Upload
aurela-elmasllari
View
980
Download
20
Embed Size (px)
Citation preview
____
EKUACIONET, INEKUACIONET
Nënçeshtjet:
Ekuacionet e njëvlershme
Ekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore
Ekuacioni i fuqisë së dytë me një ndryshore, formulat e Vietës
Ekuacioni në formë prodhimi dhe ekuacionet thyesore
Sisteme ekuacoinesh të fuqisë parë me dy ndryshore
Inekuacionet e njëvlershme
Inekuacionet me një ndryshore
Inekuacionet e fuqisw së parw me njëndryshore
#M
esueseA
ure
la
Barazimi me një ndryshore quhet ekuacion nëse kërkohen vlerat e ndryshores që e kthejnë atë në barazimnumerik të vërtetë.
Çdo vlerë e tillë e ndryshores quhet rrënjë e ekuacionit.
Dy ekuacione me të njëjtën ndryshore quhen të njëvlershme në bashkësinë E nëse ata kanë të njëjtën bashkësi zgjidhjesh në E.
#M
esueseA
ure
la
Për të kaluar nga një ekuacion në një tjetër, të njëvlershëm me të në R, përdorim këto teorema:
TEOREMË 1: Nëse në njërën anë të ekuacionit me një ndryshore kryejmë shndërrime identike në R, marrim një ekuacion të njëvlershëm me të.
TEOREMË 2: Nëse kalojmë një kufizë nga njëra anë e ekuacioni në tjetrën, duke i ndryshuar shenjën në të kundërt, marrim ekuacion të njëvlershëm me të parin në R.
TEOREMË 3: Nëse të dyja anët e një inekuacioni shumëzohen me të njëjtin numër, të ndryshëm nga 0, merret një ekuacion i një ekuacion i njëvlershëm me të parin në R.
#M
esueseA
ure
la
SHEMBULL: 5 x + 7 = x – 2 ; 4 x + 9 = 0. A ja në të njëvlershme këto ekuacione?
ZGJDHJE: Zbatojmë teoremën 2. 5 x + 7 – x + 2 = 0
Reduktojmë kufizat e ngjashme 5 x –x = 4 x ; 7 + 2 = 9 kështu marrim ekuacionin 4 x + 9 = 0 dhe themi që këto dy ekuacione janë të njëvlershme.
#M
esueseA
ure
la
Një ekuacion quhet i fuqisë së parë me një ndryshore nëse trajta kanonike e itij është
ax + b = 0. Për të zgjidhur ekuaconin e fuqisë. së parë ax + b = 0 do të kryejmë shndërrime të njëvlershme Ekuacioni i fuqisë së parë ax + b = 0 mund të ketë rrënjë:
1) për a ≠ 0 ka një rrënjë të vetme 2) për a = 0, b ≠ 0 ekuacioni nuk ka
rrënjë 3) për a = b = 0 ekuacioni ka një
pafundësi rrënjësh.
#M
esueseA
ure
la
SHEMBULL: Të zgjidhet ekuacioni 4x –
12 = 0
ZGJIDHJE: 4x – 12 = 0 4x = 12 x =
3
PËRGJIGJE: Bashkësia e zgjidjeve të
ekuacionit është: A = { 3 }.
#M
esueseA
ure
la
SHEMBULL: Të zgjidhet ekuacioni – 2x2
+ 5x – 2 = 0.
ZGJIDHJE: Duke shumëzuar të dyja e
ekuacionit me ( - 1 ) e sjellim në
ekuacionin
2x2 – 5x + 2 = 0. Kemi a = 2; b = - 5; c
= 2
D = ( - 5 )2 -4 • 2• 2 = 9; 9 > 0 D = 3
Ekuacioni ka dy rrënjë reale:
1) x1= = = x2 = = 2
2) x2 = = =
#M
esueseA
ure
la
Ekuacioni i trajtës ax2 + bx + c = 0, ku x
është ndryshorja, kursë a, b, c janë numra
realë dhe a ≠ 0, quhet ekuacion i fuqisë
së dytë me një ndryshore. Dallor të
ekuacioni ax2 + bx + c = 0 kemi quajtur b2
– 4ac, që e kemi shënuar me shkronjën
D. D = b2 – 4ac.
Nqs. D > 0 ekuacioni ka dy rrënjë reale
x1= x2 =
Nqs. D = 0 ekuacioni ka një rrënjë reale,
numrin
Nëse D < 0 nuk ka rrënjë.
#M
esueseA
ure
la
Formulat e Vietës na lejojnë të gjejmë
shumën dhe prodhimin e rrënjëve reale
të ekuacionit të fuqisë së dytë.
Këto formula janë:
x1 + x2 = –
x1 * x2 =
Teoremë: Nëse numrat m, n e kanë
shumën S dhe prodjimin P, atëherë këta
numra janë rrënjë të ekuacionit x2 – Sx +
P = 0.
SHEMBULL: Të shkruhet ekuacioni i
fuqisë së dytë, që ka për rrënjë numrët
5 dhe 7.
ZGJIDHJE: S = x1 + x2 = 5 + 7 = 12;
P = x1 * x2 = 5 * 7 = 35.
Ekuacioni që kërkohet është: x2 – 12x
+ 35 = 0.
#M
es
ue
se
Au
rela
Ekuacione në trajtë prodhimi
Ekuacioni me trajtë kanonike f(x) * g(x) = 0, quhet ekuacion në trajtë prodhimi.Bashkësia e rrënjëve të këtijekuacioni është bashkimi i bashkësivetë rrënjëe të ekuacioneve f(x) = 0 dhe g(x) = 0.
Çdo rrënjë e ekuacionit f(x) * g(x) = 0, është rrënjë e ekuacionit f(x) = 0 ose e ekuacionit
g(x) = 0. Çdo rrënjë e ekuacionit f(x) = 0, që nuk
është vlerë e palejuar për g(x), është edhe rrënjë e ekuacionit f(x) * g(x) = 0.#
Me
sueseA
ure
la
Shënim: Kushti që rrënja e f(x) = 0, për të qënë rrënjë e ekuacionit f(x) *g(x) = 0, duhet të mos jetë vlerë e palejuar e g(x) është thelbësor. Cënimi i tij bën që rrënja e f(x) = 0 të mos jetë rrënjë e ekuacionit f(x) * g(x) = 0.
Nëse A është bashkësia e rrënjëve të ekuacionit f(x) = 0, për të cilat ka kuptim g(x) dhe B është bashkësia e rrënjëve të ekuacinit g(x) = 0, për të cilat ka kuptim f(x), atëherë bashkësia e rrënjëve të ekuacionit f(x) * g(x) = 0 është AB.#
MesueseA
ure
la
SHEMBULL: Të zgjidhet ekuacioni: ( x2 + 7x – 8 )( x2 – 6x -7 ) = 0
ZGJIDHJE: Zgjidhim secilin nga Ekuacionet: x2 + 7x – 8 = 0 ; a = 1; b = 7; c = -8
D = 72 – 4 * 1* ( - 8 ) = 81 81 = 9; x1 = 1; x2 = -8
x2 – 6x – 7 = 0 ; a = 1; b =-6; c = -7
D = (-6)2 - 4 * 1* ( -7 ) = 64 x1 = 7 ; x2 = -1
PËRGJIGJE: Bashkësia e rrënjëve të ekuacionit është bashkësia: A = { -8, -1, 1, 7 }.
#M
esueseA
ure
la
Nëse e panjohura është në thyesën e një ekuacioni, ky ekuacion quhet thyesor.
Para se të zgjidhet një ekuacion thyesor duhet:
1. Të gjendet emëruesi i përbashkët
2. Të gjenden bashkësia e vlerave të lejuara të ndryshores
SHEMBULL: Të zgjidhet ekuacioni = 5
ZGJIDHJE: Emëruesi i përbashkët është x- i. Ky emërues duhet të jetë i ndryshëm nga zero. Shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me x.
X * = x * 5 ; 6x – 3 = 5x ; 6x – 5x = 3 ; x = 3
Meqenëse 3 ≠ 0, atëherë x = 3 është rrënjë e ekuacionit.
#M
esu
ese
Aure
la
quhen sistem ekuacionesh të fuqisë së parë me dy të panjohura.
Zgjidhje të sistemit quhen të gjitha çiftet ( x, y ), që po të zëvëndësohen kthehen në barazime numerike të vërteta.
Të zghjidhësh një sistem do të thotë të gjesh të gjitha zgjidhjet e sistemit. Për të zgjidhur një sistem përdorim tre metoda që janë:
A) metoda e zëvëndësimit
#M
esueseA
ure
la
SHEMBULL: Të zgjidhet sistemi:
1. Nga ekuacioni parë nxjerrim x = 6 – 2y
2. Në ekuacionin e dytë zëvëndësojmë x me 6 – 2y dhe marrim 3( 6 – 2y ) + y = 8
3. Kemi 18 – 6y + y = 8 → - 5y = - 10 → y = 2
4. x = 6 – 2 * 2 = 2 → x = 2
5. Zgjidhja e sistemit është çifti ( 2; 2 )
B) metoda e mbledhjes
SHEMBULL: Të zgjidhet sistemi:
1. Shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit të parë me 3 dhe dy anët e ekuacionit të dytë
me – 2. Kështu përftojmë sistemin
2. Kemi: ( 6x + 9y ) + ( - 6x +8y ) = 21 – 4
3. Mbasi kryejmë veprimet marrim 17 y = 17, nga ku y = 1
4. Duke zëvëndësuar y me 1 në ekuacioni fillestar, gjejmë x
2x+3 * 1= 7; x = 2
5. Zgjidhja e sistemit është ( 2; 1 ).
#M
esueseA
ure
la
Inekuacionet me një
ndryshore Zgjidhje e ekuacionit me një ndryshore
quhet çdo vlerë e ndryshores që e
kthen inekuacionin në mosbarazim
numerik të vërtetë me të njëjtim kah.
Dy inekuacione me të njëjtën
ndryshore quhen të njëvlershme në
bashkësinë E, nëse kanë të njëjtën
bashkësi zgjidhjesh në E. Në këtë rast
lidhen me shenjën <=>.
#M
esueseA
ure
la
TEOREMË 1: Nëse marrim në njërën anë të inekuacionit f(x) > g(x) kryejmë shndërrime identike në R, atëherë marrim një inekuacion të njëvlershëm me të në R.
TEOREMË 2: Nëse kalojmë kufizën nga njëra anë e ekuacionit në anën tjetër, duke ndërruar shenjën e saj, marrim një inekuacion të njëvlershëm me të parin në R.
TEOREMË 3 : Nëse të dyja anët e një inekuacioni i shumëzojmë me të njëjtin numër pozitiv, atëherë marrim një inekuacion të njëvlershëm me të parin në R.
TEOREMË 4: Nëse të dyja anët e një inekuacioni i shumëzojmë me të njëjtin numër negativ dhe ndryshojmë kahun, atëherë marrim një inekuacion të njëvlershëm me të parin në R.
#M
esueseA
ure
la
Inekuacionet më të thjeshta me një ndryshore janë inekuacionet e trajtave të mëposhtme ku
c – ja është numër real i dhënë.
x > c. Bashkësia e zgjidhjeve në R është ] c, + ∞ [.
x< c. Bashkësia e zgjidhjeve në R është ] -∞, c [.
x c. Bashkësia e zgjidhjeve në R është [ c,+ ∞ [.
x c. Bashkësia e zgjidhjeve në R është ]-∞, c ].#
MesueseA
ure
la
Çdo inekuacion me një ndryshore që sillet me shndërrime të njëvlershme në një nga këto trajta: ax + b > 0; ax + b < 0, a dhe b janë numra realë dhe a ≠ 0 quhet inekuacion i fuqisë së parë me një ndryshore.
SHEMBULL: Të zgjidhet në R inekuacioni –≥
ZGJIDHJE: Emëruesi i përbashkët është 12 dhe shumëzojmë të dyja anët ( teorema 4 ). 12 ( – ) ≥ 12
4 ( 2x – 1 ) –6x ≥ 3x – 3; 8x – 4 – 6x – 3x + 3 ≥ 0; -x – 1 ≥ 0; - x ≥ 1; x ≤ - 1
PËRGJIGJE: Bashkësia e zgjidhjeve të inekuacionit në R është ]- ∞, - 1 ].
#M
esueseA
ure
la