propiedades, límites y continuidad [teoria y ejercicos resueltos]

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http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS

UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL

JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA

FUNCIONES VECTORIALES, CURVAS EN 3R LÍMITES Y CONTINUIDAD

Las ecuaciones paramétricas al considerar una partícula que se mueve en un plano de modo que las coordenadas ( ),x y de su posición en cualquier instante t están determinadas por las

ecuaciones ( )=x f t y ( )=y g t y en el espacio tridimensional, con las coordenadas ( ), ,x y z de

la posición de la partícula en cualquier tiempo t están dadas por las tres ecuaciones paramétricas

( ) ( ) ( )= = =x f t y g t z h t a ≤ t ≤ b esto significa que para cualquier tiempo t, podemos

localizar la posición ( ), ,x y z de la partícula.

Una manera adecuada para describir el movimiento de esta partícula es mediante el vector

posición, esto es ( ) ( ) ( ) ( )= + + ˆˆ ˆR t f t i g t j h t k

Donde ( ) ( ) ( ), ,f t g t h t se llaman las funciones de los componentes. FUNCIÓN VECTORIAL: Una función cuyo dominio es un conjunto de números reales tal que su rango (contradomino) es un conjunto de vectores en .nℜ : nr D ⊆ℜ→ℜ El dominio de una función vectorial es el conjunto de t, para que todos los componentes de las funciones estén definidos. ( )t r t→

Es decir, para cada número t de D, ( )r t ) es un único vector de nℜ que lo podemos escribir

( )1 2( ) ( ) , ( ), , ( )).nr t f t f t f t= … por esta razón, es habitual que la función r se denote

( )1, , ,nr f f= … donde las funciones reales ¡f son llamadas funciones componentes de r .

Sean ,f g y h funciones reales de la variable real t . Entonces se define la función vectorial en el

espacio R por medio de: ( ) ( ) ( ) ( )= + + ˆˆ ˆR t f t i g t j h t k o ( ) ( ) ( ) ( )= , ,R t f t g t h t donde t es

cualquier número real del dominio común ,f g y h . En el plano, se define una función vectorial R mediante ( ) ( ) ( )= +ˆ ˆR t f t i g t j donde t pertenece al dominio común de f y g .

EJEMPLO. Determine el dominio de la siguiente función. ( ) = − +cos ,ln(4 ), 1)R t t t t

El primer componente se define para todos "t”. El segundo componente sólo está definido para <4t . El tercer componente sólo está definido para ≥ −1t . Poniendo todos estos juntos le da el

dominio siguiente. [ )−1,4 . Este es el mayor intervalo posible para que los tres componentes se definan. Ejemplo Sea R la función vectorial definida por: ( ) ( )−= − + − +1 ˆˆ ˆ2 3 (ln )R t t i t j t k

Si ( ) ( ) ( )−= − = − 12, 3f t t g t t y ( ) = lnh t t , entonces el dominio de R es el conjunto de

valores de t para los cuales ( ) ( ),f t g t y ( )h t están definidas. Como ( )f t está definida para

( )≥2,t g t está definida para todo número real diferente de 3, y ( )h t está definida para todos

los números positivos, el dominio de R es { }≥ ≠2, 3t t t .

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La ecuación: ( ) ( ) ( ) ( )= + + ˆˆ ˆR t f t i g t j h t k se denomina ecuación vectorial la cual describe la

curva C definida por las correspondientes ecuaciones paramétricas esto es, una curva puede definirse por medio de una ecuación vectorial o por un conjunto de ecuaciones paramétricas. GRÁFICA DE FUNCIONES VECTORIALES

Recordemos que un vector de posición, por ejemplo = , ,V a b c . Es un vector que comienza en el

origen y termina en el punto ( , , )a b c y además que cualquier función vectorial se puede dividir en

un conjunto de ecuaciones paramétricas que representan el mismo gráfico.

EJEMPLO. Grafique la curva plana definida por la ecuación vectorial ( ) ( ) ( )= − + +2 2ˆ ˆ4 4R t t i t t j

Se define sus ecuaciones paramétricas = − 24x t y = +2 4y t t Y ahora utilizamos software matemáticos para representarlos.

Nota: Revisar guía de gráficas de ecuaciones paramétricas con derive 6.0. EJEMPLO 4. Trazar la gráfica de la función vectorial siguiente ( ) ( ) ( )= +ˆ ˆ6cos 3R t t i sent j Se define sus ecuaciones paramétricas = =6cos ; 3x t y sent . Y ahora graficamos.

EJEMPLO. Trazar la gráfica de la función vectorial ( ) ( ) ( )= + + ≥ˆˆ ˆ2cos 2 3 ; 0R t t i sent j k t

Las ecuaciones paramétricas de la curva son = = =2cos ; 2 ; 3x t y sent z

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Los puntos de la curva están situados en el cilindro + =2 2 4x y , el valor constante = 3z hace que

la curva este situada 3 unidades arriaba del plano xy .

Una ecuación vectorial de una curva proporciona una dirección a la curva en cada punto. Esto es, si se piensa que la curva es descrita por una partícula, se puede considerar la dirección positiva a lo largo de la curva como la dirección en la que la partícula se mueve a medida que el parámetro t aumenta. En tal caso, t puede ser una medida del tiempo, de modo que al vector ( )R t se le

llama vector de posición.

EJEMPLO. Dibuje la curva que tiene la ecuación vectorial ( ) π= + + ≤ ≤ˆˆ ˆ2cos 2 ; 0 4R t ti sentj tk t

Las ecuaciones paramétricas de la curva son = = =2cos 2x t y sent z t El parámetro t de las dos primeras ecuaciones se elimina al elevar al cuadrado los dos miembros de estas ecuaciones y sumar los miembros correspondientes, obteniéndose.

+ = + ⇒ + =2 2 2 2 2 24cos 4 4x y t sen t x y

Por tanto, la curva está completamente contenida en el cilindro circular recto cuya directriz es la

circunferencia + =2 2 4x y del plano xy y cuyas regladuras (o posiciones de su generatriz) son paralelas al eje.

La curva se denomina hélice circular.

Una hélice más general tiene la ecuación vectorial ( ) = + + ˆˆ ˆcosR t a ti bsentj ctk y ecuaciones

paramétricas = = =cosx a t y bsent z ct donde ,a b y c con constantes diferentes de cero. Cuando =a b , la curva es una hélice circular. Una curva que tiene la ecuación vectorial

( ) = + +2 3 ˆˆ ˆR t ati bt j ct k donde ,a b y c son constantes diferentes de cero, se denomina cúbica

alabeada. Para graficar la mayoría de las curvas tridimensionales pueden recurrirse a las computadoras y programas (o software para graficar) para trazar estas curvas.

OPERACIONES CON FUNCIONES VECTORIALES Dadas las funciones vectoriales F y G y las funciones reales f y g :

(i) La suma de F y G denotada por +F G , es la función vectorial definida por

( )( ) ( ) ( )+ = +F G t F t G t

(ii) La diferencia de F y G , denotada por −F G , es la función vectorial definida por

( )( ) ( ) ( )− = −F G t F t G t

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(iii) El producto punto de F y G , denotado por iF G , es la función vectorial definida por

( )( ) ( ) ( )=i iF G t F t G t

(iv) El producto cruz deF y G , denotado por ×F G , es la función vectorial definida por

( )( ) ( ) ( )× = ×F G t F t G t

(v) El producto de ( )f t por ( )F t ; denotado por fF , es la función vectorial definida por

( )( ) ( ) ( )=fF t f t F t

(vi) La función compuesta de F y g , denota por F G , es la función vectorial definida por

( )( ) ( )( )=F G t F g t

EJEMPLO. Dada ( ) ( )= + + = − + +ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 cos2 , cos2 2F t sen ti tj tk G t ti sen tj tk y ( ) =32f t t

Calcule:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )+ − ×i) ; ) ; ) ; ) ; ) ; )a F G t b F G t c F G t d F G t e fF t f G f t

a) ( )( ) ( ) ( )+ = − + + + ˆˆ ˆ2 cos2 cos2 2 2F G t sen t t i t sen t j tk

b) ( )( ) ( ) ( )− = + + −ˆ ˆ2 cos2 cos2 2F G t sen t t i t sen t j

c) ( )( ) = − + + =i 22 cos2 2 cos2F G t sen t t sen t t t t (porque ≥0t )

d) ( )( )

( ) ( )

× = − + + − − =

= − − + +

2 2ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos2 cos2 2 cos 2 2 2

ˆˆ ˆcos2 2 cos2 2

F G t t ti t tj sen tk tk tsen ti tsen tj

t t sen t i t t sen t j k

e) ( )( ) = + +3 3

22 2 ˆˆ ˆ2 cos2fF t t sen ti t tj t k

f) ( )( ) ( )( )= = − + +3 3 32 2 4 ˆˆ ˆcos2 2G f t G f t t i sen t j t k

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

Sea R una función vectorial cuyos valores de función están dados por:

( ) ( ) ( ) ( )= + + ˆˆ ˆR t f t i g t j h t k

Entonces el límite de ( )R t cuando r tiende a a está definido por:

( ) ( ) ( ) ( )→ → → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ˆˆ ˆ

t a t a t a t aLimR t Lim f t i Limg t j Limh t k

si ( ) ( )→ →

,t a t aLim f t Limg t y ( )

→t aLimh t existen.

Por supuesto, esta definición también se aplica a las funciones vectoriales del plano al considerar la componente k como cero.

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EJEMPLO. Si ( ) ( ) ( ) ( ) ( )→ → → →= + + = + + = + +

0 0 0 0ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆcos 2 3 , cos 2 3 2 3t t

t t t tR t ti e j k LimR t Lim t i Lim e j Lim k i j k

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )→ → →

= + + = = =1 2 3ˆˆ ˆ , , ,

t a t a t aR t f t i g t j h t k Lim f t a Limg t a Limh t a y = + +1 2 3

ˆˆ ˆL a i a j a k .

La función vectorial R define la curva C , la cual contiene a los puntos ( ) ( ) ( )( ), ,Q f t g t h t y

( )1 2 3, ,P a a a . Las representaciones de los vectores R y L son, respectivamente, 0Q y 0P .

Conforme t se aproxima a ( ),a R t tiende a L , de modo que el punto Q se aproxima al punto P

a lo largo de C . CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

La función vectorial R es continua en el número a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:

i. ( )R a existe;

ii. ( )→t aLimR t existe;

iii. ( ) ( )→

=t aLimR t R a

De esta definición, una función vectorial es continua en el número a si y sólo si sus componentes reales son continuas en a . EJEMPLO. Determine los números en los que la siguiente función vectorial es continua:

( ) −= + +

−

2 1 ˆˆ ˆln1

tR t senti tj k

t

Puesto que t está definido para todos los números reales, lnt está definida sólo cuando >0t , y

( )( )

−

−

2 1

1

t

t está definida en todo número real distinto de 1, el dominio de R es { }> ≠0 1t t yt . Si

a es cualquier número del dominio de R , entonces: ( ) ( )= + + + ˆˆ ˆln 1R a senai aj a k

( ) ( )→ → → →

−= + + = + + +

−

2 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆln ln 11t a t a t a t a

tLimR t Limsenti Lim tj Lim k senai aj a k

t

Así ( ) ( )→

= ˆt aLimR t R a , y R es continua en a .

Por tanto, la función vectorial R es continua en cada número de su dominio. EJERCICIOS RESUELTOS Determine el dominio de las funciones vectoriales dadas

( ) 1 ˆ ˆ1) R 4t i t jt

= + −

{ } { } ( ) ](1 1ˆ ˆDom 4 Dom Dom 4 0 4 ,0 0, 4i t j t t tt t

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − = ∩ − = ≠ ∩ ≤ = −∞ ∪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

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( ) ( )2 1ˆ ˆ2) R 31

t t i jt

= + +−

( ) ( ) ( ) ( ) ]{ { }1 12 2ˆ ˆDom 3 1 Dom 3 Dom 1 1 1t i t j t t R t t− −⎡ ⎤+ + − = + ∩ − = ∩ ≠ = ≠⎣ ⎦ ( ) ( ) ( )1 ˆ ˆ3) R s n ln 1t e t i t j−= + −

( ) ( ) ( ) [ ] }{ ( ]1 1ˆ ˆDom ln 1 Dom Dom ln 1 1,1 1 1,1sen ti t j sen t t t− −⎡ ⎤+ + = ∩ + = − ∩ > − = −⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦

( ) ( )1 1ˆ ˆ4) ( ) cos secR t t i t j− −= +

Como: ( ) [ ]1cos 1,1Dom t− = − y ( ) ] )(1sec , 1 1,Dom t− = −∞ − ∪ +∞⎡⎣

( )Dom R⇒ Consiste en los dos números 1− y 1.

( ) ˆˆ ˆ5) R 2 4 cot t t i t j tk= + + − +

[ ) ( ] { } [ ) ( ) ( ]ˆˆ ˆDom 2 4 cot 2, ,4 2,0 0, ,4t i t j tk t kx π π⎡ ⎤+ + − + = − +∞ ∩ −∞ ∩ ≠ = − ∪ ∪⎣ ⎦

( ) ( )2 2 ˆˆ ˆ6) R 9 ln 3 2 8t t i t j t t k= − + − + + −

[ ] ( ) ( ]{ [ ) { }

( ] ( )

2 2 ˆˆ ˆDom 9 ln 3 2 8 , 3 3, 3

, 3 3,

t i t j t t k t R⎡ ⎤+ + − + + − = −∞ − ∪ +∞ ∩ ≠ ∩ =⎣ ⎦= −∞ − ∪ +∞

( ) 2 ˆˆ ˆ7) R ln 16 ln 4t sent i t j t k= + − + +

{ } ] { }{( ) ( ) ( ) ( ]

2 ˆˆ ˆDom ln 16 ln 4 4, 4 4

4, ,0 0, , 4

sent i t j t k t kx t

π π π π

⎡ ⎤+ − + + = ≠ ∩ − ∩ ≠ − =⎣ ⎦= − − ∪ − ∪ ∪

( ) 2 1 ˆˆ ˆ8) R tan 42

t ti t j kt

= + − ++

( ) 1tan2

Dom t t k π⎧ ⎫⎛ ⎞= ≠ +⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

Donde k es cualquier entero ( ) [ ]24 2,2Dom t− = − y

( )1 22

Dom tt

⎛ ⎞ = ≠ −⎜ ⎟+⎝ ⎠ porque ( )1 1 1 1 11.57 2, , ,2

2 2 2 2 2Dom Rπ π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎤≈ ⇒ = − − ∪ − ∪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎦

( ) ( ) ˆ ˆ9) ln 1 20R t t i t j= − + −

El domino de ( ) ( )ln 1f t t= − es ( )1,∞ . El dominio de ( ) 20g t t= − es ( ], 20−∞ . Por lo

tanto, el dominio de r es ( ]1,20 o { }:1 20t t∈ < ≤ .

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( ) ( )1 1 ˆˆ ˆ10) ln tanR t t i tj tk− −= + +

El domino de ( ) ( )1lnf t t −= es ( )0,∞ . El dominio de ( ) 1tang t t−= es ( ),−∞ ∞ . El dominio de

( )h t t= es ( ),−∞ ∞ . Por lo tanto, el dominio de r es ( )0,∞ o { }: 0t t∈ > .

( )2 2

1 1 ˆˆ11)1 9

R t j kt t

= +− −

El dominio de ( )2

11

g tt

=−

es ( )1,1− . El dominio de ( )2

19

h tt

=−

es ( )3,3− . (La función

f es ( ) 0f x = el cual tiene dominio ( ),−∞ ∞ ) Por lo tanto, el dominio de r es ( )1,1− .

12) ( ) 2 ˆˆ ˆ3 ln 44

R t i t j t kt

= + − + −−

El domino de ( ) 24

f tt

=−

es ( ) ( ), 4 4,−∞ ∪ ∞ . El dominio de ( ) 3g t t= − es ( ],3−∞ ,el

dominio de ( ) ln 4h t t= − es ( ) ( ), 4 4,−∞ ∪ ∞ . Por lo tanto, el dominio de r es ( ],3−∞ o

{ }: 3t t∈ ≤ . 13) ( ) 2 ˆˆ ˆ20 3R t t i t j k⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦ (denota la función máximo entero).

El domino de ( ) 2f t t= es ( ),−∞ ∞ . El dominio de ( ) 20g t t= − es ( ], 20−∞ . El

dominio de ( ) 3h t = es ( ),−∞ ∞ . Por lo tanto, el dominio de r es ( ], 20−∞ o

{ }: 20t t∈ ≤ .

14) ( ) 2 ˆˆ ˆcos 9R t ti sentj t k= + + −

El domino de ( ) cosf t t= es ( ),−∞ ∞ . El dominio de ( )g t sent= es también ( ),−∞ ∞ . El

dominio de ( ) 29h t t= − es [ ]3,3− . Por lo tanto, el dominio de r es [ ]3,3− o

{ }: 3 3t t∈ − ≤ ≤ .

Calcule ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ); ; ;a F G t b F G t c F G t d F G t+ − ×i en los siguientes

ejercicios:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ15)F 1 1 1 ; 1 1t t i t j t k G t t i j t k= + + − + − = − + + +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2

( ) ( ) 2 , , 2 ; ( ) ( ) 2, 2, 2

( ) ( ) 1 1 3 3

a F t G t t t t b F t G t t

c F t G t t t t

+ = − = − −

= − + − = −i

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( ) ( ) ( )2 3 2 3 2

ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ1 t 1 1 2 4 2

1 1 1

i j kd F G t t t t t i tj t t t k

t t× = + − − = + − − + − +

− +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ16) F 4 4 4 ; 4 4t t i j t k G t t i t j k= − + − − = + − −

( ) ( )( ) ( )( )

2 2

2 2 2

2 4 2 2 2 4

( ) ( ) 4, , 8

( ) ( ) 4, 2 ,8 ,

( ) ( ) 4 4 16 4 16 4

a F t G t t t

b F t G t t t t

c F t G t t t t t t t

+ = −

− = −

= − + − − + = −i

( ) ( )2 2 4 2 4 2 4 2

2 2

ˆˆ ˆ 4 4 4 8 32, 8 16, 4 16 t 4 4

i j kd F G t t t t t t t t

t× = − − = − + − − + − + −

− −

( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ17) F cos ; G cost ti sentj tk t senti tj tk= − + = + − ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2

ˆ ˆ( ) ( ) cos cosˆˆ ˆ( ) ( ) cos cos 2

( ) ( ) cos cos

a F t G t t sent i t sent j

b F t G t t sent i t sent j tk

c F t G t tsent sent t t t

+ = + + −

− = − − + +

= − − = −i

( ) ( ) ( )ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆcos cos cos cos

i j kd F G t sent t t sent t i t sent t j k

sent t t× = − = − + + +

−

( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ18) F sec tan 2 ; G sec tant ti tj k t ti tj tk= + − = + −

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

ˆˆF G sec 2ˆˆF G 2 tan 2

F G sec tan 2 2 1ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆF G sec tan 2 2 tan 2 sec tan secsec tan

a t t ti t k

b t t ti t k

c t t t t t t

i j kd t t t t t ti t tj t tk

t t t

+ = + −

− = − +

= − − = − +

× = − = − − + −−

i

En los ejercicios siguientes calcule: ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ); ; ;a fF t b fG t c F g t d G g t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ19)F 1 1 1 ; G 1 1t t i t j t k t t i j t k= + + − + − = − + + +

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( ) ( )1; 1.f t t g t t= − = + ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 3 2 2

2 2

2

1, 1, 2 1

2 1, 1, 1

2, 2 ,

,1, 2

a f t F t t t t t t t

b f t G t t t t t

c F g t t t t t

d G g t t t

= − − − + − +

= − + − −

= + +

= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ20) F 4 4 4 ; G 4 4 ; ; 22

t t i j t k t t i t j k f t g t tt

= − + − − = + − − = = −−

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2

2 2

2 2

42 , , 22

4, 2 ,2 2

4 , 4, 4

4 4, 4 , 4

a f t F t t tt

tb f t G t tt t

c F g t t t t t

d G g t t t t t

⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟−⎝ ⎠⎛ ⎞

= +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

= − −

= − + − −

( ) ( ) ( ) ( ) 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ21) F cos ; G cos ; ; t ti sentj tk t senti tj tk f t sent g t sen t−= − + = + − = =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )

2

2

2 1

2 1

ˆˆ ˆF cosˆˆ ˆG cos

ˆˆ ˆF 1

ˆˆ ˆG 1

a f t t sent ti sen tj tsentk

b f t t sen ti sent tj tsentk

c g t t i tj sen tk

d g t ti t j sen tk

−

−

= − +

= + −

= − − +

= + − −

( ) ( ) ( ) ( ) 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ22) F sec tan 2 ;G sec tan ; cos ; cos .t ti tj k t ti tj tk f t t g t t−= + − = + − = =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )2

1 1

1ˆˆ ˆF 2cos ,2

1ˆˆ ˆG cos ,2

1 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆF sec cos tan cos 2 2

a f t t i sentj tk t k

b f t t i sentj t tk t k

tc g t t i t j k i j kt t

π

π

− −

⎛ ⎞= + − ≠ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= − + ≠ +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞−⎛ ⎞= + − = + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )( )2

11 1 ˆˆ ˆG costd g t i j tkt t

−⎛ ⎞−⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

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Calcule el límite si existe.

( ) ( ) ( )2

2

4 ˆˆ ˆ23) R 2 ; lim R2 t

tt t i j tk tt →

−= − + +

−

( ) ( )2

2 2

4 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆlim 2 0 lim 2 2 4 22t t

tt i j tk i t j tk j kt→ →

⎡ ⎤−− + + = + + + = +⎢ ⎥−⎣ ⎦

( ) ( )2

1

1 1 ˆˆ ˆ24) R 1 ; lim R1 1 t

t tt i j t k tt t →−

− += + + +

− −

( )2 2

1 1

1 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆlim 1 lim 1 0 0 21 1t t

t ti j t k t i j k it t→− →−

⎡ ⎤− ++ + + = − + + = −⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

( ) ( )0

ˆˆ ˆ25) R cos ; lim Rt

sentt senti tj k tt →

= + +

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆlim cos 0 1 1t

sentsenti tj k i j k j ktα→

⎡ ⎤+ + = + + = +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )0

1 cos ˆˆ ˆ26) R ; lim Rt t

t

tt i e j e k tt

−

→

−= + +

( ) ( )0

1 cos ˆˆ ˆR ;lim Rt t

x

tt i e j e k tt

−

→

−= + +

( )0 / 0

0

0 0 0

1 cos ˆ ˆˆ ˆ ˆlim lim 0; lim 1 lim R 0 1 11

t

t t t t o

t sent e e t i j k j kt→ → → →

−= = = = ⇒ = + + = +

0

0lim 1t

te e−

→= =

( ) ( )2 1

2 tan ˆˆ ˆ27)R ; lim R2 1 1 t

t sen t tt i j k tt t t

π π→

−= + +

− − − 0

20

21 1 1

2 tan cos sec 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆlim 1 lim lim2 1 1 2 1 2t t t

t sen t t t ti j k i j k i j kt t t t

π π π π π π π π→ → →

⎡ − ⎤+ + = − + + = − − +⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

( ) ( )2 2

0

1 cos 1 cos ˆˆ ˆ28) R ; lim R1 1 cos t

t tt i j k tsent t sent →

+ −= + +

− −

( )2

0 0

1 cos 1 cos ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆlim 2 lim 1 cos 0 1 2 21 1 cost t

t t ti j t k i t j k i jsent t sent→ →

⎡ ⎤+ −+ + = + + + ⋅ = +⎢ ⎥− −⎣ ⎦

( ) ( ) ( )1

1 1

0ˆˆ ˆ29) R 1 ; lim Rt t t

tt e i e j t k t+ −

→= + + +

( ) ( )1

1 1

0ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆlim 1t t t

te i e j t k e i j k+ −

→

⎡ ⎤+ + + = + +⎢ ⎥⎣ ⎦

[Escriba tex[Escr




( ) ( ) ( )ln 1 ˆˆ ˆ30) R cosh ; lim Rt o

tt i senhtj tk t

t →

+= + +

( ) ( ) ( )0

ln 1 ˆˆ ˆR cosh ;lim Rx

tt i senhtj tk t

t →

+= + +

( ) ( ) ( )00

0 0 0

1ln 1 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆlim lim 1 lim R 1 0 cosh 0

1t t t

t tt i senh j k i k

t→ → →

+ += = ⇒ = + + = +

2

1ˆ ˆ31) lim 2

tti t j

→⎡ ⎤−⎣ ⎦

( ) ( )2 2

1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆlim 2 lim 2 lim 2

t t tti t j t i t j i j

→ → →⎡ ⎤− = − = −⎣ ⎦

( )2 3

3ˆ ˆ32) lim 2 3 7

tt i t j

→⎡ ⎤− −⎣ ⎦ ( ) ( ) ( )2 23 3

3 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆlim 2 3 7 lim 2 3 lim 7 189

t t tt i t j t i t j j

→ → →⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − = − − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2

21

1 2 3ˆ ˆ33) lim1 1t

t t ti jt t→

⎡ ⎤− + −−⎢ ⎥− −⎣ ⎦

( )( )( )( )

( )

2

21 1 1

1 1

1 31 2 3 1ˆ ˆ ˆ ˆlim lim lim1 1 1 1 1

1 1ˆ ˆ ˆ ˆlim lim 3 41 2

t t t

t t

t tt t t ti j i jt t t t t

i t j i jt

→ → →

→ →

⎛ ⎞ − +⎛ ⎞⎡ ⎤− + − −− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟− − − + −⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞= − + = −⎜ ⎟+⎝ ⎠

2 3

2

2 10 28 7ˆ ˆ34) lim2 3t

t t ti jt t→−

⎡ ⎤− −−⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

( )

2 3 2 3

2 2 2

2

2 10 28 7 2 10 28 7ˆ ˆ ˆ ˆlim lim lim2 3 2 3

56 56ˆ ˆ ˆ ˆlim 2 14 185 5

t t t

t

t t t t t ti j i jt t t t

t i j i j

→− →− →−

→−

⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+ − + −⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − − = − −

3

0

cos 7 ˆˆ ˆ35) lim1tt

sent t t ti j kt e t→

⎡ ⎤− +⎢ ⎥+⎣ ⎦ 3 3

0 0 0 0

cos 7 cos 7ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆlim lim lim lim1 1t tt t t t

sent t t t sent t t ti j k i j k it e t t e t→ → → →

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = − + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠

[Escriba tex[Escr




3

2 3

7 ˆˆ ˆ36) lim3t

t sent t senti j kt t t t→∞

⎡ ⎤− −⎢ ⎥−⎣ ⎦

3 3

2 3 2 3

7 7ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆlim lim lim lim3 3

ˆˆ ˆ ˆlim 7 lim 7

t t t t

t t

t sent t sent t sent t senti j k i j kt t t t t t t t

sent senti j k it t

→∞ →∞ →∞ →∞

→∞ →∞

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = − − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )3 2

037) lim ln , ln ,

tt t t t

+→ ( )3 2

0lim ln , ln ,t

t t t t+→

no existe porque ( )3

0lim lnt

t+→

= −∞ .

21

038) lim , ,t

t

te tt

−

→

2 21 1

0 0 0 0lim , , lim , lim , lim 0, 1,0t t

t t t t

t te t e tt t− − − −

− −

→ → → →= = −

Dadas las funciones vectoriales ( ) ( ) ( ) ( ) U V lim U lim V

x a x at y t t y t

→ →⇒ Existen.

Demuestre: ( ) ( ) ( ) ( )39) lim U V lim U lim V

t a t a t at t t t

→ → →⎡ ⎤+ = +⎣ ⎦

Sea ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3ˆˆ ˆU t U t i U t j U t k= + + y ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3

ˆˆ ˆV t V t i V t j V t k= + +

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 2

ˆˆ ˆlim U V lim

ˆˆ ˆlim lim lim

ˆˆ ˆlim lim lim lim lim lim

ˆ ˆlim lim

t t

t t t

t t t t t t

t t

U V i U V j U V k

U V i U V j U V k

U V i U V j U V k

U i U j

α α

α α α

α α α α α α

α α

→ →

→ → →

→ → → → → →

→ →

⎡ ⎤⎡ ⎤+ = + + + + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + ( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 3ˆ ˆˆ ˆlim lim lim lim lim U lim V

t t t t t tU k V i V j V k

α α α α α α→ → → → → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

40) lim V lim lim V

lim V lim

lim lim lim

lim lim lim lim lim lim

t a t a t a

t t

t t t

t t t t t t

U t t U t t

U t t U t V t U t V t U t V t

U t V t U t V t U t V t

U t V t U t V t U t V t

α α

α α α

α α α α α α

→ → →

→ →

→ → →

→ → → → → →

⎡ ⎤ = =⎣ ⎦

⎡ ⎤= = + + =⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦

= + + =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + +

i i

i

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1 2 3 1 2 3

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆlim lim lim lim lim lim

lim lim Vt t t t t t

t t

U t i U t j U t k V t i V t j V t k

U t tα α α α α α

α α

→ → → → → →

→ →

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

i

i

[Escriba tex[Escr




( ) ( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 2

41) lim V lim lim V

ˆˆ ˆlim lim

ˆˆ ˆlim lim lim

lim lim lim lim

t a t a t a

t t

x x x

t t t t

U t t U t t

U V U V U V i U V U V j U V U V k

U V U V i U V U V j U V U V k

U V U V

α α

α α α

α α α α

→ → →

→ →

→ → →

→ → → →

⎡ ⎤× = ×⎣ ⎦

⎡ ⎤× = − + − + − =⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − + − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡= −⎣ 3 1 1 3

ˆ ˆlim lim lim limt t t t

i U V U V jα α α α→ → → →

⎤ ⎡ ⎤+ − +⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 2 1 1 2 3

1 2 3

ˆ ˆˆ ˆlim lim lim lim lim lim lim

ˆˆ ˆlim lim lim lim lim V

t t t t t t t

t t t t t

U V U V k U i U j U k

V i V j V k U

α α α α α α α

α α α α α

→ → → → → → →

→ → → → →

⎡ ⎤⎡ ⎤+ − = + + ×⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤× + + = ×⎢ ⎥⎣ ⎦

42) Si f es una función real tal que ( )limt a

f t→

existe y V es una función vectorial tal que

( )limt a

V t→

existe, demuestre que ( ) ( ) ( ) ( )lim lim limt a t a t a

f t V t f t V t→ → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

11.1.3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 3

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆlim lim lim lim lim

ˆˆ ˆ6 lim lim lim lim lim lim

ˆˆ ˆlim lim lim lim lim

t t t t t

t t t t t t

t t t t t

fV fV i fV j fV k fV i fV j fV k

LT f V i f V j f V k

f V i V j V k

α α α α α

α α α α α α

α α α α

→ → → → →

→ → → → → →

→ → → → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= = + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + + =

⎡ ⎤= + + =⎢ ⎥⎣ ⎦limt

f Vα α→

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

¿Para cuáles valores de t es continua cada una de las funciones del problemas 9?

43) ( ) 24

f tt

=−

Es continua en ( ) ( ) ( ), 4 4, . 3g t tθ−∞ ∪ = − es continua en ( ] ( ),3 . ln 4h t t−∞ = − es

continua en ( ), 4−∞ y en ( )4,∞ . Por lo tanto, r es continua en ( ),3−∞ o { }: 3t t∈ ≤ . 44) ( ) 2f t t=

Es continua en ( ) ( )1, , 1n n n n− + − ∪ + donde n es un entero negativo.

( ) 20g t t= − es continua en ( ), 20−∞ o { } ( ): 20 . 3t t h t∈ < = es continua en ( ),−∞ ∞ .

Por lo tanto, r es continua en ( ) ( )1, , 1n n k k− + − ∪ + donde n y k son números

enteros negativos y 400k < o { }2: 20, no es un enterot t t∈ <

45) ( ) cosf t t= y ( )f t sent=

Son continua en ( ) ( ) 2, . 9h t t−∞ ∞ = − es continua en [ ]3,3− Por lo tanto, r es continua

en [ ]3,3− .

[Escriba tex[Escr




¿Para cuáles valores de t es continua cada una de las funciones dadas?

46) ( ) ( )ln 1f t t= −

Es continua en ( ) ( )1, . 20g t tθ = − es continua en ( ), 20−∞ . Por lo tanto, r es continua

en ( )1,20 o { }:1 20t t∈ < < . 47) ( ) ( )1lnf t t −=

Es continua en ( ) ( ) 10, . tang t t−∞ = es continua en ( ) ( ), .h t t−∞ ∞ = es continua en

( ),−∞ ∞ . Por lo tanto, r es continua en ( )0,∞ o { }: 0t t∈ > .

48) ( )2

11

g tt

=−

es continua en ( ) ( )2

11,1 .9

h tt

− =−

es continua en ( )3,3− . (La función

f es ( ) 0f x = que es continua en ( ),−∞ ∞ ). Por lo tanto, r es continua en ( )1,1− . Determine los números para los que la función vectorial es continua

( ) ( )2 1 ˆˆ ˆ49) R ln 12

t t i t j kt

= + − +−

( ) ( ) ( )2 1 ˆˆ ˆln 1 1,2 2,2

t i t j kt

+ − + ⇒ ∪ +∞−

( ) ( ) 11 ˆˆ ˆ50) R 11 1t

tt t i j k

e t−

= − + +− −

( ) { }11 ˆˆ ˆ1 0,11 1t

tt i j k t

e t−

− + + ⇒ ≠− −

( ) ˆˆ ˆ51)R cos sec tant ti tj tk= + + 1ˆ ˆ ˆˆ ˆcos sec tan , es cualquier entero2

ti tj tk t k kπ⎧ ⎫⎛ ⎞+ + ⇒ ≠ +⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

( ) ( )2 1 ˆˆ ˆ52) R ln 12

t t i t j kt

= + − +−

La función tangentes es continua salvo en los múltiplos impares de 2π , la cotangentes es

continua salvo en los múltiplos hasta

2π. Por lo tanto, R es continua en todas partes

excepto en 2k, donde k es cualquier entero.

[Escriba tex[Escr




( )21

2 ˆˆ ˆ si 053) R0 si 0

te i t j k ttt

−⎧⎪ + + ≠= ⎨⎪ =⎩

21

2 ˆˆ ˆ si 0 si 0

te i t j tk tt

⎧⎪ + + ≠⎨⎪ =⎩

Todos los números reales.

( )1 cos 1 ˆˆ ˆ si 0

54) Rˆˆ si 0

tsent t ei j k tt t t t

i k t

⎧ − −+ + ≠⎪= ⎨

⎪ − =⎩

1 cos 1 ˆˆ ˆ si 0

ˆ 1 si 0

tsent t ei j k tt t t

k t

⎧ − −+ + ≠⎪

⎨⎪ − =⎩

Todos los números.

En los ejercicios del 55 al 42 Grafique la función vectorial

( ) ( )2 ˆ ˆ55) R 1t t i t j= + +

( ) 2

4 4ˆ ˆ56) R t i jt t

= +

[Escriba tex[Escr




( ) ( ) ( )2ˆ ˆ57) R 2 4t t i t j= − + +

( ) ˆ ˆ58)R 3cosh( ) 5 ( )t t i senh t j= +

( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆ59) R 6 4 5 2t ti t j t k= + − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆ60) R 1 2 3 2 3t t i t j t k= + + − + +

[Escriba tex[Escr




( ) ˆˆ ˆ61) R cos , 0 t 2t ti sentj tk π= + + ≤ ≤

( ) ˆˆ ˆ62) R 3cos 3 2 , 0 t 2t ti sentj tk π= + + ≤ ≤

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propiedades, límites y continuidad [teoria y ejercicos resueltos]