Smart solution un matematika sma 2014 (full version free edition)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

TAHUN PELAJARAN 2013/2014

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2014

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 1

By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) SKL 1. Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah.

1. 1. Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis.

Implikasi

Kesetaraan Implikasi

𝑝 ⇒ 𝑞 ≡ ~𝑝 ∨ 𝑞 ≡ ~𝑞 ⇒ ~𝑝

Penarikan Kesimpulan

Modus Ponens & Tollens Silogisme “implikasi” + “pernyataan” = “pernyataan” “implikasi” + “implikasi” = “implikasi” Coret pernyataan yang sama Selesai Keterangan: Warning!! Jika terdapat pernyataan majemuk selain implikasi, maka ubah dulu menggunakan konsep kesetaraan implikasi.

Modus Ponens dan Modus Tollens

Pola penarikan kesimpulan menggunakan Modus Ponens dan Modus Tollens adalah serupa, yakni penarikan kesimpulan dari dua premis. Premis pertama adalah harus sebuah implikasi, dan premis kedua berisi pernyataan tunggal. Hasil dari penarikan kesimpulan adalah pernyataan tunggal.

Contoh: Premis 1 : Jika hari ini hujan deras, maka Bona tidak keluar rumah. Premis 2 : Bona keluar rumah. Kesimpulan : Hari ini tidak hujan deras.

Silogisme

Penarikan kesimpulan menggunakan Silogisme adalah penarikan kesimpulan dari dua premis yang harus berupa implikasi. Hasil dari penarikan kesimpulan adalah implikasi dan bentuk setara yang lain. Contoh: Premis 1 : Jika cuaca hujan maka Agus pakai payung. Premis 2 : Jika Agus pakai payung maka Agus tidak basah. Kesimpulan : Jika cuaca hujan maka Agus tidak basah. = Cuaca tidak hujan atau Agus tidak basah. = Jika Agus basah maka cuaca tidak hujan.

SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA Program IPA

Per Indikator Kisi-Kisi UN 2014

http://pak-anang.blogspot.com/


Halaman 2 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

1. 2. Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor.

Ingkaran

Pernyataan Majemuk Pernyataan Berkuantor

“Dan, Atau” “Jika Maka” “Semua, Ada” Ubah operator dan pernyataan “dan tidak” Ubah kuantor dan pernyataan

Selesai Keterangan: “Dan, Atau”

Pola ingkaran dari pernyataan majemuk konjungsi dan disjungsi adalah sama, yaitu tukarkan operator dan ingkarkan semua pernyataannya. Contoh: Ingkaran dari Saya makan mie dan dia membeli baju adalah: Saya tidak makan mie atau dia tidak membeli baju

“Jika Maka” Pola ingkaran dari pernyataan majemuk implikasi adalah “dan tidak”. Contoh: Ingkaran dari Jika saya lulus ujian maka ayah memberi hadiah adalah: Saya lulus ujian dan ayah tidak memberi hadiah

“Semua, Ada”

Pola ingkaran dari pernyataan berkuantor adalah sama, yaitu tukarkan operator kuantornya dan ingkarkan pernyataannya. Contoh: Ingkaran dari Semua siswa ikut upacara bendera pada hari Senin. adalah: Ada siswa tidak ikut upacara bendera pada hari Senin



Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Diketahui premis-premis sebagai berikut:

Premis 1 : Jika hari ini hujan deras, maka Bona tidak keluar rumah.

Premis 2 : Bona keluar rumah.

Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah ....

A. Hari ini hujan deras

B. Hari ini hujan tidak deras

C. Hari ini hujan tidak deras atau bona tidak keluar rumah

D. Hari ini tidak hujan dan Bona tidak keluar rumah

E. Hari ini hujan deras atau Bona tidak keluar rumah

2. Ingkaran pernyataan “Jika semua anggota keluarga pergi, maka semua pintu rumah dikunci rapat ” adalah

....

A. Jika ada anggota rumah yang tidak pergi maka ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat.

B. Jika ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat maka ada anggota keluarga yang tidak pergi.

C. Jika semua pintu rumah ditutup rapat maka semua anggota keluarga pergi.

D. Semua anggota keluarga pergi dan ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat.

E. Semua pintu rumah tidak dikunci rapat dan ada anggota keluarga yang tidak pergi.

3. Diketahui premis-premis berikut:

Premis 1 : Jika Tio kehujanan, maka Tio sakit.

Premis 2 : Jika Tio sakit, maka ia demam.

Kesimpulan dari kedua premis tersebut adalah ....

A. Jika Tio sakit maka ia kehujanan.

B. Jika Tio kehujanan maka ia demam.

C. Tio kehujanan dan ia sakit.

D. Tio kehujanan dan ia demam.

E. Tio demam karena kehujanan.

4. Ingkaran pernyataan “Jika semua mahasiswa berdemonstrasi maka lalu lintas macet” adalah ....

A. Mahasiswa berdemonstrasi atau lalu lintas macet.

B. Mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas macet.

C. Semua mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas tidak macet.

D. Ada mahasiswa berdemonstrasi.

E. Lalu lintas tidak macet.

5. Diketahui premis-premis sebagai berikut:

Premis I : “Jika Cecep lulus ujian maka saya diajak ke Bandung.”

Premis II : “Jika saya diajak ke Bandung maka saya pergi ke Lembang.”

Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah ....

A. Jika saya tidak pergi ke Lembang maka Cecep lulus ujian.

B. Jika saya pergi ke Lembang maka Cecep lulus ujian.

C. Jika Cecep lulus ujian maka saya pergi ke Lembang.

D. Cecep lulus ujian dan saya pergi ke Lembang.

E. Saya jadi pergi ke Lembang atau Cecep tidak lulus ujian.

6. Negasi dari pernyataan: “Jika semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah maka Roy siswa teladan”,

adalah ...

A. Semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan.

B. Semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy siswa teladan.

C. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan.

D. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah atau Roy siswa teladan.

E. Jika siswa SMA disiplin maka Roy siswa teladan.

Modus tollens : ℎ𝑢𝑗𝑎𝑛 ⇒ ∼ 𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 ∴ ∼ ℎ𝑢𝑗𝑎𝑛 Jadi kesimpulannya hari ini tidak hujan deras.

∼ [(∀𝑎𝑛𝑔𝑔𝑜𝑡𝑎, 𝑝𝑒𝑟𝑔𝑖) ⇒ (∀𝑝𝑖𝑛𝑡𝑢, 𝑑𝑖𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖)] ≡ (∀𝑎𝑛𝑔𝑔𝑜𝑡𝑎, 𝑝𝑒𝑟𝑔𝑖) ∧ (∃𝑝𝑖𝑛𝑡𝑢, ∼ 𝑑𝑖𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖)

Silogisme : ℎ𝑢𝑗𝑎𝑛 ⇒ 𝑠𝑎𝑘𝑖𝑡 𝑠𝑎𝑘𝑖𝑡 ⇒ 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑚 ∴ ℎ𝑢𝑗𝑎𝑛 ⇒ 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑚 Jadi kesimpulannya Jika Tio kehujanan, maka ia demam.

∼ [(∀𝑚𝑎ℎ𝑎𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎, 𝑑𝑒𝑚𝑜) ⇒ 𝑚𝑎𝑐𝑒𝑡] ≡ (∀𝑚𝑎ℎ𝑎𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎, 𝑑𝑒𝑚𝑜) ∧ ∼ 𝑚𝑎𝑐𝑒𝑡

Silogisme : 𝑙𝑢𝑙𝑢𝑠 ⇒ 𝐵𝑎𝑛𝑑𝑢𝑛𝑔 𝐵𝑎𝑛𝑑𝑢𝑛𝑔 ⇒ 𝐿𝑒𝑚𝑏𝑎𝑛𝑔 ∴ 𝑙𝑢𝑙𝑢𝑠 ⇒ 𝐿𝑒𝑚𝑏𝑎𝑛𝑔 Jadi kesimpulannya Jika Cecep lulus ujian maka saya pergi ke Lembang.

∼ [(∀𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎, 𝑚𝑒𝑚𝑎𝑡𝑢ℎ𝑖) ⇒ 𝑡𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑛] ≡ (∀𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎, 𝑚𝑒𝑚𝑎𝑡𝑢ℎ𝑖) ∧ ∼ 𝑡𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑛



SKL 2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma, fungsi aljabar sederhana, fungsi kuadrat, fungsi eksponen dan grafiknya, fungsi komposisi dan fungsi invers, sistem persamaan linear, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, persamaan lingkaran dan garis singgungnya, suku banyak, algoritma sisa dan teorema pembagian, program linear, matriks dan determinan,vektor, transformasi geometri dan komposisinya, barisan dan deret, serta mampu menggunakannya dalam pemecahan masalah.

2. 1. Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma.

Pangkat

Definisi Sifat 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 ×…× 𝑎⏟

𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

“Bilangan Pokok Sama” “Kurung”

untuk 𝑎 ≠ 0, berlaku:

𝑎0 = 1

𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛

𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

𝑎𝑚

𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛 ; 𝑎 ≠ 0

(𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚×𝑛

(𝑎 × 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 × 𝑏𝑛

(𝑎

𝑏)𝑛=𝑎𝑛

𝑏𝑛 ; 𝑏 ≠ 0

Pangkat Pecahan

Bentuk Akar

Definisi Sifat “Invers Pangkat” “Bentuk Akar Sama” “Kurung”

𝑎 = 𝑏𝑛 ⇔ √𝑎𝑛

= 𝑏

"Pangkat Pecahan"

√𝑎𝑛

= 𝑎1𝑛

𝑝√𝑎𝑛+ 𝑞√𝑎

𝑛= (𝑝 + 𝑞)√𝑎

𝑛

𝑝√𝑎𝑛− 𝑞√𝑎

𝑛= (𝑝 − 𝑞)√𝑎

𝑛

√√𝑎𝑛𝑚= √𝑎

𝑚×𝑛

√𝑎𝑏𝑛

= √𝑎𝑛× √𝑏

𝑛

√𝑎

𝑏

𝑛=

√𝑎𝑛

√𝑏𝑛 ; 𝑏 ≠ 0

Haram menjadi penyebut pecahan

Rasionalisasi

“kalikan sekawan penyebut”

𝑎

√𝑏=

𝑎

√𝑏×√𝑏

√𝑏

𝑎

√𝑏+√𝑐=

𝑎

√𝑏+√𝑐×√𝑏−√𝑐

√𝑏−√𝑐

Syarat: 𝑎 ∈ 𝑅𝑛 ∈ ℤ +

"Bentuk Akar Beda" Untuk 𝑎 > 𝑏, berlaku:

√𝑎 + √𝑏 = √(𝑎 + 𝑏) + 2√𝑎𝑏

√𝑎 − √𝑏 = √(𝑎 + 𝑏) − 2√𝑎𝑏

Syarat: 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ𝑛 ∈ ℤ +



Logaritma

Definisi Sifat 𝑎𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑎 log 𝑐 = 𝑏

Sehingga diperoleh:

𝑎0 = 1 ⇔ 𝑎 log 1 = 0

𝑎1 = 𝑎 ⇔ 𝑎 log 𝑎 = 1

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 ⇔ 𝑎 log 𝑎𝑛 = 𝑛

"Penjumlahan Pengurangan"

𝑎 log(𝑏𝑐) = 𝑎 log 𝑏 + 𝑎 log 𝑐

𝑎 log (𝑏

𝑐) = 𝑎 log 𝑏 − 𝑎 log 𝑐

𝑎 log 𝑏𝑛 = 𝑛 ⋅ 𝑎 log 𝑏

"Perbandingan"

𝑎 log 𝑏 =𝑐 log 𝑏𝑐 log 𝑎

=1

𝑏 log 𝑎𝑎 log 𝑏 = 𝑎 log 𝑐 ⋅ 𝑐 log 𝑏

𝑎𝑚 log 𝑏𝑛 =𝑛

𝑚⋅ 𝑎 log 𝑏

Tipe soal yang sering keluar

Pangkat Menyederhanakan bentuk pangkat

Bilangan pokok berupa angka, ubah ke bentuk bilangan pokok yang paling sederhana. Bilangan pokok berupa variabel, lakukan operasi pangkat tiap variabel. Contoh: Tentukan bentuk sederhana dari:

2512 ⋅ 12

56

834 ⋅ 6

13

= ….

Penyelesaian:

2512 ⋅ 12

56

834 ⋅ 6

13

=2512 ⋅ (22 ⋅ 3)

56

(23)34 ⋅ (2 ⋅ 3)

13

=2512 ⋅ 2

53 ⋅ 3

56

294 ⋅ 2

13 ⋅ 3

13

= 2512+53−94−13 ⋅ 3

56−13

= 2−12 ⋅ 3

12

=312

212

= (3

2)

12

𝑎 log 𝑏 = 𝑎 log 𝑏 ⇔ 𝑎𝑎 log𝑏 = 𝑏

Syarat: 𝑎, 𝑝 > 0𝑝 ≠ 1

Contoh: Tentukan bentuk sederhana dari: 24𝑎−7𝑏−2𝑐1

6𝑎−2𝑏−3𝑐−6= ….

Penyelesaian: 24𝑎−7𝑏−2𝑐1

6𝑎−2𝑏−3𝑐−6= 8 ⋅ 𝑎−7−(−2) ⋅ 𝑏−2−(−3) ⋅ 𝑐1−(−6)

= 8𝑎−5𝑏𝑐7

=8𝑏𝑐7

𝑎5



Bentuk Akar Menyederhanakan Bentuk Akar

Cari faktor bilangan tersebut yang dapat diakar, sehingga mendapatkan bentuk akar paling sederhana. Contoh:

√72 = √36√2 = 6√2

√543

= √273

√23= 3√2

3

Menyederhanakan bentuk akar dengan konsep √(𝒂 + 𝒃) ± 𝟐√𝒂𝒃 = √𝒂 ± √𝒃

Pastikan bilangan di depan akar adalah harus angka 2. Jika bukan 2, maka ubahlah menjadi 2. Contoh:

√5 + √24 = …. Penyelesaian:

√5 + √24 = √5 + √4√6 = √5 + 𝟐√6 = √(3 + 2) + 2√3 ∙ 2 = √3 + √2

Menyederhanakan bentuk akar dengan merasionalisasi penyebut pecahan bentuk akar

Kalikan dengan 1 (pecahan yang pembilang dan penyebutnya adalah sekawan bentuk akar tersebut)

Sekawan dari √𝑎 adalah √𝑎.

Sekawan dari √𝑎 + √𝑏 adalah √𝑎 − √𝑏.

Sekawan dari √𝑎 − √𝑏 adalah √𝑎 + √𝑏. Contoh: Bentuk sederhana dari

3√3 + √7

√7 − 2√3

adalah …. Penyelesaian:

3√3 + √7

√7 − 2√3=3√3 + √7

√7 − 2√3×√7 + 2√3

√7 + 2√3=3√21 + 18 + 7 + 2√21

7 − 12=25 + 5√21

−5= −5 − √21

Logaritma Menyederhanakan bentuk logaritma

Gunakan definisi dan sifat logaritma untuk menyederhanakan logaritma. Contoh: 5 ∙ 2 log 3 + 2 log 5 − 2 log 15

2 log 9= ….

Penyelesaian: 5 ∙ 2 log 3 + 2 log 5 − 2 log 15

2 log 9=2 log 35 + 2 log 5 − 2 log 15

2 log 9

=

2 log (35 ∙ 515

)

2 log 9

=2 log 34

2 log 9

= 9 log 34

= 9 log(32)2

= 9 log 92

= 2 ∙ 9 log 9= 2 ∙ 1= 2



Menyusun bentuk logaritma menggunakan beberapa bentuk logaritma yang lain. Gunakan definisi untuk menyusun bentuk logaritma menggunakan beberapa bentuk logaritma yang lain. Contoh: Jika 2 log 3 = 𝑎 dan 3 log 5 = 𝑏. Nilai dari 12 log 150 = …. Penyelesaian:

12 log 150 =3 log 1503 log 12

=3 log(2 ∙ 3 ∙ 52)3 log(22 ∙ 3)

=3 log 2 + 3 log 3 + 3 log 52

3 log 22 + 3 log 3=3 log 2 + 3 log 3 + 2 ∙ 3 log 5

2 ∙ 3 log 2 + 3 log 3

=

1𝑎+ 1 + 2𝑏

2𝑎+ 1

=

1𝑎 + 1 + 2𝑏

2𝑎+ 1

×𝑎

𝑎

=1 + 𝑎 + 2𝑎𝑏

2 + 𝑎

Cara tersebut cukup menyita waktu kalau digunakan saat mengerjakan soal UN, karena kita harus menuliskan panjang lebar konsep definisi dan sifat logaritma. Nah, perhatikan urutan mengerjakannya: Pertama, ubah logaritma menjadi perbandingan. Kedua, faktorkan numerus kedua logaritma tersebut sehingga memuat bilangan pada logaritma yang diketahui. Ketiga, menjabarkan kedua logaritma tersebut dengan menggunakan sifat penjumlahan logaritma. Keempat, mengubah bentuk logaritma ke dalam variabel yang diketahui pada soal. Kelima, apabila masih terdapat bentuk pecahan, bulatkan dengan mengalikan KPK penyebut. Selesai.

TRIK SUPERKILAT: Perhatikan basis dan numerus pada bentuk logaritma yang diketahui.

𝟐 log 𝟑 = 𝑎 dan 𝟑 log 𝟓 = 𝑏. Ternyata bilangannya adalah 2, 3, dan 5.

Lalu, cari bilangan yang sama.

Ternyata bilangan yang sama adalah 3.

Semua bilangan akan menjadi numerus dari bentuk logaritma yang akan menjadi acuan kita nanti, sedangkan bilangan yang sama akan menjadi basis dari logaritma tersebut.

𝟑 log 2 =1

𝑎

𝟑 log 5 = 𝑏 𝟑 log 3 = 1 Cara membacanya:

Bilangan 2 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan 1

𝑎.

Bilangan 5 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan b. Bilangan 3 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan 1.

Perhatikan basis dan numerus pada bentuk logaritma yang ditanyakan. Ubah menjadi pecahan (𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑢𝑠

𝑏𝑎𝑠𝑖𝑠).

𝟏𝟐 log 𝟏𝟓𝟎 ⇒𝟏𝟓𝟎

𝟏𝟐

Faktorkan kedua bilangan tersebut dengan memperhatikan ketiga angka tadi (2, 3, dan 5). Segera substitusikan faktor dari kedua bilangan tersebut seperti cara membaca ketiga logaritma acuan tadi. Jangan lupa untuk mengubah tanda perkalian menjadi penjumlahan.

150

12=2 × 3 × 5 × 5

2 × 2 × 3=

1𝑎+ 1 + 𝑏 + 𝑏

1𝑎+1𝑎+ 1

=

1𝑎+ 1 + 2𝑏

2𝑎+ 1

Jadi,

𝟏𝟐 log 𝟏𝟓𝟎 =

1𝑎+ 1 + 2𝑏

2𝑎+ 1




1. Diketahui ,2,2

1 ba dan .1c Nilai dari

12

32

..

..

cba

cba adalah ....

A. 1

B. 4

C. 16

D. 64

E. 96

2. Diketahui ,2,4 ba dan .2

1c Nilai

3

421)(

c

ba adalah ....

A. 2

1

B. 4

1

C. 8

1

D. 16

1

E. 32

1

3. Jika diketahui ,5

1,

3

1 yx dan .2z Nilai

423

24

zyx

yzx adalah ....

A. 32

B. 60

C. 100

D. 320

E. 640

(𝑎−1)2 ×𝑏4

𝑐−3= (4−1)2 ×

24

(12)−3

=1

16×16

8

=1

8

𝑥−4𝑦𝑧−2

𝑥−3𝑦2𝑧−4= 𝑥−4−(−3) 𝑦(1−2) 𝑧−2−(−4)

= 𝑥−1 𝑦−1 𝑧2

= (1

3)−1

(1

5)−1

(2)2

= 3 ∙ 5 ∙ 4= 60

𝑎−2𝑏𝑐3

𝑎𝑏2𝑐−1=𝑐4

𝑎3𝑏=

14

(12)3

2

=1

14

= 4



4. Bentuk 327

733

dapat disederhanakan menjadi bentuk ....

A. 21525

B. 21525

C. 2155

D. 215

E. 215

5. Bentuk 32

322


A. 634

B. 64

C. 64

D. 64

E. 64

6. Bentuk 52

532


A. 104173

1

B. 104153

2

C. 104153

2

D. 104173

1

E. 104173

1

3√3 + √7

√7 − 2√3=3√3 + √7

√7 − 2√3×√7 + 2√3

√7 + 2√3

=3√21 + 18 + 7 + 2√21

7 − 12

=25 + 5√21

−5

= −5 − √21

LOGIKA PRAKTIS: Pembilang positif semua tandanya. Sekawan penyebut juga positif semua. Pasti pembilang hasil rasionalisasi positif juga (plus plus). Lihat bentuk bilangan negatif lebih besar dari bilangan positif, artinya perkalian penyebut dengan sekawan penyebut pasti negatif. Pola jawabannya pasti negatif semua (min min). Duh, tapi sayang ada dua jawaban yang seperti kriteria tsb. (A dan E).

√2 − 2√3

√2 − √3=√2 − 2√3

√2 − √3×√2 + √3

√2 + √3

=2 + √6 − 2√6 − 6

2 − 3

=−4 − √6

−1

= 4 + √6

√2 + 3√5

√2 − √5=√2 + 3√5

√2 − √5×√2 + √5

√2 + √5

=2 + √10 + 3√10 + 15

2 − 5

=17 + 4√10

−3

=1

−3(17 + 4√10)

= −1

3(17 + 4√10)



7. Diketahui a3log5 dan .4log3 b Nilai 15log4 ....

A. ab

a1

B. b

a

1

1

C. a

b

1

1

D. a

ab

1

E. b

ab

1

8. Diketahui ,6log3 p .2log3 q Nilai 288log24 ....

A. qp

qp

2

32

B. qp

qp

2

23

C. qp

qp

32

2

D. qp

qp

23

2

E. qp

pq

32

2

9. Diketahui ,3log2 x .10log2 y Nilai 120log6 ....

A. 1

2

x

yx

B. 2

1

yx

x

C. 2xy

x

D. x

xy 2

E. 1

2

x

xy

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

4 log 15 =3 log 153 log 4

=3 log 153 log 4

=3 log(3 × 5)

3 log 4

=3 log 3 + 3 log 5

3 log 4

=1 +

1𝑎

𝑏×𝑎

𝑎

=𝑎 + 1

𝑎𝑏

TRIK SUPERKILAT: Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu menjadi basis logaritma!

5 log 3 = 𝑎 ⇒ 3 log 5 =1

𝑎3 log 4 = 𝑏3 log 3 = 1

}

bertemu 5 tulis

1

𝑎bertemu 4 tulis 𝑏bertemu 3 tulis 1

Ingat tanda kali diganti tambah ya. Cara cepat ini meringkas pengerjaan ini lho! Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping! Jadi,

4 log 15

jadikanpecahan⇒

15

4

faktorkansehingga

munculangka warna

biru di atas⇒

3 × 5

4

ubah tandakali menjadi

tambah,dan

⇒ 1 +

1𝑎

𝑏= 𝑑𝑠𝑡 𝑑𝑠𝑡

24 log 288

⇒3 log 2883 log 24

⇔3 log(23 × 62)3 log(22 × 6)

⇔3 log 23 + 3 log 62

3 log 22 + 3 log 6

⇔3 ∙ 3 log 2 + 2 ∙ 3 log 6

2 ∙ 3 log 2 + 3 log 6

⇔3𝑞 + 2𝑝

2𝑞 + 𝑝

TRIK SUPERKILAT: Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu menjadi basis logaritma! 3 log 6 = 𝑝3 log 2 = 𝑞3 log 3 = 1

} bertemu 6 tulis 𝑝bertemu 2 tulis 𝑞bertemu 3 tulis 1

Ingat tanda kali diganti tambah ya. Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru disamping lho! Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping! Jadi,

24 log 288

jadikanpecahan⇒

288

24

faktorkansehingga

munculangka warna

biru di atas⇒

23 × 62

22 × 6


tambah,dan

⇒ 3𝑞 + 2𝑝

2𝑞 + 𝑝= 𝑑𝑠𝑡 𝑑𝑠𝑡

6 log 120

⇒2 log 1202 log 6

⇔2 log(22 × 3 × 10)

2 log(2 × 3)

⇔2 log 22 + 2 log 3 + 2 log 10

2 log 2 + 2 log 3

⇔2 ∙ 2 log 2 + 2 log 3 + 2 log 10

2 log 2 + 2 log 3

⇔2 + 𝑥 + 𝑦

1 + 𝑥

TRIK SUPERKILAT: Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu menjadi basis logaritma! 2 log 3 = 𝑥2 log 10 = 𝑦2 log 2 = 1

} bertemu 3 tulis 𝑥bertemu 10 tulis 𝑦bertemu 2 tulis 1

Ingat tanda kali diganti tambah ya. Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru disamping lho! Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping! Jadi,

6 log 120

jadikanpecahan⇒

120

6

faktorkansehingga

munculangka warna

biru di atas⇒

22 × 3 × 10

2 × 3


tambah,dan

⇒ 2 + 𝑥 + 𝑦

1 + 𝑥= 𝑑𝑠𝑡 𝑑𝑠𝑡


http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html


http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html


2. 2. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Persamaan Kuadrat (PK) 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

Akar-Akar PK

𝑥1 =−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 atau 𝑥2 =

−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

Jumlah Akar-Akar PK Hasil Kali Akar-Akar PK

𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏

𝑎 𝑥1𝑥2 =

𝑐

𝑎

Selisih Akar-Akar PK

|𝑥1 − 𝑥2| =√𝑏2−4𝑎𝑐

𝑎=

√𝐷

𝑎

Bentuk Simetri Akar-Akar PK

𝑥1

2 ± 𝑥22 = (𝑥1 ± 𝑥2)2 ∓ 2𝑥1𝑥2

𝑥12 − 𝑥2

2 = (𝑥1 + 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥2)

𝑥13 ± 𝑥2

3 = (𝑥1 ± 𝑥2)3 ∓ 3(𝑥1𝑥2)(𝑥1 ± 𝑥2)

𝑥14 ± 𝑥2

4 = (𝑥12 ± 𝑥2

2)2 ∓ 2(𝑥1𝑥2)2

1

𝑥1±

1

𝑥2=

𝑥1 ± 𝑥2

𝑥1𝑥2

1

𝑥12

+1

𝑥22

=𝑥1

2 + 𝑥22

(𝑥1𝑥2)2

𝑥1

𝑥2±

𝑥2

𝑥1=

𝑥12 ± 𝑥2

2

𝑥1𝑥2



Menyusun bentuk simetri akar-akar PK Ubah bentuk operasi aljabar dari akar-akar persamaan kuadrat sedemikian sehingga memuat rumus jumlah dan hasil kali akar-akar PK (dan rumus selisih akar-akar PK, kalau diperlukan). Berikut ini contoh bentuk simetri akar-akar PK yang sering muncul dalam soal: Jumlah Kuadrat Akar-Akar PK:

𝑥12 + 𝑥2

2 = …. Penyelesaian: Ingat bentuk (𝑥1 + 𝑥2)2 = 𝑥1

2 + 2𝑥1𝑥2 + 𝑥22, maka diperoleh:

𝑥12 + 𝑥2

2 = (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)2 − 2𝒙𝟏𝒙𝟐 Selisih Kuadrat Akar-Akar PK

𝑥12 − 𝑥2

2 = …. Penyelesaian: Ingat bentuk (𝑥1 − 𝑥2)2 = 𝑥1

2 − 2𝑥1𝑥2 + 𝑥22, maka diperoleh:

𝑥12 − 𝑥2

2 = (𝒙𝟏 − 𝒙𝟐)2 + 2𝒙𝟏𝒙𝟐 Atau ingat bentuk (𝑥1 + 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥2) = 𝑥1

2 − 𝑥12, maka diperoleh:

𝑥12 − 𝑥2

2 = (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)(𝒙𝟏 − 𝒙𝟐) Jumlah Pangkat Tiga Akar-Akar PK

𝑥13 + 𝑥2

3 = …. Penyelesaian: Ingat bentuk (𝑥1 + 𝑥2)3 = 𝑥1

3 + 3𝑥12𝑥2 + 3𝑥1𝑥2

2 + 𝑥23

= 𝑥13 + 3(𝑥1𝑥2)(𝑥1 + 𝑥2) + 𝑥2

3

maka diperoleh: 𝑥1

3 + 𝑥23 = (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)3 − 3(𝒙𝟏𝒙𝟐)(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)

Jumlah Pangkat Empat Akar-Akar PK:

𝑥14 + 𝑥2

4 = …. Penyelesaian: Ingat bentuk (𝑥2 + 𝑥2

2)2 = 𝑥14 + 2𝑥2𝑥2 + 𝑥2

4, maka diperoleh:

𝑥14 + 𝑥2

4 = (𝒙𝟏𝟐 + 𝒙𝟐

𝟐)2

− 2(𝒙𝟏𝒙𝟐)2

= [(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)2 − 2𝒙𝟏𝒙𝟐]2 − 2(𝒙𝟏𝒙𝟐)2

Dan lain-lain ….

Contoh: Persamaan kuadrat −2𝑥2 + 3𝑥 − 2 = 0 memiliki akar-akar 𝑥1 dan 𝑥2, maka nilai 𝑥1

2 + 𝑥22 = ....

Penyelesaian: Pertama, cari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut:

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −𝑏

𝑎= −

3

−2=

3

2

𝒙𝟏𝒙𝟐 =𝑐

𝑎=

−2

−2= 1

Kedua, cari bentuk identik dari 𝑥1

2 + 𝑥22 yang memuat bentuk 𝑥1 + 𝑥2 dan 𝑥1

2 + 𝑥22.

𝑥1

2 + 𝑥22 = (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)2 − 2𝒙𝟏𝒙𝟐

= (3

2)

2− 2(1)

=9

4− 2

=1

4



Menyusun PK Baru

Diketahui: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 adalah PK Lama

𝒙𝟏 dan 𝒙𝟐 adalah akar-akar PK Lama 𝜶 dan 𝜷 adalah akar-akar PK Baru

Cek dan perhatikan! Apakah 𝜶 dan 𝜷 identik atau tidak?

Jika 𝛼 dan 𝛽 identik Jika 𝛼 dan 𝛽 tidak identik Cari invers akar PK Baru, Cari jumlah dan hasil kali akar PK Lama 𝜷−𝟏 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 dan 𝒙𝟏𝒙𝟐

Substitusi 𝜷−𝟏 ke PK Lama

cari jumlah dan hasil kali akar PK Baru 𝜶 + 𝜷 dan 𝜶𝜷

menggunakan nilai 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 dan 𝒙𝟏𝒙𝟐

Rumus PK Baru adalah Rumus PK Baru adalah 𝑎(𝜷−𝟏)

2+ 𝑏(𝜷−𝟏) + 𝑐 = 0 𝑥2 − (𝜶 + 𝜷)𝑥 + (𝜶𝜷) = 0

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Ditambah artinya substitusi pengurangan. Dikurangi artinya substitusi penjumlahan. Dikalikan artinya pangkat naik. Otomatis kalau dibagi maka pangkat turun. Dibalik artinya juga dibalik. Dinegatifkan artinya koefisien 𝑏 juga dinegatifkan. Misal PK Lama adalah 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, maka:

1. PK Baru yang akar-akarnya (𝛼 + 𝒏) dan (𝛽 + 𝒏) 𝑎(𝑥 − 𝒏)2 + 𝑏(𝑥 − 𝒏) + 𝑐 = 0

2. PK Baru yang akar-akarnya (𝛼 − 𝒏) dan (𝛽 − 𝒏) 𝑎(𝑥 + 𝒏)2 + 𝑏(𝑥 + 𝒏) + 𝑐 = 0

3. PK Baru yang akar-akarnya (𝒏𝛼) dan (𝒏𝛽) 𝑎𝑥2 + 𝒏𝑏𝑥 + 𝒏𝟐𝑐 = 0

4. PK Baru yang akar-akarnya (𝟏

𝜶) dan (

𝟏

𝜷)

𝒄𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝒂 = 0

5. PK Baru yang akar-akarnya (−𝛼) dan (−𝛽) 𝑎𝑥2 − 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0



Contoh 1: Akar-akar persamaan kuadrat 3𝑥2 − 12𝑥 + 2 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (𝛼 + 2) dan (𝛽 + 2) adalah …. Penyelesaian: Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?

Akar-akar PK Baru (𝛼 + 2) dan (𝛽 + 2), ternyata simetris. Memiliki pola yang sama, yaitu (𝑥 + 2). Kedua, cari invers dari akar-akar PK Baru, (𝑥 + 2).

Invers dari (𝑥 + 2) adalah (𝒙 − 𝟐). Ketiga, Substitusikan (𝒙 − 𝟐) menggantikan variabel 𝑥 pada PK Lama:

3(𝒙 − 𝟐)2 − 12(𝒙 − 𝟐) + 2 = 0

⇔ 3(𝑥2 − 4𝑥 + 4) − 12𝑥 + 24 + 2 = 0

⇔ 3𝑥2 − 12𝑥 + 12 − 12𝑥 + 24 + 2 = 0⇔ 3𝑥2 − 24𝑥 + 38 = 0

Jadi, PK Baru yang akar-akarnya (𝛼 + 2) dan (𝛽 + 2) adalah 3𝑥2 − 24𝑥 + 38 = 0.

Contoh 2: Akar-akar persamaan kuadrat 2𝑥2 − 4𝑥 + 8 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽.

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 𝛼

𝛽 dan

𝛽

𝛼 adalah ….

Penyelesaian: Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?

Akar-akar PK Baru 𝛼

𝛽 dan

𝛽

𝛼, ternyata tidak simetris. Tidak memiliki pola yang sama.

Kedua, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Lama.

𝜶 + 𝜷 = −−4

2= 2

𝜶𝜷 =8

2= 4

Ketiga, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Baru menggunakan nilai 𝜶 + 𝜷 dan 𝜶𝜷 .

𝛼

𝛽+

𝛽

𝛼=

𝛼2 + 𝛽2

𝛼𝛽

=(𝜶 + 𝜷)2 − 2𝜶𝜷

𝜶𝜷

=𝟐2 − 2 ∙ 𝟒

𝟒

=4 − 8

4

= −4

4= −1

𝛼

𝛽

𝛽

𝛼= 1

Keempat, rumus PK Baru adalah:

𝑥2 − (jumlah akar-akar PK baru)𝑥 + hasil kali akar-akar PK baru = 0

𝑥2 − (−1)𝑥 + 1 = 0

𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0

Jadi, PK Baru yang akar-akarnya 𝛼

𝛽 dan

𝛽

𝛼 adalah 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0.



Contoh 3 Akar-akar persamaan kuadrat 2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (𝛼 + 3) dan (𝛽 + 3) adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah penjumlahan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (𝑥 − 3). Jadi, PK Baru adalah: 2(𝑥 − 3)2 − 5(𝑥 − 3) + 3 = 0 Jabarkan sendiri ya…!

Contoh 4 Akar-akar persamaan kuadrat 3𝑥2 + 12𝑥 − 1 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (𝛼 − 2) dan (𝛽 − 2) adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah pengurangan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (𝑥 + 2). Jadi, PK Baru adalah: 3(𝑥 + 2)2 + 12(𝑥 + 2) − 1 = 0 Jabarkan sendiri ya…!

Contoh 5 Akar-akar persamaan kuadrat −4𝑥2 + 2𝑥 − 7 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2𝛼 dan 2𝛽 adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, maka setiap suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK? Jadi, PK Baru adalah: −4𝑥2(20) + 2𝑥(21) − 7(22) = 0 Jabarkan sendiri ya…!

Contoh 6 Akar-akar persamaan kuadrat 7𝑥2 − 5𝑥 + 13 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽.

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 𝛼

5 dan

𝛽

5 adalah ….

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah pembagian dengan lima, maka setiap suku dikalikan dengan lima berpangkat turun, sampai pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK? Jadi, PK Baru adalah: 7𝑥2(55) − 5𝑥(51) + 13(50) = 0 Jabarkan sendiri ya…!

Contoh 6 Akar-akar persamaan kuadrat 2𝑥2 − 𝑥 + 5 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽.

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1

𝛼 dan

1

𝛽 adalah ….

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah kebalikan dari akar-akar PK Lama, maka Tukar posisi koefisien 𝑥2 dengan konstanta. Jadi, PK Baru adalah: 5𝑥2 − 𝑥 + 2 = 0



Contoh 7 Akar-akar persamaan kuadrat −𝑥2 + 2𝑥 + 4 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya −𝛼 dan −𝛽 adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah negatif dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah koefisien 𝑥 dikalikan (−1). Jadi, PK Baru adalah: −𝑥2 + 2𝑥(−1) + 4 = 0

−𝑥2 − 2𝑥 + 4 = 0

Contoh 7

Akar-akar persamaan kuadrat 2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (2𝛼 − 3) dan (2𝛽 − 3) adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, dilanjutkan pengurangan dengan tiga dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol, dilanjutkan dengan substitusi (𝑥 + 3). Jadi, PK Baru adalah: 2𝑥2(20) − 5𝑥(21) + 3(22) = 0

2𝑥2 − 10𝑥 + 12 = 0

Dilanjutkan dengan substitusi (𝑥 + 3). 2(𝑥 + 3)2 − 10(𝑥 + 3) + 12 = 0 Jabarkan sendiri ya…!



Berlawanan Berkebalikan 𝑏 = 0 𝑎 = 𝑐

Sifat-Sifat Akar-Akar PK

Perbandingan Selisih 𝑛𝑏2 = (𝑛 + 1)2𝑎𝑐 𝐷 = (𝑛𝑎)2 Keterangan: Menggunakan sifat-sifat akar-akar PK untuk menentukan bagian dari PK yang tidak diketahui.

Inti dari permasalahan ini adalah melengkapkan variabel yang tidak diketahui pada PK dengan menggunakan sifat tertentu dari akar-akarnya. TRIK SUPERKILAT Sifat akar-akar persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 yang mungkin keluar di soal:

1. Jika akar yang satu kelipatan 𝑛 dari akar yang lain (𝑥1 = 𝑛𝑥2), maka 𝑛𝑏2 = (𝑛 + 1)2𝑎𝑐 2. Jika selisih akar-akarnya adalah 𝑛 (|𝑥1 − 𝑥2| = 𝑛), maka 𝐷 = (𝑛𝑎)2 3. Jika akar-akarnya berlawanan (𝑥1 = −𝑥2 atau 𝑥1 + 𝑥2 = 0), maka 𝑏 = 0

4. Jika akar-akarnya berkebalikan (𝑥1 =1

𝑥2 atau 𝑥1𝑥2 = 1), maka 𝑎 = 𝑐

Contoh: Akar-akar persamaan kuadrat 2𝑥2 + 𝑚𝑥 + 16 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽. Jika 𝛼 = 2𝛽 dan 𝛼, 𝛽 positif maka nilai 𝑚 = …. Penyelesaian: Pertama, lihat ternyata akar-akar PK tersebut adalah memiliki kelipatan tertentu.

Karena 𝛼 = 2𝛽, maka jelas nilai 𝑛 = 2.

Kedua, gunakan sifat perbandingan akar-akar PK. 𝑛𝑏2 = (𝑛 + 1)2𝑎𝑐

⇔ 2𝑚2 = (2 + 1)2 ∙ 2 ∙ 16

⇔ 𝑚2 = 32 ∙ 42 ⇔ 𝑚 = ±12

Ketiga, karena akar-akarnya positif maka jumlah kedua akar tersebut juga positif, sehingga:

𝑥1 + 𝑥2 > 0 ⇒ −𝑏

𝑎> 0

⇔ −𝑚

2> 0

⇔ 𝑚 < 0

Sehingga pilih nilai 𝑚 yang negatif. Jadi, 𝑚 = −12.




1. Akar-akar persamaan kuadrat 042 axx adalah p dan .q Jika ,82 22 aqpqp maka nilai a

....

A. −8

B. −4

C. 4

D. 6

E. 8

2. Persamaan kuadrat 05)1(2 xmx mempunyai akar-akar 1x dan .2x Jika

,82 21

2

2

2

1 mxxxx maka nilai m ....

A. −3 atau −7

B. 3 atau 7

C. 3 atau −7

D. 6 atau 14

E. −6 atau −14

3. Persamaan kuadrat 0442 pxx mempunyai akar-akar 1x dan .2x Jika ,322

2

1

2

21 xxxx maka nilai

p ....

A. −4

B. −2

C. 2

D. 4

E. 8


𝑥12 + 𝑥2

2 − 2𝑥1𝑥2 = 8𝑚

⇒ (𝑥1 + 𝑥2)2 − 4𝑥1𝑥2 = 8𝑚

⇔ (−𝑚 + 1)2 + 20 = 8𝑚

⇔ 𝑚2 − 10𝑚 + 21 = 0⇔ (𝑎 − 3)(𝑎 − 7) = 0⇔ 𝑎 − 3 = 0 atau 𝑎 − 7 = 0⇒ 𝑎 = 3 𝑎 = 7

𝑥1 + 𝑥2 = −𝑚 + 1 𝑥1. 𝑥2 = −5

𝑝 + 𝑞 = −𝑎 𝑝. 𝑞 = −4

𝑝2 − 2𝑝𝑞 + 𝑞2 = 8𝑎

⇒ (𝑝 + 𝑞)2 − 4𝑝𝑞 = 8𝑎

⇔ 𝑎2 + 16 = 8𝑎⇔ 𝑎2 − 8𝑎 + 16 = 0⇔ (𝑎 − 4)(𝑎 − 4) = 0⇒ 𝑎 = 4

𝑥1𝑥22 + 𝑥1

2𝑥2 = 32

⇒ 𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2) = 32

⇔ 4(−4𝑝) = 32⇔ −16𝑝 = 32

⇔ 𝑝 =32

−16⇔ 𝑝 = −2

𝑥1 + 𝑥2 = −4𝑝 𝑥1. 𝑥2 = 4






2. 3. Menyelesaikan masalah persamaan atau fungsi kuadrat dengan menggunakan diskriminan.

Persamaan Kuadrat (PK) 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

Diskriminan

𝑫 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 Persamaan Kuadrat Fungsi Kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝐷 ≥ 0 𝐷 < 0 𝐷 > 0 𝐷 = 0 𝐷 < 0 akar real akar imajiner memotong menyinggung terpisah 𝐷 > 0 𝐷 = 0 𝑎 > 0, 𝐷 < 0 𝑎 < 0, 𝐷 < 0 berbeda kembar definit positif definit negatif 𝐷 = 𝑟2 rasional

TRIK SUPERKILAT. Perhatikan tiga soal di bawah ini, sebenarnya tidak berbeda. Alias maksud ketiga soal itu sama persis!

“Persamaan kuadrat 𝑝𝑥2 + (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 = 0 akan memiliki dua akar real berbeda untuk nilai 𝑝 = ….“ “Fungsi kuadrat 𝑦 = 𝑝𝑥2 + (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai 𝑝 yang memenuhi adalah ….” “Grafik 𝑦 = 𝑝𝑥2 + (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 memotong garis 𝒚 = 𝟎 di dua titik. Batas-batas nilai 𝑝 yang memenuhi adalah ….”

𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐌𝐈𝐋𝐈𝐊𝐈 𝐃𝐔𝐀 akar real 𝐁𝐄𝐑𝐁𝐄𝐃𝐀𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐌𝐎𝐓𝐎𝐍𝐆 sumbu X di 𝐃𝐔𝐀 titik 𝐁𝐄𝐑𝐁𝐄𝐃𝐀𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐌𝐎𝐓𝐎𝐍𝐆 garis di 𝐃𝐔𝐀 titik 𝐁𝐄𝐑𝐁𝐄𝐃𝐀

} ⇒ 𝐷 > 0

𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐌𝐈𝐋𝐈𝐊𝐈 akar real 𝐊𝐄𝐌𝐁𝐀𝐑 (= 𝐒𝐀𝐓𝐔)𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐍𝐘𝐈𝐍𝐆𝐆𝐔𝐍𝐆 sumbu X di 𝐒𝐀𝐓𝐔 titik𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐍𝐘𝐈𝐍𝐆𝐆𝐔𝐍𝐆 garis di 𝐒𝐀𝐓𝐔 titik 𝐁𝐄𝐑𝐁𝐄𝐃𝐀

} ⇒ 𝐷 = 0

𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐓𝐈𝐃𝐀𝐊 𝐌𝐄𝐌𝐈𝐋𝐈𝐊𝐈 akar real𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐓𝐈𝐃𝐀𝐊 𝐌𝐄𝐌𝐎𝐓𝐎𝐍𝐆/𝐓𝐈𝐃𝐀𝐊 𝐌𝐄𝐍𝐘𝐈𝐍𝐆𝐆𝐔𝐍𝐆 sumbu X 𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐓𝐈𝐃𝐀𝐊 𝐌𝐄𝐌𝐎𝐓𝐎𝐍𝐆/𝐓𝐈𝐃𝐀𝐊 𝐌𝐄𝐍𝐘𝐈𝐍𝐆𝐆𝐔𝐍𝐆 garis

} ⇒ 𝐷 < 0

Soal jebakan, bila hanya ada kata Persamaan kuadrat memiliki dua akar real tanpa tambahan kata berbeda atau kembar, berarti dua akar real tersebut pasti gabungan dari dua akar real berbeda dan kembar. Jadi 𝐷 ≥ 0.



Soal yang sering ditanyakan PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda.

Contoh: Jika persamaan kuadrat 𝑝𝑥2 + (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 = 0 akan memiliki dua akar berbeda. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Dari persamaan kuadrat 𝑝𝑥2 + (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 = 0 diperoleh:

𝑎 = 𝑝, 𝑏 = (𝑝 + 2), dan 𝑐 = (−𝑝 + 4) Persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 > 0

𝐷 > 0 ⇒ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0⇔ (𝑝 + 2)2 − 4(𝑝)(−𝑝 + 4) < 0

⇔ 𝑝2 + 4𝑝 + 4 + 4𝑝2 − 16𝑝 < 0

⇔ 5𝑝2 − 12𝑝 + 4 < 0

⇔ (5𝑝 − 2)(𝑝 − 2) < 8

⇔ 𝑝 <2

5 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 > 2

⇔ 𝑚 <2

3

Sehingga nilai m yang memenuhi adalah 𝑚 <2

3.

Persamaan kuadrat memiliki akar kembar.

Contoh: Jika diketahui sebuah persamaan kuadrat 𝑥2 + (𝑘 − 3)𝑥 + 4 = 0 memiliki dua akar kembar. Maka nilai 𝑘 yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Dari persamaan kuadrat 𝑥2 + (𝑘 − 3)𝑥 + 4 = 0 diperoleh:

𝑎 = 1, 𝑏 = (𝑘 − 3), 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 4 Persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 = 0

𝐷 = 0 ⇒ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0⇔ (𝑘 − 3)2 − 4(1)(4) = 0

⇔ (𝑘 − 3)2 − 16 = 0

⇔ 𝑘2 − 6𝑘 + 9 − 16 = 0⇔ 𝑘2 − 6𝑘 − 7 = 0⇔ (𝑘 + 1)(𝑘 − 7) = 0⇔ 𝑘 = −1 atau 𝑘 = 3

Sehingga persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar kembar untuk nilai 𝑘 = −1 atau 𝑘 = 7.



Persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (akarnya imajiner) Contoh:

Persamaan kuadrat 1

2𝑥2 + (𝑝 + 2)𝑥 + (𝑝 +

7

2) = 0 tidak memiliki akar real untuk nilai 𝑝 = ….

Penyelesaian:

Dari persamaan kuadrat 1

2𝑥2 + (𝑝 + 2)𝑥 + (𝑝 +

7

2) = 0 diperoleh:

𝑎 =1

2, 𝑏 = (𝑝 + 2), 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = (𝑝 +

7

2)

Persamaan kuadrat memiliki akar imajiner maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 < 0.

𝐷 < 0 ⇒ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0

⇔ (𝑝 + 2)2 − 4 (1

2) (𝑝 +

7

2) < 0

⇔ 𝑝2 + 4𝑝 + 4 − 2𝑝 − 7 < 0

⇔ 𝑝2 + 2𝑝 − 3 < 0

⇔ (𝑝 + 3)(𝑝 − 1) < 0⇔ 𝑝 = −3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 = 1 (𝑝𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙)

Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan: Jadi persamaan kuadrat akan memiliki akar-akar tidak real untuk nilai −1 < 𝑝 < 3.

3 −1

− + +



FUNGSI KUADRAT Fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik berbeda (memotong).

Contoh: Grafik 𝑦 = 𝑝𝑥2 + (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Dari fungsi kuadrat 𝑦 = 𝑝𝑥2 + (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 diperoleh:

𝑎 = 𝑝, 𝑏 = (𝑝 + 2), 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = (−𝑝 + 4) Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 > 0

𝐷 > 0 ⇒ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0⇔ (𝑝 + 2)2 − 4(𝑝)(−𝑝 + 4) < 0

⇔ 𝑝2 + 4𝑝 + 4 + 4𝑝2 − 16𝑝 < 0

⇔ 5𝑝2 − 12𝑝 + 4 < 0

⇔ (5𝑝 − 2)(𝑝 − 2) < 8

⇔ 𝑝 <2

5 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 > 2

⇔ 𝑚 <2

3

Sehingga nilai m yang memenuhi adalah 𝑚 <2

3.

Fungsi kuadrat memotong satu titik di sumbu X (menyinggung).

Contoh: Grafik fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + (𝑘 − 3)𝑥 + 4 menyinggung sumbu X pada satu titik. Maka nilai 𝑘 yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Dari fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + (𝑘 − 3)𝑥 + 4 diperoleh:

𝑎 = 1, 𝑏 = (𝑘 − 3), 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 4 Persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 = 0

𝐷 = 0 ⇒ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0⇔ (𝑘 − 3)2 − 4(1)(4) = 0

⇔ (𝑘 − 3)2 − 16 = 0

⇔ 𝑘2 − 6𝑘 + 9 − 16 = 0⇔ 𝑘2 − 6𝑘 − 7 = 0⇔ (𝑘 + 1)(𝑘 − 7) = 0⇔ 𝑘 = −1 atau 𝑘 = 3

Sehingga fungsi kuadrat tersebut menyinggung sumbu X pada satu titik untuk nilai 𝑘 = −1 atau 𝑘 = 7.



Fungsi kuadrat tidak memotong maupun menyinggung sumbu X. (terpisah) Contoh:

Fungsi kuadrat 𝑦 =1

2𝑥2 + (𝑝 + 2)𝑥 + (𝑝 +

7

2) tidak akan menyinggung dan tidak memotong sumbu X

untuk nilai 𝑝 = …. Penyelesaian:

Dari fungsi kuadrat 𝑦 =1

2𝑥2 + (𝑝 + 2)𝑥 + (𝑝 +

7

2) diperoleh:

𝑎 =1

2, 𝑏 = (𝑝 + 2), 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = (𝑝 +

7

2)

Persamaan kuadrat memiliki akar imajiner maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 < 0.

𝐷 < 0 ⇒ (𝑝 + 2)2 − 4 (1

2) (𝑝 +

7

2) < 0

⇔ 𝑝2 + 4𝑝 + 4 − 2𝑝 − 7 < 0

⇔ 𝑝2 + 2𝑝 − 3 < 0

⇔ (𝑝 + 3)(𝑝 − 1) < 0⇔ 𝑝 = −3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 = 1 (𝑝𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙)

Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan: Jadi fungsi kuadrat tidak akan menyinggung maupun memotong sumbu X untuk untuk nilai −1 < 𝑝 < 3.

3 −1

− + +



Fungsi kuadrat memotong garis di dua titik (memotong). Contoh: Grafik fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 4 memotong garis 𝑦 = 3𝑥 + 4. Nilai b yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Substitusikan 𝑦 = 3𝑥 + 4 dan 𝑦 = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 4

⇒ 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 4 = 3𝑥 + 4⇔ 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 4 − 3𝑥 − 4 = 0⇔ 𝑥2 + (𝑏 − 3)𝑥 = 0

Koefisien-koefisien persamaan kuadrat

𝑎 = 1, 𝑏 = (𝑏 − 3), 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 0 Kurva memotong garis, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi D > 0

𝐷 = 0 ⇒ (𝑏 − 3)2 − 4(1)(0) > 0

⇔ (𝑏 − 3)2 − 0 > 0

⇔ (𝑏 − 3)2 > 0⇔ 𝑏 − 3 > 0⇔ 𝑏 > 3

Sehingga grafik fungsi kuadrat akan memotong garis untuk nilai b > 3.

Perhatikan, soal di bawah ini masih menggunakan soal di atas, hanya kalimatnya saja yang diganti! OK? Fungsi kuadrat memotong garis di satu titik (menyinggung).

Contoh: Grafik fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 4 menyinggung garis 𝑦 = 3𝑥 + 4. Nilai b yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Kurva menyinggung garis, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 = 0

𝐷 = 0 ⇒ (𝑏 − 3)2 − 4(1)(0) = 0

⇔ (𝑏 − 3)2 − 0 = 0

⇔ (𝑏 − 3)2 = 0⇔ 𝑏 − 3 = 0⇔ 𝑏 = 3

Sehingga grafik fungsi kuadrat akan menyinggung garis untuk nilai 𝑏 = 3.

Fungsi kuadrat tidak memotong atau tidak menyinggung garis (terpisah).

Contoh: Grafik fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 4 tidak memotong dan tidak menyinggung garis 𝑦 = 3𝑥 + 4. Nilai b yang memenuhi adalah …. Penyelesaian: Kurva terpisah garis, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 < 0

𝐷 = 0 ⇒ (𝑏 − 3)2 − 4(1)(0) < 0

⇔ (𝑏 − 3)2 − 0 < 0

⇔ (𝑏 − 3)2 < 0⇔ 𝑏 − 3 < 0⇔ 𝑏 < 3

Sehingga grafik fungsi kuadrat tidak akan memotong dan tidak menyinggung garis untuk nilai 𝑏 < 3.




1. Persamaan kuadrat 042)2(2 mxmx mempunyai akar-akar real, maka batas nilai m yang

memenuhi adalah ....

A. 2m atau 10m

B. 10m atau 2m

C. 2m atau 10m

D. 102 m

E. 210 m

2. Persamaan kuadrat 0)4(22 2 pxpx mempunyai dua akar real berbeda. Batas-batas nilai p yang

memenuhi adalah ....

A. 2p atau 8p

B. 2p atau 8p

C. 8p atau 2p

D. 82 p

E. 28 p


Akar-akar real ⇒ 𝐷 ≥ 0

𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0⇒ (𝑚 − 2)2 − 4 . 1 . (2𝑚 − 4) ≥ 0

⇔ 𝑚2 − 12𝑎 + 20 ≥ 0⇔ (𝑚 − 2)(𝑚 − 10) ≥ 0

𝑃𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙 ∶ 𝑚 − 2 = 0 atau 𝑚 − 10 = 0

⇒ 𝑚 = 2 𝑚 = 10

+ +

−

2 10

Jadi daerah penyelesaian: 𝑚 ≤ 2 atau 𝑚 ≥ 10

Akar-akar real berbeda ⇒ 𝐷 > 0

𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0

⇒ (2(𝑝 − 4))2

− 4 . 2 . 𝑝 ≥ 0

⇔ 4𝑝2 − 40𝑝 + 64 ≥ 0

⇔ 4(𝑝 − 2)(𝑝 − 8) ≥ 0𝑃𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙 ∶

𝑝 − 2 = 0 atau 𝑝 − 8 = 0⇒ 𝑝 = 2 𝑝 = 8

+ +

−

2 8

Jadi daerah penyelesaian: 𝑝 < 2 atau 𝑝 > 8






2. 4. Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan sistem persamaan linear.

Ingat lagi tentang konsep determinan matriks

Determinan Matriks

|𝑎 𝑏𝑐 𝑑

| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

|

𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

| = 𝑎𝑒𝑖 + 𝑏𝑓𝑔 + 𝑐𝑑ℎ − 𝑐𝑒𝑔 − 𝑎𝑓ℎ − 𝑏𝑑𝑖

Untuk lebih detil tentang determinan matriks, lihat juga SMART SOLUTION untuk SKL tentang Matriks!

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

(SPLDV)

Bentuk Umum SPLDV

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝒄𝟏

𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝒄𝟐

Penyelesaian SPLDV

Nilai 𝑥 Nilai 𝑦 Kolom 𝑥 diganti! Kolom 𝑦 diganti!

𝑥 =|𝒄𝟏 𝑏1𝒄𝟐 𝑏2

|

|𝑎1 𝑏1𝑎2 𝑏2

| 𝑦 =

|𝑎1 𝒄𝟏𝑎2 𝒄𝟐

|

|𝑎1 𝑏1𝑎2 𝑏2

|



Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

(SPLTV)

Bentuk Umum SPLTV

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝒅𝟏

𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝒅𝟐

𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝒅𝟑

Penyelesaian SPLTV

Nilai 𝑥 Nilai 𝑦 Nilai 𝑧 Kolom 𝑥 diganti! Kolom 𝑦 diganti! Kolom 𝑧 diganti!

𝑥 =

|

𝒅𝟏 𝑏1 𝑐1𝒅𝟐 𝑏2 𝑐2𝒅𝟑 𝑏3 𝑐3

|

|𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2𝑎3 𝑏3 𝑐3

|

𝑦 =

|

𝑎1 𝒅𝟏 𝑐1𝑎2 𝒅𝟐 𝑐2𝑎3 𝒅𝟑 𝑐3

|

|𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2𝑎3 𝑏3 𝑐3

|

𝑧 =

|

𝑎1 𝑏1 𝒅𝟏𝑎2 𝑏2 𝒅𝟐𝑎3 𝑏3 𝒅𝟑

|

|𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2𝑎3 𝑏3 𝑐3

|

Keterangan: Pada prakteknya dalam pengerjaan soal SPL, metode determinan matriks ini hanya bisa digunakan apabila matriks SPL-nya adalah berbentuk persegi. Tekniknya, gunakan metode determinan untuk menentukan salah satu variabel pada SPLDV, lalu variabel yang lain bisa diperoleh menggunakan metode substitusi. Kenapa kok harus menggunakan determinan matriks. Karena langkah ini lebih pasti dalam menyelesaikan soal tipe UN, tanpa harus berfikir keras mencari langkah tepat untuk metode eliminasi maupun substitusi. Namun, kalian tetap harus menguasai langkah eliminasi maupun substitusi supaya paham juga langkah dasarnya. Oke? Penyelesaian SPLDV secara online bisa dilihat pada halaman berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/simulasi-spldv-sistem-persamaan-linear.html?spref=pdf Penyelesaian SPLDV secara online bisa dilihat pada halaman berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/simulasi-spltv-sistem-persamaan-linear.html?spref=pdf


http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/simulasi-spldv-sistem-persamaan-linear.html?spref=pdf

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/simulasi-spltv-sistem-persamaan-linear.html?spref=pdf


TRIK SUPERKILAT: Untuk mencari penyelesaian SPLDV, variabel yang akan dicari harus diletakkan di pojok KIRI, lalu lihat koefisien variabel yang lain! Lalu kali silang, kali silang. Selesai deh. Contoh Soal:

Penyelesaian dari SPL {2𝑥 − 3𝑦 = 13𝑥 + 5𝑦 = 11

adalah ….

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 2𝑥 − 3𝑦 = 13𝑥 + 5𝑦 = 11

Karena yang paling pojok kiri variabel 𝑥, maka ini berarti kita akan mencari nilai dari variabel 𝑥. Lalu pilih salah satu koefisien dari variabel 𝑦. Bebas kok! Kita boleh memilih salah satu di antara −3atau 5. 2𝑥 − 3𝑦 = 13𝑥 + 5𝑦 = 11

Oke, misalkan kita bersepakat untuk menggunakan acuan bilangan −3, ya? 2𝑥 − 3𝑦 = 13𝑥 + 5𝑦 = 11

Siap? Perhatikan SPLDV tersebut yang saya beri kotak berwarna merah. Hitung selisih dari kali silang tersebut. Ingat acuan awal kita adalah bilangan −3! Hasilnya adalah: −3 dikalikan silang dengan 11, dikurangi dengan 1 dikalikan silang dengan 5. (−3)(11) − (1)(5) = −33 − 5 = −𝟑𝟖 2𝑥 − 3𝑦 = 13𝑥 + 5𝑦 = 11

Oke, sekarang hitung selisih perkalian silang dari bagian yang berwarna biru tersebut. Masih ingat acuan awal kita tadi? Iya, bilangan −3 adalah acuan awal dalam menghitung selisih kali silang! Hasilnya adalah: −3 dikalikan silang dengan 3, dikurangi 2 dikalikan silang dengan 5. (−3)(3) − (2)(5) = −9 − 10 = −𝟏𝟗 Jadi, nilai variabel 𝑥 adalah pembagian dari hasil selisih kali silang pertama dan kedua.

𝑥 =−𝟑𝟖

−𝟏𝟗= 2

Selesai! Paham, kan? Kalau mencari nilai 𝑦, gimana dong? Gampang aja. Kalau ingin menerapkan langkah TRIK SUPERKILAT yang sama, maka syaratnya apa tadi? Ya! Betul! Variabel 𝑦 harus dipindah ke pojok kiri!!!!!! Sehingga SPLDV akan berubah menjadi: −3𝑦 + 2𝑥 = 1

5𝑦 + 3𝑥 = 11

Lalu lakukan dengan langkah yang sama seperti saat mencari variabel 𝑥 di atas. Oke?



Contoh 1: Pak Ali bekerja selama 6 hari dengan 4 hari di antaranya lembur mendapat upah Rp74.000,00. Pak Bisri bekerja selama 5 hari dengan 2 hari di antaranya lembur mendapat upah Rp55.000,00. Pak Ali, Pak Bisri, dan Pak Catur bekerja dengan aturan upah yang sama. Jika Pak Catur bekerja 4 hari dengan terus menerus lembur, maka upah yang akan diperoleh adalah .... Penyelesaian: Misal:

𝑥 = hari biasa𝑦 = hari lembur

Maka sistem persamaan linear dari soal tersebut adalah:

6𝑥 + 4𝑦 = 𝟕𝟒. 𝟎𝟎𝟎5𝑥 + 2𝑦 = 𝟓𝟓. 𝟎𝟎𝟎

Ditanyakan:

4𝑥 + 4𝑦 = ? Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks.

𝑥 =|𝟕𝟒. 𝟎𝟎𝟎 4𝟓𝟓. 𝟎𝟎𝟎 2

|

|6 45 2

|=

148.000 − 220.000

12 − 20=

−72.000

−8= 9.000

𝑦 =|6 𝟕𝟒. 𝟎𝟎𝟎5 𝟓𝟓. 𝟎𝟎𝟎

|

|6 45 2

|=

330.000 − 370.000

12 − 20=

−40.000

−8= 5.000

Jadi,

4𝑥 + 4𝑦 = 4(9.000) + 4(5.000)= 36.000 + 20.000= 56.000

TRIK SUPERKILAT:

Dengan acuan koefisien variabel 𝑦 adalah 4, maka nilai variabel 𝑦 diperoleh dengan cara: “(4 dikali silang dengan 55.000) dikurangi (2 dikali silang dengan 74.000)” dibagi dengan “(4 dikali silang dengan 5) dikurangi (6 dikali silang dengan 2)”



Contoh 2: Avi, Via dan Iva pergi bersama-sama ke toko buah. Avi membeli 1 kg apel, 2 kg salak, dan 2 kg kelengkeng dengan harga Rp47.000,00. Via membeli 2 kg apel, 1 kg salak, dan 3 kg kelengkeng dengan harga Rp68.500,00. Iva membeli 3 kg apel, 2 kg salak, dan 1 kg kelengkeng dengan harga Rp63.000,00. Jika Vero membeli 1 kg apel dan 1 kg kelengkeng di toko tersebut, maka berapakah yang harus dibayarkan oleh Vero? Penyelesaian: Misal:

𝑥 = buah apel𝑦 = buah salak𝑧 = buah kelengkeng

Maka sistem persamaan linear dari soal tersebut adalah:

𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 47.0002𝑥 + 𝑦 + 3𝑥 = 68.5003𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 63.000

Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks.

𝑥 =

|𝟒𝟕. 𝟎𝟎𝟎 2 2𝟔𝟖. 𝟓𝟎𝟎 1 3𝟔𝟑. 𝟎𝟎𝟎 2 1

|

|1 2 22 1 33 2 1

|

𝑦 =

|1 𝟒𝟕. 𝟎𝟎𝟎 22 𝟔𝟖. 𝟓𝟎𝟎 33 𝟔𝟑. 𝟎𝟎𝟎 1

|

|1 2 22 1 33 2 1

|

𝑧 =

|1 2 𝟒𝟕. 𝟎𝟎𝟎2 1 𝟔𝟖. 𝟓𝟎𝟎3 2 𝟔𝟑. 𝟎𝟎𝟎

|

|1 2 22 1 33 2 1

|

Contoh 3: Jumlah uang Artha dan Deby adalah Rp142.000,00. Selisih uang Yanti dan uang Artha Rp4.000,00. Dua kali uang Yanti sama dengan uang Deby ditambah Rp100.000,00. Jumlah uang Artha, Deby, dan Yanti adalah …. Penyelesaian: Misal:

𝑥 = uang Artha𝑦 = uang Deby𝑧 = uang Yanti

Perhatikan dan baca soal dengan seksama. Buat model matematikanya, jangan lupa ubah menjadi bentuk matriks ya!

Jumlah uang Artha dan Deby adalah Rp142.000,00 ⇔ 𝑥 + 𝑦 = 142.000⇔ 𝒙 + 𝒚 + 𝟎𝒛 = 𝟏𝟒𝟐. 𝟎𝟎𝟎

Selisih uang Yanti dan uang Artha Rp4.000 ⇔ 𝑧 − 𝑥 = 4.000

⇔ −𝒙 + 𝟎𝒚 + 𝒛 = 𝟒. 𝟎𝟎𝟎

Dua kali uang Yanti sama dengan uang Deby ditambah Rp100.000,00 ⇔ 2𝑧 = 𝑦 + 100.000

⇔ 𝟎𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎

Sehingga model matematika SPLTV dari soal tersebut adalah:

𝑥 + 𝑦 + 0𝑧 = 47.000−𝑥 + 0𝑦 + 𝑥 = 68.5000𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 63.000

Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks.

𝑥 =

|𝟏𝟒𝟐. 𝟎𝟎𝟎 1 −0

𝟒. 𝟎𝟎𝟎 0 1𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 −1 2

|

|1 1 −0

−1 0 10 −1 2

|

𝑦 =

|1 𝟏𝟒𝟐. 𝟎𝟎𝟎 −0

−1 𝟒. 𝟎𝟎𝟎 10 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 2

|

|1 1 −0

−1 0 10 −1 2

|

𝑧 =

|1 1 𝟏𝟒𝟐. 𝟎𝟎𝟎2 0 𝟒. 𝟎𝟎𝟎3 −1 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎

|

|1 1 −0

−1 0 10 −1 2

|

Jadi nilai 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 pasti ketemu deh!




1. Umur pak Andi 28 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun lebih muda dari umur pak

Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi, dan Amira 119 tahun, maka jumlah umur Amira dan bu Andi

adalah ....

A. 86 tahun

B. 74 tahun

C. 68 tahun

D. 64 tahun

E. 58 tahun

2. Umur Deksa 4 tahun lebih tua dari umur elisa. Umur elisa 3 tahun lebih tua dari umur Firda. Jika jumlah

umur Deksa, Elisa dan Firda 58 tahun, jumlah umur Deksa dan Firda adalah ....

A. 52 tahun

B. 45 tahun

C. 42 tahun

D. 39 tahun

E. 35 tahun


Misal 𝑥 = Pak Andi 𝑦 = Bu Andi 𝑧 = Amira

𝑥 = 𝑧 + 28 ⇒ 𝑧 = 𝑥 − 28𝑦 = 𝑥 − 6

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 119

⇒ 𝑥 + (𝑥 − 6) + (𝑥 − 28) = 119⇔ 3𝑥 − 34 = 119⇔ 3𝑥 = 153⇔ 𝑥 = 51

Jadi, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 119⇒ 51 + 𝑦 + 𝑧 = 119⇔ 𝑦 + 𝑧 = 119 − 51⇔ 𝑦 + 𝑧 = 68

Misal 𝑑 = Umur Deksa 𝑒 = Umur Elisa 𝑓 = Umur Firda

𝑑 = 𝑒 + 4𝑒 = 𝑓 + 3 ⇒ 𝑓 = 𝑒 − 3

𝑑 + 𝑒 + 𝑓 = 58

⇒ (𝑒 + 4) + 𝑒 + (𝑒 − 3) = 58

⇔ 3𝑒 + 1 = 58⇔ 3𝑒 = 57⇔ 𝑒 = 19

Jadi, 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 = 58⇒ 𝑑 + 19 + 𝑓 = 58⇔ 𝑑 + 𝑓 = 58 − 19

⇔ 𝑑 + 𝑓 = 39






2. 5. Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran.

Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran Bentuk Umum

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 dibagi (−2)

Pusat Jari-jari Pusat

(𝑎, 𝑏) 𝑟 (−1

2𝐴,−

1

2𝐵)

Jumlah kuadrat pusat dikurangi 𝐶

Jari-jari

𝑟 = √(−1

2𝐴)2+ (−

1

2𝐵)

2− 𝐶



Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran

PGS Lingkaran PGS Lingkaran di titik (𝑥1, 𝑦1) pada lingkaran dengan gradien 𝑚 Pangkat dua menjadi perkalian dua faktor. Ingat pola persamaan garis lurus 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒄 Pangkat satu menjadi setengah penjumlahan. Lalu perhatikan gambar berikut!

𝑥2 𝑑𝑖𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 → 𝑥1𝑥

(𝑥 − 𝑎)2 𝑑𝑖𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 → (𝑥1 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎)

𝑥 𝑑𝑖𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 →

1

2(𝑥1 + 𝑥)

Karena ada dua PGS Lingkaran bergradien 𝒎, maka PGS tersebut adalah 𝒚 = 𝒎𝒙 ± 𝒄

dimana 𝒄 = 𝒓√𝟏 +𝒎𝟐 PGS lingkaran di titik (𝑥1, 𝑦1) pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari 𝑟 𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 = 𝑟

2 PGS dengan gradien 𝑚 dari lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari 𝑟

𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 +𝑚2 PGS lingkaran di titik (𝑥1, 𝑦1) pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari 𝑟 (𝑥1 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎) + (𝑦1 − 𝑏)(𝑦 − 𝑏) = 𝑟

2 PGS dengan gradien 𝑚 dari lingkaran pusat (𝑎, 𝑏) dan jari-jari 𝑟

(𝑦 − 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟√1 +𝑚2 PGS lingkaran di titik (𝑥1, 𝑦1) pada lingkaran dengan bentuk umum 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 +𝐴

2(𝑥1 + 𝑥) +

𝐵

2(𝑦1 + 𝑦) + 𝐶 = 0

Catatan Tambahan: Ingat juga tentang konsep jarak titik (𝑥1, 𝑦1) ke garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0:

𝑑 = |𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐

√𝑎2 + 𝑏2|

TRIK SUPERKILAT: PGS lingkaran pusat (𝑥1, 𝑦1) jari-jari 𝑟 yang sejajar dengan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 ± 𝑟√𝑎2 + 𝑏2

PGS lingkaran pusat (𝑥1, 𝑦1) jari-jari 𝑟 yang tegak lurus dengan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0:

𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 = 𝑏𝑥1 − 𝑎𝑦1 ± 𝑟√𝑎2 + 𝑏2



PGS Lingkaran

di titik (𝑥1, 𝑦1) yang berada di luar lingkaran

Titik Singgung (𝑎, 𝑏)

Diperoleh PGS + Persamaan Lingkaran (dalam variabel 𝑎, 𝑏).

Substitusi titik (𝑥1, 𝑦1) ke PGS, lalu substitusi PGS ke persamaan lingkaran

Diperoleh dua titik Singgung (𝑎1, 𝑏1) dan (𝑎2, 𝑏2)

Substitusikan ke PGS di langkah kedua

Selesai

TRIK SUPERKILAT: Cari gradien PGS tersebut menggunakan rumus PGS dengan gradien tertentu. PGS akan diperoleh dengan mensubstitusi titik di luar lingkaran tersebut dan nilai gradien. Selesai.

(𝑥1, 𝑦1)

(𝑎, 𝑏)

(0, 0)



Contoh Soal: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik (5, 5) yang menyinggung lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 10! Penyelesaian: PGS menyinggung titik tertentu di lingkaran. Misal titik singgung tersebut (𝒂, 𝒃). Artinya titik (𝑎, 𝑏)tersebut berada baik di PGS maupun lingkaran. Sehingga, diperoleh PGS lingkaran dan persamaan lingkaran dalam variabel 𝒂 dan 𝒃.

Perhatikan bahwa (𝑎, 𝑏) berada di lingkaran, maka: PGS lingkaran di titik (𝑎, 𝑏) adalah 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝟏𝟎 Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan melewati titik (𝑎, 𝑏) adalah 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝟏𝟎

Karena PGS melewati (5, 5) maka bila kita substitusikan (𝟓, 𝟓) ke PGS akan diperoleh: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 10 ⇔ 5𝑎 + 5𝑏 = 10

⇔ 𝑎 + 𝑏 = 2⇔ 𝒃 = 2 − 𝑎

Dari persamaan lingkaran 𝑎2 + 𝑏2 = 10 dan 𝑏 = 2 − 𝑎, substitusikan 𝒃 = 𝟐 − 𝒂 ke persamaan lingkaran diperoleh:

𝑎2 + (2 − 𝑎)2 = 10

⇔ 𝑎2 + (4 − 4𝑎 + 𝑎2) = 10

⇔ 2𝑎2 − 4𝑎 + 4 = 10⇔ 2𝑎2 − 4𝑎 + 4 − 10 = 0⇔ 2𝑎2 − 4𝑎 − 6 = 0⇔ 𝑎2 − 2𝑎 − 3 = 0⇔ (𝑎 + 1)(𝑎 − 3) = 0⇔ 𝑎 = −1 atau 𝑎 = 3

Dari 𝑎 = −1 atau 𝑎 = 3 akan diperoleh nilai 𝑏, yaitu: 𝑎 = −1 ⇔ 𝑏 = 2 − 𝑎 = 2 + 1 = 3 𝑎 = 3 ⇔ 𝑏 = 2 − 𝑎 = 2 − 3 = −1

Jadi dua titik singgung tersebut adalah (−𝟏, 𝟑) dan (𝟑,−𝟏). Sehingga PGS lingkaran pada titik (−𝟏, 𝟑) dan (𝟑,−𝟏) adalah:

−𝑥 + 3𝑦 = 10 dan 3𝑥 − 𝑦 = 10. TRIK SUPERKILAT:

Lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 10 adalah lingkaran dengan titik pusat (0, 0) dan jari-jari 𝑟 = √10.

Cari nilai gradien PGS tersebut dengan mensubstitusikan titik (5, 5) dan jari-jari √10 ke dalam rumus:

𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 + 𝑚2

⇒ 5 = 𝑚(5) ± √10√1 + 𝑚2

⇔ 5− 5𝑚 = ±√10√1 +𝑚2 (kuadratkan kedua ruas)

⇔ 25 − 50𝑚 + 25𝑚2 = 10 + 10𝑚2

⇔ 15𝑚2 − 50𝑚 + 15 = 0⇔ 3𝑚2 − 10𝑚 + 3 = 0⇔ (3𝑚 − 1)(𝑚 − 3) = 0

∴ 𝑚 =1

3 atau 𝑚 = 3

Jadi, persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien 𝑚 =1

3

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 5 =1

3(𝑥 − 5)

−𝑥 + 3𝒚 = 10

Persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien 𝑚 = 3

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 5 = 3(𝑥 − 5)𝟑𝒙 − 𝒚 = 10

(5, 5)

(𝑎, 𝑏)

(0, 0)



Tipe Soal Sering Muncul pada Bab Lingkaran:

Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran

Perhatikan pola persamaan lingkaran yang ada pada soal!

Contoh:

1. Diberikan persamaan lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah ….

Penyelesaian:

(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = 25

Pusat di (0, 0) dan jari-jari 5.

2. Diberikan persamaan lingkaran (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2 = 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah ….

Penyelesaian:

(𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 4)2 = 25

Pusat di (3, -4) dan jari-jari 5.

3. Diberikan persamaan lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 4𝑥 − 20 = 0, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah ….

Penyelesaian:

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 4𝑥 − 20 = 0 dibagi (-2)

Maka pusat (1, −2), dan jari-jari adalah 𝑟 = √(1)2 + (−2)2 − (−20)

𝑟2 = 25 ⇒ 𝑟 = 5

𝑟2 = 25 ⇒ 𝑟 = 5

1 − 2



Menentukan persamaan lingkaran

Seringkali tidak diketahui jari-jari lingkaran.

Misal diketahui pusat lingkaran (𝑎, 𝑏) dan lingkaran menyinggung sumbu X, maka 𝑟 = |𝑏|.

Misal diketahui pusat lingkaran (𝑎, 𝑏) dan lingkaran menyinggung sumbu Y, maka 𝑟 = |𝑎|.

Seringkali juga jari-jari diperoleh dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis. Bila diketahui pusat lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke garis singgung.

Contoh:

1. Persamaan lingkaran dengan pusat (5, −1) dan jari-jari 3 adalah ….

Penyelesaian:

Persamaan lingkaran dengan pusat (𝑎, 𝑏) dengan jari-jari 𝑟:

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2

(𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 1)2 = 9

atau diubah ke bentuk umum persamaan lingkaran:

(𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 1)2 = 9 ⇒ 𝑥2 − 10𝑥 + 25 + 𝑦2 + 2𝑦 + 1 − 9 = 0

⇔ 𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 + 2𝑦 + 17 = 0

2. Persamaan lingkaran dengan pusat di (3, 2) yang menyinggung sumbu X adalah ….

Penyelesaian:

(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 22

⇒ 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 4𝑦 + 9 = 0

3. Persamaan lingkaran dengan pusat di (−1, 2) yang menyinggung sumbu Y adalah ….

Penyelesaian:

(𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 2)2 = (−1)2

⇒ 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0

4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 3𝑥 − 4𝑦 − 2 = 0 adalah ….

Penyelesaian:

Pusat (𝑥1, 𝑦1) = (1, 4)

Garis 3𝑥 − 4𝑦 − 2 = 0, dengan 𝑎 = 3, 𝑏 = −4, dan 𝑐 = −2.

Persamaan lingkaran dengan pusat (𝑥1, 𝑦1) menyinggung garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 adalah:

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = [𝑎𝑥1+𝑏𝑦1+𝑐

√𝑎2+𝑏2]2

⇒ (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 4)2 = [3(1) − 4(4) − 2

√32 + 42]

2

⇔ 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦2 − 8𝑦 + 16 = 9

⇔ 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 8𝑦 + 8 = 0



Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di lingkaran.

Ingat konsep PGS dapat dilihat dari bentuk persamaan lingkarannya.

Pangkat dua diubah menjadi perkalian dua faktor.

Pangkat satu, diubah menjadi setengah penjumlahan.

Contoh:

1. Persamaan garis singgung lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 25 di titik (4, −3) adalah ….

Penyelesaian:

𝑥1 = 4 dan 𝑦1 = −3

Ingat, ganti 𝑥2 menjadi 𝑥1𝑥, dan 𝑥 menjadi (𝑥1+𝑥

2).

𝑥2 + 𝑦2 = 25⇒ 𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 = 25

Sehingga persamaan garis singgungnya adalah:

4𝑥 − 3𝑦 = 25

2. Persamaan garis singgung lingkaran (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 4)2 = 25 di titik (−2, 0) adalah ….

Penyelesaian:

𝑥1 = −2 dan 𝑦1 = 0


2).

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 4)2 = 25

⇒ (𝑥1 − 1)(𝑥 − 1) + (𝑦1 − 4)(𝑦 − 4) = 25


(−2 − 1)(𝑥 − 1) + (0 − 4)(𝑦 − 4) = 25

⇒ (−3)(𝑥 − 1) + (−4)(𝑦 − 4) = 25⇔ −3𝑥 − 4𝑦 − 6 = 0

3. Persamaan garis singgung lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah ….

Penyelesaian:

𝑥1 = 7 dan 𝑦1 = 1


2).

𝑥2 + 𝑦2 − 6 𝑥 + 4 𝑦 − 12 = 0

⇒ 𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 − 6 (𝑥1 + 𝑥22

) + 4 (𝑦1 + 𝑦

2) − 12 = 0


7𝑥 + 𝑦 − 3(7 + 𝑥) + 2(1 + 𝑦) − 12 = 0⇒ 4𝑥 + 3𝑦 − 31 = 0



Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di luar lingkaran.

1. Persamaan garis singgung lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 9 di titik (1, 3) adalah ….

Penyelesaian:

TRIK SUPERKILAT:

Lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari 𝑟 = 3.

Cek apakah titik (1, 3) berada di dalam atau di luar lingkaran (?).

𝑥2 + 𝑦2 = 9 ⇒ (1)2 + (3)2 = 10 > 9 (maka titik berada di luar lingkaran)

Gunakan rumus berikut:

𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 +𝑚2

⇒ 3 = 𝑚(1) ± 3√1 +𝑚2

⇔ 3−𝑚 = ±3√1 +𝑚2 (kuadratkan kedua ruas)

⇔ 9 − 6𝑚 +𝑚2 = 9 + 9𝑚2

⇔ 8𝑚2 + 6𝑚 = 0⇔ 2𝑚(4𝑚 + 3) = 0

∴ 𝑚 = 0 atau 𝑚 = −3

4

Melalui (1 ,3) dan gradien 𝑚 = 0

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 3 = 0(𝑥 − 1)𝑦 = 3

Melalui (1 ,3) dan gradien 𝑚 = −3

4

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 3 = −3

4(𝑥 − 1)

4𝑦 − 12 = −3𝑥 + 33𝑥 + 4𝑦 = 15



Menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar atau tegak lurus terhadap sebuah garis.

1. Persamaan garis singgung lingkaran (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 5)2 = 80 yang sejajar dengan garis 𝑦 −2𝑥 + 5 = 0 adalah ….

Penyelesaian:

Trik Superkilat:

Sesuaikan sejajar apa nggak?

Masukkan substitusikan pusat

± Rumus substitusikan jari-jari dan koefisien

Lingkaran pusat (3, −5) dan jari-jari 𝑟 = √80

PGS yang sejajar 𝑦 − 2𝑥 + 5 = 0 adalah 𝑦 − 2𝑥 juga!!!

𝑦 − 2𝑥 = (−5) − 2(3) ± √80 √12 + (−2)2

⇒ 𝑦 − 2𝑥 = −11 ± 20⇔ 𝑦 = 2𝑥 − 11 ± 20

2. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 8𝑦 + 15 = 0 yang tegak lurus garis 𝑥 + 2𝑦 = 6 adalah ….

Penyelesaian:

Trik Superkilat:

Lingkaran pusat (2, 4) jari-jari 𝑟 = √5

PGS yang sejajar 𝑥 + 2𝑦 = 6 adalah 𝑥 + 2𝑦 harus diubah menjadi 2𝑥 − 𝑦 !!!

2𝑥 − 𝑦 = 2(2) − (4) ± √5 √(2)2 + (1)2

⇒ 2𝑥 − 𝑦 = 0 ± 5⇔ 2𝑥 − 𝑦 = 5 dan 2𝑥 − 𝑦 = −5

PGS lingkaran pusat (𝑥1, 𝑦1) jari-jari 𝑟 yang sejajar dengan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 ± 𝑟√𝑎2 + 𝑏2




1. Lingkaran L 93122 yx memotong garis .3y Garis singgung lingkaran yang melalui titik

potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ....

A. 2x dan 4x

B. 2x dan 2x

C. 2x dan 4x

D. 2x dan 4x

E. 8x dan 10x


Memotong garis 𝑦 = 3 𝑦 = 3 ⇒ (𝑥 + 1)2 + (3 − 3)2 = 9

⇔ (𝑥 + 1)2 = 9⇔ 𝑥 + 1 = ±3⇔ 𝑥 + 1 = −3 atau 𝑥 + 1 = 3⇔ 𝑥1 = −4 𝑥2 = 2

Jadi titik potongnya di (−4, 3) dan (2, 3)

PGS lingkaran (𝑥1 + 𝑎)(𝑥 + 𝑎) + (𝑦1 + 𝑏)(𝑦 + 𝑏) = 𝑟

2 (−4, 3) ⇒ (−4 + 1)(𝑥 + 1) + 0 = 9

⇔ −3𝑥 − 3 = 9⇔ 𝑥 = −4

(2, 3) ⇒ (2 + 1)(𝑥 + 1) + 0 = 9⇔ 3𝑥 + 3 = 9⇔ 𝑥 = 2

TRIK SUPERKILAT: Gunakan sketsa lingkaran

𝑦 = 3

𝑥 = 2 𝑥 = −4






2. 6. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema sisa atau teorema faktor.

Polinomial (Suku Banyak) 𝑭(𝒙) = 𝒂𝒏𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐𝒙𝒏−𝟐 + … + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎

Nilai Suku Banyak

Jika diketahui 𝐹(𝑥) = 2𝑥3 − 5𝑥2 + 𝑥 − 3 Tentukan nilai 𝐹(𝑥) untuk 𝑥 = 3 !

Cara Biasa Cara Horner “Substitusi 𝒙” “Kalikan miring-miring” 𝐹(3) = 2(3)2 − 5(3)2 + (3) − 3

= 54 − 45 + 3 − 3= 9

𝑥 = 3 2 −5 −1 −3−6 3 12

2 1 4 9

Pembagian Suku Banyak

Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian 2𝑥3 − 5𝑥2 + 𝑥 − 3 oleh 𝑥 − 3!

Cara Biasa Cara Horner “Porogapit” “Kalikan miring-miring” 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟐 + 4𝑥 −

𝒙 − 𝟑 2𝑥3 − 5𝑥2 + 𝑥 − 3 −2𝑥3 − 6𝑥2 −

𝑥2 + 𝑥 − 𝑥2 − 3𝑥 −

− 4𝑥 − 3 − − 4𝑥 − 12 −

− − 𝟗 −

𝒙 − 𝟑 = 𝟎𝒙 = 𝟑 2 −5 −1 −3

−6 3 12

𝟐 𝟏 𝟒 𝟗

hasil bagi sisa 2𝑥2 + 𝑥 + 4 9

Jadi 𝐹(3) = 9



Tips mengingat konsep pembagian suku banyak! Jika 7 dibagi 2, hasilnya 3, tapi masih sisa 1. Jadi 𝟕 = 𝟐 ∙ 𝟑 + 𝟏

Yang dibagi = pembagi × hasil bagi + sisa

𝑭(𝒙) = 𝑷(𝒙) ∙ 𝑯(𝒙) + 𝑺(𝒙)

Inti permasalahannya pembagian suku banyak adalah:

Gimana kalau pembaginya adalah nol? dan

Gimana kalau sisa pembagian adalah nol?

Suku Banyak

Teorema Sisa Teorema Faktor

𝐹(𝑥) = 𝑷(𝒙) ∙ 𝐻(𝑥) + 𝑆(𝑥)

𝐹(𝑥) = (𝒙 − 𝒂) ∙ 𝐻(𝑥) + 𝑆(𝑥)

𝐹(𝒂) = 𝟎 ∙ 𝐻(𝒂) + 𝑆(𝒂)

𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥) ∙ 𝐻(𝑥) + 𝑺(𝒙)

𝐹(𝒌) = (𝑥 − 𝒌) ∙ 𝐻(𝒌) + 𝑺(𝒌)

𝐹(𝒌) = (𝑥 − 𝒌) ∙ 𝐻(𝒌) + 𝟎

𝐹(𝒂) = 𝑆(𝒂) 𝐹(𝑥) = (𝑥 − 𝑘) ∙ 𝐻(𝑥)

Jika suku banyak di bagi (𝑥 − 𝑎) (𝑥 − 𝑘) adalah faktor suku banyak maka sisanya adalah 𝐹(𝑎) jika dan hanya jika 𝐹(𝑘) = 0 Artinya: Artinya: Jika 𝐹(𝑥) dibagi oleh (𝑥 − 𝑎) maka sisanya adalah 𝐹(𝑎) Jika (𝑥 − 𝑘) adalah faktor dari 𝐹(𝑥), maka 𝐹(𝑘) = 0

Jika 𝐹(𝑥) dibagi oleh (𝑎𝑥 + 𝑏) maka sisanya adalah 𝐹 (−𝑏

𝑎) Jika 𝐹(𝑘) = 0, maka (𝑥 − 𝑘) merupakan faktor dari 𝐹(𝑥)

Derajat sisa selalu satu kurangnya dari derajat pembagi 𝐹(𝑥) dibagi (𝑥 − 𝑎) sisanya 𝑝 𝐹(𝑥) dibagi (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) sisanya 𝑝𝑥 + 𝑞

3

2 7

6

1



TRIK SUPERKILAT Contoh Soal: Tentukan sisa pembagian suku banyak 𝑥3 − 6𝑥 − 5 oleh 𝑥2 − 2𝑥 − 3 ! Penyelesaian: Karena 𝑥2 − 2𝑥 − 3 bisa difaktorkan menjadi (𝑥 + 1)(𝑥 − 3), maka sisa pembagian suku banyak bisa kita cari menggunakan konsep teorema sisa.

Mari kita kerjakan: 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 1), artinya sisanya adalah 𝑓(−1) = 0 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 − 3), artinya sisanya adalah 𝑓(3) = 4

Susun dalam susunan seperti matriks.

|−1 03 4

| Maka sisa pembagiannya adalah:

(𝒔𝒆𝒍𝒊𝒔𝒊𝒉 𝒌𝒐𝒍𝒐𝒎 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒂𝒎𝒂)𝑆(𝑥) = (𝒔𝒆𝒍𝒊𝒔𝒊𝒉 𝒌𝒐𝒍𝒐𝒎 𝒌𝒆𝒅𝒖𝒂)𝑥 + (𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒌𝒔)

((−1) − (3)) 𝑆(𝑥) = (0 − 4) 𝑥 + ((−4) − (0))

−4 𝑆(𝑥) = −4𝑥 + (−4)

𝑆(𝑥) = 𝑥 + 1

Jadi sisa pembagian 𝑥3 − 6𝑥 − 5 oleh 𝑥2 − 2𝑥 − 3 adalah 𝑥 + 1.

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dengan cara Horner Modifikasi: Perhatikan pembagi:

𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0⇔ 𝑥2 = 2𝑥 + 3

Maka hasil bagi dan sisa pembagian bisa diperoleh dengan memodifikasi cara Horner menjadi:

1 −0 −6 −5

3 3 6

2 2 4

𝟏 𝟐 𝟏 𝟏

Jadi sisa pembagian 𝑥3 − 6𝑥 − 5 oleh 𝑥2 − 2𝑥 − 3 adalah 𝑥 + 1.

hasil bagi sisa 𝑥 + 2 𝑥 + 1



Contoh Soal:

Suku banyak 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 1) sisanya 10 dan jika dibagi (2𝑥 − 3) sisanya 5. Jika suku banyak 𝑓(𝑥) dibagi (2𝑥2 − 𝑥 − 3), sisanya adalah …. Penyelesaian: Ingat jika pembaginya berderajat 2, maka sisanya adalah suku banyak berderajat 1.

Jika suku banyak 𝑓(𝑥) dibagi (2𝑥2 − 𝑥 − 3), sisanya adalah 𝑝𝑥 + 𝑞. Ingat sisa pembagian suku banyak oleh (𝑥 − 𝑎) adalah 𝑓(𝑎).

Dan sisa pembagian suku banyak oleh (𝑎𝑥 + 𝑏) adalah 𝑓 (−𝑏

𝑎).

Mari kita kerjakan:

𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 1) sisa 10, artinya 𝑓(−1) = 10

𝑓(𝑥) dibagi (2𝑥 − 3) sisa 5, artinya 𝑓 (3

2) = 5

Susun dalam susunan seperti matriks.

|−1 10

3

25 |

Maka sisa pembagiannya adalah:

(𝒔𝒆𝒍𝒊𝒔𝒊𝒉 𝒌𝒐𝒍𝒐𝒎 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒂𝒎𝒂)𝑆(𝑥) = (𝒔𝒆𝒍𝒊𝒔𝒊𝒉 𝒌𝒐𝒍𝒐𝒎 𝒌𝒆𝒅𝒖𝒂)𝑥 + (𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒌𝒔)

((−1) − (3

2)) 𝑆(𝑥) = (10 − 5) 𝑥 + ((−5) − (15))

−5

2𝑆(𝑥) = 5𝑥 + (−20)

𝑆(𝑥) = −2𝑥 + 8

Jadi sisa pembagian 𝑓(𝑥) dibagi (2𝑥2 − 𝑥 − 3) adalah −2𝑥 + 8.

Contoh TRIK SUPERKILAT yang lain masih diketik… Selalu update di http://pak-anang.blogspot.com





1. Suku banyak berderajat 3, jika dibagi 62 xx bersisa ,25 x jika dibagi 322 xx bersisa

.43 x Suku banyak tersebut adalah ....

A. 42 23 xxx

B. 42 23 xxx

C. 42 23 xxx

D. 42 23 xx

E. 42 23 xx

2. Suku banyak berderajat 3, jika dibagi 322 xx bersisa ,43 x jika dibagi 22 xx bersisa

.32 x Suku banyak tersebut adalah ....

A. 1223 xxx B. 1223 xxx C. 1223 xxx D. 12 23 xxx E. 12 23 xxx

3. Suatu suku banyak berderajat 3 jika dibagi 232 xx bersisa 64 x dan jika dibagi 62 xx bersisa

108 x Suku banyak tersebut adalah ....

A. 432 23 xxx B. 423 23 xxx C. 732 23 xxx D. 7822 23 xxx E. 91042 23 xxx


TRIK SUPERKILAT: 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) bersisa (5𝑥 − 2) Artinya: 𝑓(−2) = 5(−2) − 2 = −12

𝑓(3) = 5(3) − 2 = 13

𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) bersisa (3𝑥 + 4) Artinya: 𝑓(−1) = 3(−1) + 4 = 1

𝑓(3) = 3(3) + 4 = 13

Misal kita pilih satu fungsi saja, 𝑓(−1) = 1 Jadi, pilih diantara jawaban dimana jika disubstitusikan 𝑥 = −1 maka hasilnya adalah 1. Dan ternyata hanya dipenuhi oleh jawaban D saja.

TRIK SUPERKILAT: 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) bersisa (3𝑥 − 4) Artinya: 𝑓(−3) = 3(−3) − 4 = −13

𝑓(1) = 3(1) − 4 = −1

𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) bersisa (2𝑥 + 3) Artinya: 𝑓(−1) = 2(−1) + 3 = 1

𝑓(3) = 2(3) + 3 = 9

Misal kita pilih satu fungsi saja, 𝑓(1) = −1 Jadi, pilih diantara jawaban dimana jika disubstitusikan 𝑥 = 1 maka hasilnya adalah −1. Dan ternyata hanya dipenuhi oleh

jawaban B saja.

TRIK SUPERKILAT: 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) bersisa (4𝑥 − 6) Artinya: 𝑓(1) = 4(1) − 6 = −2

𝑓(2) = 4(2) − 6 = 2

𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) bersisa (8𝑥 − 10) Artinya: 𝑓(−2) = 8(−2) − 10 = −26

𝑓(3) = 8(3) − 10 = 14

Misal kita pilih satu fungsi saja, 𝑓(1) = −2 Jadi, pilih diantara jawaban dimana jika disubstitusikan 𝑥 = 1 maka hasilnya adalah −2. Dan ternyata hanya dipenuhi oleh

jawaban A saja.






2. 7. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan komposisi dua fungsi atau fungsi invers.

Fungsi Komposisi

Definisi Sifat Tidak Komutatif (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) ≠ (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) Assosiatif (𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ))(𝑥) = ((𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ)(𝑥)

Identitas (𝑓 ∘ 𝐼)(𝑥) = (𝐼 ∘ 𝑓)(𝑥)

(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))

Fungsi Invers

Definisi Sifat “Identitas” (𝑓 ∘ 𝑓−1) = (𝑓−1 ∘ 𝑓) = 𝐼 “Invers Komposisi itu Dibalik” (𝑓 ∘ 𝑔)−1 = (𝑔−1 ∘ 𝑓−1) (𝑔 ∘ 𝑓)−1 = (𝑓−1 ∘ 𝑔−1) “Penyusun Komposisi” (𝑓 ∘ 𝑔) = ℎ ⇒ 𝑓 = (ℎ ∘ 𝑔−1) (𝑓 ∘ 𝑔) = ℎ ⇒ 𝑔 = (𝑓−1 ∘ ℎ)

TRIK SUPERKILAT TRIK SUPERKILAT “Balik Operasi, Balik Urutan” “Hilangkan Yang Lain” +

↔ −

× ↔ ÷

𝑎2 ↔ √𝑎

𝑎 log 𝑥 ↔ 𝑎𝑥

(𝑓 ∘ 𝑔) = ℎ

⇒ 𝑓 ∘ 𝑔 ∘ 𝒈−𝟏⏟ 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡𝑎𝑠

= ℎ ∘ 𝒈−𝟏

⇒ 𝑓 = ℎ ∘ 𝑔−1

“Gambarkan”

=

𝑥 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑓(𝑥))

= (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)

𝑓 𝑔

𝑔 ∘ 𝑓

𝑥 = 𝑓−1(𝑥) 𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑓

𝑓−1

Grafik fungsi 𝑓(𝑥) dan 𝑓−1(𝑥) simetris terhadap garis 𝑦 = 𝑥

𝑓 𝑔−1

ℎ

𝑔 𝑓

ℎ



Tipe Soal yang Sering Muncul

Menyusun komposisi fungsi

Contoh Soal 1: Diketahui 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 2. Tentukan (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = ?

Penyelesaian: (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))

= 𝑓(𝑥2 − 5𝑥 + 2)

= 2(𝑥2 − 5𝑥 + 2) − 1

= 2𝑥2 − 10𝑥 + 4 − 1= 2𝑥2 − 10𝑥 + 3

Contoh Soal 2: Diketahui 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 2. Tentukan (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = ?

Penyelesaian: (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))

= 𝑔(2𝑥 − 1)

= (2𝑥 − 1)2 − 5(2𝑥 − 1) + 2

= 4𝑥2 − 4𝑥 + 1 − 10𝑥 + 5 + 2= 4𝑥2 − 14𝑥 + 3

Menentukan nilai komposisi fungsi

Contoh Soal 1: Diketahui 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 2. Tentukan (𝑓 ∘ 𝑔)(5) = ?

Penyelesaian: (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))

= 𝑓(𝑥2 − 5𝑥 + 2)

= 2(𝑥2 − 5𝑥 + 2) − 1

= 2𝑥2 − 10𝑥 + 4 − 1= 2𝑥2 − 10𝑥 + 3

Jadi, (𝑓 ∘ 𝑔)(5) = 2(5)2 − 10(5) + 3 = 50 − 50 + 3 = 3 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena 𝑔(5) = 2, maka: 𝑓(𝑔(5)) = 𝑓(2) = 3

Contoh Soal 2: Diketahui 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 2. Tentukan (𝑔 ∘ 𝑓)(−1) = ?

Penyelesaian: (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))

= 𝑔(2𝑥 − 1)

= (2𝑥 − 1)2 − 5(2𝑥 − 1) + 2

= 4𝑥2 − 4𝑥 + 1 − 10𝑥 + 5 + 2= 4𝑥2 − 14𝑥 + 8

Jadi, (𝑔 ∘ 𝑓)(−1) = 4(−1)2 − 14(−1) + 8 = 4 + 14 + 8 = 26 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena 𝑓(−1) = −3, maka: 𝑔(𝑓(−1)) = 𝑔(−3) = 26



Menentukan fungsi pembentuk komposisi Contoh Soal 1: Diketahui (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 3𝑥 + 2 dan 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1, maka 𝑔(𝑥) = ?

Penyelesaian:

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 3𝑥 + 2

𝑓(𝑔(𝑥)) = 3𝑥 + 2

3𝑔(𝑥) − 1 = 3𝑥 + 2 3𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 2 + 1 3𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 3

𝑔(𝑥) =3𝑥 + 3

3

𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena 𝑓 ∘ 𝑔 = ℎ, maka 𝑔 = 𝑓−1 ∘ ℎ.

Jadi 𝑔(𝑥) = 𝑓−1(ℎ(𝑥)), artinya substitusikan fungsi komposisi ℎ ke fungsi 𝑓−1.

Invers akan dibahas nanti.

Contoh Soal 2: Diketahui (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 3𝑥 + 2 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1, maka 𝑓(𝑥) = ?

Penyelesaian:

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 3𝑥 + 2

𝑓(𝑔(𝑥)) = 3𝑥 + 2

𝑓(𝑥 + 1) = 3𝑥 + 2⏟ 𝑚𝑢𝑛𝑐𝑢𝑙𝑘𝑎𝑛𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 (𝑥+1)

𝑓(𝑥 + 1) = 3(𝑥 + 1) − 1 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena 𝑓 ∘ 𝑔 = ℎ, maka 𝑓 = ℎ ∘ 𝑔−1.

Jadi 𝑓(𝑥) = ℎ(𝑔−1(𝑥)), artinya substitusikan fungsi 𝑔−1 ke fungsi komposisi ℎ.

Invers akan dibahas nanti. Contoh Soal 3: Diketahui (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 2𝑥2 − 10𝑥 + 3 dan 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, maka 𝑔(𝑥) = ?

Penyelesaian:

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 2𝑥2 − 10𝑥 + 3 𝑓(𝑔(𝑥)) = 2𝑥2 − 10𝑥 + 3

2𝑔(𝑥) − 1 = 2𝑥2 − 10𝑥 + 3 2𝑔(𝑥) = 2𝑥2 − 10𝑥 + 4

3𝑔(𝑥) =2𝑥2 − 10𝑥 + 3

2

𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 2

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena 𝑓 ∘ 𝑔 = ℎ, maka 𝑔 = 𝑓−1 ∘ ℎ. Jadi 𝑔(𝑥) = 𝑓−1(ℎ(𝑥)), artinya substitusikan fungsi komposisi ℎ ke fungsi 𝑓−1.




Contoh Soal 4: Diketahui (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 2𝑥2 − 10𝑥 + 3 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 2, maka 𝑓(𝑥) = ?

Penyelesaian:

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 2𝑥2 − 10𝑥 + 3

𝑓(𝑔(𝑥)) = 2𝑥2 − 10𝑥 + 3

𝑓(𝑥2 − 5𝑥 + 2) = 2𝑥2 − 10𝑥 + 3⏟ 𝑚𝑢𝑛𝑐𝑢𝑙𝑘𝑎𝑛

𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 (𝑥2−5𝑥+2)

𝑓(𝑥2 − 5𝑥 + 2) = 2(𝑥2 − 5𝑥 + 2) − 1 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena 𝑓 ∘ 𝑔 = ℎ, maka 𝑓 = ℎ ∘ 𝑔−1. Jadi 𝑓(𝑥) = ℎ(𝑔−1(𝑥)), artinya substitusikan fungsi 𝑔−1 ke fungsi komposisi ℎ.


Contoh Soal 5: Diketahui (𝑔 ∘ 𝑓)(x) = 4𝑥2 − 14𝑥 + 8 dan 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, maka 𝑔(𝑥) = ?

Penyelesaian:

(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 4𝑥2 − 14𝑥 + 8 𝑔(𝑓(𝑥)) = 4𝑥2 − 14𝑥 + 8

𝑔(2𝑥 − 1) = 𝟒𝒙𝟐 − 14𝑥 + 8⏟ 𝑚𝑢𝑛𝑐𝑢𝑙𝑘𝑎𝑛𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 (2𝑥−1)

𝑔(2𝑥 − 1) = (𝟐𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟏 − 14𝑥 + 8 𝑔(2𝑥 − 1) = (2𝑥 − 1)2 − 𝟏𝟎𝒙 + 7 𝑔(2𝑥 − 1) = (2𝑥 − 1)2 − 𝟓(𝟐𝒙 − 𝟏) − 𝟓 + 7 𝑔(2𝑥 − 1) = (2𝑥 − 1)2 − 5(2𝑥 − 1) + 2

𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 2

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena 𝑔 ∘ 𝑓 = ℎ, maka 𝑔 = ℎ ∘ 𝑓−1. Jadi 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑓−1(𝑥)), artinya substitusikan fungsi 𝑓−1 ke fungsi komposisi ℎ.


𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 (2𝑥 − 1)2 = 4𝑥2 − 4𝑥 + 1, 𝑚𝑎𝑘𝑎 4𝑥2 = (2𝑥 − 1)2 + 4𝑥 − 1)

𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 − 5(2𝑥 − 1) = −10𝑥 + 5, 𝑚𝑎𝑘𝑎 − 10𝑥 = −5(2𝑥 − 1) − 5



Menentukan Invers Fungsi Contoh Soal 1: Jika 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, tentukan 𝑓−1(𝑥)!

Penyelesaian: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 𝑦 = 2𝑥 − 1 2𝑥 = 𝑦 + 1

𝑥 =𝑦 + 1

2

𝑓−1(𝑥) =𝑥 + 1

2

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Perhatikan 𝑦 = 2𝑥 − 1, Urutan operasi yang dilakukan terhadap 𝑥 adalah: 1. Dikalikan 2 2. Dikurangi 1 Maka operasi invers adalah BALIK OPERASI DAN BALIK URUTAN: 1. Ditambah 1 2. Dibagi 2 Sehingga:

𝑓−1(𝑥) =𝑥 + 1

2

Contoh Soal 2: Jika 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3, tentukan 𝑔−1(𝑥)!

Penyelesaian: 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3

𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3

𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4 − 1

𝑦 = (𝑥 − 2)2 − 1

(𝑥 − 2)2 = 𝑦 + 1

𝑥 − 2 = √𝑦 + 1

𝑥 = √𝑦 + 1 + 2

𝑓−1(𝑥) = √𝑥 + 1 + 2

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 ubah dulu menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna, sehingga menjadi 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 2)2 − 1. Urutan operasi yang dilakukan terhadap 𝑥 adalah: 1. Dikurangi 2 2. Dikuadratkan 3. Dikurangi 1 Maka operasi invers adalah BALIK OPERASI DAN BALIK URUTAN: 1. Ditambah 1 2. Diakar kuadrat 3. Ditambah 2 Sehingga:

𝑓−1(𝑥) = √𝑥 + 1 + 2



Contoh Soal 3:

𝑓(𝑥) =3𝑥 + 5

2𝑥 + 1

Tentukan 𝑓−1(𝑥)!

Penyelesaian:

𝑓(𝑥) =3𝑥 + 5

2𝑥 + 4

𝑦 =3𝑥 + 5

2𝑥 + 4𝑦(2𝑥 + 4) = 3𝑥 + 52𝑥𝑦 + 4𝑦 = 3𝑥 + 52𝑥𝑦 − 3𝑥 = −4𝑦 + 5

𝑥(2𝑦 − 3) = −4𝑦 + 5

𝑥 =−4𝑦 + 5

2𝑦 − 3

𝑓−1(𝑥) =−4𝑥 + 5

2𝑥 − 3

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

𝑓(𝑥) =𝑎𝑥 + 𝑏

𝑐𝑥 + 𝑑⇒ 𝑓−1(𝑥) =

−𝑑𝑥 + 𝑏

𝑐𝑥 − 𝑎

Tukarkan dan ubah tanda diagonal utama.

𝑓(𝑥) =3𝑥 + 5

2𝑥 + 4⇒ 𝑓−1(𝑥) =

−4𝑥 + 5

2𝑥 − 3




1. Diketahui fungsi 13)( xxf dan .32)( 2 xxg Komposisi fungsi ))(( xfg ....

A. 139 2 xx

B. 369 2 xx

C. 669 2 xx

D. 21218 2 xx

E. 11218 2 xx

2. Diketahui fungsi 32)( xxf dan .32)( 2 xxxg Komposisi fungsi ))(( xfg ....

A. 942 2 xx

B. 342 2 xx

C. 1864 2 xx

D. xx 84 2

E. xx 84 2

3. Diketahui fungsi 12)( xxf dan .4)( 2 xxxg Komposisi fungsi ))(( xgf ....

A. 282 2 xx

B. 282 2 xx

C. 182 2 xx

D. 282 2 xx

E. 182 2 xx


(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))

= 𝑔(3𝑥 − 1)

= 2(3𝑥 − 1)2 − 3

= 2(9𝑥2 − 6𝑥 + 1) − 3

= 18𝑥2 − 12𝑥 + 2 − 3= 18𝑥2 − 12𝑥 − 1

TRIK SUPERKILAT: (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) artinya substitusikan 𝑓(𝑥) ke 𝑔(𝑥). Coba ah iseng saya substitusikan 𝑥 = 0 ke 𝑓(𝑥), ternyata hasilnya 𝑓(𝑥) = −1. Iseng lagi ah, saya substitusikan 𝑥 = −1 ke 𝑔(𝑥), Ternyata hasilnya 𝑔(−1) = −1. Lalu saya substitusikan 0 ke semua pilihan jawaban. Mana yang hasilnya −1? Ternyata jawaban E saja!

(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))

= 𝑔(2𝑥 − 3)

= (2𝑥 − 3)2 + 2(2𝑥 − 3) − 3

= (4𝑥2 − 12𝑥 + 9) + (4𝑥 − 6) − 3

= 4𝑥2 − 8𝑥

TRIK SUPERKILAT: (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) artinya substitusikan 𝑓(𝑥) ke 𝑔(𝑥). Coba ah iseng saya substitusikan 𝑥 = 1 ke 𝑓(𝑥), ternyata hasilnya 𝑓(1) = −1. Iseng lagi ah, saya substitusikan 𝑥 = −1 ke 𝑔(𝑥), ternyata hasilnya 𝑔(−1) = −4. Lalu saya substitusikan 1 ke semua pilihan jawaban. Mana yang hasilnya −4? Ternyata hanya dipenuhi oleh jawaban E saja!

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))

= 𝑓(𝑥2 − 4𝑥)

= 2(𝑥2 − 4𝑥) + 1

= 2𝑥2 − 8𝑥 + 1

TRIK SUPERKILAT: (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) artinya substitusikan 𝑔(𝑥) ke 𝑓(𝑥). Coba ah iseng saya substitusikan 𝑥 = 0 ke 𝑔(𝑥), ternyata hasilnya 𝑔(0) = 0. Iseng lagi ah, saya substitusikan 𝑥 = 0 ke 𝑓(𝑥), ternyata hasilnya 𝑓(0) = 1. Lalu saya substitusikan 0 ke semua pilihan jawaban. Mana yang hasilnya 1? Ternyata hanya dipenuhi oleh jawaban C saja!






2. 8. Menyelesaikan masalah program linear.

Program Linear

Definisi Langkah Penyelesaian Sebuah metode yang digunakan untuk 1. Buat model matematika. memecahkan masalah yang berkaitan 2. Lukis grafik model matematika. dengan optimasi linear (nilai optimum) 3. Tentukan daerah penyelesaian. 4. Cari titik pojok daerah penyelesaian. 5. Substitusi titik pojok ke fungsi objektif. 6. Pilih nilai optimum. Konsep yang dibutuhkan

Pertidaksamaan Linear Contoh Soal Program Linear Dua Variabel dan Penyelesaiannya 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≥ 𝑎𝑏 Sebuah area parkir dengan luas 3.750 m2, dan maksimal hanya dapat ditempati 300 kendaraan yang terdiri atas sedan dan bus. Jika luas sebuah sedan 5 m2 dan bus 15 m2, biaya parkir sebuah sedan dan sebuah bus adalah Rp2.000 dan Rp5.000, maka berapa jumlah sedan dan bus yang parkir supaya pendapatan parkirnya menjadi maksimal!

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≤ 𝑎𝑏𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 ≤ 𝑝𝑞

𝑥 ≥ 0𝑦 ≥ 0

Model Matematika Sebuah area parkir dengan luas 3.750 m2, dan maksimal hanya dapat ditempati 300 kendaraan yang terdiri atas sedan dan bus. Jika luas sebuah sedan 5 m2 dan bus 15 m2, maka tentukanlah model matematikanya !

{

𝑥 + 𝑦 ≤ 300𝑥 + 3𝑦 ≤ 750, bentuk sederhana 5𝑥 + 15𝑦 ≤ 3750𝑥 ≥ 0, jumlah sedan tidak mungkin negatif

𝑦 ≥ 0, jumlah bus tidak mungkin negatif 𝑥, 𝑦 elemen bilangan cacah.

𝒂

𝒃 𝑥

𝑦

O

𝒑

𝒒 𝑥

𝑦

O

𝒂

𝒃

Sedan (𝑥)

Bus (𝑦)

Total

Banyak kendaraan 1 1 300 Luas kendaraan 5 15 3750

Sedan (𝑥)

Bus (𝑦)

Total

Banyak kendaraan 1 1 300 Luas kendaraan 5 15 3750

Biaya Parkir 2.000 5.000

Fungsi kendalanya:

{

𝑥 + 𝑦 ≤ 300𝑥 + 3𝑦 ≤ 750, bentuk sederhana 5𝑥 + 15𝑦 ≤ 3750𝑥 ≥ 0, jumlah sedan tidak mungkin negatif

𝑦 ≥ 0, jumlah bus tidak mungkin negatif 𝑥, 𝑦 elemen bilangan cacah.

Fungsi Objektif: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2.000𝑥 + 3.000𝑦 Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan: Titik potong garis 𝑥 + 𝑦 = 300 dan 𝑥 + 3𝑦 = 750: 𝑥 = 225 dan 𝑦 = 75 Jadi titik pojoknya adalah: (0, 0), (300, 0), (225, 75), dan (0, 250). Uji titik pojok: (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2.000𝑥 + 3.000𝑦 (0, 0) 2.000(0) + 3.000(0) = 0

(300, 0) 2.000(300) + 3.000(0) = 600.000 (225, 75) 2.000(225) + 3.000(75) = 675.000 (0, 250) 2.000(0) + 3.000(250) = 750.000

Jadi, pendapatan maksimal adalah Rp750.000 untuk parkir 250 bus.

𝟐𝟓𝟎

𝟕𝟓𝟎 𝑥

𝑦

O

𝟑𝟎𝟎

𝟑𝟎𝟎



TRIK SUPERKILAT: Dalam mengerjakan soal UN Matematika SMA, materi soal Program Linear memang tipe soal yang menghabiskan banyak waktu. Ya! Penyelesaian Program Linear ini membutuhkan perhitungan yang banyak dan perhitungannya harus dilakukan dengan cermat karena membutuhkan ketelitian tinggi dalam menggambar sketsa grafik, menguji titik untuk menemukan daerah penyelesaian pertidaksamaan, mencari titik potong dua garis, dan mensubstitusi titik pojok ke fungsi objektif untuk menemukan nilai optimum. Padahal waktu yang diberikan untuk setiap soal UN Matematika SMA itu hanya sekitar 3 menit saja! Penjabaran langkah dasarnya sebagai berikut:

Pertama, adik-adik harus mengubah soal cerita sehingga bisa dituliskan menjadi model matematika dari beberapa fungsi kendala yang membentuk sistem pertidaksamaan linear dan sebuah fungsi objektif. Kedua, adik-adik harus menggambarkan model matematika tersebut ke dalam bidang koordinat Cartesius. Ketiga, dari gambar grafik model matematika, adik-adik harus bisa menentukan daerah penyelesaian dari fungsi kendala dalam bidang koordinat Cartesius. Keempat, daerah penyelesaian dari fungsi kendala berbentuk poligon, dimana titik-titik sudutnya adalah titik pojok. Adik-adik perlu melihat apakah ada titik pojok yang berupa titik potong dua garis yang koordinatnya perlu dicari menggunakan teknik eliminasi dan substitusi dari kedua persamaan garis tersebut. Kelima, titik-titik pojok tersebut merupakan titik ekstrim yang akan kita periksa nilai fungsi objektifnya. Terakhir, nilai terbesar dari fungsi objektif adalah nilai maksimum, sedangkan nilai terkecil dari fungsi objektif adalah nilai minimum. Nah, jika terdapat dua titik pojok yang menghasilkan nilai fungsi objektif yang sama, maka penyelesaian nilai optimum terdapat pada sepanjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik pojok tersebut.

Perhatikan gambar di bawah: TRIK SUPERKILAT Model Matematika Grafik Max itu YEX Daerah Penyelesaian Urutkan perbandingan 𝑥 ∶ 𝑦 Titik Pojok Letak Fungsi Objektif Substitusi Titik Pojok Nilai Optimum Nah, sebenarnya metode TRIK SUPERKILAT memotong langkah dasar sampai di model matematika saja. Metode TRIK SUPERKILAT menggunakan modifikasi dari teori gradien untuk menyelesaikan program linear.

Pertama, apabila yang ditanyakan adalah nilai maksimum, maka tuliskan urutan Y-E-X. (Ingat MAX itu huruf akhirnya X, jadi yang ditulis juga harus berakhiran X). Kalau yang ditanyakan adalah nilai minimum, maka urutannya adalah X-E-Y. Kedua, urutkan nilai dari perbandingan koefisien 𝑥 dan koefisien 𝑦 dari semua fungsi kendala maupun fungsi objektif. Urutkan dari nilai yang terkecil menuju ke nilai terbesar. Terakhir lihat dimana letak perbandingan koefisien 𝑥 dan koefisien 𝑦 dari fungsi objektif.

Jika terletak di Y, maka nilai optimal berada di sumbu Y, substitusikan 𝑥 = 0 ke fungsi di sebelahnya. Jika terletak di E, maka nilai optimal berada di perpotongan antara kedua fungsi di sebelahnya. Jika terletak di X, maka nilai optimal berada di sumbu X, substitusikan 𝑦 = 0 ke fungsi di sebelahnya.




Menentukan nilai optimum fungsi objektif. Contoh Soal: Suatu perusahaan tas dan sepatu memerlukan 4 unsur A dan 6 unsur B perminggu untuk masing-masing hasil produksinya. Setiap tas memerlukan satu unsur A dan dua unsur B, setiap sepatu memerlukan dua unsur A dan dua unsur B. Bila setiap tas untungnya 3000 rupiah, setiap sepatu untungnya 2000 rupiah, maka banyak tas dan sepatu yang dihasilkan per minggu agar diperoleh untung yang maksimal adalah …. a. 2 sepatu b. 3 sepatu c. 3 tas d. 4 tas e. 2 tas dan 2 sepatu

Penyelesaian: Model Matematika

Tas (𝑥) Sepatu (𝑦) Total Unsur A 1 2 4 Unsur B 2 2 6 Untung 3000 2000

Fungsi kendala: 𝑥 + 2𝑦 ≤ 4 (perbandingan koefisien 𝑥 dan 𝑦 adalah 1/2) 2𝑥 + 2𝑦 ≤ 6 (perbandingan koefisien 𝑥 dan 𝑦 adalah 1) Fungsi objektif: maks 3000𝑥 + 2000𝑦 =…. (perbandingan koefisien 𝑥 dan 𝑦 adalah 3/2)

LANGSUNG MASUK KE LANGKAH TRIK SUPERKILAT: Memaksimumkan berarti Y-E-X!!!!!

Sumbu 𝑌 Eliminasi Sumbu 𝑋

Urutkan Perbandingan Koefisien X:Y

Cari perbandingan koefisien 𝑥 dan 𝑦 untuk masing-masing fungsi kendala dan objektif, lalu urutkan dari kecil ke besar.

Sumbu 𝑌 Eliminasi Sumbu 𝑋 1/2 1 3/2

Letak Fungsi Objektif

Perhatikan tabel tadi:

Sumbu 𝑌 Eliminasi Sumbu 𝑋 1/2 1 3/2

Karena fungsi objektif yang perbandingan koefisiennya adalah 3/2 terletak pada kolom Sumbu 𝑋, maka artinya nilai optimum adalah terletak di sumbu X untuk persamaan yang berada disebelahnya (yaitu persamaan dengan perbandingan koefisien bernilai 1) Artinya substitusikan 𝑦 = 0 untuk persamaan 2𝑥 + 2𝑦 = 6 2𝑥 + 2𝑦 = 6

2𝑥 + 2(0) = 6 𝑥 = 3

Jadi, agar keuntungan maksimal maka perusahaan tersebut haruslah menjual 3 tas. Jadi, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum keuntungan adalah Rp9.000,00.



Menentukan nilai optimum fungsi objektif, ada nilai perbandingan 𝒙 dan 𝒚 yang sama.

Contoh Soal : Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000,00 per biji dan tablet II Rp8.000,00 per biji, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah ….

Penyelesaian Cara Biasa: Model Matematika

Fungsi kendala: 5𝑥 + 10𝑦 ≥ 25; 3𝑥 + 𝑦 ≥ 5; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0, 𝑥, 𝑦 elemen bilangan cacah. Fungsi objektif: Minimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4.000𝑥 + 8.000𝑦

Grafik dan Daerah Penyelesaian Titik Pojok

Dua dari tiga titik pojok sudah bisa dilihat pada grafik yaitu (5, 0) dan (0, 5). Sementara satu titik pojok belum diketahui yaitu titik potong kedua garis. Menentukan titik potong kedua garis menggunakan metode eliminasi substitusi: 5𝑥 + 10𝑦 = 25 3𝑥 + 10𝑦 = 25 Substitusi 𝑦 = 2 ke salah satu persamaan: 3𝑥 + 𝑦 = 5 3𝑥 + 2 = 5

3𝑥 = 5 − 2 3𝑥 = 3

𝑥 =3

3

𝑥 = 1 Jadi titik potong kedua kurva adalah di titik (1, 2) Sehingga titik pojok adalah (5, 0), (1, 2), dan (0,5)

Substitusi Titik Pojok Substitusikan titik-titik pojok tersebut ke fungsi objektif untuk mencari titik manakah yang memiliki nilai objektif paling kecil.

Titik pojok (𝑥, 𝑦) Fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4.000𝑥 + 8.000𝑦 (5, 0) 4.000(5) + 8.000(0) = 20.000 + 12.000 = 20.000 (1, 2) 4.000(1) + 8.000(2) = 04.000 + 16.000 = 20.000 (0, 5) 4.000(0) + 8.000(5) = 20.000 + 40.000 = 40.000

Nilai Optimum

Dari tabel tersebut diperoleh nilai minimum fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) terjadi pada titik (5, 0) dan (1, 2) yaitu dengan pengeluaran sebesar Rp20.000,00.

5 X

Y

5

3

5

2,5

× 3 × 5

15𝑥 + 30𝑦 = 75 15𝑥 + 35𝑦 = 25

25𝑦 = 50

𝑦 =50

25

𝑦 = 2

TRIK SUPERKILAT: Tablet

I Tablet

II Jumlah Perbandingan

koef 𝑥 dan 𝑦 Vitamin

A 5 10 25 1/2

Vitamin B

3 1 5 3/1

Harga 4.000 8.000 1/2 Urutkan perbandingan dari kecil ke besar.

X E Y 1/2 1/2 2/2

Kesimpulan: Perhatikan perbandingan fungsi objektif yang bernilai 1/2 terdapat di X dan E, Di X, artinya nilai optimum diperoleh di perpotongan sumbu X dengan fungsi di dekatnya, yaitu fungsi kendala dengan perbandingan 1/2 . Di E, artinya nilai optimum juga diperoleh dari hasil titik potong antara fungsi kendala dengan perbandingan 1/2 dan 3/1.




1. Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 gr dan 30

gr. Sebuah kapsul mengandung 5 gr kalsium dan 2 gr zat besi, sedangkan sebuah tablet mengandung 2 gr

kalsium dan 2 gr zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp.1.000,00 dan harga sebuah tablet Rp.800,00, maka

biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak balita tersebut adalah ....

A. Rp12.000,00

B. Rp14.000,00

C. Rp18.000,00

D. Rp24.000,00

E. Rp36.000,00

2. Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung

dengan harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia

merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda

gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang

diterima pedagang adalah .... A. Rp13.400.000,00 B. Rp12.600.000,00 C. Rp12.500.000,00 D. Rp10.400.000,00 E. Rp8.400.000,00

3. Seorang ibu hendak membuat dua jenis kue. Kue jenis I memerlukan 40 gram tepung dan 30 gram gula.

Kue jenis II memerlukan 20 gram tepung dan 10 gram gula. Ibu hanya memiliki persediaan tepung

sebanyak 6 kg dan gula 4 kg. jika kue jenis I dijual dengan harga Rp4.000,00 dan kue jenis II dijual

dengan harga Rp1.600,00, maka pendapatan maksimum yang diperoleh ibu adalah .... A. Rp30.400,00 B. Rp48.000,00 C. Rp56.000,00 D. Rp59.200,00 E. Rp72.000,00


TRIK SUPERKILAT: Kapsul Tablet Jumlah Perbandingan

koef 𝑥 dan 𝑦 Kalsium 5 2 60 5/2 Zat Besi 2 2 30 2/2 Harga 1.000 800 10/8

Urutkan perbandingan dari kecil ke besar. X E Y

2/2 10/8 5/2

Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E. Artinya titik minimumnya berada di hasil eliminasi kedua fungsi kendala. (Gunakan metode determinan matriks)

𝑥 =|60 230 2

|

|5 22 2

|=60

6= 10; 𝑦 =

|5 602 30

|

|5 22 2

|=30

6= 5

Jadi nilai minimumnya adalah: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1.000(10) + 800(5) = Rp14.000,00

TRIK SUPERKILAT: (harga dalam ribuan rupiah) Sepeda

gunung Sepeda balap

Jumlah Perbandingan koef 𝑥 dan 𝑦

Jumlah 1 1 25 1/1 Harga 1.500 2.000 42.000 3/4

Untung 500 600 5/6 Urutkan perbandingan dari kecil ke besar.

Y E X 3/4 5/8 1/1

Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E (titik potong atau hasil eliminasi substitusi dua fungsi kendala) Gunakan metode determinan matriks

𝑥 =|25 1

42.000 2.000|

|1 1

1.500 2.000|=8.000

500= 16;

𝑥 + 𝑦 = 25 ⇒ 16 + 𝑦 = 25 ⇒ 𝑦 = 9;

Jadi nilai maksimum adalah: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 500(16) + 600(9) = Rp13.400

TRIK SUPERKILAT: Kue

jenis I Kue

jenis II Jumlah Perbandingan

koef 𝑥 dan 𝑦

Tepung 40 20 6.000 4/2 Gula 30 10 4.000 3/1

Harga 4.000 1.600 40/16 Urutkan perbandingan dari kecil ke besar.

Y E X 4/2 40/16 3/1

Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E (titik potong atau hasil eliminasi substitusi dua fungsi kendala) Gunakan metode determinan matriks

𝑥 =|6.000 204.000 10

|

|40 2030 10

|=−20.000

−200= 100;

30𝑥 + 10𝑦 = 4.000 ⇒ 3.000 + 10𝑦 = 4.000 ⇒ 𝑦 = 100;

Jadi nilai maksimum adalah: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4.000(100) + 1.600(100) = Rp560.000

Soal ini tidak ada jawabannya, mungkin maksudnya pilihan jawaban A, B, C, D, dan E kurang satu angka nol.






2. 9. Menyelesaikan operasi matriks.

Matriks

Bentuk Umum Operasi Aljabar Matriks

𝐴𝑚×𝑛 = (

𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22⋯

𝑎1𝑛

𝑎2𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛

)

Transpose Matriks “Tukar Baris Kolom”

𝐴 = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) ⇒ 𝐴𝑇 = (𝑎 𝑐𝑏 𝑑

)

Determinan Matriks 2 × 2 “Diagonal Utama – Diagonal Samping”


) ⇒ |𝐴| = |𝑎 𝑏𝑐 𝑑

| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

Invers Matriks 2 × 2 “Pembagian Matriks” 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1𝐴 = 𝐼


) ⇒ 𝐴−1 =1

|𝐴|(

𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎

)

Persamaan Matriks “Dikali Invers dari Kanan atau Kiri ???”

𝐴𝐵 = 𝐶 ⇒ { 𝐴 = 𝐴𝑩−𝟏

𝐵 = 𝑨−𝟏𝐶

Kesamaan Matriks

“Elemen yang Sama, Nilainya Sama”

(𝑎 𝑏1 −5

) = (3 −21 −5

) ⇒ { 𝑎 = 3𝑏 = −2

Penjumlahan Matriks

“Jumlahkan Elemen yang Sama”

(𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) + (𝑒 𝑓𝑔 ℎ

) = (𝑎 + 𝑒 𝑏 + 𝑓𝑐 + 𝑔 𝑑 + ℎ

)

Pengurangan Matriks

“Kurangkan Elemen yang Sama”

(𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) − (𝑒 𝑓𝑔 ℎ

) = (𝑎 − 𝑒 𝑏 − 𝑓𝑐 − 𝑔 𝑑 − ℎ

)

Perkalian Matriks dengan Skalar

“Kalikan dengan Semua Elemen”

𝑘 (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) = (𝑘𝑎 𝑘𝑏𝑘𝑐 𝑘𝑑

)

Perkalian Matriks dengan Matriks

“Syarat Harus Dipenuhi”

( )𝑚×𝒏

( )𝒏×𝑘

= ( )𝑚×𝑘

“Jumlah Perkalian Elemen Baris Kolom”

(𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) (𝑒 𝑓𝑔 ℎ

) = (𝑎𝑒 + 𝑏𝑔 𝑎𝑓 + 𝑏ℎ𝑐𝑒 + 𝑑𝑔 𝑐𝑓 + 𝑑ℎ

)

sama



TRIK SUPERKILAT: Dalam mengerjakan soal UN Matematika SMA, materi soal Matriks ini boleh dibilang yang paling mudah, asalkan menguasai betul konsep dasar dari Matriks itu sendiri. Mengapa? Karena hanya diperlukan perhitungan aljabar sederhana. Nah, untuk mempercepat proses perhitungan kita bisa menggunakan sifat-sifat dari Operasi Aljabar Matriks, Transpose Matriks, Determinan Matriks, dan Invers Matriks. Sifat Operasi Aljabar Matriks:

𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 𝐴 − 𝐵 ≠ 𝐵 − 𝐴 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴

Sifat Transpose Matriks:

(𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 (𝐴𝑇)𝑇 = 𝐴 (𝐴 ∙ 𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇 ∙ 𝐴𝑇 (𝑘𝐴)𝑇 = 𝑘𝐴𝑇

Sifat Determinan Matriks:

|𝐴𝑇| = |𝐴|

|𝐴−1| =1

|𝐴|

|𝐴 ∙ 𝐵| = |𝐴| ∙ |𝐵| 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐶 ⇒ |𝐴| ∙ |𝐵| = |𝐶|

|𝐴| ∙ |𝐵| = |𝐶| ⇒ |𝐵| =|𝐶|

|𝐴|

|(𝐴 ∙ 𝐵)−1| =1

|𝐵|∙

1

|𝐴|

Sifat Invers Matriks:

𝐴𝐴−1 = 𝐴−1𝐴 = 𝐼 (𝐴 ∙ 𝐵)−1 = 𝐵−1 ∙ 𝐴−1




Menentukan Operasi Aljabar Matriks. Contoh Soal 1:

Diketahui matriks-matriks 𝐴 = (−𝑐 21 0

), 𝐵 = (4 𝑎

𝑏 + 5 −6), 𝐶 = (

−1 30 2

), dan 𝐷 = (4 𝑏

−2 3)

Jika 2𝐴 − 𝐵 = 𝐶𝐷 maka nilai dari 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = …. a. −6 b. −2 c. 0 d. 1 e. 8

Penyelesaian:

2𝐴 − 𝐵 = 𝐶𝐷 ⇒ 2 (−𝑐 21 0

) − (4 𝑎

𝑏 + 5 −6) = (

−1 30 2

) (4 𝑏

−2 3)

⇔ (−2𝑐 4

2 0) − (

4 𝑎𝑏 + 5 −6

) = (−10 −𝑏 + 9−4 6

)

⇔ (−2𝑐 − 4 4 − 𝑎−3 − 𝑏 6

) = (−10 −𝑏 + 9−4 6

)

Dengan menggunakan konsep kesamaan matriks, diperoleh: −2𝑐 − 4 = −10 ⇒ −2𝑐 = −10 + 4

⇔ −2𝑐 = −6⇔ 𝑐 = 3

−3 − 𝑏 = −4 ⇒ −𝑏 = −4 + 3

⇔ −𝑏 = −1⇔ 𝑏 = 1

4 − 𝑎 = −𝑏 + 9 ⇒ 4 − 𝑎 = −(1) + 9

⇔ 4 − 𝑎 = 8⇔ −𝑎 = 8 − 4⇔ −𝑎 = 4⇔ 𝑎 = −4

Jadi nilai 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = (−4) + (1) + (3)

= 0



Menentukan Determinan Matriks. Contoh Soal 1:

Diketahui matriks 𝐴 = (3 20 5

), dan 𝐵 = (−3 −1

−17 0).

Jika 𝐴𝑡 = transpos matriks 𝐴 dan 𝐴𝑋 = 𝐵 + 𝐴𝑡, maka determinan matriks 𝑋= …. a. −6 b. −2 c. 0 d. 1 e. 8

Penyelesaian: 𝐴𝑋 = 𝐵 + 𝐴𝑡 ⇒ 𝑋 = 𝐴−1(𝐵 + 𝐴𝑡)

=1

|𝐴|𝐴𝑑𝑗(𝐴)(𝐵 + 𝐴𝑡)

=1

15(

5 −20 3

) ((−3 −1

−17 0) + (

3 02 5

))

=1

15(

5 −20 3

) (0 −1

−15 5)

=1

15(

30 −15−45 15

)

= (2 −1

−3 1)

Karena 𝑋 = (2 −1

−3 1), maka determinan matriks 𝑋 adalah :

|𝑋| = |2 −1

−3 1| = 2 − 3 = −1

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Sebenarnya metode yang digunakan dalam TRIK SUPERKILAT hampir sama dengan metode Basic Concept, hanya saja kita akan menggunakan sifat determinan untuk mempermudah langkah perhitungan determinan. Perhatikan langkah yang berwarna merah atau biru di bawah ini. 𝐴𝑋 = 𝐵 + 𝐴𝑡 ⇒ |𝐴||𝑋| = |𝐵 + 𝐴𝑡|

⇔ |𝑋| =|𝐵+𝐴𝑡|

|𝐴|

⇔ |𝑋| =|𝐵+𝐴𝑡|

|𝐴|

=−15

15

= −1

𝐾𝑖𝑡𝑎 𝑔𝑢𝑛𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑓𝑎𝑡 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠

𝑀𝑎𝑘𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑖 𝑙𝑒𝑏𝑖ℎ 𝑑𝑢𝑙𝑢 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠 (𝐵 + 𝐴𝑡)

𝑇𝑒𝑟𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎 𝐵 + 𝐴𝑡 = ((−3 −1

−17 0) + (

3 02 5

))

= (0 −1

−15 5)

𝐽𝑎𝑑𝑖, |𝐵 + 𝐴𝑡| = −15



Contoh Soal 2:

Diketahui matriks 𝐴 = (4 23 −4

), dan 𝐵 = (5 −32 1

).

Jika 𝐶𝐴 = 𝐵 dan 𝐶−1 adalah invers matriks 𝐶 maka determinan dari matriks 𝐶−1 = …. a. −2 b. −1 c. 1 d. 2 e. 3

Penyelesaian: 𝐶 ∙ 𝐴 = 𝐵 ⇒ 𝐶 = 𝐵 ∙ 𝐴−1

⇔ 𝐶−1 = (𝐵 ∙ 𝐴−1)−1

⇔ 𝐶−1 = 𝐴 ∙ 𝐵−1

= (4 23 −4

) ∙1

11(

1 3−2 5

)

=1

11(

4 23 −4

) (1 3

−2 5)

=1

11(

0 2211 −11

)

= (0 21 −1

)

Karena 𝐶−1 = (0 21 −1

), maka determinan matriks 𝐶−1 adalah :

|𝐶−1| = |0 21 −1

| = 0 − 2 = −2

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Sebenarnya metode yang digunakan dalam TRIK SUPERKILAT hampir sama dengan metode Basic Concept, hanya saja kita akan menggunakan sifat determinan untuk mempermudah langkah perhitungan determinan. Perhatikan langkah yang berwarna merah di bawah ini. 𝐶 ∙ 𝐴 = 𝐵 ⇒ 𝐶 = 𝐵 ∙ 𝐴−1

⇔ 𝐶−1 = (𝐵 ∙ 𝐴−1)−1

⇔ 𝐶−1 = 𝐴 ∙ 𝐵−1

⇔ |𝐶−1| =|𝐴|

|𝐵|

=−22

11= −2




1. Diketahui matriks A =

15

3 y, B =

63

5x dan C =

9

13

y.

Jika A + B – C =

4

58

x

x, maka nilai yxyx 2 adalah ....

A. 8

B. 12

C. 18

D. 20

E. 22


𝐴 + 𝐵 − 𝐶 = (8 5𝑥

−𝑥 −4)

⇒ (𝑥 + 6 𝑦 + 62 − 𝑦 −4

) = (8 5𝑥

−𝑥 −4)

⇔ 𝑥 + 6 = 8∴ 𝑥 = 2

⇔ 2 − 𝑦 = −𝑥∴ 𝑦 = 4

Substitusi 𝑥 = 2 dan 𝑦 = 4 𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 = 2 + 16 + 4 = 22






2. 10. Menyelesaikan operasi aljabar beberapa vektor dengan syarat tertentu.

Vektor

Notasi Vektor Operasi Aljabar Vektor

�⃗� = 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗 + 𝑎3�⃗⃗� = (

𝑎1

𝑎2

𝑎3

)

𝑘�⃗� = 𝑘𝑎1𝑖 + 𝑘𝑎2𝑗 + 𝑘𝑎3�⃗⃗� = (

𝑘𝑎1

𝑘𝑎2

𝑘𝑎3

)

𝑎1 komponen pada sumbu X 𝑎2 komponen pada sumbu Y 𝑎3 komponen pada sumbu Z

Panjang Vektor “Akar dari jumlah kuadrat”

|�⃗�| = √𝑎12 + 𝑎2

2 + 𝑎32

Vektor Posisi “Titik Koordinat = Komponen Vektor”

𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = �⃗� = (

𝑥𝑎

𝑦𝑎

𝑧𝑎

)

Vektor Pada Dua Titik “Belakang Kurangi Depan”

𝐴𝐵 = �⃗⃗� − �⃗� = (

𝑥𝑏 − 𝑥𝑎

𝑦𝑏 − 𝑦𝑎

𝑧𝑏 − 𝑧𝑎

)

𝐴(𝑥𝑎 , 𝑦𝑎 , 𝑧𝑎)

�⃗�

O


𝐵(𝑥𝑏, 𝑦𝑏 , 𝑧𝑏)

�⃗⃗�

−�⃗�

O

Penjumlahan Vektor

“Jumlahkan Komponen yang Sama”

�⃗� + �⃗⃗� = (

𝑎1

𝑎2

𝑎3

) + (

𝑏1

𝑏2

𝑏3

) = (

𝑎1 + 𝑏1

𝑎2 + 𝑏2

𝑎3 + 𝑏3

)

Pengurangan Vektor

“Kurangkan Komponen yang Sama”

�⃗� − �⃗⃗� = (

𝑎1

𝑎2

𝑎3

) − (

𝑏1

𝑏2

𝑏3

) = (

𝑎1 − 𝑏1

𝑎2 − 𝑏2

𝑎3 − 𝑏3

)

Perkalian Skalar

“Dua Vektor Harus Searah” “Kalikan Komponen yang Sama”

�⃗� ∙ �⃗⃗� = |�⃗�||�⃗⃗�| cos 𝜃

�⃗� ∙ �⃗⃗� = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3

Perkalian Vektor

“Dua Vektor Harus Tegak Lurus” “Putar Komponen yang Beda”

�⃗� × �⃗⃗� = |�⃗�||�⃗⃗�| sin 𝜃

�⃗� × �⃗⃗� = |𝑖 𝑗 �⃗⃗�

𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑏1 𝑏2 𝑏3

|

Pembagian Ruas Garis

“Hasil Kali Silang Dibagi Jumlahnya”

𝑝 =𝑚�⃗⃗� + 𝑛�⃗�

𝑚 + 𝑛

�⃗�

�⃗⃗�

𝑝


𝐵(𝑥𝑏, 𝑦𝑏 , 𝑧𝑏)

𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝)

𝑂

𝑚

𝑛



Sifat Operasi Vektor:

�⃗� + �⃗⃗� = �⃗⃗� + �⃗�

(�⃗� + �⃗⃗�) + 𝑐 = �⃗� + (�⃗⃗� + 𝑐)

�⃗� + 0 = 0 + �⃗� = �⃗� �⃗� + (−�⃗�) = 0

Sifat Perkalian Skalar (Perkalian Titik/Dot Product) Dua Vektor:

�⃗� ∙ �⃗⃗� = �⃗⃗� ∙ �⃗�

�⃗� ∙ (�⃗⃗� + 𝑐) = �⃗� ∙ �⃗⃗� + �⃗� ∙ 𝑐

�⃗� ∙ �⃗� = |�⃗�|2

�⃗� ⊥ �⃗⃗� ⇒ �⃗� ∙ �⃗⃗� = 0 Sifat Perkalian Vektor (Perkalian Silang/Cross Product) Dua Vektor:

𝑖 × 𝑖 = 𝑗 × 𝑗 = �⃗⃗� × �⃗⃗� = 0

𝑖 × 𝑗 = �⃗⃗�

𝑗 × �⃗⃗� = 𝑖

�⃗⃗� × 𝑖 = 𝑗

𝑗 × 𝑖 = −�⃗⃗�

�⃗⃗� × 𝑗 = −𝑖

𝑖 × �⃗⃗� = −𝑗



TRIK SUPERKILAT:

Jabarkan

Lihat Syarat

Hitung Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal operasi aljabar vektor ini, satu hal yang sering ditanyakan adalah hasil operasi perkalian titik terhadap beberapa operasi aljabar penjumlahan maupun pengurangan vektor dengan syarat ada dua vektor yang tegak lurus.

Misal diketahui �⃗�, �⃗⃗�, dan 𝑐 . Jika �⃗� ⊥ �⃗⃗�, maka tentukan hasil dari (�⃗� + �⃗⃗�) ∙ (�⃗� − 𝑐)!

Maka jabarkan (�⃗� + �⃗⃗�) ∙ (�⃗� − 𝑐) = �⃗� ∙ (�⃗� − 𝑐) + �⃗⃗� ∙ (�⃗� − 𝑐)

= (�⃗⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗�) − (�⃗� ∙ 𝑐) + (�⃗⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗�) − (�⃗⃗� ∙ 𝑐)

= |�⃗⃗⃗�|𝟐

− (�⃗� ∙ 𝑐) + 𝟎 − (�⃗⃗� ∙ 𝑐)

Tips dan triknya adalah, Lihat syarat,

Bahwa kita tidak perlu menghitung hasil perkalian titik dari dua vektor yang tegak lurus. Cukup kalikan pada komponen yang sama untuk menentukan hasil perkalian skalar (perkalian titik atau dot product).

Lalu perkalian titik dua vektor yang sama akan menghasilkan nilai yang sama dengan kuadrat panjang vektor tersebut.

Perhatikan tulisan berwarna merah (�⃗⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗�). Perkalian titik dari dua vektor yang tegak lurus adalah NOL!

Perhatikan warna biru (�⃗⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗�). Perkalian titik dari dua vektor yang sama adalah KUADRAT PANJANG VEKTOR!

Lalu hitung perkalian titiknya. Masih ingat (�⃗� ∙ 𝑐) atau (�⃗⃗� ∙ 𝑐)?

Perkalian titik dua vektor yang tidak tegak lurus itu KALIKAN KOMPONEN YANG SAMA! SELESAI!



KESIMPULAN LOGIKA PRAKTIS: Satu hal yang unik pada operasi aljabar vektor adalah untuk penjumlahan, pengurangan dan perkalian titik, semua operasi hanya dilakukan pada KOMPONEN VEKTOR YANG SAMA.

Kalau penjumlahan dua vektor, ya jumlahkan komponen-komponen yang sama. Jika pengurangan dua vektor, maka kurangkanlah komponen-komponen yang sama. Dan apabila perkalian titik, juga kalikan komponen-komponen yang sama.

PERBEDAAN mendasar hanya ada pada PERKALIAN SILANG, atau dikenal dengan perkalian vektor atau cross product. Triknya adalah sebagai berikut:

𝒊

𝒋 �⃗⃗⃗� +

𝒊 × 𝒋 = �⃗⃗⃗� Jadi kalau perkaliannya dua komponen vektor yang posisinya searah jarum jam hasilnya POSITIF komponen vektor berikutnya.

𝑖 dikalikan silang dengan 𝑗 maka hasilnya POSITIF �⃗⃗�.

𝑗 dikalikan silang dengan �⃗⃗� maka hasilnya POSITIF 𝑖.

�⃗⃗� dikalikan silang dengan 𝑖 maka hasilnya POSITIF 𝑗. Sehingga, apabila dibalik arah perkalian silangnya, hasilnya NEGATIF.

Contohnya yaitu apabila 𝑗 dikalikan silang dengan 𝑖 maka hasilnya NEGATIF �⃗⃗�.

𝒋 × 𝒊 = −�⃗⃗⃗�




Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Tegak Lurus. Contoh Soal:

Diketahui vektor �⃗� = (𝑘22

), �⃗⃗� = (2

−53

) dan 𝑐 = (21

−1). Jika vektor �⃗� tegak lurus dengan vektor �⃗⃗�, maka

tentukan nilai dari 2�⃗� ∙ (�⃗⃗� − 3𝑐) = ….

a. 0 b. 6 c. 12 d. 18 e. 24

Penyelesaian:

�⃗� ⊥ �⃗⃗� ⇒ �⃗� ∙ �⃗⃗� = 0

⇔ (𝑘22

) ∙ (2

−53

) = 0

⇔ 2𝑘 − 10 + 6 = 0⇔ 2𝑘 − 4 = 0⇔ 2𝑘 = 4⇔ 𝑘 = 2

Dengan demikian diperoleh:

�⃗� = (222

)

Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh:

�⃗� ⊥ �⃗⃗� ⇒ �⃗� ∙ �⃗⃗� = 0

�⃗� ∙ 𝑐 = (222

) ∙ (21

−1) = (2 ∙ 2) + (2 ∙ 1) + (2 ∙ (−1)) = 4 + 2 − 2 = 4

2𝑎 ∙ (𝑏 − 3𝑐) = 2�⃗� ∙ �⃗⃗� − 2�⃗� ∙ 3𝑐

= 2(�⃗� ∙ �⃗⃗�) − 6(�⃗� ∙ 𝑐)

= 2(0) − 6(4)= 0 + 24= 24

Jadi nilai 2𝑎 ∙ (𝑏 − 3𝑐) = 24 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

Lihat bahwa �⃗⃗⃗� tegak lurus �⃗⃗⃗�, maka �⃗⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� = 𝟎 Jabarkan perkalian titik pada soal:

2�⃗� ∙ (�⃗⃗� − 3𝑐) = 𝟐(�⃗⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗�) − 6(�⃗� ∙ 𝑐)

= 𝟎 − 6(4)= −24



Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Berlawanan. Contoh Soal:

Diketahui vektor �⃗� = (1𝑚−2

), �⃗⃗� = (2

−31

) dan 𝑐 = (−224

). Jika vektor �⃗� berlawanan dengan vektor 𝑐, maka

tentukan nilai dari 4�⃗� ∙ (2𝑐 − �⃗⃗�) = ….

a. −24 b. 0 c. 12 d. 48 e. 72

Penyelesaian: �⃗� berlawanan arah dengan 𝑐 ⇒ �⃗� = −𝑘𝑐

⇔ (1𝑚−2

) = −𝑘 (−224

)

Dari persamaan tersebut diperoleh:

1 = −𝑘(−2) ⇒ 𝑘 =1

2

Maka,

𝑚 = −𝑘(2) ⇒ 𝑚 = (−1

2) (2) = −1


�⃗� = (1

−1−2

)


�⃗� ∙ �⃗⃗� = (1

−1−2

) ∙ (2

−31

) = (1 ∙ 2) + ((−1) ∙ (−3)) + ((−2) ∙ 1) = 2 + 3 − 2 = 3

�⃗� ∙ 𝑐 = (1

−1−2

) ∙ (−224

) = (1 ∙ (−2)) + ((−1) ∙ 2) + ((−2) ∙ 4) = −2 − 2 − 8 = −12

4�⃗� ∙ (2𝑐 − �⃗⃗�) = 4�⃗� ∙ 2𝑐 − 4�⃗� ∙ �⃗⃗�

= 8(�⃗� ∙ 𝑐) − 4(�⃗� ∙ �⃗⃗�)

= 8(3) − 4(−12)

= 24 − (−48)= 72

Jadi nilai 4�⃗� ∙ (2𝑐 − �⃗⃗�) = 72

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Dua vektor itu berlawanan jika angkanya juga saling berlawanan dan berkelipatan. Perhatikan vektor �⃗� dan vektor 𝑐 berikut:

�⃗� = (1𝑚−2

) dan 𝑐 = (−224

)

Bandingkan kotak merah dan kotak biru. Logika praktisnya. Kalau −2 itu 1, maka 2 itu −1. Jelas bahwa 𝑚 = −1.



Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Sama Panjang. Contoh Soal:

Diketahui vektor �⃗� = (1𝑝

−2), �⃗⃗� = (

2−31

) dan 𝑐 = (−224

). Jika panjang vektor �⃗� sama dengan panjang vektor

�⃗⃗�, dan 𝑝 < 0, maka tentukan nilai dari (�⃗� + �⃗⃗�) ∙ (�⃗⃗� − 𝑐) = ….

a. −5 b. −3 c. 3 d. 9 e. 15

Penyelesaian:

|�⃗�|=|�⃗⃗�| ⇒ √(1)2 + (𝑝)2 + (−2)2 = √(2)2 + (−3)2 + (1)2

⇔ (1)2 + (𝑝)2 + (−2)2 = (2)2 + (−3)2 + (1)2

⇔ 1 + 𝑝2 + 4 = 4 + 9 + 1

⇔ 𝑝2 + 5 = 14

⇔ 𝑝2 + 5 − 14 = 0

⇔ 𝑝2 − 9 = 0pembuat nol

⇔ (𝑝 + 3)(𝑝 − 3) = 0⇔ 𝑝 + 3 = 0 atau 𝑝 − 3 = 0⇔ 𝑝 = −3 atau 𝑝 = 3

Karena syarat 𝑝 > 0, maka 𝑝 = 3.

Dengan demikian diperoleh �⃗� = (13

−2)


�⃗� ∙ �⃗⃗� = (13

−2) ∙ (

2−31

) = (1 ∙ 2) + (3 ∙ (−3)) + ((−2) ∙ 1) = 2 − 9 − 2 = −9

�⃗� ∙ 𝑐 = (13

−2) ∙ (

−224

) = (1 ∙ (−2)) + (3 ∙ 2) + ((−2) ∙ 4) = −2 + 6 − 8 = −4

�⃗⃗� ∙ 𝑐 = (2

−31

) ∙ (−224

) = (2 ∙ (−2)) + ((−3) ∙ 2) + (1 ∙ 4) = −4 − 6 + 4 = −6

|�⃗⃗�|2

= (2)2 + (−3)2 + (1)2 = 4 + 9 + 1 = 14

(�⃗� + �⃗⃗�) ∙ (�⃗⃗� − 𝑐) = �⃗� ∙ �⃗⃗� − �⃗� ∙ 𝑐 + �⃗⃗� ∙ �⃗⃗� − �⃗⃗� ∙ 𝑐

= �⃗� ∙ �⃗⃗� − �⃗� ∙ 𝑐 + |�⃗⃗�|2

− �⃗⃗� ∙ 𝑐

= (−9) − (−4) + 14 − (−6)= −9 + 4 + 14 + 6= 15

Jadi nilai (�⃗� + �⃗⃗�) ∙ (�⃗⃗� − 𝑐) = 15


Dua vektor itu sama panjang jika kuadrat dari komponennya juga sama. Nah perhatikan vektor �⃗� dan �⃗⃗�

�⃗� = (1𝑚−2

) dan �⃗⃗� = (2

−31

)

Ingat pada bilangan kuadrat itu tidak masalah bilangannya positif atau negatif. Karena bilangan positif maupun negatif kalau dikuadratkan hasilnya sama. Bukti: (−2)2 = (2)2 = 4.

Sekarang bandingkan bilangan pada vektor �⃗� dan �⃗⃗�. Pada vektor �⃗⃗� memuat bilangan 2, 3, dan 1. Logika praktisnya. Karena vektor �⃗� sudah ada bilangan 1 dan 2, maka pasti 𝑝 = 3 (pilih yang positif sesuai syarat pada soal 𝑝 > 0).




1. Diketahui vektor

1

2

p

a

;

6

3

4

b

; dan .

3

1

2

c

Jika a tegak lurus ,b maka hasil dari

cba 3.2 adalah ....

A. 171

B. 63

C. −63

D. −111

E. −171

2. Diketahui vektor kjxia 3 , kjib 2 , dan kjic 23 Jika a tegak lurus ,b

maka hasil dari cba .2 adalah ....

A. −20

B. −12

C. −10

D. −8

E. −1

3. Diketahui vektor .22dan ,23,2 kjickjibkxjia Jika a tegak lurus ,c

maka caba . adalah ....

A. −4

B. −2

C. 0

D. 2

E. 4


Karena �⃗� ⊥ �⃗⃗� ⇒ �⃗� ∙ �⃗⃗� = 0

⇔ (𝑝2

−1) ∙ (

4−36

) = 0

⇔ 4𝑝 − 6 − 6 = 0⇔ 𝑝 = 3

(�⃗� − 2�⃗⃗�) ∙ (3𝑐) = (3 − 8

2 − (−6)−1 − 12

) ∙ (6

−39

)

= (−58

−13) ∙ (

6−39

)

= −30 − 24 − 117= −171

Karena �⃗� ⊥ �⃗⃗� ⇒ �⃗� ∙ �⃗⃗� = 0

⇔ (1

−𝑥3

) ∙ (21

−1) = 0

⇔ 2 − 𝑥 − 3 = 0⇔ 𝑥 = −1

(2�⃗�) ∙ (�⃗⃗� − 𝑐) = (226

) ∙ (2 − 11 − 3

−1 − 2)

= (226

) ∙ (1

−2−3

)

= 2 − 4 − 18= −20

Karena �⃗� ⊥ 𝑐 ⇒ �⃗� ∙ 𝑐 = 0

⇔ (12

−𝑥) ∙ (

212

) = 0

⇔ 2 + 2 − 2𝑥 = 0⇔ 𝑥 = 2

(�⃗� + �⃗⃗�) ∙ (�⃗� − 𝑐) = (1 + 32 − 2

−2 + 1) ∙ (

1 − 22 − 1

−2 − 2)

= (40

−1) ∙ (

−11

−4)

= −4 + 0 + 4= 0






2. 11. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan trigonometri sudut antara dua vektor.

Sudut Antara Dua Vektor

Diketahui

Komponen Vektor Titik Koordinat Panjang dan ResultanVektor

�⃗� = 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗 + 𝑎3�⃗⃗�

�⃗⃗� = 𝑏1𝑖 + 𝑏2𝑗 + 𝑏3�⃗⃗�

𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = �⃗⃗� − �⃗�

𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑐 − �⃗⃗�

|�⃗� + �⃗⃗�|2

= |�⃗�|2

+ |�⃗⃗�|2

+ 2|�⃗�||�⃗⃗�| cos 𝛼

|�⃗� − �⃗⃗�|2

= |�⃗�|2

+ |�⃗⃗�|2

− 2|�⃗�||�⃗⃗�| cos 𝛼

Kosinus Sudut Kosinus Sudut Antara Dua Vektor Antara Dua Vektor

cos 𝛼 =�⃗⃗⃗�∙�⃗⃗⃗�

|�⃗⃗⃗�||�⃗⃗⃗�| cos 𝛼 =

|�⃗⃗⃗�+�⃗⃗⃗�|2

−(|�⃗⃗⃗�|2

+|�⃗⃗⃗�|2

)

2|�⃗⃗⃗�||�⃗⃗⃗�|

atau

cos 𝛼 =(|�⃗⃗⃗�|

2+|�⃗⃗⃗�|

2)−|�⃗⃗⃗�−�⃗⃗⃗�|

2

2|�⃗⃗⃗�||�⃗⃗⃗�|

Besar Sudut Antara Dua Vektor “Sudut berapa yang nilai cosnya 𝒙"

cos 𝛼 = 𝑥 ⇒ 𝛼 = cos−1(𝑥)

𝜶 = ∠(𝑩𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)

𝐴

𝐶 𝐵 𝜶

|�⃗⃗�|

|�⃗�|

𝜶 = ∠(�⃗⃗⃗�, �⃗⃗⃗�)

�⃗⃗�

�⃗�



TRIK SUPERKILAT: Tentukan dua vektor Cek Perkalian titik Perkalian titik = 0 Perkalian titik ≠ 0 𝛼 = 90° Gunakan rumus cos 𝛼

Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal sudut antara dua vektor, jelas bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah besar sudut yang dibentuk antara dua vektor. Nah, vektor yang diketahui ada tiga jenis, pertama diketahui komponen vektor, kedua diketahui vektor yang dibentuk oleh dua titik, dan yang terakhir adalah panjang atau resultan vektor. Langkah TRIK SUPERKILAT:

Hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan dua vektor yang membentuk sudut 𝛼. Kedua, segera tentukan apakah perkalian titik kedua vektor tersebut nol. Jika benar, maka sudut 𝛼 pasti 90°! Kalau

perkalian titiknya tidak nol, maka segera tentukan panjang kedua vektor dan gunakan rumus cos 𝛼 yang sesuai dengan kondisi soal.



LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras:

Masih ingat tripel Pythagoras? Asyik….!

Misal vektor �⃗� = 3𝑖 − 4𝑗 + 12�⃗⃗�, maka tentukan panjang vektor �⃗�? Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut:

|�⃗�| = √32 + (−4)2 + 122 = √9 + 16 + 144 = √169 = 13 Apabila kita ingat bagaimana pola bilangan pada tripel Pythagoras, maka pengerjaan kita seperti berikut:

�⃗� = 𝟑𝑖 − 𝟒𝑗 + 𝟏𝟐�⃗⃗� 3 4 12 (ingat tripel Pythagoras 3, 4, 5) 5 12 (ingat tripel Pythagoras 5, 12, 13) 13

Keterangan:

Pertama, abaikan tanda negatif pada setiap komponen vektor. Jadi kita hanya fokus untuk melihat komponen vektor �⃗� yaitu 3, 4, 12.

Karena kita ingat tripel Pythagoras 3, 4, 5. Maka 3, 4 kita sederhanakan menjadi 5. Jadi, sekarang komponen vektor semula 3, 4, 5 kini menjadi 5, 12.

Nah, karena kita ingat tripel Pythagoras 5, 12, 13. Maka 5 dan 12 bisa kita sederhanakan menjadi 13. Selesai! Panjang vektor �⃗� adalah 13!

Trik Cepat Hitung Tripel Pythagoras

Tripel Pythagoras yang sering muncul

3 4 5

5 12 13

7 24 25

9 40 41

8 15 17

Cara cepat menghafal bilangan tripel Pythagoras Khusus bilangan ganjil seperti 3, 5, 7, 9, dst… maka tripel Pythagorasnya adalah bilangan tersebut dengan dua bilangan lain yang selisihnya satu dan jumlahnya adalah kuadrat bilangan ganjil tersebut!

Contoh: 32 = 9 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 9 adalah 4 dan 5. Sehingga tripel Pythagoras yang dimulai oleh angka 3 adalah 3, 4, 5.

52 = 25 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 25 adalah 12 dan 13, sudah pasti tripel Pythagorasnya 5, 12, 13

3

4

5 5

12

13



LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras Bentuk Akar: Kalau sebelumnya adalah tripel Pythagoras bentuk biasa, sekarang bagaimana tripel Pythagoras bentuk akar? Sebenarnya prinsip dasar teorema Pythagoras bisa dengan mudah menyelesaikan masalah ini. Namun, apabila mau sedikit kreatif mengembangkan imajinasi, maka ada jalan lain yang lebih menyenangkan. Apa sih Tripel Pythagoras bentuk akar itu????? Lihat konsepnya pada gambar di bawah:

Misal sisi tegak lurus sebuah segitiga siku-siku adalah 𝑎√𝑏 dan 𝑎√𝑐, dan misal sisi miring segitiga siku-siku adalah 𝑥, maka nilai 𝑥 bisa ditentukan oleh:

𝑥2 = (𝑎√𝑏)2

+ (𝑎√𝑐)2

⇒ 𝑥 = √𝑎2𝑏 + 𝑎2𝑐

⇒ 𝑥 = √𝑎2(𝑏 + 𝑐)

⇒ 𝑥 = √𝑎2√𝑏 + 𝑐

⇒ 𝑥 = 𝑎√𝑏 + 𝑐

Jadi jelas bahwa pola bilangan tripel Pythagoras seperti ini:

Tripel Pythagoras bentuk akar

𝑎 √𝑏 𝑎 √𝑐 𝑎 √𝑏 + 𝑐

Contoh:

Sekarang mari cermati contoh soal panjang vektor di bawah ini!

Misal vektor �⃗� = 4𝑖 − 2𝑗 + 6�⃗⃗�, maka tentukan panjang vektor �⃗�? Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut:

|�⃗�| = √42 + (−2)2 + 62 = √16 + 4 + 36 = √56 = √4√14 = 2√14 Apabila kita ingat pola bilangan pada tripel Pythagoras bentuk akar, maka pengerjaan kita seperti berikut:

�⃗� = 𝟒𝑖 − 𝟐𝑗 + 𝟔�⃗⃗� (hanya lihat pada komponen vektor saja, abaikan tanda negatif) 4 2 6 (FPB dari 4, 2, dan 6 adalah 2. Ubah bilangan 4, 2, 6 menjadi 2 dikali akar berapa gitu…)

𝟐√𝟒 𝟐√𝟏 𝟐√𝟗 (jumlahkan 4 + 1 + 9)

𝟐√𝟒 + 𝟏 + 𝟗

𝟐√𝟏𝟒

𝑎 √𝑐

𝑎 √𝑏

𝑎 √𝑏 + 𝑐

bilangannya harus sama, kalau nggak sama cari FPBnya

jumlahkan saja bilangan di dalam akar

𝑎 √𝑐

𝑎 √𝑏

𝑥

4√4

4√9

4√13 8

12

Cari FPB dari 12 dan 8. FPBnya adalah 4. Berarti jadikan bilangan pokoknya menjadi 4.

Artinya 12 = 4√9 dan 8 = 4√4,

Jadi sisi miring dari segitiga tersebut adalah 4√9 + 4 = 4√13




Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui komponen dua vektor. Contoh Soal:

Diketahui vektor �⃗� = 4𝑖 + 2𝑗 + 2�⃗⃗� dan �⃗⃗� = 3𝑖 + 3𝑗. Besar sudut antara vektor �⃗� dan �⃗⃗� adalah …. a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120

Penyelesaian:

�⃗� = 4𝑖 + 2𝑗 + 2�⃗⃗� = (422

) ⇒ |�⃗�| = √42 + 22 + 22 = √16 + 4 + 4 = √24 = √4√6 = 2√6

�⃗⃗� = 3𝑖 + 3𝑗 = (330

) ⇒ |�⃗⃗�| = √32 + 32 + 02 = √9 + 9 + 0 = √18 = √9√2 = 3√2


cos 𝛼 =�⃗� ∙ �⃗⃗�

|�⃗�||�⃗⃗�|

=

(422

) ∙ (330

)

2√6 ∙ 3√2

=(4)(3) + (2)(3) + (2)(0)

6√12

=12 + 6 + 0

6√4√3

=18

12√3

=18

12√3×

√3

√3

=18√3

36

=1

2√3

Jadi karena cos 𝛼 =1

2√3, maka besar sudut 𝛼 = 30°


Lihat bahwa �⃗� ∙ �⃗⃗� ≠ 0, maka jelas jawaban D (90°) pasti salah! Segera cari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar:

�⃗� = 4𝑖 + 2𝑗 + 2�⃗⃗� = (422

) = (2√4

2√1

2√1

) ⇒ |�⃗�| = 2√4 + 1 + 1 = 2√6

�⃗⃗� = 3𝑖 + 3𝑗 = (330

) = (3√1

3√10

) ⇒ |�⃗⃗�| = 3√1 + 1 = 3√2

Lanjutkan dengan menghitung nilai cos 𝛼 menggunakan rumus:

cos 𝛼 =�⃗� ∙ �⃗⃗�

|�⃗�||�⃗⃗�|=

(422

) ∙ (330

)

2√6 ∙ 3√2= 𝑑𝑠𝑡 𝑑𝑠𝑡 𝑑𝑠𝑡 …



Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui beberapa titik koordinat. Contoh Soal:

Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika �⃗⃗� mewakili 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ dan �⃗� mewakili 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , maka sudut yang dibentuk oleh vektor �⃗⃗� dan �⃗� adalah … a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120

Penyelesaian:

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = �⃗⃗� − �⃗� = (612

) − (212

) = (400

) ⇒ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | = √42 + 02 + 02 = √16 + 0 + 0 = √16 = 4

𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑐 − �⃗� = (652

) − (212

) = (440

) ⇒ |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √42 + 42 + 02 = √16 + 16 + 0 = √32 = 4√2


cos 𝛼 =𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

=

(400

) ∙ (440

)

4 ∙ 4√2

=(4)(4) + (0)(4) + (0)(0)

16√2

=16 + 0 + 0

16√2

=16

16√2

=1

√2

=1

√2×

√2

√2

=1

2√2

Jadi karena cos 𝛼 =1

2√2, maka besar sudut 𝛼 = 45°

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:

Lihat bahwa 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ 0, maka jelas jawaban D (90°) pasti salah! Lanjutkan segera dengan mencari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar:

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = �⃗⃗� − �⃗� = (612

) − (212

) = (400

) ⇒ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | = 4 (karena komponen yang lain nol)

𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑐 − �⃗� = (652

) − (212

) = (440

) = (4√1

4√10

) ⇒ |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 4√1 + 1 = 4√2

serta hasil kali titik dari 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tidak mungkin memuat bilangan bentuk akar.

Karena panjang 𝐴𝐶 memuat bilangan √2. Jadi feeling kita mengatakan bahwa nilai cos 𝛼 =1

2√2, dan satu-

satunya jawaban yang mengakibatkan nilai cos 𝛼 =1

2√2 adalah𝛼 = 45°.



Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui panjang dan resultan vektor. Contoh Soal:

Diketahui|�⃗�| = 2, |�⃗⃗�| = 3, dan |�⃗� + �⃗⃗�| = √19. Besar sudut antara vektor �⃗� dan �⃗⃗� adalah ….

a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120

Penyelesaian:

Ingat |�⃗� + �⃗⃗�|2

= |�⃗�|2

+ |�⃗⃗�|2

+ 2|�⃗�||�⃗⃗�| cos 𝛼


|�⃗⃗� + �⃗⃗�|2

= |�⃗⃗�|2

+ |�⃗⃗�|2

+ 2|�⃗⃗�||�⃗⃗�| cos 𝛼

⇔ (√19)2

= (2)2 + (3)2 + 2(2)(3) cos 𝛼

⇔ 19 = 4 + 9 + 12 cos 𝛼

⇔ 19 = 13 + 12 cos 𝛼

⇔ 19 − 13 = 12 cos 𝛼

⇔ 6 = 12 cos 𝛼

⇔6

12= cos 𝛼

⇔1

2= cos 𝛼

⇔ cos 𝛼 =1

2

Jadi, karena cos 𝛼 =1

2, maka besar sudut 𝛼 = 60°

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Ingat kalau diketahui jumlah kedua vektor maka kosinus sudut antara dua vektor adalah:

cos 𝛼 =|�⃗� + �⃗⃗�|

2− (|�⃗�|

2+ |�⃗⃗�|

2)

2|�⃗�||�⃗⃗�|

=19 − (4 + 9)

12

=19 − 13

12

=6

12

=1

2

Jadi, karena cos 𝛼 =1

2, maka besar sudut 𝛼 = 60°




1. Diketahui vektor

3

3

2

a

dan .

4

2

3

b

Sudut antara vektor a dan b adalah ....

A. 135°

B. 120°

C. 90°

D. 60°

E. 45°

2. Diketahui titik A (1, 0, −2), B (2, 1, −1), C (2, 0, −3). Sudut antara vektor AB dengan AC adalah ....

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

E. 120°


cos ∠(�⃗�, �⃗⃗�) =�⃗� ∙ �⃗⃗�

|𝑎||𝑏|

=6 + 6 − 12

√22√29= 0

∴ cos 𝜃 = 0 ⇒ 𝜃 = 90°

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (1, 0, 1)

𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶 − 𝐴 = (1, 0, −1

cos ∠(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

=1 + 0 − 1

√2√2= 0

∴ cos 𝜃 = 0 ⇒ 𝜃 = 90°

TRIK SUPERKILAT: Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?. Kalau nol pasti siku-siku. Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C.

TRIK SUPERKILAT: Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?. Kalau nol pasti siku-siku. Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C.






2. 12. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan panjang proyeksi atau vektor proyeksi.

Proyeksi Vektor

Proyeksi Orthogonal Vektor �⃗� pada Vektor �⃗⃗�

“Bayangan vektor �⃗⃗⃗� pada vektor �⃗⃗⃗�”

Proyeksi vektor |�⃗�| pada vektor |�⃗⃗�| adalah vektor |�⃗⃗�|

Perhatikan daerah arsir, pada segitiga tersebut berlaku,

cos 𝛼 =|�⃗⃗�|

|�⃗�|

Sehingga,

|𝑐| = |�⃗�| cos 𝛼

Masih ingat dengan sudut antara dua vektor?

cos 𝛼 =�⃗� ∙ �⃗⃗�

|�⃗�||�⃗⃗�| sehingga |�⃗⃗�| = |�⃗�|

�⃗� ∙ �⃗⃗�

|�⃗�||�⃗⃗�|

Panjang Proyeksi Vektor

Proyeksi skalar

|�⃗⃗�| =�⃗� ∙ �⃗⃗�

|�⃗⃗�|

Masih ingat dengan panjang vektor satuan?

�̂� =�⃗⃗�

|�⃗⃗�| sehingga �⃗⃗� = |�⃗⃗�|

�⃗⃗�

|�⃗⃗�|

Vektor Proyeksi

Proyeksi vektor

�⃗⃗� =�⃗� ∙ �⃗⃗�

|�⃗⃗�|2 �⃗⃗�

𝛼

|�⃗�|

|�⃗⃗�| |�⃗⃗�|



TRIK SUPERKILAT:

Vektor Proyeksi Perhatikan dua vektor yang terkait. Proyeksi vektor apa ke vektor apa?

Proyeksi vektor �⃗� pada vektor �⃗⃗� Vektor yang diproyeksikan: Diproyeksikan ke vektor apa?

Vektor �⃗⃗⃗� Vektor �⃗⃗⃗� Perhatikan opsi jawaban Pilihan Ganda Cek opsi jawaban yang merupakan

kelipatan dari vektor �⃗⃗� Hanya ada satu jawaban Lebih dari satu jawaban SELESAI! Lanjutkan dengan rumus

�⃗� ∙ �⃗⃗�

|�⃗⃗�|2 dikali �⃗⃗�

SELESAI

Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang proyeksi vektor, jelas bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah panjang proyeksi vektor atau vektor proyeksi. Nah, jika yang ditanyakan vektor proyeksi maka jawaban yang benar seharusnya adalah kelipatan dari vektor tujuan proyeksi . Kesimpulan Langkah TRIK SUPERKILAT:

Perhatikan vektor tempat proyeksi vektor. Kedua, segera tentukan apakah perkalian ada opsi jawaban

yang merupakan kelipatan dari vektor tersebut. Jika ada maka kemungkinan besar itulah jawaban yang benar.

Kok bisa? Buktinya apa?

Perhatikan rumus vektor proyeksi orthogonal berikut:

�⃗⃗� =�⃗� ∙ �⃗⃗�

|�⃗⃗�|2

⏟ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙𝑛𝑦𝑎

𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎

�⃗⃗� = 𝑘 �⃗⃗� = kelipatan 𝒌 dari �⃗⃗⃗�




Menentukan panjang proyeksi vektor. Contoh Soal:

Diketahui vektor �⃗� = 4𝑖 + 2𝑗 + 2�⃗⃗� dan �⃗⃗� = 3𝑖 + 3𝑗. Panjang proyeksi vektor �⃗� pada vektor �⃗⃗� adalah ….

a. 1

2√18

b. √18

c. 2√18

d. 3√18

e. 4√18

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep proyeksi vektor, maka diperoleh:

|𝑐| =�⃗� ∙ �⃗⃗�

|�⃗⃗�|

=

(422

) ∙ (330

)

√32 + 32 + 02

=(4)(3) + (2)(3) + (2)(0)

√9 + 9 + 0

=12 + 6 + 0

√18

=18

√18

=18

√18∙

√18

√18

=18

18√18

= √18

Jadi, panjang proyeksi vektor �⃗� pada vektor �⃗⃗� adalah √18.



Menentukan vektor proyeksi. Contoh Soal 1:

Diketahui vektor �⃗� = 5𝑖 − 8𝑗 dan �⃗⃗� = 2𝑖 − 𝑗 + 2�⃗⃗�, maka vektor proyeksi orthogonal vektor �⃗� pada �⃗⃗� adalah ….

a. 𝑖 − 𝑗 − 2�⃗⃗�

b. 2𝑖 + 4𝑗 + 4�⃗⃗�

c. 2𝑖 − 𝑗 − 4�⃗⃗�

d. 2𝑖 + 2𝑗 − �⃗⃗�

e. 4𝑖 − 2𝑗 + 4�⃗⃗�

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep vektor proyeksi, maka diperoleh:

𝑐 =�⃗� ∙ �⃗⃗�

|�⃗⃗�|2 �⃗⃗�

=

(5

−80

) ∙ (2

−12

)

(√22 + (−1)2 + 22)2 (2𝑖 − 𝑗 + 2�⃗⃗�)

=(5)(2) + (−8)(−1) + (0)(2)

22 + (−1)2 + 22 (2𝑖 − 𝑗 + 2�⃗⃗�)

=10 + 8 + 0

4 + 1 + 4(2𝑖 − 𝑗 + 2�⃗⃗�)

=18

9(2𝑖 − 𝑗 + 2�⃗⃗�)

= 2(2𝑖 − 𝑗 + 2�⃗⃗�)

= 4𝑖 − 2𝑗 + 4�⃗⃗�


Perhatikan vektor tujuan atau sasaran proyeksi adalah vektor �⃗⃗� = 2𝑖 − 𝑗 + 2�⃗⃗�.

Perhatikan opsi jawaban, yang merupakan kelipatan dari vektor �⃗⃗� = 2𝑖 − 𝑗 + 2�⃗⃗� hanyalah jawaban E yaitu dua

kalinya vektor �⃗⃗�. Selesai!



Contoh Soal 2:

Diketahui vektor 𝑝 = 𝑖 − 2𝑗 + �⃗⃗� dan �⃗� = 2𝑖 − 2𝑗 + �⃗⃗�, maka vektor proyeksi orthogonal vektor 𝑝 pada �⃗� adalah ….

a. 2𝑖 − 2𝑗 + �⃗⃗�

b. 7

9(2𝑖 − 2𝑗 + �⃗⃗�)

c. 1

9(2𝑖 − 2𝑗 + �⃗⃗�)

d. 9

7(2𝑖 − 2𝑗 + �⃗⃗�)

e. 1

2(2𝑖 − 2𝑗 + �⃗⃗�)

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep vektor proyeksi, maka diperoleh:

𝑐 =𝑝 ∙ �⃗�

|𝑞|2 �⃗�

=

(1

−21

) ∙ (2

−21

)

(√22 + (−2)2 + 12)2 (2𝑖 − 2𝑗 + �⃗⃗�)

=(1)(2) + (−2)(−2) + (1)(1)

22 + (−2)2 + 12 (2𝑖 − 2𝑗 + �⃗⃗�)

=2 + 4 + 1

4 + 4 + 1(2𝑖 − 2𝑗 + �⃗⃗�)

=7

9(2𝑖 − 2𝑗 + �⃗⃗�)


Perhatikan vektor tujuan atau sasaran proyeksi adalah vektor �⃗� = 2𝑖 − 2𝑗 + �⃗⃗�.

Perhatikan opsi jawaban, yang merupakan kelipatan dari vektor �⃗� = 2𝑖 − 2𝑗 + �⃗⃗� adalah semua jawaban. Jadi kerjakan dengan cara biasa saja.



Menentukan komponen vektor apabila diketahui panjang vektor proyeksinya. Contoh Soal:

Diketahui vektor �⃗� = (21𝑥

) dan �⃗⃗� = (30

−4), dan panjang proyeksi vektor �⃗� pada �⃗⃗� adalah 2. Maka nilai 2𝑥 = ….

a. −2 b. −1 c. 0 d. 1 e. 2

Penyelesaian:

Panjang vektor proyeksi vektor �⃗� pada �⃗⃗� adalah:

|𝑐| =�⃗� ∙ �⃗⃗�

|�⃗⃗�|

⇒ 2 =

(21𝑥

) ∙ (30

−4)

√32 + 02 + (−4)2

⇔ 2 =(2)(3) + (1)(0) + (𝑥)(4)

√9 + 0 + 16

⇔ 2 =6 + 0 + 4𝑥

√25

⇔ 2 =4𝑥 + 6

5⇔ 10 = 4𝑥 + 6⇔ 10 − 6 = 4𝑥⇔ 4 = 4𝑥

⇔4

4= 𝑥

⇔ 1 = 𝑥⇔ 𝑥 = 1

Jadi nilai dari 2𝑥 = 2(1) = 2




1. Diketahui vektor kjia 65 dan .22 kjib Proyeksi orthogonal vektor a pada b adalah ....

A. kji 22

B. kji 22

C. kji 22

D. kji 22

E. kji 22

2. Proyeksi orthogonal vektor kjia 34 pada kjib 32 adalah ....

A. )32(14

13kji

B. )32(14

15kji

C. )32(7

8kji

D. )32(7

9kji

E. kji 624


Proyeksi �⃗� 𝑘𝑒 �⃗⃗� =�⃗� ∙ �⃗⃗�

|𝑏|2�⃗⃗�

=5 − 12 − 2

(√1 + 4 + 4)2 �⃗⃗�

= −9

9 �⃗⃗�

= −𝑖 + 2𝑗 + 2�⃗⃗�

TRIK SUPERKILAT:

Pilihan jawaban harus merupakan kelipatan dari �⃗⃗�.

Lihat pola tanda pada �⃗⃗� plus min min. Jadi jawaban yang mungkin saja benar adalah plus min min atau min plus plus. Dan itu hanya dipenuhi oleh pilihan jawaban D.

Proyeksi �⃗� 𝑘𝑒 �⃗⃗� =�⃗� ∙ �⃗⃗�

|𝑏|2𝑏

=8 + 1 + 9

(√4 + 1 + 9)2 (2𝑖 + 𝑗 + 3�⃗⃗�)

=18

14(2𝑖 + 𝑗 + 3�⃗⃗�)

=9

7(2𝑖 + 𝑗 + 3�⃗⃗�)






2. 13. Menentukan bayangan titik atau kurva karena dua transformasi atau lebih.

Transformasi Geometri Acuan

Translasi Pencerminan Rotasi Dilatasi “Pergeseran” • terhadap 𝑥 = 𝟎 sebesar 𝜃 pusat 𝑶 sebesar 𝑘 pusat 𝑶 • terhadap 𝑦 = 𝟎 • terhadap titik (0, 0) • terhadap 𝑦 = ±𝑥 • terhadap 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝟎 Menggunakan konsep matriks transformasi Bentuk umum

Transformasi terhadap Titik Transformasi terhadap Kurva “Bayangan 𝑨(𝒙, 𝒚) adalah 𝑨′(𝒙′, 𝒚′)” “Substitusikan 𝒙, 𝒚 pada fungsi kurva”

(𝑥′

𝑦′) = 𝑀(

𝑥𝑦) (

𝑥𝑦) = 𝑀

−1 (𝑥′𝑦′)

𝑀 = Matriks Transformasi 𝑀−1 = Invers Matriks Transformasi

Komposisi Transformasi “Ingat (𝒇 ∘ 𝒈) artinya 𝒈 dikerjakan lebih dulu daripada 𝒇” (𝑀𝑛 ∘ … ∘ 𝑀2 ∘ 𝑀1) merupakan komposisi transformasi 𝑀1 dilanjutkan oleh transformasi 𝑀2 dan seterusnya sampai dengan transformasi 𝑀𝑛

Komposisi Komposisi Dua Transformasi Titik Dua Transformasi Kurva “Bayangan 𝑨(𝒙, 𝒚) adalah 𝑨′(𝒙′, 𝒚′)” “Substitusikan 𝒙, 𝒚 pada fungsi kurva”

(𝑥′

𝑦′) = (𝑀2 ∘ 𝑀1) (

𝑥𝑦) (

𝑥𝑦) = (𝑀2 ∘ 𝑀1)

−1 (𝑥′𝑦′)



Tabel Transformasi Geometri Translasi

Translasi

Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

1. Transformasi identitas 𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐼 → 𝐴′(𝑥, 𝑦) (

𝑥′𝑦′) = (

𝟏 𝟎𝟎 𝟏

) (𝑥𝑦)

2. Translasi oleh (𝒂𝒃)

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑇=(

𝑎𝑏)

→ 𝐴′(𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏) (𝑥′𝑦′) = (

𝟏 𝟎𝟎 𝟏

) (𝑥𝑦) + (

𝒂𝒃)

Pencerminan

Pencerminan

terhadap garis 𝒙 = …. Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

1. Pencerminan terhadap sumbu Y (𝑥 = 0)

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑠𝑏Y → 𝐴′(−𝑥, 𝑦) (

𝑥′𝑦′) = (

−𝟏 𝟎𝟎 𝟏

) (𝑥𝑦)

2. Pencerminan terhadap garis 𝑥 = 𝒂

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑥=𝒂 → 𝐴′(𝟐𝒂 − 𝑥, 𝑦) (

𝑥′ − 𝒂𝑦′

) = (−𝟏 𝟎𝟎 𝟏

) (𝑥 − 𝒂𝑦 )

Pencerminan

terhadap garis 𝒚 = …. Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

3. Pencerminan terhadap sumbu X (𝑦 = 0)

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑠𝑏X → 𝐴′(𝑥, −𝑦) (

𝑥′𝑦′) = (

𝟏 𝟎𝟎 −𝟏

) (𝑥𝑦)

4. Pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝒃

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑦=𝒃 → 𝐴′(𝑥, 𝟐𝒃 − 𝑦) (

𝑥′𝑦′ − 𝒃

) = (𝟏 𝟎𝟎 −𝟏

) (𝑥

𝑦 − 𝒃)

Pencerminan

terhadap titik (…., ….) Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

5. Pencerminan terhadap titik asal 𝑂(0, 0)

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑂(0,0) → 𝐴′(−𝑥,−𝑦) (

𝑥′𝑦′) = (

−𝟏 𝟎𝟎 −𝟏

) (𝑥𝑦)

6. Pencerminan terhadap titik 𝑷(𝒂, 𝒃)

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑷(𝒂,𝒃) → 𝐴′(𝟐𝒂 − 𝑥, 𝟐𝒃 − 𝑦) (

𝑥′ − 𝒂𝑦′ − 𝒃

) = (−𝟏 𝟎𝟎 −𝟏

) (𝑥 − 𝒂𝑦 − 𝒃)

Pencerminan

terhadap garis 𝒚 = ±𝒙 Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

7. Pencerminan terhadap 𝑦 = 𝑥

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑦=𝑥 → 𝐴′(𝑦, 𝑥) (

𝑥′𝑦′) = (

𝟎 𝟏𝟏 𝟎

) (𝑥𝑦)

8. Pencerminan terhadap garis 𝑦 = −𝑥

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑦=−𝑥 → 𝐴′(−𝑦,−𝑥) (

𝑥′𝑦′) = (

𝟎 −𝟏−𝟏 𝟎

) (𝑥𝑦)

Pencerminan

terhadap garis 𝒚 = 𝒎𝒙 Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

9. Pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑚𝑥

dimana 𝑚 = tan 𝜃

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑦=𝑚𝑥 → 𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝑥′ = 𝑥 cos2𝜃 + 𝑦 sin 2𝜃

𝑦′ = 𝑥 sin 2𝜃 − 𝑦 cos2𝜃

(𝑥′𝑦′) = (

𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 −𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽

) (𝑥𝑦)

10. Pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝒄

dimana 𝑚 = tan 𝜃

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑦=𝑚𝑥+𝒄 → 𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝑥′ = 𝑥 cos2𝜃 + (𝑦 − 𝒄) sin2𝜃

𝑦′ = 𝑥 sin 2𝜃 − (𝑦 − 𝒄) cos2𝜃 + 𝒄

(𝑥′

𝑦′ − 𝒄) = (

𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 −𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽

) (𝑥

𝑦 − 𝒄)



Rotasi

Rotasi sebesar 𝜽

terhadap titik (…., ….) Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

1. Rotasi 𝜃° berlawanan jarum jam terhadap pusat 𝑂(0, 0)

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑅[𝑂,𝜃] → 𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝑥′ = 𝑥 cos𝜃 − 𝑦 sin𝜃

𝑦′ = 𝑥 sin 𝜃 + 𝑦 cos𝜃

(𝑥′𝑦′) = (

𝐜𝐨𝐬 𝜽 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽

) (𝑥𝑦)

2. Rotasi 𝜃° berlawanan jarum jam terhadap pusat 𝑷(𝒂, 𝒃)

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑅[𝑷(𝒂,𝒃),𝜃] → 𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝑥′ = (𝑥 − 𝑎) cos𝜃 − (𝑦 − 𝒃) sin 𝜃 + 𝒂

𝑦′ = (𝑥 − 𝒂) sin𝜃 + (𝑦 − 𝒃) cos𝜃 + 𝒃

(𝑥′ − 𝒂𝑦′ − 𝒃

) = (𝐜𝐨𝐬 𝜽 −𝐬𝐢𝐧 𝜽𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽

) (𝑥 − 𝒂𝑦 − 𝒃)

Dilatasi

Dilatasi pusat (…., ….)

faktor dilatasi 𝒌 Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

1. Dilatasi [𝑂, 𝑘] 𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐷[𝑂,𝑘] → 𝐴′(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) (

𝑥′𝑦′) = (

𝒌 𝟎𝟎 𝒌

) (𝑥𝑦)

2. Dilatasi [𝑷(𝒂, 𝒃), 𝑘] 𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐷[𝑷(𝒂,𝒃),𝑘] → 𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝑥′ = 𝑘(𝑥 − 𝑎) + 𝑎

𝑦′ = 𝑘(𝑦 − 𝑏) + 𝑏

(𝑥′ − 𝒂𝑦′ − 𝒃

) = (𝒌 𝟎𝟎 𝒌

) (𝑥 − 𝒂𝑦 − 𝒃)

Keterangan: Transformasi terhadap titik:

Masukkan titik (𝑥, 𝑦) ke matriks transformasi sehingga diperoleh titik bayangan transformasi (𝑥′, 𝑦′).

(𝑥′

𝑦′) = 𝑀 (

𝑥𝑦)

Transformasi terhadap fungsi (kurva):

Substitusikan 𝑥 dan 𝑦 ke fungsi sehingga fungsi baru hasil transformasi mengandung variabel 𝑥′ dan 𝑦′. Untuk mempermudah gunakan invers matriks:

(𝑥′

𝑦′) = 𝑀 (

𝑥𝑦) ⇒ 𝑀−1 (

𝑥′

𝑦′) = (

𝑥𝑦)

⇔ (𝑥𝑦) = 𝑀

−1 (𝑥′

𝑦′)

Jika matriks transformasinya mudah diinvers menggunakan invers fungsi, maka tidak perlu menggunakan invers matriks. Mubazir.

Keterangan warna:

= “Transformasi ACUAN”. = “Transformasi TURUNAN”.

(𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝐬𝐢𝐧𝟐𝜽𝐬𝐢𝐧𝟐𝜽 −𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽

) = “Matriks Transformasi ACUAN”

𝑷(𝒂, 𝒃) = Persamaan Matriks Transformasinya perlu penyesuaian terhadap “ACUAN”.



TRIK SUPERKILAT konsep matriks transformasi untuk pencerminan, rotasi dan dilatasi. LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun matriks transformasi ACUAN.

Buat dua titik, 𝐴(1, 0) dan 𝐵(0, 1) pada bidang koordinat Transformasikan kedua titik Tulis hasil transformasi titik ke dalam matriks kolom Selesailah matriks transformasi kita Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang transformasi geometri, jelas bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah bayangan kurva terhadap beberapa transformasi. Untuk transformasi terhadap suatu titik sepertinya peluangnya kecil untuk muncul dalam soal UN 2013 nanti. Nah, sebenarnya ada cara yang cukup mudah untuk mengingat pola matriks transformasi dari pencerminan, rotasi maupun dilatasi. Perhatikan langkah di bawah ini. Hubungan Matriks dan Transformasi

Misalkan 𝑀 = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) adalah matriks transformasi 𝑇,

maka hasil dari transformasi titik 𝑨(𝟏, 𝟎) adalah:

(𝑥𝐴′

𝑦𝐴′) = (

𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) (10) = (

𝒂𝒄)

dan hasil dari transformasi titik 𝑩(𝟎, 𝟏) adalah:

(𝑥𝐵′

𝑦𝐵′) = (

𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) (01) = (

𝒃𝒅)

Sehingga proses menyusun matriks transformasi 𝑀 adalah dengan meletakkan titik 𝐴(1, 0) dan 𝐵(0, 1) pada

bidang koordinat lalu kita transformasikan. Misalkan, (𝑥𝐴′

𝑦𝐴′) adalah hasil transformasi dari titik A sedangkan

(𝑥𝐵′

𝑦𝐵′) adalah hasil transformasi titik B, maka matriks transformasi tersebut adalah:

𝑀 = (𝒂 𝒃𝒄 𝒅

) = (𝒙𝑨′ 𝒙𝑩

′

𝒚𝑨′ 𝒚𝑩

′)

Contohnya bagaimana?? Oke, berikut ini beberapa contoh matriks transformasi : Pencerminan terhadap sumbu Y (garis 𝒙 = 𝟎).

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap sumbu Y (garis 𝑥 = 0), maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′(−𝟏, 𝟎). sedangkan titik B tidak berpindah, tetap di B, sehingga koordinatnya tetap di 𝑩′(𝟎, 𝟏). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu Y (garis 𝑥 = 0) adalah:

𝑴𝒔𝒃𝒀 = (−𝟏 𝟎𝟎 𝟏

)

Koordinat 𝑨′(−𝟏, 𝟎) Koordinat 𝑩′(𝟎, 𝟏)

𝐴(1, 0)

𝐵(0, 1)

(−1, 0)

(0,−1)

𝑨(𝟏, 𝟎)

𝑨′(−𝟏, 𝟎)

𝑩′(𝟎, 𝟏)

𝑠𝑏 Y

𝑠𝑏 Y



Pencerminan terhadap sumbu X (garis 𝒚 = 𝟎).

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap sumbu X (garis 𝑦 = 0), maka titik A tidak akan berpindah, tetap di A, sehingga koordinatnya tetap di 𝑨′(𝟏, 𝟎). sedangkan titik B akan berpindah ke bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′(𝟎,−𝟏). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu X (garis 𝑦 = 0) adalah:

𝑴𝒔𝒃𝑿 = (𝟏 𝟎𝟎 −𝟏

)

Koordinat 𝑨′(𝟏, 𝟎) Koordinat 𝑩′(𝟎,−𝟏)

Pencerminan terhadap titik asal 𝑶(0, 0).

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap titik asal 𝑂(0, 0), maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′(−𝟏, 𝟎). sedangkan titik B tidak berpindah, tetap di B, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′(𝟎, 𝟏). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap titik asal 𝑂(0, 0) adalah:

𝑴𝑶(𝟎,𝟎) = (−𝟏 𝟎𝟎 −𝟏

)

Koordinat 𝑨′(−𝟏, 𝟎) Koordinat 𝑩′(𝟎, 𝟏)

Pencerminan terhadap garis 𝒚 = 𝒙.

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑥, maka titik A akan berpindah ke kiri atas, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′(𝟎, 𝟏). dan titik B akan berpindah ke kanan bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′(𝟏, 𝟎). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑥 adalah:

𝑴𝒚=𝒙 = (𝟎 𝟏𝟏 𝟎

)

Koordinat 𝑨′(𝟎, 𝟏) Koordinat 𝑩′(𝟏, 𝟎)

𝑨(𝟏, 𝟎)

𝑨′(−𝟏, 𝟎)

𝑦 = 𝑥

𝑩(𝟎, 𝟏)

(𝟎,−𝟏)

𝑂(0, 0)

𝑂(0, 0)

𝑨(𝟏, 𝟎)

𝑨′(𝟎, 𝟏)

𝑦 = 𝑥

𝑩′(𝟏, 𝟎)

𝑩(𝟎, 𝟏)

𝑨′(𝟏, 𝟎)

𝑠𝑏 X

𝑠𝑏 X

𝑩(𝟎, 𝟏)

𝑩′(𝟎, −𝟏)



Pencerminan terhadap garis 𝒚 = −𝒙.

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap garis 𝑦 = −𝑥, maka titik A akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′(𝟎,−𝟏). dan titik B akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′(−𝟏, 𝟎). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap garis 𝑦 = −𝑥 adalah:

𝑴𝒚=−𝒙 = (𝟎 −𝟏−𝟏 𝟎

)

Koordinat 𝑨′(𝟎,−𝟏) Koordinat 𝑩′(−𝟏, 𝟎)

Rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎).

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0), maka titik A akan berpindah ke kiri atas, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′(𝟎, 𝟏). dan titik B akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′(−𝟏, 𝟎). Jadi matriks transformasi rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0):

𝑴𝑹(𝑶,𝟗𝟎°) = (𝟎 −𝟏𝟏 𝟎

)

Koordinat 𝑨′(𝟎, 𝟏) Koordinat 𝑩′(𝟏, 𝟎)

Rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎).

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0), maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′(−𝟏, 𝟎). dan titik B akan berpindah ke bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′(𝟎,−𝟏). Jadi matriks transformasi rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0):

𝑴𝑹(𝑶,𝟏𝟖𝟎°) = (−𝟏 𝟎𝟎 −𝟏

)

Koordinat 𝑨′(−𝟏, 𝟎) Koordinat 𝑩′(𝟎,−𝟏)

𝑦 = −𝑥

𝑨(𝟏, 𝟎)

𝑨′(𝟎, −𝟏)

𝑦 = −𝑥

𝑩(𝟎, 𝟏)

𝑩′(−𝟏, 𝟎)

rotasi 90° berlawanan jarum jam

𝑨(𝟏, 𝟎)

𝑨′(𝟎, 𝟏)

𝑩(𝟎, 𝟏)

𝑩′(−𝟏, 𝟎)



𝑨(𝟏, 𝟎)

𝑨′(−𝟏, 𝟎)

𝑩(𝟎, 𝟏)

𝑩′(𝟎, −𝟏)




Rotasi 270° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎). atau sama dengan Rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎).

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 270° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0) atau sama dengan rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0), maka titik A akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′(𝟎,−𝟏). dan titik B akan berpindah kanan bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′(𝟏, 𝟎). Jadi matriks transformasi rotasi 270° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0) atau sama dengan rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0):

𝑴𝑹(𝑶,𝟐𝟕𝟎°) = 𝑴𝑹(𝑶,−𝟗𝟎°) = (𝟎 𝟏−𝟏 𝟎

)

Koordinat 𝑨′(𝟎, −𝟏) Koordinat 𝑩′(𝟏, 𝟎)

Dilatasi dengan faktor skala dilatasi sebesar 𝒌 dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎).

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk dilatasi dengan faktor skala dilatasi sebesar 𝑘 dengan pusat 𝑂(0, 0), maka titik A berpindah sebesar faktor skala, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′(𝒌, 𝟎). dan titik B berpindah sebesar faktor skala, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′(𝟎, 𝒌). Jadi matriks transformasi dilatasi faktor skala dilatasi sebesar 𝑘 dan pusat 𝑂(0, 0):

𝑴𝑫(𝑶,𝒌) = (𝒌 𝟎𝟎 𝒌

)

Koordinat 𝑨′(𝒌, 𝟎) Koordinat 𝑩′(𝟎, 𝒌)

rotasi 270° berlawanan jarum jam rotasi 90° searah jarum jam

𝑨(𝟏, 𝟎)

𝑨′(𝟎, −𝟏)

𝑩′(𝟏, 𝟎)

𝑩(𝟎, 𝟏)

rotasi 270° berlawanan jarum jam rotasi 90° searah jarum jam

dilatasi dengan faktor skala k

𝑨(𝟏, 𝟎)

𝑨′(𝒌, 𝟎)

𝑩′(𝟎, 𝒌)

𝑩(𝟎, 𝟏)

dilatasi dengan faktor skala k



Pencerminan terhadap garis 𝒚 = 𝒎𝒙, dengan 𝒎 = 𝐭𝐚𝐧𝜽.

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑚𝑥 dengan 𝑚 = tan𝜃, maka titik A akan berputar sejauh 2𝜃, sehingga menjadi 𝑨′(𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽, 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽). dan titik B akan berputar sejauh −(90 − 2𝜃), sehingga menjadi 𝑩′(𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽,−𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽). Jadi matriks transformasi pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑚𝑥 dengan 𝑚 = tan 𝜃:

𝑴𝒚=𝒎𝒙 = (𝐜𝐨𝐬𝟐𝜽 𝐬𝐢𝐧𝟐𝜽𝐬𝐢𝐧𝟐𝜽 −𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽

)

Koordinat 𝑨′(𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽, 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽) Koordinat 𝑩′(𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽,− 𝐜𝐨𝐬𝟐𝜽)

Rotasi sebesar 𝜽 berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎).

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0), maka titik A akan berputar sejauh 𝜃, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′(𝐜𝐨𝐬 𝜽, 𝐬𝐢𝐧 𝜽). dan titik B akan berputar sejauh 𝜃, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′(−𝐬𝐢𝐧 𝜽, 𝐜𝐨𝐬 𝜽). Jadi matriks transformasi rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0):

𝑴𝑹(𝑶,𝜽) = (𝐜𝐨𝐬𝜽 −𝐬𝐢𝐧𝜽𝐬𝐢𝐧𝜽 𝐜𝐨𝐬𝜽

)

Koordinat 𝑨′(𝐜𝐨𝐬 𝜽, 𝐬𝐢𝐧 𝜽) Koordinat 𝑩′(−𝐬𝐢𝐧 𝜽, 𝐜𝐨𝐬 𝜽)

Kesimpulan LOGIKA PRAKTIS menyusun matriks transformasi acuan:

Dari semua matriks transformasi yang ada, satu hal yang penting dan yang perlu diingat adalah bagaimana konsep menyusun matriks transformasi tersebut , yaitu:

Kolom pertama matriks transformasi adalah bayangan titik 𝑨(𝟏, 𝟎) terhadap transformasi tersebut. Kolom kedua matriks transformasi adalah bayangan titik 𝑩(𝟎, 𝟏) terhadap transformasi tersebut.

𝑀 = (𝒂 𝒃𝒄 𝒅

) = (𝒙𝑨′ 𝒙𝑩

′

𝒚𝑨′ 𝒚𝑩

′)

𝑨(𝟏, 𝟎)

𝑩(𝟎, 𝟏)

𝜽

𝑨′(𝐜𝐨𝐬 𝜽 , 𝐬𝐢𝐧𝜽)

𝑩′(−𝐬𝐢𝐧 𝜽, 𝐜𝐨𝐬 𝜽) 𝜽

𝑨(𝟏, 𝟎)

𝜽

𝑨′(𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 , 𝐬𝐢𝐧𝟐𝜽)

𝜽

𝑩(𝟎, 𝟏)

𝑩′(𝐜𝐨𝐬 (𝟗𝟎° − 𝟐𝜽), − 𝐬𝐢𝐧(𝟗𝟎° − 𝟐𝜽)) atau dengan sifat kuadran

bisa diubah menjadi 𝑩′(𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽,− 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽)

𝟗𝟎° − 𝟐𝜽

𝜽

𝜽



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun matriks transformasi TURUNAN.

Masih ingat matriks transformasi acuan kita. Oke saya ingatkan lagi! Berikut ini matriks acuan kita. Semuanya yang berwarna biru memang serba nol! Ini acuan kita.

Pencerminan:

terhadap garis 𝑦 = 𝟎 (sumbu X) terhadap garis 𝑥 = 𝟎 (sumbu Y) terhadap titik (0, 0) terhadap garis 𝑦 = ±𝑥 terhadap garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝟎

Rotasi

sebesar 𝜃 berlawanan arah jarum jam dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎)

Dilatasi

faktor dilatasi 𝑘 dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎)

Perhatikan yang saya tandai warna biru. Itu yang bisa berubah! Perhatikan perbedaannya dengan transformasi di bawah ini! Pencerminan:

pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝒃 pencerminan terhadap garis 𝑥 = 𝒂 pencerminan terhadap titik (𝒂, 𝒃) pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝒄

Rotasi

rotasi sebesar 𝜃 berlawanan arah jarum jam, tapi dengan pusat rotasi titik 𝑷(𝒂, 𝒃)

Dilatasi

dilatasi dengan faktor dilatasi 𝑘, tapi dengan pusat rotasi titik 𝑷(𝒂, 𝒃)

Tidak perlu khawatir lagi, gunakan LOGIKA PRAKTIS seperti ini: Pertama, lakukan translasi supaya kembali ke posisi transformasi acuan. Misal rotasi sebesar 𝜃, kok pusatnya di titik 𝑃(𝑎, 𝑏) bukan 𝑂(0, 0)?

Maka lakukan translasi (−𝑎−𝑏) pada titik tersebut, agar pusatnya menjadi ke 𝑂(0, 0)

(𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏)

Kedua, lakukan transformasi rotasi yang dimaksud!

(𝑥′

𝑦′) = 𝑀𝑅(𝑃,𝜃) (

𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏)

Ketiga, kembalikan hasil transformasi ke posisi semula dengan mentranslasi balik yaitu 𝑇 = (𝑎𝑏).

(𝑥′

𝑦′) = 𝑀𝑅(𝑃,𝜃) (

𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏) + (

𝑎𝑏)

atau biasa ditulis dengan:

(𝑥′ − 𝒂𝑦′ − 𝒃

) = 𝑀𝑅(𝑃,𝜃) (𝑥 − 𝒂𝑦 − 𝒃)

Kesimpulan LOGIKA PRAKTIS menyusun matriks transformasi TURUNAN dari matriks transformasi ACUAN:

Ingat bentuk matriks transformasi ACUAN, lalu lakukan translasi pada kedua variabel titik awal maupun hasil akhir, sehingga bentuk matriks transformasi TURUNAN sebagai berikut:

(𝑥′ − 𝒂𝑦′ − 𝒃

) = 𝑀 (𝑥 − 𝒂𝑦 − 𝒃)



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk Transformasi pada Kurva terhadap matriks transformasi 𝑻 = (𝒑 𝒒𝒓 𝒔

).

Masih ingat pengerjaan transformasi pada kurva? Asyik! Kalau transformasi sebuah titik, tinggal masukin aja ke persamaan matriks transformasi. Sedangkan apabila transformasi dilakukan pada sebuah kurva, maka perlu diinvers terlebih dahulu supaya muncul bentuk 𝑥 = … .atau 𝑦 = …. yang kemudian akan disubstitusikan ke persamaan. Nah, ini dia bentuk persamaan matriks transformasinya.

(𝑥𝑦) = 𝑀

−1 (𝑥′𝑦′)

Sekarang misal bunyi soalnya seperti ini: Diketahui persamaan 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎, maka bayangan persamaan tersebut oleh transformasi yang

bersesuaian dengan matriks (𝒑 𝒒𝒓 𝒔

) adalah …. ???

Nah, misalkan matriks transformasi 𝑀 adalah 𝑇 = (𝑝 𝑞𝑟 𝑠

) dan |𝑀| adalah determinan matriks transformasi

tersebut, maka persamaan matriks transformasi menjadi:

(𝑥𝑦) = 𝑀

−1 (𝑥′𝑦′)

⇒ (𝑥𝑦) =

1

|𝑀|(𝑠 −𝑞−𝑟 𝑝 ) (

𝑥′

𝑦′)

Dari persamaan matriks tersebut diperoleh:

𝑥 =1

|𝑀|(𝑠𝑥′ − 𝑞𝑦′)

𝑦 =1

|𝑀|(−𝑟𝑥′ + 𝑝𝑦′)

Substitusikan 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, maka akan diperoleh:

𝑎 [1

|𝑀|(𝑠𝑥′ − 𝑞𝑦′)] + 𝑏 [

1

|𝑀|(−𝑟𝑥′ + 𝑝𝑦′)] + 𝑐 = 0 (kalikan semua ruas dengan |𝑀|)

⇒ 𝑎(𝑠𝑥′ − 𝑞𝑦′) + 𝑏(−𝑟𝑥′ + 𝑝𝑦′) + |𝑀|𝑐 = 0

⇔ 𝑎𝑠𝑥′ − 𝑎𝑞𝑦′ − 𝑏𝑟𝑥′ + 𝑏𝑝𝑦′ + |𝑀|𝑐 = 0

⇔ 𝑎𝑠𝑥′ − 𝑏𝑟𝑥′ + 𝑏𝑝𝑦′ − 𝑎𝑞𝑦′ + |𝑀|𝑐 = 0

⇔ (𝑎𝑠 − 𝑏𝑟)𝑥′ + (𝑏𝑝 − 𝑎𝑞)𝑦′ + |𝑀|𝑐 = 0

⇔ |𝑎 𝑏𝑟 𝑠

| 𝑥′ + |𝑝 𝑞𝑎 𝑏

|𝑦′ + |𝑝 𝑞𝑎 𝑏

| 𝑐 = 0

TRIK SUPERKILAT:

Jadi rumus cepat untuk bayangan garis 𝒂𝑥 + 𝒃𝑦 + 𝒄 = 0 terhadap matriks transformasi 𝑇 = ( 𝒑 𝒒𝒓 𝒔

):

|𝒂 𝒃𝒓 𝒔

| 𝑥 + |𝒑 𝒒𝒂 𝒃

| 𝑦 + |𝒑 𝒒𝒓 𝒔

| 𝑐 = 0




Menentukan bayangan transformasi tunggal terhadap sebuah titik. Contoh Soal 1:

Bayangan dari titik 𝐴(3,−5) oleh transformasi 𝑇 = (23) adalah ….

a. (5, −8) b. (5, −2) c. (1, −2) d. (−5, 2) e. (−5, 8)

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep translasi diperoleh:

(𝑥′

𝑦′) = (

𝑥𝑦) + (

𝑎𝑏) = (

3−5) + (

23) = (

5−2)

Contoh Soal 2: Bayangan dari titik 𝐵(3,−5) oleh pencerminan terhadap garis 𝑦 = −2 adalah …. a. (5, −8) b. (5, −2) c. (1, −2) d. (−5, 2) e. (−5, 8)

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pencerminan maka kita harus mengembalikan ke garis acuan yaitu 𝑦 = 0

alias sumbu X, masih ingat kan matriks transformasinya?

(𝑥′

𝑦′ + 2) = 𝑀𝑠𝑏𝑋 (

𝑥𝑦 + 2)

⇒ (𝑥′

𝑦′ + 2) = (

1 00 −1

) (3

(−5) + 2)

⇔ (𝑥′

𝑦′ + 2) = (

1 00 −1

) (3−3)

⇔ (𝑥′

𝑦′) + (

02) = (

33)

⇔ (𝑥′

𝑦′) = (

33) − (

02)

⇔ (𝑥′

𝑦′) = (

31)

Atau menggunakan pemetaan:

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑦=𝒃 → 𝐴′(𝑥, 𝟐𝒃 − 𝑦)

Jadi: 𝑥′ = 𝑥 = 3 𝑦′ = 2𝑏 − 𝑦 = 2(−2) − (−5) = −4 + 5 = 1

Jadi bayangan titik tersebut adalah 𝐵′(3, 1) Atau menggunakan grafik. (3, 1) 𝑦 = −2 (3, −5)



Contoh Soal 3: Bayangan dari titik 𝐶(−2, 1) oleh rotasi sebesar 45° dengan pusat (1, 2) adalah ….

a. (1 − √2, 2 − √2)

b. (2 − √2, 1 − √2)

c. (−1 + √2, 1 − √2)

d. (2 + √2, 2 − √2)

e. (1 − √2, 2 + √2)

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep rotasi maka kita harus mengembalikan rotasi acuan dengan pusat 𝑂(0, 0)

masih ingat kan matriks transformasinya?

(𝑥′ − 1𝑦′ − 2

) = 𝑀𝑅(𝑂,45°) (𝑥 − 1𝑦 − 2

)

⇒ (𝑥′ − 1𝑦′ − 2

) = (cos 45° −sin 45°sin45° cos 45°

) (−2 − 11 − 2

)

⇔ (𝑥′ − 1𝑦′ − 2

) = (

1

2√2 −

1

2√2

1

2√2

1

2√2

)(−3−1)

⇔ (𝑥′

𝑦′) + (

−1−2) = (

−3

2√2 +

1

2√2

−3

2√2 −

1

2√2

)

⇔ (𝑥′

𝑦′) + (

−1−2) = (

−√2

−2√2)

⇔ (𝑥′

𝑦′) = (

−√2

−2√2) − (

−1−2)

⇔ (𝑥′

𝑦′) = ( 1 − √2

2 − 2√2)

Contoh Soal 4: Bayangan dari titik 𝐷(4, 2) oleh dilatasi dengan faktor dilatasi −2 dan pusat (0, 5) adalah …. a. (8, 4) b. (8, 1) c. (−8, 1) d. (−8, 3) e. (−8, 11)

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep dilatasi maka kita harus mengembalikan ke dilatasi acuan pusat 𝑂(0, 0)

masih ingat kan matriks transformasinya?

(𝑥′

𝑦′ − 5) = 𝑀𝐷(𝑂,−2) (

𝑥𝑦 − 5)

⇒ (𝑥′

𝑦′ − 5) = (

−2 00 −2

) (4

2 − 5)

⇔ (𝑥′

𝑦′ − 5) = (

−2 00 −2

) (4−3)

⇔ (𝑥′

𝑦′) + (

0−5) = (

−86)

⇔ (𝑥′

𝑦′) = (

−86) − (

0−5)

⇔ (𝑥′

𝑦′) = (

−811)



Menentukan bayangan komposisi transformasi terhadap sebuah titik. Bayangan dari titik 𝐸(2, 0) oleh pencerminan terhadap sumbu X dan dilanjutkan dengan rotasi 90° terhadap titik asal 𝑂(0, 0) adalah …. a. (2, 0) b. (2, −2) c. (1, 2) d. (0, 2) e. (0, −2)

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep komposisi transformasi maka:

(𝑥′

𝑦′) = 𝑀𝑅(𝑂,90°) ∘ 𝑀𝑠𝑏𝑋 (

𝑥𝑦)

⇒ (𝑥′

𝑦′) = (

0 −11 0

) (1 00 −1

) (20)

⇔ (𝑥′

𝑦′) = (

0 11 0

) (20)

⇔ (𝑥′

𝑦′) = (

02)

Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS: Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut: Titik A(1, 0) di transformasikan sebagai berikut: Dicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan rotasi 90°, hasilnya 𝐴′(0, 1) Titik B(0, 1) ditransformasikan sebagai berikut: Dicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan rotasi 90°, hasilnya 𝐵′(1, 0) Maka matriks komposisi transformasinya adalah:

𝑀 = (0 11 0

)

Sehingga,

(𝑥′

𝑦′) = 𝑀 (

𝑥𝑦)

⇒ (𝑥′

𝑦′) = (

0 11 0

) (20)

⇔ (𝑥′

𝑦′) = (

02)

Selesai!



Menentukan bayangan transformasi tunggal terhadap sebuah kurva. Contoh Soal 1:

Bayangan dari kurva 3𝑥 − 2𝑦 = 7 oleh transformasi 𝑇 = (25) adalah ….

a. 3𝑥 − 2𝑦 = 3 b. 3𝑥 − 2𝑦 = 5 c. 3𝑥 − 2𝑦 = 9 d. 3𝑥 − 2𝑦 = 11 e. 3𝑥 − 2𝑦 = 23

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep translasi diperoleh:

(𝑥′

𝑦′) = (

𝑥𝑦) + (

𝑎𝑏) 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 ⇒ (

𝑥𝑦) = (

𝑥′

𝑦′) − (

𝑎𝑏)

(𝑥𝑦) = (

𝑥′

𝑦′) − (

𝑎𝑏)

⇒ (𝑥𝑦) = (

𝑥′

𝑦′) − (

25)

⇔ (𝑥𝑦) = (

𝑥′ − 2𝑦′ − 5

) ⇒𝑥 = 𝑥′ − 2𝑦 = 𝑦′ − 5

Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 3𝑥 − 2𝑦 = 7, diperoleh:

⇒ 3(𝑥′ − 2) − 2(𝑦′ − 5) = 7

⇔ 3𝑥′ − 6 − 2𝑦′ + 10 = 7

⇔ 3𝑥′ − 2𝑦′ + 4 = 7

⇔ 3𝑥′ − 2𝑦′ = 7 − 4

⇔ 3𝑥′ − 2𝑦′ = 3

Jadi persamaan bayangannya adalah 3𝑥 − 2𝑦 = 3

TRIK SUPERKILAT:

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 𝑻=(

𝒑𝒒)

→ 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 + 𝒂𝒑 + 𝒃𝒒

3𝑥 − 2𝑦 = 7 𝑇=(

25)

→ 3𝑥 − 2𝑦 = 7 + 3(2) − 2(5)⇒ 3𝑥 − 2𝑦 = 7 + 6 − 10⇒ 3𝑥 − 2𝑦 = 3



Contoh Soal 2: Bayangan dari kurva 𝑦 = 2𝑥2 + 3𝑥 − 1 oleh pencerminan terhadap sumbu Y adalah …. a. 𝑦 = 2𝑥2 + 3𝑥 − 1 b. 𝑦 = −2𝑥2 + 3𝑥 − 1 c. 𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 − 1 d. 𝑦 = −2𝑥2 − 3𝑥 − 1 e. 𝑦 = 3𝑥2 − 2𝑥 − 1

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pencerminan terhadap sumbu Y diperoleh:

(𝑥′

𝑦′) = (

−1 00 1

) (𝑥𝑦) ⇒

𝑥′ = −𝑥𝑦′ = 𝑦

𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 ⇒

𝑥 = −𝑥′

𝑦 = 𝑦′

Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 𝑦 = 2𝑥2 + 3𝑥 − 1, diperoleh:

⇒ 𝑦 = 2𝑥2 + 3𝑥 − 1

⇔ 𝑦′ = 2(−𝑥′)2 + 3(−𝑥′) − 1

⇔ 𝑦′ = 2𝑥′2− 3𝑥′ − 1

Jadi persamaan bayangannya adalah 𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 − 1.

TRIK SUPERKILAT: Untuk transformasi pada sebuah kurva, apabila matriksnya mudah untuk diinvers maka tidak perlu menggunakan invers matriks, cukup inverskan dengan cara biasa saja. Contohnya matriks transformasi yang elemennya 0 atau 1. Gunakan invers matriks apabila matriksnya sukar untuk diinvers dengan cara biasa.

Contoh Soal 3: Bayangan dari kurva 𝑦 = 4𝑥2 − 1 oleh pencerminan terhadap rotasi sebesar sudut 𝜃 = 𝜋 dengan pusat 𝑃(1, 2) adalah …. a. 𝑦 = −4𝑥2 + 16𝑥 − 11 b. 𝑦 = 4𝑥2 + 16𝑥 − 11 c. 𝑦 = −4𝑥2 − 16𝑥 − 11 d. 𝑦 = −4𝑥2 − 16𝑥 + 11 e. 𝑦 = 4𝑥2 − 16𝑥 + 11

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep rotasi sebesar 180° terhadap pusat 𝑃(1, 2) diperoleh:

(𝑥′ − 1𝑦′ − 2

) = (−1 00 −1

)(𝑥 − 1𝑦 − 2

) 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 ⇒ (

𝑥 − 1𝑦 − 2

) = (−1 00 −1

) (𝑥′ − 1𝑦′ − 2

)

(𝑥 − 1𝑦 − 2

) = (−1 00 −1

) (𝑥′ − 1𝑦′ − 2

)

⇒ (𝑥𝑦) + (

−1−2) = (

−𝑥′ + 1−𝑦′ + 2

)

⇔ (𝑥𝑦) = (

−𝑥′ + 1−𝑦′ + 2

) − (−1−2)

⇔ (𝑥𝑦) = (

−𝑥′ + 2−𝑦′ + 4

) ⇒𝑥 = −𝑥′ + 2𝑦 = −𝑦′ + 4

Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan = 4𝑥2 − 1 , diperoleh:

⇒ 𝑦 = 4𝑥2 − 1

⇔ −𝑦′ + 4 = 4(−𝑥′ + 2)2 − 1

⇔ −𝑦′ + 4 = 4(𝑥′2− 4𝑥′ + 4) − 1

⇔ −𝑦′ = 4𝑥′2− 16𝑥′ + 16 − 1 − 4

⇔ −𝑦′ = 4𝑥′2− 16𝑥′ + 11

⇔ 𝑦′ = −4𝑥′2+ 16𝑥′ − 11

Jadi persamaan bayangannya adalah 𝑦 = −4𝑥2 + 16𝑥 − 11.



Contoh Soal 4: Bayangan dari kurva 2𝑦 = 6𝑥 − 1 oleh pencerminan terhadap dilatasi dengan faktor skala 2 dengan pusat 𝑃(1, 0) adalah …. a. (5, −8) b. (5, −2) c. (1, −2) d. (−5, 2) e. (−5, 8)

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep dilatasi dengan faktor skala 2 terhadap pusat 𝑃(1, 0) diperoleh:

(𝑥′ − 1𝑦′

) = (2 00 2

) (𝑥 − 1𝑦) 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 ⇒ (

𝑥 − 1𝑦) =

1

4(2 00 2

) (𝑥′ − 1𝑦′

)

⇒ (𝑥𝑦) + (

−10) =

1

4(2𝑥′ − 22𝑦′

)

⇔ (𝑥𝑦) =

1

4(2𝑥′ − 22𝑦′

) − (−10)

⇔ (𝑥𝑦) = (

1

2𝑥′ −

1

21

2𝑦′

)− (−10)

⇔ (𝑥𝑦) = (

1

2𝑥′ +

1

21

2𝑦′

) ⇒𝑥 =

1

2𝑥′ +

1

2

𝑦 =1

2𝑦′

Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 2𝑦 = 6𝑥 − 1 , diperoleh:

⇒ 2𝑦 = 6𝑥 − 1

⇔ 2(1

2𝑦′) = 6 (

1

2𝑥′ +

1

2) − 1

⇔ 𝑦′ = 3𝑥′ + 3 − 1

⇔ 𝑦′ = 3𝑥′ + 2

Jadi persamaan bayangannya adalah 𝑦 = 3𝑥 + 2.



Contoh Soal 5:

Bayangan dari kurva 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks (2 −31 −1

) adalah

…. a. 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 b. 2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 c. 𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 d. 𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 e. −𝑥 − 𝑦 + 3 = 0

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep matriks transformasi diperoleh:

(𝑥′

𝑦′) = (

2 −31 −1

) (𝑥 − 1𝑦) 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 ⇒ (

𝑥𝑦) =

1

1(−1 3−1 2

) (𝑥′

𝑦′)

⇒ (𝑥𝑦) = (

−𝑥′ + 3𝑦′

−𝑥′ + 2𝑦′) ⇒

𝑥 = −𝑥′ + 3𝑦′

𝑦 = −𝑥′ + 2𝑦′

Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 2𝑦 = 6𝑥 − 1 , diperoleh:

⇒ 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0

⇔ (−𝑥′ + 3𝑦′) − 2(−𝑥′ + 2𝑦′) + 3 = 0

⇔ −𝑥′ + 3𝑦′ + 2𝑥′ − 4𝑦′ + 3 = 0

⇔ −𝑥′ + 2𝑥′ + 3𝑦′ − 4𝑦′ + 3 = 0

⇔ 𝑥′ − 𝑦′ + 3 = 0

Jadi persamaan bayangannya adalah 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 TRIK SUPERKILAT

Bayangan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 terhadap matriks transformasi 𝑇 = ( 𝑝 𝑞𝑟 𝑠

):

|𝑎 𝑏𝑟 𝑠

| 𝑥 + |𝑝 𝑞𝑎 𝑏

| 𝑦 + |𝑝 𝑞𝑟 𝑠

| 𝑐 = 0

Bayangan garis 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0 terhadap matriks transformasi 𝑇 = ( 2 −31 −1

):

|1 −21 −1

| 𝑥 + |2 −31 −2

|𝑦 + |2 −31 −1

| 𝑐 = 0

⇒ (−1 − (−2))𝑥 + (−4 − (−3))𝑦 + (−2 − (−3))3 = 0

⇒ 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0



Menentukan bayangan komposisi transformasi terhadap sebuah kurva. Contoh Soal 1: Bayangan garis 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0 oleh refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑥 diikuti oleh rotasi dengan pusat 𝑂(0, 0) sejauh setengah putaran adalah …. a. 3𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0 b. 2𝑥 + 3𝑦 + 6 = 0 c. −3𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0 d. −2𝑥 + 2𝑦 + 6 = 0 e. 3𝑥 + 2𝑦 + 6 = 0

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep komposisi matriks transformasi diperoleh:

(𝑥′

𝑦′) = (𝑇2 ∘ 𝑇1) (

𝑥𝑦)

(𝑥′

𝑦′) = 𝑀𝑅(𝑂,180°)𝑀𝑦=𝑥 (

𝑥𝑦)

(𝑥′

𝑦′) = (

−1 00 −1

)(0 11 0

) (𝑥𝑦)

(𝑥′

𝑦′) = (

0 −1−1 0

)(𝑥𝑦)

(𝑥′𝑦′) = (

−𝑦−𝑥) 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 ⇒

𝑥 = −𝑦′

𝑦 = −𝑥′

Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0 , diperoleh:

⇒ 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0

⇔ 2(−𝑦′) − 3(−𝑥′) + 6 = 0

⇔ 3𝑥′ − 2𝑦′ + 6 = 0

Jadi persamaan bayangannya adalah 3𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0

Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS: Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut: Titik A(1, 0) dicerminkan oleh garis 𝑦 = 𝑥 dilanjutkan rotasi 180° pusat O, hasilnya 𝐴′(0, −1) Titik B(0, 1) dicerminkan oleh garis 𝑦 = 𝑥 dilanjutkan rotasi 180° pusat O, hasilnya 𝐵′(−1, 0) Maka matriks komposisi transformasinya adalah:

𝑀 = (0 −1−1 0

)

Sehingga,

(𝑥′

𝑦′) = (

0 −1−1 0

)(𝑥𝑦)

(𝑥′𝑦′) = (

−𝑦−𝑥) 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 ⇒

𝑥 = −𝑦′

𝑦 = −𝑥′

Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0 , diperoleh:

⇒ 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0

⇔ 2(−𝑦′) − 3(−𝑥′) + 6 = 0

⇔ 3𝑥′ − 2𝑦′ + 6 = 0

Jadi persamaan bayangannya adalah 3𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0



Contoh Soal 2: Bayangan garis 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 oleh pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat 𝑂(0, 0) dan faktor skala 3 adalah …. a. 𝑥2 − 9𝑥 − 3𝑦 + 18 = 0 b. 𝑥2 − 9𝑥 + 3𝑦 + 18 = 0 c. 𝑥2 − 3𝑥 + 9𝑦 + 18 = 0 d. 𝑥2 + 9𝑥 − 3𝑦 − 18 = 0 e. 𝑥2 − 9𝑥 − 3𝑦 − 18 = 0

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep komposisi matriks transformasi diperoleh:

(𝑥′

𝑦′) = (𝑇2 ∘ 𝑇1) (

𝑥𝑦)

(𝑥′

𝑦′) = 𝑀𝐷(𝑂,3)𝑀𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢𝑋 (

𝑥𝑦)

(𝑥′

𝑦′) = (

3 00 3

) (1 00 −1

)(𝑥𝑦)

(𝑥′

𝑦′) = (

3 00 −3

) (𝑥𝑦)

(𝑥′𝑦′) = (

3𝑥−3𝑦

) 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 ⇒

𝑥 =1

3𝑥′

𝑦 = −1

3𝑦′

Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 , diperoleh:

⇒ 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2

⇔ −1

3𝑦′ = (

1

3𝑥′)

2

− 3(1

3𝑥′) + 2

⇔ −1

3𝑦′ =

1

9𝑥′2− 𝑥′ + 2 (kalikan semua ruas dengan 9)

⇔ −3𝑦′ = 𝑥′2− 9𝑥′ + 18

⇔ 𝑥′2− 9𝑥′ + 3𝑦′ + 18 = 0

Jadi persamaan bayangannya adalah 𝑥2 − 9𝑥 + 3𝑦 + 18 = 0

Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS: Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut:

Titik A(1, 0) diicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan dilatasi dengan faktor dilatasi 3 pusat O, hasilnya 𝐴′(3, 0)

Titik B(0, 1) diicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan dilatasi dengan faktor dilatasi 3 pusat O, hasilnya 𝐵′(0, −3)

Maka matriks komposisi transformasinya adalah:

𝑀 = (3 00 −3

)

Dan seterusnya, setelah komposisi matriks transformasi ketemu maka langkah selanjutnyanya sama dengan penyelesaian cara biasa di atas.




1. Bayangan garis 52 yx bila ditransformasi dengan matriks transformasi

21

53 dilanjutkan dengan

pencerminan terhadap sumbu X adalah ....

A. 5411 yx

B. 524 yx

C. 5114 yx

D. 553 yx

E. 5113 yx

2. Bayangan kurva 293 xxy jika dirotasi dengan pusat O (0, 0) sejauh 90° dilanjutkan dengan dilatasi

dengan pusat O (0, 0) dan faktor skala 3 adalah ....

A. yyx 33 2

B. yyx 32

C. yyx 33 2

D. xxy 33 2

E. yxy 32

3. Bayangan kurva 332 xxy jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat O

dan faktor skala 3 adalah ....

A. 027392 yxx

B. 027392 yxx

C. 02793 2 yxx

D. 02793 2 yxx

E. 02793 2 xx

4. Persamaan bayangan lingkaran 422 yx bila dicerminkan terhadap garis 2x dilanjutkan dengan

translasi

4

3 adalah ....

A. 0138222 yxyx

B. 0138222 yxyx

C. 0138222 yxyx

D. 0138222 yxyx

E. 0132822 yxyx


TIPS SUPERKILAT:

Bayangan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 terhadap matriks transformasi 𝑇 = ( 𝑝 𝑞𝑟 𝑠

):

|𝑎 𝑏𝑟 𝑠

| 𝑥 + |𝑝 𝑞𝑎 𝑏

| 𝑦 + |𝑝 𝑞𝑟 𝑠

| 𝑐 = 0

𝑇1 = (3 51 2

) ; 𝑇2 =𝑀𝑠𝑏 𝑥

(1 00 −1

) ; 𝑇 = 𝑇2 ∘ 𝑇1 = (1 00 −1

) (3 51 2

) = (3 5−1 −2

)

Bayangan garis 𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 terhadap matriks transformasi T adalah : |1 −2−1 −2

| 𝑥 + |3 51 −2

| 𝑦 + |3 5−1 −2

| (−5) = 0 ⇒ −4𝑥 − 11𝑦 + 5 = 0

⇒ 4𝑥 + 11𝑦 = 5

𝑇1 = (0 −11 0

) ; 𝑇2 = (3 00 3

)

𝑇2 ∘ 𝑇1 = (3 00 3

) (0 −11 0

) = (0 −33 0

)

(𝑥′

𝑦′) = (

0 −33 0

) (𝑥𝑦)

𝑥′ = −3𝑦 ⇒ 𝑦 = −1

3𝑥′

𝑦′ = 3𝑥 ⇒ 𝑥 =1

3𝑦′

𝑦 = 3𝑥 − 9𝑥2 ⇒ (−1

3𝑥′) = 3 (

1

3𝑦′) − 9 (

1

3𝑦′)

2

⇔ −1

3𝑥′ = 𝑦′ − 𝑦′2 (dikali − 3)

⇔ 𝑥′ = 3𝑦′2− 3𝑦′

𝑇1 = (0 −11 0

) ; 𝑇2 = (3 00 3

)

𝑇2 ∘ 𝑇1 = (3 00 3

) (1 00 −1

) = (3 00 −3

)

(𝑥′

𝑦′) = (

3 00 −3

) (𝑥𝑦)

𝑥′ = 3𝑥 ⇒ 𝑥 =1

3𝑥′

𝑦′ = −3𝑦 ⇒ 𝑦 = −1

3𝑦′

𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 + 3

⇒ (−1

3𝑦′) = (

1

3𝑥)2

+ 3(1

3𝑥′) + 3

⇔ −1

3𝑦′ =

1

9𝑥′2 + 𝑥′ + 3 (dikali − 9)

⇔ −3𝑦′ = 𝑥′2 + 9𝑥′ + 27

⇔ 0 = 𝑥′2 + 9𝑥′ + 3𝑦′ + 27

(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑥=2 → (4 − 𝑥, 𝑦)

(−34)

→ (1 − 𝑥, 𝑦 + 4)

𝑥′ = 1 − 𝑥 ⇒ 𝑥 = 1 − 𝑥′ 𝑦′ = 𝑦 + 4 ⇒ 𝑦 = 𝑦′ − 4 𝑥2 + 𝑦2 = 4 ⇒ (1 − 𝑥)2 + (𝑦 − 4)2 = 4

⇔ 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦2 − 8𝑥 + 16 = 4

⇔ 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 8𝑦 + 17 = 4

⇔ 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 8𝑦 + 17 − 4 = 0

⇔ 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 8𝑦 + 13 = 0

TRIK SUPERKILAT:

Bayangkan titik pusat (0, 0) dicerminkan terhadap 𝑥 = 2, akan berpindah ke (0, 4), lalu ditranslasi -3 satuan di sumbu X, dan 4 satuan di sumbu Y, maka titik tersebut sekarang berada di (1, 4).

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat (1, 4) adalah jawaban A!!!






2. 14. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen atau logaritma.

Pertidaksamaan Eksponen atau Logaritma

Eksponen Logaritma

𝑎𝑓(𝑥) 𝑎 log 𝑓(𝑥)

Syarat Eksponen Syarat Logaritma 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1 𝑓(𝑥) bebas berapapun boleh 𝑓(𝑥) > 0 Perhatikan bilangan pokoknya

𝑎𝑓(𝑥) atau 𝑎 log 𝑓(𝑥) pasti sudah memenuhi syarat

Lebih Dari Satu Diantara Nol dan Satu

𝑎 > 1 0 < 𝑎 < 1 “Tanda pertidaksamaan tetap” “Tanda pertidaksamaan dibalik”

𝑎𝑓(𝑥) ≥ 𝑎𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)

𝑎𝑓(𝑥) ≤ 𝑎𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)𝑎 log 𝑓(𝑥) ≥ 𝑎 log 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)𝑎 log 𝑓(𝑥) ≤ 𝑎 log 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)

𝑎𝑓(𝑥) ≥ 𝑎𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)

𝑎𝑓(𝑥) ≤ 𝑎𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)𝑎 log 𝑓(𝑥) ≥ 𝑎 log 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)𝑎 log 𝑓(𝑥) ≤ 𝑎 log 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)

Syarat Eksponen Syarat Logaritma 𝑓(𝑥) bebas berapapun boleh 𝑓(𝑥) > 0, 𝑔(𝑥) > 0



TRIK SUPERKILAT Baca soal Cek topik soal tentang apa? Pertidaksamaan Eksponen Pertidaksamaan Logaritma Selesaikan pertidaksamaan Selesaikan pertidaksamaan Syarat numerus harus positif Iriskan dalam garis bilangan Selesai Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang pertidaksamaan eksponen atau logaritma, mau tidak mau kita harus paham tentang bagaimana sifat perpangkatan atau logaritma itu sendiri. Lalu yang tak kalah pentingnya adalah untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, maka perlu diperhatikan juga syarat logaritma itu terdefinisi, selain bilangan pokok harus positif dan tidak boleh satu, juga harus dipenuhi syarat numerus harus positif.




Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen bentuk 𝒂𝒇(𝒙) ≥ 𝒂𝒈(𝒙). Contoh Soal:

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (1

8)𝑥+3

≥ (1

2)𝑥2−1

adalah ….

a. −5 ≤ 𝑥 ≤ 2 b. −2 ≤ 𝑥 ≤ 5 c. 𝑥 ≤ −2 atau 𝑥 ≥ 5 d. 𝑥 ≤ −5 atau 𝑥 ≥ 2 e. 𝑥 ≥ 5

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan eksponen diperoleh:

(1

8)𝑥+3

≥ (1

2)𝑥2−1

⇒ (2−3)𝑥+3 ≥ (2−1)𝑥2−1

⇔ 2−3(𝑥+3) ≥ 2−1(𝑥2−1)

⇔ 2−3𝑥−9 ≥ 2−𝑥2+1

⇔ −3𝑥 − 9 ≥ −𝑥2 + 1⇔ 𝑥2 − 3𝑥 − 10 ≥ 0⇔ (𝑥 + 2)(𝑥 − 5) ≥ 0Pembuat nol

⇒ 𝑥 + 2 = 0 atau 𝑥 − 5 = 0⇔ 𝑥 = −2 atau 𝑥 = 5

Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan,

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {𝑥|𝑥 ≤ −2 atau 𝑥 ≥ 5}.

kita punya dua pilihan, yaitu mengubah 1

8 dan

1

2

menjadi 1

2 pangkat berapa atau 2 pangkat berapa

konsekuensinya?

kalau memilih 1

2maka tanda pertidaksamaan harus dibalik,

sedangkan bila memilih 2 maka tanda pertidaksamaan tetap

}

saya lebih memilih 2, supaya tandanya tidak berubah

+ +

−

−2 5



Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen bentuk

𝑨{𝒂𝒇(𝒙)}𝟐+𝑩{𝒂𝒇(𝒙)} + 𝑪 ≥ 𝟎

Contoh Soal 1: Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 32𝑥+1 − 4 . 3𝑥+2 + 34 > 0 adalah …. a. 0 < 𝑥 < 2 b. 1 < 𝑥 < 2 c. 𝑥 < 1 atau 𝑥 > 2 d. 𝑥 < 0 atau 𝑥 > 1 e. 𝑥 > 2


32𝑥+1 − 4 . 3𝑥+2 + 34 > 0 (Ingat 32𝑥+1 = 32𝑥 ∙ 31 dan 3𝑥+2 = 3𝑥 ∙ 32)

⇒ 3 . 32𝑥 − 4 . 9 . (3𝑥) + 27 > 0

⇔ 3 . (3𝑥)2 − 36. (3𝑥) + 27 > 0Misal 𝑎 = 3𝑥

⇒ 3𝑎2 − 36𝑎 + 81 > 0⇔ 3(𝑎 − 3)(𝑎 − 9) > 0Pembuat nol ∶

⇒ 𝑎 − 3 = 0 atau 𝑎 − 9 = 0⇔ 𝑎 = 3 atau 𝑎 = 9


Jadi daerah penyelesaian:

𝑎 < 3 atau 𝑎 > 93𝑥 < 3 atau 3𝑥 > 9𝑥 < 1 atau 𝑥 > 2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {𝑥|𝑥 < 1 atau 𝑥 > 2}.

+ +

−

3 9



Contoh Soal 2: Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3𝑥 + 35−𝑥 > 36 adalah …. a. 2 < 𝑥 < 3 b. 3 < 𝑥 < 9 c. 𝑥 < 2 atau 𝑥 > 3 d. 𝑥 < 3 atau 𝑥 > 9 e. 𝑥 > 3


3𝑥 + 35−𝑥 > 36 (Jadikan ruas kiri sama dengan nol)

⇒ 3𝑥 + 35−𝑥 − 36 > 0 (Ingat 35−𝑥 = 35 ∙ 3−𝑥 dan 35 = 243)

⇔ 3𝑥 + 243. 3−𝑥 − 36 > 0 (Kalikan semua ruas dengan 3𝑥 , supaya tidak ada bentuk 3−𝑥)

⇔ 3𝑥 . 3𝑥 + 243. 3−𝑥. 3𝑥 − 36. 3𝑥 > 0⇔ 32𝑥 + 243 − 36. 3𝑥 > 0⇔ 32𝑥 − 36. 3𝑥 + 243 > 0⇔ (3𝑥)2 − 36. 3𝑥 + 243 > 0Misal 𝑎 = 3𝑥

⇒ 𝑎2 − 36𝑎 + 243 > 0⇔ (𝑎 − 9)(𝑎 − 27) > 0

Pembuat nol ∶ ⇒ 𝑎 − 9 = 0 atau 𝑎 − 27 = 0⇔ 𝑎 = 9 atau 𝑎 = 27



𝑎 < 9 atau 𝑎 > 273𝑥 < 3 atau 3𝑥 > 9𝑥 < 2 atau 𝑥 > 3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {𝑥|𝑥 < 2 atau 𝑥 > 3}.

+ +

−

9 27



Menentukan penyelesaian pertidaksamaan logaritma bentuk 𝒂 𝐥𝐨𝐠 𝒇(𝒙) ≥ 𝒂 𝐥𝐨𝐠𝒈(𝒙). Contoh Soal 1:

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4 log(𝑥2 − 𝑥) <1

2 adalah ….

a. 0 < 𝑥 < 1 b. 1 < 𝑥 < 2 c. 𝑥 < 0 atau 𝑥 > 1 d. −1 < 𝑥 < 0 atau 1 < 𝑥 < 2 e. 𝑥 > 1

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan logaritma diperoleh:

4 log(𝑥2 − 𝑥) <1

2 (Ingat ubah

1

2menjadi bentuk logaritma 4 log berapa ya?)

⇒ 4 log(𝑥2 − 𝑥) < 4 log 2

⇔ 𝑥2 − 𝑥 < 2⇔ 𝑥2 − 𝑥 − 2 < 0⇔ (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) < 0Pembuat nol

⇒ 𝑥 + 1 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0⇔ 𝑥 = −1 atau 𝑥 = 2


Daerah yang memenuhi adalah −1 < 𝑥 < 2 .............................................................(1) Jangan lupa!! Agar pertidaksamaan logaritma tersebut memiliki arti, maka harus memenuhi syarat yaitu numerus logaritma harus positif.

(𝑥2 − 𝑥) > 0 ⇒ 𝑥(𝑥 − 1) > 0Pembuat nol

⇒ 𝑥 = 0 atau 𝑥 − 1 = 0⇔ 𝑥 = 0 atau 𝑥 = 1


Daerah yang memenuhi adalah 𝑥 < 0 atau 𝑥 > 1 ..................................................(2)

Dari (1) dan (2), irisan daerah penyelesaian yang memenuhi adalah sebagai berikut: Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {𝑥|−1 < 𝑥 < 0 atau 1 < 𝑥 < 2}.

−

+ +

−1 2

+ +

−

0 1

−1 2

0 1

−1 0 1 2



Contoh Soal 2: Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 log(3 − 𝑥) + 2 log(𝑥 + 5) < 2 log(2𝑥 + 3) adalah …. a. 0 < 𝑥 < 3 b. 2 < 𝑥 < 3 c. 𝑥 < 2 atau 𝑥 > 3 d. 0 < 𝑥 < 2 atau 2 < 𝑥 < 3 e. 𝑥 > 5

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan logaritma diperoleh:

2 log(3 − 𝑥) + 2 log(𝑥 + 5) < 2 log(2𝑥 + 3)

⇒ 2 log(3 − 𝑥)(𝑥 + 5) < 2 log(2𝑥 + 3)

⇔ (3 − 𝑥)(𝑥 + 5) < (2𝑥 + 3)

⇔ −𝑥2 − 2𝑥 + 15 < 2𝑥 + 3⇔ 𝑥2 + 4𝑥 − 12 > 0⇔ (𝑥 + 6)(𝑥 − 2) > 0Pembuat nol

⇒ 𝑥 + 6 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0⇔ 𝑥 = −6 atau 𝑥 = 2


Daerah yang memenuhi adalah 𝑥 < −6 atau 𝑥 > 2 .............................................(1) Jangan lupa!! Agar pertidaksamaan logaritma tersebut memiliki arti, maka harus memenuhi syarat yaitu numerus logaritma harus positif.

3 − 𝑥 > 0 ⇒ −𝑥 > −3⇔ 𝑥 < 3 ..............................................................................................................................(2) 𝑥 + 5 > 0

⇒ 𝑥 > −5 ..............................................................................................................................(3) 2𝑥 + 3 > 0

⇒ 2𝑥 > −3

⇔ 𝑥 > −3

2 ..........................................................................................................................(4)

Dari (1), (2), (3) dan (4), irisan daerah penyelesaian yang memenuhi adalah sebagai berikut: Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {𝑥| 2 < 𝑥 < 3}.

+ +

−

−6 2

−6 2

3

2 3

−3

2

−5



Menentukan penyelesaian pertidaksamaan logaritma bentuk 𝑨{𝒂 𝐥𝐨𝐠 𝒇(𝒙)}𝟐 +𝑩{𝒂 𝐥𝐨𝐠 𝒇(𝒙)} + 𝑪 ≥ 𝟎 Contoh Soal: Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 log2(𝑥 − 3) − 2 log(𝑥 − 3)3 + 2 > 0 adalah …. a. 1 < 𝑥 < 2 b. 𝑥 < 1 atau 𝑥 > 2 c. 𝑥 < 3 atau 𝑥 > 5 d. 1 < 𝑥 < 5 atau 𝑥 > 5 e. 𝑥 > 3


2 log2(𝑥 − 1) − 2 log(𝑥 − 1)3 + 2 > 0 (Ingat 2 log(𝑥 − 1)3 = 3. 2 log(𝑥 − 1))

⇒ 2 log2(𝑥 − 1) − 3. 2 log(𝑥 − 1) + 2 > 0

⇔ (2 log(𝑥 − 1))2 − 3. 2 log(𝑥 − 1) + 2 > 0

Misal 𝑎 = 2 log(𝑥 − 1)

⇒ 𝑎2 − 3𝑎 + 2 > 0⇔ (𝑎 − 1)(𝑎 − 2) > 0

Pembuat nol ∶ ⇒ 𝑎 − 1 = 0 atau 𝑎 − 2 = 0⇔ 𝑎 = 1 𝑎 = 2



𝑎 < 1 atau 𝑎 > 22 log(𝑥 − 1) < 1 atau 2 log(𝑥 − 1) > 2

𝑥 − 1 < 21 atau 𝑥 − 1 > 22

𝑥 − 1 < 2 atau 𝑥 − 1 > 4𝑥 < 2 + 1 atau 𝑥 > 4 + 1

𝑥 < 3 atau 𝑥 > 5 ................................................................ (1)

Jangan lupa!! Agar pertidaksamaan logaritma tersebut memiliki arti, maka harus memenuhi syarat yaitu numerus logaritma harus positif.

𝑥 − 1 > 0 ⇒ 𝑥 > 1 ................................................................................................................................(2)

Dari (1) dan (2), irisan daerah penyelesaian yang memenuhi adalah sebagai berikut: Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {𝑥|1 < 𝑥 < 3 atau 𝑥 > 5}.

+ +

−

1 2

1

3 5

1 3 5




1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 099.1092 xx , Rx adalah ....

A. 1x atau 9x

B. 0x atau 1x

C. 1x atau 2x

D. 1x atau 2x

E. 1x atau 1x

2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 01255.65 12 xx , Rx adalah ....

A. 21 x

B. 255 x

C. 1x atau 2x

D. 1x atau 2x

E. 5x atau 25x

3. Penyelesaian pertidaksamaan 082.52 112 xx adalah ....

A. 0x atau 2x

B. 1x atau 4x

C. 2x atau 4x

D. 20 x

E. 41 x

4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan R,03.2893 12 xxx adalah ....

A. 1x atau 2x

B. 1x atau 2x

C. 1x atau 2x

D. 1x atau 2x

E. 1x atau 2x


92𝑥 − 10 . 9𝑥 + 9 > 0⇒ (9𝑥)2 − 10. (9𝑥) + 9 > 0

Misal 𝑎 = 9𝑥 ⇒ 𝑎2 − 10𝑎 + 9 > 0⇔ (𝑎 − 1)(𝑎 − 9) > 0𝑃𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙 ∶

⇒ 𝑎 − 1 = 0 atau 𝑎 − 9 = 0⇔ 𝑎 = 1 𝑎 = 9

+ +

−

1 9

Jadi daerah penyelesaian: 𝑎 < 1 atau 𝑎 > 109𝑥 < 1 atau 9𝑥 > 9𝑥 < 0 atau 𝑥 > 1

52𝑥 − 6 . 5𝑥+1 + 125 > 0⇒ (5𝑥)2 − 30. (5𝑥) + 125 > 0

Misal 𝑎 = 5𝑥 ⇒ 𝑎2 − 30𝑎 + 125 > 0⇔ (𝑎 − 5)(𝑎 − 25) > 0

𝑃𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙 ∶ ⇒ 𝑎 − 5 = 0 atau 𝑎 − 25 = 0⇔ 𝑎 = 5 𝑎 = 25

+ +

−

5 25

Jadi daerah penyelesaian: 𝑎 < 5 atau 𝑎 > 255𝑥 < 5 atau 5𝑥 > 25𝑥 < 1 atau 𝑥 > 2

22𝑥+1 − 5 . 2𝑥+1 + 8 ≥ 0⇒ 2(2𝑥)2 − 10. (2𝑥) + 8 ≥ 0

Misal 𝑎 = 2𝑥 ⇒ 2𝑎2 − 10𝑎 + 8 ≥ 0⇔ 2(𝑎 − 1)(𝑎 − 4) ≥ 0

𝑃𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙 ∶ ⇒ 𝑎 − 1 = 0 atau 𝑎 − 4 = 0⇔ 𝑎 = 1 𝑎 = 4

+ +

−

1 4

Jadi daerah penyelesaian: 𝑎 ≤ 1 atau 𝑎 ≥ 42𝑥 ≤ 1 atau 2𝑥 ≥ 4𝑥 ≤ 0 atau 𝑥 ≥ 2

32𝑥+1 + 9 − 28 . 3𝑥 > 0⇒ 3 ∙ 32𝑥 − 28 . 3𝑥 + 9 > 0

Misal 𝑎 = 3𝑥 ⇒ 3𝑎2 − 28𝑎 + 9 > 0⇔ (3𝑎 − 1)(𝑎 − 9) > 0

𝑃𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙 ∶ ⇒ 3𝑎 − 1 = 0 atau 𝑎 − 9 = 0

⇔ 𝑎 =1

3 𝑎 = 9

+ +

−

1/3 9


𝑎 <1

3 atau 𝑎 > 9

3𝑥 <1

3 atau 3𝑥 > 9

𝑥 < −1 atau 𝑥 > 2






2. 15. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen atau fungsi logaritma.

Fungsi Eksponen atau Logaritma

Fungsi Eksponen Fungsi Logaritma

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 saling invers 𝑔(𝑥) = 𝑎 log 𝑥

Syarat Fungsi Eksponen Syarat Fungsi Logaritma 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1 𝑥 bebas berapapun boleh 𝑥 > 0

Perhatikan syarat fungsi

Sifat Fungsi Eksponen Sifat Fungsi Logaritma Definit positif, untuk berapapun nilai 𝑥 Logaritma terdefinisi apabila 𝑥 > 0 𝑓(𝑥) selalu positif (grafik di atas sumbu X) (grafik selalu di sebelah kanan sumbu Y)

𝒂𝟎 = 𝟏 ⇒ memotong sumbu Y di titik (0, 1) 𝒂 𝐥𝐨𝐠 𝟏 = 𝟎 ⇒ memotong sumbu X di titik (1, 0)

Tidak pernah memotong sumbu X, Tidak pernah memotong sumbu Y, memiliki asimtot datar sumbu X (𝑦 = 0) memiliki asimtot tegak sumbu Y (𝑥 = 0)

Grafik Fungsi Logaritma Grafik Fungsi Eksponen 𝒂 > 0 𝟎 < 𝒂 < 1 𝒂 > 0 𝟎 < 𝒂 < 1 “monoton naik” “monoton turun” “monoton naik” “monoton turun”

(0, 1)

X

Y

O

(0, 1) X

Y

O (0, 1)

X

Y

O

(0, 1) X

Y

O

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

𝑔(𝑥) = 𝑎 log 𝑥

𝑔(𝑥) = 𝑎 log 𝑥



TRIK SUPERKILAT menentukan persamaan fungsi jika diketahui grafik fungsinya. Lihat Grafik Cek Jenis Grafik Fungsi Fungsi Logaritma Fungsi Eksponen Perhatikan transformasi apa yang terjadi pada fungsi Logaritma atau Eksponen Selesai Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang grafik fungsi eksponen atau logaritma, mutlak kita harus paham tentang sifat dan aturan eksponen atau logaritma. Hal lain yang tidak kalah pentingnya adalah mengingat bagaimana transformasi yang terjadi pada sebuah fungsi. Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) adalah fungsi logaritma atau fungsi eksponen, maka transformasi yang terjadi pada grafik antara lain sebagai berikut:

𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑘), grafik digeser 𝑘 satuan ke arah kanan. 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑘), grafik digeser 𝑘 satuan ke arah kiri. Transformasi sumbu X sifatnya berlawanan.

𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥), grafik didilatasi dengan faktor 1

𝑘.

𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑘, grafik digeser 𝑘 satuan ke arah atas. 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑘, grafik digeser 𝑘 satuan ke arah bawah. Transformasi sumbu Y sifatnya bersesuaian. 𝑦 = 𝑘 𝑓(𝑥), grafik didilatasi sebesar faktor 𝑘.

𝑦 = 𝑓(−𝑥), grafik dicerminkan terhadap sumbu X. 𝑦 = −𝑓(𝑥), grafik dicerminkan terhadap sumbu X.

LOGIKA PRAKTIS mengingat transformasi yang terjadi pada grafik fungsi. Apabila variabel 𝑥 yang diubah-ubah, maka sifatnya berlawanan dengan yang seharusnya. Contoh:

𝑦 = 2𝑥+3, artinya grafik 𝑦 = 2𝑥 digeser ke kiri sebesar 3 satuan. 𝑦 = 23𝑥, artinya grafik 𝑦 = 2𝑥 diciutkan 3 kali lipat dari semula.

Apabila variabel 𝑦 atau fungsinya 𝑓(𝑥) yang diubah-ubah, maka sifatnya bersesuaian dengan yang seharusnya. Contoh:

𝑦 = 2𝑥 + 3, artinya grafik 𝑦 = 2𝑥 digeser ke atas sebesar 3 satuan. 𝑦 = 3(2𝑥), artinya grafik 𝑦 = 2𝑥 direnggangkan 3 kali lipat dari semula.

Apabila variabel 𝑥 maupun 𝑦 atau 𝑓(𝑥) dikalikan dengan negatif. Maka harus dicerminkan.

𝑦 = 2−𝑥, artinya grafik 𝑦 = 2𝑥 dicerminkan terhadap sumbu X 𝑦 = −(2𝑥), artinya grafik 𝑦 = 2𝑥 dicerminkan terhadap sumbu Y.




Menentukan persamaan dari grafik fungsi eksponen. Contoh Soal 1: Fungsi eksponen yang sesuai dengan grafik di samping adalah ….

a. 𝑦 = 3−𝑥 − 1

b. 𝑦 =13

𝑥−1

c. 𝑦 =13

𝑥+1

d. 𝑦 =13

𝑥

+ 1

e. 𝑦 =13

𝑥

− 1

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep grafik fungsi eksponen diperoleh persamaan umum grafik fungsi eksponen:

𝑦 = 𝑎𝑥

Grafik melalui titik (0, 0), sehingga diperoleh: 0 = 𝑎0

Dengan memandang sifat logaritma 𝑎0 ≠ 0, jelas bahwa grafik tersebut mengalami transformasi pada sumbu Y, sehingga persamaan umum grafik fungsi eksponen menjadi:

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝐵 Grafik melalui titik (0, 0), sehingga diperoleh:

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝐵 ⇒ 0 = 𝑎0 + 𝐵⇔ 0 = 1 + 𝐵⇔ 𝐵 = −1

Sehingga, persamaan grafiknya sekarang adalah 𝑦 = 𝑎𝑥 − 1. Uji titik yang lain untuk menemukan nilai 𝑎.

Grafik melalui titik (−1, 2), sehingga diperoleh:

𝑦 = 𝑎𝑥 − 1 ⇒ 2 = 𝑎−1 − 1

⇔ 2 =1

𝑎− 1

⇔ 2 + 1 =1

𝑎

⇔ 3 =1

𝑎

⇔ 𝑎 =1

3

Jadi, persamaan grafiknya adalah 𝑦 =13

𝑥

− 1.

2

−1 X

Y

O



Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Perhatikan grafik eksponen monoton turun berarti 0 < 𝑎 < 1.

Coba perhatikan jawaban pada soal, pilih jawaban yang menggunakan bilangan pokok 1

3.

Artinya 1

3 pangkat berapa gitu…

Jadi jawaban A jelas tidak tepat.

Nah, sekarang ingat grafik dari 𝑦 =1

3

𝑥 adalah sebagai berikut:

Jadi, grafik pada soal tersebut adalah hasil pergeseran dari grafik 𝑦 =1

3

𝑥 ke bawah

sejauh 1 satuan di sumbu Y, artinya variabel 𝑦 atau 𝑓(𝑥) harus dikurangi 1.

Jadi, persamaan grafik pada soal adalah 𝑦 =1

3

𝑥− 1.

Selesai!!

Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS:

Grafik melewati titik (−1, 2), cek 𝑓(−1) = 2 pada semua opsi jawaban:

A. 𝑦 = 3−𝑥 − 1 ⇒ 𝑓(−1) = 3−1 − 1 ≠ 2

B. 𝑦 =13

𝑥−1

⇒ 𝑓(−1) =13

(−1)−1

= 9 ⇒ 𝑓(𝑥) ≠ 2

C. 𝑦 =13

𝑥+1

⇒ 𝑓(−1) =13

(−1)+1

= 1 ⇒ 𝑓(𝑥) ≠ 2

D. 𝑦 =13

𝑥

+ 1 ⇒ 𝑓(−1) =13

(−1)

+ 1 = 4 ⇒ 𝑓(𝑥) ≠ 2

E. 𝑦 =13

𝑥

− 1 ⇒ 𝑓(−1) =13

−1

− 1 = 3 − 1 = 2 (Jadi inilah jawaban yang benar!)

3

−1 X

Y

O

(1, 0)

𝑦 =1

3

𝑥



Menentukan persamaan dari grafik fungsi logaritma. Contoh Soal 1: Fungsi logaritma yang sesuai dengan grafik di samping adalah …. a. 𝑦 = 3 log 2𝑥 b. 𝑦 = 3 log(𝑥 − 2) c. 𝑦 = 3 log(𝑥 + 2) d. 𝑦 = 3 log 𝑥 − 2 e. 𝑦 = 3 log 𝑥 + 2

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep grafik fungsi logaritma diperoleh persamaan umum grafik fungsi logaritma:

𝑦 = 𝑎 log 𝑥

Grafik melalui titik (−1, 0), sehingga diperoleh: 0 = 𝑎 log(−1)

Dengan memandang sifat logaritma 𝑎 log 1 = 0, jelas bahwa grafik tersebut mengalami transformasi pada sumbu X, sehingga persamaan umum grafik fungsi logaritma menjadi:

𝑦 = 𝑎 log(𝑥 + 𝐴) Grafik melalui titik (−1, 0), sehingga diperoleh:

0 = 𝑎 log(−1 + 𝐴) ⇒ 𝑎0 = −1 + 𝐴⇔ 1 = −1 + 𝐴⇔ 1 + 1 = 𝐴⇔ 2 = 𝐴⇔ 𝐴 = 2

Sehingga persamaan grafiknya sekarang adalah 𝑦 = 𝑎 log(𝑥 + 2). Uji titik yang lain untuk menemukan nilai 𝑎. Grafik melalui titik (1, 1), sehingga diperoleh:

1 = 𝑎 log(1 + 2) ⇒ 𝑎 log 3 = 1

⇔ 𝑎1 = 3⇔ 𝑎 = 3

Jadi, persamaan grafiknya adalah 𝑦 = 3 log(𝑥 + 2). Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Grafik logaritma monoton naik, berarti 𝑎 > 1. Dan ternyata tepat, nilai 𝑎 lebih dari 1. Coba perhatikan jawaban pada soal, semua menggunakan bilangan pokok 3. Artinya semuanya 3 log(𝑏𝑒𝑟𝑎𝑝𝑎 𝑔𝑖𝑡𝑢) Nah, sekarang ingat grafik dari 𝑦 = 3 log 𝑥 adalah sebagai berikut:

Jadi, grafik pada soal di atas adalah hasil pergeseran dari grafik 𝑦 = 3 log 𝑥 ke kiri sejauh 2 satuan di sumbu X, artinya variabel 𝑥 harus ditambah 2.

Jadi, persamaan grafik pada soal adalah 𝑦 = 3 log(𝑥 + 2). Selesai!!

Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS:

Grafik melewati titik (1, 1), cek 𝑓(1) = 1 pada semua opsi jawaban:

A. 𝑓(𝑥) = 3 log 2𝑥 ⇒ 𝑓(1) = 3 log 2 ≠ 1 B. 𝑓(𝑥) = 3 log(𝑥 − 2) ⇒ 𝑓(1) =3 log(−1) ≠ 1 C. 𝑓(𝑥) = 3 log(𝑥 + 2) ⇒ 𝑓(1) =3 log 3 = 1 (Jadi inilah jawaban yang benar!) D. 𝑓(𝑥) = 3 log 𝑥 − 2 ⇒ 𝑓(1) =3 log 1 − 2 ≠ 1 E. 𝑓(𝑥) = 3 log 𝑥 + 2 ⇒ 𝑓(1) =3 log 1 + 2 ≠ 1

(−1, 0) 1

1 7

2

X O

1

3 9

2

X

Y

O 1

Y

𝑦 = 3 log 𝑥




1. Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah ....

A. 12)( xxf

B. 12)( xxf

C. xxf log)( 2

D. )1log()( 2 xxf

E. 22)( xxf

2. Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut ini. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah ....

A. xxf 3)(

B. 13)( xxf

C. 13)( xxf

D. 13)( xxf

E. 13)( xxf


A. xxf 2)(

B. 12)( xxf

C. 223)( xxf

D. 13)( xxf

E. 23)( xxf


A. xxf 2)(

B. 12)( xxf

C. 12)( xxf

D. 13)( xxf

E. xxf 3)(


TRIK SUPERKILAT: Grafik tersebut adalah grafik eksponen yang didapatkan dari hasil pergeseran pada sumbu Y untuk grafik 𝑦 = 2𝑥 Jadi grafik tersebut adalah 𝑦 =2𝑥 − 1

TRIK SUPERKILAT: Grafik tersebut adalah grafik eksponen yang didapatkan dari hasil pergeseran pada sumbu Y untuk grafik 𝑦 = 3𝑥 Jadi grafik tersebut adalah 𝑦 = 3𝑥 + 1

TRIK SUPERKILAT: Grafik tersebut adalah grafik eksponen yang didapatkan dari hasil pergeseran pada sumbu X untuk grafik 𝑦 = 3𝑥 Jadi grafik tersebut adalah 𝑦 = 3𝑥−2

TRIK SUPERKILAT: Grafik tersebut adalah grafik eksponen yang didapatkan dari hasil pergeseran pada sumbu Y untuk grafik 𝑦 = 2𝑥 Jadi grafik tersebut adalah 𝑦 = 2𝑥 + 1

Y

X -1 0 1 2 3

3

2

1

(0, 2)

(1, 3)

y

Y

xX 2 3

3

1

Y

X -3 -2 -1 0 1 2 3

4

2

10

Y

X 1 2 3

3

2

1

-3

-2

-1

(2, 3)

(1, 1)

(-1, -2

1)

2

1






2. 16. Menyelesaikan masalah deret aritmetika.

Deret Aritmetika

Barisan Bilangan Deret Bilangan 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, … , 𝑈𝑛 𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + … + 𝑈𝑛

Barisan Aritmetika Deret Aritmetika

𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 𝑆𝑛 =𝑛2

(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)

=𝑛2

(𝑎 + 𝑈𝑛)

Hubungan 𝑈𝑛 dan 𝑆𝑛 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 Keterangan:

𝑈𝑛 = suku ke-𝑛𝑆𝑛 = jumlah 𝑛 suku pertama𝑎 = suku pertama𝑏 = beda𝑛 = banyaknya suku



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Hubungan antara 𝑼𝒏 dan 𝑺𝒏, maupun beda suku barisan. Suku depan 𝑈𝑛 diintegralkan, jumlah koefisien 𝑈𝑛 dan 𝑆𝑛 harus sama.

𝑼𝒏 𝑺𝒏 Suku depan 𝑆𝑛 diturunkan, jumlah koefisien 𝑈𝑛 dan 𝑆𝑛 harus sama.

Koefisien Koefisien suku depan suku depan ambil aja dikali dua

beda beda Untuk meringkas pengerjaan soal UN Matematika SMA dalam topik materi barisan dan deret aritmetika ini, maka perlu kita coba buktikan dulu TRIK SUPERKILAT yang akan kita gunakan. TRIK SUPERKILAT yang akan kita gunakan adalah sebuah penyederhanaan langkah dari penjabaran terhadap hubungan antara dua hal, yaitu 𝑈𝑛 (suku ke-𝑛), dan 𝑆𝑛 (jumlah n suku pertama). Dari definisi barisan aritmetika dan deret aritmetika diperoleh:

𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 = 𝑎 + 𝑏𝑛 − 𝑏= 𝑏𝑛 + (𝑎 − 𝑏)

dan

𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)

=𝑛

2(2𝑎 + 𝑏𝑛 − 𝑏)

=𝑏

2𝑛2 +

(2𝑎−𝑏)

2𝑛

Kesimpulan! Dari konsep 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 akan menghasilkan sebuah formula dengan bentuk 𝑈𝑛 = 𝒃𝒏 + (𝑎 − 𝑏) Lho ini kan integral!!! Berarti ini turunan!!

Dari konsep 𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) akan menghasilkan sebuah formula berbentuk 𝑆𝑛 =

𝒃

𝟐𝒏𝟐 +

(2𝑎−𝑏)

2𝑛

Untuk suku pertama berlaku 𝑈1 = 𝑆1 ⇒ 𝑏 + (𝑎 − 𝑏) =𝑏

2+

(2𝑎−𝑏)

2.

Jadi, pada suku pertama dan jumlah suku pertama itu nilainya pasti sama, sehingga hal tersebut juga membuktikan bahwa jumlah koefisien baik 𝑼𝒏 maupun 𝑺𝒏 adalah sama. Beda barisan aritmetika adalah koefisien suku depan dari 𝑼𝒏 Dari konsep 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 akan menghasilkan sebuah formula dengan bentuk 𝑈𝑛 = 𝒃𝑛 + (𝑎 − 𝑏) Berarti beda barisan aritmetika adalah koefisien suku depan 𝑺𝒏 dikalikan 2.

Dari konsep 𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) akan menghasilkan sebuah formula berbentuk 𝑆𝑛 =

𝒃

𝟐𝑛2 +

(2𝑎−𝑏)

2𝑛



Logika Praktis pada Tipe Soal yang Sering Muncul

Menentukan 𝑺𝒏 jika diketahui 𝑼𝒏:

Jumlah 𝑛 suku pertama jika diketahui 𝑈𝑛 = 2𝑛 + 1 adalah …. Langkah logika praktis: 𝑛2 diperoleh dari integral 2𝑛. Perhatikan 𝑈𝑛 jumlah koefisiennya adalah 2 + 1 = 3, sementara 𝑆𝑛 = 𝑛2 + sesuatu. Karena jumlah koefisien 𝑆𝑛 dan 𝑈𝑛 harus sama, maka jelas sesuatunya adalah 2. Jadi 𝑆𝑛 = 𝑛2 + 2. SELESAI.

Menentukan 𝑼𝒏 jika diketahui 𝑺𝒏:

Rumus suku ke-𝑛 jika diketahui 𝑆𝑛 = 3𝑛2 + 5 adalah …. Langkah logika praktis: 6𝑛 diperoleh dari turunan 3𝑛2. Perhatikan 𝑆𝑛 jumlah koefisiennya adalah 3 + 5 = 8, sementara 𝑈𝑛 = 6𝑛 + sesuatu. Karena jumlah koefisien 𝑈𝑛 dan 𝑆𝑛 harus sama, maka jelas sesuatunya adalah 2. Jadi 𝑈𝑛 = 𝑛2 + 2. SELESAI.

Menentukan beda jika diketahui 𝑼𝒏:

Jika diketahui 𝑈𝑛 = 2𝑛 − 5, beda barisan aritmetika tersebut adalah …. Langkah logika praktis: Beda barisan aritmetika diperoleh dari koefisien depan (variabel 𝑛 pangkat terbesar), yaitu2. Koefisien tersebut ambil aja. Sehingga beda barisan aritmetika adalah 3. SELESAI.

Menentukan beda jika diketahui 𝑺𝒏:

Jika diketahui 𝑆𝑛 = 3𝑛2 + 5, beda barisan aritmetika tersebut adalah … Langkah logika praktis: Beda barisan aritmetika diperoleh dari koefisien depan (variabel 𝑛 pangkat terbesar), yaitu 3. Koefisien tersebut kalikan dua. Sehingga beda barisan aritmetika adalah 3 × 2 = 6. SELESAI.



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Beda Barisan Aritmetika Jika diketahui dua suku pada barisan aritmetika, maka beda dari barisan aritmetika tersebut bisa ditentukan dengan:

𝑏 =𝑈𝑝 − 𝑈𝑞

𝑝 − 𝑞

Bukti:

𝑈𝑝 = 𝑎 + (𝑝 − 𝑛)𝑏 …………..(1)

𝑈𝑞 = 𝑎 + (𝑞 − 𝑛)𝑏 …………..(2)

Dengan mengeliminasi 𝑎 pada persamaan (1) dan (2) akan diperoleh: 𝑈𝑝 = 𝑎 + (𝑝 − 𝑛)𝑏 ⇒ 𝑈𝑝 = 𝑎 + 𝑏𝑝 − 𝑛𝑏

𝑈𝑞 = 𝑎 + (𝑞 − 𝑛)𝑏 ⇒ 𝑈𝑞 = 𝑎 + 𝑏𝑞 − 𝑛𝑏

𝑈𝑝 − 𝑈𝑞 = (𝑝 − 𝑞)𝑏 ⇒ 𝑏 =𝑈𝑝 − 𝑈𝑞

𝑝 − 𝑞

Menentukan beda jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika:

Jika diketahui 𝑈7 = 19 dan 𝑈10 = 28, beda barisan aritmetika tersebut adalah 𝑏 =28−19

10−7=

9

3= 3.

Langkah logika praktis: Beda adalah suku besar kurangi suku kecil, lalu hasilnya dibagi dengan selisih indeks suku besar dikurangi indeks suku kecil. Atau Selisih suku dibagi selisih indeks suku. SELESAI.

Menentukan suku ke-𝐧 jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika:

Jika diketahui 𝑈3 = 24 dan 𝑈8 = 54, tentukan suku ke-15 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Suku ke 15 adalah suku ke-8 ditambah 7 beda lagi. Jadi, 𝑈15 = 𝑈8 + 7𝑏

= 54 + 7 (54−24

8−3)

= 54 + 7(6)= 54 + 42= 96

SELESAI.



Menentukan suku ke-𝐧 jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika dan selisih indeksnya sama:

Jika diketahui 𝑈3 = 24 dan 𝑈8 = 54, tentukan suku ke-13 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-3, suku ke-8 dan suku ke-13. Bukankah indeks suku barisan tersebut selisihnya sama? 13 − 8 = 8 − 3, yaitu sama-sama berselisih 5. Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut sama maka selisihnya suku tersebut juga sama! Suku ke 13 adalah suku ke-8 ditambah selisih suku ke-8 dan suku ke-3. Jadi, 𝑈15 = 𝑈8 + 𝑈8 − 𝑈3

= 54 + (54 − 24)= 54 + 30= 84

Atau 24 ke 54 itu ditambah 30, maka 54 ditambah 30 lagi sama dengan 84. SELESAI.

Menentukan suku ke-𝐧 jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika dan selisih indeksnya berkelipatan.

Jika diketahui 𝑈2 = 15 dan 𝑈5 = 45, tentukan suku ke-14 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-2, suku ke-5 dan suku ke-14. Bukankah indeks suku barisan tersebut berkelipatan? Selisih dari 14 − 5 adalah 9, sementara itu selisih 5 − 2 adalah 3. Jadi 9 dibagi 3 itu adalah 3. Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut 3 kali lebih besar maka selisihnya suku tersebut juga 3 kali lebih besar! Suku ke 14 adalah suku ke-5 ditambah tiga kali selisih suku ke-5 dan suku ke-2. Jadi, 𝑈14 = 𝑈5 + 3 (𝑈5 − 𝑈2)

= 45 + 3(45 − 15)= 45 + 90= 135

SELESAI.

Menyimpulkan makna dari jumlah beberapa suku.

Jika diketahui 𝑈1 + 𝑈5 + 𝑈6 = 45, tentukan suku ke-4 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, ada tiga suku. Suku-suku pada soal adalah suku ke-1, suku ke-5 dan suku ke-6. Bukankah indeks suku barisan tersebut bisa dibagi tiga? Kenapa dibagi tiga? Ya sebanyak jumlah suku tadi! 1 + 5 + 6

3= 4

Ya udah berarti suku ke empat adalah rata-rata dari jumlah ketiga suku tersebut.

Jadi, 𝑈4 =(𝑈1+𝑈5+𝑈6)

3

=45

3

= 15

SELESAI.




1. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sn = 2n2 + 4n. Suku ke-9 dari deret

aritmetika tersebut adalah ....

A. 30

B. 34

C. 38

D. 42

E. 46

2. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan .32 nnSn Suku ke-20 deret aritmetika

tersebut adalah ....

A. 30

B. 34

C. 38

D. 42

E. 46

3. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan .2

3

2

5 2 nnSn Suku ke-10 dari deret


A. 49

B. 472

1

C. 35

D. 332

1

E. 29

4. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan .52 nnSn Suku ke-20 dari deret


A. 44

B. 44

C. 40

D. 38

E. 36

5. Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jika keuntungan pada

bulan pertama sebesar Rp46.000,00 dan pertambahan keuntungan setiap bulan Rp18.000,00 maka jumlah

keuntungan sampai bulan ke-12 adalah ....

A. Rp1.740.000,00

B. Rp1.750.000,00

C. Rp1.840.000,00

D. Rp1.950.000,00

E. Rp2.000.000,00

TRIK SUPERKILAT 1: 𝑈9 = 𝑆9 − 𝑆8

= 2(92 − 82) + 4(9 − 8) = 2(17) + 4 = 38

𝑎 = 𝑅𝑝46.000,00𝑏 = 𝑅𝑝18.000,00𝑆12 = ?

𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)

𝑆12 =12

2(2(46) + (11)18) dalam ribuan rupiah

= 6(92 + 198)

= 6(290)= 1.740


= (202 − 192) + 3(20 − 19) = 39 + 3 = 42


=5

2(102 − 92) +

3

2(10 − 9)

=95

2+

3

2

= 49


= (202 − 192) + 5(20 − 19) = 39 + 5 = 44

TRIK SUPERKILAT 2: 𝑆𝑛 = 2𝑛2 + 4𝑛 ⇒ 𝑈𝑛 = 4𝑛 + 2 𝑈9 = 4𝑛 + 2

= 4(9) + 2 = 36 + 2 = 38

TRIK SUPERKILAT 2: 𝑆𝑛 = 𝑛2 + 3𝑛 ⇒ 𝑈𝑛 = 2𝑛 + 2 𝑈9 = 2𝑛 + 2

= 2(20) + 2 = 40 + 2 = 42

TRIK SUPERKILAT 2:

𝑆𝑛 =5

2𝑛2 +

3

2𝑛 ⇒ 𝑈𝑛 = 5𝑛 − 1

𝑈9 = 5𝑛 − 1 = 5(10) − 1 = 50 − 1 = 49

TRIK SUPERKILAT 2: 𝑆𝑛 = 𝑛2 + 5𝑛 ⇒ 𝑈𝑛 = 2𝑛 + 4 𝑈9 = 2𝑛 + 4

= 2(20) + 4 = 40 + 4 = 44

TRIK SUPERKILAT: 𝑈𝑛 = 18.000𝑛 + 28.000 ⇒ 𝑆𝑛 = 9.000𝑛2 + 37.000𝑛 𝑆12 = 9.000(12)2 + 37.000(12)

= 9.000(144) + 444.000 = 1.296.000 + 444.000 = 1.740.000



6. Harminingsih bekerja di perusahaan dengan kontrak selama 10 tahun dengan gaji awal Rp.1.600.000,00.

Setiap tahun Harminingsih mendapat kenaikan gaji berkala sebesar Rp200.000,00. Total seluruh gaji yang

diterima Harminingsih hingga menyelesaikan kontrak kerja adalah ....

A. Rp25.800.000,00

B. Rp25.200.000,00

C. Rp25.000.000,00

D. Rp18.800.000,00

E. Rp18.000.000,00

7. Sebuah pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1.960 unit. Tiap tahun produksi

turun sebesar 120 unit sampai tahun ke-16. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-16

adalah ....

A. 45.760

B. 45.000

C. 16.960

D. 16.000

E. 19.760


𝑎 = 𝑅𝑝1.600.000,00𝑏 = 𝑅𝑝200.000,00𝑆10 = ?

𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)

𝑆10 =10

2(2(1.600) + (9)200) dalam ribuan rupiah

= 5(3.200 + 1.800)

= 5(5.000)= Rp25.000

𝑎 = 1.960𝑏 = −120𝑆16 = ?

𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)

𝑆16 =16

2(2(1.960) + (15)(−120))

= 8(3.920 − 1.800)

= 8(2.120)= 16.960






2. 17. Menyelesaikan masalah deret geometri.

Deret Geometri

Barisan Bilangan Deret Bilangan 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, … , 𝑈𝑛 𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + … + 𝑈𝑛

Barisan Geometri Deret Geometri

𝑈𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1 𝑆𝑛 =𝑎(𝑟𝑛−1)

𝑟−1, |𝑟| > 1

𝑆𝑛 =𝑎(1−𝑟𝑛)

1−𝑟, |𝑟| < 1

Deret Geometri Tak Hingga

𝑆∞ =𝑎

𝑟−1

Hubungan 𝑈𝑛 dan 𝑆𝑛 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 Keterangan:

𝑈𝑛 = suku ke-𝑛𝑆𝑛 = jumlah 𝑛 suku pertama𝑆∞ = jumlah deret geometri tak hingga𝑎 = suku pertama𝑟 = rasio𝑛 = banyaknya suku



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Rasio Barisan Geometri Jika diketahui dua suku pada barisan geometri, maka rasio dari barisan geometri tersebut bisa ditentukan dengan:

𝑟 = √𝑈𝑝

𝑈𝑞

𝑝−𝑞

Bukti:

𝑈𝑝 = 𝑎𝑟𝑛−𝑝 …………..(1)

𝑈𝑞 = 𝑎𝑟𝑛−𝑞 …………..(2)

Dengan membagi pada persamaan (1) dan (2) akan diperoleh: 𝑈𝑝

𝑈𝑞=

𝑎𝑟𝑛−𝑝

𝑎𝑟𝑛−𝑞⇒

𝑈𝑝

𝑈𝑞= 𝑟(𝑛−𝑝)−(𝑛−𝑞)

⇔𝑈𝑝

𝑈𝑞= 𝑟−(𝑝−𝑞)

⇔𝑈𝑞

𝑈𝑝= 𝑟𝑝−𝑞

⇔ 𝑟 = √𝑈𝑝

𝑈𝑞

𝑝−𝑞

Jika jarak antar dua suku barisan geometri itu sama, maka rasio antar dua suku barisan tersebut juga sama. Jika jarak indeks antar dua suku barisan sama,

𝑼𝟐 𝑼𝟓 𝑼𝟖

Maka rasio antar dua suku suku barisan juga sama. Bukti: Dari rumus suku ke-n 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1 diperoleh: 𝑈2 = 𝑎𝑟 𝑈5 = 𝑎𝑟4 𝑈8 = 𝑎𝑟7

Rasio 𝑈5 dan 𝑈2 adalah 𝑈5

𝑈2=

𝑎𝑟4

𝑎𝑟= 𝑟3

Rasio 𝑈8 dan 𝑈5 adalah 𝑈8

𝑈5=

𝑎𝑟7

𝑎𝑟4 = 𝑟3

Terbukti bahwa jika selisih indeks antar dua suku sama, maka rasio antar dua suku tersebut juga sama.




Menentukan rasio jika diketahui dua suku dari barisan geometri:

Jika diketahui 𝑈3 = 16 dan 𝑈7 = 256, rasio barisan geometri tersebut adalah …. Langkah logika praktis:

𝑟 = √𝑈7

𝑈3

7−3

= √256

16

4

= √164

= 2

Rasio adalah hasil pembagian suku besar dengan suku kecil, lalu hasilnya diakar pangkat selisih indeks suku besar dikurangi indeks suku kecil. Atau Pembagian suku diakar pangkat selisih indeks suku. SELESAI.

Menentukan suku ke-𝐧 jika diketahui dua suku dari barisan geometri:

Jika diketahui 𝑈3 = 16 dan 𝑈7 = 256, tentukan suku ke-9 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Suku ke 9 adalah suku ke-7 dikalikan rasio pangkat 2.

𝑟 = √𝑈7

𝑈3

7−3

= √256

16

4

= √164

= 2

Jadi, 𝑈9 = 𝑈7 × 𝑟2

= 256 × 22

= 256 × 4= 1024

SELESAI.

Menentukan suku ke-𝐧 jika diketahui dua suku dari barisan geometri dan selisih indeksnya sama:

Jika diketahui 𝑈2 = 6 dan 𝑈4 = 24, tentukan suku ke-6 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-2, suku ke-4 dan suku ke-6. Bukankah indeks suku barisan tersebut selisihnya sama? 6 − 4 = 4 − 2, yaitu sama-sama berselisih 2. Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut sama maka rasio suku tersebut juga sama! Suku ke 4 adalah suku ke-2 ditambah rasio suku ke-4 dan suku ke-2.

Jadi, 𝑈6 = 𝑈4 ×𝑈4

𝑈2

= 24 ×24

6

= 96

Atau 6 ke 24 itu dikali 4, maka 24 dikali 4 lagi sama dengan 96. SELESAI.



Menentukan suku ke-𝐧 jika diketahui dua suku dari barisan geometri dan selisih indeksnya berkelipatan.

Jika diketahui 𝑈2 = 4 dan 𝑈5 = 12, tentukan suku ke-11 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-2, suku ke-5 dan suku ke-11. Bukankah indeks suku barisan tersebut berkelipatan? Selisih dari 11 − 5 adalah 6, sementara itu selisih 5 − 2 adalah 3. Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut 2 kali lebih besar maka rasio suku tersebut adalah pangkat 2 lebih besar! Suku ke 14 adalah suku ke-5 dikali pangkat tiga dari rasio suku ke-5 dan suku ke-2.

Jadi, 𝑈14 = 𝑈5 × (𝑈5

𝑈2)

2

= 45 × 3 (12

4)

2

= 45 × 3(3)2

= 45 × 27= 1215

SELESAI.



TRIK SUPERKILAT deret geometri tak hingga

Apabila yang ditanyakan adalah lintasan bola yang jatuh dengan rasio pemantulan 𝑝

𝑞 maka lintasan yang

ditempuh bola sampai berhenti adalah sebagai berikut:

𝑆∞ = 𝑎 (𝑞 + 𝑝

𝑞 − 𝑝)

Bukti: Perhatikan gambar lintasan bola berikut:

dst …

Mari kita ringkas rumus deret geometri tak hingga berikut: Untuk lintasan bola ke bawah dimulai dengan 𝑎, sedang untuk lintasan ke atas dimulai oleh 𝑎𝑟, sehingga diperoleh rumus panjang seluruh lintasan bola:

𝑆∞ =𝑎

1 − 𝑟+

𝑎𝑟

1 − 𝑟=

𝑎(1 + 𝑟)

1 − 𝑟

Misal 𝑟 =𝑝

𝑞, maka diperoleh:

𝑆∞ =𝑎 (1 +

𝑝𝑞

)

1 −𝑝𝑞

=𝑎 (

𝑞 + 𝑝𝑞

)

𝑞 − 𝑝𝑞

= 𝑎 (𝑞 + 𝑝

𝑞) (

𝑞

𝑞 − 𝑝) = 𝑎 (

𝑞 + 𝑝

𝑞 − 𝑝)

Jadi, 𝑆∞ = 𝑎(𝑞 + 𝑝)

(𝑞 − 𝑝)


Aplikasi jumlah deret geometri tak hingga.

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2

3 dari ketinggian

sebelumnya. Maka panjang lintasan yang dilalui bola sampai berhenti adalah …. Langkah logika praktis:

Misal 𝑟 =𝑞

𝑝=

2

3, maka 𝑝 = 2 dan 𝑞 = 3;

Ketinggian awal bola, 𝑎 = 10 m.

Jadi, 𝑆∞ = 𝑎(𝑞 + 𝑝)

(𝑞 − 𝑝)

= 10(3 + 2)

(3 − 2)= 10 ∙ 5= 50 m

SELESAI.




1. Barisan geometri dengan suku ke-5 adalah 3

1 dan rasio

3

1 , maka suku ke-9 barisan geometri tersebut

adalah ....

A. 27

B. 9

C. 27

1

D. 81

1

E. 243

1

2. Barisan geometri dengan 384U7 dan rasio = 2. Suku ke-10 barisan tersebut adalah ....

A. 1.920

B. 3.072

C. 4.052

D. 4.608

E. 6.144

3. Suku ke-tiga dan suku ke-tujuh suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 256. Jumlah tujuh suku pertama

deret tersebut adalah ....

A. 500

B. 504

C. 508

D. 512

E. 516


𝑈5 =1

3= 𝑎𝑟4

𝑟 =1

3𝑈9 = ?

𝑈9 = 𝑎𝑟8 = (𝑎𝑟4)𝑟4 = (1

3) (

1

3)

4

=1

35=

1

243

𝑈3 = 16 = 𝑎𝑟2

𝑈7 = 256 = 𝑎𝑟6

𝑆7 = ?

𝑈7

𝑈3

=256

16⇒

𝑎𝑟6

𝑎𝑟2= 16 ⇒ 𝑟4 = 16 ⇒ 𝑟 = 2

𝑈3 = 16 ⇒ 𝑎𝑟2 = 16 ⇒ 4𝑎 = 16 ⇒ 𝑎 = 4

𝑆7 =𝑎(𝑟7 − 1)

𝑟 − 1

=4(128 − 1)

2 − 1= 4(127)= 508

𝑈7 = 𝑎𝑟6 = 384𝑟 = 2𝑈10 = ?

𝑈10 = 𝑎𝑟9 = (𝑎𝑟6)𝑟3 = 384(2)3 = 384 ∙ 8 = 3.072






SKL 3. Memahami sifat atau geometri dalam menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang, jarak dan sudut.

3. 1. Menghitung jarak dan sudut antara dua objek (titik, garis dan bidang) di ruang.

Dimensi Tiga

Garis Tegak Lurus Bidang

jika garis tersebut ⊥ setiap garis pada bidang “minimal dua garis saja”

Jarak Sudut

Titik dan “Sesuatu” Selain Titik dan “Sesuatu” Syarat keduanya harus sejajar

Jarak Titik dan Titik Jarak Garis dan Garis Sudut Garis dan Garis “berupa garis lurus” “harus tegak lurus” “sudut terkecil”

Jarak Titik dan Garis Jarak Garis dan Bidang Sudut Garis dan Bidang “harus tegak lurus” “harus tegak lurus” “sudut garis dengan proyeksinya”

Jarak Titik dan Bidang Jarak Bidang dan Bidang Sudut Bidang dan Bidang “harus tegak lurus” “harus tegak lurus” “sudut dua garis ⊥ garis potong”

𝜽

𝜽

𝜽

𝜶 𝜶

𝜶

𝜷 𝜷

𝜶

𝜶 𝜶

𝜶

𝜶

𝜶

𝜷



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Dimensi Tiga

Pada kubus ABCD.EFGH berlaku: Misal sisi kubus adalah 𝑎 cm, Akan diperoleh diagonal-diagonal kubus sebagai berikut:

Diagonal sisi kubus 𝑨𝑪 = 𝒂√𝟐 cm.

Diagonal ruang kubus adalah 𝑬𝑪 = 𝒂√𝟑 cm. Misal titik potong diagonal sisi alas adalah O dan titik potong diagonal sisi atas adalah P, maka akan diperoleh panjang ruas garis berikut:

Ruas garis 𝑶𝑮 = 𝑨𝑷 =𝒂

𝟐√𝟔 cm.

Serta akan diperoleh 𝐸𝐶 ⊥ 𝑂𝐺 dan 𝑂𝐺 ∥ 𝐴𝑃. Perhatikan penampang bidang diagonal ACGE, nah kita bisa mengamati pada diagonal ruang EC, terbagi menjadi tiga bagian yang sama panjang yaitu:

𝑬𝑸 = 𝑸𝑹 = 𝑹𝑪 =𝟏

𝟑𝑬𝑪 =

𝟏

𝟑𝒂√𝟑 cm.

Oke, untuk menghindari hanya sekadar menghafal pola dari ruas garis istimewa pada kubus seperti garis diagonal, garis yang menghubungkan titik potong diagonal sisi dengan titik sudut sisi di depannya, dan pola dari garis diagonal ruang yang terbagi adil tiga bagian, maka Pak Anang tidak menyarankan untuk menghafalnya. Yah syukur-syukur kalau bisa hafal karena terbiasa mengerjakan, itu lebih baik. Namun, alangkah lebih bijak bila adik-adik mampu menguasai teorema Pythagoras plus tripel Pythagorasnya. Masih ingat pembahasan SMART SOLUTION tripel Pythagoras pada bab Vektor? Di halaman selanjutkan akan dibahas tentang TRIPEL PYTHAGORAS!

A B

C D

E F

G H

O

P

A B

C D

E F

G H

O

P

A C

G E

O

P

Q

R

Q

R



LOGIKA PRAKTIS Tripel Pythagoras:

Masih ingat tripel Pythagoras? Asyik….! Pola tripel Pythagoras ini penting bila adik-adik ingin cepat menyelesaikan konsep Pythagoras pada segitiga siku-siku, tanpa harus memakan banyak waktu. Gunakan logika praktis dari pengembangan konsep dasar yang telah adik-adik dapatkan di sekolah. Oke kita mulai trik menghafalnya dulu….

Pada gambar di samping, adik-adik tentu sudah hafal konsep Pythagoras berikut: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2, dengan catatan pada gambar tersebut sisi 𝑎 adalah sisi terpendek! Seumpama diubah menjadi 𝑎2 = 𝑐2 − 𝑏2, ‘kan ya nggak papa to ya? Hehe… Sama aja! Perhatikan: 𝑎2 = 𝑐2 − 𝑏2

⇒ 𝑎2 = (𝑐 + 𝑏) (𝑐 − 𝑏)⏟ carilahbilanganyang

selisihnyasatu

Jadi disini kita mencari dua bilangan 𝑏, 𝑐 yang selisihnya satu dan jumlah kedua bilangan harus sama dengan kuadrat sisi terpendek! Ini hanya berlaku untuk sisi terpendek ganjil, yaitu 3, 5, 7, 9, dst.

Trik Cepat Hitung Tripel Pythagoras

Tripel Pythagoras yang sering muncul

3 4 5

5 12 13

7 24 25

9 40 41

8 15 17

Pola dasar tripel Pythagoras tersebut juga berlaku untuk kelipatannya.

Contoh:

Maka, untuk menentukan sisi miring, cari FPB dari 10 dan 24 yaitu 2.

Coret semua sisi dengan dibagi 2. Maka akan ditemukan pola dasar dari

tripel Pythagoras yaitu 5, 12, 13.

Jadi, sisi miringnya adalah 2 × 13 = 26 cm.

Selesai!

Cara cepat menghafal bilangan tripel Pythagoras Khusus bilangan ganjil seperti 3, 5, 7, 9, dst… maka tripel Pythagorasnya adalah bilangan tersebut dengan dua bilangan lain yang selisihnya satu dan jumlahnya adalah kuadrat bilangan ganjil tersebut!

Contoh: 32 = 9 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 9 adalah 4 dan 5. Sehingga tripel Pythagoras yang dimulai oleh angka 3 adalah 3, 4, 5.

52 = 25 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 25 adalah 12 dan 13, sudah pasti tripel Pythagorasnya 5, 12, 13

3

4

5 5

12

13

𝑎

𝑏

𝑐

10

24

𝑥 5

12



LOGIKA PRAKTIS Tripel Pythagoras Bentuk Akar: Kalau sebelumnya adalah tripel Pythagoras bentuk biasa, sekarang bagaimana tripel Pythagoras bentuk akar? Sebenarnya prinsip dasar teorema Pythagoras bisa dengan mudah menyelesaikan masalah ini. Namun, apabila mau sedikit kreatif mengembangkan imajinasi, maka ada jalan lain yang lebih menyenangkan. Apa sih Tripel Pythagoras bentuk akar itu????? Lihat konsepnya pada gambar di bawah:

Misal sisi tegak lurus sebuah segitiga siku-siku adalah 𝑎√𝑏 dan 𝑎√𝑐, dan misal sisi miring segitiga siku-siku adalah 𝑥, maka nilai 𝑥 bisa ditentukan oleh:

𝑥2 = (𝑎√𝑏)2+ (𝑎√𝑐)

2

⇒ 𝑥 = √𝑎2𝑏 + 𝑎2𝑐

⇒ 𝑥 = √𝑎2(𝑏 + 𝑐)

⇒ 𝑥 = √𝑎2√𝑏 + 𝑐

⇒ 𝑥 = 𝑎√𝑏 + 𝑐

Jadi jelas bahwa pola bilangan tripel Pythagoras seperti ini:

Tripel Pythagoras bentuk akar

𝑎 √𝑏 𝑎 √𝑐 𝑎 √𝑏 + 𝑐

Contoh:

Penerapan Tripel Pythagoras bentuk akar pada Dimensi Tiga Masih ingat ruas garis AP dan OG pada kubus tadi? Nih gambarnya lihat di bawah:

Perhatikan ∆𝐴𝐸𝑃, 𝐴𝐸 = 𝑎 cm dan 𝐸𝑃 =1

2𝑎√2 cm, maka:

𝐴𝐸 = 𝑎 cm =1

2𝑎√4 cm.

𝐸𝑃 =1

2𝑎√2 cm

Jelas bahwa panjang

𝐴𝑃 =1

2𝑎√6 cm.

𝑎 √𝑐

𝑎 √𝑏

𝑎 √𝑏 + 𝑐

bilangannya harus sama, kalau nggak sama cari FPBnya

jumlahkan saja bilangan di dalam akar

𝑎 √𝑐

𝑎 √𝑏

𝑥

4√4

4√9

4√13 8

12

Cari FPB dari 12 dan 8. FPBnya adalah 4. Berarti jadikan bilangan pokoknya menjadi 4.

Artinya 12 = 4√9 dan 8 = 4√4,

Jadi sisi miring dari segitiga tersebut adalah 4√9 + 4 = 4√13

A B

D

E F

G H

O

P

C

1

2𝑎√4

1

2𝑎√2

E

A

P



KESIMPULAN TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Dimensi Tiga:

Pada soal UN mengenai dimensi tiga, untuk mencari jarak, hal pertama yang harus dilakukan adalah membuat garis bantu sehingga bisa diperoleh sebuah segitiga. Dan kebanyakan bisa diselesaikan dengan menerapkan konsep tripel Pythagoras dan konsep Kesebangunan kelas IX SMP.

Sedangkan untuk mencari sudut, hal pertama yang harus dilakukan adalah mencari titik perpotongan antara kedua objek lalu membuat garis bantu sehingga bisa diperoleh sebuah segitiga. Dan kebanyakan bisa diselesaikan dengan menerapkan konsep tripel Pythagoras, Aturan Sinus dan Kosinus dan konsep Kesebangunan kelas IX SMP.

Trik Superkilat yang lainnya masih akan dipublish nanti…. :) Terus kunjungi http://pak-anang.blogspot.com …..





1. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12 cm. Jika P titik tengah CG, maka jarak titik P

dengan garis HB adalah ....

A. 8 5 cm

B. 6 5 cm

C. 6 3 cm

D. 6 2 cm

E. 6 cm

2. Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E dengan bidang BGD adalah ....

A. 33

1 cm

B. 33

2 cm

C. 33

4 cm

D. 33

8 cm

E. 33

16 cm

A B

E F

H G

B

D C

P

12 cm

12 cm

C

P

B 12 cm

6 cm

PB = √BC2 + PC2

= √122 + 62

= √144 + 36

= √180

= 6√5 cm

BP dan PH sama panjang, karena BP dan PH adalah garis miring dari segitiga siku-siku dengan sisi 12 cm dan 6 cm.

BP dan PH siku-siku karena BP dan PH berada pada dua sisi yang saling tegak lurus (BCGF dan EFGH).

BH adalah diagonal ruang, BH = 12√3 cm.

Segitiga BPH adalah segitiga sama kaki. Sehingga proyeksi P (titik P′) tepat berada di tengah-tengah BH. Jadi panjang

BP′ = PH = 6√3 cm.

Jarak titik P ke garis HB adalah panjang PP′.

P B

6√5 cm

6√5 cm

P′

P′

PP′ = √BP2 − BP′2

= √(6√5)2− (6√3)

2

= √180 − 108

= √72

= 6√2 cm

A B

E F

H G

B

D C

8 cm

8 cm

A P

E

4√2 cm

8 cm

EP = √EA2 + AP2

= √82 + (4√2)2

= √64 + 32

= √96

= √16√6

= 4√6 cm

Jarak titik ke bidang adalah jarak titik ke proyeksi titik pada bidang.

Buat bidang yang melewati E dan tegak lurus bidang BDG, bidang tersebut adalah bidang diagonal ACGE.

Cari proyeksi titik E pada garis potong kedua bidang (GP) dengan membuat garis yang melewati E dan tegak lurus bidang BDG.

Proyeksi titik E pada bidang BDG adalah E′.

Sehingga jarak titik E ke bidang BDG adalah jarak E ke E’.

Perhatikan segitiga EGP, segitiga tersebut segitiga samakaki, karena

EP = GP = 4√6 cm. Sedangkan EG adalah diagonal sisi, EG = 8√2 cm.

E′

P

A C

G E

P

E′

Perhatikan sudut EGP

sin∠𝐸𝐺𝑃 =𝐸𝐸′

𝐸𝐺=𝑃𝑃′

𝐺𝑃

⇒ 𝐸𝐸′ =𝑃𝑃′

𝐺𝑃∙ 𝐸𝐺

=8

4√6× 8√2

=16

3√3 cm

P′

TRIK SUPERKILAT: Perhatikan bidang diagonal ACGE

EC adalah diagonal ruang, sehingga 𝐸𝐶 = 8√3 cm Jadi,

𝐸𝐸′ =2

3𝐸𝐶 =

2

38√3 =

16

3√3 cm

A C

G E

P

E′

P′

TRIK SUPERKILAT: Perhatikan garis PP’.

Garis tersebut sejajar dengan AC, dimana AC adalah diagonal sisi. 𝐴𝐶 = 12√2 cm Tapi panjangnya PP’ cuma separuh dari AC. Jadi,

𝑃𝑃′ =1

2 12√2 = 6√2 cm



3. Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST. Dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak

23 cm. Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah ....

A. 33

1

B. 2

C. 3

D. 22

E. 32

4. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan rusuk alas 2 cm dan rusuk tegak 3 cm. Nilai

tangen sudut antara garis TD dan bidang alas ABCD adalah ....

A. 24

1

B. 22

1

C. 23

2

D. 2

E. 22

5. Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC dengan rusuk 6 cm. Nilai kosinus sudut antara

garis TC dan bidang ABC adalah ....

A. 36

1

B. 23

1

C. 33

1

D. 22

1

E. 32

1

P

Q R

S T

3 cm

3 cm

3√2 cm

Alas limas bentuknya persegi dengan sisi 3 cm.

Diagonal sisi alas limas adalah TR dan QS. TR = QS = 3√2 cm.

Proyeksi titik P pada bidang QRST adalah di P′. Dimana P′ terletak di perpotongan kedua diagonal alas.

Jadi sudut antara garis PT dan alas QRST adalah sudut yang dibentuk oleh garis PT dengan TR (∠PTR).

Karena pada bidang PRT terdapat segitiga siku-siku PTP’, maka akan lebih mudah menemukan tangen ∠PTR menggunakan segitiga siku-siku tersebut. (∠PTR = ∠PTP’)

P′

P

T P′

3√2 cm

3

2√2 cm

PP′ = √PT2 − TP′2 = √(3√2)2− (

3

2√2)

2

= √18 −9

2= √

27

2=3√3

√2=3

2√6 cm

Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah:

tan∠(PT̅̅̅̅ , QRST) =PP′

TP′=

32√6

32√2= √3

√2 cm

T

A B

C D

2 cm

2 cm

√3 cm

Alas limas bentuknya persegi dengan sisi 2 cm.

Diagonal sisi alas limas adalah AC dan BD. AC = BD = 2√2 cm.

Proyeksi titik T pada bidang ABCD adalah di T. Dimana T′ terletak di perpotongan kedua diagonal alas.

Jadi sudut antara garis TD dan alas ABCD adalah sudut yang dibentuk oleh garis TD dengan DB (∠TDB).

Karena pada bidang TBD terdapat segitiga siku-siku TDT’, maka akan lebih mudah menemukan tangen ∠TDB menggunakan segitiga siku-siku tersebut. (∠TDB = ∠TDT’)

T′

T

D T′

√3 cm

TT′ = √TD2 − DT′2 = √(√3)2− (√2)

2= √3 − 2 = 1 cm

Tangen sudut antara garis TD dan alas ABCD adalah:

tan∠(TD̅̅ ̅̅ , ABCD) =TT′

DT′=1

√2=1

2√2

3 cm

Alas limas bentuknya segitiga dengan sisi 6 cm. Dan semua sisi limas adalah segitiga sama sisi dengan rusuk 6 cm.

Perhatikan jika T’ adalah proyeksi T pada alas ABC dan D adalah titik tengah AB, maka CD adalah ruas garis yang melewati T’.

Perhatikan segitiga CDT, karena TT’ tegak lurus CD, maka bidang CDT tegak lurus bidang ABC.

Karena TC berada di CDT dan CDT tegak lurus ABC, maka sudut yang dibentuk oleh garis TC dan bidang ABC adalah sudut antara garis TC dan ruas garis CD.

T

B

D

6 cm

C

A

B

T

T’

D

6 cm

6 cm 6 cm

C

D

T

6 cm

3√3 cm

TD = √TB2 − BD2

= √(6)2 − (3)2

= √27

= 3√3 cm

3√3 cm

3√3 cm

cos ∠(TC̅̅̅̅ , ABC) =TC2 + DC2 − TD2

2 ∙ TC ∙ DC

=62 + (3√3)

2− (3√3)

2

2 ∙ 6 ∙ (3√3)

=36

36√3

=1

3√3



6. Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah .

Nilai sin = ....

A. 22

1

B. 32

1

C. 33

1

D. 23

2

E. 34

3


Kubus rusuk 4 cm.

EG adalah diagonal sisi,

maka EG = 4√2 cm.

Karena P perpotongan diagonal sisi atas, maka

𝐸𝑃 =1

2𝐸𝐺 ⇒ 𝐸𝑃 = 2√2 cm

Perhatikan garis AE dan bidang AFH yang berwarna biru, sudut yang dibentuk oleh garis AE dan AFH bisa dicari lewat bidang segitiga yang berwarna biru.

P

A

4 cm

2√2 cm AP = √AE2 + EP2

= √(4)2 + (2√2)2

= √16 + 8

= √24

= 2√6 cm

Jika sudut antara AE dan AFH adalah 𝛼 dan ∆𝐴𝐹𝐸 siku-siku di 𝐸, maka

sin 𝛼 =𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡

𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔⇒ sin 𝛼 =

𝐸𝑃

𝐴𝑃

=2√2

2√6

=1

√3

=1

3√3

A B

E F

H G

D C

4 cm

4 cm

P E






Pengantar Konsep Dasar Trigonometri

Segitiga Siku-Siku dan Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

Tripel Pythagoras

3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41

dst …

8 15 17 20 21 29

Teorema Pythagoras “Bentuk Akar”

Tripel Pythagoras

“Bentuk Akar”

𝑎√𝑏 𝑎√𝑐 𝑎√𝑏 + 𝑐

𝑎

𝑏

𝑐

𝑎√𝑏

𝑎√𝑐

𝑎√𝑏 + 𝑐



Definisi Perbandingan Trigonometri

Segitiga Siku-Siku

Sinus Kosinus Tangen

sin 𝜃 =sisi depan

sisi miring cos 𝜃 =

sisi samping

sisi miring tan 𝜃 =

sisi depan

sisi samping

DEMI SIN, SAMI COS, DESA TAN

Identitas Trigonometri

Kebalikan Perbandingan Pythagoras

sec 𝑥 =1

cos 𝑥

csc 𝑥 =1

sin 𝑥

cot 𝑥 =1

tan 𝑥

SEC = SEper Cos

tan 𝐴 =sin 𝐴

cos 𝐴

TAN A adalah SINA DIPERKOSA

Ingat teorema Phytagoras: 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2

⇒𝑎2

𝑐2+

𝑏2

𝑐2=

𝑐2

𝑐2

⇔ (𝑎

𝑐)

2

+ (𝑏

𝑐)

2

= 1

Jadi,

sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1

tan2 𝑥 + 1 = sec2 𝑥

1 + cot2 𝑥 = csc2 𝑥

sa

mi

de mi

de

sa

𝜽 𝜽 𝜽

sisi Samping

sisi Miring

sisi Depan

sudut 𝜽

𝑎

𝑏

𝑐

𝜽

dibagi

𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 dibagi

𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙



Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Kuadran I

Segitiga Sama Sisi Persegi Segitiga Tripel Pythagoras “Sudut 30° dan 60°” “Sudut 45°” “Sudut diapit sisi 5 dan 3 adalah 53°”

Sudut Istimewa Kuadran I Sudut Istimewa Pythagoras

sin 30° =1

2

cos 30° =√3

2

tan 30° =√3

1

sin 60° =√3

2

cos 60° =1

2

tan 60° =1

√3

sin 45° =1

√2

cos 45° =1

√2

tan 45° =1

1

sin 37° =3

5

cos 37° =4

5

tan 37° =3

4

sin 53° =4

5

cos 53° =3

5

tan 53° =4

3

Trik Menghafalkan Cepat , urutannya 𝟏

𝟐√𝟎 s/d

𝟏

𝟐√𝟒 Trik Menghafal, gambarkan segitiga 3 4 5.

Tabel Nilai Trigonometri Tabel Nilai Trigonometri

𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐭𝐚𝐧 𝜽 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐭𝐚𝐧 𝜽

0° 1

2√𝟎

37°

3

5

4

5

3

4

30° 1

2√𝟏 53°

4

5

3

5

4

3

45° 1

2√𝟐

60° 1

2√𝟑

90° 1

2√𝟒

3

4

5

1

1

2

4

5

1

1 √2 3

53°

37° 45°

45°

2 2

60° 60°

60°

1

2 √3

30°

60°

dib

alik

sin

a d

iper

ko

sa



Nilai Perbandingan Trigonometri

Tabel Nilai Trigonometri

𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐭𝐚𝐧 𝜽

0° 0 1 0

30° 1

2

1

2√3

1

3√3

45° 1

2√2

1

2√2 1

60° 1

2√3

1

2 √3

90° 1 0 −

Kuadran Relasi Sudut Periodisasi Periksa Sudut sin 𝑥 = sin(□ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎°) 𝑥 (180° − 𝑥) Pilih Acuan cos 𝑥 = cos(□ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎°) Genap Ganjil 𝑥 (−𝑥) 180° ± α 90° ± 𝛼 360° − α 270° ± 𝛼 tan 𝑥 = tan(□ + 𝑛 ∙ 𝟏𝟖𝟎°) SEMUA SINdikat 𝑥 TANgan KOSong Fungsi Fungsi Berubah dimana 𝑛 bilangan bulat Tetap sin ↔ cos tan ↔ cot

Grafik Cek Kuadran sin 𝛼 Tanda ± Selesai cos 𝛼

tan 𝛼 Relasi Sudut Negatif

sin(−𝛼) = − sin 𝛼cos(−𝛼) = cos 𝛼tan(−𝛼) = − tan 𝛼

0°

90°

180°

270°

360°

Kuadran I Kuadran II

Kuadran IV Kuadran III

Semua + sin +

tan + cos +

Persamaan Trigonometri sin 𝑥 = sin 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° 𝛼 (180° − 𝛼)

cos 𝑥 = cos 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° 𝛼 (−𝛼)

tan 𝑥 = tan 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟏𝟖𝟎° 𝛼

dimana 𝑛 bilangan bulat

360°

360°

360°




Diperoleh dari sudut pada segitiga siku-siku

Kalau segitiganya nggak siku-siku. Gimana?

𝑎 adalah sisi di depan sudut 𝐴 𝑏 adalah sisi di depan sudut 𝐵 𝑐 adalah sisi di depan sudut 𝐶

Aturan Sinus dan Aturan Kosinus

Aturan Sinus Aturan Kosinus

“Ada pasangan sudut–sisi yang berhadapan” “Diketahui dan ditanyakan 3 sisi dan 1 sudut”

sisi – sudut – sudut

(diketahui satu sisi dan dua sudut)

sisi – sisi – sudut

(diketahui dua sisi dan satu sudut di depannya)

sisi – sudut – sisi

(diketahui dua sisi dan sudut yang diapitnya)

sisi – sisi – sisi

(diketahui ketiga sisi segitiga)

𝑎

sin 𝐴=

𝑏

sin 𝐵=

𝑐

sin 𝐶

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴

⇒ cos 𝐴 =𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2

2𝑏𝑐

Luas Segitiga

alas – tinggi

𝐿 =1

2(𝑎 × 𝑡)


𝐿 =1

2𝑎𝑏 sin 𝐶

satu sisi dan semua sudut

𝐿 =1

2

𝑎2 sin 𝐵 sin 𝐶

sin 𝐴


𝐿 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

dimana 𝑠 =1

2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)

sin 𝐶 =𝑡

𝑏

⇒ 𝑡 = 𝑏 sin 𝐶

a

sin A=

b

sin B

⇒ 𝑏 =𝑎 sin 𝐵

sin 𝐴

𝐶 𝐵

𝑏 𝑐

𝑎

𝐴

𝑡

𝑎

𝑏 𝑐

𝑎

𝐶

𝑏

𝑎

𝐶 𝐵 𝑎

𝐴

𝐶 𝐵

𝑏

𝐵

𝑏 𝑐

?

? 𝑐

?

𝑏

𝐴 𝑏 𝑐

𝑎

?



Luas Segitiga


𝐿 =1

2𝑎𝑏 sin 𝐶

Luas Segi-n Beraturan Misal segidelapan beraturan. Maka segidelapan beraturan tersusun atas delapan segitiga sama kaki.

Masing-masing segitiga memiliki sudut pusat sebesar 360°

8= 45°.

Sehingga luas segidelapan beraturan adalah delapan kali luas segitiga tersebut.

Luas dan Keliling Segi-n Beraturan

sudut pusat =𝟑𝟔𝟎°

𝒏

𝐿 = 𝑛 ∙1

2𝑟2 sin (

360°

𝑛)

𝐾 = 𝑛𝑟√2 (1 − cos (360°

𝑛))

𝐶

𝑏

𝑎

𝑟 𝑟

360°

𝑛

𝑟 𝑟



Trigonometri Kelas XI IPA

Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Alat Bukti: Lingkaran satuan dan 3 buah juring masing-masing bersudut 𝐴, 𝐵, dan (– 𝐵).

Diperoleh dua segitiga yaitu, ∆𝑃𝑂𝑅 dan ∆𝑆𝑂𝑄 dengan ∠𝑃𝑂𝑅 = ∠𝑆𝑂𝑄 sehingga, 𝑃𝑅 = 𝑆𝑄 Dengan membuktikan 𝑃𝑅 = 𝑆𝑄, diperoleh: 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑩) = 𝐜𝐨𝐬 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝑩 − 𝐬𝐢𝐧 𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝑩 𝐜𝐨𝐬(𝑨 − 𝑩) diperoleh dengan sifat relasi sudut negatif 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + (−𝑩))

𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) dan 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩) diperoleh dengan sifat relasi sudut kuadran I


sin(𝐴 ± 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 ± cos 𝐴 sin 𝐵cos(𝐴 ± 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 ∓ sin 𝐴 sin 𝐵

Substitusi 𝑩 = 𝑨 Eliminasi 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑨) = 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝑨 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) dengan 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩) 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑨) = 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑩) dengan 𝐜𝐨𝐬(𝑨 − 𝑩)

Trigonometri Sudut Rangkap Jumlah, Selisih dan Perkalian Sudut Rangkap Sinus Sudut Rangkap Kosinus Sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos 𝐴 cos 2𝐴 = cos2 𝐴 − sin2 𝐴 𝑆 + 𝑆 2𝑆𝐶

𝑆 − 𝑆 2𝐶𝑆

Substitusi identitas trigonometri 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝑨 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝑨 = 𝟏 𝐶 + 𝐶 2𝐶𝐶

𝐶 − 𝐶 −2𝑆𝑆

Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain

Sinus Kuadrat Kosinus Kuadrat cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴 cos 2𝐴 = 2 cos2 𝐴 − 1

Trigonometri Setengah Sudut Sinus Setengah Sudut Kosinus Setengah Sudut

sin 𝐴 = √1 − cos 2𝐴

2 cos 𝐴 = √

1 + cos 2𝐴

2

1

2⊕

1

2⊖

⊕ ⊖

𝐴 𝐵

−𝐵

𝑅

𝑃

𝑄

𝑆 𝑄

𝑆

𝑅

𝑃 𝑂

𝑂

𝑂

Khusus untuk tan(𝐴 ± 𝐵), tangen sudut rangkap dan

tangen setengah sudut, cukup gunakan sifat identitas “TAN A = SINA DIPERKOSA”



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Pengantar Trigonometri.

Modul Pengantar Trigonometri ini adalah suplemen untuk modul TRIK SUPERKILAT dan SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013. Mengingat materi Trigonometri memerlukan penguasaan konsep dasar yang kuat pada setiap pokok bahasan. Pada survey yang dilakukan kepada siswa SMA menunjukkan bahwa materi Trigonometri dan Dimensi Tiga adalah topik materi yang paling menakutkan di kalangan siswa. Jadi, tidak ada salahnya apabila pada pokok bahasan Trigonometri ini diberikan suplemen materi pengantar Trigonometri sebagai penguat penguasaan konsep dasar Trigonometri… Untuk sementara hanya konsep trigonometri kelas X dan XI IPA yang dibahas. Trik Superkilat Cara Mudah Menghafal Rumus Trigonometri kelas X dan XI IPA yang lainnya masih akan dilanjutkan dan dipublish segera…. :) Kunjungi laman http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_11.html untuk mengunduh update materi SMART SOLUTION Pengantar Trigonometri ini… :)



http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_11.html





SKL 4. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, identitas, dan rumus trigonometri dalam pemecahan masalah.

4. 1. Menyelesaikan masalah geometri dengan menggunakan aturan sinus atau kosinus.


Diperoleh dari sudut pada segitiga siku-siku

Kalau segitiganya nggak siku-siku. Gimana?

𝑎 adalah sisi di depan sudut 𝐴 𝑏 adalah sisi di depan sudut 𝐵 𝑐 adalah sisi di depan sudut 𝐶

Aturan Sinus dan Kosinus

Aturan Sinus Aturan Kosinus

“Ada dua pasangan sudut–sisi yang berhadapan” “Diketahui dan ditanyakan 3 sisi dan 1 sudut”

sisi – sudut – sudut

(diketahui satu sisi dan dua sudut)

sisi – sisi – sudut

(diketahui dua sisi dan satu sudut di depannya)


(diketahui dua sisi dan sudut yang diapitnya)


(diketahui ketiga sisi segitiga)

𝑎

sin 𝐴=

𝑏

sin 𝐵=

𝑐

sin 𝐶

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴

⇒ cos 𝐴 =𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2

2𝑏𝑐

Luas Segitiga

alas – tinggi

𝐿 =1

2(𝑎 × 𝑡)


𝐿 =1

2𝑎𝑏 sin 𝐶


𝐿 =1

2


sin 𝐴


𝐿 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

dimana 𝑠 =1

2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)

sin 𝐶 =𝑡

𝑏

⇒ 𝑡 = 𝑏 sin 𝐶

a

sin A=

b

sin B

⇒ 𝑏 =𝑎 sin 𝐵

sin 𝐴

𝐶 𝐵

𝑏 𝑐

𝑎

𝐴

𝑡

𝑎

𝑏 𝑐

𝑎

𝐶

𝑏

𝑎

𝐶 𝐵 𝑎

𝐴

𝐶 𝐵

𝑏

𝐵

𝑏 𝑐

?

? 𝑐

?

𝑏

𝐴 𝑏 𝑐

𝑎

?



Luas Segitiga


𝐿 =1

2𝑎𝑏 sin 𝐶

Luas Segi-n Beraturan Misal segidelapan beraturan. Maka segidelapan beraturan tersusun atas delapan segitiga sama kaki.

Masing-masing segitiga memiliki sudut pusat sebesar 360°

8= 45°.

Sehingga luas segidelapan beraturan adalah delapan kali luas segitiga tersebut.

Luas dan Keliling Segi-n Beraturan

sudut pusat =𝟑𝟔𝟎°

𝒏

𝐿 = 𝑛 ∙1

2𝑟2 sin (

360°

𝑛)

𝐾 = 𝑛𝑟√2 (1 − cos (360°

𝑛))

𝐶

𝑏

𝑎

𝑟 𝑟

360°

𝑛

𝑟 𝑟



LOGIKA PRAKTIS Aturan Sinus dan Aturan Kosinus:

Segitiga punya tiga unsur atau komponen penyusun, yaitu 3 sisi dan 3 sudut. Untuk menyelesaikan masalah segitiga dengan aturan sinus atau kosinus maka perlu diperhatikan acuan sebagai berikut: Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 3 sisi dan 1 sudut, maka penyelesaiannya adalah harus menggunakan aturan kosinus. Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 2 sisi dan 2 sudut, maka penyelesaiannya adalah:

- Jika masing-masing sisi dan sudut saling berhadapan, maka harus menggunakan aturan sinus. - Jika masing-masing sisi dan sudut tidak saling berhadapan, maka periksa dulu apakah:

o Diketahui dua sudut, maka penyelesaiannya harus mencari sudut ketiga dulu menggunakan sifat sudut segitiga 180°, dan dilanjutkan menggunakan aturan sinus.

o Diketahui satu sudut, maka penyelesaiannya bisa menggunakan aturan kosinus untuk mencari satu sisi yang lain, lalu dilanjutkan dengan aturan sinus. (Atau apabila ada satu pasangan sisi sudut yang berhadapan, bisa menggunakan aturan sinus dulu untuk menentukan pasangan sudut yang lain, lalu menggunakan sifat sudut segitiga 180°)

Atau bisa digambarkan seperti berikut: Periksa jumlah komponen yang diketahui dan ditanyakan 3 sisi dan 1 sudut 2 sisi dan 2 sudut Periksa! Gunakan aturan kosinus Apakah kedua pasangan sisi dan sudut tersebut saling berhadapan Saling berhadapan Ada yang tidak berhadapan Periksa! Gunakan aturan sinus Berapa jumlah sudut yang diketahui

Dua sudut Satu sudut

Cari sudut ketiga, lalu Gunakan aturan kosinus gunakan aturan sinus dilanjutkan dengan aturan sinus




Menentukan unsur atau komponen segitiga menggunakan aturan sinus atau kosinus. Contoh Soal: Diberikan segi empat ABCD seperti gambar di bawah! Panjang BC adalah ….

a. 4√2 cm

b. 6√2 cm

c. 7√3 cm

d. 5√6 cm

e. 7√6 cm

Penyelesaian: Pertama kita mempertimbangkan apakah kita akan menggunakan aturan sinus atau aturan kosinus. Lalu pada segitiga yang mana kita akan menerapkan aturan sinus atau kosinus tersebut.

Perhatikan gambar, terlihat ada dua segitiga. 1. ∆𝐴𝐵𝐶 dengan diketahui 1 sisi dan 1 sudut. 2. ∆𝐴𝐶𝐷 dengan diketahui 1 sisi dan 2 sudut.

Nah, ternyata ∆𝐴𝐵𝐶 tidak bisa kita terapkan aturan sinus atau kosinus, karena aturan sinus dan kosinus bisa digunakan jika minimal diketahui 3 atau lebih unsur atau komponen dari segitiga! Sekarang amati ∆𝐴𝐶𝐷 ternyata sudah diketahui 3 komponen segitiga, sehingga agar ∆𝐴𝐵𝐶 tepat diketahui minimal 3 komponen maka kita harus mencari panjang 𝑨𝑪 terlebih dahulu. Perhatikan ∆𝐴𝐶𝐷,

Diketahui 1 sisi dan 2 sudut, ditanyakan 1 sisi 𝐴𝐶. (2 sisi dan 2 sudut) Periksa apakah kedua pasang sisi dan sudut saling berhadapan? Ya! Maka pada ∆𝑨𝑪𝑫 berlaku aturan sinus:

𝐴𝐶

sin 𝐷=

𝐴𝐷

sin 𝐶⇒ 𝐴𝐶 =

𝐴𝐷

sin 𝐶× sin 𝐷

=10

sin 45°× sin 30°

=10

12 √2

×1

2

=10

√2

=10

√2×

√2

√2 (rasionalisasi penyebut bentuk akar)

=10√2

2

= 5√2 cm

Nah, sekarang perhatikan ∆𝐴𝐵𝐶,

Diketahui 2 sisi dan 1 sudut, ditanyakan 1 sisi 𝐵𝐶. (3 sisi dan 1 sudut) Pasti berlaku aturan kosinus pada ∆𝑨𝑩𝑪:

𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 − 2 𝐴𝐵 𝐴𝐶 cos 𝐴

= (10√2)2

+ (5√2)2

− 2(10√2)(5√2) cos 60

= 200 + 50 − 200 ∙1

2= 250 − 100= 150 cm

Jadi,

𝐵𝐶 = √150 = √25√6 = 5√6 cm

D

A

C

30°

45°

?

A

B

C

60°

10√2 cm

5√2 cm ?

D

A

B

C

60°

10√2 cm

30°

45°



Menentukan luas segi-n beraturan. Contoh Soal: Luas segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah …. a. 192 cm2 b. 172 cm2 c. 162 cm2 d. 148 cm2 e. 144 cm2

Penyelesaian: Ingat luas segitiga:


𝐿 =1

2𝑎𝑏 sin 𝐶

Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari luas salah satu segitiga penyusun segi-12 beraturan tersebut.

Perhatikan ∆𝐴𝑂𝐵,

𝐿∆𝐴𝑂𝐵 =1

2𝑂𝐴 𝑂𝐵 sin ∠𝐴𝑂𝐵

=1

2∙ 8 ∙ 8 ∙ sin 30°

= 32 ∙1

2= 16 cm2

Jadi, luas segi-12 beraturan adalah:

𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖−12 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑛 = 12 × 𝐿∆𝐴𝑂𝐵

= 12 ∙ 16= 192 cm2

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Ingat luas segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar 𝑟 adalah:

𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖−𝑛 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑛 = 𝑛 ∙1

2𝑟2 sin

360°

𝑛= 12 ∙

1

2∙ 82 ∙ sin 30° = 192 cm2

8 8

𝜃

O

A B

𝐶

𝑏

𝑎



Menentukan keliling segi-n beraturan. Contoh Soal: Keliling segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah ….

a. 96√2 + √3 cm

b. 96√2 − √3 cm

c. 8√2 + √3 cm

d. 8√2 − √3 cm

e. √128 − √3 cm

Penyelesaian: Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari panjang keliling pada salah satu segitiga penyusun segi-12 beraturan tersebut, yaitu panjang sisi 𝐴𝐵.

Perhatikan ∆𝐴𝑂𝐵, Diketahui 2 sisi dan 1 sudut ditanyakan 1 sisi 𝐴𝐵. (3 sisi dan 1 sudut) Pasti berlaku aturan kosinus:

𝐴𝐵2 = 𝑟2 + 𝑟2 − 2 𝑟 𝑟 cos 𝜃= (8)2 + (8)2 − 2(8)(8) cos 30

= 64 + 64 − 128 ∙1

2√3

= 128 − 64√3 cm

Jadi,

𝐴𝐵 = √128 − 64√3 cm

Sehingga, keliling segi-12 beraturan adalah

𝐾𝑠𝑒𝑔𝑖−12 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑛 = 12 × 𝐴𝐵

= 12√128 − 64√3 cm

= 12 × √64√2 − √3 cm

= 12 × 8√2 − √3 cm

= 96√2 − √3 cm

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Ingat keliling segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar 𝑟 adalah:

𝐾𝑠𝑒𝑔𝑖−𝑛 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑛 = 𝑛𝑟√2(1 − cos 𝜃) = 12 ∙ 8 ∙ √2 (1 −1

2√3) = 96√2 − √3 cm

𝑟 = 8 𝑟 = 8

𝜃

O

A B



Menentukan volume bangun ruang menggunakan aturan sinus atau kosinus. Contoh Soal: Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan

panjang rusuk 𝐴𝐵 = 6 cm, 𝐵𝐶 = 3√7 cm, dan 𝐴𝐶 = 3 cm. Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah ….

a. 55√2 cm3

b. 60√2 cm3

c. 75√3 cm3

d. 90√3 cm3

e. 120√3 cm3

Penyelesaian: Perhatikan prisma tegak segitiga ABC.DEF berikut:

Perhatikan ∆𝐴𝐵𝐶,

Ingat lagi tentang luas segitiga,

alas – tinggi

𝐿 =1

2(𝑎 × 𝑡)


𝐿 =1

2𝑎𝑏 sin 𝐶


𝐿 =1

2


sin 𝐴


𝐿 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

dimana 𝑠 =1

2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)

Ternyata kita bisa menggunakan rumus 𝐿 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐). Yang jadi masalah adalah ada sisi yang memuat bentuk akar. Repot deh perkaliannya nanti.

Pilih saja rumus luas segitiga yang 𝐿 =1

2𝑎𝑏 sin 𝐶, dengan catatan kita harus tahu salah satu sudut dari

segitiga tersebut. Akan dicari salah satu sudut segitiga (misalkan ∠𝐵), dengan diketahui 3 sisi segitiga. (3 sisi dan 1 sudut) Pasti berlaku aturan kosinus, yaitu:

𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 − 2 𝐴𝐵 𝐵𝐶 cos 𝐴𝐵

F D

E

B

C A

F D

E

B

C A

A

B

C

6 cm

3 cm

3√7 cm

𝑡

𝑎

𝑏 𝑐

𝑎

𝐶

𝑏

𝑎

𝐶 𝐵 𝑎

𝐴



Sehingga,

𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 − 2 𝐴𝐵 𝐵𝐶 cos 𝐵 ⇒ cos 𝐵 =𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 − 𝐴𝐶2

2 ∙ 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐶

=(6)2 + (3√7)

2− (3)2

2(6)(3√7)

=36 + 63 − 9

36√7

=90

36√7

=5

2√7

Jadi,

cos 𝐵 =5

2√7

Nilai kosinus tersebut bisa dinyatakan pada segitiga siku-siku berikut, Sehingga akan diperoleh nilai sinus dari ∠𝐵,

sin 𝐵 =√3

2√7

Dari nilai sinus ∠𝐵 dan panjang sisi 𝐴𝐵 dan 𝐵𝐶 dan rumus luas segitiga 𝐿 =1

2𝑎𝑏 sin 𝐶 diperoleh luas

segitiga 𝐴𝐵𝐶, yaitu:

𝐿∆𝐴𝐵𝐶 =1

2𝐴𝐵 𝐵𝐶 sin ∠𝐵

=1

2(6)(3√7) (

√3

2√7)

=9

2√3 cm2

Jadi, volum prisma tersebut adalah:

𝑉 = 𝐿𝑎 × 𝑡

= 𝐿∆𝐴𝐵𝐶 × 𝑡

=9

2√3 × 20

= 90√3 cm3

B 5

2√7 √3




1. Diketahui segienam beraturan. Jika jari-jari lingkaran luar segienam beraturan adalah 10 satuan, maka

luas segienam beraturan tersebut adalah ....

A. 150 satuan luas

B. 2150 satuan luas

C. 3150 satuan luas

D. 300 satuan luas

E. 2300 satuan luas

2. Panjang jari-jari lingkaran luar segidelapan beraturan adalah 6 cm. keliling segidelapan tersebut adalah ....

A. 06 22 cm

B. 12 22 cm

C. 36 22 cm

D. 48 22 cm

E. 72 22 cm

3. Luas segi-12 beraturan adalah 192 cm2. Keliling segi-12 beraturan tersebut adalah ....

A. 96 32 cm

B. 96 32 cm

C. 8 32 cm

D. 8 32 cm

E. 3128 cm

4. Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segienam tersebut adalah ....

A. 3432 cm

B. 432 cm

C. 3216 cm

D. 2216 cm

E. 216 cm


𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖−𝑛 =𝑛

2𝑟2 sin

360°

𝑛

⇒ 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖−6 =6

2(10)2 sin

360°

6= 3 ∙ 100 ∙ sin 60°

= 300 ∙1

2√3

= 150√3

TRIK SUPERKILAT: Karena bangunnya adalah segienam, berarti sudut pusatnya 60°, sementara jari-jari lingkaran luar adalah bilangan bulat tanpa bentuk akar, jadi jawabannya pasti memuat

√3 yang berasal dari nilai sin 60°. Dari sini tanpa menghitung kita akan tahu bahwa jawaban yang benar hanya C saja.

𝑥 = √𝑟2 + 𝑟2 − 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑟 ∙ cos360°

𝑛

𝐾𝑠𝑒𝑔𝑖−𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑛 ∙ (√𝑟2 + 𝑟2 − 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑟 ∙ cos360°

𝑛) = 𝑛 ∙ (√2𝑟2 (1 − cos

360°

𝑛))

⇒ 𝐾𝑠𝑒𝑔𝑖−8 = 8 ∙ 6 (√2 (1 −1

2√2) )

= 48√2 − √2 cm

𝑥

6 6

𝐿 = 12 ∙1

2∙ 𝑟2 ∙ sin (

2𝜋

12) ⇒ 192 = 3𝑟2 ⇒ 𝑟2 = 64 ⇒ 𝑟 = 8 cm

𝑥 = √𝑟2 + 𝑟2 − 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑟 ∙ cos360°

𝑛

𝐾𝑠𝑒𝑔𝑖−𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑛 ∙ (√𝑟2 + 𝑟2 − 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑟 ∙ cos360°

𝑛) = 𝑛 ∙ (√2𝑟2 (1 − cos

360°

𝑛))

⇒ 𝐾𝑠𝑒𝑔𝑖−8 = 12 ∙ 6 (√2 (1 −1

2√3) )

= 96√2 − √3 cm

𝑥

8 8

Karena bangun segienam, maka segitiga yang terbentuk adalah segitiga sama sisi. Akibatnya semua sisi segitiga adalah 12 cm.

12

12 12

𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖−𝑛 =𝑛

2𝑟2 sin

360°

𝑛

⇒ 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖−6 =6

2(12)2 sin

360°

6= 3 ∙ 144 ∙ sin 60°

= 432 ∙1

2√3

= 216√3 cm2

TRIK SUPERKILAT: Karena segienam, berarti sudut pusatnya 60°, sementara jari-jari lingkaran luar adalah bilangan bulat tanpa bentuk akar, jadi

jawabannya pasti memuat √3 yang berasal dari nilai sin 60°. Dari sini tanpa menghitung kita akan tahu bahwa jawaban yang benar hanya A atau C saja.






4. 2. Menyelesaikan persamaan trigonometri.


Tabel Nilai Trigonometri

𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐭𝐚𝐧 𝜽

0° 0 1 0

30° 1

2

1

2√3

1

3√3

45° 1

2√2

1

2√2 1

60° 1

2√3

1

2 √3

90° 1 0 −

Kuadran Relasi Sudut Periodisasi Periksa Sudut sin 𝑥 = sin(□ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎°) 𝑥 (180° − 𝑥) Pilih Acuan cos 𝑥 = cos(□ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎°) Genap Ganjil 𝑥 (−𝑥) 180° ± α 90° ± 𝛼 360° − α 270° ± 𝛼 tan 𝑥 = tan(□ + 𝑛 ∙ 𝟏𝟖𝟎°) SEMUA SINdikat 𝑥 TANgan KOSong Fungsi Fungsi Berubah dimana 𝑛 bilangan bulat Tetap sin ↔ cos tan ↔ cot

Grafik Cek Kuadran sin 𝛼 Tanda ± Selesai cos 𝛼

tan 𝛼 Relasi Sudut Negatif

sin(−𝛼) = − sin 𝛼cos(−𝛼) = cos 𝛼tan(−𝛼) = − tan 𝛼

0°

90°

180°

270°

360°

Kuadran I Kuadran II

Kuadran IV Kuadran III

Semua + sin +

tan + cos +

Persamaan Trigonometri sin 𝑥 = sin 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° 𝛼 (180° − 𝛼)

cos 𝑥 = cos 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° 𝛼 (−𝛼)

tan 𝑥 = tan 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟏𝟖𝟎° 𝛼


360°

360°

360°



LOGIKA PRAKTIS Pengerjaan Persamaan Trigonometri:

Peta konsep di samping bisa diterjemahkan sebagai berikut:

o Jika ada persamaan sin 𝑥 = sin 𝛼, maka penyelesaiannya adalah:

𝑥1 = 𝛼 + 𝑛 ∙ 360°

𝑥2 = (180° − 𝛼) + 𝑛 ∙ 360°

o Jika ada persamaan cos x = cos α, maka penyelesaiannya adalah:

x1 = 𝛼 + 𝑛 ∙ 360°

x2 = (−α) + 𝑛 ∙ 360°

o Jika ada persamaan tan x = tan α, maka penyelesaiannya adalah:

x = 𝛼 + 𝑛 ∙ 180°

Nah, proses menentukan persamaan trigonometri sederhana adalah melalui manipulasi aljabar menggunakan identitas trigonometri pada persamaan awal pada soal. Jadi logika praktisnya bisa tergambar dalam diagram di bawah: Misal ditanyakan tentukan himpunan penyelesaian dari: Persamaan Awal pada Soal Manipulasi Aljabar Identitas Trigonometri

Diperoleh Persamaan Trigonometri Sederhana sin 𝑥 = sin 𝛼 cos 𝑥 = cos 𝛼 tan 𝑥 = tan 𝛼 Cari Himpunan Penyelesaian

Persamaan Trigonometri Sederhana sin 𝑥 = sin 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° 𝛼 (180° − 𝛼)

cos 𝑥 = cos 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° 𝛼 (−𝛼)

tan 𝑥 = tan 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟏𝟖𝟎° 𝛼


cos 4𝑥 − cos 2𝑥 = −1

⇒ (2 cos2 2𝑥 − 1) − cos 2𝑥 = −1

⇔ 2 cos2 2𝑥 − cos 2𝑥 − 1 = −1⇔ 2 cos2 2𝑥 − cos 2𝑥 = 0⇔ cos 2𝑥 (2 cos 2𝑥 − 1) = 0

⇔ cos 2𝑥 = 0 atau cos 2𝑥 =1

2

Jadi, untuk cos 2𝑥 = 0 = cos 90°, maka 2𝑥1 = 90° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥1 = 45° + 𝑛 ∙ 180° 2𝑥2 = −90° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥2 = −45° + 𝑛 ∙ 180°

Jadi, untuk cos 2𝑥 =1

2= cos 60°, maka

2𝑥1 = 60° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥1 = 30° + 𝑛 ∙ 180° 2𝑥2 = −60° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥2 = −30° + 𝑛 ∙ 180°

Dst… dst…. Sehingga akan diperoleh himpunan nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan trigonometri tersebut.



LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Persamaan Trigonometri dengan Panduan Grafik Trigonometri:

Inti permasalahan tentang persamaan trigonometri adalah menemukan sudut-sudut yang menghasilkan suatu nilai perbandingan trigonometri. Sudut-sudut tersebut berulang untuk periode tertentu. Misalnya, berapa saja sih sudut yang dapat menghasilkan nilai sinus sama dengan 1? Pernyataan di atas bisa dituliskan dalam bentuk: sin 𝑥 = 1 = sin 90° ⇒ 𝑥 = 90° Nah, karena sudah hafal tabel nilai trigonometri dan paham tentang konsep dasar perbandingan trigonometri, maka bisa ditentukan nilai sinus sama dengan 1 dipenuhi oleh sin 90°. Padahal, fungsi sinus memiliki grafik yang berulang-ulang sesuai periodenya masing-masing. Sehingga, untuk nilai sinus sama dengan 1 tidak hanya dipenuhi oleh sudut 90°. Namun, masih banyak lagi sudut yang menghasilkan nilai sinus sama dengan 1.

Bagaimana cara mudah menyusun rumus perbandingan trigonometrinya? Perhatikan gambar di atas. Grafik sinus berulang-ulang naik turun, seperti huruf “S” tidur terbalik. Berulang-ulangnya setiap 360°. “ “ Sekarang perhatikan grafiknya, nilai awal grafik sinus di kuadran I adalah positif. Nilai sinus akan kembali positif di kuadran II. Jadi,

sin 𝑥 = sin 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° 𝛼 (180° − 𝛼)

Grafik kosinus berulang-ulang turun naik seperti huruf “C” tidur. Berulang-ulangnya setiap 360°. “ “ Sekarang perhatikan grafiknya, nilai awal grafik kosinus di kuadran I adalah positif. Nilai kosinus akan kembali positif di kuadran IV. (karena grafiknya simetris terhadap sumbu Y, maka kuadran sebelah kiri kuadran I juga positif, kan ya?). Jadi,

cos 𝑥 = cos 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° 𝛼 (−𝛼)

Grafik tangen berulang-ulang naik terputus-putus. Berulang setiap 180°. Sekarang perhatikan grafiknya, nilai positif hanya di kuadran I dan berulang-ulang setiap 180°. Jadi,

tan 𝑥 = tan 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟏𝟖𝟎° 𝛼

Grafik Daerah kuadran bernilai positif

360°

360°

360°

periode

periode

periode




Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri. Contoh Soal: Himpunan penyelesaian dari cos 4𝑥 − cos 2𝑥 = −1 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 360° adalah …. a. {30°, 45°, 135°, 150°, 210°, 225°, 315°, 330°} b. {30°, 60°, 135°, 180°, 210°, 225°, 300°, 330°} c. {0°, 30°, 135°, 150°, 210°, 225°, 300°, 330°} d. {30°, 45°, 120°, 135°, 210°, 225°, 300°} e. {30°, 45°, 135°, 150°, 240°, 225°, 315°}

Penyelesaian:

cos 4𝑥 − cos 2𝑥 = −1⇒ (2 cos2 2𝑥 − 1) − cos 2𝑥 = −1

⇔ 2 cos2 2𝑥 − cos 2𝑥 − 1 = −1⇔ 2 cos2 2𝑥 − cos 2𝑥 = 0⇔ cos 2𝑥 (2 cos 2𝑥 − 1) = 0

⇔ cos 2𝑥 = 0 atau cos 2𝑥 =1

2

Jadi, untuk cos 2𝑥 = 0 = cos 90°, maka

2𝑥1 = 90° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥1 = 45° + 𝑛 ∙ 180° untuk 𝑛 = 0 ⇒ 𝑥 = 45° untuk 𝑛 = 1 ⇒ 𝑥 = 225° 2𝑥2 = −90° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥2 = −45° + 𝑛 ∙ 180° untuk 𝑛 = 1 ⇒ 𝑥 = 225° untuk 𝑛 = 2 ⇒ 𝑥 = 315°

Jadi, untuk cos 2𝑥 =1

2= cos 60°, maka

2𝑥1 = 60° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥1 = 30° + 𝑛 ∙ 180° untuk 𝑛 = 0 ⇒ 𝑥 = 30° untuk 𝑛 = 1 ⇒ 𝑥 = 210° 2𝑥2 = −60° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥1 = −30° + 𝑛 ∙ 180° untuk 𝑛 = 1 ⇒ 𝑥 = 150° untuk 𝑛 = 2 ⇒ 𝑥 = 330°

Sehingga himpunan penyelesaian adalah {30°, 45°, 135°, 150°, 210°, 225°, 315°, 330°}.




1. Himpunan penyelesaian persamaan 1cos22cos xx ; π20 x adalah ....

A. {0, π,2

1π,

2

32π }

B. {0, π,2

1π,

3

22π }

C. {0, π,2

1π, π,

2

3}

D. {0, π,2

1π

3

2}

E. {0, π,2

1π }

2. Himpunan penyelesaian persamaan 12sin34cos xx ; 1800 x adalah ....

A. }150 ,201{

B. }165 ,501{

C. }150 ,03{

D. }165 ,03{

E. }105 ,15{

3. Himpunan penyelesaian persamaan 1sin22cos xx ; π20 x adalah ....

A. }2π,2

3ππ,0,{

B. }2π,3

4ππ,0,{

C. }2ππ,π,3

20,{

D. }2ππ,,0{

E. }2

3ππ,0,{

cos 𝑥 = 0 = cos𝜋

2

Penyelesaiannya:

𝑥 = ±𝜋

2+ 𝑘 ∙ 2𝜋

cos 2𝑥 − 2 cos 𝑥 = −1⇒ (2 cos2 𝑥 − 1) − 2 cos 𝑥 + 1 = 0

⇔ 2 cos2 𝑥 − 2 cos 𝑥 = 0⇔ 2 cos 𝑥 (cos 𝑥 − 1) = 0⇔ 2 cos 𝑥 = 0 atau cos 𝑥 − 1 = 0⇔ cos 𝑥 = 0 cos 𝑥 = 1

1) 𝑥 =𝜋

2+ 𝑘 ∙ 2𝜋

=𝜋

2

2) 𝑥 = −𝜋

2+ 𝑘 ∙ 2𝜋

=3

2𝜋

cos 𝑥 = 1 = cos 0 Penyelesaiannya: 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 2𝜋 3) 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 2𝜋

= 0, 2𝜋

Jadi jawabannya sebenarnya tidak ada karena untuk interval 0 < 𝑥 < 2𝜋

maka yang memenuhi hanya {𝜋

2,

3

2𝜋}

Jika intervalnya diubah 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋, maka penyelesaiannya {0,𝜋

2,

3

2𝜋, 2𝜋}

sin 2𝑥 = −1

2= − sin 30° = sin(−30°)

sin 2𝑥 = −1

2= − sin 150° = sin(−150°)

Penyelesaiannya:

cos 4𝑥 + 3 sin 𝑥 = −1⇒ (1 − 2 sin2 2𝑥) + 3 sin 2𝑥 + 1 = 0

⇔ −2 sin2 2𝑥 + 3 sin 2𝑥 + 2 = 0⇔ (−sin 2𝑥 + 2)(2 sin 2𝑥 + 1) = 0⇔ − sin 2𝑥 + 2 = 0 atau 2 sin 2𝑥 + 1 = 0

⇔ sin 2𝑥 = 2 (mustahil) sin 2𝑥 = −1

2

2) 𝑥 = −150° + 𝑘 ∙ 360°= −75° + 𝑘 ∙ 180°= 105°

1) 𝑥 = −30° + 𝑘 ∙ 360°= −15° + 𝑘 ∙ 180°= 165°

Soal ini tidak ada jawabannya, mungkin maksudnya pilihan jawaban B bukan 150°, tapi salah ketik. Seharusnya 105°.

sin 𝑥 = 0 = sin 0 = sin 𝜋

sin 𝑥 = −1 = sin3𝜋

2

Penyelesaiannya:

cos 2𝑥 − 2 sin 𝑥 = 1⇒ (1 − 2 sin2 𝑥) − 2 sin 2𝑥 − 1 = 0

⇔ −2 sin2 𝑥 − 2 sin 𝑥 = 0⇔ −2 sin 𝑥 (sin 𝑥 + 1) = 0⇔ −2 sin 𝑥 = 0 atau sin 𝑥 + 1 = 0⇔ sin 𝑥 = 0 sin 𝑥 = −1

1) 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 2𝜋= 0

TRIK SUPERKILAT:

Satu-satunya jawaban yang tidak memuat 2𝜋 adalah E. Perhatikan batas yang diminta soal. 2𝜋 tidak diikutkan.

3) 𝑥 =3𝜋

2+ 𝑘 ∙ 2𝜋

=3𝜋

2

2) 𝑥 = 𝜋 + 𝑘 ∙ 2𝜋= 𝜋



4. Himpunan penyelesaian persamaan 02cos32cos xx untuk π20 x adalah ....

A.

2ππ,2

3,

2

π,0

B.

2ππ,3

5,

3

π,0

C.

2ππ,2

3,

3

π,0

D.

π3

2π,,

2

π,0

E.

2ππ,,2

π,0


cos 𝑥 =1

2= cos

𝜋

3

Penyelesaiannya:

𝑥 = ±𝜋

3+ 𝑘 ∙ 2𝜋

cos 2𝑥 − 3 cos 𝑥 + 2 = 0⇒ (2 cos2 𝑥 − 1) − 3 cos 𝑥 + 2 = 0

⇔ 2 cos2 𝑥 − 3 cos 𝑥 + 1 = 0⇔ (2 cos 𝑥 − 1)(cos 𝑥 − 1) = 0⇔ 2 cos 𝑥 − 1 = 0 atau cos 𝑥 − 1 = 0

⇔ cos 𝑥 =1

2 cos 𝑥 = 1

1) 𝑥 =𝜋

3+ 𝑘 ∙ 2𝜋

=𝜋

3

2) 𝑥 = −𝜋

3+ 𝑘 ∙ 2𝜋

=5

3𝜋

cos 𝑥 = 1 = cos 0 Penyelesaiannya: 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 2𝜋

3) 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 2𝜋= 0, 2𝜋

Jadi jawabannya sebenarnya tidak ada karena untuk interval 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋

maka yang memenuhi hanya {0,𝜋

3,

5

3𝜋}

Jika intervalnya diubah 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋, maka penyelesaiannya {0,𝜋

3,

5

3𝜋, 2𝜋}






4. 3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai perbandingan trigonometri yang menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus, kosinus dan tangent serta jumlah dan selisih dua sudut.

Trigonometri Kelas XI IPA


Alat Bukti: Lingkaran satuan dan 3 buah juring masing-masing bersudut 𝐴, 𝐵, dan (–𝐵).

Diperoleh dua segitiga yaitu, ∆𝑃𝑂𝑅 dan ∆𝑆𝑂𝑄 dengan ∠𝑃𝑂𝑅 = ∠𝑆𝑂𝑄 sehingga, 𝑃𝑅 = 𝑆𝑄 Dengan membuktikan 𝑃𝑅 = 𝑆𝑄, diperoleh: 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑩) = 𝐜𝐨𝐬𝑨 𝐜𝐨𝐬𝑩 − 𝐬𝐢𝐧𝑨 𝐬𝐢𝐧𝑩

𝐜𝐨𝐬(𝑨 − 𝑩) diperoleh dengan sifat relasi sudut negatif 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + (−𝑩))

𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) dan 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩) diperoleh dengan sifat relasi sudut kuadran I


sin(𝐴 ± 𝐵) = sin𝐴 cos𝐵 ± cos𝐴 sin𝐵cos(𝐴 ± 𝐵) = cos𝐴 cos𝐵 ∓ sin𝐴 sin𝐵

Substitusi 𝑩 = 𝑨 Eliminasi 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑨) = 𝐬𝐢𝐧𝟐𝑨 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) dengan 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩) 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑨) = 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑩) dengan 𝐜𝐨𝐬(𝑨 − 𝑩)

Trigonometri Sudut Rangkap Jumlah, Selisih dan Perkalian

Sudut Rangkap Sinus Sudut Rangkap Kosinus Sin2𝐴 = 2 sin𝐴 cos𝐴 cos 2𝐴 = cos2 𝐴 − sin2 𝐴 𝑆 + 𝑆 2𝑆𝐶


Substitusi identitas trigonometri 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝑨 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝑨 = 𝟏 𝐶 + 𝐶 2𝐶𝐶


Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain Sinus Kuadrat Kosinus Kuadrat cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴 cos2𝐴 = 2 cos2 𝐴 − 1

Trigonometri Setengah Sudut Sinus Setengah Sudut Kosinus Setengah Sudut

sin𝐴 = √1 − cos2𝐴

2 cos𝐴 = √

1 + cos 2𝐴

2

1

2⊕

1

2⊖

⊕ ⊖

𝐴 𝐵

−𝐵

𝑅

𝑃

𝑄

𝑆 𝑄

𝑆

𝑅

𝑃 𝑂

𝑂

𝑂





TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Jumlah Selisih Dua Sudut.

Intisari dari masalah tentang jumlah selisih sinus kosinus tangen serta masalah tentang jumlah selisih dua sudut adalah kita harus memahami bagaimana konsep awal dari cos(𝐴 + 𝐵). Begitu konsep awal ini dipahami, maka dengan menggunakan konsep-konsep dasar trigonometri di kelas X, maka semua konsep tentang trigonometri di kelas XI IPA akan segera muncul satu-persatu dengan sendirinya. Untuk mendampingi pemahaman konsep dasar yang sudah diperoleh lewat pembelajaran di sekolah, kali ini Pak Anang akan membagikan konsep LOGIKA PRAKTIS dalam menyusun rumus jumlah selisih dua sudut sebagai berikut: Konsep awal yang harus diingat adalah sin(𝐴 ± 𝐵) dan cos(𝐴 ± 𝐵).


Perhatikan, untuk sin(𝐴 ± 𝐵), diawali huruf “S”, yang secara kreatif imajinatif dimaknai dengan:

SELANG-SELING SIN SAMA

“SELANG-SELING” dimulai dari SIN

𝐬𝐢𝐧(𝑨 ± 𝑩) SAMA tanda plus minusnya

sin(𝐴 + 𝐵) = sin 𝐴 cos𝐵 + cos𝐴 sin 𝐵sin(𝐴 − 𝐵) = sin 𝐴 cos𝐵 − cos𝐴 sin 𝐵

Jadi, untuk cos(𝐴 ± 𝐵) tinggal membalik konsep menghafal rumus sin(𝐴 ± 𝐵) di atas.

Tidak SELANG-SELING (KEMBAR) Bukan SIN (Jadi, dimulai dari cos) Tidak SAMA (Tanda plus minus berbeda)

cos(𝐴 + 𝐵) = cos𝐴 cos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵cos(𝐴 − 𝐵) = cos𝐴 cos 𝐵 + sin 𝐴 sin 𝐵

Keterangan: Selang-seling diambil dari bahasa Jawa, artinya adalah pola yang selalu bergantian.

Tanda SAMA

“SELANG-SELING”, bergantian SIN COS lalu COS SIN

Dimulai dari SIN

Tanda BEDA

KEMBAR, bergantian COS COS lalu SIN SIN

Dimulai dari COS

Keterangan: Kalau cos(𝐴 ± 𝐵) berarti kebalikannya. SELANG-SELING diawali SIN >< Kembar diawali COS SAMA >< BERBEDA




TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Sudut Rangkap. Masih ingat dengan konsep rumus jumlah sudut sinus kosinus pada halaman sebelumnya……??

sin(𝐴 + 𝐵) = sin𝐴 cos𝐵 + cos𝐴 sin𝐵 dan

cos(𝐴 + 𝐵) = cos𝐴 cos𝐵 − sin𝐴 sin𝐵

Asyik…. Nah, konsep kedua yang harus melekat kuat di otak adalah tentang sin2𝐴 dan cos 2𝐴, diperoleh dari rumus sin(𝐴 + 𝐵) dan cos(𝐴 + 𝐵) dengan mengganti 𝐵 = 𝐴. sin(𝐴 + 𝐵) dan cos(𝐴 + 𝐵) Ganti 𝐵 = 𝐴 sin 2𝐴 dan cos 2𝐴 Konsep untuk mendapatkan sin2𝐴 adalah:

sin(𝐴 + 𝐵) = sin 𝐴 cos𝐵 + cos𝐴 sin 𝐵

sin(𝐴 + 𝐴) = sin 𝐴 cos𝐴 + cos𝐴 sin 𝐴

sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos𝐴

Konsep untuk mendapatkan cos 2𝐴 adalah:

cos(𝐴 + 𝐵) = cos𝐴 cos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵

cos(𝐴 + 𝐴) = cos𝐴 cos𝐴 − sin 𝐴 sin 𝐴

cos 2𝐴 = cos2 𝐴 − sin2 𝐴

Jadi,

sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos𝐴cos 2𝐴 = cos2 𝑥 − sin2 𝑥



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Kosinus Sudut Rangkap yang Lain.

Masih ingat dengan konsep rumus kosinus sudut rangkap pada halaman sebelumnya……??

cos 2𝐴 = cos2𝐴 − sin2 𝐴

Asyik….

Nah, konsep ketiga yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus cos 2𝐴 yang lainnya. Rumus kosinus sudut rangkap yang lain diperoleh dari cos 2𝐴 dengan mensubstitusikan identitas trigonometri Pythagoras. cos 2𝐴 = cos2𝐴 − sin2 𝐴 Substitusi sin2 𝐴 + cos2 𝐴 = 1

cos2𝐴 = 2 cos2𝐴 − 1 cos2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴

Konsep untuk mendapatkan cos 2𝐴 = 2 cos2 𝐴 − 1 adalah:


cos 2𝐴 = cos2 𝐴 − (1 − cos2 𝐴)

cos 2𝐴 = 2 cos2 𝐴 − 1

Konsep untuk mendapatkan cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2𝐴 adalah:


cos 2𝐴 = (1 − sin2 𝐴) − sin2 𝐴

cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴

TRIK SUPERKILAT cara menghafalkannya adalah:

Perhatikan selalu ada angka 1, selalu ada 2sin2 atau 2cos2. Polanya selalu bentuk pengurangan.

cos 2𝐴 = 𝑪 𝑰 cos 2𝐴 = 2 𝐜os2 𝐴 − 𝟏

cos 2𝐴 = 𝑪 𝑰 𝑺

cos 2𝐴 = 𝑰 𝑺 cos 2𝐴 = 𝟏 − 2 𝐬in2 𝐴

sin2 𝐴 + cos2𝐴 = 1⇒ sin2𝐴 = 1 − cos2 𝐴

sin2 𝐴 + cos2𝐴 = 1⇒ cos2𝐴 = 1 − sin2 𝐴

Keterangan TRIK SUPERKILAT: Ingat posisi huruf alfabet,

posisi C lebih awal dari S. Gunakan singkatan CIS, jadi cos2𝐴 memiliki dua bentuk lain, yaitu CI dan IS.



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Setengah Sudut.

Masih ingat dengan konsep rumus kosinus sudut rangkap Pythagoras pada halaman sebelumnya……??

cos 2𝐴 = 2 cos2𝐴 − 1 cos 2𝐴 =1 − 2 sin2 𝐴

Asyik….

Nah, konsep keempat yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus trigonometri setengah sudut. Rumus trigonometri setengah sudut diperoleh dari konsep “cos 2𝐴 Pythagoras”. Pak Anang menyebut rumus cos2𝐴 Pythagoras untuk dua konsep atau rumus di atas. “cos 2𝐴 Pythagoras”

cos2𝐴 = 2 cos2𝐴 − 1 cos2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴

Invers, “pindah ruas” sampai diperoleh cos𝐴 dan sin𝐴

cos𝐴 = √1 + cos 2𝐴

2 sin𝐴 = √

1 − cos2𝐴

2

Konsep rumus trigonometri sudut setengah tersebut SEBENARNYA TIDAK PERLU DIHAFAL………!

Kenapa?

Karena sebenarnya yang perlu diingat dan dihafal adalah perubahan dari konsep “cos2𝐴 Pythagoras” menjadi konsep trigonometri sudut setengah hanya mengalami proses invers, alias “pindah ruas” saja. Kesimpulannya, RUMUSNYA TIDAK BERUBAH MAKNA, HANYA BERUBAH FORMASI SAJA…..!!!!!

Jadi, misalkan lupa rumus trigonometri setengah sudut tidak jadi masalah, asalkan ingat pola di bawah ini:

cos 2𝐴 = 2 cos2 𝐴 − 1 dan cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴

LOGIKA PRAKTIS cara menghafalkannya adalah:

Perhatikan selalu ada angka 1, selalu ada angka 2, selalu ada cos2A. Polanya selalu bentuk akar.

cos 2𝐴 = 2 cos2𝐴 − 1 ⇒ cos𝐴 = √1 + cos 2𝐴

2

cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴 ⇒ sin𝐴 = √1 − cos 2𝐴

2

Konsep trigonometri sudut setengah Diketahui sudut rangkap, ditanya setengah sudut.

Konsep trigonometri sudut setengah Diketahui sudut rangkap, ditanya setengah sudut.

Konsep trigonometri sudut rangkap Diketahui suatu sudut,

ditanya sudut rangkapnya.

Konsep trigonometri sudut rangkap Diketahui suatu sudut,

ditanya sudut rangkapnya.

+ Keterangan TRIK SUPERKILAT: Dihasilkan dari invers konsep “cos 2𝐴 Pythagoras”

Tanda plus minus dilihat dari tanda koefisien trigonometri.




TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Jumlah, Selisih, dan Perkalian Trigonometri.

Masih ingat dengan konsep rumus jumlah sudut sinus kosinus pada TRIK SUPERKILAT paling awal tadi……??

sin(𝐴 ± 𝐵) = sin𝐴 cos𝐵 ± cos𝐴 sin𝐵 dan

cos(𝐴 ± 𝐵) = cos𝐴 cos𝐵 ∓ sin𝐴 sin𝐵

Asyik….

Nah, konsep kelima yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus trigonometri jumlah dan selisih sinus kosinus perkalian sinus kosinus. Konsep rumus ini diperoleh dengan mengeliminasi komponen yang sama pada sin(𝐴 + 𝐵) dan sin(𝐴 − 𝐵) serta mengeliminasi komponen yang sama pada cos(𝐴 + 𝐵) dan cos(𝐴 − 𝐵).

Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut sin(𝐴 ± 𝐵) cos(𝐴 ± 𝐵) Eliminasi Eliminasi sin(𝐴 + 𝐵) dengan sin(𝐴 − 𝐵) cos(𝐴 + 𝐵) dengan cos(𝐴 − 𝐵) sin(𝐴 + 𝐵) sin(𝐴 + 𝐵) cos(𝐴 + 𝐵) cos(𝐴 + 𝐵) sin(𝐴 − 𝐵) sin(𝐴 − 𝐵) cos(𝐴 − 𝐵) cos(𝐴 − 𝐵)

2 sin𝐴 cos𝐵 2 cos𝐴 sin𝐵 2 cos𝐴 cos𝐵 −2sin𝐴 sin𝐵 Substitusi

(𝑨 + 𝑩) = 𝜶 (𝑨 − 𝑩) = 𝜷 (𝐴 + 𝐵) = 𝛼 (𝐴 + 𝐵) = 𝛼 (𝐴 − 𝐵) = 𝛽 (𝐴 − 𝐵) = 𝛽

2𝐴 = (𝛼 + 𝛽) 2𝐵 = (𝛼 − 𝛽)

𝑨 =𝟏

𝟐(𝜶 + 𝜷) 𝑩 =

𝟏

𝟐(𝜶 − 𝜷)

sin 𝛼 sin 𝛼 cos 𝛼 cos 𝛼 sin𝛽 sin𝛽 cos𝛽 cos𝛽

2 sin1

2(𝛼 + 𝛽) cos

1

2(𝛼 − 𝛽) 2 cos

1

2(𝛼 + 𝛽) sin

1

2(𝛼 − 𝛽) 2 cos

1

2(𝛼 + 𝛽) cos

1

2(𝛼 − 𝛽) −2 sin

1

2(𝛼 + 𝛽) sin

1

2(𝛼 − 𝛽)

LOGIKA PRAKTIS cara membacanya:

Keterangan cara membaca TRIK SUPERKILAT: S adalah sin dan C adalah cos.

𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) + 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩) = 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝑩

𝑆 + 𝑆 2𝑆𝐶


𝐶 + 𝐶 2𝐶𝐶


𝐬𝐢𝐧 𝑨 + 𝐬𝐢𝐧𝑩 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟏

𝟐(𝑨 + 𝑩) 𝐜𝐨𝐬

𝟏

𝟐(𝑨 − 𝑩)

1

2⊕

1

2⊖

⊕ ⊖

S + S = 2 S C

(𝐴 + 𝐵) (𝐴 − 𝐵)

𝐴 𝐵

⊕ ⊖

S + S = 2 S C

1

2⊕

1

2⊖

1

2(𝐴 + 𝐵)

1

2(𝐴 − 𝐵)

𝐴 𝐵

+ + − −

+ −

dibagi 2 dibagi 2

+ + − −



LOGIKA PRAKTIS cara menyusun rumus jumlah, selisih dan perkalian trigonometri:

Keterangan cara menyusun TRIK SUPERKILAT:

𝑆 + 𝑆 2𝑆𝐶




Perhatikan cara membacanya: tanda ⊕ dibaca (𝐴 + 𝐵) dan tanda ⊖ dibaca (𝐴 − 𝐵)

𝑆 + 𝑆

1

2⊕1

2⊖

→ 2𝑆𝐶 dibaca: 𝐬𝐢𝐧 𝑨 + 𝐬𝐢𝐧𝑩 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟏

𝟐(𝑨 + 𝑩) 𝐜𝐨𝐬

𝟏

𝟐(𝑨 − 𝑩)

𝑆 + 𝑆 ⊕⊖ ← 2𝑆𝐶 dibaca: 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝑩 = 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) + 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩)

JEMBATAN KELEDAI untuk menghafalkan rumus jumlah selisih dan perkalian trigonometri:

Sayang ditambah sayang menjadi dua-duanya sangat cinta. Sayang dikurangi sayang menjadi dua-duanya cintanya sirna. Cinta ditambah cinta menjadi dua-duanya cinta-cintaan. Cinta dikurangi cinta menjadi aduh…. dua-duanya sayangnya sirna. Keterangan: kata aduh dimaknai sebagai tanda negatif (−).

1

2⊕

1

2⊖

⊕ ⊖

Masih ingat dengan rumus jumlah dua sudut trigonometri kan?

sin(𝐴 + 𝐵) = sin𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 sin 𝐵 cos(𝐴 + 𝐵) = cos𝐴 cos 𝐵 − sin𝐴 sin𝐵

Ditulis ulang dengan singkat sebagai berikut:

𝑆+= 𝑆𝐶 + 𝐶𝑆 𝐶+= 𝐶𝐶 − 𝑆𝑆

Lihat ruas kiri ada 𝑆 + dan 𝐶 +, Ini yang ditulis di kolom kiri dengan membubuhkan tanda + dan − bergantian. Tanda + dan − ini diperoleh dari proses eliminasi. Jadi, urutannya adalah 𝑆 + 𝑆, lalu 𝑆 − 𝑆, dan 𝐶 + 𝐶 lalu 𝐶 − 𝐶. 𝑆 + 𝑆

𝑆 − 𝑆

𝐶 + 𝐶

𝐶 − 𝐶

Lalu perhatikan ruas kanan, ada berturut-turut adalah 𝑆𝐶, 𝐶𝑆, 𝐶𝐶, dan – 𝑆𝑆. Itulah yang ditulis urut dari atas ke bawah dengan membubuhkan angka 2. Angka 2 tersebut diperoleh dari hasil eliminasi. 2𝑆𝐶

2𝐶𝑆

2𝐶𝐶

−2𝑆𝑆 Nah, lalu dikonstruksi seperti pada TRIK SUPERKILAT menjadi bagan di bawah ini: 𝑆 + 𝑆 2𝑆𝐶




1

2⊕

1

2⊖

⊕ ⊖



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Rumus Jumlah Selisih Dua Sudut, Jumlah Selisih atau Perkalian untuk Tangen.

Nah, konsep keenam atau konsep terakhir yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus jumlah selisih dua sudut untuk tangen, dilanjutkan dengan tangen sudut rangkap, tangen setengah sudut. Khusus untuk tangen sebenarnya jika lupa rumusnya, cukup ingat aja sifat perbandingan untuk tangen, yaitu:

“TAN A adalah SINA DIPERKOSA” atau dituliskan sebagai:

𝐭𝐚𝐧𝑨 =𝐬𝐢𝐧𝑨

𝐜𝐨𝐬𝑨

Sehingga,

tan(𝐴 + 𝐵) =sin(𝐴 + 𝐵)

cos(𝐴 + 𝐵)⇒ tan(𝐴 + 𝐵) =

sin𝐴 cos𝐵 + cos𝐴 sin𝐵

cos𝐴 cos𝐵 − sin𝐴 sin𝐵×

1cos𝐴 cos𝐵

1cos𝐴 cos𝐵

= sin𝐴 cos𝐵cos𝐴 cos𝐵 +

cos𝐴 sin𝐵cos𝐴 cos𝐵

cos 𝐴 cos𝐵cos𝐴 cos𝐵

−sin𝐴 sin𝐵cos𝐴 cos𝐵

=

sin𝐴cos𝐴

+sin𝐵cos𝐵

1 −sin𝐴cos𝐴

sin𝐵cos𝐵

=tan𝐴 + tan𝐵

1 − tan𝐴 tan𝐵

Jadi,

tan(𝐴 ± 𝐵) =tan𝐴 ± tan𝐵

1 ∓ tan𝐴 tan𝐵

Sehingga jika 𝐵 = 𝐴, akan diperoleh:

tan(𝐴 + 𝐴) =tan𝐴 + tan𝐴

1 − tan𝐴 tan𝐴 ⇒ tan 2𝐴 =

2 tan𝐴

1 − tan2 𝐴

Tangen setengah sudut diperoleh dari rumus sinus dan kosinus setengah sudut:

sin𝐴 = √1 − cos 2𝐴

2

cos𝐴 = √1 + cos2𝐴

2

}

tan𝐴 =sin𝐴

cos𝐴=√1 − cos 2𝐴

2

√1 + cos 2𝐴2

= √1 − cos 2𝐴

2× √

2

1 + cos 2𝐴= √

1 − cos2𝐴

1 + cos2𝐴

Jadi,

tan 𝐴 = √1 − cos 2𝐴

1 + cos 2𝐴



Rumus Khusus untuk Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut Jumlah dan Selisih Dua Sudut Tangen


tan(𝐴 ± 𝐵) =sin(𝐴±𝐵)

cos(𝐴±𝐵)=

tan𝐴±tan𝐵

1∓tan𝐴 tan𝐵

Substitusi 𝑩 = 𝑨 Substitusi 𝑩 = 𝑨 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑨) = 𝐬𝐢𝐧𝟐𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑨) = 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝑨

Trigonometri Sudut Rangkap Tangen Sudut Rangkap Sudut Rangkap Sinus Sudut Rangkap Kosinus Sin2𝐴 = 2 sin𝐴 cos𝐴 cos 2𝐴 = cos2 𝐴 − sin2 𝐴

Substitusi identitas trigonometri 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝑨 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝑨 = 𝟏

Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain

Sinus Kuadrat Kosinus Kuadrat cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴 cos2𝐴 = 2 cos2 𝐴 − 1

Trigonometri Setengah Sudut Tangen Setengah Sudut Sinus Setengah Sudut Kosinus Setengah Sudut Tangen Setengah Sudut

sin𝐴 = √1 − cos2𝐴

2 cos𝐴 = √

1 + cos 2𝐴

2

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS yang lain akan segera diupdate dan dipublish…. Jadi, kunjungi selalu laman web http://pak-anang.blogspot.com untuk melihat update terbaru TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS nya.



𝐭𝐚𝐧(𝑨 + 𝑨) = 𝐭𝐚𝐧𝟐𝑨

tan 2𝐴 =2 tan𝐴

1 − tan2 𝐴

tan𝐴 =sin𝐴

cos𝐴= √

1 − cos2𝐴

1 + cos2𝐴





Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut. Contoh Soal: Diketahui dari sin75° + cos 75° adalah ….

a. 1

4√6

b. 1

2√2

c. 1

2√3

d. 1

e. 1

2√6

Penyelesaian: Ingat, sin(𝐴 + 𝐵) = sin𝐴 cos𝐵 + cos𝐴 sin𝐵 dan cos(𝐴 + 𝐵) = cos𝐴 cos𝐵 − sin𝐴 sin𝐵. Perhatikan juga bahwa 75° = (45° + 30°). Sehingga,

sin 75° + cos 75° = sin(45° + 30°) + cos(45° + 30°)

= (sin45° cos30° + cos 45° sin 30°) + (cos 45° cos 30° − sin45° sin 30°)

= (1

2√2 ∙

1

2√3 +

1

2√2 ∙

1

2) + (

1

2√2 ∙

1

2√3 −

1

2√2 ∙

1

2)

=1

4√6 +

1

4√6

=1

2√6

Cara lain untuk soal ini menggunakan TRIK SUPERKILAT ada di halaman 184.



Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut jika diketahui perbandingan trigonometri dari dua sudut tersebut. Contoh Soal 1:

Diketahui sin𝐴 =4

5 dan sin𝐵 =

7

25, dengan 𝐴 sudut lancip dan 𝐵 sudut tumpul. Nilai dari cos(𝐴 − 𝐵) = ….

a. −117

125

b. −100

125

c. −75

125

d. −44

125

e. −21

25

Penyelesaian: Ingat, jika diketahui sebuah nilai perbandingan trigonometri, maka perbandingan trigonometri yang lain bisa ditemukan menggunakan alat bantu segitiga siku-siku.

Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin𝐴 =4

5 adalah: (Ingat 𝐴 adalah sudut lancip)

Sehingga, cos𝐴 =3

5

Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin𝐵 =7

25 adalah: (Ingat 𝐵 adalah sudut tumpul)

Sehingga, cos𝐵 = −24

25 (Ingat nilai cos sudut tumpul adalah negatif)

Jadi,

cos(𝐴 − 𝐵) = cos𝐴 cos𝐵 + sin𝐴 sin𝐵

=3

5∙ (−

24

25) +

4

5∙7

25

= −72

125+

28

125

= −44

125

4

3

5

𝐴

7

24

25

𝐵



Contoh Soal 2:

Pada segitiga 𝐴𝐵𝐶 lancip, diketahui cos𝐴 =4

5 dan sin𝐵 =

12

13, maka sin𝐶 = ….

a. 20

65

b. 36

65

c. 56

65

d. 60

65

e. 63

65

Penyelesaian: Ingat, jika diketahui sebuah nilai perbandingan trigonometri, maka perbandingan trigonometri yang lain bisa ditemukan menggunakan alat bantu segitiga siku-siku.

Segitiga siku-siku untuk menyatakan cos𝐴 =4

5 adalah: (Ingat 𝐴 adalah sudut lancip)

Sehingga, sin𝐴 =3

5

Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin𝐵 =12

13 adalah: (Ingat 𝐵 adalah sudut lancip)

Sehingga, cos𝐵 =5

13

Ingat, besar sudut dalam segitiga 𝐴𝐵𝐶 = 180°.

⇔ 𝐴+ 𝐵 + 𝐶 = 180°⇔ 𝐶 = 180 − (𝐴 + 𝐵)

Sehingga,

sin𝐶 = sin(180° − (𝐴 + 𝐵)) (Ingat sifat relasi sudut antar kuadran sin(180° − 𝛼) = sin𝛼)

⇔ sin𝐶 = sin(𝐴 + 𝐵)

Jadi,

sin 𝐶 = sin(𝐴 + 𝐵) = sin𝐴 cos𝐵 + cos𝐴 sin𝐵

=3

5∙5

13+4

5∙12

13

=15

65+48

65

=63

65

3

4

5

𝐴

13

5

12

𝐵



Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut jika diketahui pola rumusnya. Contoh Soal: Nilai sin45° cos15° + cos45° sin 15° sama dengan ….

a. 1

2

b. 1

2√2

c. 1

2√3

d. 1

2√6

e. 1

3√3

Penyelesaian: Ingat, sin𝐴 cos𝐵 + cos𝐴 sin𝐵 = sin(𝐴 + 𝐵) Sehingga,

sin 45° cos 15° + cos 45° sin15° = sin(45° + 15°) = sin60° =1

2√3



Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut untuk menentukan salah satu komponen rumusnya.

Contoh Soal:

Diketahui 𝑝 dan 𝑞 adalah sudut lancip dan 𝑝 − 𝑞 = 30°. Jika cos 𝑝 sin 𝑞 =1

6, maka nilai dari sin𝑝 cos 𝑞 = ….

a. 1

6

b. 2

6

c. 3

6

d. 4

6

e. 5

6

Penyelesaian: Lihat pada soal, diketahui selisih dua sudut 𝑝 − 𝑞, dan salah satu komponen dari rumus jumlah atau selisih dua sudut yakni cos𝑝 sin𝑞. Dengan melihat bahwa yang diketahui komponen perkalian SELANG-SELING, maka rumus yang digunakan adalah sin(𝑝 − 𝑞). Jadi,

sin(𝑝 − 𝑞) = sin𝑝 cos 𝑞 − cos 𝑝 sin𝑞

⇒ sin 30° = sin𝑝 cos 𝑞 −1

6

⇔1

2= sin𝑝 cos 𝑞 −

1

6

⇔1

2+1

6= sin𝑝 cos 𝑞

⇔3

6+1

6= sin𝑝 cos 𝑞

⇔4

6= sin𝑝 cos 𝑞



Menentukan rumus jumlah atau selisih dua sudut untuk menentukan salah satu komponen rumusnya

Contoh Soal:

Diketahui (𝐴 + 𝐵) =𝜋

3 dan sin𝐴 sin𝐵 =

1

4. Nilai dari cos(𝐴 − 𝐵) = ….

a. −1

b. −1

2

c. 1

2

d. 3

4

e. 1

Penyelesaian: Lihat pada soal, diketahui jumlah dua sudut 𝐴 + 𝐵, dan salah satu komponen dari rumus jumlah atau selisih dua sudut yakni sin𝐴 sin𝐵. Dengan melihat bahwa yang diketahui komponen perkalian KEMBAR, maka rumus yang digunakan adalah cos(𝐴 + 𝐵). Sehingga untuk mencari nilai cos(𝐴 − 𝐵) maka harus komplit terlebih dahulu komponen dari rumusnya, SIN SIN udah ada, tinggal COS COS yang belum ada. Nilai COS COS dicari menggunakan rumus cos(𝐴 − 𝐵):

cos(𝐴 + 𝐵) = cos𝐴 cos𝐵 − sin𝐴 sin𝐵

⇒ cos𝜋

3= cos𝐴 cos𝐵 −

1

4

⇔1

2= cos𝐴 cos𝐵 −

1

4

⇔1

2+1

4= cos𝐴 cos𝐵

⇔2

4+1

4= cos𝐴 cos𝐵

⇔3

4= cos𝐴 cos𝐵

Jadi,

cos(𝐴 − 𝐵) = cos𝐴 cos𝐵 + sin𝐴 sin𝐵

=3

4+1

4= 1



Menggunakan rumus perkalian sinus kosinus. Contoh Soal:

Nilai dari cos10°

cos40° cos50° adalah ….

a. 3 b. 2 c. 1

d. 1

2

e. 1

4

Penyelesaian: Sudut yang digunakan pada soal bukan sudut istimewa. Pada soal terdapat perkalian antara COS dengan COS, maka berlaku konsep perkalian dua kosinus. Jadi,

cos 10°

cos 40° cos 50°=

cos10°

12 × 2 cos40° cos 50°

(munculkan bentuk 2 cos𝐴 cos𝐵 = cos(𝐴 + 𝐵) + cos(𝐴 − 𝐵))

=cos10°

12× (cos(40° + 50°) + cos(40° − 50°))

(dibagi1

2= dikali

2

1)

=cos10°

cos90° + cos(−10°)×2

1 (ingat relasi sudut negatif, cos(−𝛼) = cos𝛼)

=2 cos10°

0 + cos10°

=2 cos10°

cos10°= 2



Menggunakan rumus jumlah atau selisih sinus kosinus. Contoh Soal: Nilai dari cos 195° + cos 105° adalah ….

a. 1

2√6

b. 1

2√3

c. 1

2√2

d. 0

e. −1

2√6

Penyelesaian:

Ingat cos𝐴 + cos𝐵 = 2 cos1

2(𝐴 + 𝐵) cos

1

2(𝐴 − 𝐵)

Jadi,

cos 195° + cos 105° = 2 cos1

2(195° + 105°) cos

1

2(195° − 105°)

= 2 cos1

2(300°) cos

1

2(90°)

= 2 cos 150° cos45°

= 2 (−1

2√3) (

1

2√2)

= −1

2√6



TRIK SUPERKILAT Memanipulasi rumus sin + cos atau sin – cos menggunakan relasi sudut antar kuadran. Contoh Soal: Nilai dari sin 75° + cos 75° adalah ….

a. 1

4√6

b. 1

2√2

c. 1

2√3

d. 1

e. 1

2√6

Penyelesaian: Ingat, nggak ada rumus jadi untuk sinus ditambah kosinus. Yang ada hanyalah sin + sin, sin − sin, cos + cos, dan cos − cos. Nah, supaya bisa menggunakan rumus jumlah selisih sinus kosinus, maka gunakan relasi sudut antar kuadran untuk mengubah sin + cos, menjadi sin + sin atau cos + cos. Ingat, sin(90° − 𝛼) = cos𝛼 atau cos(90° − 𝛼) = sin𝛼. Jadi,

sin 75° + cos 75° = sin75° + cos(90° − 15°) = sin75° + sin 15°

= 2 sin1

2(75° + 15°) cos

1

2(75° − 15°)

= 2 sin1

2(90°) cos

1

2(60°)

= 2 sin45° cos30°

= 2 (1

2√2) (

1

2√3)

=1

2√6

Kunjungi selalu laman web http://pak-anang.blogspot.com untuk melihat update TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS terbarunya.





1. Diketahui 3

πβα dan

4

1βsinαsin dengan α dan β merupakan sudut lancip. Nilai β)cos(α ....

A. 1

B. 4

3

C. 2

1

D. 4

1

E. 0

2. Diketahui nilai 5

1βcosαsin dan

5

3β) (αsin untuk 180α0 dan .90β0

Nilai β) (αsin ....

A. 5

3

B. 5

2

C. 5

1

D. 5

1

E. 5

3

3. Diketahui 5

3αsin dan

13

12cos lancip)sudut dan ( . Nilai β) (αsin ....

A. 65

56

B. 65

48

C. 65

36

D. 65

20

E. 65

16

4. Jika 3

πBA dan ,

8

5B cosA cos maka B)cos(A ....

A. 4

1

B. 2

1

C. 4

3

D. 1

E. 4

5

cos(𝛼 − 𝛽) = cos𝛼 cos𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽 (diketahui dari soal sin 𝛼 ∙ sin 𝛽 =1

4 dan 𝛼 − 𝛽 =

𝜋

3)

⇒1

2= cos𝛼 cos𝛽 +

1

4

⇔ cos 𝛼 cos 𝛽 =1

4

cos(𝛼 + 𝛽) = cos𝛼 cos𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽

⇒ cos(𝛼 + 𝛽) =1

4−

1

4

⇔ cos(𝛼 + 𝛽) = 0

sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽 (diketahui dari soal sin 𝛼 ∙ cos 𝛽 =1

5 dan sin(𝛼 − 𝛽) =

3

5)

⇒3

5=

1

5− cos 𝛼 sin 𝛽

⇔ cos 𝛼 sin 𝛽 = −2

5

sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽

⇒ sin(𝛼 + 𝛽) =1

5+ (−

2

5)

⇔ sin(𝛼 + 𝛽) = −1

5

sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽

⇒ sin(𝛼 + 𝛽) =3

5∙12

13+

4

5∙5

13

⇔ sin(𝛼 + 𝛽) =36

65+

20

65

⇔ sin(𝛼 + 𝛽) =56

65

𝛼 3

5

4

𝛽 5

13

12

sin 𝛼 =3

5

⇒ cos 𝛼 =4

5

cos 𝛽 =12

13

⇒ sin 𝛽 =5

13

cos(𝐴 + 𝐵) = cos𝐴 cos 𝐵 − sin𝐴 sin𝐵 (diketahui dari soal cos 𝐴 cos 𝐵 =5

8 dan 𝛼 + 𝛽 =

𝜋

3)

⇒1

2=

5

8− sin𝐴 sin𝐵

⇔ sin𝐴 sin𝐵 =1

8

cos(𝐴 − 𝐵) = cos𝐴 cos 𝐵 + sin𝐴 sin𝐵

⇒ cos(𝐴 − 𝐵) =5

8+

1

8

⇔ cos(𝐴 − 𝐵) =6

8=

3

4



5. Nilai dari 165sin75sin adalah ....

A. 24

1

B. 34

1

C. 64

1

D. 22

1

E. 62

1


sin 𝐴 − sin 𝐵 = 2 cos (𝐴 + 𝐵

2) sin (

𝐴 − 𝐵

2)

⇒ sin 75° − sin 165° = 2 cos (75° + 165°

2) sin (

75° − 165°

2)

= 2 cos 120° sin(−45°) (ingat sin(−𝑥) = − sin 𝑥)

= −2 cos 120° sin 45°= −2 cos(180° − 60°) sin 45° (ingat cos(180° − 𝑥) = − cos 𝑥)

= −2 (−cos 60°) sin 45°

= 2 cos 60° sin 45

= 2 ∙1

2∙1

2√2

=1

2√2






SKL 5. Memahami konsep limit, turunan dan integral dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri, serta mampu menerapkannya dalam pemecahan masalah.

5. 1. Menghitung nilai limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.

Limit Aljabar

Bentuk Umum

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

Limit 𝑥 → 𝑎 Limit 𝑥 → ∞

“Jika 𝒇(𝒂) terdefinisi” “Jika 𝒇(𝒂) =𝟎

𝟎” “

𝟏

∞ itu mendekati nol”

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑥) diubah sehingga

pembuat nilai 0

0 hilang. lim

𝑥→∞

1

𝑥𝑛= 0

Pemfaktoran Dikali Sekawan Akar Dibagi Variabel Pangkat Tertinggi

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= lim

𝑥→𝑎

(𝑥 − 𝑎)𝑃(𝑥)

(𝑥 − 𝑎)𝑄(𝑥)

Sehingga hilanglah pembuat

nilai 0

0, yaitu

(𝑥−𝑎)

(𝑥−𝑎)

⇒ lim𝑥→𝑎

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)

⇒𝑃(𝑎)

𝑄(𝑎)

lim𝑥→2

√2𝑥 − 2

2𝑥 − 4

Bentuk limit tersebut memuat

bentuk akar yaitu √2𝑥 − 2, yang

bentuk sekawannya √2𝑥 + 2.

⇒ lim𝑥→2

√2𝑥 − 2

2𝑥 − 4×

√2𝑥 + 2

√2𝑥 + 2

⇒ lim𝑥→2

(2𝑥 − 4)

(2𝑥 − 4)(√2𝑥 + 4)

Sehingga hilanglah pembuat

nilai 0

0, yaitu

2𝑥−4

2𝑥−4

lim

𝑥→∞

3𝑥2 − 2𝑥 + 4

5𝑥2 + 9𝑥 − 3

Nilai limit di atas adalah bentuk tak tentu ∞

∞,

bagilah semua suku pembilang dan penyebut

dengan variabel pangkat tertinggi, yaitu 𝑥2,

⇒ lim𝑥→∞

3𝑥2

𝑥2 −2𝑥𝑥2 +

4𝑥2

5𝑥2

𝑥2 +9𝑥𝑥2 −

3𝑥2

⇒ lim𝑥→2

3 − 0 + 0

5 + 0 − 0

⇒3

5

Aturan L’Hôpital “Diturunkan”

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= lim

𝑥→𝑎

𝑓′(𝑥)

𝑔′(𝑥)

Dikali Sekawan Akar

lim𝑥→∞

√2𝑥2 + 3𝑥 − 1 − √2𝑥2 − 𝑥 + 5

Nilai limit adalah bentuk tak tentu ∞ − ∞,

kalikan dengan bentuk sekawan akar.

lim𝑥→∞

√2𝑥2 + 3𝑥 − 1 − √2𝑥2 − 𝑥 + 5 ×√2𝑥2 + 3𝑥 − 1 + √2𝑥2 − 𝑥 + 5

√2𝑥2 + 3𝑥 − 1 + √2𝑥2 − 𝑥 + 5

Setelah itu lanjutkan dengan membagi

variabel pangkat tertinggi.



Limit Trigonometri

Sinus dan Tangen Kosinus “Jahat” “Coret Sinta” “Hapus Kosinus”

lim𝑥→0

sin 𝑥

𝑥= lim

𝑥→0

𝑥

sin 𝑥= 1

lim𝑥→0

tan 𝑥

𝑥= lim

𝑥→0

𝑥

tan 𝑥= 1

lim𝑥→0

sin 𝑥

tan 𝑥= lim

𝑥→0

tan 𝑥

sin 𝑥= 1

lim𝑥→0

sin 𝑥

sin 𝑥= lim

𝑥→0

tan 𝑥

tan 𝑥= 1

lim𝑥→0

sin 𝑎𝑥

𝑏𝑥= lim

𝑥→0

𝑎𝑥

sin 𝑏𝑥=

𝑎

𝑏

lim𝑥→0

tan 𝑎𝑥

𝑏𝑥= lim

𝑥→0

𝑎𝑥

tan 𝑏𝑥=

𝑎

𝑏

lim𝑥→0

sin 𝑎𝑥

tan 𝑏𝑥= lim

𝑥→0

tan 𝑎𝑥

sin 𝑏𝑥=

𝑎

𝑏

lim𝑥→0

sin 𝑎𝑥

sin 𝑏𝑥= lim

𝑥→0

tan 𝑎𝑥

tan 𝑏𝑥=

𝑎

𝑏

lim𝑥→0

cos 𝑥 = lim𝑥→0

1

cos 𝑥= 1

lim𝑥→0

cos 𝑎𝑥 = lim𝑥→0

1

cos 𝑎𝑥= 1

Kosinus “Baik” adalah Kosinus yang menyebabkan nilai limit menjadi 0.

Ingat lagi identitas trigonometri

1 − cos 𝑥 = 2 sin21

2𝑥

1 − cos2 𝑥 = sin2 𝑥

Kosinus “Baik” “Ubah Kosinus”

lim𝑥→0

𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙

𝑥2 = lim𝑥→0

2 sin2 12

𝑥

𝑥2 = lim𝑥→0

2 ∙sin

12

𝑥

𝑥∙

sin12

𝑥

𝑥

lim𝑥→0

𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝟏

𝑥2 = lim𝑥→0

−2 sin2 12

𝑥

𝑥2 = lim𝑥→0

−2 ∙sin

12

𝑥

𝑥∙

sin12

𝑥

𝑥

lim𝑥→0

𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒂𝒙

𝑥2 = lim𝑥→0

2 sin2 12

𝑎𝑥

𝑥2 = lim𝑥→0

2 ∙sin

12

𝑎𝑥

𝑥∙

sin12

𝑎𝑥

𝑥

lim𝑥→0

𝐜𝐨𝐬 𝒂𝒙 − 𝟏

𝑥2 = lim𝑥→0

−2 sin2 12

𝑎𝑥

𝑥2 = lim𝑥→0

−2 ∙sin

12

𝑎𝑥

𝑥∙

sin12

𝑎𝑥

𝑥

lim𝑥→0

𝐜𝐨𝐬 𝒂𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝒃𝒙

𝑥2= lim

𝑥→0

2 sin2 12

𝑏𝑥 − 2 sin2 12

𝑎𝑥

𝑥2= dst dst …

lim𝑥→0

𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙

𝑥2 = lim𝑥→0

sin2 𝑥

𝑥2 = lim𝑥→0

sin 𝑥

𝑥∙

sin 𝑥

𝑥

lim𝑥→0

𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 − 𝟏

𝑥2 = lim𝑥→0

− sin2 𝑥

𝑥2 = lim𝑥→0

−sin 𝑥

𝑥∙

sin 𝑥

𝑥

lim𝑥→0

𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒂𝒙

𝑥2 = lim𝑥→0

sin2 𝑎𝑥

𝑥2 = lim𝑥→0

sin 𝑎𝑥

𝑥∙

sin 𝑎𝑥

𝑥

lim𝑥→0

𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒂𝒙 − 𝟏

𝑥2 = lim𝑥→0

− sin2 𝑎𝑥

𝑥2 = lim𝑥→0

−sin 𝑎𝑥

𝑥∙

sin 𝑎𝑥

𝑥

lim𝑥→0

𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒂𝒙 − 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒃𝒙

𝑥2 = lim𝑥→0

sin2 𝑏𝑥 − sin2 𝑎𝑥

𝑥2 = dst dst …

dst … dst …



LOGIKA PRAKTIS Pengerjaan Limit. Secara umum proses mengerjakan soal limit adalah sebagai berikut:

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

Substitusi 𝑥 = 𝑎 ke 𝑓(𝑥)

Periksa Hasilnya? Bentuk tertentu Bentuk tak tentu

(𝑎

𝑏,0

𝑘= 0,

𝑘

0= ∞) (

0

0,∞

∞, ∞ − ∞, … )

Selesai

Ubah



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menggunakan Aturan L’Hopital (Turunan).

Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar yang menghasilkan bentuk tak tentu 0

0 adalah dengan

menggunakan aturan L’Hopital, yaitu mencari turunan dari pembilang dan penyebut. Lalu langkah berikutnya adalah disubstitusikan limitnya ke fungsi. Selesai. Contoh:

lim𝑥→2

2𝑥2 − 7𝑥 + 6

4𝑥 − 8=

0

0

Sehingga,

lim𝑥→2

2𝑥2 − 7𝑥 + 6

4𝑥 − 8= lim

𝑥→2

4𝑥 − 7

4=

4(2) − 7

4=

8 − 7

4=

1

4

diturunkan

diturunkan

disubstitusikan



Asal Muasal TRIK SUPERKILAT Limit Aljabar Menggunakan Modifikasi Aturan L’Hopital (Turunan Modifikasi). Perhatikan misalkan kita hendak mencari penyelesaian dari:

lim𝑥→𝑎

√𝑓(𝑥)𝑛− √𝑔(𝑥)𝑛

ℎ(𝑥)= ….

Bentuk limit tersebut menghasilkan suatu nilai tak tentu yaitu 0

0.

Jadi kesimpulannya adalah:

lim𝑥→𝑎


ℎ(𝑥)=

0

0 ⇒ untuk 𝑥 → 𝑎 {

√𝑓(𝑥)𝑛

− √𝑔(𝑥)𝑛

= 0 ⇒ √𝑓(𝑥)𝑛

= √𝑔(𝑥)𝑛

ℎ(𝑥) = 0

Maka, penyelesaiannya bisa menggunakan aturan L’Hopital, meskipun cukup panjang karena fungsi yang dilimitkan masih memuat bentuk akar. Sehingga dengan menggunakan aturan L’Hopital:

lim𝑥→𝑎


ℎ(𝑥)= lim

𝑥→𝑎

𝑑𝑑𝑥

[ √𝑓(𝑥)𝑛− √𝑔(𝑥)𝑛

]

𝑑𝑑𝑥

[ℎ(𝑥)]

(ingat𝑑

𝑑𝑥( √𝑓(𝑥)

𝑛) =

𝑑

𝑑𝑥(𝑓(𝑥))

1𝑛)

(sehingga𝑑

𝑑𝑥( √𝑓(𝑥)

𝑛) =

1

𝑛(𝑓(𝑥))

1𝑛

−1∙ 𝑓′(𝑥) =

𝑓′(𝑥)

𝑛 ∙ (𝑓(𝑥))𝑛−1

𝑛

=𝑓′(𝑥)

𝑛( √𝑓(𝑥)𝑛)

𝑛−1)

= lim𝑥→𝑎

𝑓′(𝑥)


𝑛−1 −𝑔′(𝑥)

𝑛( √𝑔(𝑥)𝑛)

𝑛−1

ℎ′(𝑥)

(ingat untuk 𝑥 → 𝑎 berlaku √𝑓(𝑥)𝑛

= √𝑔(𝑥)𝑛

)

= lim𝑥→𝑎

𝑓′(𝑥)


𝑛−1 −𝑔′(𝑥)


𝑛−1

ℎ′(𝑥) (keluarkan

1


𝑛−1 dari kedua ruas)

= (1


𝑛−1) × (lim𝑥→𝑎

𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)

ℎ′(𝑥))

Pangkat Akar Nilai Akar Pangkat Akar − 1 Aturan L’Hopital, tapi tanpa tanda akar Jadi, kesimpulannya jadilah sebuah TRIK SUPERKILAT, yang Pak Anang beri nama, TURUNAN MODIFIKASI. Mengapa? Karena prinsipnya sama dengan proses mencari nilai limit dengan menggunakan aturan L’Hopital, yakni dengan mencari turunan pembilang dan penyebut. Namun, TRIK SUPERKILAT tidak menggunakan tanda akar, dan hasilnya nanti harus dikalikan dengan “sesuatu”.

Sesuatu itu adalah, pangkat×(nilai akar)pangkat-1 yang harus diletakkan terbalik dengan letak akar semula.




TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menggunakan Modifikasi Aturan L’Hopital (Turunan Modifikasi).

Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar yang memuat bentuk akar dan menghasilkan bentuk tak tentu 0

0

adalah dengan menggunakan modifikasi aturan L’Hopital, yaitu memodifikasi cara mencari turunan dari pembilang atau penyebut bentuk akar. Lalu langkah berikutnya adalah disubstitusikan limitnya ke fungsi. Selesai.

Soal Limit 𝑥 → 𝑎 bentuk 0

0 yang memuat bentuk akar

Perhatikan tiga hal Buang Tanda Akar, Ganti dengan Kurung Pangkat Akar Nilai Akar Letak Akar Turunkan Pembilang Penyebut (Aturan L’Hopital)

Kalikan dengan “Sesuatu” Selesai! Misal soalnya adalah sebagai berikut:

lim𝑥→2

√3𝑥 + 3 − √5𝑥 − 1

𝑥2 − 4=

0

0

Maka tiga hal yang harus segera diperhatikan pada soal adalah:

Periksa akar pangkat berapa?

lim𝑥→2

√3𝑥 + 3 − √5𝑥 − 1

𝑥2 − 4=

0

0

⇒ √𝟐

⇒ akar pangkat "𝟐"

Periksa nilai dari akar pada soal.

lim𝑥→2

√3𝑥 + 3 − √5𝑥 − 1

𝑥2 − 4=

0

0

⇒ √𝟑𝒙 + 𝟑 = √𝟑(𝟐) + 𝟑 = √𝟗 = "𝟑"

Lihat letak akar!

Kalau di atas tulis di bawah. Kalau di bawah tulis di atas.

Apa yang ditulis?

pangkat × (nilai akar)pangkat−1

lim𝑥→2

√3𝑥 + 3 − √5𝑥 − 1

𝑥2 − 4=

0

0

⇒ akar berada di atas ⇒ tulis di bawah

⇒𝟏

pangkat × (nilai akar)pangkat−𝟏

Keterangan TRIK SUPERKILAT: Dikalikan sesuatu, maksudnya dikalikan dengan:

pangkat×(nilai akar)pangkat-1 yang letaknya berkebalikan dengan letak akar.



Nah sekarang praktek mengerjakan soalnya: Tentukan nilai dari:

lim𝑥→2

√3𝑥 + 3 − √5𝑥 − 1

𝑥2 − 4= ….

Perhatikan soal! lim𝑥→2

√3𝑥 + 3 − √5𝑥 − 1

𝑥2 − 4

Buang tanda akar! Ganti akar dengan tanda kurung lim

𝑥→2

(3𝑥 + 3) − (5𝑥 − 1)

𝑥2 − 4

Gunakan aturan L’Hopital! Mencari turunan dari

pembilang dan penyebut

lim𝑥→2

𝑑𝑑𝑥

[(3𝑥 + 3) − (5𝑥 − 1)]

𝑑𝑑𝑥

[𝑥2 − 4]

⇒ 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐

𝟑 − 𝟓

𝟐𝒙= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟐

−𝟐

𝟐𝒙=

−𝟐

𝟐(𝟐)=

−𝟐

𝟒

Masih ingat apa yang ditulis? Pangkat = 2

Nilai Akar = 3 Letak Akar = di atas

−2

4×

1

pangkat×(nilai akar)pangkat-1

⇒−𝟐

𝟒×

𝟏

𝟐 ∙ (𝟑)𝟐−𝟏=

−𝟐

𝟒×

𝟏

𝟔= −

𝟏

𝟏𝟐

Selesai…!!!! ∴ lim𝑥→2

√3𝑥 + 3 − √5𝑥 − 1

𝑥2 − 4= −

1

12

Contoh Pengerjaan TRIK SUPERKILAT Modifikasi Aturan L’Hopital Versi Lebih Singkat: Tentukan nilai dari:

lim𝑥→2

√2𝑥 + 1 − √4𝑥 − 3

5𝑥 − 15= ….

Sehingga,

lim𝑥→2

√2𝑥 + 1 − √4𝑥 − 3

5𝑥 − 10= lim

𝑥→2

2 − 4

5×

1

2√5=

−2

5×

1

2√5= −

1

5√5= −

1

25√5

Diturunkan tanpa tanda akar

Diturunkan tanpa tanda akar

Dikalikan “sesuatu”

Keterangan TRIK SUPERKILAT: Dikalikan sesuatu, maksudnya dikalikan dengan:

pangkat×(nilai akar)pangkat-1 yang letaknya berkebalikan dengan letak akar.



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menuju Tak Hingga dengan Membagi Variabel Pangkat Tertinggi. Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar menuju tak hingga dengan membagi variabel pangkat tertinggi adalah dengan membandingkan pangkat variabel pada pembilang dan penyebut. Selesai.

Soal Limit 𝑥 → ∞ bentuk ∞

∞

Bentuk umum

lim𝑥→∞

𝑎1𝑥𝑚 + 𝑎2𝑥𝑚−1 + 𝑎3𝑥𝑚−2 + … + 𝑎𝑚

𝑏1𝑥𝑛 + 𝑏2𝑥𝑛−1 + 𝑏3𝑥𝑛−2 + … + 𝑎𝑛

Bandingkan pangkat terbesar dari pembilang dan penyebut

𝑚 < 𝑛 𝑚 = 𝑛 𝑚 > 𝑛

Nilai limit = 0 Nilai limit = 𝑎1

𝑏1 Nilai limit = ∞

Misal soalnya adalah sebagai berikut:

lim𝑥→∞

5𝑥3 + 2𝑥 − 15

2𝑥4 − 3𝑥2 + 1= ….

Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah pangkat terbesar ada di bawah….. Berarti KEEECIIIIILLLLL…. Sehingga nilai limitnya adalah 0 (nol).

lim𝑥→∞

2𝑥3 + 5𝑥2 + 7

3𝑥2 + 13𝑥 + 5= ….

Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah pangkat terbesar ada di atas….. Berarti BEEESAAAARRRRRR…. Sehingga nilai limitnya adalah +∞ (positif tak terhingga).

lim𝑥→∞

4𝑥3 + 5𝑥 − 21

3𝑥3 + 7𝑥2 − 4= ….

Apabila pangkat terbesar ada di atas dan di bawah, maka nilai limitnya adalah hasil pembagian koefisien variabel pangkat tertinggi tersebut.

Perbandingan koefisien bertanda positif

LOGIKA PRAKTIS menghafalkan: Ingat, kecil ⇒ 0, besar ⇒ ∞ Kalau pangkat terbesar di bawah berarti nol. Bawah itu KEEEECIIIILLLL…. Kalau pangkat tertinggi di atas berarti tak hingga. Atas itu BEESAAAARRR…. Jika pangkat tertinggi ada di atas dan di bawah, maka lihat koefisiennya saja. Selesai!

Kalau pangkat terbesar di bawah berarti nol. Bawah itu KEEEECIIIILLLL…. Jadi nilai limitnya sama dengan nol.

Kalau pangkat terbesar di atas berarti tak hingga. Atas itu BEEESAAARR…. Jadi nilai limitnya sama dengan positif tak hingga, perbandingannya positif..

Kalau pangkat terbesar di atas dan di bawah berarti nilai limitnya adalah hasil

pembagian koefisien yang memuat variabel pangkat tertinggi, yaitu 4

3.



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menuju Tak Hingga dengan Mengalikan Bentuk Sekawan Akar. Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar menuju tak hingga dengan mengalikan bentuk sekawan akar adalah membandingkan koefisien suku derajat dua dan suku derajat satu di dalam tanda akar. Selesai.

Soal Limit 𝑥 → ∞ bentuk ∞ − ∞ Bentuk umum

lim𝑥→∞

√𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 − √𝑝𝑥2 + 𝑞𝑥 + 𝑟

Bandingkan koefisien suku derajat dua di dalam tanda akar

𝑎 < 𝑝 𝑎 = 𝑝 𝑎 > 𝑝

Nilai limit = −∞ Nilai limit = 𝑏−𝑝

2√𝑎 Nilai limit = +∞

Misal soalnya adalah sebagai berikut:

lim𝑥→∞

√2𝑥2 + 3𝑥 − 4 − √𝑥2 − 7𝑥 − 1 = ….

Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di akar bertanda positif. Sehingga nilai limitnya adalah +∞ (positif tak hingga).

lim𝑥→∞

√𝑥2 + 3𝑥 − 4 − √2𝑥2 − 7𝑥 − 1 = ….

Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di akar bertanda positif. Sehingga nilai limitnya adalah −∞ (negatif tak hingga).

lim𝑥→∞

√2𝑥2 + 3𝑥 − 4 − √2𝑥2 − 7𝑥 − 1 = ….

Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di kedua bentuk akar.

Sehingga nilai limitnya adalah 𝑏−𝑝

2√𝑎=

3−(−7)

2√2=

10

2√2=

5

√2=

5

2√2

LOGIKA PRAKTIS menghafalkan: Ingat, akar tanda positif ⇒ +∞, akar tanda negatif ⇒ −∞ Kalau koefisien terbesar di akar bertanda positif. Maka nilai limit POSITIF TAK HINGGA…. Kalau koefisien terbesar di akar bertanda negatif. Maka nilai limit NEGATIF TAK HINGGA…. Jika koefisien tertinggi sama pada kedua bentuk akar, maka gunakan rumusnya. Selesai!

Kalau koefisien terbesar ada di akar bertanda positif. Maka nilai limit adalah POSITIF TAK HINGGAAAAAAA….

Kalau koefisien terbesar ada di akar bertanda negatif. Maka nilai limit adalah NEGATIF TAK HINGGAAAAAAA….

Kalau koefisien terbesar ada di kedua bentuk akar.

Maka nilai limit adalah 𝑏−𝑝

2√𝑎….

𝑎

𝑏 − 𝑝



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Sinta Coret. Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk sinus atau tangen dan menghasilkan

bentuk tak tentu 0

0 adalah dengan mencoret sinus dan tangen sehingga tinggal menyisakan sudutnya saja. Lalu

langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai.

Soal Limit Fungsi Trigonometri 𝑥 → 0 bentuk 0

0

Jika limit memuat bentuk sin atau tan, maka coret sin atau tan. Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa.

lim𝑥→0

sin 𝑥

𝑥= lim

𝑥→0

𝑥

sin 𝑥= 1

lim𝑥→0

tan 𝑥

𝑥= lim

𝑥→0

𝑥

tan 𝑥= 1

lim𝑥→0

sin 𝑥

tan 𝑥= lim

𝑥→0

tan 𝑥

sin 𝑥= 1

lim𝑥→0

sin 𝑥

sin 𝑥= lim

𝑥→0

tan 𝑥

tan 𝑥= 1

lim𝑥→0

sin 𝑎𝑥

𝑏𝑥= lim

𝑥→0

𝑎𝑥

sin 𝑏𝑥=

𝑎

𝑏

lim𝑥→0

tan 𝑎𝑥

𝑏𝑥= lim

𝑥→0

𝑎𝑥

tan 𝑏𝑥=

𝑎

𝑏

lim𝑥→0

sin 𝑎𝑥

tan 𝑏𝑥= lim

𝑥→0

tan 𝑎𝑥

sin 𝑏𝑥=

𝑎

𝑏

lim𝑥→0

sin 𝑎𝑥

sin 𝑏𝑥= lim

𝑥→0

tan 𝑎𝑥

tan 𝑏𝑥=

𝑎

𝑏

Contoh Soal

lim𝑥→0

𝑥 sin 2𝑥

5𝑥 tan 3𝑥=

1 ∙ 2

3 ∙ 5=

2

15

Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!

lim𝑥→0

5𝑥 sin2 2𝑥

3𝑥2 tan 𝑥= lim

𝑥→0

5𝑥 sin 2𝑥 sin 2𝑥

3 𝑥 𝑥 tan 𝑥=

5 ∙ 2 ∙ 2

3=

20

3


lim𝑥→0

5𝑥2 tan 3𝑥

sin3 2𝑥= lim

𝑥→0

5𝑥 𝑥 tan 3𝑥

sin 2𝑥 sin 2𝑥 sin 2𝑥=

5 ∙ 5 ∙ 3

2 ∙ 2 ∙ 2=

75

8


lim𝑥→0

sin 3𝑥 + tan 6𝑥

4𝑥= lim

𝑥→0

3𝑥 + 6𝑥

4𝑥= lim

𝑥→0

9𝑥

4𝑥=

9

4


lim𝑥→0

5𝑥2

𝑥(tan 7𝑥 − sin 3𝑥)= lim

𝑥→0

5𝑥2

𝑥(7𝑥 − 3𝑥)= lim

𝑥→0

5𝑥2

4𝑥2=

5

4




TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Hapus Kosinus. Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk kosinus “jahat” dan menghasilkan

bentuk tak tentu 0

0 adalah dengan menghapus fungsi kosinus yang bernilai 1. Lalu langkah berikutnya adalah

mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai.


0

Jika limit memuat bentuk cos “jahat”, maka hapus cos. Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa.

lim𝑥→0

cos 𝑥 = lim𝑥→0

1

cos 𝑥= 1

lim𝑥→0

cos 𝑎𝑥 = lim𝑥→0

1

cos 𝑎𝑥= 1

Contoh Soal

lim𝑥→0

cos 𝑥

𝑥= lim

𝑥→0

1

𝑥=

1

0= ∞

Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!

lim𝑥→0

3𝑥

cos 7𝑥= lim

𝑥→03𝑥 = 0


lim𝑥→0

2𝑥 cos 5𝑥

3 sin 𝑥= lim

𝑥→0

2𝑥

3 sin 𝑥= lim

𝑥→0

2

3=

2

3


lim𝑥→0

sin 3𝑥 + 𝑥 cos 2𝑥

tan 5𝑥 cos 7𝑥= lim

𝑥→0

3𝑥 + 𝑥

5𝑥lim𝑥→0

4𝑥

5𝑥= lim

𝑥→0

4

5=

4

5


lim𝑥→0

2𝑥2 cos 𝑥

𝑥 sin 3𝑥= lim

𝑥→0

2𝑥 𝑥

𝑥 3𝑥= lim

𝑥→0

2

3=

2

3


lim𝑥→0

3𝑥 cos 2𝑥

𝑥 cos2 5𝑥= lim

𝑥→0

3𝑥

𝑥= lim

𝑥→0

3

1= 3




TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Ubah Kosinus. Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk kosinus “baik” dan menghasilkan

bentuk tak tentu 0

0 adalah dengan mengubah fungsi kosinus yang menyebabkan nilai limit menjadi 0 dengan

menggunakan sifat identitas trigonometri. Lalu langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai.


0

Jika limit memuat bentuk cos “baik”, maka ubah cos. Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa.

lim𝑥→0

𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒂𝒙

𝑥2= lim

𝑥→0

𝟏𝟐

𝒂𝒙 𝒂𝒙

𝑥2=

1

2𝑎2

lim𝑥→0

𝐜𝐨𝐬 𝒂𝒙 − 𝟏

𝑥2= lim

𝑥→0

−𝟏𝟐

𝒂𝒙 𝒂𝒙

𝑥2= −

1

2𝑎2

lim𝑥→0

𝐜𝐨𝐬 𝒂𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝒃𝒙

𝑥2= lim

𝑥→0

𝟏𝟐

𝒃𝒙 𝒃𝒙 −𝟏𝟐

𝒂𝒙 𝒂𝒙

𝑥2=

1

2(𝑏2 − 𝑎2)

lim𝑥→0

𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒂𝒙

𝑥2= lim

𝑥→0

𝒂𝒙 𝒂𝒙

𝑥2= 𝑎2

lim𝑥→0

𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒂𝒙 − 𝟏

𝑥2= lim

𝑥→0

− 𝒂𝒙 𝒂𝒙

𝑥2= − 𝑎2

lim𝑥→0

𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒂𝒙 − 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒃𝒙

𝑥2= lim

𝑥→0

𝒃𝒙 𝒃𝒙 − 𝒂𝒙 𝒂𝒙

𝑥2= (𝑏2 − 𝑎2)

Contoh Soal

lim𝑥→0

𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙

3𝑥2= lim

𝑥→0

𝟏𝟐 𝟐𝒙 𝟐𝒙

3 𝑥 𝑥= lim

𝑥→0

2

3=

2

3

Ubah cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!

lim𝑥→0

𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝟐𝒙

3𝑥2= lim

𝑥→0

𝟐𝒙 𝟐𝒙

3 𝑥 𝑥= lim

𝑥→0

2 ∙ 2

3= lim

𝑥→0

4

3=

4

3

Ubah cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_23.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Limit Fungsi Aljabar dan Limit Fungsi Trigonometri ini….






1. Nilai x

x

x 93

5lim

0....

A. −30

B. −27

C. 15

D. 30

E. 36

2. Nilai

32

1lim

1 x

x

x....

A. 8

B. 4

C. 0

D. −4

E. −8

3. Nilai

3

12lim

3 x

x

x....

A. 4

1

B. 2

1

C. 1

D. 2

E. 4

lim𝑥→0

5𝑥

3 − √9 + 𝑥 = lim

𝑥→0

5𝑥

3 − √9 + 𝑥×

3 + √9 + 𝑥

3 + √9 + 𝑥

= lim𝑥→0

5𝑥 ∙ (3 + √9 + 𝑥)

9 − (9 + 𝑥)

= lim𝑥→0

5𝑥 ∙ (3 + √9 + 𝑥)

−𝑥

= lim𝑥→0

−5 ∙ (3 + √9 + 𝑥)

= −5 ∙ (3 + √9)

= −5 ∙ 6= −30

TRIK SUPERKILAT:

lim𝑥→0

5𝑥

3 − √9 + 𝑥 =

5

−1∙

2 ∙ 3

1= −30

lim𝑥→1

1 − 𝑥

2 − √𝑥 + 3 = lim

𝑥→1

1 − 𝑥

2 − √𝑥 + 3 ×

2 + √𝑥 + 3

2 + √𝑥 + 3

= lim𝑥→1

(1 − 𝑥) ∙ (2 + √𝑥 + 3)

4 − (𝑥 + 3)

= lim𝑥→1

(1 − 𝑥) ∙ (2 + √𝑥 + 3)

(1 − 𝑥)

= lim𝑥→1

(2 + √𝑥 + 3)

= 2 + √1 + 3

= 2 + √4= 2 + 2= 4

TRIK SUPERKILAT:

lim𝑥→1

1 − 𝑥

2 − √𝑥 + 3 =

−1

−1∙

2 ∙ 2

1= 4

TRIK SUPERKILAT:

lim𝑥→3

2 − √𝑥 + 1

𝑥 − 3=

−1

1∙

1

2 ∙ 2= −

1

4

lim𝑥→1

2 − √𝑥 + 1

𝑥 − 3= lim

𝑥→3

2 − √𝑥 + 1

𝑥 − 3×

2 + √𝑥 + 1

2 + √𝑥 + 1

= lim𝑥→3

4 − (𝑥 + 1)

(𝑥 − 3) ∙ (2 + √𝑥 + 1)

= lim𝑥→3

(3 − 𝑥)

(𝑥 − 3) ∙ (2 + √𝑥 + 1)

= lim𝑥→3

−1

(2 + √𝑥 + 1)

=−1

2 + √4

= −1

4



4. Nilai

xx

x

x 2tan

2cos1lim

0....

A. −2

B. −1

C. 0

D. 1

E. 2

5. Nilai

xx

x

x 2tan

14coslim

0....

A. 4

B. 2

C. −1

D. −2

E. −4


lim𝑥→0

1 − cos 2𝑥

𝑥 tan 2𝑥= lim

𝑥→0

1 − (1 − 2 sin2 𝑥)

𝑥 tan 2𝑥

= lim𝑥→0

2 sin2 𝑥

𝑥 tan 2𝑥

= lim𝑥→0

2 sin 𝑥 sin 𝑥

𝑥 tan 2𝑥∙

𝑥

𝑥∙

2𝑥

2𝑥

= lim𝑥→0

2 ∙sin 𝑥

𝑥∙

sin 𝑥

𝑥∙

2𝑥

tan 2𝑥∙

𝑥

2𝑥

= 2 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙1

2= 1

TRIK SUPERKILAT:

lim𝑥→0

1 − cos 2𝑥

𝑥 tan 2𝑥=

12

∙ 2 ∙ 2

1 ∙ 2= 1

lim𝑥→0

cos 4𝑥 − 1

𝑥 tan 2𝑥= lim

𝑥→0

(1 − 2 sin2 2𝑥) − 1

𝑥 tan 2𝑥

= lim𝑥→0

−2 sin2 2𝑥

𝑥 tan 2𝑥

= lim𝑥→0

−2 sin 2𝑥 sin 2𝑥

𝑥 tan 2𝑥∙

2𝑥

2𝑥∙

2𝑥

2𝑥

= lim𝑥→0

−2 ∙sin 2𝑥

2𝑥∙

sin 2𝑥

2𝑥∙

2𝑥

tan 2𝑥∙

2𝑥

𝑥

= −2 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 2 = −4

TRIK SUPERKILAT:

lim𝑥→0

cos 4𝑥 − 1

𝑥 tan 2𝑥=

−12

∙ 4 ∙ 4

1 ∙ 2= −4






5. 2. Menyelesaikan soal aplikasi turunan fungsi.

Turunan Fungsi

Definisi

𝑓′(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

dengan catatan limit ini ada

Turunan Fungsi Aljabar Turunan Fungsi Trigonometri 𝑓(𝑥) = 𝑐

→ 𝑓′(𝑥) = 0

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑛 → 𝑓′(𝑥) = 𝑛. 𝑎𝑥𝑛−1

Sifat: 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑢

→ 𝑓′(𝑥) = 𝑘𝑢′

𝑓(𝑥) = 𝑢 ± 𝑣 → 𝑓′(𝑥) = 𝑢′ ± 𝑣′

𝑓(𝑥) = 𝑢 ∙ 𝑣 → 𝑓′(𝑥) = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′

𝑓(𝑥) =𝑢𝑣

→ 𝑓′(𝑥) =

𝑢′𝑣−𝑢𝑣′

𝑣2

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑢) → 𝑓′(𝑥) = 𝑓′(𝑢) ∙ 𝑢′

Aplikasi Turunan Fungsi

Gradien Garis Singgung Kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik 𝑥 = 𝑎

𝑚 = 𝑓′(𝑎)

Gradien garis singgung digunakan untuk melihat naik atau turunnya sebuah grafik fungsi.

Grafik Fungsi 𝑓 Grafik Fungsi 𝑓 Grafik Fungsi 𝑓 Naik Tidak Naik dan Tidak Turun Turun 𝑓′(𝑎) > 0 𝑓′(𝑎) = 0 𝑓′(𝑎) < 0

Titik dimana grafik fungsi 𝑓 tidak naik atau tidak turun disebut titik stasioner.

Titik Maksimum Titik Belok Titik Minimum “naik – stasioner – naik” “naik – stasioner – turun” atau “turun – stasioner – naik” “turun – stasioner – turun”

𝐬𝐢𝐧𝒙𝐜𝐨𝐬𝒙

−𝐬𝐢𝐧𝒙−𝐜𝐨𝐬𝒙

𝑓(𝑥) = tan 𝑥

→ 𝑓′(𝑥) = sec2 𝑥

𝑓(𝑥) = cot 𝑥 → 𝑓′(𝑥) = −csc2 𝑥

𝑓(𝑥) = sec 𝑥 → 𝑓′(𝑥) = sec 𝑥 tan 𝑥

𝑓(𝑥) = csc 𝑥 → 𝑓′(𝑥) = −csc𝑥 cot 𝑥

Simbol

𝑓′(𝑥) = 𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(𝑓(𝑥))

Persamaan Garis Singgung di titik (𝑥1, 𝑦1)

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)



LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Aljabar. Secara umum turunan fungsi aljabar sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝒏 → 𝒇′(𝒙) = 𝒏 ∙ 𝒂𝒙𝒏−𝟏

𝒏 ∙ 𝒂𝒙𝒏 𝒏 ∙ 𝒂𝒙𝒏−𝟏

Proses mencari turunan fungsi 𝑎𝑥𝑛:

1. Kalikan pangkatnya dengan fungsi! 2. Kurangi satu pangkatnya! 3. Selesai!



LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus. Secara umum turunan fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut: Cara membacanya:

𝐬𝐢𝐧 𝒙𝐜𝐨𝐬 𝒙

−𝐬𝐢𝐧 𝒙−𝐜𝐨𝐬 𝒙

𝑦 = sin 𝑥 → 𝑦′ = cos 𝑥

𝑦 = cos 𝑥 → 𝑦′ = −sin 𝑥

𝑦 = −sin 𝑥 → 𝑦′ = −cos 𝑥

𝑦 = −cos 𝑥 → 𝑦′ = sin 𝑥

Jadi turunannya sinus adalah kosinus. Turunannya kosinus adalah negatif sinus.

KONSEP DASAR Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus. Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain diperoleh dengan menggunakan sifat turunan fungsi pembagian:

𝑦 =𝑢

𝑣 → 𝑦′ =

𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′

𝑣2

Contohnya bagaimana turunan dari fungsi tan 𝑥?

⇒ 𝑦 = tan𝑥 =sin𝑥

cos 𝑥 →

𝑢 = sin 𝑥 ⇒ 𝑢′ = cos 𝑥𝑣 = cos 𝑥 ⇒ 𝑣′ = −sin 𝑥

⇒ 𝑦′ =𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′

𝑣2=cos 𝑥 cos 𝑥 − sin 𝑥 (− sin 𝑥)

cos2 𝑥=cos2 𝑥 + sin2 𝑥

cos2 𝑥=

1

cos2 𝑥= sec2 𝑥

Jadi, 𝑦 = tan 𝑥 → 𝑦′ = sec2 𝑥.

Silahkan temukan sendiri turunan fungsi cot 𝑥 , sec 𝑥 , dan csc 𝑥 menggunakan aturan dan sifat tersebut!!!

LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafalkan Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus.

𝒚 = 𝐭𝐚𝐧𝒙𝒚 = 𝐜𝐨𝐭𝒙𝒚 = 𝐬𝐞𝐜 𝒙𝒚 = 𝐜𝐬𝐜 𝒙

} ⇒

turunan dari fungsi yang berawalan huruf c selalu negatif

fungsi berawalan huruf c hanya kumpul dengan yang berawalan c juga

𝐭𝐚𝐧 𝒙 dan 𝐜𝐨𝐭 𝒙 turunannya kembar

⇓ tan 𝑥 cot 𝑥 sec 𝑥 csc 𝑥 □𝟐 □𝟐 Tips membaca LOGIKA PRAKTIS: Turunannya tan 𝑥 adalah sec2 𝑥. Turunannya sec 𝑥 adalah sec 𝑥 tan 𝑥

Turunannya cot 𝑥 adalah – csc2 𝑥. Turunannya csc 𝑥 adalah −csc 𝑥 cot 𝑥 □𝟐

Cara membacanya: 𝑦 = tan 𝑥

→ 𝑦′ = sec2 𝑥

𝑦 = cot 𝑥 → 𝑦′ = −csc2 𝑥

𝑦 = sec 𝑥 → 𝑦′ = sec 𝑥 tan 𝑥

𝑦 = csc 𝑥 → 𝑦′ = −csc 𝑥 cot 𝑥



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Persamaan Garis Singgung Kurva). Kurva 𝑓(𝑥) Tentukan turunan 𝑓(𝑥) yaitu 𝑓′(𝑥) Persamaan Garis Lurus melewati titik (𝑥1, 𝑦1) Gradien Garis Singgung Kurva dengan gradien 𝑚 di 𝑥 = 𝑎 adalah adalah: 𝑚 = 𝑓′(𝑎) 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) Gradien Garis Singgung Kurva 𝑓(𝑥) di titik (𝑥1, 𝑦1) dengan gradien 𝑚 adalah: (𝑦 − 𝑦1) = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

Contoh Soal:

Diketahui ℎ adalah garis singgung kurva 𝑦 = 𝑥3 − 4𝑥2 + 2𝑥 − 3 pada titik (1, −4). Titik potong garis ℎ dengan sumbu X adalah ….

a. (−3,0) b. (−2,0) c. (−1,0)

d. (−1

2, 0)

e. (−1

3, 0)

Pembahasan:

Diketahui kurva 𝑓(𝑥) yaitu: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 + 2𝑥 − 3 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 8𝑥 + 2

Gradien garis singgung kurva di 𝑥 = 1 adalah:

𝑚 = 𝑓′(𝑥) ⇒ 𝑚 = 𝑓′(1)

= 3(1)2 − 8(1) + 2= 3 − 8 + 2= −3

Persamaan garis singgung kurva di titik (1, −4) dengan gradien 𝑚 = −3 adalah:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) ⇒ 𝑦 − (−4) = −3(𝑥 − 1)⇔ 𝑦 + 4 = −3𝑥 + 3⇔ 𝑦 = −3𝑥 + 3 − 4⇔ 𝑦 = −3𝑥 − 1

Jadi garis ℎ adalah 𝑦 = −3𝑥 − 1. Titik potong garis ℎ terhadap sumbu X terjadi saat 𝑦 = 0, sehingga:

𝑦 = 0 ⇒ 0 = −3𝑥 − 1⇔ 3𝑥 = −1

⇔ 𝑥 = −1

3

Jadi, titik potong garis ℎ terhadap sumbu X adalah (−1

3, 0).



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi.

Hubungan antara Jarak (𝒔), Kecepatan (𝒗), dan Percepatan (𝒂). *)

Jika ada soal tentang hubungan antara jarak, kecepatan, dan percepatan pada gerak maka konsep berikut bisa membantu kita dalam mengerjakan soal tersebut:

𝒔

𝒗

𝒂 Contoh Soal 1:

Suatu peluru ditembakan ke atas. Jika tinggi ℎ meter setelah 𝑡 detik dirumuskan dengan ℎ(𝑡) = 120𝑡 − 5𝑡2, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah …. meter.

a. 270 b. 320 c. 670 d. 720 e. 770

Pembahasan:

Fungsi yang menyatakan ketinggian peluru adalah ℎ(𝑡). Fungsi yang menyatakan kecepatan peluru adalah 𝑣(𝑡). Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah:

𝑣(𝑡) =𝑑

𝑑𝑡(ℎ(𝑡)) ⇒ 𝑣(𝑡) =

𝑑

𝑑𝑡(120𝑡 − 5𝑡2)

∴ 𝑣(𝑡) = 120 − 10𝑡

Suatu peluru dikatakan telah berada di titik tertinggi apabila kecepatannya sama dengan nol.

𝑣(𝑡) = 0 ⇒ 120 − 10𝑡 = 0⇔ −10𝑡 = −120

⇔ 𝑡 =−120

−10∴ 𝑡 = 12 s

Sehingga tinggi maksimum akan dicapai saat 𝑡 = 12 s, yaitu

ℎ(𝑡) = 120𝑡 − 5𝑡2 ⇒ ℎ(2) = 120(12) − 5(12)2

= 1440 − 720= 720 m

Jadi tinggi maksimum peluru adalah 720 m.

Turun artinya turunan fungsi. Sehingga cara membacanya seperti ini:

Fungsi 𝑣 adalah turunan dari fungsi 𝑠. atau dinotasikan 𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡= 𝑠′(𝑡)

Fungsi 𝑎 adalah turunan dari fungsi 𝑣. atau dinotasikan 𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝑣′(𝑡)

*) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Fisika SMA 2013 SKL 2.1 Kinematika Gerak (http://pak-anang.blogspot.com/2012/12/smart-solution-un-fisika-sma-2013-skl.html)

turun

turun


http://pak-anang.blogspot.com/2012/12/smart-solution-un-fisika-sma-2013-skl.html


Contoh Soal 2:

Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu 𝑡 diberikan oleh fungsi 𝑠(𝑡) =1

4𝑡4 −

3

2𝑡3 − 6𝑡2 + 5𝑡.

Kecepatan maksimum mobil tersebut akan tercapai pada saat 𝑡 = …. detik

a. 6 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1

Pembahasan:

Fungsi yang menyatakan jarak tempuh mobil adalah 𝑠(𝑡). Fungsi yang menyatakan kecepatan mobil adalah 𝑣(𝑡). Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah:

𝑣(𝑡) =𝑑

𝑑𝑡(𝑠(𝑡)) ⇒ 𝑣(𝑡) =

𝑑

𝑑𝑡(1

4𝑡4 −

3

2𝑡3 − 6𝑡2 + 5𝑡)

∴ 𝑣(𝑡) = 𝑡3 −9

2𝑡2 − 12𝑡 + 5

Kecepatan maksimum akan tercapai jika sudah tidak ada lagi percepatan (𝑎(𝑡) = 0).

𝑎(𝑡) =𝑑

𝑑𝑡(𝑣(𝑡)) ⇒ 𝑎(𝑡) =

𝑑

𝑑𝑡(𝑡3 −

9

2𝑡2 − 12𝑡 + 5)

∴ 𝑎(𝑡) = 3𝑡2 − 9𝑡 − 12

Sehingga, 𝑎(𝑡) = 0 ⇒ 3𝑡2 − 9𝑡 − 12 = 0 (𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 3)

⇔ 𝑡2 − 3𝑡 − 4 = 0⇔ (𝑡 + 1)(𝑡 − 4) = 0pembuat nol

⇒ 𝑡 + 1 = 0 atau 𝑡 − 4 = 0⇔ 𝑡 = −1 atau 𝑡 = 4

TM

Karena waktu tidak mungkin negatif, maka untuk 𝑡 = −1 adalah TM (tidak memenuhi). Jadi, kecepatan maksimum mobil akan dicapai saat 𝑡 = 4 detik.



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Fungsi Naik dan Fungsi Turun). Kurva 𝑓(𝑥) Tentukan turunan 𝑓(𝑥) yaitu 𝑓′(𝑥) Periksa nilai 𝑓′(𝑥) pada interval [𝑎, 𝑏] 𝑓′(𝑥) > 0 ⇒ Fungsi 𝑓 naik 𝑓′(𝑥) < 0 ⇒ Fungsi 𝑓 turun

“Fungsi Naik” “Fungsi Turun”

Contoh Soal:

Grafik dari 𝑓(𝑥) =2

3𝑥3 − 𝑥2 − 12𝑥 + 20 naik untuk interval ….

a. 3 < 𝑥 < −2 b. −2 < 𝑥 < 3 c. 𝑥 < −2 atau 𝑥 > 3 d. 𝑥 < 2 atau 𝑥 > −3 e. 𝑥 < −3 atau 𝑥 > −2

Pembahasan:

Naik atau turunnya grafik fungsi 𝑓(𝑥) dapat dilihat dari nilai 𝑓′(𝑥).

𝑓(𝑥) =2

3𝑥3 − 𝑥2 − 12𝑥 + 20 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 2𝑥 − 12

Fungsi 𝑓(𝑥) naik apabila 𝑓′(𝑥) > 0. Sehingga,

𝑓′(𝑥) = 0 ⇒ 2𝑥 − 2𝑥 − 12 > 0 (𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 2)

⇔ 𝑥2 − 𝑥 − 6 > 0⇔ (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) > 0pembuat nol

⇒ 𝑥 + 2 = 0 atau 𝑥 − 3 = 0⇔ 𝑥 = −2 atau 𝑥 = 3

Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan:

Jadi grafik fungsi 𝑓(𝑥) akan naik dalam interval 𝑥 < −2 atau 𝑥 > 3.

3 −2

− + +

𝑎 𝑏 𝑓′(𝑥)

+


−



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Titik Stasioner).

Kurva 𝑓(𝑥) Tentukan turunan 𝑓(𝑥) yaitu 𝑓′(𝑥) Periksa nilai 𝑓′(𝑥) pada 𝑥 = 𝑎 𝑓′(𝑎) ≠ 0 ⇒ Fungsi 𝑓 naik atau turun 𝑓′(𝑎) = 0 ⇒ Fungsi 𝑓 stasioner Menentukan jenis titik stasioner grafik fungsi 𝑓(𝑎) Metode grafis Metode analitis (Uji turunan pertama) (Uji turunan kedua) titik titik maksimum minimum

stasioner naik turun naik stasioner

titik belok

turun naik stasioner stasioner turun naik stasioner

TIPS Mengingat Titik Maksimum Minimum:

Perhatikan Grafik Fungsi 𝑓(𝑥) = sin𝑥, 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°

TIPS Mengingat Titik Belok:

Perhatikan Grafik Fungsi 𝑓(𝑥) = cos𝑥, 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°


− + +


− − + +

𝑐

𝑓′′(𝑎) < 0 𝑓′′(𝑎) = 0 𝑓′′(𝑎) > 0 Titik Maksimum Titik Belok Titik Minimum

360°

360°

cos 𝑥

sin 𝑥 𝒎𝒂𝒙

𝒎𝒊𝒏

𝒃𝒆𝒍𝒐𝒌



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Masalah Maksimum Minimum). Nilai maksimum atau minimum fungsi 𝑓(𝑥) pada interval 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 Tentukan nilai 𝑓(𝑥) pada ujung interval Tentukan nilai stasioner 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑎) dan 𝑓(𝑏) (Jika ada)

Pilih nilai terbesar nilai maksimum Pilih nilai terkecil nilai minimum

Contoh Soal:

Nilai maksimum dari fungsi 𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 −

3

2𝑥2 + 2𝑥 + 9 pada interval −≤ 𝑥 ≤ 3 adalah ….

a. 92

3

b. 95

6

c. 10

d. 101

2

e. 102

3

Pembahasan:

Nilai 𝑓(𝑥) pada ujung interval 0 ≤ 𝑥 ≤ 3.

𝑥 = 0 ⇒ 𝑓(0) =1

3(0)3 −

3

2(0)2 + 2(0) + 9 = 9

𝑥 = 3 ⇒ 𝑓(0) =1

3(3)3 −

3

2(3)2 + 2(3) + 9 = 9

Fungsi 𝑓(𝑥) stasioner saat 𝑓′(𝑥) = 0.

𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 −

3

2𝑥2 + 2𝑥 + 9 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 2

𝑓′(𝑥) = 0 ⇒ 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0

⇔ (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) = 0⇔ 𝑥 − 1 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0⇔ 𝑥 = 1 atau 𝑥 = 2

Sehingga, dari sketsa kurva 𝑓(𝑥) pada interval 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 terlihat bahwa: 𝑓(𝑥) maksimum di titik 𝑥 = 1 atau mungkin maksimum di 𝑥 = 3 dan 𝑓(𝑥) minimum di 𝑥 = 2.

Periksa dulu apakah 𝑓(𝑥) maksimum di 𝑥 = 1 atau di 𝑥 = 3 dengan membandingkan nilai 𝑓(𝑥) pada kedua titik tersebut.

𝑥 = 1 ⇒ 𝑓(0) =1

3(1)3 −

3

2(1)2 + 2(1) + 9 = 9

5

6

𝑥 = 3 ⇒ 𝑓(0) =1

3(3)3 −

3

2(3)2 + 2(3) + 9 = 9

Jadi nilai maksimum 𝑓(𝑥) adalah 95

6.

1 2 𝑓′(𝑥)

− + +



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Penerapan Maksimum Minimum).

Agar luas daerah arsir maksimum, maka:

Koordinat titik 𝑀 = (1

2𝑎,1

2𝑏)

Luas maksimum 𝐿 =1

4𝑎𝑏



2

𝐶

𝐴 ,1

2

𝐶

𝐵)


4

𝐶2

𝐴𝐵

Luas persegi panjang akan maksimum jika bentuknya persegi.

𝑝 = 𝑠𝑙 = 𝑠

} 𝐿 = 𝑝 × ℓ = 𝑠 × 𝑠 = 𝑠2

Untuk penerapan maksimum minimum pada soal cerita, penyelesaiannya adalah sesuai alur berikut: Perhatikan apa yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan Ubah persamaan menjadi satu variabel saja, menggunakan substitusi / eliminasi Periksa keadaan stasioner fungsi Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_29.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Aplikasi Turunan Fungsi ini….

X

Y

𝑎

𝑏

𝑀(1

2𝑎,1

2𝑏)

X

Y

𝐶

𝐴

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 𝐶 𝐶

𝐵

𝑀(1

2

𝐶

𝐴,1

2

𝐶

𝐵)

ℓ

𝑝





Contoh Soal:

Perhatikan gambar di samping! Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum apabila koordinat M adalah ….

a. (2, 5) b. (3, 4) c. (3, 5) d. (4, 3) e. (5, 3)

Pembahasan:

Persamaan garis lurus yang melewati titik (8, 0) dan (0, 6) adalah: 6𝑥 + 8𝑦 = 48

Misal koordinat 𝑀 adalah (𝑥, 𝑦). Jadi persegi panjang tersebut memiliki ukuran panjang 𝑥 dan lebar 𝑦. Panjang = 𝑥 Lebar = 𝑦, dari persamaan 6𝑥 + 8𝑦 = 48 ⇒ 8𝑦 = 48 − 6𝑥

⇔ 𝑦 =48−6𝑥

8

⇔ 𝑦 = 6 −3

4𝑥

Jadi luas persegi panjang adalah:

𝐿 = 𝑝 × ℓ

= 𝑥 (6 −3

4𝑥)

= 6𝑥 −3

4𝑥2

𝐿 = 6𝑥 −3

4𝑥2 ⇒ 𝐿′ = 6 −

3

2𝑥

Luas persegi panjang akan maksimum jika 𝐿′ = 0

𝐿′ = 0 ⇒ 6 −3

2𝑥 = 0

⇔ −3

2𝑥 = −6

⇔ 𝑥 =−6

−32

⇔ 𝑥 = −6 × (−2

3)

⇔ 𝑥 = 4

Substitusikan 𝑥 = 4 ke 𝑦 = 6 −3

4𝑥 diperoleh:

𝑦 = 6 −3

4(4) = 6 − 3 = 3

Jadi, luas persegi panjang diarsir akan maksimum jika koordinat 𝑀 = (4, 3)




2𝑎,1

2𝑏)


4𝑎𝑏

Karena 𝑎 = 8 dan 𝑏 = 6, dan supaya luas daerah arsir maksimum maka koordinat 𝑀 = (4, 3).

X

Y

8

6

𝑀

X

Y

𝑎

𝑏

𝑀(1

2𝑎,1

2𝑏)




1. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya )2484( 2 xx dalam ribu rupiah untuk

tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 tiap unit, maka keuntungan

maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ....

A. Rp16.000,00

B. Rp32.000,00

C. Rp48.000,00

D. Rp52.000,00

E. Rp64.000,00

2. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya 30105 2 xx dalam ribuan rupiah untuk

tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp50.000,00 tiap unit, maka keuntungan

maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ....

A. Rp10.000,00

B. Rp20.000,00

C. Rp30.000,00

D. Rp40.000,00

E. Rp50.000,00


𝑈(𝑥) = 40𝑥 − (4𝑥2 − 8𝑥 + 24)𝑥 = −4𝑥3 + 8𝑥2 + 16𝑥 𝑈(𝑥)akan maksimum untuk 𝑥 yang memenuhi 𝑈′(𝑥) = 0 ⇒ 𝑈′(𝑥) = 0

⇔ −12𝑥2 + 16𝑥 + 16 = 0 (dibagi − 4)

⇔ 3𝑥2 − 4𝑥 − 4 = 0⇔ (3𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0

⇔ 𝑥 = −2

3 atau 𝑥 = 2

Karena 𝑥 mewakili jumlah barang, tidak mungkin negatif sehingga yang memenuhi hanya 𝑥 = 2

Substitusikan 𝑥 = 2 ke 𝑈(𝑥), diperoleh: 𝑈(𝑥) = −4(2)3 + 8(2)2 + 16(2)

= −32 + 32 + 32 = 32

𝑈(𝑥) = 50𝑥 − (5𝑥2 − 10𝑥 + 30)𝑥 = −5𝑥3 + 10𝑥2 + 20𝑥 𝑈(𝑥)akan maksimum untuk 𝑥 yang memenuhi 𝑈′(𝑥) = 0 ⇒ 𝑈′(𝑥) = 0

⇔ −15𝑥2 + 20𝑥 + 20 = 0 (dibagi − 5)

⇔ 3𝑥2 − 4𝑥 − 4 = 0⇔ (3𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0

⇔ 𝑥 = −2

3 atau 𝑥 = 2

Karena 𝑥 mewakili jumlah barang, tidak mungkin negatif sehingga yang memenuhi hanya 𝑥 = 2

Substitusikan 𝑥 = 2 ke 𝑈(𝑥), diperoleh: 𝑈(𝑥) = −5(2)3 + 10(2)2 + 20(2)

= −40 + 40 + 40 = Rp40






Pengayaan Konsep Dasar Integral Trigonometri

Integral Trigonometri

Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ⅆ𝒙 atau ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝒙 ⅆ𝒙 Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝒙 ⅆ𝒙 atau ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝒙 ⅆ𝒙 Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐬𝐢𝐧𝒏 𝒙 ⅆ𝒙 atau ∫ 𝐜𝐨𝐬𝒏 𝒙 ⅆ𝒙 Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐭𝐚𝐧𝒏 𝒙 ⅆ𝒙 atau ∫ 𝐜𝐨𝐭𝒏 𝒙 ⅆ𝒙

Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐬𝐢𝐧𝒎 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝒏 𝒙 ⅆ𝒙? Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐭𝐚𝐧𝒎 𝒙 𝐬𝐞𝐜𝒏 𝒙 ⅆ𝒙 Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐜𝐨𝐭𝒎 𝒙 𝐜𝐬𝐜𝒏 𝒙 ⅆ𝒙? Bagaimana Pola Penyelesaian dari Teknik Integral Substitusi Trigonometri? Bagaimana Pola Penyelesaian Integral menggunakan Rumus Reduksi? Dan masih banyak yang lainnya….



Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ⅆ𝒙 atau ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝒙 ⅆ𝒙

Untuk bentuk ∫ tan 𝑥 ⅆ𝑥 dan ∫ cot 𝑥 ⅆ𝑥, maka ubah bentuk tan 𝑥 dan cot 𝑥 menggunakan identitas trigonometri perbandingan.

tan 𝑥 =sin 𝑥

cos 𝑥

cot 𝑥 =cos 𝑥

sin 𝑥

Ternyata sudah menjadi sebuah bentuk integral substitusi berikut:

∫sin 𝑥

cos𝑛 𝑥ⅆ𝑥

∫cos 𝑥

sin𝑛 𝑥ⅆ𝑥

Dan jangan lupa juga konsep dasar integral berikut:

∫1

𝑥ⅆ𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶

Serta ingat juga sifat logaritma (ln 𝑥 = 𝑒 log 𝑥 = logaritma natural) berikut:

ln1

𝑥= − ln 𝑥

Contoh Soal 1:

∫ tan 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ tan 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫sin 𝑥

cos 𝑥ⅆ𝑥

= ∫sin 𝑥

cos 𝑥

ⅆ(cos 𝑥)

− sin 𝑥

= − ∫1

cos 𝑥ⅆ(cos 𝑥)

= − ln|cos 𝑥| + 𝐶= − ln |1

sec 𝑥| + 𝐶 = ln|sec 𝑥| + 𝐶

Contoh Soal 2:

∫ tan 3𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ tan 3𝑥 ⅆ𝑥 = ∫sin 3𝑥

cos 3𝑥ⅆ𝑥

= ∫sin 3𝑥

cos 3𝑥

ⅆ(cos 3𝑥)

−3 sin 3𝑥

= −1

3∫

1

cos 3𝑥ⅆ(cos 3𝑥)

= −1

3ln|cos 3𝑥| + 𝐶= −

1

3ln |

1

sec 3𝑥| + 𝐶 =

1

3ln|sec 3𝑥| + 𝐶



Contoh Soal 3:

∫ cot 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ cot 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫cos 𝑥

sin 𝑥ⅆ𝑥

= ∫cos 𝑥

sin 𝑥

ⅆ(sin 𝑥)

cos 𝑥

= ∫1

sin 𝑥ⅆ(sin 𝑥)

= ln|sin 𝑥| + 𝐶

Contoh Soal 4:

∫ cot 5𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ cot 5𝑥 ⅆ𝑥 = ∫cot 5𝑥

sin 5𝑥ⅆ𝑥

= ∫cos 5𝑥

sin 5𝑥

ⅆ(sin 5𝑥)

5 sin 5𝑥

=1

5∫

1

cos 5𝑥ⅆ(cos 5𝑥)

=1

5ln|sin 5𝑥| + 𝐶



Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝒙 ⅆ𝒙 atau ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝒙 ⅆ𝒙

Untuk bentuk ∫ sec 𝑥 ⅆ𝑥 dan ∫ csc 𝑥 ⅆ𝑥, maka ubah bentuk sec 𝑥 dan csc 𝑥 menggunakan identitas trigonometri perbandingan.

sec 𝑥 =1

cos 𝑥

csc 𝑥 =1

sin 𝑥

Lalu kita upayakan supaya menjadi bentuk integral substitusi berikut:

∫sec2 𝑥 + sec 𝑥 tan 𝑥

sec 𝑥 + tan 𝑥ⅆ𝑥

Dan jangan lupa juga konsep dasar integral berikut:

∫1


Contoh Soal 1:

∫ sec 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ sec 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ sec 𝑥 × (sec 𝑥 + tan 𝑥

sec 𝑥 + tan 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫sec2 𝑥 + sec 𝑥 tan 𝑥

sec 𝑥 + tan 𝑥ⅆ𝑥

= ∫sec2 𝑥 + sec 𝑥 tan 𝑥

sec 𝑥 + tan 𝑥

ⅆ(sec 𝑥 + tan 𝑥)

sec 𝑥 tan 𝑥 + sec2 𝑥

= ∫1

sec 𝑥 + tan 𝑥ⅆ(sec 𝑥 + tan 𝑥)

= ln|sec 𝑥 + tan 𝑥| + 𝐶

Contoh Soal 2:

∫ sec 2𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ sec 2𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ sec 2𝑥 × (sec 2𝑥 + tan 2𝑥

sec 2𝑥 + tan 2𝑥) ⅆ𝑥

= ∫sec2 2𝑥 + sec 2𝑥 tan 2𝑥

sec 2𝑥 + tan 2𝑥ⅆ𝑥


sec 2𝑥 + tan 2𝑥

ⅆ(sec 2𝑥 + tan 2𝑥)

2 sec 2𝑥 tan 2𝑥 + 2 sec2 2𝑥


sec 2𝑥 + tan 2𝑥

ⅆ(sec 2𝑥 + tan 2𝑥)

2(sec 2𝑥 tan 2𝑥 + sec2 2𝑥)

=1

2∫

1

sec 2𝑥 + tan 2𝑥ⅆ(sec 2𝑥 + tan 2𝑥)

=1

2ln|sec 2𝑥 + tan 2𝑥| + 𝐶



Contoh Soal 3:

∫ csc 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ csc 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ csc 𝑥 × (csc 𝑥 − cot 𝑥

csc 𝑥 − cot 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫csc2 𝑥 − csc 𝑥 cot 𝑥

csc 𝑥 − cot 𝑥ⅆ𝑥


csc 𝑥 − cot 𝑥

ⅆ(csc 𝑥 − cot 𝑥)

− csc 𝑥 cot 𝑥 + csc2 𝑥


csc 𝑥 − cot 𝑥

ⅆ(csc 𝑥 − cot 𝑥)

csc2 𝑥 − csc 𝑥 cot 𝑥

= − ∫1

csc 𝑥 − cot 𝑥ⅆ(csc 𝑥 − cot 𝑥)

= ln|csc 𝑥 − cot 𝑥| + 𝐶

Contoh Soal 4:

∫ csc 4𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ csc 4𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ csc 4𝑥 × (csc 4𝑥 − cot 4𝑥

csc 4𝑥 − cot 4𝑥) ⅆ𝑥

= ∫csc2 4𝑥 − csc 4𝑥 cot 4𝑥

csc 4𝑥 − cot 4𝑥ⅆ𝑥


csc 4𝑥 − cot 4𝑥

ⅆ(csc 4𝑥 − cot 4𝑥)

−4 csc 4𝑥 cot 4𝑥 + 4 csc2 4𝑥


csc 4𝑥 − cot 4𝑥

ⅆ(csc 4𝑥 + cot 4𝑥)

4(csc2 4𝑥 − csc 4𝑥 cot 4𝑥)

=1

4∫

1

csc 4𝑥 − cot 4𝑥ⅆ(csc 4𝑥 − cot 4𝑥)

= −1

4ln|csc 4𝑥 − cot 4𝑥| + 𝐶



Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐬𝐢𝐧𝒏 𝒙 ⅆ𝒙 dengan 𝒏 = bilangan ganjil? Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐜𝐨𝐬𝒏 𝒙 ⅆ𝒙 dengan 𝒏 = bilangan ganjil?

Nah, jika pangkat dari fungsi integran sinus adalah genap, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri Pythagoras, yaitu.

sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 ⇒ sin2 𝑥 = 1 − cos2 𝑥⇒ cos2 𝑥 = 1 − sin2 𝑥

Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut:

∫ sin𝑛 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥

∫ cos𝑛 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥

Contoh Soal 1:

∫ sin3 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ sin3 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ sin2 𝑥 ∙ sin 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(1 − cos2 𝑥) sin 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(sin 𝑥 − cos2 𝑥 sin 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ sin 𝑥 ⅆ𝑥 − ∫ cos2 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥

= − cos 𝑥 − ∫ cos2 𝑥 sin 𝑥ⅆ(cos 𝑥)

− sin 𝑥

= − cos 𝑥 + ∫ cos2 𝑥 ⅆ(cos 𝑥)

= − cos 𝑥 +1

3cos3 𝑥 + 𝐶

Contoh Soal 2:

∫ sin5 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ sin5 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ sin4 𝑥 ∙ sin 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(sin2 𝑥)2 ∙ sin 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(1 − cos2 𝑥)2 sin 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(1 − 2 cos2 𝑥 + cos4 𝑥) sin 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(sin 𝑥 − 2 cos2 𝑥 sin 𝑥 + cos4 𝑥 sin 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ sin 𝑥 ⅆ𝑥 − 2 ∫ cos2 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥 + ∫ cos4 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥

= − cos 𝑥 − 2 ∫ cos2 𝑥 sin 𝑥ⅆ(cos 𝑥)

− sin 𝑥+ ∫ cos4 𝑥 sin 𝑥

ⅆ(cos 𝑥)

− sin 𝑥

= − cos 𝑥 + ∫ cos2 𝑥 ⅆ(cos 𝑥) − ∫ cos4 𝑥 ⅆ(cos 𝑥)

= − cos 𝑥 +2

3cos3 𝑥 −

1

5cos5 𝑥 + 𝐶



Contoh Soal 3:

∫ cos3 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ cos3 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cos2 𝑥 ∙ cos 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(1 − sin2 𝑥) cos 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(cos 𝑥 − sin2 𝑥 cos 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ cos 𝑥 ⅆ𝑥 − ∫ sin2 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥

= sin 𝑥 − ∫ sin2 𝑥 cos 𝑥ⅆ(sin 𝑥)

cos 𝑥

= sin 𝑥 − ∫ sin2 𝑥 ⅆ(sin 𝑥)

= sin 𝑥 −1

3sin3 𝑥 + 𝐶

Contoh Soal 4:

∫ cos5 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ cos5 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cos4 𝑥 ∙ cos 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(cos2 𝑥)2 ∙ cos 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(1 − sin2 𝑥)2 cos 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(1 − 2 sin2 𝑥 + sin4 𝑥) cos 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(cos 𝑥 − 2 sin2 𝑥 cos 𝑥 + sin4 𝑥 cos 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ cos 𝑥 ⅆ𝑥 − 2 ∫ sin2 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥 + ∫ sin4 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥

= sin 𝑥 − 2 ∫ sin2 𝑥 cos 𝑥ⅆ(sin 𝑥)

cos 𝑥+ ∫ sin4 𝑥 cos 𝑥

ⅆ(sin 𝑥)

cos 𝑥

= sin 𝑥 + ∫ sin2 𝑥 ⅆ(sin 𝑥) − ∫ sin4 𝑥 ⅆ(sin 𝑥)

= sin 𝑥 −2

3sin3 𝑥 +

1

5sin5 𝑥 + 𝐶



Contoh Soal 5:

∫ 2 sin3 3𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ 2 sin3 3𝑥 ⅆ𝑥 = 2 ∫ sin3 3𝑥ⅆ(3𝑥)

3

=2

3∫ sin3 3𝑥 ⅆ(3𝑥)

=2

3∫ sin2 3𝑥 ∙ sin 3𝑥 ⅆ(3𝑥)

=2

3∫(1 − cos2 3𝑥) sin 3𝑥 ⅆ(3𝑥)

=2

3∫(sin 3𝑥 − cos2 3𝑥 sin 3𝑥) ⅆ(3𝑥)

=2

3[∫ sin 3𝑥 ⅆ(3𝑥) − ∫ cos2 3𝑥 sin 3𝑥 ⅆ(3𝑥)]

=2

3[(− cos 3𝑥) − ∫ cos2 3𝑥 sin 3𝑥

ⅆ(cos 3𝑥)

− sin 3𝑥]

=2

3[− cos 3𝑥 + ∫ cos2 3𝑥 ⅆ(cos 3𝑥)]

= −2

3cos 3𝑥 +

2

3∫ cos2 3𝑥 ⅆ(cos 3𝑥)

= −2

3cos 3𝑥 +

2

3∙

1

3cos3 3𝑥 + 𝐶

= −2

3cos 3𝑥 +

2

9cos3 3𝑥 + 𝐶

Contoh Soal 6:

∫ 3 cos3 5𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ 3 cos3 5𝑥 ⅆ𝑥 = 3 ∫ cos3 5𝑥ⅆ(5𝑥)

5

=3

5∫ cos3 5𝑥 ⅆ(5𝑥)

=3

5∫ cos2 5𝑥 ∙ cos 5𝑥 ⅆ(5𝑥)

=3

5∫(1 − sin2 3𝑥) cos 5𝑥 ⅆ(5𝑥)

=3

5∫(cos 5𝑥 − sin2 5𝑥 cos 5𝑥) ⅆ(5𝑥)

=3

5[∫ cos 5𝑥 ⅆ(5𝑥) − ∫ sin2 5𝑥 cos 5𝑥 ⅆ(5𝑥)]

=3

5[(sin 5𝑥) − ∫ sin2 5𝑥 cos 5𝑥

ⅆ(sin 5𝑥)

cos 5𝑥]

=3

5[sin 5𝑥 − ∫ sin2 5𝑥 ⅆ(sin 5𝑥)]

=3

5sin 5𝑥 −

3

5∫ sin2 5𝑥 ⅆ(sin 5𝑥)

=3

5sin 5𝑥 −

3

5∙

1

3sin3 3𝑥 + 𝐶

=3

5sin 5𝑥 −

3

15sin3 3𝑥 + 𝐶



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS ∫ 𝐬𝐢𝐧𝒏 𝒙 ⅆ𝒙 dengan 𝒏 = bilangan ganjil?

∫ sin𝑛 𝑥 ⅆ𝑥 = (Karena n bilangan ganjil maka 𝑛 = 2𝑘 + 1)

= ∫ sin2𝑘+1 𝑥 ⅆ𝑥 (Ingat sifat pangkat sin2𝑘+1 = sin2𝑘 𝑥 sin 𝑥)

= ∫ sin2𝑘 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥 (Ingat sifat pangkat sin2𝑘 𝑥 = (sin2 𝑥)𝑘)

= ∫(sin2 𝑥)𝑘 sin 𝑥 ⅆ𝑥 (Ingat identitas trigonometri sin2 𝑥 = 1 − cos2 𝑥)

= ∫(1 − cos2 𝑥)𝑘 sin 𝑥 ⅆ𝑥 (Samakan dulu operator integralnya)

= ∫(1 − cos2 𝑥)𝑘 sin 𝑥ⅆ(cos 𝑥)

− sin 𝑥

= − ∫(1 − cos2 𝑥)𝑘 ⅆ(cos 𝑥)

Ingat Binomial Newton:

(𝑎 + 𝑏)𝑛 = ∑ 𝑛𝐶𝑟 ∙ 𝑎𝑛−𝑟 ∙ 𝑏𝑟

𝑛

𝑟=1

(1 − cos2 𝑥)𝑘 = ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∙ 1𝑘−𝑟

∙ (− cos2 𝑥)𝑟

𝑘

𝑟=0

= − ∫ ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∙ 1𝑘−𝑟

∙ (− cos2 𝑥)𝑟

𝑘

𝑟=0

ⅆ(cos 𝑥) (Ingat 1𝑘−𝑟 = 1 jadi coret saja)

= − ∫ ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∙ (− cos2 𝑥)𝑟

𝑘

𝑟=0

ⅆ(cos 𝑥) (Keluarkan konstanta dari integral)

= − ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∫(− cos2 𝑥)𝑟

ⅆ(cos 𝑥)

𝑘

𝑟=0

(Ingat (− cos2 𝑥)𝑟 = ((−1) ∙ cos2 𝑥)𝑟

)

= − ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∫((−1) ∙ cos2 𝑥)𝑟

ⅆ(cos 𝑥)

𝑘

𝑟=0

(Ingat ((−1) ∙ cos2 𝑥)𝑟

= (−1)𝑟(cos2 𝑥)

𝑟)

= − ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∫(−1)𝑟(cos2 𝑥)

𝑟ⅆ(cos 𝑥)

𝑘

𝑟=0

(Keluarkan konstanta dan (cos2 𝑥)𝑟

= cos2𝑟 𝑥)

= − ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∙ (−1)𝑟

∫ cos2𝑟 𝑥 ⅆ(cos 𝑥)

𝑘

𝑟=0

(Masukkan tanda negatif ke dalam bentuk sigma)

= ∑(−1) ∙ 𝑘𝐶𝑟 ∙ (−1)𝑟

∫ cos2𝑟 𝑥 ⅆ(cos 𝑥)

𝑘

𝑟=0

(Ingat (−1) ∙ 𝑘𝐶𝑟 ∙ (−1)𝑟

= (−1)𝑟+1)

= ∑(−1)𝑟+1 ∙ 𝑘𝐶𝑟 ∫ cos2𝑟 𝑥 ⅆ(cos 𝑥)

𝑘

𝑟=0

(Ingat ∫ cos2𝑟 𝑥 ⅆ(cos 𝑥) =1

2𝑟 + 1cos2𝑟+1 𝑥)

= ∑(−1)𝑟+1 ∙ 𝑘𝐶𝑟 ∙1

2𝑟 + 1cos2𝑟+1 𝑥

𝑘

𝑟=0

(Rapikan bentuknya)

= ∑(−1)𝑟+1 ∙ 𝑘𝐶𝑟

2𝑟 + 1cos2𝑟+1 𝑥

𝑘

𝑟=0

(Hore! Selesai)

Bilangan segitiga pascal

Bilangan ganjil, penyebut dan pangkat dari kosinus selalu dalam urutan naik dengan pola

bilangan ganjil berawal dari angka 1.

Berawal dari negatif, lalu bergantian negatif positif negatif positif dst….



Contoh Soal 1: Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:

∫ sin5 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan: Karena pangkatnya ganjil berarti:

𝑛 = 2𝑟 − 1 ⇒ 5 = 2𝑟 − 1⇔ 5 + 1 = 2𝑟⇔ 6 = 2𝑟⇔ 𝑟 = 3

Jadi kita perlu 3 suku saja…… OK!!!!!

∫ sin5 𝑥 ⅆ𝑥 = 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝐶

Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.

1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya sinus maka harus diawali dari tanda negatif dulu. 2. Bilangan segitiga pascal. 3. Bilangan ganjil (cos 𝑥 berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).

Tanda positif negatif ∫ sin5 𝑥 ⅆ𝑥 = − + − + 𝐶

Bilangan segitiga pascal ∫ sin5 𝑥 ⅆ𝑥 = − 𝟏 + 𝟐 − 𝟏 + 𝐶

Bilangan ganjil ∫ sin5 𝑥 ⅆ𝑥 = − 𝟏𝐜𝐨𝐬𝟏 𝒙

𝟏 + 𝟐

𝐜𝐨𝐬𝟑 𝒙

𝟑 − 𝟏

𝐜𝐨𝐬𝟓 𝒙

𝟓 + 𝐶

Jadi penyelesaiannya adalah:

∫ sin5 𝑥 ⅆ𝑥 = − cos 𝑥 + 2

3cos3 𝑥 −

1

5cos5 𝑥 + 𝐶




∫ sin7 𝑥 ⅆ𝑥 = ….


𝑛 = 2𝑟 − 1 ⇒ 7 = 2𝑟 − 1⇔ 7 + 1 = 2𝑟⇔ 7 = 2𝑟⇔ 𝑟 = 4


∫ sin7 𝑥 ⅆ𝑥 = 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝐶



Tanda positif negatif ∫ sin7 𝑥 ⅆ𝑥 = − + − + +𝐶

Bilangan segitiga pascal ∫ sin7 𝑥 ⅆ𝑥 = − 𝟏 + 𝟑 − 𝟑 + 𝟏 + 𝐶

Bilangan ganjil ∫ sin7 𝑥 ⅆ𝑥 = − 𝟏𝐜𝐨𝐬𝟏 𝒙

𝟏 + 𝟑

𝐜𝐨𝐬𝟑 𝒙

𝟑 − 𝟑

𝐜𝐨𝐬𝟓 𝒙

𝟓 + 𝟏

𝐜𝐨𝐬𝟕 𝒙

𝟕+ 𝐶


∫ sin7 𝑥 ⅆ𝑥 = − cos 𝑥 + cos3 𝑥 − 3

5cos5 𝑥 +

1

7cos7 𝑥 + 𝐶




∫ sin3 5𝑥 ⅆ𝑥 = ….


𝑛 = 2𝑟 − 1 ⇒ 3 = 2𝑟 − 1⇔ 3 + 1 = 2𝑟⇔ 4 = 2𝑟⇔ 𝑟 = 2


∫ sin3 5𝑥 ⅆ𝑥 = 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝐶

Nah karena fungsi sudut dan operator integral belum cocok, maka harus melalui penyelesaian dengan menggunakan teknik integral substitusi dulu.

Lihat sudutnya sinus 5𝑥, sedangkan operatornya ⅆ𝑥. Jadi ⅆ𝑥 harus disesuaikan menjadi 𝑑(5𝑥)

5.

Sehingga,

∫ sin3 5𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ sin3 5𝑥ⅆ(5𝑥)

5=

1

5∫ sin3 5𝑥 ⅆ(5𝑥)

Artinya,

∫ sin3 5𝑥 ⅆ𝑥 =1

5∫ sin3 5𝑥 ⅆ(5𝑥)



Tanda positif negatif ∫ sin3 5𝑥 ⅆ(5𝑥) = − + +𝐶

Bilangan segitiga pascal ∫ sin3 5𝑥 ⅆ(5𝑥) = − 𝟏 + 𝟏 + 𝐶

Bilangan ganjil ∫ sin3 5𝑥 ⅆ(5𝑥) = − 𝟏𝐜𝐨𝐬𝟏 𝟓𝒙

𝟏 + 𝟏

𝐜𝐨𝐬𝟑 𝟓𝒙

𝟑 + 𝐶


∫ sin3 5𝑥 ⅆ𝑥 =1

5∫ sin3 5𝑥 ⅆ(5𝑥) =

1

5( – cos 5𝑥 +

1

3cos3 5𝑥 + 𝐶)

= −1

5cos 5𝑥 +

1

15cos3 5𝑥 + 𝐶



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS ∫ 𝐜𝐨𝐬𝒏 𝒙 ⅆ𝒙 dengan 𝒏 = bilangan ganjil?

∫ cos𝑛 𝑥 ⅆ𝑥 = (Karena n bilangan ganjil maka 𝑛 = 2𝑘 + 1)

= ∫ cos2𝑘+1 𝑥 ⅆ𝑥 (Ingat sifat pangkat cos2𝑘+1 = cos2𝑘 𝑥 cos 𝑥)

= ∫ cos2𝑘 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥 (Ingat sifat pangkat cos2𝑘 𝑥 = (cos2 𝑥)𝑘)

= ∫(cos2 𝑥)𝑘 cos 𝑥 ⅆ𝑥 (Ingat identitas trigonometri cos2 𝑥 = 1 − sin2 𝑥)

= ∫(1 − sin2 𝑥)𝑘 cos 𝑥 ⅆ𝑥 (Samakan dulu operator integralnya)

= ∫(1 − sin2 𝑥)𝑘 cos 𝑥ⅆ(sin 𝑥)

cos 𝑥

= ∫(1 − sin2 𝑥)𝑘 ⅆ(sin 𝑥)

Ingat Binomial Newton:

(𝑎 + 𝑏)𝑛 = ∑ 𝑛𝐶𝑟 ∙ 𝑎𝑛−𝑟 ∙ 𝑏𝑟

𝑛

𝑟=1

(1 − sin2 𝑥)𝑘 = ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∙ 1𝑘−𝑟

∙ (− sin2 𝑥)𝑟

𝑘

𝑟=0

= ∫ ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∙ 1𝑘−𝑟

∙ (− sin2 𝑥)𝑟

𝑘

𝑟=0

ⅆ(sin 𝑥) (Ingat 1𝑘−𝑟 = 1 jadi coret saja)

= ∫ ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∙ (− sin2 𝑥)𝑟

𝑘

𝑟=0

ⅆ(sin 𝑥) (Keluarkan konstanta dari integral)

= ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∫(− sin2 𝑥)𝑟

ⅆ(sin 𝑥)

𝑘

𝑟=0

(Ingat (− sin2 𝑥)𝑟 = ((−1) ∙ sin2 𝑥)𝑟

)

= ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∫((−1) ∙ sin2 𝑥)𝑟

ⅆ(sin 𝑥)

𝑘

𝑟=0

(Ingat ((−1) ∙ sin2 𝑥)𝑟

= (−1)𝑟(sin2 𝑥)

𝑟)

= ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∫(−1)𝑟(sin2 𝑥)

𝑟ⅆ(sin 𝑥)

𝑘

𝑟=0

(Keluarkan konstanta dan (cos2 𝑥)𝑟

= cos2𝑟 𝑥)

= ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∙ (−1)𝑟

∫ sin2𝑟 𝑥 ⅆ(sin 𝑥)

𝑘

𝑟=0

(Ingat (−1) ∙ 𝑘𝐶𝑟 ∙ (−1)𝑟

= (−1)𝑟+1)

= ∑(−1)𝑟 ∙ 𝑘𝐶𝑟 ∫ sin2𝑟 𝑥 ⅆ(sin 𝑥)

𝑘

𝑟=0

(Ingat ∫ sin2𝑟 𝑥 ⅆ(sin 𝑥) =1

2𝑟 + 1sin2𝑟+1 𝑥)

= ∑(−1)𝑟 ∙ 𝑘𝐶𝑟 ∙1

2𝑟 + 1sin2𝑟+1 𝑥

𝑘

𝑟=0

(Rapikan bentuknya)

= ∑(−1)𝑟 ∙ 𝑘𝐶𝑟

2𝑟 + 1sin2𝑟+1 𝑥

𝑘

𝑟=0

(Hore! Selesai)

Bilangan segitiga pascal

Bilangan ganjil, penyebut dan pangkat dari sinus selalu dalam urutan naik dengan pola

bilangan ganjil berawal dari angka 1.

Berawal dari positif, lalu bergantian positif negatif positif negatif dst….




∫ cos5 𝑥 ⅆ𝑥 = ….


𝑛 = 2𝑟 − 1 ⇒ 5 = 2𝑟 − 1⇔ 5 + 1 = 2𝑟⇔ 6 = 2𝑟⇔ 𝑟 = 3


∫ cos5 𝑥 ⅆ𝑥 = 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝐶


1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya kosinus maka harus diawali dari tanda positif dulu. 2. Bilangan segitiga pascal. 3. Bilangan ganjil (sin 𝑥 berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).

Tanda positif negatif ∫ cos5 𝑥 ⅆ𝑥 = + − + + 𝐶

Bilangan segitiga pascal ∫ cos5 𝑥 ⅆ𝑥 = + 𝟏 − 𝟐 + 𝟏 + 𝐶

Bilangan ganjil ∫ cos5 𝑥 ⅆ𝑥 = + 𝟏𝐬𝐢𝐧𝟏 𝒙

𝟏 − 𝟐

𝐬𝐢𝐧𝟑 𝒙

𝟑+ 𝟏

𝐬𝐢𝐧𝟓 𝒙

𝟓 + 𝐶


∫ cos5 𝑥 ⅆ𝑥 = sin 𝑥 + 2

3sin3 𝑥 −

1

5sin5 𝑥 + 𝐶




∫ cos7 𝑥 ⅆ𝑥 = ….


𝑛 = 2𝑟 − 1 ⇒ 7 = 2𝑟 − 1⇔ 7 + 1 = 2𝑟⇔ 7 = 2𝑟⇔ 𝑟 = 4


∫ cos7 𝑥 ⅆ𝑥 = 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝐶



Tanda positif negatif ∫ cos7 𝑥 ⅆ𝑥 = + − + − +𝐶

Bilangan segitiga pascal ∫ cos7 𝑥 ⅆ𝑥 = + 𝟏 − 𝟑 + 𝟑 − 𝟏 + 𝐶

Bilangan ganjil ∫ cos7 𝑥 ⅆ𝑥 = + 𝟏𝐬𝐢𝐧𝟏 𝒙

𝟏 − 𝟑

𝐬𝐢𝐧𝟑 𝒙

𝟑+ 𝟑

𝐬𝐢𝐧𝟓 𝒙

𝟓− 𝟏

𝐬𝐢𝐧𝟕 𝒙

𝟕+ 𝐶


∫ cos7 𝑥 ⅆ𝑥 = sin 𝑥 − sin3 𝑥 + 3

5sin5 𝑥 −

1

7sin7 𝑥 + 𝐶




∫ cos3 5𝑥 ⅆ𝑥 = ….


𝑛 = 2𝑟 − 1 ⇒ 3 = 2𝑟 − 1⇔ 3 + 1 = 2𝑟⇔ 4 = 2𝑟⇔ 𝑟 = 2


∫ cos3 5𝑥 ⅆ𝑥 = 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝐶

Nah karena fungsi sudut dan operator integral belum cocok, maka harus melalui penyelesaian dengan menggunakan teknik integral substitusi dulu.

Lihat sudutnya sinus 5𝑥, sedangkan operatornya ⅆ𝑥. Jadi ⅆ𝑥 harus disesuaikan menjadi 𝑑(5𝑥)

5.

Sehingga,

∫ cos3 5𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cos3 5𝑥ⅆ(5𝑥)

5=

1

5∫ cos3 5𝑥 ⅆ(5𝑥)

Artinya,

∫ cos3 5𝑥 ⅆ𝑥 =1

5∫ cos3 5𝑥 ⅆ(5𝑥)



Tanda positif negatif ∫ cos3 5𝑥 ⅆ(5𝑥) = + − +𝐶

Bilangan segitiga pascal ∫ cos3 5𝑥 ⅆ(5𝑥) = + 𝟏 − 𝟏 + 𝐶

Bilangan ganjil ∫ cos3 5𝑥 ⅆ(5𝑥) = + 𝟏𝐬𝐢𝐧𝟏 𝟓𝒙

𝟏 − 𝟏

𝐬𝐢𝐧𝟑 𝟓𝒙

𝟑 + 𝐶


∫ cos3 5𝑥 ⅆ𝑥 =1

5∫ cos3 5𝑥 ⅆ(5𝑥) =

1

5( sin 5𝑥 −

1

3sin3 5𝑥 + 𝐶)

= 1

5sin 5𝑥 −

1

15sin3 5𝑥 + 𝐶



Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐬𝐢𝐧𝒏 𝒙 ⅆ𝒙 dengan 𝒏 = bilangan genap? Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐜𝐨𝐬𝒏 𝒙 ⅆ𝒙 dengan 𝒏 = bilangan genap?

Nah, jika pangkat dari fungsi integran sinus adalah genap, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri kosinus sudut rangkap, yaitu.

cos 2𝑥 = 2 cos2 𝑥 − 1 ⇒ cos2 𝑥 =1

2cos 2𝑥 −

1

2

cos 2𝑥 = 1 − 2 sin2 𝑥 ⇒ sin2 𝑥 =1

2−

1

2cos 2𝑥

Contoh Soal 1:

∫ sin2 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ sin2 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ (1

2−

1

2cos 2𝑥) ⅆ𝑥

=1

2𝑥 −

1

2∫ cos 2𝑥 ⅆ𝑥

=1

2𝑥 −

1

2∫ cos 2𝑥

ⅆ(2𝑥)

2

=1

2𝑥 −

1

2∙

1

2∫ cos 2𝑥 ⅆ(2𝑥)

=1

2𝑥 −

1

4sin 2𝑥 + 𝐶

Contoh Soal 2:

∫ sin4 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ sin4 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫(sin2 𝑥)2 ⅆ𝑥

= ∫ (1

2−

1

2cos 2𝑥)

2

ⅆ𝑥

= ∫ (1

4−

1

2cos 2𝑥 +

1

4cos2 2𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ (1

4−

1

2cos 2𝑥 +

1

4(

1

2+

1

2cos 4𝑥)) ⅆ𝑥

= ∫ (1

4−

1

2cos 2𝑥 +

1

8+

1

8cos 4𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ (3

8−

1

2cos 2𝑥 +

1

8cos 4𝑥) ⅆ𝑥

= ∫3

8ⅆ𝑥 − ∫

1

2cos 2𝑥 ⅆ𝑥 + ∫

1

8cos 4𝑥 ⅆ𝑥

=3

8𝑥 −

1

4sin 2𝑥 +

1

32sin 4𝑥



Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐬𝐢𝐧𝒎 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝒏 𝒙 ⅆ𝒙? Nah, untuk bentuk integral ∫ sin𝑚 𝑥 cos𝑛 𝑥 ⅆ𝑥, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri Pythagoras, yaitu.

sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 ⇒ sin2 𝑥 = 1 − cos2 𝑥⇒ cos2 𝑥 = 1 − sin2 𝑥


∫ sin𝑛 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥

∫ cos𝑛 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥

Contoh Soal 1:

∫ sin3 𝑥 cos2 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ sin3 𝑥 cos2 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cos2 𝑥 sin2 𝑥 ∙ sin 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫ cos2 𝑥 (1 − cos2 𝑥) sin 𝑥 ⅆ𝑥



= ∫ sin 𝑥 ⅆ𝑥 − ∫ cos4 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥

= − cos 𝑥 − ∫ cos4 𝑥 sin 𝑥ⅆ(cos 𝑥)

− sin 𝑥

= − cos 𝑥 + ∫ cos4 𝑥 ⅆ(cos 𝑥)

= − cos 𝑥 +1

5cos5 𝑥 + 𝐶

Contoh Soal 2:

∫ sin2 𝑥 cos3 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ sin2 𝑥 cos3 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ sin2 𝑥 cos2 𝑥 ∙ cos 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫ sin2 𝑥 (1 − sin2 𝑥) cos 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(1 − sin4 𝑥) cos 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(cos 𝑥 − sin4 𝑥 cos 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ cos 𝑥 ⅆ𝑥 − ∫ sin4 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥

= sin 𝑥 − ∫ sin4 𝑥 cos 𝑥ⅆ(sin 𝑥)

cos 𝑥

= sin 𝑥 + ∫ sin4 𝑥 ⅆ(sin 𝑥)

= sin 𝑥 +1

5sin5 𝑥 + 𝐶



Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐭𝐚𝐧𝒏 𝒙 𝐬𝐞𝐜𝒏 𝒙 ⅆ𝒙? Nah, untuk bentuk integral ∫ tan𝑚 𝑥 sec𝑛 𝑥 ⅆ𝑥, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri Pythagoras, yaitu.

sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 ⇒ tan2 𝑥 + 1 = sec2 𝑥⇒ 1 + cot2 𝑥 = csc2 𝑥


∫ tan𝑛 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥, jika pangkat sec 𝑥 genap.

∫ sec𝑛 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥, jika pangkat sec 𝑥 ganjil, atau pangkat tan 𝑥 ganjil.

Contoh Soal 1:

∫ tan2 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan: Karena pangkat sec 𝑥 genap, maka sisakan bentuk sec2 𝑥. Oh ternyata bentuk integral sudah dalam bentuk ∫ tan𝑛 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥. Okelah kalau begitu. Langsung saja!

∫ tan2 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ tan2 𝑥 sec2 𝑥ⅆ(tan 𝑥)

sec2 𝑥

= ∫ tan2 𝑥 ⅆ(tan 𝑥)

=1

3tan3 𝑥 + 𝐶

Contoh Soal 2:


Pembahasan: Karena pangkat sec 𝑥 genap, maka sisakan bentuk sec2 𝑥. Gunakan bantuan identitas trigonometri tan2 𝑥 + 1 = sec2 𝑥 Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ tan𝑛 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥.

∫ tan2 𝑥 sec4 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ tan2 𝑥 sec2 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫ tan2 𝑥 (tan2 𝑥 + 1) sec2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(tan4 𝑥 + tan2 𝑥) sec2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(tan4 𝑥 sec2 𝑥 + tan2 𝑥 sec2 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ tan4 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥 + ∫ tan2 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫ tan4 𝑥 sec2 𝑥ⅆ(tan 𝑥)

sec2 𝑥+ ∫ tan2 𝑥 sec2 𝑥

ⅆ(tan 𝑥)

sec2 𝑥

= ∫ tan4 𝑥 ⅆ(tan 𝑥) + ∫ tan2 𝑥 ⅆ(tan 𝑥)

=1

5tan5 𝑥 +

1

3tan3 𝑥 + 𝐶



Contoh Soal 3:


Pembahasan: Cara 1: Karena pangkat sec 𝑥 genap, maka sisakan bentuk sec2 𝑥. Gunakan bantuan identitas trigonometri tan2 𝑥 + 1 = sec2 𝑥 Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ tan𝑛 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥.

∫ tan3 𝑥 sec4 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ tan3 𝑥 sec2 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫ tan3 𝑥 (tan2 𝑥 + 1) sec2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(tan5 𝑥 + tan3 𝑥) sec2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(tan5 𝑥 sec2 𝑥 + tan3 𝑥 sec2 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ tan5 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥 + ∫ tan3 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫ tan5 𝑥 sec2 𝑥ⅆ(tan 𝑥)

sec2 𝑥+ ∫ tan3 𝑥 sec2 𝑥

ⅆ(tan 𝑥)

sec2 𝑥

= ∫ tan5 𝑥 ⅆ(tan 𝑥) + ∫ tan3 𝑥 ⅆ(tan 𝑥)

=1

6tan6 𝑥 +

1

4tan4 𝑥 + 𝐶

Cara 2: Karena pangkat tan 𝑥 ganjil, maka sisakan bentuk sec 𝑥 tan 𝑥. Gunakan bantuan identitas trigonometri tan2 𝑥 + 1 = sec2 𝑥 Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ sec𝑛 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥.

∫ tan3 𝑥 sec4 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ tan2 𝑥 sec3 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫(sec2 𝑥 − 1) sec3 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫(sec5 𝑥 − sec3 𝑥) (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ (sec5 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) − sec3 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥)) ⅆ𝑥

= ∫ sec5 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥 − ∫ sec3 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ sec5 𝑥 (tan 𝑥 sec 𝑥)ⅆ(sec 𝑥)

sec 𝑥 tan 𝑥− ∫ sec3 𝑥 (tan 𝑥 sec 𝑥)

ⅆ(sec 𝑥)

sec 𝑥 tan 𝑥

= ∫ sec5 𝑥 ⅆ(sec 𝑥) − ∫ sec3 𝑥 ⅆ(sec 𝑥)

=1

6sec6 𝑥 −

1

4sec4 𝑥 + 𝐶



Contoh Soal 4:


Pembahasan: Karena pangkat sec 𝑥 ganjil, maka sisakan bentuk sec 𝑥 tan 𝑥. Gunakan bantuan identitas trigonometri tan2 𝑥 + 1 = sec2 𝑥 Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ sec𝑛 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥.

∫ tan3 𝑥 sec3 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ tan2 𝑥 sec2 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫(sec2 𝑥 − 1) sec2 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫(sec4 𝑥 − sec2 𝑥) (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫(sec4 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) − sec2 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥)) ⅆ𝑥

= ∫ sec4 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥 − ∫ sec2 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ sec4 𝑥 (tan 𝑥 sec 𝑥)ⅆ(sec 𝑥)

sec 𝑥 tan 𝑥− ∫ sec2 𝑥 (tan 𝑥 sec 𝑥)

ⅆ(sec 𝑥)

sec 𝑥 tan 𝑥

= ∫ sec4 𝑥 ⅆ(sec 𝑥) − ∫ sec2 𝑥 ⅆ(sec 𝑥)

=1

5sec5 𝑥 −

1

3sec3 𝑥 + 𝐶



Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐜𝐨𝐭𝒏 𝒙 𝐜𝐬𝐜𝒏 𝒙 ⅆ𝒙? Nah, untuk bentuk integral ∫ cot𝑚 𝑥 csc𝑛 𝑥 ⅆ𝑥, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri Pythagoras, yaitu.

sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 ⇒ tan2 𝑥 + 1 = sec2 𝑥⇒ 1 + cot2 𝑥 = csc2 𝑥


∫ cot𝑛 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥, jika pangkat csc 𝑥 genap.

∫ csc𝑛 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥, jika pangkat csc 𝑥 ganjil, atau pangkat cot 𝑥 ganjil.

Contoh Soal 1:

∫ cot2 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan: Karena pangkat csc 𝑥 genap, maka sisakan bentuk csc2 𝑥. Oh ternyata bentuk integral sudah dalam bentuk ∫ cot𝑛 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥. Okelah kalau begitu. Langsung saja!

∫ cot2 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cot2 𝑥 csc2 𝑥ⅆ(cot 𝑥)

− csc2 𝑥

= − ∫ cot2 𝑥 ⅆ(cot 𝑥)

= −1

3cot3 𝑥 + 𝐶

Contoh Soal 2:


Pembahasan: Karena pangkat csc 𝑥 genap, maka sisakan bentuk csc2 𝑥. Gunakan bantuan identitas trigonometri cot2 𝑥 + 1 = csc2 𝑥 Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ cot𝑛 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥.

∫ cot2 𝑥 csc4 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cot2 𝑥 csc2 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫ cot2 𝑥 (1 + cot2 𝑥) csc2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(cot2 𝑥 + cot4 𝑥) csc2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(cot2 𝑥 csc2 𝑥 + cot4 𝑥 csc2 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ cot2 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥 + ∫ cot4 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫ cot2 𝑥 csc2 𝑥ⅆ(cot 𝑥)

− csc2 𝑥+ ∫ cot4 𝑥 csc2 𝑥

ⅆ(cot 𝑥)

− csc2 𝑥

= − ∫ cot2 𝑥 ⅆ(cot 𝑥) − ∫ cot2 𝑥 ⅆ(cot 𝑥)

= −1

3cot3 𝑥 −

1

5tan5 𝑥 + 𝐶



Contoh Soal 3:


Pembahasan: Cara 1: Karena pangkat csc 𝑥 genap, maka sisakan bentuk csc2 𝑥. Gunakan bantuan identitas trigonometri 1 + cot2 𝑥 = csc2 𝑥 Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ cot𝑛 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥.

∫ cot3 𝑥 csc4 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cot3 𝑥 csc2 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫ cot3 𝑥 (1 + cot2 𝑥) csc2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(cot3 𝑥 + cot5 𝑥) csc2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(cot3 𝑥 csc2 𝑥 + cot5 𝑥 csc2 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ cot3 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥 + ∫ cot5 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫ cot3 𝑥 csc2 𝑥ⅆ(cot 𝑥)

− csc2 𝑥+ ∫ cot5 𝑥 csc2 𝑥

ⅆ(cot 𝑥)

− csc2 𝑥

= − ∫ cot3 𝑥 ⅆ(cot 𝑥) − ∫ cot5 𝑥 ⅆ(cot 𝑥)

= −1

4cot4 𝑥 −

1

6cot6 𝑥 + 𝐶

Cara 2: Karena pangkat cot 𝑥 ganjil, maka sisakan bentuk csc 𝑥 cot 𝑥. Gunakan bantuan identitas trigonometri cot2 𝑥 + 1 = csc2 𝑥 Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ csc𝑛 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥.

∫ cot3 𝑥 csc4 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cot2 𝑥 csc3 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫(csc2 𝑥 − 1) csc3 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫(csc5 𝑥 − csc3 𝑥) (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ (csc5 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) − csc3 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥)) ⅆ𝑥

= ∫ csc5 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥 − ∫ csc3 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ csc5 𝑥 (cot 𝑥 csc 𝑥)ⅆ(csc 𝑥)

− csc 𝑥 cot 𝑥− ∫ csc3 𝑥 (cot 𝑥 csc 𝑥)

ⅆ(csc 𝑥)

− csc 𝑥 cot 𝑥

= − ∫ csc5 𝑥 ⅆ(csc 𝑥) + ∫ csc3 𝑥 ⅆ(csc 𝑥)

= −1

6csc6 𝑥 +

1

4csc4 𝑥 + 𝐶



Contoh Soal 4:


Pembahasan: Karena pangkat csc 𝑥 ganjil, maka sisakan bentuk csc 𝑥 cot 𝑥. Gunakan bantuan identitas trigonometri 1 + cot2 𝑥 = csc2 𝑥 Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ csc𝑛 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥.

∫ cot3 𝑥 csc3 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cot2 𝑥 csc2 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫(csc2 𝑥 − 1) csc2 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫(csc4 𝑥 − csc2 𝑥) (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫(csc4 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) − csc2 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥)) ⅆ𝑥

= ∫ csc4 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥 − ∫ csc2 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ csc4 𝑥 (cot 𝑥 csc 𝑥)ⅆ(csc 𝑥)

− csc 𝑥 cot 𝑥− ∫ csc2 𝑥 (cot 𝑥 csc 𝑥)

ⅆ(csc 𝑥)

− csc 𝑥 cot 𝑥

= − ∫ csc4 𝑥 ⅆ(csc 𝑥) + ∫ csc2 𝑥 ⅆ(csc 𝑥)

= −1

5csc5 𝑥 +

1

3csc3 𝑥 + 𝐶



Bagaimana Pola Penyelesaian dari Teknik Integral Substitusi Trigonometri?

Bentuk Substitusi Turunan Hasil

√𝑎2 − 𝑥2 𝑥 = 𝑎 sin 𝜃 ⅆ𝑥 = 𝑎 cos 𝜃 ⅆ𝜃 √𝑎2 − 𝑥2 = 𝑎 cos 𝜃

√𝑎2 + 𝑥2 𝑥 = 𝑎 tan 𝜃 ⅆ𝑥 = 𝑎 sec2 𝜃 ⅆ𝜃 √𝑎2 + 𝑥2 = 𝑎 sec 𝜃

√𝑥2 − 𝑎2 𝑥 = 𝑎 sec 𝜃 ⅆ𝑥 = 𝑎 sec 𝜃 tan 𝜃 ⅆ𝜃 √𝑥2 − 𝑎2 = 𝑎 tan 𝜃



Dan masih banyak yang lainnya….

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru dari suplemen modul TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Pengayaan Integral Trigonometri ini….





TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Pengayaan Integral Trigonometri.

Modul Pengayaan Integral Trigonometri ini adalah suplemen untuk modul TRIK SUPERKILAT dan SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013. Mengingat materi Integral khususnya yang menyangkut Trigonometri memerlukan penguasaan konsep dasar yang kuat pada setiap pokok bahasan. Pada survey yang dilakukan kepada siswa SMA menunjukkan bahwa materi Trigonometri dan Dimensi Tiga adalah topik materi yang paling menakutkan di kalangan siswa. Jadi, tidak ada salahnya apabila pada pokok bahasan Integral Trigonometri ini diberikan suplemen materi pengayaan Integral Trigonometri sebagai bukti bahwa Integral Trigonometri itu mudah dipahami dan dikerjakan dengan metode TRIK SUPERKILAT dan SMART SOLUTION yang menyenangkan sambil menyelami konsep dasar Integral Trigonometri itu sendiri… Untuk sementara hanya beberapa tipe soal integral trigonometri plus integral substitusi trigonometri yang dibahas. Untuk tipe soal yang lain akan segera diupload dan dibagikan. Jadi selalu tunggu di blog Pak Anang ya :) Kunjungi laman http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html untuk mengunduh update materi SMART SOLUTION Pengayaan Integral Trigonometri ini… :)








5. 3. Menentukan integral tak tentu dan integral tertentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.

Integral Tak Tentu

Definisi “Kebalikan Proses Turunan”

𝐹(𝑥) Integral Turunan

𝑓(𝑥)

𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) ⇒ ∫𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶

Integral Fungsi Aljabar Integral Fungsi Trigonometri

∫ 𝑥𝑛 ⅆ𝑥 =1

𝑛+1𝑥𝑛+1 + 𝐶

∫ 𝑎𝑥𝑛 ⅆ𝑥 =𝑎

𝑛+1𝑥𝑛+1 + 𝐶

Sifat:

∫ ⅆ[𝑓(𝑥)] = 𝑓(𝑥) + 𝑐

∫ 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥)ⅆ𝑥 = 𝑘∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥

∫ [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] ⅆ𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥) ⅆ𝑥

Integral Tertentu

Definisi

∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥𝑏

𝑎

= 𝐹(𝑥) |𝑏

𝑎= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

𝐬𝐢𝐧𝒙𝐜𝐨𝐬𝒙

−𝐬𝐢𝐧𝒙−𝐜𝐨𝐬𝒙

∫ sec2 𝑥 ⅆ𝑥 = − tan 𝑥 + 𝐶

∫ csc2 𝑥 ⅆ𝑥 = −cot 𝑥 + 𝐶

∫ sec 𝑥 tan 𝑥 ⅆ𝑥 = −sec 𝑥 + 𝐶

∫ csc𝑥 cot 𝑥 ⅆ𝑥 = −csc 𝑥 + 𝐶



Teknik Integral Aljabar

Integral Langsung “Jika sesuai dengan Rumus Dasar” harus dalam bentuk pangkat

∫□𝑛 ⅆ□ = 1

𝑛+1□𝑛+1 + 𝐶

harus sama

∫ [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] ⅆ𝑥 = …. boleh dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan tidak boleh perkalian pembagian!!!!!

∫ [𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥)] ⅆ𝑥 = ….

∫[𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)] ⅆ𝑥 = ….

Jika tidak bisa diintegralkan secara langsung, maka bisa menggunakan salah satu dari metode berikut:

Diubah Substitusi Parsial

∫ 3𝑥(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)5 ⅆ𝒙

Fungsi integran dan operator masih belum sama harus sama

∫ 3𝑥(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)5 ⅆ(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)

4𝑥

∫ √𝑥 ⅆ𝑥 ∫5

𝑥2ⅆ𝑥

Bentuk pangkat Bentuk pangkat belum terlihat!!! belum terlihat!!!

∫ 𝑥12 ⅆ𝑥 ∫ 5𝑥−2 ⅆ𝑥

∫ 𝑥(𝑥 + 3) ⅆ𝑥 ∫ (𝑥 + 1)2 ⅆ𝑥 Nggak boleh dalam Nggak boleh dalam bentuk perkalian!!! bentuk perkalian!!!

∫ (𝑥2 + 3𝑥) ⅆ𝑥 ∫ (𝑥2 + 2𝑥 + 1) ⅆ𝑥

dan lain-lain …

turunan

∫ 3𝑥2(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)5 ⅆ𝒙


∫ 3𝑥2(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)5 ⅆ(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)

4𝑥

∫ 𝑢 ⅆ𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 ⅆ𝑢

turunan

Perbedaan mendasar antara teknik integral substitusi dengan

teknik integral parsial.

Sederhanakan! Nggak boleh muncul

variabel 𝒙

Sederhanakan! Tetapi masih muncul

variabel 𝒙



LOGIKA PRAKTIS Integral Fungsi Aljabar. Secara umum integral fungsi aljabar sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝒏 → 𝑭(𝒙) =𝒂

𝒏+𝟏𝒙𝒏+𝟏 + 𝑪

𝒂𝒙𝒏 𝒂𝒙𝒏+𝟏 𝒂

𝒏+𝟏𝒙𝒏+𝟏

Proses mencari integral fungsi 𝑎𝑥𝑛 terhadap 𝑥:

1. Tambah satu pangkatnya! 2. Bagi koefisien dengan bilangan hasil langkah pertama! 3. Tambahkan dengan konstanta 𝐶. 4. Selesai!

TRIK SUPERKILAT Integral Fungsi Aljabar Pangkat Pecahan.

Sebagaimana sudah kita ketahui bersama, bahwa konsep dasar integral adalah sebagai berikut: Lho ini kan saling berkebalikan?

𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 → 𝑭(𝒙) =𝟏

𝒏+𝟏𝒙𝒏+𝟏 + 𝑪

Nah, seringkali kita kesulitan mengerjakan integral dengan langkah pasti dan yakin apabila bertemu dengan bentuk pangkat pecahan. Misalnya,

∫2𝑥32 ⅆ𝑥 = 2∫𝑥

32 ⅆ𝑥 (

Ingat konsep ∫ 𝑘𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 = 𝑘∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 alias buang semua konstanta keluar integral

)

= 2 ∙2

5𝑥52 + 𝐶

=4

5𝑥52 + 𝐶

Sesuai konsep integral, pangkatnya kan harus ditambah 1!

Pangkat 3

2 ditambah 1 menjadi berapa?

5

2, kan?

Mudah saja, balik angka 5

2 menjadi

2

5.

Jadi,

∫𝑥32 ⅆ𝑥 =

2

5𝑥52 + 𝐶

Lho ini kan saling berkebalikan?



Teknik Integral Trigonometri

Integral Langsung “Jika sesuai konsep 6 Turunan Trigonometri”

∫ sin□ ⅆ□ = −cos□ + 𝐶

∫ cos□ ⅆ□ = −sin□ + 𝐶

∫ sec2 □ ⅆ□ = − tan□ + 𝐶

∫ csc2 □ ⅆ□ = −cot□ + 𝐶

∫ sec□ tan□ⅆ□ = −sec□ + 𝐶

∫ csc□ cot □ ⅆ□ = −csc□ + 𝐶

∫ [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] ⅆ𝑥 boleh dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan

Jika tidak bisa diintegralkan secara langsung, maka bisa menggunakan salah satu dari metode berikut:

Diubah Substitusi Parsial

∫ tan2 𝑥 ⅆ𝑥 ∫ cot2 𝑥 ⅆ𝑥 Adanya konsep Adanya konsep integral 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝒙 !!! integral 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝒙 !!!

∫ (sec2 𝑥 − 1) ⅆ𝑥 ∫ (csc2 𝑥 − 1) ⅆ𝑥 ∫ sin𝑚𝑥 cos𝑛𝑥 ⅆ𝑥 ∫ sin2 𝑥 ⅆ𝑥 ∫ cos𝑚𝑥 cos𝑛𝑥 ⅆ𝑥 ∫ cos2 𝑥 ⅆ𝑥 ∫ sin𝑚𝑥 sin𝑛𝑥 ⅆ𝑥 dst … Diubah menjadi Sin Cos berpangkat bentuk perjumlahan genap harus diubah! Ingat Rumus Perkalian Ingat Rumus Sin Cos ke penjumlahan setengah sudut

𝑆 + 𝑆 2𝑆𝐶𝑆 − 𝑆 2𝐶𝑆𝐶 + 𝐶 2𝐶𝐶𝐶 − 𝐶 − 2𝑆𝑆

sin2 𝑥 =1

2−1

2cos2𝑥

cos2 𝑥 =1

2+1

2cos 2𝑥

Jadi, ∫ sin4 𝑥 ⅆ𝑥 juga diubah menjadi

∫ sin2 𝑥 sin2 𝑥 ⅆ𝑥

dan lain-lain …

∫ 2𝑥 sin(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐)ⅆ𝒙


∫ 2𝑥 sin(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐) ⅆ(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐)

6𝑥

∫ 𝐬𝐢𝐧3 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝒙


∫ 𝐬𝐢𝐧3 𝑥 cos 𝑥 ⅆ(𝐬𝐢𝐧 𝒙)

cos 𝑥

∫ 2𝑥2 sin(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐) ⅆ𝒙


∫ 2𝑥2 sin(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐) ⅆ(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐)

6𝑥

∫ 𝑢 ⅆ𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 ⅆ𝑢 ⊕ ⊖

turunan turunan


variabel 𝒙

turunan


variabel 𝒙

Sederhanakan! Tetapi masih muncul

variabel 𝒙



LOGIKA PRAKTIS Integral Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus. Secara umum integral fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut: Cara membacanya:

𝐬𝐢𝐧 𝒙𝐜𝐨𝐬 𝒙

−𝐬𝐢𝐧 𝒙−𝐜𝐨𝐬 𝒙

∫ −sin 𝑥 ⅆ𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶

∫ −cos 𝑥 ⅆ𝑥 = − sin 𝑥 + 𝐶

∫ −sin 𝑥 ⅆ𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶

∫ −cos 𝑥 ⅆ𝑥 = − sin 𝑥 + 𝐶

Jadi integralnya sinus adalah negatif kosinus. Integralnya kosinus adalah sinus.

KONSEP DASAR Integral Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus. Dasar dari konsep integral fungsi trigonometri selain sinus kosinus adalah harus paham dan hafal turunan dari fungsi trigonometri. *) Perhatikan konsep berikut:

tan 𝑥 cot 𝑥 sec 𝑥 csc 𝑥 □𝟐 □𝟐

*) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 SKL 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi, Halaman 203 (http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_29.html)

Jadi, dengan melihat bahwa integral adalah lawan dari proses turunan, diperoleh konsep berikut:

∫ sec2 𝑥 ⅆ𝑥 = − tan 𝑥 + 𝐶

∫ csc2 𝑥 ⅆ𝑥 = −cot 𝑥 + 𝐶

∫ sec 𝑥 tan 𝑥 ⅆ𝑥 = −sec 𝑥 + 𝐶

∫ csc 𝑥 cot 𝑥 ⅆ𝑥 = −csc 𝑥 + 𝐶

Cara membacanya: 𝑦 = tan 𝑥

→ 𝑦′ = sec2 𝑥

𝑦 = cot 𝑥 → 𝑦′ = −csc2 𝑥

𝑦 = sec 𝑥 → 𝑦′ = sec 𝑥 tan 𝑥

𝑦 = csc 𝑥 → 𝑦′ = −csc 𝑥 cot 𝑥




Tips dan Trik Integral Trigonometri

Intinya pada integral trigonometri harus menguasai bagaimana konsep trigonometri serta bagaimanakah sifat turunan dari fungsi trigonometri. OK! Disamping itu, harus menguasai bagaimana konsep identitas trigonometri yang pernah Pak Anang tulis pada Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 4 Pengantar Trigonometri di laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_11.html Rumus Identitas Trigonometri yang sering digunakan dalam integral adalah:

Rumus identitas trigonometri

sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1tan2 𝑥 + 1 = sec2 𝑥1 + cot2 𝑥 = csc2 𝑥

sin2 𝑥 =1

2−1

2cos2𝑥

cos2 𝑥 =1

2+1

2cos 2𝑥

sin2𝑥 = 2 sin𝑥 cos 𝑥

Rumus perkalian trigonometri

sin 𝑥 cos 𝑦 =1

2[sin(𝑥 + 𝑦) + sin(𝑥 − 𝑦)]

cos 𝑥 sin 𝑦 =1

2[sin(𝑥 + 𝑦) − sin(𝑥 − 𝑦)]

cos 𝑥 cos 𝑦 =1

2[cos(𝑥 + 𝑦) + cos(𝑥 − 𝑦)]

sin 𝑥 sin𝑦 = −1

2[cos(𝑥 + 𝑦) − cos(𝑥 − 𝑦)]

Apabila ada integral yang memuat fungsi trigonometri pangkat 𝑛 dan memuat fungsi turunannya maka bisa dituliskan konsep integral substitusinya sebagai berikut:

∫ sin𝑛 𝑥 (cos𝑥) ⅆ𝑥 =1

𝑛 + 1sin𝑛+1 𝑥 + 𝐶

∫ cos𝑛 𝑥 (sin𝑥) ⅆ𝑥 = −1

𝑛 + 1cos𝑛+1 𝑥 + 𝐶

∫ tan𝑛 𝑥 (sec2 𝑥) ⅆ𝑥 =1

𝑛 + 1tan𝑛+1 𝑥 + 𝐶

∫ cot𝑛 𝑥 (csc2 𝑥) ⅆ𝑥 = −1

𝑛 + 1cot𝑛+1 𝑥 + 𝐶

∫ sec𝑛 𝑥 (sec𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥 =1

𝑛 + 1sec𝑛+1 𝑥 + 𝐶

∫ csc𝑛 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥 = −1

𝑛 + 1csc𝑛+1 𝑥 + 𝐶





TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral dengan Mengubah Bentuk Integral. Seringkali dalam pengerjaan integral kita bertemu dengan integral yang bentuk integralnya “sedikit berbeda” dari konsep dasar, namun sebenarnya apabila kita mau mengubahnya terlebih dahulu menggunakan sifat-sifat aljabar maupun sifat identitas trigonometri, bentuk integral tersebut bisa kembali sesuai dengan konsep dasar. Seperti telah diketahui bahwa untuk integral fungsi aljabar harus dalam bentuk pangkat dan variabel fungsi integral dengan operator harus sama. Bentuk integral yang diperbolehkan adalah penjumlahan atau pengurangan. TITIK! Sementara untuk integral fungsi trigonometri harus memenuhi sifat 6 turunan fungsi trigonometri, serta bentuk yang diperbolehkan adalah penjumlahan atau pengurangan. Serta perkecualian untuk bentuk perkalian tertentu yang bisa diubah menjadi penjumlahan pengurangan lewat rumus perkalian ke penjumlahan trigonometri. TITIK! Berikut ini adalah beberapa contoh penyelesaian integral dengan cara mengubah bentuk integral:

Contoh Soal 1:

Hasil dari

∫3√𝑥25

ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih berbentuk akar. Ubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pecahan dong!

∫3√𝑥25

ⅆ𝑥 = 3∫ √𝑥25

ⅆ𝑥 (Ingat √𝑥𝑚𝑛

= 𝑥𝑚𝑛 )

= 3∫𝑥25 ⅆ𝑥 (Ingat ∫ 𝑥

𝑚𝑛 ⅆ𝑥 =

𝑛

𝑚 + 𝑛𝑥𝑚+𝑛𝑛 + 𝐶 atau TRIK SUPERKILAT di halaman 215)

= 3 ∙5

7𝑥75 + 𝐶

=15

7𝑥75 + 𝐶

Contoh Soal 2:

Hasil dari

∫2

5𝑥3ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada variabel berpangkat menjadi penyebut. Ubah bentuk tersebut bentuk pangkat negatif dong!

∫2

5𝑥3ⅆ𝑥 = (Ingat

1

𝑥𝑛= 𝑥−𝑛)

= ∫2

5𝑥−3 ⅆ𝑥

=2

5∫𝑥−3 ⅆ𝑥

=2

5∙1

−2𝑥−2 + 𝐶

= −1

5𝑥−2 + 𝐶

= −1

5𝑥2+ 𝐶



Contoh Soal 3:

Hasil dari

∫1

𝑥ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pembagian. Ubah bentuk tersebut menjadi bentuk pangkat negatif dong!

∫1

𝑥ⅆ𝑥 = (Ingat

1

𝑥𝑛= 𝑥−𝑛)

= ∫𝑥−1 ⅆ𝑥

=1

0𝑥−0 + 𝐶

= tidak terdefinisi

Lho kok tidak terdefinisi???????? Ya! Khusus ∫𝑥𝑛 ⅆ𝑥 apabila 𝑛 = −1 maka penyelesaiannya tidak menggunakan konsep dasar integral. Jadi,

∫𝑥−1 ⅆ𝑥 ≠1

−1 + 1𝑥−1+1 + 𝐶

tetapi menggunakan rumus:

∫𝑥−1 ⅆ𝑥 = ∫1




Contoh Soal 5:

Hasil dari

∫𝑥2(3𝑥 − 5)ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk perkalian. Ubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan atau pengurangan dong! Dengan mengalikan secara distributif!

∫𝑥2(3𝑥 − 5) ⅆ𝑥 = ∫(3𝑥3 − 5𝑥2) ⅆ𝑥 (Ingat∫(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) ⅆ𝑥 = ∫𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 + ∫𝑔(𝑥)ⅆ𝑥 )

= ∫3𝑥3 ⅆ𝑥 − ∫5𝑥2 ⅆ𝑥

=3

4𝑥4 −

5

3𝑥3 + 𝐶

Contoh Soal 6:

Hasil dari

∫(2𝑥 − 3)2 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat 𝑛 atau dalam bentuk perkalian sebanyak 𝑛 faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 ×…× 𝑎⏟

𝑠𝑒𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

.

Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong! Dengan mengalikan sebanyak 𝑛 faktor!

∫(2𝑥 − 3)2 ⅆ𝑥 = ∫(2𝑥 − 3)(2𝑥 − 3)ⅆ𝑥 (Ingat (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 )

= ∫(4𝑥2 − 12𝑥 + 9)ⅆ𝑥

=4

3𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 + 𝐶

Contoh Soal 7:

Hasil dari

∫4𝑥5 − 3𝑥3

2𝑥2ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pembagian. Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan dong! Dengan menyederhanakannya dulu, tentunya…..

∫4𝑥5 − 3𝑥3

2𝑥2ⅆ𝑥 = ∫(

4𝑥5

2𝑥2−3𝑥3

2𝑥2)ⅆ𝑥 (Ingat

𝑎 + 𝑏

𝑐=𝑎

𝑐+𝑏

𝑐 )

= ∫(2𝑥3 −3

2𝑥)ⅆ𝑥

= ∫2𝑥3 ⅆ𝑥 −∫3

2𝑥 ⅆ𝑥

(

Menyelesaikan bentuk∫

3

2𝑥 ⅆ𝑥 yang paling mudah adalah

∫3

2𝑥 ⅆ𝑥 =

3

2∫𝑥 ⅆ𝑥 =

3

2∙1

2𝑥2 + 𝐶

)

=2

4𝑥4 −

3

2∙1

2𝑥2 + 𝐶

=1

2𝑥4 −

3

4𝑥2 + 𝐶



Contoh Soal 8:

Hasil dari

∫(3 + tan2 𝑥) ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk bukan turunan fungsi trigonometri dasar. Bentuk tan2 𝑥 bukanlah 6 turunan fungsi trigonometri dasar. Jadi ∫ tan2 𝑥 ⅆ𝑥 tidak bisa dikerjakan langsung. Padahal konsep dasar integral trigonometri yang ada hanyalah ∫ sec2 𝑥 ⅆ𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶. Ubah bentuk tan2 𝑥 menjadi bentuk sec2 𝑥 dong! Ya! Dengan menggunakan identitas trigonometri berikut:

tan2 𝑥 + 1 = sec2 𝑥 ⇒ tan2 𝑥 = sec2 𝑥 − 1

∫(3 + tan2 𝑥) ⅆ𝑥 = (Ingat tan2 𝑥 = sec2 𝑥 − 1)

= ∫(3 + (sec2 𝑥 − 1)) ⅆ𝑥

= ∫(2 + sec2 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫2ⅆ𝑥 + ∫sec2 𝑥 ⅆ𝑥

= 2𝑥 + tan 𝑥 + 𝑐

Contoh Soal 9:

Hasil dari

∫(2 cot2 𝑥 − 5)ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk bukan turunan fungsi trigonometri dasar. Bentuk cot2 𝑥 bukanlah 6 turunan fungsi trigonometri dasar. Jadi ∫ cot2 𝑥 ⅆ𝑥 tidak bisa dikerjakan langsung. Padahal konsep dasar integral trigonometri yang ada hanyalah ∫ csc2 𝑥 ⅆ𝑥 = −cot 𝑥 + 𝐶. Ubah bentuk tan2 𝑥 menjadi bentuk sec2 𝑥 dong! Ya! Dengan menggunakan identitas trigonometri berikut:

1 + cot2 𝑥 = csc2 𝑥 ⇒ cot2 𝑥 = csc2 𝑥 − 1

∫(2 cot2 𝑥 − 5)ⅆ𝑥 = (Ingat cot2 𝑥 = csc2 𝑥 − 1)

= ∫(2(csc2 𝑥 − 1) − 5)ⅆ𝑥

= ∫(2 csc2 𝑥 − 7)ⅆ𝑥

= ∫2 csc2 𝑥 ⅆ𝑥 − ∫7ⅆ𝑥

= 2∫csc2 𝑥 ⅆ𝑥 − 7𝑥 + 𝑐

= 2(−cot 𝑥) − 7𝑥 + 𝑐= −2cot 𝑥 − 7𝑥 + 𝑐



Contoh Soal 10:

Hasil dari

∫sin 3𝑥 cos𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk perkalian fungsi trigonometri. Ubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan atau pengurangan dong! Ya! Dengan menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut: Rumus perkalian trigonometri

sin 𝑥 cos 𝑦 =1

2[sin(𝑥 + 𝑦) + sin(𝑥 − 𝑦)]

cos 𝑥 sin 𝑦 =1

2[sin(𝑥 + 𝑦) − sin(𝑥 − 𝑦)]

cos 𝑥 cos 𝑦 =1

2[cos(𝑥 + 𝑦) + cos(𝑥 − 𝑦)]

sin𝑥 sin𝑦 = −1

2[cos(𝑥 + 𝑦) − cos(𝑥 − 𝑦)]

Jadi,

∫sin3𝑥 cos𝑥 ⅆ𝑥 = ∫1

2[sin(3𝑥 + 𝑥) + sin(3𝑥 − 𝑥)] ⅆ𝑥

= ∫1

2(sin 4𝑥 + sin 2𝑥)ⅆ𝑥

= ∫(1

2sin4𝑥 +

1

2sin 2𝑥)ⅆ𝑥

= ∫1

2sin 4𝑥 ⅆ𝑥 + ∫

1

2sin 2𝑥 ⅆ𝑥

=1

2∫sin 4𝑥 ⅆ𝑥⏟

+1

2∫sin 2𝑥 ⅆ𝑥⏟

Karena fungsi sudut dan operator integral tidak sama.Sudut sinus 4𝑥 dan 2𝑥, sementara operator integralnya ⅆ𝑥.Maka proses perhitungannya dilanjutkan dengan teknik integral substitusi!Yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.OK!



Contoh Soal 10:

Hasil dari

∫sin2 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:



.

Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong! Ya! Jika pangkat 𝑛 adalah pangkat bilangan genap menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut: Rumus identitas trigonometri

sin2 𝑥 =1

2−1

2cos 2𝑥

cos2 𝑥 =1

2+1

2cos 2𝑥

Jadi,

∫sin2 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫(1

2−1

2cos 2𝑥) ⅆ𝑥

= ∫1

2ⅆ𝑥 −∫

1

2cos 2𝑥 ⅆ𝑥

=1

2𝑥 −

1

2∫cos 2𝑥 ⅆ𝑥⏟

Karena fungsi sudut dan operator integral tidak sama.Sudut kosinus 2𝑥, sementara operator integralnya ⅆ𝑥.Maka proses perhitungannya dilanjutkan dengan teknik integral substitusi!Yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.OK!

Contoh Soal 10:

Hasil dari


Pembahasan:



.

Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong! Ya! Jika pangkat 𝑛 adalah pangkat bilangan ganjil menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut: Rumus identitas trigonometri

sin2 𝑥 = 1 − cos2 𝑥cos2 𝑥 = 1 − sin2 𝑥

Jadi,

∫sin3 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫sin2 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥



= ∫sin 𝑥 ⅆ𝑥 −∫cos2 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥⏟

Karena fungsi integran dan operator integral tidak sama.

Fungsi integran cos2 𝑥 sin 𝑥 , sementara operator integralnya ⅆ𝑥.Maka proses perhitungannya dilanjutkan dengan teknik integral substitusi!Yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.OK!



LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi. Ingat Lagi Ya!!!!!! Konsep Dasar Integral harus dalam bentuk pangkat

∫□𝑛 ⅆ□ = 1

𝑛+1□𝑛+1 + 𝐶

harus sama

Bentuk dan Tipe Soal Integral Menggunakan

Teknik Integral Substitusi harus dalam bentuk pangkat

∫□𝑛 ⅆ∆ belum sama

Gantilah operator integral dengan fungsi yang disubstitusi. Tentukan turunan operator integral tersebut dan letakkan menjadi penyebut. Periksa! Apakah hasil bagi fungsi yang lain dengan turunan operator integral masih memuat variabel 𝑥? Tidak! Ya! Nggak ada variabel 𝑥 lagi! Masih menyisakan variabel 𝑥! Integral Substitusi Integral Parsial Teknik Tabulasi



TRIK SUPERKILAT Teknik Integral Substitusi. Perhatikan konsepnya:

ⅆ

ⅆ𝑥(𝑥2 + 4𝑥 − 9) = (2𝑥 + 4) ⇒ ⅆ(𝑥2 + 4𝑥 − 9) = (2𝑥 + 4)ⅆ𝑥

⇔ⅆ(𝑥2 + 4𝑥 − 9)

(2𝑥 + 4)= ⅆ𝑥

⇔ ⅆ𝑥 =ⅆ(𝑥2 + 4𝑥 − 9)

(2𝑥 + 4)

Jadi ⅆ𝑥 pada soal bisa diganti dengan 𝑑(𝑓(𝑥))

𝑓′(𝑥)

Atau dalam kalimat bisa diartikan sebagai berikut: Jadi, ⅆ𝑥 dapat diganti dengan sebuah fungsi permisalan dibagi oleh turunan fungsi tersebut! Contoh:

∫(3𝑥 − 5)10000000000000 ⅆ𝒙 = ∫(3𝑥 − 5)10000000000000ⅆ(𝟑𝒙 − 𝟓)

𝟑

∫sin(4𝑥)ⅆ𝒙 = ∫sin(4𝑥)ⅆ(𝟒𝒙)

𝟒

∫3𝑥 cos(2𝑥2)ⅆ𝒙 = ∫3𝑥 cos(2𝑥2)ⅆ(𝟐𝒙𝟐)

𝟒𝒙

dan lain-lain …..

Nah intisari dari teknik integral substitusi adalah mengupayakan agar turunan fungsi yang disubstitusi bisa membagi habis variabel pada fungsi lain yang tidak disubstitusi. Contohnya:

∫3𝑥 cos(2𝑥2) ⅆ𝑥 = ∫3𝑥 cos(2𝑥2)ⅆ(2𝑥2)

4𝑥= ∫

3𝑥

4𝑥cos(2𝑥2) ⅆ(2𝑥2) = ∫

3

4cos(2𝑥2) ⅆ(2𝑥2) = ∫

3

4cos □ ⅆ□

Pokoknya variabel 𝑥 Hore!!!!! Hore!!!!!! harus hilang!!! Variabel 𝑥 udah hilang!!!! Sudah sama!!!! Kalau hilang berarti integral substitusi. Kalau enggak hilang berarti integral parsial.

turunannya

turunannya

turunannya

turunannya



Contoh Soal 1:

Hasil dari

∫(𝑥 − 3)(𝑥2 − 6𝑥 + 1)−3 ⅆ𝑥 = ….

a. −1

8(𝑥2 − 6𝑥 + 1)−4 + 𝐶

b. −1

4(𝑥2 − 6𝑥 + 1)−4 + 𝐶

c. −1

2(𝑥2 − 6𝑥 + 1)−4 + 𝐶

d. −1

4(𝑥2 − 6𝑥 + 1)−2 + 𝐶

e. −1

2(𝑥2 − 6𝑥 + 1)−2 + 𝐶

Pembahasan:

Perhatikan soal,

∫(𝑥 − 3)(𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏)−3ⅆ𝒙

belum sama

Mari kita coba cek, apakah integral tersebut bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi ataukah teknik integral parsial.

∫(𝑥 − 3)(𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏)−3ⅆ𝒙 ⇒ ∫(𝑥 − 3)(𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏)

−3 ⅆ(𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏)

(𝟐𝒙 − 𝟔)

Periksa, apakah hasil (𝑥−3)

(2𝑥−6) tidak menyisakan variabel 𝑥?

Ternyata hasil dari (𝑥−3)

(2𝑥−6)=1

2 , dan kita sudah tidak menemukan variabel 𝑥 yang tersisa.

Maka, penyelesaian integral tersebut adalah menggunakan teknik integral substitusi. Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:

∫(𝑥 − 3)(𝑥2 − 6𝑥 + 1)−3 ⅆ𝑥 = ∫(𝑥 − 3)(𝑥2 − 6𝑥 + 1)−3ⅆ(𝑥2 − 6𝑥 + 1)

(2𝑥 − 6) (Ingat ∫

1

2□𝑛 ⅆ𝑥 =

1

2∫□𝑛 ⅆ𝑥)

=𝟏

𝟐∫(𝑥2 − 6𝑥 + 1)−3 ⅆ(𝑥2 − 6𝑥 + 1) (Ingat ∫□𝑛 ⅆ𝑥 =

1

𝑛 + 1□𝑛+1 + 𝐶)

=1

2∙

𝟏

((−𝟑) + 𝟏)(𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏)(−𝟑)+𝟏 + 𝐶

=1

2∙1

(−2)(𝑥2 − 6𝑥 + 1)−2 + 𝐶

= −1

4(𝑥2 − 6𝑥 + 1)−2 + 𝐶

Ganti operator integral

turunannya

Periksa hasilnya, apakah masih menyisakan variabel 𝒙?

2

1



Contoh Soal 2:

Hasil dari

∫6𝑥√3𝑥2 + 5ⅆ𝑥 = ….

a. 2

3(6𝑥2 + 5)√6𝑥2 + 5 + 𝐶

b. 2

3(3𝑥2 + 5)√3𝑥2 + 5 + 𝐶

c. 2

3(𝑥2 + 5)√𝑥2 + 5 + 𝐶

d. 3

2(𝑥2 + 5)√𝑥2 + 5 + 𝐶

e. 3

2(3𝑥2 + 5)√3𝑥2 + 5 + 𝐶

Pembahasan:

Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:

∫6𝑥√3𝑥2 + 5ⅆ𝑥 = Tanda akar diubah menjadi bentuk pangkat dulu!OK!

(Ingat ∫√□ⅆ𝑥 = ∫□12 ⅆ𝑥)

= ∫6𝑥(3𝑥2 + 5)12 ⅆ𝑥 (Samakan dulu operator integralnya )

= ∫6𝑥(3𝑥2 + 5)12ⅆ(3𝑥2 + 5)

6𝑥

= ∫(3𝑥2 + 5)12 ⅆ(3𝑥2 + 5) (Ingat ∫□𝑛 ⅆ𝑥 =

1

𝑛 + 1□𝑛+1 + 𝐶)

=𝟏

(𝟏𝟐 + 𝟏)

(𝟑𝒙𝟐 + 𝟓)𝟏𝟐+𝟏+ 𝐶

=132

(3𝑥2 + 5)32 + 𝐶

=2

3(3𝑥2 + 5)

32 + 𝐶

=2

3(3𝑥2 + 5)

1+12 + 𝐶 (Ingat sifat pangkat 𝑎𝑚+𝑛 = 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛)

=2

3(3𝑥2 + 5)(3𝑥2 + 5)

12 + 𝐶

=2

3(3𝑥2 + 5)√3𝑥2 + 5 + 𝐶



Contoh Soal 3:

Hasil dari

∫3

2𝑥 − 5ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:


∫3

2𝑥 − 5ⅆ𝑥 = 3∫

1

2𝑥 − 5ⅆ𝑥 = 3∫(2𝑥 − 5)−1 ⅆ𝑥 (Samakan dulu operator integralnya)

= 3∫(2𝑥 − 5)−1 ⅆ(2𝑥 − 5)

2

=3

2∫(2𝑥 − 5)−1 ⅆ(2𝑥 − 5) (Buang semua konstanta keluar integral)

=3

2ln|2𝑥 − 5| + 𝐶

Contoh Soal 4:

Hasil dari

∫3𝑥 − 1

𝑥2 − 𝑥ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:


∫3𝑥 − 1

𝑥2 − 𝑥ⅆ𝑥 = ∫

3𝑥

𝑥(𝑥 − 1)ⅆ𝑥 (Ingat

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)=

𝐴

𝑔(𝑥)+

𝐶

ℎ(𝑥))

3𝑥 − 1

𝑥(𝑥 − 1)=𝐴

𝑥+

𝐵

(𝑥 − 1)

⇒3𝑥 − 1

𝑥(𝑥 − 1)=𝐴(𝑥 − 1)

𝑥(𝑥 − 1)+

𝐵𝑥

𝑥(𝑥 − 1)

⇔3𝑥 − 1

𝑥(𝑥 − 1)=𝐴(𝑥 − 1) + 𝐵𝑥

𝑥(𝑥 − 1)

⇔3𝑥 − 1

𝑥(𝑥 − 1)=𝐴𝑥 − 𝐴 + 𝐵𝑥

𝑥(𝑥 − 1)

⇔3𝑥 − 1

𝑥(𝑥 − 1)=(𝐴 + 𝐵)𝑥 − 𝐴

𝑥(𝑥 − 1)

⇔ 3𝑥 − 1 = (𝐴 + 𝐵)𝑥 − 𝐴

}

𝐴 + 𝐵 = 3

𝐴 = 1 } 𝐴 = 1 dan 𝐵 = 2

⇒ ∫3𝑥 − 1

𝑥2 − 𝑥ⅆ𝑥 = ∫

𝐴

𝑥+

𝐵

(𝑥 − 1)ⅆ𝑥 (Ingat, dari perhitungan di atas ternyata 𝐴 = 1 dan 𝐵 = 2)

⇔ ∫3𝑥 − 1

𝑥2 − 𝑥ⅆ𝑥 = ∫

1

𝑥+

2

(𝑥 − 1)ⅆ𝑥

= ∫1

𝑥ⅆ𝑥 + ∫

2

(𝑥 − 1)ⅆ𝑥

= ln|𝑥| + ∫2

(𝑥 − 1)

ⅆ(𝑥 − 1)

1+ 𝐶

= ln|𝑥| + 2∫1

(𝑥 − 1)ⅆ(𝑥 − 1) + 𝐶

= ln|𝑥| + 2 ln|𝑥 − 1| + 𝐶



Contoh Soal 5:

Hasil dari

∫sin(4𝑥 − 𝜋)ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral dari fungsi trigonometri yang sudutnya tidak sama dengan operator integralnya. Maksudnya? Perhatikan sudut fungsi sinus yaitu (4𝑥 − 𝜋). Padahal operator integralnya adalah ⅆ𝑥. Artinya fungsi sinus tersebut diintegralkan terhadap variabel 𝑥. Maka langkah penyelesaiannya adalah mensubstitusi operator integralnya agar sesuai dengan sudut fungsi trigonometrinya. Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:

∫sin(4𝑥 − 𝜋)ⅆ𝑥 = (Samakan dulu operator integralnya )

= ∫sin(4𝑥 − 𝜋)ⅆ(4𝑥 − 𝜋)

4

Ternyata tidak ada variabel 𝑥 tersisa.Jadi benar bahwa kita memilih langkah integral substitusi bukan integral parsial.

=1

4∫sin(4𝑥 − 𝜋)ⅆ(4𝑥 − 𝜋) (Ingat ∫ sin□ⅆ□ = −cos□ + 𝐶)

=1

4∙ (− cos(4𝑥 − 𝜋)) + 𝐶

= −1

4cos(4𝑥 − 𝜋) + 𝐶



Contoh Soal 5:

Hasil dari

∫sin3 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral dari fungsi trigonometri beserta turunannya. Maksudnya? Masih ingat dengan 6 turunan fungsi trigonometri kan?

𝑓(𝑥) = sin𝑥 → 𝑓′(𝑥) = cos𝑥

𝑓(𝑥) = cos𝑥 → 𝑓′(𝑥) = −sin 𝑥

𝑓(𝑥) = tan 𝑥 → 𝑓′(𝑥) = sec2 𝑥

𝑓(𝑥) = cot 𝑥 → 𝑓′(𝑥) = −csc2 𝑥

𝑓(𝑥) = sec𝑥 → 𝑓′(𝑥) = sec𝑥 tan 𝑥

𝑓(𝑥) = csc 𝑥 → 𝑓′(𝑥) = −csc 𝑥 cot 𝑥

Coba lihat dan amati 6 fungsi trigonometri dan turunannya di atas. Apabila ada integral yang memuat fungsi trigonometri pangkat 𝑛 dan memuat fungsi turunannya maka bisa dituliskan konsep integral substitusinya sebagai berikut:





∫ tan𝑛 𝑥 (sec2 𝑥) ⅆ𝑥 =1

𝑛 + 1tan𝑛+1 𝑥 + 𝐶

∫ cot𝑛 𝑥 (csc2 𝑥) ⅆ𝑥 = −1

𝑛 + 1cot𝑛+1 𝑥 + 𝐶

∫ sec𝑛 𝑥 (sec𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥 =1

𝑛 + 1sec𝑛+1 𝑥 + 𝐶

∫ csc𝑛 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥 = −1

𝑛 + 1csc𝑛+1 𝑥 + 𝐶

Jadi ∫ sin3 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥 bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi. Dengan mengganti operator integral dari yang semula ⅆ𝑥 menjadi ⅆ(sin𝑥). Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:

∫sin3 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥 = (Samakan dulu operator integralnya )

= ∫sin3 𝑥 cos𝑥ⅆ(sin𝑥)

cos 𝑥

= ∫sin3 𝑥 ⅆ(sin 𝑥) (Ingat ∫ sin𝑛 □ⅆ(sin□) =1

𝑛 + 1sin𝑛+1 □ + 𝐶)

=1

4sin4 𝑥 + 𝐶



Contoh Soal 6:

Hasil dari


Pembahasan:

Integral sin atau cos berpangkat ganjil arah penyelesaiannya selalu ke bentuk integral berikut:





Jadi, selalu disisakan satu fungsi sin atau cos berpangkat 1. Misalnya ∫ sin3 𝑥 ⅆ𝑥, maka harus diubah supaya ada suku fungsi integran yang menjadi ∫ cos2 𝑥 sin 𝑥. Konsep identitas trigonometri yang selalu digunakan jika bertemu sin atau cos pangkat ganjil adalah:

sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:

∫sin3 𝑥 ⅆ𝑥 = (Untuk soal integral sin atau cos pangkat ganjil selalu sisakan sin atau cos pangkat 1)

Jadi ubah dulu sin𝑛 𝑥 = sin𝑛−1 𝑥 sin 𝑥

= ∫sin2 𝑥 sin𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(1 − cos2 𝑥) sin𝑥 ⅆ𝑥 (Ingat sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 ⇒ sin2 𝑥 = 1 − cos2 𝑥)

= ∫(sin 𝑥 − cos2 𝑥 sin𝑥) ⅆ𝑥 (Ingat ∫ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)ⅆ𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) ⅆ𝑥)

= ∫sin 𝑥 ⅆ𝑥 −∫cos2 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥 (Penyelesaian ∫ cos2 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥 lihat Contoh Soal 4)

= −cos 𝑥 − ∫cos2 𝑥 sin 𝑥ⅆ(cos 𝑥)

− sin𝑥 (Ingat ∫ cos𝑛 □ⅆ(cos□) =

1

𝑛 + 1cos𝑛+1 □ + 𝐶)

= −cos 𝑥 + ∫cos2 𝑥 ⅆ(cos𝑥)

= −cos 𝑥 +1

3cos3 𝑥 + 𝐶


Langkah penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTISnya bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !! Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!




LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Parsial. Ingat Lagi Ya!!!!!! Konsep Dasar Integral harus dalam bentuk pangkat

∫□𝑛 ⅆ□ = 1

𝑛+1□𝑛+1 + 𝐶

harus sama

Bentuk dan Tipe Soal Integral Menggunakan

Teknik Integral Parsial atau

Metode Tabulasi harus dalam bentuk pangkat

∫□𝑛 ⅆ∆ belum sama

Gantilah operator integral dengan fungsi yang disubstitusi. Tentukan turunan operator integral tersebut dan letakkan menjadi penyebut. Periksa! Apakah hasil bagi fungsi yang lain dengan turunan operator integral masih memuat variabel 𝑥? Tidak! Ya! Nggak ada variabel 𝑥 lagi! Masih menyisakan variabel 𝑥! Integral Substitusi Integral Parsial Teknik Tabulasi



Contoh Soal 1:

Hasil dari ∫𝑥√𝑥 + 1ⅆ𝑥 = ….

a. 2

5(𝑥 + 1)√𝑥 + 1 −

2

3(𝑥 + 1)2√𝑥 + 1 + 𝐶

b. 2

15(3𝑥2 + 𝑥 − 2)√𝑥 + 1 + 𝐶

c. 2

15(3𝑥2 + 𝑥 + 4)√𝑥 + 1 + 𝐶

d. 2

15(3𝑥2 − 𝑥 − 2)√𝑥 + 1 + 𝐶

e. 2

5(𝑥2 + 𝑥 − 2)√𝑥 + 1 + 𝐶

Pembahasan:

Perhatikan soal, ubah dulu tanda akar menjadi bentuk pangkat,

∫𝑥√𝑥 + 1ⅆ𝑥 = ∫𝑥(𝒙 + 𝟏)12 ⅆ𝒙

belum sama Mari kita coba cek, apakah integral tersebut bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi ataukah teknik integral parsial.

∫𝑥(𝒙 + 𝟏)12 ⅆ𝒙 ⇒ ∫𝑥 (𝒙 + 𝟏)

12ⅆ(𝒙 + 𝟏)

𝟏

Periksa, apakah hasil 𝑥

1 tidak menyisakan variabel 𝑥?

Ternyata hasil dari 𝑥

1= 𝑥 , dan kita masih menemukan variabel 𝑥 yang tersisa.

Maka, penyelesaian integral tersebut adalah menggunakan teknik integral parsial.

∫𝑥(𝑥 + 1)12 ⅆ𝑥 = (Ingat integral parsial ∫𝒖ⅆ𝒗 = 𝒖𝒗 −∫𝒗ⅆ𝒖)

Misal 𝒖 = 𝑥 ⇒ⅆ𝑢

ⅆ𝑥= 1

⇔ ⅆ𝒖 = ⅆ𝑥

Maka ⅆ𝒗 = (𝑥 + 1)12ⅆ𝑥 ⇒ ∫ ⅆ𝑣 = ∫ (𝑥 + 1)

12ⅆ𝑥

⇔ 𝒗 =2

3(𝑥 + 1)

32

⇒ ∫𝑥(𝑥 + 1)12 ⅆ𝑥 = 𝒖𝒗 − ∫𝒗ⅆ𝒖

= 𝒙 ∙𝟐

𝟑(𝒙 + 𝟏)

𝟑𝟐 −∫

𝟐

𝟑(𝒙 + 𝟏)

𝟑𝟐 ⅆ𝒙

=2

3𝑥(𝑥 + 1)

32 −

2

3∫(𝑥 + 1)

32ⅆ(𝑥 + 1)

1

=2

3𝑥(𝑥 + 1)

32 −

2

3∙2

5(𝑥 + 1)

52 + 𝐶

=2

3𝑥(𝑥 + 1)

32 −

4

15(𝑥 + 1)

52 + 𝐶 (keluarkan FPB-nya (𝑥 + 1)

12)

= (𝑥 + 1)32 [2

3𝑥 −

4

15(𝑥 + 1)] + 𝐶

= (𝑥 + 1)12(𝑥 + 1) (

6

15𝑥 −

4

15) + 𝐶

= (𝑥 + 1)12(𝑥 + 1)

2

15(3𝑥 − 2) + 𝐶

=2

15(3𝑥 − 2)(𝑥 + 1)(𝑥 + 1)

12 + 𝐶

=2

15(3𝑥2 + 𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

12 + 𝐶

=2

15(3𝑥2 + 𝑥 − 2)√𝑥 + 1 + 𝐶

Ganti operator integral

Periksa hasilnya, apakah masih menyisakan variabel 𝒙?

turunannya



Contoh Soal 2a:

Hasil dari

∫(𝑥2 + 1) cos 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

a. 𝑥2 sin 𝑥 + 2𝑥 cos𝑥 + 𝐶

b. (𝑥2 − 1) sin𝑥 + 2𝑥 cos𝑥 + 𝐶

c. (𝑥2 + 3) sin𝑥 − 2𝑥 cos𝑥 + 𝐶

d. 2𝑥2 cos𝑥 + 2𝑥2 sin 𝑥 + 𝐶

e. 2𝑥 sin𝑥 − (𝑥2 − 1) cos𝑥 + 𝐶

Pembahasan:


∫(𝑥2 + 1)⏟ 𝒖

cos 𝑥 ⅆ𝑥⏟ ⅆ𝒗

= (Ingat integral parsial ∫𝒖ⅆ𝒗 = 𝒖𝒗 −∫𝒗ⅆ𝒖)

Misal 𝒖 = 2𝑥 ⇒ⅆ𝑢

ⅆ𝑥= 2

⇔ ⅆ𝒖 = 2ⅆ𝑥Maka ⅆ𝒗 = cos 𝑥 ⅆ𝑥 ⇒ ∫ ⅆ𝑣 = ∫ cos 𝑥 ⅆ𝑥

⇔ 𝒗 = sin𝑥

⇒ ∫(𝑥2 + 1) cos 𝑥 ⅆ𝑥 = 𝒖𝒗 −∫𝒗ⅆ𝒖

= (𝒙𝟐 + 𝟏) ∙ 𝐬𝐢𝐧𝒙 − ∫𝐬𝐢𝐧𝒙 ∙ 𝟐𝒙ⅆ𝒙

= (𝑥2 + 1) sin𝑥 − ∫2𝑥 sin𝑥 ⅆ𝑥

(Bentuk ∫2𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥 diselesaikan menggunakan teknik integral parsial)

⇒ ∫(𝑥2 + 1) cos 𝑥 ⅆ𝑥 = (𝑥2 + 1) sin𝑥 − ∫2𝑥⏟𝒖sin 𝑥 ⅆ𝑥⏟ ⅆ𝒗

Misal 𝒖 = 2𝑥 ⇒ⅆ𝑢

ⅆ𝑥= 2

⇔ ⅆ𝒖 = 2ⅆ𝑥Maka ⅆ𝒗 = sin 𝑥 ⅆ𝑥 ⇒ ∫ ⅆ𝑣 = ∫ sin𝑥 ⅆ𝑥

⇔ 𝒗 = −cos 𝑥

⇒ ∫(𝑥2 + 1) cos 𝑥 ⅆ𝑥 = (𝑥2 + 1) sin𝑥 − [𝒖𝒗 −∫𝒗ⅆ𝒖] + 𝐶1

= (𝑥2 + 1) sin𝑥 − [2𝑥 ∙ (− cos 𝑥) − ∫(−cos𝑥) ∙ 2 ⅆ𝑥 + 𝐶2] + 𝐶1

= (𝑥2 + 1) sin𝑥 − [(−2𝑥 cos 𝑥) +∫2 cos𝑥 ⅆ𝑥 + 𝐶2] + 𝐶1

= (𝑥2 + 1) sin𝑥 − [(−2𝑥 cos 𝑥) + 2 sin𝑥 + 𝐶2] + 𝐶1= (𝑥2 + 1) sin𝑥 + 2𝑥 cos𝑥 − 2 sin𝑥 + 𝐶2 + 𝐶1⏟

𝑪𝟏+𝑪𝟐=𝑪

= (𝑥2 + 1) sin𝑥 − 2 sin𝑥 + 2𝑥 cos𝑥 + 𝐶

= (𝑥2 + 1 − 2) sin𝑥 + 2𝑥 cos𝑥 + 𝐶

= (𝑥2 − 1) sin𝑥 + 2𝑥 cos𝑥 + 𝐶

Menyelesaikan integral dengan teknik integral parsial bisa juga dilakukan menggunakan metode tabulasi. Langkah penyelesaian integral parsial dengan metode tabulasi adalah memisah bagian yang mudah diturunkan hingga nol, dan bagian yang rumit. Penyelesaian metode tabulasi untuk soal ini ada di halaman berikutnya!



TRIK SUPERKILAT Teknik Integral Parsial Menggunakan Metode Tabulasi. Contoh Soal 2b:

Hasil dari

∫(𝑥2 + 1) cos 𝑥 d𝑥 = ….

a. 𝑥2 sin 𝑥 + 2𝑥 cos𝑥 + 𝐶

b. (𝑥2 − 1) sin𝑥 + 2𝑥 cos𝑥 + 𝐶

c. (𝑥2 + 3) sin𝑥 − 2𝑥 cos𝑥 + 𝐶

d. 2𝑥2 cos𝑥 + 2𝑥2 sin 𝑥 + 𝐶

e. 2𝑥 sin𝑥 − (𝑥2 − 1) cos𝑥 + 𝐶

Pembahasan TRIK SUPERKILAT Integral Parsial menggunakan Metode Tabulasi:

Langkah penyelesaian integral parsial dengan menggunakan metode tabulasi : Buat tabel dengan dua kolom. Isi kolom kiri dengan turunan bagian yang mudah secara terus-menerus hingga turunannya sama dengan nol. Isi kolom kanan dengan integral bagian yang rumit secara terus-menerus sebanyak baris kolom kiri. Kalikan kolom kiri dan kanan dengan arah menyerong serta kalikan juga dengan tanda plus minus bergantian. Ingat! Selalu diawali oleh tanda plus!! Selesai!

∫(𝑥2 + 1)⏟ mudah

cos 𝑥⏟rumit

ⅆ𝑥 = (Pisahkan bagian yang mudah diturunkan hingga nol dengan bagian yang rumit)

Kolom Kiri

(Turunkan)

Kolom Kanan

(Integralkan)

(𝑥2 + 1) cos 𝑥

2𝑥 sin 𝑥

2 −cos 𝑥

0 −sin𝑥

∫(𝑥2 + 1) cos 𝑥 d𝑥 = (𝑥2 + 1) sin𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 − 2 sin 𝑥 + 𝐶

= (𝑥2 + 1) sin𝑥 − 2 sin 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶

= (𝑥2 + 1 − 2) sin𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶

= (𝑥2 − 1) sin𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶

Penyelesaian menggunakan teknik integral parsial ada di halaman sebelumnya. Coba bandingkan hasilnya!

⊖

⊕

⊕ (𝑥2 + 1) sin 𝑥

2𝑥 cos 𝑥

−2 sin𝑥



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Trigonometri.

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Trigonometri yaitu tentang:

bagaimana cara praktis menguasai konsep integral fungsi trigonometri; ciri-ciri soal integral fungsi trigonometri yang bisa diselesaikan dengan integral langsung atau hanya bisa

diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi maupun teknik integral parsial.

Semuanya bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !! Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi Trigonometri.

Sepertinya untuk soal integral UN Matematika SMA 2013 nanti tidak akan muncul soal yang harus dikerjakan

dengan teknik integral substitusi trigonometri, yaitu fungsi-fungsi yang memuat bentuk √𝑎 − 𝑢2, √𝑎 + 𝑢2, dan

√𝑢2 − 𝑎. Namun untuk TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi Trigonometri juga bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !! Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!





TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Cepat Menyelesaikan Integral Tertentu.

Perhatikan konsep dasar dari Integral Tertentu

∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥𝑏

𝑎

= 𝐹(𝑥) |𝑏

𝑎= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

Contoh Soal 1:

Hasil dari

∫ (6𝑥2 − 8𝑥 + 3)4

2

ⅆ𝑥 = ….

a. 96

b. 108

c. 112

d. 116

e. 128

Pembahasan:


∫ (6𝑥2 − 𝑥 + 3)4

2

ⅆ𝑥 = [2𝑥3 −1

2𝑥2 + 3𝑥]

2

4

= (2(4)3 −1

2(4)2 + 3(4)) − (2(2)3 −

1

2(2)2 + 3(2))

= (2 ∙ 64 −1

2∙ 16 + 12) − (2 ∙ 8 −

1

2∙ 4 + 6)

= (128 − 8 + 12) − (16 − 2 + 6)

= (132) − (20)= 112

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:

Langkah penyelesaian TRIK SUPERKILAT hanya mengubah cara perhitungan supaya menjadi lebih sederhana menggunakan kebalikan dari sifat distributif, yakni mengumpulkan faktor yang sama dalam perhitungan.

Misal 𝐹(𝑥) = 2𝑥3 −1

2𝑥2 + 3𝑥

Maka, 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = (2(4)3 −1

2(4)2 + 3(4)) − (2(2)3 −

1

2(2)2 + 3(2))

= 2(4)3 −1

2(4)2 + 3(4) − 2(2)3 +

1

2(2)2 − 3(2)

= 2(4)3 − 2(2)3 −1

2(4)2 +

1

2(2)2 + 3(4) − 3(2)

= 2 (43 − 23)⏟ selisihnya 𝑥3

−1

2(42 − 22)⏟ selisihnya 𝑥2

+ 3 (4 − 2)⏟ selisihnya 𝑥

∫ (6𝑥2 − 𝑥 + 3)4

2

ⅆ𝑥 = [2𝑥3 −1

2𝑥2 + 3𝑥]

2

4

= 2(43 − 23) −1

2(42 − 22) + 3(4 − 2)

= 2(64 − 8) −1

2(16 − 4) + 3(2)

= 2(56) −1

2(12) + 3(2)

= 112 − 6 + 6= 112

Catatan: TRIK SUPERKILAT Integral tertentu ini hanya berlaku apabila fungsi integrannya adalah fungsi aljabar.



Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Integral ini….



http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013.html



1. Hasil dari

dx

xx

x72 723

13 ....

A.

C7233

162

xx

B.

C7234

162

xx

C.

C7236

162

xx

D.

C72312

162

xx

E.

C72312

172

xx

2. Hasil dari dxxx 133 2 ....

A. C13)13(3

2 22 xx

B. C13)13(2

1 22 xx

C. C13)13(3

1 22 xx

D. C13)13(2

1 22 xx

E. C13)13(3

2 22 xx

3. Hasil dari dxxxx92 96434 ....

A. C96410

1 102 xx

B. C3215

1 20x

C. C3220

1 20x

D. C96420

1 102 xx

E. C96430

1 102 xx

4. Hasil dari

dx

x

x

7 53

2

52

2 ....

A. C527

3 7 33 x

B. C523

6 6 73 x

C. C527

6 7 63 x

D. C526

7 7 23 x

E. C526

7 2 73 x

∫3𝑥 − 1

(3𝑥2 − 2𝑥 + 7)7 ⅆ𝑥 = ∫(3𝑥 − 1)(3𝑥2 − 2𝑥 + 7)−7

ⅆ(3𝑥2 − 2𝑥 + 7)

(6𝑥 − 2)

=1

2∫(3𝑥2 − 2𝑥 + 7)−7ⅆ(3𝑥2 − 2𝑥 + 7)

=1

2∙ (−

1

6) (3𝑥2 − 2𝑥 + 7)−6 + C

=−1

12(3𝑥2 − 2𝑥 + 7)6+ C

∫3𝑥√3𝑥2 + 1 ⅆ𝑥 = ∫3𝑥(3𝑥2 + 1)12 ⅆ(3𝑥2 + 1)

6𝑥

=1

2∫(3𝑥2 + 1)

12 ⅆ(3𝑥2 + 1)

=1

2∙2

3∙ (3𝑥2 + 1)

32 + C

=1

3(3𝑥2 + 1)√3𝑥2 + 1 + C

∫(4𝑥 + 3)(4𝑥2 + 6𝑥 − 9)9 ⅆ𝑥 = ∫(4𝑥 + 3)(4𝑥2 + 6𝑥 − 9)9 ⅆ(4𝑥2 + 6𝑥 − 9)

8𝑥 + 6

=1

2∫(4𝑥2 + 6𝑥 − 9)

9 ⅆ(4𝑥2 + 6𝑥 − 9)

=1

2∙1

10∙ (4𝑥2 + 6𝑥 − 9)

10+ C

=1

20(4𝑥2 + 6𝑥 − 9)

10+ C

∫2𝑥2

√(2𝑥3 − 5)57

ⅆ𝑥 = ∫2𝑥2

√(2𝑥3 − 5)57

ⅆ(2𝑥3 − 5)

(6𝑥2)

=1

3∫(2𝑥3 − 5)−

57 ⅆ(2𝑥3 − 5)

=1

3∙7

2(2𝑥3 − 5)

27 + C

=7

6√(2𝑥3 − 5)27

+ C



5. Nilai dari

2

1

2 54 dxxx ....

A. 6

33

B. 6

44

C. 6

55

D. 6

65

E. 6

77

6. Nilai dari

4

1

2 22 dxxx ....

A. 12

B. 14

C. 16

D. 18

E. 20

7. Nilai dari

2

0

2 733 dxxx ....

A. 6

B. 10

C. 13

D. 16

E. 22

8. Nilai dari

3

1

2 342 dxxx ....

A. 3

127

B. 2

127

C. 3

137

D. 2

137

E. 2

151

∫ (4𝑥2 − 𝑥 + 5) ⅆ𝑥2

1

= [4

3𝑥3 −

1

2𝑥2 + 5𝑥]

1

2

= (4

3(2)3 −

1

2(2)2 + 5(2)) − (

4

3(1)3 −

1

2(1)2 + 5(1))

= (32

3− 2 + 10) − (

4

3−1

2+ 5)

=56

3−35

6

=112 − 35

6

=77

6

∫ (𝑥2 − 2𝑥 + 2) ⅆ𝑥4

1

= [1

3𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥]

1

4

= (1

3(4)3 − (4)2 + 2(4)) − (

1

3(1)3 − (1)2 + 2(1))

= (64

3− 16 + 8) − (

1

3− 1 + 2)

=64

3− 8 −

1

3− 1

= 12

∫ (3𝑥2 − 3𝑥 + 7) ⅆ𝑥2

0

= [𝑥3 −3

2𝑥2 + 7𝑥]

0

2

= ((2)3 −3

2(2)2 + 7(2)) − ((0)3 −

3

2(0)2 + 7(0))

= (8 − 6 + 14) − (0) = 16

∫ (2𝑥2 + 4𝑥 − 3) ⅆ𝑥3

1

= [2

3𝑥3 + 2𝑥2 + 3𝑥]

0

2

= (2

3(3)3 + 2(3)2 + 3(3)) − (

2

3(1)3 + 2(1)2 + 3(1))

= (18

3+ 18 + 9) − (

2

3+ 2 + 3)

= (18

3+ 27) − (

2

3+ 5)

= 27 − 5 +18

3−2

3

= 22 +16

3

= 22 + 51

3

= 271

3



9. Nilai dari

π2

1

0

cos32sin2 dxxx ....

A. −5

B. −1

C. 0

D. 1

E. 2

10. Nilai dari

π2

1

0

cos2sin3 dxxx ....

A. −2

B. −1

C. 0

D. 1

E. 2

11. Nilai dari 2

π

0

)2sin( dxx ....

A. −2

B. −1

C. 0

D. 2

E. 4

12. Nilai dari

π3

1

0

)cos32(sin dxxx ....

A. 324

3

B. 334

3

C. 3214

1

D. 3214

2

E. 3214

3


∫ (2 sin 2𝑥 − 3 cos 𝑥)

𝜋2

0

ⅆ𝑥 = [− cos 2𝑥 − 3 sin 𝑥]0

12𝜋

= (−cos 𝜋 − 3 sin1

2𝜋) − (− cos 0 − 3 sin 0)

= (1 − 3) − (−1 − 0)= −2 + 1= −1

∫ (3 sin 2𝑥 − cos 𝑥) ⅆ𝑥

12𝜋

0

= [−3

2cos 2𝑥 − sin 𝑥]

0

12𝜋

= (−3

2cos𝜋 − sin

1

2𝜋) − (−

3

2cos 0 − sin 0)

= (−3

2− 1) − (−

3

2− 0)

= 2

∫ sin(2𝑥 − 𝜋) ⅆ𝑥

𝜋2

0

= [−1

2cos(2𝑥 − 𝜋)]

0

𝜋2

= (−1

2cos 0) − (−

1

2cos(−𝜋))

= (−1

2) − (

1

2)

= 1

TRIK SUPERKILAT:

∫ sin(2𝑥 − 𝜋) ⅆ𝑥

𝜋2

0

= ∫ −sin(2𝑥) ⅆ𝑥

𝜋2

0

= [1

2cos(2𝑥)]

0

𝜋2

= 1

∫ (sin 2𝑥 + 3 cos 𝑥) ⅆ𝑥

13𝜋

0

= [−1

2cos 2𝑥 + 3 sin 𝑥]

0

13𝜋

= (−1

2cos 240° + 3 sin 60°) − (−

1

2cos 0° + 3 sin 0°)

= (−1

2(−1

2) +

3

2√3) − (−

1

2+ 0)

=1

4+3

2√3 +

1

2

=3

4+3

2√3

=3

4(1 + 2√2)






5. 4. Menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral.

Aplikasi Integral

Luas Daerah Volume Benda Putar

Luas Daerah Dibatasi Kurva Diputar Mengelilingi Sumbu X

Diputar Mengelilingi Sumbu Y

Volume Benda Antara Dua Kurva

Luas Daerah Dibatasi Dua Kurva

𝐿 = ∫ 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

𝑦

𝑥 = 𝑎

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑥 𝑥 = 𝑏

𝐿 = − ∫ 𝑓(𝑦)

𝑑

𝑐

𝑑𝑦

𝑥

𝑥 = 𝑓(𝑦) 𝑦

𝑦 = 𝑑

𝑦 = 𝑐

𝐿 = − ∫ 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑥

𝑦

𝑥 = 𝑎 𝑥 = 𝑏

𝐿 = ∫ 𝑓(𝑦)

𝑑

𝑐

𝑑𝑦

𝑦 = 𝑑

𝑥 = 𝑓(𝑦)

𝑥

𝑦

𝑦 = 𝑐

𝐿 = − ∫ 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)

𝑐

𝑏

𝑑𝑥

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑥

𝑦

𝑥 = 𝑎

𝑥 = 𝑏

𝑥 = 𝑐

𝐿 = ∫[𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦)]

𝑑

𝑐

𝑑𝑦

𝑦 = 𝑐

𝑦 = 𝑑

𝑥1 = 𝑓(𝑦)

𝑥

𝑦 𝑥2 = 𝑔(𝑦)

𝐿 = ∫[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

𝑥 = 𝑎 𝑥 = 𝑏

𝑦1 = 𝑓(𝑥)

𝑥

𝑦

𝑦2 = 𝑔(𝑥)

𝑥 = 𝑎

𝑉 = 𝜋 ∫(𝑓(𝑥))2

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑥

𝑦

𝑥 = 𝑏

𝑉 = 𝜋 ∫(𝑓(𝑦))2

𝑑

𝑐

𝑑𝑦 𝑦 = 𝑐

𝑦 = 𝑑

𝑥 = 𝑓(𝑦)

𝑥

𝑦

𝑉 = 𝜋 ∫ [(𝑓(𝑥))2

− (𝑔(𝑥))2

]

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

𝑥 = 𝑎

𝑦1 = 𝑓(𝑥)

𝑥

𝑦

𝑥 = 𝑏

𝑦2 = 𝑔(𝑥)

𝑦 = 𝑐

𝑥2 = 𝑔(𝑦)

𝑥

𝑦

𝑦 = 𝑑

𝑥1 = 𝑓(𝑦)

𝑉 = 𝜋 ∫ [(𝑓(𝑥))2

− (𝑔(𝑥))2

]

𝑑

𝑐

𝑑𝑥



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Integral (Luas Daerah)

Luas Daerah

Dibatasi Diketahui Garis Memotong Dua Kurva Lebar dan Tinggi Kurva di Titik Puncak

𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 adalah nilai diskriminan persamaan kuadrat: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Persamaan kuadrat tersebut diperoleh dari persekutuan kedua kurva.

𝐿 =𝐷√𝐷

6𝑎2

𝐿 =2

3× Lebar × Tinggi

Lebar

Tinggi

𝐿 =1

6× Lebar × Tinggi

Lebar

Tinggi

𝐿𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 =1

3𝑎𝑏

𝐿𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 =2

3𝑎𝑏

𝑎

𝑏

X

Y

X

Y

X

Y

(𝑎 , 𝑏)

𝐿𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 =1

6𝑎𝑏

𝐿𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 =1

2𝑎𝑏

𝑎

𝑏

X

Y (𝑎 , 𝑏)



Contoh Soal 1a:

Luas daerah yang dibatasi parabola 𝑦 = 8 − 𝑥2 dan garis 𝑦 = 2𝑥 adalah ....

a. 36 satuan luas

b. 411

3 satuan luas

c. 412

3 satuan luas

d. 46 satuan luas

e. 462

3 satuan luas

Pembahasan:

Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:

Titik potong parabola dengan garis adalah: 𝑦1 = 𝑦2

⇒ 2𝑥 = 8 − 𝑥2

⇔ 2𝑥 − (8 − 𝑥2) = 0

⇔ 2𝑥 − 8 + 𝑥2 = 0⇔ 𝑥2 + 2𝑥 − 8 = 0⇔ (𝑥 + 4)(𝑥 − 2) = 0⇔ 𝑥 + 4 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0⇔ 𝑥 = −4 atau 𝑥 = 2

Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik 𝑥 = −4 dan 𝑥 = 2. Titik potong tersebut merupakan batas integrasi untuk mencari luas daerah.

Jadi rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:

𝐿 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥2

−4

Nah, sekarang kita menentukan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥). Pada interval batas integrasi −4 ≤ 𝑥 ≤ 2, berlaku 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥). Maka dengan melihat sketsa grafik, jelas terlihat bahwa:

𝑓(𝑥) = 8 − 𝑥2 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥

Sehingga rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:

𝐿 = ∫ [(8 − 𝑥2) − (2𝑥)] 𝑑𝑥2

−4

Oke, sekarang kita hitung luasnya menggunakan konsep integral tertentu.

𝐿 = ∫ [(8 − 𝑥2) − (2𝑥)] 𝑑𝑥2

−4

= ∫ (−𝑥2 − 2𝑥 + 8) 𝑑𝑥2

−4

= [−1

3𝑥3 − 𝑥2 + 8𝑥]

−4

2

= (−1

3(2)3 − (2)2 + 8(2)) + (−

1

3(−4)3 − (−4)2 + 8(−4))

= (−8

3− 4 + 16) − (

64

3− 16 − 32)

= (−8 − 12 + 48

3) − (

64 − 48 − 96

3)

=28

3− (−

80

3)

=28

3+

80

3

=108

3= 36 satuan luas

X

Y 𝑦1 = 2𝑥

𝑦2 = 8 − 𝑥2



Contoh Soal 1b:

Luas daerah yang dibatasi parabola 𝑦 = 8 − 𝑥2 dan garis 𝑦 = 2𝑥 adalah ....

a. 36 satuan luas

b. 411

3 satuan luas

c. 412

3 satuan luas

d. 46 satuan luas

e. 462

3 satuan luas

Pembahasan TRIK SUPERKILAT:

Langkahnya seperti cara mencari titik potong atau titik persekutuan kedua kurva. Titik potong parabola dengan garis adalah:

𝑦1 = 𝑦2

⇒ 2𝑥 = 8 − 𝑥2

⇔ 2𝑥 − (8 − 𝑥2) = 0

⇔ 2𝑥 − 8 + 𝑥2 = 0⇔ 𝑥2 + 2𝑥 − 8 = 0⇔ (𝑥 + 4)(𝑥 − 2) = 0⇔ 𝑥 + 4 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0⇔ 𝑥 = −4 atau 𝑥 = 2

Dari persamaan kuadrat 𝑥2 + 2𝑥 − 8 = 0, diperoleh nilai diskriminan:

𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ⇒ 𝐷 = (2)2 − 4(1)(−8)= 4 + 32= 36

Sehingga luas daerah bisa dihitung menggunakan rumus cepat berikut:

𝐿 =𝐷√𝐷

6𝑎2=

36√36

6(1)2=

36 × 6

6= 36 satuan luas

Stop sampai sini aja. Persamaan kuadrat ini yang akan dicari nilai diskriminannya.



Contoh Soal 2a:

Luas daerah yang dibatasi kurva 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 𝑥 + 2 , sumbu Y di kuadran I adalah ....

a. 2

3 satuan luas

b. 4

3 satuan luas

c. 6

3 satuan luas

d. 8

3 satuan luas

e. 10

3 satuan luas

Pembahasan:



⇒ 𝑥2 = 𝑥 + 2⇔ 𝑥2 − (𝑥 + 2) = 0

⇔ 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0⇔ (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 0⇔ 𝑥 + 1 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0⇔ 𝑥 = −1 atau 𝑥 = 2

Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik 𝑥 = −1 dan 𝑥 = 2. Batas integrasi untuk mencari luas daerah adalah garis 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 2.

Jadi rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:

𝐿 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥2

0

Nah, sekarang kita menentukan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥). Pada interval batas integrasi 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, berlaku 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥). Maka dengan melihat sketsa grafik, jelas terlihat bahwa:

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥2

Sehingga rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:

𝐿 = ∫ [(𝑥 + 2) − (𝑥2)] 𝑑𝑥2

0

Oke, sekarang kita hitung luasnya menggunakan konsep integral tertentu.

𝐿 = ∫ [(𝑥 + 2) − (𝑥2)] 𝑑𝑥2

0

= ∫ (−𝑥2 + 𝑥 + 2) 𝑑𝑥2

0

= [−1

3𝑥3 +

1

2𝑥2 + 2𝑥]

0

2

= (−1

3(2)3 +

1

2(2)2 + 2(2)) + (−

1

3(0)3 +

1

2(0)2 + 2(0))

= (−8

3+ 2 + 4) − (0)

=−8 + 6 + 12

3

=10

3 satuan luas

X

Y

𝑦2 = 𝑥 + 2 𝑦1 = 𝑥2



Contoh Soal 2b:

Luas daerah yang dibatasi kurva 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 𝑥 + 2 , sumbu Y di kuadran I adalah ....

a. 2

3 satuan luas

b. 4

3 satuan luas

c. 6

3 satuan luas

d. 8

3 satuan luas

e. 10

3 satuan luas




⇒ 𝑥2 = 𝑥 + 2⇔ 𝑥2 − (𝑥 + 2) = 0

⇔ 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0⇔ (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 0⇔ 𝑥 + 1 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0⇔ 𝑥 = −1 atau 𝑥 = 2

Jadi, kita bisa menggunakan TRIK SUPERKILAT untuk menyelesaikan soal tersebut, dengan langkah berikut:

= −

{Luas daerah arsir} = {2

3 luas segiempat, alas 2 dan tinggi 4} – {luas segitiga, alas 2 dan tinggi 4 − 2 = 2}

𝐿𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟 =2

3𝐿□ − 𝐿∆

=2

3(2)(4) −

1

2(2)(2)

=16

3− 2

=16 − 6

3

=10

3 satuan luas

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_20.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Aplikasi Integral ini….

Y

X

𝑦2 = 𝑥 + 2

2

4

2

𝑦1 = 𝑥2

2

4

2

Y

X

2

4

2

Y

X

2

4

2

Y

X





TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Integral (Volume Benda Putar)

Volume Benda Putar

Dibatasi Kurva dan Garis Sumbu

𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 adalah nilai diskriminan persamaan kuadrat: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Persamaan kuadrat tersebut adalah persamaan kurva pada soal.

X

𝐿 =𝐷2√𝐷

30𝑎3 𝜋



Contoh Soal 1a:

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X adalah ....

a. 8

15𝜋 satuan volume

b. 12


c. 16


d. 20


e. 24


Pembahasan:


Titik potong parabola dengan sumbu X adalah: 𝑦 = 0

⇒ 𝑥2 − 2𝑥 = 0⇔ 𝑥(𝑥 − 2) = 0⇔ 𝑥 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0⇔ 𝑥 = 0 atau 𝑥 = 2

Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 2. Titik potong tersebut merupakan batas integrasi untuk mencari volume benda putar.

Jadi rumus integral untuk mencari volume benda putar adalah sebagai berikut:

𝐿 = 𝜋 ∫ [𝑓(𝑥)]2 𝑑𝑥2

0

Nah, karena hanya dibatasi sebuah kurva maka jelas bahwa: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥

Sehingga rumus integral untuk mencari volume benda putar adalah sebagai berikut:

𝐿 = 𝜋 ∫ [(𝑥2 − 2𝑥)]2 𝑑𝑥2

0

Oke, sekarang kita hitung volumenya menggunakan konsep integral tertentu.

𝐿 = 𝜋 ∫ [(𝑥2 − 2𝑥)]2 𝑑𝑥2

0

= 𝜋 ∫ (𝑥4 − 4𝑥3 + 4𝑥2) 𝑑𝑥2

0

= 𝜋 [1

5𝑥5 − 𝑥4 +

4

3𝑥3]

0

2

= 𝜋 [(1

5(2)5 − (2)4 +

4

3(2)3) + (

1

5(0)5 − (0)4 +

4

3(0)3)]

= 𝜋 [(32

5− 16 +

32

3) − (0)]

= 𝜋 [96 − 240 + 160

15]

=16


X

Y 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥



Contoh Soal 1b:

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X adalah ....

a. 8


b. 12


c. 16


d. 20


e. 24



Langkahnya seperti cara mencari titik potong atau titik persekutuan kurva dengan sumbu putar. Titik potong parabola dengan garis adalah:

𝑦 = 0

⇒ 𝑥2 − 2𝑥 = 0⇔ 𝑥(𝑥 − 2) = 0⇔ 𝑥 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0⇔ 𝑥 = 0 atau 𝑥 = 2

Dari persamaan kuadrat 𝑥2 − 2𝑥 = 0, diperoleh nilai diskriminan:

𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ⇒ 𝐷 = (2)2 − 4(1)(0)= 4

Sehingga volume benda putar bisa dihitung menggunakan rumus cepat berikut:

𝐿 =𝐷2√𝐷

30𝑎3 𝜋 =

(4)2√4

30(1)3 𝜋 =

16 × 2

30𝜋 =

16

15𝜋 satuan volume.

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_20.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Aplikasi Integral ini….

Stop sampai sini aja. Persamaan kuadrat ini yang akan dicari nilai diskriminannya.

15






1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 342 xxy dan xy 3 adalah ....

A. 6

41 satuan luas

B. 3

19 satuan luas

C. 2

9 satuan luas

D. 3

8 satuan luas

E. 6

11 satuan luas

2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 432 xxy dan xy 1 adalah ....

A. 3

2 satuan luas

B. 3

4 satuan luas

C. 4

7 satuan luas

D. 3

8 satuan luas

E. 3

15 satuan luas

3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 342 xxy dan 1 xy adalah ....

A. 6

41 satuan luas

B. 3

19 satuan luas

C. 2

9 satuan luas

D. 3

8 satuan luas

E. 6

11 satuan luas

TRIK SUPERKILAT: 𝑦1 = 𝑦2

⇒ 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 3 − 𝑥⇔ 𝑥2 − 3𝑥 = 0

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 9

𝐿 =𝐷√𝐷

6𝑎2=

9√9

6 ∙ 12

=27

6

=9

2 satuan luas

Luas daerah diarsir:

𝐿 = ∫ 𝑦1 − 𝑦2

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

= ∫ (3 − 𝑥) − (𝑥2 − 4𝑥 + 3)3

0

𝑑𝑥

= ∫ (−𝑥2 + 3𝑥)3

0

𝑑𝑥

= [−1

3𝑥3 +

3

2𝑥2]

0

3

= (−1

3(3)3 +

3

2(3)2) − (−

1

3(0)3 +

3

2(0)2)

= (−9 +27

2) − (0)

=9

2 satuan luas

TRIK SUPERKILAT: Pembahasan masih dilanjutkan dan akan diupdate setiap saat. Temukan update terbarunya dan selalu kunjungi http://pak-anang.blogspot.com

Y

X 3 1

3

𝑦 = 3 − 𝑥

𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3


⇒ 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 𝑥 − 1⇔ 𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 9

𝐿 =𝐷√𝐷

6𝑎2=

9√9

6 ∙ 12

=27

6

=9

2 satuan luas


𝐿 = ∫ 𝑦1 − 𝑦2

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

= ∫ (𝑥 − 1) − (𝑥2 − 4𝑥 + 3)4

1

𝑑𝑥

= ∫ (−𝑥2 + 5𝑥 − 4)4

1

𝑑𝑥

= [−1

3𝑥3 +

5

2𝑥2 − 4𝑥]

1

4

= (−1

3(4)3 +

5

2(4)2 − 4(4)) − (−

1

3(1)3 +

5

2(1)2 − 4(1))

= (−64

3+

80

2− 16) − (−

1

3+

5

2− 4)

=9

2 satuan luas

Y

X 4

3

3

𝑦 = 𝑥 − 1

𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3

-1 1


⇒ 𝑥2 + 3𝑥 + 4 = 1 − 𝑥⇔ 𝑥2 + 4𝑥 + 3 = 0

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 4

𝐿 =𝐷√𝐷

6𝑎2=

4√4

6 ∙ 1

=8

6

=4

3 satuan luas


𝐿 = ∫ 𝑦1 − 𝑦2

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

= ∫ (1 − 𝑥) − (𝑥2 + 3𝑥 + 4)−1

−3

𝑑𝑥

= ∫ (−𝑥2 − 4𝑥 − 3)−1

−3

𝑑𝑥

= [−1

3𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥]

−3

−1

= (−1

3(−1)3 − 2(−1)2 − 3(−1)) − (−

1

3(−3)3 − 2(−3)2 − 3(−3))

= (1

3− 2 + 3) − (9 − 18 + 9)

=4

3 satuan luas

Y

X

4

-1 -3 𝑦 = 1 − 𝑥

𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 + 4

2

1




4. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva 2xy dan 34 xy diputar 360°

mengelilingi sumbu X adalah ....

A. π15

1113 satuan volume

B. π15

413 satuan volume

C. π15

1112 satuan volume

D. π15

712 satuan volume

E. π15

412 satuan volume

5. Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva 2xy dan xy 2 diputar

mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah ....

A. π15

113 satuan volume

B. π15

44 satuan volume

C. π15

46 satuan volume

D. π15

66 satuan volume

E. π15

117 satuan volume

6. Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva 2xy dengan xy 2 diputar

mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah ....

A. π2 satuan volume

B. π15

13 satuan volume

C. π15

44 satuan volume

D. π15

412 satuan volume

E. π15

214 satuan volume


Y

X

𝑦 = 4𝑥 − 3

𝒚 = 𝟑 − 𝒙

𝑦 = 𝑥2

𝒚

= 𝒙𝟐

− 𝟒𝒙 + 𝟑

Volume benda putar

𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑦12 − 𝑦2

2𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ (4𝑥 − 3)2 − (𝑥2)23

1

𝑑𝑥

= 𝜋 ∫ (4𝑥 − 3)2 − (𝑥2)23

1

𝑑𝑥

= 𝜋 ∫ (−𝑥4 + 16𝑥2 − 24𝑥 + 9)3

1

𝑑𝑥

= [−1

5𝑥5 +

16

3𝑥3 − 12𝑥2 + 9𝑥]

1

3

= (−1

5(3)5 +

16

3(3)3 − 12(3)2 + 9(3))

− (−1

5(1)5 +

16

3(1)3 − 12(1)2 + 9(1))

= (−243

5+ 144 − 108 + 27)

− (−1

5+

16

3− 12 + 9)

= (216

15) − (

32

15)

=184

15= 12

4

5 satuan volume

3 1

Volume benda putar

𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑦12 − 𝑦2

2𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = − 𝜋 ∫ (−𝑥2)2 − (−2𝑥)22

0

𝑑𝑥

= − 𝜋 ∫ (𝑥4 − 4𝑥2)2

0

𝑑𝑥

= −𝜋 [1

5𝑥5 −

4

3𝑥3]

0

2

= −𝜋 [(1

5(2)5 −

4

3(2)3) − (

1

5(0)5 −

4

3(0)3)]

= −𝜋 (32

5−

32

3)

= −𝜋 (96 − 160

15)

=64

15𝜋 = 4

4


Y

X

𝑦 = −2𝑥

𝒚 = 𝟑 − 𝒙

𝑦 = −𝑥2

𝒚

= 𝒙𝟐

− 𝟒𝒙 + 𝟑

2

-4

Volume benda putar

𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑦12 − 𝑦2

2𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = − 𝜋 ∫ (2𝑥)2 − (𝑥2)22

0

𝑑𝑥

= − 𝜋 ∫ (4𝑥2 − 𝑥4)2

0

𝑑𝑥

= −𝜋 [4

3𝑥3 −

1

5𝑥5]

0

2

= −𝜋 [(4

3(2)3 −

1

5(2)5) − (

4

3(0)3 −

1

5(0)5)]

= −𝜋 (32

5−

32

3)

= −𝜋 (96 − 160

15)

=64

15𝜋 = 4

4


Y

X

𝑦 = 𝑥2

𝒚 = 𝟑 − 𝒙

𝑦 = 2𝑥

𝒚

= 𝒙𝟐

− 𝟒𝒙 + 𝟑

2

4






SKL 6. Mengolah, menyajikan dan menafsirkan data, serta mampu memahami kaidah pencacahan, permutasi, kombinasi, peluang kejadian dan mampu menerapkannya dalam pemecahan masalah.

6. 1. Menghitung ukuran pemusatan atau ukuran letak dari data dalam bentuk tabel, diagram, atau grafik.

Membaca Data

Tabel Diagram Grafik

Tahun Banyak Siswa

2008 500

2009 400

2010 600

2011 750

2012 650

Tabel Distribusi Poligon Frekuensi Frekuensi

Berat (kg)

Banyak Siswa

40 – 44 3

45 – 49 7

50 – 54 13

55 – 59 11

60 – 64 6

Batas Batas

−0,5 Bawah Atas +0,5 60 64

1

2(60+64)

Nilai Tengah Kelas 62 (64,5 − 59,5) Panjang Interval Kelas 5 Keterangan: Pada kelas interval 60 – 64, Pada kelas interval 60 – 64, Pada kelas interval 60 – 64,

60 adalah batas bawah. 60 − 0,5 = 59,5 adalah tepi bawah. 64,5 − 69,5 = 5 adalah panjang interval kelas.

64 adalah batas atas. 64 + 0,5 = 64,5 adalah tepi atas. 1

2(60 + 64) = 62 adalah nilai tengah kelas

0

200

400

600

800

2008 2009 2010 2011 2012

Ban

yak

Sis

wa

Tahun

0

200

400

600

800

2008 2009 2010 2011 2012

Ban

yak

Sis

wa

Tahun

3

7

13

11

6

0

2

4

6

8

10

12

14

40

-44

45

-49

50

-54

55

-59

60

-64

Ban

yak

Sis

wa

Berat (kg)

0

2

4

6

8

10

12

14

42

47

52

57

62

Ban

yak

Sis

wa

Berat (kg)

Tepi Bawah

59,5

Tepi Atas 64,5

Histogram



Histogram dan Poligon Frekuensi

Histogram

Kelas Interval Nilai Tepi Kelas Nilai Tengah Kelas “Lebar histogram menyatakan “Batas histogram menyatakan “Titik tengah histogram kelas interval” tepi atas dan tepi bawah kelas” adalah nilai tengah kelas”

Poligon Frekuensi

Poligon Frekuensi “Titik tengah histogram dihubungkan dengan garis”

3

7

13

11

6

0

2

4

6

8

10

12

14

40

-44

45

-49

50

-54

55

-59

60

-64

Ban

yak

Sis

wa

Berat (kg)

3

7

13

11

6

0

2

4

6

8

10

12

14B

anya

k S

isw

a

Berat (kg)

3

7

13

11

6

0

2

4

6

8

10

12

14

42

47

52

57

62

Ban

yak

Sis

wa

Berat (kg)

0

2

4

6

8

10

12

14

42

47

52

57

62

Ban

yak

Sis

wa

Berat (kg)



Distribusi Kumulatif dan Ogive

Distribusi Kumulatif

Tabel Distribusi Tabel Distribusi Tabel Distribusi Frekuensi Frekuensi Kumulatif Frekuensi Kumulatif Kurang Dari Lebih Dari “Kurang dari Tepi Atas” “Lebih dari Tepi Bawah”

Berat (kg)

Banyak Siswa Berat (kg)

Cara mencari 𝑓𝑘 ≤

𝑓𝑘 ≤ Berat (kg)

Cara mencari 𝑓𝑘 ≥ 𝑓𝑘 ≥

40 – 44 3 ≤ 44,5 3 3 ≥ 39,5 6+11+13+7+3 40

45 – 49 7 ≤ 49,5 3+7 10 ≥ 44,5 6+11+13+7 37

50 – 54 13 ≤ 54,5 3+7+13 23 ≥ 49,5 6+11+13 30

55 – 59 11 ≤ 59,5 3+7+13+11 34 ≥ 54,5 6+11 17

60 – 64 6 ≤ 64,5 3+7+13+11+13 40 ≥ 59,5 6 6

Ogive

Ogive Positif Ogive Negatif “Ogive Naik” “Ogive Turun”

Manfaat dan Kegunaan Digunakan untuk menentukan ukuran letak seperti Median, Kuartil, Desil, maupun Persentil

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Fre

ku

ensi

Ku

nu

lati

f

Berat (kg)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Fre

ku

ensi

Ku

nu

lati

f

Berat (kg)



Ukuran Pemusatan

Data Tunggal

Mean Median Modus

“Jumlah nilai dibagi banyak data” “Nilai tengah data terurut” “Data paling sering muncul”

�̅� =∑𝑥𝑖

𝑛

Rata-rata dari 2, 5, 6, 3, 5, 4, 7, 8

adalah:

Rata-rata adalah jumlah nilai dibagi dengan banyaknya data.

Hitung jumlah dari semua data

lalu bagi dengan banyaknya data.

�̅� =∑𝑥𝑖

𝑛

=2 + 5 + 6 + 3 + 5 + 4 + 7 + 8

8

=40

8= 5

�̅� = 𝑥�̅� +∑𝑑𝑖

𝑛

dimana, 𝑑𝑖 = (𝑥𝑖 − 𝑥�̅�) 𝑥�̅� = rataan sementara

Rata-rata dari 2, 5, 6, 3, 5, 4, 7, 8

adalah:

Misal kita memilih nilai rata-rata sementara adalah 𝑥�̅� = 5,

maka 𝑑𝑖 = 𝑥𝑖 − 5. Artinya semua data dikurangi 5.

Sehingga nilai rata-ratanya adalah:

𝑥𝑖 2 5 6 3 5 4 7 8 𝑑𝑖 −3 0 1 −2 0 −1 2 3

�̅� = 𝑥�̅� +∑𝑑𝑖

𝑛

= 5 +−3 + 1 − 2 − 1 + 2 + 3

8

= 5 +0

8= 5 + 0= 5

𝑀𝑒 = 𝑥𝑛+12

, untuk 𝑛 ganjil

Nilai tengah dari data

6, 9, 3, 9, 4 adalah:

Terdapat 5 buah data (𝑛 = 5), artinya jumlah data ganjil.

Jangan lupa, data harus diurutkan terlebih dahulu dari kecil ke besar.

3, 4, 6, 9, 9

𝑀𝑒 = 𝑥

5+12

= 𝑥62

= 𝑥3

= 6

𝑀𝑒 =

𝑥𝑛2

+ 𝑥𝑛2

+1

2, untuk 𝑛 genap

Nilai tengah dari data 7, 2, 9, 8, 5, 4 adalah:

Terdapat 6 buah data (𝑛 = 6),

artinya jumlah data genap.

Jangan lupa, data harus diurutkan terlebih dahulu dari kecil ke besar.

2, 4, 5, 7, 8, 9

Median adalah rata-rata kedua bilangan ini

𝑀𝑒 =

𝑥𝑛2

+ 𝑥𝑛2

+1

2

=𝑥3 + 𝑥4

2

=5 + 7

2

=12

2= 6

Modus dari data berikut 7, 4, 8, 5, 3, 8, 6, 5, 5, 3 adalah:

Frekuensi dari setiap data:

Data 3 4 5 6 7 8

Frekuensi 2 1 3 1 1 2

Atau dengan mengurutkan data:

3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8

Karena data 5 muncul 3 kali, maka nilai modus = 5



Data 4 5 6 7 8 9

Frekuensi 1 1 3 1 3 1


4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9

Perhatikan, karena data 6 dan 8 sama-sama muncul 3 kali,

maka modus = 6 dan 8



Data 4 5 6 7 8

Frekuensi 2 2 2 2 2


4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8

Karena data seimbang, semua data sama-sama muncul sebanyak 2 kali, maka modus tidak ada.



Ukuran Pemusatan

Data Berkelompok

Mean Median Modus

“Jumlah nilai dibagi banyak data” “Nilai tengah data terurut” “Data paling sering muncul”

�̅� =∑𝑓𝑖𝑥𝑖

∑𝑓𝑖

Data 𝒇𝒊 𝑥𝑖 𝒇𝒊𝒙𝒊

40 – 44 3 42 126

45 – 49 7 47 329

50 – 54 13 52 676

55 – 59 11 57 627

60 – 64 6 62 372

Jumlah 40 2130

�̅� =∑𝒇𝒊𝒙𝒊

∑𝒇𝒊=

𝟐𝟏𝟑𝟎

𝟒𝟎

= 5310

40= 53,25

�̅� = 𝑥�̅� +∑𝑓𝑖𝑑𝑖

∑𝑓𝑖

dimana, 𝑑𝑖 = (𝑥𝑖 − 𝑥�̅�) 𝑥�̅� = rataan sementara

Misal 𝑥�̅� = 52, maka

𝑑𝑖 = (𝑥𝑖 − 52).

𝒇𝒊 𝑥𝑖 𝒅𝒊 𝒇𝒊𝒅𝒊

3 42 −10 −30

7 47 −5 −35

13 52 0 0

11 57 5 55

6 62 10 60

40 Jumlah 50

�̅� = 𝑥�̅� +∑𝒇𝒊𝒅𝒊

∑𝒇𝒊= 52 +

𝟓𝟎

𝟒𝟎= 52 + 1,25= 53,25

𝑀𝑒 = 𝑇𝑏 + (

12 𝑛 − 𝑓𝑘

𝑓𝑀𝑒

) ∙ 𝑝

Data 𝒇𝒊 Data 𝒇𝒌

≤

40 – 44 3 ≤ 44,5 3

45 – 49 7 ≤ 𝟒𝟗, 𝟓 10

50 – 54 13 ≤ 54,5 23

55 – 59 11 ≤ 59,5 34

60 – 64 6 ≤ 64,5 40

Jumlah 40

Jumlah data sebanyak 𝒏 = 𝟒𝟎,

sehingga diperoleh 𝟏

𝟐𝒏 = 𝟐𝟎.

Median terletak pada

kelas interval yang memuat data ke-20, yaitu kelas ke-3.

Jadi, letak kelas median yaitu pada kelas interval 50 – 54, dengan panjang interval 5, serta memiliki frekuensi 13

dan nilai tepi bawahnya 49,5.

Sehingga, frekuensi kumulatif kurang dari 49,5 adalah 10.

𝑀𝑒 = 𝑇𝑏 + (

𝟏𝟐 𝒏 − 𝒇𝒌

𝒇𝑴𝒆

) ∙ 𝒑

= 𝟒𝟗, 𝟓 + (𝟐𝟎 − 𝟏𝟎

𝟏𝟑) ∙ 𝟓

= 49,5 +50

13= 49,5 + 3,85= 53,35

𝑀𝑜 = 𝑇𝑏 + (𝑎

𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑝

Data 𝒇𝒊

40 – 44 3

45 – 49 7

50 – 54 13

55 – 59 11

60 – 64 6

Modus terletak pada

kelas interval yang memuat data dengan jumlah frekuensi terbesar.

Data dengan jumlah frekuensi

terbesar yaitu sebanyak 13 data terletak pada kelas interval ke-3.

Jadi, letak kelas modus yaitu pada kelas interval 50 – 54, dengan panjang interval 5.

Selisih frekuensi kelas modus

terhadap kelas interval sebelumnya adalah 𝒂 = 𝟏𝟑 − 𝟕 = 𝟔.

Selisih frekuensi kelas modus

terhadap kelas interval sesudahnya adalah 𝒃 = 𝟏𝟑 − 𝟏𝟏 = 𝟐.

𝑀𝑜 = 𝑇𝑏 + (𝒂

𝒂 + 𝒃) ∙ 𝒑

= 49,5 + (𝟔

𝟔 + 𝟐) ∙ 𝟓

= 49,5 +30

8= 49,5 + 3,75= 53,25

𝒃 = 𝟏𝟑 − 𝟏𝟏 = 𝟐

𝒂 = 𝟏𝟑 − 𝟕 = 𝟔



Ukuran Letak

Data Berkelompok

Quartil Desil Persentil

“Membagi 4 bagian sama besar “Membagi 10 bagian sama besar “Membagi 100 bagian sama besar dari data terurut” dari data terurut” dari data terurut”

𝑄𝑖 = 𝑇𝑏 + (

𝑖4

𝑛 − 𝑓𝑘

𝑓𝑄𝑖

) ∙ 𝑝


≤

40 – 44 3 ≤ 44,5 3

45 – 49 7 ≤ 49,5 10

50 – 54 13 ≤ 𝟓𝟒, 𝟓 23

55 – 59 11 ≤ 59,5 34

60 – 64 6 ≤ 64,5 40

Jumlah 40

Misal ditanyakan nilai 𝑄3 = ?


sehingga diperoleh 𝟑

𝟒𝒏 = 𝟑𝟎.

𝑄3 terletak pada


Jadi, letak kelas 𝑄3 yaitu

pada kelas interval 55 – 59, dengan panjang interval 5, serta memiliki frekuensi 11



𝑄3 = 𝑇𝑏 + (

𝟑𝟒 𝒏 − 𝒇𝒌

𝒇𝑸𝟑

) ∙ 𝒑

= 𝟓𝟒, 𝟓 + (𝟑𝟎 − 𝟐𝟑

𝟏𝟏) ∙ 𝟓

= 54,5 +35

11= 54,5 + 3,18= 57,68

𝐷𝑖 = 𝑇𝑏 + (

𝑖10

𝑛 − 𝑓𝑘

𝑓𝐷𝑖

) ∙ 𝑝


≤

40 – 44 3 ≤ 44,5 3

45 – 49 7 ≤ 49,5 10

50 – 54 13 ≤ 𝟓𝟒, 𝟓 23

55 – 59 11 ≤ 59,5 34

60 – 64 6 ≤ 64,5 40

Jumlah 40

Misal ditanyakan nilai 𝐷7 = ?


sehingga diperoleh 𝟕

𝟏𝟎𝒏 = 𝟐𝟖.

𝐷7 terletak pada


Jadi, letak kelas 𝐷7 yaitu




𝐷7 = 𝑇𝑏 + (

𝟕𝟏𝟎 𝒏 − 𝒇𝒌

𝒇𝑫𝟕

) ∙ 𝒑

= 𝟓𝟒, 𝟓 + (𝟐𝟖 − 𝟐𝟑

𝟏𝟏) ∙ 𝟓

= 54,5 +25

11= 54,5 + 2,27= 56,77

𝑃𝑖 = 𝑇𝑏 + (

𝑖100

𝑛 − 𝑓𝑘

𝑓𝑃𝑖

) ∙ 𝑝


≤

40 – 44 3 ≤ 44,5 3

45 – 49 7 ≤ 49,5 10

50 – 54 13 ≤ 𝟓𝟒, 𝟓 23

55 – 59 11 ≤ 59,5 34

60 – 64 6 ≤ 64,5 40

Jumlah 40

Misal ditanyakan nilai 𝑃75 = ?


sehingga diperoleh 𝟕𝟓

𝟏𝟎𝟎𝒏 = 𝟑𝟎.

𝑃75 terletak pada


Jadi, letak kelas 𝑃75 yaitu




𝑃75 = 𝑇𝑏 + (

𝟕𝟓𝟏𝟎𝟎 𝒏 − 𝒇𝒌

𝒇𝑷𝟕𝟓

) ∙ 𝒑

= 𝟓𝟒, 𝟓 + (𝟑𝟎 − 𝟐𝟑

𝟏𝟏) ∙ 𝟓

= 54,5 +35

11= 54,5 + 3,18= 57,68



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Statistika (Mean data berkelompok)

Cara cepat dan memahami ukuran pemusatan data adalah memahami terlebih dahulu konsep dasar dari mean. Mean atau nilai rata-rata diperoleh dengan menjumlahkan semua nilai lalu dibagi dengan banyaknya data. Ada 3 cara mencari mean (nilai rata-rata):

Mean Metode Deviasi Sistem Kode

“Menggunakan data sesungguhnya” “Menggunakan selisih data “Menggunakan sistem kode” terhadap rata-rata sementara”

�̅� =∑𝑓𝑖𝑥𝑖

∑𝑓𝑖

Data 𝒇𝒊 𝑥𝑖 𝒇𝒊𝒙𝒊

40 – 44 3 42 126

45 – 49 7 47 329

50 – 54 13 52 676

55 – 59 11 57 627

60 – 64 6 62 372

Jumlah 40 2130

�̅� =∑𝒇𝒊𝒙𝒊

∑𝒇𝒊=

𝟐𝟏𝟑𝟎

𝟒𝟎

= 5310

40= 53,25

�̅� = 𝑥�̅� +∑𝑓𝑖𝑑𝑖

∑𝑓𝑖


𝑑𝑖 = (𝑥𝑖 − 52).

Semua data dikurangi dengan rata-rata dugaan.

𝒇𝒊 𝑥𝑖 𝒅𝒊 𝒇𝒊𝒅𝒊

3 42 −10 −30

7 47 −5 −35

13 52 0 0

11 57 5 55

6 62 10 60

40 Jumlah 50

�̅� = 𝑥�̅� +∑𝒇𝒊𝒅𝒊

∑𝒇𝒊= 52 +

𝟓𝟎

𝟒𝟎= 52 + 1,25= 53,25

�̅� = 𝑥�̅� + (∑𝑓𝑖𝑢𝑖

∑𝑓𝑖) ∙ 𝑝


𝑢𝑖 =(𝑥𝑖 − 52)

𝑝

Bagi semua nilai 𝑑𝑖 dengan panjang interval kelas.

𝒇𝒊 𝑥𝑖 𝒖𝒊 𝒇𝒊𝒖𝒊

3 42 −2 −6

7 47 −1 −7

13 52 0 0

11 57 1 11

6 62 2 12

40 Jumlah 10

�̅� = 𝑥�̅� +∑𝒇𝒊𝒖𝒊

∑𝒇𝒊∙ 𝒑 = 52 +

𝟏𝟎

𝟒𝟎∙ 𝟓

= 52 +𝟓𝟎

𝟒𝟎= 52 + 1,25= 53,25



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Statistika (Modus data berkelompok)

Untuk data berbentuk tabel, letak modus adalah kelas interval data dengan frekuensi terbanyak, Atau untuk data berbentuk histogram, letak modus adalah kelas interval dengan batang yang paling tinggi. Perhatikan tabel distribusi frekuensi dan histogram berikut:

Tabel Distribusi Frekuensi

Berat (kg)

Banyak Siswa

40 – 44 3

45 – 49 7

50 – 54 13

55 – 59 11

60 – 64 6

Nah, konsep modus adalah perpotongan dari dua garis berikut pada histogram:

Tabel Distribusi Frekuensi

Berat (kg)

Banyak Siswa

40 – 44 3

45 – 49 7

50 – 54 13

55 – 59 11

60 – 64 6

Perhatikan, TRIK SUPERKILAT: karena ∠𝐵𝐹𝐴 = ∠𝐷𝐹𝐶 dan ∠𝐴𝐵𝐹 = ∠𝐶𝐹𝐷, Jadi, untuk mengingat maka ∆𝐴𝐹𝐵 sebangun dengan ∆𝐶𝐹𝐷. rumus modus gunakan cara ini:

Sehingga diperoleh perbandingan: 𝑀𝑜 = 𝑇𝑏 + (𝒂

𝒂+𝒃) 𝑝

𝒂 = selisih dengan kelas di atasnya𝒃 = selisih dengan kelas di bawahnya

Catatan: Biasanya tabel distribusi frekuensi disusun dari data terkecil ke terbesar.

3

7

13

11

6

0

2

4

6

8

10

12

14

40

-44

45

-49

50

-54

55

-59

60

-64

Ban

yak

Sis

wa

Berat (kg)

3

7

13

11

6

0

2

4

6

8

10

12

14

40

-44

45

-49

50

-54

55

-59

60

-64

Ban

yak

Sis

wa

Berat (kg)

Histogram

Histogram

Letak

Modus

𝒑

𝑇𝑏 𝑀𝑜

𝒂

𝒃

𝐴

𝐵 𝐶

𝐷

𝐸 𝐺 𝐹

𝒙

𝐹𝐸

𝐴𝐵=

𝐹𝐺

𝐶𝐷⇒

𝑥

𝑎=

𝑝 − 𝑥

𝑏⇔ 𝑏𝑥 = 𝑎(𝑝 − 𝑥)⇔ 𝑏𝑥 = 𝑎𝑝 − 𝑎𝑥⇔ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 𝑎𝑝

⇔ (𝑎 + 𝑏)𝑥 = 𝑎𝑝

⇔ 𝑥 = (𝑎

𝑎 + 𝑏) 𝑝

Jadi, nilai modus adalah: 𝑀𝑜 = 𝑇𝑏 + 𝑥


𝑎 + 𝑏) 𝑝



0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Fre

ku

ensi

Ku

nu

lati

f

Berat (kg)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Fre

ku

ensi

Ku

nu

lati

f

Berat (kg)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Statistika (Median data berkelompok)

Median adalah nilai tengah dari data terurut, maka otomatis kita harus mengurutkan data terlebih dahulu.

Pada data berkelompok, untuk mengurutkan data dapat dilakukan dengan membuat tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Dan secara grafik juga bisa ditentukan dengan menggambar kurva ogive positif.

Perhatikan tabel distribusi frekuensi, frekuensi kumulatif kurang dari, dan ogive positif di bawah ini:

Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Frekuensi Kurang Dari

Berat (kg)



𝑓𝑘 ≤

40 – 44 3 ≤ 44,5 3 3

45 – 49 7 ≤ 49,5 3+7 10

50 – 54 13 ≤ 𝟓𝟒, 𝟓 3+7+13 23

55 – 59 11 ≤ 59,5 3+7+13+11 34

60 – 64 6 ≤ 64,5 3+7+13+11+13 40

Misalkan terdapat data sebanyak 𝑛 buah, maka letak median adalah pada data ke - 1

2𝑛.

Karena banyakya data adalah 40 buah, maka 𝑛 = 40, sehingga data ke – 1

2𝑛 adalah terletak pada urutan ke-20.

Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Frekuensi Kurang Dari

Berat (kg)



𝑓𝑘 ≤

40 – 44 3 ≤ 44,5 3 3

45 – 49 7 ≤ 49,5 3+7 10

50 – 54 13 ≤ 54,5 3+7+13 23

55 – 59 11 ≤ 59,5 3+7+13+11 34

60 – 64 6 ≤ 64,5 3+7+13+11+13 40

Perhatikan, karena ∠𝐴𝐸𝐷 = ∠𝐴𝐵𝐶 dan ∠𝐴𝐷𝐸 = ∠𝐴𝐶𝐵, maka ∆𝐴𝐸𝐷 sebangun dengan ∆𝐴𝐵𝐶. Sehingga diperoleh perbandingan:

𝐴𝐸

𝐴𝐵=

𝐸𝐷

𝐵𝐶⇒

𝑥

𝑝=

12 𝑛 − 𝑓𝑘

𝑓𝑀𝑒

⇔ 𝑥 = (

12 𝑛 − 𝑓𝑘

𝑓𝑀𝑒) 𝑝

Jadi, nilai median adalah: 𝑀𝑒 = 𝑇𝑏 + 𝑥

𝑀𝑒 = 𝑇𝑏 + (

12 𝑛 − 𝑓𝑘

𝑓𝑀𝑒) 𝑝

Letak Median

𝟏

𝟐𝑛

𝟏

𝟐𝑛

Ogive Positif

Ogive Positif

𝐷

𝐶

𝐸 𝐴 𝐵

𝟏

𝟐𝑛 − 𝑓𝑘

𝒇𝑴𝒆

𝒑

𝒙

Letak

Median

𝒑

𝐷

𝟏

𝟐𝑛 − 𝑓𝑘

1

2𝑛

𝒇𝑴𝒆

𝐶

𝑇𝑏 𝑀𝑒

𝐸 𝑓𝑘 𝐴 𝐵

𝒙



Kesimpulan akhir TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Modus dan Median Data Berkelompok Setelah kita mempelajari konsep dasar dari cara menentukan nilai modus dan median untuk data berkelompok pada halaman sebelumnya, kini saatnya kita merangkum TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS dalam memperkuat konsep dasar Modus dan Median untuk data berkelompok tersebut ke dalam sebuah rangkaian konsep TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS yang mudah dimengerti yang disusun dalam tabel di bawah ini:

Modus Median

Persamaan

Ukuran Pemusatan, khususnya nilai Modus dan Median untuk data berkelompok, keduanya sebenarnya memiliki konsep awal yang sama.

𝑀𝑜 = 𝑇𝑏 + ( ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ) 𝑝 𝑀𝑒 = 𝑇𝑏 + (

? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ) 𝑝

TRIK SUPERKILAT

“Tepi bawah ditambah sebagian dari panjang interval”

Modus Median

Perbedaan

Untuk Modus, nilai perbandingan tersebut adalah selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelum modus

dibagi jumlah dari selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelum dan

sesudah modus.

Untuk Median, nilai perbandingan tersebut adalah selisih antara letak

median (1

2𝑛) dengan frekuensi

kumulatif sebelum kelas median dibagi dengan frekuensi kelas median itu

sendiri.

( 𝒂

𝒂 + 𝒃 ) (

𝟏𝟐

𝒏 − 𝒇𝒌

𝒇𝑴𝒆 )

TRIK SUPERKILAT

(atas

atas + bawah) (

letak median − 𝒇𝒌

𝒇𝑴𝒆 )

*) Catatan: Biasanya tabel distribusi frekuensi disusun dari data terkecil ke terbesar. Jadi 𝒂 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas di atasnya. Jadi 𝒃 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas di bawahnya.

**) Catatan: Letak median adalah setengah dari banyak data (1

2𝑛).

**) *)



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Ukuran Letak Data Berkelompok (Median, Kuartil, Desil dan Persentil) Ukuran Letak dari data berkelompok memiliki konsep yang sama persis dengan median data berkelompok. Ya!!!! Karena median adalah ukuran letak yang membagi data terurut menjadi dua bagian sama besar..

Median adalah ukuran letak yang membagi data menjadi 2 bagian yang sama besar. Nah, Kuartil adalah ukuran letak yang membagi data menjadi 4 bagian yang sama besar. Sementara, Desil adalah ukuran letak yang membagi data menjadi 10 bagian yang sama besar. Nah, Persentil adalah ukuran letak yang membagi data menjadi 100 bagian yang sama besar.

Ukuran Letak untuk data berkelompok tersebut dapat disusun ke dalam sebuah konsep TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS yang mudah dimengerti yang disusun dalam tabel di bawah ini:

Median Ukuran Letak (UL)

Persamaan

Ukuran Letak (Kuartil, Desil, dan Persentil) untuk data berkelompok, sebenarnya memiliki konsep awal yang sama dengan konsep nilai Median data berkelompok.

𝑀𝑒 = 𝑇𝑏 + (

𝐋𝐞𝐭𝐚𝐤𝐌𝐞𝐝𝐢𝐚𝐧

− 𝒇𝒌

𝒇Median) 𝑝 𝑈𝐿 = 𝑇𝑏 + (

𝐋𝐞𝐭𝐚𝐤𝐔𝐋 − 𝒇𝒌

𝒇UL) 𝑝

TRIK SUPERKILAT

“(Median 2), (Kuartil 4), (Desil 10), (Persentil 100)”

Median Kuartil Desil Persentil

Notasi 𝑀𝑒 𝑄𝑖 𝐷𝑖 𝑃𝑖

Membagi 𝑛 data terurut menjadi 𝑘 bagian yang

sama besar

𝑘 = 1 𝑘 = 4 𝑘 = 10 𝑘 = 100

Banyaknya UL 1 buah UL

(𝑀𝑒)

3 buah UL

(𝑄1, 𝑄2, 𝑄3)

9 buah UL

(𝐷1, … , 𝐷9)

99 buah UL

(𝑃1, … , 𝑃99)

Rumus Dasar 𝑼𝑳𝒊 = 𝑻𝒃 + (

𝒊𝒌

𝒏 − 𝒇𝒌

𝒇𝑼𝑳𝒊

) 𝒑

Perbedaan ( 𝟏𝟐 𝒏 − 𝒇𝒌

𝒇𝑴𝒆 ) (

𝒊𝟒 𝒏 − 𝒇𝒌

𝒇𝑸𝒊

) (

𝒊𝟏𝟎 𝒏 − 𝒇𝒌

𝒇𝑫𝒊

) (

𝒊𝟏𝟎𝟎 𝒏 − 𝒇𝒌

𝒇𝑷𝒊

)




Menentukan ukuran pemusatan dan ukuran letak dari data berbentuk tabel. Contoh Soal: Perhatikan tabel di bawah ini:

Data Frekuensi

(𝒇𝒊)

45 – 49 7

50 – 54 15

55 – 59 18

60 – 64 11

65 – 69 9

Jumlah 60

Tentukan nilai mean, modus, median, 𝑄3, 𝐷4, 𝑃26 !

Penyelesaian: Mencari nilai mean / nilai rata-rata: Untuk mencari nilai mean atau nilai rata-rata, maka kita harus menentukan:

- Nilai tengah (𝑥𝑖 = {47, 52, 57, 62, 67}) - Panjang kelas interval (𝑝 = 5) - Nilai rata-rata sementara / rata-rata dugaan (𝑥�̅� = 57)

TRIK SUPERKILAT: menentukan 𝑥�̅�, dipilih kelas interval yang berada di tengah-tengah.

- Kode (𝑈𝑖), yang diperoleh dari (𝑥𝑖 − 𝑥�̅�) dibagi dengan 𝑝 TRIK SUPERKILAT: menentukan 𝑈𝑖 , kelas rataan sementara kita kasih angka 0. kelas di atasnya bernilai negatif, −1, −2, −3, dst… kelas di atasnya bernilai positif, 1, 2, 3, dst…

- Nilai 𝑓𝑖𝑈𝑖 , yaitu hasil perkalian antara 𝑓𝑖 dengan 𝑈𝑖 .

Nah, sekarang perhatikan tabel di bawah ini:

Data Frekuensi

(𝒇𝒊) Nilai Tengah

(𝒙𝒊) 𝑼𝒊 𝒇𝒊𝑼𝒊

45 – 49 7 47 −2 −14

50 – 54 15 52 −1 −15

55 – 59 18 57 0 0

60 – 64 11 62 1 11

65 – 69 9 67 2 18

Jumlah 60 0

Jadi nilai rata-rata adalah:

�̅� = 𝑥�̅� + (∑𝑓𝑖𝑈𝑖

∑𝑓𝑖) 𝑝

= 57 + (0

60) 5

= 57 + 0= 57

Mudah bukan?!



Mencari nilai modus: Untuk mencari nilai modus, maka kita harus menentukan:

- Kelas modus adalah kelas interval dengan frekuensi tertinggi, yakni berada di kelas interval ke tiga. - Tepi bawah kelas modus (𝑇𝑏 = 55 − 0,5 = 54,5) - Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas interval sebelumnya (𝑎 = 18 − 15 = 3)

TRIK SUPERKILAT: kelas interval sebelumnya adalah kelas interval yang terletak di atas kelas modus.

- Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas interval sesudahnya (𝑎 = 18 − 11 = 7) TRIK SUPERKILAT: kelas interval sesudahnya adalah kelas interval yang terletak di bawah kelas modus.


Data Frekuensi

(𝒇𝒊)

45 – 49 7

50 – 54 15

55 – 59 18

60 – 64 11

65 – 69 9

Jumlah 60

Jadi nilai modus adalah:


𝑎 + 𝑏) 𝑝

= 54,5 + (3

3 + 7) 5

= 54,5 + (3

10) 5

= 54,5 + 1,5= 56

Mudah bukan?!

𝒃 = 𝟏𝟖 − 𝟏𝟏 = 𝟕

𝒂 = 𝟏𝟖 − 𝟏𝟓 = 𝟑



Mencari nilai median: Untuk mencari nilai median, maka kita harus menentukan:

- Frekuensi kumulatif bawah. - Jumlah frekuensi data (𝑛 = 60)

- Karena ditanyakan median maka tentukan nilai 1

2𝑛. (

1

2𝑛 =

1

2(60) = 30)

- Letak kelas median. Median terletak pada kelas interval yang memuat data ke-30, dengan melihat kolom frekuensi kumulatif bawah. TRIK SUPERKILAT:

Data Frekuensi

(𝒇𝒊) 𝒇𝒌 TRIK SUPERKILAT: Makna 𝒇𝒌

45 – 49 7 7 Terdiri dari data ke 1 s/d data ke 7





Jumlah 60

Jadi median terletak pada kelas interval 55 – 59.

- Tepi bawah kelas median (𝑇𝑏 = 55 − 0,5 = 54,5) - Frekuensi kumulatif sebelum kelas median (𝑓𝑘 = 22) - Frekuensi kelas median (𝑓𝑀𝑒 = 18)


Data Frekuensi

(𝒇𝒊) 𝒇𝒌

45 – 49 7 7

50 – 54 15 22

55 – 59 18 40

60 – 64 11 51

65 – 69 9 60

Jumlah 60

Jadi nilai median adalah:

𝑀𝑒 = 𝑇𝑏 + (

12 𝑛 − 𝑓𝑘

𝑓𝑀𝑒) 𝑝

= 54,5 + (20 − 22

18) 5

= 54,5 + (8

18) 5

= 54,5 + 2,22= 56,72

Mudah bukan?!



Mencari nilai Kuartil ke-tiga (𝑸𝟑): Untuk mencari nilai 𝑄3, maka kita harus menentukan:


- Karena ditanyakan 𝑄3 maka tentukan nilai 3

4𝑛. (

3

4𝑛 =

3

4(60) = 45)

- Letak kelas 𝑄3. 𝑄3 terletak pada kelas interval yang memuat data ke-45, dengan melihat kolom frekuensi kumulatif bawah. TRIK SUPERKILAT:

Data Frekuensi







Jumlah 60

Jadi 𝑄3 terletak pada kelas interval 60 – 64.

- Tepi bawah kelas 𝑄3 (𝑇𝑏 = 60 − 0,5 = 59,5) - Frekuensi kumulatif sebelum kelas 𝑄3 (𝑓𝑘 = 40)

- Frekuensi kelas 𝑄3 (𝑓𝑄3= 11)


Data Frekuensi

(𝒇𝒊) 𝒇𝒌

45 – 49 7 7

50 – 54 15 22

55 – 59 18 40

60 – 64 11 51

65 – 69 9 60

Jumlah 60

Jadi nilai Kuartil ke-3 adalah:

𝑄3 = 𝑇𝑏 + (

34 𝑛 − 𝑓𝑘

𝑓𝑄3

) 𝑝

= 59,5 + (45 − 40

11) 5

= 59,5 + (5

11) 5

= 59,5 + 2,27= 61,77

Mudah bukan?!



Mencari nilai Desil ke-empat (𝑫𝟒): Untuk mencari nilai 𝐷4, maka kita harus menentukan:


- Karena ditanyakan 𝐷4 maka tentukan nilai 4

10𝑛. (

4

10𝑛 =

4

10(60) = 24)

- Letak kelas 𝐷4. 𝐷4 terletak pada kelas interval yang memuat data ke-24, dengan melihat kolom frekuensi kumulatif bawah. TRIK SUPERKILAT:

Data Frekuensi







Jumlah 60

Jadi 𝐷4 terletak pada kelas interval 55 – 59.

- Tepi bawah kelas 𝐷4 (𝑇𝑏 = 55 − 0,5 = 54,5) - Frekuensi kumulatif sebelum kelas 𝐷4 (𝑓𝑘 = 22)

- Frekuensi kelas 𝐷4 (𝑓𝐷4= 18)


Data Frekuensi

(𝒇𝒊) 𝒇𝒌

45 – 49 7 7

50 – 54 15 22

55 – 59 18 40

60 – 64 11 51

65 – 69 9 60

Jumlah 60

Jadi nilai Desil ke-4 adalah:

𝐷4 = 𝑇𝑏 + (

410 𝑛 − 𝑓𝑘

𝑓𝐷4

) 𝑝

= 54,5 + (24 − 22

18) 5

= 54,5 + (2

18) 5

= 54,5 + 0,56= 55,06

Mudah bukan?!



Mencari nilai Persentil ke-26 (𝑷𝟐𝟔): Untuk mencari nilai 𝑃26, maka kita harus menentukan:


- Karena ditanyakan 𝑃26 maka tentukan nilai 26

100𝑛. (

26

100𝑛 =

26

100(60) = 15,6)

- Letak kelas 𝑃26. 𝑃26 terletak pada kelas interval yang memuat data ke-26, dengan melihat kolom frekuensi kumulatif bawah. TRIK SUPERKILAT:

Data Frekuensi







Jumlah 60

Jadi 𝑃26 terletak pada kelas interval 50 – 54.

- Tepi bawah kelas 𝑃26 (𝑇𝑏 = 50 − 0,5 = 49,5) - Frekuensi kumulatif sebelum kelas 𝑃26 (𝑓𝑘 = 7)

- Frekuensi kelas 𝑃26 (𝑓𝑃26= 15)


Data Frekuensi

(𝒇𝒊) 𝒇𝒌

45 – 49 7 7

50 – 54 15 22

55 – 59 18 40

60 – 64 11 51

65 – 69 9 60

Jumlah 60

Jadi nilai Persentil ke-26 adalah:

𝑃26 = 𝑇𝑏 + (

26100 𝑛 − 𝑓𝑘

𝑓𝑃26

) 𝑝

= 50,5 + (15,6 − 7

15) 5

= 50,5 + (8,6

15) 5

= 50,5 + 2,87= 53,37

Mudah bukan?!



Menentukan ukuran pemusatan dan ukuran letak dari data berbentuk diagram (Histogram) Untuk menyelesaikan soal dengan bentuk data diagram atau histogram, maka kita harus mengenali dulu label pada sumbu X histogram tersebut. Secara umum ada 3 jenis histogram berdasarkan label pada sumbu X:

Kelas Interval Nilai Tepi Kelas Nilai Tengah Kelas “Lebar histogram menyatakan “Batas histogram menyatakan “Titik tengah histogram kelas interval” tepi atas dan tepi bawah kelas” adalah nilai tengah kelas”

Contoh Soal: Perhatikan gambar berikut: Tentukan Median dari data di atas …. Penyelesaian: Ubah dulu histogram menjadi data tabel distribusi frekuensi.

Nilai 𝒇 𝒇𝒌 135 – 139 3 3 140 – 144 5 8 145 – 149 7 15 150 – 154 10 25 155 – 159 9 34 160 – 164 6 40

Jumlah 40 Jadi nilai median adalah:

𝑀𝑒 = 𝑇𝑏 + (

12 𝑛 − 𝑓𝑘

𝑓𝑀𝑒) 𝑝 = 149,5 + (

20 − 15

10) 5 = 149,5 + (

5

10) 5 = 149,5 + 2,5 = 152

Mudah bukan?!

3

7

13

11

6

0

2

4

6

8

10

12

14

40

-44

45

-49

50

-54

55

-59

60

-64

Ban

yak

Sis

wa

Berat (kg)

3

7

13

11

6

0

2

4

6

8

10

12

14

Ban

yak

Sis

wa

Berat (kg)

3

7

13

11

6

0

2

4

6

8

10

12

14

42

47

52

57

62

Ban

yak

Sis

wa

Berat (kg)

134,5 139,5 144,5 149,5 154,5 159,5 164,5

3

5

7

9 10

f

Nilai

6

134,5 139,5 144,5 149,5 154,5 159,5 164,5

3

5

7

9 10

f

Nilai

6



Menentukan ukuran pemusatan dan ukuran letak dari data berbentuk diagram (Poligon) Untuk menyelesaikan soal dengan bentuk data poligon frekuensi, maka kita harus mengenali dulu label pada sumbu X. Secara umum label pada sumbu X pada poligon frekuensi adalah nilai tengah dari histogram.

Poligon Frekuensi “Titik tengah histogram dihubungkan dengan garis”

Contoh Soal: Berikut ini poligon frekuensi dari data berat badan siswa kelas XII A. Modus berat badan siswa …. kg Penyelesaian: Ubah dulu poligon frekuensi menjadi data tabel distribusi frekuensi.

Tepi antara 32 dan 37 adalah nilai tengah antara 32 dan 37 = 32+37

2= 34,5

Nilai 𝒇 30 – 34 3 35 – 39 9 40 – 44 6 45 – 49 5 50 – 54 4 55 – 59 3

Jadi nilai modus adalah:


𝑎 + 𝑏) 𝑝 = 34,5 + (

6

6 + 3) 5 = 34,5 + (

6

9) 5 = 34,5 + 3,33 = 37,83

Mudah bukan?!

0

2

4

6

8

10

12

14

42

47

52

57

62

Ban

yak

Sis

wa

Berat (kg)

3

4

5

6

9

Frekuensi

32 37 42 47 52 57

Berat badan (kg)

3

4

5

6

9

Frekuensi

32 37 42 47 52 57

Berat badan (kg)



Menentukan ukuran pemusatan dan ukuran letak dari data berbentuk grafik (Ogive). Untuk menyelesaikan soal dengan bentuk data ogive, maka kita harus mengenali dulu label pada sumbu X dan Y. Secara umum label pada sumbu X pada ogive adalah nilai tepi bawah atau atas dari kelas interval. Secara umum label pada sumbu X pada ogive adalah nilai frekuensi kumulatif.

Ogive Positif Ogive Negatif “Ogive Naik” “Ogive Turun”

Contoh Soal: Data nilai ulangan Matematika siswa kelas XIIB disajikan dalam bentuk ogive positif sebagai berikut: Kuartil atas data siswa adalah …. Penyelesaian: Ubah dulu ogive menjadi data tabel distribusi frekuensi.

Nilai Cara mencari 𝒇 𝒇 𝒇𝒌

1 – 20 4 − 0 = 4 4 4 21 – 40 10 − 4 = 6 6 10 41 – 60 20 − 10 = 10 10 20 61 – 80 35 − 20 = 15 15 35

81 – 100 40 − 35 = 5 5 40 Jumlah 40

Jadi nilai kuartil atas (𝑄3) adalah:

𝑄3 = 𝑇𝑏 + (

34 𝑛 − 𝑓𝑘

𝑓𝑄3

) 𝑝 = 60,5 + (30 − 20

15) 20 = 60,5 + (

10

15) 20 = 60,5 + 13,33 = 73,83

Mudah bukan?!

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Fre

ku

ensi

Ku

nu

lati

f

Berat (kg)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Fre

ku

ensi

Ku

nu

lati

f

Berat (kg)

𝒇𝒌 ≤

4

10

20

35

40

0,5 20,5 40,5 60,5 80,5 100,5 Nilai

𝒇𝒌 ≤

4

10

20

35

40

0,5 20,5 40,5 60,5 80,5 100,5 Nilai



Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/03/smart-solution-un-matematika-sma-2013.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Statistik (Ukuran Pemusatan atau Ukuran Letak) ini….






1. Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut:

Kelas Frekuensi

20 – 29

30 – 39

40 – 49

50 – 59

60 – 69

70 – 79

80 − 89

3

7

8

12

9

6

5

Nilai modus dari data pada tabel adalah ....

A. 7

405,49

B. 7

365,49

C. 7

365,49

D. 7

405,49

E. 7

485,49


𝑑1 = 12 − 8 = 4 𝑑2 = 12 − 9 = 3 𝑇𝑏 = 50 − 0,5 = 49,5 𝑖 = 10

𝑀𝑜 = 𝑇𝑏 +𝑑1

𝑑1 + 𝑑2

∙ 𝑖

= 49,5 +4

4 + 3∙ 10

= 49,5 +40

7

H






6. 2. Menyelesaikan masalah sehari-hari dengan menggunakan kaidah pencacahan, permutasi atau kombinasi.

Kaidah Pencacahan

Aturan Perkalian

Banyak cara memilih unsur pertama

Banyak cara memilih unsur kedua

Banyak cara memilih kedua unsur sekaligus

𝑚 𝑛 𝑚 × 𝑛

Faktorial “Perkalian Bilangan Urut” 𝑛! = 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × … × 3 × 2 × 1 Catatan: 1! = 1 dan 0! = 1

Banyak cara menyusun 𝒓 buah unsur dari keseluruhan 𝒏 buah unsur

Permutasi Kombinasi “Perhatikan Urutan” “Urutan Tidak Diperhatikan”

𝑛𝑃𝑟 =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!

Catatan: 𝑟 ≤ 𝑛

𝑛𝐶𝑟 =

𝑛!

𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

Catatan: 𝑟 ≤ 𝑛

Permutasi Ada Unsur Sama “Ada 𝒌 unsur yang sama, ada 𝓵 unsur yang sama, dan 𝒎 unsur yang sama”

𝑛𝑃(𝑘,ℓ,𝑚) =𝑛!

𝑘! ℓ! 𝑚!

Catatan: 𝑘 + ℓ + 𝑚 ≤ 𝑛

𝑛𝐶𝑟 =

𝑛𝑃𝑟

𝑟!

Permutasi Siklis “Posisi Melingkar”

𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = (𝑛 − 1)!

Kombinasi adalah permutasi tanpa memperhatikan urutan obyek. Jadi, rumus kombinasi diperoleh dari permutasi 𝑟 unsur dari 𝑛 unsur

namun karena hasil permutasi tersebut urutan tidak diperhatikan maka dianggap hasil permutasi tersebut ada 𝑟 unsur yang sama.



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Permutasi. Cara paling mudah untuk menyusun rumus permutasi adalah menggunakan definisi aslinya. Di sekolah mungkin adik-adik diberikan rumus permutasi seperti dituliskan pada halaman sebelumnya, yaitu:

𝑛𝑃𝑟 =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!

Padahal, definisi asli dari permutasi adalah sebagai berikut:

𝑛𝑃𝑟 = 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × … × (𝑛 − 𝑟 + 1) Rumus tersebut adalah pengembangan dari aturan perkalian dalam menyusun banyak 𝑟 unsur berbeda yang bisa dibuat dari 𝑛 unsur. Misalnya saja, menyusun 3 unsur berbeda dari 5 unsur yang diberikan. Maka kita akan membuat 3 kotak sebagai berikut:

Pada kotak pertama bisa diisi 5 unsur. Pada kotak kedua bisa diisi 4 unsur, karena 1 unsur sudah diisikan pada kotak pertama. Pada kotak ketiga bisa diisi 3 unsur, karena 2 unsur sudah diisikan pada kotak pertama dan kedua. Sehingga dari aturan perkalian diperoleh banyaknya cara menyusun 3 unsur berbeda dari 5 unsur adalah:

5 × 4 × 3 = 60 cara. Dari sini jelas bahwa rumus permutasi 3 unsur berbeda dari 5 unsur adalah:

5 × 4 × 3 = “perkalian mundur dimulai dari bilangan 5 sebanyak 3 faktor” Jadi bisa disimpulkan bahwa:

𝒏𝑷𝒓 = “𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐮𝐧𝐝𝐮𝐫 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝒏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫” Sehingga dengan mudah kita hitung nilai permutasi berikut:

15𝑃4 = 15 × 14 × 13 × 12 (perkalian mundur 4 angka terakhir dari 15)

10𝑃3 = 10 × 9 × 8 (perkalian mundur 3 angka terakhir dari 10)

7𝑃2 = 8 × 7 (perkalian mundur 2 angka terakhir dari 7)

5𝑃2 = 5 × 4 (perkalian mundur 2 angka terakhir dari 5) Dst… dst… dst…

Atau bila soalnya berbentuk kalimat seperti berikut:

Di suatu kelas terdapat 12 siswa. Banyak cara memilih ketua, wakil ketua, dan sekretaris dari 12 siswa dalam suatu kelas tersebut adalah sebanyak …. cara. Karena kita menyusun 3 siswa dari keseluruhan 12 siswa dengan memperhatikan urutan, maka digunakan konsep permutasi 12𝑃3. Sehingga banyak cara memilihnya ada sebanyak:

12𝑃3 = 12 × 11 × 10 = 1320 cara (perkalian mundur 3 angka terakhir dari 12)

Mudah bukan?!



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Kombinasi. Cara paling mudah untuk menyusun rumus kombinasi adalah menggunakan definisi aslinya. Di sekolah mungkin adik-adik diberikan rumus kombinasi seperti dituliskan pada halaman sebelumnya, yaitu:

𝑛𝐶𝑟 =𝑛!

𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

Padahal, definisi asli dari permutasi adalah sebagai berikut:

𝑛𝐶𝑟 =𝑛𝐶𝑟

𝑟!

Penjelasannya sebagai berikut:

Kombinasi adalah permutasi tanpa memperhatikan urutan obyek. Jadi, rumus kombinasi diperoleh dari permutasi 𝑟 unsur dari 𝑛 unsur, namun karena hasil permutasi tersebut urutan tidak diperhatikan, maka dianggap hasil permutasi tersebut ada 𝑟 unsur yang sama.

Jadi bisa disimpulkan bahwa:

𝒏𝑪𝒓 = “(𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐮𝐧𝐝𝐮𝐫 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝒏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫)

(𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐚𝐣𝐮 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝟏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫)”

Sehingga dengan mudah kita hitung nilai permutasi berikut:

15𝐶4 =15 × 14 × 13 × 12

1 × 2 × 3 × 4 (

perkalian mundur 4 angka terakhir dari 15

perkalian maju 4 angka terdepan)

10𝐶3 =10 × 9 × 8

1 × 2 × 3 (



7𝐶2 =8 × 7

1 × 2(



Dst… dst… dst…

Atau bila soalnya berbentuk kalimat seperti berikut:

Di suatu kelas terdapat 12 siswa. Banyak cara memilih 3 siswa dari 12 siswa dalam suatu kelas tersebut adalah sebanyak …. cara. Karena kita menyusun 3 siswa dari keseluruhan 12 siswa dengan tanpa memperhatikan urutan, maka digunakan konsep kombinasi 12𝐶3. Sehingga banyak cara memilihnya ada sebanyak:

12𝐶3 =12 × 11 × 10

1 × 2 × 3= 220 cara (



Mudah bukan?! Khusus untuk Kombinasi berlaku sifat berikut:

𝒏𝑪𝒓 = 𝒏𝑪(𝒏−𝒓)

Jadi,

10𝐶7 = 10𝐶3 =10 × 9 × 8

1 × 2 × 3(



2




Menentukan kaidah pencacahan menggunakan aturan perkalian. Contoh Soal 1: Dari angka-angka: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

7

7 7

Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka boleh berulang adalah: 7 × 7 × 7 = 343 buah. Contoh Soal 2: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak

mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

6

7 7

Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka boleh berulang adalah: 6 × 7 × 7 = 294 buah.



Contoh Soal 3: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan genap yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus genap maka angka satuan hanya dapat dipilih

sebanyak 4 cara saja, yaitu diisi dengan angka 0, 2, 4, 6. Angka puluhan : dapat dipilih 7 angka, yaitu angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak

mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

6

7 4

Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah: 6 × 7 × 4 = 168 buah. Contoh Soal 4: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus ganjil maka angka satuan hanya dapat dipilih

sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 1, 3, 5. Angka puluhan : dapat dipilih 7 angka, yaitu angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak

mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

6

7 3

Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah: 6 × 7 × 3 = 126 buah.



Contoh Soal 5: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 300 adalah ….

Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka lebih dari 300, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : karena ada syarat harus lebih dari 300 maka angka ratusan hanya dapat dipilih

sebanyak 4 cara, yaitu diisi dengan angka 3, 4, 5, 6. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

4

7 7

Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 300 adalah: 4 × 7 × 7 = 196 buah.

Contoh Soal 6: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 320 adalah ….

Penyelesaian: Bilangan lebih dari 320, artinya kita harus memecah menjadi dua bagian, yaitu: - Bilangan ratusan dengan angka ratusan 3, yang bilangan puluhannya harus lebih dari 20. - Bilangan ratusan dengan angka ratusan selain 3. Untuk bilangan ratusan dengan angka ratusan 3, yang bilangan puluhannya harus lebih dari 20. maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat dipilih sebanyak 1 cara saja, yaitu diisi angka 3 saja. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 5 cara saja, yaitu dapat diisi dengan angka 2, 3, 4, 5, 6. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

1

5 7

Untuk bilangan ratusan dengan angka ratusan selain 3, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 4, 5, dan 6 saja. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

3

7 7

Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah: (1 × 5 × 7) + (3 × 7 × 7) = 35 + 147 = 182 buah.



Contoh Soal 7: Dari angka-angka: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan. Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan

sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 2, 3, 4, 5, 6, 7. Misal kita pilih angka 2 sebagai angka puluhan.

Angka satuan : angka satuan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka ratusan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka puluhan. Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 3, 4, 5, 6, 7 saja.

Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

7

6 5

Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: 7 × 6 × 5 = 210 buah. Contoh Soal 8: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak

mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja. Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan

Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 2, 3, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka 2 sebagai angka puluhan.

Angka satuan : angka satuan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka ratusan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka puluhan. Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 3, 4, 5, 6 saja.


Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

6

6 5

Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: 6 × 6 × 5 = 180 buah.



Contoh Soal 9: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan genap yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian: Bilangan genap dan tersedia angka 0 (nol), artinya kita harus memecah menjadi dua bagian, yaitu: - Bilangan genap dengan angka 0 (nol) berada di posisi angka satuan. - Bilangan genap dengan angka genap selain 0 (nol) berada di posisi angka satuan. Untuk bilangan genap dengan angka 0 (nol) berada di posisi angka satuan, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena angka satuan sudah pasti 0 (nol) maka angka satuan hanya dapat dipilih

sebanyak 1 cara saja, yaitu diisi dengan angka 0 saja. Angka puluhan : dapat dipilih 6 angka, yaitu angka 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Misal kita pilih angka 1 sebagai angka puluhan. Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 0 yang sudah digunakan

sebagai angka satuan, dan angka 1 yang digunakan sebagai angka puluhan. Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 2, 3, 4, 5, 6 saja.

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

1

6 5

Untuk bilangan genap dengan angka genap selain 0 (nol) berada di posisi angka satuan, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena angka satuan sudah pasti angka bukan 0 (nol) maka angka satuan hanya

dapat dipilih sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 2, 4, 6 saja. Misal kita pilih angka 2 sebagai angka satuan.

Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 2 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan jangan lupa angka 0 tidak boleh berada di angka ratusan. sehingga untuk angka ratusan dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu angka 1, 3, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan.

Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 2 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan angka 1 yang digunakan sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 3, 4, 5, 6 saja.

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

3

5 5

Jadi banyaknya bilangan genap terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: (1 × 6 × 5) + (3 × 5 × 5) = 30 + 75 = 105 buah.



Contoh Soal 10: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus ganjil maka angka satuan hanya dapat dipilih

sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 1, 3, 5. Misal kita pilih angka 1 sebagai angka satuan.

Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan jangan lupa angka 0 tidak boleh berada di angka ratusan. sehingga untuk angka ratusan dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu angka 2, 3, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka 2 sebagai angka ratusan.

Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 3, 4, 5, 6 saja.


Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

3

5 5

Jadi banyaknya bilangan ganjil terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: 3 × 5 × 5 = 75 buah.



Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi. Contoh Soal 1: Berapa banyak cara menempatkan 7 orang duduk dalam satu baris dalam urutan yang berbeda? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi duduk diperhatikan. Sehingga 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴. Maka banyaknya posisi duduk adalah sebanyak 7 orang diambil sekaligus semuanya. Tujuh orang disusun secara permutasi sebanyak 7 orang.

7𝑃7 =7!

(7 − 7)!=

7!

0!=

7!

1= 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040


𝒏𝑷𝒓 = “𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐮𝐧𝐝𝐮𝐫 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝒏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫”

7 permutasi 7, bisa diartikan perkalian 7 angka terakhir dari 7.

7𝑃7 = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 Contoh Soal 2: Dari keseluruhan 7 orang ada berapa banyak cara menempatkan orang duduk dalam satu baris yang terdiri dari 4 kursi dalam urutan yang berbeda? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi duduk diperhatikan. Sehingga 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴. Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 4 orang dari total 7 orang secara permutasi. Tujuh orang disusun secara permutasi sebanyak 4 orang.

7𝑃4 =7!

(7 − 4)!=

7!

3!=

7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

3 × 2 × 1= 7 × 6 × 5 × 4 = 840

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 7 permutasi 4, bisa diartikan perkalian 4 angka terakhir dari 7.

7𝑃4 = 7 × 6 × 5 × 4 = 840 Contoh Soal 3: Ada 12 orang calon pengurus OSIS, akan dipilih 3 orang untuk menduduki posisi ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Ada berapa banyak cara menyusun pengurus OSIS tersebut? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi jabatan pengurus diperhatikan. Sehingga 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴. Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 3 orang dari keseluruhan 12 orang secara permutasi. Dua belas orang disusun secara permutasi sebanyak 3 orang.

12𝑃3 =12!

(12 − 3)!=

12!

9!=

12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1= 12 × 11 × 10 = 1320

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 12 permutasi 3, bisa diartikan perkalian 3 angka terakhir dari 12.

12𝑃3 = 12 × 11 × 10 = 1320



Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi dengan ada unsur yang sama. Contoh Soal 1: Berapa banyak cara menyusun kata berlainan dari kata MATEMATIKA? Penyelesaian: Elemen penyusun kata MATEMATIKA adalah M, A, T, E, M, A, T, I, K, A. Maka banyaknya elemen adalah: 𝑛 = 10 Banyak elemen huruf yang sama adalah: - Huruf M ada sebanyak 2 buah, jadi 𝑘 = 2. - Huruf A ada sebanyak 3 buah, jadi ℓ = 3. - Huruf T ada sebanyak 2 buah, jadi 𝑚 = 2. Jadi banyaknya kata berbeda yang bisa disusun adalah:

10𝑃(2,3,2) =10!

2! 3! 2!=

10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

2 × 1 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1= 151.200 kata

Contoh Soal 2: Dalam suatu rak buku terdapat 5 buku Biologi, dan 4 buku Matematika serta 1 buah buku Fisika. Buku-buku tersebut akan disusun dengan ditumpuk dari bawah ke atas. Ada berapa banyak cara berbeda dalam menyusun buku tersebut? Penyelesaian: Elemen penyusun ada 5 buku Biologi, 4 buku Matematika, serta 1 buah buku Fisika. Maka banyaknya elemen adalah: 𝑛 = 10 Banyak elemen huruf yang sama adalah: - Buku Biologi ada sebanyak 5 buah, jadi 𝑘 = 5. - Buku Matematika ada sebanyak 4 buah, jadi ℓ = 4. Jadi banyaknya susunan berbeda dari buku yang bisa disusun adalah:

10𝑃(5,4) =10!

5! 4!=

10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1= 1.260 cara

Contoh Soal 3: Ada 3 bendera merah, 1 bendera biru, dan 1 bendera hijau. Bendera-bendera tersebut akan digantung secara vertikal, maka ada berapa banyak cara menyusun bendera tersebut secara berbeda? Penyelesaian: Elemen penyusun ada 3 bendera merah, 1 bendera biru, dan 1 bendera hijau. Maka banyaknya elemen adalah: 𝑛 = 5 Banyak elemen huruf yang sama adalah: - Bendera merah ada sebanyak 3 buah, jadi 𝑘 = 3. Jadi banyaknya susunan berbeda dari bendera yang bisa disusun adalah:

5𝑃(3) =5!

3!=

5 × 4 × 3 × 2 × 1

3 × 2 × 1= 20 cara



Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi siklis. Contoh Soal 1: Tentukan ada berapa banyak cara mengatur posisi duduk 5 orang mengelilingi meja berbentuk lingkaran! Penyelesaian: Mengatur 7 orang duduk secara melingkar, 𝑛 = 5. Berarti kita gunakan permutasi siklis.

𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = (5 − 1)! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 cara

Contoh Soal 2: Berapa cara 10 orang dapat duduk mengelilingi meja bundar apabila ada 2 orang yang harus duduk secara berdekatan? Penyelesaian: Karena ada 2 orang harus duduk berdekatan, berarti 2 orang ini kita anggap menjadi satu kesatuan. Sementara banyak cara menyusun 2 orang yang duduk saling berdekatan sebanyak 2!. Nah, karena 2 orang dianggap menjadi satu, maka dari total 10 orang kini tinggal 9 orang yang akan diatur duduk secara melingkar. Mengatur 9 orang duduk secara melingkar, 𝑛 = 9. Berarti kita gunakan permutasi siklis.

𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = (9 − 1)! = 8! Jadi banyaknya cara menyusun 10 orang duduk melingkar apabila ada 2 orang yang harus duduk bersebelahan:

𝑃 = 𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 × 2! = 8! 2! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 80.640 cara

Contoh Soal 3: Ada 4 orang siswa kelas X, 3 orang siswa kelas XI, dan 2 orang siswa kelas XII akan berunding duduk mengelilingi meja bundar. Berapa banyak cara duduk apabila siswa satu kelas harus duduk bersebelahan. Penyelesaian: Nah, yang ditanyakan oleh soal adalah banyak cara menyusun 3 kelompok kelas yang akan diatur duduk secara melingkar. Berarti kita gunakan permutasi siklis.

𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = (3 − 1)! = 2! Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas X adalah sebanyak 4𝑃4 = 4!. Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas XI adalah sebanyak 3𝑃3 = 3!. Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas XII adalah sebanyak 2𝑃2 = 2!. Jadi banyaknya cara menyusun siswa duduk melingkar apabila ada siswa satu kelas harus duduk bersebelahan:

𝑃 = 𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 × 4! × 3! × 2! = 2! × 4! × 3! × 2! = 576 cara



Menentukan kaidah pencacahan menggunakan kombinasi. Contoh Soal 1: Dari keseluruhan 7 orang ada berapa banyak cara memilih 4 orang untuk dijadikan pengurus RT? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan kombinasi karena urutan posisi duduk tidak diperhatikan. Sehingga 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴. Maka banyaknya cara memilih adalah memilih 4 orang dari total 7 orang secara kombinasi Tujuh orang dipilih secara kombinasi sebanyak 4 orang.

7𝐶4 =7!

(7 − 4)! 4!=

7!

3! 4!=

7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

3 × 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1=

7 × 6 × 5

3 × 2 × 1= 35


𝒏𝑪𝒓 = “(𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐮𝐧𝐝𝐮𝐫 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝒏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫)

(𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐚𝐣𝐮 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝟏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫)”

7 kombinasi 4, bisa diartikan perkalian 4 angka terakhir dari 7 dibagi perkalian 4 angka awal.

7𝐶4 =7 × 6 × 5 × 4

4 × 3 × 2 × 1= 35

Contoh Soal 2: Ada 12 orang siswa yang telah mendaftar, akan dipilih 3 orang untuk menjadi pengurus OSIS. Ada berapa banyak cara menyusun pengurus OSIS tersebut? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan kombinasi karena urutan posisi jabatan pengurus tidak diperhatikan. Sehingga 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴. Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 3 orang dari keseluruhan 12 orang secara permutasi. Dua belas orang disusun secara permutasi sebanyak 3 orang.

12𝐶3 =12!

(12 − 3)! 3!=

12!

9! 3!=

12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 3 × 2 × 1

=12 × 11 × 10

3 × 2 × 1= 220

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 12 kombinasi 3, bisa diartikan perkalian 3 angka terakhir dari 12 dibagi perkalian 3 angka awal.

12𝐶3 =12 × 11 × 10

3 × 2 × 1= 1320

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/03/smart-solution-un-matematika-sma-2013_31.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Kaidah Pencacahan (Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi) ini….






1. Bilangan terdiri dari 4 angka disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 5, 6, dan 7. Banyak susunan bilangan

dengan angka-angka yang berlainan (angka-angkanya tidak boleh berulang) adalah ....

A. 20

B. 40

C. 80

D. 120

E. 360

2. Banyak susunan kata yang dpat dibentuk dari kata ”WIYATA” adalah ....

A. 360 kata

B. 180 kata

C. 90 kata

D. 60 kata

E. 30 kata


Permutasi 4 angka dari 6 angka:

6𝑃4 =6!

(6 − 4)! =

6!

2!=

6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

2 ∙ 1= 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 360

Permutasi 6 unsur dari dengan ada 2 unsur yang sama, yakni huruf A: 6!

2!=

6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

2 ∙ 1= 360 kata

Bisa juga dikerjakan dengan menggunakan aturan perkalian, banyaknya bilangan berbeda yang bisa dibentuk adalah: 𝑛 = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 bilangan






6. 3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang suatu kejadian.

Peluang Kejadian

Ruang Sampel Banyaknya Kejadian “semua kejadian yang mungkin” “kejadian yang ditanyakan di soal” 𝑛(𝑆) 𝑛(𝐴)

Peluang Kejadian “banyak kejadian dibagi banyak ruang sampel”

𝑃(𝐴) =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)

0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1

↓ ↓ mustahil pasti

Peluang Kejadian Komplemen “peluang tidak terjadinya A”

𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴)𝐶 = 1

𝑃(𝐴)𝐶 = 1 − 𝑃(𝐴)𝐶

Frekuensi Harapan “banyak kejadian dalam 𝒏 kali percobaan”

𝑓ℎ(𝐴) = 𝑛 × 𝑃(𝐴)



Peluang Kejadian Majemuk

Peluang Gabungan Dua Kejadian Peluang Dua Kejadian Bersyarat “Peluang Kejadian A atau B “Peluang Kejadian A dan B A dan B mungkin terjadi bersama” dengan syarat B telah terjadi" 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) catatan: 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅ “Peluang Kejadian A dan B dengan syarat A telah terjadi”

Peluang Dua Kejadian Saling Lepas “Peluang Kejadian A atau B A dan B tidak mungkin terjadi bersama” 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) catatan: 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅

Peluang Dua Kejadian Saling Bebas ”Peluang Kejadian A dan B yang tidak saling mempengaruhi” 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵)

𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)

𝑃(𝐵|𝐴) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴)



KONSEP DASAR Menyusun Ruang Sampel. Pada soal UN Matematika SMA beberapa tahun terakhir, materi peluang yang sering ditanyakan adalah menentukan peluang kejadian pada:

- pelemparan dua buah dadu, - pelemparan beberapa mata uang koin, - pengambilan beberapa bola yang diletakkan dalam sebuah kotak dengan atau tanpa pengembalian, - pengambilan beberapa kartu pada kartu bridge atau kartu remi.

Cara menyusun ruang sampel ada berbagai macam cara, diantaranya adalah:

- diagram pohon - tabel - mendaftar anggota

Contoh: Menyusun ruang sampel untuk percobaan pelemparan dua dadu. Menggunakan tabel.

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Menggunakan diagram pohon. Dadu 1 Dadu 2 Hasilnya 1 (1,1) 2 (1,2) 1 3 (1,3) 4 (1,4) 5 (1,5) 6 (1,6) 1 (2,1) 2 (2,2) 2 3 (2,3) 4 (2,4) 5 (2,5) 6 (2,6) 1 (3,1) 2 (3,2) 3 3 (3,3) 4 (3,4) 5 (3,5) 6 (3,6) Awal 1 (4,1) 2 (4,2) 4 3 (4,3) 4 (4,4) 5 (4,5) 6 (4,6) 1 (5,1) 2 (5,2) 5 3 (5,3) 4 (5,4) 5 (5,5) 6 (5,6) 1 (6,1) 2 (6,2) 6 3 (6,3) 4 (6,4) 5 (6,5) 6 (6,6)

Dadu 1

Dadu 2



Menyusun ruang sampel untuk pelemparan dua mata uang koin. Menggunakan tabel.

A G

A (A,A) (A,G)

G (G,A) (G,G)

Menggunakan diagram pohon. Koin 1 Dadu 2 Hasilnya A (A,A) A G (A,G) Awal A (G,A) G G (G,G)

Menyusun ruang sampel untuk satu set kartu bridge atau kartu remi. Dalam satu set kartu bridge atau kartu remi terdapat 52 kartu (tanpa kartu joker).

Koin 2

Koin 1



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Menemukan Kejadian Tertentu pada Ruang Sampel Pelemparan Beberapa Koin. Contoh Soal: Dalam pelemparan dua koin tentukan peluang paling banyak muncul satu angka! Penyelesaian: Nah, kejadian paling sedikit muncul satu angka bisa diartikan sebagai berikut:

- muncul 1 angka, 1 gambar. - muncul 2 angka (dua-duanya angka).

A G

A (A,A) (A,G)

G (G,A) (G,G)

Maka peluang kejadian muncul paling sedikit satu angka adalah:


𝑛(𝑆)=

3

4

Menyusun TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Perhatikan pada tabel ruang sampel tersebut:

Banyak kejadian muncul 0 angka = 1 kejadian Banyak kejadian muncul 1 angka = 2 kejadian Banyak kejadian muncul 2 angka = 1 kejadian

Pada perluasan soal ini untuk pelemparan 3 koin akan menghasilkan ruang sampel sebagai berikut:

Banyak kejadian muncul 0 angka = 1 kejadian Banyak kejadian muncul 1 angka = 3 kejadian Banyak kejadian muncul 2 angka = 3 kejadian Banyak kejadian muncul 3 angka = 1 kejadian

Ingat? Bentuk barisan bilangan berikut: 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 Nah,ternyata TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun banyak kejadian tertentu pada pelemparan beberapa koin adalah menggunakan bilangan segitiga pascal atau di SMA dikenal sebagai konsep binomial newton, yang tentunya sudah kita kuasai. Contoh TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Ruang sampel pada pelemparan 3 koin secara praktis bisa dinyatakan dalam penjabaran bentuk aljabar berikut:

(𝐴 + 𝐺)3 = 𝐴3 + 3𝐴2𝐺 + 3𝐴𝐺2 + 𝐺3 1 kejadian muncul 3 angka, 3 kejadian muncul 2 angka dan 1 gambar, 3 kejadian muncul 1 angka dan 2 gambar, 1 kejadian muncul 3 gambar.

Koin 2

Koin 1

𝑆 = kejadian pelemparan dua koin secara bersama-sama 𝑆 = {(𝐴, 𝐴), (𝐴, 𝐺), (𝐺, 𝐴), (𝐺, 𝐺)} 𝑛(𝑆) = 4 𝐴 = kejadian muncul paling sedikit 1 angka 𝐴 = {(𝐴, 𝐴), (𝐴, 𝐺), (𝐺, 𝐴)} 𝑛(𝐴) = 3



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Jumlah Dua Mata Dadu pada Ruang Sampel Pelemparan Dua Dadu. Contoh Soal: Pada pelemparan dua dadu secara bersama-sama, tentukan peluang munculnya dua dadu berjumlah 9! Penyelesaian: 𝑛(𝑆) = 36 𝐴 = kejadian muncul dua dadu berjumlah 9 𝐴 = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} 𝑛(𝐴) = 4 Maka peluang kejadian muncul dua dadu berjumlah 9 adalah:


𝑛(𝑆)=

4

36

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Menghafal banyak kejadian jumlah angka pada pelemparan dua mata dadu:

Jumlah angka pada dua dadu 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Banyaknya kejadian 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

Nah, sekarang coba perhatikan dengan jeli tabel dari ruang sampel pelemparan dua dadu berikut:

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Jumlah Dua Mata Dadu

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Kejadian yang

mungkin terjadi

1 + 1 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + 5 1 + 6 2 + 6 3 + 6 4 + 6 5 + 6 6 + 6

2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 4 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 + 5

3 + 1 3 + 1 3 + 3 3 + 4 4 + 4 5 + 4 6 + 4

4 + 1 4 + 2 4 + 3 5 + 3 6 + 3

5 + 1 5 + 2 6 + 2

6 + 1

Banyaknya Kejadian

1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

Jadi kesimpulan TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS adalah sebagai berikut: Jumlah terkecil dua mata dadu adalah 2 dan jumlah terbesar adalah 12.


naik dari 1 sampai 6 lalu turun dari 6 ke 1 lagi

Dadu 1

Dadu 2



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Pengambilan Beberapa Kelereng di dalam Sebuah Kotak.

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/04/smart-solution-un-matematika-sma-2013.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Peluang Kejadian ini….






1. Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama satu kali. Peluang muncul mata dadu berjumlah 5 atau 7

adalah ....

A. 9

1

B. 6

1

C. 18

5

D. 3

2

E. 9

5

2. Dalam kotak terdapat 3 kelereng merah dan 4 kelereng putih, kemudian diambil 3 kelereng sekaligus

secara acak. Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih adalah ....

A. 35

3

B. 35

4

C. 35

7

D. 35

12

E. 35

22


1 2 3 4 5 6 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

S = kejadian melempar dua mata dadu n(S) = 36

A = kejadian muncul mata dadu 5 n(A) = 4

B = kejadian muncul mata dadu 7 n(B) = 6

Peluang muncul mata dadu berjumlah 5 atau 7: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

=𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)+

𝑛(𝐵)

𝑛(𝑆)

=4

36+

6

36

=10

36

=5

18

𝐓𝐑𝐈𝐊 𝐒𝐔𝐏𝐄𝐑𝐊𝐈𝐋𝐀𝐓: Menghafal banyak kejadian jumlah angka pada pelemparan dua mata dadu:


S = kejadian mengambil 3 kelereng sekaligus dari 7 kelereng

n(S) = 7C3 =7!

(7 − 3)! 3!=

7 ∙ 6 ∙ 5

3 ∙ 2 ∙ 1= 35

A = kejadian terambil 2 kelereng putih dari pengambilan 3 kelereng sekaligus

n(A) = 4C2 ∙ 3C1 =4!

(4 − 2)! 2!∙

3!

(3 − 1)! 1!=

4 ∙ 3

2 ∙ 1∙

3

1= 18

B = kejadian terambil 3 kelereng putih dari pengambilan 3 kelereng sekaligus

n(B) = 4C3 ∙ 3C0 =4!

(4 − 3)! 3!∙

3!

(3 − 0)! 0!= 4 ∙ 1 = 4

Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih dari pengambilan 3 kelereng sekaligus:

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)+

𝑛(𝐵)

𝑛(𝑆)=

18

35+

4

35=

22

35





Education

Smart solution un matematika sma 2014 (full version free edition)