1. UNIVERSIDAD POPULAR AUTONOMA DEL ESTADO DE PUEBLA MAESTRA EN EDUCACIN MATEMTICA INTRODUCCIN AL LGEBRA LINEAL TUTOR: DR. ROGELIO GONZLEZ VELZQUEZ TAREA 4 MODELO DE SOLUCIN A TRAVS DE UN SHEL`S Contreras Muoz Pablo Jess Ochoa Rojas Celso Snchez Snchez Elizabeth Tlatelpa Garca Karla 2. Contenido 1. RESUMEN 2. INTRODUCCIN 3. TEOREMA 4. MODELO DE EJEMPLO APLICACIN DE LOS SHEL 5. TAREA 6. SOFTWARE Y EJEMPLO 7. ACTIVIDAD USANDO SOFTWARE 8. AUTOEVALUACIN 9. BIBLIOGRAFA 3. 1. RESUMEN La solucin de los sistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia aplicacin en la ciencia y la tecnologa. En particular, se puede afirmar, que en cualquier rama de la ingeniera existe al menos una aplicacin que requiera del planteamiento y solucin de tales sistemas. 4. 2. INTRODUCCIN Definicin: Un sistema de ecuaciones lineales se llama homogneo si todas las constantes b1, b2,b3, , bn son todas ceros. 5. Soluciones de un Sistema Lineal Homogneo En general, al resolver un sistema de ecuaciones lineales encontramos como solucin una de estas tres posibilidades: Solucin nica. Ninguna solucin. Nmero infinito de soluciones. Pero en un sistema de ecuaciones lineales homogneo hay dos posibilidades: cero como solucin (llamada solucin trivial) o un nmero infinito de soluciones adicional a cero como solucin (llamada solucin no trivial). 6. 3. TEOREMA Teorema: Un sistema de ecuaciones lineales homogneo tiene un nmero infinito de soluciones si n > m. 7. En una fabrica de ropa se producen tres estilos de camisas que llamaremos 1, 2, 3. Cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado; las camisas se elaboran por lote. Para producir un lote de camisas del tipo 1 se necesitan: 30 min para cortarlas, 40 min para coserlas y 50 min para plancharlas y empaquetarlas. Para el tipo 2; 50 min para cortar, 50 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar. Para el tipo 3; 65 min para cortar, 40 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar. Cuntos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar? MODELO DE EJEMPLO APLICACIN DE LOS SHEL 8. Queremos saber cuantos lotes de cada tipo de camisa se pueden producir, asignemos literales. Sea x el nmero de lotes de camisas del tipo 1 que se pueden producir. Sea y el nmero de lotes de camisas del tipo 2 que se pueden producir. Sea z el nmero de lotes de camisas del tipo 3 que se pueden producir. SOLUCIN 9. Establezcamos relaciones algebraicas entre las variables. El nmero de minutos que se emplean en cortar una camisa del tipo 1 es 30x, del tipo 2 es 50y, y del tipo 3 es 65z. El nmero total de minutos que se emplea en cortar todas las camisas es: 30x+50y+65z Y tiene que ser igual a 480 minutos que son las 8 horas que se trabajan en cortar 30x+50y+65z=480 Anlogamente en coser se tiene: 40x+50y+40z=480 En planchar y empaquetar tenemos: 50x+50y+50z=480 10. Solucionar el Problema de Ecuaciones Lineales Homogneo (SHEL). 30x+50y+65z=480 40x+50y+40z=480 50x+50y+50z=480 Resolver a mano Resolver en Scilab 11. APLICACIONES EJEMPLO No.2 Una empresaria internacional necesita, en promedio, cantidades fija de yenes japoneses, libras inglesas y marcos alemanes durante cada viaje de negocios. En este ao viajo 3 veces. La primera vez cambi un total de $ 2550 con las siguientes tasas: 100 yenes por dlar, 0.6 libras por dlar y 1.6 marcos por dlar. La segunda vez $2840 en total con las tasas de 125 yenes, 0.5 libras y 1.2 marcos por dlar. La tercera vez, cambio un total de $2800 a 100 yenes, 0.6 libras y 1.2 marcos por dlar Cuntos yenes, Libras y marcos compro cada vez? 12. Sean x, y, z ; las cantidades fijas de yenes, libras y marcos que cambia en cada viaje. Entonces, la primera vez gast (1/100)x dlares comprando yenes , (1/0.6)y comprando libras y (1/16)z para comprar marcos. Por consiguiente, (1/100)x + (1/0.6)y +(1/1.6)z= 2550. La segunda vez (1/125)x dlares, (1/0.5)y libras, (1/1.2)z para marcos. Por consiguiente, (1/125)x+(1/0.5)y+(1/1.2)z=2840. En la tercera y ultima compra (1/100)x + (1/0.6)y+(1/1.2)z=2880 SOLUCIN: 13. 1 100 x + 1 0.6 y + 1 1.6 z= 2550 1 125 x + 1 0.5 y + 1 1.2 z= 2840 1 100 x + 1 0.6 y + 1 1.2 z= 2880 Solucionar el Problema de Ecuaciones Lineales Homogneo (SHEL). Con eliminacin de Gauss se obtiene: x= 80, 000 y= 600 z= 1200 En consecuencia cada vez compr 80, 000 yenes, 600 libras y 1200 marcos para viajar 14. Con Software Scilab obtenemos: 15. El Promedio de las Temperaturas en las ciudades de Nueva York, Washington y Boston, fue 88F durante cierto verano. En Washington fue de 9 mayor que el promedio de las temperaturas de otras ciudades. En Boston fue de 9 menor que las temperaturas de las otras ciudades, En Boston fue 9 menor que la temperatura promedio en las otras ciudades. Cul fue la temperatura en cada ciudad? APLICACIONES EJEMPLO No.3 16. Sean x, y, z las temperaturas de Nueva York, Washington y Boston, respectivamente. La temperatura promedio en las tres ciudades es (x + y + z)/3, que es 88. Por otro lado, la temperatura en Washington es 9 mayor que el promedio de Nueva York y Boston, que es (x + z)/2. De modo que, y=(x + z)/2 + 9 en consecuencia, z=(x + y)/2 - 9. SOLUCIN 17. 1 3 x + 1 3 y + 1 3 z = 88 + 2 = 18 + 2 = 18 Despus de replantear este sistema en forma cannica, aplicamos la eliminacin de Gauss para obtener: x= 88 y= 94 z= 82 Solucionar el Problema de Ecuaciones Lineales Homogneo (SHEL). 18. 5. Tarea 1. Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del compuesto B y 60 kg del compuesto C. Una unidad del tipo II requiere 20 kg del A, 30 kg del B, y 50 kg del C Una unidad del tipo III requiere 50 kg del A y 50 kg del C Si hay disponibles 1600 kg del A,1200 kg del B y 3200 del C Cuntas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se usa todo el material qumico disponible? Que se Pide Queremos saber cuantas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden Sea X el nmero de unidades del fertilizante del tipo I Sea Y el nmero de unidades del fertilizante del tipo II. Sea Z el nmero de unidades del fertilizante del tipo III. 19. 2. Una granja avcola incluye en la dieta de sus aves vitaminas B, C y D, para evitar enfermedades as como un desarrollo ms rpido. En cierto mes compraron 20 cajas de vitamina B, 40 cajas de vitamina C y 50 cajas de vitamina D pagando $70000, al mes siguiente compraron 30 cajas de vitamina B, 20 de vitamina C y 50 cajas de vitamina D por un total de $51520, un mes despus compraron 40 de vitamina B, 10 de vitamina C y 70 de vitamina D con un costo de 45000, s el precio por caja no ha variado en todo ese tiempo. Que precio tiene cada caja de vitaminas? Se pide el precio de La vitamina A, B y D 20. 6. Software y Ejemplo. 1. Patito computers fabrica tres modelos de computadoras personales: can, clon, y lenta-pero-segura. Para armar una computadora modelo can necesita 12 horas de ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 ms para instalar sus programas. Para una clon requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por ultimo, para una lenta- pero-segura requiere 6 para ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si la fabrica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas para instalacin de programas, Cuntas computadoras se pueden producir por mes? En nuestro caso las incgnitas el nmero de cada tipo de computadora a producir: x = nmero de computadoras can y = nmero de computadoras clon z = nmero de computadoras lenta-pero-segura 21. Para determinar las ecuaciones debemos utilizar los tiempos de ensamblado, pruebas, e instalacin de programas. Ensamblado 556(total) = 12 x(can) + 10 y(clon) + 6 z(lenta) Pruebas 120(total) = 2.5 x(can) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta) Instalacin de programas 103(total) = 2 x(can) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta) Al resolver este sistema obtenemos: x = 34, y = 4, z = 18 22. Con Software Scilab obtenemos: 23. 7 ACTIVIDAD USANDO SOFTWARE Scilab es un software matemtico, con un lenguaje de programacin de alto nivel, para clculo cientfico, interactivo de libre uso y disponible en mltiples sistemas operativos ( Mac OS X, GNU/Linux, Windows). Desarrollado por INRIA (Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique) y la ENPC (cole Nationale des Ponts et Chausses) desde 1990, por Scilab Consortium dentro de la fundacin Digiteo desde 2008, Scilab es ahora desarrollado por Scilab Enterprises desde julio 2012. La Pagina Oficial es: www.scilab.org 24. Para un mejor entendimiento y uso del programa scilab se recomienda el anlisis del siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=7GOyvg26RGA 25. Dado el siguiente Sistema de Ecuaciones Simultaneas Homogneo: Resuelve con el Software Scilab 5 7 = 6 2 + + 5 = 9 4 + 9 = 27 Le damos Nombre a la Matriz (A) y abrimos corchetes en los cuales se introducen los valores del SHEL separados por un espacio que indica los elementos del rengln estos irn separados por el punto y coma (;) que indica el rengln correspondiente damos Enter 26. Escribimos el Comando rref y posteriormente introducimos entre parntesis a la matriz (A) damos enter. Para tener la Matriz en forma escalonada reducida. Observamos que obtenemos la solucin trivial. x= 3 y=-2 z= 1 27. 8. Autoevaluacin. 1. La condicin necesaria y suficiente para que un sistema homogneo tenga la solucin trivial es: 2. Resolver el sistema homogneo: a) x= 0, y= 0, z= 0 3. Resolver el sistema homogneo: a) Sistema determinado b)Sistema Indeterminado a) n < m b) n > m c) n > m b) x= 1, y= 0, z= 0 c) x= 1, y= 0, z= 1 28. 4. Resuelve el siguiente sistema homogneo 5. Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles. 2x + 3y = 1500; x = 0 2x + y = 1000; y = 0 2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 La solucin ptima, no es nica, se encuentra en un vrtice del recinto. Estas son las soluciones a los sistemas: (0, 500), (300, 0), (475, 250) = 2 = 2 = 0 = 2 = 2 = La solucin ptima, si es nica, se encuentra en un vrtice del recinto. Estas son las soluciones a los sistemas: (0, 500), (500, 0), (375, 250) 2x + 3y = 1500; x = 0 2x + y = 1000; y = 0 2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 29. 9. Bibliografa. Grossman, Stanley I. (1996). lgebra Lineal, Quinta Edicin. Editorial Mc. GrawHill. Nakos, George, (1999). Algebra Lineal con Aplicaciones. Editorial International Publishid Editores