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Bachiller: Jorge Franco Calkitis C.I: 10.292.157 Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria Ingeniería Industrial Cátedra: Algebra Lineal Sede Barcelona Profesora: Milagros Maita PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Gauss y Gauss-Jordan

Sistemas de e l gauss jordan

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Page 1: Sistemas de e l gauss jordan

Bachiller:

Jorge Franco Calkitis

C.I: 10.292.157

Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria

Ingeniería IndustrialCátedra: Algebra Lineal

Sede Barcelona

Profesora: Milagros Maita

PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.Gauss y Gauss-Jordan

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MÉTODO DE GAUSS

APLICACION DEL METODO DE GAUSS

MÉTODO DE GAUSS-JORDANAPLICACIÓN DE GAUSS-JORDAN

PUNTOS A TRATAR

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MÉTODO DE GAUSS

El método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales consiste en transformar un sistema en otro equivalente con forma triangular, cuya resolución es sencilla.

Para ello se mantiene invariable la primera ecuación y se sustituyen las siguientes ecuaciones por las que resultan de eliminar la primera incógnita entre la primera ecuación y cada una de las restantes

Se mantendrán invariables las ecuaciones por las que se obtienen de eliminar la segunda incógnita entra la segunda ecuación y cada una de las siguientes.

Se continúa así el proceso hasta obtener un sistema en forma triangular

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APLICACION DEL METODO DE GAUSS

Reducir a forma triangular los siguientes sistemas:

x + y + z = 3 x+ 2y + 3z = 2 x + 4y + 9z = - 2

( m =3, n = 3)

Sobre la matriz del sistema eliminamos la x entre la primera ecuación y las dos restantes. Para ello:

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1 1 1 3 1 1 1 3 1 2 3 2 0 1 2 -1 1 4 9 -2 -f1 + f2 0 3 8 -5 -f1 + f3

ahora eliminamos la y entre la segunda y la tercera ecuación,

1 1 1 3 1 1 1 31 2 3 -1 0 1 2 -1 0 3 8 -5 -3 / 2 + f3 0 0 2 -2

obtenemos así el sistema equivalente en forma triangular y + 2z = -1 x + y + z = 3 2z = -2

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APLICACION DEL METODO DE GAUSS

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-2x + y + z = 1 x – 2y + z = -2 (m = n = 3) x + y – 2z = 4

-2 1 1 1 -2 1 1 1 1 -2 1 -2 0 -3 3 -3 1 1-2 4 f1 + 2f2 0 3 -3 9 f2 + f3

f1 + 2f3

-2 1 1 10 -3 3 –3 0 0 0 6

obteniendo el sistema triangular equivalente al original: -2x + y + z = 1 -3y + 3z = -3 0 = 6

APLICACION DEL METODO DE GAUSS

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2x + y +z = 1 (m = 2 n =3)3x + y – z = 0

efectuando transformaciones:

2 1 1 1 2 1 1 13 1 -1 0 -3f1 + 2f2 0 –1 –5 -3

y obtenemos el sistema triangular : 2x + y + z = 1 -y – 5z = -3

APLICACION DEL METODO DE GAUSS

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Es similar al método de Gauss. Se emplea en la resolución de sistemas lineales de tantas ecuaciones como incógnitas.

Se emplean las mismas reglas de sistemas equivalentes que en el Método de Gauss.

OBJETIVO: Conseguir que los coeficientes de la diagonal principal de un sistema sean unos y el resto de los coeficientes valgan cero.

Sea: a.x + b.y + c.z = d a´.x + b’.y + c’.z = d’a”.x + b”.y + c”.z = d”

Opero mediante el Método de Gauss, obteniendo:a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g h.z = j

METODO DE GAUSS

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Aplico el método de Jordan:

Resto a la 2º fila la 3º fila multiplicada por f / hResto a la 1º fila la 3º fila multiplicada por c / h

Queda:a.x + b.y = k + e.y = p h.z = j

Resto a la 1º fila la 2º fila multiplicada por b / e

Queda:a.x = q x = q / a e.y = p y = p / e h.z = j z = j / h

METODO DE GAUSS- JORDAN

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La suma de las tres cifras de un número es 14. La cifra de las centenas y la de las decenas suman la de las unidades. Si invertimos el orden de las cifras el número aumenta en 396 unidades. ¿De qué número se trata?.

Resolución:

Sea N = zyx el número pedido Sea x = la cifra de las unidades.Sea y = la cifra de las decenas.Sea z = la cifra de las centenas.

Tenemos:x+y+z = 14 x + y + z = 14z+y=x x – y – z = 0 xyz=zyx+396 100.x+10.y+z = 100.z + 10.y + x + 396

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APLICACION DE GAUSS-JORDAN

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APLICACION DE GAUSS-JORDAN

0 – 99 – 198 – 990

El sistema de ecuaciones quedará así:

x + y + z = 14x – y – z = 0 99.x – 99.z = 396

Lo resolvemos utilizando la matriz ampliada, compuesta por los coeficientes y los términos independientes:

1 1 1 141 -1 -1 099 0 -99 396

Aplicando el método de Gauss:

F3 = F3 – 99F1 y F2 = F2 - F1 1 1 1 140 – 2 – 2 – 14

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Dividiendo entre - 2 la segunda y entre – 99 la tercera, queda:

1 1 1 140 1 1 70 1 2 10

A la tercera fila o ecuación la resto la segunda fila o ecuación.F3 = F3 – F2

1 1 1 140 1 1 70 0 1 3

Aplicando el método de Jordan:A la primera fila la resto la segunda y a la segunda la resto la

primera:

1 0 0 7 x = 70 1 0 4 y = 40 0 1 3 z = 3

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