SISTEMA DE FUNCIONES,

GEOMETRÍA Y MEDIDA

Lic. Arecio Peñafiel, M. Sc.

SEMESTRE QUINTO A-B-C

Septiembre 2012 – Febrero 2013

FUNCIÓNEn algunas relaciones, cada elemento del primer conjuntoestá relacionado con un sólo elemento del segundoconjun­to, en estos casos la relación toma el nombreespecífico de función.

Antes de escribir el concepto de función, es necesario anotarque en lo posterior utilizaremos para el primer conjunto la letraX y para el segundo conjunto la letra Y, no sin antespuntualizar que se pueden emplear otras letras.

Una función se denota generalmente así:

f : X Y o X Y Que se lee: "f es una función de X en Y”.

CONCEPTOSe llama función f, a todas las relaciones de X en Y,donde en cada elemento del conjunto X esta relacióncon un solo elemento del conjunto Y.

Ejemplo: Si tenemos los conjuntos X= {2, 4, 6} y Y= {1, 2,3, 4}, analicemos si la relación “doble de” es unafunción.

En este ejemplo se cumple el criterio, que a cadaelemento del primer conjunto le corresponde un sóloelemento del se­gundo conjunto. Por lo tanto, sí es unafunción y se la escribe:

Simbólicamente

f= {(2,1), (4, 2), (6, 3)}

“doble”

EJEMPLOSAnalicemos si las relaciones dadas por los conjuntosde pares ordenados constituyen una función.

1. La relación {(0, 2), (1, 3). (0, 4), (2, 5)} Norepresenta una función, por cuanto dos pa­resordenados distintos (0, 2) y (0, 4) tie­nen el mismoprimer elemento (0).

2. La relación {(1, 3), (2, 3), (3, 1)} sí es unafunción, por cuanto no hay pares ordenados quetengan el mismo primer elemento.

RECUERDA

A una función, se la denota también dela siguiente manera: f = {(x, y) /y = f(x)}que se lee: “f es el conjunto de paresordenados (x, y) tal que Y es fun­ción deX”.

Ejemplos: Escribamos algunos ejemplosde funciones, en el lenguaje simbólico yen el lenguaje coloquial.

LENGUAJE SIMBÓLICO

1. f = {(x, y)/y = 2x+ 1 }

2. f = {(x, y)/y = x3-l}

LENGUAJE COLOQUIAL

“F es el conjunto de paresordenados (x, y) tales que yes el doble de X, más 1”

"F es el conjunto de paresordenados (x. y) tales que yes el cubo de X, disminuidoen 1”.

DOMICIO Y CONTRADOMINIO

La función "doble de” para los conjuntos X =

{4, 6, 8} y Y = {1, 2, 3, 4, 5}, está dada de la

siguiente manera:

Simbólicamente

f= {(4, 2), (6, 3), (8, 4)}

CONCEPTOS BÁSICOS El dominio de una función X en Y es el

conjunto de partida X

En determinadas funciones, alguno(s) de loselementos del conjunto de llegada no sonimágenes, por lo que decimos que el contradominio puede o no coincidir con el conjuntode llegada, dependerá esto del tipo defunción.

El contra domidio de una función F es elconjunto formado por las imágenes de loselementos del dominio.

EJEMPLO UNO 1. Para los conjuntos X = {3, 1, 4} y Y = {-6, 2,

6, 8, 10} determinemos simbólica ygráficamente la función f: X. Y, dada por"mitad de". Luego, escribamos el dominio y elcontra dominio.

Simbólicamentef= {(1,2), (3, 6), (4, 8)}

Dom= {1,3,4}

Contd = { 2, 6, 8} Sol.

“mitad” F

EJEMPLO DOS

Con los conjuntos X = {0, 1, 2, 3} y Y= {x/x ∈ Z}

determinemos simbólicamente la función f: X

-»Y, dada por la ecuación "y = x + 4". Luego,

escribamos el dominio y el contra dominio.

Simbólicamente:

f={(0,4),(1,5),(2,6),(3,7)}

Dom = {0, 1, 2, 3}

Contd = (4, 5, 6, 7} Sol.