta p.a.Sua soma é dada por:dada por:

3+13 = 5+11 = 7+9 = 1+15 =16.3+13 = 5+11 = 7+9 = 1+15 =16.

Soma dos termos de uma p.a Soma dos termos de uma p.a finitafinita

A soma dos n primeiros termos de A soma dos n primeiros termos de uma p.a finita é dada pela fórmula:uma p.a finita é dada pela fórmula:

s = (a + a). ns = (a + a). n n 1 nn 1 n

22

Por exemplo:Por exemplo:

Calcular a soma dos 15 primeiros Calcular a soma dos 15 primeiros termos de uma p.a onde, termos de uma p.a onde, a a = 12 e= 12 e r r= = 33

11

Solução:Solução:

Antes de calcular a soma temos de Antes de calcular a soma temos de acharachar

a a .. 1515

aa = 12 + 14.3 .: = 12 + 14.3 .: aa =56 =56 15 1515 15

Daí a soma dos 15 termos da p.a éDaí a soma dos 15 termos da p.a é s = (12 + 56) . 15 /2 .: = (12 + 56) . 15 /2 .: ss =510 =510

15 15 1515

Exercícios:Exercícios:

1-Determine o 21°, 73° e 139° termos 1-Determine o 21°, 73° e 139° termos da p.a (-17,-11;-5;...)da p.a (-17,-11;-5;...)

2-calcule o primeiro termo de uma p.a , 2-calcule o primeiro termo de uma p.a , nos seguintes casos:nos seguintes casos:

a) a= 92 e r=3 b) a= 81 e r = -4a) a= 92 e r=3 b) a= 81 e r = -4 34 8134 81

3-Quantos termos possui a seguinte p.a?3-Quantos termos possui a seguinte p.a? (-19;-15;...;205)(-19;-15;...;205)

4- Seja uma p.a em que a =-10 e r = 4- Seja uma p.a em que a =-10 e r = 5.5.

11

Calcule s e s.Calcule s e s. 10 2010 20

5-Calcule a soma dos 30 primeiros 5-Calcule a soma dos 30 primeiros termos da p.a: (52;48;44;...)termos da p.a: (52;48;44;...)

Bibliografia:Bibliografia:

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