Definicao

Programacao Linear

Geraldo Robson Mateus

Departamento de Ciencia da ComputacaoUFMG

26 de abril de 2009

Definicao

Programacao Matematica

Programacao Linear

Programacao Inteira

Otimizacao em Redes

Programacao Dinamica

Programacao Nao Linear

Programacao Linear X Nao Linear

Definicao

Metodos Numericos X Metodos Analıticos

Metodos Numericos

Iterativos

Solucao inicial

Erros numericos

Convergencia

Metodos Analıticos

Calculo diferencial

Definicao

Modelo Geral

min f (x) → Funcao objetivo

gi (x) ≤≥ bi , i = 1, . . . ,m→ Restricoes

x → vetor de variaveis de decisao

Conjunto de solucoes viaveisS = {x | gi (x) ≤≥ bi , i = 1, · · · ,m}

Solucao otimax∗ ε S | f (x) seja mınima

Definicao

Modelo Linear

Nao Linear

Irrestrito

Restrito

Programacao QuadraticaProgramacao GeometricaProgramacao Estocastica

Definicao

Notacao e Terminologia

Vetor x =

x1...

xn

Transposicao: T

Produto escalar de dois vetores: xT.y =n∑

i=1

xiyi

Definicao

Notacao e Terminologia

Matriz AmXn =

a11 · · · a1n...

. . ....

am1 · · · amn

Retangular → m 6= n

Quadrada → m = n

Diagonal

Identidade

Definida Positiva (Semidefinida)

Para todo x ε <n temos xT .A.x > 0 (xT .A.x ≥ 0)

Definida Negativa (Semidefinida)

Para todo x ε <n temos xT .A.x < 0 (xT .A.x ≤ 0)

Definicao

Exemplo

Seja a matriz

A =

−2 1 11 0 01 1 1

det A1 = det [-2] = -2 ≤ 0

det A2 = det

[−2 11 0

]= 0 - 1 = -1 ≤ 0

det A3 = det

−2 1 11 0 01 1 1

= 0

A e indefinida

Definicao

Metodos Iterativos

Definicao

Definicoes

Mınino Local

x∗ ε S e um mınimo local de f sobre S se existe um ∂ > 0 tal quef (x) ≥ f (x∗) para todo x ε S , tal que |x − x∗| < ∂

Mınino Global

Um ponto x∗ ε S e um mınimo global de f sobre S se f (x) ≥ f (x∗) paratodo x ε S , x 6= x∗

Direcao Viavel

Dado um ponto x∗ ε S , o vetor h e uma direcao viavel em x se existeλ > 0, tal que (x + λh ) ε S para todo 0 ≤ λ ≤ λ

Definicao

Definicoes

Curvas de nıveis

Conjuntos C 1 e C 2

Vetor gradiente → ∇f(x)

Matriz hessiana → H(x)

Serie de Taylor

Definicao

Curvas de Nıveis

Definicao

Curvas de Nıveis

Definicao

Curvas de Nıveis

Definicao

Gradiente

Definicao

Gradiente e Hessiana

∇f (x) =(∂f∂x1, ∂f∂x2, . . . , ∂f

∂xn

)T, f ε C 1

H(x) = ∇2f (x) =

[∂2f∂x2

1. . . ∂2f

∂x1∂xn

∂2f∂xn∂x1

. . . ∂2f∂x2

m

], f ε C 2

f (x) = b11x21 + b22x2

2︸ ︷︷ ︸Escalation

+ b12x1x2 + b21x2x21︸ ︷︷ ︸

Rotation

+ b1x1 + b2x2︸ ︷︷ ︸Translation

+b0

Definicao

Serie de Taylor

Aproxima uma funcao f (x) na vizinhanca de xk

f (x) = f (xk) + (x − xk)T .∇f (xk) + 12 (x − xk)T .H(xk)(x − xk) + . . .

· · ·+ θ((x − xk)2)

Definicao

Convexidade

Linha

Seja x1, x2 ε <n. A linha atraves de x1 e x2 e definida por:{x |x = (1− λ)x1 + λx2, λ ε <}

Segmento

i) Fechado: [x1, x2] = {x |x = (1− λ)x1 + λx2, 0 ≤ λ ≤ 1}ii) Aberto: (x1, x2) = {x |x = (1− λ)x1 + λx2, 0 < λ < 1}

Conjunto Convexo

Um conjunto S ⊂ <n e convexo se o segmento de linha fechado que unequaisquer dois pontos de S esta em S , ou,∀ x1, x2 ε S , λ ε <, 0 ≤ λ ≤ 1→ (1− λ)x1 + λx2 ε S

Definicao

Funcoes Convexas

Funcao Convexa (Estritamente Convexa)

f (x) e convexa sobre o conjunto convexo S se para quaisquer dois pontosx ε S e y ε S

f (λx + (1− λ)y) ≤ λf (x) + (1− λ)f (y), 0 ≤ λ ≤ 1

f (λx + (1− λ)y) < λf (x) + (1− λ)f (y), 0 < λ < 1, x 6= y

Funcao Concova (Estritamente Concova)

Definicao

Propriedades de funcoes convexas

1 Se f1 e f2 sao funcoes convexas sobre o conjunto convexo S entaof1 + f2 e convexa sobre S ;

2 Se f e convexa sobre o conjunto convexo S entao af e convexa paraqualquer a > 0;

3 Seja f uma funcao convexa sobre um conjunto convexo S . O conjuntoC = {x |x ε S , f (x) ≤ c} e convexo para todo real c . O conjunto dospontos x |f1(x) ≤ c1, f2(x) ≤ c2, . . . , fn(x) ≤ cn, onde fi (x) e convexa,define um conjunto convexo;

Definicao

Propriedades de funcoes convexas

4 Se fi , i ε I , e uma famılia de funcoes convexas e limitadassuperiormente num conjunto convexo A ⊂ <n, entao a funcao

f (x) = sup(iεI ) fi (x)

e uma funcao convexa em A.

Definicao

Teoremas de funcoes convexas

Teorema 1

Seja f ε C 1. f e convexa sobre um conjunto convexo S se e so se

f (y) ≥ f (x) +∇T f (x).(y − x)

para todo x , y ε S

Definicao

Teoremas de funcoes convexas

Teorema 2

Seja f ε C 2. f e estritamente convexa (convexa) sobre um conjuntoconvexo S se e so se a matriz hessiana, H(x), de f e definida positiva(semidefinida positiva) para todo x ε S .

Definicao

Funcao Unimodal

Uma funcao f de uma variavel x no intervalo [a, b] e unimodal se existex1, x2 ε [a, b] tal que:

i) f e estritamente decrescente em x < x1,

ii) f e estritamente crescente em x > x2,

iii) f e constrante em x ε [x1, x2]

Definicao

Minimizacao - Convexidade

Teorema

Seja f ε C 2, f e estritamente convexa (convexa) sobre um conjuntoconvexo S se so se a matriz hessiana, H(x), de f e definida positiva(semidefinida positiva) para todo x ε S.

Teorema 5

Seja f uma funcao convexa definida sobre um conjunto convexo S. Entaoo conjunto R de pontos, onde f atinge seu mınimo, e convexo e qualquermınimo local de f e um mınimo global.

Teorema 6

Seja a funcao f ε C 1 convexa sobre o conjunto convexo S. Se existe umponto x∗ ε S tal que para todo y ε S, ∇f (x∗)T (y − x∗) ≥ 0 entao x∗ eum ponto de mınimo global de f sobre S.

Definicao

Solucao Grafica

Definicao

Solucao Grafica

Definicao

Solucao Grafica

Definicao

Solucao Grafica

Definicao

Solucao Grafica

Definicao

Solucao Grafica

Definicao

Solucao Grafica