Jesús Meza Mauricio

1n

na...4321 aaaa =

Con el concepto de SERIE NUMÉRICA, queremos darle sentido

a la SUMA de una infinidad de números reales.

Pero… ¿Qué situaciones nos llevan a esto?

¿Es que acaso alguna vez hemos tenido que sumar una infinidad

de números?

Series Numéricas

Aunque no tengamos una definición matemáticamente precisa de

cómo realizar estas sumas, no tenemos ninguna duda en que …

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + …

… tendrá un valor infinito, es decir NO se pueden sumar, en el

sentido de que la suma sea un número real.

En este caso diremos que la SERIE ES DIVERGENTE.

También, sin lugar a dudas podremos decir que las siguientes

sumas, si pueden efectuarse.

0 + 0 + 0 + 0 + 0 + … = 0

1 + 0 + 0 + 0 + 0 + … =1

… y diremos que estas SERIES SON CONVERGENTES

… Pero, ¿qué podemos decir de la siguiente suma infinita?

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

¿Podríamos decir que es cero, agrupando de la siguiente manera?

(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0 + 0 + 0 + 0 + ... = 0

Si así fuera, también podríamos decir que toma el valor uno …

1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) - ... = 1 - 0 - 0 - 0 - 0 - ... =1

Es razonable pedir que, si los términos de una serie se pueden sumar,

el valor de la suma sea único y, en este caso, tendríamos dos

posibles valores para la suma, lo cual nos lleva a concluir que esta

serie no es posible sumarla. Otra conclusión inmediata es que, para

sumas infinitas, no es válida la propiedad asociativa.

Volvamos a una de las preguntas iniciales:

¿Es que acaso alguna vez hemos tenido que sumar una

infinidad de números?

Desde la educación primaria, aprendimos que al dividir 1

entre 3, utilizando el algoritmo de la división:

0. 3 3 3 …

3 1

1 0

1 0

1

…

Podemos expresar a 1/3 como un decimal infinito (periódico)

O bien atendiendo la notación decimal

...10

3

10

3

10

3...333.0

3

132

Podemos expresar a 1/3 como una SERIE

Es decir, desde nuestros primeros contactos con la aritmética ha

estado presente, aunque de manera implícita, el concepto de

suma infinita.

Definición: Sea una sucesión de números reales.

La expresión

se llama SERIE NUMÉRICA.

A partir de la sucesión formamos una nueva sucesión de sumas parciales

, , , …

y diremos que la serie es CONVERGENTE (sus términos se pueden

sumar) si existe.

En este caso el valor de la serie es:

De lo contrario diremos que la serie es DIVERGENTE (sus términos

no se pueden sumar).

1nna

...321 aaa

11 aS 212 aaS 3213 aaaS nn aaaaS ...321

nn

S

lim

nn

SS

lim

n

k

kn

k

k aa11

lim

n

k

knn aaaaaS1

321 ...

1

321 ...k

kaaaaS

El valor de la serie es el valor al que se aproximan las sumas parciales finitas

Observe que la serie

= 1-1+1-1+1-1+1-1 +…

es divergente

0

)1(n

n

Utilizando la notación SUMATORIA

Observe que para que una serie converja, es necesario que su

término n-ésimo sea cada vez más pequeño y cercano a cero,

es decir,

1n

na 0lim

nn

aconverge,

Sin embargo, la condición no es suficiente como se ve en el

siguiente ejemplo:

...4

1

4

1

4

1

4

1

3

1

3

1

3

1

2

1

2

11

En esta serie, él término n-ésimo tiende a cero y la serie

claramente es divergente.

…

1

12

1

nn

1 3

1

4

1

nn

1

1 r r2 r3 r4 . . .

r

r2

r3

r4

r(1-r)

1-r

r2(1-r)

1 + r + r2 + r3 + r4 … =

Si 0<r<1

1

1 rm

r

rr )1(

2

2 )1(

r

rr ...

1 + r + r2 + r3 + r4 …La Serie Geométrica

si |r|<1

Si partimos de la suma de una progresión geométrica de razón r

11

1...1 12

rsi

r

rrrrS

nn

n

El valor de la serie geométrica será:

1 + r + r 2 + r 3 + r 4 … =r

r n

n

1

1lim

Este límite existe cuando -1<r<1, es decir,

Así pues: 1 + r + r2 + r3 + r4 … =

si |r|<1

...

10

1

10

1

10

11

10

3...

10

3

10

3

10

32232

3

1

9

10

10

3

10/9

1

10

3

10/9

1

10

3

10/11

1

10

3

1 3

1

10

3...3333.0

nn

De manera totalmente análoga, podemos probar lo obtenido

de manera geométrica:

1

12

1

nn y

1 3

1

4

1

nn

La Serie Armónica:...

5

1

4

1

3

1

2

11

1

1

n n

Si consideramos la siguiente sucesión de sumas parciales (finitas)

16

1...

9

1

8

1...

5

1

4

1

3

1

2

1116 S

8

1...

5

1

4

1

3

1

2

118 S

2

112 S

4

1

3

1

2

114 S

2

21

4

1

4

1

2

11

2

31

8

1...

8

1

2

21

2

41

16

1...

16

1

2

31

nn

Slim Y por lo tanto la Serie Armónica

es DIVERGENTE

El Criterio de Comparación

Sea con para toda n,

a) Si converge y para toda n, entonces converge

b) Si y para toda n, entonces

1n

na 0na

1n

na

1n

nbnn ab

1n

na

1n

nbnn ab

Ejemplos:

Converge, pues y converge.

Diverge, pues y la serie diverge.

1 2

)cos(

nn

nnn

n

2

1

2

)cos(

1 2

1

nn

1

1

n n nn

11

1

1

n n

Calculando, numéricamente el valor de una Serie

La Serie Geométrica

La Serie Armónica

La Serie del recíproco de los cuadrados de los naturales

Una serie Alternante

Cuando analizamos la Serie Geométrica

Series de Potencias

0n

nx

Encontramos que esta converge a 1/(1-x) en el intervalo (-1, 1),

es decir, si consideramos a la función

0

)(n

nxxf

Su dominio será precisamente el intervalo (-1, 1) ya que ahí es

donde la serie converge y por lo tanto f (x) está definida.

Diremos entonces que la serie de potencias representa a la

función 1/(1-x) en el intervalo (-1, 1)

...11

1 432

xxxxx

A partir de la Serie Geométrica podemos generar otras series de

potencias y series numéricas importantes: Ver Applet

Cambiamos x por -x

...11

1 432

xxxxx Antiderivando en ambos lados

...5432

)1ln(5432

xxxx

xx

Sustituyendo x =1, obtenemos:

...5

1

4

1

3

1

2

112ln Ver Applet

n

n

n

xn

1

1)1(

1

1)1(

n

n

n

Ver Applet

...11

1 432

xxxxx

Procedamos ahora de la siguiente manera:

Cambiamos x por -x

...11

1 432

xxxxx

Antiderivando en ambos lados

Sustituyendo x =1,

Ver Applet

Cambiamos x por 2x

...11

1 8642

2

xxxx

x

...9753

arctan9753

xxxx

xx

...9

1

7

1

5

1

3

111arctan

4

...9

4

7

4

5

4

3

44

1

121

12

)1(

n

nn

xn

1

1

12

)1(

n

n

n

El Teorema de Taylor con residuo, también nos proporciona

interesantes series de potencias. Por ejemplo del desarrollo de

Taylor para la función exponencial:

n

nx E

n

xxxxe

!...

!3!21

32

0

Tendremos una representación en serie de potencias

...!3!2

132

xx

xex

0!

n

nx

n

xe

...!7!5!3

753

xxx

xsenx

1

121

!)12(

)1(

n

nn

n

xsenx

Análogamente podemos representar en serie de potencias a la

función seno

Ver Applet

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En los cursos de Cálculo Integral se menciona que la función

no tiene una antiderivada representable por medio

de un número finito de funciones “conocidas”

En nuestros términos, podemos preguntarnos por la solución de:

2

)( xexf

2xedx

dy ...!3!2

164

2 xx

x

Antiderivando en ambos términos, obtenemos:

Con y(0) = 0

...)!3(7)!2(53

)(753

xxx

xxy

Así pues la solución de la ecuación planteada se representa por

medio de una serie de potencias.

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Muchas Gracias