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Clasificación de las relaciones
según sus
propiedades
Introducción:En esta unidad aprenderemos a utilizar los grafos y
a clasificar sus relaciones…
A
E
B
C
D
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Índice Introducción Grafos Vértices Aristas Propiedad Reflexiva Propiedad no Reflexiva Propiedad Irreflexiva Propiedad Simétrica Propiedad Asimétrica Relación transitiva Relación de Equivalencia Ejemplo de las relaciones
GRAFOS
Un grafo es una pareja de conjuntos G = (V,A), donde V es el conjunto de vértices, y A es el conjunto de aristas.
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Vértices Los vértices son los dos elementos que forman un
grafo. Como ocurre con el resto de las ramas de las matemáticas, a la Teoría de Grafos no le interesa saber qué son los vértices.
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Aristas
Son las líneas con las que se unen los vértices de un grafo, los vértices a y b son los extremos.
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Propiedad ReflexivaSi tenemos un conjunto “A” y una relación “R” sobre el mismo, diremos que “R” es reflexiva si para cada elemento de “A” el par ordenado (X,X) es un elemento de R.
A= {1,2,3}R={(1,1),(2,2),(3,3)}
.
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Si la relación es reflexiva entonces la diagonal pertenece a la relación..
Matriz de relación
Esta matriz se caracteriza por tener sus elementos en la diagonal principal.
A= {1,2,3}R={(1,1),(2,2),(3,3)}
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Propiedad no reflexiva
Si ala diagonal le pertenecen solo algunos elementos de la diagonal y otros no, se le
denomina no reflexiva
A={1,2,3,4}R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,3)}
Si a la diagonal le falta un solo elemento De la relación se vuelve no reflexiva.
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Matriz de Relación
En este caso con que un elemento de la relación que se encuentre fuera de la diagonal principal se considera como no reflexiva.
A={1,2,3,4}R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,3)}
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Propiedad irreflexiva
Si ningún elemento de la diagonal pertenece a la relación, recibe el nombre de irreflexiva.
A={2,3}R={(2,3),(3,1)
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Matiz de relación
En este caso se considera irreflexiva si ninguno de los elementos de la relación pertenece a la diagonal principal.
A={2,3}R={(2,3),(3,1)
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Propiedad simétricaDado un conjunto “A” y una relación “R” sobre “A”,
diremos que “R” es simétrica si y solo si. Para cualquier par ordenado de R, el par obtenido
permutando sus componentes también pertenece a “R”.
A={1,2,3,4}R={(1,1)(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(4,4)}
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Matriz de relación
En este caso debe existir la diagonal principal y para cada elemento que se encuentre fuera de la diagonal debe existir otro (paralelo al mismo).
A={1,2,3,4}R={(1,1)(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(4,4)}
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Propiedad Transitiva Dado un conjunto “A” y una relación “R” sobre
“A”,, diremos que “R” es transitiva si y solo si, para todo par de elementos (x, y) de la relación, se verifica que (x, z) también pertenece a la relación.
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Relación de equivalencia
Una relación sobre un conjunto si y solo si es reflexiva, simétrica y transitiva “A”, se llama relación de equivalencia.
A={1,2,3,4,5}R={(1,1),(1,2),(1,5),(2,1),(2,2),(2,5),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,5)}
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se dice que para cada par (a, b) que pertenece a R, el par (b, a) no pertenece.
Ejemplo:
A={1,2,3,4}
R={(1,1), (1,2), (3,2), (3,3)}
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4
a
b
f
d
La relación asimétrica
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Ejemplo real sobre las relaciones mencionadas anteriormente
Una Persona “x” que sale de su casa (la casa se encuentra en otay constituyentes)y va a la escuela (cetis 156), después regresa
a su casa a comer, y después de comer sale de la casa y se va a su trabajo(burguer
king de plaza otay)
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Ir ejemplo
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2
1
3
A=1.2.3R={(1,2)(2,1)(1,3)
Matriz: 0 1 1
1 0 0
0 0 0
1 2 3
1
2
3
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Irreflexiva
Equipo: The Avengers
Rodríguez Gómez Christian 12211966
Giovanni Padilla Solís 12211498
José Chagala Jiménez 12211507
Bryan Ontiveros Valenzuela 12211523
Daniel Mora Saldaña 12211524
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Índice
FIN