Smart solution un matematika sma 2013 (skl 4.3 jumlah selisih sinus kosinus tangen atau jumlah selisih sudut)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 167

4. 3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai perbandingan trigonometri yang menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus, kosinus dan tangent serta jumlah dan selisih dua sudut.

Trigonometri Kelas XI IPA

Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Alat Bukti: Lingkaran satuan dan 3 buah juring masing-masing bersudut 𝐴, 𝐵, dan (–𝐵).

Diperoleh dua segitiga yaitu, ∆𝑃𝑂𝑅 dan ∆𝑆𝑂𝑄 dengan ∠𝑃𝑂𝑅 = ∠𝑆𝑂𝑄 sehingga, 𝑃𝑅 = 𝑆𝑄 Dengan membuktikan 𝑃𝑅 = 𝑆𝑄, diperoleh: 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑩) = 𝐜𝐨𝐬𝑨 𝐜𝐨𝐬𝑩 − 𝐬𝐢𝐧𝑨 𝐬𝐢𝐧𝑩

𝐜𝐨𝐬(𝑨 − 𝑩) diperoleh dengan sifat relasi sudut negatif 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + (−𝑩))

𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) dan 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩) diperoleh dengan sifat relasi sudut kuadran I

Jumlah dan Selisih Dua Sudut

sin(𝐴 ± 𝐵) = sin𝐴 cos𝐵 ± cos𝐴 sin𝐵cos(𝐴 ± 𝐵) = cos𝐴 cos𝐵 ∓ sin𝐴 sin𝐵

Substitusi 𝑩 = 𝑨 Eliminasi 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑨) = 𝐬𝐢𝐧𝟐𝑨 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) dengan 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩) 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑨) = 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑩) dengan 𝐜𝐨𝐬(𝑨 − 𝑩)

Trigonometri Sudut Rangkap Jumlah, Selisih dan Perkalian

Sudut Rangkap Sinus Sudut Rangkap Kosinus Sin2𝐴 = 2 sin𝐴 cos𝐴 cos 2𝐴 = cos2 𝐴 − sin2 𝐴 𝑆 + 𝑆 2𝑆𝐶

𝑆 − 𝑆 2𝐶𝑆

Substitusi identitas trigonometri 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝑨 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝑨 = 𝟏 𝐶 + 𝐶 2𝐶𝐶

𝐶 − 𝐶 −2𝑆𝑆

Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain Sinus Kuadrat Kosinus Kuadrat cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴 cos2𝐴 = 2 cos2 𝐴 − 1

Trigonometri Setengah Sudut Sinus Setengah Sudut Kosinus Setengah Sudut

sin𝐴 = √1 − cos2𝐴

2 cos𝐴 = √

1 + cos 2𝐴

2

1

2⊕

1

2⊖

⊕ ⊖

𝐴 𝐵

−𝐵

𝑅

𝑃

𝑄

𝑆 𝑄

𝑆

𝑅

𝑃 𝑂

𝑂

𝑂

Khusus untuk tan(𝐴 ± 𝐵), tangen sudut rangkap dan

tangen setengah sudut, cukup gunakan sifat identitas “TAN A = SINA DIPERKOSA”

http://pak-anang.blogspot.com/

Halaman 168 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Jumlah Selisih Dua Sudut.

Intisari dari masalah tentang jumlah selisih sinus kosinus tangen serta masalah tentang jumlah selisih dua sudut adalah kita harus memahami bagaimana konsep awal dari cos(𝐴 + 𝐵). Begitu konsep awal ini dipahami, maka dengan menggunakan konsep-konsep dasar trigonometri di kelas X, maka semua konsep tentang trigonometri di kelas XI IPA akan segera muncul satu-persatu dengan sendirinya. Untuk mendampingi pemahaman konsep dasar yang sudah diperoleh lewat pembelajaran di sekolah, kali ini Pak Anang akan membagikan konsep LOGIKA PRAKTIS dalam menyusun rumus jumlah selisih dua sudut sebagai berikut: Konsep awal yang harus diingat adalah sin(𝐴 ± 𝐵) dan cos(𝐴 ± 𝐵).


Perhatikan, untuk sin(𝐴 ± 𝐵), diawali huruf “S”, yang secara kreatif imajinatif dimaknai dengan:

SELANG-SELING SIN SAMA

“SELANG-SELING” dimulai dari SIN

𝐬𝐢𝐧(𝑨 ± 𝑩) SAMA tanda plus minusnya

sin(𝐴 + 𝐵) = sin 𝐴 cos𝐵 + cos𝐴 sin 𝐵sin(𝐴 − 𝐵) = sin 𝐴 cos𝐵 − cos𝐴 sin 𝐵

Jadi, untuk cos(𝐴 ± 𝐵) tinggal membalik konsep menghafal rumus sin(𝐴 ± 𝐵) di atas.

Tidak SELANG-SELING (KEMBAR) Bukan SIN (Jadi, dimulai dari cos) Tidak SAMA (Tanda plus minus berbeda)

cos(𝐴 + 𝐵) = cos𝐴 cos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵cos(𝐴 − 𝐵) = cos𝐴 cos 𝐵 + sin 𝐴 sin 𝐵

Keterangan: Selang-seling diambil dari bahasa Jawa, artinya adalah pola yang selalu bergantian.

Tanda SAMA

“SELANG-SELING”, bergantian SIN COS lalu COS SIN

Dimulai dari SIN

Tanda BEDA

KEMBAR, bergantian COS COS lalu SIN SIN

Dimulai dari COS

Keterangan: Kalau cos(𝐴 ± 𝐵) berarti kebalikannya. SELANG-SELING diawali SIN >< Kembar diawali COS SAMA >< BERBEDA




TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Sudut Rangkap. Masih ingat dengan konsep rumus jumlah sudut sinus kosinus pada halaman sebelumnya……??

sin(𝐴 + 𝐵) = sin𝐴 cos𝐵 + cos𝐴 sin𝐵 dan

cos(𝐴 + 𝐵) = cos𝐴 cos𝐵 − sin𝐴 sin𝐵

Asyik…. Nah, konsep kedua yang harus melekat kuat di otak adalah tentang sin2𝐴 dan cos 2𝐴, diperoleh dari rumus sin(𝐴 + 𝐵) dan cos(𝐴 + 𝐵) dengan mengganti 𝐵 = 𝐴. sin(𝐴 + 𝐵) dan cos(𝐴 + 𝐵) Ganti 𝐵 = 𝐴 sin 2𝐴 dan cos 2𝐴 Konsep untuk mendapatkan sin2𝐴 adalah:

sin(𝐴 + 𝐵) = sin 𝐴 cos𝐵 + cos𝐴 sin 𝐵

sin(𝐴 + 𝐴) = sin 𝐴 cos𝐴 + cos𝐴 sin 𝐴

sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos𝐴

Konsep untuk mendapatkan cos 2𝐴 adalah:

cos(𝐴 + 𝐵) = cos𝐴 cos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵

cos(𝐴 + 𝐴) = cos𝐴 cos𝐴 − sin 𝐴 sin 𝐴

cos 2𝐴 = cos2 𝐴 − sin2 𝐴

Jadi,

sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos𝐴cos 2𝐴 = cos2 𝑥 − sin2 𝑥



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Kosinus Sudut Rangkap yang Lain.

Masih ingat dengan konsep rumus kosinus sudut rangkap pada halaman sebelumnya……??

cos 2𝐴 = cos2𝐴 − sin2 𝐴

Asyik….

Nah, konsep ketiga yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus cos 2𝐴 yang lainnya. Rumus kosinus sudut rangkap yang lain diperoleh dari cos 2𝐴 dengan mensubstitusikan identitas trigonometri Pythagoras. cos 2𝐴 = cos2𝐴 − sin2 𝐴 Substitusi sin2 𝐴 + cos2 𝐴 = 1

cos2𝐴 = 2 cos2𝐴 − 1 cos2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴

Konsep untuk mendapatkan cos 2𝐴 = 2 cos2 𝐴 − 1 adalah:


cos 2𝐴 = cos2 𝐴 − (1 − cos2 𝐴)

cos 2𝐴 = 2 cos2 𝐴 − 1

Konsep untuk mendapatkan cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2𝐴 adalah:


cos 2𝐴 = (1 − sin2 𝐴) − sin2 𝐴

cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴

TRIK SUPERKILAT cara menghafalkannya adalah:

Perhatikan selalu ada angka 1, selalu ada 2sin2 atau 2cos2. Polanya selalu bentuk pengurangan.

cos 2𝐴 = 𝑪 𝑰 cos 2𝐴 = 2 𝐜os2 𝐴 − 𝟏

cos 2𝐴 = 𝑪 𝑰 𝑺

cos 2𝐴 = 𝑰 𝑺 cos 2𝐴 = 𝟏 − 2 𝐬in2 𝐴

sin2 𝐴 + cos2𝐴 = 1⇒ sin2𝐴 = 1 − cos2 𝐴

sin2 𝐴 + cos2𝐴 = 1⇒ cos2𝐴 = 1 − sin2 𝐴

Keterangan TRIK SUPERKILAT: Ingat posisi huruf alfabet,

posisi C lebih awal dari S. Gunakan singkatan CIS, jadi cos2𝐴 memiliki dua bentuk lain, yaitu CI dan IS.



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Setengah Sudut.

Masih ingat dengan konsep rumus kosinus sudut rangkap Pythagoras pada halaman sebelumnya……??

cos 2𝐴 = 2 cos2𝐴 − 1 cos 2𝐴 =1 − 2 sin2 𝐴

Asyik….

Nah, konsep keempat yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus trigonometri setengah sudut. Rumus trigonometri setengah sudut diperoleh dari konsep “cos 2𝐴 Pythagoras”. Pak Anang menyebut rumus cos2𝐴 Pythagoras untuk dua konsep atau rumus di atas. “cos 2𝐴 Pythagoras”

cos2𝐴 = 2 cos2𝐴 − 1 cos2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴

Invers, “pindah ruas” sampai diperoleh cos𝐴 dan sin𝐴

cos𝐴 = √1 + cos 2𝐴

2 sin𝐴 = √

1 − cos2𝐴

2

Konsep rumus trigonometri sudut setengah tersebut SEBENARNYA TIDAK PERLU DIHAFAL………!

Kenapa?

Karena sebenarnya yang perlu diingat dan dihafal adalah perubahan dari konsep “cos2𝐴 Pythagoras” menjadi konsep trigonometri sudut setengah hanya mengalami proses invers, alias “pindah ruas” saja. Kesimpulannya, RUMUSNYA TIDAK BERUBAH MAKNA, HANYA BERUBAH FORMASI SAJA…..!!!!!

Jadi, misalkan lupa rumus trigonometri setengah sudut tidak jadi masalah, asalkan ingat pola di bawah ini:

cos 2𝐴 = 2 cos2 𝐴 − 1 dan cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴

LOGIKA PRAKTIS cara menghafalkannya adalah:

Perhatikan selalu ada angka 1, selalu ada angka 2, selalu ada cos2A. Polanya selalu bentuk akar.

cos 2𝐴 = 2 cos2𝐴 − 1 ⇒ cos𝐴 = √1 + cos 2𝐴

2

cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴 ⇒ sin𝐴 = √1 − cos 2𝐴

2

Konsep trigonometri sudut setengah Diketahui sudut rangkap, ditanya setengah sudut.

Konsep trigonometri sudut setengah Diketahui sudut rangkap, ditanya setengah sudut.

Konsep trigonometri sudut rangkap Diketahui suatu sudut,

ditanya sudut rangkapnya.

Konsep trigonometri sudut rangkap Diketahui suatu sudut,

ditanya sudut rangkapnya.

+ Keterangan TRIK SUPERKILAT: Dihasilkan dari invers konsep “cos 2𝐴 Pythagoras”

Tanda plus minus dilihat dari tanda koefisien trigonometri.




TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Jumlah, Selisih, dan Perkalian Trigonometri.

Masih ingat dengan konsep rumus jumlah sudut sinus kosinus pada TRIK SUPERKILAT paling awal tadi……??

sin(𝐴 ± 𝐵) = sin𝐴 cos𝐵 ± cos𝐴 sin𝐵 dan

cos(𝐴 ± 𝐵) = cos𝐴 cos𝐵 ∓ sin𝐴 sin𝐵

Asyik….

Nah, konsep kelima yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus trigonometri jumlah dan selisih sinus kosinus perkalian sinus kosinus. Konsep rumus ini diperoleh dengan mengeliminasi komponen yang sama pada sin(𝐴 + 𝐵) dan sin(𝐴 − 𝐵) serta mengeliminasi komponen yang sama pada cos(𝐴 + 𝐵) dan cos(𝐴 − 𝐵).

Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut sin(𝐴 ± 𝐵) cos(𝐴 ± 𝐵) Eliminasi Eliminasi sin(𝐴 + 𝐵) dengan sin(𝐴 − 𝐵) cos(𝐴 + 𝐵) dengan cos(𝐴 − 𝐵) sin(𝐴 + 𝐵) sin(𝐴 + 𝐵) cos(𝐴 + 𝐵) cos(𝐴 + 𝐵) sin(𝐴 − 𝐵) sin(𝐴 − 𝐵) cos(𝐴 − 𝐵) cos(𝐴 − 𝐵)

2 sin𝐴 cos𝐵 2 cos𝐴 sin𝐵 2 cos𝐴 cos𝐵 −2sin𝐴 sin𝐵 Substitusi

(𝑨 + 𝑩) = 𝜶 (𝑨 − 𝑩) = 𝜷 (𝐴 + 𝐵) = 𝛼 (𝐴 + 𝐵) = 𝛼 (𝐴 − 𝐵) = 𝛽 (𝐴 − 𝐵) = 𝛽

2𝐴 = (𝛼 + 𝛽) 2𝐵 = (𝛼 − 𝛽)

𝑨 =𝟏

𝟐(𝜶 + 𝜷) 𝑩 =

𝟏

𝟐(𝜶 − 𝜷)

sin 𝛼 sin 𝛼 cos 𝛼 cos 𝛼 sin𝛽 sin𝛽 cos𝛽 cos𝛽

2 sin1

2(𝛼 + 𝛽) cos

1

2(𝛼 − 𝛽) 2 cos

1

2(𝛼 + 𝛽) sin

1

2(𝛼 − 𝛽) 2 cos

1

2(𝛼 + 𝛽) cos

1

2(𝛼 − 𝛽) −2 sin

1

2(𝛼 + 𝛽) sin

1

2(𝛼 − 𝛽)

LOGIKA PRAKTIS cara membacanya:

Keterangan cara membaca TRIK SUPERKILAT: S adalah sin dan C adalah cos.

𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) + 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩) = 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝑩

𝑆 + 𝑆 2𝑆𝐶


𝐶 + 𝐶 2𝐶𝐶


𝐬𝐢𝐧 𝑨 + 𝐬𝐢𝐧𝑩 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟏

𝟐(𝑨 + 𝑩) 𝐜𝐨𝐬

𝟏

𝟐(𝑨 − 𝑩)

1

2⊕

1

2⊖

⊕ ⊖

S + S = 2 S C

(𝐴 + 𝐵) (𝐴 − 𝐵)

𝐴 𝐵

⊕ ⊖

S + S = 2 S C

1

2⊕

1

2⊖

1

2(𝐴 + 𝐵)

1

2(𝐴 − 𝐵)

𝐴 𝐵

+ + − −

+ −

dibagi 2 dibagi 2

+ + − −



LOGIKA PRAKTIS cara menyusun rumus jumlah, selisih dan perkalian trigonometri:

Keterangan cara menyusun TRIK SUPERKILAT:

𝑆 + 𝑆 2𝑆𝐶




Perhatikan cara membacanya: tanda ⊕ dibaca (𝐴 + 𝐵) dan tanda ⊖ dibaca (𝐴 − 𝐵)

𝑆 + 𝑆

1

2⊕1

2⊖

→ 2𝑆𝐶 dibaca: 𝐬𝐢𝐧 𝑨 + 𝐬𝐢𝐧𝑩 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟏

𝟐(𝑨 + 𝑩) 𝐜𝐨𝐬

𝟏

𝟐(𝑨 − 𝑩)

𝑆 + 𝑆 ⊕⊖ ← 2𝑆𝐶 dibaca: 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝑩 = 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) + 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩)

JEMBATAN KELEDAI untuk menghafalkan rumus jumlah selisih dan perkalian trigonometri:

Sayang ditambah sayang menjadi dua-duanya sangat cinta. Sayang dikurangi sayang menjadi dua-duanya cintanya sirna. Cinta ditambah cinta menjadi dua-duanya cinta-cintaan. Cinta dikurangi cinta menjadi aduh…. dua-duanya sayangnya sirna. Keterangan: kata aduh dimaknai sebagai tanda negatif (−).

1

2⊕

1

2⊖

⊕ ⊖

Masih ingat dengan rumus jumlah dua sudut trigonometri kan?

sin(𝐴 + 𝐵) = sin𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 sin 𝐵 cos(𝐴 + 𝐵) = cos𝐴 cos 𝐵 − sin𝐴 sin𝐵

Ditulis ulang dengan singkat sebagai berikut:

𝑆+= 𝑆𝐶 + 𝐶𝑆 𝐶+= 𝐶𝐶 − 𝑆𝑆

Lihat ruas kiri ada 𝑆 + dan 𝐶 +, Ini yang ditulis di kolom kiri dengan membubuhkan tanda + dan − bergantian. Tanda + dan − ini diperoleh dari proses eliminasi. Jadi, urutannya adalah 𝑆 + 𝑆, lalu 𝑆 − 𝑆, dan 𝐶 + 𝐶 lalu 𝐶 − 𝐶. 𝑆 + 𝑆

𝑆 − 𝑆

𝐶 + 𝐶

𝐶 − 𝐶

Lalu perhatikan ruas kanan, ada berturut-turut adalah 𝑆𝐶, 𝐶𝑆, 𝐶𝐶, dan – 𝑆𝑆. Itulah yang ditulis urut dari atas ke bawah dengan membubuhkan angka 2. Angka 2 tersebut diperoleh dari hasil eliminasi. 2𝑆𝐶

2𝐶𝑆

2𝐶𝐶

−2𝑆𝑆 Nah, lalu dikonstruksi seperti pada TRIK SUPERKILAT menjadi bagan di bawah ini: 𝑆 + 𝑆 2𝑆𝐶




1

2⊕

1

2⊖

⊕ ⊖



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Rumus Jumlah Selisih Dua Sudut, Jumlah Selisih atau Perkalian untuk Tangen.

Nah, konsep keenam atau konsep terakhir yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus jumlah selisih dua sudut untuk tangen, dilanjutkan dengan tangen sudut rangkap, tangen setengah sudut. Khusus untuk tangen sebenarnya jika lupa rumusnya, cukup ingat aja sifat perbandingan untuk tangen, yaitu:

“TAN A adalah SINA DIPERKOSA” atau dituliskan sebagai:

𝐭𝐚𝐧𝑨 =𝐬𝐢𝐧𝑨

𝐜𝐨𝐬𝑨

Sehingga,

tan(𝐴 + 𝐵) =sin(𝐴 + 𝐵)

cos(𝐴 + 𝐵)⇒ tan(𝐴 + 𝐵) =

sin𝐴 cos𝐵 + cos𝐴 sin𝐵

cos𝐴 cos𝐵 − sin𝐴 sin𝐵×

1cos𝐴 cos𝐵

1cos𝐴 cos𝐵

= sin𝐴 cos𝐵cos𝐴 cos𝐵 +

cos𝐴 sin𝐵cos𝐴 cos𝐵

cos 𝐴 cos𝐵cos𝐴 cos𝐵

−sin𝐴 sin𝐵cos𝐴 cos𝐵

=

sin𝐴cos𝐴

+sin𝐵cos𝐵

1 −sin𝐴cos𝐴

sin𝐵cos𝐵

=tan𝐴 + tan𝐵

1 − tan𝐴 tan𝐵

Jadi,

tan(𝐴 ± 𝐵) =tan𝐴 ± tan𝐵

1 ∓ tan𝐴 tan𝐵

Sehingga jika 𝐵 = 𝐴, akan diperoleh:

tan(𝐴 + 𝐴) =tan𝐴 + tan𝐴

1 − tan𝐴 tan𝐴 ⇒ tan 2𝐴 =

2 tan𝐴

1 − tan2 𝐴

Tangen setengah sudut diperoleh dari rumus sinus dan kosinus setengah sudut:

sin𝐴 = √1 − cos 2𝐴

2

cos𝐴 = √1 + cos2𝐴

2

}

tan𝐴 =sin𝐴

cos𝐴=√1 − cos 2𝐴

2

√1 + cos 2𝐴2

= √1 − cos 2𝐴

2× √

2

1 + cos 2𝐴= √

1 − cos2𝐴

1 + cos2𝐴

Jadi,

tan 𝐴 = √1 − cos 2𝐴

1 + cos 2𝐴



Rumus Khusus untuk Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut Jumlah dan Selisih Dua Sudut Tangen


tan(𝐴 ± 𝐵) =sin(𝐴±𝐵)

cos(𝐴±𝐵)=

tan𝐴±tan𝐵

1∓tan𝐴 tan𝐵

Substitusi 𝑩 = 𝑨 Substitusi 𝑩 = 𝑨 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑨) = 𝐬𝐢𝐧𝟐𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑨) = 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝑨

Trigonometri Sudut Rangkap Tangen Sudut Rangkap Sudut Rangkap Sinus Sudut Rangkap Kosinus Sin2𝐴 = 2 sin𝐴 cos𝐴 cos 2𝐴 = cos2 𝐴 − sin2 𝐴

Substitusi identitas trigonometri 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝑨 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝑨 = 𝟏

Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain

Sinus Kuadrat Kosinus Kuadrat cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴 cos2𝐴 = 2 cos2 𝐴 − 1

Trigonometri Setengah Sudut Tangen Setengah Sudut Sinus Setengah Sudut Kosinus Setengah Sudut Tangen Setengah Sudut

sin𝐴 = √1 − cos2𝐴

2 cos𝐴 = √

1 + cos 2𝐴

2

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS yang lain akan segera diupdate dan dipublish…. Jadi, kunjungi selalu laman web http://pak-anang.blogspot.com untuk melihat update terbaru TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS nya.

Khusus untuk tan(𝐴 ± 𝐵), tangen sudut rangkap dan

tangen setengah sudut, cukup gunakan sifat identitas “TAN A = SINA DIPERKOSA”

𝐭𝐚𝐧(𝑨 + 𝑨) = 𝐭𝐚𝐧𝟐𝑨

tan 2𝐴 =2 tan𝐴

1 − tan2 𝐴

tan𝐴 =sin𝐴

cos𝐴= √

1 − cos2𝐴

1 + cos2𝐴




Tipe Soal yang Sering Muncul

Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut. Contoh Soal: Diketahui dari sin75° + cos 75° adalah ….

a. 1

4√6

b. 1

2√2

c. 1

2√3

d. 1

e. 1

2√6

Penyelesaian: Ingat, sin(𝐴 + 𝐵) = sin𝐴 cos𝐵 + cos𝐴 sin𝐵 dan cos(𝐴 + 𝐵) = cos𝐴 cos𝐵 − sin𝐴 sin𝐵. Perhatikan juga bahwa 75° = (45° + 30°). Sehingga,

sin 75° + cos 75° = sin(45° + 30°) + cos(45° + 30°)

= (sin45° cos30° + cos 45° sin 30°) + (cos 45° cos 30° − sin45° sin 30°)

= (1

2√2 ∙

1

2√3 +

1

2√2 ∙

1

2) + (

1

2√2 ∙

1

2√3 −

1

2√2 ∙

1

2)

=1

4√6 +

1

4√6

=1

2√6

Cara lain untuk soal ini menggunakan TRIK SUPERKILAT ada di halaman 184.



Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut jika diketahui perbandingan trigonometri dari dua sudut tersebut. Contoh Soal 1:

Diketahui sin𝐴 =4

5 dan sin𝐵 =

7

25, dengan 𝐴 sudut lancip dan 𝐵 sudut tumpul. Nilai dari cos(𝐴 − 𝐵) = ….

a. −117

125

b. −100

125

c. −75

125

d. −44

125

e. −21

25

Penyelesaian: Ingat, jika diketahui sebuah nilai perbandingan trigonometri, maka perbandingan trigonometri yang lain bisa ditemukan menggunakan alat bantu segitiga siku-siku.

Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin𝐴 =4

5 adalah: (Ingat 𝐴 adalah sudut lancip)

Sehingga, cos𝐴 =3

5

Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin𝐵 =7

25 adalah: (Ingat 𝐵 adalah sudut tumpul)

Sehingga, cos𝐵 = −24

25 (Ingat nilai cos sudut tumpul adalah negatif)

Jadi,

cos(𝐴 − 𝐵) = cos𝐴 cos𝐵 + sin𝐴 sin𝐵

=3

5∙ (−

24

25) +

4

5∙7

25

= −72

125+

28

125

= −44

125

4

3

5

𝐴

7

24

25

𝐵



Contoh Soal 2:

Pada segitiga 𝐴𝐵𝐶 lancip, diketahui cos𝐴 =4

5 dan sin𝐵 =

12

13, maka sin𝐶 = ….

a. 20

65

b. 36

65

c. 56

65

d. 60

65

e. 63

65

Penyelesaian: Ingat, jika diketahui sebuah nilai perbandingan trigonometri, maka perbandingan trigonometri yang lain bisa ditemukan menggunakan alat bantu segitiga siku-siku.

Segitiga siku-siku untuk menyatakan cos𝐴 =4

5 adalah: (Ingat 𝐴 adalah sudut lancip)

Sehingga, sin𝐴 =3

5

Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin𝐵 =12

13 adalah: (Ingat 𝐵 adalah sudut lancip)

Sehingga, cos𝐵 =5

13

Ingat, besar sudut dalam segitiga 𝐴𝐵𝐶 = 180°.

⇔ 𝐴+ 𝐵 + 𝐶 = 180°⇔ 𝐶 = 180 − (𝐴 + 𝐵)

Sehingga,

sin𝐶 = sin(180° − (𝐴 + 𝐵)) (Ingat sifat relasi sudut antar kuadran sin(180° − 𝛼) = sin𝛼)

⇔ sin𝐶 = sin(𝐴 + 𝐵)

Jadi,

sin 𝐶 = sin(𝐴 + 𝐵) = sin𝐴 cos𝐵 + cos𝐴 sin𝐵

=3

5∙5

13+4

5∙12

13

=15

65+48

65

=63

65

3

4

5

𝐴

13

5

12

𝐵



Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut jika diketahui pola rumusnya. Contoh Soal: Nilai sin45° cos15° + cos45° sin 15° sama dengan ….

a. 1

2

b. 1

2√2

c. 1

2√3

d. 1

2√6

e. 1

3√3

Penyelesaian: Ingat, sin𝐴 cos𝐵 + cos𝐴 sin𝐵 = sin(𝐴 + 𝐵) Sehingga,

sin 45° cos 15° + cos 45° sin15° = sin(45° + 15°) = sin60° =1

2√3



Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut untuk menentukan salah satu komponen rumusnya.

Contoh Soal:

Diketahui 𝑝 dan 𝑞 adalah sudut lancip dan 𝑝 − 𝑞 = 30°. Jika cos 𝑝 sin 𝑞 =1

6, maka nilai dari sin𝑝 cos 𝑞 = ….

a. 1

6

b. 2

6

c. 3

6

d. 4

6

e. 5

6

Penyelesaian: Lihat pada soal, diketahui selisih dua sudut 𝑝 − 𝑞, dan salah satu komponen dari rumus jumlah atau selisih dua sudut yakni cos𝑝 sin𝑞. Dengan melihat bahwa yang diketahui komponen perkalian SELANG-SELING, maka rumus yang digunakan adalah sin(𝑝 − 𝑞). Jadi,

sin(𝑝 − 𝑞) = sin𝑝 cos 𝑞 − cos 𝑝 sin𝑞

⇒ sin 30° = sin𝑝 cos 𝑞 −1

6

⇔1

2= sin𝑝 cos 𝑞 −

1

6

⇔1

2+1

6= sin𝑝 cos 𝑞

⇔3

6+1

6= sin𝑝 cos 𝑞

⇔4

6= sin𝑝 cos 𝑞



Menentukan rumus jumlah atau selisih dua sudut untuk menentukan salah satu komponen rumusnya

Contoh Soal:

Diketahui (𝐴 + 𝐵) =𝜋

3 dan sin𝐴 sin𝐵 =

1

4. Nilai dari cos(𝐴 − 𝐵) = ….

a. −1

b. −1

2

c. 1

2

d. 3

4

e. 1

Penyelesaian: Lihat pada soal, diketahui jumlah dua sudut 𝐴 + 𝐵, dan salah satu komponen dari rumus jumlah atau selisih dua sudut yakni sin𝐴 sin𝐵. Dengan melihat bahwa yang diketahui komponen perkalian KEMBAR, maka rumus yang digunakan adalah cos(𝐴 + 𝐵). Sehingga untuk mencari nilai cos(𝐴 − 𝐵) maka harus komplit terlebih dahulu komponen dari rumusnya, SIN SIN udah ada, tinggal COS COS yang belum ada. Nilai COS COS dicari menggunakan rumus cos(𝐴 − 𝐵):

cos(𝐴 + 𝐵) = cos𝐴 cos𝐵 − sin𝐴 sin𝐵

⇒ cos𝜋

3= cos𝐴 cos𝐵 −

1

4

⇔1

2= cos𝐴 cos𝐵 −

1

4

⇔1

2+1

4= cos𝐴 cos𝐵

⇔2

4+1

4= cos𝐴 cos𝐵

⇔3

4= cos𝐴 cos𝐵

Jadi,

cos(𝐴 − 𝐵) = cos𝐴 cos𝐵 + sin𝐴 sin𝐵

=3

4+1

4= 1



Menggunakan rumus perkalian sinus kosinus. Contoh Soal:

Nilai dari cos10°

cos40° cos50° adalah ….

a. 3 b. 2 c. 1

d. 1

2

e. 1

4

Penyelesaian: Sudut yang digunakan pada soal bukan sudut istimewa. Pada soal terdapat perkalian antara COS dengan COS, maka berlaku konsep perkalian dua kosinus. Jadi,

cos 10°

cos 40° cos 50°=

cos10°

12 × 2 cos40° cos 50°

(munculkan bentuk 2 cos𝐴 cos𝐵 = cos(𝐴 + 𝐵) + cos(𝐴 − 𝐵))

=cos10°

12× (cos(40° + 50°) + cos(40° − 50°))

(dibagi1

2= dikali

2

1)

=cos10°

cos90° + cos(−10°)×2

1 (ingat relasi sudut negatif, cos(−𝛼) = cos𝛼)

=2 cos10°

0 + cos10°

=2 cos10°

cos10°= 2



Menggunakan rumus jumlah atau selisih sinus kosinus. Contoh Soal: Nilai dari cos 195° + cos 105° adalah ….

a. 1

2√6

b. 1

2√3

c. 1

2√2

d. 0

e. −1

2√6

Penyelesaian:

Ingat cos𝐴 + cos𝐵 = 2 cos1

2(𝐴 + 𝐵) cos

1

2(𝐴 − 𝐵)

Jadi,

cos 195° + cos 105° = 2 cos1

2(195° + 105°) cos

1

2(195° − 105°)

= 2 cos1

2(300°) cos

1

2(90°)

= 2 cos 150° cos45°

= 2 (−1

2√3) (

1

2√2)

= −1

2√6



TRIK SUPERKILAT Memanipulasi rumus sin + cos atau sin – cos menggunakan relasi sudut antar kuadran. Contoh Soal: Nilai dari sin 75° + cos 75° adalah ….

a. 1

4√6

b. 1

2√2

c. 1

2√3

d. 1

e. 1

2√6

Penyelesaian: Ingat, nggak ada rumus jadi untuk sinus ditambah kosinus. Yang ada hanyalah sin + sin, sin − sin, cos + cos, dan cos − cos. Nah, supaya bisa menggunakan rumus jumlah selisih sinus kosinus, maka gunakan relasi sudut antar kuadran untuk mengubah sin + cos, menjadi sin + sin atau cos + cos. Ingat, sin(90° − 𝛼) = cos𝛼 atau cos(90° − 𝛼) = sin𝛼. Jadi,

sin 75° + cos 75° = sin75° + cos(90° − 15°) = sin75° + sin 15°

= 2 sin1

2(75° + 15°) cos

1

2(75° − 15°)

= 2 sin1

2(90°) cos

1

2(60°)

= 2 sin45° cos30°

= 2 (1

2√2) (

1

2√3)

=1

2√6

Kunjungi selalu laman web http://pak-anang.blogspot.com untuk melihat update TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS terbarunya.




Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Diketahui 3

πβα dan

4

1βsinαsin dengan α dan β merupakan sudut lancip. Nilai β)cos(α ....

A. 1

B. 4

3

C. 2

1

D. 4

1

E. 0

2. Diketahui nilai 5

1βcosαsin dan

5

3β) (αsin untuk 180α0 dan .90β0

Nilai β) (αsin ....

A. 5

3

B. 5

2

C. 5

1

D. 5

1

E. 5

3

3. Diketahui 5

3αsin dan

13

12cos lancip)sudut dan ( . Nilai β) (αsin ....

A. 65

56

B. 65

48

C. 65

36

D. 65

20

E. 65

16

4. Jika 3

πBA dan ,

8

5B cosA cos maka B)cos(A ....

A. 4

1

B. 2

1

C. 4

3

D. 1

E. 4

5

cos(𝛼 − 𝛽) = cos𝛼 cos𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽 (diketahui dari soal sin 𝛼 ∙ sin 𝛽 =1

4 dan 𝛼 − 𝛽 =

𝜋

3)

⇒1

2= cos𝛼 cos𝛽 +

1

4

⇔ cos 𝛼 cos 𝛽 =1

4

cos(𝛼 + 𝛽) = cos𝛼 cos𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽

⇒ cos(𝛼 + 𝛽) =1

4−

1

4

⇔ cos(𝛼 + 𝛽) = 0

sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽 (diketahui dari soal sin 𝛼 ∙ cos 𝛽 =1

5 dan sin(𝛼 − 𝛽) =

3

5)

⇒3

5=

1

5− cos 𝛼 sin 𝛽

⇔ cos 𝛼 sin 𝛽 = −2

5

sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽

⇒ sin(𝛼 + 𝛽) =1

5+ (−

2

5)

⇔ sin(𝛼 + 𝛽) = −1

5

sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽

⇒ sin(𝛼 + 𝛽) =3

5∙12

13+

4

5∙5

13

⇔ sin(𝛼 + 𝛽) =36

65+

20

65

⇔ sin(𝛼 + 𝛽) =56

65

𝛼 3

5

4

𝛽 5

13

12

sin 𝛼 =3

5

⇒ cos 𝛼 =4

5

cos 𝛽 =12

13

⇒ sin 𝛽 =5

13

cos(𝐴 + 𝐵) = cos𝐴 cos 𝐵 − sin𝐴 sin𝐵 (diketahui dari soal cos 𝐴 cos 𝐵 =5

8 dan 𝛼 + 𝛽 =

𝜋

3)

⇒1

2=

5

8− sin𝐴 sin𝐵

⇔ sin𝐴 sin𝐵 =1

8

cos(𝐴 − 𝐵) = cos𝐴 cos 𝐵 + sin𝐴 sin𝐵

⇒ cos(𝐴 − 𝐵) =5

8+

1

8

⇔ cos(𝐴 − 𝐵) =6

8=

3

4



5. Nilai dari 165sin75sin adalah ....

A. 24

1

B. 34

1

C. 64

1

D. 22

1

E. 62

1

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

sin 𝐴 − sin 𝐵 = 2 cos (𝐴 + 𝐵

2) sin (

𝐴 − 𝐵

2)

⇒ sin 75° − sin 165° = 2 cos (75° + 165°

2) sin (

75° − 165°

2)

= 2 cos 120° sin(−45°) (ingat sin(−𝑥) = − sin 𝑥)

= −2 cos 120° sin 45°= −2 cos(180° − 60°) sin 45° (ingat cos(180° − 𝑥) = − cos 𝑥)

= −2 (−cos 60°) sin 45°

= 2 cos 60° sin 45

= 2 ∙1

2∙1

2√2

=1

2√2


http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html

Education

Smart solution un matematika sma 2013 (skl 4.3 jumlah selisih sinus kosinus tangen atau jumlah selisih sudut)