REPUBLICA BOLIVARIAN DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD FERMIN TORO

ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRICA

Correlación de Pearson

BARQUISIMETO, 2015

ALUMNO:

Alberto J. Perozo M.

C.I. 20.923.199

PROFESOR:

Humberto Peña

SAIA C

Soluciones de los ejercicios

Ejercicio 1

Nº de clientes

(X) 8 7 6 4 2 1

Distancia

(Y) 15 19 25 23 34 40

Calcular el coeficiente de correlación de Pearson: a) en puntuaciones directas, b) puntuaciones diferenciales c) puntuaciones estandarizadas.

Comprobar si existe una tendencia lineal en la relación

Gráfico X.vs.Y

Se observa la existencia de una cierta tendencia lineal en la relación. Se puede calcular el coeficiente de correlación de Pearson

a) Puntuaciones directas. Configurando la siguiente tabla:

𝑋 𝑌 𝑋2 𝑌2 𝑋𝑌 De donde:

𝑋 =∑ 𝑋

𝑁=

28

6= 4,67

𝑌 =∑ 𝑌

𝑁=

156

6= 26

𝑆𝑋 = √∑ 𝑋2

𝑁− 𝑋2 = √

170

6− (4,67)2 =2,5543

𝑆𝑌 = √∑ 𝑌2

𝑁− 𝑌2 = √

4496

6− (26)2 = 8,5635

𝑟𝑋𝑌 =

∑ 𝑋𝑌𝑁 − 𝑋𝑌

𝑆𝑋𝑆𝑌=

6036 − (4,67)(26)

(2,5543)(8,5635)= −0,9564

8 15 64 225 120

7 19 49 361 133

6 25 36 625 150

4 23 16 529 92

2 34 4 1156 68

1 40 1 1600 40

∑ 28 156 170 4496 603

𝑆𝑟 = √1 − 𝑟𝑥𝑦

2

𝑁 − 2⟹ 𝑆𝑟 = √

1 − (−0,9564)2

6 − 2⟹ 𝑆𝑟 = 0,15

𝑡 =𝑟𝑥𝑦 − 0

√1 − 𝑟𝑥𝑦2

𝑁 − 2

⟹ 𝑡 =−0,9564 − 0

√1 − (−0,9564)2

6 − 2

⟹ 𝑡 = −6,55

b) Puntuaciones diferenciales o centradas Se realizan las siguientes transformaciones:

𝑥 = 𝑋 − 𝑋

𝑦 = 𝑌 – 𝑌

𝑋 𝑌 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 𝑥𝑦 De donde:

𝑋 =∑ 𝑋

𝑁=

28

6= 4,67

𝑌 =∑ 𝑌

𝑁=

156

6= 26

𝑟𝑋𝑌 =∑ 𝑥𝑦

√𝑥2√𝑦2=

−129,02

√39,33√440= −0,9808

8 15 3,33 -11 11,09 121 -36,63

7 19 2,33 -7 5,43 49 -16,31

6 25 1,33 -1 1,77 1 -1,33

4 23 0,67 -3 0,45 9 -2,01

2 34 -2,67 8 7,13 64 -21,36

1 40 -3,67 14 13,47 196 -51,38

∑ 28 156 39,33 440 -129,02

𝑆𝑟 = √1 − 𝑟𝑥𝑦

2

𝑁 − 2⟹ 𝑆𝑟 = √

1 − (−0,9808)2

6 − 2⟹ 𝑆𝑟 = 0,098

𝑡 =𝑟𝑥𝑦 − 0

√1 − 𝑟𝑥𝑦2

𝑁 − 2

⟹ 𝑡 =−0,9808 − 0

√1 − (−0,9808)2

6 − 2

⟹ 𝑡 = −10,06

c) Puntuaciones estandarizadas Se realizan las siguientes transformaciones:

𝑍𝑥 =𝑋 − 𝑋

𝑆𝑥→ 𝑍𝑥 =

𝑥

𝑆𝑥 𝑍𝑦 =

𝑌 − 𝑌

𝑆𝑦𝑍𝑥 =

𝑦

𝑆𝑦

𝑋 𝑌 𝑥 𝑦 𝑍𝑋 𝑍𝑌 𝑍𝑋𝑍𝑌 De donde:

𝑋 =∑ 𝑋

𝑁=

28

6= 4,67

𝑌 =∑ 𝑌

𝑁=

156

6= 26

𝑆𝑋 = √∑ 𝑋2

𝑁− 𝑋2 = √

170

6− (4,67)2 =2,5543

𝑆𝑌 = √∑ 𝑌2

𝑁− 𝑌2 = √

4496

6− (26)2 = 8,5635

𝑟𝑋𝑌 =∑ 𝑍𝑋𝑍𝑌

𝑁=

−5,92

6= −0,987

8 15 3,33 -11 1,30 -1,29 -1,68

7 19 2,33 -7 0,91 -0,82 -0,75

6 25 1,33 -1 0,52 -0,12 -0,0624

4 23 0,67 -3 0,26 -0,35 -0,091

2 34 -2,67 8 -1,05 0,93 -0,98

1 40 -3,67 14 -1,44 1,64 -2,36

∑ 28 156 -5,92

𝑆𝑟 = √1 − 𝑟𝑥𝑦

2

𝑁 − 2⟹ 𝑆𝑟 = √

1 − (−0,987)2

6 − 2⟹ 𝑆𝑟 = 0,08

𝑡 =𝑟𝑥𝑦 − 0

√1 − 𝑟𝑥𝑦2

𝑁 − 2

⟹ 𝑡 =−0,987 − 0

√1 − (−0,987)2

6 − 2

⟹ 𝑡 = −12,28

Por la tabla de t de Student para

α = 0.05 y grados de libertad 6 − 2 = 4

Se tiene que:

𝑡(0,05;4) = 2,78

Comparando el valor t obtenido con el de las tablas:

−12,28 < 2,78

Se acepta la Hipótesis nula con un riesgo (máximo) de equivocarnos de 0.05. La correlación obtenida procede de una población caracterizada por una correlación de cero.

Se Concluye, que ambas variables no están relacionadas.

Ejercicio 2

Horas (X) 80 79 83 84 78 60 82 85 79 84 80 62

Unidad de

Producción (Y)

300 302 315 330 300 250 300 340 315 330 310 240

Calcular el coeficiente de correlación de Pearson: a) en puntuaciones directas, b) puntuaciones diferenciales c) puntuaciones estandarizadas.

Comprobar si existe una tendencia lineal en la relación

a) Puntuaciones directas.

Configurando la siguiente

tabla:

𝑋 𝑌 𝑋2 𝑌2 𝑋𝑌 De donde:

𝑋 =∑ 𝑋

𝑁=

936

12= 78

𝑌 =∑ 𝑌

𝑁=

3632

12= 302,67

𝑆𝑋 = √∑ 𝑋2

𝑁− 𝑋2 = √

73760

12− (78)2 =7,916

𝑆𝑌 = √∑ 𝑌2

𝑁− 𝑌2 = √

1109254

12− (302,67)2

= 28,787

𝑟𝑋𝑌 =

∑ 𝑋𝑌𝑁 − 𝑋𝑌

𝑆𝑋𝑆𝑌=

28590812 − (78)(302,67)

(7,916)(28,787)= 0,954

80 300 6400 90000 24000

79 302 6241 91204 23858

83 315 6889 99225 26145

84 330 7056 108900 27720

78 300 6084 90000 23400

60 250 3600 62500 15000

82 300 6724 90000 24600

85 340 7225 115600 28900

79 315 6241 99225 24885

84 330 7056 108900 27270

80 310 6400 96100 24800

62 240 3844 57600 14880

∑ 936 3632 73760 1109254 285908

b) Puntuaciones diferenciales o centradas

Se realizan las siguientes transformaciones:

𝑥 = 𝑋 − 𝑋 𝑦 = 𝑌 – 𝑌

𝑋 𝑌 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 𝑥𝑦 De donde:

𝑋 =∑ 𝑋

𝑁=

936

12= 78

𝑌 =∑ 𝑌

𝑁=

3632

12= 302,67

𝑟𝑋𝑌 =∑ 𝑥𝑦

√∑ 𝑥2 √∑ 𝑦2

𝑟𝑋𝑌 =2612

√752√9968,68

𝑟𝑋𝑌 = 0,954

80 300 2 -2,67 4 7,13 -5,34

79 302 1 -0,67 1 0,45 -0,67

83 315 5 12,33 25 152,03 61,65

84 330 6 27,33 36 746,93 163,98

78 300 0 -2,67 0 7,13 0

60 250 -18 -52,67 324 2774,13 948,06

82 300 4 -2,67 16 7,13 -10,68

85 340 7 37,33 49 1393,53 261,31

79 315 1 12,33 1 152,03 12,33

84 330 6 27,33 36 746,93 163,98

80 310 2 7,33 4 53,73 14,66

62 240 -16 -62,67 256 3927,53 1002,72

∑ 936 3632 752 9968,68 2613

𝑆𝑟 = √1 − 𝑟𝑥𝑦

2

𝑁 − 2⟹ 𝑆𝑟 = √

1 − (0,954)2

12 − 2⟹ 𝑆𝑟 = 0,095

𝑡 =𝑟𝑥𝑦 − 0

√1 − 𝑟𝑥𝑦2

𝑁 − 2

⟹ 𝑡 =0,954 − 0

√1 − (0,954)2

12 − 2

⟹ 𝑡 = 10,04

c) Puntuaciones estandarizadas Se realizan las siguientes transformaciones:

𝑍𝑥 =𝑋 − 𝑋

𝑆𝑥→ 𝑍𝑥 =

𝑥

𝑆𝑥

𝑍𝑦 =𝑌 − 𝑌

𝑆𝑦𝑍𝑥 =

𝑦

𝑆𝑦

𝑋 𝑌 𝑥 𝑦 𝑍𝑋 𝑍𝑌 𝑍𝑋𝑍𝑌 De donde:

𝑋 =∑ 𝑋

𝑁=

936

12= 78

𝑌 =∑ 𝑌

𝑁=

3632

12= 302,67

𝑆𝑋 = √∑ 𝑋2

𝑁− 𝑋2 =

√73760

12− (78)2 =7,916

𝑆𝑌 = √∑ 𝑌2

𝑁− 𝑌2

= √1109254

12− (302,67)2

= 28,787

𝑟𝑋𝑌 =∑ 𝑍𝑋𝑍𝑌

𝑁

𝑟𝑋𝑌 =11,46

12

𝑟𝑋𝑌 = 0,955

80 300 2 -2,67 0,25 -0,093 -0,465

79 302 1 -0,67 0,13 -0,023 -0,003

83 315 5 12,33 0,63 0,43 0,271

84 330 6 27,33 0,76 0,95 0,722

78 300 0 -2,67 0 -0,093 0

60 250 -18 -52,67 -2,27 -1,83 4,154

82 300 4 -2,67 0.51 -0,093 -0,0474

85 340 7 37,33 0,88 1,3 1,144

79 315 1 12,33 0,13 0,43 0,0559

84 330 6 27,33 0,76 0,95 0,722

80 310 2 7,33 0,25 0,26 0,065

62 240 -16 -62,67 -2,02 -2,18 4,404

∑ 936 3632 11,46

𝑆𝑟 = √1 − 𝑟𝑥𝑦

2

𝑁 − 2⟹ 𝑆𝑟 = √

1 − (0,954)2

12 − 2⟹ 𝑆𝑟 = 0,095

𝑡 =𝑟𝑥𝑦 − 0

√1 − 𝑟𝑥𝑦2

𝑁 − 2

⟹ 𝑡 =0,954 − 0

√1 − (0,954)2

12 − 2

⟹ 𝑡 = 10,04

Por la tabla de t de Student para

α = 0.05 y grados de libertad 12 − 2 = 10

Se tiene que:

𝑡(0,05;10) = 2,23

Comparando el valor t obtenido con el de las tablas:

10,04 > 2,23

Se rechaza la Hipótesis nula con un riesgo (máximo) de equivocarnos de 0.05. La correlación obtenida no procede de una población caracterizada por una correlación de cero. Se Concluye, que ambas variables están relacionadas.