Repaso de Sistemas Numéricos y Códigos

Tema 2: Representación de la información

1. Sistemas numéricos• Sistemas de numeración y cambio de base• Aritmética binaria• Sistemas de codificación y representación de los

números

2. Codificación binaria• Representación binaria de datos e instrucciones• Características de los espacios de representación• Aspectos de los sistemas de representación

3. Sistemas alfanuméricos• Características de los códigos• Principales sistemas d codificación

4. Códigos redundantes• Características de los códigos• Códigos detectores• Códigos correctores

Contenido

v 3.0

Sistemas de numeración y cambio de base

Un sistema de numeración en base b utiliza para representar los números un alfabeto compuesto por b símbolos o cifras

Ejemplos:

b = 10 (decimal) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

b = 16 (hexadecimal) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

b = 2 (binario) {0,1}

El número se expresa mediante una secuencia de cifras:

N ... n4 n3 n2 n1 n0 n-1 n-2 n-3 ...

El valor de cada cifra depende de la cifra en sí y de la posición que ocupa en la secuencia

1. Sistemas numéricos 1/24

El valor del número se calcula mediante el polinomio:

N ...+ n3·b3 + n2·b

2 + n1·b1 +n0· b

0 +n-1·b-1 ...

i

ii b·nN

Ejemplos:

3278,5210 = 3 · 103 + 2 · 102 + 7 · 101 +

+ 8 · 100 + 5 · 10-1 + 2 · 10-2

175,3728 = 1· 82 + 7 · 81 + 5 · 80 + 3 · 8-1 +

+ 7 · 8-2 + 2 · 8-3 = 125,488281210

Sistemas de numeración y cambio de base

1. Sistemas numéricos 2/242/4

Conversión decimal - base b

Método de divisiones sucesivas entre la base b

Para números fraccionarios se realizan multiplicaciones sucesivas por la base b.

Consideración de restos mayores que 9 y Error de truncamiento

Ejemplos:

2610 = 110102

0,187510 = 0,00112

26,187510 = 11010,00112

1. Sistemas numéricos 3/24Sistemas de numeración y cambio de base 3/4

b = 2 (binario)

{0,1}

1101002 = (1· 25) + (1· 24) + (1 · 22) =

= 25 + 24 + 22 = 32 + 16 + 4 = 5210

0,101002 = 2-1 + 2-3 = (1/2) + (1/8) = 0,62510

10100,0012 = 24 + 22 + 2-3 = 16 + 4 +(1/8)

= 20,12510

Ejemplos:

0 0001 0012 010

3 0114 100

5 101

6 1107 111

Decimal Binario

Números binarios del 0 al 7

Rango de representación: Conjunto de valores representable. Con n cifras en la base b podemos formar bn combinaciones distintas. [0..bn-1]

Sistema de numeración en base dos o binario

1. Sistemas numéricos 4/24Sistemas de numeración y cambio de base 4/4

Operaciones básicas

A B A+B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0 (1)

A B A*B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

A B A – B

0 0 0

0 1 1 (1)

1 0 1

1 1 0

A B A/B

0 0 --

0 1 0

1 0 --

1 1 1


Aritmética binaria

Ejemplos

Sumas y restas

Multiplicaciones

División

1. Sistemas numéricos 6/24Aritmética binaria 2/2

Octal

b = 8 (octal) {0,1,2,3,4,5,6,7}

Correspondencia con el binario

8 = 23 Una cifra en octal

corresponde a 3 binarias

10001101100.110102 = 2154.648

Ejemplos

537.248 = 101011111.0101002

Conversión Decimal - Octal

760.3310 1370.25078


Sistemas de codificación y representación de números

Hexadecimalb = 16 (hexadecimal)

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,}

Correspondencia con el binario

16 = 24 Una cifra en hexadecimal

corresponde a 4 binarias

Hexadecimal Decimal Binario

0 0 0000

1 1 0001

2 2 0010

3 3 0011

4 4 0100

5 5 0101

6 6 0110

7 7 0111

8 8 1000

9 9 1001

A 10 1010

B 11 1011

C 12 1100

D 13 1101

E 14 1110

F 15 1111

1. Sistemas numéricos 8/24Sistemas de representación y codificación de números 2/18

Ejemplos

10010111011111.10111012 = 25DF.BAH

4373.7910 1115.CA3D16

Conversión Decimal - Hexadecimal

273

553

1174373

17113 16

16

1

16

1 1


Código no ponderado, contínuo y cíclico

Basado en un sistema binario

Dos números sucesivos sólo varían en un bit

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 1 0 0 0 1 11 1 0 1 1 0 0 1 1 21 0 0 1 0 0 0 1 0 3

1 1 0 0 1 1 0 4 1 1 1 0 1 1 1 5 1 0 1 0 1 0 1 6 1 0 0 0 1 0 0 7

1 1 0 0 81 1 0 1 91 1 1 1 101 1 1 0 111 0 1 0 121 0 1 1 131 0 0 1 141 0 0 0 15

2 bits 3 bits 4 bits Decimal


Código Gray

Conversión Binario - Gray

A partir del primer bit sumamos el bit binario que queremos obtener con el de su izquierda

1 1 0 1 1

+ + + +

1 0 0 1 0

1 0 1 1 0 Binario1

1 + 0 1 1 0 1 11 0 + 1 1 0

1 1 11 0 1 + 1 0

1 1 1 01 0 1 1 + 0

1 1 1 0 1 Gray

Conversión Gray - Binario


Código BCD - Binary Coded Decimal

Dígitos decimales codificados en binario

Ejemplo

9 8 3 2 510 = 1001 1000 0011 0010 0101BCD-natural

Decimal BCD natural BCD exceso 3 BCD Aiken BCD 5421

0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 3 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 4 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 5 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 6 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 7 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 8 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 9 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0

BCD natural tiene pesos 8421

BCD Aiken tiene pesos 2421

9 8 3 2 510 = 1111 1110 0011 0010 1011BCD-Aiken


Representación de números enteros

Es necesario la representación del signo

Se utiliza una cantidad determinada de bits (n)

Signo y magnitud (SM)

El signo se representa en el bit más a la izquierda del dato. Bit (n-1)

En el resto de los bits se representa el valor del número en binario natural. Bits (n-2)..0

Doble representación del 0.n = 6

1010 = 001010SM -410 = 100100SM

n = 4

-710 = 1111SM -1410 = no representable

010 = 000000SM 010 = 100000SM


Complemento a la base menos uno

Los valores positivos se representan en SM.

Los valores negativos se obtienen restando la magnitud del número a la base menos uno.

Convierte las restas en sumas.

Doble representación del 0.

Ejemplos Base 10

-6310 = 936C9 936 = 999 - 63

-1610 = 983C9 983 = 999 - 16

-1610 = 9983C9 9983 = 9999 - 16

n = 3

n = 4

Operación: 77 - 63

14

77-63

+936C9

077C9

014C9

(1)013+ 1


Base 2

C1 de -100102 = 101101C1

C1 de -1001112 = no representable

C1 de 0 = {000000C1 , 111111C1}

n = 6

Operación: 10001112 - 100102

Se intercambian ceros por unos y unos por ceros

Rango : [-2n-1 + 1, 2n-1 - 1]

Ejemplos:111111

- 010010

101101

Restando en binario natural

Sumando en C1 (n=8)c

10001112

- 00100102

01101012

01000111C1

(1)00110100

11101101C1

+

1+

00110101C1


Complemento a la base

Los valores positivos se representan en SM.

Los valores negativos se obtienen restando la magnitud del número a la base menos uno y posteriormente sumar uno a la dicha cantidad

Convierte las restas en sumas.

Ejemplos Base 10

-6310 = 937C10 937 = (999 - 63) + 1

-1610 = 984C10 984 = (999 - 16) + 1

-1610 = 9984C10 9984 = (9999 - 16) + 1

n = 3

n = 4

Operación: 77 - 63

El acarreo, si existe, no se considera

+937077

(1)014


Base 2

C2 de -100102 = 101110C2n = 6

Operación: 110012 - 100102 = 1112

Se intercambian los ceros y los unos y se suma uno

Rango : [-2n-1, 2n-1 - 1]

Ejemplos:

C2 de -11100102 = no representable

El acarreo no se considera

111111- 010010

101101C1

+ 1101101

101110C2

011001C2

101110C2

(1)000111C2

+Operando en C2

(n=6)


Representación sesgada

La representación se obtiene sumando un sesgo o cantidad al valor del número

El sesgo suele ser: 2n-1

Rango : [-2n-1, 2n-1 - 1]

Ejemplos Base 2

n = 8 Sesgo = 28-1 = 12810 = 1000 00002

110102 = 10011010S

- 110102 = 01100110S

02 = 1000 0000S

n = 4 Sesgo = 24-1 = 810 = 10002

12 = 1001S

-12 = 0111


Estándar IEEE 754

B = 2

Representación s e m

n = ns + ne + nm

Ejemplos:

Representación de los números reales

Representación en coma fija

Representación en coma flotante

N = (-1)s M · BE

N Valor numérico M Mantisa s signo

B Base E Exponente

1.234535 · 103 = 1234.535 · 100 = 0.1234535 · 104 = 123453.5 · 10-2 = 0.0001234535 · 107

ns : cantidad de bits para el signo

ne : cantidad de bits para el exponente

nm: cantidad de bits para la mantisa


Estándar IEEE 754

Campo de signo 0 +

1 -

• Representación sesgada

• Sesgo S = 2ne-1-1

• Ejemplos:

ne = 8 S = 2ne-1-1 = 127 = 0111 1111

Campo del exponente


Estándar IEEE 754

Campo de mantisa

• Normalización 1 M < 2

• M = [1.m] donde m es el valor que se almacena

• Ejemplos de normalizaciónN1 = 1001.1100110 · 2-5

1.0011100110 · 2-2

N2 = 0.000001101101 · 234 1.101101 · 228

Ejercicio n = 16 bits

ne = 8 bitsN = 1001 1111 0001 1101

s = 1 N<0

e = 0011 1110 E = -65

m = 001 1101 M = 1.00111012

N = -1.2265625 · 2-65 = -3,32440346980633 · 10-20


Situaciones especiales

• e = 0 mantisa denormalizada

Sesgo = 2ne-1-2

E = e - S = -2ne-1 + 2

• (e = 0) (m = 0) N = 0

• (e = 11...1) (m = 0) N =

• (e = 11...1) (m 0) N = NaN

Redondeo

• Exceso, defecto, más cercano, al par


• Ejemplo redondeo al par

Valores límite

• Números normalizados

|b| = Mmax2Emax Mmax = 2 - 2-nm

Emax = 2ne-1-1

|a| = Mmin2Emin Mmin = 1

Emin = -(2ne-1-2)

• Números denormalizados

|a’| = M’min2E’min M’min = 2-nm

E’min = -(2ne-1-2)


Valores límite• Si |N| > |b| desbordamiento a infinito

OVERFLOW

• Si |N| < |a’| desbordamiento a cero UNDERFLOW

Precisión

• Simple precisión

n = 32 bits, ne = 8 bits, nm = 23 bits

• Doble precisión


• Doble precisión extendida


Consideraciones

• Números excesivamente pequeños

• Números excesivamente grandes

• Comparación de números


Representación binaria de datos e instrucciones

2. Codificación binaria 1/10

MagnitudesAnalógicas: toma valores continuosDigitales: toma un conjunto de valores discreto

Ventajas sistemas digitales frente sistemas analógicos

Más sencillos y económicosMás seguridad y precisiónFácil almacenamiento de la informaciónMás resistentes al ruido e interferenciasPosibilidad de tratar información no numérica

Inconvenientes sistemas digitales frente sistemas analógicos

La mayoría de las magnitudes físicas son de tipo analógicoNecesidad de etapas CAD/CDA

Representación binaria de datos e instrucciones

2. Codificación binaria 2/102/2

Sistema digital binario

Representación de las magnitudes en base 2

Estados de un interruptor [ENCENDIDO, APAGADO]

Los dígitos {0, 1} corresponden con niveles de tensión eléctrica.

Nivel alto

Nivel bajo

Niveles lógicos de la familia tecnológica TTL

0 V0,8 V

2,4 V

5 V

Características de los espacios de representación

2. Codificación binaria 3/10

Elementos que lo componen

Condicionantes

Cantidad de estados representables

Cantidad de elementos representables

Tamaños predefinidos en las unidades del computador

Tamaños predefinidos en la comunicación entre unidades del computador

BIT Byte = 8 bits Palabra

1 KiloByte (KB) = 210 Bytes = 1024 Bytes

1 MegaByte (MB) = 220 Bytes = 1024 KB

1 GigaByte (GB) = 230 Bytes = 1024 MB

1 TeraByte (TB) = 240 Bytes = 1024 GB

1 PetaByte (PB) = 250 Bytes = 1024 TB

Unidades de codificación

Aspectos de los sistemas de codificación2. Codificación binaria 4/10

Coste de traducción

Coste de almacenamiento

Coste de procesamiento

Robustez y tolerancia a fallos

Características de los códigos3. Sistemas alfanuméricos 5/10

Compuesta por caracteres

Cantidad de bits dedicados a representar cada carácter

Codificación de cada carácter

Separación de cadenas

Cadenas de longitud fija

Cadenas de longitud variable

Principales sistemas de codificación3. Sistemas alfanuméricos 6/10

Código ASCII

Principales sistemas de codificación

3. Sistemas alfanuméricos 7/10

Código ASCII

2/5



Código EBCDIC

3/5



Código EBCDIC

4/5

Consideración de los distintos alfabetos: griego, latín árabe, ...

Estándar Unicode: emplea 2 bytes por carácter. Abarca los alfabetos de los idiomas escritos de América, Europa, Oriente Medio, África, India, Asia y el Pacífico

Página de códigos especial

Ejemplos:

• 862 hebreo

• 1251 cirílio


3. Sistemas alfanuméricos 10/105/5

Características de los códigos

4. Códigos redundantes 1/7

Objetivo: salvaguardar la información ante posibles errores

Se añade una información adicional a cada dato

Tipos:

Códigos detectores

Códigos correctores


Códigos detectores

Código de paridad

Añade a cada dato un bit de paridad

Permite detectar un error en un bit

Paridad par, paridad impar

‘H’ 01001000 0

‘O’ 01001111 1

‘L’ 01001100 1

‘A’ 01000001 0

Bit de paridad


Códigos correctores

Permiten detectar errores en más de un bit

El código debe ser capaz de indicar los bits erróneos

Ejemplos:

Códigos de paridad múltiple

Código Hamming

Códigos polinomiales (CRC)

4. Códigos redundantes 4/7Códigos correctores

Código Hamming

Distancia Hamming entre dos vectores: es el número de bits en el que toman valores diferentes.

Ej. Distancia Hamming 2

c1=0101 y c2 = 1100

Distancia de un código es la mínima distancia Hamming entre todas las posibles combinaciones distintas del código.

Teorema: Si la distancia de un código es d, entonces podemos detectar errores que afecten a d-1 bit.

Teorema: Si la distancia de un código es d, entonces es posible detectar y corregir los errores que afecten a t bits según la siguiente expresión:

d = 2·t+1

1/4

Números naturales 0..15 codificados en binario con 4 bit.


Ejemplos:

Distancia del código: 1

No es posible detectar ni corregir ningún error en los bit.

0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 1

1 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1

01234567

89

101112131415

2/4


Ejemplos:

Números naturales 0..15 codificados en binario con 4 bit con bit de paridad par.


Es posible detectar errores en un bit.

No es posible corregir ningún error.

0 0 0 0 00 0 0 1 10 0 1 0 10 0 1 1 00 1 0 0 10 1 0 1 00 1 1 0 00 1 1 1 1

1 0 0 0 11 0 0 1 01 0 1 0 01 0 1 1 11 1 0 0 01 1 0 1 11 1 1 0 11 1 1 1 0

01234567

89

101112131415

3/4

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 1 10 0 1 1 0 0 10 0 1 1 1 1 00 1 0 1 0 1 00 1 0 1 1 0 10 1 1 0 0 1 10 1 1 0 1 0 0

1 0 0 1 0 1 11 0 0 1 1 0 01 0 1 0 0 1 01 0 1 0 1 0 11 1 0 0 0 0 11 1 0 0 1 1 01 1 1 1 0 0 01 1 1 1 1 1 1


Código Hamming de los 15 primeros números naturales

Ejemplos:

p1p2p3p4p5p6p7

01234567

89

101112131415

p1: paridad par de p3, p5 y p7




Es posible detectar errores en dos bit.

Es posible corregir errores en un bit.

4/4

Education

Repaso de Sistemas Numéricos y Códigos