MATEMATIKA- III

Oleh:Dr. Parulian Silalahi, M.Pd

Persamaan Diferensial Homogen

http://matematikapolman.esy.es

1. Orde Duaa. Bentuk Umum:y’’+ p (x)y’ + q (x) y = r(x) …………….. (1)Dimana p, q, r merupakan sebarang fungsi dari xJika r(x) = o , maka persamaan (1) menjadiy” + p(x) y’ + q(x) y = 0 ……………...(2)Persamaan ini dikatakan persamaan linier homogen orde dua.Jika p(x), q(x) merupakan konstanta dan r(x) =0 maka persamaan (1) dapat ditulis:

PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN

y” + p y’ + q (y) = 0Persamaan ini dikatakan persamaan linier homogen orde dua dengan koefisien konstan.b. Cara MenyelesaikanUntuk menyelesaikan persamaan linier homogen orde dua dengan koefisien konstan dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan karakteristik (persamaan bantu) . Terdapat tiga (3) kasus terhadap nilai persamaan bantu yang aka dicariUntuk persamaan y” + p y’ + q y = 0 dan persamaan bantu r2 + p.r + q = 0

Kasus I :Jika r1 dan r2 merupakan dua akar ril yang berbeda maka penyelesaian umumnya adalah :

y = C1 e r1x + C2 e r

2x

Kasus II:Jika persamaan bantu mempunyai akar tunggal berulang maka penyelesaian umumnya adalah :

y = C1 e r1

x + C2 x.e r2

x

Kasus III :Jika persamaan bantu mempunyai akar kompleks saling konjugat α ± βimaka penyelesaian umumnya adalah :

y = C1 e α x cos βx + C2 e α x sin βxContoh:Tentukan penyelesaian umum dari persamaan diferensial berikut:

1.y” + 8 y’ + 15 y = 02.y” + 10 y’ + 25 y = 03.y” - 2y’ + 6 y = 0

Jawab:1.y” + 8 y’ + 15 y = 0persamaan bantu : r2 + 8r + 15 = 0(r+5) (r+3) = 0r1 = -5 v r2 = -3

Penyelesaian umum:Y = C1 e-5x + C2 e-3x

Jawab:2. y” + 10 y’ + 25 y = 0persamaan bantu : r2 + 10r + 25 = 0(r+5) (r+5) = 0r1 = -5 v r2 = -5

Penyelesaian umum:

Y = C1 e-5x + C2 x.e-5x

y” - 2y’ + 6 y = 0Persamaan bantu:r2 – 2r + 6 = 0

Penyelesaian umum:

xeCxeCy xx .5sin.5cos 21

5:1

51

2522

22442

2,1

2,1

ir

r

2. Orde Yang Lebih Tinggi

Bentuk Umum:

y (n) + a1 y (n-1) + a2 y(n-2)+ … + a(n-1)y1 + an y = 0

dimana a1, a2, … , an adalah fungsi-fungsi dari x

Langkah penyelesaian:

1.Tentukan akar-akar persamaan bantu

rn + a1 r(n-1) + … + a(n-1) r+ an = 0

2. Jika persamaan bantu r1 ≠ r2 ≠ r3 , … , ≠ r n

Maka penyelesaian umumnya adalah:

Y = C1 er1x + C2er2x + … + Cnernx

3. Jika persamaan bantu r1 = r2 = r3 , … , = r n

Maka penyelesaian umumnya adalah:

Y = C1 erx + C2. X.erx + … + Cn . X(n-1) .erx

Contoh :Tentukan penyelesaian umum dari persamaan diferensial berikut:1.y”’ – 3 y” + 3y’ – y = 02.y”’ + 3 y”+ 9 y’ – 13 y = 03.yv + 8 y”’ + 16 y’ = 0Jawab :

1. y”’ – 3 y” + 3y’ – y = 0Persamaan bantu : r3 -3r2 + 3r -1 = 0

(r-1) (r-1) (r-1) = 0 r1 = r2 = r3 = 1

Penyelesaian Umum : y = C1 ex + C2 x.ex + C3 x2 ex

2. y”’ + 3 y”+ 9 y’ – 13 y = 0Persamaan bantu:r3 + 3r2 + 9r -13 = 0(r-1) (r2 + 4r + 13)=0r1 = 1

iir

r

32264

2364

252164

1.213.444

3,2

2

3,2

Penyelesaian umum:

Y = C1 ex + C2 e-2x cos 3x + C3 e-2x sin 3x

3. yv + 8 y”’ + 16 y’ = 0

Persamaan bantu:r5+ 8r3 + r + 16 r = 0r (r4 + 8r 2+ 16)=0r(r2 + 4)2 = 0

r1 = 0; r2 = 2i ; r3 = -2i ; r4 = 2i ; r5 = -2i

Penyelesaian umum:

Y = C1 e0x + C2 cos 2x + C3 sin 2x+ C4 x. cos2x + C5 x sin 2x = C1 + (C2 + C4.x)cos2x + (C3+C5 x) sin 2x

1. y”’ - 4y’’+ y’ + 6y = 0

2. y”’ + 6y’’+ 5 y’ -12y = 0

3. y”’ - 5y’ + 4y = 0

TERIMA KASIHSelamat Belajar

http://matematikapolman.esy.es/