Proporção Áurea

PROPORÇÃO ÁUREA

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PROPORÇÃO ÁUREA

ORIGEM

“Quantos pares de coelhos podem ser gerados em

um ano, à partir de um par de coelhos?”


PROPORÇÃO ÁUREA

ORIGEM• Leonardo Pisano (1180 – 1250).

• Matemático italiano apelidado

Fibonacci.


PROPORÇÃO ÁUREA

SEQUÊNCIA DE FIBONACCI• Resolveu a questão onde criou a

sequência mais intrigante da

matemática.

• Cada número da série é resultado da

soma dos dois anteriores (0, 1, 1, 2, 3,

5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…).


PROPORÇÃO ÁUREA

SEQUÊNCIA DE FIBONACCI• O número áureo está presente na fórmula do termo geral da Série de

Fibonacci:

• Pode ser aproximado pela divisão do n-ésimo termo da Série de Fibonacci

pelo termo anterior:


PROPORÇÃO ÁUREA

• Ao dividirmos dois números consecutivos da sequência de Fibonacci (o

maior pelo menor) chegamos próximos ao número PHI (1,618…).

• O número PHI é uma sequência infinita:

1,61803398874989484820458683436563811772030917980576…

SEQUÊNCIA DE FIBONACCI


PROPORÇÃO ÁUREA

PHI• Proporção áurea, número de ouro, número áureo, seção áurea, segmento

áureo, proporção de ouro ou proporção divina.

• Recebeu esse nome em homenagem à Phidias, escultor grego que o

utilizava em suas obras.

• É uma constante real algébrica irracional.

LETRA GREGA (PHI)


PROPORÇÃO ÁUREA

• O resultado é encarado como expressão do belo (o ideal da beleza), pelo

equilíbrio de suas proporções.

• É usada na arte desde a antiguidade.

• É frequente a sua utilização em pinturas renascentistas (Giotto).

• Está envolvido com a natureza do crescimento.

• O fascinante é o fato de ser encontrado através de desenvolvimento

matemático.

O QUE É?


PROPORÇÃO ÁUREA

DIVISÃO EM MÉDIA E EXTREMA RAZÃO• A partir de um segmento de 10 unidades, determina-se a sua seção áurea

multiplicando-o por 0,618 (média). Para encontrar-se um segmento maior,

em extrema razão, deve-se multiplicar as dez unidades iniciais por 1,618.


PROPORÇÃO ÁUREA

PROCESSO DE CONSTRUÇÃO• Determine o ponto de médio (M) de

AB. Levante por B uma

perpendicular BC, sendo BC = BM.

• Com centro em C trace uma

circunferência de raio CB.

• Trace uma semi-reta AC.

• A interseção entre a circunferência e a

semi-reta determina os pontos D e D’.

• Com centro do compasso em A e

abertura AD, trace um arco e

determine o ponto E.

• AE é o segmento áureo de AB.

CONSTRUÇÃO COM RÉGUA E COMPASSO


PROPORÇÃO ÁUREA

PROCESSO DE CONSTRUÇÃO• Com centro do compasso em A e

abertura AD', trace um arco e

determine o ponto E’.

• E'A é o segmento áureo de E’B.

CONSTRUÇÃO COM RÉGUA E COMPASSO


PROPORÇÃO ÁUREA

PROPORÇÃO ÁUREA

PROPORÇÃO ÁUREA, NÚMERO DE OURO OU PROPORÇÃO DIVINA


PROPORÇÃO ÁUREA

PROPORÇÃO ÁUREA

PROPORÇÃO ÁUREA EM RETÂNGULOS


PROPORÇÃO ÁUREA

ONDE SE ENCONTRA• Nas espirais das galáxias, nos furacões, nas ondas, no comportamento dos

átomos, na refração do som, na conversão de milhas para quilômetros…


PROPORÇÃO ÁUREA

FIGURAS GEOMÉTRICAS• Um decágono regular, inscrito numa circunferência, tem os lados em

proporção áurea com o raio da circunferência.


PROPORÇÃO ÁUREA

FIGURAS GEOMÉTRICAS• Chamando os vértices de um

pentagrama de A, L, O, K e B, o

triângulo isósceles formado por

A, L e O tem seus lados em

relação dourada com a base, e o

triângulo isósceles A, H e O tem

sua base em relação dourada

com os lados.


PROPORÇÃO ÁUREA

TUDO É NÚMERO - PITÁGORAS• Ao descobrir que as proporções no pentagrama eram a proporção áurea,

Pitágoras tornou esse símbolo “estrelado" como a representação da

Irmandade Pitagórica. (Um dos motivos que o levou a dizer que "tudo é

número“, onde a natureza segue padrões matemáticos).


PROPORÇÃO ÁUREA

• O pentagrama é obtido

traçando-se as diagonais de um

pentágono regular. O

pentágono menor, formado

pelas interseções das diagonais,

está em proporção com o

pentágono maior, de onde se

originou o pentagrama. A razão

entre as medidas dos lados dos

dois pentágonos é igual ao

quadrado da razão áurea.

SEGMENTOS PENTAGRAMA


PROPORÇÃO ÁUREA

• O molusco bombeia gás para dentro de sua concha repleta de câmaras para

regular a profundidade de sua flutuação, proporcionando um crescimento

do raio aproximado a seção áurea.

ANIMAIS

CONCHA DO CARAMUJO NAUTILUS (MEDIDAS APROXIMADAS)


PROPORÇÃO ÁUREA

• População de abelhas: A proporção entre abelhas fêmeas e machos em

qualquer colmeia.

• Presas de elefantes, escamas de peixes…

ANIMAIS

MEDIDAS APROXIMADAS


PROPORÇÃO ÁUREA

• Observada no crescimento das plantas, algumas vezes na formação de seus

galhos, outras na posição ou número de folhas ou pétalas.

VEGETAIS

MEDIDAS APROXIMADAS


PROPORÇÃO ÁUREA

• A altura do corpo humano e a

medida do umbigo até o chão.

• A altura do crânio e a medida

da mandíbula até o alto da

cabeça.

• A medida da cintura até a

cabeça e o tamanho do tórax.

• A medida do ombro à ponta do

dedo e a medida do cotovelo à

ponta do dedo.

CORPO HUMANO


PROPORÇÃO ÁUREA

• O tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta.

• A medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda dobra até a

ponta.

CORPO HUMANO


PROPORÇÃO ÁUREAAS IDEIAS DE PROPORÇÃO E SIMETRIA APLICADAS

À CONCEPÇÃO DA BELEZA HUMANA

LEONARDO DA VINCI


PROPORÇÃO ÁUREA

HOMEM VITRUVIANO• É baseado numa famosa passagem do

arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio

na sua série de dez livros intitulados de

“De Architectura” (no terceiro livro, ele

descreve as proporções do corpo

humano masculino). Contudo suas

tentativas ficaram imperfeitas.

• Leonardo da Vinci fez com que o encaixe

ficasse perfeito dentro dos padrões

matemáticos esperados. HOMEM VITRUVIANO - LEONARDO DA VINCI


PROPORÇÃO ÁUREA

HOMEM VITRUVIANO• Um palmo é o comprimento de quatro dedos.

• Um pé é o comprimento de quatro palmos.

• Um côvado é o comprimento de seis palmos.

• Um passo são quatro côvados.

• A altura de um homem é quatro côvados.

• O comprimento dos braços abertos de um

homem (envergadura dos braços) é igual à sua

altura.

• A distância entre a linha de cabelo na testa e o

fundo do queixo é um décimo da altura de um

homem.

• A distância entre o topo da cabeça e o fundo do

queixo é um oitavo da altura de um homem.

HOMEM VITRUVIANO - LEONARDO DA VINCI


PROPORÇÃO ÁUREA

HOMEM VITRUVIANO• A distância entre o fundo do pescoço e a linha

de cabelo na testa é um sexto da altura de

um homem.

• O comprimento máximo nos ombros é um

quarto da altura de um homem.

• A distância entre o meio do peito e o topo da

cabeça é um quarto da altura de um homem.

• A distância entre o cotovelo e a ponta da mão

é um quarto da altura de um homem.

• A distância entre o cotovelo e a axila é um

oitavo da altura de um homem.

• O comprimento da mão é um décimo da

altura de um homem.

HOMEM VITRUVIANO - LEONARDO DA VINCI


PROPORÇÃO ÁUREA

HOMEM VITRUVIANO• A distância entre o fundo do queixo e o

nariz é um terço do comprimento do

rosto.

• A distância entre a linha de cabelo na

testa e as sobrancelhas é um terço do

comprimento do rosto.

• O comprimento da orelha é um terço do

da face.

• O comprimento do pé é um sexto da

altura. HOMEM VITRUVIANO - LEONARDO DA VINCI


PROPORÇÃO ÁUREA

HOMEM VITRUVIANO• O re-descobrimento das proporções matemáticas do corpo humano no

século XV foi considerado uma das grandes realizações que conduzem ao

Renascimento Italiano.

• O desenho foi considerado como um símbolo da simetria básica do corpo

humano e, por extensão, para o universo como um todo.

• É interessante observar que a área total do círculo é idêntica à área total do

quadrado (quadratura do círculo) que pode ser considerado um algoritmo

matemático para calcular o valor do número irracional PHI.


PROPORÇÃO ÁUREA

ARTES

O NASCIMENTO DE VÊNUS - BOTTICELLI


PROPORÇÃO ÁUREA

ARTES

O SACRAMENTO DA ÚLTIMA CEIA - SALVADOR DALÍ


PROPORÇÃO ÁUREA

ARTES

O SACRAMENTO DA ÚLTIMA CEIA - SALVADOR DALÍ


PROPORÇÃO ÁUREA

ARTES• Na história da arte renascentista, a perfeição da beleza nos quadros foi

bastante explorada. Vários pintores e escultores lançaram mão das

possibilidades que a proporção lhes dava para retratar a realidade com mais

perfeição.

• As proporções podem ser encontradas na maioria das pinturas em que a

anatomia tenha sido respeitada (característica inerente ao ser humano).


PROPORÇÃO ÁUREA

ARTES• A Mona Lisa (Leonardo da Vinci) tem a proporção áurea nas relações entre o

tronco e a cabeça, bem como nos elementos da face.


PROPORÇÃO ÁUREA

MÚSICA• O número de ouro está presente em diversas obras de compositores

clássicos: sinfonia n.º 5, de Ludwig van Beethoven.


PROPORÇÃO ÁUREA

LITERATURA• Nos clássicos Ilíada (Homero) e Eneida (Virgílio), a proporção se apresenta

na razão entres as estrofes maiores e menores.

• No trecho da chegada às Índias no “Os Lusíadas” (Camões).

• Matila Ghyka em seu livro "O Número de Ouro”, demonstrou a existência da

proporção áurea em textos escritos por Victor Hugo, Shakespeare, Paul

Valéry, Pierre Louys, entre outros. Ghyka relacionou as estrofes de acordo

com o ritmo da leitura (Ritmo Prosodico).


PROPORÇÃO ÁUREA

CINEMA• O diretor russo Sergei Eisenstein se utilizou do número PHI no filme O

Encouraçado Potemkin para marcar os inícios de cenas importantes da

trama, medindo a razão pelo tamanho das fitas de película.


PROPORÇÃO ÁUREA

DISPOSIÇÃO DO CONTEÚDO

DIVISÃO DA ÁREA PARA ENFOQUE NO CONTEÚDO MAIS IMPORTANTE


PROPORÇÃO ÁUREA

ORDEM DE LEITURA

OCIDENTAL


PROPORÇÃO ÁUREA

ORDEM DE LEITURA

OCIDENTAL


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ORDEM DE LEITURA

OCIDENTAL


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ORDEM DE LEITURA

OCIDENTAL


Education

Proporção Áurea