relasi himpunan

RELASIRELASI

Matematika DiskritMatematika Diskrit

Matematika Diskrit 2

Definisi• Relasi (binair) R dari himpunan X ke himpunan Y

adalah sebuah subhimpunan dari hasil kali Cartesius X x Y.

• Notasi :Jika (x,y) ∈ R maka :

x R y x relasi dengan y• Daerah asal (domain) dari R :

{x ∈ X | (x,y) ∈ R untuk beberapa y ∈ Y}• Daerah hasil (range) dari R :

{y ∈ Y | (x,y) ∈ R untuk beberapa x ∈ X}


Contoh 1

• X = {Nani, Rianti, Dudi, Ivan, Candra}

• Y = { Teknik Informatika, Matematika, Manajemen Informatika, Teknik Sipil}

• R = {(Nani, Teknik Informatika), (Rianti, Matematika), (Dudi, Manajemen Informatika), (Ivan, Manajemen Informatika), (Candra, Teknik Sipil)}

X Y

Nani T. Informatika

Rianti Matematika

Dudi Manaj. Informatika

Ivan Manaj. Informatika

Candra T. Sipil


Pasangan terurut dalam relasi R


Contoh 2• X = {2,3,4}• Y = { 3,4,5,6,7}• R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}

X Y2 42 63 33 64 4

• Domain dari R = {2,3,4}

• Range dari R = { 3,4, 6}


Digraf

• Cara informatif untuk menggambarkan sebuah relasi pada sebuah himpunan

• Memiliki : vertex (ujung) directed edge

(rusuk berarah)


Sifat-sifat Relasi

• Refleksif• Anti refleksif• Simetris• Antisimetris• Transitif • Non transitif


• Relasi R pada himpunan X disebut refleksif jika (x,x) ∈ R untuk setiap x ∈ X

• Digraf dari refleksif mempunyai sebuah loop pada setiap ujungnya.

• Contoh :X = {1,2,3,4}R = {(1,1),(1,2),(1,3), (1,4),(2,2),(2,3), (2,4),(3,3),(3,4), (4,4)}

Refleksif


Tidak Refleksif• Salah satu atau lebih vertex

tidak mempunyai loop• Contoh :

X = {1,2,3,4}R = {(1,1),(2,3),(3,2),(4,4)}


Simetris• Relasi R pada himpunan X disebut

simetris jika untuk semua x, y ∈ X, jika (x,y) ∈ R maka (y,x) ∈ R

• Digraf dari relasi simetris mempunyai sifat bahwa terdapat rusuk berarah dari v ke w, maka juga terdapat rusuk berarah dari w ke v


Simetris (Cont.)• Contoh :

X = {1,2,3,4}R = {(1,1),(2,3),(3,2),(4,4)}

(2,3) di R dan (3,2) di R


Antisimetris (Tidak Simetris)

• Relasi R pada himpunan X disebut antisimetris jika untuk semua x, y ∈ X, jika (x,y) ∈ R dan x ≠ y, maka (y,x) ∉ R

• Digraf dari relasi antisimetris mempunyai sifat bahwa diantara sembarang 2 ujung terdapat rusuk 2 arah


Antisimetris (Cont.)• Contoh :

X = {1,2,3,4}R = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),

(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)}

(2,3) ∈ R tetapi (3,2) ∉ R


Transitif• Relasi R pada himpunan X disebut

transitif jika untuk semua x,y,z ∈X, jika (x,y) dan (y,z) ∈ R, maka (x,z) ∈ R

• Digraf dari relasi transitif mempunyai sifat bahwa apabila terdapat rusuk berarah dari x ke y dan dari y ke z, maka terdapat rusuk berarah dari x ke z.


Transitif (Cont.)

(x,y) (y,z) (x,z) (x,y) (y,z) (x,z)(1,1) (1,1) (1,1) (2,2) (2,2) (2,2)(1,1) (1,2) (1,2) (2,2) (2,3) (2,3)(1,1) (1,3) (1,3) (2,2) (2,4) (2,4)(1,1) (1,4) (1,4) (2,3) (3,3) (2,3)(1,2) (2,2) (1,2) (2,3) (3,4) (2,4)(1,2) (2,3) (1,3) (2,4) (4,4) (2,4)(1,2) (2,4) (1,4) (3,3) (3,3) (3,3)(1,3) (3,3) (1,3) (3,3) (3,4) (3,4)(1,3) (3,4) (1,4) (3,4) (4,4) (3,4)(1,4) (4,4) (1,4) (4,4) (4,4) (4,4)

Pasangan berbentuk Pasangan berbentuk


Transitif (Cont.)

• Penentuan sebuah relasi R transitif :1. jika (x,y) dan (y,z) ∈ R, maka (x,z) ∈ R2. x = y dan (x,z) = (y,z) di R

• Contoh : R1 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,1),(4,4)} tidak transitif R2 = {(1,1),(1,2),(2,1)} tidak transitif R3 = {(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)} tidak transitif R4 = {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)} transitif


Urutan Parsial (Partial Orders)

• Relasi R pada himpunan X disebut urutan parsial jika R refleksif, antisimetris dan transitif

• Ketiga persyaratan tersebut harus dipenuhi


Invers• Misalkan R adalah relasi dari X ke Y maka

invers dari R adalah relasi dari Y ke X• Notasi : R-1 • Invers didefinisikan :

R-1 = {(y,x) | (x,y) ∈ R}• Digambarkan relasi ini sebagai “terbagi

oleh”• Contoh :

R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)} R-1 = {(4,2), (6,2), (3,3), (6,3), (4,4)}


Komposisi (Composite)

• Misalkan R1 adalah relasi dari X ke Y dan R2 adalah relasi dari Y ke Z, maka komposisi dari R1 dan R2 adalah relasi dari X ke Z

• Notasi : R2 ° R1 • Komposisi didefinisikan :

R2 ° R1 = {(x,z) | (x,y) ∈ R1 dan (y,z)∈ R2 untuk beberapa y ∈ Y}

• Contoh : R1 = {(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} R2 = {(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} R2 ° R1 = {(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)}


Relasi Keekuivalenan• Teorema 1 :

Misalkan S adalah partisi dari himpunan X. Definisikan xRy untuk mengartikan bahwa untuk beberapa himpunan S di S, baik x maupun y berada di S, maka R refleksif, simetris dan transitif

• Sebuah relasi yang refleksif, simetris dan transitif pada himpunan X disebut relasi keekuivalenan pada X (equivalence relation on X)


• Contoh :S = {{1,3,5},{2,6},{4}}X = {1,2,3,4,5,6}R = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),(2,2),

(2,6),(6,2),(6,6),(4,4)}• Digraf relasi dari R harus :Refleksif :

terdapat sebuah loop pada setiap ujungnyaSimetris :

untuk setiap rusuk berarah dari v ke w juga terdapat

rusuk berarah dari w ke vTransitif :

jika terdapat sebuah rusuk berarah dari x ke y dan rusuk berarah dari y ke z maka terdapat rusuk

berarah dari x ke z

Relasi Keekuivalenan (Cont.)


Relasi Keekuivalenan (Cont.)


Teorema 2• Misalkan R sebuah relasi keekuivalenan pada

himpunan X. Untuk setiap a ∈ X, misalkan :{a} = {x ∈ X | xRa}

Sehingga :S = {[a] | a ∈ X}

adalah partisi dari X• Misalkan R adalah relasi keekuivalenan pada

himpunan X. Himpunan-himpunan [a] yang didefinisikan pada Teorema 2 disebut kelas keekuivalenan dari X yang diberikan oleh relasi R


Contoh • S = {{1,3,5},{2,6},{4}}

X = {1,2,3,4,5,6}R = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1), (5,3),(5,5),(2,2),(2,6),(6,2),(6,6),(4,4)}Kelas keekuivalenan [1] yang mengandung 1 terdiri dari semua y sehingga (1,y) ∈ R. Oleh karena itu :

[1] = {1,3,5}Kelas ekuivalenan yang tersisa didapatkan dengan cara yang sama :

[3] = [5] = {1,3,5}[2] = [6] = {2,6}[4] = {4}


Teorema 3

• Misalkan R adalah relasi keekuivalenan pada himpunan terhingga X. Jika setiap kelas keeukuivalenan mempunyai r unsur, maka terdapat |X| / r kelas keekuivalenan

X1

(r unsur)

X2

(r unsur)

……. Xk

(r unsur)|X| = r k

|X| = |X1| + |X2| + … + |Xk|

= r + r + … + r = r k


Matriks Relasi• Dikenal dengan adjacency matrix• Contoh :

R = {(1,b),(1,d),(2,c),(3,c),(3,b),(4,a)}X = {1,2,3,4}Y = {a,b,c,d}

0001

0110

0100

1010

4

3

2

1

dcba


Klosur Relasi• Klosur relasi terjadi jika :Relasi tidak refleksif menjadi refleksif

Klosur refleksif (Reflexive Closure)Relasi tidak simetris menjadi simetris

Klosur simetris (Symmetric Closure)Relasi tidak transitif menjadi transitif

Klosur transitif (Transitive Closure)


Klosur refleksif (Reflexive Closure)• Klosur refleksif dari R adalah :

R ∪ ∆ , dimana ∆ = {(a,a)|a ∈ A}

• Contoh :1. A = {1, 2, 3}

R = {(1,1), (1,3), (2,3), (3,2)} tidak refleksifSupaya bersifat refleksif maka ∆ = {(1,1), (2,2), (3,3)} Sehingga klosur refleksif dari R adalah : R ∪ ∆ = {(1,1), (1,3), (2,3), (3,2)} ∪ (1,1), (2,2), (3,3)} = {(1,1), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}

2. R = {(a,b)|a ≠ b} pada himpunan bilangan bulatMaka klosur refleksif dari R adalah : R ∪ ∆ = {(a,b)|a ≠ b} ∪ {(a,a)|a ∈ Z} = {(a,b)|a ∈ Z}


Klosur Simetris (Symmetric Closure)• Klosur simetris dari R adalah :

R ∪ R-1 , dimana R-1 = {(a,b)| (b,a) a ∈ R}

• Contoh :1. A = {1, 2, 3}

R = {(1,3), (1,2), (2,1), (3,2), (3,3)}Supaya bersifat simetris maka R-1 = {(3,1), (2,1), (1,2), (2,3), (3,3)}Sehingga klosur simetris adalah :

R ∪ R-1 = {(1,3), (1,2), (2,1), (3,2), (3,3)} ∪ {(3,1), (2,1), (1,2), (2,3), (3,3)}= {(1,3), (3,1), (1,2), (2,1), (3,2), (2,3), (3,3)}

2. R = {(a,b)|a habis membagi b} pada himpunan bilangan bulatMaka klosur simteris dari R adalah :

R ∪ R-1 = {(a,b)|a habis membagi b} ∪ {(b,a)|b habis membagi a} = {(a,b)|a habis membagi b atau b habis membagi a}


Klosur Transitif (Transitive Closure)

• Klosur transitif dari R adalah :

*]3[]2[*

32

1

*

RRRRR

n

n

n

MMMMM

atau

RRRRR

∨∨∨∨=

∪∪==∞

=


Contoh A = {1, 2, 3}R = {(1,1), (1,3), (2,2), (3,1), (3,2)}Matriks yang merepresentasikan relasi R adalah :

=

011

010

101

RM

Klosur transitif dari R adalah :]3[]2[* RRRR

MMMM ∨∨=Karena

Maka

]3[]2[* RRRRMMMM ∨∨=

==

==

111

010

111

.

111

010

111

. ]2[]3[]2[ RRRRRRMMMdanMMM

Sehingga klosur transitif R* : {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3)}


Latihan

Jika diketahui X = {1,2,3,4}Tentukan relasi berikut memiliki sifat transitif atau

tidak :1. R1 = {(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(4,2)}2. R2 = {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(4,4)}3. R3 = {(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2)}4. R4 = {(1,3),(2,1),(2,3),(3,2),(3,3)}5. R5 = {(1,2),(1,4),(2,2),(2,3),(3,4),(3,2),(4,1)}


Latihan Jika A = {0, 1, 2, 3}R = {(0,1), (1,1), (1,2),(2,0), (2,2)}Tentukan :6. Klosur transitif7. Klosur simetris

Jika A = {1, 2, 3,4}R = {(2,1), (2,3), (3,1), (3,4), (4,1), (4,3)}Tentukan :8. Klosur refleksif9. Klosur simetris10. Klosur transitif

Education

relasi himpunan