Disusun

(Text ,Gambar dan Animation)

Oleh : R

FUNGSI

I. RELASI

Pengantar :

Ari anak dari pak Amir, Budi anak dari pak Kamal,

Cici anak dari pak Alim , Dodi anak dari pak Amir ,

dan Eko anak dari pak Kamal.

Pada keterangan diatas dapat dilihat bahwa ada dua

himpunan , yaitu :

Himpunan Anak = A = {Ari , Budi , Cici , Dodi , Eko}Himpunan Bapak = B = {Amir , Kamal , Alim}

Hubungan (Relasi) antara anggota A dan B adalah :

“anak dari”

Relasi ialah Hubungan antara dua kumpulan

Objek dengan aturan tertentu.

Suatu relasi dapat dinyatakan dalam bentuk :

1). Diagram Panah

2). Himpunan Pasangan Berurutan

3). Grafik (Diagram Cartesius)

Contoh 1 :

Ari anak dari pak Amir, Budi anak dari pak Kamal,

Cici anak dari pak Alim , Dodi anak dari pak Amir ,

dan Eko anak dari pak Kamal.

Tunjukkan relasi diatas dalam bentuk :

a. Diagram Panahnya.

b. Himpunan Pasangan berurutan

c. Grafik

Jawab :

a. Diagram Panah :

Ari .

Budi .

Cici .

Dodi .

Eko .

• Amir

• Kamal

• Alim

Anak dariBapakAnak

b. Himpunan Pasangan Berurutan :

{(Ari,Amir) , (Budi,Kamal) , (Cici,Alim) , (Dodi,Amir) , (Eko,Kamal)}

c. Grafik :

Anak

Bapak

Ari Budi Cici Dodi Eko

Amir

Alim

Kamal

(Ari,Amir)

(Budi,Kamal)

(Cici,Alim)

(Dodi,Amir)

(Eko,Kamal)

9.

10.

11.

12.

13.

14.

K•2

•3

•4

•5

•6

•7

•8

L

Contoh 2 :

Diketahui K = { 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 } dan L = {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8}

Tunjukkan relasi dari K ke L dengan aturan “kelipatan dari” , dalam

Bentuk : a. Diagram Panah

b. Himpunan Pasangan Berurutan

c. Grafik

Jawab : a. Diagram Panah :

Kelipatan dari

b. Himpunan Pasangan Berurutan

{(9,3) , (10,2) , (10,5) , (12,2) , (12,3) , (12,4) , (12,6) , (14,2) , (14,7)}

c. Grafik.

K

L

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1

2

3

4

5

6

7

(9,3)

(10,2)

(10,5)

(12,2)

(12,3)

(12,4)

(12,6)

(14,2)

(14,7)

Contoh 3 :

Tuliskan diatasnya arti tanda panah pada masing-masing

diagram panah berikut ini!

Setengah dari

•2

•4

•6

•8

•1

•1

•1

•1

1

2

3

4

a. Lebih dari

•1

•2

•3

•4

•1

•1

•1

2

3

4

b.

Faktor dari

•16

•18

•20

•22

•24

•1

•1

•1

•1

•1

5

6

7

8

9

c.

II. PEMETAAN

A. PENGERTIAN PEMETAAN

Pemetaan = Fungsi

Pemetaan ialah relasi (hubungan) yang khusus antara

dua himpunan , dimana setiap anggota himpunan

pertama dengan tepat mendapat satu pasangan

anggota himpunan kedua.

Contoh 1 : (dihalman berikut)

Contoh 1 :

Apakah relasi dibawah ini Pemetaan (Fungsi)?

Jawab :

a. Adalah relasi yang merupakan Pemetaan (Fungsi), karena setiap (semua) anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B

b. Bukan Pemetaan , sebab anggota K (himpunan pertama) ada yang mendapat lebih dari satu pasangan anggota L danada pula yang belum mendapat pasangan.

Ari .

Budi .

Cici .

Dodi .

Edo .

• Amir

• Kamal

• Alim

Anak daria. A B b.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

K•2

•3

•4

•5

•6

•7

•8

L

Kelipatan dari

Contoh 2 :Diketahui P = { a , b , c } dan Q = { 2 , 4 } , dalam bentuk

diagram panah , tunjukkan semua pemetaan yang mungkin :

a. dari P ke Q b. dari Q ke P

Jawab :

a.

a

b

c

P

•2

•4

Qa

b

c

P

•2

•4

Qa

b

c

P

•2

•4

Qa

b

c

P

•2

•4

Q

a

b

c

P

•2

•4

Qa

b

c

P

•2

•4

Qa

b

c

P

•2

•4

Qa

b

c

P

•2

•4

Q

b. •a

•b

•c

P2

4

Q•a

•b

•c

P2

4

Q•a

•b

•c

P2

4

Q

•a

•b

•c

P2

4

Q

•a

•b

•c

P2

4

Q

•a

•b

•c

P2

4

Q•a

•b

•c

P2

4

Q

•a

•b

•c

P2

4

Q•a

•b

•c

P2

4

Q

Menentukan banyak pemetaan :Pada contoh 2 : P = { a , b , c } dan Q = { 2 , 4 } ,

maka : n(P) = 3 dan n(Q) = 2

Banyak Pemetaan dari P ke Q = 8 = 23 = n(Q)n(P)

Banyak Pemetaan dari Q ke P = 9 = 32 = n(P)n(Q)

Kesimpulan

Jika n(A) = k dan n(B) = m , maka :

• Banyak pemetaan dari A ke B = n(B)n(A) = mk

Catatan :

Pada setiap pemetaan atau Fungsi :

• Himpunan pertama disebut Daerah Asal atau Domain

• Himpunan kedua disebut Daerah Kawan atau Kodomain

• Anggota himpunan kedua yang mendapat pasangan disebut Daerah Hasil atau Range

Pada pemetaan dikanan ini :

• Daerah Asal (Domain) :A = {Ari , Budi , Cici , Dodi , Edo}

• Daerah Kawan (Kodomain) :

B = {Amir , Kamal , Alim}

• Daerah Hasil ( Range) :

Range = { Amir , Kamal }

Ari .

Budi .

Cici .

Dodi .

Edo .

• Amir

• Kamal

• Alim

Anak dariA B

Contoh 3 :

Diketahui banyak anggota A = n(A) = 4 dan banyak anggota B =

n(B) = 5 , tentukan banyak pemetaan yang mungkin jika :

a. Himpunan A sebagai Domain

b. Himpunan B sebagai Domain

Jawab :

a. Himpunan A sebagai Domain , berarti Pemetaan dari A ke B

Banyak pemetaan dari A ke B = 54 = 625

b. Himpunan B sebagai Domain , berarti Pemetaan dari B ke A

Banyak pemetaan dari A ke B = 45 = 1024

Cotoh 4 :

Relasi dibawah ini tentukan apakah pemetaan atau bukan pemetaan dengan terlebih dahulu menentukan himpunan I dan apabila merupakan pemetaan tuliskan Rangenya(daerah hasil)!

a. {(3,6) , (4,6) , (5,6)} b. {(6,3) , (6,4) , (6,5)}

c. {(3,4) , (3,4) , (4,2) , (5,4)} d. {(a,b) , (b,c) , (c,d) , (d,e) , (e,f)}

e. {(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , … , (25,25)}

Jawab :

a. {(3,6) , (4,6) , (5,6)}

Maka Domain = { 3 , 4 , 5 }

Jadi Relasi itu merupakan Pemetaan

Range = { 6 }

Anggota Himpunan I

Range

Karena 3 , 4 , 5 semua

berbeda-beda , maka

Relasi itu adalah

merupakan pemetaan3 4 5

b. {(6,3) , (6,4) , (6,5)}

Himpunan I = { 6 } , ketiga-tiganya sama , maka :

Bukan merupakan pemetaan

c. {(3,4) , (3,4) , (4,2) , (5,4)}

Himpunan = { 3 , 4 , 5 } , ada yang sama , yaitu : 3

maka bukan merupakan pemetaan

d. {(a,b) , (b,c) , (c,d) , (d,e) , (e,f)}

Domain = { a , b , c , d , e} , semua berbeda, maka :

Merupakan Pemetaan

Range = { b, c , d , e , f }

e. {(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , … , (25,25)}

Domain = { 1 , 2 , 3 , … , 25 }

Merupakan Pemetaan

Range = { 1 , 2 , 3 , … , 25 }

Contoh 5 : Pada diagram Cartesius berikut,Nyatakan pemetaan atau bukan pemetaan.

DOMAIN0 1 2 3 4 5

a.

KO

DO

MA

IN

2

4

6

8

10

12

b.

DOMAIN0 1 2 3 4 5

KO

DO

MA

IN

3

6

9

12

15

18

Jawab : PEMETAAN Jawab : BUKAN PEMETAAN

B. KORESPONDENSI SATU-SATU

• Korespondensi Satu-satu disebut juga Perkawanan

Satu-satu.

• Korespondensi satu-satu antara anggota dua himpunan

ialah merupakan funsi yang khusus , dimana setiap

anggota himpunan pertama (Domain) dengan tepat

mendapat pasangan satu anggota himpunan kedua dan

sebaliknya setiap anggota himpunan kedua (Kodomain)

dengan tepat dipasangkan satu anggota Domain.

• Dua himpunan dapat berkorespondensi satu-satu jika

kedua himpunan itu sama banyak anggotanya.

Contoh 1 :

Manakah relasi pada diagram panah berikut yang merupakan

korespondensi satu-satu?

Jawab :

- Yang merupakan Korespondensi satu-satu adalah : Gambar a dan b

- Gambar c bukan korespondensi satu-satu , sebab ada satuyang belum dipasangkan

•3

•4

•5

•6

a

b

c

d

•g

•h

•i

•j

a. •3

•4

•5

•6

•7

3

4

5

6

7

•4

•5

•6

•7

•8

b.•3

•4

•5

•6

•7

3

4

5

6

7

•4

•5

•6

•7

•8

c.

Contoh 2 :

Manakah himpunan pasangan berurutan berikut yang mungkin berkorespondensi satu-satu?

a. {(a,10) , (b,12) , (c,11) , (d,13) , (e,14)}

b. {(2,3) , (3,4) , (4,5) , (5,3)}

c. {(5,5) , (6,6) , (7,7) , (8,8) , … , (12,12)}

d. {(1,2) , (2,3) , (3,4) , (4,5) , … , (19,20)}

Jawab :

Yang mungkin berkorespondensi satu-satu adalah :

a. {(a,10) , (b,12) , (c,11) , (d,13) , (e,14)}

c. {(5,5) , (6,6) , (7,7) , (8,8) , … , (12,12)}

d. {(1,2) , (2,3) , (3,4) , (4,5) , … , (19,20)}

Contoh 3 :

Diketahui A = {-7 , -8 , -9} dan B = {50 , 65 , 82}.

a. Gambarkan semua korespondensi satu-satu yangmungkin dari A ke B

a. Ada berapa seluruhnya jawaban a diatas?

Jawab :

•1

•1

•1

-7

-8

-9

•50

•65

•82

A B•1

•1

•1

-7

-8

-9

•50

•65

•82

A B•1

•1

•1

-7

-8

-9

•50

•65

•82

A B

•1

•1

•1

-7

-8

-9

•50

•65

•82

A B•1

•1

•1

-7

-8

-9

•50

•65

•82

A B •1

•1

•1

-7

-8

-9

•50

•65

•82

A B

Kesimpulan

1. (i). Setiap korespondensi satu-satu adalah

termasuk pemetaan

(ii). Tetapi setiap pemetaan belum tentu

korespondensi satu-satu

2. Dua himpunan dapat berkorespondensi satu-

satu apabila banyak anggotanya sama

3. Banyak korespondensi satu-satu dari dua

himpunan yang banyak anggotanya n dapat

dientukan dengan cara : 1 x 2 x 3 x … x n

C. NOTASI PEMETAAN (FUNGSI)

Pengantar

f : x ax + c Artinya : mesin hitung f merubah x menjadi ax + c

Hal itu dirumuskan sebagai berikut :

Mesin hitung f :

3x + 2x hasilMasuk

Proses PeritunganKeluar

Contoh pengantar :

Diketahui f : x → 3 x + 2 , tentukanlah hasilnya masing-

masing jika x Є {1 , 2 , 3 , 4 , 5}

Jawab :(i). x = 1 , maka hasilnya =

(ii). x = 2 , maka hasilnya =

(iii). x = 3 , maka hasilnya =

(iv). x = 4 , maka hasilnya =

(v). x = 5 , maka hasilnya =

Catatan :

Daerah Asal = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}

Daerah Hasil = {5 , 8 , 11 , 14 , 17}

x hasil

Mesin hitung : f

3 + 2x1 .1 5

5

2 .2 8

8

3 .3 11

11

4 .4 1414

5 .5 1717

Selanjutnya pada pelajaran Matematika :

• f : x → a x + c disebut Notasi Fungsi

• f : x → a x + c , dibaca : “f memetakan x ke ax + c”

• Notasi Fungsi dapat ditulis dalam bentuk Rumus Fungsi.

• Jika Notasi Fungsi adalah f : x → a x + c , maka

Rumus Fungsinya ialah f(x) = ax + c

• f(x) = ax + c , dibaca : “f x sama dengan ax + c”

• Arti dari f : x → a x + c dan f(x) = ax + c adalah sama.

Soal seperti Contoh pengantar tadi biasanya diselesaikan dengan

menggunakan rumus fungsi seperti berikut :

Domain = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } , Kodomain = bebas (tidak ditentukan)

Notasi fungsinya : f : x → 3x + 2 , maka

Rumus fungsinya : f(x) = 3x + 2

(i). x = 1 , maka f(1) = 3.1 + 2 = 5

(ii). x = 2 , maka f(2) = 3.2 + 2 = 8

(iii). x = 3 , maka f(3) = 3.3 + 2 = 11

(iv). x = 4 , maka f(4) = 3.4 + 2 = 14

(v). x = 5 , maka f(5) = 3.5 + 2 = 17

Maka Daerah Hasil = Range = { 5 , 8 , 11 , 14 , 17 }

Contoh 1 :

Tuliskan rumus fungsinya!

a. f : x → x + 2 b. g : x → 6 + 4x

c. h : x → 5x – 1 d. f : x → -7x

Contoh 2 :

Tuliskan dalam bentuk notasi fungsi!

a. f(x) = 2⅛ x + 2 b. h(x) = x2 – 4x + 3

c. g(x) = 3 d. g(x) = ∛x

Jawab :

1. a. f(x) = x + 2

b. g(x)= 6 + 4x

c. h(x) = 5x – 1

d. f(x) = -7x

2. a. f : x → 2⅛ x + 2

b. h : x → x2 – 4x + 3

c. g : x → 3

d. g : x → ∛x

Contoh 3 :

Diketahui g(x) = 2x – 6 dan domain = {x | x < 8, x bilangan ganjil }.

a. Tentukan Range!

b. Nyatakan Fungsi tersebut dalam bentuk himpunan pasangan

berurutan!

c. Gambarkan grafiknya

Jawab :

a. Domain = { 1 , 3, 5 , 7 }

Jika x = 1 , maka :

g(1) = 2.1 – 6 = -4

Jika x = 3 , maka :

g(3) = 2.3 -6= 0

Jika x = 5 , maka

g(5) = 2.5 – 6 = 4

Jika x = 7 , maka

g(7) = 2.7 – 6 = 8

Maka Range = { -4 , 0 , 4 , 8 }

b. x = 1 , hasil = -4

x = 3 , hasil = 0

x = 5 , hasil = 4

x = 7 , hasil = 8

c. Grafiknya

(1,-4)

(3,0)

(5,4)

(7,8)

Himpunan pasangan

berurutannya adalah :

{(1,-4) , (3,0) , (5,4) , (7,8)}

o X

g(x)

-1

-2

-3

-4

3

1

2

4

56

78

-1-2-3 1 2 3 4 5 7 86

(1,-4)

(3,0)

(5,4)

(7,8)

Contoh 4 :

Diketahui suatu fungsi f : x → px + 17 , bila f : 3 → -19 ,

tentukan nilai p , kemudian tuliskan rumus fungsi itu!

Penyelesaian :

Dik. : f : x → px + 17 dan f : 3 → -19

Dit. : p = …?

Rumus Fungsi = …?

Jawab :

f : x → px + 17

f : 3 →p.3 + 17

f : 3 → 3p + 17

f : 3 → -19

Maka : 3p + 17 = -19

↔ 3p = -19 – 17

↔ 3p = -36

↔ p = -36 : 3 = -12

Jadi p = -12

Rumus Fungsi itu : f(x) = -12x + 17

Contoh 5 :

Diketahui g(x) = px + q , g(-7) = 4 dan g(1) = 28.

Tentukanlah : a. p dan q b. Rumus fungsi g c. Nilai g(-2) Jawab :

a. g(x) = px + q

g(-7)= 4

g(-7)= p(-7) + q

= -7p + q

g(1) = 28

g(1) = p(1) + q

= p + q

Jadi : -7p + q = 4 … (1)

p + q = 28 … (2)

-8p + 0 = -24

p = -24 : (-8) = 3

p = 3 p + q = 283 + q = 28q = 28 – 3

= 25

b. g(x) = px + qg(x) = 3x + 25

c. g(x) = 3x + 25

g(-2) = 3(-2) + 25

= -6 + 25

= 19

-7p + q = 4 …(1)

p + q = 28 …(2)

Maka :p = 3

q = 25

Contoh 6 :

Diketahui f(x) = 3x dan g(x) = 5x – 4 , tentukanlah Nilai :

a. f(-4) b. g(0,2) c. f(g(7)) d. g(f(7))

Jawab :

a. f(-4) = 3. -4 = -12

b. g(0,2) = 5.0,2 – 4 = 1 – 4 = -3

c. Cara I :

f(g(x)) = f (5x - 4)

= 3(5x – 4)

f(g(x)) = 15x – 12

f(g(7)) = 15. 7 – 12

= 105 – 12

f(g(7)) = 93

Cara II :

f(g(7)) =

= 3.31

f(g(7)) = 93

g(7) = 5.7 – 4

= 35 – 4

g(7) = 31

f(31)

d. Cara I :

Dik. : f(x) = 3x

g(x) = 5x – 4

maka :

g(f(x)) = g(3x)

= 5.3x – 4

g(f(x)) = 15x – 4

g(f(7)) = 15.7 – 4

= 105 – 4

g(f(x)) = 101

Cara II :

f(x) = 3x

f(7) = 3.7

f(7) = 21

Maka :

g(f(7)) = g(21)

= 5.21 – 4

= 105 – 4

g(f(7)) = 101

Contoh 7 :

Jika f(x) = 2x + 3 , tentukanlah bentuk fungsi yang paling sederhana

untuk : a. f(n) b. f(-2x) c. f(x+4) d. f(x-4) e. f(5p+9)

Jawab :

f(x) = 2x + 3 , maka :

a. f(n) = 2n + 3

b. f(-2x) = 2(-2x) + 3

f(-2x) = -4x + 3

c. f(x+4) = 2(x+4) + 3

f(x+4) = 2x + 8 + 3

f(x+4) = 2x + 11

d. f(x-4) = 2(x-4) + 3

f(x-4) = 2x – 8 + 3

f(x-4) = 2x – 5

e. f(5p+9) = 2(5p+9) + 3

f(5p+9) = 10p + 18 + 3

f(5p+9) = 10p + 21