Embed Size (px)
DESCRIPTION
pembelajaran sistem kontrol transformasi lapace
Citation preview
BAB II
TRANSFORMASI LAPLACE
TRANSFORMASI LAPLACE
• Merupakan perangkat analisis yang digunakan untuk mempermudah analisis sistem.
• Transformasi model dari kawasan waktu kontinyu ke kawasan frekuensi di bidang kompleks.
• Transformasi model dapat mengubah bentuk PD(Persamaan Differensial) ke bentuk TF (Fungsi Alih) atau sebaliknya.
TRANSFORMASI LAPLACE• Prinsip penggunaan operator Laplace
0
)()]([)( dtetftfLsF st
• Transformasi Laplace didefinisikan sebagai :
mengubah fungsi t ke fungsi s
• Invers Transformasi Laplace
)]([)( 1 sFLtf
mengubah fungsi s ke fungsi t
Contoh :
t0
A
F(t)
a. Fungsi step
f (t) = 0 untuk t < 0 ;
f (t) = A untuk t >= 0;
s
AdtAesF
dtetfsF
st
st
0
0
)(
)()(
b. Fungsi Sinusoida
)]([)(
sin)(
tfLsF
Attf
dtej
ee
dtAte
dtetf
stjAtjAt
st
st
2
0
0
sin
)(
22)(
As
AsF
0
c. Pulsa
F(t) = h untuk 0 < t 0t
= 0 untuk t 0t
00
0
1)(
0)(
)()(
0
0
st
t
stt
st
st
es
hsF
dtedthesF
dtetfsF
0t0
h
f(t)
t
Teorema Transformasi Laplace
)()]([)]([ skFtfkLtkfL
)()()]()([ 2121 sFsFtftfL
)]([)]([ 21 tfLtfL
b. Superposisi
a. Linearitas
c. Translasi waktuJika F(s) merupakan transformasi laplace dari f (t), dan a merupakan bilangan positif nyata dimana berlaku f(t-a) = 0 untuk 0<= t <=a, maka :
d. Diferensial dalam waktu kompleks
)()]([ sFds
dttfL
Contoh : ][][ asas eds
dteL
asds
d 12
1
as
)()]([ sFeatfL as
e. Translasi dalam wawasan s
Jika F(s) merupakan transformasi Laplace, dari f(t), dan a merupakan bilangan nyata, / kompleks maka :
22
22
sin
sin
)()]([
Aas
AAteL
As
AAtL
asFtfeL
at
at
, sehingga
f. Differensiasi ( Tranformasi fungsi turunan )
)0()()(
fssFdt
tdfL
)0()0()()( 2
2
fdt
dsFsFs
dt
tfdL
1
11 )0(
...)0()()(
n
nnn
n
n
dt
fdfssFs
dt
tfdL
Dimana f(0) merupakan harga f(t) untuk t = 0;
Secara umum Transformasi Laplace turunan ke n adalah sebagai berikut :
g. Integrasi
s
dtf
s
dtfF
s
sFdttfL
dtfss
sFdttfL
n
nn
0
)0(
...)0(.)(
)(
)0(1)(
)(
Dimana :
f(0) dt = harga awal integral
f(0) = harga f(t) untuk t = 0
h. Nilai Akhir
Digunakan untuk mencari nilai steady state
Memberikan harga f(t) jika t
)(lim)(lim0
ssFtfst
i. Nilai Awal
Digunakan untuk mencari nilai alamiah
Memberikan harga f(t) jika t 0
)(lim)(lim0
ssFtfst
j. Integral Konvolusi
t t
sYsXduutyuxduuyutx0 0
)()()()()()(
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE
1. Linearityjika dan
maka
2. Pergeseran waktujika
maka
)()( 11 txLsx )()( 22 txLsx
)()()()( 2121 sxsxtxtxL
)]([)( txLsx
)()]()([ sxettxL s
3. Pergeseran Frekuensi
(perkalian dgn bil.ekponensial)
jika
maka
4. Skala Freq dan Waktu
jika
maka
)]([)( txLsx
)()]([ asxtxeL at
)]([)( txLsx
)(1
)]([a
sx
aatxL
5. Turunan Thd Waktu
jika
maka
6. Integrasi Thd Waktu
jika
maka
)]([)( txLsx
)()(][ xssxdt
dxL
)]([)( txLsx
s
sxdttxL
t
o
)(])([
7. Perkalian dgn t
jika , maka
atau secara umum :
)]([)( txLsx
ds
sxdttxL
)()]([
n
nnn
ds
sxdtxtL
)()1()]([
8. Pembagian dgn t
jika , maka
9. Konvolusi dlm kawasan waktu
jika dan
maka
)]([)( txLsx
s
duuxt
txL )(]
)([
je
je
duusXuXj
tXtXL )(2)(12
1)](2).(1[
)()( 22 txLsx )()( 11 txLsx
TRANFORMASI LAPLACE BALIK
• Definisi
bila x(s) adalah tranformasi laplace dari x(t), maka
je
je
stdsesXj
tx )(2
1)(
TRANFORMASI LAPLACE BALIK
• Metode dekomposisi pecahan parsial adalah metode yg dapat digunakan untuk memecahkan atau menguraikan F(s) menjadi jumlah dari beberapa pecahan
misalkan
)(
)()(
sQ
sPsF
n
m
TRANFORMASI LAPLACE BALIK
Dimana n dan m masing-masing adalah orde dari
P dan Q dengan n<m. Suku-suku pecahan parsial
ditentukan oleh faktor-faktor dari
Sebagaimana diberikan dalam tabel berikut
)(sQm
TABEL BENTUK PECAHAN PARSIAL
Faktor Bentuk pecahan parsial )(sQm
)( bas
nbas )(
ncbsas )( 2
cbsas 2
)( bas
A
nn
bas
A
bas
A
bas
A
)(.......
)()( 221
CBsAsBAs
2
nn
cbsas
BsA
cbsas
BsA
cbsas
BsA
)(....
)( 2222
21
Contoh soal 1 : Cari f(t) jika F(s)=
Jawab : F(s)= =
Dengan penyamaan koefisien, maka
A+B = 0
A = 1
Solusinya adalah A=1 dan B=-1
Dan F(s) menjadi :
Sehingga
)1(
1
ss
)1(
1
ss )1(
)1(
1
ss
BssA
s
B
s
A
1
11)(
sS
sF
tesFL 1)}({1
Pemakaian Transformasi lapalce
Langkah langkah menyelesaikan persamaan diferensial dengan
menggunakan transformasi laplace :
1. Menuliskan persamaan Differensial sistem yang akan di analisa
2. Menuliskan transformasi laplace dari persamaan Differensial tersebut
dengan menentukan transformasi laplace dari tiap – tiap suku dalam
persamaan Differensial tersebut
3. Menyatakan bentuk transformasi dalam daerah ( fungsi ) s
4. Jika diinginkan dalam daerah ( fungsi ) t dapat digunakan tabel
transformasi laplace
x(t) X(s) ROC
δ(t) 1 Semua s
u(t) Re(s)>0
tn u(t)Re(s)>0
e-at u(t) Re(s)+Re(a)>0
u(t) Cos ω0tRe(s)>0
u(t) Sin ω0tRe(s)>0
s1
1
!ns
n
as 1
20
2 s
s
20
20
s
Tabel Transformasi Laplace
Tabel Fungsi f(t) dan bentuk laplace
f(t) F(s)
1S
1
nt1
!ns
n
ateas 1
tcos22 s
s
TRANFORMASI LAPLACE BALIK
f(t) F(s)
tsin22
s
)( atu
)( at
s
e as
ase
)()( tf n
)0(...)0()0( )1(21 nnnn ffsfsFs
TRANFORMASI LAPLACE BALIK
f(t) F(s)
dttf )( 0)(1
)(1
tdttfs
sFs
)(tfeat )( asF
)()( atuatf )(sFeas
)(a
tf )(asaF
• Contoh soal ( 1 )
12
12
1
)22(
2)2()()(
)22(
)()22()(
22)(
)22(
1)(
3
2
1
2131
221
232
21
2321
2
A
A
A
sss
AsAAsAAsX
sss
AsAsssAsX
ss
AsA
s
AsX
ssssX
0
2)(
)2(
2
2
1
1
1)(
221)!22(
1
12)1(
1
21)!12(
1
11)2(
)2(21)(
)2)(1()(
22
2
12
211
21
212111
2
t
teeetx
ssssX
ss
sA
ssss
s
ds
dA
ss
sA
s
A
s
A
s
AsX
ss
ssX
ttt
• Contoh soal ( 2 )
Sebuah rangkaian seri RLC terdiri dari batere E, saklar
S, hambatan elektris R, kumparan L, dan kondensator C.
Nilai masing – masing komponen : E = 0 volt, R = 200
Ohm, L = 1 Henry, C = 50 microfarad
E
C
S R
L
Mula – mula kondensator C mempunyai potensial sebesar 1 volt, Tentukan bentuk arus sebagai fungsi dari t ( Vo = 1 V )
Penyelesaian :
01
RL idtC
idt
di
;q
0)0()(1
)()0()(L
dt
di
dtisICs
sRIissI
;dqidt qidt
dti )0( merupakan muatan awal [ q(0) ] kondensator
01
10.50
)()(200)(
)0()0(
1
6
ss
sIsIssI
s
Vo
Cs
qdti
CsC
qVc
Atau
42 10.2200
1)(
sssI
22 100100
1
s
22 100100
100
100
1)(
s
sI
AmperetetI t 100sin100
1)( 100
Untuk I(t) dapat diperoleh dari tabel Transformasi Laplace :
Terima Kasih
