SMART PID – INTRODUCCIÓN AL CONTROL ROBUSTO CON MATLAB CONTROL II

POR: CABALLERO CEYENDY, HERNANDEZ SERGIO, JIMÉNEZ JUAN

Ingeniería Electrónica, Facultad de Ingeniería

Universidad del Magdalena Introducción Conocemos dos esquemas de diseño para control, uno es el control clásico que se desarrolla en los dos cursos de sistemas de control, el otro es el control avanzado que posee técnicas de control que contemplan sistemas no lineales. Aun cuando se use el control avanzado una cosa es el modelo y otra distinta la realización física del control, es por esto que ni usando el control avanzado (donde tenemos el modelo exacto del sistema) estamos libres de tener variaciones en el sistema que me generen complicaciones, es por esto que nace el control robusto, el cual contempla las variaciones y proporciona un margen de error de trabajo, a estas consideraciones le llamamos incertidumbre. Como siempre preferimos la simplicidad del diseño entonces estas técnicas son agregadas al control clásico que se ha venido desarrollando y en el desarrollo del documento se presenta lo esencial del modelo aplicado a Matlab. ¿Qué es control robusto? El objetivo del control robusto es calcular las condiciones menos conservativas proveyendo certidumbre en la estabilidad y performance de un modelo incierto (familia acotada de modelos) que representa un sistema físico. Lo anterior dicho nos explica que el control robusto proporciona un método de diseño adecuado para sistemas multivariables en presencia de variaciones del sistema a controlar. Éstas técnicas garantizan la estabilidad del sistema aun cuando el modelo utilizado para el diseño no se corresponda exactamente con el sistema real. Muchos diseños de controladores avanzados que funcionan bien en simulación fallan en la práctica, por diferencias entre el comportamiento de la planta y el del modelo utilizado para el diseño, veamos el siguiente ejemplo. Presión de vapor en una caldera:

Modelo Nominal (=3, =10.3, kc=1.73)

Modelo Nominal (=6, =5, kc=3) En el ejemplo anterior se ve que una vez que cambien los parámetros, el sistema se vuelve inestable y en la vida real es muy común que este tipo de errores se produzcan, la idea es que en un margen de cambio se conserven la respuesta aproximada del sistema.

Restricciones algebraicas del lazo de control Una explicada la situación se ha visto que la incertidumbre es inevitable así como también las perturbaciones externas. Luego es necesario entender las restricciones del lazo de control, las cuales se muestran basándonos en la siguiente figura.

De la figura anterior se obtienen las siguientes relaciones

De esto podemos sacar la función de sensibilidad y la función de sensibilidad complementaria del lazo, respectivamente dadas por:

Para sistemas SISO la suma es igual a uno y para sistemas MIMO el resultado es la matriz de identidad

Matrices de Transferencia Características Dado un sistema multivariable realimentado como el de la figura, con señales aplicadas (entradas) r, di, do, m y señales obtenidas (salidas) e, u, y.

Las matrices de transferencia que relacionan las entradas con las salidas del sistema están dadas por:

Estabilidad Interna Nominal El lazo de realimentación de la Figura se dice que está bien planteado si y solo si todas las posibles transferencias entre las entradas u1 y u2 y todas las salidas y1, y2, e1 y e2 existen y son propias, Que el lazo de realimentación esté bien definido es un requerimiento matemático para cualquier problema de control en el cual estabilidad y performance deben ser definidas.

El lazo de realimentación de la Figura anterior es internamente estable si y solo si todas las funciones de transferencias obtenidas de todos los pares entrada-salida tienen sus polos en el semiplano izquierdo del plano complejo. Además de eso el lazo de realimentación es internamente estable si y solo si [1 + g(s)k(s)]−1 es estable y no hay cancelaciones de polos y ceros en el semiplano derecho complejo entre la planta y el controlador.

Estabilidad Robusta Una medida para evaluar la robustez en el diseño clásico de controladores es el margen de fase Φm y el margen de ganancia gm. Aquí, “robustez” implica la habilidad del sistema para responder adecuadamente, en términos de performance y estabilidad, aun cuando el modelo de lazo abierto L(s) = g(s)k(s) usado en el diseño difiera levemente del sistema físico, debido a la existencia de incertidumbre.

Como se puede observar en la Figura anterior ambas medidas pueden ser claramente interpretadas en un diagrama de Nyquist y por el criterio de estabilidad de Nyquist. En este gráfico, Φm y gm representan la “distancia” en ángulo y valor absoluto, respectivamente, al punto crítico z = −1. En general la estabilidad robusta comprende la estabilidad de todos los posibles modelos derivados de la combinación del modelo nominal incertidumbre.

Incertidumbre dinámica global Esta incertidumbre está relacionada con la incertidumbre en la dinámica del sistema y cubre globalmente el modelo completo de la planta. La incertidumbre dinámica global puede utilizarse también para describir errores de linealización, cuando un sistema no lineal es linealizado en torno a su punto nominal de operación. Incertidumbre dinámica multiplicativa

En la figura anterior se muestra un modelo incierto con incertidumbre dinámica global multiplicativa, éste describe un sistema físico como un conjunto de modelos matemáticos dados por:

El conjunto G es la familia de modelos y está caracterizado por una planta nominal

g0(s), una función fija de peso W(s), y una clase de incertidumbre acotada. El

modelo nominal g0 corresponde al caso donde no hay incertidumbre, = 0. Sin pérdida de generalidad, la cota en la incertidumbre puede tomarse como uno, debido a que cualquier otra cota puede ser absorbida en la función de peso W(s), la función de peso W(s) representa la “distribución en frecuencia” del comportamiento del sistema.

Especificaciones de Diseño Las especificaciones de diseño pueden darse como límites aceptables de la influencia de perturbaciones y ruidos de medida sobre salidas y señales de control, estas especificaciones pueden transformarse en cotas sobre las funciones de transferencia: • Rechazo de perturbaciones: õ(S) << sobre todo en las frecuencias donde las perturbaciones sean más importantes • Rechazo de ruidos de medida: õ (T) << sobre todo en las frecuencias donde las ruidos de medida sean más importantes • Seguimiento de referencia: õ (T) ≈ õ (T) ≈ I en las frecuencias donde sea importante el seguimiento de la referencia

• Reducción de los esfuerzos de control: õ (M) << sobre todo en las frecuencias donde no sea importante el seguimiento de la referencia Estas condiciones suelen expresarse escogiendo una respuesta en frecuencia deseable Hd (jω) de forma que õ (H(s)) < Hd ( jω) õ (H(s)) < Hd ( jω) El problema se simplifica numéricamente si se elige una función de peso WH(s) que sea una matriz de transferencia:

Performance Nominal El sistema cumple las especificaciones de diseño en ausencia de incertidumbre Performance Robusta El sistema cumple las especificaciones de diseño para todo el conjunto de posibles plantas (en presencia de incertidumbre)

CONTROL ROBUSTO EN MATLAB Una colección de funciones y herramientas que ayudan a analizar los sistemas con

elementos inciertos y el diseño de control MIMO.

Capacidad de construir modelos de sistemas LTI inciertos que contienen

parámetros inciertos y dinámicas inciertas.

Usted obtiene las herramientas para analizar los márgenes de estabilidad del

sistema MIMO y el caso de peor desempeño.

Capacidad para simplificar y reducir el orden de modelos complejos con

herramientas de reducción de modelo que reduzcan al mínimo de aditivos y de error

multiplicativo límites.

Proporciona herramientas para la aplicación de métodos de control de sólidos

avanzados como H, H2, desigualdades matriciales lineales (LMI) y μ-síntesis de

control robusto

Se pueden formar respuestas de frecuencia del sistema MIMO y controladores

tolerantes con el diseño de incertidumbre.

El toolbox de control robusto proporciona funciones, algoritmos y bloques para el análisis y ajuste de sistemas de control de rendimiento y robustez, en el cual se pueden crear diferentes modelos como por ejemplo:

Modelado de sistemas con parámetros inciertos o dinámicas olvidadas.

Análisis del peor caso de los márgenes de estabilidad y sensibilidad a las perturbaciones.

El ajuste automático de controladores centralizados, descentralizados y multilazo.

El ajuste automático de los controladores de ganancia programada.

Análisis de robustez y la optimización del regulador en Simulink.

Algoritmos H- infinito y mu – síntesis de uso general solucionadores de LMI (linear matrix inequality).

Modelos de sistemas con incertidumbre

La reducción de los efectos de algunas formas de incertidumbre (condiciones iniciales, perturbaciones de baja frecuencia), sin aumentar los efectos de otras dominantes como el ruido del sensor, el modelo de incertidumbre, es una tarea importante para la ingeniería de control. Una forma de tratar con dichas incertidumbres es la estabilidad en lazo cerrado. La realimentación de alta ganancia en rangos de baja frecuencia es una manera de lidiar con los efectos de los prejuicios y las perturbaciones que actúan sobre la salida del proceso desconocido. En este caso, se utilizaría filtros de pasa bajas en rangos de alta frecuencia para tratar con el ruido del sensor de alta frecuencia en un sistema de retroalimentación. No obstante, nociones como los márgenes de ganancia y fase (y sus generalizaciones) ayudan a cuantificar la sensibilidad de la estabilidad y el rendimiento del modelo. Las herramientas de Control Robusto se encuentran incorporadas características que le permiten especificar la incertidumbre del modelo con sencillez y naturalidad. Los bloques de construcción primarios, llamados elementos de incertidumbre son parámetros de incertidumbre real e incertidumbre lineal, son objetos invariantes en el tiempo. Una vez formuladas, las herramientas de robustez del sistema de alto nivel pueden ayudar a analizar el posible deterioro de la estabilidad y el rendimiento del sistema de lazo provocada por el modelo de sistema de incertidumbre.

Creación de parámetros de incertidumbre

Cree un parámetro real de incertidumbre, nombre ‘bw’ , de valor nominal 5 y porcentaje de incertidumbre 10%. Para este caso se utiliza UREAL.

bw = ureal('bw',5,'Percentage',10) get(bw) Se obtiene:

Name: 'bw' NominalValue: 5 Mode: 'Percentage' Range: [4.5000 5.5000] PlusMinus: [-0.5000 0.5000] Percentage: [-10 10] AutoSimplify: 'basic' A su vez se puede mirar el comportamiento de estas variables usando:

pole(H.NominalValue); bode(H,{1e-1 1e2});

Cuantificar dinámicas no modeladas

Es razonable pensar que, por ejemplo, 5 rad / s, el modelo es exacta, y para las frecuencias más allá de 30 rad / s, el modelo no es necesariamente representativa del comportamiento del proceso. En el rango de frecuencias entre 5 y 30, la precisión del modelo es garantizada. ultidyn es utilizado para crear incertidumbre, en el cual su único atributo conocido son los limites de su respuesta en frecuencia. H = ultidyn('Name',iosize) H = ultidyn('Name',iosize,'Property1',Value1,'Property2',Value2,...)

DISEÑO DE CONTROL ROBUSTO El diseño de un control por realimentación para G, el modelo de incertidumbre se crea en Create Models of Uncertain Systems. Los objetivos de éste diseño son los habituales, buen seguimiento en estado estacionario y propiedades de rechazo de perturbaciones. Debido a que el modelo de la planta es nominalmente un retardo de primer orden, elija una arquitectura de control PI. Teniendo en cuenta el coeficiente de amortiguamiento de lazo cerrado deseado ξ y la frecuencia natural ωn, las ecuaciones de diseño para KI y KP (basado en el lazo abierto nominal constante de tiempo de 0,2) son

Diseñando el controlador: Con el fin de estudiar cómo el comportamiento incierto de G afecta el ancho de banda de lazo cerrado alcanzable, se diseñan dos controladores, ambos logrando ξ=0.707, con diferentes ωn: 3 y 7.5 respectivamente.

xi = 0.707; wn = 3; K1 = tf([(2*xi*wn/5-1) wn*wn/5],[1 0]); wn = 7.5; K2 = tf([(2*xi*wn/5-1) wn*wn/5],[1 0]);

Tenga en cuenta que el ancho de banda de lazo cerrado nominal alcanzado por K2 se encuentra en una región en la que T tiene significativa la incertidumbre del modelo. No sería sorprendente si las variaciones de modelos conducen a degradaciones significativas en el rendimiento de circuito cerrado. Formar los sistemas de circuito cerrado utilizando retroalimentación T1 = feedback(G*K1,1); T2 = feedback(G*K2,1); Grafica de la respuesta al escalón de 20 muestras de cada sistema de lazo cerrado

tfinal = 3; stepplot(T1,'b',T2,'r',tfinal)

Las respuestas al escalón para T2 muestran un rápido tiempo de subida porque K2 establece un ancho de banda de lazo cerrado superior. Sin embargo, las variaciones del modelo tienen un efecto mayor. Puede usar la ficha robustos para comprobar la robustez de estabilidad a las variaciones de modelos.

[stabmarg1,destabu1,report1] = robuststab(T1); stabmarg1 stabmarg1 = ubound: 4.0241 lbound: 4.0241 destabfreq: 3.4959 [stabmarg2,destabu2,report2] = robuststab(T2); stabmarg2 stabmarg2 = ubound: 1.2545 lbound: 1.2544 destabfreq: 10.5249

La variable stabmarg da límites inferior y superior del margen de estabilidad. Un margen de estabilidad mayor que 1 significa que el sistema es estable para todos los valores de la incertidumbre modelado. Un margen de estabilidad inferior a 1 significa que hay valores admisibles de los elementos de incertidumbre que hacen que el sistema inestable. La variable de informe resume brevemente el análisis. report1 = El Sistema es robustamente estable a la incertidumbre modelado. El cual puede tolerar una incertidumbre de 401%. A us vez se encontró una combinación desestabilizadora de 401% de la incertidumbre modelado, provocando ua inestabilidad a 3,69 rad/seg. La sensibilidad con respecto a los elementos de incertidumbre es: 'Delta' es de 100%. El aumento de 'Delta' en un 25% conduce a una disminución del 25% en el margen. 'Pc' es del 21%. El aumento de 'pc' en un 25% conduce a una disminución del 5% en el margen. report2 = Sistema robustamente estable a la incertidumbre modelada. Puede tolerar hasta el 125% de la incertidumbre de modelado. - Se encontró una combinación desestabilizadora de 125% de la incertidumbre modelado. Provocando una inestabilidad a 10,9 rad / segundo. - La sensibilidad con respecto a los elementos de incertidumbre son: 'Delta' es de 100%. El aumento de 'Delta' en un 25% conduce a una disminución del 25% en el margen. 'Pc' es del 11%. El aumento 'BW' por 25% conduce a una disminución del 3% en el margen. Mientras que ambos sistemas son estables durante todas las variaciones, su rendimiento se ve afectado claramente a diferentes grados. Para determinar cómo la incertidumbre afecta el rendimiento de lazo cerrado, puede utilizar wcgain para calcular el efecto del peor caso de la incertidumbre sobre la magnitud de pico de la función de sensibilidad de lazo cerrado (S = /) 1 (1 + GK). Esta ganancia máxima se correlaciona generalmente con la cantidad de sobrepaso de una respuesta al escalón.

S1 = feedback(1,G*K1); S2 = feedback(1,G*K2); [maxgain1,wcu1] = wcgain(S1); maxgain1 maxgain1 = lbound: 1.8684 ubound: 1.9025 critfreq: 3.5152 [maxgain2,wcu2] = wcgain(S2); maxgain2 maxgain2 =

lbound: 4.6031 ubound: 4.6671 critfreq: 11.0231 La variable maxgain da límites inferior y superior en el pico de ganancia del peor caso de la función de transferencia de la sensibilidad, así como la frecuencia específica en la que se produce la ganancia máxima. La variable wcu contiene valores específicos de los elementos de incertidumbre que logran este comportamiento peor de los casos. Usted puede utilizar usubs para sustituir estos valores del peor caso para los elementos de incertidumbre, y comparar la bodemag y paso nominal y del peor caso behavior.Use para hacer la comparación.

bodemag(S1.NominalValue,'b',usubs(S1,wcu1),'b'); hold on bodemag(S2.NominalValue,'r',usubs(S2,wcu2),'r'); hold off

Claramente, mientras K2 logra una mejor sensibilidad nominal que K1, el ancho de banda de lazo cerrado nominal se extiende demasiado lejos en el rango de frecuencia donde la incertidumbre proceso es muy grande. Por lo tanto el rendimiento del peor caso de K2 es inferior a K1 para este modelo incierto particular. SINTONIZANDO SISTEMAS CON SYSTUNE. El comando systune puede sintonizar de forma conjunta las ganancias de su sistema de control, independientemente de su arquitectura y el número de bucles de realimentación.

Control de cabezal de un disco duro

El ejemplo usa un modelo de 9no orden del cabezal de un disco (HDA) en un disco duro. Este modelo captura los primeros modos flexibles en el HDA. Control de cabezal de un disco duro. El ejemplo usa un modelo de 9no orden del cabezal de en un disco duro (HDA). Este modelo captura los primeros modos flexibles en el HDA.

load rctExamples G bode(G), grid

Utilizamos el bucle de realimentación se muestra a continuación para colocar la cabeza sobre la pista correcta. Esta estructura de control consta de un controlador PI y un filtro de paso bajo en el trayecto de retorno. La posición de la cabeza y debe realizar un seguimiento de escalón r con un tiempo de respuesta de alrededor de una milésima de segundo, poco o ningún exceso, y ningún error de estado estacionario.

Figura 1: Estructura de control Al utilizar systune se puede sintonizar directamente la ganancia PI y coeficiente del filtro sujetos a una variedad de requerimientos del dominio de tiempo-y de frecuencia. Hay dos elementos sintonizables en la estructura de control de la figura 1: el controlador PI y el filtro de paso bajo.

Puede utilizar la clase ltiblock.pid para parametrizar el bloque PI. C0 = ltiblock.pid('C','pi'); % tunable PI

Para la parametrización del filtro de paso bajo, crear un parámetro real sintonizable a, y construya una función de transfrerencia de primer orden con numerador a y denominador s+a.

a = realp('a',1); % filter coefficient F0 = tf(a,[1 a]); % filter parameterized by a

CONSTRUIR UN MODELO A LAZO CERRADO SINTONIZABLE A continuación se construye un modelo a lazo cerrado del lazo de realimentación en la figura 1. Para facilitar el análisis lazo abierto y especificar los requisitos de lazo abierto, como los márgenes de estabilidad deseados, agregue un interruptor de apertura de bucle en la entrada de la planta u:

LSU = loopswitch('u');

Fiigura 2: bloque Loop switch (interruptor de lazo). Utilice la retroalimentación para construir un modelo de la transferencia a lazo cerrado de la referencia a la posición de la cabeza r y:

T0 = feedback(G*LSU*C0,F0); % closed-loop transfer from r to y T0.InputName = 'r'; T0.OutputName = 'y'; El resultado T0 es un modelo de espacio de estado generalizado (genSS) que depende de los elementos sintonizables C y F.

Especificación de los requisitos de diseño

El paquete TuningGoal contiene una variedad de requisitos de diseño de control para especificar el comportamiento deseado del sistema de control. Estos incluyen requisitos sobre el tiempo de respuesta, ganancias deterministas y estocásticos, forma de bucle, los márgenes de estabilidad, y ubicaciones de los polos. Aquí utilizamos dos requisitos para capturar los objetivos de control: Requisito de seguimiento: La posición y debe seguir el r de referencia con un tiempo de respuesta de 1 milisegundo. Requisitos de margen de estabilidad: El bucle de realimentación debe tener 6 dB de margen de ganancia y 45 grados de margen de fase.

Utiliza los objetos TuningGoal.Tracking y TuningGoal.Margins para capturar estos requisitos. Tenga en cuenta que el requisito de margen se aplica a la respuesta a lazo abierto medido en la entrada a la planta u (ubicación marcada por el bloque loopswitch LSU).

Req1 = TuningGoal.Tracking('r','y',0.001); Req2 = TuningGoal.Margins('u',6,45);

Sintonización de los parámetros del controlador

Ahora puede utilizar systune para sintonizar la ganancia de PI y el coeficiente de filtro de a. Esta función toma el modelo sintonizable de lazo cerrado T0 y los requisitos Req1, REQ2. Utilice un par de puntos de partida al azar para mejorar las posibilidades de conseguir un diseño global óptimo. Utilice unos cuantos puntos de partida al azar para mejorar las posibilidades de conseguir un diseño global óptimo.

rng('default') Options = systuneOptions('RandomStart',3); [T,fSoft,~,Info] = systune(T0,[Req1,Req2],Options); Final: Soft = 115, Hard = -Inf, Iterations = 108 Final: Soft = 1.35, Hard = -Inf, Iterations = 139 Final: Soft = 2.78e+03, Hard = -Inf, Iterations = 182 Some closed-loop poles are marginally stable (decay rate near 1e-07) Final: Soft = 1.35, Hard = -Inf, Iterations = 59 Todos los requisitos se normalizaron por lo que un requisito se cumple cuando su valor es inferior a 1. Aquí el valor final es ligeramente mayor que 1, lo que indica que los requisitos son casi satisfecho. Utilice la salida fSoft para ver el valor ajustado de cada requisito. Aquí vemos que el primer requisito (de seguimiento) se viola levemente mientras que el segundo requisito (márgenes) está satisfecho.

fSoft fSoft = 1.3461 0.6326 La primera salida de T de systune es el modelo de circuito cerrado "sintonizado". Utilice showTunable o getBlockValue para acceder a los valores sintonizados de las ganancias PI y el coeficiente del filtro: getBlockValue(T,'C') % tuned value of PI controller ans = 1 Kp + Ki * --- s with Kp = 0.00104, Ki = 0.0122

Name: C Continuous-time PI controller in parallel form. showTunable(T) % tuned values of all tunable elements C = 1 Kp + Ki * --- s with Kp = 0.00104, Ki = 0.0122 Name: C Continuous-time PI controller in parallel form. ----------------------------------- a = 3.19e+03