JPRV 1

REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE ONDAS ACÚSTICAS

1. Motivación Actualmente existen muchas técnicas diagnósticas en medicina, se pueden dividir

en dos grandes grupos, los que utilizan radiación ionizante y los otros con

radiaciones no ionizantes. En éste último grupo está los ultrasonidos.

Como seguramente ya hemos escuchado que todo el avance tecnológico en

medicina, se debe principalmente a la física. Para nosotros que somos físicos de

formación las aplicaciones de la física en todas las áreas nos enaltecen.

Los resultados del análisis de un fenómeno físico pueden ser aplicados, de acuerdo

al ingenio en algún área de las ciencias. Tenemos muchos conocimientos que están

esperando que lo apliquemos.

¿Cómo puedo aplicar mis conocimientos de reflexión y refracción de ondas

acústicas en medicina?

2. Objetivo Analizar el fenómeno físico de reflexión y refracción de ondas acústicas planas, y

aplicar éstos resultados a las posibilidades diagnósticas que ofrece el ultrasonido.

3. Reflexión y Refracción de Ondas Asumiremos que no hay pérdida de energía durante el proceso de propagación de la

onda (el coeficiente de absorción es cero); también que no ocurra dispersión (medio

homogéneo).

La onda de presión incidente (de izquierda a derecha) puede ser representado como ( )xkti

1i1eAP

−ω= (1)

Donde:

A1, es una constante igual a la amplitud de la onda incidente

t, es el tiempo

x, es la localización espacial

ω, es la frecuencia angular

k1, es el número de onda en el medio 1 (k1 = ω/c1)

La onda incide normalmente sobre una superficie plana paralela que separa el

primer medio homogéneo de un segundo con propiedades acústicas diferentes.

Entonces la onda incidente experimentará en la superficie que divide los dos

medios, reflexión y transmisión.

La onda de presión reflejada puede ser representado como ( )xkti

1r1eBP

+ω= (2)

Donde:

B1, es una constante igual a la amplitud de la onda reflejada

Se toma positivo en el paréntesis porque va de derecha a izquierda.

De igual manera para la onda de presión transmitida puede ser representado como ( )xkti

2t2eAP

−ω= (3)

Donde:

JPRV 2

A2, es una constante igual a la amplitud de la onda transmitida

k2, es el número de onda en el medio 2 (k2 = ω/c2)

La situación es descrita esquemáticamente en la Fig. 1.

Figura 1. Reflexión y transmisión de ondas planas en una superficie plana.

Las condiciones de frontera

0xt0xr0xi |P|P|P === =+ (4)

0xt0xr0xi |u|u|u === =+ (5)

Donde

u, es la velocidad de la partícula, definido como

dtx

P1u ∫

∂

∂

ρ−= (6)

Si P es armónica y plana, entonces la dependencia espacial y temporal se puede se

puede separar tal que

tie)x(P)t,x(P ω= (7)

Reemplazando (7) en (6) da

tiex

)x(P

i

1u ω

∂

∂

ρω−= (8)

Usando otra vez (7) se obtiene

x

)t,x(P

i

1u

∂∂

ρω−= (9)

De las condiciones de frontera (4) y (5), tenemos

211 ABA =+ (10)

22

2

11

1

11

1

c

A

c

B

c

A

ρ=

ρ−

ρ (11)

Operando con (10) y (11) se tiene

2211

1122

1

1

cc

cc

A

B

ρ+ρ

ρ−ρ= (12)

JPRV 3

1122

22

1

2

cc

c2

A

A

ρ+ρ

ρ= (13)

Llamaremos coeficiente de reflexión de presión a

1

10x

i

r

A

B|

P

Pr =

= = (14)

Coeficiente de transmisión de presión a

1

20x

i

t

A

A|

P

P=

=τ = (15)

Reemplazando (12), (13) en (14), (15) respectivamente y en función de la

impedancia acústica (Z = ρc)

21

12

ZZ

ZZr

+

−= (16)

12

2

ZZ

Z2

+=τ (17)

Vemos que

τ=+ r1 (18)

La intensidad media de una onda plana esta dado por

2uc2

1I ρ= (19)

Teniendo en cuenta (9), de (19) tenemos

1

21

11

21

iZ2

A

c2

AI =

ρ= (20)

1

21

11

21

rZ2

B

c2

BI =

ρ= (21)

2

22

22

22

tZ2

A

c2

AI =

ρ= (22)

Definiendo el coeficiente de reflexión de intensidad como

2

21

21

i

r rA

B

I

IR === (23)

Y el coeficiente de transmisión de intensidad como

τ=

==

2

12

2

1

21

22

i

t

Z

Z

Z

Z

A

A

I

IT (24)

Teniendo en cuenta (16) y (17), obtenemos 2

21

12

ZZ

ZZR

+

−= (25)

JPRV 4

( )221

214

ZZ

ZZT

+= (26)

Vemos que

1TR =+ (27)

4. Discusión y Ejemplo de Aplicación En la Tabla 1, se muestra las propiedades acústicas de diferentes medios, a partir de

ella ver las posibilidades diagnósticas.

Tabla 1. Propiedades acústicas de diferentes medios (temperatura de ambiente, 20 ºC, y temperatura

humana, 37 ºC)

Material ρ (kg. m-3) c (m.s-1) Z (kg.m-2.s-1) Aire 1,21 343 415

Agua 1 000 1 480 1,48x106

Hígado 1 060 1 550 1,64x106

Músculo 1 080 1 580 1,70x106

Grasa humana 952 1 459 1,38x106

Riñón 1 038 1 560 1,62x106

Bazo 1 045 1 570 1,64x106

Sangre 1 057 1 575 1,62x106

Hueso 1 912 4 080 7,8x106

Pulmón 400 650 0,26x106

Si deseo obtener información de estructuras haciendo incidir ondas acústicas, los

resultados del fenómeno físico me dicen que tengo que conseguir alto coeficiente

de transmisión de intensidad (T), con respecto al coeficiente de reflexión de

intensidad (R).

La onda que trae la información va ha ser la reflejada, o sea los ecos (así llamados).

La reflexión y transmisión de las ondas acústicas va producirse cuando la onda pasa

de un medio a otro pero diferente, y es caracterizada por la impedancia acústica del

medio.

Centrando nuestro análisis al cuerpo humano, de la Tabla 1, podemos ver que aire,

hueso y pulmón, tienen gran variación con respecto a la impedancia acústica de los

otros tejidos.

Analicemos los siguientes casos:

a) Incidencia Aire-Agua (o Agua-Aire)

R = 0,999 y T = 0,001

b) Incidencia Agua-Hueso (o Hueso-Agua)

R = 0,464 y T = 0,536

c) Incidencia Agua-Pulmón (o Pulmón-Agua)

R = 0,492 y T = 0,508

d) Incidencia Grasa humana-Músculo (o Músculo-Grasa humana)

R = 0,011 y T = 0,989

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Podemos concluir que no utilizaremos ondas acústicas cuando queremos estudiar

estructuras en el cuerpo humano que contengan hueso o cavidades con aire.

Como alguien tiene que generar las ondas acústicas, y esto lo hace un material

piezoeléctrico, uno bastante conocido es el PZT (Plomo-Zirconio-Titanio) cuya

impedancia acústica es 29,0x106 kg.m

-2.s-1. Si ponemos este transductor en contacto

directo con el tejido humano (1,63x106 kg.m

-2.s-1), tendremos

Incidencia PZT-Tejido humano

R = 0,798 y T = 0,202

Este valor es inaceptable y la mayoría de transductores tienen un material

intermedio entre este y la superficie humana, si este material tiene una impedancia

Z y queremos maximizar la transmisión, hallaremos que

21 ZZZ =

Donde

Z1, es la impedancia del transductor

Z2, es la impedancia del tejido humano

5. Preguntas y Problemas 1. ¿Cuándo ocurre el fenómeno físico de reflexión y transmisión de ondas

acústicas? ¿Encuentra alguna analogía con las ondas electromagnéticas? ¿Cómo

podríamos diferenciar ambas?

2. Las relaciones que obtuvimos son considerando ondas planas, ¿significa que no

sirve mis relaciones obtenidas? Explique.

3. Se sabe que la impedancia de un transductor PZT es 29,0x106 kg.m

-2.s-1 y que la

impedancia de cierto tipo de piel es 1,4x106 kg.m

-2.s-1.

a) Si la intensidad de la onda incidente es 80 mW.cm-2; determine la intensidad

de la onda transmitida a la piel.

b) Si ahora se coloca un material que optimice la transmisión, determine la intensidad de la onda transmitida a la piel.

4. Un ultrasonido llega a una región Tejido-Hueso-Tejido. Si la intensidad de la

onda al llegar a la primera interfase Tejido-Hueso es 10 mW.cm-2, determine la

intensidad de la onda que entra al segundo tejido.

5. Si un paciente le preguntase si el diagnóstico usando ecografía acarrea

complicaciones y se puede usarse para todo tipo de diagnóstico, ¿cuál sería su

respuesta?

6. Demostrar que la optimización de la transmisión se logra poniendo un material

intermedio de impedancia 21 ZZZ = .

7. Investigar lo que ocurre cuando se toma en cuenta la atenuación de las ondas

acústicas. ¿Cómo serían ahora mis relaciones de R y T?

8. Según la pregunta anterior, usted tiene dos sistemas de ecografía, uno opera a 4

Mz y otro a 2 MHz. ¿Cuál usaría para hacer ecografía de una persona obesa y

cual para una persona delgada? Explique.

9. Generalice las ecuaciones de R y T, para múltiples capas de diferentes medios.

10. Diseñe en bloques (cajas negras) un equipo para la adquisición de imágenes

mediante ecografía con ultrasonidos desde su generación, recepción de las

ondas acústicas hasta su presentación como imagen.