Raz. matematico

41 42COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria

INDICACIÓN:

A continuación se te detalla el planteamiento de cada ecuación, analiza y saca tus conclusiones:

a) El triple de un número :

↓ ↓ ↓ 3 • x → 3x

b) El cuádruple de un número disminuido en 8:

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 4 • x - 8 → 4x - 8

c) Los dos quintos de un número agregado

↓ ↓ ↓ ↓ 4 • x +

en su doble :

↓2 . x

d) El producto de 3 números enteros consecutivos

( x - 1) ( x ) ( x + 1)

es 120

= 120

e) El exceso de mi edad sobre 8 es 34 años:

↓ ↓ ↓ ↓

x - 8 = 34

.7 de al triple

3 en excede número un de cuádrupleEl )f

3(7)

4x

⇒ excesomenormayor

3)7(3x4 =−

g) El doble de un número excede en 20 a su suma con 8.

..............................................................

h) El cuadrado de un número disminuido en 119, es igual a 10 veces el exceso del número con respecto a 8.

(...............)2 = .......... - ...........

i) El cuadrado de un número, disminuido en 119 es igual a 10 veces el exceso del número con respecto a 8.

..............................................................

j) El exceso de 6 veces un número sobre 50 equivale al exceso de 50 sobre 4 veces el número. Calcular dicho número.

* Sea el número : x* 6 veces el número : 6x* El exceso de 6 veces un número sobre 50:

6x–50

* 4 veces el número : .....................* El exceso de 50 sobre 4 veces el número: ..........

Finalmente, la ecuación será:

.................................................................k) Un grupo de abejas, cuyo número era igual a

la raíz cuadrada de la mitad de todo el enjambre, se posó sobre un jazmín, habiendo

dejado muy atrás a 9

8 del enjambre; sólo

una abeja del mismo enjambre revoloteaba alrededor de un loto, atraída por el zumbido de una de sus amigas que cayó imprudentemente en la trampa de la florecilla, de dulce fragancia.¿Cuántas abejas formaban el enjambre?* Número de abejas del enjambre : x* La raíz cuadrada de la mitad de todo el

enjambre: 2

x

*9

8 del enjambre : ................................

* Sólo una abeja del mismo enjambre revoloteaba alrededor de un loto: ....................................

* Una de sus amigas que cayó imprudentemente en la trampa de la florecilla, de dulce fragancia:....................................


11x9

8

2

xx +++=

l) Regocijanse los monos divididos en dos bandos: su octava parte al cuadrado en el bosque se solaza. Con alegres gritos, 12 atronando el campo están. ¿Sabes cuántos monos hay en la manada, en total?

* Número total de monos de la manada: ..............* Su octava parte al cuadrado : ..................* 12 atronando el campo están: ....................


..............................................................m) Juan le dice a Pedro: Dame s/. 18 000 y así

tendré el doble que tú y Pedro le contesta, más justo es que tú me des S/. 15 000 y así tendremos los dos igual cantidad. ¿Cuánto tenía Pedro?

* Dinero que tenía Pedro : x* Dinero que tenía Juan : y

* Cuando Juan le dice a Pedro dame S/. 18 000 y así tendré el doble que tú.

⇒ x + 18 00 = 2(y – 18 000) ......... (1)

* Cuando Pedro le contesta, más justo es que tú me des S/. 15 000 y así tendremos los dos igual cantidad.

⇒ .................. = .................... ......... (2)

Luego: Despejando “x” de (1) y de (2) e igualamos.

⇒ La ecuación final será:

..............................................................

n) Se ha comprado por S/. 6000, cierto número de radios, si hubiera comprado 30 más, con la misma cantidad de dinero, cada uno hubiera costado S/. 180 más barato. Calcular el número de radios.

* Número de radios comprado con S/. 6000 : x

* Precio de cada radio : x

6000 ....... (1)

* Si hubiera comprado 30 radios más el precio de cada radio sería:

30x

6000

+ ..... (2)

* Al comprar 30 radios más, el precio de cada radio costaría S/. 180 más barato.

⇒ La ecuación final sería:

.................................................................

PRÁCTICA DE CLASE I

01.Las edades son: Edad de Pablo: ........................Edad de Luis: ........................

S3RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

III

PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES


“Juntos suman 52 años”

..................................................................

Dentro de “........” años, sus edades serán:Edad de Pablo: ........................Edad de Luis: ........................

“...... será la edad de Pablo la mitad de la de Luis”....................................................................

02.Las edades son: (Edad de Javier es la cuádruple de la edad de Juana)Edad de Juana: ........................Edad de Javier: ........................

“Las edades de Juana y Javier suman 30 años”...................................................................

Dentro de “......” años, sus edades.Serán:Edad de Juana: ........................Edad de Javier: ........................

“...... La edad de Juana será la tercera parte de la de Javier”

03.Las edades actuales son:Edad de Emilio: ........................Edad de Guido: ........................

Las edades dentro de 2 años serán:Edad de Emilio: ........................Edad de Guido: ........................

“Si dentro de 2 años la mitad, de la edad de Guido excederá en 2 a la tercera parte de la edad de Emilio”

...................................................................04. Las edades son:

Edad de Paola: ........................Edad de Cecilia: ........................

“La mitad de la edad de Cecilia, más la tercera parte de la edad de Paola, es 18”....................................................................

05. Sea el número: ....................Excede a 24: ....................Es excedido por 56: ....................

“Excede 24 tanto como es excedido por 56”...................................................................

06.Dinero que tengo: .................Me falta para tener S/.26: .....................Me falta para tener S/.20: .....................

“.................. el doble .....................”

07.Sea el número: ......................Seis veces un número: ...................El exceso de 6 veces un número sobre 50: ...................Cuatro veces un número: ...................El exceso de 50 sobre cuatroveces el número: ...................

“ ...................... equivale ..................... “

...................................................................

08.Sea el número: ....................El número multiplicado por 2:Tres veces 6: 4 unidades menos que tres veces 6: ..............“ ...................... es .....................”...................................................................

09.El día tiene 24 horas; pero se trabaja sólo para 15 horas.Tiempo transcurrido: ..................Tiempo que falta transcurrir: ..................“Faltan para las 15 horas la mitad del tiempo transcurrido”...................................................................

10.El día tiene 24 horas,Tiempo transcurrido: ..................Tiempo que falta transcurrir: ..................

“Faltan los 2/3 de lo que no gasté”...................................................................

11.Dinero que tenía: ........................

Dinero que gasté: ........................Dinero que no gasté: ........................

“Gasté los 2/3 de lo que no gaste”...................................................................

“Aún me quedan S/.20 más de lo que gasté”

12.Cada empleado debe cobrar: ...................Número de empleados que se retiran: ....................Número de empleados que se quedan (resto): .....................El resto cobra cada uno: .....................

El resto tiene que cobrar S/.140, cada uno”....................................................................

13.Tenía: ......................Gasté: ......................No gasté: ......................El regalo costó: ......................

Si no hubiera comprado el regalo hubiera gastado: ......................

Y no hubiera gastado: ......................

“ ......... tan solo subiera gastado 2/3 de lo que no hubiera”...................................................................

14.Tenía: ........................Perdí: ........................Tengo (no perdí): ........................

Cuando compre un libro de S/.32, me hubiera

sobrado: ........................

Pero hoy me falta para comprar el libro de

S/.32: ........................

“........ me hubiera sobrado tanto como hoy

me falta”.

...................................................................

15.Peso de una sandía: ........................

Una sandía pesa 4 kg más media sandía”...................................................................

16.Sea el número:El número que tanto más es del cuadrado de la mitad de 20: ........................

El número que tanto menos es de la mitad del cuadrado de 20: .......................

“............ es tanto ............. como tanto ............”...................................................................

17.Número de hijos que tiene el padre: ...............Si a cada hijo le da S/.480, su fortuna es: ..................Si 2 de los hijos renuncian, sólo se reparten entre. ............... y a cada uno le toca S/.720.Su fortuna repartida ahora es: ..................

Ojo: en ambos casos la fortuna es la misma.

...................................................................

18.Precio de cada libro que se compra:Número de libros que se compran por S/.120: ...................Si el precio de cada libro aumenta en S/.2, ahora costará: ..................El número de libros que se compraría con S/.120 sería: ..................

“........ se compraron 3 libros menos”...................................................................

19.En total han jugado 13 juegos:Número de juegos que ganó “A”: ................Número de juegos que ganó “B”: ................

(1) Número de juegos más que ganó “A” a “B” es: ................

(2) Cómo “A” ganó al final S/.10, el número de juegos más que gano “A” es: ....................



Entonces (1) y (2) son iguales:

...................................................................

20.Sus dimensiones son:Cabeza: .........................................Cola: .........................................Cuerpo: .........................................

La cola mide tanto como la cabeza más medio cuerpo”.

...................................................................

21.Número de billetes de S/.100 ...................Monto que se paga con billetes de S/.100: ...................Número de billetes de S/.20: ...................Monto que se paga con billetes de S/.20: ...................

“Una cantidad de S/.580 se paga con billetes de S/.100 y S/.20”

...................................................................22.Número total de animales: ...................

Número de perritos: ...................Número de gatitos: ...................Número de loritos: ...................

“Número de perritos + Número de gatitos + Número de loritos es igual a .............. “...................................................................

23. Número de respuestas en blanco: .............Número de respuestas correctas .............

Si en total fueron 30 preguntas, el número de incorrectas fueron: ....................

Si el puntaje fue de 82 puntos, entonces:...................................................................

24. Dos comerciantes llevan juntos al mercado 120 camisas y las venden a precios diferentes. Lo que uno cobra es el triple de lo que cobra el otro, pero al final de la jornada ambos han recibido igual cantidad de dinero. La

diferencia del número de camisas que han vendido entre uno y otro es:

a) 30 b) 40 c) 60 d) 90 e) N.a.

25. En una granja hay 60 gallinas y hay 5 patos por cada 7 cerdos. Luego , el dueño de la granja compra 50 patos, 40 cerdos y un cierto número de gallinas . ¿ Cuántas gallinas compró, si al final, el número de patos, cerdos y gallinas que posee el granjero son proporcionales á 5, 6 y 8 respectivamente ?

a) 120 b) 150 c) 180d) 240 e) 300

26. ¿ Cuál es la inversa del doble de la inversa del promedio de las inversas de dos cantidades tales como “a” y “b” ?

a) ba

ab2

+b)

ab4

ba +c)

ba

ab4

+

d) ab2

ba +e)

ab

ba +

27.Dos secretarias tienen que escribir 300 cartas cada una. La primera escribe 15 cartas por hora y la segunda 13 cartas por hora. Cuando la primera haya terminado su tarea. ¿ Cuántas cartas faltarán por escribir a la segunda ?

a) 20 b) 26 c) 39d) 40 e) 60

28. La suma de dos números menos 15 unidades es igual a 2 veces la diferencia y cuando se suman 10 unidades a la suma se obtiene 3 veces la diferencia. El mayor de los números es :

a) 40 b) 45 c) 65d) 35 e) 25

29. De un número de 3 cifras, suman sus cifras, 20 ; al hallar lo que le falta a este número para ser 1,000 , obtendrás otro, cuya suma de cifras será :

a) Mayor que 20 b) Menor que 20c) Exactamente 20 d) Exactamente 8e) Estará entre 8 y 20

30. Si a un número entero se le agrega dos ceros a la derecha, dicho número aumenta en 78111 unidades. El número mencionado es.

a) 899 b) 879 c) 789d) 689 e) 889

31. Al comprar 11 cuadernos y 9 lapiceros gasté S/. 910. Si hubiera comprado 9 cuadernos y 11 lapiceros habría gastado S/. 890. ¿ Cuál es el costo de 2 cuadernos y 3 lapiceros ?

a) S/. 180 b) S/. 200 c) S/. 250d) S/. 220 e) S/. 230

32. Una persona divide el dinero que tiene en el bolsillo entre 100, obteniendo un entero n, luego da “n” monedas de 10 soles a un mendigo quedándose con 720 soles, ¿ Cuánto tenia en el bolsillo ?

a) 740 b) 860 c) 880d) 900 e) 800

33.Tres amigos van de pesca, uno pesca tres peces y otro 5 peces, el tercero nada. Al regreso los cocinan y comen los 3 la misma cantidad. Al despedirse, el que no aportó nada entrega 8 lombrices para que se repartan por los peces que comió. Si el reparto fue justo ¿ cuánto recibió el que aportó 5 peces ?

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 4

34. La longitud de una vereda se mide primero en metros, y luego en pies. El número de metros se diferencia del número de pies en 1083. ¿ Cuál es la longitud, en metros, de la vereda ? [ 1 pies = 0.278 metros ]

a) 411 b) 417 c) 514d) 359 e) 482

35. Luchito vende 432 naranjas de dos calidades a 720 nuevos soles la docena y 1200 nuevos soles la docena . Por la venta de naranjas ha recaudado 33600 nuevos soles. ¿ Cuánto nuevos soles obtuvo por la venta de las naranjas de la primera calidad; si por cada dos docenas vendidas regala 3?

a) 1200 b) 26400 c) 7200 d) 1350 e)N.a.

36. Al duplicar un número, éste queda disminuido en 7. ¿ Cuál es este número ?a) 0 b) –1 c) 7d) -7 e) 3.5

37.Tres niños se reparten una bolsa de caramelos, tomando el primero la mitad del total más uno, el segundo la tercera parte de lo que quedó y el tercero los 24 caramelos restantes. ¿ Cuántos caramelos hubo en la bolsa ?

a) 36 b) 37 c) 72d) 74 e) 86

38. ¿ Cuál es el número que al aumentar en su quinta parte resulta 12 ?

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 8.5

39. Si al comprar una docena de lapiceros me regalan 1 lapicero. ¿ Cuántas docenas he comprado si recibo 338 lapiceros ?

a) 21 b) 24 c) 26d) 28 e) 30

40. Se compran 24 Kgs. de una mercancía a razón de 200 soles el hectogramo. ¿ A cómo hay que vender el decagramo para ganar en total 24,000 soles ?

a) 80 b) 50 c) 40d) 30 d) 60

41.La diferencia de los cuadrados de dos números impares es 840, mientras que la diferencia entre ellos es 4. ¿ Cuál de estos números es uno de ellos?



a) 101 b) 109 c) 111d) 107 e) 105

42. ¿ Cuál es el número mayor que “x” en 2.

a) x-2 b) 4 c) x+2 d) 2x e) 3x

43. Entre Carmen, Luisa y Nora tienen S/. 350 Carmen tiene S/. 60 más que Luisa y Nora tiene S/. 70 menos que Luisa; ¿ Cuánto tiene Carmen ?

a) S/. 120 b) S/. 140 c) S/. 1603d) S/. 180 e) S/. 200

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01

01.Halar dos números que suman 54, tales que la quinta parte del mayor sea igual a la cuarta parte del menor. (Dar como respuesta el triple del menor)

a) 76 b) 72 c) 84d) 78 e) 82

02.4/ 5 de la suma de dos números es igual a 32 y 10/ 9 de su diferencia es 20. Encuentra el menor.

a) 29 b) 13 c) 11d) 27 e) 14

03.Dividir 32 en dos partes tales que dividiendo la mayor de las partes entre el menor se obtenga por cocientes 5 y por resto 2. ¿Calcular una de las partes?

a) 6 b) 9 c) 15d) 27 e) 18

04.José y Antonio tienen 45 manzanas; José le dice a Antonio: “dame 5 manzanas y así tendré el doble que tú”. ¿Cuántas manzanas tiene Antonio?

a) 25 b) 20 c) 35d) 30 e) N.a.

05.La mitad de un número a la tercera parte de otro. ¿Cuáles son dichos números si su suma es igual a 10?

a) 4 y 6 b) 2 y 8 c) 1 y 9d) 3 y 7 e) N.a

06.Añadiendo el primero de dos números a la mitad del segundo, o añadiendo el segundo al tercio del primero, la suma da 10 en ambos casos. Hallar uno de los números

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 12

07.Un número dividido entre otra da como cociente 13. Si la diferencia de ambos es 180. ¿Cuál es le mayor de los números?

a) 196 b) 190 c) 195d) 205 e) 225

08.Si la mitad del número menor se resta del mayor de dos números, el resultado es 65. Hallar los números, si difieren e 35.

a) 70 y 105 b) 80 y 115 c) 60 y 95d) 90 y 155 e) N.a

09.Hallar dos números cuya suma y cuyo cociente sean respectivamente 169 y 12 (Dar como respuesta el menor)

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 17

10.Un padre reparte entre sus 2 hijos S/. 1200. Si el doble de lo que recibe uno de ellos excede en S/. 300 a lo que recibe el otro. ¿Cuánto recibe cada uno?

a) S/. 500 y S/. 700 b) S/. 400 y S/. 800c) S/. 450 y S/. 750 d) S/. 350 y S/. 850e) N.a.

11.Dos números están en la razón de 10 a 5 si se resta 20 al primero y se suma 20 al segundo,

la razón de ellos se invierte. ¿Cuáles son los números?

a) 80 y 40 b) 60 y 30 c) 40 y 20d) 20 y 10 e) N.a

12.Dividir 260 en dos partes de modo que el doble de la mayor dividido por el triple de la menor de 2 como cociente y 40 de resto. Hallar a una de las partes.

a) 80 b) 70 c) 200d) 180 e) 220

13.El doble de la edad de Ángela sobrepasa en 14 años la edad de Sergio, Y un quinto de la edad de Sergio es 13 años menos que la edad de Ángela. Calcule la edad de Ángela.

a) 15 años b) 18 años c) 16 añosd) 17 años e) 20 años

14.Andrés le pagó a Carlos S/. 1 550 en billetes de S/. 100 y de S/. 50. En total le dio 21 billetes. ¿Cuántos eran de S/. 50?

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 15

15.La suma de las cifras de un número de dos cifras es 7. Si se invierten las cifras, el nuevo número es igual a dos veces el número anterior, más dos unidades. Calcule el número.

a) 24 b) 26 c) 25d) 28 e) 27

16.Determina dos números sabiendo que, agregando 12 al mayor se obtiene el duplo de las suma de 5 más el menor, y que, sustrayendo 2 al mayor, se obtienen el triple de la diferencia entre el menor y 3. Dar como respuesta uno de los números.

a) 6 b) 8 c) 10d) 7 e) 9

17.Un comerciante vende 84 pares de medias a dos precios distintos, unos pares a S/. 4, 50 cada uno y los otros a S/. 360 cada uno, obteniendo en total de la venta S/. 310, 50. ¿Cuántos pares de medias de S/. 4, 50 vendió dicho comerciante?

a) 12 b) 9 c) 15d) 10 e) N.a.

18.El numerador de una fracción supera en 1 al triple del denominador. Si se sustraen 4 unidades de ambos términos de la fracción, se obtiene una fracción equivalente a 6. Determine la fracción dada.

a) 19/ 6 b) 22/ 7c) 16/ 5d) 13/ 4 e) 25/ 8

19.La división de un número por otro da 10 por cociente y 9 de residuo. Calcular el mayor de ambos números sabiendo que sumados dan 438.

a) 372 b) 402 c) 300d) 399 e) 350

20.Determinar dos números tales que el mayor exceda al doble del menor en 1 y el doble del mayor exceda al menor en 23. Dar como respuesta la suma de ellos.

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

PRÁCTICA DE CLASE II

01.En una granja donde hay vacas y gallinas, se contaron 80 cabezas y 220 patas. ¿Cuántas gallinas hay en la granja ?.

a) 20 b) 30 c) 40 d) 60 e) 50

02.En un corral hay 280 patas y 90 cabezas. Las únicas especies que hay allí son palomas y gatos. ¿Cuántos gatos hay en el corral ?.



a) 20 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70

03.Un ómnibus lleva 55 pasajeros, entre universitarios y particulares. Se desea saber cuántos pasajeros de cada clase viajan, sabiendo que por todo se recaudó S/.230 y que un universitario paga S/. 2 y un particular S/. 5.

a) 20u y 35p b) 15u y 40p c) 10u y 35pd) 25u y 30p e) N.a.

04.En una fiesta hay en total 96 personas entre hombres y mujeres. Si cada hombre paga 4 soles para poder entrar y cada mujer paga la mitad de lo que paga un hombre. ¿Cuántos hombres hay en la fiesta, si la recaudación total fue de S/. 272?.

a) 56 b) 38 c) 48d) 40 e) 62

05.En una prueba de examen, Javier gana 1 punto por respuesta correcta y pierde la cuarta parte de lo que gana por error. Si después de haber contestado 140 preguntas obtuvo 65 puntos. ¿Cuántas preguntas contestó correctamente ?.

a) 60 b) 70 c) 80d) 90 e) 100

06.Panchito ha sido contratado por una empresa por 45 días en la siguiente condición; por cada día que trabaja, la empresa le abona S/. 320 y por cada día que no trabaje la empresa recibe de él S/. 400. ¿Cuántos días ha trabajado si no recibió nada ?.

a) 25 b) 20 c) 23d) 30 e) 35

07.La leche contenida en un recipiente cuya capacidad es de 6,5 lt. Pesa 6,671 kg. Sabiendo que un litro de leche pura pesa 1,03 kgs. ¿Cuántos litros de agua contiene el recipiente ?.

a) 0,5 b) 0,8 c) 1

d) 4,7 e) 2

08.Un litro de leche pura pesa 1030 grs. Si un lechero entregó 55 litros de leche con un peso de 56,5 kgs. ¿Cuántos litros de leche pura y cuántos de agua tendrá esa “leche”?

a) 35 y 20 b) 30 y 25 c) 45 y 10d) 50 y 5 e) N.a.

09.Un obrero que gana 100 soles diarios, cuando no trabaja gasta 25 soles más por día. Al cabo de 31 días está debiendo 414 soles. ¿Cuántos días trabajó?

a) 11 b) 18 c) 20d) 21 e) 30

10.Un lustrabotas gana 20 soles diarios, gasta 16 soles por día, pero cuando no trabaja gasta 2 soles menos. Al cabo de 100 días a ahorrado 40 soles. ¿Cuántos días no trabajó ?.

a) 20 b) 10 c) 80d) 60 e) 40

11.Debo pagar 850 soles con 12 billetes de S/.50 y S/.100. ¿Cuál es la diferencia entre el número de billetes de una y otra clase ?.

a) 1 b) 2 c) 0d) 3 e) 4

12.Debo pagar 2050 dólares con 28 billetes de 50 y 100 dólares. ¿Cuántos billetes de 100 dólares debo emplear ?.

a) 15 b) 10 c) 12d) 14 e) 13

13.Pepe trabaja en una obra durante 38 días, al principio se le paga S/.120 diarios y después S/.136 soles diarios. Al cabo de cuántos días de iniciado el trabajo se le aumentó el jornal, si por los 38 días se le pagó S/. 4784 ?.

a) 14 b) 20 c) 24d) 15 e) 16

14.Un obrero trabaja en una obra durante 64 días, al principio le pagan S/. 104 diarios y después S/. 90 diarios. Al cabo de cuántos días de iniciado el trabajo se le disminuyó el jornal, si por los 64 días se le pago S/. 6264 ?

a) 28 b) 36 c) 34d) 25 e) 21

15.Un vendedor tiene 260 caramelos; unos de S/.10 la docena y otros de S/. 8 la docena. Si no le quedó ningún caramelo. Determinar cuántos caramelos eran del primer precio, sabiendo que por cada 2 docenas vendidas se regalaban 2 caramelos, y en total recibió S/. 174.

a) 84 b) 155 c) 91d) 169 e) N.a.

16.Un comerciante tenía 450 huevos; unos a S/.14,40 la docena y otros a S/. 12 la docena. Si no le quedo ningún huevo. Determinar cuántos huevos de primer precio tenía, sabiendo que por cada 2 docenas vendidas se regalaban 1 huevo y que por todo recibió S/. 484, 80.

a) 200 b) 275 c) 175d) 815 e) N.a.

17.Un barril contiene 154 lts de vino que debe ser vendido en 280 botellas, unas de 0,75 lt y otras de 0,40 lts. ¿Cuántas botellas de 0,75 lt se van a necesitar ?.

a) 160 b) 140 c) 200d) 120 e) 180

18.Se han comprado 77 latas de leche de dos capacidades distintas; unas tienen 8 onzas y las otras 15 onzas. Si el contenido total es de 861 onzas. ¿Cuántas latas de 8 onzas se compraron ?.a) 39 b) 42 c) 35d) 40 e) N.a.

19.El kg. de papa amarilla cuesta S/.8 y el kg de papa blanca cuesta S/.5. ¿Cuántos kg de papa

amarilla tiene Panchito, si en total tiene 20 kg. de papa que cuestan 133 soles?.

a) 11 b) 8 c) 9d) 10 e) 12

20.Un comerciante lleva a vender naranjas y manzanas, cuyo número total es 595; si cada naranja la vende a S/. 3,75 y cada manzana a S/. 2,90; recibiendo en total la suma de S/.2004,30. ¿Se desea saber cuántas naranjas llevó el negociante al mercado ?.

a) 267 b) 200 c) 328d) 236 e) 320


01.Descomponer 51 en dos partes de manera que la parte mayor sea 3 más que el duplo de la parte menor. Hallar la parte mayor

a) 36 b) 16 c) 35d) 38 e) 19

02.Se compran patos a 8 dólares cada uno y gallinas a 7 dólares cada uno. Si con 166 dólares se compran 22 de tales aves. ¿Cuatas son patos?

a) 10 b) 9 c) 11d) 12 e) 13

03.Dos hermanos se reparten una herencia de 2000 dólares. Si el cuádruple de la parte menor excede en 60 a la parte mayor aumentado en 30. ¿Cuánto le toco a uno de ellos?

a) 814 b) 418 c) 1582d) 1852 e) N.a.

04.Al invertir el orden de las cifras de un número de dos cifras el número queda disminuido en 36 unidades. Sabiendo que dichas cifras suman 12. Hallar el número.

a) 75 b) 48 c) 93



d) 84 e) 39

05.Un padre tiene 6 veces la edad de su hijo, y la suma de las edades de los dos es 91 años. ¿Cuantos años tiene el padre?.

a) 68 b) 78 c) 87d) 31 e) 47

06.Determinar una fracción, sabiendo que se hace igual a 1, si se disminuye en 5 unidades al numerador y se aumenta 8 al denominador, y se hace igual a 3 si al denominador se disminuye en 7.

a) 28/17 b) 30/19 c) 30/17d) 31/18 e) N.a

07.La suma de los dígitos de un número representado con dos dígitos es 12. Si el dígito de las unidades es 2 más que el de las decenas, determinar el número.

a) 48 b) 75 c) 57d) 84 e) N.a

08.Dos jugadores se ponen a jugar con una misma cantidad de dinero; el primero pierde 400 soles y el segundo 220 soles; resultando que la cantidad que le queda al primero es la mitad de lo que le queda al segundo. ¿Con cuánto se pusieron a jugar?

a) 480 b) 520 c) 580d) 600 e) 540

09.Una persona depositó en un banco S/. 1 480. Si su depósito consistió en 60 billetes; algunos de a 10 soles y al resto de a cincuenta soles. ¿Cuántos billetes de mayor denominación depósito?

a) 38 b) 28 c) 22d) 24 e) 32

10.El dígito de las unidades de un número representado con dos dígitos es 1 más que el duplo del dígito de la decenas. Determinar el número si la suma de los dígitos es 10.

a) 28 b) 73 c) 46d) 37 e) 82

11. En una juguetería donde se venden bicicletas y triciclos, Percy dijo: hay 60 llantas . Oscar agregó: hay 5 bicicletas más que triciclos. ¿Cuántas bicicletas hay?

a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 30

12.En el triángulo rectángulo ABC.

A = 2x – y B = 2x + 4yC = 2y – x / 2

Calcular el valor de “x”

a) 22, 5º b) 37, 5º c) 45, 6ºd) 67, 5º e) N.a

13.Dos automóviles parten al mismo tiempo d una ciudad “A” con velocidades de 80 km/ h y 60 km/ h. Si el de mayor velocidad llega a la meta 3 horas antes que el otro. Hallar los tiempos invertidos en realizar el recorrido.

a) 10 y 13 h b) 8 y 11 h c) 6 y 9 hd) 11 y 14 h e) 9 y 12 h

14.La suma de las medidas de los tres ángulos de un triángulo es 180º. El ángulo más grande tiene la medida de 5 veces que la del más pequeño e igual la suma de los dos ángulos más pequeños. Hallar la medida del ángulo mayor.

a) 100º b) 80º c) 90ºd) 120º e) 70º

15.El perímetro de un triángulo isósceles es de 27 cm. Si la diferencia entre dos de sus lados es de 3 cm. ¿Cuál es la longitud de uno de sus lados?

a) 8 cm. b) 9 cm. c) 10 cm.d) 12 cm. e) 15 cm.

16.Si un número de dos cifras se divide por la suma de sus cifras el cociente es cinco y e resto es trece. Si a la cifra de las decenas se

resta las cifras de las unidades se obtiene 1. ¿Cuál es el número?

a) 89 b) 98 c) 78d) 59 e) 63

17.ABCD; es un rectángulo . Calcular el valor de “x”. Si:

AB = 2x + yBC = 14 cm.CD = 11 cm.AD = 5x – 2y

a) 2 b) 3 c) 4d) 4 e) 6

18.En un examen un alumno obtiene 2 puntos por respuesta correcta pero pierde un punto por cada equivocación, si después de haber contestado 50 preguntas obtiene 64 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió correctamente?

a) 42 b) 36 c) 28d) 38 e) 32

Tipo (I) Cuando interviene la edad de un solo sujeto

Algunas consideraciones

01. Si actualmente una persona tiene “a” años, entonces hace “n” años tenía (a - n) años y dentro de m años tendrá (a + m) años.

-n m

(a – n) a (a + m)

Hace n años actual Dentro de m años

Ejemplo: Si actualmente una persona tiene 27 años, ¿Qué edad tenía hace 15 años y cuántos años tendrá dentro de 20 años?

Resolución:

-15 20

17 - 15 = 2 27 27 + 20 = 47

Hace 15 años actual Dentro de 20 años

02.Si hace n años un sujeto tenía b años, actualmente tendrá (b + n) años.

n

b b + n

Hace n años Ahora


MÓVILES

EDADES

A

B C

A B

C D


Ejemplo: Si hace 35 años, Juan tenía 12 años. ¿Cuantos años tiene actualmente?

Resolución:

35

12 12 + 35 = 47

Hace 35 años actualmente

03.Si dentro de “m” años un sujeto tendrá “c” años, entonces actualmente tiene (c – m) años.

- m

c - m c

Actualmente Dentro de "m" años

Ejemplo: Se sabe que dentro de 12 años Carmen tendrá 27 años. ¿Cuántos años tiene actualmente?

Resolución:-12

27 - 12 = 15 27

Actualmente Dentro de 12 años

Tipo (II) Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos

Para resolver los problemas donde intervienen dos o más sujetos, es recomendable hacer uso del siguiente cuadro:

ASujetos

A1 A2A3

EdadesB B1 B2

B3

Tiempo

Pasado Presente Futuro

En el cuadro se cumple las siguientes relaciones con las edades.

12121212 ABBABBAA +=+⇒−=−

23232323 ABBABBAA +=+⇒−=−

13131313 ABBABBAA +=+⇒−=−

Donde:

Sujetos: Son las personas, animales u objetos cuyas edades intervienen en el problema.

Tiempo: Es el tiempo al cual corresponde la edad del sujeto, que puede ser: pasado, presente o futuro.

En un mismo problema puede haber más de un pasado o más de un futuro. Por ejemplo: “Dentro de 10 años” y “Dentro de 5 años” se refiere a dos futuros distintos.

Si en un enunciado se indica exactamente dentro de a años o hace b años entonces, en el cuadro se pondrá: “Dentro de a años en lugar de “futuro” y “hace b años” en lugar de pasado.

También se pueden usar los términos “tengo”, “tienes”, “tenía”, “tendré”, “tendrás”, etc.; en lugar de “pasado”, “presente” o “futuro”, siempre que represente mejor el enunciado del problema.

Condiciones: Son los enunciados que indican las relaciones existentes entre las edades de los sujetos.

Ejemplos: “La suma de edades es “ .....”; “tengo el doble de la edad que tienes”. “Sus edades están en la relación de ....” etc. Las condiciones permiten llenar el cuadro con las edades o en

todo caso permiten plantear ecuaciones con las edades.

PROBLEMAS RESUELTOS

01. Hace 10 años la edad de A era el doble de la de B. Actualmente sus edades suman 56 años. ¿Cuál es la edad de B?

a) 22 b) 36 c) 24d) 12 e) 50

Resolución:

Sujetos: A y BTiempo: Hace 10 años (pasado)

Actualmente (presente)

Condiciones: La edad de A era el doble de la de BActualmente sus edades suman 56 años

Elevando estos datos al cuadro.

Hace 10 años ActualmenteA 2x 2x + 10B x x + 10

A = 2B ... (I) A + B = 56 ... (II)

La condición (I) lo hemos utilizado para poner en la columna de “hace 10 años” la edad de B igual x y la de A igual a 2x por ser doble.

Según la condición (II):(2x + 10) + (x + 10) = 56

3x = 36 x = 12

La edad actual de B es :x + 10 = 12 + 10 = 22 años.

02. Hace 7 años la edad de un padre era el triple de la de su hijo; pero dentro de 9 años será solamente el doble. ¿Cuál es la suma de las edades actuales?

a) 48 b) 78 c) 68d) 49 e) 10

Resolución:

Hace 7 años

Ahora Dentro de 9 años

Padre (P) 3x 3x+7 3x+16Hijo (H) x x+7 x+16

P=3H...(I) P=2H ... (II)

Según la condición (II):

(3x + 16) = 2(x + 16) ⇒ x = 16

Ahora el padre tiene 3x + 7 = 55 y el hijo tiene x + 7 = 23; entonces la suma de sus edades es 55 + 23 = 78 años.

03.Manuel tiene el triple de la edad de Sara que tiene 12 años. ¿Cuántos años pasaran para que la edad de Manuel sea el doble de la edad de Sara?

Resolución:

Edad de Sara : 12Edad de Manuel : 3 x 12 = 36

Dentro de “x” años tendrán:

Sara : (12 + x)Manuel : (36 + x)

Del enunciado:

36 + x = 2 (12 + x)36 + x = 24 – 2x

- x = 24 – 36 x = 12

Rpta : pasaran 12 años.

04.Cuando “ Yo ” nací, mi padre tenía 38 años. ¿Qué edad tiene mi padre, si actualmente nuestras edades suman 80 años?

Resolución:



Edad actual: (nací hace “ x” años)

Yo = xPadre = 38 + x

Del enunciado :

X + 38 + x = 802x = 80 – 38 2x = 42 x = 42 / 2 x = 21

Edad de mi padre:

38 + x38 + 21 = 59

Rpta: Mi padre tiene 59 años.

05.Las edades de tres hermanos hace 2 años estaban en la misma relación que 3, 4 y 5. Si dentro de 2 años serán como 5, 6 y 7 ¿Qué edad tiene el mayor?

Resolución:

“Hace 2 años”

Actual Dentro de 2 años

1º 3x 3x + 2 3x + 4

2º 4x 4x + 2 4x + 4

3º 5x 5x + 2 5x + 4

De la condición:

6

º2

5

º1=

6

4x4

5

4x3 +=

+

18x + 24 = 20x + 204 = 2x2 = x

La edad del mayor es: 5x + 25 (2) + 2 = 12 años.

06.Hace “ x – y ” años, Felix tenía “x” años más que Sandra. Si actualmente Sandra tiene “y” años. ¿Cuál será la suma de las edades dentro de “ x – 2y ” años?

Resolución: Completar

Hace x – y años

Actual Dentro de

Felix

Sandra

Del enunciado:

05.Cuando Luis nació. Su padre tenía “p” años cuando su padre murió contaba con “q” años. ¿Cuánto tiempo vivió su padre?

Edad del padre = pLuis = o

Tiempo que vivio = Edad del padre + edad actual de Luis.

X = p + q

Rpta: p + q

08.Dentro de 4 años la suma de las edades de 2 hermanos será “k” años. Si hace 4 años la edad del mayor era el triple de la edad del menor. Hallar la edad actual del mayor.

Resolución:

“Hace 4 años”

Actual “Dentro de 4 años”

1º 3x 3x + 4 3x + 8

2º x x + 4 x + 8

1º + 2º = k

Del enunciado:

3x + 8 + x + 8 = k4x = k – 16

4

16kx

−=

44

16k3 +

−

4

32k3

4

1648k3 −⇒

+−

Rpta.

09.La suma de las edades de un padre y un hijo da 48 años. Dentro de algunos años el padre tendrá el doble de la edad que el hijo tiene ahora. ¿Cuántos años tiene el padre?

10.José le dice a Walter : “Hace 21 años mi edad era la mitad de la edad que tenía dentro de 4 años, cundo yo tenga el doble de la edad que tu tienes” ¿Qué edad tiene José?

Resolución: Completar

Hace 21 años

Actual Dentro de 4 años

José

Walter

Del enunciado:

11.Supongamos que yo tengo 10 años más que tú. ¿Qué edad tendrías tu ahora, si dentro de 5

años yo tuviera los 3

4 de la edad que tú

tienes?

Resolución:

12.El año 1984 ha sido declarado en el Perú “Año del sesquicentenario del Natalicio del Almirante Miguel Grau”. Si Grau murió el 8



de Octubre de 1879. ¿A que edad murió Grau?

PRÁCTICA DE CLASE

01.El señor César tendrá “a” años a partir de la fecha. ¿Cuántos años tuvo hace 6 años?.

a) 6a - 6 b) 6 – a c) a – 6d) a –12 e) a – 12

02.Jairo tenía 8 años hace 5 años. ¿Cuántos años tendrá dentro de 8 años?.

a) 13 b) 11 c) 18d) 20 e) 21

03.Hace 6 años Pepe tenía 6 años. ¿Dentro de cuántos años la edad de Pepe será el triple de su edad actual?.

a) 12 b) 18 c) 24d) 22 e) 36

04.Dentro de 10 años la edad de Rosario será 38 años. ¿Hace cuántos años tenía 20 años?.

a) 6 b) 8 c) 24d) 15 e) 28

05.Cuando Felipe tenía 8 años, Ricardo tenía 5 años. ¿Cuál será la edad de Ricardo cuando Felipe tenga 17 años?.

a) 11 b) 8 c) 12d) 15 e) 28

06.Cuando César tenga 19 años, Andrea tendrá 14 años. ¿Cuál será la edad de César cuando Andrea tenga 22 años ?.

a) 21 b) 27 c) 23d) 28 e) 20

07.La edad de Carlos es a la de Alberto como 5 es a 7 y la suma de sus edades es 96. ¿Dentro de cuántos la edad de Carlos será 47 años?.

a) 7 b) 6 c) 9d) 4e) 5

08.Las edades de dos hermanos están en la relación de 5 a 3; además la diferencia de edades hace 5 años era 14 ; indique la edad del menor.

a) 35 b) 28 c) 21d) 14 e) 7

09.La edad de Miguel excede a la de Alberto en 6 años y dentro de dos años la relación de éstas será de 5 a 4 . Calcular la edad de Alberto.

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

10.Las edades de Juan y Pedro se diferencian en 5 y hace 3 años la relación de edades era como 8 es a 3. Si Pedro es el menor . ¿Cuántos años tiene Juan?.

a) 13 b) 26 c) 17d) 12 e) 11

11.La edad de Víctor es el doble de la edad de Pedro y hace 15 años la edad de Víctor era el triple de la de Pedro. ¿Cuál es la edad actual de Pedro?.

a) 25 b) 40 c) 45d) 28 e) 30

12.Hace 6 años Gerardo era 4 veces mayor que David. Hallar la edad actual de Gerardo

sabiendo que dentro de 4 años, la edad de éste sólo será 2 veces mayor que David.

a) 52 b) 56 c) 60d) 40 e) 46

13.La suma de las edades de Elizabeth, Genaro y Víctor es 88 años. De los tres, el mayor tiene 20 años más que el menor y el del medio tiene 18 años menos que el mayor. ¿Cuál será la edad del menor dentro de 12 años?.

a) 34 b) 30 c) 36d) 33 e) 38

14.Cuándo Inés nació, Juana tenía 30 años. Ambas edades suman hoy 28 años más que la edad de Esteban que tiene 32 años. ¿Qué edad tiene Miguel que nació cuando Inés tenía 11 años?.

a) 6 b) 4 c) 3d) 10 e) faltan datos

15.Mi hijo tiene actualmente 30 años menos que yo. Si pudiera verlo hasta cuando él tenga mi edad actual, mi edad sería igual a cinco veces la edad que él tiene actualmente ¿Qué edad tengo?.

a) 45 b) 42 c) 48d) 50 e) 60

16.Dentro de cuatro años la edad de José será el triple de la de Juan; hace 2 años era el quintuplo. Hallar la suma de ellas dentro de 8 años.

a) 52 b) 18 c) 20d) 22 e) 56

17.A un hombre le preguntaron cuantos años tiene él respondió : “ Multipliquen por tres los años que tendré dentro de 3 años y réstenle el triple de los que tenía hace 3 años y obtendrán precisamente los años que tengo”. ¿Qué edad tiene este hombre?.

a) 11 b) 18 c) 20d) 22 e) 25

18.Hace 2 años tenía 6 veces tu edad. Dentro de 5 años tendré 25 veces la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tendrás dentro de 11 años. ¿Qué edad tengo?.

a) 28 b) 20 c) 36d) 18 e) 14

19.El tiene la edad que ella tenía cuando él tenía la tercera parte de la edad que ella tiene. Si ella tiene 18 años más de lo que él tiene. ¿Cuántos años tiene ella?.

a) 52 b) 36 c) 40d) 54 e) 50

20.Yolanda le dice a Silvana : “ Mi edad es 15 años ; cuando yo tenga la edad que tú tienes, tu edad será dos veces la que tengo disminuido en 5 ; pensar que cuando tenía 10 años tu tenías la edad que tengo” . ¿Qué edad tendrá Silvana dentro de 15 años?.

a) 27 b) 29 c) 33d) 32 e) 35




01. En 1918, la edad de un padre era 9 veces la edad de su hijo; en 1923, la edad del padre fue el quíntuple de la de su hijo. ¿Cuál fue la edad del padre en 1940 ?.

a) 66 b) 72 c) 67d) 70 e) N.a.

02.La edad de dos hermanas se puede representar por 2 números primos absolutos y se sabe que la suma de dichas edades es 36 y si al producto de dichos números primos se le agrega una unidad, el número resultante tiene 15 divisores. ¿Qué edad tiene la mayor ?.

a) 17 b) 13 c) 23d) 19 e) N.a.

03.La suma de las edades de un padre y su hijo, es 50 años. Dentro de 5 años estarán en la proporción de 1:2. Hallar en qué proporción están actualmente.

a) 1:2 b) 1:3 c) 3:7d) 2:5 e) N.a.

04.En 1909 decía un padre a su hijo mi edad es el quíntuplo de la tuya, pero en 1930, sólo será el duplo. ¿Qué edad tenía el padre en 1930 ?.

a) 48 b) 39 c) 56d) 52 e) N.a.

05.César y su abuelo tenían en 1928, tantos años como lo indicaban los números formados por las 2 últimas cifras de los años de sus nacimientos. ¿Cuántos años tenía el abuelo cuando nació César ?.

a) 40 b) 50 c) 45d) 55 e) N.a.

06.Supongamos que yo tengo 10 años más que tú. ¿Qué edad tendrías tu ahora, si dentro de 5

años yo tuviera los 4/3 de la edad que tu tuvieses?.

a) 18 b) 35 c) 20d) 25 e) N.a.

07.Patricia le dice a Rosa: tengo 4 veces la edad que tu tenías cuando yo tenía el doble de la edad que tú tienes. Cuando tengas las 3/4 partes de mi edad, nuestras edades sumarán 75 años. ¿Qué edad tiene Patricia ?.

a) 36 b) 28 c) 32d) 30 e) N.a.

08.La suma de las edades de Aída y Fara es 48 años, al acercarse Orlando, Aída le dice cuando tú naciste yo tenía 4 años; pero cuando Fara nació tenías 2 años. ¿Cuál es el edad de Orlando ?.

a) 24 b) 21 c) 25d) 22 e) 23

09.Un padre dice a su hijo: “ Ahora tu edad es la tercera parte de la mía pero, hace 10 años no era más que un quinto” . ¿Qué edad tiene el hijo?.

a) 13 b) 20 c) 16d) 24 e) N.a.

10.Cuando César nació Francesco tenía 30 años, ambas edades suman hoy 28 años más que la edad de Pablo, que tiene 50 años.¿Qué edad tiene Francesco cuando César tenía 11 años?

a) 13 b) 16 c) 11d) 18 e) N.a.

11.Preguntada Mariela, el día de su cumpleaños por su edad, respondió que la suma de sus años, más la suma de sus meses es 260. ¿Cuántos años tiene Mariela?.

a) 20 b) 18 c) 21d) 19 e) N.a.

12.Un hijo dice a su padre: la diferencia entre el cuadrado de mi edad y el cuadrado de la edad de mi hermano es 95; el padre le contesta: es la misma que la diferencia de los cuadrados de mi edad y la de tu madre. ¿Qué edad tenía el padre cuando nació su hijo mayor ?.

a) 36 b) 32 c) 38d) 34 e) N.a.

13.El tiene la edad que ella tenía, cuando el tenía la tercera parte de la edad que ella tiene. Si ella tiene 18 años más de lo que él tiene. ¿Cuántos años tiene ella ?.

a) 54 b) 32 c) 48d) 36 e) N.a.

14.Determinar la edad que cumplió Hugo en 1981 que es igual a la suma de las cifras de su año de nacimiento.

a) 20 b) 22 c) 21d) 23 e) N.a.

15.La suma y el producto de las edades de 3 hermanitos es 14 y 36 respectivamente. ¿Calcular la edad del mayor de ellos ?.

a) 4 b) 9 c) 8d) 12 e) N.a.

16.Un niño nació en Noviembre y el 9 de Diciembre tenía una edad igual al número de días transcurridos del 1° de Noviembre al día de su nacimiento. Hallar la fecha de su nacimiento.

a) 5 de noviembre b) 19 de noviembrec) 17 de noviembre d) 20 de noviembree) Ninguna

17.Un alumno de la Academia nació en el año 19ab y en 1980 tuvo (a+b) años. ¿En qué año tendrá (2a+b) años?.

a) 1982 b) 1988 c) 984d) 1986 e) N.a.

18.Un padre tiene 3 veces la edad de su hijo. ¿Cuántas veces la edad del hijo debe

transcurrir, para que la edad del padre sea sólo el doble de la de su hijo ?.

a) 1 b) 3 c) 2d) 2 1/3 e) N.a.

19.La relación de la edad de un padre con la de su hijo es 9:5. ¿Qué edad tiene el hijo, si el padre es mayor por 28 años ?.

a) 25 b) 18 c) 35d) 27 e) N.a.

20.Al preguntarle su edad a un abuelo, contestó: “No soy tan joven que pueda tener menos de 70 años, ni tan viejo que se me pueda llamar noventón”. Cada uno de mis hijos me han dado tantos nietos como hermanos tienen, mi edad es justo el triple de hijos y nietos que tengo” . ¿Cuál era su edad?.

a) 75 b) 84 c) 78d) 81 e) N.a.

21.La edad de un niño será dentro de 4 años un cuadrado perfecto. Hace 8 años su edad era la raíz de ese cuadrado. ¿Qué edad tendrá dentro de 8 años ?.

a) 28 b) 24 c) 26d) 20 e) N.a.

22.Juan nació 6 años antes que Carlos. En 1948 la suma de sus edades era la cuarta parte de la suma de sus edades en 1963. ¿En qué año nació Juan ?.

a) 1931 b) 1940 c) 1934 d) 1946 e) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

01.Mario tiene el cuádruple de la edad que tenía César cuando él tenía la edad que César tiene; pero cuando César tenga la edad que Mario tiene ambas edades sumarán 95 años. ¿Qué edad tiene Mario?.

a) 20 b) 40 c) 10d) 15 e) 25



02.María le dice a Susy: “ Cuando yo tenga la edad que tú tienes, tu edad será 2 veces la que tengo y sabes que cuando tenía 10 años, tu tenías la edad que tengo”. ¿Cuánto suman las edades actuales de ambas?.

a) 50 b) 40 c) 70d) 30 e) 60

03.Yo tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tú tengas la edad que yo tengo, mi edad será 30 años. ¿Qué edad tengo?.

a) 12 b) 24 c) 18d) 36 e) 54

04.Yo tengo el triple de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tengas la edad que tengo, mi edad será 40 años. ¿Qué edad tienes?.

a) 30 b) 20 c) 40d) 10 e) 60

05.Yo tengo la edad que tú tenías cuando yo tenía la novena parte de la edad que tendrás y tendré la suma de lo que tenía, tenías y tengo que es 6 años más de los que tienes. ¿Cuál es mi edad ?.

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

Los problemas relativos a las velocidades son estudiados en el curso de física, en su capítulo de cinemática. Veamos a continuación algunos conceptos básicos.

CINEMÁTICA : Es una parte de la mecánica, que estudia el movimiento de los cuerpos (móviles), sin tomar en cuenta las causas que lo originan. La palabra cinemática proviene de “cinema”, que significa movimiento.

MOVIMIENTO : Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo respecto a un punto de referencia; así por ejemplo, en la figura siguiente, el auto cambia de posición con relación al poste que en este caso se toma como sistema de referencia.

V

Móvil : Es todo cuerpo o partícula que realiza el movimiento.

Trayectoria : es la línea recta o curva que describe el móvil.

Desplazamiento : Es aquel vector que une al punto de partida con el punto de llegada.

Espacio recorrido : es la longitud o medida de la trayectoria.

Intervalo de Tiempo : Es el tiempo en realizarse un acontecimiento.

Velocidad : Es una magnitud vectorial cuyo módulo ( valor ) indica la relación del espacio recorrido en cada unidad de tiempo ( para el caso de un movimiento uniforme )

Aceleración : Es la variación del vector velocidad en la unidad de tiempo.

CLASIFICACIÓN DE MOVIMIENTO :Existen diferentes criterios para clasificar, pero el más generalizado está en función de su trayectoria y velocidad.

1. Por su trayectoria : Pueden ser :

a. Rectilíneob. Curvilíneo : parabólico y circular

2. Por su velocidad : Pueden ser :

a. Uniforme, Cuando su velocidad es constante

b. Variado, cuando su aceleración es constante.

Movimiento rectilíneo uniforme :

Es aquel movimiento en el cual el móvil describe en su trayectoria una línea recta y se desplaza recorriendo espacios iguales en tiempos iguales, tal como se puede apreciar en la figura siguiente:

dd

d

tt

t

La formula de la velocidad es :

A partir de la cual se obtienen : e = v . t

dotranscurritiempo:t

recorridoespacio:e

velocidad:v

:donde

la unidades más usadas en los problemas, las presentamos en el siguiente cuadro:

e cm m kmt s s hv

s

cm

s

m

h

km

Para resolver tener muy en cuenta los siguientes pasos:

a. Anotar los datos conocidos y si el problema lo requiere hacer el gráfico respectivo.

b. Escoger la fórmula adecuada

c. Sustituir los datos y realizar las operaciones necesarias.

PROBLEMAS RESUELTOS

01.Un ómnibus de 15 metros de longitud, se desplaza a una velocidad de 40 metros/ segundo. ¿Qué tiempo demora en pasar un puente de 465 metros de longitud ?

a) 15 s. b) 14 s c) 12 sd) 10 s e) N.A

Datos :

Longitud del ómnibus : e 1 = 15 m


MÓVILES

t

ev =

v

et =


Longitud del puente : e 2 = 465 m

Velocidad del ómnibus : v = 40 m/s

Tiempo que demora en pasar el puente : T ?

e1 e2

Solución :

Para que el ómnibus pase el puente debe recorrer la longitud del puente ( e2 ) y su propia longitud ( e1 ) , entonces :

Longitud total :

e = e1 + e2 ⇒ e = 15 m + 465 m ⇒ e = 480 m

El tiempo que tarda en pasar el puente es :

.seg12ts/m40

m480t

v

e

velocidad

totallongitudt =⇒=⇒==

El tiempo que demora en pasar el puente es 12 segundos.

02.Un tren recorre 540 kilómetros en cierta velocidad, otro con doble velocidad y un tercero con velocidad triple que la del primero. Entre los tres tardan 22 horas. ¿Cuál es la suma de las velocidades ?

a) 45 km/h b) 270 km / hc) 360 km / h d) 540 km / he) N.A

Solución :

Espacio recorrido por cada tren : 540 km . x

Tiempo empleado por cada tren :

Tren ( A ) : V

540

V

et

AA ==

Tren ( B ) : V2

540

V

et

BB ==

Tren ( C ) : V3

540

V

et

CC ==

Luego sumando los 3 tiempos tenemos :

t A + t B + t C = 22

V

540 +

V2

540 +

V3

540 = 22

6 ( 540 ) + 3 ( 540 ) + 2 ( 540 ) = 22 ( 6 V )

3240 + 1620 + 1080 = 132 V

5940 = 132 V

⇒ 132

5940V = ⇒

h

km45V =

Entonces la suma de velocidades será :

S = V + 2 V + 3 V

S = h

km45 +

h

km452 +

h

km453

S = h

km45 +

h

km90 +

h

km135

S = h

km270

03.Dos ciclistas están separados por 200 metros y avanzan en sentidos contrarios con velocidades de 15 y 10 metros por segundo, separándose cada vez más. ¿En qué tiempo estarán separados 3400 metros?

a) 120 s b) 125 s c) 130 sd) 128 s e) N.a

Solución :

Con los datos efectuamos el siguiente diagrama :

A B C D

15 t 200 m 10 t

3 400 mts

15 m / s 10 m / s

Ambos ciclistas utilizaron el mismo tiempo para llegar respectivamente a los puntos A y D, entonces:

BA = Vt = 15 t ; CD = Vt = 10 t

La suma de los espacios parciales debe ser igual al espacio total, como se ve en la siguiente ecuación:

BA + BC + CD = 3 40015t + 200 + 10t = 3 400

⇒ t = 128 s

Luego, emplearon un tiempo de 128s o 2 minutos con 8 segundos

04.Dos motociclistas parten de un punto A en el mismo sentido, a razón de 30 km/h y 50 Km/h cada uno. ¿Qué tiempo deberá transcurrir para que estén separados 100 km?

a) 2,5 h b) 3 h c) 3,5 hd) 4 h e) N.A

Solución :De acuerdo a los datos nuestro diagrama es :

A C

V

V

1

2

= 30 km h

= 50 km hB

100 km

El primer motociclista que va la velocidad V1

recorre la distancia :

AB = V1 t AB = 30 t

El segundo motociclista que va a la velocidad V2 , recorre la distancia :

AC = V2 t AC = 50 t

Luego planteamos la ecuación :

AC = AB + BC ↓ ↓ ↓ 50 t = 30 t + 100

50 t – 30 t = 100

20 t = 100

t = 5 h

Este resultado nos indica que al término de 5 horas ambos motociclistas estarán separados 100 km; porque cada uno habrá recorrido:

AB = V1 t = 30 x 5h = 150 kmAC = V2 t = 50 x 5h = 250 kmDonde la diferencia de distancias es : 250 Km – 150 Km = 100 Km


Rpta : C

Rpta : B

Rpta : D

Rpta : E


05. José recorre la distancia AC en 120 minutos, al regreso aumenta su velocidad de marcha en 11 metros por minuto y recorre la misma distancia en 105 minutos . Halla la distancia AC.

a) 924 b) 940 c) 9 420d) 9 240 e) N.A

Solución :

Planteamos el siguiente diagrama :

A C

V

( V + 11 )vuelta

ida

José recorre la distancia AC bajo las siguientes condiciones :

De ida : AC = V t AC = V ( 120 )AC = 120 V .......... ( 1 )

De vuelta : CA = ( V + 11 ) t CA = ( v + 11 ) 105 .... ( 2 )

Igualando 1 y 2 tenemos :

120 V1 = ( V + 11 ) 105 120 V = 105 V + 1 155 15 V = 1 155

min

m77V =

Reemplazando este valor en ( 1 ) o ( 2 ) se obtiene :

CA = 120 V = 120 min ( 77 m / min ) CA = 9 240 m

PRÁCTICA DE CLASE

01.Dos ciudades “A” y “B” distan 360 Kms. Un automóvil parte de “A” a 10 km/h y otro automóvil parte de “B” a 8 km/h. ¿En que tiempo se encontrarán ? Si c/u. va de una ciudad a la otra.

a) 16 h b) 20 h c) 24 hd) 30 h e) N.a.

02.Un auto parte de Trujillo a una velocidad de 20 km/h y otro auto parte simultáneamente de Huanchaco a Trujillo a 12 km / h. Trujillo y Huanchaco distan 160 kms. Si el primer auto viene hacia Huanchaco. ¿En qué tiempo se encontrarán ?

a) 15 h b) 4h c) 5h d) 10h e) N.a.

03.Un ómnibus “A” se encuentra a 240 km de un ómnibus “B”, si desea darle alcance. ¿En qué tiempo lo alcanzará?, si la velocidad de “A” es 32 km / h y la del ómnibus “B” es 17 km / h

a) 20 h b) 8h c) 12hd) 16 h e) 15 h

04.Dos móviles M1 y M2 están separados 4000 kms. Si avanzan en un mismo sentido y sus velocidades son : 380 km/h y 220 km/h respectivamente. ¿Dentro de qué tiempo M1

alcanzará a M2 ?

a) 15 h b) 25h c) 5hd) 10h e) N.a.

05.Dos ciclistas separados por una distancia de 120 kms deben partir a un mismo tiempo; si avanzan en un mismo sentido se encuentran al cabo de 8 horas, si lo hacen en sentido contrario, al cabo de 5 horas. Las velocidades de c/u. de ellos es :

a) 6.5 y 14.5 km/h b) 4.5 y 16.5 km/hc) 3 y 15 km/h d) 4.5 y 19.5 km/h

e) N.a.

06.Dos móviles separados por una distancia de 180 kms., deben partir al mismo tiempo, si avanzan en un mismo sentido se encuentran al cabo de 45 horas y si lo hacen en sentido contrario, al cabo de 9 horas. La velocidad de uno de ellos es :

a) 8 km/h b) 16 km/h c) 14 km/hd) 10 km/h e) N.a.

07.Un móvil sale de “A” hacia “B” a 80 km/h y regresa a 50 km/h, después de 16 horas. Si el carro se detuvo en B por 2 horas y 1 hora en el camino de regreso. Determinar la distancia de AB

a) 360 km b) 300 km c) 400 kmd) 420 km e) N.a.

08.Un auto sale de A hacia B a 60 km/h y regresa a 90 km/h, después de 19 horas. Si el auto se detuvo en B durante 2 horas y 2 horas más en el camino de ida. Determinar la distancia AB

a) 529 km b) 540 km c) 640 kmd) 480 km e) N.a.

09.Una persona va a pie de A hacia B. Sale al mediodía y recorre 70 m/min. En cierto punto sube a un microbús que recorre 150 m/min y que salió de A a las 12 horas 20 min. El hombre llega a B 20 minutos antes que si hubiera continuado caminando. Hallar la distancia AB

a) 4500 m b) 5000m c) 4750md) 5250m e) N.a.

10.Una persona va a pie de un pueblo a otro. Sale a las 10 am y recorre 35 m/min. En cierto punto sube a una camioneta que recorre 60 m/min y que salió del mismo pueblo que la persona pero a las 10 horas 30 min a.m. El hombre llegó a su destino 20 min. antes que si hubiera continuado a pie.

a) 4200 m b) 4000 m c) 3800 md) 3400 m e) N.a.

11.Se tiene un circuito cerrado de 240 metros. Dos corredores parten de un mismo punto en el mismo sentido y al cabo de 30 min. Uno de ellos le saca 2 vueltas de ventaja al otro. Pero si parten en sentidos contrarios a los 6 minutos se cruzan por segunda vez. ¿Cuál es la velocidad de c/u de ellos ?a) 46 y 30 m/min b) 50 y 34 m/minc) 48 y 32 m/min d) 56 y 40 m/mine) N.a.

12.Se tiene un circuito de 420 metros. Dos corredores parten de un mismo punto en el mismo sentido y al cabo de 40 minutos uno de ellos le saca 2 vueltas de ventaja al otro. Pero si parten en sentidos contrarios a los 6 min. Se cruzan por segunda vez. ¿Cuál es la velocidad del más lento en m/min ?

a) 80.5 m/min b) 59.5 m/min c) 60 m/min d) 80 m/min e) N.a.

13.Un tren que marcha con velocidad constante pasa delante de un observador en 8 seg. Hallar la longitud del tren si sabemos que su velocidad es 42 m/seg

a) 294 m b) 442 m c) 336 md) 342 m e) N.a

14.Un tren tiene una velocidad de 20 m/seg demora 4 seg en pasar por un túnel de 38 metros. ¿Cuál es la longitud del tren ?

a) 38 m b) 42 m c) 40 md) 46 m e) N.a.

15.Un tren tarde 8 seg. en pasar por delante de un observador y luego demora 38 seg en cruzar una estación que tiene 450 m de longitud. Se desea calcular la longitud del tren.

a) 64 m b) 80 m c) 100 md) 120 m e) N.a.


Rpta : D


16.Un tren demora 6 seg. en pasar por delante de un observador y luego demora 54 seg. en cruzar un túnel que tiene 264 m de longitud. ¿Cuál es la longitud del tren ?

a) 33 m b) 28 m c) 39 m d) 43 m e) N.a.

17.Un remero navega hacia un lugar que dista 72 km. del punto de partida y hace el viaje de ida y vuelta en 14 horas. Si el tiempo que se demora en recorrer 4 km. siguiendo la corriente es el mismo que se demora en recorrer 3 km. contra la corriente. Hallar la velocidad del barco.

a) 6.4 km/h b) 10.5 km/h c) 9.6 km/h d) 12 km/h

e) N.a.

18.Un bote navega hacia un lugar que dista 48 km y hace el viaje de ida y vuelta en 10 H. Si el tiempo que se demora en remar 3 km siguiendo la corriente es el mismo que se demora en remar 2 km contra la corriente. Hallar la velocidad del bote.

a) 2 km/h b) 4 km/h c) 10 km/hd) 20 km/h e) N.a.

19.Una persona sube una distancia de 15 km para llegar a la cima de un cerro en 8 horas y luego recorre el mismo camino para bajar demorando 2 horas en hacerlo. Su velocidad promedio en km/h es :

a) 3 km/h b) 4 km/h c) 2 km/h d) 5 km/h e) N.a.

20.Un bote recorre una distancia de 20 km río arriba en 6 horas y de regreso río abajo cubre la misma distancia en 4 horas. Su velocidad promedio en km/h es :

a) 2 km/h b) 3 km/h c) 4 km/h d) 5 km/he) N.a.


01.Un auto recorre 260 Kms. en 4 horas y otro hace un recorrido de 480 Kms. en 6 horas. Suponiendo que los dos marchan durante 11 horas. Calcular la diferencia de los recorridos.

a) 480 Kms. b) 325 Kms. c) 280 Kms. d) 165 Kms. e) N.a.

02.Un móvil sale de A hacia B a 80 Kilómetros por hora y regresa a 50 Km/h. después de 16 horas. Si el carro se detuvo en B por 2 horas y 1 hr. en el camino de regreso, determinar la distancia AB.


03.Dos ciudades A y B distan 350 Kms. De A parte una diligencia que va a 10 Km/h. y de B partió 3 horas antes en la misma dirección y sentido una diligencia que va a 5 Km/h. ¿ A qué distancia de B se se encontrarán ?


04.Un ciclista viaja por una carretera a velocidad constante, si parte en el kilómetro a0b y

una hora después esta en el Km. aab , y sabemos que en la primera media hora llegó al Km. ab0 . Calcular (a + b).

a) 12 b) 14 c) 16 d) 15 e) N.a.

05.Un móvil parte del kilómetro a0b a una

velocidad de bb km/h, al cabo de cierto

tiempo llega al kilómetro ab0 . Averiguar cuánto tiempo estuvo recorriendo el auto.

a) 9/11 hr. b) 7/11 hr. c) 8/11 hr.d) 5/11 hr. e) N.a.

06.Dos trenes de igual longitud, 120 metros pasan en sentido contrario; uno a la velocidad

de 72 Km. por hora y el otro a 36 Km/h. ¿ Cuántos segundos tardarán en cruzarse?

a) 5 b) 7 c) 9d) 8 e) N.a.

07.Los 2/ 3 de un camino se recorrieron en bicicleta a 32 km/h y el resto a pie, a razón de 4 km/h, tardando en total 7,5 horas. ¿ Cuál fue la longitud total recorrida en kilómetros ?

a) 120 b) 72 c) 240d) 720 e) N.a.

08.Un tren tarda 8 segundos en pasar por delante de un observador y luego demora 38 segundos en cruzar una estación que tiene 450 m. de longitud. Se desea calcular la longitud del tren.

a) 210 m. b) 120 m. c) 180 m.d) 150 m. e) N.a.

09.Un tren que marcha con velocidad constante cruza un túnel de 60 m. en 11 segundos; si su velocidad aumenta en 6 m/seg, logra pasar delante de una persona en 4 segundos. Hallar la longitud del tren.

a) 54 m. b) 60 m. c) 72 m.d) 84 m. e) N.a.

10.Dos ciclistas separados por una distancia de 150 Km. deben partir a un mismo tiempo; si avanzan en un mismo sentido se encuentran al cabo de 10 horas; si lo hacen en sentido contrario, al cabo de 6 horas. La velocidad de uno de ellos es :

a) 5 km/h b) 10 km/h c) 15 km/hd) 19,5 Km/h e) N.a.

11.Un peatón partió de A con dirección a B con velocidad de 6 km/h. Después de haber recorrido 4 Km. fue alcanzado por un vehículo que salió de A, 30 minutos más tarde. Después de haber recorrido el peatón 8 Kms. más encontró por segunda vez el

vehículo que regresaba de B, donde descansó 15 minutos. Calcular la distancia AB .

a) 18 kms. b) 15 kms. c) 21 kms.d) 24 kms. e) N.a.

12.Todos los días sale de Arequipa al Cuzco un ómnibus con velocidad de 80 Km/h; éste se cruza siempre a las 12 m. con un ómnibus que viene del Cuzco con velocidad de 70 km/h. Cierto día, el ómnibus que sale de Arequipa encuentra malogrado al otro a las 2 y 15 p.m. ¿ A qué hora se malogró el ómnibus que sale del Cuzco?

a) 10 h. 48 min. b) 12 h. 10 min.c) 9 h. 26 min. d) 11 h. 20 min.e) N.a.

13.Se tiene un circuito cerrado de 420 metros. Dos corredores parten de un mismo punto en el mismo sentido y al cabo de 30 minutos uno de ellos le saca 2 vueltas de ventaja al otro. Pero, si parten en sentidos contrarios a los 6 minutos se cruzan por segunda vez. ¿ Cuál es la velocidad del más lento en metros por minuto?

a) 50 b) 46 c) 56d) 42 e) N.a.

14.Alejandra y Fiona deben hacer un mismo recorrido de 36 Km., la primera está a pie y hace 6 km. por hora, la segunda en motocicleta y hace 15 km. por hora. Si la primera parte a las 06:00. ¿A qué hora deberá partir la segunda para llegar al mismo tiempo a su destino?

a) 08:40 h b) 09:25 h c) 09:36 hd) 09:20 h e) 08:36 h

15.César recorre el tramo AB en 20 horas; si la quisiera hacerlo en 25 horas; tendría que disminuir su velocidad en 8 km/h. ¿Cuánto mide el tramo AB ?

a) 650 km. b) 700 km. c) 800 km.d) 850 km. e) 900 km.



16.Un niño ha estado caminando durante 14 horas. Si hubiera caminado una hora menos, con una velocidad mayor en 5 Km/h., habría recorrido 5 km. menos. ¿Cual es su velocidad ?

a) 60 km/h b) 70 km /h c) 80 km/hd) 50 k m/h e) 65 km/h

17.Una persona dispone de 10 horas para salir de paseo. Si la ida la hace en bicicleta a 15 km/h y el regreso a pie a 5 km/h. Hallar el espacio total que recorrió dicha persona.

a) 37,4 km b) 375 km c) 3750 kmd) 75 km e) 75 m

18.Silvia se va de A a B en 2 horas. Al volver como ella ha recorrido 11 metros más por minuto, ha hecho el trayecto en 105 minutos. Hallar esta distancia.

a) 9,24 km. b) 11,5 km. c) 11,2 km.d) 10,74 km. e) 13,5 km.

19.Fernando debe realizar un viaje de 820 km. en 7 horas. Si realiza parte del viaje en avión a 200 km/h. y el resto en auto a razón de 55 km/h.. ¿Cuál es la distancia recorrida en avión ?

a) 200 b) 500 c) 600 d) 700 e) 800

20.Teresa recorre 36 km. en 8 horas, los 12 primeros km. con una velocidad superior en 2 km. a la velocidad del resto del recorrido. Calcular la velocidad con que recorrió el primer trayecto.

a) 2 km/h b) 3 km/h c) 4 km/hd) 5 km/h e) 6 km/h

TAREA DOMICILIARIA

01.Para ir de un punto a otro, una persona camina a razón de 8 km/h. y para volver al punto de partida lo hace a razón de 5km/h. Se desea saber la distancia que hay entre los puntos sabiendo que en el viaje de ida y

vuelta ha empleado en total 13 h.

a) 40 b) 36 c) 42d) 46 e) 38

02.Una persona dispone de 5h. para dar un paseo. ¿Hasta qué distancia podrá hacerse conducir por un automóvil que va a 54 km/h; sabiendo que ha de regresar a pie a la velocidad de 6 km/h ?

a) 17 b) 37 c) 57d) 27 e) 47

03.Un automovilista debe llegar a una ciudad distante 480 km. a las 19:00 horas, pero con la finalidad de llegar a las 18:00 horas tuvo que ir a 24 km. más por cada hora. ¿A qué hora partió?

a) 12:00 h b) 13:00 h c) 14:00 hd) 15:00 h e) 16:00 h

04.Los 2/3 de un camino se recorrieron en bicicleta a 32 km/h y el resto a pie, a razón de 4 km/h, tardando en total 7,5 h. ¿Cuál fue la longitud total recorrida en km. ?

a) 120 b) 240 c) 72d) 96 e) 80

05.Marcela y Sarita debe hacer un mismo recorrido de 38 km., la primera esta a pie y hace 6km. por hora, Sarita en bicicleta y hace 15 km. por hora, si Marcela parte a las 06:00 horas. ¿A qué hora deberá partir Sarita para llegar al mismo tiempo a su destino ?

a) 08:24 h b) 08:52 h c) 09:36 hd) 09:48 h e) 10:00 h

Tipo (I)

01.Un reloj que da la hora mediante campanadas, se demora 1 segundo para dar las 2. ¿Cuántos segundos se demorará en dar las 4, si las campanadas están igualmente espaciadas?

a) 1 segundo b) 2 segundosc) 3 segundos d) 4 segundose) 5 segundos

ResoluciónSi se demora 1 segundo en dar las 2, implica que se demora en dar 2 campanadas, quiere decir que de la primera campanada a la segunda ha transcurrido 1 segundo.

1° campanada 2° campanada

1 segundo

Nótese que el tiempo que se considera, no es el que demoran en sonar las dos campanadas, sino el tiempo transcurrido entre una y otra campanada.Luego para dar las 4 (es decir para dar 4 campanadas) de la 1ra a la 2da campanada habrá 1 segundo; de la 2da a la 3ra otro segundo y de la 3ra a la 4ta un segundo más, vale decir, tardará tres segundos.

1°

1 seg

2° 3° 4°

1 seg 1 seg

Total: 3 segundos.

02.Un reloj de campanadas se demora 1 segundo en dar las 3 horas. ¿Cuánto tardará en dar las 5 horas?a) 1 segundo b) 1.5 segundoc) 2 segundos d) 2.5 segundose) 3 segundos

Resolución

Dato:

1°

1/2 seg

2° 3°

1 seg

1/2 seg

∴Para dar las 5 horas:

1°

1/2 seg

2° 3°

1/2 seg

4° 5°

1/2 seg 1/2 seg

Total: 4 (1/2) = 2 seg.

Tipo (II)

03.Siendo las 8 a.m. empieza a adelantarse un reloj, a razón de 5 minutos por cada hora. ¿Qué hora estará marcando este reloj, cuando en realidad sean las 10 p.m. del mismo día?

a) 10:10 pm. b) 10:50 pm. c) 11:00 pm.d) 11:10 pm. e) 11:20 pm.

Resolución

De las 8 a.m. hasta las 10 p.m. han transcurrido 14 horas.En 1 hora se adelanta 5 minutos.En 14 horas se adelantará “x” minutos.x = 14 x 5 = 70 min ó 1 hora 10 min.Luego: a las 10 p.m. tendrá un adelantado de 1 hora 10 min, entonces marcará 11.10 p.m.

04.Un reloj que se atrasa 4 minutos cada 5 horas, se pone a la hora al medio día. Se desea poner nuevamente a la hora a las 8:00 am. ¿Cuántos minutos se debe adelantar para ponerlo a la hora?a) 15 min. b) 16 min. c) 18 min.d) 20 min. e) 24 min.


RELOJE


ResoluciónDel medio día, a las 8:00 a.m. del otro día han transcurrido 20 horas.

En 5 horas se atrasa 4 minutos.En 20 horas se atrasará “x” minutos.

x = 5

4x20 = 16 minutos

Luego, para ponerlo a la hora, hay que adelantarlo en 16 minutos.

05. Cuando son exactamente las 4:00 p.m.; un reloj marca las 3:40 p.m. Se sabe que el reloj sufre un retraso constante de 2 minutos cada 3 horas. Determinar a que hora marcó la hora correcta por última vez?

a) 8:00 a.m. b) 9:00 a.m. c) 9:30 a.m.d) 9:40 a.m. e) 10:00 a.m.

Resolución

Como son las 4:00 p.m.; un reloj marca las 3:40 p.m., entonces tiene un retraso de 20 minutos.

En 3 horas se retrasa 2 minutos.En “x” horas se habrá retrasado 20 minutos.

x = 2

3x20 = 39 horas

Luego, para retrasarse 20 minutos se ha demorado 30 horas, por lo que se deduce que hace 30 horas marcó la hora correcta por última vez, es decir, a las 10:00 a.m.

06.Siendo las 12 del día, un reloj empezó a adelantarse a razón de 10 minutos por hora. ¿Dentro de cuántas horas volverá a marcar la hora correcta por primera vez?

a) Dentro de 12 horasb) Dentro de 36 horas

c) Dentro de 2 díasd) Dentro de 1 díae) Dentro de 3 días

Resolución

Para que un reloj que se adelanta vuelva a marcar la hora correcta por primera vez, tiene que adelantarse en 12 horas como mínimo.Por ejemplo, supóngase que en estos momentos son las 10:00 a.m.; tenemos un reloj que marca la hora correcta y adelantemos en 12 horas, notaremos que a pesar de estar adelantado en 12 horas, estará marcando la hora correcta, es decir, las 10:00.

Es por ello, que en este problema, tendríamos que esperar que el reloj se adelante en 12 oras = 12 x 60 = 720 minutos, para que vuelva a marcar la hora correcta.

Luego:

En 1 hora se adelanta 10 minutos.En “x” horas se adelantará 720 minutos.

x = 10

720 = 72 horas = 3 días.

Volverá a marcar la hora correcta por primera vez dentro de 3 días.

Tipo (III)

Los problemas que analizaremos en este caso, son los que se derivan de la relación existente entre la hora que marca el reloj y el ángulo formado por las manecillas del reloj en ese momento.

Algunas Consideraciones

1. Divisiones de un reloj

Un reloj de manecillas tiene 12 divisiones mayores que indican las horas, cada una de éstas está dividida en cinco divisiones menores, las cuales hacen un total de 12 x 5 = 60 divisiones menores en toda la circunferencia que indican los minutos. En adelante como divisiones nos referimos a las divisiones menores.

Por otro lado, toda la circunferencia del reloj tiene 360°.De lo anterior tenemos las siguientes equivalencias.

60 div < > 60 min < > 360°1 div < > 1 min < > 6°

Lo anterior indica, que si el minutero de un reloj recorre 1 división, transcurre 1 minuto de tiempo y ha barrido un ángulo de 6°.

2. Relación de los corridos del horario y el minutero

En una hora la aguja minutera da una vuelta entera, es decir, recorre 60 divisiones, mientras que el horario recorre solamente 5 divisiones (la doceava parte de lo que recorre el minutero).

Cuando: Las 12 divisiones mayores tiene 5.

Minutero recorre ⇒ Horario recorre60 divisiones12 divisionesm divisiones

5 divisiones1 división

m/12 divisionesPor ejemplo: cuando el minutero haya recorrido 36 divisiones (36 minutos), en ese

tiempo, el horario habrá recorrido 12

36 = 3

divisiones.

3. Hora de referencia

Dada una hora cualquiera, la hora de referencia será la hora exacta anterior a dicha hora.

Ejemplo:

A las 7 hrs 25 min, la hora de referencia será las 7 en punto.

Entre las 4 y las 5, la hora de referencia será las 4 en punto.

Problema General: Hallar el ángulo que forman las manecillas de un reloj, a las “H” con “m” minutos.

Resolución:

a) Cuando el horario adelanta al minuteroPartamos de la hora de referencia, que en este caso será las “H” en punto. A partir de ese momento el minutero ha recorrido “m” divisiones, en tanto que el horario la recorrido m/12 divisiones.

Hora de Referencia

H

12 5Hdiv



A las “H” con “m” min.

H

12 5Hdivmdiv

1 div. < > 6° ⇒ 2

m11H30 −=α

b) Cuando el minutero adelanta el horarioNuevamente partiendo de la hora de referencia, el minutero ha recorrido “m” divisiones, mientras que el horario m/12.

Hora de Referencia

H

12 5Hdiv

A las “H” con “m” min.

m div

12 5Hdiv

αm12

div

div12

mH5m

+−=α

1 div < > 6° ⇒ H302

m11−≡α

Resumen:

La hora que señala el reloj y el ángulo que forman sus manecillas están relacionados de la siguiente manera:Cuando horario adelanta al minutero

2

m11H30 −=α

Cuando el minutero adelanta al horario

H302

m11−=α

Donde:

H: Hora de referencia (0 ≤ H < 12)M: # de minutos transcurridos a partir de la

hora de referencia.α: Medida del ángulo que forman las

manecillas del reloj en grados sexagesimales.

Ejemplo 1: ¿Cuál es el menor ángulo que forman las manecillas de un reloj a las 7:24 a.m.?

Resolución:

12

α

°=α

−=α

−=α

=α

=

=

782

)24(11)7(30

2

m11H30

?

24m

7H

Ejemplo 2:

¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj, a las 9:10 p.m.?

°=α

−=α

−=α

=α

=

=

2152

)10(11)9(30

2

m11H30

?

10m

9H

Nota:Cuando se pregunta por el ángulo que forman las manecillas del reloj, se entiende por el menor ángulo. En este ejemplo, el ángulo mide 215° que es mayor de 180°; luego, el ángulo pedido no es éste si no su ángulo revolucionario, es decir 360° - 215° = 145°.

Ejemplo 3:

¿Cuál es el ángulo formado por las manecillas de un reloj a las 4 y 36 minutos?

Resolución:

°=α

−=α

−=α

=α

=

=

78

)4(302

)36(11

H302

m11

?

36m

4H

Ejemplo 4:

Determinar el ángulo que forman manecillas de un reloj a las 12 con 18 minutos.

Resolución:Cuando son las 12 y tantos, las horas de referencia se toma como cero (H = 0).

Luego:

°=α

−=α

−=α

=α

=

=

99

)0(302

)18(11

H302

m11

?

18m

0H

Ejemplo 5:

¿A qué horas, entre las 4 y las 5, las manecillas de un reloj, forman un ángulo de 65° por primera vez?

Resolución:

12

65°

5

4

1

°=

−=

−=α

°=α

=

=

10m2

m11)4(3065

2

m11H30

65

??m

4H

Nota:

Cuando se dice “por primera vez” significa que el horario está adelantado con respecto del minutero y cuando se dice “por segunda vez” ocurre la viceversa.

Ejemplo 6:

¿A qué horas entre las 2 y las 3, las manecillas de un reloj formarán un ángulo de 145° por segunda vez?



Resolución:

El ángulo que forman las manecillas del reloj, se mide en sentido horario a partir de horario si el minutero adelanta al horario y a partir del minutero si el horario adelanta al minutero.Por lo anterior, en este ejemplo:α = 360° - 145° = 215°

A las 2 con 50 minutos.

10145°

3

2

215°

50m

)2(302

m11215

H302

m11

215

??m

2H

=

−=

−=α

°=α

=

=

PRÁCTICA DE CLASE

01.Un reloj se atrasa 4 segundos cada 2 horas; hace 1 mes que se viene atrasando. ¿Qué hora marcará si son en realidad las 4h 22’?

a) 4h 46’ b) 4h 24’ c) 3h 58’d) 3h 24’ e) N.a.

02.Un reloj se adelanta 4 minutos cada 6 horas, hace 12 días que se viene adelantando, ¿Qué hora son en realidad si marca 2h 8’?

a) 10h 56’ b) 11h 56’ c) 5h 20’d) 3h 12’ e) N.a.

03.Un reloj comienza adelantarse 5 minutos cada 10 horas. ¿Cuánto tiempo pasará para que marque la hora exacta nuevamente?

a) 40 días b) 50 días c) 60 díasd) 70 días e) 30 días

04.Han transcurrido 120 días para que un reloj marque nuevamente la hora exacta. ¿cada cuántas horas tendrá que haberse adelantado 6 minutos para así poder hacerlo?

a) 20 h b) 22 h c) 24 h d) 26 h e) 28 h

05.En un día ¿cuántas veces las agujas de un reloj se superponen?

a) 24 b) 23 c) 25 d) 21 e) 22

06.Pasan de las 3 sin ser las 4 de esta oscura noche. Si hubiera pasado 25 min más faltarían para las 5 horas los mismos minutos que pasaron desde las 3 horas hace 15’. ¿Qué hora es?

a) 3h 51’ b) 3h 42’ c) 3h 56’d) 3h 46’ e) 3h 55’

07.¿Cuál es el menor ángulo que forman las agujas de un reloj a las 9h 30 min?

a) 30° b) 45° c) 36° d) 50° e) 105°

08.¿ Cuál es el menor ángulo que forman las agujas de un reloj a las 7h 20 min ?

a) 95° b) 100° c) 105° d) 110° e) N.a.

09.¿A qué hora entre las 2 y las 3 las agujas de un reloj se superponen?

a) 2h 10 10/11 min b) 2h 10 7/11 minc) 2h 10 9/11 min d) 2h 8/11 mine) 2h 10 5/11 min

10.¿A qué hora entre las 4 y las 5 las agujas de un reloj están en línea recta?

a) 4h 54 5/11 min b) 4h 54 2/11 minc) 4h 54 7/11 min d) 4h 54 3/11 mine) 4h 54 6/11 min

11.¿A qué hora entre las 4 y las 5 el minutero y el horario forman un ángulo que sea la quinta parte del ángulo externo antes que el minutero pase sobre el horario?

a) 4h 11 10/11 min b) 4h 10 7/11 minc) 4h 11 9/11 min d) 4h 10 10/11 mine) 4h 10 9/11 min

12.¿Cada cuánto tiempo las agujas de un reloj forman un ángulo recto?

a) 15 min b) 30 min c) 32 8/11 min d) 36 7/11 min e) N.a.

13.¿Cada cuánto tiempo las agujas de un reloj se superponen?

a) 10 10/11 min b) 10 8/11 minc) 30 min d) 15 min e) N.a.

14.¿A qué hora después de las 3 el número de minutos transcurridos a partir de las 3 es igual al número de grados que adelantan el minutero al horario?

a) 3h 10’ b) 3h 15’ c) 3h 20’d) 3h 25’ e) 3h 30’

15.¿A qué hora después de las 2 el minutero adelanta al horario tanto como el horario adelantó a las 12?

a) 2h 16 min b) 2h 20 min c) 2h 24 mind) 2h 26 min e) 2h 28 min

16.Faltan transcurrir del día tanto como la tercera parte del tiempo que transcurrió hasta hace 4 horas. ¿qué hora es?

a) 8 pm. b) 5 pm. c) 10 pm.d) 7 pm. e) 6 pm.

17.Una persona comienza su viaje en la mañana entre 8 y las 9, cuando las manecillas del reloj

están en posiciones opuestas y llega a su destino entre las 2 y las 3 de la tarde del mismo día, cuando las manecillas del reloj están coincidiendo. ¿Cuánto tiempo duró su viaje?

a) 5 hr 59 min b) 6 hrc) 6 hr 01 min d) 6 hr 02 min e) N.a.

18.Un reloj A se adelanta 5 minutos cada hora, otro B se atrasa 5 minutos cada hora y tercer reloj C marca las horas al medio. ¿Dentro de cuánto tiempo, los horarios de los tres relojes estarán equidistando entre sí?

a) Dentro de 1 díab) Dentro de 26 horasc) Dentro de 36 horasd) Dentro de 2 díase) Dentro de 4 días

19.¿A qué horas por la tarde el número de horas transcurridos del día, es igual al número de minutos transcurridos después de dicha hora, si en ese momento las manecillas del reloj forman un ángulo de 81°?

a) 14 hr. 14 min b) 15 hr 15 minc) 16 hr 16 min d) 17 hr 17 mine) 18 hr 18 min

20. Hugo y Cuca deciden verse a las 8 pm. Hugo tiene el reloj 15 minutos adelantado y Cuca 15 minutos atrasado. Si Hugo llega a la cita 15 minutos antes según su reloj y Cuca 15 minutos retrasada según su reloj.¿Cuánto tiempo esperó Hugo?

a) No espero b) 15 minutosc) 30 minutos d) 45 minutose) 1 hora




01.Un reloj de 4 campanadas en 3 seg. ¿En cuántos segundos dará 15 campanadas ?.

a) 13” b) 12” c) 14”d) 11.25” e) 10”

02.Un reloj da 3 campanadas en 4 seg. ¿Cuántas campanadas dará en 6 seg. ?

a) 4,5 b) 3 c) 2 d) 5 e) 4

03.Un reloj se adelanta 4’ cada 3h ¿A qué hora empezó a adelantarse si a las 11h 10’ de la noche marca 11h 38’ ?.

a) 2h38’ b) 3h 10’ c) 2h28’d) 2h10’ e) 3h10’

04.Ya hace 18 hrs que se adelanta un reloj, ¿Cuánto se adelanta por hora, si señala las 5h 25’ cuando son las 5h6’ ?

a) 1’ b) 30” c) 1h30”d) 2’ e) 3’

05.Un reloj se atrasa 4’ en cada hora, si se sincroniza exactamente a las 2 am. ¿Qué hora marcará cuando realmente sean las 4h30’ p.m. ?

a) 4h20’ p.m. b) 3h28’ p.m.c) 3h 32’ p.m. d) 3h 20’ p.m.e) 2h 30’ p.m.

06.Un reloj se atrasa 3’ cada 45’. Si ahora marca las 11h 30’ y hace 4h que se atrasa. ¿Cuál es la hora correcta ?.

a) 11h 10’ b) 11h 14’ c) 10h 56’d) 11h 46’ e) N.a.

07.Un reloj se atrasa 2’ por hora. Si empieza correctamente a las 12m del día miércoles 20

de Abril. ¿Cuándo volverá a señalar la hora correcta ?.

a) Miércoles,5 de Mayob) Miércoles, 4 de Mayoc) Jueves, 5 de Mayod) Viernes, 6 de Mayoe) N.a.

08.Un reloj se adelanta 1’ por hora. Si empieza correctamente a las 12 m. del día miércoles 13 de Julio. ¿Cuándo volverá a señalar la hora correcta ?.

a) Viernes, 12 de Agostob) Viernes, 13 de Agostoc) Jueves, 12 de Agostod) Miércoles, 12 de Agostoe) N.a.

09.Un reloj se atrasa 2’ por hora y otro se adelanta 3’ por hora. ¿Qué tiempo mínimo debe pasar para que los dos relojes vuelvan a marcar la misma hora, si contamos a partir de un momento en que ambos marcaron las 12 a.m. correctamente?.

a) 12 días b) 6 días c) 720 díasd) 24 días e) N.a.

10.En un momento dado, 2 relojes marcan las 12m; uno de ellos se retrasa 8 seg por hora y el otro se adelanta 4 seg. por hora. ¿Qué tiempo mínimo debe transcurrir para que los 2 relojes vuelvan a marcar una misma hora ?.

a) 30 días b) 60 días c) 40 días d) 1 mes y medioe) 100 días

11.¿Cuál es el menor ángulo que forman las manecillas del reloj a las 3h 40’ ?

a) 90° b) 150° c) 130°d) 120° e) 100°

12.¿Cuál es el mayor ángulo que forman las agujas del reloj a las 4h 18’ ?

a) 21° b) 121° c) 310°d) 339° e) 233°

13.Antes que el minutero pase sobre el horario. ¿A qué hora entre las 5 y las 6, las agujas de un reloj forman en ángulo recto?.

a) 5h 10 10’/11 b) 5h 11 5’/11c) 5h 11 2’/11 d) 5h 11 9’/11e) N.a.

14.¿A qué hora entre las 3 y las 4, las agujas de un reloj forman un ángulo de 20°, si el minutero ya pasó al horario?.

a) 3h 40’ b) 3h 10’ c) 3h 20’d) 3h 60’ e) 3h 30’

15.¿A qué hora entre las 7 y las 8, las agujas de un reloj estarán en direcciones opuestas?.

a) 7h 5’ 26 1”/11b) 7h 20’ 36”c) 7h 30’ 12 1”/11d) 7h 5’ 27 3”/11e) N.a.

16.¿A qué hora entre las 1 y las 2 de la tarde, las agujas de un reloj estarán en direcciones opuestas?.

a) 1h 36’ 10 1”/11b) 1h 38’ 10 10”/11c) 1h 42’ 36”d) 1h 38’ 12 10”/11e) N.a.

17.¿A qué hora entre las 3 y las 4, las manecillas del reloj se superponen?.

a) 3h 16 3’/11 b) 3h 15 3’/11c) 3h 16 4/11’ d) 3h 18 4/11”e) N.a.

18.¿A qué hora entre las 5 y las 6, las manecillas del reloj se superponen ?.

a) 5h 25 2’/11 b) 5h 18 2’/11c) 5h 27 2’/11 d) 5h 27 3’/11e) N.a.

19.¿A qué hora entre las 2 y las 3, el minutero y el horario forman un ángulo que sea los 7/5 del ángulo exterior?.

a) 2h 41 7’/11 b) 2h 38 2’/11c) 2h 42 6’/8 d) 2h 43 7’/11e) N.a.

20.¿A qué hora entre las 4 y las 5, el minutero y el horario formarán un ángulo que sea la cuarta parte del ángulo exterior ?.

a) 4h 10 5’/11 b) 4h 8 8’/11c) 4h 6 5’/11 d) 4h 12 5’/11e) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

01.Un campanario tarda 4s. en tocar 5 campanadas. ¿Cuánto tardará en tocar 10 campanadas?

a) 3 s. b) 6 s. c) 9 s.d) 12 s. e) N.a

02.Una campana toca 3 campanadas en 7 segundos. ¿Cuántos segundos tardará en tocar 7 campanadas?

a) 7 s. b) 10 s. c) 14 s.d) 21 s. e) N.a.

03.Dos campanas " A" y " B" empiezan tocando simultáneamente y cada uno toca a intervalos iguales, además " A" da 6 campanadas en 35 horas y " B" da 6 campanadas en 15 horas.



¿Cuántas horas transcurren hasta que vuelvan a tocar simultáneamente?

a) 12 b) 21 c) 18d) 36 e) 24

04.Un campanario señala las horas con igual número de campanadas, si para indicar las 5:am. demora 8 segundos. ¿Cuánto demorará para indicar las 12:00 m.?

a) 15 s. b) 22 s. c) 43 s.d) 16 s. e) N.a

05.El campanario de una iglesia estuvo tocando durante 38 segundos; si se escuchan tantas campanadas como 10 veces el tiempo que hay entre campanada y campanada. ¿Cuánto tiempo empleará éste campanario para tocar 7 campanadas?

a) 12 s. b) 18 s. c) 24 s.d) 30 s. e) N.a

06.Faltan transcurrir del día la mitad del tiempo que ha transcurrido. ¿Qué hora es?

a) 2 pm. b) 3 pm. c) 4pm.d) 6pm. e) N.a

07.Si fueran 3 horas más tarde de lo que es, faltarían para acabar el día 5/7 de lo que faltaría se es que fuera 3 horas más temprano. ¿Qué hora es?

a) 3 am. b) 4 am. c) 5 am.d) 6 am. e) N.a

08.¿ Qué hora es ? para saberlo, basta consumar la mitad del tiempo que falta para las doce del mediodía y los 2/3 del tiempo transcurrido desde las doce de la noche ?

a) 6h: 30 min. b) 6h: 48 min.c) 7 h: 12 min. d) 8h: 28 min.e) N.a

09.¿Cuál es la relación de la fracción transcurrida de la semana a la fracción transcurrida del día cuando son las 6 am. del miércoles?

a) 7

8b)

7

1c)

7

6

d) 7

9e)

5

3

10.¿Qué hora será dentro de 4

15 h, sabiendo

que en estos momentos el tiempo transcurrido es excedido en 5 h. por los que faltan transcurrir del día?

a) 2:45 p.m. b) 3:10 p.m. c) 4:20 p.m.d) 6:30 p.m. e) N.a

SOLUCIONARIO

NºEJERCICIOS PROPUESTOS

01 02 03 04 0501. B C C D C02. C D D C E03. D B C B D04. B D C B B05. A B B A C06. B C D D D07. C C A B C08. C C E B A09. B C B C B10. A D E A E11. C B A C C12. C D A C D13. D E A C A14. B C D C C15. C C B C D16. B B D B B17. B C D D C18. B D A A D19. D C C B20. C A E D21. D22. B23.24.25.


Education

Raz. matematico