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SISTEMAS DE NUMERACIÓN SISTEMAS DE NUMERACIÓN OCTAL Y HEXADECIMAL OCTAL Y HEXADECIMAL Juan Ballester Juan Ballester Freyder Espinosa Freyder Espinosa Juanjo Alfonso Juanjo Alfonso

Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

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Page 1: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

SISTEMAS DE NUMERACIÓN SISTEMAS DE NUMERACIÓN OCTAL Y HEXADECIMALOCTAL Y HEXADECIMAL

Juan BallesterJuan BallesterFreyder EspinosaFreyder EspinosaJuanjo AlfonsoJuanjo Alfonso

Page 2: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

SISTEMA HEXADECIMAL:SISTEMA HEXADECIMAL:

• El El sistema hexadecimalsistema hexadecimal, a veces abreviado , a veces abreviado como como hexhex, es el , es el sistema de numeración posicionalsistema de numeración posicional de base de base 1616 — —empleando por tanto 16 símbolos. Su uso actual empleando por tanto 16 símbolos. Su uso actual está muy vinculado a la está muy vinculado a la informáticainformática y y ciencias de la computaciónciencias de la computación, pues los , pues los computadorescomputadores suelen utilizar el suelen utilizar el bytebyte u octeto u octeto como unidad básica de como unidad básica de memoriamemoria..

Page 3: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

• En principio dado que el sistema usual de En principio dado que el sistema usual de numeración es de base numeración es de base decimaldecimal y, por ello, sólo y, por ello, sólo se dispone de diez dígitos, se adoptó la se dispone de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del convención de usar las seis primeras letras del alfabeto latino para suplir los dígitos que nos alfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan. El conjunto de símbolos sería, por tanto, faltan. El conjunto de símbolos sería, por tanto, el siguiente:el siguiente:

• 0123456789 + A B C D E y F0123456789 + A B C D E y F

Page 4: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

• Como en cualquier sistema de numeración Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de cada posicional, el valor numérico de cada dígito es alterado dependiendo de su dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una cierta quedando multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en potencia de la base del sistema, que en este caso es 16,u 8 en caso del sistema este caso es 16,u 8 en caso del sistema octal. Por ejemplo: 3E0,Aoctal. Por ejemplo: 3E0,A1616 = 3×16 = 3×1622 + + E×16E×1611 + 0×16 + 0×1600 + A×16 + A×16-1-1 = 3×256 + = 3×256 + 14×16 + 0×1 + 10×0,0625 = 992,62514×16 + 0×1 + 10×0,0625 = 992,625..

Page 5: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

SISTEMASISTEMA OCTAL:OCTAL:

• El El sistema de numeración posicionalsistema de numeración posicional en base en base 88 se llama se llama octaloctal y utiliza las cifras de 0 a 7. y utiliza las cifras de 0 a 7.

• Los números octales pueden construirse a partir de Los números octales pueden construirse a partir de números números binariosbinarios agrupando cada tres cifras agrupando cada tres cifras consecutivas de estos últimos (de derecha a izquierda) y consecutivas de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal. obteniendo su valor decimal.

• Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 001 010. 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 001 010. De modo que 74 en octal es 112. De modo que 74 en octal es 112.

• En informática, a veces es utiliza la numeración octal en En informática, a veces es utiliza la numeración octal en vez de la vez de la hexadecimalhexadecimal. Tiene la ventaja de que no . Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de las cifras requiere utilizar otros símbolos diferentes de las cifras decimales. decimales.

Page 6: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

CONVERSIONES ENTRE LOS CONVERSIONES ENTRE LOS DIFERENTES SISTEMASDIFERENTES SISTEMAS

Page 7: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

Conversión de Binario a Conversión de Binario a DecimalDecimal

• Únicamente tenemos que tomar los datos del valor en Únicamente tenemos que tomar los datos del valor en sistema binario y aplicar la fórmula V*B ^p, en donde v sistema binario y aplicar la fórmula V*B ^p, en donde v es el valor (en este caso 1 o 0), B es el valor de la base es el valor (en este caso 1 o 0), B es el valor de la base del sistema de conversión (en este caso 2 ya que es del sistema de conversión (en este caso 2 ya que es binario) y p es la posición ordenada que ocupa el valor binario) y p es la posición ordenada que ocupa el valor dentro de la expresión binaria de izquierda a derecha. dentro de la expresión binaria de izquierda a derecha. Por ejemplo:Por ejemplo:

Número Binario de 4 Bits: 1010 Conversión por posiciones: (1 x 2 a la 3ª ) + (0) + (1 x 2 a la 1ª ) + (0)

Número Decimal: 8 + 0 + 2 + 0 = 10

Page 8: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

Conversión de Decimal a Conversión de Decimal a BinarioBinario

• Existen un par de métodos para realizar esta conversión, pero el Existen un par de métodos para realizar esta conversión, pero el mas sencillo y práctico es el denominado “por división repetida”. mas sencillo y práctico es el denominado “por división repetida”.

• Tal método consiste en ir dividiendo entre 2 el valor que deseamos Tal método consiste en ir dividiendo entre 2 el valor que deseamos convertir, e ir añadiendo un o si el resto de la división es un número convertir, e ir añadiendo un o si el resto de la división es un número entero o un 1 en caso contrario. Al final de las sucesivas divisiones entero o un 1 en caso contrario. Al final de las sucesivas divisiones anotaremos los valores (los 0 y 1s) y los escribiremos de izquierda a anotaremos los valores (los 0 y 1s) y los escribiremos de izquierda a derecha en sentido inverso a como los hemos ido hallando en la derecha en sentido inverso a como los hemos ido hallando en la descomposición. Con un ejemplo todo se verá mucho mas claro:descomposición. Con un ejemplo todo se verá mucho mas claro:

• En este caso el resultado final sería 10010110.En este caso el resultado final sería 10010110.

Page 9: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

Conversión del Sistema Octal a Conversión del Sistema Octal a DecimalDecimal

• La conversión de un número octal a uno decimal es muy La conversión de un número octal a uno decimal es muy sencilla, sólo necesitamos multiplicar cada uno de los sencilla, sólo necesitamos multiplicar cada uno de los dígitos por el valor que corresponde a su posición. Para dígitos por el valor que corresponde a su posición. Para convertir el número 435 comenzamos por:convertir el número 435 comenzamos por:

• Tres posiciones. 8 a la 2ª , 8 a la 1ª , 8 a la 0. Tres posiciones. 8 a la 2ª , 8 a la 1ª , 8 a la 0.

• Primer Bit Octal (5 x 8 a la 0) = 5 x 1 = 5 Primer Bit Octal (5 x 8 a la 0) = 5 x 1 = 5

• Segundo Bit Octal (3 x 8 a la 1ª ) = 3 x 8 = 24 Segundo Bit Octal (3 x 8 a la 1ª ) = 3 x 8 = 24

• Tercer Bit Octal (4 x 8 a la 2ª ) = 4 x 64 = 256 Tercer Bit Octal (4 x 8 a la 2ª ) = 4 x 64 = 256 • Número decimal = (5 + 24 + 256 ) = 285Número decimal = (5 + 24 + 256 ) = 285

Page 10: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

Conversión del Sistema Decimal a Conversión del Sistema Decimal a Octal Octal

• Un número Decimal ENTERO puede convertirse al sistema Octal Un número Decimal ENTERO puede convertirse al sistema Octal utilizando también la "División Repetida", pero en este caso, nuestro utilizando también la "División Repetida", pero en este caso, nuestro factor para dividir será el 8, de la misma manera, el residuo de la factor para dividir será el 8, de la misma manera, el residuo de la primera división será el LSB, y el residuo de la última división será el primera división será el LSB, y el residuo de la última división será el MLB. Para poder saber el número que se convierte en cada Bit MLB. Para poder saber el número que se convierte en cada Bit octal, se multiplica la fracción del residuo por 8, y se toma el octal, se multiplica la fracción del residuo por 8, y se toma el número entero para volver a dividir entre 8. Convertir el decimal número entero para volver a dividir entre 8. Convertir el decimal 285 a Octal nos daría:285 a Octal nos daría:

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Conversión del Sistema Octal a Conversión del Sistema Octal a BinarioBinario

• Este proceso se realiza convirtiendo cada número Octal en su Este proceso se realiza convirtiendo cada número Octal en su equivalente del Sistema Binario, pero con la diferencia que se equivalente del Sistema Binario, pero con la diferencia que se utilizan forzosamente 3 Bits. De manera que Cada Bits Octal es utilizan forzosamente 3 Bits. De manera que Cada Bits Octal es convertido por separado en su equivalente Binario. Convertir el convertido por separado en su equivalente Binario. Convertir el número Octal 561 al sistema Binario sería:número Octal 561 al sistema Binario sería:

Page 12: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

Conversión del Sistema Binario a Conversión del Sistema Binario a OctalOctal

• Lo primero que hacemos es agrupar todos los bits del número Lo primero que hacemos es agrupar todos los bits del número Binario en grupos de tres, iniciando con el LSB (Primer Bit). Ya que Binario en grupos de tres, iniciando con el LSB (Primer Bit). Ya que tenemos separados los Bits, se convierte cada trío a su equivalente tenemos separados los Bits, se convierte cada trío a su equivalente del Sistema Octal. En el caso de que en el último grupo de Bits del Sistema Octal. En el caso de que en el último grupo de Bits (MLB) no se pueda hacer un trío, se agregan ceros hasta lograrlo.(MLB) no se pueda hacer un trío, se agregan ceros hasta lograrlo.

Convertir un número Binario que tiene sus tríos completos, Convertir un número Binario que tiene sus tríos completos, 101110001 al Sistema Octal sería:101110001 al Sistema Octal sería:

• Se agrupan los bits en tríos (101110001) = 101 - 110 - 001 Se agrupan los bits en tríos (101110001) = 101 - 110 - 001 • Se convierte el Primer trío (donde se encuentra el LSB) 001 = 1 Se convierte el Primer trío (donde se encuentra el LSB) 001 = 1 • Se convierte el Segundo trío 110 = 6 Se convierte el Segundo trío 110 = 6 • Se convierte el Tercer trío (donde se encuentra el MSB) 101 = 5 Se convierte el Tercer trío (donde se encuentra el MSB) 101 = 5 • Número Octal = 561 Número Octal = 561

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Convertir un número Binario que no tiene sus tríos completos, 10101110001 al Sistema Octal sería:

Se agrupan los bits en tríos (10101110001) = 10 - 101 - 110 - 001

Completar los tríos (agregando un 0) = 010 - 101 - 110 - 001 Se convierte el Primer trío (donde se encuentra el LSB) 001 =

1 Se convierte el Segundo trío 110 = 6

Se convierte el Tercer trío 101 = 5 Se convierte el Cuarto trío (donde se encuentra el MSB) 010 =

2 Número Octal = 2561

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Conversión del Sistema Conversión del Sistema Hexadecimal a Decimal Hexadecimal a Decimal

• Para convertir un número del Sistema Hex a su equivalente Decimal Para convertir un número del Sistema Hex a su equivalente Decimal necesitamos primero recordar que la posición de los números en del necesitamos primero recordar que la posición de los números en del Sistema Hex, basan su valor en una potencia de 16. El Primer Bit Sistema Hex, basan su valor en una potencia de 16. El Primer Bit (LSB) sería 16 a la 0 = (1), el segundo Bit sería 16 a la 1ª = (16), el (LSB) sería 16 a la 0 = (1), el segundo Bit sería 16 a la 1ª = (16), el tercer Bit sería 16 a la 2ª = (256), aumentando las potencias de 16 tercer Bit sería 16 a la 2ª = (256), aumentando las potencias de 16 hasta llegar al último Bit (MLB). La conversión se realiza entonces hasta llegar al último Bit (MLB). La conversión se realiza entonces de la siguiente manera: de la siguiente manera:

Convertir el número Hex 182 al Sistema DecimalConvertir el número Hex 182 al Sistema Decimal : :

Page 15: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

Convertir el número Hex 6AF al Sistema Decimal:Convertir el número Hex 6AF al Sistema Decimal:

Page 16: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

Conversión del Sistema Decimal a Conversión del Sistema Decimal a HexadecimalHexadecimal

Nuevamente acudimos a la “División repetida” para lograr esta conversión. Nuevamente acudimos a la “División repetida” para lograr esta conversión. pero esta vez, la división será por 16. Al igual que antes, si el residuo pero esta vez, la división será por 16. Al igual que antes, si el residuo

contiene fracciones decimales, se multiplican por 16 y se toma el número contiene fracciones decimales, se multiplican por 16 y se toma el número entero para la nueva división por 16. Para convertir los números 1711 y 386 entero para la nueva división por 16. Para convertir los números 1711 y 386

del Sistema decimal al hexadecimal haríamos lo siguiente:del Sistema decimal al hexadecimal haríamos lo siguiente:

Page 17: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

Conversión del Sistema Hexadecimal a Conversión del Sistema Hexadecimal a BinarioBinario

• Al igual que en la conversión del Sistema Octal (que se convierten Al igual que en la conversión del Sistema Octal (que se convierten en tríos de Bits Binarios), en la conversión del Sistema Hexadecimal en tríos de Bits Binarios), en la conversión del Sistema Hexadecimal a Binario, cada Bit Hex se convierte en cuartetos de Bits Binarios.a Binario, cada Bit Hex se convierte en cuartetos de Bits Binarios.

Convertir el número del Sistema Hex 8A1 a Binario sería:Convertir el número del Sistema Hex 8A1 a Binario sería:

Page 18: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

Conversión del Sistema Binario a Conversión del Sistema Binario a HexadecimalHexadecimal

• La forma de convertir un número del Sistema Binario a Hex, es La forma de convertir un número del Sistema Binario a Hex, es completamente opuesta a la presentada arriba. Se forman cuartetos de Bits completamente opuesta a la presentada arriba. Se forman cuartetos de Bits Binarios (comenzando desde el LSB) hasta el MSB. Al igual que en la Binarios (comenzando desde el LSB) hasta el MSB. Al igual que en la conversión de Sistema binario a Octal, en caso de que no se completen los conversión de Sistema binario a Octal, en caso de que no se completen los cuartetos, se agregan los ceros necesarios para completar lo últimos cuatro cuartetos, se agregan los ceros necesarios para completar lo últimos cuatro Bits.Bits.

Convertir el número del Sistema Binario 100010100001 a Hex sería:Convertir el número del Sistema Binario 100010100001 a Hex sería:

• Se agrupan los bits en cuartetos (100010100001) = 1000 - 1010 - 0001 Se agrupan los bits en cuartetos (100010100001) = 1000 - 1010 - 0001 • Se convierte el Primer cuarteto (donde se encuentra el LSB) 0001= 1 Se convierte el Primer cuarteto (donde se encuentra el LSB) 0001= 1 • Se convierte el Segundo trío 1010 = 10 = A Se convierte el Segundo trío 1010 = 10 = A • Se convierte el Tercer trío (donde se encuentra el MSB) 1000 = 8 Se convierte el Tercer trío (donde se encuentra el MSB) 1000 = 8 • Número Hex = 8A1 Número Hex = 8A1

Page 19: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

Conversión de Hexadecimal a octalConversión de Hexadecimal a octal

• Únicamente hay que pasarlo a binario y de ahí a octal.Únicamente hay que pasarlo a binario y de ahí a octal.

F5 para pasarlo a binario , traducir la F y el 5 a su valor correspondiente en F5 para pasarlo a binario , traducir la F y el 5 a su valor correspondiente en binario.binario.

F=1111F=11115=01015=0101

entonces F5= 11110101entonces F5= 11110101

y ahora en binario, separar en 3 de derecha a izquierday ahora en binario, separar en 3 de derecha a izquierda101101110110011011y ese valor de binario lo paso a decimaly ese valor de binario lo paso a decimal365365

Page 20: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

Conversión de octal a hexadecimalConversión de octal a hexadecimal

• y a la inversa, lo mismo, se pasa primero a binario:y a la inversa, lo mismo, se pasa primero a binario:

3=0113=0116=1106=1105=101 en binario queda 0111101015=101 en binario queda 011110101

y ahora tomo 4 valores: y ahora tomo 4 valores: 0101=50101=51111=F1111=FResultado F5Resultado F5

Page 21: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

SISTEMA DE REPRESENTACION TRINARIOSISTEMA DE REPRESENTACION TRINARIO• Para todo sistema de representación, deben tenerse en cuenta lo valores asignados a Para todo sistema de representación, deben tenerse en cuenta lo valores asignados a

cada uno sus símbolos y no el valor que a priori pudiese tener en los sistemas de cada uno sus símbolos y no el valor que a priori pudiese tener en los sistemas de numeración ya existentes.numeración ya existentes.

• ““Se ha de tener en cuenta que a veces la gente común, al estar acostumbrada al uso Se ha de tener en cuenta que a veces la gente común, al estar acostumbrada al uso diario del sistema decimal, da por hecho que un número colocado a la izquierda de diario del sistema decimal, da por hecho que un número colocado a la izquierda de otro representa siempre múltiplos de 10; y da por hecho que 10+90 es 100, por otro representa siempre múltiplos de 10; y da por hecho que 10+90 es 100, por poner un ejemplo cualquiera, y no le es posible concebir una forma distinta de poner un ejemplo cualquiera, y no le es posible concebir una forma distinta de representar las cantidades mediante el uso de los mismos símbolos decimales con representar las cantidades mediante el uso de los mismos símbolos decimales con otros valores y funciones asignadas en cada sistemas de representación numérica.”otros valores y funciones asignadas en cada sistemas de representación numérica.”

• En el caso particular del sistema trinario que esta siendo objeto de nuestro estudio, En el caso particular del sistema trinario que esta siendo objeto de nuestro estudio, y previa asignación de los valores, análisis de sus equivalencia y conversiones al y previa asignación de los valores, análisis de sus equivalencia y conversiones al sistema decimal u otros sistemas y acogiéndonos a la metodología de otros sistemas sistema decimal u otros sistemas y acogiéndonos a la metodología de otros sistemas de representación posicional; podemos decir con gran convencimiento que los de representación posicional; podemos decir con gran convencimiento que los símbolos utilizados no son un condicionante puesto que puedes asignar valores de símbolos utilizados no son un condicionante puesto que puedes asignar valores de modo conveniente independientemente que los símbolos utilizados sean numéricos, modo conveniente independientemente que los símbolos utilizados sean numéricos, alfabéticos, alfa-numéricos o en su caso gráficos.alfabéticos, alfa-numéricos o en su caso gráficos.

Page 22: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

Podemos concluir que un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos en el sistema.

Un sistema de numeración puede representarse:

N= (S,R)

Donde:

•N es el sistema de numeración considerado.•S es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema•R son las reglas que nos indican que números son validos en el sistema y cuales no, pudiendo ser estas reglas diferentes para cada sistema de numeración considerado pero una regla común a todos es que para construir números validos en un sistema de numeración determinado solo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.

Page 23: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

En nuestro sistema de representación trinario los símbolos a utilizar serán 0, 1 y 2 siendo por tanto su base 3.

Operamos así: ∑V.B^p

Page 24: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

Tomemos por ejemplo el número 33 del sistema decimal, para representarlo en el sistema trinario debemos dividir sucesivamente por su base (3), y tomar los cocientes en orden inverso a su obtención.

Ej.

33|3 _00 11|3 _ 2 3 |3 _ 0 1 0 1 ||3 _3 _

Con lo cual el número resultante en trinario sería Con lo cual el número resultante en trinario sería 10201020,, que operando de la forma común en los sistemas de numeración posicional y teniendo en cuenta ∑V.B^p, quedaría así:

1 0 2 0 => 1*3 + 0*3 + 2*3 + 0*3 = 33 27 + 0 + 6 + 0 = 33

3 2 1 0 0123

Page 25: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

Suma en binarioSuma en binario

La suma binaria se puede realizar cómodamente siguiendo las tres reglas descritas:Si el número de unos (en sentido vertical) es par el resultado es 0.Si el número de unos (en sentido vertical) es impar el resultado es 1.Acarreo tantos unos como parejas (completas) de números 1 haya.Por ejemplo:0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0 se pone 0 y se acarrea un 1 a la posicion siguiente. Para sumar 1010 (que en decimal es 10) y 1111 (que en decimal es 15). 10 + 15 = 25

Page 26: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

Resta en binarioResta en binarioLas cuatro reglas básicas para la resta de números binarios son:0 - 0 = 0 1 – 1 = 0 1 – 0 = 1 0 – 1 = 1 ( con acarreo negativo de 1) Al restarse números algunas veces se genera un acarreo negativo que pasa a la siguiente columna de la izquierda. En binario solo se produce este acarreo cuando se intenta restar 1 de 0 (4ª regla).Ejemplo sobre esta situación, restar 011 de 101:101 – 011 = 010 Detalle de la operación:

en la columna derecha se realiza la resta de 1 – 1 = 0en la columna central se produce un acarreo negativo de 1 a la columna siguiente (4ª regla) que da lugar a 1 en esta columna, luego 0 - 1 = 1 con acarreo de 1 a la siguiente columnaen la columna izquierda, se resta 1 del acarreo producido en la anterior columna y da como resultado 0, luego se resta 0 – 0 = 0

Page 27: Sistemas De Numeracion Octal Y Exadecimal

Multiplicación en binarioMultiplicación en binario

La multiplicación binaria es tan sencilla como la decimal, y es que funcionan de la misma manera. Aquí tienen un ejemplo de multiplicación binaria. Supongamos que multipliquemos 10110 por 1001:

Vamos multiplicando por cada dígito de 1001 el conjunto 10110 y luego procedemos a hacer la suma. Hay otro tipo de procedimientos para realizar esta multiplicación sin signo y es el llamado "Multiplicación por el método de Suma-Desplazamiento".