SECCIONES CÓNICAS:LA CIRCUNFERENCIA

Prof. Carlos A. BlancoI.E.S. María de Molina (Zamora)

Eje

SECCIONES CÓNICAS (I)• Se define un cono

como una superficie de revolución que se obtiene al girar una recta llamada generatriz alrededor de una recta secante a ella llamada eje.

• El punto de corte de ambas rectas es el vértice del cono.

Generatriz

Vértice

SECCIONES CÓNICAS (II)Al intersecar un cono con un plano que no pase por el vértice, se obtienen las diferentes cónicas no degeneradas. Llamamos al ángulo que forma la generatriz con el eje. Entonces, si es el ángulo que forma el plano con el eje, se tiene que:

1. Si el plano es perpendicular al eje se obtiene una circunferencia.

2. Si se obtiene una elipse.

3. Si el plano es paralelo a la generatriz se obtiene una parábola.

4. Si se obtiene una hipérbola.

CircunferenciaElipseParábolaHipérbola

Imagen realizada a partir de otra tomada de es.wikipedia.org/wiki/Sección_cónica

SECCIONES CÓNICAS (III)Un experimento que se puede realizar es apuntar con una linterna a una pared en algo de oscuridad. La forma que adoptará la luz de la linterna contra la pared, según la inclinación que tenga la linterna, irá formando las distintas secciones cónicas.

CIRCUNFERENCIA

• Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro.

• La distancia de cada punto al centro se llama radio.

radio

Centro

,

,

Si hacemos , y ; se tiene entonces:

CIRCUNFERENCIA ECUACIÓN• Para obtener la ecuación de la circunferencia, suponemos

que el centro tiene coordenadas y que el radio es .• Entonces si es un punto de la circunferencia, se tiene que

𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0

CIRCUNFERENCIAObtener la ecuación de la circunferencia de centro O = (4,1) y de radio r = 2

Obtener el centro y el radio de

El centro es

𝑟=√16=4

CIRCUNFERENCIAAplicamos las fórmulas de , y .

Obtener el centro y el radio de

Obtener el centro y el radio de

Completando cuadrados, tenemos que:

𝐷=4=− 2𝑥0⇒ 𝑥0=−2𝐸=−6=− 2 𝑦0⇒ 𝑦0=3}⇒𝑂=(− 2,3 )

𝑥2+4 𝑥=𝑥2+4 𝑥+4 − 4= (𝑥+2 )2 − 4

𝑦 2−6 𝑦=𝑦2 −6 𝑦+9− 9= (𝑦−3 )2− 9}⟹

y

POSICIONES RELATIVAS• En las siguientes diapositivas vamos a estudiar las posiciones

relativas de:

• Calculamos centro y radio de la circunferencia

• Calculamos la distancia del punto al centro

• Comparamos la distancia con el radio

• Calculamos centro y radio de la circunferencia

• Calculamos la distancia de la recta al centro

• Comparamos la distancia con el radio

• Calculamos centro y radio de las dos circunferencias

• Calculamos la distancia entre ambos centros

• Comparamos la distancia con la suma y diferencia de los radios

Punto ycircunferencia

Recta ycircunferencia Dos circunferencias

• Calculamos el centro O y el radio r de la circunferencia C y la distancia del punto al centro, que llamamos d.

• Si d > r, entonces P es exterior a C.

• Si d = r, entonces P pertenece a C.

• Si d < r, entonces P es interior a C.

POSICIONES RELATIVAS: PUNTO Y CIRCUNFERENCIA

d

r

PO

C

d

r

P

OC

d

r

P

O

C

POSICIONES RELATIVAS: PUNTO Y CIRCUNFERENCIA

El centro y el radio de la circunferencia son:

Puesto que d > r, se tiene que P es exterior a C.

d

r

P

O

C

Halla la posición relativa de y de

y

𝑑=𝑑 (𝑂 ,𝑃 )=√ (3−0 )2+ ( 4 − (− 1 ) )2=√9+25=√34

• Calculamos el centro O y el radio r de la circunferencia C y la distancia de la recta al centro, que llamamos d.

• Si d > r, entonces s es exterior a C.

• Si d = r, entonces s es tangente a C.

• Si d < r, entonces s es secante a C.

POSICIONES RELATIVAS:RECTA Y CIRCUNFERENCIA

d

r

s

O

C

d

rsO

C

d

rs

OC

y

POSICIONES RELATIVAS:RECTA Y CIRCUNFERENCIA

Halla la posición relativa de y de

El centro y el radio de la circunferencia son:

Puesto que d < r, se tiene que s es secante a C.

d

rs

OC

𝑑=𝑑 (𝑂 , 𝑠 )=|0+2· (−1 ) −1|

√12+22=

3

√5=

3 √55

POSICIONES RELATIVAS:DOS CIRCUNFERENCIAS

• Calculamos y llamamos r1 al radio de la circunferencia C1, r2 al radio de la circunferencia C2; y d a la distancia entre los centros.

C1 C2

d

r1

O1

r2

O2

C1 C2

d

r1

O1

r2

O2

C1 C2

d

r1

O1

r2

O2

C1

C2dr1

O1

r2O2

C1C2

r1

O1= O2

r2

C1C2d

r1

O1

r2O2

Si d > r1 + r2, exteriores Si d = r1 + r2, tangentes exteriores

Si r1 r2 < d < r1 + r2, secantes

Si d = r1 r2, tangentes interiores

Si 0 < d < r1 r2, interiores Si d = 0, concéntricas

POSICIONES RELATIVAS:DOS CIRCUNFERENCIAS

Halla la posición relativa de C1 y C2, siendo

El centro y el radio de las circunferencias son:

Se tiene que d es:

Puesto que r1 r2 = 1, que r1 + r2 = 5, y que 1 < d < 5, las circunferencias son secantes.

C1 C2

d

r1

O1

r2

O2

y mientras que y

y

𝑑=𝑑 (𝑂1 ,𝑂2 )=√ (2−0 )2+(−1 −1 )2=√4+4=√8

POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA (I)

• Dada una circunferencia C y un punto P, si r es cualquier recta secante a C como en la figura, se tiene que

P

B

C A

POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA (II)

• Para demostrarlo, suponemos que hay dos rectas que pasen por .

• Consideramos los triángulos y .

• El ángulo es común• Los ángulos y son iguales, ya

que ambos son ángulos interiores de una circunferencia que abarcan el mismo arco.

• Entonces los triángulos y son semejantes.

• Por el teorema de Thales:

P

B

C A

B’

A’

𝑃𝐴 ·𝑃𝐵=𝑃𝐴 ′ ·𝑃𝐵 ′

𝑃𝐴𝑃𝐴 ′

= 𝑃𝐵 ′𝑃𝐵

POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA (III)

• Teniendo en cuenta que el producto no depende de la recta, se escoge la recta que pase por y por .

• Suponemos que y • De este modo, , y • Así, y la ecuación queda

• Para hallar la potencia, basta con sustituir las coordenadas del punto en la ecuación de la circunferencia.

C P

A

B d

d r

r

POTENCIA Y POSICIÓN RELATIVA

• Teniendo en cuenta que la potencia de un punto respecto a una circunferencia es , conocido el signo de la potencia, deducimos su posición relativa respecto a C.

d

r

PO

C

d

r

P

OC

d

r

P

O

C• P es exterior a C equivale a que

• P pertenece a C equivale a que

• P es interior a C equivale a que

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS

• Se define el eje radical de dos circunferencias como el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto a las dos circunferencias:

• Si tiene la ecuación • Si tiene la ecuación • Y si es un punto de dicho eje radical, cumplirá que

• De este modo se ve que el eje radical de dos circunferencias es una recta (siempre que las circunferencias no sean concéntricas)

• Dicha recta es perpendicular al segmento que une los centros de las circunferencias, puesto que su vector normal es proporcional al vector que une los centros.

CENTRO RADICAL DEL TRES CIRCUNFERENCIAS

• Si se tienen tres circunferencias no concéntricas dos a dos, y con los centros no alineados; se puede demostrar que los tres ejes radicales que se pueden formar se cortan en un único punto.

• Se define el centro radical de tres circunferencias como el punto que tiene la misma potencia respecto a tres circunferencias, que será el punto de corte de los tres ejes radicales.

• Para calcular el centro radical bastará pues, con calcular dos ejes radicales (el eje de y y el eje de y por ejemplo) y después resolver el sistema formado por estas ecuaciones.

C3

C2

C1

POTENCIA, EJE RADICALY CENTRO RADICAL

Halla la potencia de respecto

𝑃𝑜𝑡𝑃 (𝐶)=32+22+2 ·3 − 3=16>0Se tiene entonces que P es exterior a C

Halla el eje radical de la circunferencia y de la circunferencia

Halla el centro radical de , y , siendo ,

y

Resolviendo el sistema

El centro radical es