Especialización Enseñanza de las Matemáticas Mención Educación Superior 2014

Licdo. Deybis Boyer

U.C. Matemáticas Experimentales.

Proyecto:

APLICACIONES DE HERRAMIENTAS TECNOLOGICAS PARA EL APRENDIZAJE DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.

OBJETIVOS DIDÁCTICOS:

1. Identificar elementos básicos en el enunciado de un problema de valor inicial.

2. Formular matemáticamente el modelo de la ecuación diferencial de primer orden

con condición inicial.

3. Aproximar la solución de la ecuación diferencial de primer orden con condición

inicial mediante técnicas numéricas.

CONOCIMIENTOS PREVIOS:

Calculo de integrales básicas, solución de ecuaciones de primer orden a través del método de separación de variables, solución general de la ecuación diferencial lineal de primer orden.

PROBLEMA:

Ley de Enfriamiento de Newton

A partir de observaciones experimentales se sabe que (hasta una aproximación ``

satisfactorio'') la temperatura de la superficie de un objeto cambia a una velocidad

proporcional a su temperatura relativa. Es decir, la diferencia entre su temperatura y la

temperatura del medio ambiente circundante. Esto es lo que se conoce como la ley de

enfriamiento de Newton.

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Si θ( t) es la temperatura de un objeto en un instante de tiempot ,S es la temperatura del ambiente constante y β la constante de proporcionalidad entonces la ecuación diferencial asociada a los problemas de enfriamiento (calentamiento) es:

dθdt

=β [θ (t )−S ]

Se necesita conocer la lectura de la temperatura del objeto en dos instantes diferentes, ya que hay dos constantes por determinar: la constante de proporcionalidad β y la constante de integración. Se tendrá entonces un problema de valor de frontera

{dθdt =β [θ ( t )−S ]

θ1=θ(t 1)θ1=θ(t 2)

La solución del problema de valor de frontera permite obtener la Ley de Variación de la temperatura en función del tiempo (esto es, una ecuación para θ( t)¿

Un estudio cualitativo de este fenómeno va a demostrar que k > 0. Esta es una

ecuación diferencial lineal de primer orden. La solución, bajo la condición inicial, es dada

por

θ (t )=S+(θ1−S)e−kt

Por lo tanto,

,

Lo que implica

Esta ecuación permite encontrar k si el intervalo de tiempo t 1−t 2 es conocido y vice-

versa.

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Ejemplo: Tiempo de Muerte Suponga que un cadáver fue descubierto en una habitación

de un motel en la medianoche y su temperatura era 80oF . La temperatura de la

habitación se mantiene constante a 60oF . Dos horas más tarde la temperatura del

cadáver se redujo a 75o F . Encontrar el momento de la muerte.

Solución: Primero usamos las temperaturas observadas del cadáver para encontrar la

constante k. Tenemos

.

Con el fin de encontrar el momento de la muerte tenemos que recordar que la

temperatura de un cadáver en el momento de la muerte es 98.6oF (suponiendo que la

persona muerta no estaba enfermo). Entonces tenemos

Lo que significa que la muerte ocurrió alrededor de las 19:26.

Ahora aplique métodos numéricos para aproximar la solución.

El modelo que gobierna el problema está dado por:

{dθdt

=0.1438(θ−60)

θ (0 )=98.6θ ( t1 )=80

θ (t2 )=75

0≤ t ≤5

Cuya solución exacta es

θ (t )=60+(38.6 .∗e−0.1438.∗t)

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Ahora bien, programemos este modelo para ello siga las instrucciones:

1. Abra el software Scilab

2. En console abra la opción de archivo y seleccione en la carpeta de nuevos algoritmos la

opción EDO-Grafica y ejecute console copiando el nombre grafica (fx, a, b, colorlinea, e).

3. Luego en console abra la opción de archivo y seleccione en la carpeta de nuevos

algoritmos la opción EDO- euler y ejecute copiando en console el nombre euler (f, gx, a,

wo, b, h).

Donde

f : Es la funcion asociada a la ecuación diferencial.

gx :Es la solución exacta

a : Valor inicial del intervalo

b : Valor final del intervalo

h :Tamaño del paso

4. Cargar los valores correspondiente y ejecutar

5. Veamos los resultados generados

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Observemos que con el método de euler el error de aproximación no es muy pequeño. Veamos qué pasa con el método de eulermejorado.

Aquí el error es más pequeño que en euler. Probemos ahora con rungekutta.

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Observemos que en este resultado el tiempo alcanzado es de t=4.57 seg

Observemos que en este resultado el tiempo alcanzado es de t=4.57 seg

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Aquí la aproximación fue mucho mejor que en los dos métodos anteriores

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Observemos que en este resultado el tiempo alcanzado es de t=4.57 seg