SEQUENCIA DE FIBONACCIAspectos matematicosRodrigo Thiago Passos Silva

rodrigotpsilva@gmail.com

A sequencia de Fibonacci e uma sequencia de numeros reais numerica, ou seja, uma funcao F : N → Rdada por

F (n) = Fn =

1, se n = 1

1, se n = 2

Fn−1 + Fn−2 se n ≥ 3

.

Em outras palavras, e uma sequencia cujos dois primeiros termos sao iguais a 1 e os demais correspondem

a soma dos dois anteriores. Os primeiros termos da sequencia sao:

F1 = 1 F2 = 1 F3 = 2 F4 = 3 F5 = 5 F6 = 8 F7 = 13 F8 = 21.

Observemos agora que

F1 = 1 = F3 − 1

F1 + F2 = 2 = F4 − 1

F1 + F2 + F3 = 4 = F5 − 1

F1 + F2 + F3 + F4 = 7 = F6 − 1

F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 12 = F7 − 1.

Portanto, conjecturemos que

n∑i=1

Fi = Fn+2 − 1 .

Demonstracao

Utilizaremos o Princıpio da Inducao Matematica. E facil observar que a propriedade conjecturada e

valida para n = 1 pois1∑

i=1

Fi = 1 e F1+2 − 1 = F3 − 1 = 2− 1 = 1.

Supondo que a propriedade e valida para n = k, ou seja, que e verdade P (k) :k∑

i=1

Fi = Fk+2−1 queremos

mostrar que P (k + 1) :k+1∑i=1

Fi = Fk+3 − 1 e valida.

Somando-se Fk+1 em ambos os lados da igualdade assumida como hipotese temos

k∑i=1

Fi + Fk+1 = Fk+2 + Fk+1 − 1.

O lado esquerdo equivale a

k+1∑i=1

Fi e, como o termo posterior na sequencia de Fibonacci e dado pela soma

dos dois anteriores, o lado direito equivale a Fk+3 − 1. Assim, concluimos quek+1∑i=1

Fi = Fk+3 − 1 como

querıamos demonstrar.

�

1

Agora, observemos a soma dos termos da sequencia de ındice ımpar

n = 1 F1 = 1 = F2

n = 2 F1 + F3 = 3 = F4

n = 3 F1 + F3 + F5 = 8 = F6.

Conjecturemos, entao, quen∑

i=1

F2i−1 = F2n .

Demonstracao

A propriedade conjecturada e valida para n = 1 pois

1∑i=1

F2i−1 = F1 = 1 e F2n = 1.

Supomos que ela e valida tambem para n = k, ou seja, quek∑

i=1

F2i−1 = F2k e verdadeiro. Somando-se o

termo F2k+1 em ambos os lados da hipotese indutiva obtemos

k∑i=1

F2i−1 + F2k+1 = F2k + F2k+1.

Ultilizando-se raciocınio analogo ao da demonstracao anterior concluımos que a igualdade acima e igual

ak+1∑i=1

F2i−1 = F2k+2 = F2(k+1).

Daı concluımos que se a propriedade e valida para n = k e tambem valida para n = k+ 1. Portanto, pelo

princıpio da inducao matematica, e valida para todo n > 1.

�

Podemos observar tambem o comportamento da soma dos termos da sequencia de ındice par

n = 1 F2 = 1 = F3 − 1

n = 2 F2 + F4 = 4 = F5 − 1

n = 3 F2 + F4 + F6 = 12 = F7 − 1.

Logo, podemos conjecturar quen∑

i=1

F2i = F2n+1 − 1 .

Demonstracao

Tomemos a soma dos termos da sequencia de Fibonacci ate o 2n-esimo termo. Temos

2n∑i=1

Fi = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 · · ·+ F2n−1 + F2n = F2n+2 − 1.

Tomemos a soma dos termos ımpares da sequencia de Fibonacci ate o termo de ındice 2n− 1 (i.e., os n

primeiros ımpares). Temos

n∑i=1

F2i−1 = F1 + F3 + F5 + · · ·+ F2n−1 = F2n.

2

Subtraindo a segunda equacao da primeira obtemos

(F1 + F2 + F3 + F4 + F5 · · ·+ F2n−1 + F2n)− (F1 + F3 + F5 + · · ·+ F2n−1) = (F2n+2 − 1)− F2n

que e igual an∑

i=1

F2i = F2 + F4 + · · ·+ F2n = F2n+1 − 1

pois F2n+2 = F2n+1 + F2n.

Analogamente a anterior, esta propriedade pode ser tambem demonstrada pelo Princıpio da Inducao

Matematica. Deixo-a a cargo do leitor.

�

A proxima propriedade a ser demonstrada refere-se a limitacao superior de todos os termos da sequencia

em funcao de n. A propriedade afirma que Fn <

(7

4

)n

.

Demonstracao

A propriedade e valida para n = 1 e n = 2 pois F1 = 1 < 74 e F2 = 1 <

(74

)2= 49

16 .

Utilizemos entao o “Princıpio da Inducao Forte”. Supomos que a propriedade e verdadeira para n ∈

{1, 2, 3, · · · , k − 1, k}. Neste caso, utilizaremos (assumamos que e verdade) que Fk <

(7

4

)k

e Fk−1 <(7

4

)k−1para concluir que

Fk+1 = Fk + Fk−1 <

(7

4

)k

+

(7

4

)k−1=

(7

4

)(7

4

)k−1+

(7

4

)k−1=

(7

4

)k−1(7

4+ 1

)=

11

4

(7

4

)k−1.

Isto nao prova a propriedade. Mas, como11

4<

49

16=

(7

4

)2

entao

Fk+1 <11

4

(7

4

)k−1<

(7

4

)2(7

4

)k−1=

(7

4

)k+1

,

como querıamos demonstrar.

�

Por fim, demonstremos a formula geral da sequencia de Fibonacci, conhecida por Formula de Binet, que

e dada por

Fn =1√5

(1 +√

5

2

)n

− 1√5

(1−√

5

2

)n

.

Demonstracao

Para n = 1 temos1√5

(1 +√

5

2

)− 1√

5

(1−√

5

2

)=

1√5

(1 +√

5

2− 1−

√5

2

)=

1√5

√5 = 1 = F1.

Logo a propriedade e verdadeira para n = 1. Supondo que a propriedade e tambem valida para n ∈{1, 2, 3, · · · , k− 1, k} queremos mostrar que e valida tambem para n = k + 1. Sabemos que, por hipotese,

3

que Fk = 1√5

(1+√5

2

)k− 1√

5

(1−√5

2

)ke Fk−1 = 1√

5

(1+√5

2

)k−1− 1√

5

(1−√5

2

)k−1. Sabemos tambem, pela

definicao da sequencia de Fibonacci que Fk+1 = Fk + Fk−1 para k ≥ 2. Entao,

Fk+1 = Fk + Fk−1

Fk+1 =1√5

(1 +√

5

2

)k

− 1√5

(1−√

5

2

)k

+1√5

(1 +√

5

2

)k−1

− 1√5

(1−√

5

2

)k−1

Fk+1 =1√5

(1 +√

5

2

)k

− 1√5

(1−√

5

2

)k

+1√5

(1 +√

5

2

)k(1 +√

5

2

)−1− 1√

5

(1−√

5

2

)k(1−√

5

2

)−1

Fk+1 =1√5

(1 +√

5

2

)k (1 +

2

1 +√

5

)− 1√

5

(1−√

5

2

)k (1 +

2

1−√

5

)

Fk+1 =1√5

(1 +√

5

2

)k(1 +√

5

2

)− 1√

5

(1−√

5

2

)k(1−√

5

2

)

Fk+1 =1√5

(1 +√

5

2

)k+1

− 1√5

(1−√

5

2

)k+1

Logo, pelo “Princıpio da Inducao Matematica Forte”, a propriedade e valida para todo n ≥ 1.

�

O numero irracional ϕ =1 +√

5

2e conhecido como razao aurea ou numero de ouro. Utilizando este

numero, podemos reescrever a Formula de Binet.

Observe que

(−ϕ)−1 =

(−1 +

√5

2

)−1= − 2

1 +√

5=

1−√

5

2.

Logo,

Fn =ϕn − (−ϕ)−n√

5.

4