STATISTIK INDUSTRI 1 - TEORI PROBABILITAS

11/5/2014

1

TEORI PROBABILITAS

Dr Auditya Purwandini Sutarto

TOPIK

• Definisi• Macam-macam Himpunan• Operasi dalam Himpunan• Aturan dalam Himpunan

HIMPUNAN

• Permutasi• Kombinasi

PERMUTASI & KOMBINASI

• Definisi• Kejadian & Ruang Sampel• Probabilitas Gabungan• Probabilitas Bersyarat• Teorema Bayes

PROBABILITAS

11/5/2014

2

HIMPUNAN

DEFINISI

Himpunan adalah kumpulan benda-benda atauobyek yang dapat didefinisikan dengan jelas.

Setiap benda atau obyek yang termasuk dalamsuatu himpunan disebut anggota atau elemen. Anggota himpunan ditulis dengan lambang , bukan anggota himpunan dengan lambang

Dalam Statistik, himpunan dikenal sebagaipopulasi.

Himpunan dilambangkan dengan pasangan kurungkurawal { }, dan dinyatakan dengan huruf besar: A, B,...

George Cantor ( 1845 – 1918)

11/5/2014

3

Contoh Himpunan

Yang merupakan himpunan adalah: Himpunan warna lampu lalu lintas

Kumpulan bilangan prima kurang dari 10

I = { X: x < 10, x bilangan cacah }

H = { 1, 3, 5, 6 }

Yang bukan merupakan himpunan adalah: Kumpulan warna yang menarik

Kumpulan lukisan yang indah

Kumpulan siswa yang pintar

Kumpulan rumah bagus

Penulisan Himpunan

Cara Pendaftaran.

Unsur himpunan ditulis satu persatu/didaftar

Contoh : A={a,i,u,e,o}, B={1,2,3,4,5}

Cara Pencirian.

Unsur himpunan ditulis dengan menyebutkan sifat-sifat/ ciri-ciri himpunan tsb.

Contoh : A={ X : x huruf hidup }

B={ X : 1 x 5 }

11/5/2014

4

MACAM-MACAM HIMPUNAN

a.Himpunan Semesta

Himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan atau menjadi objek pembicaraan.

Dilambangkan S atau U.

Dalam statistik, himpunan semesta ini disebut jugasebagai ruang sampel

Contoh : S=U={a,b,c,…..}

S=U={ X : x bilangan asli}

b.Himpunan Kosong.

Himpunan yang tidak memiliki anggota.

Dilambangkan { } atau .

c.Himpunan Bagian.

Himpunan yang menjadi bagian dari himpunan lain.

Dilambangkan .

Dalam statistik, himpunan bagian merupakansampel.

11/5/2014

5

Contoh :

Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jikasetiap unsur A merupakan unsur B, atau A termuatdalam B, atau B memuat A.

Dilambangkan : A B.

Banyaknya himpunan bagian dari sebuah n unsuradalah 2n

Contoh Soal

11/5/2014

6

d. Himpunan Komplemen.

Himpunan komplemen adalah himpunan semua unsuryang tidak termasuk dalam himpunan yang diberikan.

Jika himpunannya A maka himpunan komplemennyadilambangkan A’ atau A

AA

John Venn (1834 – 1923)

Diagram Venn

Contoh Soal

S

B

11/5/2014

7

OPERASI HIMPUNAN

A. Operasi Irisan (interseksi)

Irisan himpunan A dan B adalah suatuhimpunan yang anggotanya merupakananggota himpunan A dan sekaligus merupakananggota himpunan B.

Contoh Irisan Himpunan

Diketahui

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , 12 }P = { 1, 2, 4, 6, 9 }Q = { 4, 5, 9, 10, 12 }

P Q = {4,9}

Diagram Venn

11/5/2014

8

Dalam suatu kelas yang terdiri dari 40 siswa ternyata 24 siswagemar basket saja, 30 siswa gemar tenis, dan 2 siswa tidak gemarkedua jenis olah raga tersebut. Berapakah siswa yang gemarbasket dan tenis?

Jawab: Misalkan S = { siswa }B = { siswa gemar basket }T = { siswa gemar tenis }

Banyak siswa yang gemar basket dan tenis = x orang,siswa yang gemar basket saja ada (24 – x) orang, dan yanggemar tenis saja ada (30 – x) orang, maka :(24 – x) + x + (30 – x) + 2 = 40

24 – x + x + 30 – x + 2 = 4054 – x + 2 = 40

56 – x = 40- x = 40 – 56- x = - 16

x = 16

Jadi ada 16 siswa yang gemar basket dan tenis

B.Operasi Gabungan (Union).

Gabungan himpunan A dan B adalah suatuhimpunan yang anggota-anggotanya merupakananggota A saja, anggota B saja, dan anggotapersekutuan A dan B.

Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A B.

11/5/2014

9

Contoh

Diketahui S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }A = { 0, 2, 4, 6, 8 }B = { 4, 5, 6, 9 }

A B = {0,2,4,5,6,8,9}

C. Operasi Selisih

Selisih himpunan A dan B adalah semua unsurA yang tidak termasuk di dalam B.

Selisih himpunan A dan himpunan B dilambangkan A – B atau A B’

11/5/2014

10

Contoh Soal Selisih

S

P-G

BEBERAPA ATURAN DALAM HIMPUNAN

11/5/2014

11

11/5/2014

12

Contoh Soal

Suatu kelas jumlah mahasiswanya 90 orang, 50 orang diantaranya senang matematika, 30 senang statistik dan 20 orang senang matematika dan statistik.

A) berapa orang yang tidak senang statistik dan matematika?

B) gambarkan diagram Venn nya!

A = penyuka Matematika = 50

B = penyuka statistik = 30

A B = 30

S

A B

50 3020

11/5/2014

13

PERMUTASI & KOMBINASI

PERMUTASI

Seringkali kita tertarik pada himpunan atau ruangsampel (dalam statistik) yang berisikan semuakemungkinan pengaturan atau susunan suatu grupatau obyek. Contohnya, kita ingin mengetahuiberapa kemungkinan pengaturan duduk 6 orangmengelingi suatu meja. Pengaturan yang berbedaini disebut PERMUTASI

Permutasi adalah pengaturan semua atau sebagianobyek ke dalam suatu urutan tertentu

Banyaknya Permutasi untuk n obyek adalah n!

11/5/2014

14

Contoh 1

3 Objek ABC, pengaturan objek tersebut adalahABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA yang disebutpermutasi. Jadi permutasi 3 objek menghasilkan 6 pengaturan dengan cara yang berbeda.

Seorang pengusaha ingin dari Jakarta ke Makasarmelalui Surabaya. Jika Jakarta-Surabaya dapatdilalui dengan tiga maskapai penerbangan danSurabaya-Makasar dapat dilalui dengan 2 maskapai penerbangan, ada berapa carapengusaha tersebut dapat tiba di Makasar melalui surabaya?

Soal

Pada Suatu Tempat terdapat 4 buku matematika yang berbeda, 3 buku statistik yang berbeda dan 2 buku akuntansi. Semua buku akan disusun pada sebuah rak buku. Berapa cara susunan yang mungkin dari kejadian berikut ini?1. buku-buku matematika dapat disusun?

2. buku-buku statistik dapat disusun?

3. buku-buku akuntansi dapat disusun?

4. ketiga kelompok buku dapat disusun?

5. Masing-masing kelompok buku (subjek) disusun bersama (dijadikan satu)?

11/5/2014

15

Permutasi r dari n elemen

Permutasi r dari n elemen adalah jumlah kemungkinanurutan r buah elemen yang dipilih dari n buah elemen, dengan r ≤ n, yang dalam hal ini, pada setiapkemungkinan urutan tidak ada elemen yang sama

) r n

rn

nPrn

(

)!(

!

Contoh 2.

Kode buku di sebuah perpustakaan panjangnya 7 karakter (digit) yang terdiri dari 4 huruf berbedadan diikuti dengan 3 angka yang berbeda pula. Berapakah banyaknya kode buku yang dapatdisusun?

Jawab:

000.336.258

)!310(

!10

)!426(

!263,104,26

PP

11/5/2014

16

Contoh 3.

Dalam satu tahun, 3 penghargaan (riset, pengajaran, & pengabdian) diberikan pada 25 mahasiswa pasca sarjanasuatu jurusan statistik. Jika setiap mahasiswa hanya dapatmenerima paling banyak 1 penghargaan, berapa banyaknyakemungkinan?

Karena penghargaan tersebut dapat dibedakan dengan jelas, maka ini merupakan masalah permutasi. Banyaknya titiksampel adalah

800.13)23)(24(25

!22

!25

!325

!25325

P

Permutasi dari n obyek dengan pengembalian

Permutasi dari n objek dengan pengembaliandirumuskan :

rrn nP

Catatan: Pada dasarnya masalah ini tidak dapat dipecahkan denganpermutasi. Rumus di atas merupakan kaidah perkalian biasa

11/5/2014

17

Contoh 4.

Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 angka berikut: 1, 2, 3, 4 , 5, jika:

a) Tidak boleh ada pengulangan angka

b) Boleh ada pengulangan angka.

Jawab :

a) Tidak boleh ada pengulangan

Dengan kaidah perkalian: (5)(4)(3) = 60 buah

Dengan rumus permutasi P(5, 3) = 5!/(5 – 3)! = 60

b) Boleh ada pengulangan angka

Dengan kaidah perkalian: (5)(5)(5) = 53= 125.

Permutasi dari n obyek yang disusunmelingkar

Dalam suatu permainan bridge terdapat 4 orangpemain yang duduk melingkar. Jika 1 orang dudukdalam posisi tetap, maka ada 3! Atau 6 cara kitabisa melalukan pengaturan duduk yang berbeda

!1 n

11/5/2014

18

Permutasi dari n obyek yang terdiri darisekumpulan sel.

!!...!

!

,...,,,...,,

2121

21

rr

rnnn

n

nnn

nnnnPn

Banyaknya cara untuk membagi sekumpulan n obyekkedalam sel sebanyak r dengan n1 adalah elemendalam sel 1, n2 adalah elemen dalam sel kedua, danseterusnya adalah

Dengan n1+n2+ … + nr = n

Contoh 5.

Dalam berapa cara 7 orang mahasiswa pascasarjana yang sedang menghadiri konferensi dapatditempatkan di kamar hotel yang terdiri atas 1 kamar triple dan 2 double?

210!2!2!3

!7

2,2 ,3

7

11/5/2014

19

Contoh 6.

Berapakah banyaknya pengaturan huruf yang dapat disusun dari huruf-huruf dalam kataSTATISTICS

Disini kita memiliki 10 huruf, dengan dua huruf yaituS & T muncul 3 kali, huruf I muncul 2 kali, dan A & C masing-masing 1 kali

50400!1!1!2!2!3

!10

1 1, ,2,3 ,3

10

KOMBINASI

Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapaobjek tanpa memperhatikan urutan objektersebut .

!!

!

r)(nr

nC n

r

Dimana : n r

11/5/2014

20

Contoh 7

Seorang ibu meminta anaknya memilih 3 baju dari10 baju di suatu department store. Berapakahbanyaknya cara memilih 3 dari 10 baju tersebut?

120)!3010(!3

!10

3

10

2. Hubungan permutasi dengankombinasi.

Hubungan permutasi dan kombinasidinyatakan sebagai berikut :

r!

PC r!CP

nrn

rnr

nr atau

11/5/2014

21

Petunjuk Dalam Penghitungan

Kapan harus menggunakan aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi atau kombinasi ? Baca pertanyaan dengan teliti. Perhatikan apakah

masalah tersebut mengandung 2 macam aturan yang berbeda. Jika demikian, pikirkan aturan manakah yang yang dipakai untuk menggabungkan bagian-bagian tersebut (aturan penjumlahan atau aturan perkalian). Apabila bagian-bagian tersebut merupakan suatu proses berurutan, maka aturan perkalian digunakan untuk menggabungkannya. Akan tetapi jika bagian tersebut merupakan pecahan dari masalah utama di masing-masing bagian terpisah satu sama lain, maka aturan penjumlahan yang dipakai.

Baca teliti permasalahan. Cari kata kuncinya. Kata kunci penggunaan kombinasi adalah pemilihan objek-objek yang tidak diperhatikan urutannya. Sedangkan kata kunci untuk permutasi adalah pengaturan objek-objek yang aturannya diperhatikan.

11/5/2014

22

PROBABILITAS

DEFINISI

Probabilitas diartikan sebagai hasil bagi daribanyaknya peristiwa yang dimaksud denganseluruh peristiwa yang mungkin.

n

XP(A)

Keterangan :

P(A) = probabilitas terjadinya kejadian AX = peristiwa yang dimaksudn = banyaknya peristiwa yang mungkin

11/5/2014

23

Proporsi waktu terjadinya peristiwa dalamjangka panjang, jika kondisi stabil ; atau

Frekuensi relatif dari seluruh peristiwa dalamsejumlah besar percobaan.

n

fP(X) i

Keterangan :P(X) = probabilitas peristiwa ifi = frekuensi peristiwa in = Banyaknya peristiwa.

Probabilitas memiliki batas mulai 0 sampai dengan 1 ( 0 P 1 )

Jika P = 0, disebut probabilitas kemustahilan, artinyakejadian atau peristiwa tersebut tidak akan terjadi.

Jika P = 1, disebut probabilitas kepastian, artinyakejadian atau peristiwa tersebut pasti terjadi.

Jika 0 P 1, disebut probabilitaskemungkinan,artinya kejadian atau peristiwa tersebutdapat atau tidak dapat terjadi.

11/5/2014

24

PERCOBAAN, RUANG SAMPEL, TITIK SAMPEL & PERISTIWA

Percobaan adalah proses mendapatkan suatu pengamatan atau pengambilan suatu pengukuran.

Titik Sampel adalah setiap anggota dari ruangsampel.

Ruang Sampel

1. Melemparkan koin– hasil S ={Kepala, Ekor}

2. Menggulingkan suatu dadu– hasil

S ={ , , , , , }

={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ruang sampel adalah himpunan/kumpulansemua hasil yang mungkin pada suatupercobaan.

11/5/2014

25

3. Melemparkan dua dadu seimbang– 36 hasil

S ={ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

hasil (x, y),

x = nilai yang terlihat pada dadu 1

y = nilai yang terlihat pada dadu 2

11/5/2014

26

Kejadian (Event)

Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagiandari ruang sampel pada suatu percobaan, atau hasildari percobaan.

S

E

Contoh

1. Menggulingkan sebuah dadu – hasil yg mungkin

S ={ , , , , , }

={1, 2, 3, 4, 5, 6}

E = Kejadian muncul angka genap

= {2, 4, 6}

={ , , }

11/5/2014

27

2. Melemparkan dua dadu seimbang– 36 outcomes

E = Kejadian jumlah angka yang muncul adalah 7

={ (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6)}

11/5/2014

28

Jika I menyatakan kejadian mahasiswa teknik industri terambil

Probabilitas mahasiswa Sipil atau Elektro terambil:

Contoh Probabilitas Kejadian

Suatu kelas statistik untuk para insinyur diikuti olehmahasiswa teknik industri 25 orang, mesin 10 orang, elektro 10 orang, dan sipil 8 orang. Jika seorangmahasiswa dipilih secara acak oleh instrukturnya untukmenjawab suatu pertanyaan, berapakah probabilitasmahasiswa tersebut adalah

Dari jurusan teknik industri

Dari jurusan teknik sipill atau elektro?

53

25IP

53

18ESP

Contoh Probabilitas Kejadian

Suatu laci berisikan 4 pasang kaos kaki warnamerah dan 16 pasang warna biru. Dodi akanmengambil 2 pasang secara acak tanpapengembalian. Berapakah kemungkinan keduanyaberwarna sama? (dengan kata lain terambilkeduanya merah ATAU semua biru)?

Jawab

MM:(4/20) x(3/19) = 0.0316

BB: (16/20) x(15/19)=0.6316

P (MM BB) = 66.32%

11/5/2014

29

5 buah kartu diambil secara acak dari 52 karturemi. Berapakah kemungkinan paling tidak satu As di tangan?

Ruang Sampel,

S = {0,1,2,3,4,5) S = {0, paling tidak ada 1 AS)

P (paling tidak 1 AS) = 1 – P(tidak ada AS samasekali)

Contoh Simple Random Sample (HubunganKombinasi dengan Probabilitas)

Suatu sampel berukuran 5 akan diambil daripopulasi sebanyak 4 wanita, 6 pria. Berapakahbanyaknya kesempatan terambil 3 wanita dan 2 priadalam sampel? Berapakah kemungkinan terambil 3 wanita dan 2 pria?

11/5/2014

30

Jawab

Total banyaknya sampel yang berbeda

Banyaknya 3 wanita terambil dari 4 wanita

Banyaknya 2 pria terambil dari 6 pria

Banyaknya sampel berbeda yang dapat diambil dari 3 wanita dan 2 pria

Kemungkinan terambil 3 wanita dan 2 pria adalah

2525

10

3

4

2

6

2

6

3

4

2381.0252

154

2

10

2

6

3

4

REVIEW Himpunan & Diagram Venn

Hubungan antaraKejadian dan Ruang

Sampel terkait

11/5/2014

31

ATURAN PENAMBAHAN (ADDITIVE RULES)

Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidaksaling lepas, apabila kedua peristiwa atau lebihtersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan.

Jika A dan B masing-masing merupakan suatukejadian yang tidak saling lepas, maka aturanpenambahannya adalah

Contoh

Yunus adalah sarjana fresh graduate lulusan teknikindustri. Setelah diwawancarai oleh dua perusahaanyang ia minati, ia menilai kemungkinan mendapatkanpekerjaan di perusahaan A adalah 0.8 danperusahaan B adalah 0.6 Ia percaya bahwa ia akanmendapatkan penawaran dari kedua perusahaantersebut sebesar 0.5. Berapakah peluang ia akanmendapatkan tawaran dari salah satu perusahaan?

9.00.5-0.60.8B)(P(A-P(B)P(A)B)P(A

11/5/2014

32

Contoh Latihan Soal

Peluang seorang mahasiswa lulus matematika 2/3 dan peluangnya lulus biologi 4/9. Bila peluangnyalulus paling sedikit satu mata kuliah 4/5 berapakahpeluangnya lulus dalam kedua mata kuliah?

Kejadian-kejadian Saling Lepas (Mutually exclusive/disjoint)

Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa salinglepas jika kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapatterjadi pada saat yang bersamaan

Contoh

Percobaan: melempar dadu. A: kejadian muncul angka 1, dan B kejadian muncul angka 4 tidak mungkin munculbersamaan

Percobaan: mengikuti SMPTN: A: kejadian diterima, B: kejadian tidak lolos

11/5/2014

33

Jika peristiwa A dan B mutually exclusive, probabilitas terjadinya peristiwa tersebutadalah :

P (A atau B) = P (A) + P (B) atau

P ( A B) = P (A) + P (B)

A B A B

Aturan Penambahan pada KejadianMutually Exclusive

Contoh

Berapakah probabilitas mendapatkan total 7 atau11 ketika sepasang dadu digulirkan?

A = kejadian mendapatkan total 7

B = kejadian mendapatkan total 11

P(A) = 1/6 dan P(B) = 1/18

Kedua kejadian tersebut mutually exclusive

11/5/2014

34

Jika probabilitas seseorang membeli mobilberwarna hijau, putih, merah dan kuning, masing-masing berturutan adalah 0.09, 0.15, 0.21, dan0.23, berapakah probabilitas seorang pembelimembeli salah satu mobil dengan warna diatas?

Contoh

Berikut ini adalah satu set kartu remi. Berapakah probabilitasterambil kartu King ATAU kartu berangka 4?

Berapakah probabilitas terambil kartu King ATAU kartuberwarna merah?

11/5/2014

35

P ( King atau 4) = P(King 4) =P (King) + P(4)

= (4/52) + (4/52) = 0.154

P (King atau merah) = P(King)+P(merah)-P(K dan merah)

= (4/52)+(26/52)-(2/52)

11/5/2014

36

Aturan Penambahan pada PeristiwaKomplementer

Jika A dan A’ atau adalah kejadian yang salingkomplementer, maka

A

Bukti: karena dan peristiwa A dan A’ adalah mutually exclusive, maka

Contoh

Jika probabilitas seorang montir dalam satu harikerja dapat memperbaiki mobil sebanyak 3, 4, 5, 6, 7, atau 8 ke atas secara berturutan adalah 0.12; 0.19; 0.28; 0.24; 0.10, dan 0.07, maka berapakahprobabilitas ia akan melayani sedikitnya 5 mobilpada hari berikutnya?

Anggap E merupakan kejadian sedikitnya 5 mobildiperbaiki. Jadi E’ adalah kejadian kurang dari 5 mobil diperbaiki

69.031.011)(

31.019.012.0

)EP(EP

)EP(

11/5/2014

37

Peristiwa yang Saling Independen(Bebas)

Apabila terjadinya peristiwa yang satu tidakmempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain

Dua proses dikatakan independen jika hasil prosespertama tidak memberikan informasi berguna (tidakberpengaruh pada hasil proses kedua)

Contoh kejadian saling bebas/independen Melemparkan suatu koin (munculnya ekor atau kepala tidak

tergantung sama lain)

Menggulirkan dadu (munculnya angka 2 tidak tergantungdengan munculnya angka lain pada pelemparanberikutnya)

Mengambil kartu dalam satu set kartu denganpengembalian

Aturan Perkalian pada KejadianIndependen

Probabilitas terjadinya irisan dua kejadian secara umum adalah sebagai berikut

Jika kejadian A dan B independen, probabilitasirisan (interaksi) kejadian A dan B sama denganperkalian probabilitas A dan B, yaitu,

APABPBPBAPBAP |)(|

BPAP

BPBAPBAP

|)(

11/5/2014

38

Jika kejadian A dan B adalah independen, maka

Contoh Independensi & multiplikasi

Dua pengambilan secara acak dari

P(keduanya adalah )

Dengan pengembalian = (3/5)x(3/5)

Tanpa pengembalian = (3/5)x(2/4)

Independensi tidak menentukan apakah kita harusmengalikan atau tidak; hal itu ditentukan “keduakejadian harus terjadi bersamaan”

Independensi mempengaruhi APA yang dikalikan

11/5/2014

39

Contoh

Pada tahun 2012 Survei Gallup menyatakan negarabagian Virginia Barat memiliki tingkat obesitastertinggi di seluruh AS sebesar 33.5%. Denganmengasumsikan tingkat obesitas konstan, berapakahprobabilitas dua penduduk West Virginia yang dipilih secara acak keduanya mengidap obesitas?

P(obesitas) = 0.335

P(keduanya obesitas) = P(pertama obesitas)xP(keduaobesitas) = 0.335 x 0.335 = 0,111

Mutually Exclusive/Disjoint vs Independen

Dua peristiwa dikatakanDisjoint (mutually

exclusive) jika keduanyatidak dapat terjadi secara

bersamaan pada satuwaktu

Dua proses dikatakanindependen jika

mengetahui hasil prosesyang satu tidak

berpengaruh pada hasilproses lainnya

P(A dan B) =P (A B) = 0 P(A|B) =P (A)

11/5/2014

40

PROBABILITAS BERSAMA (JOINT PROBABILITY)

Terjadinya 2 peristiwa atau lebih secara berurutandan peristiwa-peristiwa tersebut tidak salingmempengaruhi.

Jika peristiwa A dan B gabungan, probabilitasterjadinya peristiwa tersebut adalah :

P (A B) = P (A) x P (B)

11/5/2014

41

Contoh

Suatu penarikan dibuat secara acak dari

Berapakah probabilitas penarikan kedua adalah ?

P(penarikan kedua ) = P(penarikan pertamadan penarikan kedua )

Contoh

World Values Survey (www.worldvaluessurvey.org , suatu lembaga survei yang melakukan di seluruh duniamengenai persepsi tentanghidup, keluarga, politik, dll. Salah satu hasil survei terhadap 77,882 orang dari 57 memperkirakan 36.2% penduduk dunia setuju bahwa“Laki-laki seharusnya memiliki hak pada pekerjaanlebih banyak dibandingkan wanita”

Hasil survei juga memperkirakan 13.8% orang memilikgelar sarjana atau lebih tinggi dan 3.6% orang masukkedua kriteria tersebut (setuju dan bergelar sarjana)

P (setuju) = 0.362

P(gelar sarjana = 0.138

P(setuju & gelar sarjana)= 0.036

11/5/2014

42

Pertanyaan:

1. Apakah setuju dengan pernyataan “Laki-lakiseharusnya memiliki hak pada pekerjaan lebihbanyak dibandingkan wanita” dan memiliki gelarsarjana atau lebih tinggi merupakan dua peristiwamutually exclusive?

P (setuju) = 0.362

P(gelar sarjana) = 0.138

P(setuju & gelar sarjana)=0.036 ≠ 0 tdk mutually exclusive

2. Gambarkan Diagram Venn-nya

Setuju Sarjana

0.362 0.1380.036

0.362 – 0.036 = 0.326 0.138 – 0.036 = 0.102

11/5/2014

43

3. Berapakah probabilitas seseorang yang diambilsecara acak akan memiliki gelar sarjana atau setujudengan “Laki-laki seharusnya memiliki hak padapekerjaan lebih banyak dibandingkan wanita”

Setuju Gelar

0.362 0.1380.036

P (Setuju atau Gelar Univ)

= P(Setuju)+P(Gelar Univ) - P(Setuju &Gelar Univ)

= 0.362 + 0.138 – 0.036 = 0.464

)()()( BAPBPAPBAP

4. Berapa persen populasi di dunia yang tidakmemiliki gelar sarjana dan tidak setuju denganpernyataan “Laki-laki seharusnya memiliki hakpada pekerjaan lebih banyak dibandingkanwanita”?

P (Tidak Setuju atau Tidak bergelar Sarjana)

= 1- P(Setuju atau Sarjana)

= 1 - 0.464 = 0.536

Setuju Sarjana

0.362 0.1380.036

0.536

S

11/5/2014

44

5. Apakah kejadian seseorang setuju denganpernyataan tersebut Independen (saling bebas) dengan kejadian mereka memiliki gelar sarjana?

)()( BPAPBAP

P (Setuju dan Gelar Sarjana) ? = ? P (Setuju ) x P (Gelar Sarjana0

0.036 ?=? 0.362 x 0.138

0.036 ≠ 0.05 tidak independen

6. Berapakah probabilitas paling tidak ada 1 dari 5 orang terpilih secara acak setuju dengan pernyataan“Laki-laki seharusnya memiliki hak pada pekerjaanlebih banyak dibandingkan wanita”?

Ruang Sampel,

S = {0,1,2,3,4,5) S = {0, paling tidak ada 1 AS)

P (paling tidak 1 setuju) = 1 – P (tidak ada yang setuju)

= 1 P ( TS TS TS TS TS)

= 1 - 0.6385

= 1 – 0.106 = 0.894

P (Tidak Setuju)= 1 – P (Setuju)= 1 – 0.362 = 0.638

11/5/2014

45

PROBABILITAS BERSYARAT (CONDITIONAL PROBABILITY)

Probabilitas terjadinya suatu peristiwa/kejadiandengan syarat ada peristiwa lain yang terjadi.

Jadi ada peristiwa yang satu dipengaruhi ataubergantung pada peristiwa lainnya (keduaperistiwa tersebut tidak saling bebas)

Probabilitas Bersyarat peristiwa A ketika diketahuiperistiwa B terjadi adalah (diasumsikan P(B) >0), maka

P(B)

B)P(AB)|P(A

P(B)

B)P(AB)|P(A

A)|P(A)P(BB)|P(B)P(AB)P(A

11/5/2014

46

Contoh. Probabilitas Bersyarat

Probabilitas suatu penerbangan berangkat tepat waktuadalah P(B)=0.83; probabilitas kedatangan tepatwaktu adalah P(D) = 0.82; dan probabilitas berangkatdan datang tepat waktu adalah P(B∩D)=0.78. Carilahprobabilitas suatu penerbangan

Datang tepat waktu diberikan ia berangkat tepat waktu

Berangkat tepat waktu diberikan ia datang tepat waktu

Datang tepat waktu diberikan ia berangkat TIDAK tepatwaktu

Datang tepat waktu diberikan ia berangkat tepatwaktu

Berangkat tepat waktu diberikan ia datang tepatwaktu

Datang tepat waktu diberikan ia berangkat TIDAK tepat waktu

94.083.0

78.0

B

B D)B | D(

P

PP

95.082.0

78.0

D

B D)D | B(

P

PP

24.017.0

78.082.0

B

B D)B | D(

P

PP

11/5/2014

47

Contoh: Kejadian Independen & DependenPada Probabilitas Bersyarat

Dua kartu diambil secara acak dari susunan kartuberwarna

P (kartu kedua adalah ) = 3/5 tidak peduliapakah kartu pertama dikembalikan atau tidak

P(kartu kedua |kartu pertama ) =

Dengan pengembalian = 3/5

Tanpa pengembalian = 2/4

P (kartu kedua |kartu pertama )

Dengan pengembalian = 3/5

Tanpa pengembalian = 3/4

Independen

Independen

Dependen

Dependen

Contoh: Probabilitas Marginal, Bersama, dan Bersyarat

Terdapat suatu studi tentang cara pandang remajapada status/kelas sosial mereka

Sampel: 48 subyek dari kelas menengah ke bawahdan 50 dari kelas menengah ke atas (usia setiapsubyek16 tahun)

Rancangan Studi Penilaian OBYEKTIF terhadap kelas sosial berdasarkan

pekerjaan dan pendidikan orangtua serta pendapatanRT

Penilaian SUBYEKTIF melalui kuesioner

Study reference: Goodman, Elizabeth, et al. "Adolescents’ understanding of social class: a comparison of white upper middle class and working class youth." Journal of adolescent health 27.2 (2000): 80-83.

11/5/2014

48

Hasil

Hasil Posisi Kelas Sosial Obyektif

Identitas KelasSosial secara

Subyektif

Menengahke bawah

Menengah keatas

Total

Miskin 0 0 0

Menengah kebawah

8 0 8

Menengah 32 13 45

Menengah keatas

8 37 45

Atas 0 0 0

Total 48 50 98

Probabilitas Marginal

Berapakah probabilitas seorang pelajarberada pada posisi kelas sosial menengah keatas secara obyektif? P = 50/98 ≈ 0,51



Subyektif

Menengahke bawah

Menengah keatas

Total

Miskin 0 0 0

Menengah kebawah

8 0 8

Menengah 32 13 45

Menengah keatas

8 37 45

Atas 0 0 0

Total 48 50 98

11/5/2014

49

Probabilitas Bersama

Berapakah probabilitas seorang pelajar secara subyektif danobyektif berada pada kelas sosial menengah ke atas?



Subyektif

Menengahke bawah

Menengah keatas

Total

Miskin 0 0 0

Menengah kebawah

8 0 8

Menengah 32 13 45

Menengah ke atas 8 37 45

Atas 0 0 0

Total 48 50 98

38,098

37)MAOby MA Suby ()MAOby &MA Suby ( PP

Probabilitas Bersyarat

Berapakah probabilitas seorang pelajar yang secara obyektifberada pada kelas sosial pekerja berhubungan dengan kelas sosialmenengah ke atas scr subyektif



Subyektif

PekerjaMenengah ke

atasTotal

Miskin 0 0 0

Pekerja 8 0 8

Menengah 32 13 45

Menengah keatas

8 37 45

Atas 0 0 0

Total 48 50 98

17,048

8)PekerjaOby |MA Suby ( P

11/5/2014

50

Teorema Bayes



Subyektif

PekerjaMenengah ke

atasTotal

Miskin 0 0 0

Pekerja 8 0 8

Menengah 32 13 45

Menengah keatas

8 37 45

Atas 0 0 0

Total 48 50 98

17,09848

988

PekerjaOby

PekerjaOby |MA Suby )PekerjaOby |MA Suby (

P

PP

P(B)

B)P(AB)|P(A

Contoh: Probabilitas Bersyarat, PohonProbabilitas, & Teorema Bayes

Suatu pabrik memiliki dua mesin untuk memproduksitipe produk tertentu. Mesin A menghasilkan 80% dan mesin B sisanya (20%). Baik kedua mesin akanmenghasilkan produk cacat mesin A sebanyak 1% dan mesin B sebanyak 2% Berapakah kemungkinan produk yang dihasilkan mesin

A itu cacat?

Berapakah probabilitas produk yang dihasilkan keduamesin itu cacat?

Jika suatu produk diambil secara acak, berapakahprobabilitas produk cacat terambil itu dihasilkan darimesin A

11/5/2014

51

P(A) = 0,8

P(B) = 0,2A

B

0.8

0.2

cacat0.01

OK

0.99

cacat0.02

OK0.98

P(A & Cacat) = 0.8 x 0.01 = 0.008

P(Cacat) = P(A & Cacat) + P(B & cacat) = 0.008+0.004=0,012

67.0

02.02.001.08.0

01.08.0

(Cacat)

)CacatA()Cacat|A(

P

PP

ATURAN BAYES: Digunakan untuk menemukan probabilitas bersyarat suatu kejadianpada tahap sebelumnya dengan diberikan hasil tahap sesudahnya

Contoh

Diketahui suatu penyaki ttertentu akan diidap oleh 1% darisuatu populasi

Hasil tes terhadap penyakit akan ditandai + (jika terindikasipositif) dan – (jika negatif)

Pengujian itu sendiri tidak selalu tepat. Diantara mereka yang memiliki penyakit tersebut ketika menjalani tes sebanyak 0,5% akan menunjukkan hasil - negatif (false negative – dianggapnegatif padahal positif). Diantara mereka yang TIDAK memiliki penyakit tersebut ketika diuji sebanyak 0,8% akanmenunjukkan hasil positif.

Seseorang diambil secara acak dari populasi. Berapakahkemungkinan orang tersebut memiliki penyakit jika diketahuihasil tes nya positif +

11/5/2014

52

S

TS

0.01

0.99

0.995

0.005

+0.002

-0.992

+

-

56.0008.099.0995.001.0

995.001.0)|S(

P

SPP

Education

STATISTIK INDUSTRI 1 - TEORI PROBABILITAS