• Unitat 5: semblança i les seves aplicacions

Matemàtiques 4t ESOopció B

Tònia Casalí Sintes

1

Unitat 5:(pàgina 122 del llibre de text)

5.1- Figures semblants5.2- Teorema de Tales5.3- Semblança de triangles i aplicacions.5.4- Teorema del catet i l’altura.5.5- Aplicacions

2

5.1-Figures semblantsDiem que son semblants aquelles figures que en mantenen la forma i conserven les proporcions. Dit d’una altra manera existeix una raó de semblança que permet trobar les mesures de l’altra figura a partir de les mesures de la figura original.

Els triangles de la figura de baix són semblants. La seva raó de semblança compleix :

21

''''''===

BAAB

CAAC

BAAB

Donades les característiques de les dues figures, també es compleix certa relació amb les seves àrees. Tindríem :

Àrea petit = (1/2)2 · Àrea gran.

Dit d’una altra forma, en quan a les àrees de les figures semblants, la raó de semblança apareix al quadrat.

3

5.2-Teorema de TalesEns diu que rectes paral·leles determinen segments proporcionals sobre 2 rectes qualsevols del pla.

Per exemple, si OB fora 2 vegades OA també es compleix que O’B’ = 2·O’A’

4

Exemple:

5

Exercici: Calcula les longituds a i b de la figura

6

Dos triangles estàn en posició de Tales quan tenen un angle comú i els costats oposats són paral·lels.Dos triangles en posició de Tales són semblants.

7

5.3-Semblança de triangles

Les condicions mínimes que han de verificar dos trinagles per ser semblants s’anomenen criteris de semblança. A continuació veurem quins són aquests criteris.

1. Dos triangles són semblants si tenen dos angles iguals.

Aleshores els dos triangles són semblants i estan en posició de Tales.

8

2. Dos triangles són semblants si tenen els costats proporcionals.

Si es compleix aquets condició, els dos triangles han de tenir forçosament els angles iguals. Per tant són semblants i es poden posar en posició de Tales

9

3. Dos triangles són semblants si tenen un angle igual i esl costats que el formen són proporcionals.

Si es compleix aquesta condició, forçosament el tercer parell de costats també han de manteir la proporcionalitat. Com en els altres casos anteriors, podem posar els

dos trinagles que compleixen aquesta condició en posició de Tales.

10

Exemple: Sabem que un pal de 1,5 metres col·locat verticalment projecta una ombra de 90 cm. Calcula l’altura d’un edifici que a la mateixa hora projecta una ombra de 18 metres.

En aquest cas, els dos triangles són semblants ja que compleixen el primer criteri; tenen dos angles iguals. Els dos tenen un angle recte i els angles A i M són iguals

Per tant,l’altura de l’edifici és de 30 metres.

Exercicis del llibre de text: pàgina 133 exercicis 9,10, 12 i 13. Pàgina 134 exercicis 14,15, 22 i 23.

11

Exercici: Calcula el perímetre del trapezi EFAC de la figura:

Solució:Per calcular els costats que ens falten, apliquem la raó de semblança entre els triangles ABC i EFD. Així obtenim que FD= 38,4 cm i per tant AF = 57,6 cm. El valor de AC el podem calcular utilitzant Pitàgores i obtenim que és 104 cm. Llavors per semblança o per Pitàgores també podem saber el valor de EF= 41,6 cm i EC = 24 cm. Per tant , e l per ímet re és P=104+41,6+24+57,6= 227,2 cm

12

Exercici: Calcula l'altura d'un edifici que projecta una ombra de 47 m en el mateix moment que l'ombra de n'Enric, d'altura 1,80 m, mesura 3 m

Solució:Per raó de semblança obtenim que l’altura de l’edifici és 28,2 m.

Exercici:Calcula els costats que falten

Solució:Per raó de semblança entre els triangles AB’C’ i ABC, obtenim que y= 30 cm i x= 46 cm.

13

5.4-Teorema del catet i l’altura

És conseqüència directa dels criteris de semblança i del fet que quan tracem l’alçada sobre la hipotenusa d’un triangle rectangle ens divideix el triangle en dos triangles a la vegada semblants al primer

b2 = ma

c2= na

Teorema del catet

El quadrat d’un catet és iagual al producte de la hipotenusa per la projecció d’aquest catet sobre la hipotenusa

Aplicant la semblança entre triangles:

pàgina 129 exercici 1.

14

Teorema de l’altura

El quadrat de l’altura és igual al producte dels dos segments en que aquesta divideix a la hipotenusa del triangle.

h2 = m·n

Com a conseqüència dels criteris anteriors de semblança els triangles ABD i ACD són semblants i podem dir que:

nh

hm=

I obtenim:

15

Exercici:Calcula el perímetre i l'àrea d'un triangle rectangle sabent que l'altura i la projecció d'un catet damunt la hipotenusa són de 2 cm i 2,5 cm, respectivament

Solució: Aplicant el teorema de l’altura,(22=x·2,5) obtenim l’altre segment en que està dividida la hipotenusa ,x, que és 1,6 cm, per tant la hipotenusa mesura 4,1 cm. Llavors per Pitàgores o pel teorema del catet obtenim que els dos catets que ens falten mesuren 2,27 (y)cm i 3,2 cm (z).

Y2=1,6 · 4,1

X2= 2,5· 4,1

pàgina 135 exercici 25 i 26

16