E NCICLOPEDIA EINAUDI [ 1 982 ]

STRUTTURE MATEMATICHE

Massimo Galuzzi — STRUTTURE MATEMATICHE pag .5

Jacques Le Goff — APPLICAZIONI pag.llASSIOMA/POSTULATO p a g . 3 3CONTINUO/D I S CRETO p a g . 4 3

DIPENDENZA/INDIPENDENZA pag. 70

DIVISIBILITÁ pag.93Israil Moiseevic Gel'fand e Jurij Ivanovic Manin

DUALITÁ p a g . 1 0 5Jurij Ivanovic Manin — INSIEME p a g . 1 3 2

RAZIONALE/ALGEBRICO/ TRASCENDENTE p a g . 14 9Israil Moiseevic Gel'fand e Jurij Ivanovic Manin

SIMMETRIA p a g . 16 3Jurij Ivanovic Manin — STRUTTURE MATEMATICHE p a g . 17 7

Massimo Galuzzi — TRASFORMAZIONI NATURALI/CATEGORIE pag.195

ambiguità allegoriacodicecompetenza/esecuzione

Strutture matematiche fonetica immaginemetafora avanguardia Strutture matematiche

grammatica classicoconcetto analagia e metafora lessico • egno

criticaesistenza argomentaxione lingua significato filologiasimbolo bello/brutto

essere interpretazione lingua/parola letteratura creativitàfenomeno linguaggio maniera espressioneforma metricaastratto/concreto poetica fantasticoidea semanticadialettica alfabeto retorica gusto

identitàjdBfercnza proposirionee giudizio senso/significato ascolto imitazionetraduzionenlccfisrloiie gesto immaginazione anthrapos

opposizione(contraddizione universali/particolari lettura progetto cultura/culturequalità/quantità luogo comuneatti linguistici riproduzion%iproducibifità etnocentrismi

tatalità orale/scmttodicibi1%ndicibile discorso sensibilità natura/culturauno/molti enunciazione eamutriaxxione h parola finzione spazialità

tfechione ritmo srtt

distribuzione statistica presupposizione e allusione errore generiscrittura artigianato

dato referentc informazione narrazione/narrativita- = giochf artistavoceetica stile acculturazionessdszione statistica attribuzione

filosofia/Rlosoáe tema/motivo civiltàprzibsbfgtà ragione antico/moderno oggetto

testo futuro,rspprcscntazioiic suitistlcs razionale/ irrazionale catastrofi calendario produzione artistica selvaggio/barbar%ivilizzato

= ==-:- = = éoria/prsdca soggett%ggetto ciclo decadenza .b armo n ia coloreuguaglianza evento escatologia inclodls escrementi

caos/cosmo valori periodizzazione età mitiche disegno/progetto fertihtàvisione

infinito vero/falso tempo/temporalità genesi'ritmim/metrica I abbigliamento nascita educazione

calve sz\Ipclfictmacrocosmo/microcosmo volontà passato/presente

gcsmtsràs s topoàsgis Punse(rumor sensi generazionimondo progresso/reazione sessualità infanzia coltivazione

invariastc,== - : = '= ­

uaionc(p

alchimia fcfttkle/stmislestoria danza morte cultura materialenatura vecchiaiaastrologia atlante maschera amore industna ruraleosservazione vita/mortecabala collezione moda desiderio materialireale elementi documento/monumento credenze ornamento eros=..:--'­'=:= ­'=. equivtdcnza unità armi prodotti

esoterico/essoterico fossile Isteria clinicafrontiera dialetto scena

memoria enigma pulsione angoscia/colpa cura/normalizzazionenmom cs­=gaffes guerrarovina/restauro fiaba • orna/psiche castrazione e com lp esso esclusion%ntegrazione

mfinitesimals -. ­ ibilità n apafisi(àntesiimperi sonno/sogno censura farmaco/droga fuoco

nazione mostro cannibalismo identificazione e, trapsfert follia/delirio homotattica/strategia . popolare dèi inconscio mano/mamifattoproverbi divino medicina/medicalizzazione

tecnicaalienaziane tradixioni nevrosi/psicosiCI'ai

normale/anormalepiacere utensilecoscienza/autocoscienza demagogia iniziazione salute/malattia

immaginazione sociale discriminazione magia sintomo/diagnosidemonipace repressione ateo messia alimentazione

divinazione agonismoterrore millennio animale

a siom (postttfatá=.­servo/signore chierico/laico cerimoniale casta

esso/probabilità uomo tolleranza/intolleranza chiesa mito/rito cucinapersona festa donnacontinu /do/ iscfcto causa/effetto utopia tortura diavolo mythos/lagna

pur%mpuro endogamia/esogamia domesticamentofeticciodipendeva ind'/ abaco certezza/dubbio violenza eresia originireligione famiglia famedivisibilità ' algoritmo gioco

coerenza libertino sogno/visione lutto incesto vegetaledualità approsrimszion convemdione csiàgorlzzszi arie libro stregoneria maschile/femminileinsieme regalità

determinao/indeterminato= ­.:Vososemma peccato rito matrimonio

razionale/algebrsco~ssdtzt '

­ .

' otC o empi ria/esperi. .=, := ,==~ - ' . , "àvppie fiiosofiche sacro/profano parentela

stmmetria zero cspcfliiicnto ina(discipline santità borghesi/borghesia caccia/raccoltarotemlegge I — : ­ .===-:=:­'=====". enciclopedia l burocrazia economia donouomo/donna

trasformatàesi nstundi / categorie libertà/necessità '=.=.'=::=:=: = ---iiinovaziane/scoperta classi formazione econornic ­ ' 1 eccedente' o-socia emetafi contadini lavoro pastorizia

control1%etroazione . insegnamentonaturide/artfficisle I consenso/dissenso p r i l in t i Vo

invenziane ideologia modo di produzioneopcrsttvità­ egemonia/dittatura reciprocità/ridistribuzione

igita e equilibrio/squilibrio presentazione I masse proprietàintellettualipsmdigma ricerca proletariato riproduzione

interazione libertàprevisione e possibilità rivoluzione~~ C chss i ficazione transizione abbondanza/scarsitàintelligenza artificialeia e o r d ine/disordine anone rridurione maggioranza/minoranza

bisognoorganizzazione ripetizione partitisemplic%omplesso politica consumo

sistema apprendimento amministrazione accumulazione impastaspiegazione

strumento soglia cervello autoregolazion%quilibrazione comunità capitale lussoverificabiTità jfalsificabilhà

comportamento cognizione conflitto ci'Isi oro e argentocostituzione

e condizionamento induzione/deduzione consuetudine élite distribuzione pesi e misurediritto democrazia/dittatura

controllo sacrale innato/acquisito fabbricagergo produzione/distribuxionenorma

astronomia emozione/motivazione istinto giustizia g"uppii gestione ricchezzaistituzioni patto. ccemologie imperialismo scambio

atomo e molecola mente operazioni marginalitpatere

= ­.=-~ —.-.='­'= = gravitazioneconservazione/invarianza percezione responsabilità opinione impresa sprecopotere/autorità

luce quoziente intellettuale povertà mercatoentropia pubblico/privata

aztàitesis propaganda mercesocietà civilecellula ruolo/status moneta

abitazione statoadattamento differenziamento soclallzzszlanc pianificazione

i evoluxione acquaimmunità • ocietà profino

ambientemutazione/selezione individualità biologica spazio sociale renditacittàpolimorfismo integrazione salarioclimaspcclc invecchiamento utilità

quanti ecumeneteiatività organismo valore/plusvalore

insediamento agricolturaregolazionereversibilità/irreversibilità migrazionecatalisi città/campagna

ststo fisieo sviluppo e morfogenesi paesaggio coloniemacromolecalc popolazione commerciometabolismo regione industria

omeostasi eredità risorse spazio economicoorganico/inorganico suolo

osmosi gene sviluppo/sottosviluppoterra

vita genotipo/fenotiporazza territoriosangue villaggio

Strutture matematiche 292 293 Strutture matemattche

IIl tb Otb G

O G Otb OO + V

N cl G Oal V N CàCtl N Ctl O

+ O V

tlt Gal alal V G p VPO G p Cà V N O

Q tb

V O Q tàV àl V al O V

cà N 4 al Q ò0

E O G v V àt ' Cà V 00al CtlQ + + Z5

V XO V V V + N ttl àt N al g

+cà V G O G V 4Qb0 'v V 'a cc E E G G

V O E Vl cl al l àt V

at V OQ al V +ctl al O O O O O .Q H o V V O t à R Vàtal al al G VV V V V V V V V V V V V V àl àl V tb V CI b0 00 b0 b0 A G O E E

applicazioni 6 2 5 33 5

6 3 7 8 3 2 6assioma/postulato 3 6 4 6 6 6 6 2 ' 2 6 8 6 2 3

8 68 3 6

continuo /discreto 4 ' 3 6 3 3 4 4 64 4

7 3 7 6 • z I 3 8 6 6dipendenza/indipendenza 6 4 4 3 4 S 4 4 5 6 4 3 3 4 5 2 4 5

divisibilità 5 4 2

dualità 4 4 6 24 6 5 3

insieme 4 73 S ' 3 8 6 7 7 3 4 3

4 7z

2 5 2

8 3 3 2 7 9 9 4 3razionale/algeb./trascend. 7 2 4 S 2

8 88 3

simmetria 2 ' 3 3 4 4 3 6 2 3 5 2 7 3 2 4 3 5 2 3 7strutture matematiche 5 6 2 3 3 6 4 7 z 8 4 6

trasform. nat. / categorie 4 ' 2 5 I 3 4 4 4 S 6 7 5 I 4 2 5 z 6 4 I 2 I 3 I 3

V Cld 4

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O àl Q t Q O+ OO O bb

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E H O P 4 O 4 4 Cà Cà OtD V G v 4 EQ O o G, G, G , a t 4 k V PJ V

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applicazioni 5assioma/postulato 6 z 2 I z 6

3 2 4 2 9 3 4 3 22 5 5 4 3

7 73 8 3 5 6 3 3 3 2 4 3

continuo/discreto S 2 5 6 4 5 7 3 2 4 5 2 4, 8 5 3 3 I 2dipendenza/indipendenza 3 4 5 2 4 4 3 5 2 4 4 3 1 4 5 3 6 • 5 6 3 4

divisibilità 5 2 Sdualità 3 3 3 2 2

3 62 2 2 6 2

insieme 6 z 2 5 3 3 6 4 5 6 z 6 6 z 9 5 4 3 2 ' 2razionale/algeb./trascend. 5 3 3 2 7 z

simmetria I 3 3 5 S 5 3 34 3

6 5 4 4 3 3 4strutture matematiche 6 3 3 8 4trasform. nat. / categorie 3 4 4 3 2 5 4 4 3 2 3 2 2 2 4 7 3 2 I 7 4 4 3 4

Strutture matematiche 294~95 Strutture matematiche

càccc+ Q

àeCl oo + dipendenza(n cclcle V ccc indipendenzaV N

o làAQ o E Q+àc o Q lcl

E Lc lcl Q Insiemeo Q cle Eccl ccc à a ccc QE lCcà O + Clc cc OQ

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Q QcclVJ E E o razionale/ divisi­+ g 7cc ccl Q c Q cl c Q alg./trasc. bi l i t à

strutture matematiche 4 7 4 4 3 2

insieme 7 7 6 5 6 S S 6dualità 4 3 5 4 a plicazioni strutture trasf.nat./ assioma/

simmetria 2 ' 5 3 3 matem. categorie postulato

applicazioni 6 5 7 5 5 I 5 4 3 slmmetnacontinuo/discreto 6 5 4. 2 4 4 I

razionale/algebrico/trascendente 4 2 4 5 6 contmuodivisibilità 2 I discreto

assioma/postulato 6 6 I 4 2 4 4trasformazioni naturali / categorie 6 2 2

dipendenza/indipendenza 2 4 dualità

6gg

Strutture matematiche-wood Cliffs

Applicazioni, Assioma/postulato, Continuo/discreto,Dipendenza/indipendenza, Divisibilità, Dualità, Insieme,

The Razionale/algebrico/trascendente, Simmetria,Strutture matematiche, Trasformazioni naturali / categorie

L'«identità» degli oggetti matematici nell'evoluzione temporale, l'inseribi­lità in discorsi sempre piu ampi, che è stata oggetto del commento a+Geometriae topologia+, certo ha colpito l'attenzione di molti pensatori. Un esempio fra imolti è dato da Pierre Duhem : «Le proposizioni che costituiscono le scienze uni­camente matematiche sono, al massimo grado, verità universalmente accettate;la precisione del linguaggio, il rigore dei procedimenti dimostrativi, non lascianospazio a divergenze durature tra le concezioni dei vari geometri ; attraverso i se­coli, le dottrine si sviluppano in continuo progresso, senza che le nuove conqui­ste facciano perdere nulla dei domini acquisiti in precedenza».

Ancora piu chiaro è Duhem ove mette a contrasto fisica e geometria: «La fi­sica non progredisce come la geometria che 'aggiunge nuove proposizioni defini­tive e indiscutibili a quelle che già possedeva, progredisce invece perché l'espe­rienza produce di continuo nuovi disaccordi tra leggi e fatti e perché, incessan­temente, i fisici ritoccano e modificano le leggi per poter rappresentare i fatti inmodo piu esatto».

Questa identità degli enti matematici ha certo riscontro in fatti reali. Ma essaè un estremo dell'opposizione identità/differenza e si vedranno ora alcuni esem­pi, avendo cura di rilevare i contrasti che coesistono con le concordanze,

Si è spesso osservato come il metodo assiomatico sia per eccellenza il metododella matematica (cfr. l'articolo +Assioma/postulato', per esempio. Si ponganoanche a confronto i due articoli «Funzioni » e +Applicazioni+ e si vedrà nel secon­do caso come venga organizzata una descrizione assiomatica di molte delle que­stioni trattate nel primo articolo ). Questo metodo ha indubitabilmente originiantiche : certo ben prima di Euclide si sono avute costruzioni teoriche organizza­te in modo deduttivo, a partire da poche premesse assunte inizialmente. Tutta­via è con gli Elementi che si dispone di un testo articolato e sistematico con ilquale si può istituire un confronto fecondo.

Ecco la prima proposizione euclidea:

pRoposIzIQNE I. Su una retta terminata data costruire un triangolo equilatero.

La costruzione (e con ciò la dimostrazione della sua esistenza) consiste nel trac­ciare il cerchio BCD, con centro A e raggio AB, il cerchio ACE, con centro Be raggio BA e nel congiungere il punto C (una delle due intersezioni dei cerchi )con A e B. Poiché AC = AB e BC =AB «cose che sono uguali a una stessa sonouguali anche tra loro» e perciò AC =BC =AB (fig. I).

Si è osservato fin dall'antichità come l'esistenza del punto C che dà una delleintersezioni dei cerchi non segua dagli assiomi e dai postulati precedenti. Il testo

Sistematica locale 636 637 Strutture matematiche

euclideo va quindi integrato. Un nuovo moderno «Euclide emendato» sarebbe bole (come nella prop. 59 del I libro, per fare un esempio tra i piu tipici ), le con­

per molti aspetti assai piu ricco e sofisticato dell'originale se si dovesse tener con­ siderazioni di+simmetria+ sono ridotte in modo da rendere le dimostrazioni as­

to del gran numero di osservazioni, come la precedente, che si sono accumulate sai strane per un lettore che non abbia familiarità con la matematica greca. Nella

nei secoli. Ma non è tanto questa differenza che preme qui segnalare. Se si sup­ proposizione citata, dopo aver costruito una sezione (ossia un ramo dell'iperbole)plisce l'opportuno postulato dell'intersezione dei cerchi, si osserva poi immedia­ Apollonio procede a ricostruire i dati e poi la sezione opposta, anziché ricostruire

tamente che la dimostrazione euclidea diviene completamente rigorosa. Essa ha immediatamente la sezione cercata usando la simmetria. E non è che un esempio

inoltre caratteristiche d'immediatezza e di semplicità tali da renderla pratica­ fra innumerevoli altri.

mente insostituibile. Tornando ad Euclide, nel libro V degli Elementi ove è esposta la teoria delle

Non solo quindi viene riconosciuto negli Elementi lo stesso nostro ideale di­ proporzioni, il maggiore strumento dimostrativo della matematica classica, si ha

mostrativo perfino nei luoghi ove occorrono integrazioni, ma anche qui, e in la seguente proposizione ( l l ) :molti altri casi, ci si trova d' accordo nel proporre come le piu naturali le stesse di­ PRDPoslzlolvR. I rapporti che sono uguali a un medesimo rapporto sono ugualiframostrazioni, pur con le opportune modifiche. loro, cioè da A : B = C: D e C : D = E: F si deduce A : B = E: F.

Ma questa identità sembra quasi costituire uno sfondo per mettere in mag­gior rilievo molte e fondamentali differenze che riguardano principalmente la Che significa questo > Conferma ancora una volta che la proporzione A : B = C : D

natura degli enti geometrici. Certo gli enti geometrici degli Elementi non sono va pensata come un tutto unico, e non come affermante l'uguaglianza di rapporti

enti fisici, ma «enti ideali» in senso pieno; ciò non toglie che essi organizzino (in caso contrario al teorema si potrebbe sostituire la prima delle nozioni comuni :

una descrizione che nel suo complesso va collegata allo spazio della nostra espe­ «Cose uguali a una stessa cosa sono uguali tra loro»).rienza. Quante implicazioni questo possa avere sulla considerazione di figure sim­

I concetti moderni di «modello» e di «struttura», cosi importanti e fecondi, metriche rispetto a una data retta, per esempio, è evidente. La considerazione di

sono privi di senso se visti in connessione con gli Elementi. Questi ultimi, nella rapporti «a sinistra» e «a destra» non conduce automaticamente a proporzioni

misura in cui sono pensati descrivere l'unica geometria possibile, sono per ciò proprio perché, almeno di primo acchito, non è lecito questo modo di intendere

stesso l'unico modello e l'unica struttura geometrica, il che svuota di significato le proporzioni. Chi ha familiarità con la matematica greca sa bene quanta pazien­

questi concetti, se applicati in questo caso. za sia talora necessaria per liberarsi di certi «pregiudizi» moderni e intendere an­

Inoltre, sebbene si sia debitori alla scienza greca di molti dei concetti che ora che il senso degli sviluppi dimostrativi in luoghi ove la simmetria sembrerebbe

si ritrovano nell'area descritta da+simmetria+, vi sono molte sottili differenze, vanlficare ogni necessità dimostrativa.

soprattutto a livello dimostrativo. Non vi è intanto una diretta derivazione del Ora certo i Fondamenti della geometria (Grundlagen der Geometrie, l899), laconcetto espresso in greco da rlup.pswpoq 'commensurato, proporzionale' (cfr. «carta dell'assiomatica moderna» a giudizio di Bourbaki, sono pur sempre una

l'articolo +Razionai%1gebricoftrascendente+), aggettivo usato da Euclide [X, l] presentazione della geometria erede per molti aspetti della tradizione euclidea,

per indicare grandezze che ammettono una misura comune («full,pcvpa p.sys9qI i n ma la direzione del successivo programma di Hilbert, volto a formare delle conce­

7sysvx< và vr' +usto ll.svpro p,svpup,sv@», ecc.), cioè grandezze commensurabili zioni generali dei formalismi matematici, quali giochi con i testi simbolici non

nel nostro linguaggio. Ma al di là dello slittamento di significato dei termini, è richiedenti, in linea di principio, alcuna interpretazione, per usare le parole di

nei metodi dimostrativi stessi che si notano profonde differenze. Manin, è irriducibile ai termini della matematica greca.

Con molta evidenza la cosa si nota in Apollonio. Ogni qual volta nel libro I Il confronto con la scienza greca è profondamente significativo anche per un

del suo trattato appaiono le «sezioni opposte», cioè i due rami di una stessa iper­ altro aspetto disciplinare.Secondo un giudizio universalmente acquisito la fondazione della logica si

deve ad Aristotele.Ora, quando si legge, ad esempio, nei Primi analitici [z5b, 37-39] che «se A

si predica di ogni B, e se B si predica di ogni C, è necessario che A venga predi­» cato di ogni C», ci si trova certo su un terreno familiare a tutti coloro che hanno

D, A B E una qualche esperienza matematica e l'idea di una figura come-----A

------B

Figura s.

Costruzione di un t r iangolo equilatero.

22

Sistematica locale 638 639 Strutture matematiche

(se A si predica di ogni B tutti i B hanno la proprietà A, ecc.) rende trasparente Ma questo non è il solo aspetto e ancora Aristotele lo avverte con grande

l'implicazione. Tuttavia si è qui ben lungi dall'essere in un contesto matematico chiarezza, tant'è che l'aporia di Zenone non è ricondotta a questo solo aspetto ma

o afferente in qualche modo alla matematica. Occorrerà un processo di molti se­ all'essere il tempo e lo spazio, sotto questo rispetto, uguali. Questo è un modo

coli, fino all'Ottocento, perché si realizzi quell'unità fra logica e matematica che certo geniale per rendere pensabile il moto, ma lascia inesplorato un aspetto del­

ha prodotto la «logica matematica» moderna. la continuità d'un ente preso per se stesso isolatamente.

Si può ammettere, certo, che gli Elementi abbiano un'organizzazione confor­ Dedekind, con'uno scritto del x87z (l'anno stesso del Programma di Erlan­

me alla logica aristotelica, ma ciò è vero in un senso molto generale, per quanto gen) reca un contributo decisivo al problema della comprensione della continui­riguarda l'architettura complessiva dell'opera e non nel senso che la logica vi tà. Si tratta del saggio Continuità e numeri irrazionali (Stetigkeit und irrationale

compaia come uno «strumento» per sviluppare singole dimostrazioni od orga­ Zahlen). Vi si osserva come, considerati i numeri razionali con la loro relazione

nizzare complessi di dimostrazioni. Vi sono negli Elementi forme deduttive non d'ordine, un numero a ripartisca tutti i numeri razionali in due classi A, e As,

sillogistiche e, in generale, le dimostrazioni sono modellate sull'oggetto matema­ entrambe infinite, delle quali la prima contiene tutti gli a, con a, (a e la seconda

tico piuttosto che ricondotte a tipi standard dal punto di vista logico. tutti gli aa con a~) a (a stesso può porsi nella prima o nella seconda classe).È molto importante sottolineare questa autonomia del discorso matematico, Questa proprietà trova riscontro in una consimile proprietà dei punti di una

autonomia che diverrà ancora piu marcata con il sorgere della scienza nuova, per retta: un punto A divide i punti della retta in due classi, formata la prima dai

ben capire come l'unità che si viene a realizzare tra matematica e logica nel seco­ punti Ai alla sinistra di A e la seconda dai punti A, alla destra di A (analoga os­lo scorso presuppone un determinato grado di sviluppo delle due discipline. L'e­ servazione vale per A ). Cosa ora fa si che la retta sia continua e che tale non sia il

sperienza dell'algebra è, ovviamente, fondamentale nell'opera di Boole, ma non sistema dei numeri razionali>

è solo l'«algebrizzazione della logica )> che segna la differenza con Aristotele, è Se si fissa un riferimento sulla retta, è possibile disporvi al modo solito tuttil'intero modo di intendere la disciplina in connessione con l'attività scientifica, i numeri razionali e, come è ben noto, la presenza dei segmenti incommensura­

Si tratta di osservazioni molto semplici. Esse suggeriscono tuttavia come bili si manifesta nel fatto che vi sono punti sulla retta che non corrispondono a

spesso anche a una lettura «accurata» dei testi e a una interpretazione fonda­ numeri razionali (come il segmento che rappresenta la diagonale del quadrato

mentalmente «esatta», come in questo caso della breve frase citata di Aristotele, che ha per lato l'unità di misura).possono corrispondere non poche drastiche semplificazioni. Ebbene questa differenza, questa «mancanza» di numeri corrisponde esatta­

mente al fatto che ogni suddivisione dei punti della retta in due classi tali che

Anche l'opposizione +continuoidiscreto+ che inerisce ad aspetti fondamen­ ogni punto della prima classe stia a sinistra di ogni punto della seconda è realiz­

tali dell'esperienza umana, ha suscitato, nell'antichità, le riflessioni teoriche piu zata esattamente da un punto, mentre ciò non avviene per le classi di razionali

profonde nel pensiero greco. Tra le piu celebri vi sono i paradossi di Zenone sul tali che ogni numero della prima sia inferiore a ogni numero della seconda. Non

moto, esposti e analizzati da Aristotele ; in essi, forse piu che altrove, si avverte vi sono partizioni dei punti della retta che abbiano rispetto all'ordinamento la

la profonda tensione concettuale che pervade l'opposizione. Una «soluzione» dei stessa caratteristica di quelle che provengono dai suoi punti che già non proven­

paradossi di Zenone che faccia capo a una interpretazione univoca e corrisponda gano da punti.a un'unica idea risolutiva non si è data fino ad ora, né può darsi se nella coppia «Che ognuno trovi il principio enunciato tanto evidente e tanto concordante

continuo/discreto si manifesta una contraddizione effettiva. Ma il problema cer­ con la sua propria rappresentazione della retta, — osserva Dedekind, — ciò mi sod­

to può essere approfondito e la formulazione moderna della continuità della ret­ disfa al massimo grado, perché né a me né ad altri è possibile dare di questo

ta data da Dedekind costituisce un progresso fondamentale. Già Aristotele [Fisi­ principio una dimostrazione qualsiasi. La proprietà della retta espressa da que­

ca, z33a, z4-z8] aveva osservato come «in due sensi si dicono infiniti tanto la sto principio non è che un assioma, ed è solo sotto forma di questo assioma che

lunghezza quanto il tempo e in genere ogni continuo: o per divisione o per gli noi pensiamo la continuità della retta, che riconosciamo alla retta la sua conti­

estremi. Pertanto, gli infiniti che sono tali secondo la quantità, non possono toc­ nuità».

carsi in un tempo finito; quelli, invece, che sono tali secondo la divisione, lo pos­sono perché il tempo stesso è infinito sotto questo aspetto» (cfr, +Divisibilità+ ),

Il continuo è infinito per divisione. Questo aspetto della continuità è coltocon grande chiarezza da Aristotele. Se si considera il caso della retta, ciò signi­ p /

fica che tra due suoi punti A e B c'è sempre un C intermedio : O IFigura z.

Il punto P' sulla retta non è rappresentato da alcun numero razionale (corrisponde

C B i nfatti a ~ a ).

Sistematica locale 6yo 6gz Strutture matematiche

Con la formulazione di Dedekind della continuità si ha una concezione della dello. Come si vede, anche se il concetto di dualità sembra legarsi a fatti tra i pi6retta che è molto piu ricca e articolata di quella presente nella matematica classi­ semplici, esso diviene disponibile solo dopo acquisizioni teoriche di grande ri­ca: il continuo non è tale solo per la+divisibilità+ infinita (cosa, come si è visto, lievo.già osservata da Aristotele) e un'analisi del moto che si fondi solo su questa pro­ Negli esempi esaminati sino ad ora, il confronto tra tematiche classiche eprietà non è adeguata. Ciò non risolve l'aporia di Zenone ma la rende «piu pen­ idee innovative era in qualche modo contenuto dalla natura dell'argomento. Consabile» poiché non ci si limita ad affermare che una certa connotazione non esau­ il gruppo Bourbaki, autore di un'opera tuttora in esecuzione, dal titolo assai si­risce il concetto della continuità, ma si dà di quest'ultima un'ulteriore caratteri­ gnificativo di Eléments de mathématique (tggg sgg.), si pone coscientemente l'ideastica: la retta come +insieme+ ordinato è analizzata piu profondamente. di una matematica globalmente «nuova».

Tuttavia, come è ben noto, Dedekind, dopo aver «creato» i numeri reali in Bourbaki rinunzia a una «filosofia» della matematica (rinunzia spesso enfa­modo che il continuo numerico abbia le stesse proprietà di continuità della retta, tizzata da qualche componente del gruppo ) proponendosi piu «modestamente»rifiuta a quest'ultima (in un approccio fondazionale, non certo nella didattica!) di catalogare e sistematizzare i metodi della matematica. Al tempo stesso Bour­un'uguale dignità. Giunge cosi a compimento un desiderio che fa capo a una baki sottolinea le possibilità euristiche del metodo assiomatico, purché esso siatradizione antichissima: l'intera matematica ridotta ai numeri. Al tempo stesso inteso nella sua effettiva essenza, come strumento per aumentare le possibilitàla geometria se non sacrificata, come scienza autonoma, certo viene diminuita. dimostrative.

L'esempio piu celebre di+dualità+ è quello dato dal piano proiettivo. L os­T )Un ruolo essenziale nel progetto bourbakiano ha il concetto di+struttura ma­

servazione che i punti e le rette in un piano ordinario hanno comportamenti tematica+: l'organizzazione generale del discorso matematico secondo strutture«analoghi» è certo molto antica. Due punti arbitrari e distinti individuano una algebriche, strutture d'ordine, strutture topologiche, ove il singolo oggetto ma­retta, cosi come due rette in generale, cioè se non sono parallele, individuano un tematico non è un «dato», ma il frutto di una molteplicità di determinazioni.punto. La restrizione «non parallele» è stata di fatto eliminata nella pratica del L'idea nuova e profonda della matematica come una totalità, come un'archi­disegno (ove ogni costruzione che fa intervenire una coppia di rette parallele tettura ove i singoli oggetti acquistano la loro individualità solo in rapporto al— una direzione — si svolge in modo del tutto simile alla costruzione corrispon­ tutto, è certamente un grande contributo di Bourbaki, ma l'idea della matema­dente ove le rette non siano parallele) ben prima che avesse un fondamentoteo­ tica come una totalità organizzata non è una caratteristica inscindibile dall'ap­rico la nozione di «punto alPinfinito». All'inizio del secolo scorso, aggiunti al proccio organizzato attraverso il concetto di struttura matematica. Essa è pre­

Piano ordinario i «punti all' infinito» ordinatamente disposti sulla «retta all in­ sente anche nell'approccio categoriale.finito», si hanno le premesse per il piano proiettivo, 1 ambiente naturale per1 r i a Anche per questa ragione, la distanza che separa la descrizione categorialedualità fra punti e rette. degli oggetti matematici dalla loro descrizione strutturale non è forse cosi grande

Su due fatti si vuoi richiamare l'attenzione, due fatti che non costituiscono come spesso si crede. Giustamente Manin parla di una descrizione del primoun semplice prolungamento del vecchio nel nuovo : i punti all'infinito permetto­ tipo come «duale» rispetto a quella del secondo.no di non far distinzione in una costruzione grafica tra elementi al finito e all'in­ Dal punto di vista della teoria delle strutture, osserva Manin, un gruppo èfinito, unificano costruzioni all'apparenza assai diverse. È la stessa cosa assegnare un +insieme+ dotato di ana determinata struttura, mentre dal punto di vista dellaun'iperbole mediante i suoi asintoti e un suo punto oppure mediante due tan­ teoria delle categorie un gruppo è un oggetto della categoria di tutti i gruppi. Da

enti con il loro punto di contatto e un suo punto. I a costruzione di un arbitra­ questo secondo punto di vista un oggetto riceve la propria identità dal coesistererio punto ulteriore procede in modo del tutto conforme, per fare un esempio. Ma con altri oggetti della stessa natura, dal modo con il quale esso è posto in relazio­non è per questo e per altre consimili costruzioni che si dispone del piano proiet­ ne con loro. Ma anche dal punto di vista bourbakiano il concetto di gruppo appa­tivo. A questo punto si dispone soltanto del piano ordinario con l'aggiunta di ele­ re come determinato da una pluralità di confronti, confronti a livello di struttu­

enti ideali. si ha il piano proiettivo quando i nuovi enti appaiono come del tutto ra, confronti che conducono alla scelta di quella particolare struttura che è taleidentici ai punti ordinari, quando non c'è piu la retta impropria ma ogni retta a non in sé ma in confronto ad altre strutture ad essa paragonabili. E ovvio chelo stesso ruolo. Occorre un poderoso sforzo di astrazione per prescindere dar d l i e l'affermare che una certa legge di composizione è associativa non significa so­qualità all'apparenza piu concrete di punti e rette e concepirli come definiti dal lamente disporre di una «proprietà» per la legge in questione ma anche, e forseloro reciproco interagire (un inizio, come si vede, del discorso di Hilbert). principalmente, porre una differenza specifica con altre leggi di composizione

Ancora, perché abbia senso la dualità occorre una distinzione fondamentale : che non sono associative.se un linguaggio, con una semplice sostituzione terminologica, descrive due real­ L'approccio categoriale sembra invece proporre aspetti differenti e forse an­tà diverse, è ovvio che lo stesso linguaggio (i nomi dei termini sono arbitrari ) può cor piu innovativi per due riguardi: per quanto riguarda il «divenire» e perdescrivere differenti realtà. Si è perciò costretti a distinguere tra il linguaggio e quanto riguarda il concetto di «fondamentale».ciò che il linguaggio descrive. È un esempio fondamentale del concetto di mo­ «La dialettica della opposizione struttura /evoluzione, — osserva Manin, — ri­

Sistematica locale 6gz 643 Strutture matematiche

flette la generale opposizione scientifica essere/divenire. Il successo della teoria matica. Esso dunque, che appare naturalmente al centro del nostro agire concre­

degli insiemi come linguaggio universale della matematica e della concezione del­ to in quanto matematici, deve avere un pari ruolo come oggetto fondamentale del­

le strutture matematiche come realizzazione concreta di questo linguaggio ha a ri essione teorica. Esprimendosi con una certa semplificazione : fondare signi­

segnato uno spostamento di accento sui primi elementi di queste opposizioni. Le ca porre al centro della teoria ciò che già è al centro nella pratica matematica.

concezioni relative sempre piu diffuse nei fondamenti, gli assiomi categoriali, Non la ricerca dell'atto piu semplice del nostro pensiero, o delle leggi elementari

ecc. segnano il movimento inverso, quando "divenire" e " i ncompiuto" sono e pensiero, o dei primi fatti psicologici legati al pensiero matematico viene giu­

considerati primitivi ». icato come fondamentale, ma ciò che l'analisi concreta mostra essere al centro

In molti articoli di questa Enciclopedia si è accennato all'approccio categoria­ della matematica stessa.

le come recante in sé questo significato di apertura verso il «divenire» e non è il Si potrebbe naturalmente proporre una lunga lista di obiezioni a questo ap­

caso di ripercorrere gli esempi. Vale la pena invece di riflettere sull'importanza proccio (chi giudica cosa è al centro e perché i' cosa vuoi dire «pratica matemati­di un'assunzione teorico-programmatica di questo tipo. Forse è presto per trarre ca»>, ecc.) e molte ne sono state poste. Ma preme piu osservare coine ad esso si

conclusioni significative, ma ad una almeno sembra si possa accedere : accanto collegano molte questioni di grande rilievo. È ovvio intanto che "uesto c ttall'approccio categoriale è necessario valutare attentamente la storia della mate­ i ondazione è dato storicamente. Oggi il concetto di coppia di funtori aggiunti

matica degli ultimi trecento anni. a un ruolo fondamentale, ma per nessuna ragione, se non ponendo dei vincoli

È chiaro infatti che se l'aritmetizzazione dell'analisi e la riduzione della mate­ soggettivi agli sviluppi futuri, si può giudicare che cosi sarà anche in futuro. Ecco

matica alla teoria degli insiemi appaiono come processi del tutto necessari, se ap­ che allora la ricerca di ciò che è centrale si lega all'analisi del processo storico

pare necessaria l'introduzione del «rigore» ottocentesco per eliminare ogni ap­ come esso concretamente si svolge sino al tempo della ricerca : la storia della ma­

pello all'intuizione del continuo, l'approccio categoriale, privato di una legitti­ tematica appare come parte del concetto stesso di fondazione (pur essendo, è ov­mità storica, può apparire al piu un utile «complemento» all'approccio insiemi­ vio, distinguibile una parte «operativa» da una parte storica).stico, ma non può pretendere a una pari importanza. Se invece le acquisizioni Inoltre, ed è forse l'aspetto che Lawvere tende a sottolineare maggiormente,

delle quali s'è detto appaiono «storicamente» date e frutto di scelte determinate, questo concetto di fondazione non è una riflessione su ciò che è la matematica ma

ecco che nell'esame di queste scelte è possibile costruire un percorso che mostri vuole essere elemento essenziale per lo sviluppo della matematica stessa.

come anche l'approccio categoriale può giudicarsi erede di un processo concreto. Ma a giudizio di chi scrive pare importante, anche se certo di minore impor­

Ora è significativo a questo riguardo come numerosi articoli recenti (di Law­ tanza, che in questa prospettiva la storia della matematica non venga ad essere

vere, ma anche di Kock, Reyes, ecc.) mostrino la possibilità di affrontare molti «accanto» alla matematica, ma organicamente inserita in essa. [M. G.j.problemi secondo tecniche che, sia pure in contesti molto sofisticati, ripropongo­no certi interventi «diretti» dell'analisi settecentesca, con un uso raffinato degli« infinitesimi ». Bourbaki, N.

Fin troppo ovvio dunque, che questo debba essere collegato a un esame ac­ rv4s L' a r chitecture des wurthématiques, in F. Le Lionnais (a cura di), Les grands courants decurato delle ragioni per le quali gli infinitesimi, e le nozioni correlate, sono stati la pensée maihématique, Cahiers du Sud, Marseille' nuova ed. Bla h d P ' 6,)

eliminati dall'analisi.Non si tratta naturalmente di «demolire» o sostituire la matematica classica.

?954 Eléments de mathematique, I. Théorie des ensembles(f«sc. i7), Hermann, Paris.Browder, F. E.

È ben possibile però (e non mancano esempi nella storia della matematica) che [1974] (a cura di) Mathematical Developments Arisingrom Hilbert Problems. symposium inl'abbandono di determinati metodi abbia avuto come motivazione precipua la Pure Mathematics, Northern Illinois University, ro z«, American Mathematical SocietyI l

difficoltà d'una loro spiegazione teorica, la quale può ben essere poi possibileProvidence . . r v y 6 .

Gádel, K.come frutto di acquisizioni datesi successivamente.

Il secondo aspetto innovativo è invece nel modo stesso di concepire i fonda­rg' r Ube r fo rmale unentscheidbare satze der Principia Mathematica und verwandter systeme

I, i n «Monatshefte fiir Mathematik und Physik», XXXVI I ,. -6

menti. Esso è legato alla teoria delle categorie ma, se pure è eccessivo giudicare gazzi, nt roduzione ai problemi dell'assiomatica Vita e Pensiero M ' 1 6i ano xg r, pp.

contingente questo legame, non è certo la teoria delle categorie a essere realmen­nos-z8).

Grunbaum, A.te in gioco. iy6y Modem Science and Zeno's Par'adoxes, Wesleyan University Press, Middletown Conn.

Si è osservato che in molti tra i piu vari settori della matematica molte co­ Halmos, P. R.

struzioni fondamentali appaiono legate a categorie, funtori o trasformazioni na­ 1957 Nicolas Bourbaki, i n e scientific American» xcv I s . 88­) >5iPP -99

turali (cfr. l'articolo + Trasformazioni naturali / categorie+) : facilmente e chiara­Lawvere, F. W.

mente descrivibili in questi termini. In particolare, ha osservato Lawvere, il con­[zg67] ca tegorical Dynamics, in A. Kock (a cura di), Topos-Thcoretic Meihods in Geometry

and Analysis, Matematisk Institut, Aarhus Universitet, Aarhus zgp8.

cetto di «coppia di funtori aggiunti» sembra il piu difluso nella «pratica» mate­ r g6g Ad j ointness in foundations in «Dia lectica» XX I I I , ­,

. 8i 3-4> PP» - 9 5

Sistematica locale 6~.

MacLane, S.1971 Ca tegories for the Worhing Mathematician, Springer, Berlin — Heidelberg - New York

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1962 Pn n cipia Mathematica to "56, Cambridge University Presa, London.

700

Applicazioni

i. No z i one generale ed esempi.

La nozione di applicazione è un modello matematico molto generale diaspetti vari della realtà e del pensiero. Essa si genera quale forma dell'ideadi una corrispondenza a coppie di oggetti di una classe, o di un insieme, con oggetti diun'altra classe. Una tale corrispondenza si realizza nella descrizione di processiche si sviluppano nel tempo, quando ad ogni momento del tempo corrispondeun certo stato del sistema studiato. Essa viene usata nello studio di operazionisu degli oggetti: il risultato dell'operazione viene associato all'oggetto sul qualel'operazione viene eseguita. Essa può servire per descrivere dipendenze di ge­nere diverso nei casi in cui una certa caratteristica di una situazione è com­pletamente definita da un'altra caratteristica. Essa chiarisce l'immagine che si hadi simmetria, di omogeneità, ecc.; nella simmetria di un ornamento, o di uncristallo, si tratta di applicazioni dei suoi elementi (dei particolari del rabesco,degli atomi ), le quali conservano la struttura dell'ornamento, o del reticolodel cristallo.

Nell'ambito della teoria degli insiemi la nozione di applicazione è seconda­ria rispetto a quella di insieme. Si chiama applicazione, oppure (in un usopiu restrittivo ) funzione di un insieme X in un insieme Y una corrispondenzaf,la quale ad ogni elemento x di X associa un unico elemento y di Y, spesso in­dicato con f(x). Qui x si chiama argomento dell'applicazionef, mentre f(x)si dice il suo valore sull'argomento (o nel punto) x. L'insieme X si chiama domi­nio di definizione (o semplicemente dominio) di f, mentre l'insieme Y si chiamadominio dei valori (o codominio) di f. L'applicazione f con il dominio X e i lcodominio Y' spesso si scrive cosi :f : X~ Y. Negli impieghi pratici il caso piufrequente è quello in cui X e Y sono insiemi di numeri; interi, razionali, reali,oppure complessi, che possono essere considerati quali risultati di possibili mi­surazioni di queste o quelle caratteristiche della realtà. Ma nella matematicateorica si studiano applicazioni d'insiemi assai piu generici. Se l'insieme X èfinito, l'applicazione f può essere data con una tabella, nella quale accanto adogni possibile valore dell'argomento xe X si scriva il valoref(x). Esempi ben notisono le tavole dei logaritmi, delle funzioni trigonometriche e di altre funzionispeciali. (A rigore, queste tavole dànno non la stessa funzione f, ma solo unaparte dei suoi valori su una parte dei valori dell'argomento e, per di piu, appros­simativamente, a meno di un certo numero di cifre decimali dopo la virgola).Un altro modo di dare una funzione numerica consiste nell'esibire il suo grafico.Infine un'applicazione può essere data per mezzo della descrizione della proce­dura che, applicata ad ogni elemento xe X del dominio di f e dopo la sua ese­cuzione, fornisce il valore f(x). Hanno questa caratteristica le regole scolasticheper calcolare la somma, o il prodotto di due numeri dati nella scrittura deci­male, e, in generale, la maggioranza delle «formule» per le funzioni che per­

Applicazioni 702 7o3 Applicazioni

mettono di calcolare i loro valori. Se la descrizione della procedura per il calcolotato da vincoli che individuano solo una parte U di questo spazio. Per esempio

è cosi completa che la sua esecuzione può essere affidata a un dispositivo mec­la posizione di un segmento materiale, del genere di un righello (se si trascu­

canico, per esempio a un calcolatore, essa si chiama algoritmo, mentre la corri­rano la sua larghezza e spessore, ma non la lunghezza), è definita dalle coor­

spondente applicazione f si dice calcolabile algoritmicamente.dinate cartesiane dei suoi estremi, diciamo (q„q„ q s) e (qi, q~, qs) ; però esse

Quella che segue è la descrizione particolareggiata di alcuni esempi di ap­non possono essere arbitrarie in R', ma devono essere soggette alla condizione

plicazioni e dei meccanismi della loro realizzazione nel modellare situazionidi conservare la lunghezza l del righello: (q — q')'+ (q — q')'+ (q — q')'=l

fisiche, umane e sociali.e questa condizione individua un sottoinsieme Uc:R . I l moto di un tale seg­mento è dato da una applicazione R~ U.

Nella teoria dei mezzi continui, quali i l iquidi e i gas, i campi elettrici edi.i . Stato di un sistema fisico quale funzione del tempo. altri, lo stato di un sistema in ogni momento del tempo è dato da un insieme

Uno dei processi fisici piu semplici è il moto di un corpo nello spazio. Spessodi numeri non finito, ma infinito, che è ugualmente comodo considerare quale

si può fare astrazione dalle dimensioni finite del corpo e considerarlo qualeapplicazione (cfr. oltre ).

punto materiale, cosi che la sua posizione può essere data dallo spazio da essoIl tempo è l'argomento universale delle funzioni che descrivono tutti i pos­

percorso lungo la sua traiettoria. Si può immaginare il moto di una pietra chesibili processi fisici, astronomici, geologici, storici, economici, tecnici e di altro

cade, di una automobile, o di un satellite della Terra. Supponiamo che lo spa­genere. Storicamente la comprensione di una tale possibile descrizione dei pro­

zio e il tempo siano misurati in prescelte unità di misura e che sia fissato ilcessi ha avuto una enorme importanza nello sviluppo della matematica e delle

momento iniziale del tempo. Allora ad ogni momento del tempo corrispondescienze naturali. Probabilmente l'idea fondamentale fu quella secondo la quale

lo spazio percorso r (t). Se si fa astrazione dalla limitatezza del tempo di os­in una tale descrizione si potevano ritenere preassegnati «contemporaneamente»

servazione, si può ritenere che t assuma tutti i valori reali ) o (« futuro»), oppu­ «staticamente», tutti i momenti del passato e del futuro, benché il passato scom­

re persino tutti i valori reali («futuro» e «passato»), e r sarà una funzionepaia continuamente e il futuro appaia sotto forma di un istante fuggevole e non

R(numeri reali =tempo ) ~R(numeri reali = spazio). In un modello piu reali­ sia mai dato come realtà. Solo questa idea permette di sperare nell'adeguatezza

stico la funzione r è definita solo in un certo intervallo finito; ciò, spesso, vad llade descrizione di un processo mediante una applicazione R~ U, dove la retta

tenuto presente anche quando si descrivono sistemi a lunga vita, quali i l si­dei tempi R intervenga quale oggetto matematico unico. A sua volta, la for­

stema solare, o l'universo.mazione di questa idea si è basata sull'osservazione di processi dotati di una

Una descrizione completa della posizione di un punto materiale è data da trenetta regolarità e importanti per lo sviluppo dell'economia e della società, quali

coordinate: per esempio, dalle distanze da tre piani fissi perpendicolari tra loro.il moto delle stelle (orientamento nella navigazione) e gli straripamenti dei grandi

Perciò il moto del punto è completamente descritto dalle variazioni di queste fiumi (determinazione del tempo delle semine ). Le tabelle e i metodi per calco­

coordinate quali funzioni del tempo, cioè da una applicazione R (tempo) ~Ra lare il moto delle stelle, le eclissi solari, ecc., che risalgono all'epoca in cui ebbe

(spazio), dove Ra è l'insieme delle terne ordinate di numeri reali, cioè il pro­origine la civiltà, sono l'incarnazione di questa idea.

dotto cartesiano R x R x R.L'efficacia del considerare l'insieme dei momenti del tempo come un tutto

Piu in generale, sia S un certo sistema fisico, il cui stato, in ogni momentounico ha predisposto all'accettazione del punto di vista generale teorico-insiemi­

del tempo, sia dato da certe «coordinate generalizzate» reali, q,,..., q,„. Per stico, dove di solito il dominio X di un'applicazione modella l'insieme delle «di­

esempio, se S è il sistema solare, q„..., q„possono essere le coordinate (nel si­ verse possibilità», una parte o la maggioranza delle quali non si realizza mai

stema connesso con il Sole) di tutti i pianeti che, in una prima approssimazio­ ne sistema dato. In questioni di contabilità, o in calcoli tecnologici probabil­i1

ne, possono essere considerati quali punti materiali. In questo caso l'evolu­mente non s incontreranno mai numeri maggiori, diciamo, di io ; tuttavia,

zione del sistema è data da una applicazione R(tempo) ~R" (spazio delle coor­ l' la goritmo per la somma è formulato, e a buon diritto, per tutti i numeri in­

dinate generalizzate, o spazio configurazionale del sistema), cioè da un insiemeteri: solo cosi l'aritmetica diventa effettivamente utile e comoda nell'uso.

di n funzioni, q,(t), ..., q,(t), Un altro esempio è dato dal gas in un ci l indroLe idee connesse con lo sviluppo dei processi nel tempo furono alla base di

con stantuffo; per esempio, dal vapore in un cilindro di una macchina a va­molte nozioni matematiche piu specifiche. Per esempio, il problema di calco­

pore. Il suo stato, in ogni momento, è definito da tre numeri, V, p, T (volume, lare la velocità istantanea e l'accelerazione di un punto materiale in un moto

pressione e temperatura), mentre le funzioni U(t), p(t), T (t), che descrivono arbitrario fu risolto da Newton con l'invenzione del calcolo differenziale. Fra gli

la dipendenza di queste caratteristiche dal tempo, contengono l'informazion<esempi che si sono avuti piu tardi vi è il cosiddetto «problema di Cauchy» per

fondamentale sul lavoro di una tale «macchina termica». L'insieme di tutti idiverse classi di equazioni differenziali, dove la premessa è l'idea secondo la

valori ammissibili delle coordinate generalizzate, qi, ..., q„, non coincide ne­ quale è possibile predire univocamente l'evoluzione di un sistema, se ne sono

cessariamente con tutto lo spazio R~: il moto di un sistema può essere limi­noti lo stato e la velocità della sua variazione al momento iniziale del tempo.

Applicazioni 704 7o5 Applicazioni

Ancora, l'immagine fisica del moto di un punto materiale lungo una deter­ di campo vettoriale: al punto è associato un vettore, la risultante di tutte leminata linea — la sua traiettoria — è strettamente legata alla nascita della geome­ forze di attrazione gravitazionale in quel punto. Il flusso di un liquido in ognitria analitica nelle opere di Descartes [r 637]. Questi iniziò lo studio sistematico momento del tempo pure è descritto da un campo vettoriale, il campo delle ve­dei grafici delle funzioni numeriche f, quali sottoinsiemi del piano R x R, costi­ locità del flusso. Lo stato istantaneo di un campo elettromagnetico nella teoriatuiti da tutti i possibili punti con le coordinate (x, f(x)) e, piu in generale, dei classica è descritto da due campi vettoriali nel dominio D: il campo delle tensionigrafici delle dipendenze funzionali «implicite» del tipo f(x, y) = o, del genere dell'interazione elettrica e il campo delle tensioni dell'interazione magnetica.dell'equazione della circonferenza x +y' — r = o. Lo sviluppo di questa idea I valori del campo in un punto possono avere una natura ancora piu complessa ;in senso concettuale ha condotto all'attuale identificazione di una funzione quella di tensori di dimensioni e di varianza diverse (tensore delle tensionif : X~ Y con il suo grafico nel prodotto cartesiano XX P', quale sottoinsieme nella teoria dell'elasticità; tensore energia-impulso). Per la descrizione dei campi,di tipo determinato. Questa espressione della nozione di funzione nel linguag­ quali applicazioni, esiste un apparato matematico speciale : la teoria delle varietàgio della teoria degli insiemi sarà esaminata nei particolari piu oltre. di8erenziabili e i fibrati su esse. Al dominio D corrisponde, per esempio, il

Per concludere, è da notare ancora un altro aspetto importante della de­ suo 6brato tangente TD, costituito dai vettori tangenti in tutti i possibili puntiscrizione matematica dei processi evolutivi direttamente legato alla possibilità di D; l'applicazione strutturale p : TD~D associa ad ogni vettore tangente ladi considerare la retta dei tempi come un oggetto unico. Le leggi dell'evolu­ sua origine; il campo vettoriale corrisponde all'applicazione sezione s : D~ TDzione si possono dividere grosso modo in due classi : locali e globali. Un esempio con la proprietà p (s(x))= x per ogni xeD.di legge locale dell'evoluzione è la regola di Newton che descrive il moto di La nozione di campo descrive bene un sistema 6sico in quei domini doveun punto materiale sotto l'azione di una forza: in ogni momento del tempo non vi sono sorgenti di liquido, o di calore, accumulo di materia gravitante, ca­l'accelerazione del punto è proporzionale alla forza che su esso agisce. Suddivi­ riche elettriche, ecc, Questi eÃetti corrispondono a singolarità del campo neldendo l'intervallo di tempo durante il quale si segue il moto del punto in tante senso generale della parola: rottura della continuità, valori infinitamente grandipiccole parti, è possibile calcolare approssimativamente questo moto, rite­ del campo, salti d'ogni genere e cosi via. Lo studio delle singolarità, della loronendo che la velocità resti costante in ognuna di queste parti, e sia quindi ac­ evoluzione nel tempo, della loro stabilità, ecc., fa parte dei problemi piu impor­cresciuta a salti della quantità prescritta dalla legge di Newton. Il passaggio al tanti relativi alla maggior parte dei modelli matematici dei processi continui.limite conseguente al rimpicciolimento in6nito della suddivisione significa in­ La corrispondenza «campo-singolarità» è un esempio tipico del dualismo ge­tegrare questa legge locale del moto. Piu tardi si notò che il moto nel suo in­ nerale «continuo-discreto».sieme può essere descritto globalmente mediante il cosiddetto principio varia­ Nella moderna teoria quantistica del campo si considerano campi di strut­zionale: il moto di un punto viene de6nito minimizzando sulla sua traiettoria tura ancora piu complessa. Nella meccanica quantistica classica ad ogni gran­una certa grandezza fisica che si chiama azione. Questo principio presuppone dezza 6sica (coordinata, impulso, energia, ecc.) viene associato un certo opera­la definizione preliminare di azione quale funzione su tutte le possibili traiet­ tore lineare (cfr. $ r.5). Corrispondentemente il posto dei campi classici delletorie, persino quelle fisicamente irrealizzabili. Negli ultimi decenni questo prin­ grandezze viene occupato dai campi di operatori. Questi oggetti matematicicipio ha avuto un profondo sviluppo nella trattazione della meccanica quanti­ sono molto complessi e non esiste ancora una loro teoria conseguente, che am­stica secondo Feynman, dove l'indefinibilità della traiettoria di una micropar­ metta un confronto diretto con la realtà 6sica. Una delle difficoltà è connessaticella permette di attribuire un certo significato all'idea che la particella com­ con le singolarità del campo che si hanno nelle sue origini, per esempio, neglipia il moto «simultaneamente lungo tutte le traiettorie».' elettroni per la teoria del campo elettromagnetico. È, questo, il cosiddetto pro­

blema delle divergenze della teoria del campo, che i fisici risolvono elaborandor.z. Campi. metodi di r inormalizzazione. Questi metodi forniscono un esempio notevole

di frammenti di matematica efficaci, benché, a rigore, siano internamente con­I sistemi e i processi fisici quali i l flusso di un l iquido o di un gas, la traddittori.

distribuzione del pulviscolo di materia infrastellare, la propagazione del calore,gli eRetti elettromagnetici e gravitazionali e molti altri sono descritti in terminidi evoluzione dei campi, Il t ipo piu semplice di campo — campo scalare in un

r.p. Traduzione e codificazione,

dominio D dello spazio fisico — è modellato matematicamente da una appli­ L'uso da parte dell'uomo di l ingue naturali diverse, quale mezzo fonda­cazione della forma D~R, oppure D~C: ad ogni punto di D è associato un mentale per comunicare, registrare e conservare il sapere, conduce alla neces­numero reale, o complesso. Questo numero può corrispondere alla densità me­ sità di realizzare la traduzione dei testi da una lingua all'altra conservandone ildia della materia in un piccolo dominio attorno al dato punto, alla temperatura significato. Modellare una traduzione con la nozione di applicazione non sa­nel dato punto, ecc. Il campo gravitazionale nella fisica classica è un esempio rebbe completamente adeguato per due motivi. Primo, lo stesso insieme dei

Applicazioni 7o6 7o7 Applicazioni

testi che hanno significato nella lingua non è nettamente definito. Secondo, la mediante questo o quel canale di comunicazione (codice Morse, codice ma­traduzione notoriamente non è univoca persino al livello di singole parole: si rinaresco con le bandiere, codificazione dei risultati di misurazioni medianteveda un qualsiasi vocabolario bilingue. Assai meglio la nozione di applicazione successioni di impulsi in canali di comunicazione tecnici, ecc.). Qui l'univocitàè applicabile alle traduzioni da un linguaggio artificiale ad un altro. I linguaggi delle procedure di codificazione e di decodificazione, che permetta di conside­artificiali di programmazione, quali il Fortran, l'Algol e molti altri, furono ela­ rarle applicazioni, è solitamente posta a fondamento della stessa struttura del

borati quali mezzi di comunicazione fra l'uomo e i calcolatori. La loro struttura codice. Possono far eccezione i cifrari con scelte casuali onde aumentare la segre­è approssimativamente uguale a quella di f rammenti del gergo matematico tezza; però, anche in questo caso, la decodificazione è solitamente univoca; al­umano, ciò che facilita il loro uso da parte dei programmatori, ma rende i testi trimenti le scelte casuali potrebbero alterare l'informazione trasmessa. Il modoin questo linguaggio inaccettabili per la macchina calcolatrice. Il linguaggio in­ di ottenere una buona cifratura consiste nell'eliminare al massimo le regolaritàterno di una tale macchina, al contrario, è oltremodo frazionato e lontano dalla e conformità presenti nel testo iniziale (frequenza di simboli, ripetizione difacoltà mentale umana standard perché possa essere efficacemente usato nella gruppi di simboli, ecc.). Lo studio dei problemi che in tal modo si presen­compilazione di un programma appena complesso. Perciò un programma scritto tano è stato intrapreso e portato molto avanti, in particolare dal noto matematicodall'uomo, diciamo in Algol, dev' essere tradotto in un programma in codici di e ingegnere americano Shannon [ ig48].macchina. Anche questo processo di traduzione è di solito affidato alla mac­ Lo studio e la progettazione di apparecchiature elettroniche per la elabo­china calcolatrice, la quale lo attua usando un programma-codificatore scritto razione delle informazioni (amplificatori, contatori, calcolatori... ) ha condottouna volta per tutte. È comodo considerare la traduzione di un programma in alla famosa immagine della «scatola nera». Si chiama cosi un oggetto avente unAlgol in un programma in codici di macchina quale calcolo di un'applicazione­ « ingresso» e un'«uscita» e tale che all'osservazione si prestano i segnali in uscitacodificazione definita sull'insieme di tutti i possibili programmi in Algol rego­ dovuti ai d iversi segnali in i ngresso, ma non la st rut tura interna di questolarmente compilati, Poiché la traduzione è affidata a un calcolatore, essa è una oggetto che attua l'elaborazione dei segnali. Pertanto una «scatola nera» realizzaapplicazione algoritmicamente calcolabile (cfr, sopra). una certa applicazione (insieme dei segnali in ingresso} ~ (insieme dei segnali

Negli ultimi anni idee analoghe sono andate diffondendosi piu largamente in uscita }, ma non è noto come essa la realizza. Tale è la situazione anche nellosia in connessione con la teoria e la pratica della traduzione automatica delle studio iniziale di progettazione di queste apparecchiature. Ciò fu d i grandelingue naturali, sia in forza di esigenze interne della linguistica. In particolare stimolo per far penetrare uno stile «funzionale» nella mentalità della praticasi sta elaborando un linguaggio-mediatore semantico universale fra tutte le lin­ ingegneristica. Dopo la seconda guerra mondiale, con la comparsa della ci­gue naturali. Un tale l inguaggio deve servire per la registrazione diretta dei bernetica, queste idee furono estese ai modelli fisiologici, dove sovente solo l'ap­«significati» dei testi naturali, indipendentemente dalle loro specifiche espres­ plicazione stessa si presta a uno studio sperimentale, mentre i meccanismi dellasioni nelle diverse lingue naturali e dai vari modi sinonimici di una tale espres­ sua realizzazione sono oggetto di una ricostruzione a partire da essa e, ove siasione in ogni singola lingua. Perciò una delle prime esigenze per questo lin­ possibile, da dati complementari indiretti. Per esempio, nelle indagini elettro­guaggio-mediatore consiste nel fatto che la traduzione di ogni testo naturale encefalografiche si sottopone chi è oggetto della sperimentazione a questa o(come prima, di una loro classe finita) dev' essere univoca, cioè dev' essere ben quella situazione ; cosi, gli si presentano degli stimoli visivi di questo o quel tipo,modellata da una conveniente applicazione. La comprensione di questa esigenza che costituiscono i segnali d'«ingresso». Si osservano cosi dei potenziali, rile­ha già condotto a individuare nuove e interessanti categorie linguistiche; per vati con elettrodi sul cranio, oppure introdotti nel cervello. Questi potenziali sonoesempio, le parole-operatori, le cui funzioni consistono nel far variare in modo considerati quali segnali d'«uscita», e il cervello quale scatola nera. In termini«unidirezionale» il significato delle parole da esse dipendenti. Per esempio, le analoghi si può descrivere la maggioranza degli esperimenti tipo «stimolo-ri­parole 'buono', 'forte', 'molto', 'velocemente', ecc., sono realizzazioni di uno sposta». Una stabilità del carattere della reazione agli stimoli di un dato tipostesso operatore; 'segno di intensificazione', che nel linguaggio-mediatore può interviene quale proprietà fondamentale dell'applicazione nel corrispondenteessere una unità espressiva. modello matematico.

Un'altra esigenza consiste nel fatto che la traduzione nel linguaggio-media­ L'idea della «scatola nera» corrisponde alla separazione generale in mate­

tore di un testo naturale dev' essere un'applicazione algoritmicamente calcolabile, matica fra la nozione di applicazione e la nozione che esprime il modo di rea­cosi come la traduzione dall'Algol in codici di macchina, o, quanto meno, pros­ lizzarla: calcolo, tabella, formula, algoritmo (cfr. sopra). Questa separazionesima a questo ideale. non è stata subito individuata e regolarizzata. Essa è strettamente legata alla

Ancor prima sono sorti modelli matematici di traduzione nella teoria della formazione delle idee teoretico-insiemistiche ed è tuttora oggetto di discus­codificazione. Questa teoria risale a due fonti: alla cifratura di messaggi nella sioni semifilosofiche, nonché all'origine dei problemi riguardanti la possibilitàlingua naturale per ottenerne la segretezza (in questioni militari, nella corrispon­ di rappresentare le diverse classi di funzioni con questo o quel mezzo. Piu oltredenza diplomatica) e alla codificazione di messaggi per essere poi trasmessi si analizzeranno nei particolari tali questioni ; per il momento importa descrivere

Applicazioni 7o8 7o9 Applicazioni

un arco di nozioni importanti legate alle applicazioni calcolabili algoritmica­ sono scelti da un elenco fissato una volta per tutte. La cosiddetta tesi dimente. Church afferma che tutte le applicazioni algoritmicamente calcolabili sono fun­

zioni ricorrenti.r.4. Algoritmi e calcolabilità. I grandi e moderni calcolatori elettronici digitali, se non si considerano i li­

miti materiali sul tempo di calcolo e sul volume della memoria, sono in gradoSi sono già ricordati gli esempi piu noti di algoritmo : le regole per calcolare di calcolare ogni funzione ricorrente e quindi, d' accordo con la tesi di Church,

in scrittura decimale la somma e il prodotto di due numeri interi dati, pure in realizzano tecnicamente ogni algoritmo per l'elaborazione di testi. In questoscrittura decimale. Che queste regole abbiano un carattere del tutto meccanico senso i grossi calcolatori sono universali.è dimostrato dal fatto che esistono da molto tempo dispositivi meccanici (o elet­tronici ) per eseguire questi calcoli: le macchine calcolatrici. Un altro esempio

x.5. Misura in meccanica quantistica.già ricordato è il programma-codi6catore che realizza un certo algoritmo per l'e­laborazione dei testi in un linguaggio di programmazione in testi nel linguaggio La misura di una caratteristica di un sistema fisico, quale la posizione, o ladei codici di macchina. velocità di un punto materiale, la pressione di un gas, la luminosità di una

Piu in generale, supponiamo di avere un insieme (potenzialmente in6nito ) sorgente luminosa, ecc., appartiene al numero di operazioni fondamentali chedi dati; per esempio, di testi, cioè successioni finite di segni di un prefissato al­ stabiliscono il legame fra la teoria e la realtà. Nella fisica classica si presuppone,fabeto finito. Potrebbero essere le scritture decimali, o binarie dei numeri interi per principio, che una misura può essere eseguita in modo tale da alterare poco(negli alfabeti rispettivamente (o, x, ..., 9) e (o , i ) ) , oppure i programmi in quanto si vuole lo stato del sistema e che, per ogni procedura di misurazione,Algol, ecc. Un algoritmo è un insieme di regole per l'elaborazione di tali testi in te­ possono essere elaborati metodi che garantiscono una piccolezza arbitraria disti nello stesso, o in un altro, alfabeto. Un algoritmo dev' essere dato mediante un questo disturbo. A lungo questo principio è stato considerato fondamentale pernumero finito di procedure del tipo seguente: a) devono essere descritti i pas­ conclusioni gnoseologiche, quali quella dell'esistenza obiettiva delle proprietàsaggi elementari dell'elaborazione dei testi; b) devono essere indicate le regole studiate di un sistema.che in modo univoco definiscono la successione delle scelte dei passaggi ele­ Tuttavia, nello studio del micromondo il postulato sulla possibilità di talimentari in dipendenza del testo iniziale e, possibilmente, del carattere di tutti misure è risultato del tutto infondato. È sostanzialmente impossibile chiarirei passaggi giàcompiutial momento attuale; c ) devono essere indicati i criteri questo punto rimanendo nell'ambito delle idee della 6sica classica, Il fatto è che,per la 6ne della procedura dell'algoritmo. Se, dopo l'esecuzione di un numero per una descrizione adeguata dei microprocessi, bisogna ricorrere ad un nuovo6nito di passaggi, l'algoritmo finisce, si dice ch' esso è applicabile al testo iniziale l inguaggio e, soprattutto, a una sua nuova interpretazione, diversa per prin­e che lo elabora nel testo ottenuto dopo il passaggiofinale. cipio. Questo linguaggio è fortemente matematicizzato ; volendo può essere con­

Secondo il significato di queste definizioni l'algoritmo per la somma di due siderato come un frammento di una parte speciale della matematica (l'analisinumeri decimali è applicabile ad ogni coppia di tali numeri. L'algoritmo per funzionale). Peraltro, sono noti diversi argomenti intuitivi a favore della rinunciacalcolare la radice quadrata di un numero decimale positivo a è applicabile al postulato classico sulla misura. Si consideri, per esempio, il problema di unaad a = < e ad a = o,6zg, ma non è applicabile ad a= z. Esso diventa applicabile misura esatta della posizione e della velocità di un elettrone nel vuoto, immagi­a tutti i numeri decimali positivi se viene convertito nell'algoritmo per il calcolo nandolo classicamente come un punto materiale. Per misurare le coordinateapprossimato, cornpletandolo con una regola finale; diciamo: «arrestarsi dopo dell'elettrone bisogna «illuminarlo» e misurare l'irradiazione da esso riflessa.aver calcolato la sedicesima cifra decimale dopo la virgola». Qui l'esattezza della misura è limitata dalla lunghezza dell'onda luminosa. Per

Nella logica matematica è stata compiuta un'indagine esauriente della classe aumentarla bisogna diminuire la lunghezza di quest'onda. Però, l'«illuminazio­delle applicazioni assegnabili mediante algoritmo. L'inconveniente tecnico, le­ ne» dell'elettrone consiste nel fatto che su esso si dissipa un fotone (un quantogato al fatto che l'insieme sul quale è dato l'algoritmo non è univocamente de­ di luce), la cui energia cresce al decrescere della lunghezza d'onda. Perciò nellafinito, può essere superato mediante un metodo tecnico tipo numerazione di dissipazione una parte dell'energia del fotone, trasmessa all'elettrone in modoGodei dei testi su un alfabeto finito. Ciò permette di ricondurre lo studio di imprevedibile, può diventare arbitrariamente grande, ciò che imprevedibilmenteogni applicazione calcolabile algoritmicamente allo studio di applicazioni date altera la velocità (l'impulso) dell'elettrone.su un sottoinsierne di numeri naturali e a valori nello stesso insieme di numeri Lasciando questi argomenti intuitivi si passi ora a una piu esatta chiarifi­naturali. cazione del modello matematico del processo di misurazione nella fisica quan­

In quest'ordine d'idee il risultato fondamentale consiste nel fatto che è stata tistica a partire dallo stesso esempio dell'elettrone nel vuoto (lo schema è sem­individuata la classe delle funzioni (parzialmente) ricorrenti. Ogni concreta fun­ plificato: non si t iene conto dello spin dell'elettrone e si ammette ch' esso sizione ricorrente si calcola mediante una procedura i cui passaggi elementari muova con una velocità trascurabile rispetto alla velocità della luce). Lo stato

Applicazioni 7IQ 7I I Applicazioni

istantaneo dell'elettrone è descritto, invece che dalla coppia (coordinata, velocità) u;(x,, ..., x<) ) u;(x',, ..., xt'). Si presuppone che due consumatori possano scam­della fisica classica, dalla cosiddetta $-funzione, che è una funzione a valori com­ biarsi una parte delle loro merci se, con questo, entrambe le funzioni di utilitàplessi, definita nei punti dello spazio fisico R' (o in un dominio dove può es­ crescono. In condizioni analoghe sono possibili anche scambi multipli.sere localizzato l'elettrone). Il quadrato del modulo di questa funzione in un Lo stato completo del modello è descritto da un punto di P", prodotto car­punto, moltiplicato per il volume di una piccola sfera con il centro in questo tesiano m-multiplo del dominio P per se stesso, e questo punto è l'insieme de­punto, fornisce la probabilità di rinvenire l'elettrone in detta sfera. Finché non gli assortimenti di merci di ognuno degli m consumatori. Uno stato si dicesi effettua un esperimento reale per localizzare l'elettrone, la sua $-funzione ottimale secondo Pareto se non vi è un a l t ro stato nel quale tutte le funzionivaria nel tempo secondo la legge di evoluzione che solitamente viene descritta di util ità non diminuiscono e almeno una cresce. L'idea consiste in questo:mediante l'equazione differenziale di Schrodinger. Se si vuole, si può immagi­ se lo stato del sistema non è ottimale secondo Pareto, può avvenire uno scambionare che, invece del moto dell'elettrone, abbia luogo un moto dell'informazione vantaggioso. L'esistenza dello stato ottimale garantisce, per principio, la possi­su esso, espresso dalla $-funzione. Supponiamo che ora si faccia un esperimento bilità di raggiungere una situazione economica stabile.per misurare le coordinate dell'elettrone. Secondo le idee ortodosse della mec­canica quantistica, al momento della misura, la g-funzione dell'elettrone varia i.7. Dipendenza.di un salto: se esso è stato rinvenuto in un piccolo dominio dello spazio, lasua nuova $-funzione sarà concentrata approssimativamente in questo dominio. I parametri che caratterizzano un sistema fisico, economico, o di altro ge­Piu in generale, nel modello matematico della misura, ad ogni grandezza fisica nere, possono non essere indipendenti; i valori di alcuni di essi possono porre(coordinata, energia, impulso, ecc.) è associato un operatore lineare, che è una delle limitazioni ai valori degli altri. Se queste limitazioni sono talmente fortiapplicazione dello spazio di tutte le possibili g-funzioni in se stesso. La sua li­ che il valore di uno di questi parametri è completamente definito dal valore deglinearità significa che, alla somma di due g-funzioni, esso associa la somma delle altri, si ha una dipendenza funzionale. Il numero di esempi è enorme; moltis­loro immagini, mentre al prodotto di una $-funzione per un numero associa il sime leggi fisiche, particolarmente di «livello inferiore», sono formulazioni diprodotto della sua immagine per lo stesso numero. Le predizioni probabilistiche tali dipendenze funzionali. Si è già ricordato che la temperatura T di un gas,circa i risultati della misura sono effettuate sulla base di speciali manipolazioni per esempio, in un cilindro con uno stantuffo, può essere calcolata a partire daldell'algebra lineare applicate all'operatore di misura e alla $-funzione dell'elet­ suo volume V e dalla pressione p usando la formula T = c ost pV. L ' energiatrone al momento della misura. Questo operatore lineare è appunto il modello cinetica E di un punto materiale con massa m, che si muova con velocità v, èmatematico fondamentale della misura. uguale a (mv')/z. Se sulla superficie di un corpo rigido viene mantenuta co­

stante la distribuzione della temperatura, in ogni punto concreto di questo

r.6. Funzioni di util ità in economia. corpo si stabilisce una temperatura che dipende solo da questa distribuzione.Sono queste le fonti dell'insieme di funzioni, o applicazioni, che appaiono nei

In una serie di modelli matematici s'introducono oggetti, grandezze e appli­ modelli matematici.cazioni, la cui diretta osservazione è difficoltosa o, in generale, impossibile e, cio­nonostante, tali da condurre a una teoria che concorda con la realtà e la descrivebene. Le $-funzioni, viste nel punto precedente, sono probabilmente l'esempio Applicazione quale oggetto teorico-insiemistieo.piu chiaro. Convincono meno oggetti analoghi in modelli economici e sociali.Tuttavia, in virtu della loro notevole diffusione, si descriverà uno degli esempi Come si è già ricordato, nell'ambito della teoria degli insiemi la nozione dipiu semplici. applicazione non è primaria; essa si forma a partire da due nozioni fondamen­

Esso si riferisce al cosiddetto modello di puro scambio. In questo modello tali : «insieme» e «essere elemento». Il prodotto X x Y consiste di tutte le cop­si parte dall'idea di un insieme di merci di I tipi diversi e di un insieme di m pie ordinate (x, y), dove xeX e ye Y. Nella teoria degli insiemi si chiama ap­consumatori {C„ . . . , C ) . Se un dato consumatore ha x; unità di merce del plicazione dell'insieme X in V un sottoinsiemef ~X x I' ta le che per ogni xetipo i, il suo assortimento di merci è descritto dal punto (xi , xt )ER'. Dal esiste un unico elemento yeV con la proprietà (x, y) ef.significato del modello segue che x;>o; inoltre il volume di merce per ogni Sul carattere degli insiemi X, Y e del sottoinsiemef ~ X x I ' nella definizionetipo può ritenersi limitato, cosi che il vettore (x,, ..., x<) giace solamente in non si pone alcuna limitazione a priori. In particolare X e V non sono neces­un certo dominio P de l l 'ottante di d imensione l. Si p resuppone che ogni sariamente insiemi numerici; possono essere, a loro volta, insiemi di applica­consumatore C; sia caratterizzato da una certa funzione di utilità u; : P~R, a zioni, o di proprietà, oppure di queste, o di altre strutture matematiche, ecc.valori reali. Il significato di questa funzione consiste nel fatto che C, prefe­ Il sottoinsiemef può essere dato con una « formula», oppure descritto medianterisce l'assortimento di merci (x,, ..., x>) a quello (x i , ..., xJ) se, e solo se, espressioni in un determinato linguaggio, ma ciò non è obbligatorio.

Applicazioni 7I2 7I3 Applicazioni

Tuttavia, la nozione di applicazione è cosf fondamentale, che una tale ri­ mero di valori diversi che assume f coincide con il numero di elementi di X e,duzione delle applicazioni agli insiemi spesso non viene attuata esplicitamente. perciò, per ogni ycY si deve trovare un xe t a le chef(x) =y. È questo uno

In questo caso un'applicazione f viene considerata come un oggetto a sé, indi­ dei principi fondamentali della matematica combinatoria che studia gli insiemi

pendente; al posto della notazione (x, y)ef si usa la notazione y= f(x), o una finiti.delle sue varianti (y = fx, y = xI, ecc.) ; l'insieme delle coppie (x, y)cf ta li che Si chiama immagine dell'applicazione f : X~ Y i l s o t toinsiemef(X) co­y = f(x) prende il nome speciale di grafico dell'applicazione f e può essere in­ stituito da quegli ye Y per i quali esiste xeX con la proprietà f (x) =y. Si chiama

dicato con l'>, ecc. controimmagine di un sottoinsieme Z c Y, e s'indica con f — ' (Z), il sottoinsieme

Siano X, Y, Z tre insiemi e f : X~ Y, g : Y~Z s iano applicazioni tra loro. in X (x~ f(x)eZ}. Un'applicazione f : X~ Y è surgettiva se l'immagine di fA partire da esse si può costruire una terza applicazione detta composizione coincide con Y; è iniettiva se le controimmagini dei sottoinsiemi di Y con un

di f e g, gf : X~ Z , d e finita dalla formula gf(x) =g (f(x)) per ogni xeX. La solo elemento sono sottoinsiemi con un solo elemento, o vuoti, di X . I n una

composizione di applicazioni è associativa: h(gf) = (hg) f, quando tutti i ter­ proiezione p del piano cartesiano R x R su uno degli assi coordinati, comemini di questa uguaglianza sono definiti. Questa circostanza definisce in mi­ p(x, y) = x, la controimmagine di ogni punto x è tutta una retta. In cartografia,

sura notevole il ruolo della proprietà associativa di diverse leggi di composizione per rappresentare il ri l ievo della superficie terrestre sul piano della carta, siin algebra. Ogni insieme X è dotato dell'applicazione canonica in se stesso iden­ usano le linee di l ivello: queste linee sono le controimmagini dei diversi va­

tità : id+ . 'X ~ X, id+ (x) = x per ogni xe X. Ogni applicazione composta con essa lori della funzione h : (regione terrena rappresentata) ~ (numeri reali ) che dànon cambia. per ogni f : X~ Y s i ha f o id< ­— idi, of = f. l'altezza del punto dato sul livello del mare. Per analogia spesso si parla d'in­

Nel linguaggio dell'analisi classica la composizione delle applicazioni si rea­ siemi di l ivello di una data funzione, intendendo con ciò le controimmagini

lizza spesso sostituendo all'argomento di una funzione i valori di un'altra fun­ f ' ( y ) per i d i versi yeY,zione. Per esempio, f(x) = senlogx è l a c omposizione delleapplicazioni Ogni applicazione f : X~ Y i nduce su X una relazione di equivalenza bi­log : (numeri reali positivi) ~R e sen : R~R, La composizione è uno stru­ naria EIcXx X , c he consiste di tutte quelle coppie ordinate (x„x , ) e X x Xmento importante per costruire funzioni sempre piu complesse a partire dalle per le quali f(x,) = f(x~). Essa soddisfa i tre assiomi generali della relazio­funzioni piu semplici. È in questo modo, per esempio, che si costruisce la ne di equivalenza: (x, x)eE< per ogni x (r if lessività) ; se (x„x z )c E>, ancheclasse delle funzioni elementari a partire dalle funzioni somma, prodotto, quo­ (x„ x , ) c E> (simmetricità); se (x„x ~ )sE< e (x„x s )e E>, anche (x,, x,)eE>ziente, esponenziale, radice, logaritmo e dalle funzioni tr igonometriche, ite­ (transitività ). S'indica con X/E< l'insieme i cui elementi sono le classi di equi­

rando la composizione in modi diversi. Esse sono molto importanti nelle ap­ valenza di X r ispetto a E<, cioè i sottoinsiemi massimali di X costituiti dagli

plicazioni. Questa classe è sufficientemente estesa e comprende molte funzioni elementi equivalenti tra loro. È definita l 'applicazione s< . X~X /E>, doveche con un buon grado di precisione modellano dipendenze e processi naturali s<(x) = classe di equivalenza contenente x, e cosi pure l'applicazione i> . X /E<~ Y,e tecnologici. Come si è già ricordato, anche le funzioni calcolabili si ottengono dove i<(classe di x) = f(x)c Y. L'applicazione s> è surgettiva, mentre i< è iniet­per composizione a partire da un certo numero di semplici funzioni calcolabili (e tiva; per ogni applicazione f si ha sempre la scomposizionef = i>sf nella com­con l'ulteriore processo speciale di ricorrenza). Nei calcoli automatici la compo­ posizione di un'applicazione surgettiva e una iniettiva.sizione è spesso realizzata per mezzo di sottoprogrammi : per calcolare la fun­ Le applicazioni canoniche sono legate a diverse costruzioni teorico-insiemi­

zione gof uno speciale sottoprogramma calcola i valori di f e questi sono poi stiche. Per esempio, il prodotto cartesiano Xx Y è applicato surgettivamente

dati in ingresso al sottoprogramma che calcola g. sui suoi fattori mediante le proiezioni p> ' .Xx Y~ X e p i . X x Y ~ Y , doveUna applicazione f : X~ Y s i d ice monomorfa, o iniettiva, se, per tutti gli p~(x, y) = x e pr(x, y) =y. Sia ora Z un insieme qualsiasi e consideriamo le

xi xg da x, / x~ segue che f (x,) /f (x,) ; epimorfa, o surgettiva, se per ogni due applicazioni fr . Z~ X e fi '. Z~ Y. Es iste allora un'unica applicazione

ye Y esiste xeX tale che f(x) =y; biettiva se è contemporaneamente iniettiva f : Z~Xx Y p e r la quale fx=p> f e fv ­— pi f. È, questo, un esempio tipicoe surgettiva. della unitiersalità della costruzione (Xx Y; pz, p i ) ; si vedano gli esempi suc­

Per esempio, l 'applicazione f : R~R, f ( x ) = x~, non è in iettiva poiché cessivi.

f( — x) = f(x) per tutti gli x. Essa non è neppure surgettiva poiché per y(o non Nella matematica classica si usano spesso delle generalizzazioni della no­esiste x tale che xa=y. Restringendo i valori dell'argomento e della funzione ai zione di applicazione; si tratta delle cosiddette applicazioni parziali e di quellesoli numeri non negativi, essa diventa biettiva. Considerandola sui numeri a piu valori.complessi C l'applicazione f(x) = x~ diventa surgettiva, ma non iniettiva. Se X Un'applicazione parziale dell'insieme X nell'insieme Y' è un'applicazione

è un insieme finito, l'applicazione f : X~X p uò essere iniettiva solo se è sur­ f : D~ Y, dove D cX è un certo sottoinsieme di X non necessariamente coin­

gettiva e viceversa. Infatti qui ha senso parlare del numero dei diversi valori cidente con tutto X. Per esempio, la funzione f(x) = i /x da R in R non è defi­dell'argoinento e della funzione e, per esempio, l'iniettività significa che il nu­ nita, con questa formula, nel puntò x =o e, pertanto, è solo un'applicazione

z6

Applicazioni 7r4 7'5 Applicazioni

parziale di R in R. Se f è un'applicazione parziale di X in Y, definita sul sot­ Prima di tutto, la nozione di applicazione permette di formulare nel linguag­toinsieme Dc:X, si d ice spesso chef ha delle singolarità nel complemento gio della teoria degli insiemi la definizione esatta d'insieme finito. Un insiemeX/D. Questa terminologia si assume solitamente quando X /D è p iccolo X si dice finito (secondo Dedekind) se ogni sua applicazione iniettiva in se stessorispetto a D, per esempio quando consiste di un numero finito di punti in un è contemporaneamente surgettiva. Intuit ivamente il senso di questa definizionedominio numerico, e quando nelle approssimazioni xe D ai punti di X / D è già stato chiarito: se un'applicazione f non incolla degli elementi, cioè, se lasi rivelano delle irregolarità nel comportamento della funzione. In generale la relazione di equivalenza E< è l'identità, l'immagine f(X) deve contenere tantinozione di singolarità di una funzione, o applicazione, usata per le diverse elementi quanti ne contiene X e perciò non può essere strettamente minore diclassi di funzioni, si concretizza in modi diversi e non è necessariamente legata X. Questo ragionamento perde significato per insiemi infiniti X (che cosa si­all'indeterminatezza della funzione nelle sue singolarità. Esempi tipici di sin­ gnifica «tanti elementi quanti»?) e, infatti, l 'applicazione f : Z~Z, f(x) = zx,golarità nei modelli matematici sono forniti dai momenti del tempo nei quali un dell'insieme dei numeri interi in se stesso è iniettiva, ma non surgettiva. Taleprocesso si sviluppa a salti (discontinuità, ecc.) ; dai punti dello spazio ove si «paradosso dell'infinito» — «il tutto è uguale a una sua parte» — si discuteva daha l'origine dei campi (gli elettroni nella teoria del campo elettromagnetico ). molto tempo e Dedekind propose [ t888] di considerarlo semplicemente quale

IJn'applicazione a piu valori dell'insieme X nell ' insieme Y è una appli­ definizione dell'infinito nell'universo degli insiemi. (Negli ultimi tempi uncazione X~ ! l ' ( Y), dove cJ'(Y) è l ' insieme di tutt i i sottoinsiemi di Y . S e paradosso analogo si è incontrato nella fisica delle particelle elementari. IJnf(x) = Zá Y, i n tu i t ivamentef associa ad xe.X molti valori: tutti i possibili nucleone può generare una coppia virtuale nucleone-antinucleone e, se si tentaelementi zeZ. IJn t ip ico esempio di funzione a piu valori è la «funzione» di ritenere i termini di questa coppia quali parti del nucleone, bisogna ricono­

f(x) = V x dai numeri reali positivi a R: essa assume due valori in ogni punto scere che il nucleone contiene una sua parte propria isomorfa a se stesso. Per moltix+o. È, questo, un caso particolare di uno schema generale sul modo di for­ versi le particelle elementari vanno considerate quali «infiniti fisici» ).mare funzioni analitiche a piu valori in una variabile complessa. Se una fun­ Fino a Cantor, però, non era noto che anche gl'insiemi infiniti si prestanozione è data in un intorno di un punto nel piano complesso mediante una a un confronto rispetto alla loro grandezza. A Cantor risale la serie seguenteserie di potenze, il processo del suo prolungamento analitico, che consiste nel­ di definizioni. Due insiemi, X, Y, si dicono equipotenti se esiste un'applicazionel'assegnarla mediante serie diverse in una catena di domini intersecantisi, può biettiva f : X~ Y ( o , c iò che è lo stesso, una biezione g : Y~X ). In questocondurre a un valore diverso di questa funzione nel punto iniziale, quando la caso scriveremo card X= card Y'. Scriveremo card X( c ard Y se X è equi­

catena di domini si chiude su se stessa. In questo processo si possono anche potente a un sottoinsieme di Y . D i remo che X e Y s ono confrontabili seindividuare punti d'indeterminatezza della funzione. Pertanto, a partire da una card X<card Y, oppure card Y<card X. Infine, scriveremo card X<card Yfunzione iniziale in un piccolo dominio, si giunge a una funzione da C in C (nu­ (la potenza di X è minore della potenza di Y ) se card X<card Y, ma nonmeri complessi), la quale in generale è a piu valori e parziale. Cosi, per esempio, è vero che card X>card Y.la funzione log x da C in C non è definita nel punto x=o (e solo in esso) Dagli assiomi di Zermelo-Fraenkel si può dedurre il seguente teorema di

e, per ogni x/o , assume un insieme numerabile di valori,( log„x+z trV — r n), Cantor-Schroder-Bernstein-Zermelo :

dove n varia tra tutti i numeri interi, mentre log~ x è uno di questi valori. Affin­ a) ogni dueinsiemi sono confrontabili; se contemporaneamente card X(c a rd Yché questa funzione diventi un'applicazione ad un solo valore, bisogna cam­ e card Y( c ard X, al lora card X= c a rd Y ;biare il suo dominio di definizione. Questo importante processo è stato ap­ b) sia J~(X) l insieme di tuttii sottoinsiemi di X; allora card!P(X)) card X;plicato la prima volta da B. Riemann [ t85t ] e ha condotto alla fondamentale c) per ogni proprietà degli insiemi esiste un insieme di potenza minima connozione di superfici di Riemann e, piu tardi, alla nozione generale di «varietà questa proprietà (se questi insiemi esistono in generale).complesso-analitiche» (cfr. oltre). L'uso sistematico delle applicazioni parzialiha condotto negli ultimi decenni all'importante formalismo della teoria dei fa­

Pertanto le potenze degli insiemi sono linearmente ordinate (cfr. oltre) ; lasci (cfr. oltre).

massima potenza non esiste ; infine le potenze degli insiemi sono completamente

In matematica hanno un maggiore significato non già le applicazioni arbitra­ordinate. Queste proprietà della scala delle potenze furono scoperte da Can­tor, benché alcune di esse siano state dimostrate piu tardi.

rie d'insiemi, ma le applicazioni che concordano con queste o quelle strutture La scala delle potenze comincia con i numeri interi non negativi o, I, 2, 3,su essi. Però, prima di passare a descrivere degli esempi, è bene dire qualcosa che possono essere definiti quali potenze degli insiemi finiti [Whitehead e Rus­sulla teoria delle potenze degli insiemi di G. Cantor [r879-83], dove la no­ sell r96z]. La prima potenza infinita è quella dell'insieme N= (o, t , 2, 3, . . . j~zione di applicazione è apparsa per la prima volta nella sua forma «pura», con­ dei numeri interi non negativi, la cosiddetta potenza numerabile coo, oppuresentendo in tal modo di porre tutto un complesso di difficili problemi mate­ g~. La potenza infinita successiva strettamente maggiore, che si può costruirematici e filosofici. con il metodo di Cantor, è la potenza dell'insieme ~J(N). Essa si chiama po­

Applicazioni 7t6 7I7 Applicazioni

tenza del continuo e si indica con z o in analogia con i l caso degli insiemi segue che x =y e se da x(y e y< z segue che x<z (transitività ). Il piu notofiniti: se X contiene n elementi, J (X) contiene z" elementi. esempio di struttura di ordinamento è l'ordinaria relazione di disuguaglianza

Il fatto che la potenza di J (N) sia strettamente maggiore della potenza di (non stretta ) sui numeri reali, razionali, o interi; essa motiva la scelta dellaN si d imostra con il famoso processo di diagonalizzazione di Cantor. Infat­ notazione generica ( pe r l a relazione di ordinamento sugli insiemi astratti.ti, N è biettivo con la parte di J (N) costituita da tutti i sottoinsiemi con un Un altro esempio è la relazione c sull'insieme J (X) dei sottoinsiemi di X. Unsolo elemento, {n), dove ne N. Se N fosse biettivo con tutto J(N) , dovrebbe terzo esempio è la relazione card x(cardy su un certo insieme di potenze diesistere una applicazione f : N~ J (N) con immagine P(N). Mostriamo che, insiemi. Nella nostra descrizione del modello di puro scambio in economiaper ogni f, l' immagine di f non può coincidere con J (N). Infatti, indichiamo matematica () r .6) ogni funzione di u t i l ità u, : P~R de f in isce una certacon Mc: N il sottoinsieme di N (eventualmente vuoto), costituito da tutti i nu­ struttura di preordinamento < , su l l ' insieme P degli assortimenti di merci:meri m tali che m4f(m). Supponiamo che M = f(m~) per un opportuno mpc N (x,, ..., xt ) ( x ,' , ..., xt) se u;(x,, . .., xt)<u;(x,', ..., xt), ma può non valeree giungeremo a una contraddizione. A questo scopo consideriamo la posizione di il primo assioma. Le strutture ( ; , i n g enerale, non coincidono. Non è diffi­mo risPetto ad M. Se mpEM, in forza della definizione di M, m~ff(mo), cioè cile vedere che solo queste strutture sono essenziali nello studio dell 'esi­m~4M, poiché f(mo) = M; questa è una contraddizione. Se, invece, m~4M, stenza dello stato ottimale secondo Pareto; se si cambia u, in modo da nonessendof(mv) = M, risulta m~f f(m~), ma allora mpEM per definizione di M; cambiare <; (per esempio, se, invece di u;, si prende c,u, con c;)o ), l'insiemesi ha di nuovo una contraddizione. Ciò dimostra il teorema di Cantor. È evi­ degli stati ottimali non cambia. Vale la pena di notare che la validità reale didente che non si è mai usato il fatto che N sia l'insieme(o, t, z, ...), cosi che la una congettura sulla transitività di una relazione di utilità ( ; è p roblematica:dimostrazione e il r isultato sono applicabili ad ogni insieme al posto di N. sono noti esperimenti nei quali un essere sottoposto a tre stimoli, Xr, Xa, X„

La questione relativa all'esistenza di potenze intermedie tra os~ e z~o, che si preferisce Xt allo stimolo X~, X~ allo stimolo X» ma preferisce Xs allo stimo­pone in modo naturale nell'ambito di queste idee, si chiama «problema del lo X,, Comunque sia, in una serie d'indagini sociali e psicologiche le strutturecontinuo». Dopo prolungati sforzi fu scoperto che l'ipotesi di Cantor, secondo di ordinamento appaiono in modo naturale nelle seguenti circostanze. Posto chela quale non vi sono potenze intermedie, è indipendente dagli altri assiomi della c'interessi l'intensità di questo o quel segnale di un fenomeno, allora accadeteoria degli insiemi. Il potente metodo per la dimostrazione dell'indipendenza, spesso che si sia in grado di stabilire, per ogni coppia di fenomeni, a quale diideato da P. Cohen [rg66], condusse a stabilire l'indipendenza di tutta una essi corrisponda un segnale piu intenso, il che conduce a una struttura di or­serie di altre affermazioni nella teoria degli insiemi, che si possono interpretare dinamento. La tendenza a descrivere in ogni caso questa intensità quantita­quali insolubilità di una serie di problemi relativi all'esistenza di applicazioni tivamente, cioè di stimarla con una funzione numerica, potrebbe portare add'insiemi infiniti, con proprietà di questo o di quel tipo, nell'ambito dell'assio­ introdurre un inutile elemento arbitrario non r ichiesto dall'essenza dei fatti.matica assunta. Un insieme X con su esso una struttura di ordinamento si dice insieme

Tuttavia, la logica interna dello sviluppo della matematica e le esigenze delle ordinato. Un'applicazione f : X~ Y d i d ue insiemi ordinati si dice monotonascienze naturali, nella maggioranza dei casi, inducono a considerare non già se da x,<xa in X segue che f(x,) (f ( x, ) in Y . Nel l 'esempio con le funzioniqualsiasi applicazione, ma solo quelle che concordano con queste o quelle di utilità l 'applicazione u, : P~R è monotona rispetto al preordinamento (;strutture (cfr. il paragrafo seguente). su P e all'ordinaria disuguaglianza su R.

Qualche volta appare utile considerare applicazioni strettamente monotoned'insiemi ordinati. Sia X un i nsieme con una relazione di ordinamento

3. Applicazioni di strutture matematiche. Introduciamo una nuova relazione < su X : scriveremo xe<xe se xr( xa, maxt +xe Un 'applicazione f : X~ Y s i d ice strettamente monotona se da xt <xg

In questo paragrafo si riporterà la descrizione di alcune f ondamentali strut­ segue che f(x,) (f (xs). La funzione f(x) = kx da R in R è strettamente mono­ture matematiche e si chiarirà come si possa legare con ogni struttura su un tona per k ) o e so lamente monotona per k = o. Ecco ancora un esempio :dato insieme una classe di applicazioni di questo insieme che concordino con la siano YaX u n insieme e un suo sottoinsieme. L'applicazione J(X) ~ J (Y),struttura data. che ad ogni sottoinsieme ZcX associa la sua intersezione con Y, è monotona

rispetto alla relazione ~ su J (X) e J (Y). Se YWX, essa non è strettamente3.I. Struttura di ordinamento. monotona.

Le applicazioni monotone e strettamente monotone sono gli esempi piuSia X un insieme. Un sottoinsieme R~X x X s i chiama relazione binaria semplici di applicazioni che concordano con le strutture. Passiamo ad altri

R su X. Al posto di (x, y)eR, per x, yEX, spesso si scrive xRy. Una rela­ esempi.zione binaria < su X definisce una struttura d'ordinamento se da x <y e y<x

Applicazioni 7'9 Applicazioni

tura di gruppo commutativo con legge di composizione + e l 'unità o su tutto

3.2. Strutture algebriche. K; P) la struttura di gruppo commutativo con unità i e legge di composizione«prodotto»: (x, y)~xy sull ' insieme K~ = Kg(o) ; e y) queste strutture sono

Le strutture algebriche sono quelle definite dalle diverse leggi di compo­ legate dalla legge distributiva x (y+z) = xy+xz per tutti gli x, y, zeK. Se insizione. Sia X un insieme. Si chiama legge di composizione interna binaria su X P) si richiede che K sia, rispetto al prodotto, solo un monoide, si ottiene laogni applicazionef : XX X~ X . E sempi: X= R, oppure Z, f(x, y) = x+y, op­ struttura di anello.pure xy; oppure X = J (Y'), f(x, y) = xUy, oppure xAy. I n questi esempif I numeri razionali Q, i numeri reali R e i numeri complessi C fornisconosoddisfa la seguente condizione di associativita: f(f( x, y), z) = f(x, f(y, z)) gli esempi piu noti di corpi. La nozione generale di corpo assiomatizza quelleper tutti gl i x , y , . U n i n s ieme X con una legge di composizione interna proprietà di natura puramente algebrica. Esistono corpi con un numero finitoassociativa si chiama monoide. Tale legge di composizione spesso si indica con di elementi ; i cosiddetti «corpi di Galois». L'esempio piu semplice di tali corpil'ordinaria notazione di prodotto, scrivendo xy al posto di f(x, y). Se X, Y è (o, i ), con le leggi di composizione o+o = i + i = o; o+ i = i ; o . o = o . i = o;sono due monoidi, un'applicazione g : X~ Y s i chiama omomorfismo di mo­ i = i . Questo corpo e corpi piu generali di Galois sono largamente usati neinoidi quando g (xixa) =g (xi)g(xa) pel tutt i gl i x i x ,E X , I i l a l t re paiole g deve moderni dispositivi per la trasmissione di dati e per l'elaborazione delle infor­concordare con le leggi di composizione su X, Y. mazioni, dove sulla loro base sono progettati diversi sistemi di codificazione.

Sia X un m onoide. Un e lemento ev X si chiama unità (bilatera), se Un'applicazione f : K~L di due corpi si chiama omomorfismo se essa è con­ex = xe = x per ogni xe X. Una applicazione i : X~X s i chiama inversione(bi­ temporaneamente un omomorfismo di K in L r i s petto alla somma e di K~ inlatera), se i(x)x = xi(x) = e per ogni xc X. Al posto di i (x) spesso si scrive x '. L~ rispetto al prodotto. Si può dimostrare che ogni omomorfismo di corpi èUn monoide X con la sopraindicata unità ec X e con l'applicazione i : x ~x - ' necessariamente iniettivo. Gl i omomorfismi dei corpi sono studiati nella teo­si chiama gruppo. Siano X, Y due gruppi. Un'applicazione f : X~ Y si chiama ria di Galois e in geometria algebrica,omomorfismo di gruppi se essa è un omomorfismo di monoidi che applica l'unità Siano K un corpo ed E un gruppo commutativo con la legge di compo­di Xnell'unitàdi Y esef(x ') = f(x) pe r o gnixeX. Unmonoide,oungruppo, sizione indicata con + come in K e con l'unità o come nel gruppo additivo K.X si dice commutativo se xy = yx per tutt i gl i x, yeX . La struttura sul gruppo E di spazio vettoriale, o lineare sopra K è definita da una

L'insieme R+~ dei numeri reali positivi è un gruppo commutativo con il pro­ legge dicomposizione esterna K x E~E. L' immagine della coppia(k, e), dovedotto quale legge di composizione, con l'unità i e l' inversione i(x) = x '. L ' in­ k@K, eeE, in questa applicazione s'indica ke. Quest'applicazione deve soddi­sieme R di tutti i numeri reali è un gruppo commutativo con la somma quale sfare una serie di proprietà; in particolare, (k,+ka)e = k,e+k,e, k(er+ca) =

legge di composizione, con l'unità o e l ' inversione i (x) = — x. L'applicazione = ke,+ke„ ( A ,A,)e = ki (A,e) per tutti i k, k, , k,eK ; e, e,, e,cE.log : R+~~R è un omomorfismo di questi gruppi. Essa, inoltre, è biettiva: tali L'esempio piu semplice di spazio lineare sopra K è il gruppo E= K" = K xapplicazioni si dicono «isomorfismi». x ... x K (n vo lte), costituito dalle n-uple (A„..., A„). La legge di compo­

Un esempio di gruppo non-commutativo è l'insieme S (X) di tutte le appli­ sizione interna in E è : (ki» k~)+ (k i > k„') ( k i +ki k »+k~) L acazioni biettive di un certo insieme X in se stesso, cioè le permutazioni di X. legge di composizione esterna è: k (k,, ..., A») (AAi kkp) Piu complessiQui la composizione è la composizione delle applicazioni, l'applicazione iden­ e molto importanti nelle applicazioni sono gli spazi funzionali. Per esempio,tica x~x è l ' un ità. L 'applicazione inversaf ' è d e f inita cosi: sef(x) = y , lo spazio E delle funzioni da R in R è d o tato della struttura di spazio vet­f ' ( y )= x . I l g r uppo S„ = S(( t , . .., n)) s i ch iama gruppo simmetrico di toriale sopra R con le leggi (f+g)(x) = f(x)+g(x) per tutte le f, geE e pern-esimo grado. Per n)3 esso non è commutativo. Ad ogni elemento se S, può ogni xcR e (cf)(x) = cf(x) per ogni ce R, f cE, xeR.essere associato il numero + i, oppure — i, cosicché questa applicazione diventa Siano E„E, due spazi lineari sopra il corpo K. Un'applicazione l : E, ~E,l'omomorfismo s : S.„~ ( i , — i) (il secondo è un gruppo con il prodotto quale si chiama applicazione lineare, o (orno)morfismo di questi spazi se essa è unlegge di composizione). L'omomorfismo s è definito univocamente dalla con­ omomorfismo di gruppi e, inoltre, se concorda con i l p rodotto esterno neldizione s (s) = — i se s cambia posto esattamente a due numeri e lascia gli al­ senso che è l (ke)= k(le) per ogni kc K, eeE. Un'applicazione lineare di unotri al loro posto. spazio E in se stesso si chiama operatore lineare su esso.

I gruppi e i loro omomorfismi hanno un'importanza fondamentale nella ma­ La nozione di applicazione lineare investe una parte notevole della mate­tematica e nella fisica moderne. In particolare, essi forniscono i modelli fon­ matica moderna e delle sue applicazioni. Essa è a fondamento di tutta l 'ana­damentali per la descrizione delle simmetrie degli oggetti, dei fenomeni e delle lisi. La derivazione delle funzioni è un'operazione lineare; la sostituzione dileggi della natura. piccole variazioni di una funzione con approssimazioni lineari è un principio

Gli esempi successivi di strutture algebriche sono i corpi e gli anelli. Un in­ generale nei modelli matematici, straordinario per la sua universalità e per lasieme K si chiama corpo se su esso sono date le seguenti strutture: a ) la strut­ sua efficacia. L'integrazione delle funzioni è pure un'operazione lineare; la sua

Applicazioni 720 72I Applicazioni

base naturale è l'esistenza di un insieme di caratteristiche fisiche del tipo mi­ indicizzate con i «momenti del tempo» teR e tal i che T, a T, = T« . Nelio ty f g+ l y

sura (area, volume, massa, energia), che sono additive quando due sistemi si caso del flusso di un liquido T, applica la posizione di ogni particella del li­riuniscono in uno e che, quando si cambia l'unità di misura, si comportano in quido al momento o nel luogo che essa occupa al momento t (l'insieme X èmodo naturale. Infine, la linearità dell'apparato matematico fondamentale della l'insieme dei punti del volume di liquido ).meccanica quantistica classica è basata sul principio della superposizione degli Le applicazioni che conservano la misura sono un altro esempio di appli­stati, la cui stessa formulazione sarebbe stata impossibile senza una preliminare cazioni che concordano con le strutture.individuazione matematica dell'arco di nozioni descritte. La stessa cosa si può Il ruolo di tali applicazioni nella fisica non è limitato all'esempio riportatodire della nozione dell'operatore lineare di una data grandezza fisica esaminata all'inizio di questo punto. Il fatto è che, per una classe estesa di sistemi fisici che

nel ) x.g. si evolvono nel tempo, nel loro spazio delle fasi esiste una misura invarianteSe gli stati di un dato sistema sono descritti da uno spazio lineare E, i l rispetto al flusso di questa evoluzione (teorema di Liouville per i sistemi ha­

gruppo G delle simmetrie di questo sistema è dotato di un omomorfismo di G miltoniani ). Un esempio può essere il sistema solare, oppure, in una certa ap­nel gruppo degli operatori lineari biettivi su E Questo omomorfismo si chiama prossimazione, il sistema di molecole in un dato volume di gas. (Qui lo spaziorappresentazione lineare del gruppo G. Le rappresentazioni lineari formano delle fasi non coincide affatto con lo spazio occupato da questo volume; si trattauna ricca classe di strutture ben studiate. Per esempio, l 'atomo di un qual­ di uno spazio astratto, ogni punto del quale è costituito dall'insieme delle coor­siasi elemento è dotato di un gruppo naturale di simmetrie, cioè le rotazioni dello dinate e delle velocità di tutte le molecole. La sua dimensione è molto grande;

spazio attorno al nucleo dell'atomo. Risulta che le caratteristiche matematiche in condizioni normali i cm' di gas contiene circa io~~ molecole). Dalla conser­di diverse rappresentazioni di questo gruppo possono essere identificate con una vazione della misura segue l'importante teorema di Poincaré : nell'evoluzione diserie di caratteristiche sperimentali degli elementi ; in una certa approssimazione un tale sistema, per quasi ogni stato iniziale, il sistema ritorna infinite volte ala tabella di Mendeleev può essere persino considerata quale tabella degli in­ uno stato arbitrariamente vicino a quello iniziale. In particolare, se inizialmentevarianti di diverse rappresentazioni del gruppo di rotazioni. .tutto il gas era concentrato in una metà del volume, per esempio, diviso da una

paratia, dopo che questa sia stata tolta, il gas, essendo lasciato a se stesso, si

3.3. Spazio con misura e flussi. raccoglierà da solo infinite volte in quella metà del volume. La contraddizionedi questa deduzione con la pratica dell'uomo si chiama, nei fondamenti della

Consideriamo il moto di un l iquido in un certo volume; per esempio, il meccanica statistica, paradosso di Zermelo. Di solito esso viene risolto osser­flusso dell'acqua nel letto di un fiume. Con buona approssimazione si può ri­ vando che il tempo medio per tornare alla posizione iniziale in questo caso ètenere l'acqua incomprimibile. Seguiamo il moto di un certo volume d'acqua; cosf grande da superare tutto il tempo dell'esistenza dell'Universo. Ciò è le­

per esempio, di una sfera di raggio i centimetro, individuata al momento ini­ gato all'enorme dimensione dello spazio delle fasi. Osservando il moto brow­ziale nel flusso generale. Dopo un intervallo di tempo, diciamo di t secondo, niano di una singola piccola particella, ci si può convincere del suo ritornoessa si è mossa in basso lungo la corrente e si è deformata, ma il suo volume periodico in un intorno della posizione iniziale.è rimasto lo stesso. Tali generi di fenomeni sono matematicamente modellati Ancora un'altra importante applicazione nella fisica statistica delle appli­con le nozioni di «spazi con misura», di «applicazioni che conservano la misura» cazioni con misura invariante è legata ai cosiddetti teoremi ergodici. Essi mo­e di «flussi». tivano la coincidenza di medie «spaziali» e «temporali», cioè di diverse carat­

Si chiama spazio con misura un insieme X nel quale sia individuato un teristiche di un sistema, mediate rispetto al tempo della sua evoluzione, e dicerto sottoinsieme S ~ J (X), cioè i sottoinsiemi misurabili di X, e sia data una queste stesse caratteristiche, mediate rispetto a tutti i possibili stati del sistemafunzione p, : S~ (numeri reali non negativi ). Per ogni insieme misurabile in un fissato momento del tempo.Y'cS il valore ii, (V) si chiama misura di Y. L ' insieme S deve essere chiusorispetto alle intersezioni e alle unioni numerabili dei suoi elementi, mentre 3.4. Continuità.la misura p, deve godere della proprietà additiva: la misura dell'unione di uninsieme numerabile di elementi di S, a due a due disgiunti, è uguale alla somma Una funzione r : A (tempo) ~R(distanza) che descriva il moto di un puntodelle misure di questi elementi. Nell'esempio del flusso del liquido, p,(Y) è materiale gode della proprietà che le distanze in due punti vicini nel temposemplicemente il volume di V. sono pure vicine tra loro. In generale la maggioranza delle funzioni che mo­

Un'applicazione T : X~X co nserva la misura se, per ogni insieme misura­ dellano processi naturali è tale che piccole variazioni dei valori dell'argomentobile V~X , l ' insieme T(Y) è misurabile e ii.(T(Y)) = p (V). Si considererà qui comportano piccole variazioni dei valori della funzione. Ciò conduce all'idea disolo il caso in cui T è b ie tt iva e tutte le potenze di T conservano la misu­ continuità. (Costituiscono un'importante eccezione i domini singolari dellora. Un flusso su X è un insieme $T,) di applicazioni che conservano la misura, sviluppo di un processo, dove piccole variazioni dei parametri conducono a va­

Applicazioni 722 723 Applicazioni

riazioni molto rapide delle caratteristiche del processo: i modelli matematici di La maggior parte degli spazi topologici, che nell'analisi si presentano in modotali fenomeni forniscono la teoria delle singolarità di diversi generi, dei quali naturale, soddisfano una condizione supplementare, il cui significato intuitivosi tratterà in seguito in modo piu particolareggiato ). consiste nel fatto che due punti distinti non possono essere «infinitamente vi­

Una precisazione di queste idee conduce alla seguente definizione classica cini». Essa è formulata con espressioni diverse, piu o meno forti, tra le qualidi funzione continua: una funzione f : R~R si d ice continua nel punto xpcR la piu usata èse, per ogni q) o, esiste s) o tale che, per ~x — xp~ <s, abbiamo ~ f (x) — f(xp)l <q :la variazione della funzione diventa piccola a piacere, se la variazione dell'ar­ T4) (assioma di separabilità di Hausdorff ): per ogni due punti xi , x~cX ,

xi / x „ es i stono U„U , c T t a l i che x,c U,, x ic U, e U, A U, = g .gomento è sufficientemente piccola.

Questa definizione si estende evidentemente alle funzioni a valori reali in piu Le applicazioni continue di spazi separabili secondo Hausdorff' sono dotateargomenti reali, alle funzioni in variabili complesse, alle funzioni-vettori, ecc. di molte proprietà che sono naturali per le funzioni classiche continue.

Un'analisi ulteriore della nozione di continuità conduce a suddividerla indue nozioni : una si riferisce alla presenza di certe caratteristiche di p vicinanza» 3.5. Varietà topologiche.fra i punti del dominio X e del codominio Y dell'applicazione, cioè alle to­pologie su X e su Y ; l ' a l t ra, alla conservazione di questa vicinanza in una Fra i diversi spazi topologici sono particolarmente importanti gli spazi vet­applicazione continua. Nelle situazioni classiche il problema della topologia in toriali R" e C" e gli spazi che localmente (in un intorno sufficientemente pic­R non nasce poiché esso entra a far parte delle proprietà usuali dei numeri reali. colo di ogni loro punto ) sono strutturati in modo simile a R", o C ' .

La nozione generale di spazio topologico, cioè di un insieme con una to­ Per formulare esattamente questa definizione introduciamo la nozione dipologia, è la seguente: si chiama spazio topologico una coppia (X, T) , d ove «omeomorfismo». Si chiama omeomorfismo di due spazi topologici X, Y un'ap­T c: J (X) è un certo insieme di sottoinsiemi di X, detti sottoinsiemi aperti di X , plicazione biettiva continua f : X~ Y t a le che l ' immagine di ogni insiemeche soddisfa i seguenti assiomi: aperto in X è aperta in Y e la controimmagine di ogni insieme aperto in Y è

Tp) gc T e Xe . T; aperta in X (quest'ultima condizione segue dalla continuità di f). Per esem­T,) per ogni punto xc X esiste un insieme Uc T tale che xc U. [L'assioma T, pio, tutti gli intervalli aperti in R sono omeomorfi tra loro: l 'omeomorfismo

è conseguenza di T„, ma in questo contesto e per il seguito è utile in­ (a, b)~ (o, r) è d a to dall 'applicazione f(x ) = (x — a)/(b — a). Essi sono puredicare esplicitamente questa proprietà ]; omeomorfi a tutta la retta R: l'omeomorfismo (o, r) ~R è dato dall'applicazione

T,) l'interse=ione di ogni insiemefinito di elementi di T è un elemento di T; f(x) = log log r/x. Analogamente si può dimostrare che tutte le sfere aperte in

Ts) l 'unione di ogni insieme di elementi di T è un e lemento di T. R" sono omeomorfe tra loro e a tutto R".Uno spazio topologico X si chiama varietà (ad n dimensioni) se, per ogni

Per esempio, nell'ordinaria topologia di R gl i insiemi aperti sono esatta­ punto xc X, esiste un suo intorno aperto U omeomorfo a R". Qui si sottintendemente quegli insiemi Uc:R che, se contengono il punto xc R, contengono l'in­ che la topologia su U è definita dall'insieme di quei sottoinsiemi di U che sonotero intervallo (x — s, x+s) ~ U se s è sufficientemente piccolo. Analogamente, aperti quali sottoinsiemi di X, cioè la topologia su U è indotta dalla topologianell'ordinaria topologia dello spazio a n dimensioni R', un insieme Uc:R" è di X.aperto se, e solo se, per ogni punto (x„ . . . , xp)c U, esiste un e) o t a le che, Nella fisica moderna sono di importanza fondamentale le varietà a quattroper Jx,— yil<c, . .., Ix„— y„l<, si ha (y,, ..., y„)c U. dimensioni, cioè i modelli matematici dello spazio-tempo. Il modello classico

In generale, siano (X, 7'z) e ( Y, Tr) due spazi topologici. Un'applicazione di Newton risponde allo spazio-tempo R~ = «spazio Fisico» x «asse del tempo».f : X~ Y s i d ice continua, o «morfismo di spazi topologici», se, per ogni in­ Nel modello della teoria ristretta della relatività di Einstein lo spazio restasieme aperto U,-c T>.-, si ha f '( U>)c T~-. omeomorfo a R' (e conserva persino la struttura lineare), ma l'asse del tempo

Dietro queste definizioni sono le seguenti considerazioni intuitive. La vici­ perde la sua posizione individuale. Infine, nei modelli della teoria generale dellananza dei numeri x, y di R è misurata dalla distanza tra loro, cioè dalla gran­ relatività lo spazio-tempo può appartenere ad una classe molto generale di va­dezza ~x — y(; però questo non è il modo piu generale per introdurre la vici­ rietà a quattro dimensioni che solo «in piccolo» conservano le proprietà di R4.

nanza, poiché è troppo strettamente legato alle idee usuali sulla retta reale. In­vece, in generale basta limitarsi a dichiarare quali insiemi di punti debbano 3.6. Varietà differenziabili.ritenersi «sempre piu vicini» a un punto x, e un' idea adeguata di ciò vienedata dal «sistema di intorni aperti » di x, cioè dagli insiemi aperti Uc T che con­ Lo spazio R" è dotato in modo naturale di una struttura complementare chetengono x. Un'applicazione f : X~ Y è continua se punti vicini di X possono è data dall'insieme di tutte le funzioni R" ~R differenziabili rispetto a tutti gli ar­capitare solo in punti vicini di Y . gomenti. Una funzionef(x„ . . . , x,) si d ice differenziabile in un in torno del

Applicazioni 7z4 7z5 Applicazioni

punto (x i , ..., x„) se in questo intorno f può essere ben approssimata da una ziabilità infinita con la richiesta di essere differenziabili m volte, si definisce infunzione lineare: f(x» . .., x„)= f(x» ..., x„)+f,' (x,— xi)+...+f„'. (x„— x„)+ modo analogo una varietà differenziabile m volte.+ (termini infinitesimi d'ordine superiore rispetto a max (~x, — xi~, ..., ]X„— xn~)) ; Siano X, Y due varietà lisce di dimensione m e n rispettivamente ; f : X~ Yqui f sono costanti dipendenti da(x„ . . ., x„). Se la funzione f è differenziabile sia un'applicazione continua. Allora in un intorno di ogni punto xc X, usandoin un intorno di ogni punto di R", essa si dice semplicemente differenziabile. le coordinate locali in x e in f(x), possiamo considerare f come un'applicazio­In questo caso il coefficiente f, considerato quale funzione di(x i , ..., x„), si ne parziale di R~ in R" . Perciò la teoria locale delle applicazioni di varietàindica differenziabili coincide con l'analisi classica reale. L'introduzione di una strut­

0f— : R" ~Rtura globale nella forma di atlanti, che risale a H. Weyl che la ideò nel con­

Bxt testo delle superfici riemanniane, permette di usare i potenti mezzi della to­pologia nello studio di varietà globalmente non-omeomorfe a R" e delle fun­

e si chiama derivata parziale di f rispetto a xi. Ripetendo questo processo si zioni su esse, Per questo attualmente le varietà differenziabili sono l'oggetto

definiscono le derivate superiori fondamentale dell'analisi globale e della topologia differenziale. Esse appaionoquali spazi delle fasi dei sistemi fisici. In particolare, nella teoria generale della

d 'f B ( 0 f l relatività i modelli spazio-tempo sono varietà differenziabili.t )xt ctxt c tx, ( Ox,/ Due varietà lisce X, Y s i d icono diffeomorfe se esiste un omeomorfismo

f : X~ Y che, in coordinate locali, sia dato mediante funzioni lisce dotate di fun­e cosi via. Se sono definite tutte le derivate zioni inverse lisce. Una scoperta notevole degli ultimi decenni consiste nel fatto

che esistono varietà molto classiche, per esempio le sfere, sulle quali possono

Bxtl ... Bxtnessere introdotte strutture lisce sostanzialmente diverse tra loro. Per esempio,sulla sfera a sette dimensioni di tali strutture ve ne sono z8 [Milnor I956].

per ir+ . . .+ i „ = i(m, la funzione f si d ice m volte differenziabile. Una fun­zione differenziabile m volte per ogni m si dice infinite volte differenziabile, o 3.7. Varietà analitiche.liscia.

Sia X una varietà topologica ad n dimensioni. Un'applicazionef : R" ~X Sul modello della definizione delle varietà differenziali si possono introdurre

che definisca un omeomorfismo di R" con un insieme aperto U~X s i chiama le varietà analitiche complesse (e reali). Sia U~C" un certo insieme aperto.

carta su X. In questo caso ogni punto xe U può essere dato dalle coordinate del Una funzione f : U~ C si dice analitica nel punto (X» ..., X„ )e U se essa

punto f '( x ) in R"; in questo senso assegnare le carte equivale ad assegnareè sviluppabile in una serie di potenze:

su X un sistema locale di coordinate. Supponiamo che siano date due carte f(xi» "' xn) =g at . ..'tn(xi xi ) "'( n xn)'" >f : R" ~X, g : R" ~X, f(R")= U, g(Rn) = V. Allora nell'intersezione UA Vsono definiti due sistemi locali di coordinate ; uno definito da f e l'altro definito dove atr ; e C, l )o , convergente in un intorno di questo punto. Una funzione

da g. Esprimiamo le g-coordinate di un punto xe UA V mediante le sue f­ f si dice analitica su U se ciò è vero per ogni punto di U.

coordinate : ciò fornisce un sistema di n funzioni in n variabili definito nel domi­ Si chiama carta analitica su una varietà topologica X di dimensione zn ogni

nio f ' (UA V) ~R". Supponiamo che queste funzioni siano infinite volte dif­ omeomorfismo f : U~X d e l la sfera aperta U~ C" con un sottoinsieme aperto

ferenziabili e che la stessa cosa sia vera per le espressioni delle f-coordinate di X. Una carta analitica f fornisce su X le coordinate locali analitiche. Cosi

mediante le g-coordinate. Allora le carte f e g si dicono compatibili. Sia ora come nel caso liscio, due carte si dicono compatibili se il passaggio dalle une alle

( f,) una certa famiglia di carte su X che ricoprano tutto X: Uf ; (R") = X. Essa altre coordinate è dato da funzioni analitiche. Dopo di che è chiaro come sit definiscono gli atlanti analitici, la struttura di varietà analitica complessa su X

si chiama atlante su X se ogni due carte f;, f, sono compatibili. e la nozione di isomorfismo analitico f : X~ Y.Due atlanti (f,) e (g;) su X si dicono equivalenti se ogni carta f, è com­ Questa struttura è piu rigida della struttura di varietà differenziabile. Per

patibile con ogni carta g, S i può credere che la relazione di equivalenza fra esempio, la parte interna di un cerchio in C è diffeomorfa con tutto il pianogli atlanti si definisce effettivamente cosf. complesso C, ma non è analiticamente isomorfa a C. Infatti, un'applicazione ana­

La struttura di varietà liscia (o infinitamente differenziabile) su X si de­ litica di C in un cerchio è una funzione analitica limitata su tutto i l piano,finisce con una certa classe di atlanti equivalenti su esso. Tutti questi atlanti ma ognuna di tali funzioni è costante.si possono riunire in un at lante massimale. Le definizioni date di varietà lisce e analitiche mostrano la tecnica gene­

Se nella definizione della compatibilità delle carte si sostituisce la differen­ rale nell'usare le applicazioni (parziali) per incollare oggetti globali a modelli

Applicazioni 7z6 727 Applicazioni

locali di un dato tipo. Per concludere, è opportuno descrivere ancora una classe matematiche caratteristiche, nelle quali questa nozione si presta a precisazioniimportante di strutture, dove questa stessa idea interviene in una variante un diverse.po' diversa. In generale la nozione di singolarità di un'applicazione f : X~ Y p resup­

pone la descrizione preliminare di una certa proprietà locale dell'applicazione3.8. Fasci. stessa, che, in ogni punto xe X, f può, o non può godere, ma che f gode

nella maggioranza dei punti di X (in uno, o in un altro senso della parola). ICominciamo con un caso particolare. Sia X una varietà analitica ed U sia punti, dove questa proprietà non ha luogo, sono punti singolari per f. Al limiteun insieme aperto. Una funzione f : U~C s i d ice analitica se essa è analitica f può persino non essere definita nei suoi punti singolari; ciò significa, in verità,

nelle coordinate locali in un i n torno di ogni punto xe U. Indrchiamo conche f ha la forma f : Xp~ Y, dove Xp è il comPlemento in X dell ' insieme dei

l '(U, O<) l ' insieme delle funzioni analitiche su U. La collezione di tutt i i punti singolari di f, mentre le singolarità si caratterizzano per questo o quell (U, O>) gode delle seguenti proprietà: comportamento di f nei punti di approssimazione xpcXp al punto singolare

r ) se U ~ V , in modo naturale è d e fi n ita l ' applicazione-restrizione x,e XQXp. Seguono alcuni esempi.r< < . .l'(V, Ov) l ' ( U , O , ) . Se U~ V~ W, si ha: rrr < ­— rr <or+ r ' ,

z) se U = U U, ed è data una funzione analitica fc I" (U, Oz), la famigliadelle sue restrizioni f„ = r, , fe l' (U ; , Oz) è definita univocamente da 4.r. Discontinuità e spezzature.

f e le restrizionif;, f; concordano su U.;A U~, cioè r~, p,~tt,(f;) = Sia D un certo intervallo della retta reale R; f : D ~R si a una funzione= r, t , ,~„,( f , ) ; reale su D. Essa è continua nel punto xpED se, per x tendente a xp, il l imite

3) al contrario, se U = g U; e se per ogni U, è data una funzione analitica di f(x) esiste ed è uguale a f(xp). Questa definizione è equivalente a quellaf al ' (U ; , Ox), essendo per tutti g li i, j r < , z, „< , ( f ) = r<,, <,„t, (f ), data al ( 3. Nel caso contrario f si dice discontinua nel punto xp. Esempi sem­esiste allora fai ' (U, Ox) con la proprietà rtt <,(f )= f.; per ogni i , plici di discontinuità: f(x) = o per tutti gli X+xp f(xp) r ; f(x) = o per x(xp ,

L'assiomatizzazione di queste proprietà conduce alla definizione generale f(x) = t per x)xp. Un esempio piu complesso :f(x) = sen r /x per x/o, f(o) = a,

di fascio di insiemi $ su uno spazio topologico X. Dare un fascio À significa dove a è un numero arbitrario; qui f(x) può non aver del tutto limite per x

dare gli insiemi l ' (U, $), uno per ogni insieme aperto U~X , e l e applica­ che si approssima a zero, oppure avere quale limite ogni numero compreso tra

zioni-restrizioni rr < .' l ' (V, $) l ' ( U , F ) per ogni coppia d' insiemi aperti — r e + r (estremi compresi) a seconda di come x si approssima a zero.

U~ V. Questo insieme di dati (l ' (U, ,'F), r< <) deve soddisfare esattamente Una funzionef(x) può essere continua in tutto il suo dominio di definizione,

quelle proprietà che si sono formulate sopra per l' (U, Ov). Occorre solo sot­ ma differenziabile solo fuori di alcuni punti. La condizione di differenziabilità

tolineare che, nella definizione generale di fascio, gli elementi fc l ' (U, $) non in un punto xp significa la presenza di una tangente definita al grafico di f nel

sono necessariamente funzioni su U in qualunque senso della parola e le ap­ punto (xp, f (xp)), oppure, piu formalmente, l'esistenza del limite di

plicazioni-restrizioni r„< . devono essere assegnate a priori. f(x) — f(xp)La struttura di fascio è uno dei mezzi di globalizzazione piu generali at­

tualmente noti. Essa, insieme con la nozione di topologia, è servita da puntoX x p

di partenza per le successive generalizzazioni di A. Grothendieck. per x che tende a xp. La funzione f(x) = ~x~(cioè, uguale a x per x) o e a — xOsserviamo ancora che gli insiemi l' (U, $) possono essere dotati di strut­ df

ture complementari, per esempio, della struttura di gruppo, Se tutte le ap­ per x(o ) è differenziabile in ogni punto x+o ; la sua derivata — (x) = f'(x)dx

plicazioni rr z sono omomorfismi di gruppi, P si chiama fascio di gruppi.Analogamente si possono definire i fasci di gruppi abeliani, i fasci di spazi li­ (= r per x ) o, — r per x(o ) nel punto xp = o ha una discontinuità, mentre

neari, ecc. Per esempio, il fascio delle funzioni analitiche su una varietà anali­ la stessa funzione f(x), cioè il suo grafico, in questo punto è «spezzato».tica è un fascio di anelli, poiché la restrizione delle funzioni è compatibile con Può accadere che attorno a un punto xp la stessa funzione e alcune sue

la loro somma e il loro prodotto. prime derivate, f' (x), ..., f" (x), siano continue, mentre f"+'(x) sia discontinuain xp. Ciò può avvenire quando si «congiungono» curve diverse; per esempio,prolungando un segmento di retta con un arco di circonferenza tangente alla

4. Singolarità delle applicazioni. retta nel punto di congiunzione: qui n = r. Nel progettare una strada ferrata,

per esempio, un tale punto può essere considerato singolare. Il grafico delloNei )$ r e z si è già accennato al significato naturale-scientifico della no­ spazio percorso da un punto materiale ha una tale singolarità nel punto dove

zione di singolarità di un'applicazione. Qui si riporteranno alcune situazioni improvvisamente una forza comincia, o smette di agire. È, questo, il moto/

Applicazioni 728 729 Applicazioni

di un razzo vicino al momento in cui si stacca il propulsore e i l razzo co­ Si fa interagire con le particelle di un bersaglio (il quale pure può essere unmincia a muoversi lungo una traiettoria balistica. fascio) e si registrano le particelle che si formano quale risultato dell'inte­

razione. Ogni atto dell'interazione viene considerato come una certa applica­

4.2. Singolarità delle funzioni analitiche. zione che associa allo stato del sistema prima dell' interazione (fascio, bersa­glio) lo stato del sistema dopo l ' interazione (prodotti dell ' interazione). Sia

Sia D un certo insieme aperto del piano complesso C; per esempio, la parte l'uno che l'altro stato sono descritti da vettori in un certo spazio lineare, men­interna di un cerchio. Ricordiamo che una funzione f : D~C si d ice analitica tre le probabilità di passare dallo stato iniziale a quello finale sono descrittein un punto xoe D, se questo punto ha un intorno U tale che, per ogni xe U, da una speciale funzione complesso-analitica, detta ampiezza di transizione,si ha oppure diffusione. L'ampiezza di transizione è una funzione nelle energie e

negli impulsi degli stati iniziali e terminali delle particelle del sistema. Le sin­f(x) =g a,(x — x )"

n = O golarità dell'ampiezza di transizione hanno un importante significato fisico. Peresempio, i poli dell'ampiezza di transizione corrispondono alle particelle stabili,

(a„e C; la serie converge) . Se l 'applicazione è analitica in t u t t i i p u n t i o instabili presenti nel sistema. I residui in questi poli possono essere inter­xc Dg(x»}, dove x»eD, mentre in un intorno opportuno del punto x«ovun­ pretati quali indici dell'intensità delle forze d'interazione connesse con questeque, ad eccezione che per x = x«, essa è rappresentabile mediante una serie particelle. L'ampiezza di transizione può avere anche singolarità, tipo punti diconvergente della forma ramificazione. Le singolarità vicine a questi punti di ramificazione pure si pre­

stano ad essere interpretate quali forze; piu precisamente, si tratta delle co­f(x) = P a„(x — x«)", m)o , a g o , siddette «ampiezze assorbenti ».

si dice che f ha un polo nel punto x». Un polo è una singolarità della fun­ 4.3. Singolarità delle applicazioni differenziabili.zione f. Il coefficiente a i si chiama residuo di f nel punto x». Se in con­dizioni analoghe f è rappresentata da una serie della forma Sia D un intorno dello zero, x«, nello spazio R" ; f : D ~R sia una funzione.

Essa è m volte differenziabile nel punto x» = (o, ..., o) se, vicino ad esso,

f(x) = Q a„(x — x,)" fB

f(x) = ff»(x)+V (x)»= 0

e a„4o per infiniti n(o , si dice che f ha una singolarità essenziale nel punto x».Si hanno definizioni analoghe per le funzioni analitiche complesse in piu dove le f.; (x) sono forme di grado i nelle coordinate locali (xi, ..., x„), mentre

variabili. ~q(x)~(C max ~x;('"+'. I l punto x» si dice regolare per l'applicazione f se ilNella teoria delle funzioni complesso-analitiche si usa parlare anche di sin­ termine lineare fi(x) dell'applicazione è diverso da zero. Ciò significa che f(x),

golarità tipo ramificazione. La condizione f(x) = V x, dove per v x si sceglie vicino allo zero, è ben approssimata da un'applicazione lineare e può essereil valore positivo per i reali x)o , insieme con l'esigenza della continuità, defi­ linearizzata mediante un'opportuna trasformazione (non-lineare) del sistemanisce in modo un ivoco una funzione analitica nel dominio in finito D = di coordinate. In caso contrario f ha una singolarità in questo punto, il cui= Cg(x~x(o } L ' i nsieme(x~x(o } è un taglio di C lungo la parte negativa tipo è definito dai termini successivi, ft(i) 2), dello sviluppo. Se f,(x) = +.x»i+dell'asse reale. Quando x si approssima dal di sopra, o dal di sotto a uno stesso +... +x», f ha la piu semplice singolarità «quadratica non degenere». I modellipunto x» di questo taglio, f(x) tende a limiti diversi («rami» di f), ma questi matematici dei fenomeni dove tali singolarità risultano importanti sono assailimiti sono tanto piu vicini l 'uno all'altro (e a zero), quanto piu x«si avvi­ complessi; essi sono oggetto della teoria delle catastrofi di R. Thom [1972].cina a zero. Un'esatta definizione delle singolarità tipo ramificazione richiede Con l'aiuto di tali modelli si tenta di descrivere le biforcazioni dei fenomeniche sia introdotta la nozione di «dominio di r icoprimento universale» per a scatti, quando una piccola differenza nelle condizioni iniziali di sviluppo diDg(x»}, sul quale f diventa un'effettiva applicazione (univoca). un processo può condurre a un corso bruscamente diverso del processo stesso,

Negli ultimi anni lo studio delle singolarità delle funzioni analitiche ha as­ simile, per esempio, alla diversificazione dei tessuti contigui di un embrione insunto una notevole importanza nella teoria dei processi di diffusione delle par­ sviluppo, oppure alla polarizzazione di una società omogenea sotto l'influenzaticelle elementari. I l modello matematico generale dei processi di diffusione di fattori politici, ecc.parte dalle seguenti idee. In un modo o in un altro si genera un fascio di parti­ Sempre negli ultimi tempi, idee analoghe sono discusse in cosmologia incelle con una energia sufficientemente elevata; per esempio, in un acceleratore. ordine alla violazione di diverse simmetrie delle leggi fisiche. Si presume che,

Applicazioni 73o 73' Apphcazioni

benché le stesse equazioni fondamentali della fisica siano dotate di simmetrie si considerano solo quegli oggetti che possono essere esplicitamente costruiti,di genere diverso, gli scostamenti dalle loro soluzioni osservate, che si realiz­ in un senso ben definito della parola, mediante mezzi finit i precedentementezano effettivamente, siano dovuti al fatto che, all'inizio dello sviluppo dell'uni­ descritti. Queste «matematiche costruttive», di regola, possono essere, a loroverso, la soluzione simmetrica sia risultata instabile e che, sotto l'influenza di volta, interpretate in termini teoretico-insiemistici, dopo di che essere consi­fluttuazioni casuali, stia «cadendo» in una delle direzioni di sviluppo stabili, derate quali sottoteorie di classi speciali d'insiemi e di applicazioni vicine, nelloma asimmetriche. spirito, alla teoria della calcolabilità algoritmica. Tuttavia gli intuizionisti e i

costruttivisti f i losoficamente piu coerenti (Brower, Heyting, A. A. M arkov)non accettano tale interpretazione.

Applicazioni dal punto di vista dell'intuizionismo e del costruttivismo. Le concezioni intuizionistiche della matematica possono essere suddivise,grosso modo, in due componenti: una negativa e l'altra positiva. La parte ne­

Come abbiamo piu volte sottolineato, la nozione di applicazione generalm­gativa è un sistema di argomentazioni a favore della rinunzia alla nozione dientee accettata nella matematica moderna è strettamente legata alla nozioneinfinito attuale; contro l'uso dei principi della logica ordinaria applicati a que­di insieme e alle convenzioni fondamentali relative al l inguaggio della teoria

degli insiemi. Questa situazione si è venuta affermando storicamente in modosto infinito e, come corollario, a favore della rinunzia alla maggior parte delledefinizioni, delle costruzioni e dei r isultati che si hanno in matematica, tuttotutt' altro che subitaneo. Dopo Newton e Leibniz, fondatori dei principi del­ciò essendo ingiustificato e incomprensibile. La parte positiva è un sistema dil'analisi matematica moderna, per molto tempo in matematica si sono consi­principi e di risultati proposti in sostituzione della matematica classica rifiutata.derate solo quelle applicazioni assegnate descrivendo in modo esplicito il modo

di calcolarne i valori (con precisione arbitraria ), o, al limite, quelle descritteQuesta parte si presta difficilmente ad una esposizione in un linguaggio vicinoa quello classico, poiché presuppone la rinunzia a quelle stesse abitudini fonda­con unaformula esplicita in questo o quel frammento simbolico del gergo ma­

tematico. Per esempio, una funzione R~R poteva essere data dalle formulementali di un matematico con una cultura ordinaria. Cosi, per un intuizionista

y = x~, y = sen ~, oppureun'argomentazione per una dimostrazione è quella che in ogni suo passaggio è

~n, «evidente» e non quella che in ogni suo passaggio risale a un sistema di assiomie di regole d'inferenza precedentemente convenuti. L'«evidenza» è una nozio­

p n ne soggettiva, il cui significato varia da persona a persona e per tempi diversiL'idea di applicazioni «arbitrarie» si è formata parallelamente a quella di in­ Cionondimeno, gli intuizionisti assumono quali nozioni matematiche primitivesiemi «arbitrari». Nel corso di questo sviluppo si superò il secolare precon­ quelle che «sono chiare per ogni essere umano normale e persino per i pic­cetto contro l'uso in matematica della nozione d'infinito attuale. Soltanto dopo coli fanciulli» [Heyting ii156] e le nozioni di «essenza» e «possibilità di ripe­che furono posti i fondamenti del linguaggio degli insiemi divenne possibile tere infinitamente questa essenza» quali sorgenti della nozione di numero na­una precisa definizione della nozione generale di applicazione. turale. Le proprietà elementari dei numeri naturali si manifestano mediante

Da questo punto di vista le applicazioni, descritte da queste o quelle classi una «semplice considerazione». Non appena questi concetti siano assunti, l'a­di formule, o di testi, in questo o quel linguaggio, possono essere considerate ritmetica dei numeri interi e razionali nella variante degli intuizionisti risultacome uno speciale oggetto di studio. Qualche volta tale studio può confinare con parallela a quella classica, ad eccezione del linguaggio (che per gli intuizionistila problematica della logica matematica, poiché presuppone un'esatta descri­ non è soggetto a precisazioni troppo rigide) e della semantica che, in generale,zione preliminare del linguaggio nel quale vengono descritte le funzioni di una è difficile confrontare. Forti divergenze con la matematica classica comincianodata classe. Cosi è per la nozione di funzione algoritmicamente calcolabile. In a livello dei numeri reali e delle funzioni su loro. Nella matematica classica unaltri casi questo linguaggio veniva individuato in modo sufficientemente chiaro numero reale può essere dato, per esempio, quale classe di successioni equi­quale frammento del gergo matematico generale. Cosi si può descrivere espli­ valenti di Cauchy di numeri razionali. Ma già nella nozione di «successione dicitamente la classe delle funzioni (localmente) analitiche, definite mediante se­ Cauchy» è inclusa quella di applicazione dei numeri interi nei razionali. Glirie di potenze convergenti, oppure la classe delle soluzioni delle equazioni dif­ intuizionisti sostituiscono questa nozione, che si appella all'insieme attualmenteferenziali a coefficienti costanti, ecc. infinito dei numeri interi, con la nozione di «successione che si estende infini­

Esistono scuole di specialisti dei fondamenti della matematica (l'intuizioni­ tamente». «Con ciò è indifferente in qual modo siano definiti i termini dellasmo, il costruttivismo e loro sfumature), le quali ritengono illegittime le no­ successione; se con una legge, o con una libera scelta, o a sorte, o in qual­zioni generali d'insieme infinito e di applicazione arbitraria assunte nel me­ siasi altro modo» [Heyting rgg6]. Pertanto il primo esempio di applicazionetodo assiomatico. A ciò è legata la critica a molti modi di assegnare una fun­ «arbitraria» fra insiemi infiniti riscontrabile nell'intuizionismo è legato all'ideazione usati nella matematica teoretico-insiemistica; per esempio, all'assioma del tempo fisico, che è incompleto e che non si presta ad essere consideratodella scelta. In particolare, in diverse varianti della matematica costruttivistica quale unico insieme di tutti i suoi momenti.

Applicazioni 732 733 Applicazioni

Questa idea si estende gradatamente sempre piu e si allarga il dominio della costanza. I r isultati finit i delle teorie matematiche appaiono spesso effettiva­sua applicabilità. Cosi, per un intuizionista, l'affermazione, secondo la quale mente quali descrizioni di procedure di calcolo di funzioni di questo, o diun numero reale p, precedentemente definito, non è razionale, può essere la quel tipo, d'invarianti numerici, ecc. Possono essere esempi gli algoritmi, o iconstatazione del fatto che, al momento di questa enunciazione, la razionalità programmi dei calcolatori che permettono di risolvere le equazioni della fisicadi p non è stata ancora dimostrata. Ciò diverge fortemente con il l inguaggio matematica, di produrre le tavole delle funzioni speciali, ecc. In questo sensodella matematica classica e costringe all'uso di diverse precauzioni linguistiche i risultati matematici «tangibili» sono affermazioni su oggetti costruttivi verifi­afFinché si possa distinguere la precedente enunciazione da quella con il seguente cabili costruttivamente. Tuttavia, può accadere che, con metodi puramente co­significato: «supponendo la razionalità di p, giungo in un modo o in un altro a struttivi, non si possano riconoscere proprietà importanti di oggetti costrut­una contraddizione». Per il matematico classico qui vi è una mescolanza di due tivi; per esempio, la coincidenza di due serie di oggetti costruttivi assegnate condiversi livelli di descrizione: un livello di «matematica vera e propria» e un li­ costruzioni diverse. Se f e g sono due funzioni calcolabili con argomenti e avello di «descrizione di questa matematica», ma un intuizionista non è d' accordo valori naturali dati, diciamo, con due programmi per un calcolatore, può capitarecon questo punto di vista. che sia f(n) =g (n) per ogni n e che, tuttavia, ciò non possa essere dimostrato

Non è qui il caso di entrare in altri particolari. Da quanto si è detto è chiaro senza ricorrere alla nozione d'infinito attuale (vale a dire, ai metodi della teoriache le idee sugli oggetti matematici fondamentali, in particolare sulle appli­ analitica dei numeri ). Ciò è legato al teorema di Godei sulla incompletezza;cazioni, che si hanno nella matematica classica e nell'intuizionismo sono so­ un'opportuna estensione del linguaggio e dei suoi mezzi deduttivi può rivelarestanzialmente inconfrontabili. Ciò nonostante è possibile ed utile un'analisi suf­ delle aflermazioni, che si formulano nel vecchio linguaggio e sono vere, ma laficientemente formalizzata, o produrre modelli delle concezioni intuizionistiche cui veridicità non si presta ad essere stabilita con mezzi deduttivi del vecchionell'ambito della matematica classica. Benché ciò, secondo gli intuizionisti, linguaggio,non possa riflettere adeguatamente la sostanza delle loro idee, tali modelli ri­ Tale genere di considerazioni, oltre ad argomenti puramente filosofici, con­sultano fruttuosi nella matematica classica e sono legati all'analisi delle strut­ duce la maggioranza dei matematici a rifiutare le limitazioni costruttivisticheture che in essa sorgono in modo indipendente. Cosi, nella costruzione dei quali basi accettabili per i fondamenti della matematica. Naturalmente ciò nonmodelli non-standard della teoria degli insiemi, con l'aiuto dei quali si dimo­ diminuisce l'importanza dello studio sistematico degli insiemi e delle applica­stra l'insolubilità di una serie di problemi classici, si può scorgere la classica zioni costruttive nell'uno o nell'altro senso della parola.realizzazione delle idee intuizionistiche sulla «formazione indeterminata» delle Per dare un'idea della natura dei limiti dei mezzi costruttivi si farà l'esempiosuccessioni e sulla nozione relativa di «verità» che sono simili alla «verifica­ di un problema che è, per principio, irrisolubile con questi mezzi. Ci si baseràbilità a un dato momento». A una tale comprensione si presta il metodo del su alcune nozioni della teoria generale di programmazione per i calcolatori aforcing secondo Cohen nella teoria assiomatica degli insiemi. cifre.

Le concezioni intuizionistiche, a loro volta, furono sottoposte a critica da A un centro di calcolo pervengono programmi in un linguaggio algoritmicoparte tanto dei seguaci della matematica classica, quanto dei suoi avversari che (tipo Algol). Essi vengono introdotti nel calcolatore, dove un programma spe­richiedono, però, una precisazione delle nozioni fondamentali dell'intuizionismo. ciale, il codificatore, li traduce in programmi nel linguaggio dei codici di mac­A questi ultimi appartengono le diverse scuole di costruttivisti. Per i costrutti­ china; solo dopo, un tale programma è accettato dal calcolatore e serve per unvisti della scuola di A. A. Markov la nozione fondamentale della matematica è calcolo reale. Alcuni programmi nel linguaggio algoritmico contengono errori,quella di «oggetto costruttivo» che, il piu delle volte, appare quale nozione di diciamo sintattici; i l codificatore reagisce ad alcuni errori fermandosi e segna­«testo in un alfabeto finito». La nozione di applicazione interviene quale no­ i andoli al programmatore.zione di «algoritmo» nel significato precedentemente chiarito. Un algoritmo Sembra naturale porre il problema di scrivere un codificatore che in tutti ielabora testi in altri testi. Un numero naturale n, per esempio, appare quale casi distingua i programmi regolari da quelli irregolari.testo di n segni ~~...~, disposti in f ila e compresi tra segni speciali di «spa­ Precisiamo il problema. Fissiamo un linguaggio algoritmico L; il suo alfa­ziatura» all'inizio e alla fine. Un'applicazione dell'insieme dei numeri naturali beto è costituito da un numero finito di segni. Ogni successione finita di segni diin se stesso è un algoritmo che elabora tali testi in testi dello stesso tipo. Un questo alfabeto si chiama testo. Un testo si dice programma regolare se la suaalgoritmo, a sua volta, può essere considerato quale oggetto costruttivo, cioè traduzione nel linguaggio dei codici di macchina è possibile e se, dopo averun testo, scritto magariin un alfabeto piu grande. Pertanto sono possibili al­ introdotto questo programma, la sua traduzione fa funzionare il calcolatoregoritmi applicabili ad altri algoritmi, cioè dei «funzionali», ecc. Sviluppando per un tempo potenzialmente infinito e conseguentemente produce in uscitaconseguentemente queste idee si può giungere a varianti costruttive di grandi una tabella della forma ( i, f( i )); (z, f(z)); (3, f(3)); ..., dove gli f(n) sonoframmenti della matematica. numeri naturali. In altre parole, i programmi regolari calcolano funzioni con

Esaminando questo punto di vista bisogna tener presente la seguente cir­ argomenti naturali e a valori naturali.

Applicazioni 734 735 Applicazioni

Chiamiamo co i ) IFIGATORE (c) un programma nel l inguaggio L ta le che, certezza si possono constatare solo due circostanze. Prima di tut to, la crit icaper ogni testo in ingresso, dopo aver funzionato, dia in uscita I, se il testo è un intuizionistica e costruttivistica alla matematica classica e moderna finora nonprogramma regolare, e o nel caso contrario. I programmi regolari, cosi come pare convincente per la maggioranza degli specialisti di matematica, pura o ap­tutti i testi, sono oggetti costruttivi, e i l C è un mezzo costruttivo per la loro plicata che sia. Inoltre, tutte le concezioni positive che vengono proposte inelaborazione. sostituzione di quelle classiche restringono fortemente l'arco di nozioni che

Dimostriamo che il c non esiste. Supponiamo il contrario e, usando il c, si propone di ritenere legittime, e l'arco di affermazioni che si ritiene abbianoscriviamo un certo programma regolare che chiameremo pRQGRAMMA pRINci­ significato e siano vere. Ciò va contro i bisogni che s'incontrano nella maggio­pAI.E (pp). In un modo qualsiasi ordiniamo i simboli del linguaggio L; chia­ ranza delle applicazioni ; in particolare, nelle scienze fisiche, dove si richiedonomiamolo ordinamento alfabetico. Corrispondentemente ordiniamo i testi nel mezzi sempre piu nuovi per riconoscere la verità e si usano formalismi mate­linguaggio L in ordine alfabetico. Dopo di che supponiamo che il PP funzioni matici sempre piu nuovi che non stanno nel letto di Procuste di concezionicosi : precedentemente preparate.

I ) uno speciale sottoprogramma del PP costruisce uno dopo l 'altro tutt i itesti nel l inguaggio L in o rdine alfabetico;

z) uno dopo l'altro i testi costruiti vengono assegnati in ingresso al G la cui6. Ca t egorie efuntori.

uscita, o o I , v iene elaborata dal pp nel modo seguente. Se è o, i l te­Il ruolo eccezionale delle applicazioni, quale nozione matematica fondamen­sto non è un programma regolare e, in tal caso, i l pp assegna in in­

gresso al c il testo successivamente costruito. Se è I, i ! testo è un pro­tale quanto la nozione di insieme e la nozione di struttura da esse derivate,è riflesso nella teoria delle categorie, formatasi negli ult imi due decenni. In i­gramma regolare per calcolare la funzione f„, dove n è l'indice ordinale

nella successione dei programmi regolari, e, in tal caso, il c t raduce zialmente, le sue nozioni fondamentali si generarono quali assiomatizzazionidi una serie di situazioni simili in topologia e nell'algebra, particolarmentequesto testo in codici di macchina; i l p rogramma cosi ottenuto viene

fatto funzionare esattamente fino a calcolare i l valore f„(n); a questoquella omologica. Con lo sviluppo del suo apparato e delle sue applicazioni

valore viene aggiunto I e a l l 'uscita del PP si ha la coppia di numeri alla geometria algebrica, all'analisi funzionale, alla logica, alla teoria dei nu­

(n, f,(n)+ I ). meri, ecc., il l inguaggio delle categorie ha assunto gradatamente lo status dilinguaggio fondamentale e persino alternativo rispetto al linguaggio della teoria

È chiaro che il PP è un Programma regolare. Perciò la funzione F(n) =fe (n)+ I degli insiemi.dev' essere contenuta nella successione ( f,, f~, fa, ...) delle funzioni calcolabili Al livello attuale è meglio immaginare la situazione nel senso che la descri­mediante programmi regolari, le quali tutte sono generate, l'una dopo l'altra, zione categoriale degli oggetti matematici è duale rispetto alla loro descrizionedal pp. Ma ciò porta a una contraddizione, poiché F evidentemente è diversa strutturale. Dal punto di v ista della teoria delle strutture un gruppo, o unoda ogni f; quando in entrambe si ha quale argomento i. Pertanto il c non esiste. spazio topologico è un insieme dotato di una determinata struttura, che è, rispet­

Si noti che abbiamo richiesto che il c dev' essere scritto nello stesso linguag­ tivamente, una legge di composizione che soddisfa gli assiomi gruppali, o ungio L dei programmi regolari; altrimenti i l PP non potrebbe far parte dei pro­ insieme dei suoi sottoinsiemi aperti che soddisfano gli assiomi della topologia.grammi regolari in questo linguaggio e il ragionamento non avrebbe retto. Se Dal punto di vista della teoria delle categorie un gruppo, o uno spazio topo­il linguaggio L è sufficientemente povero, mentre il linguaggio del codif icatore logico X è un oggetto della categoria di tutti i gruppi (rispettivamente di tutt iè suflicientemente ricco, i l r i conoscimento dei programmi regolari qualche gli spazi topologici ), considerato insieme a tutti i suoi omomorfismi in tutt i ivolta risulta possibile. Ma cio significa semplicemente che noi consapevolmente gruppi e a tutti gli omomorfismi di tutti i gruppi in esso medesimo (rispetti­restringiamo la classe delle funzioni calcolabili considerate proprio per rag­ vamente, insieme a tutte le applicazioni continue che hanno X quale dominio,giungere questo scopo; se il linguaggio, nel quale è scritto il codificatore, è già o codominio ). Si può dire che la teoria delle categorie realizza un approcciodato, diventa naturale scrivere anche i programmi per il calcolo in questo lin­ «sociologico» all'oggetto matematico, nel quale quest'ultimo viene consideratoguaggio, usandolo in tutta la sua completezza, non come individuo, ma come membro di una comunità di suoi simili.

Per concludere, va osservato che le cliscussioni sulla sostanza e sulla legit­ In un certo senso, il punto di vista categoriale su una data struttura è tantotimità delle diverse idee matematiche sono essenzialmente filosofiche e non pos­ piu efficace quanto piu numerosi sono gli oggetti con tale struttura; infatti, lasono essere risolte in modo univoco. La questione dell'accettabilità di questa o teoria di tali oggetti individuali, quale l'anello dei numeri interi, contiene moltiquella considerazione viene risolta da ogni matematico a partire da profonde risultati che forse non sono descrivibili nell'ambito di un approccio categoriale.convinzioni psicologiche, sulle quali possono influire l'educazione ricevuta, il La stessa osservazione vale nella maggior parte dell'analisi classica.temperamento e persino il chimismo individuale dei processi biologici. Con Si esporranno ora le nozioni fondamentali del linguaggio delle categorie.

Applicazioni 736 737 Applicazioni

Una categoria C è costituita dai dati seguenti: PRIMQ GRUPPo DI EsEMPI. In questo gruppo di esempi gli oggetti sono in­

a) Un insieme, o una classe ObC, i cui elementi si chiamano oggetti della ca­ siemi, dotati di una struttura di questo o quel t ipo, mentre i morfismi sonotegoria C. applicazioni di questi insiemi che concordano, in un determinato senso della

b) Per ogni coppia ordinata (X, Y) di oggetti di C è dato un insieme(even­ parola, con le strutture (cfr. ( 3).tualmente vuoto) Hom(X, Y) (o ppure Homo(X, Y)), i cui elementi si Categoria degli insiemi. Tutti gli insiemi dell'universo di Zermelo-Fraenkelchiamano morfismi dall' oggetto X nell'oggetto Y. formano gli oggetti di una categoria, i cui morfismi sono le applicazioni qual­

Al posto di pc Hom ( X, Y) spesso si scrive q> : X~ Y, oppure X~ Y . siasi degli insiemi. Si possono considerare diverse sottocategorie di questa ca­

Qualche volta i morfismi si chiamano frecce; X è l'origine della fréccia tegoria: per esempio, la categoria degli insiemi finiti, oppure degli insiemi nonq> : X~ Y, mentre Y è la sua fine. Nella categoria ogni freccia ha una ori­ piu che numerabili.gine e una fine definite univocamente. I 'insieme, o la classe Q Hom (X, Y) In generale, una categoria C' si dice sottocategoria della categoria C, se

(dove l'unione è estesa a tutte le coppie X, Y della categoria C ) qualche ObC'aObC e se, qualunque siano X, Yé O bC', s i ha H o m o(X', Y')avolta si indica con Mor C. c Homo(X, Y). Questa sottocategoria si dice completa se Homo (X', Y') =

c) Per ogni terna ordinata (X, Y, Z) di oggetti di C è data una applicazione = Homo (X, Y) per tutti gli X ' , Y 'e C'.Categoria degli spazi topologici. Sono oggetti di questa categoria tutti i pos­

Hom(X, Y) x Hom( V, Z) ~Hom(X, Z). sibili spazi topologici e i morfismi sono tutte le loro applicazioni continue.Allacoppiadi morfismi p : X~ Y; $ : X~ Ve ssaassociailmorf ismo X ~ , Categoria dei gruppi. Gli oggetti di questa categoria sono tutti i possibiliindicato con pop,oppure con gp e detto composizione di q> e f. gruppi e i morfismi sono gli omomorfismi di gruppi. Ricordiamo che, se G

(rispett, H) è un gruppo e la composizione degli elementi x, ye G (rispett. e H )Questi dati devono soddisfare i due assiomi seguenti : s'indica xy, allora l'applicazione f : G~H si chiama omomorfismo, sef(xy) =

A) Per ogni oggetto Xc ObC esiste un(unico) morfismo identità i d< . X~X , = f(x)f(y) per tutti gli x, ye G.Per il quale id r o rP= P e P o idA- ­— rP ogni volta che le comPosizioni di id+ Categoria dei gruppi abeliani. Gli oggetti di questa categoria sono tutti icon il morfismo q> sono definite, cioè quando cp ha la forma Y~X, oppure, gruppi G con legge di composizione commutativa (xy =yx per tutti gli x, yG G),rispettivamente, X~ Y. mentre i morfismi sono gli omomorfismi di gruppi. La categoria dei gruppi

E) Qualunque siano p : X~ Y, g : V ~ Z e y : Z ~ U, a bbiamo:(y)) rp = abeliani è una sottocategoria completa della categoria di tutti gruppi.= x(0q). Categoria dei gruppi topologici. Un gruppo topologico è un insieme G dotato

di due strutture; una di spazio topologico e l'altra di gruppo, dove la com­Il morfismo q> : X~ Y si dice inverso sinistro del morfismo f : V~ X s e posizione (x, y) ~xy e l'applicazione elemento inverso, x~x , s ono continue.

q>o) =id,.;inverso destro se $ oy =idr . U n morfismo p : X~ Y s i d ice iso­ Un morfismo di gruppi topologici G~H è un'applicazione continua che è unmorfismo se è dotato sia dell'inverso sinistro che dell'inverso destro. omomorfismo di gruppi. Per esempio, i numeri reali positivi R+~ e tutti i numeri

È da notare che una formalizzazione della teoria delle categorie comune­ reali R sono gruppi topologici rispetto, rispettivamente, al prodotto e alla som­mente accettata, indipendente dalla teoria formale degli insiemi, per ora non ma, mentre l'applicazione log : R+~~R definisce un loro morfismo.esiste. La nozione di insieme o di classe figura già nella definizione degli in­ Categoria degli insiemi ordinati. Ricordiamo che una struttura di ordina­siemi degli oggetti e dei morfismi delle categorie. Non si può escludere che mento su un insieme X è data da una relazione binaria x<y f ra gl i elementiciò sia solo un dato della tradizione (la nozione di categoria si è formata nel di X. Scriviamo x<y, se x<y , ma non è vero che x =y. Per esempio, l'ordi­periodo in cui hanno dominato e continuano a dominare le concezioni teoretico­ naria relazione di disuguaglianza definisce una struttura di ordinamento negliinsiemistiche). Tuttavia l'autore è incline a credere che, essendo la teoria delle insiemi R e Z. Una applicazionef : X~ Y d i d ue insiemi con strutture dicategorie cosi penetrata dalla matematica teoretico-insiemistica, è improbabile ordinamento (di insiemi ordinati ) si dice monotona (rispett. strettamente mono­ch' essa possa diventare la base per una costruzione radicalmente nuova dei tona), se da x i ( x ~ (x„x , eX ) segue che f(x,) <f (x,) (r ispettivamente, se dafondamenti della matematica. La questione del rapporto fra le concezioni teo­ xi <xg segue che f(xi) <f(x,)). Si può considerare la categoria degli insiemiretico-categoriali e quelle teoretico-insiemistiche è già stata affrontata in pre­ ordinati con le applicazioni monotone, o strettamente monotone quali mor­cedenza; si pensa ch' esse forniscano dei modi di descrivere gli oggetti mate­ fismi; la seconda è una sottocategoria (incompleta) della prima categoria.matici tra loro complementari e che la rinunzia di ognuno di questi modi faccia In topologia e nell'algebra omologica gioca un ruolo fondamentale la cate­diminuire la completezza dell'informazione ottenuta. goria degli insiemi (o, ..., n), dove n varia tra tutti i n umeri in teri non ne­

Si descriveranno ora alcuni esempi di categorie. Essi si dividono natural­ gativi, ordinati nel modo ordinario, con le applicazioni monotone quali mor­mente in tre gruppi che risalgono alle consuetudini di tempi diversi. fismi.

Applicazioni 73g 739 Applicazioni

Categoria delle varietà di fferenziabili. Siano X, V v a r ietà differenziabili. TERzo GRUPPo DI EsEMPI. Di questo gruppo di esempi fanno parte alcuneUn'applicazione continua f : X~ Y s i c h iama morfismo in questa categoria classiche forme di strutture su un insieme individuale, che, qualche volta, è co­se, localmente, è data da insiemi di applicazioni differenziabili f : R ~ R p modo considerare quali categorie, senza cambiare sostanzialmente la defini­(cfr. ) 3). zione fondamentale.

Analogamente si definiscono i morfismi di varietà analitiche. a) Sia G un certo gruppo. Leghiamo ad esso una categoria, nella quale si haCategoria di fasci su uno spazio topologico X. Siano F, G due fasci di in­ un unico oggetto e; l'insieme dei morfismi Hom (e, e) coincide con G e la com­

siemi su uno spazio topologico X. Un morfismo dei fasci f : F~G è dato da un posizione dei morfismi coincide con il prodotto in G.insieme di applicazioni f<i.. I'(U, F)~ I' (U, G), una per ogni insieme aperto b) Sia I un certo insieme ordinato. Leghiamo ad esso una categoria, i cuiU< X. Queste applicazioni devono concordare con le applicazioni-restrizione, oggetti sono gli elementi di I, mentre l'insieme dei morfismi Hom (x, y) è costi­che s'indicheranno nello stesso modo, rF t<, sia per F che per G, nel senso che tuito da un solo elemento, se x( y , ed è vuoto nel caso contrario. La com­

U offa ­— f,; ori, U per tutti gli U e V, U<: V. La composizione di f : F~G posizione è definita univocamente da queste condizioni. Questa interpretazionee g : G~ H si definisce mediante un insieme di composizioni gU ofU . (U, F) ~ è in uso particolarmente quando I è un insieme di indici di un certo sistema~ (U, Il). induttivo, diciamo, di gruppi.

Se F, G sono fasci di gruppi, sui loro morfismi si possono porre ulteriori c) Sia E un certo spazio topologico. I.eghiamo ad esso una categoria, i cuicondizioni affinché tutte le fU siano morfismi di gruppi. Ciò conduce alla ca­ oggetti sono i sottoinsiemi aperti di E, mentre Hom (x, y) consiste di un solotegoria dei fasci di gruppi su X. Analogamente si definiscono le categorie dei elemento, se xc:y, ed è vuoto nel caso contrario.fasci di anelli, di spazi lineari, ecc. Questa riformulazione banale costitui i l punto di partenza per una pro­

In tutti questi esempi la composizione dei morfismi si definisce mediante fonda generalizzazione della nozione di spazio topologico; si tratta delle cosid­l'ordinaria composizione teoretico-insieinistica delle composizioni (cfr. ff 3), dette « topologie di Grothendieck».mentre i morfismi identici sono indotti dalle applicazioni identiche dei rispet­ d) Consideriamo un qualsiasi grafo orientato l' = (I, F, d : F~Ix I ) , Quitivi insiemi su se stessi. I è l'insieme dei vertici del grafo, F è l'insieme dei suoi archi, mentre l'appli­

cazione d associa ad ogni arco una coppia ordinata di vertici, cioè l'origine esFcoNDo GRUppo DI EsEMpI. In questo gruppo di esempi gli oggetti sono, la fine di quest'arco.

come priina, insiemi con una struttura di t ipo definito, mentre i morfismi non Al grafo 1' si legano in modo naturale due diverse categorie, i cui oggetti sonosono piu applicazioni di questi insiemi. gli elementi di I ,

Un esempio tipico è la categoria fondamentale della topologia omotopica. I In una di esse Hom (x, y) è costituito da tutti i possibili percorsi nel grafosuoi oggetti sono spazi topologici, ma un solo morfismo da X in Y è una classe l' da x a y lungo gli archi orientati.intera di applicazioni continue f : X~ V, ogni due elementi della quale sono Nell'altra categoria Hom (x, y) contiene un solo elemento, se esiste un per­legati tra loro da una relazione di omotopia, cioè possono essere «deformati» corso da x a y lungo gli archi, ed è vuoto nel caso contrario.uno nell'altro. Un'esatta definizion diomotopia tra le applicazioni fp,f, : X~ Y Queste categorie si possono chiamare categorie, rispettivamente, di schema diè la seguente: si tratta di una applicazione continua F : [o, i] x X~ Y tale che, diagrammi di tipo I ' e di schema di diagrammi commutativi di t ipo 1. I l s i­se si indica con F, : X~ Y, per te [o, I], l 'applicazione F, (x) = F((t) x x), al­ gnificato di queste denominazioni lo chiariremo piu oltre.lora Fp= fp e F, = f,. La verifica degli assiomi delle categorie, in particolare Esiste una serie di util i costruzioni che permettono, a partire da date ca­l'associatività della composizione dei morfismi (che viene definita quale classe tegorie, di costruirne di nuove.di composizione di rappresentanti arbitrari di questi morfismi ) è riportata al­ Categoria duale. Sia C una certa categoria. La categoria Cp ad essa duale èl'inizio di ogni corso di topologia omotopica. data cosi: ObC" = ObC, Hom,,o(X, V) = Hom< (V, X). In altre parole, Cp si

Un altro esempio è la categoria delle relazioni additive. I suoi oggetti sono ottiene da C «invertendo tutte le frecce».tutti i possibili gruppi abeliani. Si chiama morfismo f : X~ V ogni sottogrup­ Questa costruzione risulta utile in due casi estremi. Se la categoria C è vicinapo del prodotto diretto Xx Y , L a composizione dei morfismi <fi : X~ Y e alla C (p. es., se è equivalente ad essa, come nel caso della categoria dei gruppii]i ; Y~Z è definita dalla relazione abeliani finiti ), questo stesso fatto è l'espressione d'una certa «legge di dualità».

(<f~= {(x, ~) áXx Z~ esiste yeY tale che (x, y) @<f>, (y, s)c$). Al contrario, per la categoria AJ. degli anelli commutativi la sua categoriaduale «degli schemi affini» è molto lontana da J~i; l'inversione delle frecce fa

Esistono importanti costruzioni analoghe per altre categorie; per esempio, in rilevare delle proprietà geometriche inaspettate; permette di definire l' incolla­geometria algebrica si considera la categoria importante delle varietà algebriche tura di oggetti globali a partire da quelli locali e altre importanti operazionicon relazioni quali morfismi. «geometriche», al limite innaturali dal punto di vista di %.

Applicazioni 74o 74' Applicazioni

Categoria di oggetti sopra una data base. Sia C una certa categoria, S sia un d) Assiomi di un oggetto gruppale. Un oggetto X di una categoria C insiemesuo oggetto prefissato. Introduciamo la categoria C+ con le seguenti definizioni. con i morfismi m : Xx X~ X , i : X~ X e d e : E~X si chiama oggetto grup­

ObCs ­— tutti i possibili morfismi X~S del l a categoria C. Se (l) : X~S, pale se soddisfa i seguenti tre assiomi:$ : Y~S sono due di tali morfismi, Homo ((p, g è definito quale insieme (ttt, idx)

dei morfismi y : X~ Y per i quali gtt y =p. La composizione dei morfismi t ) associ ti ità : le composizioni dei motfismi X x X x X'

X x X X(idx, ttt)

in Cs è indotta dalle composizioni in C. La correttezza delle definizioni e gli e Xx X x X ' Xx X X coin c idono;ttà

assiomi delle categorie si verificano per C,, senza difficoltà. Invertendo le frecce 5 (i, idx)2) inverso sinistro : le composizioni dei morfismi X~ X x X ~ X x X ~

in queste definizioni, si giunge alla costruzione duale della categoria Cs degli ttà e 5

oggetti di C «sopra» l'oggetto S. ~X e X~ E ~ X c oin c idono. Qui X~ X x X è i l mo r f ismo diago­

Queste costruzioni generalizzano tali nozioni, quali quella di X -algebre nale, cioè tale che le composizioni di X~ X x X c o n X x X ~ X(cioè di un anello A insieme all'omomorfismo strutturale di anelli K~A ), op­ sono uguali a idx, mentre X~ E è l ' u n ico morfismo esistente;pure quella di «fibrato generalizzato» sopra una base B, cioè di uno spazio 8 (., idx>

1) unità sinist a: la composizione dei motfismi X X x X ' ' f i xtopologico E insieme con le applicazioni continue E ~B. (e, idx> ttà

Prodotto di categorie. Siano C,, C 2 due categorie. Definiamo il prodotto car­ x X ' X x X X coin c ide con id».

tesiano C = Cr x C, ponendo Ob(C, x C2) = ObC, x ObC,. Qualunque siano glioggetti X = (Xr X 2) Y ( Yy Y» ) d i C, dove X,, YrE'ObC( Xg Y2 CObC2, Si può definire la nozione di morfismo di due oggetti gruppali nella cate­

poniamo Hom<.(X, Y) = Hom<.,(X> 'Yi) x Homo (X 2, Y,). La composizione goria C e quindi la nozione di «categoria di oggetti gruppali » della categoria C.

dei morfismi in C è definita componente per componente,Se, quale C, si prende l'universo teorico-insiemistico, giungiamo all'ordinaria

I gruppi nelle categorie. La definizione ordinaria teoretico-insiemistica di un categoria dei gruppi.

gruppo X consiste nel dare una legge di composizione sull'insieme degli ele­ Se, quale C, si prende la categoria degli spazi topologici, giungiamo alla

menti di X che soddisfa determinati assiomi. Mostriamo che questa definizione categoria dei gruppi topologici.

si può formulare in termini puramente categoriali e può essere estesa ad oggettiUn esempio importante di categoria C, nella quale sono soddisfatte tutte le

di categorie piu generali. ipotesi occorrenti per definire gli oggetti gruppali, è la categoria %, dualettt

a) Legge di composizione su X. Si tratta di un'applicazione Xx X~ X . I ndella categoria degli anelli commutativi (con unità), cioè la categoria degli

ogni categoria «con i prodotti diretti (cartesiani)» essa può essere sostituita as­ schemi affini. In essa il prodotto diretto degli anelli X, Y è i l cosiddetto pro­

segnando il morfismo corrispondente. Il prodotto diretto degli oggetti X, Y nel­ dotto tensoriale X ® Y, mentre l'oggetto finito è l 'anello Z dei numeri interi.

pl pfi In tale categoria un oggetto gruppale si chiama «schema affine di gruppi». Se,la categoria C è definito quale oggetto Z insieme con i morfismi Z~ X e Z ~ Y' invece della categoria R d, si considera la categoria Sor,dove I(. è un certoe tale che per ogni oggetto U si ha un isomorfismo degli insiemi Homo (U, Z) ~

fanello, giungiamo alla nozione di schema affine di I(.-gruppi.

~Homo(U, X) x Homo(U, Y) che associa a ogni morfismo U~ Z l a coppia dipà of p, ofmorfismi U~ X e U ~ Y. Una categoria C si dice categoria con prodotti Funtori.

diretti se per ogni due oggetti esiste in essa il prodotto diretto (due qualsiasiprodotti diretti di X e Y sono canonicamente isomorfi). Anche la nozione di funtore è un caso particolare di applicazione, ma usata

b) Inversione. Si tratta di un'applicazione i : X~ X. N e l la definizione teo­ nelle categorie. Siano date due categorie C, D. Si c h iama funtore F da l la

retico-insiemistica si ha i (x) = x p e r ogni xe X. In ogni categoria possiamo categoria C alla categoria D i l seguente insieme di dati:

assegnare il morfismo corrispondente. una applicazione ObC~ ObD;c) L'unità di un gruppo. Invece d'indicare un elemento distinto dell'insieme una applicazione Fx v .' Hom„ (X, Y) ~Homo)(F(X), F(Y)), per ogni X,

X, possiamo assegnare il morfismo degli insiemi (g ) ~ X , d ove (( (p)) è l'in­ Ye ObC.sieme standard con un solo elemento nell'universo di Zermelo-Fraenkel. Per fdefinire l'analogo di (p ~( in una categoria qualsiasi osserviamo che l'insieme Q uesti dati devono essere soggetti alla condizione seguente: se X~ Y ,delle applicazioni di un insieme arbitrario X in (g ) consiste di un unico ele­ Y~ Z s ono due morfismi nella categoria C, si ha Fz z (g)F> v(f ) =F>z(gf)mento. Assumiamo ciò per caratterizzare un oggetto finito E di ogni categoria nella categoria D.C: un oggetto E si dice finito, se Hom (X, E) consiste di un solo elemento per Qualche volta tali F si d icono funtori covarianti dalla categoria C in D,ogni XeObC. Dopo di che l'unità di un oggetto gruppale X è assegnata quale mentre i funtori da C i n D si d i c ono funtori contravarianti da C in D. Imorfismo E~X i n C . funtori contravarianti «invertono le frecce». Spesso i funtori appaiono quali

Applicazioni 743 Applicazioni

«costruzioni naturali » sugli oggetti di una categoria C che li trasformano in og­ ciono X, Y, Z, ... (cfr. sopra). Gli schemi di diagrammi commutativi di t ipogetti di un'altra categoria. 1 conducono a diagrammi commutativi quando le composizioni di tutti i mor­

Se C è una categoria arbitraria e Set è la categoria degli insiemi, a partire fismi del diagramma lungo ogni percorso da un oggetto ad un altro coincidono.da ogni oggetto X d e l la categoria C s i possono costruire le applicazioni Nella matematica moderna l'importanza delle concezioni categoriali nello stu­h> ' .Y~Hom(X, Y) e h~z . Y~Hom (Y, X). L 'applicazione hI si estende in dio delle applicazioni è molto grande e sarà ulteriormente chiarita in altri arti­modo naturale a un funtore da C in Set, mentre h> si estende ad un funtore coli. [JU. I. M.].da Co a Set. I funtori di tale forma e cos[ pure i funtori ad essi isomorfi, nelsignificato naturale della parola, si dicono rappresentabili. La nozione di funtorerappresentabile divenne una delle prime nozioni fruttuose di carattere catego­ Cantot, G.

riale generale dopo che, come risultò, molti funtori importanti, che venivano I879-83 Ube r unessdliche, lineare Punhtmannigfaltig1zeiten, in s Mathematische Antzalen s, XV(z87<9), pp. s-7, XVII ( r88o), pp, 355-58, XX (z88z), pp. z ts-zs, XXI (s883), pp. St­costruiti in modo del tutto diverso, erano rappresentabili. Per esempio, in to­ Sg e pp. S4S-9'

pologia ad ogni spazio topologico X di una determinata classe, ad ogni gruppo Cohen, Is. J.abeliano G e ad ogni numero intero n) o si associa un invariante importante, [zz»63-64] Th e I ndependznce vf tlse Continuum IIypotlzesis, in Set T luory and the Continuum

cioè il gruppo delle coomologie H" (X, G). Questo gruppo inizialmente venivaiiypothesis, W. A. Benjamin, New York zz966.

definito mediante alcune costruzioni sopra lo spazio X e sopra G. Risultò che Dedekind, R.t888 M a s sind und uas svl len die Zah len?, Vieweg, Braunschweig ( t rad. i t . i n Es sen-a eil funtore X ~Hn (X, G) è isomorfo a un certo funtore della forma hi. nella ca­ significato dei numeri. Continuità e numeri i r razionali, Stock, Roma 1926, pp. 7-t t8 ).

tegoria della topologia omotopica, dove Y=K (G, n) è il cosiddetto spazio di Descartes, R,Eilenberg-MacLane. Questa scoperta condusse a sviluppare una tecnica com­ t637 Discours de la méthode pour bien cvnduiee sa raison et cheecher la vérite' dans les sciencec

pletamente nuova in topologia e alla dimostrazione di importanti risultati che (Géometrie), Maire, Leyda.

erano impossibili con i vecchi mezzi. Come dimostrarono A. Grothendieck e la Heyting, A,t956 Intuitionism. An I n teoductivn, No r th -Ho l land, Ams terdam.sua scuola nelle ricerche successive, una gran parte delle questioni di geometria

Milnor, J. W.algebrica, per esempio, la classificazione delle diverse varietà algebriche, pure s956 On t n anifolds homeomorphic to the seven-sphere, in «Atmals of Mathematics», LXIV ,viene ricondotta al problema della rappresentabilità di questo o quel funtore. PP 399 4os.

Si può dimostrare che un oggetto X è definito univocamente, a meno di iso­ Riemann, B.

morfismi, dal funtore hr , o h< . C iò permette di considerare ogni categoria [t85t] Gr u ndlagenfii r c ine al lgemeine Theorie dee Punctionen einer veránderlichen complescenGrosse (tesi di laurea, Gòtt ingen ) (trad. it . in «A tmali d i matematica pura e appl i­

quale sottocategoria dei funtori su essa, se preliminarmente è definita la no­ cata», I I ( t 85 9)).zione di morfismo dei funtori, o di trasformazione naturale dei funtori. Questo Shùnnon, C.punto di vista conduce ad una estensione naturale di molte classi di oggetti, i cui tz748 A. mathematical theory of com>nunicativn, in «Beli System Technical Journal», XXVII ,casi particolari precedentemente venivano considerati senza una esatta com­ 3, PP. 379-423, C 4, PP. 623-56.

prensione del loro significato categoriale generale. 'l'hom, R.

t97z St a b i l i te' structurelle et morphogénèse. Essai d'une théorie générale des modèles, W. A.Infine, molte costruzioni teoretico-strutturali possono essere considerate Benjamin, New York.quali funtori, ciò che conduce a una migliore comprensione delle loro proprietà. Whitehead, A. N., e Russell, B.Per esempio, è abbastanza nota la nozione di diagramma di strutture di un dato s96z Pr i nc ipia Mathematica to s56, Cambridge University Presa, London.

tipo, connesse alle applicazioni: cosi la scrittura X~ Y è un d iagramma deltipo . ~ . ; la scrittura

Il concetto di applicazione tra insietni astratti (cfr. insiexne) è il frutto del progres­sivo astrarsi c generalizzarsi del concetto di funzione (cfr. funzioni) all'interno del cal­colo differenziale (cfr. differenziale, infinitesimale). Con l'aiuto del concetto astratto

è un diagramma del tipo di applicazione è possibile ridiscendere all'interno di strutture matematiche parti­colari esaminando, nello specifico, situazioni ove intervengono applicazioni concrete(cfr. astratto/concreto), Ciò conduce a varie particolarizzazioni e suddivisioni all'in­terno del concetto (cfr. locale/globale, geometria/topologia, continuo/discreto).Dal punto d i v i sta della calcolabilità effettiva le applicazioni pongono problemi teo­rici e pratici di grande rilievo (cfr. ricorslvl tà, algoritmo, automa) che costringono

Tutti i diagrammi di un dato tipo l ' possono essere considerati quale funtore continuamente a r id iscutere i l rapporto tra matematica «speculativa» (cfr. matemati­da una categoria di schema di diagrammi di tipo l ' alla categoria dove giac­ che) e scienza applicata.

993 Assioma/postulatoAssioma/postulato stica comparata, nella lingua con cui si parlava ancora nel Mesolitico (piu di

diecimila anni fa) e che è l'antenata comune a molte famiglie di lingue modernequali quelle indoeuropee, semito-camitiche, degli Urali, dell'Altaj ed altre, viera la parola ~toho,, che significa 'due' (il cui aspetto sonoro è giunto fino ai no­

r. Gen eralità. stri giorni con piccole variazioni nelle diverse lingue). Per rendersi conto dellavastità della nozione 'due' al lettore basterà confrontare le sue interpretazioni

Scopo di ogni scienza naturale è la conoscenza della verità sulla Natura e nei contesti che seguono: «due pesci», «due giorni », «dualismo filosofico» (dalsull'Uomo. Di solito una scienza inizia con una parte descrittiva, volta a de­ latino duo 'due'), «la sesta cifra dopo la virgola nella scrittura decimale di it è z».lineare l'arco dei fenomeni studiati e a inventariare le nozioni fondamentali La struttura deduttiva delle teorie matematiche fornisce dei modelli d idella futura teoria. A questo livello viene introdotto anche il l inguaggio della costruzioni logiche cosi sviluppati, complessi e lunghi, che essa stessa, la ma­teoria e si stabiliscono le regole per confrontare i testi [proposizioni], in questo tematica, costituisce un modello universalmente riconosciuto per costruzionilinguaggio, con la realtà da essi descritta, cioè con la semantica del linguaggio. teoriche in ogni dominio del sapere. In misura notevole ciò è legato al fatto chePossono essere esempi di scienze descrittive la sistematica in biologia, o le l 'apparato evoluto del simbolismo matematico costituisce un esempio di l in­grammatiche descrittive delle lingue umane.

Il livello successivo consiste nell'individuare le leggi fondamentali alle qua­guaggio artificiale libero dagli equivoci e dalle limitazioni celati nelle linguecorrenti. Il l inguaggio dei simboli, non avendo un legame diretto con la realtà,

li è soggetta la struttura degli oggetti e dei fenomeni studiati, il loro sviluppo permette di descrivere una infinita varietà di situazioni e sviluppare delle teorienel tempo e il loro comportamento in determinate condizioni. La certezza sul­ che, a priori, non sono collegate a questo o a quel campo di fenomeni.la veridicità delle leggi è fondata su una induzione incompleta che parte da os­ Il concetto di assioma appartiene a quel numero di nozioni fondamentaliservazioni, esperimenti e dati indiretti, il volume dei quali non può mai esserecompleto. In sostanza è da questo momento che comincia una conoscenza teo­

che fanno parte della metateoria delle teorie deduttive (cfr. ) 3). La parolarica che permetta di predire tratti caratteristici di situazioni ancor prima che esse

'assioma', dal greco aFitopc 'dignità', indica una di quelle premesse di una data

siano direttamente osservabili nella realtà e senza queste stesse osservazioniteoria deduttiva, la cui veridicità viene assunta, internamente a questa teoria,

dirette.senza dimostrazione e viene poi usata nel seguito come un tutto unico. E possi­

A misura del suo sviluppo la teoria incorpora in sé frammenti di caratterebile produrre un'argomentazione a favore della veridicità di un assioma (o, quan­

puramente deduttivo sempre piu lunghi. In questi frammenti gl i enunciati,to meno, a favore di una sua assunzione provvisoria). Tuttavia, rigorosamen­te parlando, essa non appartiene alla teoria. I,a questione riguardante la natu­

nuovi e veri, si ottengono dalle verità sperimentali e dalle leggi della teoriamediante una serie di manipolazioni logiche, dette inferenze deduttive, dimo­

ra della verità matematica, in generale, è molto complessa e, piu oltre, al $ g,sarà discussa piu particolareggiatamente.

strazioni, ecc. La parte deduttiva della teoria si sviluppa sulla base delle in­formazioni che già si hanno, senza l'uso di conoscenze supplementari. Quanto

La parola 'postulato', dal latino postulatum 'si richiede', si usa attualmentecome sinonimo di assioma. Tuttavia vi sono sfumature diverse nell'uso delle

piu lunghi sono i frammenti deduttivi della teoria, tanto piu pressante diventala necessità di individuare e inventariare le premesse e la logica dei ragionamenti

due parole che non sono completamente normalizzate. Negli Elementi di Eu­

deduttivi che vengono usati.clide, secondo Proclo, i postulati affermano l'esistenza di costruzioni di ogget­

Questo schema è applicabile anche alla matematica, ma soltanto con delleti geometrici, mentre gli assiomi descrivono le proprietà di questi oggetti. Al­

convenzioni essenziali.cuni specialisti contemporanei di logica matematica chiamano postulati alcu­

Rispetto agli altri campi del sapere la matematica si distingue per una ele­ni presupposti speciali di una data teoria particolare, a diff erenza degli assio­

vata astrazione dei suoi concetti fondamentali e per il ruolo dominante che inmi logici e generali. Infine si possono chiamare postulati quei presupposti di

essa hanno i ragionamenti deduttivi.una data teoria assunti, magari temporaneamente, per ricavare da essi delle

L'astrazione dei concetti fondamentali si esprime nel fatto che il linguaggio conseguenze, confrontando le quali con questa o quella realtà, si può giudicare

della matematica e le sue sottoteorie ammettono una enorme varietà di seman­dei limiti nell'uso di questi stessi postulati, I fisici parlano, per esempio, dei«postulati della teoria del campo».

tiche, o di interpretazioni del tutto diverse tra loro. Ciò dà la possibilità, peresempio, ai fisici di considerare la stessa matematica quale linguaggio delle A scopo illustrativo vediamo alcuni esempi di assiomi senza limitarci a quelli

teorie fisiche. Questa astrazione già diventa evidente considerando le nozionistrettamente matematici. Al ) 4 verrà esposto un modello completo del sistema

matematiche piu elementari, quali, per esempio, i semplici numeri naturali di assiomi della teoria degli insiemi, che è alla base della matematica moderna.

(uno, due, tre ). Tali nozioni erano già note alle popolazioni che si trovavano AssIQMA DELL'UGUAGLIANzA. Due oggetti, ognuno dei quali sia uguale ad unad uno stadio di sviluppo assai primitivo. Secondo gli ultimi dati della lingui­ terzo, sono uguali tra loro.

Assioma/postulato 994 995 Assioma /postulato

Questo assioma è già presente negli Elementi di Euclide. Nelle costruzioni sue ricerche sulla geometria non-euclidea. La dimostrazione del fatto che ilmatematiche teoretico-insiemistiche moderne esso interviene quale proprietà quinto postulato di Euclide non sia effettivamente deducibile dai r imanentifondamentale delle relazioni di equivalenza: la transitività di queste relazioni. assiomi si è accompagnata all'introduzione di un nuovo principio, destinato a

sILLQGIsMI DI ARIsTQTELE. Ecco con linguaggio moderno uno degli schemi diventare un metodo importante nella logica matematica del xx secolo. Si tratta

dei sillogismi : «Se tutti gli oggetti di una classe A godono di una proprietà P e a del principio della interpretazione interna non-standard di una teoria mate­

è un oggetto della classe A, a gode della proprietà P» («Tutti gli uomini sono mor­ matica, o metodo dei modelli. Nell'uso di questo metodo si propone una nuova

tali, Caio è un uomo, quindi Caio è mortale»). concezione (internamente alla matematica) di tutti i termini della teoria mate­matica, per la quale tutti gli assiomi, ad eccezione di quello la cui non-deduci­

Gli assiomi dell'uguaglianza e i sillogismi appartengono agli assiomi logici; bilità si vuole verificare, risultino veri, e quest'ultimo, invece, risulti falso. Perla loro verità viene postulata indipendentemente dalla natura e dalle proprie­ esempio, esiste un modello di geometria non-euclidea, nel quale al piano eucli­tà degli oggetti considerati, cioè indipendentemente dall'interpretazione della deo corrisponde un semipiano, ai punti euclidei corrispondono i punt i delteoria. In essi viene distintamente seguito l'aspetto linguistico-semantico; essi semipiano, mentre alle rette euclidee corrispondono semicirconferenze ap­regolano l'uso corretto delle parole «essere uguali », «tutti» e simili. Nelle teorie poggiate sulla frontiera del semipiano. Tutte le altre nozioni primitive vengonoformalizzate l'aspetto linguistico interviene in primo piano; l 'assioma diventa reinterpretate in modo corrispondente. In questo modello il quinto postulato èsemplicemente un testo unico completamente definito e ogni r i ferimento ad falso.esso avviene secondo regole sintattiche completamente definite.

Bisogna osservare che l'uso contenutistico persino di un assioina fondamen­AssIQMA DELL'INDUzIDNE DI PEANo. Sia P una certa proprietà dei numeri

tale qual è l'assioma dell'uguaglianza può richiedere che siano individuati aspetti naturali. Supponiamo che I goda della proprietà P e che, per ogni n, dal fallo che

non banali della situazione descritta. Per esempio, nella fisica quantistica si n goda della proprietà P segua che n + I goda della stessa proprietà P. Allora

parla della indistinguibilità in linea di principio di tutte le particelle elementari tutti i numeri naturali godono della proprietà P.

di una data classe, — per esempio, degli elettroni, — ammettendo contempora­ L'assioma dell'induzione è il primo principio matematico fondamentale inneamente (nella teoria non relativistica) che, negli intervalli di tempo fra una cui si fa riferimento all'infinito. Infatti esso si appella alla possibilità astratta diinterazione e l'altra, l'elettrone mantenga la sua individualità. produrre una serie infinita di verifiche, quanto si voglia lunghe, per convincerei

Gli assiomi seguenti appartengono a parti diverse della matematica propria­mente detta.

sulla validità di P per ogni n, muovendo a passo a passo da I a 2, da zag, da 3 a4,..., da n — I a n. È pressoché l'unico «principio dell'infinito» che si incontra nelle

QUINTo PosTULATo DI EUCLIDE (AssIQMA DELLE PARALLELE). Se due rette ricerche metamatematiche, dove di regola, nei sistemi formali, le affermazioniintersecate da una terza retta fomnano una coppia di angoli coniugati interni la contenute nei testi sono stabilite per induzione secondo la lunghezza dei testicui somma è minore di T8o', queste due rette si intersecano in un punto che giace, medesimi. Internamente alla stessa matematica «la teoria elementare dei nu­rispetto alla terza retta, dalla stessa parte dei due angoli coniugati. meri » incorpora dei corollari di questo assioma e un numero limitato di principi

Questo assioma ha avuto un ruolo notevole nella formazione della matema­« finiti». Infine Georg Cantor [ i895-97] nella sua teoria degli insiemi ha sugge­rito una notevole generalizzazione di questo assioma, «il principio dell'induzio­

tica moderna e dei suoi fondamenti. Per molti secoli la sua verità è apparsa ne transfinita», che, in forme diverse equivalenti, è diventato uno degli stru­meno evidente che non quella degli altri assiomi di Euclide. Per questo sono menti piu potenti, ma anche piu contestati, della matematica del xx secolo.stati intrapresi molti tentativi per dedurlo dai restanti assiomi di Euclide. Ncilavori di Lobacevskij, Bolyai e Gauss fu costruita una teoria di geometrie n<»> AssIQMA DELL'AssocIATIVITÀ. Si a M un c erto insieme e supponiamo che per

euclidee, quale insieme di deduzioni ricavate dalla negazione del quinto p<>­ ogni due elementi, x, y, di M sia definito un terzo elemento, xy, di M, detto il lorostulato e dai rimanenti assiomi di Euclide. Questa teoria si spinse assai avanti prodotto. Se per tutti gli x y, z di M è soddisfatta l uguaglianza (xy) z = x(yz), sisenza incontrare contraddizioni, tanto che sorse la convinzione psicologica della dice che per il prodotto in M z>aie l'assioma dell'associatività.non-deducibilità del quinto postulato dai restanti assiomi e quindi della p<>s­sibile sua falsità nel mondo fisico (nella interpretazione, per esempio, dell« Piu generalmente le proprietà di una struttura (teorico-insiemistica), po­rette euclidee quali raggi luminosi, o delle traiettorie del moto delle particelle stulate nella definizione della stessa struttura, si dicono spesso assiomi di questa

struttura.libere). Tuttavia, i l fatto che fino a un d ato momento non s i sia scoperi:>nella teoria una contraddizione non significa ancora che non si scoprirà m;>i. A conclusione riportiamo due assiomi delle teorie fisiche.

Evidentemente Gauss era chiaramente consapevole di questa circostanza, ci<> ASSIOMA DELL'ADDITIVITÀ DELLE MASSE. La m a ssa dell 'unione di due corpiche probabilmente l'ha indotto a r inunziare, in vita, alla pubblicazione delle distinti è uguale alla somma delle masse di questi corpi.

Assioma/postulato 996 997 Assioma/postulato

AssIQMA DELLo sTATo NELLA TEQRIA QUANTIsTIcA RELATIvlsTIcA. Lo stato quali risulta che il concetto di dimostrazione matematica che essi avevano coin­di un sistema è descritto mediante i raggi unitari in uno sPazio di Hilbert sePa­ cide sostanzialmente con quello che si ha attualmente.rabile. La legge relatieistica di trasformazione dello stato è data mediante una Lo sviluppo ulteriore del metodo assiomatico non è stato lineare. Da unrappresentazione unitaria continua del gruppo non omogeneo SL (z, C) [Streater lato gli studiosi si rendevano conto dei principi logici dei ragionamenti regolarie Wightman I964]. e una parte integrante dei loro studi consisteva nell'individuare tali principi.

Questa linea parte da Aristotele e conduce alla logica formale della scuola diL'ultimo esempio rende particolarmente chiara la necessità di descrivere Hilbert del xx secolo. Dall'altra parte, particolarmente a partire dal secolo xvn,

preliminarmente il l inguaggio della teoria, la sua semantica, e la necessità di si è avuto un aumento notevole del materiale matematico, costituito da nuoveuna vasta quantità di argomentazioni a favore della verità di un assioma. L'as­ idee e fatti diversi. In certi periodi l'attenzione alla chiarezza dei principi fon­sioma dello stato, che interviene quale presupposto di una nuova teoria, rien­ damentali si indeboliva e ciò per effetto delle enormi possibilità che si aprivano.tra nel novero delle piu ardite generalizzazioni della fisica quantistica classica. Nei periodi «critici» successivi si aveva un riesame di tutto il materiale accu­

mulato e, dall'accurata analisi logica cui veniva sottoposto, si individuavano

lu nuove nozioni fondamentali e si chiarivano i legami logici.z. Fo r mazione del metodo assiomatico in matematica. 1, Indichiamo brevemente le tappe di questo sviluppo.

I fondamenti della logica furono posti da Aristotele. Lo scopo fondamentaleIl metodo assiomatico è quel modo di costruire o di esporre una teoria, per della sua ricerca gli era perfettamente chiaro: formare un breve elenco di re­

il quale le premesse iniziali vengono formulate esplicitamente quali assiomi, gole tali che a un loro impiego sistematico e conseguente sia riconducibile ognimentre tutti i r isultati successivi sono ottenuti da questi assiomi a conclusione ragionamento regolare indipendentemente dal contenuto di quest'ultimo e dalladi successioni di ragionamenti soggetti alle norme della logica. veridicità delle sue premesse iniziali. Aristotele non raggiunse completamente

Il metodo assiomatico è per eccellenza un metodo della matematica. Come il suo scopo. Prima di tutto egli non individuò i cosiddetti quantificatori, uni­si è già notato, le generalizzazioni scientifiche naturali, tipo teoria dell'evoluzione versale ed esistenziale, quali componenti autonome del linguaggio logico, ben­in biologia, o linguistica comparata, si distinguono per una vastità di dati ini­ ché egli pure distinguesse le proposizioni «universali » e «particolari». Inoltre, seziali osservati e per risultati ottenuti con procedimenti deduttivi relativamente i sillogismi di Aristotele si interpretano come «tautologie» della logica formalebrevi. Di piu, la maggior parte di questi risultati si presta ad una loro verifica, contemporanea, risulta che le componenti atomiche di queste tautologie sonoricorrendo, ove occorra anche piu volte, ai dati osservati, di modo che l 'esi­ di tipo assai particolare; fondamentalmente «ogni A è B», oppure «qualche Agenza di un loro fondamento logico può essere notevolmente attenuata. è B».

Al contrario, la matematica e frammenti significativi della fisica si distin­ Le tautologie con un numero arbitrario di componenti atomiche furonoguono appunto per il fatto che i risultati essenziali sono ottenuti mediante lunghi profondamente studiate nelle scuole degli stoici e dei megarici. Ad essi era giàragionamenti deduttivi da un numero limitato di premesse. La verifica speri­ noto sostanzialmente il teorema fondamentale della logica contemporanea deimentale di molti risultati intermedi e di quelli finali risulta persino impossibile predicati secondo il quale, fra tutte le affermazioni universalmente vere, vi èper questioni sia tecniche che di principio. Del resto, nella maggioranza dei una «base finita» di tali affermazioni, con la quale si possono ottenere tutte lecasi, per le stesse caratteristiche della matematica, non ha neppure senso porre altre mediante successive sostituzioni delle componenti atomiche con enunciatila questione di una tale verifica: l'affermazione, secondo la quale tutti i numeri arbitrari. Però questi lavori furono dimenticati fino alla loro riscoperta nel xIxinteri godono di una proprietà P, a rigore, dovrebbe essere il risultato di una secolo.successione infinita di verifiche. Solo singoli punti della teoria ammettono un In Aristotele e poi ancora per molto tempo lo studio della logica dei ragio­confronto parziale con la realtà in senso pragmatico. namenti deduttivi avvenne, quasi del tutto indipendentemente dalla matema­

La lunghezza delle inferenze deduttive impone particolari esigenze sulla tica, su materiale della retorica, della teologia e della giurisprudenza.loro normalizzazione. Per diminuire le probabilità di errore le inferenze sono Nel secolo xvII, con lo sviluppo del simbolismo algebrico nei lavori disuddivise in brevi passaggi e, sin dall'inizio, ove sia possibile, si elencano chia­ Viète e di Cartesio, si iniziarono dei tentativi volti ad indagare la struttura al­ramente i tipi di questi passaggi. L'uso della lingua naturale si caratterizza per gebrica della stessa logica. Idee particolarmente profonde appartengono ail suo impoverimento (per diminuire le omonimie ) e per una elevata riserva Leibniz. Ripetutamente egli si accinse ad un progetto di un linguaggio simbo­terminologica. lico universale, nel quale i ragionamenti fossero equivalenti a «calcoli», cioè ad

I r im i modelli di teorie assiomatiche, giunti a noi nei loro testi, risalgonoP operazioni formali sopra i testi, tali da poter essere eseguite in una «macchinaal v secolo a. C. È tradizione ascriverli alla scuola pitagorica. Euclide, Archi­ logica». Allo stesso Leibniz risale il metodo, divenuto poi famoso dopo le sco­mede e Apollonio ci hanno lasciato modelli di esposizioni matematiche dalle perte di Godei [ I93I ], di ricondurre a calcolo «le operazioni sui testi». Questo

Assioma/postulato 998 999 Assioma /postulato

metodo consiste nel numerare con i numeri primi i «testi atomici » e quindi le biamo già accennato alla storia della dimostrazione della non-deducibilità del­successioni di questi ultimi numerarle con i prodotti dei numeri primi corri­ l'assioma delle parallele.spondenti; dopo di che le operazioni sintattiche si trasformano in operazioni Dopo i risultati piu conclusivi di Pasch e di Peano usci il l ibro di Davidaritmetiche Hilbert Grundlagen der Geometrie[r899], definito da Bourbaki la «carta del­

La riduzione completa della teoria matematica della dimostrazione alla l'assiomatica moderna». Hilbert suddivise gli assiomi in alcuni gruppi; esami­teoria del calcolo fu ottenuta soltanto nel xx secolo nei lavori di Godei, Post, nò accuratamente quali di essi sono necessari in queste o quelle dimostrazioniTuring, Church, dopo gli studi fondamentali di Boole, Peano, Frege, Russell e e quali sono superflui e costrui uno spettro intero di geometrie diflerenti, otte­Whitehead, e Hilbert. nute sostituendo, o tralasciando, assiomi diversi. Inoltre Hilbert stabili la non­

Parallelamente, e per lungo tempo indipendentemente da questa compren­ contraddittorietà e la reciproca indipendenza degli assiomi mediante il metodosione della struttura delle teorie assiomatiche, si ebbe un processo di organizzazione dei modelli interni, costruendo geometrie multiformi di numeri reali.assiomatica di tutto il crescente volume di conoscetzzematematiche. Gli storici della Il tentativo piu conseguente e fondamentale di una esposizione assiomaticamatematica osservano una attenuazione dello spirito critico e della pedanteria di tutte le principali concezioni matematiche moderne è stato intrapreso nel xxdegli autori antichi al tempo delle grandi scoperte dell'analisi e della geometria secolo da un gruppo di matematici francesi, che operano sotto lo pseudonimoanalitica. I,e nuove idee e gli algoritmi per il calcolo numerico, i loro impieghi collettivo di N. Bourbaki (la sua composizione nel corso di oltre trent' anni ènella fisica (teoria della gravitazione di Newton, le serie di Fourier, le equazioni cambiata ; attualmente ad esso appartengono anche scienziati di altri paesi). Que­delle onde e della propagazione termica, i metodi variazionali ) erano cosi ricchi, sta esposizione è l'oggetto di un trattato in piu volumi, Eléments de mathémati­mentre le regole per operare sui nuovi formalismi, r icercate a tentoni sulla ciue[ ?939 sgg.] sottoposto a una regolare rielaborazione e la cui edizione non èbase dell'analogia e dell'intuizione, erano cosi fruttuose che uno studio scrupo­ ancora completa. L'esposizione è articolata attorno alla nozione centrale diloso sul significato e i l imiti di applicabilità delle nozioni introdotte appariva struttura matematica, di cui sono esempi le strutture di legge di composizione,in un primo momento non corrispondente allo spirito dei tempi, Si operava di ordinamento, di topologia, ecc. N. Bourbaki sottolinea il ruolo enormementecon gli infinitesimi e con i n umeri immaginari, non solo senza saper spie­ euristico di una ben organizzata esposizione assiomatica. Per esempio, quegligare che cosa significassero, ma spesso senza neppure immaginare quale ca­ oggetti tradizionali della matematica classica che sono i numeri reali, sono unrattere potesse avere una tale spiegazione. Si cercò di uscirne in due d i re­ insieme munito delle strutture d'ordine, di corpo, di spazio topologico, di va­zioni: per un verso, sviluppando un conseguente formalismo algebrico non rietà differenziale e di altre. Non appena queste strutture siano state profon­contraddittorio come se, internamente ad esso, il calcolo fosse esente dalla ne­ damente studiate, ciascuna separatamente, la loro interazione su un oggettocessità di chiarirne il significato, e per l'altro, riconducendo le nuove nozioni a concreto diventa molto pi6 comprensibile. Soprattutto l'esperienza dello studioquelle già note, intuit ivamente assimilate e, pertanto, apparentemente senza e del discernimento delle strutture mette nelle mani di chi opera in matematicapericolo. Entrambe le direzioni risultarono molto fruttuose. La prima condusse, un apparato pronto e ricco di nozioni e di metodi per lo studio delle sue questioninel xx secolo, al programma di Hilbert, volto a formare delle concezioni generali specifiche non appena che sia stata ravvisata la presenza di queste strutture neldei formalismi matematici, quali giochi con i testi simbolici non richiedenti, in dominio considerato.linea di principio, alcuna interpretazione. La seconda, dopo chc erano state in­dividuate le nozioni fondamentali dell'analisi (Cauchy, Bolzano, Weierstrass,Dedekind), condusse alla loro riduzione alle proprietà dei numeri reali e poi di Metateoria delle teorie assiomatiche.quelli interi (Dedekind, Peano, Cantor ). Infine Cantor, analizzando la strutturacomune di queste nozioni, ha proposto e sviluppato la teoria astratta degli insie­ La metateoria delle teorie assiomatiche sta alle stesse teorie come la lingui­mi, che è divenuta il fondamento della matematica moderna e che è stata assio­ stica sta alle lingue naturali. La sua formazione nel xx secolo è stata sollecitatamatizzata nel xx secolo da Zermelo, Fraenkel, Neumann, Godei, Bernays ed altri. sia dalle difFicili questioni filosofiche sulla natura della verità in matematica

Parallelamente si attuò un'accurata analisi delle assiomatiche geometrichc (esse divennero particolarmente acute dopo che furono scoperti i «paradossi»che ebbe poi un ruolo particolare nella formazione del metodo assiomatico. A della teoria degli insiemi; cfr. ) 5), sia dal desiderio naturale dei matematici diquesta analisi si accompagnarono, da una parte, la scoperta di una serie di prin­ rendersi conto del significato e del carattere della loro attività professionale.cipi della geometria euclidea usati implicitamente negli Elementi e, dall'altm, In questo paragrafo ci limiteremo a discutere a un livello qualitativo alcuneuna serie di tentativi per mettere ordine, non solo fra la loro interdipendenza, nozioni matematiche fondamentali. La stessa metateoria può essere in misurama anche nei loro rapporti con il mondo fisico (l'assioma delle parallele veno< notevole formalizzata e assiomatizzata; in questa forma essa appartiene già allariguardato quale ipotesi fisica; la questione della sua assunzione, o negazionc, logica matematica.doveva essere risolta mediante misurazioni astronomiche, o geodetiche). Ab­ La metateoria considera ogni teoria assiomatica quale collezione (potenzial­

Assioma/postulato IOOO IOOI Assioma/postulato

mente infinita) di testi in un certo l inguaggio. Questi testi sono organizzati effettivamente solo ricorrendo ai dati della psicologia, della neurofisiologia, o disecondo regole piu o meno esplicitamente formulate che costituiscono la sintassi altri domini del sapere, lontani dalla matematica propriamente detta. Ugual­del linguaggio. I.a descrizione del linguaggio può essere accompagnata da una mente la logica «naturale» dei ragionamenti deduttivi è, dal punto di v istasua interpretazione standard, o da uno spettro di tali interpretazioni, ma ciò matematico, una nozione vaga, quantunque i matematici siano relativamentenon è obbligatorio. Rispetto ad una data interpretazione alcuni testi, nel dato concordi nello stimare logicamente impeccabile, oppure contenente vuoti logicilinguaggio, possono avere la proprietà di essere veri, o falsi. Le regole d'infe­ o errori ogni ragionamento dato. Perciò furono intrapresi numerosi tentativi direnza di una data teoria sono metodi per generare nuovi testi a partire da altri precisare le definizioni date al punto che la metateoria delle teorie matematichegià dati, o da testi precedentemente generati. Si intende che, in presenza di una ha assunto un livello di precisione paragonabile a quello della matematica con­interpretazione, le regole d'inferenza applicate a testi veri devono generare di temporanea. I risultati di quest'opera sono il contenuto della logicà matematicanuovo solo testi veri. moderna. La metateoria logico-formale studia essenzialmente solo i modelli ma­

Gli assiomi di una teoria costituiscono un sistema di testi iniziali e questo tematici delle teorie assiomatiche ed è per questo che si ottiene una maggioresistema viene assegnato elencando i testi medesimi, oppure mediante regole precisione nelle sue affermazioni.per generarli. I testi che si possono ricavare dagli assiomi dati mediante le Riporteremo piu oltre, nel linguaggio naturale, il sistema di assiomi dellaregole d'inferenza si dicono deducibili. teoria degli insiemi secondo Zermelo [ Irlo8] e Fraenkel [Irlz8j. Sulla base del­

Nella maggioranza delle teorie vi è il concetto di negazione di un dato testo la teoria degli insiemi, o di suoi frammenti, è costruita quasi tutta la matematica(enunciato). moderna. Per questa ragione gli assiomi della teoria degli insiemi sono «assiomi

Un sistema di testi (in particolare di assiomi) di una teoria si dice non-con­ per eccellenza». Tutti gli altri assiomi matematici, dal punto di vista della teoriatraddittorio se da essi non è possibile dedurre un testo e contemporaneamente degli insiemi, sono soltanto definizioni di oggetti e delle loro proprietà, studiatela sua negazione (cioè una contraddizione). in questa o in quella particolare teoria come, per esempio, l'assioma dell'asso­

Un sistema di assiomi si dice completo, rispetto a una data interpretazione e ciatività del ( I.alla nozione di verità, se da questi assiomi si possono dedurre, tutti e soli, i testi Parallelamente alla formulazione degli assiomi introdurremo le stesse no­veri. zioni matematiche e le notazioni di uso corrente.

Un sistema di assiomi si dice categorico se esiste solo una interpretazione(in una certa classe), rispetto alla quale tutti gli assiomi risultino veri. Per esem­pio, il sistema di assiomi di Peano per i numeri interi, in un certo senso (in seno Assiomi della teoria degli insiemi secondo Zermelo-Fraenkel.alla teoria degli insiemi), può essere ritenuto categorico, poiché definisce soltantoun oggetto: i numeri interi. Al contrario, il sistema di assiomi della teoria dei La teoria degli insiemi che descriveremo ha lo scopo di studiare un'unicagruppi descrive una classe intera di gruppi non isomorfi tra loro. classe di oggetti fondamentali, detti insiemi, ed un'unica relazione binaria fra

Un dato testo di un linguaggio si dice indipendente da un sistema di altri gli insiemi : «essere elemento». La scrittura x ey si legge «l'insieme x è un ele­testi (per esempio, dal sistema di assiomi) se da questi ultimi non è deducibile mento dell'insieme y». Inoltre dagli assiomi di Zermelo-Fraenkel segue chené il testo stesso, né la sua negazione. Il quinto postulato di Euclide è indipen­ non esiste una catena xisx , v x«a... di lunghezza infinita. Ne segue che l'ul­dente dagli altri assiomi di Euclide. timo elemento di una catena di questa forma, che non sia prolungabile, è un

I problemi fondamentali della metateoria delle teorie assiomatiche sono i insieme che non ha elementi. Esso si dice vuoto e si indica con g. Un insiemeseguenti: descrivere il sistema di testi deducibili dagli assiomi; chiarire le que­ finito, tutt i gl i elementi del quale siano x„ . . . , x», può essere indicato constioni relative all ' indipendenza, alla completezza, alla non-contraddittorietà, Ixn ..., x.„J. Pertanto tra gli insiemi dell'universo di Zermelo-Fraenkel sono con­alla categoricità di questo, o di quel sistema di assiomi; stabilire la non-dedu­ tenuti, per esempio, g, (g), (Itg ), gJ, ..., ecc. Una descrizione piu esatta delcibilità o l ' indipendenza di questo o di quel testo dagli assiomi; descrivere processo di «collezionamento» di ogni insieme di questo universo a partirel'insieme delle interpretazioni, nelle quali i dati assiomi sono veri. dall'insieme vuoto e da insiemi precedentemente costruiti è contenuta negli

Le nozioni metateoriche sopra riportate sono dotate di una minore defini­ assiomi che ci accingiamo ad esporre.bilità terminologica che non le ordinarie nozioni matematiche. In primo luogociò è dovuto al fatto che un'idea del linguaggio della teoria si basa sull'esperienza

ZFI. AssIQMA DELL'HsTENsioNE. Du e insiemi, x, y, sono uguali se, e solo se,

delle lingue naturali, le quali sono oggetti non formali e molto complessi. L'usoogni elemento dell'insieme x è un elemento dell'insieme y e ogni elemento dell'insiemey è un elemento dell'insieme x.

del linguaggio naturale da parte dell'uomo è assai lontano da una manipola­zione meccanica dei testi; la generazione della parola, la sua comprensione, il Da un punto di vista formale questo assioma regola l'uso del predicato «es­rapporto tra la parola e la realtà, o l'arco delle idee descritte si possono studiare sere uguali» riferito agli insiemi. Rispetto al contenuto questo assioma esprime

35

Assioma/postulato I002 I003 Assioma/postulato

l'idea fondamentale di Cantor: immaginare un aggregato di oggetti come un di «collezionamento» successivo degli insiemi precedentemente già costruiti:tutto unico, definito soltanto dai suoi elementi e nient' altro di piu. p, I p}, I p,tp}}, fg,f p},( p, tp } }} , e cosi via. Per uscire dai limiti di questo

Se gli insiemi x, y sono uguali, scriviamo x = y. Se ogni elemento dell'insie­ universo è necessario l'assioma seguente.me x è un elemento dell'insieme y, scriviamo x cy e leggiamo «x è un sotto­insieme diy».

ZF6. AssioMA DELL'INFINITo. D efiniamo la nozione di insieme x' seguenteallinsieme x : x'=x U (x}. Esiste un insieme x contenente g e, insieme ad ogni

ZF2. AssIoMA DELL'INsIEMH vUQTo. Esiste un insieme che non contiene ele­ y ex, contiene y'.menti.

Pertanto questo assioma postula l'esistenza di un insieme contenente tutti iDall'assioma dell'estensione segue che l'insieme vuoto è unico, cioè che g g l g /f g / I f

due qualsiasi insiemi vuoti sono uguali.Nella verifica di questa affermazione il lettore può porre mente ad una lo­ ZF7. AssIQMA DEL soTTQINsIEME. Per ogni insieme x e per ogni proprietà P

gica indeterminatezza del linguaggio naturale: è lecito affermare che ogni ele­ di un insieme esiste un insieme y tale che z ey se, e solo se, z ex e z gode della pro­

mento dell'insieme x è un elemento dell'insieme y, quando x non contiene prietà P.

neppure un elemento> Individuando e normalizzando i principi logici uti l iz­ Si usa scrivere y = Iz~z e x e z gode della proprietà P }.zabili, la risposta a questa domanda risulta affermativa. Nella formulazione di questo assioma per. la prima volta appare la nozione

Questo assioma e tutti i successivi postulano l'esistenza di insiemi con queste generale «proprietà di un insieme» che noi non abbiamo de6nito. Qui ci tro­o quelle proprietà. viamo di fronte essenzialmente a un problema linguistico; dobbiamo chiarire

ZF3. AssIQMA DELLA coPPIA. Per ogni due insiemi, x, y, esiste un terzo in­ quali frasi del linguaggio naturale, contenenti il nome insieme x, siano da ri­

sierne, z, elementi del quale sono soltanto x e y. tenere una descrizione delle proprietà dell'insieme x. Una risposta precisa puòessere data solo dopo aver introdotto il linguaggio formale della. teoria degli in­

Questo insieme, d' accordo con le nostre convenzioni, si può indicare con siemi. Noi ci l imitiamo a far notare che queste frasi devono comprendere soloIx,y }; esso è definito univocamente in virtu dell'assioma dell'estensione e si le notazioni di insieme, le parole «non», «e», «oppure», «se, ..., allora...», «se,chiama coppia non ordinata degli insiemi x e y. Evidentemente Ix, x} = Ix }. e solo se», «esiste», «per ogni», «uguale», «essere elemento» e cosi pure i loro

Si chiama coppia ordinata degli insiemi x, y, con primo elemento x e se­ sinonimi e le parole ausiliarie del linguaggio naturale, e, infine, esse devono es­condo y, l'insieme IIx }, fx, y}}. Brevemente si indica con (x, y). Non è diffi­ sere «costruite regolarmente». La difficoltà maggiore è chiarire cosa signi6cacile verificare che (x, y) = (u, «i) se, e solo se, x = u e y = «i. Le coppie ordinate «costruzione regolare» di una frase. Farlo nei limiti del l inguaggio naturale èsono usate essenzialmente per de6nire le nozioni di corrispondenza fra insiemi oltremodo scomodo e questa è una delle ragioni principali che giustificano l'in­e di applicazione di insiemi (cfr. oltre). troduzione dei linguaggi formali.

ZFg. AssIoMA DELLA soMMA. Per ogni insieme x esiste un insieme y tale che Sulle proprietà esiste un altro punto di v ista complementare. Ogni pro­

l insieme zè un elemento di y se, e solo se, esso è un elemento di un certo elemento prietà di certi elementi, diciamo, di un insieme x, definisce in x, come si puòdell'insieme x. mostrare, il sottoinsieme costituito dagli elementi che godono di questa pro­

prietà. Inversamente, ogni sottoinsieme y c x definisce la proprietà «essere ele­L'insieme y si dice insieme-somma, o unione di x e si indica con Ux. Al mento di y». Perciò, d' accordo con questo punto di v ista «estensionale», le

posto di U {xi, x«} spesso si scrive x,Ux»; al posto di U txn ..., x„} si scrive proprietà degli elementi di x possono essere identi6cate con i sottoinsieminUx;, ecc.

di x. Però, se x è infinito, per esempio, se contiene g, g ' , g " , . . . , ne segue

«= l che tutti i sottoinsiemi di x risultano notevolmente di piu che non tutt i i sot­

ZF5. AssIoMA DEL GRADQ. Per ogni insieme x esiste un insieme y tale che gli toinsiemi che possono essere esplicitamente descritti con frasi del l inguaggio

elementi di y sono, tutti e soli, i sottoinsiemi di x. regolarmente costruite. In altre parole, esistono «proprietà», intese nel sensoestensionale, non esprimibili per mezzo di nessun dato linguaggio.

Notazione abbreviata; y = ~J'(x), È proprio questa divergenza estensiva tra la nozione di «proprietà estensio­Ricordiamo che z è un sottoinsieme di x, z c x, se ogni elemento di z è un nale» e quella di «proprietà espressa nel dato linguaggio» che sta alla base della

elemento di x. Fra i sottoinsiemi di x vi sono sempre g e x ; gli altri sottoinsiemi impossibilità di r itenere che i modelli delle teorie matematiche «ingenue», indi x si dicono propri. particolare della teoria degli insiemi, riflettano tutti gli aspetti delle teorie in­

Gli assiomi fin qui formulati sono soddisfatti nell'universo costituito da genue.tutti gl i insiemi finit i che si ottengono a partire da g m e d iante i l p rocesso Bisogna ancora notare che l'assioma del sottoinsieme è piuttosto uno «sche­

Assioma/postulato I00 4 I OOS Assioma/postulato

ma di assiomi». Esso definisce la serie infinita dei suoi casi particolari che si Gli assiomi ZFI-ZFIo formano il sistema completo di assiomi della teoria

ottengono sostituendo alla proprietà indefinita P, una dopo l'altra, le frasi chedegli insiemi secondo Zermelo-Fraenkel nel linguaggio naturale. Esistono altre

esprimono tutte le possibili proprietà. varianti di assiomatizzazione della teoria degli insiemi. Fra queste la piu nota è

Per esempio, se, quale proprietà P dell'insieme u, prendiamo «u è un ele­l 'assiomatizzazione di Godei-Bernays. In essa la nozione fondamentale è la

mento di v», l 'assioma del sottoinsieme postula l'esistenza della intersezione«classe», mentre l'insieme è definito quale classe che può essere elemento diun'altra classe. Nella interpretazione standard nell'universo di Zermelo-Fraen­

y = x A v .

Se, quale proprietà P, si prende la proprietà «u non è un elemento di v»,kel tutti gl i insiemi formano una classe, ma non un insieme. Ogni proprietà

noi postuliamo l'esistenza del complemento y = x/v. degli insiemi, esprimibile nel linguaggio, definisce la classe di tutti gli insiemi

Introduciamo ancora alcune importanti nozioni uti l izzando l assioma deche godono di questa proprietà. Questa classe pure non può essere un insieme.

sottoinsierne ed altri assiomi.I.'assiomatica di Godei-Bernays non contiene schemi di assiomi e, pertanto, è

Il prodotto cartesiano x xy degli insiemi x e y può essere definito cosi: piu comoda dal punto di vista formale. Per il contenuto essa può essere utilenella moderna teoria delle categorie; per esempio, la categoria di tutti i gruppi

x xy = {z~zr J (J (xUy)) e esistono ucx e vey tali che z = (u, v)}. forma una classe, ma non un insieme. È noto, tuttavia, che nella teoria di Godel­

Pertanto x xy è costituito da tutte le coppie ordinate, il cui primo elemento ap­Bernays sono deducibili esattamente gli stessi risultati sugli insiemi della teoria

partiene ad x e il secondo a y. Osserviamo che, se u ex e v ey, alloradi Zermelo-Fraenkel, cosi che esse in sostanza sono equivalenti.

Esaminiamo ora le nozioni metamatematiche introdotte nel paragrafo pre­

(u, v} E J (x Uy) e Cu, v) = ((u},(u, v}} e 9 ( J (x Uy)). cedente applicate al linguaggio e agli assiomi della teoria degli insiemi.

Si chiama relazione binaria fra gli insiemi x, y ogni sottoinsieme di x xy.Si chiama applicazione f dell'insieme x in y (notazione: f : x~y), oppure

funzione dall'insieme x all'insieme y una relazione binaria f ~ x x y tale che perCaratteristica metateorica della teoria degli insiemi.

ogni u cx esiste un unico elemento v cy con la proprietà (u, v) c f. In tal caso La semantica del linguaggio della teoria degli insiemi nella variante inizialespesso si scrive anche v = f(u). di Georg Cantor [Iggg-qp] era legata alla rappresentazione mentale di oggetti di

ZFS. AssioMA DEr.I.A sosnTUZIONE. Sia P una proprietà di coppie ordinate natura arbitraria del mondo reale, o del mondo delle idee, e alla possibilità di im­di insiemi tale che per tutti gli elementi x, y, z di un certo insiente u, se le coppie maginare collezioni diverse di tali oggetti come un tutto unico. Ognuna di queste

(x,y) e (x, z) godono della proprietà P, risulti y = z. Esiste allora un insieme v tale collezioni è un insieme (termine standard scelto tra diverse espressioni sinonimeche y c v se, e solo se, esiste x e u tale che la coppia (x, y) gode della proprietà P. del linguaggio naturale) e gli oggetti che ne fanno parte sono gli elementi di

I presupposti relativi a P sono piu deboli dei presupposti che definisconoquesto insieme. Da un tale punto di vista si potrebbe considerare, per esempio,

una funzione. Ciò nonostante l'assioma postula sostanzialmente il fatto che Pl'insieme di tutti gli insiemi. Naturalmente esso deve contenere se stesso qualesuo elemento.

definisce una funzione su un conveniente insieme. Osserviamo che anche questo A Bertrand Russell appartiene il ragionamento che mostra come si possaè uno schema di assiomi. giungere assai presto ad una contraddizione applicando a questo arco di rap­

ZF9. AssloMA DELLA REsTRIzIDNE. Sia P una certa proprietà degli insiemi e presentazioni mentali semplici costruzioni logiche. Infatti, consideriamo l'in­

supponiamo che esista un insieme con la proprietà P. Esiste allora un insieme x con sieme X i cui elementi siano, tutti e soli, gli insiemi che non contengono se stessi

la proprietà P tale che nessuno dei suoi elementi gode della proprietà P. quali propri elementi ; per brevità li chiameremo insiemi «regolari». Poniamocila domanda: è «regolare» X? Se X fosse «regolare», esso, per la definizione di

È proprio da questo assioma che si può ricavare l'affermazione secondo la «regolarità», non dovrebbe contenere se stesso quale suo elemento, nia ciòquale ogni catena x, 3 x, a ... deve essere finita. contraddirebbe la definizione di X quale insieme di tutti gli insiemi «regolari».

ZFIO, AssIQMA DELLA scELTA. Per ogni insieme x non vuoto esiste una fun­ D'altro lato, se X fosse «non-regolare», esso, per la definizione di «non-rego­

zione larità», dovrebbe contenere se stesso quale suo elemento, ma ciò contraddirebbef : [yly ~ cj (x) e y~ P} ~x la definizione di X quale insieme che contiene solo insiemi «regolari».

Questo «paradosso» e quelli ad esso imparentati furono oggetto di numerosetale che per ogni y e J (x), y p g, si ha: f(y) ey. discussioni e disaccordi. I l modo meno radicale di uscirne fuori consistette

In altre parole si postula l'esistenza di una funzione che sceglie un solo ele­ nel restringere la semantica iniziale: bisognava ammettere che fossero insiemi

mento da ogni sottoinsieme non vuoto dell'insieme x. non tutte le immaginabili collezioni di oggetti, ma soltanto alcune. Quello piu

Assioma/postulato roo6 I 00 7 Assioma/postulato

radicale, invece, consistette nella richiesta di r inunciare coinpletamente alla In queste condizioni la maggioranza dei matematici assume la teoria deglisemantica del linguaggio della teoria degli insiemi e, come corollario, allo stesso insiemi, il suo linguaggio e la sua assiomatica, quale apparato per comunicare,linguaggio. Poiché tale richiesta distrugge completamente l'edificio della ma­ fissare, scoprire e applicare i fatti matematici. Inoltre, con l'assunzione di que­tematica classica e della maggior parte di quella contemporanea, pochi l'accol­ sto linguaggio, si è aperta la possibilità di presentare la matematica come unsero. tutto unico e di indagare tra le sue parti eterogenee una enorme quantità di

La semantica del linguaggio di Zermelo-Fraenkel, descritta all'inizio del legami stretti che precedentemente sfuggivano all'attenzione. Da questo puntoparagrafo precedente, è il risultato di quella restrizione sulla rappresentazione di vista nessuna delle alternative proposte può competere con la teoria deglidegli insiemi che ci salva dal paradosso di Russell e, nello stesso tempo, per­ insiemi.mette di realizzare tutte le costruzioni matematiche. La collezione di Russell de­ Dobbiamo limitarci a constatare che lo sviluppo della matematica non hagli insiemi X che non contengono se stessi quali propri elementi, nell'universo rivelato contraddizioni nella versione della teoria degli insiemi che è stata as­di Zermelo-Fraenkel, è costituita da tutti gli insiemi dell'universo. Essa non è sunta; inoltre che l'esperienza storica ci testimonia la possibilità, quando se neun insieme dell'universo; altrimenti avremmo XeX, da cui si otterrebbe im­ ravvisi la necessità, di precisare e correggere le nostre idee sugli oggetti mate­mediatamente la catena infinita di inclusioni XsX 3 X z . . . , che in questo uni­ matici senza, per questo, demolire alla radice l'edificio matematico.verso è impossibile.

Ciò che è stato detto non significa che questa semantica standard sia comple­tamente accettabile. 6. Ei m i t i del metodo assiomatico.

Da un punto di vista puramente logico non è dimostrato che nel sistema ZFnon si possa giungere ad una contraddizione mediante ragionamenti forse Abbiamo già notato all'inizio dell'articolo il posto e il ruolo del metodo as­notevolmente piu lunghi di quello di Russell. Hilbert congetturò che la con­ siomatico sul piano teoretico generale. Le sue realizzazioni concrete nei diversitraddittorietà degli assiomi potesse essere dimostrata con metodi puramente domini del sapere formano tutto uno spettro, ad un estremo del quale vi sonofiniti, considerando la teoria combinatoria dei testi nella versione formalizzata le generalizzazioni teoretiche delle scienze umanistiche (probabilmente la tradi­del linguaggio della teoria degli insiemi. Ma, come dimostrò Godei, in ognuna zione è cominciata con PEthica dello Spinoza), mentre all'altro estremo vi sonodi tali dimostrazioni bisogna usare mezzi molto potenti: la formalizzazione di le teorie formali della matematica moderna.questa dimostrazione, quale deduzione dallo stesso sistema di aasiomi, è im­ Tuttavia, accanto allo straordinario sviluppo delle idee e della tecnica dipossibile. Ciò, per quanto concerne la non-contraddittorietà del sistema di questo metodo, nel xx secolo fu scoperta l'esistenza di limiti di principio sulleassiomi di ZF, conduce a un circolo vizioso. sue possibilità che stanno al fondo della questione.

Da un punto di vista piu pragmatico è chiaro che l'universo di ZF contiene In questo campo la scoperta centrale è stata il teorema di Godei sulla incom­insiemi infiniti immensamente grandi, un'idea dei quali probabilmente è oltre­ pletezza degli assiomi de>l'aritmetica [r93r], il r isultato e la dimostrazione delmodo lontana dalla realtà fisica. Secondo la critica di Brouwer non vi è alcun quale ammettono generalizzazioni significative. Descriviamo brevemente il con­fondamento di aspettarci che sia giustificato, o almeno sia sensato, applicare a tenuto di questo teorema.questi insiemi la logica standard astratta dalle considerazioni di collezioni finite. Consideriamo un linguaggio L sufficientemente formalizzato dell'aritmetica,Ciò conduce a forti dubbi sul fatto che a testi arbitrari nel linguaggio di ZF sia che comprenda i mezzi per esprimere le operazioni elementari sui numeri interi,applicabile l'idea della loro verità­falsità persinoindipendentementedal fatto le nozioni logiche fondamentali e i segni per i numeri interi concreti e inde­che si sia o meno in grado di stabilire questa verità, o falsità. terminati.

Quest'ultima circostanza fu resa palese in modo particolarmente clamoroso Numeriamo tutt i i t est i d i questo l inguaggio regolarmente costruiti concon le dimostrazioni di Godei e di Cohen, secondo le quali nel sistema di ZF numeri naturali, per esempio, secondo il principio di Leibniz-Godei. L'unicanon è deducibile dagli assiomi né l' ipotesi del continuo di Cantor, né la sua condizione essenziale in tale «numerazione di Godei» consiste nel fatto che lanegazione. Se si crede che essa sia vera, o falsa, è assolutamente incomprensibile ricostruzione del testo a partire dal numero e del numero a partire dal testo devesu quali principi ciò possa essere stabilito e in che misura risultino accettabili essere una procedura puramente meccanica, la cui attuazione possa essere af­tali principi. In ogni caso gli assiomi di ZF non possono costituire un sistema fidata ad un calcolatore, avendo scritto per esso il programma corrispondente.completo. Fissiamo anche un sistema di assiomi dell'aritmetica. Si suppone che dal

Infine gli assiomi di ZF sono notoriamente non categorici. Infatti, Skolen numero del testo si possa riconoscere meccanicamente se esso è, oppure no,ha dimostrato che ogni teoria formale, che ammetta generalmente una inter­ un assioma.pretazione, può essere interpretata nell'universo costituito semplicemente dai Infine fissiamo nel linguaggio le regole d'inferenza. Anche la procedura pernumeri interi e, per di piu, in infiniti modi sostanzialmente diversi tra loro. costruire, a partire dagli assiomi, tutti i testi deducibili deve essere meccanicizzata.

Assioma/postulato IOO8 I00 9 Assioma/postulato

Si può dimostrare che in un'adeguata formalizzazione dei reali ragionamenti nuove idee. Per quanto ricco sia il sistema di premesse da cui si parte, questamatematici tutte queste ipotesi sono soddisfatte. Di piu, si può argomentare il verità non può essere generata meccanicamente. In misura maggiore questepunto di vista consistente nel fatto che queste ipotesi devono essere soddisfatte limitazioni sono applicabili in altri domini del sapere.in ogni adeguata formalizzazione. I successi della matematica e di settori matematicizzati delle scienze na­

Indichiamo ora con T l' insieme dei numeri dei testi veri e con D l' insieme turali indussero molti profondi pensatori a sperare nell'esistenza di alcune leggidei testi deducibili dagli assiomi. È naturale ritenere che Du T. Il teorema di universali, dalle quali tutte le altre verità potessero essere semplicemente de­Godei afferma che questa inclusione è propria, cioè esiste sempre una afferma~ione dotte teoricamente. Nella tradizione europea queste speranze sono legate ai no­vera dell'aritmetica non deducibile dagli assiomi. mi di Leibniz e Cartesio e sono tuttora sostenute da parte di alcuni fisici che

La sua dimostrazione è basata sull'unione di due principi. meditano sulla struttura della nostra conoscenza della natura.

ESPRIMIIIII.ITÀ DI D : esiste un testo P su L, comprendente il nome k di una va­Tuttavia, dopo i lavori di Godei, possiamo essere certi che queste speranze

riabile numerica intera, tale che kp E D se, e solo se, questo testo diventa vero dopo sono infinite. Anche lasciando da parte la questione di quanto sia complesso il

aver sostituito in esso il nome k con il numero intero kp. (Diciamo che questo testo mondo, sappiamo che il metodo delle inferenze deduttive non è sufficientementeforte.P esprime l'insieme D).

No»I EsERIMIIsII.ITÀ DI T: per T un tale testo non esiste. Benché finora non siano stati esplicitamente indicati «problemi insolubili»(esempi di Godei, ipotesi del continuo, problema dell'identità delle parole nei

La dimostrazione del primo principio richiede un lungo lavoro tecnico, gruppi), lontani da quelli matematici, che stiano di fronte ai fisici, non è esclusoma sostanzialmente sfrutta semplicemente la possibilità della generazione mec­ che tali problemi fisici siano già stati affrontati. È possibile, per esempio, che lecanica degli elementi di D uno dopo l 'altro. Questa generazione può essere difficoltà di dedurre dalle equazioni della idrodinamica le caratteristiche di certiaffidata a un calcolatore e la sua logica e la sua aritmetica si prestano a una com­ fenomeni realmente osservate siano effettivamente insuperabili : gli assiomi del­pleta descrizione nel linguaggio L dell'aritmetica elementare. la teoria degli insiemi e l'apparato standard per tale deduzione possono non

I.a dimostrazione del secondo principio è un impiego molto ingegnoso del­ bastare.l'antico paradosso del bugiardo. Essa è fondata sul fatto che, per ogni testo P, In queste condizioni diventano particolarmente chiari i l ruolo dell'espe­si può costruire esplicitamente un nuovo testo QI, il cui significato è riferito rimento numerico e dell'osservazione e il ruolo dell'intuizione e della congetturacon la descrizione seguente: QI, afferma che il numero di QI non appartiene al­ con insufficiente fondamento. Essi sono chiamati non solo a compensare lal'insieme espresso dal testo P. nostra provvisoria incapacità di raggiungere la verità mediante inferenze de­

Usiamo ciò per stabilire la non-esprimibilità di T. Supponiamo che T sia duttive, ma forse anche a farei sapere che è impossibile conoscere la verità dedut­espresso da un testo P e giungeremo a una contraddizione. Per questo ponia­ tivamente. Prima o poi dovremmo uscire dai limiti della «ragione pura».moci la questione della veridicità del testo Qt . Questi limiti di principio del metodo assiomatico, connessi con l'incomple­

Se il testo QI è vero, dal suo significato segue che il numero di QI, non ap­ tezza dell'informazione da esso fornita e con il dubbio permanente sulla suapartiene all'insieme espresso dal testo P, cioè all'insieme T. Ma allora, per la verità e non-contraddittorietà, fanno parte del fondamento della moderna gno­definizione di T, il testo Qt, deve essere falso. seologia e devono essere esplicitamente riconosciuti. Solo in queste condizioni

Se invece il testo Qr è falso, dal suo significato segue che il numero di QI può manifestarsi tutta la forza di quell'unica arma dell'intelletto umano che e ilappartiene all'insieme espresso dal testo P, cioè all'insieme T. Ma allora, per metodo assiomatico. [JU. I. M.j.definizione di T, il testo Q>, deve essere vero.

Ciò completa la dimostrazione del teorema di Godei.La non-esprimibilità di T fu d imostrata da Tarski. Godei usò un metodo

piu particolare che conduce a un risultato piu preciso. Egli, quale testo P, prese Bourbaki, N.

il testo che esprime l'insieme D. In tal caso il testo Qt afferma che «il numero di tp3psgg. El e menls de mathématique, Hermann, Paris.

Qt non appartiene a D», cioè «Q> non è deducibile dagli assiomi», II testo Q> Cantor, G.>89S-p7 Be i t rage +pr Begrundung der transfiniten rllIengenlehre, in Gesam~nelte Abhandlungennon può essere falso, altrimenti risulterebbe che QI, è deducibile dagli assiomi mathematischen und philosophischen Inhalts, Springen Berlin >ps».

e perciò vero Ne segue che il testo Qr. è vero e, per il suo significato, non è Fraenkel, A. A .deducibile dagli assiomi. Pertanto il metodo di Godei dà luogo a un infinito 19z8 Ei n l e i tung in die IItengenlehre, Springer, Berl in 1928

completamento degli assiomi dell'aritmetica con testi del t ipo QI senza che, Gádel, K.

con ciò, ad ogni tappa di questo processo il sistema di assiomi risulti completo. z paz Uber formai unentscheidbare Sàtze drr PrinciPia mathematica und rerwandter Systeme, in«Monatshefte fur Mathematik and Physik», XXXVI I I , pp. z73-98 (trad. it. in E, Agaz­

Per abbracciare tutta la verità solo sui numeri interi sono necessarie infinite zi, Introduzione ai problemi dell'assiomatica, Milano rp6z l,

Assioma/postulato IQIO

Hilbert, D.t899 Gr u n dlagen dcr Geometrie, Teubner, Leipzig-Berlin r9go'.

Streater, R. F., e Wightman, A. S.t96g PC T , Sp in and Statistics and All That, Benjamin, New York.

Zermelo, E.t9o8 Unt e rsuckungenuber die Grundlagen dcr Mengenlehre, in «Ma thematische Annalen»,

L XV, pp . z6 t - g t .

Assiomi e postulati sono gl i e lementi fondamentali a part ire dai quali , al l ' internodi teorie matematiche (cfr. matemat iche), o piu in generale di teorie ad esse assimila­bili, si procede deduttivamente per ottenere i risultati ricercati (cfr. strutture matemati­che, deduzione/prova, geometria/topologia ed anche fisica, quanta). A fondamentodella matematica è posta abitualmente la teoria degli insiemi (cfr. insieme) ; per evitareantinomie e paradossi è opportuno vagliare accuratamente gli assiomi in iziali ed agireall'interno di un linguaggio formalizzato (cfr. formalizzazione). Nell'articolo che pre­cede si presenta come esempio la teoria di Zermelo-Fraenkel (cfr. applicazioni). Attra­verso il teorema di Godei, si accenna ai l imit i in t r inseci alle teorie formalizzate (cfr.logica, referenza/verità). Il r apporto t ra teorie e teorie formalizzate è esaminato inparticolare in teoria; piu in generale cfr. anche scienza. La «difficoltà» dell'accordotra teorie formalizzate da una parte e dialettica dall'altra è esaminata in d ia le t t ica.

934

io alla sussi­ Continuo/discretoRestinata a

internoila ri­

'elleLa categoria continuo/discreto ha una caratterizzazione gnoseologica molto

generale. Il discreto è legato all'isolamento, alla separabilità degli oggetti e deifenomeni, alla possibilità di fissarli per mezzo di simboli in una comprensione in­dividuale e collettiva. Il modello matematico fondamentale del discreto è la suc­cessione dei numeri naturali, z, z, 3, ... Il continuo è legato alla possibilità di va­riazioni arbitrariamente piccole di questa o quella caratteristica, all'assenza difrontiere nette, di salti, alla connessione, ecc. Il modello matematico fondamen­tale del continuo è la retta reale, cioè il continuo dei numeri reali.

Tra le piu antiche e note considerazioni sul continuo /discreto vi sono i pa­radossi di Zenone di Elea (v secolo a. C.). Essi ci sono giunti nell'esposizione diAristotele. Due, la «freccia» e «Achille», argomentano probabilmente l'impos­sibilità del moto in uno spazio-tempo continuo ; prima di arrivare alla fine di unpercorso un oggetto deve raggiungere la metà di questo percorso ; quindi la metàdel percorso rimanente e cosi via fino all'infinito. Altri due paradossi argomen­tano l'impossibilità del moto in uno spazio discreto : invero un oggetto in motodòvrebbe trovarsi e non trovarsi in uno stesso luogo.

Nonostante tutta l' infiuenza emozionale che i paradossi di Zenone hannoesercitato sui filosofi fino ai nostri tempi, bisogna subito convenire che non esi­stono né una loro interpretazione univoca, né un'unica idea su come li si dovrebberisolvere. Il tentativo di trapiantare singoli frammenti dell'antica cultura umani­stica su basi moderne è quasi sempre accompagnato da tali fenomeni d'incompa­tibilità. Perciò, per gli scopi di questo articolo, convenzionalmente, possiamoritenere che nei paradossi di Zenone furono posti alcuni problemi, la cui so­luzione era compito delle generazioni future [cfr. anche Griinbaum x967].

Nel primo di essi si afferma 1'inconcepibilità del movimento nell'ambientespazio-temporale, sia continuo sia discreto. Benché nel testo di Zenone-Aristo­tele non si parli esplicitamente di ciò, si può supporre che sia proprio questo ilsenso delgaffermazione sull'impossibilità del moto. Zenone fu allievo di Parme­nide, che divulgò, probabilmente, l'identità tra il pensiero e l'essere, benchél'interpretazione della sua filosofia sia altrettanto non-univoca.

Se si accetta quest'interpretazione di tali paradossi, si può dire che, per i suoitempi, egli aveva ragione. Il movimento era inconcepibile nel senso che non esi­stevano né un apparato concettuale, né un linguaggio del pensiero sufficiente­mente sviluppati. Egli perciò rese evidente l'inadeguatezza e la povertà del lin­guaggio corrente in ordine a questo problema. L'apparato che occorreva fu ela­borato in modo coerente da Aristotele, da Eudosso e da Euclide. Galileo e New­ton iniziarono poi la nuova era moderna, Il moto meccanico negato da Zenone eforme di moto incomparabilmente piu complesse, che egli nemmeno immagi­nava, sono descrivibili nel linguaggio della matematica e della fisica, che tieneconto tanto degli aspetti continui quanto di quelli discreti. Il moto divenne de­finitivamente concepibile.

Continuo/discreto 936 937 Continuo/discreto

Tuttavia il linguaggio della matematica e della fisica moderne ha una logicainterna straordinariamente complessa e, in quegli aspetti ove ci si riferisce alle x.t. Fenomenologia.astrazioni dell'infinito e del continuo, la sua semantica è tutt' altro che chiara.L'infinito matematico e la continuità, che pure sono dotati di un'enorme forza «A misura d'uomo». Le unità di misura standard di lunghezza, tempo e for­chiarificatrice nelle scienze naturali, in nessun modo possono essere interpretati za, cioè centimetro, secondo e grammo, corrispondono all'ordine di grandezza deldirettamente in termini dei dati sperimentali di queste scienze. Perciò si può ri­ corpo umano e alla qualità della nostra esperienza quotidiana. Tra gli ordini ditenere che le difficoltà presenti nei fondamenti stessi della matematica sono le grandezza io-» e xo«cm si colloca la maggior parte degli oggetti naturali e ar­lontane eredi dei paradossi di Zenone. È, questo, il secondo problema che egli tificiali con i quali l 'uomo ha avuto a che fare nel corso della maggior parte delpose. I suoi sono un modello dei moderni paradossi dell'infinito e, probabilmente, suo sviluppo: oggetti d'uso quotidiano, strumenti di lavoro, abitazioni, insetti,gli argomenti degl'intuizionisti e dei costruttivisti potrebbero essere vicini, nello fauna e flora. Le prime idee sul discreto si formarono con la consapevolezza chespirito, a quelli di Zenone. questi oggetti sono separati l'uno dall'altro, dotati di limiti spaziali e di esistenze

In quest'articolo ci si limiterà a descrivere il primo aspetto, sforzandosi di se­ temporali distinte. Queste idee si sono concretizzate in quelle conquiste dellaguire come si presenta il continuo /discreto nei dati sperimentali delle moderne cultura umana quali il «far di conto» con i numeri naturali (all'inizio piccoli),scienze naturali e nei loro modelli teorici. il linguaggio articolato e i rudimenti della scrittura ; nei sistemi di comunicazione

Il primo paragrafo è dedicato alla fisica e ai suoi modelli ; il secondo, ai pro­ dell'uomo apparvero i segni sonori, grafici ed altri (cfr. oltre ).cessi d'informazione e al linguaggio nel senso piu esteso della parola; il terzo, ad L'intorno spaziale piu vicino all'uomo, quello accessibile direttamente allaalcuni modelli matematici complementari del continuo /discreto, l'importanza conoscenza mediante gli organi sensoriali (eccetto la vista, le cui possibilità sonodei quali nelle scienze naturali non è ancora chiara, ma non è improbabile che incomparabilmente maggiori ), possiede le stesse dimensioni caratteristiche. Laaumenti. parte «vuota» (cioè riempita dall'atmosfera ) di questo intorno, dove è possibile,

senza impedimenti, il moto dell'uomo, degli animali e degli oggetti — il moto chesi sviluppa nel tempo e il cui corso non presenta salti osservabili e frontiere­

i. SPa z io, temPo, materia, energia. tutto ciò fu alla base delle prime idee sulla continuità. Occorsero decine di mil­lenni di sviluppo dell'umanità affinché queste idee si formulassero nelle nozio­

In questo paragrafo si vedrà in che modo si manifestano gli aspetti del conti­ ni di «spazio vuoto» assolutamente continuo, omogeneo, uniforme, e di «temponuo/discreto nel quadro generale del mondo cosi come esso è delineato dai dati vuoto» che dall'epoca di Newton restano una delle foridamentali generalizzazio­della fisica moderna. Questo quadro non è omogeneo ; si presenta come una gerar­ ni della fisica.chia di numerosi livelli, ognuno definito dalle sue peculiari unità di misura spazio­ Lo spazio reale sopra la superficie della Terra è interrotto da villaggi, fiumi,temporali. Per descrivere la natura a questi livelli sono stati elaborati diversi mo­ boschi e monti, Il tempo reale è contrassegnato dal succedersi di notti, giorni,delli fisico-matematici, nei quali a volte si sottolineano le caratteristiche continue stagioni, generazioni. Questi processi naturali furono all'origine del calcolo e del­del quadro osservato, altre volte quelle discrete ; oppure esse vi vengono sintetiz­ le misurazioni, cioè delle primitive sintesi del discreto e del continuo.zate, come accade nell'apparato della meccanica quantistica. La frammentarietà In confronto alle dimensioni naturali del corpo umano, nello spazio e nel tem­delle attuali conoscenze fisiche è una circostanza ben nota : non abbiamo una teo­ po, le possibilità energetiche dei suoi organi sensoriali presentano un aspettoria che possa pretendere, anche solo provvisoriamente, di descrivere universal­ sostanzialmente nuovo. Quella che è in pratica la piu piccola unità di lavoro de­mente e conseguentemente la natura a tutti i suoi livelli, benché si creda che i prin­ rivata dalle unità fondamentali, cioè il grammo-peso, si trova effettivamentecipi della meccanica quantistica siano applicabili universalmente. Uno dei pro­ quasi al limite inferiore delle facoltà meccaniche dell'uomo. Invece i suoi or­blemi chiave nei tentativi di descrizione unitaria del macro- e del micromondo gani sensoriali, e tra essi l'udito e in particolare la vista, sono in grado di perce­consiste appunto nella difficoltà di far concordare il quadro geometrizzato dello pire e distinguere quantità di energia incomparabilmente piu piccole. Secondospazio-tempo macroscopico, in cui domina l'aspetto della continuità, con il qua­ indagini moderne l'occhio, completamente adattato al buio, reagisce in modo si­dro quantistico del micromondo, dove hanno un ruolo fondamentale il discreto e curo a una quantità di luce corrispondente a cinque o sei fotoni, che sono le piula discontinuità dei microfenomeni e il carattere probabilistico dei salti quantici. piccole unità discrete di energia luminosa. Solo per questo siamo in grado di ve­

Piu oltre si esporranno brevemente, nei limiti del necessario, la fenomenologia dere oggetti cosi lontani come le stelle. E, già da molto tempo, l'elaborazione dellee i modelli dei diversi livelli del mondo osservato. rivelazioni dell'occhio da parte del cervello ci ha permesso di sentirei parte di un

mondo immensamente piu grande di noi. Tuttavia la comprensione che l'energialuminosa e quella acustica hanno natura comune con quella meccanica è un'acqui­sizione molto tarda della cultura umana : le prime dimostrazioni sicure di questo

Continuo/discreto 939 Contxnuo/dxscreto

fatto sono state ottenute venti-trent' anni fa. Il ruolo dei nostri organi di senso va Sole, supera xox volte il loro raggio. A sua volta, nelle dimensioni delle galassieben oltre quello di «misuratori», o «trasduttori», di lavoro; essi ci procurano (xo cm), la densità media della materia è dell'ordine di xo s g/cms, mentre aun'enorme quantità d'informazioni che, per valore, è incomparabile con le mi­ livello delle distanze fra le galassie essa è inferiore di tre-quattro ordini. Infine,

sure energetiche dei deboli flussi di azioni. Agli aspetti continui/discreti dei pro­ nelle dimensioni di xo~~-xo~' cm, la distribuzione media della materia diventa

cessi d'informazione è dedicato in modo speciale il paragrafo seguente. come se fosse omogenea e isotropa. Lo spazio cosmico che divide i coaguli di ma­teria non è niente affatto vuoto ; oltre alla polvere interstellare e ai gas, in esso vi

Dimensioni astronomiche e cosmologiche. L'osservazione dei corpi celesti ri­ sono i campi. Le oscillazioni del campo elettromagnetico, cioè la luce e le radio­

sale alle primissime tappe della civilizzazione umana. Tuttavia la comprensione onde, sono per noi la sorgente fondamentale delle conoscenze sul mondo, I campi

della loro natura e delle vere dimensioni spaziali e temporali della loro esistenza è gravitazionali, cioè i campi delle forze di gravità, legano tra loro i coaguli di materiafrutto degli ultimi secoli. e, secondo le concezioni della teoria generale della relatività di Einstein, defini­

La Terra è approssimativamente una sfera di raggio xoa cm. Il corpo celeste scono la geometria generale dello spazio-tempo. Lo spazio è poi attraversato da

piu importante per i processi terrestri è il Sole, che si trova a una distanza di flussi di radiazione cosmica e di neutrini. Essi sono portatori contemporanea­

x,g • xo' cm. Il sistema solare nel complesso ha un diametro cento volte piu gran­ mente di massa e di energia, legate tra loro dalla relazione fondamentale di Ein­de : da Plutone ci divide una distanza di circa z xo's cm. La stella piu vicina è a stein E = mc' (in cui Eè l'energia, m la massa e c la velocità della luce). La descri­una distanza di circa y,5 • xo' cm. Una comoda unità di lunghezza per misurare zione macroscopica dei campi sottolinea il loro aspetto continuo. Cosi, il campo

le distanze infrastellari è l'anno luce, che è lo spazio percorso dalla luce in un elettromagnetico è descritto dalla posizione dei vettori delle intensità delle com­anno. Un anno luce è circa xo cm. ponenti elettrica e magnetica che variano nel tempo e nello spazio in accordo con

Il Sole, il sistema planetario e le stelle ad esso piu vicine sono una parte insi­ le equazioni differenziali di Maxwell. La descrizione dei campi (e della materia)gnificante di un enorme collettivo di stelle e nebulose che insieme formano la no­ secondo la meccanica quantistica sottolinea l'aspetto discreto : il campo elettro­

stra Galassia, la cui massa fondamentale costituisce la Via Lattea, Grosso modo la magnetico è descritto quale «gas di fotoni », quanti di radiazione che si muovonoGalassia è a forma di lente biconvessa con un diametro intorno ai xos anni luce con la velocità della luce. Su ciò si tornerà piu avanti.e uno spessore di circa xzoo anni luce. Essa contiene circa xo stelle. Noi ci tro­

viamo alla periferia della Galassia, a circa 3 xo anni luce dal suo nucleo e a 30 Dimensioni atomico-molecolari. Ne l le dimensioni di xo s-xo s cm sono com­anni luce dal suo piano equatoriale. Nella Galassia le stelle sono distribuite in prese le piu piccole unità della vita: le cellule, i microorganismi, i virus. La vita,modo assai difforme; la densità al centro è decine di migliaia di volte quella in­ quale oggetto delle scienze biologiche, è straordinariamente complessa e nel suotorno a noi. Gli oggetti come la nostra Galassia si contano attualmente a miliardi studio non ci siamo ancora allontanati da un livello puramente descrittivo. E,

e sono riuniti, pare, in un enorme sistema, la Metagalassia. Le galassie piu vicine a un tale livello, in ogni scienza l'aspetto discreto è un portato della stessa ne­

formano le Nubi di Magellano e sono lontane da noi circa z •xe anni luce, cioè cessità di classificare i fenomeni studiati, d'individuare le unità strutturali, gli or­

una distanza il cui ordine di grandezza coincide con le dimensioni della nostra gani, i processi elementari. Una delle piu grandi generalizzazioni della biologiaGalassia. Le piu lontane galassie osservate si trovano a una distanza di miliardi fu l'individuazione delle cellule quali unità strutturali fondamentali di tutto ciò

di anni luce. Nel x929 Hubble determinò le distanze di una ventina di galassie e che vive. Dal punto di vista del tema di questo articolo i dati biologici piu inte­ne misurò le relative velocità radiali. Risultò che tutte queste galassie si allonta­ ressanti si riferiscono, probabilmente, alla trasmissione delle informazioni nei si­

nano da noi con una velocità approssimativamente proporzionale alla distanza. stemi viventi ; ad essi sarà dedicato il paragrafo seguente. Qui, invece, tralasciandoIl coefficiente di proporzionalità, cioè la costante H di Hubble, in base alle misu­ il livello biologico, conviene passare al micromondo della chimica e della fisica,

razioni attuali, ammonta a 5g xo cm /sec per ogni 3,3 xo anni luce di distanza. ricordando anzitutto le idee fondamentali sugli atomi e le molecole.

Tra l'altro questa cifra è stata piu volte rivista. Estrapolando questo moto a tutta Nell'aspetto macroscopico le «sostanze pure» dei chimici, come l'acqua, for­

la parte visibile dell'Universo e al lontano passato, si ricava che circa xo' anni niscono gli esempi piu tipici della continuità, della omogeneità e della divisibilitàfa l'Universo era concentrato in uno spazio molto piccolo ; poi cominciò ad espan­ delle sostanze. La questione se questa divisibilità sia illimitata ha occupato da

dersi in modo simile a un'esplosione e questa espansione è tuttora in atto. tempi remoti un posto importante nelle costruzioni della filosofia naturale. Il suo

Nelle dimensioni cosmiche e in prima approssimazione, il nostro mondo si esame ha condotto già nell'antichità all'idea speculativa degli atomi quali piu

presenta pertánto, nel continuo spazio-temporale, come evoluzione di mate­ piccole unità delle sostanze non ulteriormente divisibili. L' ipotesi sugli atomiria, distribuita in modo niente affatto uniforme, che presenta caratteristiche di forni una spiegazione qualitativa verosimile di effetti quali la compressibilità

discretezza a diversi livelli dimensionali. I corpi celesti sono oggetti nettamente delle sostanze, l'esistenza delle soluzioni, la presenza dei tre stati solido, liquido edistinguibili ; in essi la densità della materia oscilla fondamentalmente tra i limiti gassoso. Nella terminologia moderna si chiamano atomi le piu piccole unità di undi xo ' -xo g/cms, mentre la distanza fra le stelle, per esempio nell'intorno del elemento chimico, mentre le piu piccole quantità di sostanze pure, unione di ele­

Continuo /discreto 94o 94r Continuo /discretomenti, si chiamano molecole e sono costituite da atomi legati tra loro. Nel xrx se­colo furono costruite le prime teorie quantitative, in cui le ipotesi sugli atomi e le Struttura del nucleo. Du e caratteristiche numeriche fondamentali dell'a­molecole assunsero lo stato di concetti concordanti e dotati di una grande forza tomo sono il numero di massa A, uguale alla quantità totale dei protoni (carichichiarificatrice. Fra esse vi è la « legge delle proporzioni multiple» per le sostanze positivamente) e dei neutroni (neutri) nel nucleo, e il numero atomico Z, ugualepure : per esempio, in ogni volume d'acqua le componenti in peso comprendono al numero dei protoni nel nucleo, che coincide con il numero degli elettroni nel­due unità d'idrogeno e una unità (mole) di ossigeno. Ancora, l'ipotesi che un gas l'atomo. Le proprietà chimiche di un atomo sono essenzialmente definite dal nu­sia costituito da molecole che si muovono in modo caotico ha permesso a Maxwell mero atomico Z che può assumere i valori da Z= r (idrogeno) a Z = rog (lau­e Boltzmann di chiarire teoricamente le leggi sperimentali sul comportamento dei renzio ) e, probabilmente, maggiori. Gli atomi con grandi valori di Z sono insta­gas. Probabilmente il culmine di questo periodo fu il calcolo del famoso numero bili. Per un dato Z il numero di massa A può assumere diversi valori in seguitodi Avogadro, 6- ro~s, che esprime la quantità di molecole presenti in una mole di alla variazione della quantità di neutroni nel nucleo ; si hanno cosi i diversi isotopiqualunque gas. C?uesta costante cosi grande stabilisce il primo legame tra il mi­ di un elemento con un dato Z. Le proprietà chimiche degli atomi rivelano una de­cro- e il rnacromondo. Grazie alla sua grandezza è possibile uno dei piu diffusi terminata periodicità dipendente da Z, che fu scoperta prima di essere chiaritameccanismi di formazione di macroeffetti continui quale risultato di una media in base alla teoria atomica e fu alla base della disposizione degli elementi nellasu microeifetti discreti. È, questo, l'oggetto della fisica statistica. tabella di Mendeleev,

Il dominio tra ro ~ e ro cm si riferisce alle dimensioni molecolari: dalle piugrosse molecole proteiche all'atomo. Nelle indagini scientifiche reali si usa tutto Nubi elettroniche. Un comodo modello della struttura della nube elettronicauno spettro di modelli funzionali di molecole e di atomi. Ad un estremo di que­ nell'atomo, che chiarisca in particolare la struttura discreta degli spettri atomici,sto spettro vi sono veri e propri modelli (di legno, di plastica e di metallo) di gros­ parte dall'ipotesi che, al crescere di Z, nuovi elettroni riempiono gradatamentese molecole, in cui gli atomi sono rappresentati da sferette rigide di dimensioni gli strati usualmente indicati con le lettere E', L, M, N, , L'atomo dell'i­definite e sono rigidamente fissati nella molecola da vincoli infratomici, le cui lun­ drogeno contiene un elettrone nel K-strato; l'atomo dell'elio, due elettroni nelghezze e angoli reciproci sono noti e costanti. Nei modelli piu realistici l'atomo è K-strato; l'atomo del litio, due elettroni nel K-strato e uno nell 'L-strato. I limmaginato nella forma di un nucleo rigido del diametro di circa to 's cm circon­ K-strato non può contenere piu di due elettroni ; all'L-strato è diviso in due sot­dato da una nube di elettroni, suddivisa in orbite elettroniche che possono defor­marsi e riunirsi dentro la molecola, formando dei vincoli non rigidi a guisa di

to strati, zs e zp, il primo dei quali non può contenere piu di due e il secondo piudi sei elettroni. Nell'atomo del neon (Z = ro) il K-strato e all'L-strato sono pieni.

molle. Nelle molecole gli atomi possono oscillare attorno alla loro posizione me­ Le proprietà chimiche di un elemento sono definite in misura notevole da quantodia ; i vincoli pure possono oscillare e ruotare. Modelli ancor piu realistici richie­ è riempito l'ultimo strato.dono di passare a un linguaggio del tutto diverso: quello fortemente matemati­ In una teoria piu raffinata la nube elettronica attorno al nucleo è descritta dacizzato della meccanica quantistica che, a sua volta, ammette descrizioni con di­ una funzione di stato $ dipendente da gZ argomenti spaziali e da zZ argomentiversi gradi di precisione. In questo linguaggio una molecola, o un atomo, possono che assumono due valori (gli spin degli elettroni ). Il quadrato del modulo dellaessere descritti da una funzione$ a valori complessi (funzione d'onda o di stato), funzione di stato $ fornisce la densità spaziale della nube elettronica e in questadipendente da una serie di parametri continui (le coordinate degli elettroni, dei densità non è cosi facile scorgere la struttura della nube. Infatti i numeri di elet­nuclei e del tempo ) e da una serie di argomenti discreti (per esempio, lo spin ), troni che riempiono gli strati sono alcune caratteristiche matematiche di simme­la cui evoluzione tra un'interazione e un'altra è definita dall'equazione differen­ tria di questa funzione di stato $ (si vedano alcuni particolari al ) r.g).ziale a derivate parziali di Schrodinger, e per effetto delle interazioni avvengonosalti quantici probabilistici della funzione di stato g descritti da speciali regole Livelli di energia. Ogni microsistema, quale l'atomo, la molecola, il nucleo,supplementari (cfr. oltre ). ecc., può trovarsi in stati energetici diversi caratterizzati in particolare dal livello

Le proprietà degli atomi non risultarono quelle che ci s'immaginava nell'anti­ di energia E «accumulata» nel sistema stesso. Lo stato fondamentale di un siste­chità e persino all'epoca di Newton. ma corrisponde a quello con energia minima ed è il piu stabile. La descrizione del­

Prima di tutto gli atomi sono divisibili; essi sono costituiti da un nucleo cir­ le nubi elettroniche data sopra si riferiva allo stato fondamentale dell'atomo. Sottocondato da una nube di elettroni e, a sua volta, il nucleo è formato da protoni e l'azione di un campo elettromagnetico un sistema può passare ad uno stato ecci­neutroni. A livello atomico e subatomico entriamo in un ambito dominato netta­ tato con energia piu grande, assorbendola dal campo, e, al contrario, può passaremente dalle caratteristiche discrete della materia e dell'energia e ciò si nota parti­ a un livello energetico inferiore, emettendo una parte di energia sotto forma dicolarmente nelle descrizioni fenomenologiche. La loro sintesi con gli aspetti radiazione elettromagnetica.continui si raggiunge solo al livello fortemente matematicizzato della teoria quan­ I livelli di energia di tali sistemi, quali l'atomo e il nucleo, hanno compo­tistica. Ecco una lista di alcune fondamentali proprietà discrete. nenti discrete e continue. Per esempio, i livelli di energia dell'atomo dell'idrogeno

Continuo/discreto 942 943 Continuo/discreto

sono E„ = ­ R/n~, dove n) r è un numero intero e R è la costante di Rydberg. Lo causa di ciò sta nel fatto che, fino a quando i quanti della radiazione incidente sono

stato fondamentale corrisponde a n= x. Quando l'atomo passa dallo stato n al­ minori dell'energia di fuga 8", l'elettrone non può essere espulso, poiché esso as­

lo stato m si ha un'emissione luminosa di energia E„— E (per n)m ), oppure un sorbe energia solo in porzioni del valore di hv. Dopo di che, assorbendo un quanto,

assorbimento di energia E,— E„ (per n(m). Queste quantità di energia corri­ l 'elettrone lascia l'atomo con un'energia uguale a hv — R'. I quanti sono indi­

spondono alle linee spettrali. La posizione della linea è definita dalla frequenza visibili.

della luce e il legametra frequenza ed energia è dato dalla relazione E = hv, dove hè la costante di Planck. Le energie E) o formano una semiretta continua e corri­ Dimensioni nucleari e subnucleari. Es sere penetrati nella struttura della ma­

spondono agli stati ionizzati dell'atomo dell'idrogeno, quando l'elettrone non è teria nelle dimensioni al di sotto di ro '~ cm è il piu importante successo della

legato al nucleo. fisica degli ultimi decenni. Ciò ha richiesto la creazione di nuovi mezzi tecnici e di

La costante di Planck, h = 6,6z6 ro " erg sec, chiamata anche quanto d'a­ un linguaggio della fisica nuovo e ancora ben lontano dall'essere completo. La

zione, è una costante fondamentale che appare nella descrizione di tutte le pro­stessa fenomenologia di questo vastissimo mondo, i cui dati sono ottenuti da os­

prietà discrete del micromondo. La maggior parte delle caratteristiche della ma­ servazioni con l'aiuto di acceleratori ad alta energia, da intuizioni teoriche audaci,

teria e dell'energia, che nella teoria classica si immaginano distribuite in modo da sottili esperimenti e mediante lunghi calcoli automatici, è eccezionalmente

continuo e in quella quantistica in modo discreto, possono assumere valori pro­ complessa. Le nozioni fondamentali di questa fenomenologia sono le particelle

porzionali ad h. Poiché questa costante è molto piccola, in molte osservazioni ma­ elementari, le loro interazioni e i campi. Attualmente sono note alcune centinaia

croscopiche tali livelli discreti risultano praticamente indistinguibili, ciò che for­ di particelle elementari e di esse e delle interazioni cui partecipano si ha una clas­

nisce una continuità approssimata. Da questo punto di vista il ruolo della co­ sificazione fenomenologica frammentaria.

stante di Planck è simile a quello del numero di Avogadro. Però, mentre quest'ul­ Le particelle elementari sono attualmente le ultime unità strutturali note della

timo ammette un'interpretazione completamente classica in termini di «conteg­ materia-energia nel senso seguente.

gio» delle singole molecole in un volume di gas, la costante di Planck, invece, ri­ La divisione della materia può essere spontanea, o risultato di un'interazione

flette aspetti della struttura della materia essenzialmente nuovi e che, di fatto, con passaggio di energia tra masse diverse di materia stessa. A livello macrosco­

non possono essere espressi nel linguaggio della fisica classica. pico il modello di suddivisione si presenta come un frazionamento meccanico in

Consideriamo alcuni fenomeni, per spiegare i quali è necessario introdurre seguito ad urti. A livello molecolare e atomico la divisione della materia avviene

la costante di Planck. nei processi di vaporizzazione (energia calorifica), scomposizione chimica, ecc.La separazione degli elettroni dagli atomi avviene, per esempio, nel riscalda­

Fotoni-quanti di radiazione elettromagnetica. La costante h è stata scoperta mento dei metalli, oppure nei processi fotoelettrici (energia di radiazione elet­da Planck nel x9oo a conclusione dei tentativi di chiarire le leggi sperimentali della tromagnetica).radiazione, cioè il carattere della dipendenza della lunghezza d'onda, con densi­ La divisione del nucleo può essere sollecitata da un suo bombardamento con

tà massima di radiazione, dalla temperatura del corpo irradiante. Risultò che la particelle ad alta energia e può avvenire anche spontaneamente.

formula teorica esatta si ottiene se si suppone che l'atomo, considerato quale Ci si potrebbe attendere che ulteriori processi di divisione delle particelle

oscillatore con frequenza v, può ricevere o emettere solo porzioni hv di energia. elementari possano essere osservati, per esempio, come conseguenze di urti re­

Piu tardi tali porzioni furono chiamate fotoni (di frequenza v). In ben noti limiti ciproci. Invece la situazione reale risulta qualitativamente diversa. Precisamente,

essi possono essere riguardati come particelle di massa nulla che si muovono con se l'energia d'urto delle particelle non è grande, può semplicemente variare il

la velocità della luce. Un atomo allo stato eccitato può passare a quello fonda­ carattere del loro moto («urto elastico»). Se invece è grande, cioè se, riferita alla

mentale e in tal caso, passando un elettrone da una nube piu alta a una piu bassa, massa secondo la formula E = mc', diventa confrontabile con la massa della par­

l'atomo emette un fotone. Al contrario, un atomo può assorbire un fotone e, co­ ticella elementare, al posto della sua rottura possono generarsi nuove particelle,

me risultato, uno dei suoi elettroni passerà a un livello energetico superiore, op­ quanti di radiazione, e cosi pure possono verificarsi varie mutazioni di particel­

pure lascerà del tutto l'atomo. Quest'ultimo fenomeno si chiama eifetto fotoelet­le in altre. In modo molto approssimato si può dire che, quando l'energia d'urto

trico (esterno) e la spiegazione delle sue leggi quantitative, dovuta ad Einstein necessaria per spezzare la particella è confrontabile con la massa della particella

(1905), fu la seconda fondamentale conferma dell'ipotesi di Planck. stessa, invece della rottura si verifica la creazione di nuove particelle, nelle quali

I dati sperimentali suggerivano che, illuminando un metallo, l'energia degli si materializza questa energia d'urto.

elettroni espulsi dagli atomi dipende solo dalla frequenza («dal colore») della Per esempio, l'urto di due protoni può produrre due protoni e due mesoni ~

luce e non dalla sua intensità. In generale non si ha emissione elettronica finché (pioni), oppure i cosiddetti iperoni. Un quanto di radiazione può generare nel

la frequenza v non supera un certo valore critico ; dopo di che si ha l'emissione e campo elettromagnetico di un atomo una coppia di particelle costituita da un

l'energia degli elettroni che abbandonano gli atomi è della forma E = hv — D'. La elettrone e un positrone. Al contrario, questa coppia, in un urto, può annichilarsi

Continuo/discreto 944 945 Continuo/discreto

generando due (o piu) quanti di radiazione. Attualmente viene osservata speri­ Riassumendo, si può dire che nel mondo delle particelle elementari domi­mentalmente una quantità enorme di tali interazioni ; sono studiate le probabilità nano le leggi di tipo discreto che definiscono lo spettro delle loro masse i tipidi diversi «canali di reazione» ; sono registrati i loro prodotti e tutto ciò costituisce ù interazione e di canali di reazione e le leggi di conservazione. A fondamento17'

la fenomenologia del mondo delle particelle elementari. della meccanica quantistica vi sono le idee sulle funzioni d'onda (o di stato) eLe particelle elementari sono stabili in misura diversa. Protoni, elettroni e fo­ sui campi operatoriali che si evolvono nel continuo spazio-temporale e le caratte­

toni sono ritenuti assolutamente stabili. Un neutrone libero, invece, si scinde ristiche discrete legate alle loro proprietà di simmetria, singolarità e risonanza chespontaneamente in un protone, un elettrone e un antineutrino in media dopo saranno discusse nel ) 3.diciassette minuti, mentre un pione neutro vive circa xo '» sec, dopo di che siscinde o in due fotoni (con una probabilità intorno a o,988), oppure in un fotone, r.z. Modelli teorici della macrofisica.un elettrone e un positrone. A ogni particella elementare corrisponde un'anti­particella. È, questa, una manifestazione di una certa fondamentale simmetria Nei modelli fondamentali della fisica del macromondo gli eventi hanno luogodelle leggi fisiche. L'elettrone e il positrone sono antiparticelle l'una dell'altra; nell ambiente «continuo» dello spazio-tempo. I corpi materiali sono spesso sosti­7>

l'«antifotone» coincide con il fotone ; l'antiparticella del neutrone si chiama ap­ tuiti da particelle puntiformi, il cui moto è governato da equazioni differenzialipunto antineutrone. ordinarie (meccanica). I mezzi continui sono modellati da campi scalari, vetto­

A seconda della massa a riposo le particelle sono suddivise nelle seguenti riali o piu complessi, la cui struttura spazio-temporale è definita da equazioniclassi fondamentali : differenziali alle derivate parziali (teoria dei campi ). I mezzi, quali i gas e i li­

a) fotoni, con massa a riposo nulla; quidi, possono essere riguardati come se fossero costituiti da un gran numero di

b) leptoni (particelle leggere); vi appartengono l'elettrone e il positrone, i particelle classiche (molecole) e sorge cosi il problema di ricavare delle equazioni

mesoni p,, il neutrino e l'antineutrino; «di campo» mediate a partire dalle equazioni meccaniche del moto delle singole

c) mesoni: pioni, kaoni, mesoni q e altre; particelle (fisica statistica). In questo ambiente continuo le caratteristiche discre­

d) barioni: protone e neutrone, gli iperoni e le loro antiparticelle.te, o discontinue, del moto possono presentarsi sotto forma di non-omogeneità edi «stati legati» della materia, quali le stelle, il sistema solare, le transizioni di

Sono pure note moltissime particelle enormemente instabili, spesso trattate fase, oppure sotto forma di singolarità dei campi (valori che tendono all'infinito,quali risonanze, cioè quali stati eccitati di particelle piu stabili. discontinuità, onde d'urto ), oppure sotto forma di risonanze, di pacchetti d'onda,

Del comportamento delle particelle elementari negli urti , in sistemi tipo o ancora sotto altre forme. In questo paragrafo si prenderanno brevemente inatomo e nucleo, e cosi pure dei decadimenti, sono responsabili tre tipi d'intera­ esame tali effetti.zioni: elettromagnetiche, deboli e forti. Alle interazioni elettromagnetiche par­tecipano immancabilmente i fotoni, che sono i loro veicoli. Le interazioni deboli Modelli dello spazio-tempo. In tutte le teorie fondamentali della fisica mo­sono caratterizzate dal fatto che vi partecipa il neutrino, oppure dal fatto che non derna lo spazio-tempo è modellato mediante varietà differenziabili a quattro di­si conserva un particolare numero quantico, la «stranezza» (si veda piu avanti ). mensioni con questa o quella struttura complementare. Si ricordi (cfr. l'articoloLe interazioni forti sono caratteristiche dei processi che interessano il nucleo ato­ «Applicazioni » di questa stessa Enciclopedia ) che una tale varietà può essere defi­mico e i loro veicoli sono pioni e altre particelle, che prendono il nome di adroni. nita assegnando: a ) un insieme M di punti ; b) un atlante su 1Vl costituito da unaFotoni e leptoni non partecipano a interazioni forti. famiglia di carte, ognuna delle quali rappresenta un sistema di coordinate

Le interazioni tra particelle elementari sono soggette a leggi di conservazione (xn x», xs, x4) che identifica un certo intorno di un punto di M con un certo in­di una serie di specifici numeri quantici discreti, che nei sistemi di particelle ele­ sieme aperto di R4. Queste carte devono ricoprire tutto M e nell'intersezione dimentari sono additivi. Per esempio, in tutte le interazioni si conserva la carica due carte il passaggio da un sistema di coordinate all'altro deve essere dato daelettrica totale, che assume valori multipli della carica dell'elettrone e. Inoltre, in funzioni differenziabili.tutte le interazioni si conserva il numero barionico, uguale a o per il fotone, i lep­ L astrazione fisica corrispondente a un punto di M è un evento localizzatoT 7

toni e i mesoni; a + r per il protone, il neutrone e cinque iperoni; e a — r per le in un punto dello spazio e che avviene istantaneamente. L'urto fra due particellecorrispondenti antiparticelle. La conservazione del numero barionico spiega fe­ elementari, o l'emissione di un quanto da un atomo, possono essere consideratinomenologicamente la stabilità del protone; essendo il piu leggero dei barioni, approssimazioni di questa astrazione. La meccanica quantistica stabilisce alcuniesso, in virtu di questa legge di conservazione, non può decadere in particelle piu limiti dell'applicabilità di quest'astrazione che si vedranno piu avanti; a dimen­leggere. Nelle interazioni forti ed elettromagnetiche si conserva anche la cosid­ sioni macroscopiche tali limitazioni possono ritenersi, fino a un certo grado, ines­detta ipercarica, che però può non conservarsi nelle interazioni deboli. Infine si senziali.conserva sempre la carica leptonica. L astrazione fisica corrispondente a un sistema locale di coordinate in M èT

Continuo /discreto 946 947 Continuo/discreto

una certa convenzione sui principi della misura delle grandezze spaziali e tempo­ nell'altro sistema, rappresentata nella forma t'= t». Nella teoria della relativitàrali in una regione dell'Universo, gli ordini delle quali possono variare tra limiti ristretta si postula che la velocità c della luce sia la stessa in tutti i sistemi inerziali,estesi da quello atomico e subatomico a quello di « tutto» l'Universo. È proprio cos( che hanno significato invariante i «coni-luce» xi +x 2+X» c t = o. Le tra­la scelta di queste convenzioni, insieme con questi o quei principi d'invarianza sformazioni per passare da un sistema all'altro conservano l'intervallo «spazio­delle leggi fisiche, che definisce le caratteristiche della geometria locale e globale temporale» fra i punti di M: k s '= 5 x , +kx 22+Ax~ — c At, dove Ax;= xs — x,',dei diversi modelli dello spazio-tempo. i) t = t — t', (x, t) e (x', t') sono punti di M in un qualsiasi sistema inerziale di

coordinate. Queste condizioni definiscono le equazioni di transizione da un si­Spazio-tempo classici. Ne l le dimensioni macroscopiche del laboratorio le stema all'altro, che si chiamano trasformazioni di Lorentz.

distanze possono essere misurate con righe rigide e strumenti simili, mentre il Lo spazio R4 con la metrica definita da As2 si chiama spazio di Minkowski. Glitempo può essere misurato mediante processi periodici di questo o quel genere, spazi di Galileo e di Minkowski sono «piatti» nel senso della geometria differen­in particolare con gli orologi. È naturale ritenere l'indicazione dell'orologio co­ ziale.stante per tutti i luoghi del laboratorio, trascurando la velocità finita nella tra­smissione dei segnali (della luce) del parte dell'orologio stesso, oppure calco­ Spazio-tempo nella teoria generale della relatività. In q uesta classe di mo­lando una correzione dovuta al ritardo nella lettura dell'orologio. Ciò conduce a delli lo spazio-tempo M è rappresentato da una varietà differenziabile a quattroun modello dello spazio-tempo del laboratorio della forma U x T, dove U è un dimensioni, ricoperta da carte locali e dotata di una metrica locale che solo indominio dello spazio euclideo e T è un intervallo della retta dei tempi. Estrapo­ un'approssimazione «infinitesimale» coincide localmente con la metrica di Min­lando questo modello «a tutto il mondo e per l'eternità» giungiamo al modello kowski. La forma generale del quadrato della distanza tra punti vicini (x;) eR» x R, che è dato da un'unica carta corrispondente a un dato sistema del labora­ (x,+dx,), i = r ... 4, è dato da una forma quadraticatorio con le coordinate (x„x2, x», t). Se (xi", x,'", x»"', t'"), i =r , z , sono le 4

coordinate di due punti dello spazio-tempo in questo sistema, risultano definiti g;» dx; dxi,s (gli intervalli che li separano, quello spaziale, i, =1

(x(1) x(2))2y (x(1) x (2) )2y (x( 1) x(2))2 dove le g(> sono funzioni differenziabili delle coordinate locali e si chiamano

«componenti del tensore metrico». Localmente questa forma può essere ridottae quello temporale, t"' — t' '. In un altro sistema di coordinate, fisso rispetto al alla formay~+y~+y» — y4, ciò che rifiette la coincidenza «in piccolo» con la me­primo, entrambi gl'intervalli fra i punti restano gli stessi (si suppone che le unità trica di Minkowski. In termini di g(» sono definite le grandezze che caratterizzanodi misura delle lunghezze e del tempo siano le medesime). Perciò una qualsiasi la «curvatura» dello spazio-tempo, e per queste grandezze si scrivono le equazionialtra carta di questo tipo si ottiene dalla prima mediante una traslazione dell'ori­ differenziali di Einstein, le quali legano questa curvatura con la densità e il ca­gine e una rotazione rigida in R» (lo spazio) e una traslazione dell'origine in R rattere del moto della materia-energia che si evolve nello spazio-tempo. La cur­(il tempo). La presenza di un moto rettilineo uniforme del secondo sistema del la­ vatura è localmente tanto maggiore quanto maggiore è la densità di materia­boratorio rispetto al primo conduce ad aggiungere alle coordinate in R» ancora energia, il che spesso si esprime qualitativamente con l' affermazione : la gravita­una traslazione lineare nel tempo. Cosi sono definite le «carte galileiane» e le zione incurva lo spazio-tempo. Questa curvatura si esprime nel fatto, per esempio,«trasformazioni galileiane delle coordinate» dello spazio-tempo classici. che l'area della sfera con raggio crescente e centro in un dato punto di M varia

con una legge diversa da quella per lo spazio-tempo piatto.Spazio-tempo nella teoria della relatività ristretta. In questa teoria pure s'in­ Nei modelli cosmologici di M spesso si suppone che la materia e l'energia

dividua e si definisce una classe di carte, ognuna delle quali viene data mediante siano distribuite in M uniformemente e si muovano nello spazio isotropicamente ;l'astrazione fisica di «sistema inerziale di coordinate». Approssimativamente è non vi sono direzioni privilegiate. Benché ciò contraddica i dati osservabili finoinerziale ogni sistema di coordinate del laboratorio connesso con un punto sulla alle dimensioni galattiche, si presume che a dimensioni notevolmente maggiorisuperficie terrestre ; un'approssimazione ancora migliore è fornita dai sistemi di la distribuzione discreta della materia, dopo una conveniente media, possa esserecoordinate connessi con il Sole o con una «stella fissa». Due qualsiasi sistemi trascurata, di modo che in tali modelli globali venga a dominare l'aspetto continuo.inerziali di coordinate si muovono, uno rispetto all'altro, di moto rettilineo uni­forme. Ogni sisteina inerziale di coordinate identifica lo spazio-tempo con R» x R, Spazio delle fasi. Ne l lo spazio-tempo M il moto di un punto materiale èe il passaggio da un sistema a un altro è dato da funzioni lineari; queste, però, nel dato dalla sua traiettoria, una curva in M, che si chiama linea di universo delcaso di sistemi in moto tra loro, non conservano l'asse dei tempi. Piu precisamente, punto. Ad eccezione dei modelli cosmologici, che considerano M globalmente,se t è il tempo in un sistema e t' è il tempo in un altro sistema in moto rispetto al oggetti della fisica sono i «sistemi isolati», cioè le regioni di M, e la materia inprimo, una sezione «di tipo spaziale» t = t» dello spazio-tempo può non essere, queste regioni, che si evolve in modo tale che P influenz su di esse delle altre parti

Continuo /discreto 949 Continuo/discreto

di M possa essere, in un'approssimazione nota, trascurata. Spesso in questi casi Le coordinate canoniche (q, p) localmente formano un sistema completo diun modello matematico del sistema è il suo spazio delle fasi N, unitamente alle osservabili, attraverso le quali si esprimono tutte le altre. Perciò la condizionecurve o traiettorie su esso, che formano il quadro delle fasi del sistema. n) è equivalente al sistema di equazioni differenziali di Hamilton

I punti dello spazio delle fasi N corrispondono a tutti i possibili stati istan­tanei del sistema. Le curve delle fasi su N corrispondono a tutti i possibili per­ dp; òH dq; òH

corsi dell'evoluzione del sistema. Molto spesso N è dotato in modo naturale di una dt òq; ' dt òp;

struttura di varietà differenziabile e le curve delle fasi sono soluzioni di equazioni Assegnando H e la posizione iniziale del sistema e risolvendo questo sistema didifferenziali. equazioni, si ottiene una traiettoria concreta del sistema che descrive la sua evo­

Per esempio, si supponga che in un dominio U dello spazio galileiano possano luzione.muoversi k punti materiali sotto l'infiuenza delle forze di mutua interazione (ad Si consideri, per esempio, un sistema di k punti materiali che si attraggonoesempio gravitazionale) e, eventualmente, per effetto di altre forze (per esempio, secondo la legge di Newton. Il suo spazio delle fasi Rs~(coordinate) x R~~(im­di un campo di forze esterno). In accordo con i principi della meccanica di New­ pulsi) è il supporto del sistema hamiltoniano. Nello spazio vi è il sistema cano­ton l'evoluzione di questo sistema è definita dalle posizioni iniziali e dalle velocità nico globale di coordinate: ql" =coordinate cartesiane dei punti (j = I, . z, 3 ;iniziali dei punti, cioè in tutto da 6k numeri (3 coordinate cartesiane e 3 compo­ i = r, ..., k) ; p ) '= componenti degli impulsi m, (dqlt'/dt) sugli assi corrispon­nenti del vettore velocità per ogni punto ). Lo spazio delle fasi N di questo si­ denti (m; sono le masse), La hamiltoniana ha la formastema sarà una varietà a 6k dimensioni U~ (posizioni) X Rs~(velocità), il secondofattore essendo il fibrato tangente a U~ (cfr. ancora l'articolo «Applicazioni»). Pt

Ggtmtmm.

Lungo ogni curva delle fasi sono soddisfatte equazioni differenziali del tipo z m' g t — i r j

dq»)/dt =p<~), dp»'/dt= F (p, q, t), dove le q)l>) sono le coordinate del punto i-esi­) dove r;; è la distanza tra i-esimo e j-esimo punto, ps = pp" + pp" +p< ". Si osservimo ; le pp sono le componenti della sua velocità, p = (p,'))), q= (q,.i ) ; t è il tempo.(') {i) che qui la hamiltoniana ha delle singolarità per r,; = o («urti»),La funzione F è, insieme con lo spazio delle fasi, la caratteristica matematica fon­ Le equazioni differenziali descrivono l'evoluzione anche di molti altri sistemidamentale del sistema. in un'enorme classe di modelli, da quelli fisici a quelli ecologici. In queste de­

Un'analisi dettagliata permette d'individuare una classe molto importante scrizioni a priori domina l'aspetto continuo. Si mostrerà ora attraverso alcune ti­di sistemi, nei quali gli spazi delle fasi e le equazioni del moto hanno una strut­ piche nozioni come appaiano le caratteristiche discrete. Esse si riferiscono ai tipitura speciale: i cosiddetti sistemi hamiltoniani. di evoluzione del sistema ed è comodo descriverle in termini del suo quadro delle

Sia N lo spazio delle fasi di un certo sistema e si chiamino osservabili (macro­ fasi, cioè della disposizione delle traiettorie nello spazio delle fasi. L'« individuali­scopiche) del sistema le funzioni differenziabili su N. Le osservabili corrispon­ tà» di ogni storia concreta del sistema è descritta in primo luogo dalle caratteri­dono alle diverse grandezze fisiche che possono esseremisurate in tutti i possi­ stiche topologiche discrete nel continuo di tutte le traiettorie.bili stati del sistema.

Il sistema si dice hamiltoniano se sono soddisfatte le seguenti condizioni: Stati di equilibrio. Sono punti dello spazio delle fasi nei quali le velocità sonoi) Sull'insieme delle osservabili è data una legge binaria di composizione nulle. Da un tale stato iniziale il sistema non esce in alcun modo. Nel caso ha­

F, G~ t)F, G} (cfr. l'articolo «Applicazioni») che si chiama parentesi di Pois­ miltoniano si tratta dei punti dove òH/òp; = òH/òq; = o.son e definisce sulle osservabili la struttura di algebra di Lie. Con ciò, per o­ Il caso piu generale è dato dalle varietà invarianti nello spazio delle fasi, cioègni punto xe N esistono le osservabili q„. . . , q„ («coordinate generalizzate») e quelle varietà tali che, se il punto vi capita nel momento iniziale, resta eterna­p„ . .., p„(«impulsi generalizzati») tali che in un intorno del punto x esse sono mente in esse. Sono varietà invarianti le linee di livello degl'integrali del sistema,le coordinate locali e, in questo intorno, la parentesi di Poisson è data dall'u­ cioè le osservabili i cui valori non cambiano nel corso dell'evoluzione. L'esempioguaglianza piu importante d'integrale di un sistema hamiltoniano conservativo è la sua ener­

òF òG ò G òF gia, cioè la hamiltoniana H.(F,G} =g

òp; òq; òp, òq; Un sistema con uno spazio delle fasi a zn dimensioni si dice completamenteintegrabile se si può fibrare in varietà invarianti a n dimensioni, su ognuna delle

Tali coordinate (q, p) si chiamano canoniche; esse non sono definite univoca­ quali il moto proceda, in convenienti coordinate locali, linearmente. Quando il si­mente. stema è hamiltoniano e queste varietà sono compatte, esse sono dei tori a n di­

ii ) È data un'osservabile H, la hamiltoniana del sistema, o l'energia osser­ mensioni e su esse il moto è quasi periodico: in adeguate coordinate angolari,vabile, tale che su ogni traiettoria, che si evolva nel tempo, ogni osservabile F sod­ cp„..., q„, definite mod zar, il moto è descritto dalle equazioni p; (t) — <p;(o)= m;t,disfa l'equazione differenziale dF /dt = (H, F}. dove le o); sono le frequenze del moto sul toro ; cp,(o) sono i valori iniziali delle

Continuo/discreto 95o 95' Continuo/discreto

coordinate. Solitamente tali tori sono individuati dalle equazioni I~ = cost, ..., voluzione sono linearmente dipendenti, cioè, se kr'~+ ... + k„u„ = o, una tale po­

I „ = cost, dove gliI; sono integrali speciali del sistema, detti anche azioni variabili. sizione si ripete infinite volte. Se una tale combinazione lineare con kV non grandi,

Il moto su ogni toro può essere immaginato come un insieme di n oscillatori che pur non essendo uguale a zero, risulta molto piccola, s'introdurrà lo stesso una

oscillano concordemente con le frequenze u,;. notevole perturbazione. Per esempio, Giove e Saturno in un giorno percorronocirca 299 e zzo,5" rispettivamente, cosi che il denominatore zn' — 5co> è molto

Stabilità e attrattori. No n t u t t i g l i s tati di equilibrio descrivono la storia piccolo. Ciò produce una grande perturbazione dei pianeti con un periodo di circa

reale del sistema. Le condizioni iniziali di qualsiasi sistema sono note solo appros­ ottocento anni. L'accumulazione di tali perturbazioni in un sistema tipo quello

simativamente e può accadere che tutte le traiettorie che cominciano vicino allo planetario può condurre alla sua disintegrazione. Pertanto, in questa idealizza­

stato di equilibrio si allontanino da esso (esempio : un pendolo costituito da una zione, la storia di un sistema meccanico può dipendere essenzialmente da pro­

sbarra rigida nella posizione superiore). Tale stato di equilibrio si dice instabile. prietà aritmetiche dello stato iniziale, quali la commensurabilità delle frequenze

Al contrario, se condizioni iniziali vicine allo stato di equilibrio dànno traietto­ di rivoluzione iniziali. Un'esatta indagine matematica delle traiettorie di fase di

rie che restano vicine a quella di equilibrio, tale stato è stabile (con significati di­ tali sistemi permette di chiarire la struttura straordinariamente complessa del loro

versi, a seconda della scelta della definizione matematica). Analogamente, le va­ quadro delle fasi (teoria di Kolmogorov-Arnol'd-Moser ). Per esempio, se la

rietà invarianti possono essere stabili o instabili. Per esempio, sul piano delle fasi hamiltoniana del sistema si discosta poco dalla hamiltoniana di un sistema inte­

può esservi una traiettoria chiusa senza intersezioni. Le traiettorie vicine ad essa grabile («perturbazione debole»), si verifica che, sotto certe condizioni, vi è un

possono avvolgervisi attorno da entrambi i lati (ciclo limite stabile), o da un lato insieme di tori invarianti del sistema non perturbato, avente misura di Lebesgue

solo (ciclo limite semistabile ), oppure svolgersi da entrambi i lati (instabilità). grande, che non sparisce, e che solo alcuni tori si deformano e il moto su questi

Esse possono comportarsi anche in altri modi; per esempio, un anello attorno resta condizionatamente periodico. Tuttavia, per n) z, le traiettorie che non ca­

alla traiettoria chiusa può essere riempito da traiettorie chiuse parallele. Gli in­ pitano su tori deformati possono vagare tra i loro interstizi, che hanno struttura

siemi, del tipo ciclo limite stabile, verso i quali si avvicinano tutte le traiettorie complessa, e allontanarsi quanto si vuole dallo stato iniziale.

che comincino vicino ad essi, si chiamano attrattori. Ogni attrattore ha il suo do­ Un andamento ancor piu caotico si rivela nei tipi di moto lungo traiettorie

minio di attrazione. Questi domini sono divisi dalle varietà separatrici. La confi­ geodetiche su varietà con curvatura negativa. In questi problemi le questioni

gurazione degli attrattori e delle varietà separatrici, quando esistono, sono carat­ sulle traiettorie individuali perdono quasi completamente di significato e il modo

teristiche discrete essenziali del sistema: esse definiscono i regimi limite e il loro naturale di porre i problemi è in una certa misura «complementare» : si svolgono

andamento. Molti sistemi elettrici e meccanici, in particolare generatori di oscil­ indagini sulle caratteristiche continue del moto che si ottengono mediando le

lazioni, sono costruiti in modo tale che nell'intorno del loro regime caratteristico traiettorie sullo spazio delle fasi e sul tempo. È, questo, l'oggetto della mecca­

di funzionamento esistano questi regimi limite. nica statistica (cfr. oltre ).Una classe importante di effetti discreti è legata alla possibilità che il sistema

abbia delle instabilità che si esprimano bruscamente, il cui tipo di comporta­ Controllo e catastrofi. Un a spetto importante del comportamento «discre­

mento, a lungo andare, in generale può dipendere in modo discreto dai dati ini­ to» di un sistema continuo, che risale ai lavori di Poincaré, è stato sottolineato e

ziali. studiato a fondo da Thom [I97I] e dalla sua scuola e ha preso il nome di «teoriaPer esempio, l'esistenza del sistema solare come un tutt'unico significa che il delle catastrofi ». Nella teoria delle catastrofi si considera una famiglia di sistemi

Sole e i pianeti si trovano in uno «stato legato»: le loro mutue distanze sono li­ dipendenti da alcuni «parametri di controllo». Sia c e C un punto nello spazio dei

mitate. È stabile questo stato? Cioè, non potrebbe accadere che un pianeta sia parametri di controllo, N, sia il corrispondente spazio delle fasi. Variando c, la

«espulso» e se ne vada verso l'infinito? configurazione degli attrattori e delle varietà separatrici del quadro delle fasi di

Il calcolo approssimato del moto di un pianeta con i metodi della teoria delle N, può cambiare; per esempio, possono sparire e/o apparire stati di equilibrio;

perturbazioni implical'uso delle serie. Nei denominatori dei loro coefficienti stati di equilibrio stabili possono diventare instabili, ecc. Nello stesso tempo la

figurano combinazioni lineari della forma k~u~+ ... +k„~„, dove i k; sono nu­ variazione del quadro delle fasi conserva il suo tipo topologico fino a quando c

meri interi e le co; sono le frequenze di rivoluzione. Il meccanismo che conduce a non interseca alcuni punti critici nello spazio dei parametri di controllo C e in

questo risultato qualitativamente può essere chiarito cosi: in una prima appros­ questi punti la variazione avviene con un salto. Si supponga ora che il sistema con­

simazione il moto di ciascun pianeta può essere calcolato supponendo che gli altri trollato si sia evoluto lungo traiettorie vicine a un attrattore stabile A, e che i pa­

pianeti siano diffusi uniformemente lungo le rispettive orbite, di modo che il cam­ rametri di controllo c siano variati lentamente e, raggiungendo il valore c~, l'at­

po gravitazionale da essi prodotto resti invariato. Però questa approssimazione si trattore A, scompaia, o diventi instabile. Allora il sistema, di regola, cambia re­

scosta tanto piu fortemente dalla realtà quanto piu spesso i pianeti, nel loro moto, pentinamente il tipo di comportamento per portarsi su un altro regime limite.

si raccolgono in gruppi che si trovino su uno stesso raggio. Se le frequenze di ri­ Si consideri, per esempio, la seguente illustrazione meccanica. Il sistema con­

Continuo /discreto 95z 953 Continuo/discreto

trollabile sia una sfera che rotola lungo una curva piana (una scanalatura) sotto precisamente, estesi a E = H =cost ) con la misura di Liouville, Il teorema dil'azione della forza di gravità. I minimi locali di questa curva sono stati di equili­ Birkhoff afferma che, se sono soddisfatte alcune condizioni di ergodicità, le mediebrio stabili ; per semplicità si riterrà che l'attrito sia cosi grande che da ogni po­ temporali esistono e coincidono con le medie spaziali tranne che per un insiemesizione la sfera rotoli verso il minimo piu vicino e qui essa si arresti senza ulteriori di condizioni iniziali di misura nulla. La causa intuitiva di ciò sta nel fatto cheoscillazioni. Si supponga poi che i parametri di controllo cambino la forma della quasi tutte le traiettorie individuali, dopo un lungo tempo, capitano nell'intornocurva. Al momento iniziale la sfera si trovi in un certo minimo; sulla curva si di ogni punto dello spazio delle fasi e vi si attorcigliano attorno con una densitàformi poi un altro minimo contiguo al precedente, ma piu basso, e quindi la bar­ proporzionale alla misura di Liouville.riera tra i due minimi cominci ad abbassarsi. Quando questa giunge al livello delprimo minimo, quest'ultimo diventa instabile e in un istante successivo la sfera Meccanica statistica del non-equilibrio. I s uoi modelli hanno a che fare conrotola nel nuovo minimo. processi quali il comportamento di un certo volume di gas, precedentemente sud­

Tali passaggi di un sistema da un regime di comportamento a un altro, sotto diviso in due metà a pressione e temperatura diverse, dopo aver tolto la pareteforma di salti in seguito a una variazione lenta di alcuni parametri, sono stati stu­ divisoria, oppure la condensazione di un gas in un liquido, o il raffreddamen­diati da Thom in varie situazioni biologiche e sociali. to di un liquido in un solido per abbassamento della temperatura, cioè transizioni

di fase.Meccanica statistica dell'equilibrio. Si c onsideri un volume macroscopico, Nei problemi del primo tipo sorge il problema del passaggio dalle equazioni

per esempio una mole di gas a una data temperatura. Se è sufficientemente rare­ hamiltoniane del moto delle molecole alle equazioni mediate dell'idrodinamica,fatto, il suo comportamento può essere modellato riguardando le molecole quali che descrivono il campo delle velocità, i processi di trasporto del calore, ecc. Que­particelle classiche in moto secondo le leggi della meccanica di Newton e intera­ ste equazioni differenziali non lineari alle derivate parziali corrispondono a effettigenti tra loro mediante un certo potenziale di repulsione. Poiché una mole di gas «discreti » quali le onde d'urto.contiene circa 6. x o~s molecole, lo spazio delle fasi del corrispondente sistema mec­ Nei problemi del secondo tipo sorge il problema di trovare i valori critici dicanico ha una dimensione enorme. L'energia E è un integrale del moto, ma l'iper­ quelle grandezze macroscopiche per i quali avvengono salti nella densità, nellapiano E = cost ha una dimensione inferiore solo di uno. Le curve delle fasi su di capacità termica, ecc., e appare la struttura «granulare» del mezzo, cioè la fron­esso formano un Russo che conserva la misura di Liouville dp,...dpazdq,...dq3$ tiera tra le fasi.(si veda l'articolo «Applicazioni» di questa stessa Enciclopedia). Il comporta­ Una delle diilicoltà di principio della fisica statistica è capire in qual modo lamento individuale delle curve delle fasi è eccezionalmente complesso e non è reversibilità del tempo nelle equazioni del moto delle particelle si accordi conpossibile indagarlo. Tuttavia nello studio macroscopico degli stati di equilibrio la sua irreversibilità nel comportamento macroscopico del mezzo. Quest'ultima sici si interessa a un piccolo numero di osservabili quali la pressione, la densità, ed riflette nel fatto che il calore passa dalle regioni con temperatura piu alta alle re­esse mostrano un comportamento di una regolarità e semplicità sorprendenti. gioni con temperatura piu bassa e non viceversa ; la viscosità rallenta il flusso deiSecondo Maxwell, Boltzmann e Gibbs ciò è dovuto al fatto che queste variabili liquidi e dei gas e cosi via. Una spiegazione qualitativa di questi effetti di nuovomacroscopiche si ottengono mediando le caratteristiche microscopiche e il risul­ consiste nel fatto che queste leggi macroscopiche sono soddisfatte solo con unatato teorico di questa media, pur non coincidendo necessariamente con l'osserva­ grande probabilità. Tuttavia le difficoltà del calcolo sono molto grandi e una teo­bile, è vicino ad esso con una probabilità quasi uguale all'unità. ria conseguente della meccanica statistica del non-equilibrio fino ad ora non

Si esamineranno piu da vicino le procedure di mediazione qui essenziali. esiste.Sia f una funzione su N. Il valore di questa funzione in ogni punto — stato del si­stema — è il valore di una certa osservabile macroscopica. Si consideri un'evolu­ Onde. Ne l la teoria macroscopica dei mezzi continui hanno una importanzazione del sistema e sia x (t)cN i l punto corrispondente dello spazio delle fasi eccezionale i fenomeni ondulatori. I loro modelli matematici — con una nuova in­all'istante t. L'esperienza mostra che il valore di f(x(t)) ha un limite. Esso può terpretazione — hanno parimenti un'importanza fondamentale nella meccanicaessere espresso nel modo seguente: quantistica.

T Il piu semplice fenomeno ondulatorio è dato dalle oscillazioni armoniche dilim ­ f(x(t)) dt= f(x), una certa grandezza con frequenza u. La dipendenza di questa grandezza dal

T-++~ ~ p tempo è della forma Jet"', dove co è un numero reale, Il loro periodo è uguale adove x = x(o). La funzione f è una media temporale lungo una data traiettoria zrr/m, cosicché m è la frequenza circolare delle oscillazioni. (Se la grandezza èed essa ha un immediato significato fisico. Però calcolarla è difficile data la com­ reale, si può scrivere A cosa (t — t~), ma le notazioni complesse sono comodeplessità del comportamento individuale di una traiettoria. Si prestano al calcolo, matematicamente, e nella meccanica quantistica gli oggetti fondamentali oscil­invece, alcune medie spaziali, cioè degl'integrali estesi allo spazio delle fasi (piu lanti — le funzioni di stato g — in generale sono complesse). Per esempio, oscilla

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in questo modo lo spostamento di un punto materiale su una molla finché la scoperti da Boussinesq, Korteweg e De Vries indagando la propagazione di ondeforza elastica della molla è soggetta alla legge di Hooke, cioè è proporzionale al­ lunghe sulla superficie di acque non profonde in una certa approssimazione non­l'allungamento della molla. In questo modo oscilla l'intensità della corrente nel lineare. In questi ultimi anni sono state scoperte moltissime equazioni d'ondapiu semplice circuito oscillante. Le oscillazioni di qualsiasi forma con frequenza non-lineari aventi tali soluzioni solitoniche e multisolitoniche. Vi è la speranzaoi, che si ripetono cioè rigorosamente dopo z' /oi unità di tempo, possono essere di scoprire equazioni d'onda realistiche della meccanica quantistica, dove talirappresentate da una serie di Fourier soluzioni descrivano particelle elementari.

Si torni ora al caso di un «oscillatore armonico», cioè di una grandezza cheZ einui

n ) oscilla nel tempo come Ae'"o'. Questo processo corrisponde a oscillazioni «li­bere» e avviene senza scambio di energia con l'esterno. Si supponga ora che su

cioè le si può ottenere mediante una sovrapposizione di oscillazioni lineari. Se al tale grandezza agisca una perturbazione esterna periodica con frequenza o>. Perposto della serie di Fourier si scrive l'integrale di Fourier F (t) = f~r f (oi) e' 'doi, esempio, una sferetta su una molla fatta oscillare con una forza esterna. Alloradove A(oi ) è una funzione delle frequenze, si possono ottenere diverse leggi di l'ampiezza di tali oscillazioni forzate, a mano a mano che oi si approssima a o>~,variazione di una grandezza rispetto al tempo, espresse sotto forma di sovrappo­ crescerà (in un modello idealizzato fino a ~ ) ; cioè si verificherà una risonanza.sizione di oscillazioni armoniche, dove però lo spettro di frequenze è ora conti­ Corrispondentemente, il grafico della quantità d'energia che l'oscillatore, in que­nuo. Tra queste leggi vi sono quelle rappresentate da «picchi» della grandezza ste condizioni, è in grado di assorbire, in dipendenza della frequenza oi della per­F(t) arbitrariamente grandi e stretti per esempio all'istante t =o e con valori turbazione esterna, ha un picco nel punto oi = oi~. Pertanto le risonanze possonovicini a zero in tutti gli altri istanti, e ciò a causa dell'interferenza fra le onde. essere riguardate quali fenomeni di tipo discreto nello spazio frequenze-energie.

Se la grandezza ha carattere di campo, cioè dipende anche, per esempio,da una coordinata spaziale x, è possibile considerare l'onda armonica Ae" ~*+"". Campo elettromagnetico. Le cariche elettriche connesse con la materia nelloQui k è il numero d'onda: zar/k è il periodo spaziale dell'onda, mentre zar/oi è spazio-tempo generano in esso un campo elettromagnetico, Nei modelli dellaquello temporale. Muovendosi lungo l'asse x con velocità — oi/k, cioè passando teoria della relatività ristretta, fissato un sistema inerziale di coordinate, taleal sistema di coordinate x' = x+ (oi/k)t, si ottiene l'onda Ae'~~' indipendente dal campo è dato da due vettori spaziali, E e H, definiti in ogni punto dello spazio­tempo; in altre parole, l'onda armonica considerata si muove uniformemente tempo. Il vettore E — intensità del campo elettrico — definisce la forza che agiscenello spazio con velocità — oi/k senza cambiare la sua forma. Nei mezzi lineari le sulla carica elettrica unitaria in quiète in quel punto. Il vettore H — intensità delonde armoniche si muovono tutte con una stessa velocità v e un moto ondulato­ campo magnetico — definisce la componente della forza che agisce sull'unitàrio generico si ottiene quale sovrapposizione di queste onde armoniche con k elettrica in moto, e questa componente è proporzionale alla velocità del moto ediversi, con oi = vk e con le ampiezze A (k). Un'opportuna sovrapposizione perpendicolare ad essa. I vettori E ed H dipendono dai punti dello spazio-tempo,F(x, t) = f~A(k) e'~'* ""dk si può rappresentare come un picco stretto vicino sono differenziabili e soddisfano un sistema di equazioni differenziali alle derivateal punto x = vt che scende rapidamente a zero. Esso si muove con velocità v come parziali : le equazioni di Maxwell. La densità dell'energia trasportata dal campo èun tutt'unico. Queste formazioni si chiamano «pacchetti d'onda». Per molti versi proporzionale al quadrato dell'ampiezza, cioè a E~+Hs.essi sono simili a «particelle discrete» e si ottengono quale risultato dell'interfe­ Anche in questa teoria, pertanto, domina l'aspetto continuo. Il discreto apparerenza fra «onde continue». Si osservi che si può ottenere un pacchetto d'onda ben solo nella descrizione del moto delle stesse cariche elettriche che generano il cam­localizzato nello spazio-tempo solo quale somma di onde con numeri d'onda, o po e che interagiscono con esso e fra loro. Tuttavia nell'elettrodinamica classicafrequenze, fortemente diffusi. Inversamente un'onda con valori puntuali di k, oi non vi è posto per i fotoni e non è possibile dare una spiegazione ai fenomeni neiè «diffusa» nello spazio-tempo. Un'esatta formulazione di queste relazioni è il quali le proprietà quantistiche della radiazione elettromagnetica svolgono unfondamento del principio d'indeterminazione di Heisenberg in meccanica quan­ ruolo essenziale.tistica, dove esse vengono applicate alla funzione d'onda $. Infatti, nell'ambito della teoria classica, un'onda elettromagnetica con fre­

In certi mezzi possono pure propagarsi onde armoniche, ma con altre rela­ quenza oi, che si propaga da una sorgente puntiforme, è a simmetria sferica; lazioni fra il numero d'onda k e la frequenza oi ; in particolare, le velocità di queste densità di energia da essa trasportata diventa arbitrariamente piccola allontanan­onde possono essere diverse. Inoltre, nei mezzi non-lineari, in generale, non si può dosi dalla sorgente e non sono possibili sue improvvise concentrazioni di quantirealizzare la somma di due perturbazioni che si propagano. Ciò nonostante sono hoi/zir in fenomeni quali, per esempio, gli effetti fotoelettrici.noti mezzi non-lineari assai interessanti, nei quali possono diffondersi perturba­ Nella teoria classica un aspetto discreto interviene dall'esterno, considerandozioni ondulatorie localizzate, che si comportano come un tutt'unico e che asin­ il campo e le cariche che lo producono separatamente. Una carica puntiforme etoticamente conservano la propria forma perfino dopo urti e interazioni. Tali produce attorno a sé un campo elettrico statico con un'intensità e/rs alla distanzaformazioni si chiamano onde isolate o «solitoni». I loro primi esempi furono r dalla carica stessa. Pertanto essa si presenta quale singolarità del campo, cioè

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come punto nel quale il campo diventa infinito (cfr. l'articolo «Applicazioni » di Assegnare lo stato quantistico di un sistema mediante la funzione $ in questaquesta stessa Enciclopedia). rappresentazione delle «coordinate» permette di ottenere su esso l'informazio­

Rappresentazioni analoghe sono usate nella teoria del movimento della ma­ ne seguente: la probabilità che, in un esperimento per misurare le coordina­teria nell'ambito della teoria generale della relatività, dove gli addensamenti di te generalizzate q„. . ., q„ i l o ro valori giacciano in un dominio U è uguale amateria si possono riguardare quali singolarità del campo gravitazionale e le leggi f ~j )j' dq~...dqn/ll% jj'.del moto possono dedursi dalle equazioni del campo. Pertanto in prima approssimazione la descrizione quantistica degli stati di

un sistema introduce un nuovo aspetto della continuità (è la funzione di stato o

I.3. Modelli teorici della microfisica.d'onda $ «diffusa» invece dei punti nello spazio delle coordinate-impulsi) e unaprobabilità che non figura nella descrizione classica. Una particella ben loca­

Lo spazio-tempo nei modelli fondamentali della microfisica è un certo domi­ lizzata corrisponde a un «pacchetto d'onda» di funzioni g.nio nello spazio-tempo galileiano (teoria non-relativistica), oppure nello spazio­ Passando ora alle osservabili, si rileva come in meccanica quantistica a ognitempo di Minkowski (teoria relativistica). La teoria non-relativistica ha a che osservabile corrisponda un operatore lineare A che agisce sullo spazio degli statifare con un'approssimazione, nella quale il moto avviene con una velocità piccola X del sistema.rispetto a quella della luce e perciò questa viene ritenuta infinita. L'ordine di que­ Alle osservabili a valori reali corrispondono operatori autoaggiunti, per ista piccolezza definisce il carattere dell'approssimazione. Per esempio, nel modello quali (Af, g) = ( f, Ag) per tutti gli f, gc X. Se fc X è tale che Af =Àf per unsemiclassico dell'atomo d'idrogeno la velocità media dell'elettrone è circa uguale certo numero À, allora questo numero si chiama autovalore di A ef si dice auto­a c/r37, ciò che giustifica l'approssimazione non-relativistica. Le velocità sono vettore corrispondente a questo autovalore. Gli autovalori di un operatore au­legate ai processi energetici. Perciò i processi ad alte energie devono essere stu­ toaggiunto A sono sempre reali ; essi formano una parte dello spettro dell'operato­diati nella teoria relativistica cosi come gli «effetti fini a quali, per esempio, la se­ re A, che, per definizione, è formato da quei À per i quali A — ÀI non è invertibileparazione delle linee spettrali in processi energetici relativamente deboli. (I è l'operatore identità). Nel caso in cui A è autoaggiunto e soddisfa la condi­

Sovente gli spazi delle fasi di sistemi isolati appaiono nei modelli della mec­ zione supplementare di completa continuità, il suo spettro è costituito esatta­canica quantistica come oggetti intermedi dell' indagine ; inizialmente il sistema mente dai suoi autovalori che sono numerabili, mentre con gli autovettori di Aviene descritto mediante il suo spazio delle fasi classico con le relative osservabili ; si può formare una base ortonormale dello spazio X. Si osservi che a uno stessodopo di che vi si applicano speciali «regole di quantizzazione». Si descriveranno autovalore À può corrispondere un intero spazio vettoriale di autovettori ; in fisicaora nei particolari alcuni esempi. la sua dimensione si chiama grado di degenerazione di À. Nel caso generale nello

Nella meccanica quantistica, cosi come in quella classica, inizialmente si de­ spettro di A, oltre la componente discreta, vi può essere una componente con­scrive la situazione in termini di osservabili e di stati, tuttavia le une e gli altri tinua.corrispondono a oggetti matematici di natura diversa. Sia A una certa osservabile di un sistema quantistico con spazio degli sta­

Gli stati (o stati puri ) di un sistema meccanico-quantistico sono raggi, o spazi ti 3C. Sia )c5C un vettore di stato del sistema. Si supponga per semplicitàa una dimensione in un certo spazio di Hilbert X, che è uno spazio lineare sul che $„ . . . > g„, ... sia una base ortonormale in X, cioè jj $;jj = t , (f;, );) = o,corpo dei numeri complessi C, nel quale è dato un prodotto scalare ( f, g) con le A$; = À„$,, e si scomponga g in questa base :proprietà (af,g) = a(f, g) e (f, g)= (g, f) (a è il numero complesso coniugatodi a). Posto jj f jj= ( f, f )', s i chiede che da jj f jj = o segua che f = o. Questa $ = $ a;g;.norma definisce su X una topologia e lo spazio 3C dev' essere completo in que­sta topologia, cioè ogni successione ( f„) con jj f — f jj ~ o per min(n, m) ~ ~ Allora, misurando l'osservabile A nello stato ), si possono ottenere solo i valoriconverge a un certo elemento di X . À.; e ogni valore À; può essere ottenuto con la probabilità ja,j~/jjfjj .

Gli spazi tipici 5C che appaiono nella meccanica quantistica contengono tutte Questo è il modello matematico fondamentale mediante il quale appaiono lele funzioni differenziabili f su una certa varietà N con misura p., per le quali caratteristiche quantistiche discrete del sistema a partire dai metodi continui

f~j f j'dp,( ~, e cosi pure tutte le « funzioni» limite rispetto al prodotto scalare della sua descrizione, In presenza di una componente continua dello spettro i va­

( f, g)= fv fg dp. Questi spazi si indicano con L,(N). lori di un'osservabile in uno stato sono pure distribuiti in modo continuo con unaIn particolare, se un sistema classico hamiltoniano è descritto mediante le certa densità di probabilità, ma qui una esatta descrizione del risultato è matema­

coordinate canoniche globali q„. . ., q„, p„. . . , p„, le funzioni d'onda o di stato ticamente piu complessa e non ci si soffermerà.

$ (qg q ) con jj$ jj= f j)j dq,...dq„appartengono allo spazio di Hilbert cor­ Le osservabili quantistiche possono essere di tipo classico e non-classico.rispondente a questo sistema e descrivono stati possibili del sistema nella teoria Delle prime fanno parte l'energia, le coordinate generalizzate e gl'impulsi. Dellequantistica. seconde fanno parte lo spin e cosi pure gli altri diversi numeri quantici.

Continuo/discreto 958 959 Continuo/discreto

Le regole fondamentali per ottenere le osservabili quantistiche di tipo clas­ litativa dello spettro discreto è la seguente. L'attrazione dell'elettrone verso ilsico sono le seguenti. Se qn ..., q„, pn ..., p„sono le osservabili classiche delle nucleo è descritta dal potenziale — e/r. Si consideri un modello grossolano, nelcoordinate generalizzate e degl'impulsi di un sistema hamiltoniano e gli elementi quale il potenziale abbia la forma di una buca con le pareti molto alte. Allora ladi 5('. si considerano nella rappresentazione delle coordinate f(qn ..., q„), allora funzione g, che descrive lo stato dell'elettrone in questa buca, deve annullarsil'operatore della coordinata q; è la moltiplicazione per q;, mentre l'operatore del­ fuori delle pareti e, per continuità, anche sulle pareti. La si decomponga in ondel'impulso pt è — ih (ò/òq;), dove h è la costante di Planck. Se la hamiltoniana del si­ spaziali armoniche. Allora, di ogni componente, internamente alla buca di po­stema classico ha la forma U (q)+T(p) (come in un sistema di particelle con tenziale, vi dev' essere un numero intero di semionde. Ma l'energia di un'onda ar­interazioni gravitazionali, o elettromagnetiche ), il suo corrispondente operatore monica è proporzionale al quadrato di questo numero e ha un va..' ot e definito solodell'energia H si ottiene sotto forma di somma dell'operatore di moltiplicazione nel caso armonico. Ciò spiega come in questo modello si abbia uno spettro discre­per U(q) e dell'operatore differenziale T( — ih(ò/òq;)). L'operatore dell'energia to. Nel caso generale il meccanismo del discreto resta piu o (meno lo stesso, ben­si chiama anche «operatore di Schrodinger» del sistema. ché nella dimostrazione occorra usare, non il fatto che la funzione si annulla

L'evòluzione del sistema può essere descritta in due modi : o quale evoluzione fuori della buca di potenziale, ma solo il fatto che essa decresce all'infinito e che èdel suo vettore di stato in X con le osservabili costanti (rappresentazione di a quadrato sommabile.Schrodinger), oppure quale evoluzione degli operatori delle osservabili con il vet­tore di stato costante (rappresentazione di Heisenberg). Formalmente la seconda Numeri quantici dell'elettrone nell'atomo d'idrogeno. I l i velli di energia del­descrizione è completamente analoga a quella hamiltoniana : l'evoluzione dell'os­ l'elettrone nell'atomo d'idrogeno sono enumerati in ordine crescente in modo na­servabile A soddisfa l'equazione differenziale turale mediante il numero quantico principale n = x, z, g, ... Ma ad ogni n corri­

',"=[„* a,~], sponde non una funzione $, ma tutto un sottospazio lineare in X, Questo sotto­spazio, per la simmetria sferica dell'equazione di Schrodinger per l'atomo libero,è invariante rispetto alle rotazioni dello spazio Rs degli argomenti della funzione $.

dove al posto della parentesi di Poisson appare l'operazione di commutazione Esso si scompone in una somma diretta di sottospazi irriducibili di dimensione[A, B] = AB — BA, che introduce nell'insieme delle osservabili quantistiche la finita, invarianti rispetto al gruppo delle rotazioni, ognuno dei quali è caratteriz­struttura di algebra di L ie. Nella prima descrizione si ottiene l'equazione di zato da un numero intero 1 che può assumere i valori l= o, z, ..., n — x. QuestoSchrodinger ih(d $/dt) = Hg. numero quantico l può essere anche caratterizzato in termini di osservabile del

Da un punto di vista matematico si può dire che il passaggio dalle osservabili momento angolare totale: sugli stati corrispondenti i l suo valore è uguale aclassiche d'un sistema hamiltoniano a quelle quantistiche consiste nella scelta rh/z<c)urlii-p rt) )Fissando .ii numero quantico principale n e ii numero quanticodella rappresentazione dell'algebra di Lie-Poisson delle osservabili classiche nel­ orbitale l, ancora non si ottiene in modo univoco la funzione g : lo spazio irridu­l'algebra di Lie degli operatori autoaggiunti d'uno spazio di Hilbert. Questa cibile corrispondente ha dimensione zl+ r. Ponendo l'atomo in un campo magne­rappresentazione conserva l'equazione dell'evoluzione (nelle forme di Hamilton tico diretto, per esempio, lungo uno degli assi coordinati, viene a mancare lae di Heisenberg). simmetria sferica e si può studiare l'azione del gruppo delle rotazioni attorno a

Qui di seguito si dà una breve descrizione di come si usino questi concetti quest'asse sulla funzione $ leggermente perturbata. Le rappresentazioni irridu­generali per spiegare fenomeni concreti del micromondo. cibili del gruppo delle rotazioni sono a una dimensione e vengono numerate con

numeri interi: al numero m, in presenza di una rotazione di un angolo &, corri­Lit)elli di energia. Lo s tato non-relativistico dell'atomo d'idrogeno, in un sponde la moltiplicazione della funzione h[) per e' ». Il numero m — numero quan­

sistema di coordinate rigidamente connesso con il nucleo e ove non si tenga conto tico magnetico — può assumere i valori — l(m < l. Esso corrisponde alla osser­dello spin dell'elettrone, è dato da una funzione $ nello spazio fisico euclideo R» vabile «componente del momento angolare nella direzione del campo», la qualecon f[$~a(~ . L' o peratore dell'energia H ha la forma può assumere i valori hm/zx. I numeri n, I, m definiscono completamente in pri­

8n'm ) ax' ày' òa' ) qr aa q.p qq..nasa'ma approssimazione lo stato dell'elettrone.

Tuttavia in una descrizione piu esatta risulta che l'elettrone ha ancora un gra­do di libertà interno non classico, chiamato spin. L'osservabile dello spin ha due

dove e è la carica dell'elettrone e m è la sua massa. Uno studio analitico mostra che autovalori, + x /z, ma essa agisce non nello spazio iniziale di Hilbert X, ma nelloquesto operatore è dotato di una successione discreta numerabile di autovalori, i spazio %Q+X della funzione $ «a due componenti ». In altre parole, se si vuolequali per l'appunto corrispondono ai livelli di energia dell'atomo d'idrogeno, ri­ considerare questa osservabile, bisogna estendere lo spazio di Hilbert del siste­costruiti a partire dai dati delle misure spettroscopiche, che forniscono le diffe­ ma, aggiungendo agli argomenti della funzione $ un nuovo argomento discreto,renze di questi livelli di energia. In questo e in casi analoghi una spiegazione qua­ s, che assume due valori. Corrispondentemente bisogna ridefinire le osservabili,

Continuo /discreto 960 96I Continuo /discreto

in particolare l'osservabile dell'energia; a quest'ultima bisogna aggiungere un particelle». L'evoluzione del vettore di stato in questo spazio descrive i diversitermine relativistico, la «perturbazione dello spin». processi di annichilazione e di creazione di particelle e di quanti, che avvengono

Pertanto in questa descrizione uno stato puro dell'elettrone nell'atomo d'idro­ nelle interazioni tra il campo e la materia. Le difficoltà matematiche della teoriageno è caratterizzato da quattro grandezze discrete, n, I, m, s, le quali appaiono o dei campi quantizzati sono tutt' altro che superate. L'elettrodinamica quantisticadagli autovalori di operatori con spettro discreto, oppure quali caratteristiche di è quella che si trova a uno stato piu perfezionato ; in essa i metodi di calcolo si ba­simmetria del sistema, cioè quali invarianti delle rappresentazioni irriducibili dei sano sullo sviluppo in serie di potenze nella costante di «struttura fine». Questegruppi di simmetria. serie della teoria delle perturbazioni divergono, ma, limitandosi ad un numero

finito di termini ed utilizzando vari metodi euristici di rinormalizzazione, si ot­Nubi elettroniche e principio di Pauli. La descrizione data sopra dei numeri tengono risultati che sono in ottimo accordo con gli esperimenti.

quantici dell'elettrone si riferisce solo, a rigore, all'elettrone nel campo sferico Ancor prima dell'apparizione della moderna elettrodinamica quantistica Di­simmetrico coulombiano del nucleo a simmetria sferica. Tuttavia, con una certa rac usò un'altra procedura di quantizzazione del campo per spiegare i processi diapprossimazione, essa può essere usata anche nel caso di atomi con piu elettroni, radiazione e di assorbimento dei fotoni da parte dell'atomo. Essa è basata sulritenendo che ognuno di essi si muova in un campo che è la somma del campo del fatto che un campo elettromagnetico in un dominio con pareti assolutamente ri­nucleo e di quello mediato degli altri elettroni. Se x, e s, sono le coordinate e lo flettenti è rappresentato dalla sovrapposizione di una successione numerabile dispin dell'a-esimo elettrone, la funzione $ dell'atomo dovrà essere una certa fun­ «oscillazioni fondamentali». Le equazioni di Maxwell che descrivono questozione g(..., X, s„ . . . ) Gl i elettroni sono indistinguibili, cioè la funzione che si campo coincidono formalmente con le equazioni della meccanica hamiltonianaottiene dalla precedente permutando gli argomenti (x„s ) deve descrivere lo per un sisteina di infiniti oscillatori. Applicando a sottoinsiemi finiti di tali oscil­stesso stato. Si può dare un fondamento alla proposizione secondo la quale, per latori la procedura di quantizzazione piu sopra descritta e passando al limite ri­ogni permutazione degli argomenti (x„s~), la funzione dev' essere moltiplicata spetto al numero degli oscillatori inclusi, Dirac ottenne una buona descrizioneper un fattore di fase e's, Dalle proprietà del gruppo simmetrico segue che questo qualitativa dei salti quantici del sistema formato da atomi e campo elettroma­fattore può essere uguale solo a + r. Il principio di Pauli afferma che esso è uguale gnetico.a — i, cioè che la funzione $ dell'atomo è antisimmetrica rispetto alla permuta­zione degli elettroni. Poiché essa non è nulla, in un atomo nello stato stazionario r.4. Difficoltà di raccordo tra teorie macroscopiche e microscopiche.non vi possono essere due elettroni in uno stesso stato, cioè con gli stessi numeriquantici (n„ l~, m„s,). E, questo, il famoso principio di esclusione. Le nubi La teoria fondamentale del «mondo in grande», cioè la teoria della relativitàricordate nel ) i.i sono insiemi di elettroni con numeri quantici n, l assegnati. generale, e la teoria fondamentale del «mondo in piccolo», cioè la meccanica

quantistica, non concordano sia per il loro apparato formale, sia per i principiSpettri di massa e interazioni delle particelle elementari. Be nché attualmente fisici sui quali queste teorie si basano. In particolare nella teoria della relatività

non esista una teoria conseguente delle particelle elementari che fornisca una generale non vi è posto per gli effetti quantici dell'indeterminazione e della flut­spiegazione degl'invarianti discreti ad esse connessi (spettri di massa, numeri tuazione probabilistica, mentre in meccanica quantistica non si considerano laquantici ), si hanno delle teorie semifenomenologiche assai soddisfacenti, nelle curvatura dello spazio-tempo e, in generale, le interazioni gravitazionali, quest'ul­quali questi invarianti appaiono quali caratteristiche di rappresentazioni di diversi time essendo, a distanze microscopiche, eccezionalmente deboli. Se si misura lagruppi di simmetria. forza delle interazioni fondamentali mediante la relazione tra l'energia tipica del­

l 'interazione e la massa delle particelle interagenti, e se si assume uguale a i laFotoni e quantificazionedel campo. Il campo elettromagnetico classico è dato caratteristica dell'interazione forte, si ricava che l'interazione elettromagnetica è

dai valori dei vettori E e H in ogni istante del tempo e in ogni punto dello spazio. dell'ordine di io s, quella debole è circa ro ~, mentre quella gravitazionale è del­In accordo con l'idea generale della meccanica quantistica, ad essi devono corri­ l'ordine di io s". Tuttavia, a fondamento di tutte e due le teorie vi è la conce­spondere delle osservabili, cioè degli operatori dipendenti dai punti dello spazio­ zione generale dello spazio-tempo differenziabile, quest'ultimo intervenendotempo. L'osservabile dell'energia sarà pure un operatore. Alla densità dell'ener­ quale ambiente dell'evoluzione della metrica, della materia e dell'energia nellagia, trasportata dal campo con frequenza v, corrisponde, nella teoria quantistica, teoria della relatività generale, e della funzione d'onda nella meccanica quanti­la densità della probabilità di osservare un quanto di energia hv, cosi che in que­ stica, Perciò occorre prima di tutto giudicare i fondamenti fisici di questa con­sta interpretazione il «discreto» dei fotoni è pure legato allo spettro discreto del­ cezione.l'operatore dell'energia. Lo spazio di Hilbert degli stati dell'elettrodinamica quan­tistica, in generale, contiene dei sottospazi che corrispondono ai «diversi numeri I punti dello spazio-tempo. Come si è già ricordato, un punto dello spazio­di particelle». Essi sono sottospazi propri dell'osservabile discreta «numero di tempo è l'idealizzazione di un processo fisico localizzato in un piccolissimo do­

Continuo /discreto 96z 963 Continuo /dxscreto

minio dello spazio e di durata brevissima. Si consideri una particella materiale dimassa m. Nella teoria della relatività generale si può definire una lunghezza ca­ Informazione.

ratteristica, il raggio gravitazionale a, = zkm/c~, nei limiti della quale la curvaturadello spazio vicino alla particella diventa essenziale. Se si considera la particella z.x. Considerazioni generali.puntiforme, il potenziale gravitazionale internamente a una sfera con tale raggioè cosi grande che da questa sfera verso l'esterno non potrebbe uscire alcun se­ Una parte notevole di questo paragrafo è dedicata ai sistemi viventi, da quelli

gnale ; l'energia dei fotoni non è sufficientemente grande perché essi possano su­ cellulari e subcellulari a quelli ecologici e sociali. Per questi sistemi sono caratte­

perare l'attrazione. Piu geometricamente, si può dire che nell'interno di questa ristici un'eccezionale complessità di organizzazione e un alto grado di concor­

sfera si forma un dominio dello spazio-tempo «chiuso in se stesso», cioè un «buco danza nei processi fondamentali spaziali e temporali. La coordinazione che ga­

nero». Ciò è vero anche per una particella di raggio non nullo a, se esso è minore rantisce la nascita, la crescita e lo sviluppo di tali sistemi si realizza mediante una

di a„ed è vero per i corpi macroscopici. Il raggio gravitazionale del Sole è circa rete complessa di flussi d'azione che verranno considerati flussi d'informazione

z,5 km, cosi che questo dominio è interno al Sole. Tuttavia buchi neri possononel senso piu esteso della parola. Il ruolo del continuo /discreto nei diversi processi

formarsi attorno a stelle molto dense e persino intorno ad addensamenti di ma­ di generazione, trasmissione, conservazione ed elaborazione delle informazioni

teria con una densità dell'ordine di i g/cms, ma di grandi dimensioni. Nel micro­ verrà esposto su alcuni esempi. Saranno considerati i processi di codificazione,

mondo, quanto piu esattamente vogliamo localizzare una particella, tanto mino­ di trasmissione da organismo a organismo e di utilizzazione dell'informazione

re dev' essere il suo raggio gravitazionale a„cioè tanto minori devono essere la ereditaria che assicurano il ricambio delle generazioni biologiche e l'evoluzione del

sua massa m e il suo raggio a. Ma allora la densità della materia internamente alla mondo vivente del nostro pianeta. Si passerà poi ai processi di regolazione nel­

sfera di raggio gravitazionale, per a a , cresce come i/m~, ciò che può superarel'organismo vivente che si realizzano mediante il sistema nervoso ed endocrino.

le densità note delle particelle elementari. Si osservi che le particelle elementari Il tema successivo sarà il «linguaggio degli animali»: i meccanismi di trasmis­

con massa a riposo nulla, cioè fotoni e neutrini, non possono servire per la localiz­ sione delle informazioni nei sistemi ecologici. Infine si esamineranno le lingue

zazione spaziale, poiché si muovono con la velocità della luce. In ogni caso, nel­ naturali dell'uomo: scrittura e mezzi tecnici per conservare ed elaborare i dati.

l'ambito della teoria della relatività generale la localizzazione di una particella ri­ Analizzando la struttura dei sistemi naturali d'informazione possiamo ten­

chiede che la sua massa e il suo raggio tendano a zero. tare di enunciare un problema che non si può impostare nell'ambito dei feno­

Nell'ambito della meccanica quantistica, invece — come mostra l'analisi con meni fisici. Perché l'ereditarietà è regolata mediante un meccanismo con una

l'aiuto del principio d'indeterminazione —, una particella di massa m non può es­ componente spiccatamente discreta, quando, invece, nei processi di ricambio

sere localizzata con precisione maggiore di h/z irmc e ciò richiede che m tenda al­ e di crescita il ruolo piu importante è svolto da una regolazione ormonale con­

infinito. Pertanto un esperimento ideale per identificare un punto dello spazio­ tinua? Piu esattamente, quali sono i vantaggi e gli svantaggi dei metodi discreti

tempo nella teoria della relatività generale e in meccanica quantistica presenta e continui nella rappresentazione ed elaborazione delle informazioni con rife­

esigenze contraddittorie. rimento al sistema di funzioni da compiere>Tali questioni sono state discusse attivamente negli ultimi decenni in seguito

Fluttuazioni quantistiche della metrica. Se i l campo gravitazionale su scala all'apparizione delle macchine calcolatrici analogiche e di quelle digitali. Nelle

di grandezza piccola è soggetto alle ipotesi della meccanica quantistica, i coeffi­ prime i numeri si realizzano materialmente mediante i valori di alcune grandezze

cienti g„i. della metrica dello spazio-tempo devono essere trasformati nei valori di fisiche quali l'angolo di rotazione di un asse, o l'intensità di una corrente elettrica,

certe osservabili quantistiche e perciò diventare non completamente definiti, ina o la sua tensione, che possono variare con continuità entro certi limiti. Nelle se­

solo oscillare attorno a valori medi. La dimensione di queste oscillazioni definisce conde i numeri vengono rappresentati, cos{ come nei testi stampati, nel sistema

il dominio entro il quale la fluttuazione della distanza fra due punti è confrontabile di numerazione binaria, o in un altro sistema, con successioni di «cifre». Le «cifre»

con questa distanza e perciò è come se perdesse senso la localizzazione rigorosa o e r si realizzano rispettivamente con uno dei due stati stabili di un elemento elet­

dei punti. tronico. La logica dell'elaborazione delle informazioni nei dispositivi analogici

È per questo che non cessano i tentativi di trovare schemi di quantizzazione, in una certa misura imita i processi naturali: se l'integrale f>+v(t)dt significa

non solo dei processi fisici che si svolgono nello spazio-tempo, ma anche dello lo spazio percorso durante il tempo T con velocità locale t~(t), in una macchina

stesso spazio-tempo. Se questi tentativi saranno coronati da successo, saremo analogica si può porre un condensatore sotto carica con velocità ti (t) e poi misu­testimoni di nuovi sorprendenti fenomeni coinvolgenti il discreto/continuo nelle rare la sua carica dopo un tempo T. La logica dell'elaborazione delle informa­

stesse caratteristiche fondamentali dell'esistenza. zioni nei dispositivi discreti imita i processi di calcolo dei matematici, nei qualisi tratta sostanzialmente e in fin dei conti di sommare o moltiplicare cifre binarieo decimali, ripetendo questa procedura un enorme numero di volte in corrispon­

Continuo /discreto 964 965 Continuo /discreto

denza ad un sistema di regole complessivamente organizzato per la scelta delle della codificazione delle informazioni prevalga nettamente a due livelli estremi :operazioni successive. a quello piu profondo dell'ereditarietà biologica e a quello piu superficiale del­

Le differenze nelle caratteristiche dei calcolatori analogici e digitali sono inol­ la comunicazione tra le persone. A quest'ultimo livello è caratteristico l'uso dellatre legate alla precisione nella rappresentazione delle informazioni, alla velocità lingua naturale, la quale, sul piano dell'espressione, è discreta per sua natura.della loro elaborazione e alle caratteristiche dei dispositivi di memoria. La preci­ L'uso della scrittura e dei sistemi speciali di segni della matematica e di altresione relativa in una rappresentazione analogica può essere deIVordine di io s scienze naturali sottolinea ancora di piu questa componente discreta. Nell'ambitoe praticamente non supera mai io ' , un aumento della precisione richiederebbe della cultura umana è interessante mettere a confronto i linguaggi discreti delladispositivi di un'enorme complessità. La precisione relativa in una rappresen­ scienza con i linguaggi continui quali la pittura, la musica e la danza. La conti­tazione discreta teoricamente non ha limiti ; per accrescerla si richiede solo di au­ nuità del linguaggio pittorico, o musicale, sul piano dell'espressione, è correlatamentare il numero delle cifre, oppure di realizzare metodi opportuni di program­ con l'amorficità della sua semantica (per lo meno nelle tradizioni europee moder­mazione. D'altro lato, per la maggior parte dei calcoli scientifici ed economici, nei ne) e ciò in contrasto con le caratteristiche semantiche rigide del linguaggio scien­dati in uscita non si richiede un'alta precisione, mentre nei dati in ingresso un'al­ tifico. L'uso della lingua naturale nella letteratura artistica e, in parte, negli studita precisione può essere solo fittizia. L'esigenza di un'alta precisione nei risultati umanistici occupa una posizione intermedia tra questi due casi estremi : l'epopeaintermedi nasce invece dalle caratteristiche stesse dell'elaborazione discreta delle di Gilgamesh o l'Amleto dicono qualcosa di piu che non l'insieme di parole cheinformazioni: l'enorme quantità di piccoli passi intermedi accumula gli errori. formano questi testi.La velocità dei calcolatori digitali rispetto a quelli analogici mira anche in misura Il carattere discreto del linguaggio scientifico, sia sul piano dell'espressionenotevole a compensare la lunghezza delle procedure di calcolo. Ad ogni modo, sia su quello del contenuto, risulta indispensabile perché questo linguaggio as­allo stato attuale della tecnica, un bilancio generale propende decisamente per i solva le sue funzioni sociali fondamentali, cioè affinché l'uomo possa fissare, con­calcolatori digitali. A ciò contribuisce non poco la loro universalità in contrap­ servare, elaborare e usare tutti quei dati sul mondo esterno che devono essereposizione alla limitatezza della classe dei problemi risolvibili da ciascun calcola­ assunti in modo univoco, conservati a lungo e che devono sottoporsi ai lunghitore analogico ; fatto, questo, a fondamento della loro struttura. In linea di prin­ processi dell'elaborazione deduttiva.cipio un grande calcolatore digitale è in grado di eseguire qualsiasi algoritmo. Ma queste stesse proprietà del linguaggio scientifico inducono ad essere cauti,Infine, la realizzazione tecnica della memoria nei dispositivi discreti risolve ef­ soprattutto esaminando il tema di questo paragrafo : non potrebbe essere che ilficacemente il problema del volume e della stabilità dell'informazione da con­ discreto da noi osservato nei processi naturali sia in misura notevole un arte­servare. fatto da noi introdotto mediante i nostri mezzi di descrizione? Esaminando il

È interessante tentare di capire in che misura questa prevalenza dell'aspetto discreto/continuo delle osservabili fisiche abbiamo visto quanto sia non-banalediscreto dell'informazione nei sistemi umani di scrittura ed elaborazione dell'e­ l'interazione tra i due aspetti e i modi come uno genera l'altro persino nei modelli

sperienza sia dovuta all'essenza dei fatti, o non sia piuttosto una scelta parziale matematici non molto complessi. Tra l'altro il mondo dei processi informativi èdelle soluzioni tecniche. John von Neumann [i958] esaminò a fondo questo pro­ studiato assai peggio ; quasi sempre siamo costretti a restare a un livello fenome­blema, confrontando i principi usati nella progettazione e costruzione delle mac­ nologico e troppo spesso siamo inclini a far ricorso alle analogie con i sistemi dichine calcolatrici con i principi del funzionamento del sistema nervoso centrale comunicazione artificiali.dell'uomo. Egli giunse alla conclusione che la logica interna del cervello dev'es­ «L'informazione ereditaria è scritta in un codice lineare di venti lettere>).sere sostanzialmente diversa, e per molti aspetti, dalla logica dei nostri calcola­ Questa affermazione va accettata con la stessa cautela con la quale si accetta l'af­tori. Il sistema nervoso non può conseguire un'alta precisione (superiore a io ' , fermazione che la frase precedente contiene un'informazione sui successi dellao io — ~) nella rappresentazione delle grandezze neppure in linea di principio. biologia molecolare. Si è costretti ad esprimere una verità continua mediante unIn esso non possono quindi realizzarsi quei processi profondamente conseguenti aforisma discreto, ma non si deve dimenticare la differenza tra l'uno e l'altro.che sono caratteristici dei calcolatori digitali e, in generale, delle strutture dedut­tive nei metodi matematici. Nel sistema nervoso hanno un'enorme importanza z.z. Ereditarietà.le proprietà statistiche, temporali e spaziali, dei segnali e la massa dei processiparalleli informativi. La componente discreta che si osserva a livello della codi­ Una delle fondamentali generalizzazioni della biologia teorica è il concettoficazione in impulsi-frequenze nei neuroni viene livellata attraverso una media secondo il quale «tutto ciò che vive proviene dal vivente». Attualmente non si os­spazio-temporale. La regolazione ormonale partecipa alla graduale e continua servano autoconcepimenti spontanei della vita, benché, probabilmente, essi pos­variazione dei parametri fondamentali che caratterizzano l'elaborazione discreta ; sano aver avuto luogo sul nostro pianeta miliardi di anni fa. Qui non si toccheràper esempio, delle soglie di eccitazione. questo processo della biogenesi.

Probabilmente vi sono alcune cause profonde del fatto che l'aspetto discreto Un nuovo organismo riceve un'informazione ereditaria codificata in strutture

Continuo)discreto 966 967 Continuo/discreto

biologiche compatte, la quale definisce la sua formazione, il suo funzionamento, può ripiegarsi, avvolgersi e anche ramificarsi, dando luogo alla struttura terziaria.la sua crescita e, possibilmente, la sua morte, e cosi pure i meccanismi per trasmet­ L'unione di alcune molecole proteiche in un complesso genera la struttura qua­

tere ai posteri l'informazione da esso ricevuta. Gli ult imi decenni hanno dato ternaria. La caratteristica di tutte queste strutture è definita dalla successione deimolte notizie sulla forma e il funzionamento di queste strutture, di cui si dà ora residui amminoacidici della molecola e cosi pure dall'ambiente nel quale si trovauna breve esposizione. la molecola. A sua volta, la specificità della struttura spaziale della molecola de­

Caratteristiche degli organismi viventi direttamente osservabili sono la cre­ finisce la reazione cui essa può prender parte, in particolare la scelta del substratoscita, il moto, l'alimentazione, le reazioni alle sollecitazioni esterne, la prolifera­ da parte dell'enzima.zione. Il fondamento chimico di tutti questi eventi è il metabolismo (scambio di Pertanto la molecola proteica, quale supporto dell'informazione, può essere

sostanze). Esso consiste nella trasformazione delle sostanze assimilate con l'ali­ modellata con buona approssimazione mediante una «parola» in un alfabeto dimentazione in strutture dell'organismo e nell'utilizzazione delle energie liberate venti lettere, cioè con la successione primaria dei residui amminoacidici in questada queste sostanze, Le reazioni delle sostanze organiche, in generale, sono parti­ molecola.colarmente lente. Per accelerarle nella cellula viva intervengono gli enzimi. L'a­ Tuttavia, le molecole della proteina non sono i supporti principali dell'infor­zione di questi ultimi in primo luogo ha un carattere catalitico : una molecola di mazione nella cellula. Fanno parte di questi supporti altri coinposti organici

un enzima può agire, senza modificarsi, su una quantità enorme di molecole delle fondamentali, cioè gli acidi nucleici, detti cosi perché si trovano prevalentementesostanze reagenti (substrati ). In secondo luogo gli enzimi sono altamente spe­ nel nucleo della cellula.cializzati sia in relazione alla scelta del substrato, sia in relazione al carattere del­ Le molecole di acidi nucleici sono pure catene lineari, i cui anelli si chiamanol'azione su di esso. Il carattere dell'informazione ereditaria è definito in primo nucleotidi. Un nucleotide si ottiene mediante una composizione successiva di treluogo dalla qualità degli enzimi sintetizzati dalla cellula e dalle reazioni che que­ molecole : acido fosforico (lo stesso in tutti i casi), zucchero (una molecola di ri­sti stessi enzimi regolano. Gli enzimi (piu esattamente, le parti delle loro mole­ boso, o di desossiriboso) e una base organica. In una molecola di acido nucleicocole, cioè gli apoenzimi, responsabili del riconoscimento del substrato) sono pro­ vi sono solo nucleotidi con un solo tipo di zucchero; corrispondentemente gliteine. acidi nucleici si dividono in due classi: desossiribonucleici (D+A) e ribonucleici

La molecola della proteina ha una caratteristica lineare : essa è una catena po­ (RNA). In qualità di basi, vi possono essere nei desossiribonucleotidi solo quattrolipeptidica, i cui anelli sono le molecole di amminoacidi, piu esattamente i residui sostanze: adenina (A), citosina (C), guanina (G) e timina (T). Anche nei ribo­amminoacidici. La lunghezza di una tale catena può oscillare fra ioo e 3o ooo anel­ nucleotidi possono entrare, quali basi, solo quattro sostanze: A, C, G, oppureli. Si hanno venti tipi diversi di anelli, cioè in tutto si hanno venti amminoacidi. La uracile (U). Una catena polinucleotidica, cioè una molecola di acido nucleico, puòspecifica della proteina è definita in massima parte dall'esatta successione dei re­ contenere da alcune decine sino ad alcuni milioni di nucleotidi. Corrispondente­

sidui amminoacidici nella catena polipeptidica delle sue molecole. Di regola que­ mente una tale molecola, quale supporto dell'informazione, può esseremodellatasta successione viene letta in una direzione che nella cellula è pure univocamente come una parola nell'alfabeto di quattro lettere : A, C, G, T per il DNA e A, C, G,definita. U per l'RNA. Quando nella cellula si produce la sintesi di una proteina avviene un

Ognuno dei venti amminoacidi ha la struttura seguente. A un estremo della processo di ricodificazione di tali «parole nucleotidiche» in «parole amminoaci­molecola si trova il gruppo carbossilico COOH con proprietà acide; attraverso diche» delle stesse proteine. L'interpretazione di questo codice e cosi pure laun secondo atomo di carbonio questo gruppo è unito al gruppo amminico NH„ spiegazione dei particolari del meccanismo di ricodificazione sono tra le scoperteinoltre a questo atomo di carbonio sono uniti un atomo d'idrogeno e il residuo fondamentali della biologia del xx secolo.amminoacidico. Il residuo, che definisce la specificità dell'amminoacido, può es­ Punto di partenza sia la descrizione del codice. Per decifrare la successionesere di struttura complessa, contenendo fino a venti atomi di carbonio. Quando dei nucleotidi bisogna suddividerla in terne, o triplette : per esempio, GAUGCUdue amminoacidi si uniscono, formando un dipeptide, si libera una molecola CCUUUU si t rasforma nella successione di triplette (GAU) (GCU) (CCU)d'acqua e si forma un legame tra il gruppo amminico del primo acido e il gruppo (UUU). A ogni tripletta di nucleotidi corrisponde un ben definito residuo am­carbossilico del secondo acido. In modo analogo si forma una catena polipeptidica. minoacidico: cosi, GAU corrisponde all'acido aspartico, GCU al l 'alamina,Una catena polipeptidica è intrecciata e ripiegata spazialmente su se stessa in mo­ CCU alla prolina, mentre UUU corrisponde alla fenilolanina. Pertanto, GAU,di diversi. Queste strutture si dicono secondarie, terziarie, ecc., a differenza di GCU, CCU, UUU vengono ricodificati in asparagina, alanina, prolina e feni­quella primaria che è la successione dei residui. La struttura secondaria piu im­ lolanina, precisamente in quest'ordine. Si osservi che tanto nel DNA quanto nel­portante è quella a spirale. Essa è stabilizzata mediante legami di idrogeno. I re­ l 'RNA le triplette possibili sono di g = 64 tipi, mentre di amminoacidi in tutto

sidui amminoacidici sporgono all'esterno della spirale. A una forma (a-forma) se ne hanno zo. Pertanto il codice genetico è degenere: a triplette diverse puòappartengono 3 7 legami peptidici per ogni spira; nell'altra forma (p-forma) vi corrispondere uno stesso residuo amminoacidico. Cosi, per esempio, a tutte le

sono g,r residui per ogni spira. La struttura secondaria — spirale — in certi tratti triplette GUU, GUC, GUA, GUG corrisponde uno stesso acido, la valina.

Continuo/discreto 969968 Continuo/discreto

È essenziale il fatto che questo metodo di codificazione sia altamente sensi­ delle proteine», le quali vengono sintetizzate sulle loro superfici. In particolare

bile agli errori. È vero che, sostituendo un nucleotide con un altro, cambia solo essi trattengono le molecole di m-RNA in uno stato disteso, ciò che rende accessi­

una tripletta e, corrisporidentemente, un solo residuo amminoacidico. Ma, per bile l'informazione in esse contenuta.

esempio, traslando l'inizio della lettura di una sola unità, può cambiare tutta la Gli amminoacidi che saranno uniti nella catena polipeptidica giungono ai

successione di triplette e, corrispondentemente, ciò può condurre alla sintesi di ribosomi uniti a molecole di RNA di tipo speciale che si chiamano RNA transfer

una proteina assolutamente diversa. Nel nostro esempio, cominciando dalla secon­ (t-RNA). Ogni tipo di t-RNA ha in una determinata parte della molecola una tri­

da lettera, si ottiene la successione di triplette (AUG), (CUC), (CUU), (UU...) pletta speciale di nucleotidi : la sua antitripletta. L'antitripletta definisce, da un

e quindi la sintesi del polipeptide metiomina-leucina-leucina-... Si produce un lato, quel tipo di amminoacido che questo RNA è in grado di trasportare, e dal­

effetto analogo se viene a cadere un nucleotide, a cominciare dal posto dove man­ l'altro lato, quella (anti)tripletta dell'm-RNA sul ribosoma, con la quale è in gradoca, oppure se ne viene introdotto uno in piu. Questo carattere altamente discreto di unirsi questa molecola di t-RNA insieme con il suo residuo amminoacidico.

della scrittura, lettura, ricodificazione e reazione agli errori nel codice genetico, Dopo che a un m-RNA, in due triplette contigue, si sono unite due molecole di

definisce il ruolo delle mutazioni nelle modificazioni degli organismi viventi. t-RNA con i residui, tra esse si forma un legame peptidico;una delle molecoleLe mutazioni sono variazioni casuali discontinue dell'apparato genetico che si di t-RNA si libera, si stacca dal ribosoma e può di nuovo compiere la sua funzione.

producono per l'iniluenza di fattori chimici, di radiazioni, di fluttuazioni di ca­ In tal modo, sequenzialmente, si costruisce la catena polipeptidica, Dopo che

lore, ecc. Esse possono interessare i geni e i cromosomi; consistere nella varia­ questa si è completata, essa si divide dal ribosoma e si attorciglia, assumendozione, nella perdita, o nella rotazione di r8o' i di un tratto della catena, ecc. le sue strutture secondaria e terziaria.

Si dà ora, brevemente e con notevoli semplificazioni, la descrizione del pro­ Riassumendo, si può dire che in tutti i t ratti da noi considerati, nei quali

cesso stesso di elaborazione dell'informazione ereditaria. inizia la catena di trasmissione dell'informazione ereditaria, dominano le strut­

Ogni organismo riceve dai genitori (o dal genitore) un insieme di geni. Que­ ture discrete: le piccole unità messaggere, i nucleotidi e i residui acidi si orga­

sti sono costituiti da molecole di DNA e sono distribuiti nei cromosomi. In queste nizzano in un sistema lineare con rigide regole di ricodificazione. Nell'ultimo

molecole di DNA è contenuta tutta l ' informazione ereditaria necessaria per lo stadio di questa catena il discreto si esprime mediante il principio «un gene — un

sviluppo e la vita dell'organismo. Nella forma stabile una molecola di DNA e enzima - una reazione». Le reazioni che avvengono nella cellula hanno una strut­

costituita non da una, ma da due catene polinucleotidiche, che si avvolgono l'una tura spazio-temporale già cosi complessa che, per poter spiegare le loro caratte­sull'altra formando la famosa doppia elica. Questa struttura è definita in base ristiche continue/discrete, bisogna passare a un altro livello di descrizione.alla legge di complementarità: i legami d'idrogeno uniscono le coppie di basi Omettendo per necessità ulteriori particolari e tralasciando l'enorme gerar­

che nelle due catene si trovano una di fronte all'altra. Nel DNA sono possibili chia dei successivi livelli, non si può non accennare per sommi capi al manife­

solo le coppie (AT), (CG) e quelle ad esse speculari ; nell'RNA sono possibili ri­starsi di questa organizzazione discreta dell'informazione genetica a livello del­

spettivamente (AU) e (CG). Questo principio di complementarità, che è unal'individuo, della popolazione e della specie.

variante della codificazione, svolge un ruolo fondamentale in due processi : nella Prima di tutto la costituzione genetica che l'organismo eredita dai suoi geni­

duplicazione e nella trasmissione dell'informazione dal DNA alla proteina. tori, cioè il suo genotipo, si manifesta esternamente in un insieme di caratteri

Nel processo di divisione della cellula la spirale DNA si sviluppa e ognuna visibili che costituiscono il fenotipo dell'organismo. I caratteri fenotipici posso­

delle due catene polinucleotidiche costruisce su se stessa, come su una matrice, no essere morfologici (colore, grandezza, forma del corpo, o di sue parti ), oppu­la catena complementare. Quale risultato si ha la duplicazione di una copia del­ re fisiologici (presenza o assenza di un determinato enzima). Nel caso piu sem­l'informazinne ereditaria. plice il carattere fenotipico è controllato (regolato) da un solo gene di un dato

Il processo di trasmissione dell'informazione dal DNA alla proteina si attua carattere. Nella riproduzione bisessuale l'organismo riceve dai genitori due geni

attraverso alcuni stadi. All' inizio il DNA (una delle sue catene) costruisce su se di ciascun sesso: uno paterno e l'altro materno. Essi possono corrispondere a

stesso, secondo il principio di complementarità, la catena RNA (sono possibili forme diverse del carattere fenotipico. Per esempio, nel genotipo di uno stesso

solo le coppie (AU), (CG), (GC), (TA)) : questo RNA si chiama messaggero uomo vi può essere il gene degli occhi castani, ricevuto dal padre, e il gene degli

(m-RNA). Le triplette di nucleotidi nell'm-RNA si dicono antitriplette. In una occhi celesti, ricevuto dalla madre. Uno di questi geni può definire completa­

molecola di DNA è scritta sequenzialmente l'informazione sulla sintesi di molte mente il carattere e, in tal caso, esso si dice dominante, mentre l'altro si dice

proteine diverse; una molecola di m-RNA è notevolmente piu corta; essa contie­ recessivo. Può anche accadere che l'azione contemporanea di due geni conducane l'informazione per una sola proteina, che, in base alla complementarità, si a una scala di gradazioni del carattere fenotipico. È, questo, uno dei fattori della

riferisce al tratto corrispondente della catena del DNA. continua variabilità del fenotipo. Un altro fattore è l'influenza dell'ambiente

Una lunga molecola di m-RNA lega tra loro alcune speciali formazioni intra­ esterno. Nei mammiferi uno dei meccanismi genetici dove l'azione discreta si

cellulari, i ribosomi, a forma di corpuscoli tondeggianti. Essi sono le «fabbriche manifesta in modo piu evidente è quello della regolazione del sesso.

Continuo /discreto 97o 97' Continuo/discreto

L'evoluzione di questa o quella forma degli organismi viventi avviene nelprocesso di avvicendamento delle nuove generazioni d'individui, viventi in un Il sistema nervoso. Negli organismi pluricellulari esso consiste di celluledeterminato territorio e che s'incrociano tra loro: si tratta di una popolazione specializzate: i neuroni. In un t ipico neurone si individuano le parti seguenti:genetica. Il genotipo di ogni individuo è unico, ma la frequenza media di varietà a) un'appendice recettiva (dendriti) ; b) un luogo per la generazione degli im­(allele) di ogni gene in una grande popolazione è relativamente stabile. Per l'evo­ pulsi nervosi (solitamente il tratto iniziale di una lunga appendice, l'assone);luzione è essenziale alterare questa stabilità e ciò avviene grazie ai processi di c) un elemento conduttore, lungo il quale scorrono velocemente gl'impulsi, l'as­mutazione, alle rigenerazioni selettive e, nelle piccole popolazioni, alle fluttua­ sone ; d) una parte terminale dell'assone, dove avviene la secrezione dei mediatorizioni casuali del fondo genico. Infine, può verificarsi un afflusso di geni da un'al­ verso l'appendice recettiva di un altro neurone ; e) il corpo del neurone (perica­tra popolazione. La media delle variazioni discrete del fondo genico, rispetto rio, soma), che sostanzialmente svolge funzioni trofiche. L'unità funzionale dela una grande popolazione, produce l'effetto di un'evoluzione continua. Una sistema nervoso viene assicurata da legami interneuronici, realizzati mediantebrusca variazione delle condizioni esterne che conduca a una selezione e a una sinapsi. Nelle sinapsi tra i neuroni vi è una sottile fessura fra il tratto di mem­successiva rigenerazione d'individui, con uno specifico genotipo (apparso, pro­ brana della parte terminale del neurone presinaptico e il tratto di membranababilmente, quale risultato di mutazioni ), si presenta come un salto evolutivo. della parte recettiva del neurone postsinaptico. Il numero di neuroni in tutto ilI salti evolutivi si notano in modo particolare negli organismi primitivi con un sistema nervoso dell'uomo è dell'ordine di zo' . I neuroni della spina dorsale efondo genico povero. I virus, costituiti quasi esclusivamente da materiale gene­ del cervello formano il sistema nervoso centrale; gli altri formano il sistematico, subiscono in modo particolarmente facile variazioni e salti. Sono largamen­ nervoso periferico. Il percorso tipico di un segnale dall'ambiente esterno è ilte noti gli esempi forniti dai virus delle infezioni influenzali. seguente: le cellule recettive (recettori cutanei, cellule del gusto, recettori della

Esiste l'ipotesi che gli uccelli, considerati quale classe zoologica, si poterono vista, ecc.), sottoposte all'azione di uno stimolo esterno, inviano attraverso leformare da antenati pennuti a conclusione di un'unica mutazione, nella quale si sinapsi un segnale ai dendriti terminali dei neuroni, i quali portano il segnaleè accorciata la loro lunga coda (simile a quella dei rettili con le penne), ciò che al sistema nervoso centrale. In questo percorso i neuroni si dicono afferenti,migliorò nettamente le loro caratteristiche aerodinamiche. La possibilità di una Nella direzione inversa i neuroni efferenti trasmettono i segnali dal sistema ner­tale mutazione si dimostra con l'esempio dei gatti senza coda dell'isola di Man. voso centrale agli organi esecutivi : muscoli, ghiandole, ecc. Nello stesso sistema

Un gruppo di popolazioni con un fondo genico cosi comune che tra loro nervoso centrale avvengono i processi fondamentali di ricezione, coordinazione,siano possibili gl'incroci si chiama specie. Le frontiere tra le specie, pur non es­ elaborazione e conservazione dell'informazione.sendo barriere assolute, sono definite in modo sufficientemente netto dall'in­ Considerando piu da vicino il modo di rappresentare e trasmettere le infor­compatibilità dei genotipi, i quali ostacolano la riproduzione di forme interme­ mazioni da parte di un neurone, si rileva che il fondamento fisico è costituitodie. La presenza di queste frontiere è ancora una manifestazione del discreto dagl'impusi nervosi, o potenziali d'azione, che sono variazioni di breve duratanell'informazione genetica. Nella formazione delle specie possono influire di­ del potenziale elettrico tra gli elettroliti da ambo i lati della membrana neuroni­versi fattori isolanti, che ostacolano l'incrocio tra sottogruppi della popolazione ca. Queste variazioni si propagano attraverso le appendici del neurone e hannoe che, nel processo dello sviluppo evolutivo, favoriscono la divergenza dei loro forma d'impulsi. Secondo le moderne interpretazioni, gl'impulsi che corronofondi genici in direzioni diverse. lungo le fibre nervose sono omogenei, nel senso che la loro forma e grandezza

non contiene informazione (almeno in determinati limiti ) ; essenziale, invece, è2.3. Il sistema nervoso e il sistema endocrino.

la frequenza degl'impulsi e cosi pure l'insieme delle fibre nervose attive. Pertan­to, di per sé gl'impulsi hanno un carattere discreto, mentre la loro densità spa­

La trasmissione delle informazioni all'interno di un organismo pluricellulare ziale e temporale è relativamente continua, ciò che assicura, per esempio, lacomplesso viene attuata fondamentalmente da due sistemi specializzati: quello possibilità di una sottile graduazione delle reazioni motorie. Una secoda compo­nervoso e quello endocrino. I l sistema nervoso controlla prevalentemente le nente essenzialmente continua del processo di elaborazione delle informazionireazioni veloci (la cui durata non supera il millisecondo), mentre quello endocri­ viene realizzata nelle sinapsi. Un impulso nervoso, quando giunge alla termina­no controlla le reazioni lente, di lunga durata. In entrambi i sistemi l'interazione zione presinaptica, provoca la secrezione di sostanze speciali, i mediatori. I lintercellulare si attua mediante la secrezione di sostanze speciali, cioè è quasi di mediatore si diffonde attraverso una stretta fessura sinaptica e agisce sulla mem­tipo analogico. Nelle cellule nervose la trasmissione intracellulare delle informa­ brana del neurone contiguo postsinaptico. Quest'azione può essere di caratterezioni avviene mediante impulsi elettrici, aventi una caratteristica discreta. Tut­ eccitante o inibitorio, provocando un aumento o una diminuzione del potenzia­tavia la stessa codificazione delle informazioni usa proprietà statistiche spazio­ le della membrana postsinaptica. Le sinapsi inibitorie sono di eccezionale im­temporali degli impulsi. portanza. In certe intossicazioni, quando la loro azione viene bloccata, il sistema

nervoso viene preso da forti scariche convulsive in grado di uccidere l'organi­

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smo. Naturalmente ciò è solo la manifestazione esterna di alterazioni assai gravi provoca una breve, ma notevole accelerazione degl'impulsi; avviene qualcosanei processi fini di elaborazione delle informazioni, dove inibizione e «censura» come la «differenziazione» della temperatura rispetto al tempo nel significatosono non meno importanti che la produzione di segnali. Nel sistema nervoso matematico della parola. Tuttavia, la successiva stabilizzazione della frequenzacentrale dei mammiferi giungono ad ogni cellula postsinaptica le terminazioni degl'impulsi, in questi intervalli, avviene con modalità diverse; essa è piu bassapresinaptiche di alcuni neuroni: parte sono inibitori e parte sono eccitanti. Le con il decrescere della temperatura nel dominio «caldo» ed è piu alta con il cre­sorgenti dei segnali originali possono trovarsi in parti molto lontane dal sistema scere della temperatura nel dominio «freddo».nervoso. Infine, le caratteristiche dei termorecettori hanno rivelato proprietà di co­

I segnali che giungono a un neurone vengono presi in conto con pesi diver­ siddetta isteresi ; le misurazioni della frequenza degl'impulsi durante il raffred­si ; il segno di questi è determinato dal carattere della sinapsi (eccitante, o inibi­ damento della cute da 38 oC a i4 oC e il successivo riscaldamento fino alla stessatoria), mentre la grandezza assoluta dipende dalla distanza della sinapsi dal luo­ temperatura iniziale hanno dato curve diverse sul tratto ascendente e discen­go di generazione degl'impulsi. Soprattutto le azioni eccitanti e inibitorie hanno dente, benché raffreddamento e r iscaldamento siano stati effettuati gradata­un certo tempo di attenuazione. Se la somma delle eccitazioni supera una certa mente, con intervalli per l'adattamento.soglia, il neurone comincia esso stesso a generare gl'impulsi. In conclusioneogni neurone agisce come un sommatore non-lineare e un trasformatore di fre­ Il sistema endocrino, Le variazioni prolungate di adattamento(legate al me­quenze. tabolismo, alla crescita, alla riproduzione ), le concentrazioni di diverse sostanze

Tutti questi meccanismi dànno luogo alla possibilità di tipi diversi di elabo­ nel sangue e dei liquidi esocellulari sono regolate da sostanze speciali ; gli ormo­razione delle informazioni, realizzate in particolare nei nuclei sensoriali di com­ ni, distribuiti nell'organismo dal flusso del sangue. Alcuni ormoni sono prodottimutazione. L'informazione può subire commutazioni in un verso o in un altro ; da neuroni (le cosiddette cellule neurosecernenti). Gli ormoni sono molto attivipuò essere intensificata, indebolita o filtrata, di modo che alcune caratteristiche e la loro concentrazione nel sangue non è grande. Gli ormoni sono prodottirisultino attenuate e altre intensificate; può essere inviata alla memoria, oppure dalle ghiandole endocrine, quali la tiroide, l'ipofisi, le ghiandole surrenali. Ila sollecitare una reazione immediata; infine può essere ricodificata, cioè tra­ pancreas, le ovaie e i testicoli producono, oltre agli ormoni, anche secrezioni im­scritta su un altro supporto materiale. I particolari di questi processi sono in­ messe attraverso i cosiddetti condotti escretori.credibilmente vari e variabili; la non-linearità è un loro tratto caratteristico; Alcuni ormoni influiscono sul metabolismo in tutte le parti del corpo. Talel 'abbondanza dei modelli matematici può essere confrontata solo con la loro è la tirosina, prodotta dalla tiroide, la quale accresce l'intensità del metabolismoinadeguatezza. Molte generalizzazioni sono suggestive per la loro attraente sem­ fondamentale. La parte anteriore dell'ipofisi produce l'ormone della crescita,plicità ; è di Mountcastle l'audace aforisma «Il cervello è un operatore lineare», che agisce sul metabolismo proteico, lipidico e dei carboidrati e che regola lacon ciò supponendo che tutta la non-linearità resti a carico della periferia. Ma crescita delle ossa e quella generale del corpo.se ne sa troppo poco. Tuttavia, la maggioranza degli ormoni ha specifici «destinatari», benché il

Si riportano, quale esempio, alcuni particolari sulla codificazione iniziale flusso del sangue li distribuisca per tutto l'organismo. Cosi la mucosa dell'inte­della sensazione di caldo-freddo da parte dei termorecettori cutanei. Qui si han­ stino duodenale produce una secrezione che agisce solo sul pancreas, stimolandono due concezioni contrapposte sulla presenza di recettori di uno oppure di due la produzione di succo pancreatico. Le cellule che ricoprono i follicoli dell'ovaiatipi. La dipendenza della frequenza degl'impulsi dalla temperatura, dopo un femminile producono l'estradiolo, il quale stimola lo sviluppo e la conservazioneperiodo di adattamento, ha la forma di una curva con due massimi, ciò che, pro­ dei caratteri sessuali femminili.babilmente, testimonia a favore dell'ipotesi di recettori di due tipi. Vi sono poi Nei casi piu elementari l'ormone può essere considerato quale semplice sup­altri argomenti. D' accordo con questa teoria e secondo le misurazioni, i recettori porto dell'informazione, o dell'istruzione, scritta in forma «analogica». Tale èdel freddo, dopo l'adattamento, rispondono con una frequenza fino a io impulsi / in prima approssimazione l'azione della secretina.secondo nel tratto fino a, 43 ~C con un massimo intorno a z8 oC; i recettori del Tuttavia, nella maggior parte dei casi le azioni ormonali sono riunite in uncaldo rispondono con una frequenza fino a 35-4o impulsi/secondo nel tratto da sistema con cicli di retroazioni e, qualche volta, connesse evidentemente con

3o a 5o ~C, con un massimo intorno ai 45 ~C, Ogni frequenza degl'impulsi se­ il sistema nervoso,gnala due possibili temperature solo per un tipo di recettori; per esempio, il Per esempio, la concentrazione di glucosio nel sangue viene regolata da duerecettore del freddo con 7 impulsi /secondo segnala r5 oC e 35 oC, però a 35 'C ormoni : l'insulina e il glucagone. La concentrazione di glucosio nel sangue cre­s'inseriscono anche i recettori del caldo, ciò che permette di distinguere queste sce dopo un'alimentazione ricca di carboidrati. Una parte del glucosio entra neldue temperature. fegato, dove viene trasformato in riserva di glicogeno. Un aumento del livello

Se si considerano i processi di transizione, si manifestano nuovi fenomeni. Il di glucosio provoca la secrezione dell'insulina da parte di speciali P-cellule delleraffreddamento dei recettori del freddo da zo,5 a t 5,z oC, oppure da 35 a 3I,5 'C isole del pancreas. L'insulina accresce rapidamente il trasporto di glucosio nelle

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cellule dei muscoli scheletrici e dei tessuti adiposi. Se la concentrazione del glu­ Per noi è interessante appunto la possibilità d'individuare queste compo­cosio nel sangue scende sotto il livello ottimale, comincia la secrezione del gluca­ nenti discrete sullo sfondo di un'enorme variabilità di tutte le possibili azioni.gone da parte delle cellule del pancreas. Il glucagone attivizza un sistema specia­ Moltissimi fatti sperimentali e generalizzazioni teoriche sono stati ottenutile del fegato, nel quale il glicogeno di riserva viene trasformato, in alcune tappe, in questo campo dalla scuola etologica di Lorenz. Secondo Lorenz, le formein glucosio e immesso nel sangue. stereotipe, istintive del comportamento, condizionate ereditariamente, formano

Ancora piu sottilmente viene bilanciato il meccanismo di regolazione dei i componenti elementari di quelle azioni integrali quali il procacciamento delcicli mestruali in alcuni mammiferi. Il concepimento è possibile solo quando un cibo e la riproduzione. Per esempio, il procacciamento del cibo da parte del lupodeterminato tipo di comportamento sessuale esterno della femmina concorda si compone di una catena di azioni istintive: fiutare, braccare, inseguire, ucci­nel tempo con l'ovulazione e lo stato della mucosa del suo utero. Alla regolazio­ dere la vittima.ne di questi eventi partecipano almeno otto ormoni e il sistema nervoso centrale. In generale un'azione istintiva è la risposta a uno specifico segnale esterno.

Notiamo infine l'esistenza di mezzi chimici per trasmettere l'informazione Tuttavia la soglia dell'eccitazione varia a seconda dello stato dell'animale, Unada un organismo a un altro. Si chiamano ferormoni una classe generale di so­ gatta in un luogo con molti topi inizialmente li prende per mangiare. Ma, dopostanze che si diffondono nell'ambiente esterno da ghiandole endocrine e, rece­ essersi saziata, essa può continuare a prenderli senza ucciderli e poi scomparepite attraverso gli organi di olfatto e di gusto, influiscono sul comportamento e persino l'atto della cattura ; la gatta si avvicina silenziosa solo ai topi piu lontani„sulle funzioni fisiologiche di altri individui, generalmente della stessa specie. senza far caso a quelli piu vicini. Al contrario, l'assenza di eccitanti, che inne­Fanno parte dei ferormoni gli attrattivi sessuali (nelle farfalle), i marcatori di stino un'azione istintiva, può abbassare la soglia sino a zero e condurre l'ani­tracce e i segnali di allarme (nelle formiche). Queste sostanze influiscono imme­ male allo stato di ricerca (Appetenzverhaltung). È proprio questo lo stato favo­diatamente sul comportamento degli individui. La regolazione della crescita del­ revole per l'ammaestramento e, in particolare, per estendere il «linguaggio»le cavallette e la regolazione del numero deg'individui sessuati e dei soldati nelle comprensibile all'animale.colonie di termiti si realizzano anch' esse mediante i ferormoni, l'azione dei quali È caratteristico il fatto che l'innesto di un'azione istintiva sia provocato dallaè piu prolungata nel tempo e dà inizio a un'intera catena di fenomeni fisiologici corrispondente situazione non in modo generico, ma da poche speciali caratte­complessi. ristiche elementari di questa situazione, dette stimoli.

I ferormoni, similmente agli ormoni, agendo in concentrazioni molto piccole, Gli uccellini fuggono alla vista di animali con occhi grandi. In una serie dicompiono precise funzioni segnaletiche. Cosi, la femmina del baco da seta pro­ farfalle, nel processo della loro evoluzione, ciò produsse l'apparizione di dispo­duce il suo attrattivo sessuale, il bombicolo, e lo emette nell'aria. Con un vento sitivi di difesa sotto forma di macchie a forma di grossi occhi, che diventanoleggero le molecole di bombicolo di una sola femmina possono diffondersi in visibili quando le ali sono aperte.un'area dell'ordine di un chilometro quadrato. Queste molecole agiscono su re­ A primavera, dopo la scelta del territorio, il maschio dello spinarolo attaccacettori disposti sulle antenne del maschio. Esperimenti e semplici calcoli mo­ un altro maschio che si avvicini. Lo stimolo è dato da una macchia rossa sul ven­strano che l'azione di xos-xos molecole di bombicolo è già sopra la soglia d'ecci­ tre di quest'ultimo e l'attacco può essere suscitato da un qualsiasi oggetto contazione. sotto una macchia rossa.

Anche negli animali superiori hanno una determinata importanza i segnali Questo carattere discreto degli stimoli si manifesta in modo particolarmentechimici con modulazione continua, ma con azione relativamente discreta. Tut­ chiaro con l'esistenza di «ultrastimoli» che suscitano reazioni molto piu intensetavia in essi cominciano a dominare i segnali recepibili dalla vista e dall'udito che in condizioni normali. Un uccello può smettere di covare le proprie uovache si passa ora ad esaminare. a favore di altre piu grosse, di specie diversa, o persino a favore di pietre a forma

d'uovo, cosi grosse che è impossibile covarle. Il becco aperto del grosso cuculo

z.y. Sistemi di segnalazione negli animali. appena nato è un ultrastimolo che induce gli uccelli canterini ad alimentario.Gli stimoli di comunicazione all'interno di una specie, che si evolvono in­

Tutta l'informazione recepibile dagli organi di senso si può suddividere, sieme agi'istinti che essi stessi sollecitano, possono assumere forme assai speci­grosso modo, in due classi: informazione dall'ambiente esterno e informazione fiche e stupefacenti. Cosi il corteggiamento e l'accoppiamento dei pesci e deglidall'interno. Qui verrà considerata solo la prima classe ; in essa si distingue una uccelli è accompagnato da loro vivaci colorazioni e movimenti, Questi stimoliparticolare sottoclasse di segnali, quelli recepibili dagl'individui della stessa spe­ si chiamano Ausloser. La loro apparizione ed evoluzione possono essere chiaritecie. Le componenti discrete sul piano dell'espressione (segnali) e la semantica solo dal loro carattere discreto e segnaletico.(reazioni comportamentali ) formano il linguaggio, che è specifico per una deter­ I linguaggi di comunicazione interni a una specie possono contenere ancheminata specie nella sua interazione con il mondo esterno e nel comportamento una componente attiva, costituita da un sistema di segnali visivi e sonori, emessisociale. dall'individuo in determinate situazioni.

Continuo/discreto 976 977 Continuo/discreto

Un noto esempio è il linguaggio delle api, studiato da Frisch, con il quale teralmente, con lo spostamento massimo alla punta dell'addome e il minimoesse si trasmettono l'informazione del reperimento di una fonte di cibo (cfr. nel capo. La distanza della fonte alimentare viene codificata dal numero di pas­fig. i ). L'ape operaia (bottinatrice), che ha trovato il cibo a una distanza di cin­ saggi dell'ape lungo il t ratto centrale e dal numero di vibrazioni dell'addomequanta-cento metri dall'arnia, compie al ritorno una «danza circolare». Essa è per ogni secondo; con il crescere della distanza diminuisce il numero dei pas­il segnale alle altre api per una ricerca a caso in un intorno vicino all'arnia. Se saggi, ma aumenta la frequenza delle vibrazioni. La direzione della fonte ali­la distanza dal cibo è superiore, fino ad alcuni chilometri, l'ape esegue la cosid­ mentare viene codificata dalla direzione del passaggio lungo il tratto centraledetta «danza oscillante», con la quale vengono indicate due caratteristiche di­ rispetto alla verticale del luogo ; un passaggio parallelo alla verticale verso l'altoscrete della sorgente di cibo — la distanza e la direzione — e ognuna di esse viene corrisponde a un volo verso il sole; verso il basso, nella direzione contraria; glidescritta quantitativamente. L'ape descrive una curva all'incirca a forma di otto angoli intermedi corrispondono a direzioni intermedie.con un tratto centrale molto largo percorrendo il quale essa «vibra s il corpo la­ Il comportamento nuziale dei pesci e degli uccelli viene regolato da segnali

visivi, dal linguaggio delle pose e dei loro avvicendamenti, organizzati in parti­colari danze tipiche della specie.

=O.= I Primati usano sistemi di segnali acustici assai complessi, comprendentifino ad alcune decine di unità «concettuali ». Per esempio, nel « linguaggio» dellebertucce sudafricane sono stati individuati segnali acustici indicanti minacciaaggressiva (abbaiamento), vicinanza di estranei, non-aggressività (sbaciucchia­mento), energico avvertimento per un grosso predatore, ecc. Funzioni analoghesono svolte da codici e azioni segnaletiche quali la posizione delle estremità,della coda, delle orecchie. Gli specialisti sottolineano che l'informazione tra­smessa con questi segnali si riferisce in primo luogo a una disposizione emozio­nale di chi trasmette in quel momento, mentre la ricezione del segnale influisceprima di tutto sulla disposizione emozionale di chi lo riceve. Perciò la semanticadi questi segnali, appena descritti, è la «semantica per un osservatore esterno».Ciò nonostante la sua realtà è incontestabile.

La struttura a segni dei sistemi biologici di comunicazione descritti inducea postulare l'esistenza, nel sistema nervoso, di meccanismi specifici, responsa­bili del riconoscimento e dell'elaborazione di questi segni. Probabilmente lepossibilità di questi stessi meccanismi permisero e assicurarono all'uomo l'usodella parola e della scrittura. La specificità di questi sistemi è condizionata inprimo luogo da un'incredibile estensione dell'universo concettuale dell'uomo,rispetto alla limitatezza del numero di segnali elementari tra loro distinguibilicon sicurezza. Perciò le unità sul piano del contenuto devono essere trasmessemediante combinazioni di unità sul piano dell'espressione. Queste combina­zioni devono essere normalizzate e semanticamente orientate sul mondo esternoe non su una semplice trasmissione dello stato interno ; esse devono essere suf­ficientemente discretizzate, affinché siano percepite con precisione sullo sfondodei rumori e delle varianti individuali. Tutto ciò caratterizza il linguaggio umano.

t' ( b) z,g, Linguaggio parlato, linguaggio scritto e matematica.

Figura x. Il linguaggio parlato a diversi livelli viene descritto con vari sistemi di unitàDanza oscillante dell'spe domestica. La corsa indica un punto di rifornimento posto

venti gradi a destra del Sole quando l'ape lascia il nido. Se l'ape effettua la danza fuoridiscrete : fonemi, sillabe, parole, proposizioni, Il fonema, dal punto di vista acu­

dell'alveare (a), il tratto retti l ineo della danza indica direttamente la sorgente nutritiva ; stico, è l'intervallo sonoro minimo univocamente identificabile nei limiti dellase compie la danza entro l'alveare (b), si orienta per gravità e il punto direttamente sopra sua mutabilità; quest'unità, nelle moderne trascrizioni fonetiche, viene indicatala testa ra%gura la perpendicolare. L'angolo x (venti gradi) è identico per le due danze. con un solo segno. Il fonema, dal punto di vista del sistema del linguaggio, è

Continuo/discreto 978 979 Continuo/discreto

l'unità minima in grado di compiere la funzione di distinzione del significato. risce assolutamente nella comodità di fissare l'informazione, ma anche perchéGli stessi fonemi possono essere distinti mediante caratteri differenziali ancor si accresce notevolmente la possibilità di r ielaborarla. Si toccherà piu avantipiu elementari, quali vocalità-consonanza, afonicità-sonorità, ecc., una parte dei quest'aspetto, esaminando il linguaggio simbolico della matematica.

quali sono rilevanti in alcune lingue e non lo sono in altre. La descrizione mo­ La scrittura geroglifica è un anello di passaggio tra quella ideografica e quelladerna dei fonemi è il risultato di una lunga e difFicile analisi, che ha permesso di fonetica. Nelle sue forme piu sviluppate, alle unità elementari dell'espressionedistinguere caratteristiche astratte e discrete nel flusso del discorso, questo es­ corrispondono parole del discorso parlato, oppure nozioni definite cosi esatta­sendo acusticamente molto complesso e avendo inoltre un dominio di possibile mente che la loro trasmissione nel discorso è limitata dalla scelta di alcuni sino­

variabilità assai continuo, ciò che si rende evidente quando si ascolta una lingua nimi, mentre la sintassi dell'espressione grafica è vicina a quella del discorso edstraniera, o quando si compiono indagini elettroacustiche. inoltre è lineare. Ma il numero delle unità espressive è estremamente grande.

Le lingue non scritte delle società a struttura tribale erano caratterizzate da La scrittura sillabica e poi alfabetica nasce da quella geroglifica quando iluna grande mutabilità a tutti i livelli, sia nello spazio che nel tempo. La compo­ centro di gravità si sposta dal significato del segno al suo suono nella lingua data.nente sonora del discorso e il vocabolario si rinnovavano velocemente a causa La scrittura assume sempre piu un carattere enigmatico a mano a mano che la

della mancanza di un consolidamento scritto e per l'azione di diversi tabu e del­ sintassi, a livello delle parole, viene sostituita dalla sintassi a livello delle sillabel'isolamento spaziale. Il frazionamento dialettale assunse la forma di una fa­ e dei fonemi, staccati dai loro significati primitivi e incorporati in un sistemamiglia diffusa di lingue. Mikluho Maklai, che studiò le lingue papua nella se­ parallelo al sistema del discorso sonoro.conda metà del xix secolo, notò che in villaggi a quindici minuti di cammino il Insieme e contemporaneamente si rafforza l'influenza inversa del linguaggiovocabolario poteva già differire in alcune decine di parole. Gli abitanti di vi l­ scritto sul linguaggio parlato. La grammatica sanscrita, elaborata in India oltre

laggi a un'ora di cammino l'uno dall'altro a volte quasi non si capivano tra loro, duemila anni fa, rigorosa e molto vicina a quelle moderne in base a principimentre per un viaggio di oltre un giorno potevano occorrere due-tre interpreti. scientifici, aveva già un aspetto normativo eccezionalmente importante, che mi­Anche attualmente si nota un'analoga «continuità e mutabilità linguistica». I rava a conservare e trasmettere con precisione da una generazione all'altra ipopoli dell'Africa a sud del Sahara usano circa duemila lingue e dialetti diversi. testi sacri e che agevolò la conservazione di questa lingua fino ai nostri giorni.

Nel consolidamento e nella normalizzazione delle caratteristiche discrete E cosi la scrittura fissa il sistema della lingua, sottolineando i suoi aspetti

delle lingue ha avuto un'enorme importanza la scrittura, nelle sue forme silla­ discreti, e fissa i testi socialmente importanti in questo sistema, svolgendo ilbiche e alfabetiche. Tuttavia è essenziale osservare che i sistemi piu antichi, ruolo di una memoria stabile esterna dell'umanità. Ma la scrittura fa di piu.

pittografici e ideografici, non fissarono il discorso sonoro, ma direttamente la La logica della lingua, fissata al di fuori della consapevolezza del portatore disemantica della comunicazione; essi furono «una seconda lingua» dell'uomo. questa lingua, apre nuove possibilità di generare testi e idee. La moderna socio­Perciò, considerarli parallelamente alla scrittura, a rigore, non è corretto. Le linguistica, che risale a Humboldt, Sapir, ÙVhorf e altri ricercatori, studia in cheunità di espressione in queste scritture corrispondono direttamente alle unità misura la lingua definisce il comportamento sociale delle persone e le loro formedi contenuto, tralasciando l'aspetto fonetico. La sintassi dei sistemi pittografici di conoscenza del mondo esterno. Senza soffermarsi su questo, si accennerà alè prossima alla «sintassi del significato» e non alla «sintassi del discorso»; in ruolo del linguaggio della matematica nello sviluppo della matematica stessa eparticolare essa può essere assai lontana dalla linearità. della fisica.

Un tale modo di trascrivere i significati ha alcuni vantaggi essenziali, par­ Il linguaggio delle formule realizza l'esteriorizzazione del pensiero, per cuiticolarmente quando è applicato a sfere semantiche specializzate. Il discorso frammenti notevoli del processo mentale possono essere prodotti (e non soltantosonoro acquista in universalità, perdendo qualche volta nella comodità dell'e­ riprodotti ) su supporti esterni dell'informazione, che vanno da un pezzo di cartaspressione. Nei moderni sistemi di notazioni delle scienze noi osserviamo com­ a una lavagna con il gesso, fino ai calcolatori elettronici. E, nei calcoli manuali,

ponenti ideografiche essenziali; tale è il linguaggio internazionale delle formule la scrittura delle formule non compie solo una funzione simile al ruolo della me­chimiche, oppure, in un campo molto strettamente specializzato, il linguaggio moria e dell'unità aritmetica dei calcolatori, ma anche quella di unità di control­

dei «diagrammi di Feynmann» in fisica. Questi sistemi realizzano una trasmis­ lo (non-deterministica) nei confronti del cervello del matematico. L'aspetto del­sione diretta dell'informazione al cervello, la cui espressione a parole potrebbe le formule, la loro struttura e l'analogia con altre formule suggeriscono al ma­essere estremamente difficoltosa. Da questo punto di vista è interessante mettere tematico e al fisico la scelta dell'ulteriore direzione dell'indagine e la scelta dellaa confronto il linguaggio delle formule di struttura con il linguaggio parallelo, nuova semantica per il linguaggio matematico «semanticamente vuoto», o, piut­a parole, della nomenclatura chimica. La ricodificazione di una denominazione tosto, «semanticamente polimorfo». La famosa storia dell'«equazione d'onda»

lineare quale «3­(-dietilammino-etil )-g-metil-7-carbetossi-metossi-z-osso­( i,z­ fornisce di questo fatto illustrazioni stupefacenti. Essa fu ricavata inizialmentecromo) idrocloruro» nella formula di struttura e viceversa richiede l'impiego di per descrivere le oscillazioni di una corda, o di una membrana. Maxwell, che laalgoritmi complessi. Di piu, l'importanza di tali sistemi ideografici non si esau­ ricavò mediante calcoli formali dalle sue equazioni iniziali che collegano le varia­

Continuo /discreto g8o r18i Continuo/discreto

zioni dei campi elettrico e magnetico, dedusse la possibilità della propagazione In secondo luogo tutti i modelli della continuità usati funzionano sostanzial­delle onde elettromagnetiche. Note costanti fisiche, presenti nelle equazioni mente con insiemi infiniti, benché la definizione di spazio topologico non richie­di Maxwell, permisero di calcolare la velocità di propagazione di queste onde. da che esso sia infinito, ed esistano, infatti, esempi importanti di spazi topologi­Poiché essa risultò uguale alla velocità della luce, Maxwell suggeri l'audace con­ ci finiti, persino con soli due punti (uno chiuso, l'altro aperto). In fisica appaionogettura che la luce visibile avesse la stessa natura delle onde elettromagnetiche. solitamente strutture «quasi continue» su insiemi finiti nell'ipotesi che questiE le stesse onde e la natura ondulatoria della luce furono poi scoperte speri­ insiemi siano cosi grandi da poter essere riguardati come se fossero «quasi in­mentalmente. Schrodinger scrisse la sua equazione d'onda inizialmente nella finiti». In realtà le risorse matematiche delle teorie moderne sono piu estese.ricerca di un comodo schema matematico per chiarire gli effetti quantistici di­screti. Il significato della funzione d'onda, che in quest'equazione appare quale 3.I. Topologia e tolleranza.incognita, inizialmente non era assolutamente chiaro. La sua successiva inter­pretazione quale «onda di probabilità», o, piu esattamente, onda di ampiezza Spazi non separati. Un a proprietà importante della retta R dei numeri reali(complessa) di probabilità, condusse a introdurre nell'universo dei concetti una consiste nel fatto che due punti diversi possono essere racchiusi in due inter­struttura del tutto nuova e straordinaria, che ha cambiato sia la concezione del valli disgiunti. Questa proprietà viene estesa alle varietà topologiche, differenzia­mondo che il modo di vivere dell'uomo moderno. bili e analitiche : due punti distinti di una varietà si possono sempre racchiudere

Non è possibile immaginare l'avvento di queste scoperte senza i sistemi sim­ in due intorni aperti disgiunti. Se uno spazio topologico X gode di queste pro­bolici discreti della scienza. prietà, si dice che per esso vale l'assioma di separazione di Hausdorff. Gli spazi

(o le topologie) per i (le) quali questo assioma non ha luogo si dicono non-sepa­rati. Si riportano alcuni esempi,

Modelli matematici complementari. Sia R dotato della topologia nella quale gl'insiemi aperti sono i complementidegl'insiemi finiti di punti. Questa topologia non separabile si chiama topologia

Nel ) i è s tata descritta brevemente una serie di modelli matematici, nei di Zariski su R. Piu in generale, se X è un insieme di numeri complessi, o diquali si considerano le interazioni tra il continuo e il discreto in molteplici si­ punti complessi su una varietà algebrica data, ad esempio, da equazioni polino­tuazioni fisiche. Oltre ai due casi «puri », tipo varietà differenziale da un lato e in­ miali in alcune variabili, gl'insiemi aperti in X secondo Zariski sono i comple­siemi con topologia discreta (solitamente finiti, o numerabili ) dall'altro, appa­ menti delle sottovarietà algebriche in X.rivano strutture piu complesse, dove gl'invarianti discreti si manifestavano come La generalizzazione della nozione di varietà algebrica è quella di schema.provenienti da strutture continue, ad esempio lo spettro di un operatore lineare, Uno schema è un certo spazio topologico munito di un fascio di anelli. Gli sche­oppure le caratteristiche topologiche del quadro delle fasi di un sistema dina­ mi piu semplici sono quelli a@ni. Se A è un qualsiasi anello commutativo conmico. In questo paragrafo, senza pretendere la completezza, saranno conside­ unità, lo spazio topologico dello schema affine Spec A (spettro dell'anello A ) con­rate ancora alcune strutture matematiche che, fino ad ora, hanno trovato rela­ siste in tutti gli ideali primi P c A, cioè di tutti i sottogruppi abeliani di A, chiusitivamente poche, o addirittura nessuna applicazione nelle teorie fisiche, ma che, rispetto al prodotto con gli elementi di A e tali che, se xy c P con x,y e A, si ha xe P,è probabile, hanno interesse per il futuro. oppure ycP. Ogni sottoinsieme EcA definisce il sottoinsieme V(E) cSpec A

Anzitutto vanno sottolineati due aspetti. che consiste di quei PcA ta li che EcP. I complementi Spec A+V(E) forma­In primo luogo, nell'ambito della matematica teorico-insiemistica, l'aspetto no un sistema d'insiemi aperti in un'opportuna topologia in Spec A che pu­

discreto è quello primario ; ogni insieme è la collezione dei suoi elementi in nes­ re viene chiamata topologia di Zariski. Se A non ha divisori dello zero, duesun modo legati tra loro, ad eccezione, eventualmente, della relazione d'inclu­ qualsiasi insiemi aperti in Spec A, non vuoti, hanno intersezione non vuota,sione — nell'universo di Zermelo-Fraenkel. L'aspetto della continuità può esse­ cosi che Spec A. non è separato. Di piu, di regola Spec A contiene punti nonre introdotto in un insieme quale struttura supplementare, individuando una chiusi, piu esattamente, sottoinsiemi non chiusi costituiti da un solo punto.classe di insiemi speciali, gli aperti, che definiscono lo spazio topologico. Si Cosi, se A non ha divisori dello zero, (o} è un ideale primo in A e la chiusurapotrebbero immaginare i fondamenti della matematica con un'altra assiomatica, del punto corrispondente in Spec A coincide con tutto lo spazio. Lo spazionella quale l'aspetto continuo fosse posto fin dall'inizio. Quale tentativo estre­ Spec A può essere finito, ma dotato di una topologia non-banale come lo spa­mamente ingenuo si potrebbe, ad esempio, assiomatizzare la relazione «essere zio di due punti visto precedentemente.parte» invece di tessere elemento». Tuttavia all'autore non sono noti seri lavori Infine si possono ottenere forme diverse di non-separazione rincollando»in questa direzione. L'approccio categoriale ai fondamenti della matematica tra loro spazi topologici. Siano X, X' due spazi topologici ; UcX, U ' c X ' s ia­porta in primo piano, evidentemente, le rappresentazioni non connesse diretta­ no due loro sottoinsiemi aperti. Si supponga che esista un omeomorfismo di Umente con la continuità. su U'. Identificando nell'unione X U X' i sottoinsiemi U e U', si ottiene un nuo­

Continuo/discreto 98z 983 Continuo/discreto

vo spazio Y quale risultato dell'incollamento. Se, per eseinpio, X = X ' = R, quadro delle fasi variano col tempo e dipendono da eccitazioni esterne, ciò che

U = U' = Rg (or, risulta che Y coincide ovunque con R ad eccezione che nello permette di applicare l'ideologia delle catastrofi di Thom (cfr. il $ i).o e in Y il punto o diventa «sdoppiato» ; due qualsiasi intorni di questi due punti Tuttavia, allo stato attuale, il modello di Zeeman non ha raggiunto un livello

in Y si intersecano. che permetta di dedurre predizioni quantitative atte a verifiche sperimentali.

La non-separazione di due punti x, ye X potrebbe essere riguardata qualemodello di diversi effetti nelle scienze naturali che f ino ad ora non hanno avuto Topologie sconnesse. In conclusione ci si soffermerà su una classe di topo­

una descrizione quantitativa soddisfacente. Per esempio, invece di considerare logie, ben studiate dai matematici, dove viene meno l'aspetto della connessione

l'elettrone come una formazione puntuale, si potrebbe supporre che i punt i del continuo indiviso di R. Un sottoinsieme di uno spazio topologico X si dicedello spazio a distanza sufficientemente piccola diventano non-separati in una chiuso se il suo complemento è aperto. Uno spazio X è connesso, se esso non

conveniente topologia. La nozione di «distanza minima» potrebbe essere allora è l'unione di due sottoinsiemi chiusi disgiunti. Tali sono tutti gli spazi R". Ogni

la caratteristica quantitativa del grado di questa non-separazione rispetto all'or­ spazio topologico è l'unione disgiunta di tutti i suoi piu grandi sottospazi connes­

dinaria metrica dello spazio. La stessa cosa si potrebbe fare con un'ipotetica no­ si, cioè di tutte le sue componenti connesse. L'idea intuitiva della connessione è

zione di «durata minima». strettamente correlata all'idea di continuità e cosi pure alla maggioranza dei

Nelle indagini psicologiche e cosi pure nella teoria delle misurazioni l'aspet­ modelli fisici e ciò per la connessione degli ordinari modelli dello spazio-tempo.

to della non-separazione interviene quale conseguenza dell'esistenza di «soglie Si riportano alcuni esempi caratteristici di spazi topologici completamente

di differenziazione», oppure di «sensibilità degli strumenti». Due punti lumi­ sconnessi, nei quali le componenti connesse sono i singoli punti. L'esempio piunosi proiettati su uno stesso fotorecettore dell'occhio diventano indistinguibili. semplice è lo spazio discreto, nel quale tutti i sottoinsiemi sono aperti (e chiusi).Due oggetti materiali, che emettano luce con lungezza d'onda A, diventano in­ Ma la topologia può non essere cosi banale. Sia p un numero primo, Nell'anellodistinguibili quando la distanza tra loro è di un ordine di grandezza minore di ) . Z dei numeri interi introduciamo una topologia, dichiarando due numeri interi

Zeeman, per modellare tali effetti, ha introdotto una nuova nozione mate­ x, y molto vicini se x — y è divisibile per una grande potenza di p, In questa to­matica, gli spazi di tolleranza, i quali, a priori, non sono necessariamente dotati pologia la somma e il prodotto sono continui, ma essa non è completa; il limitedi una struttura topologica. di una successione di Cauchy (x„), x„— x ~o per min (n, m) ~ ~, può non esi­

stere. In modo standard è possibile completare Z in questa topologia e ottenere

Tolleranza. Sia X un certo insieme. Si chiama tolleranza ( su X una rela­ l'anello topologico completo Zp dei numeri interi p-adici. Gli elementi di Zp

zione binaria xFy che sia riflessiva(x(x) e simmetrica (da xFy segue che y(x). possono essere scritti sottoforma di serie :

Per esempio, si può definire su R (o sul piano R», o nello spazio R») una «tolle­ranza con distanza minima l» ponendo xFy, se la distanza tra x e y non supera l. g a,P" o < a. < p — i.

p,=OUna delle proprietà interessanti della tolleranza consiste nella possibilità di

ricostruire una serie di proprietà topologiche di uno spazio a partire dalla stessa Le serie finite, per le quali a„=o per n ) n », sono le rappresentazioni p-arie

tolleranza. Grosso modo, se si ha una varietà topologica con una metrica e s'in­ degli ordinari numeri interi. La topologia in Z, ne l la quale x, y sono vicini

troduce in essa una tolleranza con lunghezza minima I, le proprietà topologiche quando x — y ha la formache «si manifestano a una distanza maggiore di l» possono essere calcolate ri­spetto alla tolleranza. Questo fatto è in relazione con il riconoscimento delle « for­ a„pn

R=Pp

me» (Gestalt) in psicologia.Zeeman ha considerato anche la possibilità di applicare questo schema alla con n» grande, si chiama topologia p-adica ed è completamente sconnessa.

descrizione del processo mentale. Euristicamente, si consideri lo spazio Y degli Gli spazi topologici completamente sconnessi racchiudono in sé organica­stati istantanei di tutti i neuroni del cervello ; un punto di Y definisce il carattere mente l'aspetto della continuità (topologia) e del discreto (assenza di componen­dell'equilibrio chimico e delle frequenze delle pulsazioni di tutti i neuroni. La ti connesse non-banali ). Spazi topologici piu generali possono avere componentitolleranza viene definita con la condizione che «due stati corrispondono allo connesse, sui cui insiemi viene indotta una topologia non-banale, ma completa­

stesso pensiero». La «direzione istantanea» del pensiero è definita da un campo mente sconnessa. Tali spazi sono molto importanti nella teoria dei numeri,

vettoriale v su Y; sull'insieme di questi campi è anche definito un concetto ditolleranza. Può accadere che le traiettorie di due campi, aventi inizio entrambi 3.z. Invarianti discreti degli spazi topologici.nei limiti della tolleranza, col tempo escano da questi limiti, come accade neisistemi dinamici non-stabili. Si tratta dell'effetto della non-predicibilità del pen­ Sia X un certo spazio topologico. Il suo invariante discreto piu semplice èsiero. Soprattutto, lo stesso aspetto del campo vettoriale v e la topologia del suo l'insieme delle sue componenti connesse, o il numero di elementi di questo in­

Continuo/discreto 984 985 Continuo/discreto

sieme, se esso è finito. In topologia algebrica e differenziale si è soliti usare una ricoprimento se ne può estrarre uno finito ), la somma degl'indici dei punti sta­definizione un po' diversa di componente connessa ; i punti x e y appartengono zionari di un qualsiasi campo vettoriale su X non dipende dal campo. Questaa una componente connessa per archi di X, se esiste un'applicazione continua somma è un invariante discreto di X; è la sua caratteristica di Eulero y (X). Daf : [o, i] ~X tale che f(o) =x, f( i ) =y, cioè se x e y possono essere uniti con qui segue che, se y (X)~o, ogni campo vettoriale su X ha punti stazionari.un arco (cammino) in X. Questo risultato si può riguardare come il fatto piu semplice della teoria quali­

Sia ite (X) l'insieme di tali componenti linearmente connesse di X; si trat­ tativa delle equazioni differenziali, che mostra l'importanza degl'invarianti to­

ta di quei «pezzi lineari», a due a due disgiunti, l'unione dei quali è uguale a pologici discreti dello spazio delle fasi. Esso è applicabile, per esempio, allatutto X. sfera a due dimensioni S' : y (S') = 2 .

Molti altri invarianti discreti di X possono essere definiti insiemi di compo­nenti linearmente connesse di spazi topologici ausiliari che si costruiscono a Superfici compatte orientate. Un a varietà differenziabile X si dice orienta­

partire da X. Ecco alcuni esempi. bile se in essa vi è un atlante tale che gli jacobiani delle matrici delle funzioni

Sia x~ un punto prefissato (detto punto base) dello spazio X. Si chiama spa­ di passaggio da una carta all'altra hanno tutti uno stesso segno. Un esempio di

zio dei cappi, e si indica con Q (X, x~), l'insieme di tutte le applicazioni conti­ varietà non orientabile è il nastro di Mobius. Una varietà orientabile compatta

nue f : [o, i] ~X con f(o) = f( i ) = x~ (archi chiusi, o cappi, che cominciano e X a due dimensioni è completamente definita, a meno di un omeomorfismo,

terminano in xv ). La topologia in Q (X, x~) s'introduce cosi: se Kc:[o, i] è un dal suo gruppo fondamentale. Piu esattamente, si consideri il gruppo quozientequalsiasi sottoinsieme chiuso e Uc:X è un qualsiasi sottoinsieme aperto, tutte abeliano massimo di rr, (X). È noto che esso è isomorfo a Z'~, dove g) o è unle f@Q(X, x,i) con f(K) c: U formano un insieme aperto in Q (X, x,i) e ogni in­ numero intero. Per ogni g esiste una superficie compatta orientabile unica, a

sieme aperto è l'unione di una famiglia d'insiemi di quel tipo. meno di omeomorfismo, con il gruppo corrispondente; essa si dice superficiedi genere g. Per g= o si ottiene la sfera; per g = r il toro ; per tutti i g) i s i può

Gruppo fondamentale dello spazio X. L ' i n s ieme rri(X, x~) =ivo (Q(X, x,i)) immaginare questa superficie come la sfera S' alla quale siano stati incollati gsi chiama gruppo fondamentale di X. In esso la legge di composizione, che lo «manici». Incollare un manico significa ritagliare sulla sfera due piccoli fori ro­

trasforma in gruppo, è indotta dall'operazione di composizione dei cappi in tondi e unire poi i loro bordi per mezzo di una superficie cilindrica.Q(X, xe) ; se f, g : [o, i] ~X sono due cappi, g of è l'unione del cappio f, per­ In particolare, se il genere di X è uguale a g, si ha y (X) = z — zg. Pertantocorso durante il tempo [o, i/z] con velocità doppia, e del cappio g, percorso du­ su ogni X, ad eccezione del toro, i campi vettoriali hanno punti stazionari.

rante il tempo [ i /z, i ] con velocità doppia. L'elemento inverso alla classe f èla classef(r — t). L'elemento identico è rappresentato dal cappio f(t) = x~ per Gruppi superiori di omotopia. Co me sopra, X sia uno spazio topologico eogni tc [o, i]. Il gruppo rr,(X, x~) in generale non è abeliano. si assuma x~ e X come punto base. Per ogni n) i s ia Q"+'(X, x~)= Q(Q (X, x<,),

Pertanto il gruppo fondamentale di X definisce la quantità massimale di x~~+ ), dove x~ = x~ e x~+ sono i cappi costanti :f(t) = x~ per ogni tc [o, i ]. L'in­cappi con i quali si può «avvolgere» X, a meno di deformazioni di un cappio sieme it„ (Q" (X, x,i), x"), nel quale pure in modo naturale s'introduce la strut­in un altro. Per esempio, il gruppo fondamentale di una circonferenza è Z; al tura di gruppo (per n)z esso è necessariamente abeliano), si chiama n-esimonumero m)o co rr isponde un cappio che corre attorno alla circonferenza m gruppo di omotopia dello spazio X e si indica con rr„ (X, x~). Questo gruppo sivolte in una certa direzione, mentre al numero — m corrisponde lo stesso cappio può pure interpretare quale gruppo delle classi dei «cappi ad n dimensioni»nella direzione contraria. dello spazio X, cioè quale gruppo delle classi linearmente connesse delle appli­

Sia dato, per esempio, nel dominio (o, o) c Uc: Ra del piano un campo vetto­ cazioni (S", s~i) ~ (X, x~), dove s~e S" è un punto base sulla sfera S" ad n dimen­riale liscio f : U~Rs avente un punto stazionario isolato in (o, o). Allora la sioni data in R"+' dall'equazione yi +...+y„+, ­— i.

funzione f(x) = f(x)/~)f(x)~~ (~~y~~ è la lunghezza del vettore y) definisce un'ap­ Piu in generale, si può considerare la categoria degli spazi topologici, ognuno

plicazione di un piccolo cerchio in U con centro (o, o) sul cerchio unitario S' e, con un punto base, e dei morfismi, che sono classi di omotopia di applicazionicon ciò stesso, un elemento del gruppo vr:, (S', x~) (qui la scelta di xe' S' non di questi spazi che applicano ogni punto base in un altro. Sia II (X, Y) l ' insiemeè essenziale). Nell'identificazione rr, (S', x~)= Z, che richiede la scelta di un'o­ dei morfismi dell'oggetto X nell'oggetto Y in questa categoria. Allora rr„ (X, x,i)rientazione di S', ad esempio il verso orario quale verso positivo, all'applicazio­ può essere identificato con II ((S", s~), (X, x~)) e la corrispondenza X~ir„(X,ne sopra descritta corrisponde un numero intero i (f), detto indice, o numero di x~) è un funtore rappresentabile mediante l'oggetto (S", se). Scegliendo altrirotazioni del campo f nel punto corrispondente. Se il campof corrisponde al oggetti in questa categoria si possono ottenere altri importanti f untori ; per esem­quadro delle fasi di un sistema, i (f) è un importante invariante discreto dello pio, i gruppi di coomologia. Per ogni gruppo abeliano G e per ogni numerostato stazionario corrispondente. intero n) i, s i può costruire lo spazio K(G, n), con un punto base, tale che

Se X è una varietà differenziabile a due dimensioni compatta (da ogni suo Il (X, K(G, n)) è il gruppo H"(X, G) di coomologia a n dimensioni dello spa­

Continuo/discreto t)86

zio X con G quale gruppo dei coefficienti. Nel caso di G=Z e d i X varietàdifferenziabile compatta, questi gruppi sono abeliani e hanno un numero finitodi generatori. Il rango C„ (X) di questi gruppi è un importante invariante nu­merico intero dello spazio X. Un altro invariante è la torsione di K" (X, G),cioè le caratteristiche numeriche del gruppo degli elementi di ordine finito.

I gruppi H"(X, G) e loro generalizzazioni hanno già cominciato a trovareapplicazioni in fisica nello studio delle singolarità degl'integrali di Feynmann.È questo un esempio di come, a un livello di astrazione matematica molto alto,appaiano caratteristiche discrete a partire da modelli continui. [Jv. t. M.].

Grunbaum, A.

r967 Modem Science and Zeno's Paradoxes, Wesleyan University Press, Middletown Conn.Neumann, J. von

1958 The Computer and the Brain, Yale University Press, New Haven Conn. (trad. it. inV. Somenzi (a cura di), La Plosoga degli automi, Boringhieri, Torino r965, pp. t57­zzr).

Thom, R.I971 Sta b i l icé structurelle et morphogénèse. Essai d'une thcorie génércde des modèles, Benjamin,

Resding Mass.

Dotata di una caratterizzazione gnoseologica molto generale, la categoria (cfr. cate­gorie/categorizzazione) continuo/discreto si presenta in molti campi. La fisica, purincompleta nelle sue conoscenze, si sforza di dare una visione universale della natura,fondendo l' aspetto quantistico (cfr. quanti) del micromondo, dominato dalla probabilitàe dalla discontinuità, con il quadro geometrizzato dello spazio/tempo macroscopico, in­centrato invece sulla continuità.

La descrizione dei modelli del mondo osservato, demandata all'elaborazione di mo­delli matematico-fisici (cfr. modello, struttura, matematiche, assioma/postulato),pone in evidenza vari l ivelli gerarchici dimensionali, partendo dalla strutturazione ato­mistica (cfr. atomo e molecola) della materia e dalla distribuzione energetica (cfr.energia) delle varie particelle (cfr. particella), per arrivare ai modelli della macrofisica,interpretati alla luce della teoria della relat iv i tà e della meccanica statistica dell'equili­brio e del non-equilibrio (cfr. equil ibr io /squi l ib r io ), e coinvolgenti anche i concetti dimoto e forza.

Il continuo/discreto, oltre a presentarsi nei processi di regolazione degli organismiviventi (cfr. organismo), costituiti dal sistema nervoso (cfr. cervello) e endocrino (cfr.integrazione), svolge un ruolo importante nei processi di codificazione, trasmissione (cfr.codice, comunicazione) ed elaborazione dell'informazione ereditaria (cfr. eredità)degli individui, che ne assicurano lo sviluppo (cfr. sviluppo e morfogenesi) e la riprodu­zione, consentono il manifestarsi dei caratteri visibili (cfr. gene e genotipo/fenotipo) e,grazie all'intervento dei meccanismi di mutazione/selezione naturale, portano all'evo­luzione del mondo vivente sul nostro pianeta. I problemi connessi alla trasmissione delleinformazioni hanno acquistato grande rilevanza in seguito alla comparsa dei calcolatori(cfr. analogico/digitale e macchina), capaci di eseguire qualsiasi algoritmo (cfr. ap­plicazioni).

Sao

uo la li­ Dipendenza /indipendenza' ne

i. Pri n c iPi generali.

Tutti i modelli scientifici dipendono dalla considerazione di una serie dilimitazioni: alcune sfere di fatti, di fenomeni, di relazioni sono prese in esamee vengono interpretate, altre vengono considerate non essenziali, almeno inun primo momento. Ciò è condizionato, in primo luogo, dalle limitate pos­sibilità che il cervello ha di elaborare le informazioni. La coscienza, una voltaabbracciate tutte le cause e tutti gli effetti possibili, vive in un mondo del tuttoillusorio.

Un altro fattore fondamentale è il carattere sociale della scienza, in quantos uo materiale grezzo possono essere soltanto fenomeni r iproducibili in u nsenso o in un altro, e pertanto soggetti alla socializzazione. Tuttavia, un'esattariproducibilità è impossibile, conformemente alla vecchia metafora di Eracli­to sul Ruire del tempo. Le leggi della meccanica quantistica che postulano ilcarattere essenzialmente statistico della natura, conferiscono a questa metaforauna capacità ulteriore di persuasione. Una riproducibilità approssimativa pre­suppone che si trascurino molti fattori.

Nell'ambito di ciascun modello teorico, viene quindi postulato che le ca­ratteristiche esaminate al suo interno siano totalmente indipendenti da tut tequelle in esso trascurate. Le stesse caratteristiche esaminate sono fra lorocollegate in un s istema di relazioni, che costituisconoanche l'essenza delmodello (insieme alle regole semantiche e operative d'interpretazione). Il pas­saggio a un altro modello fa mutare sia il sistema delle caratteristiche, sia i

un carattere relativo.rapporti di dipendenza/indipendenza tra di esse. Questi ultimi hanno perciò

Si cita come semplice esempio il modello classico di Galileo : la caduta liberadi un grave da un'altezza h alla superficie terrestre. Il tempo di caduta t ècollegato con h dalla relazione funzionale ~ zh/g=-t, dove g è i l coefFiciente«accelerazione di gravità». In questo modello il tempo di caduta non dipendedalla forma e dal peso del corpo, in quanto non si tiene conto della resistenzadell'aria. Tale dipendenza può essere presa in considerazione in un modelloappena piu accurato, ma è probabile che verrà implicitamente ammessa l'indi­pendenza del tempo di caduta dalla posizione della Luna. Eppure quest'ultimafa variare il potenziale gravitazionale sulla superficie della Terra ed è un fattoredeterminante per un qualsiasi modello delle maree.

In questo articolo si adotterà quindi la seguente concezione, Le nozionidi dipendenza/indipendenza vanno annoverate fra le idee metateoretiche piugenerali, con un amplissimo spettro di realizzazioni concrete. La compilazionedell'intero catalogo di questi significati concreti equivale all'esame dettagliatodi tutti i modelli scientifici attualmente conosciuti: i l compito, naturalmente,è irrealizzabile. Quello che ci sforziamo di fare è isolare un certo nucleo di

Dipendenza/indipendenza 8g2 8SS Dipendenza/band»pendenza

concetti, strettamente collegati alla descrizione della coppia dipendenza/indi­pendenza, all'interno di alcuni modelli fondamentali della fisica teorica. Alla 2. D i pendenza/indipendenza come termini matematici.fine dell'articolo sarà brevemente esaminata la loro applicazione a problemi nonappartenenti al campo della fisica. 2.r. Relazioni nella teoria degli insiemi.

La fisica teorica utilizza la matematica quale linguaggio di lavoro: il pro­blema che ci si è posto richiede proprio un'analisi degli strumenti matematici Il piu comune modello di dipendenza nell'ambito della teoria degli insiemiche esprimono i concetti di dipendenza/indipendenza, seppure nella loro cor­ è descritto dalla struttura formata da n insiemi Xr, . .., X„e d a l sottoinsieme

relazione con la semantica dei vari modelli. Quest'ultima proprietà del resto 1VIcX, x ... x X„, detto relazione n-aria tra gli insiemi. Ad esempio X p u ò>> ' > t p

è fondamentale, dal momento che le stesse parole 'dipendenza/indipendenza' essere l insieme dei valori a priori ammissibili per una qualche caratteristicavengono usate in modo abbastanza limitato come termini matematici di uso o parametro, del fenomeno osservato. Se tutte le n caratteristiche consideratecorrente. non sono legate l'una con l'altra in alcun modo, allora il «vettore» (xn ..., x„)

Essi vengono utilizzati in analisi e in algebra (dipendenza lineare, algebri­ dei loro valori simultanei può essere un qualunque elemento di X x . . . x X .1 " ' n'

ca, funzionale), nel calcolo delle probabilità (variabili aleatorie indipendenti) e, Se invece tra le caratteristiche si hanno certe connessioni allora (x .. . x )( 1> " '» >)infine, nella logica matematica (indipendenza di una data asserzione, in un puo trovarsi soltanto in un qualche sottoinsieme Mc:X x . . . x X che esprime„c e es r»melinguaggio formale, da un dato sistema di assiomi). tali connessioni. In questo schema s'inquadra la procedura sperimentale tipo

È indubbio che l ' idea di dipendenza funzionale sia uno degli strumenti della presentazione dei risultati di misurazioni congiunte di alcune variabiliprincipali nella descrizione matematica delle relazioni nei modelli scientifici. sotto forma di punti su un grafico: ciò corrisponde al caso X = X = R (o1 2Il ) 2 sarà interamente dedicato alla descrizione dei contesti matematici nei alcuni sottoinsiemi di R; qui è sottintesa la scelta preliminare delle unità diquali s'incontrano le parole che dànno il t i tolo a. questo articolo. Tuttavia, misura, che permettono di descrivere i valori delle caratteristiche mediantel'interpretazione data all'argomento dell'articolo lo riconduce all'aspetto «rea­ numeri reali ). L'insieme delle coppie dei valori osservati (x„ x , ) ha di solitolistico» della semantica della matematica. Questo significa che il concetto di l'aspetto di una certa «nube di punti», la cui forma determina le caratteristiche

dipendenza/indipendenza può esser espresso virtualmente da qualunque con­ generali della futura descrizione M del modello teorico idealizzato. Questo ècetto matematico in un modello adeguato. Sembra molto istruttivo l'esame <li il modello di partenza per l'«analisi fattoriale» nelle scienze sociali e biologiche.quali sono precisamente i concetti che trovano una reale utilizzazione. Pcr Si consideri un sistema meccanico: la sua posizione istantanea può esserequesto motivo nell'articolo figurano, ad esempio, i prodotti tensoriali degli individuata mediante le coordinate cartesiane di un numero finito di punt i

spazi di Hilbert, poiché essi compaiono nella descrizione dell'unione di du i distinti (ad esempio, tre punti per un corpo rigido ), cioè mediante un puntosistemi quantistici. Le particolari «interazioni» di particelle indistinguibili nel opportuno nello spazio coordinato a piu dimensioni R+. Non è detto perògas di Fermi o in quello di Bose non possono essere esattamente descritte s« che ogni punto di R+ corrisponda realmente ad una posizione ammissibile.non dai mezzi dell'algebra multilineare. L'idea di «causalità», una delle nozioni L'insieme di queste ultime Mc: R+ è lo spazio delle configurazioni del sistemacentrali nel paradigma dei concetti fisici legati a dipendenza/indipendenz;i, meccanico, e l'enunciazione delle sue proprietà individua i «vincoli». Ad esem­conduce, attraverso la trasformazione di Fourier, alle funzioni analitichc i pio, per un corpo rigido l'insieme Mc: R è caratterizzato dalle condizionialla tecnica delle «relazioni di dispersione». L'idea di «informazione» in i i i i

sistema complesso, per esempio un organismo biologico, sembra strettame»n M = (x;;) Q (x;» — xt»)'= r,', ; i,j = r, 2, 8 ,collegata ai concetti matematici di equilibrio /squilibrio, e alle concezioni d i lla k= l

teoria delle catastrofi di René Thom. L ' idea dei vincoli imposti a un d; in> dove x,.> è la k-esima coordinata dello i-esimo punto, r,; è la distanza fra lo

sistema dal mondo esterno e del carattere locale delle interazioni fra le «parti » i-esimo e lo j-esimo punto.del sistema è espressa in termini di geometria differenziale. È possibile molt i

plicare il numero di questi esempi; l'analisi di alcuni di essi costituisce l'arg i> 2.2. Funzioni.mento del ) g. La successione dei temi di questo articolo sviluppa le corvispondenti argomentazioni dell'articolo «Applicazioni» di questa stessa Bn«i La relazione McX x V è chiamata grafico di una funzione, o di una tra­clopedia. s formazione, da X a Y , se verifica la seguente condizione: per ogni xeX

esiste un unico elemento ye V per cui (x, y ) e M Le relazioni funzionali sonoparticolarmente forti: PaAermazione secondo cui i l valore della caratteristicay di un dato fenomeno è completamente determinato dai valori della caratte­ristica x, insieme alla esplicita descrizione di questa dipendenza, rappresenta

28

Dipendenza/indipendenza Dipendenza/indipendenza

la formulazione generale di molte leggi delle scienze naturali. Le proprietà di A) è diverso da zero. Si ricordi che il determinante det (a,;) di una matricegenerali delle funzioni e una serie di modelli che utilizzano dipendenze fun­ quadrata su k è l'espressione gs (s)a„<,>...a,<», dove s descrive tutte le per­zionali sono state descritte nell'articolo «Applicazioni». Si ritornerà piu avantisugli aspetti specifici delle dipendenze funzionali importanti per il tema svolto

mutazioni dell'insieme (x, ..., n), e s(s) =+ i è i l segno della permutazione s.Si osservi che per A=R, qualora lo spazio R" sia munito della solita struttura

in questa sede. euclidea, il determinante della matrice n x n è uguale al volume orientato del

2.3. La dipendenza in algebra. parallelepipedo g c<;x,. o«><;(z , sotteso dai vettori riga di questa matrice.i =l

Si riportano alcuni esempi caratteristici dell'uso del termine 'dipendenza'in ambiti algebrici. Lo schema generale è il seguente: in X i, ..., X„ s ono as­

Spesso la definizione di dipendenza lineare è espressa nella seguente for­

segnate alcune leggi di composizione; con il loro aiuto è costruita la famiglia ma non-simmetrica: il vettore x„ è detto l inearmente dipendente dai vettori

di trasformazioni f; : X, x ... x X„~ V,, agli insiemi Y; appartengono determi­» — l

x„ . .., x„ , s e esiste una relazione del tipo x„ = g a,x;, a;ek, oppure, il chenati elementi y;e Y;; la dipendenza di un dato tipo è determinata dalla rela­ n <=1

zione R = Uf,. '(y,). Ecco i principali casi particolari. è lo stesso, una relazione del tipo g a;x; = o con a„po.<=I

Dipendenza lineare. Gl i e lementi xi, ..., x„di uno spazio vettoriale X sul Dipendenza algebrica efunzionale. Sia K un certo campo, e k< K un certocampo k sono detti l inearmente dipendenti se esistono elementi del campo

Bsuo sottocampo. Gli elementi x„ . . . , x„eK sono detti algebricamente dipen­

Qi . , a» c k, non tutt i nul li , tal i che g a;x, = o. Altr imenti, xi , . .., x„ sono denti su k se esiste un polinomio non identicamente nullo F e k [T„..., T„j1 14 con coefficienti in k tale che F (x„..., x„) =o nel campo K.

linearmente indipendenti: ciò significa che dall'uguaglianza Pa;x,=o segue<-1

Il numero massimo di elementi algebricamente indipendenti del campo K

che tutti gli a; sono nulli. La r i formulazione nei termini dello schema soprasu k è detto grado di trascendenza di K su k. Sia ad esempio X una varietà

descritto è la seguente: la famiglia di trasformazioni f : X x ... x X~X s i com­ compatta complessa, sulla quale le funzioni meromorfe formano il campo K.

pone di trasformazioni lineari non nulle del tipo f(x„ . . . , x„) =ga;x,, a,ek; X può essere ad esempio una varietà proiettiva algebrica irriducibile. Allora

le relazioni di dipendenza lineare M< Xx ... x X sono U f '( o ) . In seguito,il grado di trascendenza di K sui numeri complessi C non è superiore a, e

f nel caso algebrico coincide con, la dimensione n della varietà X concepita nelovviamente, non si ridurranno a questo schema le definizioni formulate in mo­

. .

seguente modo : quasi tutti i punti di X possiedono un intorno analiticamentedo abituale. isomorfo a C".

Il numero massimo dei vettori l inearmente indipendenti nello spazio è Per ogni campo k esiste un'estensione massimale k a k, avente su k un gradodetto dimensione dello spazio vettoriale X (la dimensione è infinita se tale di trascendenza nullo. Essa è univocamente definita a meno di un isomorfismonumero non è finito ). Questo è l'esempio piu semplice d'invariante discret<> su k, e è detta completamento algebrico di k. Tutti i suoi elementi si ottengonodi una struttura matematica, descritto in termini di dipendenza. Le sue diverse come radici di polinomi non identicamente nulli in una variabile con coefficientivarianti, anche in casi non-lineari, sono dette dimensione, rango, ecc. in k. Il completamento algebrico del campo dei numeri razionali Q può essere

La dimensione dello spazio fisico è uguale a tre, quella dello spazio-temp<> realizzato come il sottocampo dei numeri complessi C, formato da tutti i nu­è uguale a quattro. Ciò significa che per la perfetta localizzazione di un event i> meri algebrici Q. Tuttavia, il grado di trascendenza di C su Q è infinito.elementare, accaduto in un punto dello spazio-tempo, sono sufficienti quattr<>numeri reali: tale condizione comporta fortissime limitazioni sulla forma dell i Il concetto di dipendenza algebrica comporta una serie di util i varianti.leggi della natura. Per la teoria dei numeri e per la geometria algebrica è importante il seguente

Si supponga che in uno spazio lineare di dimensione finita X sia scelta u»;< concetto di dipendenza intera. Siano A< B due anelli commutativi con unità.

base cioè X s'identifichi con lo spazio km delle >n-pie di elementi del campo I .Allora si applica il seguente metodo per stabilire la dipendenza o l indipendcnic<

1'

L'elemento xeB è detto intero su A se soddisfa l'equazione F(x) = o, dove

Fe A [T] è un polinomio con coefficienti in A e il cui coefficiente della potenzalineare di n vettori assegnati xi « • x„eX. Si scrivano le coordinate di qu«sii di grado massimo è l'unità.vettori come righe di una matrice (con n righe e m colonne). Se n) m, i veti<>« Per la teoria delle funzioni e per la geometria diAerenziale e analitica è im­x„ . . . , x„ sono l inearmente dipendenti. Se n( m i ve t tor i sono l inearmcnt< portante il concetto di dipendenza delle funzioni che ha il seguente significato.indipendenti se, e solo se, tale matrice A contiene una sottomatrice di dim i <> Siano f i(x), ..., f„(x) funzioni definite sulla varietà X. Se esse verificano unasione n X n formata da n colonne della matrice A, il cui determinante («min<>« » relazione del tipo F (f„ . .., f„) = o, allora sono dette dipendenti. Imponendo

Dipendenza/indipendenza 856 857 Dipendenza/indipendenza

a f e soprattutto a F la condizione di appartenenza all'una o all'altra classe di base al quale essa, per l'anello dei polinomi k [T„ . .., T„] in n variabili su unfunzioni, se ne ricavano i concetti di dipendenza algebrica, analitica, lineare, campo, termina in n passi, nel senso che il nucleof„sarà certamente un moduloe cosi via. ef„ .) f „ so

'

. S f . f sono f unzioni differenziabili di n variabili reali x„. . . , x„, libero. Con questo teorema Hilbert ha posto la base della moderna algebravale il seguente importante criterio di assenza di qualsiasi relazione non banale omologica, il cui problema tipico consiste nello studio di quegli invarianti del

F(f„ . . ., f„) =o con la funzione differenziabile F. Tale criterio afferma c e i modulo M che è possibile ricavare dall'esame di una sua qualunque risoluzionedeterminante della matrice (òf,/òx;), il cosiddetto jacobiano, risulta diverso libera. In particolare, la lunghezza di tale risoluzione è una caratteristica tipicada zero in un certo punto. Ciò significa che, se le funzioni f;, con un'appros­ della dimensione (dell'anello e del modulo ). Il termine 'sizigie' per le relazionisimazione lineare vicino ad un certo punto, sono linearmente indipendenti, lineari risale al linguaggio degli astronomi : i rapporti numerici tra i periodi diallora esse sono anche funzionalmente indipendenti. rivoluzione dei pianeti conducono al ripetersi regolare delle configurazioni del­

Qualsiasi funzione regolare, definita su una varietà differenziabile n-dimen­ le loro mutue posizioni, ad esempio le opposizioni.sionale dipende in modo regolare dalle n funzioni coordinate. In questo mo o,slona e, I moduli sull'anello Z sono semplicemente dei gruppi abeliani. Ogni gruppola dimensione geometrica assume un aspetto funzionale, essendo espressa me­ abeliano G, nella notazione additiva, ammette una risoluzione (complessodiante il numero massimo possibile di funzioni indipendenti. Questo stesso esatto) del tipo o~Z" ~Z ~G ~ o. I l n umero m — n non dipende dalla sceltaschema è usato nella geometria algebrica ed analitica. della risoluzione e si chiama il rango r del gruppo G. Un gruppo di rango r

è isomorfo alla somma diretta Z"Q+G», dove G» è finito. In un gruppo di rango

Moduli e gruppi ab)cl~ani. Sia M un modulo su un anello A. Gli elementi r esiste un sistema di r elementi indipendenti, ma r + l elementi arbitrari sonoX l ) .. . ) X C... x c M sono detti indipendenti se dalla relazione già dipendenti.

)) È conveniente descrivere il concetto fondamentale di «dimensione(scalare)

g a,x; = o)=1 abeliano.

di una grandezza fisica», in termini di dipendenza e di rango di un gruppo

con aleA segue che tutti gli a, sono uguali a zero. Questa definizione ripetetestualmente quella di dipendenza lineare negli spazi vettoriali. Tuttavia ap­

In un qualunque modello fisico figurano concetti tipo tempo, lunghezza,massa; forza, lavoro e potenza; carica elettrica, ecc.

paiono nuovi impnuovi importanti fenomeni se l'anello A non è un campo, dal momentoche non tutti i moduli (neppure in condizioni di finitezza) sono isomorfi aal

La loro introduzione è accompagnata dalla descrizione di procedure speri­

modulo delle n-pie A", n>o . Ad esempio, nel modulo Z/mZ sull'anello ei mentali per la scelta di unità di misura e per l 'espressione numerica delle

numeri interi (m+o numero intero) qualsiasi famiglia di elementi è dipen ente,corrispondenti caratteristiche del sistema in termini del dato sistema di unità.

comprese tutte le famiglie ad un solo elemento (xJ. I moduli, isomor aIn ogni modello alcune unità vengono considerate fondamentali e indipen­

sono detti liberi di rango n, e uno strumento potente d'indagine di un qua unquedenti, altre invece derivate da queste. È molto naturale considerare le unità

modulo consiste nel confrontarlo con i moduli l iberi.derivate come elementi del gruppo abeliano libero generato dalle unità fon­

Se si suppone che M sia finitamente generato, ciò significa che esiste undamentali. Cosi nella fisica newtoniana le unità di lunghezza L, di tempo T edi massa M sono considerate le unità fondamentali. Allora le unità di velocità

omomorfismo suriettivo A" ) ~ M. Con M, è designato il suo nucleo. Esso pul )

non essere finitamente generato, ma lo è nell ' importante classe degli ane iLT ' , di forza MLT ­ e di lavoro ML'T sono considerate derivate (come èusuale, le si scrive con notazione moltiplicativa; cfr. le notazioni piu classiche

noetheriani. Si può allora definire un omomorfismo suriettivo A"~ ~ M l , sce­ del tipo cm/sec per la velocità). Un elemento del gruppo abeliano libero, ge­gliendo i generatori di M l. Si può quindi applicare questo procedimento a nerato dalle unità fondamentali, corrisponde a una data grandezza fisica e sinucleo M» dell'omomorfismo f~, e cosi via. Si ottiene in tal modo la successio­ chiama dimensione di questa grandezza. È naturale ritenere che il gruppo di­ne di moduli e di omomorfismi mensionale stesso D non dipenda dalla scelta delle unità: l'elemento L corri­

. .. ~ A " i ~ A " ) — ) ~) . . . ~ A ))) ~ ~ M ~ psponde alla lunghezza indipendentemente dalla convenzione usata per la sceltadell'unità di lunghezza

che forma una successione esatta. Il gruppo dimensionale D è una caratteristica molto importante del modelloGli elementi del nucleo di f, possono essere interpretati come relazioni fisico. Lo sviluppo delle scienze naturali è stato accompagnato da due processi

l ineari, o sizigie, fra i generatori del modulo M sce ' plti e r la costruzione d«l­ opposti che hanno cambiato d'improvviso la nostra concezione della natura:l'omomorfismo f,; gl i e lementi del nucleo di f, po ssono essere interpretali da una parte l'ampliamento del gruppo D re lativo ai modelli fondamentali,come relazioni fra queste relazioni, e via dicendo. F. Fu Hilbert a studiare per I;) in connessione con la scoperta di variabili di nuova natura, dall'altra la riduzioneprima volta una tale successione di sizigie o, per dirla in termini moderni, di questo gruppo in connessione con la scoperta di relazioni tra le dimensioniuna tale risoluzione del modulo M; egli dimostrò il teorema fondamentale i )) che prima erano considerate indipendenti.

Dipendenza /indipendenza 858 859 Dipendenza/indipendenzaCosf, la prima indagine sulla natura dell'elettricità è stata accoinpagnata esempio nell'idrodinamica per determinare i coefFicienti di similitudine con

dall'aggiunta, alle unità L, T, M, dell'unità q di carica elettrica (nel sistemamoderno cGsE la carica elementare dell'elettrone è uguale a 4,8o-xo ' u . e. s. ).

l'aiuto dei quali sono ricalcolate le misurazioni dei modelli per ottenere leinformazioni sui fenomeni in tempo reale.

D'altra parte, l'accettare l'idea della costanza della velocità della luce nei siste­mi inerziali conduce, nella teoria della relatività speciale, al legame L = T nel

L'esistenza di unità universali di misura è strettamente legata all'inesplica­

gruppo corrispondente D: ogni scelta dell'unità di lunghezza permette di as­bile fatto dell'indistinguibilità delle particelle elementari di un tipo, ad esempio,

sumere, come unità di tempo, il tempo necessario alla luce per percorrere ta­di elettroni. Come mostreremo piu avanti, lo stesso fatto di questa indistin­guibilità, insieme ai fondamenti quanto-meccanici della descrizione dei sistemi

le unità di lunghezza. (Per la misura delle distanze cosmiche ci si serve del­l'unità «anno-luce»; in tale definizione, ovviamente, è utilizzata la procedura

di particelle, conduce ad effetti molto peculiari delle interazioni, che non pos­

inversa della determinazione della lunghezza attraverso il tempo).sono essere spiegati sulla base delle idee classiche relative alle «forze», adesempio, di attrazione o di repulsione.

Ogni scoperta di un'unità naturale di misura per questa o quella grandezzafisica conduce perciò alla scoperta di una nuova relazione nel gruppo D usato

Il seguente esempio curioso è ripreso da Weisskopf [ 1970] : «L'altezza delle

in precedenza, e alla sua sostituzione con il gruppo quoziente corrispondente amontagne è determinata da costanti fisiche fondamentali». Si tenga presentequanto segue: la cima piu alta della Terra, l 'Everest, ha un'altezza di circa

questa relazione. La costante gravitazionale di Newton G, la velocità della Io km; perché non ci sono montagne piu alte> Anche senza tener conto deiluce c, la costante di Planck h (che fornisce l'unità universale per l'azione) e la meccanismi di distruzione e di erosione geologica, si dimostra che la naturacarica dell'elettrone e rappresentano le grandi svolte di questo cammino. Nel fisica della materia solida delle rocce della Terra, le dimensioni della Terra e1899 Planck poté indicare il sistema universale di unità fondamentali i valori delle costanti fondamentali limitano la possibile altezza nell'ordine di

Lii = (hG/c»)I = x,6 • xo » cmalcune decine di chilometri. Una montagna di massa M e di altezza h puòavere il peso MG con il risultato di «fondersi» o di «liquefarsi» nella sua parte

T+ = (QG/c»)1~» = 5 3 io-4 sec inferiore fino ad un'altezza x. L'energia di fusione, in questo modo, determinaM" = (Ac/G)'~' = 2,2 I o g un'altezza massima fino alla quale non ha ancora luogo la fusione, Tenendo

che riducono il gruppo D a uno banale e permettono di considerare tutte leconto dell'ordine delle grandezze corrispondenti, si ottiene la disuguaglianza

grandezze della fisica come costanti adimensionali. È degno di nota che le h x I I

espressioni costruite indipendentemente dalle unità fondamentali (compresa a x N' " A» ~»a» x+la carica dell'elettrone) hanno la stessa dimensione anche in un gruppo piugrande, cosicché i loro rapporti sono sempre costanti numeriche universali.

dove a» è il raggio dell'atomo dell'idrogeno, xa ­— Gm„/hc 5,9.10 a (m„è lamassa del plotolle ), x = e /hc — I/137 è la costante di struttura fine, A= 6o

La piu famosa di esse è la costante di struttura fine e»/Ac: la velocità mediadell'elettrone nell'atomo dell'idrogeno è grosso modo pari a 1 /137 (della velo­

è il peso atomico medio della materia della montagna, X 3 I o ' è i l numero

cità della luce). Attualmente questo numero viene determinato con grandedei protoni e dei neutroni nella materia della Terra, p o ,x , q~ o,z sono lecaratteristiche del calore di fusione.

esattezza in modo sperimentale. La scoperta di un modello teorico, in cui i lsuo significato potrebbe risultare derivato da principi fondamentali, è consi­derata uno dei piu interessanti compiti della microfisica.

La dipendenza nei gruppi non-commutaxit~i. Siano G un gruppo non ne­

La considerazione del gruppo D per un a rb itrario modello fisico ponecessariamente commutativo e x„ . . . , x„ suoi elementi. Essi sono detti dipen­

notevoli limitazioni alla forma matematica delle relazioni in questo modello:denti, se esiste un'espressione non banale uguale all'unità del tipo x"x~,...x~~ =

ogni relazione rappresentata, ad esempio, da un rapporto di polinomi fra i= x. Qui aie xi, ..., n ), si = + I, e la non-banalità significa che non esiste unindice i per cui a;= a ;+, e s;= — s;+„ c ioè non si possono ridurre le molti­

parametri, deve essere omogenea, cioè tutti i monomi devono avere la stessadimensione (tenendo conto della dimensione delle costanti ). In espressioni

plicazioni presenti. Una definizione piu invariante è la seguente. Per ogni

tipo exp q>, y deve essere «adimensionale». Ad esempio, nella formulazionenumero intero n) 1 è possibile determinare un gruppo libero G„d i rango n

della meccanica quantistica di Feynmann figura l'espressione exp (iS/A) dovecon generatori liberi {yi, ..., y„). Questo gruppo è definito completamente dal

S è un'azione classica; evidentemente, essendo S/A una grandezza adimensio­fatto che un qualunque omomorfismo G„~G in un qualunque gruppo G è

nale, l'azione è misurabile in unità universali di Planck.definito univocamente da f(y,), ..., f(y„) ed è possibile scegliere queste im­

Le considerazioni di dimensionalità a volte limitano talmente la forma dellemagini arbitrariamente. Se f (yi) =x;, i l nucleo dell'omomorfismo f è detto

relazioni possibili da permettere di determinarle in modo quasi univoco. Esseinsieme delle relazioni tra gli elementi x„ . . ., x„del gruppo G. Questi elementi

sono anche largamente usate nella costruzione di modelli sperimentali, adsono indipendenti se, e solo se, il nucleo f si compone solo dell'unità, cioèse f è iniettivo. Una definizione piu generale di struttura algebrica libera di

Dipendenza/indipendenza 86o 86r Dipendenza/indipendenzaun dato tipo, generata dall'insieme (y„ . . ., y ) può essere data in termini difuntori, in connessione col funtore «dimenticante della struttura algebrica».

Per la spiegazione di questo esempio basta ricordare che è possibile deter­

Il rango di un gruppo libero ha un'interessante proprietà che lo distingue,minare un sottoinsieme E di numeri naturali, numerabile ma non decidibile.

ad esempio, dalla dimensione lineare. Quest'ultima può soltanto diminuire conLa numerabilità di E significa che esiste un algoritmo per l'enumerazione di

il passaggio a un sottospazio e a uno spazio-quoziente. In un gruppo liberotutti gli elementi di E in un certo ordine. La non-decidibilità di E significa

di rango due, esistono sottogruppi liberi di rango 6nito arbitrario e persinoche non esiste un algoritmo che, una volta applicato a un qualunque numero

numerabile. Questa è una delle piu tipiche manifestazioni degli effetti specialinaturale, risponda alla domanda se questo numero si trovi in E. Si costruisca

della non-commutatività nell'algebra.ora il gruppo con i quattro generatori (a, b, c, d) e con le relazioni b ~ab

Il concetto di gruppo libero permette d'introdurre un'importante costru­= d cd p e r tu tt i gli meE. Non è difficile verificare che in questo gruppo la

zione: la rappresentazione del gruppo mediante generatori e relazioni.relazione b — «ab~=d c d *(x) i ) è realizzata nel caso, e solo nel caso, in cui

Sia I un insieme arbitrario. Allora si può costruire un gruppo G(I ) conte­xeE. Dalla definizione di E segue allora che anche per tali coppie di paroleil problema dell'identità risulta algoritmicamente non-decidibile.

nente I e detto gruppo libero con insieme di generatori I, che possiede laseguente proprietà: per qualunque gruppo G avente u ge una fami lia di elementi

In questo modo si ha la seguente fondamentale condizione: può accadere

(x; ~ iEI, x;eG} esiste un unico omomor6smo di gruppi f : G( I )~G ta le chedi conoscere dall'inizio tutte le relazioni N< tra i generatori di un certo gruppo

f(i) =x . I l gruppo G (I) è detto libero con l' insieme libero di generatori I .(come conseguenza delle relazioni date K ), ma non si è in grado di determinare

Esso è definito in modo unico. Il gruppo G, sopra considerato è G(y„ . . ., y„)in modo effettivo se un dato elemento di G (I) appartiene all'insieme delle rela­

nelle nuove notazioni.zioni N>. Certamente, questo è un caso particolare dei fenomeni generali di

Ogni elemento diverso dall'unità del gruppo G(I) si presenta semplice­indecidibilità delle teorie matematiche, scoperti per la prima volta da Godei.

mente nella formai, i...i f», dove i;eI, a; sono numeri interi, i;~i ;+, per ogni j.In due parole, questi fenomeni consistono nel fatto che in ogni teoria ma­

Qualunque sottoinsieme di elementi g del gruppo G permette di conside­tematica formale sufficientemente ricca (nella quale cioè è inclusa la descrizione

rare in G due sottogruppi: Gy e Ny. Qui Gy è il piu piccolo sottogruppo di G,dell'aritmetica) esistono sempre delle proposizioni che non dipendono in essa

che contiene j, cioè è l'intersezione di tutti i sottogruppi contenenti j, mentreda nessun sistema assegnato di assiomi, cioè non possono essere né dimostratené confutate.

N~ è il piu piccolo divisore normale di G che contiene j. L' insieme j è dettosistema di generatori del gruppo G se Gy = G. Se j è un sistema di generatori

Si esamineranno ora piu dettagliatamente questi concetti d'indipendenzalogica e le loro implicazioni filosofiche.

del gruppo G, allora ogni applicazione dell'insieme I su j determina un'appli­cazione suriettiva G (I) ~ G e definisce cosi un isomorfismo del gruppo G con il

z.4. Logica.gruppo-quoppo-quoziente di G (I) rispetto a un suo divisore normale opportuno.Sia ora Kc :G( I) un i ns ieme di elementi del gruppo l ibero, Nirc G( )c:G I

il divisore normale da esso generato. È d'uso dire che il gruppo quozienteLa dipendenza logica è definita nel contesto seguente: viene esaminato un

G(I)/N+ è dato dall'insieme di generatori I e di relazioni K t ra essi.certo linguaggio formale con prefissate regole di formazione degli enunciati

Molti gruppi concreti, ad esempio i gruppi fondamentali degli spazi topo­e con regole di deduzione, cioè di produzione di enunciati a partire da altri.

logici, sono naturalmente dati mediante generatori e relazioni. I l seguenteUn certo sistema di enunciati S è inizialmente ammesso ; si tratta dei cosiddetti

problema è detto «il problema dell'identità delle parole» nei gruppi: ammessoassiomi. Tutti gl i enunciati che si possono ricavare da 5 mediante le regole

che siano dati I e K (ad esempio, siano insiemi finiti dati mediante un elenco),di deduzione costituiscono la teoria formale T. L'enunciato P è detto indi­

come si fa a sapere se due elementi x, ye G (I) determinano il medesimo e e­pendente da 5 se né P né la negazione di P non appartengono a 5. È noto che

mento nel gruppo quoziente G(I)//Nz> Il problema dell'identità delle parole èesistono linguaggi e sistemi di assiomi talmente ricchi da poter essere consi­

detto decidibile con un algoritmo (per i dati I, K) se esiste un algoritmo che,derati come modelli formali adeguati di quasi tutta la matematica, in relazionealle possibilità di deduzione in matematica.

applicato a qualunque coppia x, yeG (I) dà r isposta alla domanda se xy — 'si trovi in Nrr.

D'altra parte, la matematica ha anche un aspetto ricco di contenuto che si

Novikov diede per primo esempi di gruppi con I, K f in i t i , per i qua i in i i e r i ua l i i lesprime con la rappresentazione non-formale della verità di un enunciato

problema dell'identità delle parole non è decidibile algoritmicamente. Basan­matematico in questa o in un'altra interpretazione nella teoria

(«elementare»)dosi sul lavoro successivo di Highmann, non è difficile costruire un esempio

degl'insiemi. Come la formulazione degli assiomi e le dimostrazioni dei teo­

semplice di tale gruppo con I finito, ma con K in6nito ; argomentazioni piu sottiliremi in matematica sono in u l t ima analisi procedure finite per registrare

permettono di modi6care la costruzione di questo esempio in modo da ottenereed elaborare dei testi di lunghezza finita, cosi l'idea astratta di verità si appel­

anche K finito.la di regola all'idea di una serie infinita, numerabile o anche non numerabi­le, di veri6che. Si ammette che la congettura di Fermat («se x"+y"+ z " = o;

Dipendenza/indipendenza 862 86g D<pendenza/»nd»penáenzax, y, z, n interi; n) g ; allora xyz = o») è vera o falsa dal momento che si puòimmaginare un'enumerazione successiva dell'insieme infinito delle quaterne(x, y, s, n). Per ognuna delle quaterne la verità o la falsità dell'ipotesi di Fermat

i i i r a re e conc usioni sul suo possibile comportamento ren­o, pren­

è verificata in modo finito. Se consideriamo potenzialmente conclusa questad d p ' p u a i generali della meccanica quantistica,

successione di verifiche, allora essa deve contenere in sé la prova o la confuta­sono troppo grossolani. Un qualunque sostenitore della «forza vitale»

otrebbead esempio dichiarare che nello spazio di H'Ib hio i i ert , c e corrisponde a un sistemazione di tale ipotesi. vivo, esiste uno speciale operatore hermitiano dell'« 1 h'

Per le applicazioni delle scienze naturali sono essenziali entrambi gli aspettie «ente ec ia», che non c'è

ne lineg i spazi meno complessi dei sistemi fis' 'l'della conoscenza matematica. La deduzione di un teorema non evidente da

i s ici, e «riconci iare» in uesto caso isostenitori della riducibilità con i lo '. D'postulati plausibili, e la sua successiva applicazione alla chiarificazione di feno­

' à con i oro avversari. D'altra parte, la possibilità

meni fisici, costituisce il lavoro quotidiano del fisico teorico. Con non minoreperennemente incombente dell'indipenden 1 '

d 11 l ' 'eenza ogica e e eggi della vita dalle

eggi e l la natura non v ivente nei nostr' d 11'ragione, tuttavia, si può dire che al fisico interessa la verità del teorema piu

r i mo e i m a tematici, lascia am io

che la sua dimostrazione, benché la sua idea di verità si distingua molto dallaspazio alle speculazioni di qualunque genere.

Va sottolineato ancora una volta ridescrizione precedente per essere basata sulla realtà fisica. che le as

a, richiamandosi ai modelli matematici,

Il progresso della logica matematica nel xx secolo ha messo in luce il pro­c e e astrazioni della verità e le astrazioni della deducibil' ' ,

fondo abisso esistente tra i concetti di «verità» e di «deducibilità da assiomiismo in u t ima ana isi, sembrano strettamente legati ai problemi della

nitezza dei mezzi di descrizione f 't' d a 1dati»: l'ultima affermazione è di gran lunga piu povera, qualunque sistema di as­

orni i a una aua un ue lin aq q gu , in opp osi­zione alle astrazioni dell'infinitàsiomi si venga ad adottare. I matematici si sono già abituati all'esistenza di

i e i n n i t à che entrano forzatamente nella semantica dellaliningua se essa ha pretese di efficienza. Sen

«problemi non risolvibili» all'interno della loro scienza, cioè di affermazioni,enza prendere posizione nei confronti

i questo ualismo, il filosofo non uò nemmindipendenti dai piu forti sistemi di assiomi, che sono ammessi o hanno la

pu nemmeno porre chiaramente la questione

possibilità di essere ammessi dalla maggioranza degli scienziati. Le conseguenzee a ri ucibilità di principio di alcuni modelli della natura ad altri, senza ià

di questa scoperta per la «scienza applicata» o, piuttosto, per la filosofia dellaparlare dei tentativi ammissibili di soluzione di tale questione,

scienza, sono comprese in modo assai meno soddisfacente. Non si sa come porsidavanti alla possibilità che in un qualche modello matematico, per esempio

2.5. Il calcolo delle probabilità. Lo spazio di probabilità.

nella chimica quantistica, la spiegazione del comportamento osservato di una Il calcolo delle probabilità come dimacromolecola possa consistere nell'ipotetica verità di un qualche teorema al '

.Ne isciplina applicata si occupa degli «eventi

a eatori». Non saranno qui esaminate lematematico, che risulterà formalmente non-dimostrabile.

a'

. N ina e e questioni filosofiche che sono legatea pro ema della casualità. Nei modelli matematici di l' ' d

Questo problema, forse, non è troppo importante dal punto di vista pratico.t casua sta t «t»po clas­

Il calcolo effettivo di sistemi complessi esige spesso una tale mole di lavoro'e e o i casualità deriva dalla mancanza d'informazione sulle condi­

zioni in cui accade un evento o "per cui le limitazioni sono dovute alla capacità delle macchine e alla brevità

o, o dalla sua eccessiva sovrabbondanza che co­stringe a servirsi solo di una sua i ccola

arte.della vita piuttosto che a difficoltà logiche. Si è disposti ad accontentarsi di un I d d almodello semplificato o trasformato, di un breve riassunto di calcoli appros­

en i in iv i u i , m a soltanto le loro caratteristiche medie rispetto a uninsieme'reale o ideale di eventi aie t ' d' l 'n

simativi, dell'intuizione fisica e di criteri pratici di diverso genere che assicurinoa ori i ugua tino cioè ris et'p > '

' ' p to a u n « insiemeo e i e a si c a auantistica la

l'efficacia del modello.o e ' ' q ' '

casualità è interpretata come

Tuttavia, il filosofo della scienza non può trascurare le circostanze indicatene a natura e e cose: praticamente tutti i valori delle osservabili micro­

sic e sono aleatori, e hanno carattere detesaminando i problemi di r iducibilità. La chimica e la biologia si riducono

e erministico soltanto le affermazionisu e pro abilità di questi valori. In uesto

alla fisica> Ponendo delle domande di tal genere, bisogna anzitutto rendersin questo paragrafo ci si occuperà soltanto

ei mo e i d i t ipo classico.conto che si tratta sempre di un modello teorico delle leggi della fisica, della Il punto di partenza della teoria matechimica e della biologia, e non direttamente della natura. In secondo luogo,

ma ematica è uno spazio con misura

all'interno di qualunque modello teorico che in ultima analisi è destinato ad, p,), cioè uno spazio di eventi elementari o spazio di robab l' ' . L '

essere matematizzato, le conoscenze sottintendono forse una dipendenza logicaerpretata come informazione completa su un evento

e ementare. ssegnare un sottoinsieme misurab'1 I ' Q ­o un'astrazione del t ipo della verità matematica? i e c — un «evento»­'g ' ca dare un informazione non com leL'attento esame delle diverse varianti del significato che può essere attri­ d 1

mp eta che distingue gli evenff elementarii una qua che classe. La misura (Y) de li

buito al problema della riducibilità prova che esso probabilmente è stato malh . ' p,( ) eg i e venti è interpretata come la sua

pro a i i tà. Per questo motivposto e si serve di caratteri di astrattezza per i quali accettare questa o quella

p' ' ' . P q ivo la misura p, è supposta non-negativa, e p.{Q) = z.

risposta è piu un atto di fede che di conoscenza scientifica. I ragionamenti nei

Dipendenza/indipendenza 86g 86gDipendenza/indipendenza

sono gli elementi della piu piccola ~-algebra, in J(R"), comprendente tutti i

z.6. Esempio: le prove di Bernoulli. parallelepipedi.

Si consideri lo spazio Q„ = (o, r}x ... x (o, r} (n volte). Ogni suo puntoLegge (o distribuzione) della variabile aleatoria ( è la misura ir su R"per la quale pr (B) =p. {F — (B)), cioè @~{B) è la probabilità che i valori di FE )

orcQ è una successione con elementi zero o uno di lu g ; p­ si trovino in B .zro sr compocompone di z" elementi. Scegliamo i numeri p, q)o, p+ q = r e definia­mo la misura p, = p,„~ su a o ­1 '

= sulla o-algebra di tutt i i sottoinsiemi di Q, poQ o n endo

( ) ­ ~~~ " ~" ~ d ~~or, 'è il numero degli uno nella successione cr(e quin ie cr (e uindi 2.9. Indipendenza degli eventi e delle variabili aleatorie.

n — ~cr~ è il numero di zeri in essa) . Non è difficile verificare che p,( „ ) =

(cr) = r, cosicché (Q~, p.) è uno spazio di probabilità. Si tratta dir )r = r ) coslcc e ~) p.Gli eventi A, Bc :Q, sono detti indipendenti se p

(A>B) =p. (A)ir(B).un modello per il seguente esperimento: il lancio n volte di seguito di una

Le variabili aleatorie (r : Q~R"), F, : Q~ R"~ sono dette indipendenti se per

moneta non simmetrica con la probabilità, ugu p ,aie a d i avere testa, e ugualeogni A;c: R"' gli eventi F~' (A,), F~'(A,) sono indipendenti. In modo analogo

a q di avere croce.si può definire il concetto di famiglia di variabili aleatorie totalmente indi­pendenti.

L'insieme delle variabili aleatorie su uno spazio di probabilità(Q, ir) è un

2.7. Esempio: lo spazio di Maxwell.oggetto di regola «non osservabile» e tanto grande quanto lo spazio stesso.

Sia N un numero intero. Si consideri un certo volume di un gas idealeIl legame del modello con l'esperimento si realizza di solito util izzando un

monoatomico formato da N mo lecole di massa m. L'essere ideale significapiccolo numero di funzionali sulle variabili aleatorie. Fra i piu semplici e ipiu importanti di essi sono annoverate la speranza matematica e la varianza.

che le molecole non interagiscono; l'essere monoatomico garantisce 'assenza

di gradi di libertà interni della molecola, su alcuni dei quali può concentrarsiS i dice speranza matematica della variabile aleatoria scalare F, : Q~R i l

una parte dell'intera energia del gas E.«valore medio» M ( = f~ Fdp.~(x). Lo scarto quadratico medio dalla speranzamatematica viene detto varianza DE :

La confi urazione istantanea del gas verrà descritta con un punto del ospazio euclideo di dimensione 3N delle velocità di tutte le molecole: cr= DE = Mg — ME)'= (( — MF)'dp.~(x).

... N) v è la p ro iezione della velocità sull'asse delle x,ecc. Lo spazio delle posizioni è la sfera Q di dimensione (3 — I) : Il numero cov ((, q) = M(( — M()(ri — Mq) è detto covarianza delle due

zE$ (v,',+v,'„+v,',) = — .

variabili aleatorie F,q : Q~R. Dalle definizioni segue facilmente che, se(,y

4=1

sono indipendenti, allora cov (F, ri) =o. Per questo nel caso generale cov(F, ri)

Se la temperatura del gas è uguale a T, allora l'energia media di una molecolaè la misura numerica piu semplice di dipendenza

(sarebbe meglio dire di«non-indipendenza») delle variabili aleatorie F, q. Giacché, come non è difficileè 3AT/z (k è una costante universale), e il raggio di Q è (3 / )siderazioni di simmetria deriva che la misura d' pdi r obabilità su Q coincide

vedere, D (F,+rl) = DF,+Dg+z cov(F„q), la varianza della somma di variabilialeatorie indipendenti è uguale alla somma delle loro varianze.

con l'usuale misura di Lebesgue, normalizzata con la condizione p. (Q) = r. Sia ad esempio (Q„, ir) lo spazio di Bernoulli. Si scelgano due sottoinsiemiSi considerino gli eventi consistenti nel fatto che la proiezione v,. è compresatra i valori )x e P. La misura della corrispondente calotta sferica per N~ ~

I, jc ( r, . .., n}, IA /= g, du e funzioni f : I~(o, r } e g : j~ (o, r}, e si defi­niscano A, B come gli eventi, formati dai punti cr, per i quali le restrizioni di

tende a cr su I, j co incidono rispettivamente conf, g. Questi eventi, come si puòverificare, sono indipendenti. Intuit ivamente ciò è in accordo col fatto che

sapere che sono usciti testa o croce durante gli esperimenti di I non dice nientesui risultati degli esperimenti di j .

Questa è la legge di distribuzione della velocità secondo Maxwell, Moltissimi modelli probabilistici discendono dall'ipotesi che le caratte­ristiche per noi interessanti del fenomeno sono condizionate dall'azione di un

z.8. Variabili aleatorie e distribuzioni.gran numero di fattori aleatori indipendenti. Da ciò deriva che molti teoremisono formulati come asserzioni sul comportamento asintotico di funzionali

fu b'le ~e . Q~R" è detta variabile aleatoria vettoriale. relativi a un numero crescente di variabili aleatorie indipendenti. La deduzione

La misurabilità significa che per ogni sottoinsieme di Borei A c: R" a contro­ della distribuzione di Maxwell, in sostanza, si era già servita di quest'idea.

immagine g — r(A) è misurabile rispetto alla misura p, su Q ; gli insiemi di Borei Si darà ancora qualche esempio.

Dipendenza/indipendenza 866 86p Dipendenza/indipendenza

dal vavalore np cresce proporzionalmente a ~n Piu re iz.ro. Legge dei grandi numeri. c l 1 b l 1 (La si cita nella formulazione piu semplice di Cebysev. Si supponga che su

(Q, p,) sia data una successione di variabili aleatorie a due a due indipendenti I

F>> con uguale speranza matematica a e con varianze uniformementelimitate: DE„.(c per tutti gli i. Si ponga La variabile aleatoria F con distribuzione

V~(~) = ­ I B­*'<Ba~vz~g,

e si indichi con p„ (s) la misura dell'insieme per cui lE„„— al ) s. Il teorema di è detta normale (con i parametri (o iCebysev dice che, qualunque sia s)o , p „ (s) ~o per n~ ~ . I n a l tre parole,è '

i (o, i)). Si tratta di una distribuzione notevole,

se N è sufficientemente grande, allora il valore medio di ( F„) per n( N c o nc e svo ge un ruolo importante nell'intero spettro dei modelli

robabilistici.

L I' ' p ga a a' cosiddetto teorema limite centrale diUna delle cause di ciò è s ie ata d 1

ei mo e i pr o a ih s t i c i .

probabilità quasi t, differisce arbitrariamente poco da a : le deviazioni acciden­tali da a in caso di addizione hanno la tendenza a crescere molto piu lentamente

ap ace, il quale mostra che la conclusione del teorema di M

del numero dei termini addizionati.e c in eressa a deviazione dalla media della somma di ' b l'

aleatorie totalmente indi e d mma i v a r ia i iin ipendenti con deboli limitazioni sulle loro distribuzioni

>>

z.tx. I l teorema di Poisson.(si osservi che lui„è la somma g gmma g g,(~), dove (, è la i-esima coordinata delpunto oi ). >=1

Si consideri la successione degli spazi di Bernoulli (Q», p.„ » ), n = t, z, 3, ...

Sia loil„ la variabile aleatoria u~ loil su Q„. Supposto che per n~~ r i sult i z 13 Teorema limite centrale.

p„~o in modo che esista il l imite lim np„ = X, allora per ogni k = o, i, z,>>Woo E conosciuto in molte v arianti: si formulerà qui la variante di

la probabilità dell'evento loil„ = k tende, per n~~, a () ~/k!)e ~. Sia F F ...un a successione di variabili aleatorie indi endenti su Ljapunov.

Lo spazio dei numeri interi non negativi Q = (o, i, z, ...) con la misura di probabilità e si su on a ch ' 'e

uno spaziopp ga che per ogni k esistano le grandezze

p,(k) = (X~/k!)e — ~ si chiama spazio di Poisson. Piu in generale, la variabile Fi,­— ci> e M l(> — aJ . Posto poiMFg.= ai.,

aleatoria F, : Q~ (o, i, z, 3, ... }, per la quale p,~(k) = (X~/k!)e ~, si chiama va­riabile aleatoria con distribuzione di Poisson.

Intuitivamente essa descrive la d istribuzione del numero delle prove«riuscite» nelle serie lunghe, nelle quali la probabilità di successo (o, piuttosto, si supponga che per n~~ si abbia

d'insuccesso) è limitata in modo inversamente proporzionale alla lunghezzadella serie e le prove sono indipendenti. In realtà si può ammettere una dipen­ >~'5 MI4 — ~il'denza non troppo forte delle prove senza cambiare le conclusioni del teorema

k=l

di Poisson. Tuttavia una forte dipendenza, cioè la «contagiosità del caso», (condizione di Ljapunov ). Si indi h' „ I' in ic i con v„ a variabile aleatoriaviola questa deduzione. Si hanno tali situazioni quando la messa fuori serviziodi elementi isolati di un s istema grande provoca immediatamente la messafuori servizio degli elementi legati ad essi, o quando è studiata la statistica delle

V„ B„' p (F„.=— >a,>)))>.

i = i

malattie infettive. In questo caso la probabilità dell'avvenimento v (. R dv B(x , x c , ten e verso

d l l r i bi lz.iz. Teorema di Moivre-Laplace. uesto teorema è uno degli strumenti fondamentali della teoria de li errori

Esso ha a che fare con la successione degli spazi di Bernoulli (Q„, pz ~), pp e c e a grandezza registrata in un esperi­dove p e q non dipendono da n. Si considerino, come prima, le variabili aleatorie mento sia la somma del suo «vero» valore ement ' 1

> va ore e di un errore casuale di osserva­lo)l„: co~lwl. In v i r tu della legge dei grandi numeri, (loi l„/n)~p se n~~ zione. ora ripetere la sua re istrazione (inzione. g' '

e (in una serie di osservazioni in ugualicon probabilità uno. Il teorema di Moivre-Laplace dimostra che la deviazione con izioni e qu indi mediare i r isultati conduce d b b ' '

) con gran e probabilità al

Dipendenza/indipendenza 868 86g Dipendenza/indipendenza

valore piu vicino a quello vero, perché la media della somma degli errori oppure le sue caratteristiche nel momento in cui cominciamo ad osservarlo.

possibili in n osservazioni diminuirà per esempio come i /~n (se is> ­— «s non (Questo momento può riferirsi, nei modelli matematici, a un passato infinita­

dipende da h ). mente remoto, cosa che non cambia il nocciolo della questione, infatti «l'infi­

La stessa legge della radice quadrata opera nella teoria della «passeggiata nitamente tanto tempo fa» viene ad essere semplicemente «molto tempo fa

aleatoria». L'esempio classico è il moto browniano : in un tempo t la deviazione in confronto con la durata temporale caratteristica della vita del sistema».

media della particella dalla posizione iniziale crescerà come ~t. Ciò è condi­ Negli esperimenti sulla dispersione delle particelle elementari, «molto tempo

zionato dall'indipendenza della successione degli urti aleatori subiti dalla par­ a» può significare «frazioni di microsecondi fa», e il tempo caratteristico della

ticella come conseguenza dell'agitazione termica delle molecole. vita può essere dell'ordine di io ' secondi e meno). L'aspetto di limitatezzaNella teoria delle comunicazioni, ad esempio delle trasmissioni di segnali di un sistema chiuso nello spazio può essere espresso inserendo la descrizione

su distanze cosmiche, riveste un ruolo importante il problema della separazione sommaria della sua interazione col resto dell'universo sotto forma di asse­

di un segnale debole sullo sfondo di un forte rumore. Nella variante piu sem­ gnazione delle «condizioni al contorno»: sulla superficie d'u er cie i un grave è costante

plice esso può essere risolto se ogni segnale viene ripetuto molte volte periodi­ una data temperatura; sull'oscillatore agisce una forza conosciuta; il campo si

camente, e se nell'apparecchio radio viene sommato il segnale ricevuto con il annulla all'infinito.

rumore su molti periodi. Al lora l 'ampiezza della componente utile crescerà In parte nella meccanica classica, ma ancora di piu in quella quantistica,

proporzionalmente al numero dei periodi, ma l'ampiezza del rumore cresce­ è essenziale l'aspetto duale della localizzazione del sistema, non nella rappre­

rà proporzionalmente soltanto alla radice quadrata di questo numero, cosicché sentazione spazio-temporale, ma in quella impulsivo-energetica. Ad esempioerge ica. esempio,si potrà separare il segnale dal rumore dopo un numero sufficiente di ripe­ si puo parlare in modo convenzionale della localizzazione spazio-tem oraipora etizioni. Qui, senza dubbio, si suppone anche che il carattere del rumore in i un fotone, soltanto nei momenti del suo assorbimento d 11 d 'f l'o e a sua i u s i one,diversi periodi sia aleatorio e indipendente, cosicché essi daranno luogo ad Al di fuori d i uei uori di questi momenti il fotone possiede soltanto un'energia finita e

interferenze. un impulso. Questo è solo uno degli aspetti della complessità del significatodi sistema chiuso nella meccanica quantistica.

L a separazione delle «leggi della natura», cioè delle leggi dello sviluppo

3. Sistemi chiusi e interazioni. dei sistemi chiusi, dalle condizioni iniziali e al contorno, è alla base dei moderniprincipi della descrizione scientifica del mondo. Le leggi della natura sonoscritte nella l in ua de i ig !!e formule matematiche e costituiscono i l supporto

3.i. Generalità. discreto, finito, esplicito della conoscenza scientifica. Le condizioni iniziali e

Fra tutte le astrazioni della scienza moderna, che esprimono l'idea di di­ al contorno si riferiscono alla componente infinita, continua, variabile. Ora,

pendenza/indipendenza, quella centrale è, probabilmente, la concezione di si­ chiaramente, l'idea matematica del continuo non può essere espressa in ulti­

stema chiuso. Si suppone che esistano, o che possano essere create artificial­ ma analisi nella sua n ecessaria pienezza; le sue interpretazioni operazionali

mente o, infine, che si possano immaginare in un esperimento mentale, delle non sono meno deboli, poiché l'idea del continuo si basa sulle astrazioni del­

parti dell'universo, la cui evoluzione, in un determinato periodo della loro a i v isibilità i l l imitata e (potenzialmente) della misurazione arbitrariamenteesistenza, avviene secondo loro proprie leggi interne. In questo periodo il esatta.

mondo esterno o non ha in generale interazione con il sistema (il sistema è A questo punto è naturale accostarsi al terzo aspetto, forse il meno evidente,

isolato oppure è libero ), oppure quest'interazione può essere descritta somma­ della presentazione dei sistemi chiusi. Esso consiste nell'osservare che il con­

riamente e il suo effetto è incluso nelle equazioni che definiscono la struttura cetto di sistema chiuso implica inevitabilmente la precisazione del limite del

e l'evoluzione del sistema («vincoli», «parametri esterni», ecc.). dettaglio con il quale il sistema stesso viene esaminato.

Un'astrazione di tal genere è sottintesa quando la fisica parla di «volume IlI sistema solare come oggetto della meccanica celeste viene di regola ana­

di un gas a una data temperatura e pressione», di «atomo dell'idrogeno», di izzato non solo come isolato dalla parte restante della nostra galassia mat

«sistema solare» o di «campo elettromagnetico nel vuoto». inoltre i p ianeti vengono ritenuti punti materiali, provvisti di una massa,

L'analisi di un sistema complesso ha lo scopo d'individuare quei sotto­ ma né di volume né definiti da una struttura fisico-chimica, Il campo elettro­

sistemi potenzialmente chiusi e piu semplici. La sintesi ricostruisce la rete magnetico nell'approssimazione classica si basa sul modello di una coppia di

delle loro effettive relazioni, delle loro interazioni, ecc. vettori degli sforzi, variabili con continuità da un punto all'altro dello spazio

L'idea di sistema chiuso presenta diversi aspetti. L'aspetto della limitatezza e da un momento all'altro del tempo, senza che si tenga conto dei fenomeni

della sua esistenza nel tempo conduce a mettere in evidenza le «condizioni q'

. v o l ume di un gas come oggetto macroscopico può essereouanto-meccanici. Il vo urne

iniziali », cioè le condizioni al momento della sua nascita come sistema chiuso, descritto dalla sua equazione di stato indipendentemente dalla rappresentazione

Dipendenza/indipendenza 8po 8pt Dipendenza/tndhpendenzaatomica. Per dirla in breve, se anche con grossolana approssimazione, si con­sidera un sistema fisico isolato dal restante mondo infinito (oppure molto

distanza della pallina da un punto prefissato lungo l'orizzontale o lungo la

grande), esso appare ancora un mondo infinitamente complesso, qualora si scanalatura, oppure modificando la sua coordinata angolare relativamente a

decida di descriverlo in tutti i dettagli. Ogni sua immagine matematica trascura un punto opportuno. Il sistema possiede un grado di libertà; il suo movimento

quei particolari che sono caratterizzati da sufficientemente piccole caratteristiche è unidimensionale; la scanalatura rappresenta il «vincolo» imposto alla pallina.spazio-temporali e /o impulso-energetiche. Le piccole fluttuazioni si compen­ b) Spazio delle fasi del sistema. È l'insieme delle coppie (q, q), dove q èsano; non verranno presi in considerazione piccoli spostamenti energetici; la coordinata della posizione istantanea della pallina, e q è la rapidità della sua

ecc. ecc. Perciò è possibile dire cosa verrà trascurato e cosa non verrà preso in variazione nel tempo. Durante le diverse traiettorie del movimento della pal­

considerazione, soltanto in rapporto a un m odello ulteriore piu esatto del lina essa può passare da un punto a un altro con diversa velocità, per questo

sistema; allora può risultare che gli effetti che dànno solo piccole correzioni le coppie di valori (q, q) possono descrivere tutto il piano (o una sua parte,alle caratteristiche di cui ci si è precedentemente interessati, svolgano tuttavia se la lunghezza della scanalatura è finita e /o se le velocità per un qualunqueun ruolo determinante nel quadro del mondo come lo conosciamo noi. La motivo sono limitate). Teoricamente si potrebbe considerare anche lo spazioscoperta dello spin del l 'elettrone spiegava dapprima soltanto piccolissime delle possibili terne (q, q, q) (coordinata, velocità, accelerazione), ma nei sistemideviazioni di un fascio di elettroni negli esperimenti del tipo di quelli di Stern­ meccanici di tale tipo tutta la traiettoria reale del sistema è definita semplice­

Gerlach, o la decomposizione appena percettibile delle linee spettrali. Tuttavia, mente dalla posizione e dalla velocità iniziali: l'accelerazione è localmente defi­

dopo la scoperta del legame dello spin con la statistica (principio di Pauli ),nita da queste ultime, e quindi l'integrazione delle equazioni differenziali del mo­

risultò che l'esistenza di atomi stabili e, in ult ima analisi, di corpi materiali, vimento fornisce tutta la traiettoria. Nei sistemi piu complessi lo spazio delle fasi

è assicurata dalle proprietà di questa sorprendente «osservabile non-classica». può includere particolari gradi di libertà per varie derivate d'ordine superiore.

Qui si accennerà soltanto brevemente al problema dell'esistenza di diversilivelli di descrizione di questo o quel sistema, quando due «modelli vicini» Quadro delle fasi del sistema. Si t ratta delle curve nello spazio delle fasi,differiscono nella loro struttura in modo cosi forte come quello classico e quello rappresentanti (q(t), q(t)) per tutt i i movimenti reali possibili della pallina,quantistico. Si osserverà soltanto che la relatività dei concetti di «dipendenza/

per teR. Queste curve sono dette anche traiettorie nello spazio delle fasi.

indipendenza» si manifesta con particolare evidenza per l'appunto in congiun­ Nella descrizione nello spazio delle fasi possono esservi traiettorie formate da

zione con tali modelli. un solo punto: la posizione di equilibrio della pallina; in esse la velocità è

Forse questo aspetto di «rozzezza della descrizione» di un sistema chiuso uguale a zero, e la coordinata q corrisponde alle posizioni di «buche» e di

è piu evidente nei modelli cosmologici. Oggetto del modello cosmologico è «sommità» della scanalatura. La pallina nella buca si trova in equilibrio stabile:«tutto l 'universo in ogni tempo». Anche non analizzando esempi concreti, se la si allontana un po' verso la parete e la si lascia andare, incomincia a rotolare

non è difficile imrnaginarsi che un cosi immenso «sistema chiuso» può diventare da una parte all'altra, rimanendo tutto il tempo vicino al fondo. La pallina

oggetto dell'osservazione fisica soltanto dopo l 'astrazione da quasi tutte le sulla sommità si trova in equilibrio instabile: se la si allontana un po' verso lacaratteristiche dell'universo con le quali ha a che fare quasi tutta l'altra scienza. parete e la si lascia andare, rotola in giu. Sono inoltre possibili dei casi degeneri :

i tratti orizzontali della scanalatura e i punti d i flesso dove la scanalatura asinistra sale, e a destra scende, ma in quel punto la tangente è orizzontale.

3.z. I sistemi classici e il principio della minima azione. Se la forma della scanalatura è descritta da una funzione regolare, allora tutti

Nella descrizione matematica dei piu svariati sistemi isolati ha un ruolo i punti di equilibrio sono gli estremi dell'altezza della scanalatura come funzioni

fondamentale uno schema generale per la deduzione delle equazioni dell'evo­ di una coordinata orizzontale: per piccoli spostamenti lungo l'orizzontale laluzione: il pr incipio della minima azione. parte lineare della variazione di altezza è uguale a zero.

Ecco un breve ed evidente esempio: s'immagini un punto materiale — cioè In fisica è piu ragionevole lavorare non con una scanalatura alta, ma con

una «pallina» che può muoversi in una scanalatura curva su di un piano verti­ l'energia potenziale della pallina V (q) nel campo di gravità (calcolata a partirecale, in virtu della forza di gravità — e si trascurino sia l'attrito sia la rotazione da un prefissato livello orizzontale). Nelle posizioni di equilibrio V (q) è estre­della pallina. La descrizione matematica di questo sistema è costituita dai male.

seguenti oggetti :a) Spazio delle configurazioni (spazio degli stati ) del sistema. È l'insieme di

Piccole oscillazioni. Le tr a iettorie generali del movimento della pallina

tutte le possibili posizioni istantanee della pallina. Queste ultime possono essere possono avere forme abbastanza complicate, ma esiste un'importante classe

rappresentate con un numero reale q, cioè con una coordinata che, tuttavia, di movimenti che ha una struttura molto semplice: piccole oscillazioni intorno

può essere introdotta in molt i modi d i f ferenti: ad esempio, calcolando la a lle posizioni di equilibrio stabile. Se q è scelta opportunamente e q=q= onella posizione di equilibrio, allora il movimento è vicino all'oscillazione di

Dipendenza /indipendenza 87z 873 Dipendenza /indipendenza

un oscillatore armonico: q~k~q=o, q= A cosk(t — t~). È necessario soltanto portante e spesso sono definite come punti estremali di un opportuno funzio­che V(q) in prossimità di q = o abbia la forma di una parabola V (q) q' a meno nale sullo spazio degli stati o sullo spazio delle fasi.di termini d'ordine superiore; un adeguato piccolo cambiamento di q la tra­ Le leggi di conservazione delle diverse grandezze possono esprimere insformerà allora in una parabola esatta, ma una opportuna modificazione di q modo molto evidente l'«isolamento» del sistema. Se vi è un numero sufficienterenderà il movimento armonico. Le piccole oscillazioni rappresentano uno dei di grandezze che si conservano, già lo stesso fatto della loro esistenza permet­processi fisici piu stabili; con ciò si spiega in parte il ruolo degli oscillatori te di ricevere un'informazione molto importante sulle proprietà dell'evoluzionearmonici negli altri processi fisici. del sistema.

Leggi di conservazione. Sia E l'energia cinetica e V l 'energia potenziale Traiettorie virtuali e azione. Si dà ora una descrizione piu precisa deglidella pallina: si tratta di funzioni sullo spazio delle fasi. Allora su ogni traiettoria schemi matematici corrispondenti. In essa ha un ruolo importante un principio,la somma E+ V è conservata: questa è la legge di conservazione dell'energia. profondo e non evidente, delle scienze naturali, secondo il quale il movimento

di un sistema può essere spesso descritto come la sua «posizione di equilibrio»Introduzione delle interazioni con il mondo esterno. A r igor di termini, sin in un senso generalizzato del termine. Con piu precisione, si considerano i punti

dal principio il sistema non era isolato: sulla pallina agiva il campo esterno dello spazio degli stati della pallina nella scanalatura come «stati virtuali didella gravità. Tuttavia, lo si è potuto descrivere come isolato, ritenendo questa equilibrio» del sistema; tra di essi gli stati effettivi di equilibrio sono indi­azione conosciuta in anticipo e non dipendente in alcun modo dal comporta­ viduati come punti estremali della funzione «energia potenziale». In modomento della pallina stessa: è sostanziale per l 'appunto quest'ultimo fatto. analogo è possibile considerare tutte le possibili curve pararnetrizzate (q(t),Inoltre, il campo di gravità è potenziale e non può compiere lavoro in un ciclo q (t)) tp < t < ty nello spazio delle fasi come « traiettorie virtuali » della pallinachiuso del moto del sistema. e tentare d'individuare tra di esse le traiettorie effettive come estremali per un

Inoltre si sarebbe potuto prendere in considerazione l'attrito della pallina certo funzionale. Tale funzionale esiste effettivamente: è detto azione e vienecon la scanalatura: esso produce dissipazione di energia (per trasformazione scritto J,"L(q(t), q(t), t) dt, dove L è un 'opportuna funzione (nel caso dellain energia termica) e in fin dei conti piccole oscillazioni smorzate; questo è pallina nella scanalatura è la differenza fra la sua energia cinetica e quella po­ancora uno dei motivi per cui le piccole oscillazioni sono importanti. tenziale). Si tratta del cosiddetto principio della minima azione (o, piu preci­

Si sarebbero potute includere anche una fonte esterna di energia, ad esem­ samente, dell'azione estremale).pio un campo magnetico variabile, che metta in moto la pallina (di ferro) Piu in generale, a ogni sistema chiuso di una determinata classe si fa cor­o una variazione della forma della scanalatura a causa di un influsso esterno. rispondere una s t ruttura matematica (E, S) formata dall' insieme E de l leNell'articolo «Continuo/discreto» di questa stessa Enciclopedia si erano osser­ «traiettorie virtuali» del sistema e dalla funzione S : E~R a va lori reali, chevati i risultati «catastrofici» sul movimento della pallina che in tal modo pos­ possiede fisicamente la dimensione di un lavoro e il cui valore è detto azionesono verificarsi: ad esempio, la caduta in una piccola buca creatasi in un lato. della traiettoria virtuale data. La classe delle traiettorie reali del sistema viene

scelta con la condizione che l'azione su di esse ammetta un valore massimale,Commento. No nostante tutta la semplicità di quest'esempio, il complesso per lo meno in un senso locale. L'insieme E si realizza di solito come l'insieme

dei principali concetti sopra descritti si adatta a molti sistemi chiusi piu com­ delle sezioni locali di un fibrato differenziabile. Le coordinate locali in taleplicati. Ogni modello matematico presuppone una piu o meno evidente intro­ fibrato sono dette coordinate generalizzate del sistema. L'azione è data di regoladuzione dello spazio degli stati. Le coordinate generalizzate in questo spazio dall'integrale di una forma differenziale che dipende dalle coordinate generaliz­possono essere indipendenti oppure soddisfare relazioni del t ipo «vincoli». zate del sistema e dalle loro derivate sulla base del fibrato: questa forma èLa prima e fondamentale complessità del sistema consiste nella dimensione di detta densità lagrangiana del sistema. La condizione di minimalità dell'azionequesto spazio: il numero dei gradi di libertà del sistema. Nei sistemi meccanici è sostituita dall'annullamento della sua variazione prima nel senso del calcoloesso è finito, ma rifiutare il principio delle «azioni a distanza» richiede l'intro­ delle variazioni, che conduce alle classiche equazioni di Eulero-Lagrange. Siduzione dei campi; il «valore istantaneo del campo» è una funzione in una re­ dànno qui di seguito alcuni esempi.gione dello spazio, cioè l'insieme infinito dei suoi valori in tutti i punti dellaregione: in questo senso lo spazio dei valori del campo ha dimensione infinita. Sistemi meccanici. Sia N una varietà differenziabile, i punti della qualeIl modello di un gas come insieme di particelle classiche in una scatola ha, a sono interpretati come posizioni istantanee del sistema. (Generalizzazione del­rigor di termini, dimensione finita, ma la sua di mensione è cos{ grande (numero l'esempio iniziale). L'insieme delle traiettorie virtuali E è l ' insieme delle im­d i Avogadro r o ~a) che è «praticamente infinita». magini delle applicazioni R~N de f in ite sui segmenti[t~, t,] della retta del

Le posizioni di equilibrio del sistema possono avere un ruolo molto im­ tempo R o, il che è lo stesso, l'insieme delle sezioni locali della proiezione

Dipendenza/indipendenza 875 Dipendenza/indipendenza

N x R~R. Queste immagini sono supposte difFerenziabili il numero neces­ base» di M e dimensione nulla «lungo le fibre». L'integrale della restrizione disario di volte. una tale forma a una sezione locale è l'azione di questa sezione rispetto alla

Siano (q„ , q„) delle coordinate locali su N che ricoprono completamente data densità lagrangiana.una traiettoria virtuale (q,(t), ..., q.„(t)), t»( t < t z . Al lora l 'azione in essa è Il formalismo variazionale diventa, in questa variante, un nuovo capitolodefinita da un integrale del tipo assai interessante della geometria differenziale.

Un sistema di N punti materiali interagenti nello spazio-tempo galileianoL q;,— ',..., ' , t d t . è di solito descritto con i l seguente modello. Le coordinate generalizzate

(q;,, q... q;,) sono le gN coordinate delle posizioni dei punti i = z, ..., N, in unLa funzione L(q;, q.;, q.;), dove tutte le q.; e le derivate sono considerate variabili sistema di coordinate cartesiane. Postoindipendenti, è detta lagrangiana del sistema, o densità lagrangiana. In molti 3

modelli n = z, e per semplicità ci si limiterà a questo caso.v2

P2

z =zCome è stato detto, le traiettorie reali si distinguono, tra quelle virtuali, allora la lagrangiana del sistema ha la forma

per la condizione di estremalità dell'azione. Per la deduzione delle equazionidifferenziali del moto questa condizione viene un po' modificata e, seguen­ ™ ~ i2

do Eulero e Lagrange, viene sostituita con l'estremalità locale dell'azione nelseguente senso. Si consideri la traiettoria q, (t) e una sua piccola variazione Qui m, è la massa del punto i-esimo, V (q;;) è una funzione delle posizioni dei(q,(t)+ 8q;(t)), dove le funzioni 8q, sono diverse da zero esattamente all'interno punti. I l terminedi [t», t,]. Nell'approssimazione lineare rispetto a 8qt la variazione doli'azione ha z'm v'la forma

rp

Ci ò i= l 2

S(q+8q) — $(q) g — L(q) 8q,y L ( q ) 8qs dtòq, ' àòq,

viene detto energia cinetica del sistema, V è la sua energia potenziale.La descrizione dell'evoluzione mediante la lagrangiana e mediante il si­

òL d àL stema delle equazioni di Eulero-Lagrange si applica non soltanto a sistemiisolati nell'accezione piu ristretta del termine, ma anche a sistemi che hannointerazioni con un a l tro sistema se l 'evoluzione di quest'altro sistema può

L'ultima espressione è ottenuta integrando per parti i l termine(òL/àq;) 8qzdt, ritenersi assegnata, e se è possibile trascurare l'influenza reciproca esercitata

e tenendo conto del fatto che 8q;(t») = 8q.;(t,) = o. Sotto ipotesi analitiche natu­ su di essa dal primo sistema. Caso tipico è il movimento di un sistema di puntirali, servendosi dell'arbitrarietà degl'incrementi 8q,, è possibile da qui dedurre materiali in un campo esterno, gravitazionale o elettromagnetico, che è pro­che lungo le traiettorie reali dotto da oggetti (come nell'esempio della pallina) con massa molto grande

àL d àL (a confronto del sistema).— — — — = O In matematica l'influsso del sistema esterno si manifesta sulla forma dellaòq; dt òq; lagrangiana nel modo seguente. Immaginiamo che il nostro sistema chiuso I

Queste sono le equazioni differenziali di Eulero-Lagrange. Eccettuato un in­ e il sistema II che agisce su di esso siano riuniti in un sistema generale isolatosieme singolare, esse determinano il movimento del sistema quando siano asse­ I+ I I , la lagrangiana del quale ha l'aspetto L (qz, qz, 'qzz, qzz). Ritenendo qzz, qzzgnate le sue coordinate generalizzate (q,) e le velocità generalizzate (q;) nell'i­ funzioni conosciute del tempo, possiamo sostituirle in L. Var iando qz e qz,stante iniziale t„. le equazioni di Eulero-Lagrange per il sistema I avranno formalmente l'aspetto

di prima, ma L dipenderà dal tempo. Inoltre, per un sistema di particelleOsservazioni complementari. Dal punto di v ista matematico è meglio la­ nello spazio «vuoto», V deve dipendere soltanto dalle posizioni reciproche

vorare senza le coordinate locali nel sistema delle definizioni fondamentali. È delle particelle, cioè dalle differenze delle loro coordinate spaziali. La presenzapossibile fare ciò se si associa ad ogni fibrato regolare N~M la successione del sistema II può turbare questa simmetria rispetto a tutte le t raslazionidi fibrati regolari ...~ $ 2N~P N ~ ... ~ . . . i j N = N ~ M chi a mati fibrati dei spaziali, e V può immediatamente cominciare a dipendere da alcune coordinategetti. Un punto di PN corr isponde a una classe di sezioni locali del fibrato o dalle loro funzioni.N~M , che hanno un contatto con ordine di tangenza non inferiore a k in undato punto di N. Le d ensità lagrangiane sono definite in tale ambito come Leggi di conservazione e di simmetria. Ca ratteristiche di estrema impor­forme differenziali esterne su un PN, aventi dimensiòne massima «lungo la tanza di un sistema chiuso sono i suoi integrali di moto: tali funzioni f(q;, q„.)

Dipendenza /indipendenza 876 877 Dipendenza/indipendenza(ed eventualmente derivate di ordine superiore, se da esse dipende la lagran­ tenziale dell'interazione di tutti i punti. Quest'idea dell'actio in distans era sem­giana) sono costanti, cioè non dipendono dal tempo, su ogni traiettoria del brata insoddisfacente, come argomentazione filosofica, già allo stesso Newton.sistema. Vengono anche dette leggi di conservazione qualora possiedano la Il rigetto totale di quest'idea è alla base dei modelli della teoria della rela­proprietà di additività, cioè si sommino in caso di unione di due sistemi senza tività speciale, dove lo spazio-tempo a quattro dimensioni di M inkowski èinterazioni (ad esempio, diffusi spazialmente). Si usa questo termine comeequivalente a quello di in tegrale di moto.

il veicolo degli eventi. Esso è rappresentato matematicamente come lo spazioafFine R4, munito di sistemi inerziali di coordinate e di una metrica arbitraria

Le leggi fondamentali di conservazione sono collegate alle simmetrie del ma privilegiata. Se in un dato sistema inerziale (xi xo xs t) e (x~, x~, xa, t') sonosistema (teorema di Noether ). Si supponga che sul fibrato Nx R agisca un le coordinate di due punti P, P', allora il quadrato della distanza a quattrogruppo a un parametro di trasformazioni che conservano la lagrangiana, e dimensioni fra di essiche in coordinate locali quest'azione trasformi i l punto

(t, q;) nel punto( f(t, X) ; f,(q;, t, X)), dove ) è il parametro del gruppo. In questo caso la gran­ Q (x; — x';)' — c'(t — t')'dezza

A = L — g — q) — +g ­— '

òL òyt (c è la velocità della luce) rimane invariato in qualunque altro sistema inerziale.,òq, ')ò~ , aq,òZ Da ogni punto P dello spazio-tempo ha origine il cono-luce Ct definito

in modo invariante e formato da tutti i punti Q, la cui distanza da P è ugualeresta costante su qualsiasi traiettoria. a zero. Le sue generatrici sono linee universali di particelle che si allontanano

Un sistema meccanico chiuso possiede un gruppo di simmetria a sette da P in modo rettilineo con la velocità della luce. Le particelle (materiali ),parametri; il gruppo a quattro parametri delle traslazioni dello spazio e del cioè le particelle di massa m diversa da zero, possono muoversi soltanto contempo, e il gruppo a tre parametri delle rotazioni dello spazio euclideo. Con una velocità rigorosamente minore della velocità della luce: la tangente allariferimento a ciò, per un tale sistema esistono sette leggi fondamentali di con­ traiettoria di una tale particella è situata sempre all'interno del cono-luce cheservazione: dell'energia, delle tre componenti dell'impulso e delle tre com­ ha origine nel punto di contatto. Perciò l' insieme delle traiettorie virtuali diponenti del momento dell'impulso. tale particella è definito come l'insieme (delle parti) delle curve differenziabili

La conservazione dell'energia corrisponde al gruppo t~ t + À ; l' energia è nello spazio di Minkowski, le cui tangenti in ogni punto si trovano all'internoespressa dalla formula del cono-luce. L'azione di una particella libera in una traiettoria virtuale è la

AL. sua lunghezza (nel senso della metrica di Minkowski ) moltiplicata per la massaE =g ­ . q; — L. col segno meno.

La lagrangiana di un sistema chiuso è invariante rispetto al gruppo diLa j-esima componente dell'impulso di un s istema di punti in coordinate Lorentz delle trasformazioni di un sistema inerziale di coordinate in un altro.cartesiane è Questo gruppo ha dieci parametri, e pertanto il teorema di Noether permette

òL di costruire dieci leggi fondamentali di conservazione per tale sistema: leZ ­ = P., òx;,

quattro componenti dell' impulso a quattro dimensioni e le sei componentidel tensore antisimmetrico del momento a quattro dimensioni.

Il vettore del momento dell'impulso di questo sistema in coordinate carte­siane è / [ r ;-p,.], dove p,= m, (x;,, x;,, x; ), r; = (x;,, x;,, x; ) e l e p arentesi Campo. Uno dei postulati fondamentali della teoria della relatività afferma

quadre rappresentano il prodotto vettoriale.che nessuna influenza (segnale) può propagarsi con velocità superiore allavelocità della luce. Per questo la descrizione di un sistema di punti interagenti

La teoria della relatività speciale. La lagrangiana del sistema dei punti ma­non può essere realizzata mediante il termine V nella lagrangiana del tipo

teriali descritto in precedenza. L'analisi conduce a un punto d i v ista ancora piuradicale in conformità al quale un sistema chiuso di punti interagenti non puòin generale essere descritto in termini di uno spazio di dimensione finita nelleloro coordinate: è necessario introdurre lo spazio di dimensione infinita deglistati del campo che descrive l'interazione. Nella maggior parte dei modelli

sottintende ancora un'ipotesi di carattere fisico: l 'istantaneità della propaga­zione dell'influenza di una particella sulle altre. Un cambiamento della posizio­

l'interazione è locale, cioè è definita in modo che le particelle eccitino il campo,

ne (q;,, q;,, q;g dell'i-esimo punto si manifesta immediatamente sull'energia po­che il campo agisca su di esse vicino ad esse e che punti vicini del campointeragiscano l'uno con l'altro.

Dipendenza/indipendenza 878 879 Dipendenza/indipendenza

Il campo classico libero, cioè il campo fuori delle particelle, è di solito risultante. Considerando il sistema come lineare, si può descrivere la rispostarealizzato matematicamente come sezione di un fibrato vettoriale sullo spazio­ come il risultato dell'applicazione a f(t) di un operatore integrale, eventual­tempo M oppure come connessione in questo fibrato. mente con nucleo di d istribuzione: g (t) = f~ L ( t , t ' ) f ( t ' )dt' . Se la struttura

Ad esempio, il campo elettromagnetico «è» la z-forma esterna chiusa F del sistema non dipende dal tempo, allora L (t, t') deve dipendere soltanto dallasu M, oppure il tensore antisimmetrico di rango z (è possibile non indicare il differenza t — t', e la si può scrivere come L (t — t'). La condizione di causalità,carattere della sua varianza in virtu della procedura di innalzamento e di ab­ in particolare, significa che se l'influsso f(t) = 8(t — t«) è un impulso dato nel­bassamento degli indici con l'aiuto della metrica). Se v è la velocità a quattro l'istante t«, allora g (t) = o per t<t«, e quindi L (~)= o per <<o. Questo stessodimensioni di una particella con carica e e con massa m, allora l'azione del sistema lo si esamini ora in una «descrizione in termini di onde», cioè lavorando,

campo F su questa particella è descritta dalla sua equazione di moto dv/dz = invece che con f(t) e g(t), con le loro trasformate di Fourier= (e/m)F(e). Qui z è i l t empo proprio della particella oppure, il che è lostesso, la lunghezza della sua traiettoria nella metrica di Minkowski, e F èconsiderato come un operatore sullo spazio tangente (dove si trova v ) convalori nello stesso spazio tangente (dove si trova dv /dz). Nel sistema inerziale e g(co), L(ro) definite in modo analogo. Dalle proprietà della trasformazionedi coordinate (t, x, y, z) = (x«, x', x», x») le c omponenti de l t ensore F = di Fourier che, in particolare, trasforma la convoluzione delle funzioni in t= /F „>dx t dxa/z hanno la forma n ella moltiplicazione delle funzioni in u , risulta che g (u) = X,(u) f(o>). Si

o — E, — E„ — E, ottiene cosi una descrizione molto semplice della risposta in termini dell'in­flusso. La condizione di causalità si manifesta nel comportamento della fun­

E„ o B, — B„IIF all=

zione L(u). Precisamente, dal fatto che L (z) =o per w<o, segue che X, (u)E„ — B, o B, può essere prolungata come funzione analitica nel semipiano superiore della

variabile complessa u (Imco>o), oppure che il coefficiente e'"' p er w )o i nE B„ — B o modulo non supera z (e decresce rapidamente rispetto a Imto). La stessa fun­

zione L(o>) per ueR è i l valore al bordo di questa funzione analitica. Oltredove E, B sono le componenti classiche dell'intensità del campo elettrico emagnetico.

a ciò, la condizione L (~) = o per z<o con alcune ipotesi supplementari, che

Non si descrivono qui le rimanenti equazioni di Maxwell per non entrarequi non verranno formulate, è equivalente alla seguente relazione tra la partereale e il coefficiente della parte immaginaria di L (u) :in dettagli tecnici, e si omette anche la descrizione della lagrangiana del campo.

Causalità e analiticità. L' i d ea di causalità consiste nel fatto che la tra­ Ref (u) = ­x l' ImX,(a')

smissione dell'interazione da una parte del sistema a un'altra avviene conritardo nel tempo. Anche nei modelli di azione a distanza questo ritardo è t Re L (m)assunto uguale a zero, ma mai negativo: la causa non può precedere l'ef­ ImL(u) = ­ ­

fetto. Qui interesserà un aspetto delle descrizioni matematiche di causalità:la comparsa, nei modelli corrispondenti, delle funzioni analitiche di variabile Qui gl'integrali sono intesi nel senso di valori principali. Queste formule sonocomplessa. Le funzioni analitiche hanno la seguente proprietà molto significa­ dette relazioni di dispersione.

tiva di «rigidezza»: assegnare una funzione in un dominio arbitrariamente Il loro significato fisico è il seguente. Il passaggio alla trasformata di Fourierpiccolo significa definirla in modo completo, cioè assegnarne sia l'intero do­ significa che si considera il sistema come un filtro, e che si è interessati allaminio di definizione che il valore in ogni suo punto. Si può dire che questa è sua risposta alle oscillazioni armoniche che si presentano come una successionel'espressione estrema dell'idea di dipendenza del comportamento globale del­ infinita stazionaria di onde. Sembrerebbe che il sistema, che lascia passarel'oggetto matematico dal suo comportamento locale. bene una parte limitata dello spettro e assorbe quasi tutta la parte restante,

Il meccanismo dell'introduzione delle funzioni analitiche è i l lustrato da debba dare in uscita oscillazioni, simili alle armoniche, indipendentemente dalun semplice e classico esempio. tipo d'ingresso, e perciò «cominciare a risonare» prima che su esso abbia luo­

Si supponga di avere un sistema chiuso del tipo di un oscillatore lineare go l'influsso. Tuttavia le relazioni di dispersione escludono questa possibilità:e lo si sottoponga a un «influsso esterno» f(t) dipendente dal tempo t interes­ la parte reale e il coefficiente della parte immaginaria di f (u) sono legati in mo­sandosi poi della «risposta» g (t). Per l'oscillatore lineare, f(t) può presentarsi do che, qualunque sia la parte assorbita dello spettro, il resto ha esattamente

come una forza che «mette in moto» l'oscillatore, e g (t) come il movimento quegli spostamenti di fase per cui la risposta non può precedere l'influsso.

Dipendenza/indipendenza 88i Dipendenza /indipendenza

Le relazioni di dispersione hanno delle varianti e delle generalizzazioni superficie omogenea di tipo spaziale. Supponendo che la densità p (t) e la pres­molto importanti, in particolare nella teoria quantistica dei campi. sione p(t) della materia siano conosciute, allora la geometria del modello è

Nella relazione iniziale per la comparsa dell'analiticità, insieme alla condi­ una funzione del tempo a (t), il «raggio dello spazio». In conseguenza dellezione L (r) = o per w(o, vi è la condizione d'indipendenza del comportamento equazioni di Einstein tali funzioni verificano:locale del campo in due punti, divisi da un intervallo di tipo spaziale nell'uni­verso di Minkowski. Essa è espressa nella forma di commutatività degli opera­tori del campo in questa coppia di punti: siccome un segnale da un punto nonpuò raggiungerne un altro, non mette in comunicazione nessuno di essi.

Si osservi che lo stesso meccanismo dell'analiticità collega, nella meccanica P+3 (P+ p)­ = o.quantistica, anche grandezze di diversa natura.

Il parametro k nelle unità stabilite può essere assunto uguale a + i oppure a o.L'universo come sistema chiuso. I moderni modelli cosmologici sono varietà Per quel che riguarda p e p, sono possibili diverse ipotesi. I seguenti due

a quattro dimensioni (spazio-tempo) con una metrica pseudoriernanniana modelli conducono facilmente alle equazioni integrabili degli «universi di3 Friedman»: p = o, p a («un i verso corpuscolare»); p =p /3, p a ~ («uni­g g„sdx"dx> verso radiante»). Il caso k = + i conduce al modello «chiuso» in tutti i tempi

a, s=O dell'universo, i casi k= o e k = — i conducono al modello «aperto» (rispettiva­localmente simile alla metrica di Minkowski in coordinate localmente inerziali. mente, piano o iperbolico).Il moto della materia in tale spazio è definito dalla sua geometria. Ad esempio, Senza entrare in ulteriori particolari (la descrizione di altri modelli, i datiammettiamo di osservare il movimento di due particelle di prova, vicine nel sperimentali e la loro interpretazione, le possibilità di altre leggi di evoluzionesistema inerziale locale, con velocità u"; q" sono le componenti della distanza del mondo, ecc.), si studieranno qui brevemente le questioni filosofiche postetra di esse. Le particelle si muovono lungo una geodetica, e le (vl") soddisfano dal considerare l'universo come sistema isolato. Esse in ultima analisi sono due:il sistema delle equazioni della «deviazione geodetica» il problema dell'unicità dell'universo e il problema delle condizioni iniziali.

Come si è già detto, i principi fondamentali della descrizione dei sistemi

D , y g R ) ~su>v@u= o. isolati sono basati sull'ipotesi della loro ripetuta riproducibilità:lo spazio deglistati e la descrizione nello spazio delle fasi del sistema realizzano l'idea che

Qui w è il tempo proprio del sistema, D/D~ è la cosiddetta «derivata assoluta» «esemplari diversi» del sistema possono attraversare diverse possibili tappelungo di esso, R>~s è il tensore della curvatura dello spazio espresso mediante dell'evoluzione. Com'è possibile rendere compatibili questi principi con l'unicale componenti della metrica g„>. rappresentazione dell'universo accessibile alla nostra osservazione? Poiché i

A sua volta, la curvatura dello spazio-tempo deriva dalla materia presente nostri modelli sono basati sull'idea dell'interazione locale, l'utilità della dedu­in esso in virtu delle equazioni di Einstein zione di queste o quelle equazioni dell'evoluzione consiste nella verifica della lo­

Iro validità locale nello spazio-tempo, al variare della distribuzione della materia.

R„~ ­ — g„sR = 8rr T„p,. Il problema delle condizioni iniziali è piu complesso per diverse ragioni.Non si sa da che cosa siano determinate le condizioni iniziali della fase osservata

Qui R„>, R, sono le contrazioni di R>~s rispetto agli indici corrispondenti, e dell'evoluzione dell'universo la quale, evidentemente, era una fase superdensa,

T„> è il tensore impulso-energetico della materia (compreso il campo ) che è Bisogna anche tener presente che, nei pr imissimi stadi di compressione, ilcostruito mediante una formula nota. modello classico diventa troppo sommario e cominciano ad avere un ruolo

Le equazioni di Einstein hanno un gran numero di soluzioni, e la scelta dei dominante gli efletti quantistici, ma non esiste un'unica teoria della gravita­candidati per i m odell i cosmologici fra d i esse è effettuata tenendo conto zione quantistica. Anche nei l imit i del modello classico rimane inesplicabiledei dati astronomici osservati. Nel piu semplice modello attualmente ammesso il problema delle cause dell'omogeneità osservata su larga scala. Quest'ultimasi suppone che la materia nell'Universo sia un mezzo omogeneo, continuo e presuppone un influsso reciproco delle parti del mondo talmente forte, daisotropo. Le non-omogeneità osservate nelle proporzioni ( r o d i a nn i luce condurre a un livellamento delle caratteristiche. Ma ad ogni punto universalesi possono considerare come perturbazioni su una base omogenea in media. possono essere causalmente collegati solo i punt i un iversali che si t rovanoIn tale modello esiste un sistema naturale di coordinate: gli assi spaziali delle all'interno o sulla superficie del suo cono-luce (nello spazio curvo ): all'inter­coordinate sono le linee universali dei «punti» della materia, l'asse temporale no cioè dell'«orizzonte» di tale punto. Nel mondo di Fr iedman, per estra­è il tempo proprio di ogni linea universale, uguale a zero su una fissata iper­ polazione all'indietro, la massa della materia che si trova all'interno dell'oriz­

Dipendenza/indipendenza 88) Dipendenza/indipendenza

zonte sembra tendere a zero al momento della compressione. In altre paro­ delle posizioni della pallina, che si trova nel punto q, e nel punto q», non corri­le l'universo, nei primi momenti, si frantuma in molte regioni non collegatecausalmente, e non c'è motivo che le caratteristiche della materia coincidano

sponde alla realtà macrofisica.(Le note eccezioni quantistiche a questo principiosono le regole di superselezione che vietano le combinazioni lineari degli stati

in tali regioni. I tentativi di venire a capo di questa difficoltà hanno condotto con differenti numeri quantici, ad esempio, della carica o del numero barionico,Meissner a considerare modelli anisotropi, nei quali l 'universo è piu simile auna ellissoide con tre semiassi diversi, che non a una sfera. L'evoluzione di

ma qui non ci si addentrerà in ulteriori particolari ). La possibilità della super­posizione conduce a una relazione molto particolare di «interdipendenza» de­

questi modelli nel tempo passato rispetto al momento di espansione è di tipo gli stati distinti dell 'uno o dell'altro sistema, col risultato che l 'osservazioneoscillatorio. In questo regime si suppone che le oscillazioni dell'anisotropia macroscopica del sistema in qualunque stato permette di determinare con benpermettano, nelle prime fasi, il diffondersi per tutto l'universo della radiazione, definita probabilità il valore delle sue caratteristiche tipiche per qualunque stato.provocando in tal modo il suo «rimescolamento» («mixmaster universe»). La Parlando piu precisamente, siano A l ' operatore dell'osservabile quanto­materia potrebbe in tal modo diventare omogenea, le oscillazioni si attenuereb­ meccanico e $„ il~s gli stati nei quali l 'osservabile ammette rispettivamentebero con l'andar del tempo e il modello si avvicinerebbe al modello dell'universodi Friedman. Tuttavia, calcoli dettagliati mostrano che, per la maggior parte

valori esatti Xr e A,. Allora, misurando A per il sistema nello stato$ = a,$,+

+a,$s, si ottiene il valore ) ; con probabilità ~a;~'/~~g~~, dopo che il sistema sidelle condizioni iniziali, il tempo realmente passato dall'inizio dell'espansio­ è portato nello stato $; (se è non-singolare). Perciò il processo di misurazionene dell'universo risulta insufficiente per la sua riduzione allo stato omogeneo, del sistema in un determinato momento è il processo della sua preparazionee il problema rimane insoluto. in un altro stato. Nella meccanica classica la misurazione non influisce sullo

L'aspetto della cosmologia che qui interessa, cioè il problema della reciproca stato del sistema.dipendenza delle parti dell'universo, si presenta molto chiaramente ancora in Questo modello di misurazione non dev' essere primario nella successivauna serie di modelli fisici, in questo caso di carattere piu locale, cioè nei modelli teoria. Dev' essere il riflesso del fatto che si osserva in modo classico lo stru­dei «buchi neri». mento di misura, e in modo quanto-meccanico il sistema misurato e, non

possedendo informazioni dettagliate sulla posizione quantistica dello strumen­Buchi neri. Se condo le equazioni di E instein, la massa-energia incurva to, si effettua qualche media lungo il suo spazio degli stati, il quale influenza

lo spazio. Questa curvatura può essere cosf grande da chiudere una qualche l 'introduzione sia dell'operatore A sia delle previsioni di p robabilità. Nelregione dello spazio nel senso che qualunque curva nello spazio-tempo, fatta processo di misurazione si unificano due sistemi, e nella teoria completa siuscire dalla sua frontiera, dovrà avere delle parti che si trovano fuori dal cono­ dovrebbe seguire il comportamento del vettore degli stati del sistema unificato.luce, e perciò non realizzate come linee universali di particelle di massa non Tuttavia ciò è possibile soltanto con l'aiuto dell'aggiunta di un terzo macro­nulla oppure di raggi di luce. Tale regione è detta buco nero [cfr. Rees, Ruffini strumento, necessario per la misurazione del sistema unificato, e qui di nuovoe Wheeler igp5]. Nessun evento accaduto all'interno di essa può, in quanto sorgono le difFicoltà. Hermann Weyl ha confrontato questa situazione con lacausa, influenzare gli eventi al suo esterno; la radiazione che cade fuori di essa necessità, dimostrata da Godei, di una gerarchia di linguaggi formali di potenzaviene assorbita. Il processo di formazione del buco nero non può consistere sempre crescente per approssimare l'idea di verità matematica.nel collasso gravitazionale, cioè nella compressione di una nube di materia Se X„X a sono gli spazi degli stati di due sistemi quantistici I e II , allorafino ad una densità con la quale la curvatura dello spazio diventa sufficiente­ lo spazio degli stati della loro unione è contenuto in, ma non necessariamentemente grande per la sua chiusura. coincide con, X, ®X». In X i ®X» ci sono dei vettori «scomponibili» y, ®y»,

con pie X; , che possono presentarsi intuitivamente come stati nei quali «i l3.3. Dipendenze quantistiche. sistema I si trova nella posizione $„e i l s istema II nella posizione$»». Ma

tutto X, ®X» è ben lungi dall'essere formato solo da vettori scomponibili.I tratti essenziali della diversità delle descrizioni classiche e quantistiche Secondo il principio di sovrapposizione, sono ammissibili anche gli stati del

possono essere riassunti nel modo seguente. tipo $,®g»+f ~®$z, e intuitivamente ciò significa che tale stato del sistemaLo spazio degli stati del sistema quantistico si presenta sempre come uno «I+ I I » non può essere descritto assegnando «separatamente» gli stati del

spazio vettoriale complesso X con una distanza, come uno spazio di Hilbert. sistema I e II . Perciò già lo stesso principio di sovrapposizione impedisce diCon maggior precisione, è lo spazio dei raggi P$}, XEC ()A(= i ), )eX: osservare I e II come «parti integranti» di I + II, almeno fino al momento ingli stati descritti dai vettori $ e X$ sono fisicamente identici. Perciò vale il cui I e II non interagiranno fisicamente. Dopo la fine dell'interazione («l'elet­principio di sovrapposizione: se il sistema può trovarsi nelle posizioni $i e trone ha attraversato il settore del campo magnetico», ecc.) diventa di nuovo pos­g„a l lora può anche trovarsi in qualsiasi posizione del tipo X$,+l i.$», ), p.c C. sibile in modo approssimativo l'osservazione separata dei sistemi anche se nonNella fisica classica non c'è niente di simile: una combinazione lineare formale in tutte le situazioni, come mostra il seguente famoso esperimento immaginario.

Dipendenza/indipendenza 88g Dipendenza/indipendenza

lingua naturale per la descrizione del formalismo matematico: si è appenaEsperimento di Einstein-Rosen-Podol'skji. Lo s i e sporrà nella variante di osservato che gli elettroni sono indistinguibili, ma si parla di elettroni diversi ).Bohm. Nell'istante iniziale si abbia una molecola con due atomi in uno stato Il tutto funziona come se i fermioni si «respingessero» l'un l'altro, benché qui

con spin nullo ; lo spin di ogni atomo sia uguale a A/z, ed essi siano orientati in non sia presente nessuna forza di repulsione (la repulsione elettromagneticamodo opportuno. Disintegrata questa molecola, senza cambiare il momento delle particelle di ugual carica non è in rapporto con questo fatto: la statisticarotatorio, si aspetta fino a che gli atomi separati non cessino d'interagire in è legata allo spin e non alla carica). Al contrario, i bosoni «cercano di ammas­modo evidente. S'immagini di misurare lo spin di uno degli atomi. Lo spin si sarsi » nella stessa posizione. I fotoni si presentano come bosoni, e questo mec­presenta come una grandezza vettoriale, e gl i operatori di p roiezione dello canismo si trova nell'operazione essenziale del laser di generare una radiazionespin o~, o„, a, su ognuno degli assi non commutano. Perciò in un solo esperi­ coerente di grande potenza. Senza dubbio qui non sono presenti nemmeno lemento è possibile misurare soltanto una delle componenti, ad esempio o,. classiche «forze di attrazione». La specifica interazione quantistica nei sistemiViene pronosticata soltanto la ripartizione delle probabilità del risultato della di particelle identiche è descritta in termini di simmetria e di superposizionemisura. In virtu della legge di conservazione del momento, la misura attuale delle loro funzioni d'onda g.di cs, per uno degli atomi conduce a predire che il valore di cz, per l'altro atomonello stesso momento è uguale in modulo ed è opposto in direzione, benché Interferenza delle alternative classiche e integrali di Feynmann. Il p r i ncipionon vi siano interazioni eRettive tra gli atomi. Per di p iu, non eseguendo la di sovrapposizione riceve un'originale interpretazione nella riformulazione dimisurazione di cs, per l 'atomo I, ma soltanto immaginandola per i d i versi Feynmann per la meccanica quantistica [cfr. Feynmann e Hibbs xg65]. Siorientamenti dell'asse z, si potrebbe concludere che l 'atomo I I « possiede» consideri un sistema classico che sia descritto dall'insieme delle traiettorieprecisi, ancorché ignoti, valori della proiezione dello spin in tutte le direzioni. virtuali E e dal funzionale dell'azione S : E~R. Questo modello è la «materiaEssi sono precisi perché le misurazioni per l'atomo I non perturbano l'atomo Il. prima» per la successiva descrizione quantistica. Nella teoria quantistica ilCiò contraddice l'ipotesi secondo cui la funzione $ dell'atomo II contiene tutta problema non consiste nella separazione classica delle traiettorie ammissibilil'informazione a proposito di esso, e l'esperimento di Einstein-Rosen-Podol'skij del sistema da quelle virtuali — queste traiettorie classiche non hanno un sensoera stato ideato anche per dimostrare la completa insufficienza della descrizione proprio nel modello dato, ma nel calcolo dell'ampiezza (a valori complessi)quantistica. Una precisa analisi quanto-meccanica, tuttavia, dimostra che la con­ di probabilità della transizione da ben definiti stati iniziali a quelli finali. Latraddizione è presente altrove: nell'ipotesi secondo cui l'atomo II può essere stessa probabilità di transizione è definita allora come il quadrato del moduloosservato come un sottosistema isolato del sistema I +Il , benché tra I e I I dell'ampiezza di probabilità. Secondo la concezione di Feynmann, per il calco­non vi sia apprezzabile interazione «di forze». In realtà, le caratteristiche degli lo dell'ampiezza di probabilità bisogna considerare su E il funzionale e~ (qui Satomi I e I I sono correlate per mezzo del principio di sovrapposizione, che è misurata nelle unità d'azione di Planck), e integrarlo in un certo senso sunon ammette una reinterpretazione classica soddisfacente. quella parte delle traiettorie virtuali di E che corrispondono al passaggio da

L'origine dell'universo da una piccola regione di materia superdensa con­ un dato stato iniziale ad un dato stato finale. Questa ampiezza, come funzioneduce probabilmente alla completa interazione quantistica di tutte le sue parti,cioè all'inatteso ritorno a un'antica idea della filosofia orientale.

dello stato finale rispetto a uno iniziale non definito, è la funzione d'onda f.Si osservi che i concetti di stato iniziale e finale, a differenza della traiettoria

tra di essi, conservano un senso semiclassico poiché in sostanza si riferisconoParticelle identiche: statistiche di Fermi-Dirac e Bose-Einstein. Sia X lo spa­ attualmente almeno a due processi sperimentali immaginari : l'«allestimento» del

zio degli stati di una particella. Allora lo spazio degli stati 3C'"' di un sistema sistema quantistico nella posizione iniziale e l'atto di «misurazione» in quelladi n tali particelle è contenuto in 3f." ", prodotto tensoriale n-esimo dello spazio finale. S'è già detto che queste procedure consistono nell'interazione del sistemaX. Tuttavia quello non coincide affatto con questo in virtu del principio del­ quantistico con strumenti macroscopici, che sono descritti in modo classico.l'indistinguibilità delle particelle: qualunque permutazione delle n particelle Quindi, nello schema di Feynmann, tutte le storie virtuali classiche delnon cambia lo stato del loro sistema. Perciò X'" 'c: X®" si compone sia della sistema portano il loro contributo, oltre a ciò nel tipo di struttura del funzionaleparte simmetrica (statistica di Bose-Einstein ), sia della parte antisimmetrica e'e questi contributi interferiscono; ciò conduce anche alla descrizione ondula­(statistica di Fermi-Dirac), e in X'" ' non esistono in generale stati che potreb­ toria tipica per la meccanica quantistica, ad esempio alla diffrazione deglibero essere descritti come l' insieme «j-esimo stato della i-esima particella», elettroni su un reticolo cristallino. La conservazione degli effetti di diffrazionecioè sono tutti quanti r imescolati dalle trasformazioni di simmetria. Da qui con intensità molto piccole dimostra che le traiettorie classiche possibili di underiva l' importante principio di Pauli per gl i e lettroni dove X ' " ' = A " X elettrone interferiscono per l'appunto tra di loro, ma ciò non accade per le(prodotto antisimmetrico): nessuna coppia di elettroni in un atomo può tro­ traiettorie classiche effettive di alcuni elettroni, cioè l'ultimo concetto non èvarsi in uno stesso stato. (Va qui sottolineata un'ulteriore inadeguatezza della adeguato alla realtà fisica. Questo è uno degli sviluppi sorprendenti della di­

29

Dipendenza/indipendenza 886 88y Dipendenza/indipendenza

pendenza di tipo non classico che fornisce una buona illustrazione del fatto che e la funzione (dS/dE) è d e t ta temperatura formale del sistema in equilibriola dipendenza appare come termine metalinguistico, entrato piuttosto nella de­ con energia E. L'entropia, come ordine di grandezza, è proporzionale al numeroscrizione del modello matematico, che non in quella della modellizzazione della dei gradi di libertà del sistema, che è molto grande (si ricordi che il numero disua realtà. L'effetto d'interferenza è legato al contributo delle traiettorie virtuali Avogadro è dell'ordine di ro's).alla fase, nell'ampiezza di probabilità, ma queste fasi non si presentano anco­ra come grandezze fisiche osservate perché non si riferiscono al processo reale. Interazione termica. Siano I e II d ue grossi sistemi e li si riunisca in un

unico sistema con energia totale E~. Si suppone che l'interazione fra le parti

g.y. Interazioni termodinamiche. I e I I del sistema unificato abbia luogo grazie allo scambio stocastico delleenergie in modo che questi atti di scambio quasi non turbino l'evoluzione indi­

La teimodinamica ha a che fare con i sistemi formati da un numero molto pendente dei sottosistemi I e I I n e l l oro spazio degli stati accessibili. Ciògrande di particelle, come in un volume di gas, e studia le loro caratteristiche significa che la densità di probabilità, tale che il sottosistema I abbia l'ener­macroscopiche. Queste caratteristiche in ult ima analisi sono soggette a inter­ gia E ed il sottosistema II l ' energia E~ — E, è proporzionale a d@r(E)/dExpretazione come medie statistiche nello spazio degli stati microscopici del si­ x dy,(E~ — E)//dE. Ma con l'aumentare di E il primo fattore cresce molto instema, e il loro comportamento macroscopico dev' essere interpretato nei mo­ fretta, e il secondo si abbassa molto in fretta. Quindi questa densità di pro­delli statistici tipo quelli considerati nel $ z. Ciò è legato a un'intera cerchia di babilità ha un picco molto limitato che corrisponde a un estremo della derivatadifficili e non completamente risolti problemi matematici, e qui ci si limiterà di questa funzione di E, cioè alla condizione di uguaglianza delle temperaturealla descrizione qualitativa di una serie di concetti fondamentali. formali dei sottosistemi I e II . Dal momento che q (E) cresce con l'aumentare

di E, insieme alla sua derivata, come una potenza molto alta di E, la tempera­Lo spazio degli stati di un sistema grande. Ne l la variante classica come in tura formale del sistema è sempre non-negativa. Con l ' interazione termica

quella quantistica un modello per lo spazio degli stati è la terna formata dal­ dei sistemi, le loro temperature in ultima analisi si livellano; l'energia passal'insieme degli stati M, dalla funzione E : M ~R (E(x) è l'energia del sistema dal sistema con una temperatura maggiore al sistema con una t emperaturanella posizione x) e dalla misura p. su M. Nel caso di un sistema classico hamil­ minore. Lo stato limite ha un'entropia massima. Dal momento che l'entropiatoniano, in qualità di M si assume lo spazio delle fasi, in qualità di p, la misura è una misura logaritmica del numero degli stati accessibili, e la traiettoria micro­di Liouville, che è invariante rispetto al flusso del movimento lungo le traiet­ scopica nello spazio delle fasi del sistema riempie in modo uniforme il corri­torie nello spazio delle fasi. Nel caso di un sistema quantistico, M è spesso spondente sottospazio, l'entropia massima risponde al massimo «stato caotico»ritenuto finito benché sia un sistema molto grande, e la misura è la probabilità del microcornportamento del sistema, all'assenza di una strutturazione macro­che il sistema si trovi in un dato sottoinsieme di stati. scopica, per quanto ciò sia compatibile con le condizioni esterne.

Tutta la terna (M, E, p,) può dipendere da alcuni parametri microscopici: Quest'idea conduce a una concezione molto importante per la biologiale misure del serbatoio contenente il gas, il campo magnetico esterno nel quale teorica, costringendo a prestare particolare attenzione a come gli organismiesso si trova, ecc. Questi parametri sono detti esterni. Assegnando i parametri viventi si conservano e a come conservano la loro complessissima organizza­esterni e un piccolo intervallo energetico (E, E+BE) si determina un insieme zione strutturale. Stando a Schroedinger, l'organismo «assorbe un'entropiadi (micro) stati accessibili per il sistema con questi parametri. Su questo in­ negativa» dai generi alimentari e fa uso dell'energia esterna per lottare controsieme p. induce una nuova misura, la probabilità. i processi termodinamici generali di allineamento termico e di convergenza

Il sistema è detto in equilibrio se la probabilità di trovarsi in una qualunque verso un caos omogeneo. Questo risultato è ot tenuto a spese dell'aumentoregione di microstati accessibili non dipende dal tempo. dell'entropia dell'ambiente immediatamente circostante. Negli u l t imi d ieci

Va sottolineata la differenza dal sistema formato dalla pallina nella scanala­ anni questo problema ha acquisito un inaspettato valore sociologico nelle que­tura : le sue posizioni di equilibrio sono le traiettorie nelle quali essa è immobile, stioni di conservazione dell'ambiente ecologico in cui vivono gli uomini. Locioè non è mutata nessuna delle sue caratteristiche. Gli stati di equilibrio di stesso ambiente ecologico naturale è un'entità altamente strutturata e i l suoun sistema grande sono gli stati nel quale sono costanti soltanto le medie delle inquinamento, provocato dagli scarti della produzione e della vita quotidiana,caratteristiche degli stati accessibili. Il gas con una certa pressione, volume e è l'immagine visibile del prezzo per la diminuzione dell'entropia, cioè pertemperatura si trova in equilibrio nonostante i complessi movimenti micro­ l'organizzazione della natura sociale tecnologica della società contemporanea.scopici compiuti dalle molecole isolate.

Insieme canonico. Si consideri il caso dell'interazione termica di due sistemiEntropia e temperatura. Si indichi con p(E) la misura del sottospazio degli I e II , dei quali i l pr imo è molto piccolo rispetto al secondo (nel senso del

stati con energia (E . La f u nzione S(E) = log(dp(E)//dE) è detta entropia, numero di gradi di libertà).

Dipendenza/indipendenza 88888g Dtpendenza /xnCkpendenza

Il sistema II viene detto termostato se è cosf grande che la sua temperaturanell'interazione col sistema I è T. Dall 'osservazione precedente non è difficile zione del processo reale esse devono essere considerate come proprietà in­

dedurre che la probabilità di trovare il sottosistema I nello stato di energia E trinseche del sistema e anche come caratteristiche della sua interazione con

è proporzionale a e @ . Il fattore di proporzionalità è determinato dalla con­l'ambiente esterno. Gli assiomi della termodinamica postulano le seguenti re­

dizione che la probabilità totale sia uguale all'unità. (Se la temperatura t è strizioni cui devono soddisfare V, T, p, Q durante i processi reali. Esse sonomisurata in gradi, allora la temperatura T è uguale a kt, dove k è la costante molto interessanti dal punto di v ista matematico.

di Boltzmann). a) Equazione di stato. Esiste una funzione continua n (V, T), con derivateL'insieme dei sistemi con equazioni dell'energia (E„) e con ripartizione parziali continue rispetto a V e T, ta le che p = sr(V, T) in un insiemedelle probabilità del tipo i) di volumi e di temperature.

p, z -ir(p,z— l

b) Calore latente e calore specifico. Esistono funzioni continue con derivater

S parziali continue A, e K„ t a l i che per qualunque processo

è detto insieme canonico. È uno dei modelli fondamentali della fisica statistica Q = A,(V, T)V+K,(V, T)Tche rappresenta la classe fondamentale delle interazioni del sistema con l'am­biente circostante.

(il punto indica la derivazione rispetto al tempo ).Si osservi l'analogia formale della «somma statistica» ge @~+ con la «som­ Un processo in cui Q =o è detto adiabatico, e la curva corrispondente

ma secondo la traiettoria virtuale» di Feynmann pes ~~". In entrambi i casi nel­ nello spazio delle fasi è detta adiabatica. Il processo in cui T= cost è dettoisotermo, e la curva corrispondente è detta isoterma.

l'indice degli esponenti si trova una grandezza che misura l'azione, ma nell'in­ Il lavoro prodotto dal sistema durante il processo J è uguale ategrale di Feynmann c'è inoltre l'unità immaginaria che da una parte deter­mina l'interferenza delle ampiezze, e dall'altra conduce al problema matema­tico straordinariamente difficile della convergenza. Una delle impostazioni peruna rigorosa definizione e per il calcolo degl'integrali di Feynmann consistenello sfruttare quest'analogia: l' integrale di Feynmann converte la somma Le grandezze

statistica mediante il lavoro con «un tempo puramente immaginario». QuestaC(+) = Q« C' (<)=­ (IQI+Q)«sostituzione trasforma lo spazio-tempo di M i nkowski nello spazio-tempo z

euclideo a quattro dimensioni. L'analogia con la fisica statistica, la tecnica piusemplice di lavoro nella teoria euclidea dei campi quantistici, con il collega­ rappresentano rispettivamente l'incremento netto di calore, il calore assorbitomento all'idea di prolungamento analitico, è un metodo molto importante dal sistema e il calore ceduto dal sistema durante il processo.

nella fisica teorica degli ultimi anni. Il processo è detto ciclo di Carnot se è formato da due adiabatiche cheuniscono due isoterme, e inoltre Q)o ( i l calore è assorbito) sull'isoterma

Termodinamica macroscopica e interazioni termodinamiche generali. Ne l la con la temperatura piu alta T+, e Q(o (i l calore è ceduto) sull'isoterma freddafisica classica la termodinamica era stata creata come scienza relativa ai para­ T . È possibile dimostrare che esistono delle funzioni g e h di una variabile,metri macroscopici dei volumi di gas, sottoposti a influenze esterne che for­ tali che per ogni ciclo di Carnot C con temperatura superiore T+ e in feriore

niscono o prelevano calore e lavoro meccanico. Se ne esporranno brevemente T r i s u l tai risultati seguendo Truesdell. La giustificazione degli assiomi matematici di L(<) g (T+) — g(T-)partenza e la definizione dei parametri macroscopici come medie possono essere C+ (C) h ( T+)realizzate con strumenti della fisica statistica a partire dagli stati microscopici,nello spirito della precedente esposizione. La diflerenza del punto di v ista La funzione h è definita con esattezza a meno di una costante moltiplicativa,

qui ammesso è ricca di contenuto nel senso che l'ambiente esterno al sistema e per una data h la funzione g è definita a meno di una costante additiva.

termodinamico non è piu considerato come un sistema simile, ma è descritto Questo risultato deriva dall'assioma di Carnot secondo il quale L (C) dipendein termini di trasmissione di calore e di lavoro meccanico. in modo universale soltanto da T+, T ­ e da C+(8). Al lora per qualunque

Lo stato istantaneo del sistema è dato dai quattro numeri (V, T, p, Q) processo ciclico J abbiamo

(volume, temperatura, pressione, calore). Il processo è descritto da quattrofunzioni V(t), T(t), p(t), Q(t), dipendenti dal tempo te[ tn tg. Nella descri­ L(P) = — (A, dV+K, dT).

8giDipendenza/indipendenza 8go Dipendenza/indipendenza

Nell'insieme S esiste una funzione E (V, T), detta energia interna del sistema,sono affatto ridotti l 'uno all'altro annullando semplicemente il piccolo para­

per la quale E = (g/h)Q — pV in ogni processo. (Essa dipende da g, h in mo­metro. Quest'ultimo fatto può essere valido soltanto in una certa regione degli

do non essenziale).effetti previsti da questi modelli ; l a s t rut tura generale della teoria r isulta

Ammettiamo ancora che nell'insieme S esistano una funzione positiva assolutamente diversa, e nelle altre regioni gli effetti possono essere assoluta­

continua f e una funzione differenziabile H ta li che H = Q/f per i p rocessi mente diversi da quelli previsti.

reali. Allora la grandezza q>= E — gH è detta potenziale termodinamico delsistema. Assegnandolo si definiscono tre funzioni fondamentali che caratte­ Instabilità. L' i n s tabilità di a lcuni regimi c r i t ici d i c omportamento del

rizzano il processo: l'equazione di stato ir: (V, T) =p e A„, K„con le formule sistema è alla base degli effetti di amplificazione tipo «meccanismo di discesa».Soltanto grazie all'esistenza di tali regimi nei macrosistemi gli effetti micro­

ò h ò 'q~ ò ( i à' )Z , = ­ h — ( —, — l. scopici possono essere amplificati ed osservati. Un famoso esempio della fi­òV' '= g òV òT'

'=òTyg òT g sica sperimentale è quello delle tracce delle particelle elementari nella camera

Per i gas ideali si può porre h = T, g = T+cost e Q= TH dove H è l 'en­ di Wilson. Tuttavia, fino ed oltre la nascita di un'esperienza fisica, tutto i l

tropia come funzione nell'insieme S. comportamento degli organismi viventi è legato a tale instabilità. La vista el'udito, cioè i canali fondamentali che legano gli organismi superiori al mondoesterno, introducono nell'organismo quantità di energia trascurabili in confronto

3.5. Stabilità, segnale, informazione. al dispendio muscolare nel processo dell'attività vitale. Tuttavia sono proprio

Stabilità. Nel la concezione di sistema isolato è sottintesa una certa in­ queste quantità che mettono in moto i meccanismi di caccia del predatore e

varianza delle sue caratteristiche nel dominio spazio-temporale della sua esi­ di fuga della preda. Le loro caratteristiche quantitative non hanno nessun ruo­

stenza, che permette soltanto d'identificare questo sistema come tale. In questo lo in confronto a quelle qualitative, come veicoli di segnali o d'informazioni di

senso un'idea primordiale di stabilità è già presente nei concetti scientificiun determinato tipo. L 'organismo vivente che sta all'erta appare dal punto

fondamentali. Tuttavia questo termine è usato piu frequentemente in accezioni di vista dalla fisica come un sistema instabile di grado superiore; la sua strut­

piu specializzate con riferimento a ) alle caratteristiche degli uni o degli altri tura piu complessa assicura la canalizzazione dei vari comportamenti possibili

regimi di evoluzione del sistema, b) alle caratteristiche dei modelli matematici in un andamento biologicamente efficiente, la scelta dei quali viene realizzata

che descrivono il sistema. in base all'integrazione, continuamente variata, del quadro informativo derivato

Nell'accezione a ) si è usata questa parola in connessione con gli stati dida deboli influssi, sia esterni che interni.

equilibrio di una pallina nel fondo di una buca di potenziale. Nell'accezione Nella terminologia di Thom la descrizione dettagliata nello spazio delle

b) il termine è stato usato per la descrizione di quei modelli le cui piccolefasi dell'organismo vivente deve continuamente subire revisioni catastrofiche,

variazioni conducono a p iccole variazioni delle caratteristiche previste del legate alla scomparsa e alla nascita di attrattori, alla modificazione della con­

sistema. È evidente il ruolo peculiare del comportamento dei regimi stabili e figurazione delle regioni di attrazione, al passaggio di attrattori instabili alla

dei modelli matematici stabili. In particolare la stabilità di un modello è im­stabilità e viceversa.

portante per essere sicuri di poterlo applicare: se una piccola variazione deiÈ molto probabile che l'esistenza stessa di una lingua, la sua struttura e la

dati iniziali conduce alla rapida dispersione delle traiettorie del sistema mec­ realizzazione delle sue funzioni siano legate alla descrizione delle instabilità

canico, come nei flussi geodetici sulle superfici di curvatura negativa, alloracatastrofiche, quasi «scheletro discreto» del mondo e della sua storia. L'analisi

la descrizione dettagliata delle traiettorie individuali perde senso. Nella realtà di Thom [ rg ' ] , ad esempio, ha mostrato il legame molto stretto che lega la

non possiamo misurare i dati iniziali con precisione arbitrariarnente grande; semantica di una grande classe di verbi all'elenco delle «catastrofi elementari»

oltre a ciò, le fluttuazioni e le deviazioni dal modello idealizzato agiranno pernello spazio-tempo a quattro dimensioni. Risulterebbe forse utile, da questo

tutta la lunghezza della traiettoria. Bisogna ancora separare l'insieme delle ca­ punto di v ista, l 'analisi della semantica del l inguaggio matematizzato della

ratteristiche previste e interessarsi a proprietà statistiche o topologiche dellescienza.

traiettorie, come in termodinamica.L'osservazione dei modelli scientifici dimostra che nella maggioranza di

Bisogna ancora notare l'indeterminatezza del termine 'piccole variazioni essi prevale decisamente o l'aspetto continuo della descrizione, legato all'idea

del modello'. Spesso viene interpretato come l'introduzione di p iccoli para­di regime stabile, o l'aspetto discreto, legato alla regolarità del passaggio at­

metri in particolari equazioni del modello. Ma gli esempi della teoria della traverso una catastrofe o all'interdipendenza de]le catene di catastrofi.

relatività speciale rispetto alla meccanica newtoniana («il piccolo parametro Estremamente difficile risulta la ricerca di una descrizione sintetica, nella

è v/c») e della meccanica quantistica rispetto alla fisica classica («il piccoloquale il regime catastrofico sia analizzato come caso limite sullo sfondo degli

parametro è h») dimostrano che i modelli fondamentali di diversi livelli non instabili, ma i regimi stabili a un livello piu dettagliato di osservazione si pre­

Dipendenza/indipendenza 8tJz 893 Dipendenza/indipendenza

sentino come medie di quelli catastrofici. Tali sono, in senso lato, i problemi molto precisa dell'ambiente del suo habitat. L 'att ività di un f e rmento chedel cambiamento di fase nella fisica statistica, il legame tra la concezione della affretta in modo selezionato una reazione fra le molte possibili nelle sue vici­teoria quantistica dei campi e le matrici di dispersione, e la maggior parte dei nanze, e quella di una persona che ha costruito la cattedrale di Chartres o unaproblemi della biologia, in particolare della biologia dell'evoluzione. macchina calcolatrice, hanno molto in comune tra di esse, e quasi niente in

comune con il comportamento dei sistemi standard dei quali si occupa la fisica.3.6. Considerazioni su modelli non fisici. La strutturazione direzionale della descrizione nello spazio delle fasi delle sue

immediate vicinanze è, insieme al suo isolamento da influssi inversi, la pro­Da quanto detto in precedenza dev' essere chiaro che lo studio della vita, prietà piu caratteristica dei sistemi che interessano il biologo, lo psicologo o lo

dai virus agli uomini, nella misura in cui può essere fondato sulle idee tradi­ storico. I l p roblema della comprensione di tale comportamento, probabil­zionali della fisica, deve in un modo o nell'altro essere messo in relazione con mente, sarà sempre la massima sfida all'intelletto, tendente a capire la sua di­il complesso delle idee relative ai sistemi chiusi. Gli elementi di tale studio pendenza dall'universo e la dipendenza dell'universo da sé. [Jv. l. M.].— come il gene, la cellula, l'organo, l'organismo, l'organismo indipendente,l'individuo, la società ecologica, il collettivo, ecc. — sono considerati inizial­mente come sistemi potenzialmente isolati. Si esamineranno ora in modo moltogenerale alcune loro analogie e differenze con i sistemi fisici. Feynmann R P e Hi b bs A R

Le idee relative alla descrizione nello spazio delle fasi degli stati stabili, r965 Qu a n tum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hi l l , New York.

e spesso relative anche alle caratteristiche termodinamiche del sistema, sono Rees, M. ; Ru%ni, R. ; e Wheeler, J. A.

applicate con successo quando il numero dei gradi di l ibertà osservati non è r975 Black Holes, Gravitational Waves and Cosmology: An Introduction to Current Research,Gordon and Breach, New York.

grande, oppure quando esso è grande ma i gradi di l ibertà sono abbastanza Thom, R,omogenei da rendere possibile un'osservazione statistica. Tali sono i modelli del­ s97é Modèles mathématiques de la morphogénèse, Union générale d'éditions, Paris,le associazioni ecologiche secondo Volterra [ ttJ3t] e i suoi seguaci, i modelli Volterra, V.economici le analisi statistiche della società secondo un parametro che interessi xqst Le t o ns sur la theorie mathématique de la lutte pour la vie, Gauthier-Vi l lars, Paris.

le compagnie di assicurazione e le attività politiche. La possibilità d isolaren Weisskopf, V. F.

un piccolo numero di gradi di l ibertà con la «compressione» dei rimanenti è t97o Mo dem Physics from an Elementary Point of Vieto. Lectures Given in the Summer Va­cation Program r969, Cern, Genève.

largamente applicata agli esperimenti fisiologici e psicologici che permettonodi analizzare con precisione la canalizzazione della reazione, cioè le traiettoriedel sistema in uno spazio delle fasi di grandissima dimensione, costrette atrovarsi in un sottospazio di dimensione piccola in virtu di l imitazioni esterne. l.a nozione di dipendenza/indipendenza è un'idea metateorica generale con un am­Questo è il t ipico metodo di lotta contro la principale instabilità dei sistemi plissimo spettro di realizzazioni concrete. Come si è visto, si tratta di individuare un certobiologici ricordata sopra, che permette di studiare separatamente i diversi nucleo di concetti collegati alla descrizione della coppia dipendenza /indipendenza all'in­canali concepibili del comportamento a spese dell'improvvisa limitazione di terno di alcuni modelli (cfr. modello) della fisica teorica. Dato che questa scienza utiliz­

questa instabilità («cani di Pavlov»). Le leggi di conservazione o le loro varianti za la matematica come linguaggio di lavoro, i concetti generali di relazione e di funzione

approssimative possono essere le conseguenze delle limitazioni fisiche corri­ (cfr. funzioni) sono analizzati in rapporto alla teoria degli insiemi (cfr. insieme), la

spondenti: l 'energetica, le risorse economiche, le potenzialità delle vie di co­ dipendenza lineare, quella algebrica e funzionale (cfr. divisibilità, razionale/algebri­

municazione e dei mezzi di trasporto limitano in gran parte l'ambito del pos­ co/trascendente) e specificazioni piu complesse del concetto (cfr. dualità), fino alladipendenza nei gruppi non commutativi e al «problema dell'identità delle parole» (cfr.sibile per una società ecologica, o le nazioni in stato di guerra e pace. algoritmo). Si pongono in luce i legami con fenomeni generali d' indecidibilità (cfr.

Esiste tuttavia per lo meno una proprietà generale dei sistemi qui osservati assioma/postulato, logica) e questioni di dipendenza nel campo della probabilità.e che non trova quasi corrispondenza nei comuni modelli della fisica. Questa L'astrazione che piu di ogni altra esprime nella scienza moderna l ' idea di dipen­proprietà limita l'attività del sistema biologico in rapporto al mondo esterno. denza/indipendenza è la concezione dei sistemi chiusi (cfr. sistema), concetto fonda­L'apparato genetico della cellula è molto fortemente isolato da influssi esterni; mentale per l'elaborazione di « leggi della natura» (cfr. legge), con le necessarie distin­la sua funzione consiste, anzi, nell'organizzazione attorno a sé della struttura zioni fra il supporto discreto delle formule matematiche e la componente infinita, con­

complessa di un organismo vivente. L 'organismo indipendente umano si di­ tinua, variabile delle condizioni iniziali e della condizione al contorno (cfr. analisi/sin­

fende con tutt i i m ezzi dagli influssi dell'ambiente esterno che escono dai tesi). Il principio di minima azione lcfr. differenziale, variazione) è di fondamentale

limiti di un piccolo intervallo di temperatura, pressione, accelerazione, per la importanza nella descrizione matematica dei sistemi isolati e viene illustrato con un esem­pio già trattato in continuo/discreto adatto a rappresentare i concetti principali dei si­

conservazione dell'omeostasi interna. Tuttavia esso compie una ricostruzione stemi chiusi. Questi concetti vengono poi r iproposti nella loro generalità con l'aiuto di

Dipendenza/indipendenza 894

strutture geometriche e topologiche (cfr. geometriae topologia, applicazioni). Si pon­gono in luce i legami tra le leggi di conservazione (cfr. conservazione/invarianza)fondamentali e la simm e t r i a dei sistemi, e si esamina da questo punto di vista la teoriadella relatività.

L'esempio dell'oscillatore lineare mostra come la descrizione matematica della cau­salità (cfr. causa/effetto) sia legata alla comparsa di funzioni analitiche. Un ulterioreesempio di sistemi chiusi è l'universo, descritto come modello cosmologico (cfr. teoria /modello, caos/cosmo) attraverso il concetto di varietà quadrimensionale con metricapseudoriemanniana.

Il concetto di dipendenza è formulato anche in riferimento alla mec~ i c a quantistica(cfr. atomo e molecola, particella) e alle interazioni termodinamiche (cfr. entropia,equilibrio/squilibrio, controllo/retroazione).

L'importanza della stabilità (cfr. stabilità/instabilità) è implicita nella considera­zione dei sistemi isolati, mentre l'instabilità di alcuni regimi crit ici di comportamento èalla base degli effetti di amplificazione di tipo «meccanismi di difesa» (cfr. catastrofi ).

I5 Divisibilità

Divisibilità divisore e della scomposizione in fattori primi. I r isultati (in misura minore imetodi ) sono un modello per la teoria dei numeri algebrici e, con la chiari­ficazione della nozione di ideale, per i concetti algebrico-geometrici. In questiultimi si sfrutta il profondo parallelismo tra numeri e funzioni, divisibilità per

In aritmetica elementare 'divisibilità' di un numero naturale a per un nu­ un numero primo e annullamento in un punto; parallelismo che nel presentemero naturale b significa l'esistenza di un numero naturale c tale che a= be. articolo sarà solo toccato nell'esempio elementare numeri interi — polinomi.Nella teoria del continuo dei numeri reali la divisibilità illimitata interviene quale Infine sono da notare i problemi della geometria diofantea (soluzione dipossibilità, per ogni numero reale x e per ogni numero naturale b, di costruire equazioni indeterminate in numeri interi), la quale, da secoli, è sorgente di pro­un numero reale ) tale che bP= o. Nel linguaggio geometrico ciò significa che blemi ed è la pietra di paragone dei metodi della teoria dei numeri. Nei suoiogni segmento può essere diviso in un qualsiasi numero di parti uguali. In ge­ risultati entrambi gli aspetti della divisibilità, numerico e funzionale, sono dinerale la divisione è l'operazione (parziale) inversa della moltiplicazione — clas­ pari importanza.sicamente, moltiplicazione per numeri interi —, operazione quest'ultima che equi­vale a sommare piu volte una stessa quantità e che è ammissibile per quantitàdel genere piu diverso (lunghezze, aree, volumi, pesi, ecc.). Dopo che la com­ i. Teo r ia elementare della divisibilità e numeri primi.prensione delle proprietà astratte della moltiplicazione ebbe permesso d'indivi­duare il prodotto quale struttura che ammette diverse realizzazioni, si comin­ i.i . D i v isione con resto.ciò a chiamare divisione l'operazione inversa del prodotto negli anelli, nei mo­noidi, nei moduli, ecc. Là dove la divisione non è sempre possibile, la divisi­ Siano a, blas-o due numeri reali. Esistono allora un numero intero q e un nu­bilità diventa una relazione importante, non banale. Su un piano piu generale, mero reale r tali che a = bq+r, o( r ( ~ b~. Di piu, q e r sono unici. Il numeroalla teoria della divisibilità si può far risalire una parte notevole dell'algebra q si dice quoziente (incompleto, o parziale) della divisione di a per b; r si dice(commutativa), nella quale si studia in forma astratta l'interazione tra somma resto; b è il divisore, a il dividendo.e prodotto. Infine, sin dai tempi della filosofia naturale dell'antica Grecia viene Non è difficile dedurre geometricamente l'esistenza e l'unicità di q, r. Perdiscusso il problema della divisibilità della materia, dello spazio, del tempo e a, b positivi, q è il massimo numero di volte che il segmento di lunghezza b èla correlazione tra le proprietà del continuo geometrico divisibile e omogeneo interamente contenuto nel segmento di lunghezza a, mentre r è la parte del seg­e le proprietà della realtà fisica. A ciò si riconducono, in particolare, tutte le mento a, minore di b, che rimane dopo di ciò. (Per a<o, b) o i l numero q(oteorie atomistiche. è il massimo con la proprietà a)bq, cioè ~a~( b~q~: il segmento di lunghezza

Questo articolo è dedicato prevalentemente agli aspetti algebrici e di teoria ~a~ è ricoperto da ~q) segmenti di lunghezza b, ma non da un numero inferiore ).dei numeri della divisibilità. Nella sua parte elementare la teoria della divisi­ Per la teoria della misura è essenziale che a, b, r possano designare quantitàbilità è contemporaneamente cosf semplice e cosi ricca di contenuto che si ri­ di natura indeterminata: la possibilità di confrontarle per mezzo della divisio­porteranno qui alcuni risultati fondamentali con le dimostrazioni. Queste, nella ne con resto, o, secondo Eudosso, mediante l'approssimazione di rapporti dimaggior parte dei casi, si basano sul famoso algoritmo di Euclide per la divisio­ numeri interi, segue da alcuni assiomi che qui non formuleremo esplicitamente.ne con resto, che è applicabile non solo a coppie di numeri interi, ma anche a Se r = o, a è interamente divisibile per b; il r isultato della divisione, q, èqualsiasi coppia di numeri reali, o segmenti. In questa variante geometrica la la misura della quantità a, quando come unità di misura si assuma la quantitàdivisione con resto non è altro che l'idealizzazione del procedimento fisico di mi­ b. Le quantità a, b (per esempio, segmenti ) sono commensurabili se, per unsura di lunghezze con una unità di misura rigida. Perciò una successione di opportuno intero p, la quantità pa è interamente divisibile per b. Affermazionedivisioni con resto è l'anello di congiunzione tra i procedimenti per contare equivalente : il rapporto tra le misure di a e di b è razionale. Quando a e b sonograndezze discrete e misurare grandezze continue. Qui è d'importanza fonda­ interi ed a è interamente divisibile per b, b si dice divisore di a; notazione b ~ a.mentale l'assioma di Archimede, secondo il quale una quantità, per quantopiccola, ripetuta un numero sufficiente di volte, fornisce una quantità grande a i.z, Algoritmo di Euclide.piacere, (Nella moderna teoria della divisibilità si è condotti a considerare altrenozioni di «piccolezza», per le quali l 'assioma di Archimede non è piu vero; Sia, come sopra, a = bq+r, o<r ( ~ b~. Se r)o , si esegua la divisione concfr. ) 5). resto di b per r: b = rq,+r,. Se ri) o, si esegua la divisione con resto di r per

In tal modo nella teoria dei numeri reali si introduce lo strumento delle fra­ r , : r = riqp+rs e cosi via. Questo procedimento di d ivisioni successive conzioni continue e lo studio della struttura fine del continuo (cfr. $ g). resto si chiama algoritmo di Euclide: i l divisore e il resto del passo precedente

Nell'aritmetica dei numeri interi otteniamo la teoria del massimo comun diventano rispettivamente dividendo e divisore al passo successivo. L'algoritmo

Divisibil i tà r6 Divisibil i tàr7

si ferma se e quando il resto è uguale a zero. Per questo è necessario e sufficien­te che a e b siano commensurabili. Tutta la successione dei quozienti parziali i.y. Numeri primi.della divisione di a per b definisce lo sviluppo di ab i in una frazione continua(cfr. ) 3.z). Un numero intero p) r s i d ice primo se ogni suo divisore positivo è i ,

In particolare, l'algoritmo si ferma sempre se a e b sono numeri interi. oppure p. I primi numeri primi sono: 2, 3, 5, 7, I I, Z3, ... Ogni numero interoL'ultimo resto non nullo nella divisione di a per b è il massimo comun divisore a è divisibile almeno per un numero primo : il suo piu piccolo divisore, maggioredi a e b : il massimo numero reale per il quale siano interamente divisibili a e b. di r, è primo (altrimenti un divisore di questo divisore, diverso da esso stessoQuesta nozione è della piu grande importanza quando a e b sono interi. Prima e da i, sarebbe piu piccolo).di studiarla nei particolari, diciamo ancora alcune parole sull'aspetto compu­ Da qui segue in primo luogo che ogni numero intero a) i si scompone intazionale dell'algoritmo della divisione. un prodotto finito di numeri primi: ciò è vero per a = z e, se ciò è già stato di­

Questo aspetto si esaurisce nella descrizione del procedimento fisico idea­ mostrato per tutti i numeri minori di a, ne segue che a si scompone in a = p x

lizzato che, nella variante geometrica, consiste nel riportare un segmento su di x(decomposizione di ap — '), dove p è un divisore primo di a.un altro segmento. Nella variante algebrica l'algoritmo della divisione diventa In secondo luogo segue che i numeri primi sono infiniti. Infatti, per ognirealmente possibile solo in un sistema di numerazione sufficientemente svi­ insieme finito di numeri pr imi p „ . . . , p,, ogni divisore primo del numeroluppato. Già la scrittura di un numero intero, ad esempio nel sistema decimale, N =pn..p„+ r è d iverso da pi, ..., p„, poiché il resto della divisione di N percontiene l'informazione sulla divisione con resto di questo numero per una po­ Pi ... P>< è uguale a r e non a o.tenza di dieci. L'algoritmo della divisione nella scrittura decimale (quello chesi impara nei primi anni di scuola) è già di per sé un'importante scoperta di i.5. Unicità della decomposizione in fattori primi.teoria dei numeri, ma secondaria rispetto al significato della divisione, che èindipendente dal sistema di numerazione. Da questo punto di vista il linguaggio Siano pi = z, ps = 3, ps= 5, ... tutti i numeri primi scritti in ordine crescente.geometrico dei Greci è piu adeguato all'aritmetica teorica che non i comodi si­ Sia a) r un numero intero e a = p~ia~~~...p~>~ la decomposizione di a in un pro­stemi di calcolo dei tempi piu recenti. dotto (di potenze) di numeri primi (per a = i ogni v, è nullo ). Mostriamo che

questa decomposizione è univocamente definita per induzione su a.Per a = r è evidente. Sia a)z . Consideriamo ancora un'altra decomposi­r.3. Massimo comun divisore.

zione: a =p~r~pa~...pz~e. Supponiamo che queste decomposizioni siano diverse eSiano a,b~o due numeri interi. Un numero intero d)o s i d ice divisore giungeremo a una contraddizione.

comune di a, b se d ~ a e d j b. Un numero intero d) o si dice massimo comun Scegliamo i tale che v,+rc,. Se v;)o e vc,)o, d ividendo a per p",, dove vdivisore di a e b se esso è divisibile per ogni loro divisore comune. Se un tale è il piu piccolo dei numeri v, e m;, otteniamo due diverse decomposizioni delnumero esiste, esso è unico. numero ap,.", in contraddizione con l'ipotesi che per i numeri minori di a la

Mostriamo che il massimo comun divisore di a e b esiste e si rappresenta decomposizione sia unica.nella forma ax +by con opportuni numeri interi x, y. In fatti, indichiamo con Se invece, diciamo, v; = o, mentre w„) o, si r icava che a =pi i . ..p>a è divi­d il piu piccolo numero intero positivo della forma ax + by, ad esempio d = axs+ sibile per p,. pur essendo v.; = o. Dimostriamo che ciò è impossibile per indu­+bys, e mostriamo che a e b sono divisibili per d. Dividiamo a per ax~+by~ zione su vi g ... + v<) o. Se v, + ... + v< ­— r, esattamente un solo esponente vicon resto; o t teniamo a = (axs+bys)q+r. Da c u i s i r i cava r= a(i — qxs)+ è uguale a r ; gli altri sono o. Allora pi i .. .p~i­ =p, j + i , ma p n on è divisibile+b( — qys) con o<r<d — r. Cioè r si rappresenta nella forma ax+by, non è per p,gp , poiché p, è un numero primo e p;p r.negativo ed è minore di d; perciò r = o, cosi che a è divisibile per d. Analoga­ Infine supponiamo che v,+ ... +v<) r e che per valori minori della sommamente si dimostra che b è divisibile per d. degli esponenti sia già stato dimostrato che p~ri...pi."~ non è divisibile per p;

D'altro lato, se da ~a e d~~b, do divide qualsiasi numero della forma ax + se m = o. Al lora a =p",~...pi,~~ si può mettere nella forma a = be, dove b )o ,i

+by; in particolare d. Perciò d è il massimo comun divisore di a e b. Non è c) o e b, c non sono divisibili per p.;. Dimostriamo che allora neanche a è divi­difficile verificare che la definizione data in questo punto coincide con quella sibile per p,. Infatti, se b, c non sono divisibili per p;, essi sono primi con p,.data nella descrizione dell'algoritmo di Euclide, cioè che l'ultimo resto non nullo Siano x, y, x', y' numeri interi tali che bx+p,y =i e cx'+p ;y ' = r. Moltipli­effettivamente coincide con d. A partire da d e percorrendo a ritroso i passi di cando queste uguaglianze troviamo : bcxx'+p,cx'y+p,bxy'+p;yy' = r. Se si sup­questoalgoritmo,si trova la soluzione esplicita dell'equazione d = ax +by. No­ pone che p; divida bc, si ricava che p, divide i e ciò è una contraddizione. Ciòtazione abbreviata: d=M cD (a,b), oppure d = (a,b). conclude la dimostrazione dell'unicità. Quale corollario non è difficile ottenere

Se (a,b) = r, i numeri a e b si dicono primi tra loro. che, se a = Qp~i e b = Qp~ i, si ha: McD (a,b) = /pm'"'"'~~'.

Divisibil i tà x8 x9 Divisibilità

le a (x/cp(a)) liN, dove q(a) è i l numero degli interi c tali che x <c<a — xx.6. Numeri razionali. e (c,a) = x (cfr. $ z). Pertanto, asintoticamente, i numeri primi sono distribuiti

uniformemente nelle progressioni. Tuttavia le differenze fra quantità di nume­Dal teorema sull'esistenza e l'unicità della decomposizione dei numeri natu­ ri primi in due progressioni con uno stesso a rivelano irregolarità di comporta­

rali in fattori primi segue che ogni numero razionale (cioè ogni rapporto tra in­ mento sottili e ancora poco comprese. Cos{, nei limiti di tabelle molto lungheteri ) si rappresenta in modo univoco sotto forma di frazione irriducibile a/b, di numeri primi, quelli della forma <n+3 sono sempre piu di quelli della formaoppure — (a/b), dove a)o , b) o sono naturali con (a,b) =x; oppure anche 4n+x. Ciò nondimeno è dimostrato che la differenza di queste due quantitànella forma + Q p,", dove, come sopra, px = z, p» = g, ps = g, ... sono primi, cambia segno infinite volte.mentre ex sono esponenti interi qualsiasi, dei quali solo un numero finito sono Si comportano irregolarmente anche le differenze di numeri primi successivi.diversi da zero. Dall'asintotica della loro quantità è chiaro che px+, — p> deve oscillare intorno a

log k, ma l'ampiezza di queste oscillazioni è molto grande e non sono notix.7. Distribuzione dei numeri primi nella serie naturale. né il suo estremo superiore, né il suo estremo inferiore. Si congettura che in­

finite volte si ha p>+x — p@ ­— z, ma questo non è dimostrato (problema dei e­Un metodo semplice per formare la tabella dei numeri primi che non su­

a ex ge­

perano N è il seguente. Da una tabella di tutti i numeri interi da x a N si can­ Fin dai tempi antichi si tentò di trovare una «formula esplicita», cioè unacella x (passo zero) ; poi si cancella ogni numero pari ad eccezione di z (primo funzione di forma semplice, che, per valori interi dell'argomento, desse solopasso) ; poi ogni multiplo di g ad eccezione di 8 (secondo passo) e cosi via. Se al numeri primi ; tutti, o almeno una parte. Tali tentativi condussero rapidamentek-esimo passo è stato cancellato ogni multiplo di p>, ad eccezione di px, al a una matematica molto r icca. Una soluzione inattesa di tale questione si èpasso (k+x)-esimo bisogna prendere quale p>+, il piu piccolo numero, dopo ottenuta non molto tempo fa. Si è dimostrata l'esistenza di un polinomio inp,, non ancora cancellato e cancellare tutti i multipli di px+„ad eccezione di più variabili P(x „ . . . , x„) a coefficienti interi tale che i suoi valori positivip,+,. I numeri non cancellati p„p», ... sono appunto tutti i numeri primi. Que­ nei punti interi x„ . . . , x„eZ sono tutt i e soli i numeri pr imi, eventualmentesto metodo di setacciare tutti i numeri composti si chiama crivello di Eratoste­ con ripetizioni e in un ordine sconosciuto. La stessa cosa è vera, tra l'altro se,ne. Le tabelle dei numeri primi rivelano una straordinaria irregolarità nella loro al posto della successione dei primi, si considera una qualsiasi successione com­distribuzione nella successione naturale. Tutte le nuove generazioni di matema­ putabile di numeri naturali, cioè l'insieme dei valori positivi di ogni funzionetici coxnpiono tentativi per trovare delle regolarità in questo apparente caos. ricorsiva (algoritmicamente calcolabile) da Z+ a Z+. Per via della generalitàAccenniamo ad alcuni risultati rimarchevoli, benché la loro dimostrazione esca di questo magnifico risultato, finora non è stato ancora possibile usarlo per ot­dall'ambito della teoria elementare della divisibilità e di questo articolo. tenere nuove concrete notizie sui numeri pr imi .

Il numero vc(N) dei numeri primi che non superano N asintoticamente sicomporta come N /log N; l'errore non supera costN /log~N. Un'approssimazione x.8. Numeri perfetti e altro.assai migliore è data dal cosiddetto logaritmo integrale liN = f~~(x/logx) dx.Il vero ordine dell'errore non è noto : si congettura che esso non sia superiore a Alla nozione di divisibilità è legata una classe di funzioni aritmetiche co­7

cx +', con c) o q u alsiasi e c= c(s) una costante opportuna. Si ha una for­me w(n) = /x (numero di divisori di n), d(n)= 5'd (somma dei divisori di n),

Pnmula esatta per rr(N) — liN, la quale si esprime come somma infinita rispetto ecc. E nota tutta una serie di problemi risolti e non risolti sul loro comporta­agli zeri della funzione zeta di Riemann ((s) : funzione meromorfa nella varia­ mento.

xbile coxnplessa s, che viene definita per Re (s) ) x mediante la serie g — e che

Un numero n si dice perfetto se d(n) = zn. Negli Elementi di Euclide è datan= x rx la costruzione di tutti i numeri perfetti pari. La questione dell'esistenza di nu­

poi viene estesa a tutto il piano complesso con uno dei noti e numerosi metodi. meri perfetti dispari finora è ancora aperta; tale questione, a differenza di al­I suoi zeri non banali giacciono nella striscia critica o<Re (s)< x, La conget­ cuni problexni di teoria dei numeri elementari e molto difficili, non ha fatto

tura di Riemann, finora non dimostrata, afferma che essi giacciono sulla retta sorgere nuove nozioni o idee che abbiano un qualche interesse.

Re(s)=x /z. Questa congettura è equivalente alla stima ~xr(N ) — liN~ <cost Nella teoria analitica dei numeri si studia il comportamento in media di.N" « ' per ogni s) o. Il legame tra i numeri primi e gli zeri di ((s) è una delle funzioni quali v (n), o d(n). Per esempio, asintoticamente abbiamo g w (n)illustrazioni piu famose e sorprendenti della sintesi tra continuo e discreto Nlo N. Qnella teoria dei numeri,

g N. Questa stima e stime piu precise si possono ottenere osservando che

Se (a,b) = x, in ogni progressione aritmetica ax+b vi sono infiniti numeri n i Vr (n) è il numero delle soluzioni in numeri naturali della disequazione xy < N

primi (Dirichlet). Inoltre, asintoticamente il numero di tali numeri <N è ugua­ cioè il numero dei punti coordinate intere nel primo quadrante sotto l'iperbole

20 DivisibilitàDivisibilità

xy = N, approssimativamente uguale all'area di questa porzione di piano (limi­ Se m non è pr imo, sia m= ab, dove l<a , b <m. A l lora ápò , beò, ma

t ata evidentemente dalle disuguaglianze x<N e y< N ). In tale genere di pro­ ab =o. Perciò a e b non sono invertibili e Z/mZ non è un corpo.

blemi di solito è relativamente facile ottenere il termine principale dello svi­ Al contrario, sia m primo e aPò. Allora m non è divisibile per a; d' accordo

luppo asintotico, mentre problemi sottili sono legati alle stime e alle formule con il (! i , a è primo con m ed esistono x,yeZ tal i che ax +my = r. Da cui

esatte dei resti.segue che ax = i, cioè x è l'elemento inverso di a.

z.z. La funzione di Eulero.

z. Co ngruenze. Le considerazioni dell'ultimo punto possono essere generalizzate al caso di

Sia m) o un numero intero. Allora i resti della divisione dei numeri interiun qualsiasi modulo m e ottenere il risultato seguente: se (a,m) =l, la c lasse

per m formano un sistema chiuso rispetto alla somma e al prodotto e al passag­a =a mod m è invertibile. Al contrario, se (a,m) = d) i , a non è i nvertibile

gio successivo ai resti. Questo sistema si chiama «anello delle classi dei restipoiché a md ' = o e md — 'pò

modulo m», Il suo studio ha condotto a molte importanti scoperte di teoria deiIndichiamo con (Z/mZ)~ l'insieme delle classi a, (a,m) =1. Esse formano

numeri e ha favorito la formazione di una serie di fondamentali nozioni del­un gruppo commutativo r ispetto al prodotto. I l numero dei suoi elementi siindica con <!>(m) e questa si chiama funzione di Eulero (quale funzione di m ).l'algebra. Se p è primo, <!>(p)=p — l; un calcolo diretto mostra che <!>(p")=p' — '(p — l)per ogni v> l, Considerazioni un po' piu complesse dànno la formula generale

z.l, Definizione dell'anello delle classi dei resti Z /mZ.<!)(p",>...p1.„) =p p,".i-'(p i — i), dove pi sono numeri primi diversi tra loro. In par­

L'anello delle classi dei resti Z /mZ è un insieme con due operazioni, + t= l

e x , e con due elementi particolari, o mod m e i mod m.ticolare, se (m,n) =1, si ha <!>(mn) =(p (m)<!>(n): la funzione di Eulero è molti­

I suoi elementi sono tutte le progressioni aritmetiche a +mZ = (a+mx ~ plicativa.

xe Z), le quali sono sottoinsiemi di Z. Al posto di a+mZ scriveremo a mod m,

oppure a, quando m è fissato e si può tralasciare di ricordarlo. Il numero m z.g. I teoremi di Fermat e di Eulero.

è il modulo, a è la classe dei resti del numero a, a è un rappresentante dellaclasse a. I numeri (o, i, z, ..., m — 1) formano un sistema completo di rappre­ Il teorema di Eulero afferma che, se (a,m) =1, a l ' < '

=— 1 mod m. Nel caso

sentanti, uno per ogni classe se m) r . Per m= o abbiamo Z /oZ = Z. particolare di m =p primo, si ha il (piccolo) teorema di Fermat: se a non è di­

Si dice somma a+b la classe a+b; si dice prodotto a x b, oppure sempli­ visibile per p, a>' '­= 1 mod p, da cui segue che per ogni aeZ, a>'— = a mod p.

cemente áb, la classe ab. Le classi a+b e ab non dipendono dalla scelta dei Per dimostrare il teorema di Eulero consideriamo l'insieme ia . . . an "'~ cp(m)

rappresentanti ava, beh, ciò che si verifica con un semplice calcolo. Al postodi tutte le classi invertibili. Mostriamo che, se a è invertibile, >aa„ . .., aar ..., aa«<m>

di a, = a» si scr ive a l ­= aa mod m.coincide con >a„..., a~<m)) (quale insieme, cioè a meno di una Permutazione).

Rispetto alla somma + l ' insieme Z/mZ forma un gruppo abeliano (com­ I nfatti aai è invertibile insieme con a e a;, e aaig aa l per a i g á i (si molti­

mutativo ) con elemento neutro o. Rispetto al prodotto, Z /mZ forma un monoi­ plichi per a — la supposta uguaglianza aa( =aa, ). Perciò aa„ . . . , aa„<m> con­

de commutativo con unità I : I a =a per ogni a e a b = ba. I l prodotto è di­ siste di <!)(m) classi invertibili diverse e quindi è (Z/mZ)~.

stributivo rispetto alla somma. Perciò Z/mZ è un anello (per le definizioni di v(m) v <m> v(m)Da qui segue che gai = g àa , = a «' >pa,. Dividendo per la classe inverti­

gruppo, monoide, anello si veda l'articolo «Applicazioni» della presente Enci­ V(m) i =l i =l i =l

clopedia, ) g). Esso consiste di m elementi per m+o e coincide con Z per m = o. b ile pa; , si ott iene: a«'m'= i .

L'applicazione Z~Z /mZ : a~a è un omomorfismo di anelli.I l gruppo additivo dell'anello Z/mZ consiste degli elementi o, i , i +i, ..., z,g. Il teorema 'di Wilson.

i+ i+ . . .+ I (m ­ i volte ), cioè è un gruppo ciclico di ordine m (cfr. ( y).Il monoide moltiplicativo di Z/mZ non è un gruppo per m+l: la classe o Esso afferma che, se p è un numero primo, (p — 1)!+ i =— o mod p.

non è invertibile. Per p = z è evidente. Sia p)g . Se á=a — l in Z /pZ, a =i , oppure a =p — 1.

Affinché l'anello Z /mZ sia un corpo è necessario e sufficiente che ogni classe L'equazione a» — l=o non ha piu di due radici nel corpo Z /pZ, come del re­apò sia invertibile, cioè che l'insieme Z/mZ — (ò) sia un gruppo rispetto al sto in ogni corpo. Ad eccezione di i e p — 1 le altre classi non nulle di residui

prodotto. Mostriamo che questa condizione insieme con orci equivale a ri­ mod P si dividono in (P — g)/z coppie (a, a — ') tali che il loro prodotto è i. Perciò

chiedere che m sia un numero primo. (P — 1)!= l (P — 1) = — l .

Divisibilità 22 23 Divisibilità

In realtà il teorema di Wilson ci dà una condizione necessaria e sufficiente medio dei pianeti, la quale può generare instabilità di varie dimensioni. È, que­affinché p sia primo: se m non è primo e d, x(d < m , d iv ide m, (m — x)! è di­ sto, un fenomeno tipico dei modelli matematici della meccanica celeste («pic­visibile per d e quindi (m — x)!+ x non è divisibile per d e, a maggior ragione, coli denominatori» nelle serie della teoria delle perturbazioni ).non lo è per m. Infine, curiose questioni sulle buone approssimazioni sono legate alla storia

della formazione della scala musicale di dodici suoni, o scala cromatica (AndreasWerckmeister, intorno al x7oo).

Frazioni continue e approssimazioni razionali. Le frequenze fondamentali delle corde di un pianoforte accordato forma­no una successione finita di numeri soggetta ad alcune condizioni. Prima di

3.x. Approssimazioni razionali.tutto queste frequenze devono formare una progressione geoxnetrica affinchéla scala sia uniforme e ogni melodia possa iniziare con un qualsiasi tono (l'u­

La maggior parte dei numeri reali sono formazioni infinite: un numero puo'I dito percepisce due successioni di suoni come se fossero uguali, a meno dell'al­

essere dato, per esempio, mediante le cifre decimali, che formano una succes­ tezza, se i rapporti tra le frequenze dei suoni corrispondenti sono costanti ).sione infinita. Praticamente e teoricamente hanno molta importanza le appros­ Inoltre, insieme con ogni frequenza, la scala deve contenere quella doppia e

simazioni razionali di un numero x, cioè quei numeri razionali (a/b) tali che la quella metà (nei limiti dell'intervallo delle frequenze di un dato strumento ).distanza ~a ­(a/b)! sia piccola. Stimiamo l'ordine di piccolezza che si può rag­ Ciò è legato al fatto che la frequenza doppia forma l'armonica predominante

giungere in funzione del denominatore b. nella corda, complementare alla nota fondamentale, e, per le combinazioni ar­

È sufficiente considerare il caso o<ct< x. I numeri razionali con denomi­ moniche, essa deve far parte della scala.

natore b dividono (o, x] in b intervalli (i/b, (i+x)/b], i = o, ..., b — x, di lun­ L'intervallo da ogni frequenzaf a zf forma un'ottava. Esso è troppo grandeghezza x/b. Il punto x capita in uno di essi e, indicando con a/b l'estremo di e dev' essere suddiviso in un certo numero k di parti piu piccole (che si chia­questo intervallo piu vicino a c~, si ricava ~x — (a/b)'(x/zb. Tuttavia alcuni de­ mano semitoni ). Il rapporto tra due semitoni successivi in una scala uniforme,

nominatori b, che dipendono da x, permettono di ottenere un'approssimazione perciò, deve essere uguale a 2' x. D'altro lato, le condizioni acustiche per la

notevolmente migliore : ~z ­ (a/b) ~ < x/b». possibilità di combinazioni armoniche richiedono che i rapporti tra le frequenzePer la dimostrazione consideriamo un numero intero B) x e tutte le possi­ nella scala siano numeri razionali con numeratori e denominatori piccoli: tali

bili coppie (a, b) di numeri interi, a>o, b )o , c on o ( b «i — a(x, b ( B . P e r sono i rapporti fra le frequenze delle armoniche predominanti in un dato to­

ognuno dei B+ x valori di b vi è un a che verifica la condizione: il piu grande no. Poiché per ogni k il numero 2' x è irrazionale, queste esigenze sono incom­

a per cui a(b cc. Perciò esiste i, o<i <B — x, tale che i due valori b,x — a, e patibili. Bisogna perciò giungere a un compromesso e rinunziare agli intervalli

b«~r.— as capitano nell'intervallo (i/B, (i+x ) /B], poiché in tutto di ta li inter­ puri. La scelta di k = xz è legata all'esistenza di una buona approssimazione

valli se ne hanno B. Ponendo b = bi bs (se bx)bs) e a =ax — as, otteniamo: razionale, 7 /xz, di logs 3/2, cioè della buona aPProssimazione, 3 /z (raPPorto/bx — a J < x/B, da cui / x — (a/b) f < x /Bb ( x /b». fra le sequenze in una quinta), di 2 " : 7 /xz o , 583, log,3/2 o ,g85, cosi che

Questo ragionamento è dovuto a Dirichlet. nella prima ottava (262-gzg hertz) la differenza tra ]e frequenze di un sol idealeQueste approssimazioni con i numeri razionali particolarmente buone sono e reale è inferiore a x hertz.

state usate praticamente. Ecco alcuni esempi. E cosi si sceglie k=xz; la frequenza di (3/2)f» viene sostituita con 2 "f»;Il classico valore 22 /7 è una buona approssimazione di xc: per gli altri toni della scala uniforme, 2' '~, pure si scelgono buone approssima­

Irr — (22/7)l < x/7 xoozioni razionali: (q/8)f~ 2' f» (re); (c/y)f„z ' f » (mi); (y/3)f» 2» ' f (fa);(3/2)f»-2""f» (sol) (S/3)fo-2"f» (la)' (xS/8)f»-2"" ' f ( » )

La costruzione dei modelli del sistema solare, nei quali il moto dei pianeti Prima di Werckmeister gli strumenti venivano accordati secondo intervalli

lungo le orbite viene realizzato mediante trasmissioni ad ingranaggi, richiede puri (quinte, terze). Molti, e tra essi Diderot, furono avversi alla nuova scala,che si conoscano buone approssimazioni razionali dei rapporti tra i periodi di nella quale non vi sono intervalli puri. Solo dopo il Clavicembalo ben temperato

rivoluzione dei pianeti. I numeratori e denominatori di tali approssimazioni di Bach essa ottenne un generale riconoscimento. I principi acustici, di teoria

corrispondono ai numeri di denti degli ingranaggi, i quali, per questioni tec­ dei numeri, che in essa sono fusi, hanno definito in larga misura il carattereniche, non possono essere troppo grandi. Tali approssimazioni sono state tro­ della musica europea dei tempi moderni.

vate da Christian Huygens che costrui questi modelli. Un metodo sistematico per trovare buone approssimazioni razionali è for­L'esistenza nel sistema solare di grossi pianeti con il rapporto tra i loro nito dalla tecnica delle frazioni continue.

periodi vicino a 2/g (Saturno-Giove) ha serie conseguenze cosmografiche: pe­riodicamente (ogni ottocento anni ) si ha una grande perturbazione del moto

Divisibilità 25 Divisibilità

quozienti parziali sono limitati, la disequazione (x — (p/q)[(c/q2 in generalenon ha soluzioni per c sufficientemente piccolo; se non sono limitati, essa ha

Frazioni continue. sempre infinite soluzioni. Sono noti risultati ancora piu precisi.

Sia a)o un numero reale. Applichiamo l'algoritmo di Euclide, descrit­ Perciò è interessante la questione del comportamento dei quozienti parziali

to nel ) x, alla coppia (x, I ) e indichiamo i quozienti parziali successivi con in funzione del numero X. Essi si annullano a un certo punto, se e solo se x è

a „ a „ ap ,... (questi sono numeri naturali ). Pertanto x = a,+r„ o( ri<x; razionale. Essi sono periodici da un certo punto in poi, se e solo se x è un irra­

x = a,r,+r2, o<r2<r , (se r,go) ; r, = asr2+rs, o( r 2 < r 2 (se r2go) e cosi via. zionale quadratico, cioè X = )+y~ 8 , con P, y, 8 razionali. Per molti irrazionaliPerciò successivamente si trova: particolari sono note semplici formule per gli a„; per esempio, e = [z; I, z, x, x,

4, x, x, 6, x, x, 8, ... ]. Tuttavia l'autore non conosce un solo esempio di numero

x = ai+ ri ­— ai / = a + = . . . =a,+ algebrico di grado superiore a due, per il quale sia noto se è limitata la sua suc­r2 cessione di quozienti parziali. Dai tentativi fatti con i calcolatori con numeri

a+- r a,+ az+l r2 as+ quali ~z, o ~z + ~ 3 sembrerebbe che la risposta sia negativa.

as+- r2 I Invece, risultati abbastanza definitivi sono stati ottenuti sul comportamento

a> delle frazioni continue «in media», per quasi tutti i numeri x di [o, I] nel sensodella misura di Lebesgue (nella quale ogni intervallo è misurabile e la sua mi­

L'ultima uguaglianza si verifica se rI ­— o, cioè nel caso di X razionale. Scri­ sura è uguale alla sua lunghezza ). Elenchiamone alcuni. L'insieme di tutti gli xviamo l'ultima espressione nella forma x = [a„a2, ..., a»]. Essa si chiama fra­ con gli a„ limitati ha misura nulla. Se p„ /q„è la n-esima frazione ridotta di X,zione continua di lunghezza k con i quozienti parziali ai, ..., ai.. per quasi tutti gli x (cioè per un insieme di misura I ) esiste il limite lim ~qn

Se x è irrazionale, la successione dei quozienti parziali (a„) non finisce. I nu­ ed è uguale a en""xn2 (teorema di Lévy-Hinèin ). n~

meri corrispondenti xn = [a,; a2, ..., a„] si dicono frazioni ridotte di X. Il l imite Sia z„(x) = [o; a» an+is an+2s..] e sia mn (x) la misura dell'insieme {X j z„(x) (di x„esiste ed è uguale ad X. Perciò si può scrivere X = [a,; a2, a2, ...], sottin­ <x); allora lim m„(x) = ln(x+x)/Inz (congettura di Gauss dimostrata da Kuz­tendendo una frazione infinita. Quale (a,) si può avere una qualsiasi succes­ miu e Lévy). per quasi tutti gii u i i l imite i imp e , . ..a esiste ed è uguale asione di numeri naturali.

Definiamo i polinomi universali P„, Qn nelle variabili a„a 2, ..., a coeffi­cienti interi, primi tra loro, mediante le formule P„/Qi,­— [a,; a 2, ..., ai ] per p( i + x/r (r+z)}' n " ' " ' — z,6. Invece, il limite — ga,non esiste; quasi ovunque

r =l nk >' I ' Pp = I Qp = o Per induzione su k non è di ff icile dimostrare una serie infinite volte si ha an>n l nn .d'identità per P» Q„. Per esempio, P „Q„,— P„, Q „ = ( — x)", n ) I , da cui Non molto tempo fa si è scoperto che questi risultati sono direttamente in­

P„ P„, ( — x)" teressanti per la cosmologia teorica, Precisamente, studiando le soluzioni delleequazioni della teoria generale della relatività di Einstein vicino alla singolarità

Qn Qn- i Q n - i Qn iniziale — il momento della «grande esplosione» — sono stati scoperti dei regimi

D'altro lato, è facile verificare che le ridotte xn =p„ /qn di ogni X) o con in­ tipici, di carattere oscillatorio (regimi di Belinskij-Lifsic-Halatnikov ). Ognuno

dice n pari sono maggiori di x, mentre quelle con indice dispari sono minoridi tali regimi è definito da un certo numero X E[o, i]. Il regime che corrisponde

(ad eccezione dell'ultima, che è uguale ad X, se x è razionale). Perciò a questo numero viene suddiviso in segmenti, che si chiamano ere, le quali sonoin corrispondenza biunivoca con i quozienti parziali a„ del numero x. L 'eracorrispondente ad an viene suddivisa in a„segmentini piu piccoli, le epoche.

XPn — 1 ( ( sqn — 1 qn — 1qn qn — 1 Internamente ad ogni epoca la metrica dello spazio localmente evolve appros­

simativamente coxne t »dx +t xgdy 2+t y'gdz' dove p,+p,+p = p'+p ' + p ' = xcosi che le frazioni ridotte sono buone approssimazioni. Si può dimostrare (soluzione di Kazner ). Insieme con i tre numeri p.; sono definiti tre vettori,che esse sono addirittura le migliori approssimazioni nel senso che ~qx — p~> lungo uno dei quali lo spazio si estende, mentre lungo gli altri due si contrae.> ~qpx — Pp) Per ogni o < q <qp, se, e solo se Pp/qp è una delle frazioni ridotte di X. Cambiando epoca, l'asse dell'estensione e quello della contrazione piu lenta si

scambiano, mentre l'asse della contrazione piu rapida resta quello precedente.

3.3. Caratteristica dell'approssimazione e crescita dei quozienti parziali.Se cambia l'era, varia l'asse della contrazione piu rapida. La variazione degliesponenti (pi, p2, p2) si scrive in funzione della frazione continua del numero x.

Un numero irrazionale x ammette approssimazioni razionali tanto migliori Poiché, da un lato, tutta questa descrizione del regime è un'approssimazione

quanto piu velocemente crescono i suoi quozienti parziali a;. Per esempio, se i matematica, e poiché, dall'altro lato, gli stessi modelli considerati possono cor­

Divisibilità z6 Divisibilità27

rispondere solo approssimativamente alla realtà, ne segue che possono avere Nelle dimostrazioni si usa essenzialmente la seguente circostanza: se m,ne Z

interesse solo le caratteristiche asintotiche dei regimi che hanno luogo per quasi con (m,n) =i, un gruppo abeliano finito A d i o r d ine mn si scompone uni­

tutti i valori di x; in particolare per la presenza delle perturbazioni che rendono vocamente nella somma diretta dei suoi sottogruppi di ordine m e n. Infatti,

incerti i valori teorici di u e di pi, ps, ps. se mx+ny =i (x,yeZ) e acA, si ha: a = mxa+nya, cosi che A = mAQ+nA =

= A,Q+A~, dove nA, = mA~ = (o). In particolare Z/mnZ = Z/mZQ+Z/nZ.Dal teorema della classificazione deriva il seguente criterio di ciclicità per

Aspetti algebrici della divisibilità. un gruppo abeliano finito A : per ogni numero primo q la quantità di elementidi periodo q in A non supera q. Applicandolo al gruppo (Z/pZ)~, p-primo, tro­

La teoria della divisibilità dei numeri interi servi come primo esempio non viamo che esso è ciclico, poiché il numero di soluzioni dell'equazione H — r = o

banale per una serie di costruzioni algebriche che hanno condotto, da una parte, nel corpo Z /pZ non può essere superiore a q. Questo è il teorema sull'esistenzaall'aritmetica dei numeri algebrici e, dall'altra, alla moderna algebra commutati­ di un elemento primitivo nel gruppo delle classi dei resti modulo un numerova con spiccata influenza della geometria (algebrica). Noi seguiremo l'evoluzione primo. Esso è vero anche per i gruppi (Z/p'Z)~ per p+z, a ) r .

e la ramificazione degli aspetti della divisibilità in alcuni esempi fondamentali. Un gruppo A non ha torsione se da ma = o, dove meZ e aa A, segue chem = o, oppure a = o. I gruppi abeliani senza torsione con un numero finito di

4.i. Gruppi abeliani. generatori sono liberi, cioè isomorfi a Z', r) o . Il n umero r si chiama rango;esso è definito univocamente e coincide con il minimo numero di generatori

La teoria delle congruenze forni consistenti esempi e metodi tecnici per stu­ di A. La somma diretta di una famiglia infinita di gruppi Z si chiama gruppodiare i gruppi abeliani astratti. Descriviamo i piu importanti teoremi strutturali. abeliano libero di rango uguale alla potenza di questa famiglia.

Per i gruppi abeliani useremo la notazione additiva. Un sottoinsieme G c A Infine, ogni gruppo abeliano A con un numero finito di generatori è iso­in un gruppo abeliano A si chiama sistema di generatori di A, se ogni elemento morfo alla somma diretta di un gruppo abeliano libero e di un gruppo abelianodi A si può scrivere nella forma Pm;g,, m,eZ, g;e G. Se (A;);,t è una fami­ finito. Il rango della componente libera e i divisori elementari del sottogruppoglia di gruppi abeliani, si chiama somma diretta Q+A; l'insieme dei «vettori» di torsione definiscono la classe di A a meno di un isomorfismo.

t@I

[(a;);,t j a;cA, e, per tutti gli i, ad eccezione di un numero finito, a;= o) in Useremo queste conoscenze per descrivere i risultati della teoria della di­

cui l'opposto e l'operazione di somma sono definiti coordinata per coordinata ; visibilità in anelli piu generali di Z.

Q+A; è un gruppo abeliano. Invece di AQ+...Q+A (m volte) scriveremo At@I

Un gruppo A si dice ciclico se in esso vi è un sistema di generatori che con­4.2. Proprietà moltiplicative degli anelli e dei corpi.

siste di un solo elemento g. È chiaro che, se tutti gli elementi di (mg ~ meZ) Sia A un anello commutativo con identità i. Le nozioni seguenti generaliz­sono diversi, l'applicazione Z~A : m~mg definisce un isomorfismo di Z su A. zano direttamente le definizioni del ) i che si riferivano ad A = Z.Se invece non tutti gl i elementi mg sono diversi, allora esiste d~o con dg = o Un elemento aeA d iv ide l'elemento beA, se esiste q@A tale che a= bq.e tutti questi d si dividono per il piu piccolo de; da cui segue facilmente che Un elemento aa A può dividere i ; allora si chiama unità dell'anello. Eviden­l'applicazione Z /d~Z~A definisce un isomorfismo di Z/deZ su A. Pertanto ot­ temente a divide r se, e solo se, a è invertibile in A. L ' insieme A~ delle unitàteniamo la classificazione dei gruppi ciclici a meno di un i somorfismo. è un gruppo commutativo. Abbiamo Z~ = (+ i ); le unità nell'anello Z/mZ

Un gruppo A si dice periodico, oppure gruppo di torsione, se per ogni ele­ sono state studiate nel ) z. Se A è un corpo e A[x] è l'anello dei polinomi inmento aeA esiste mcZ, m+o , con ma= o. Ogni gruppo periodico finito è una variabile su A, si ha (A[x])~ = A~. La stessa cosa è vera per l'anello deiisomorfo a una somma diretta di gruppi ciclici. Nel caso generale gli ordini di polinomi in piu variabili A [x» ) X„ ].questi gruppi non sono definiti univocamente, ma vi sono due tipi di decom­ In un anello A v i possono essere divisori dello zero non nulli ; sono taliposizioni, le quali forniscono invarianti univoci. Prima di tutto vi è la decompo­ le classi d, i <d<m, d ~ m nell'anello Z/mZ.

nsizione della forma Q+Z/d,Z, dove di. .. d„è una successione di numeri na­ Se A non ha divisori dello zero, può essere immerso canonicamente in un

t =l corpo K, ogni elemento del quale si rappresenta nella forma ab ', a,beA,turali univocamente definita tali che d; divide d,+,. (Si chiamano divisori ele­ beo. Questo corpo si costruisce, a partire da A, quale corpo delle classi dimentari del gruppo A ). In secondo luogo vi è la decomposizione della forma coppie ordinate ((a,b) ~ b~o) con la relazione di equivalenza (a,b) (a ' ,b '), seQ+Z/p";sZ, dove p; sono numeri primi e per ogni p; è definita la successione de­ ab'=a'b. La classe di (a,b) si indica con ab — ', le operazioni si eseguono se­' igli esponenti o<r ; ,< r ;~( . . . < r ;z, in modo che solo una quantità finita di nu­ condo le ordinarie formule scolastiche. K si chiama corpo dei quozienti del­

meri p,".i~ sono diversi da i. Qui la famiglia (p,"n) è definita univocamente. l'anello A.

Divisibilità z8 Divisibilità2(l

Il corpo dei razionali Q è il corpo dei quozienti dell'anello dei numeri interi Se tutti i polinomi irriducibili in k [x] sono della forma a(x — b), a,b @k, ilZ. Il r isultato fondamentale del ) i si può riassumere cosi: il gruppo molti­ corpo k si dice algebricamente chiuso. Condizioni equivalenti: ogni polinomioplicativo Q" è la somma diretta del gruppo (+ i ) e del gruppo abeliano libero ha una radice in k; ogni polinomio si scompone in fattori lineari in k[x] .di rango numerabile, liberamente generato dai numeri primi p.;. Un elemento In questo caso, l'insieme dei polinomi irr iducibili, a meno dell'associati­a~Q a ppartiene a Z, se e solo se a= +f7p,"4 con t~;) o . vità, è in corrispondenza biunivoca con gli elementi di k. Per k = C, si ha il

Gli analoghi dei numeri primi in un anello commutativo A sono gli ele­ piano complesso. Considerando un polinomio P(x) quale funzione su k, simenti non scomponibili, o primi. Un elemento ac A è primo, se non è l'iden­ ricava che la sua divisibilità per x — a è equivalente al fatto che esso si annuiitità e se ogni suo divisore è della forma u, oppure au, dove u è una unità in A. per x = a.ogni elemento au si dice associato ad a. Un anello A si dice anello a fattorizza­ c) Analogamente alla definizione dell'anello Z/mZ, possiamo definire l'a­zione unica, se esso non ha divisori dello zero e se il monoide A ­ [o) (rispet­ nello k [x]/Pk[x], dove P è un qualsiasi polinomio (entrambe le costruzioni sonoto al prodotto ), modulo A", è liberamente generato dalle classi degli elementi un caso particolare di anello quoziente rispetto a un ideale: si veda oltre). Seprimi. In altre parole, scegliamo un elemento p in ogni classe di elementi asso­ P è irriducibile, k[ x]/Pk[x] è un corpo K. Il suo grado su k, cioè la sua dimen­ciati. Allora in un anello a fattorizzazione unica ogni elemento si rappresenta sione quale spazio lineare su k, è uguale al grado del polinomio P, l'appli­in modo univoco nella forma u +p,"<, ueA", v , ) o . cazione canonica k~ K : a~ (classe di a modulo P) è una immersione di corpi.

Il polinomio P, quale elemento di K [x], non è piu irriducibile : da esso si estrae

4 3. Anelli di polinomi e fattorizzazione unica. a lmeno un fattore lineare x — x, dove xeK , x =classe di x mod P. Perciò lacostruzione di K si chiama anche aggiunzione di una radice del polinomio P

Di tali anelli, oltre a Z, fanno parte k [x] e k[xi, „., x„], dove k è un corpo. al corpo k.Piu in generale, se A è un anello con fattorizzazione unica, ciò è vero anche Su ciò è basata la costruzione della chiusura algebrica di ogni corpo k,per A[x]. cioè di un corpo algebricamente chiuso k e dell'immersione k~ k. Per costruire

La dimostrazione nel caso di k [x] e in una serie di altri casi, per esempio, k aggiungiamo a k una radice per ogni polinomio irriducibile su k e indichiamoper gli anelli di numeri interi gaussiani Z [i] = /a+b~ z ~ a,bcZ), si può ot­ il corpo cosi ottenuto con k,. Poi, a partire da ki, costruiamo in modo analogotenere generalizzando l'algoritmo della divisione con resto, La questione im­portante che bisogna risolvere sin dall'inizio sta nello stabilire come si deve ks; a Partire da k~ costruiamo il corPo ks e cosi via. L'unione Qk; è la chiu­confrontare il resto con il divisore, affinché questo resto esista e sia definito uni­ sura algebrica di k.

vocamente. Due qualsiasi chiusure algebriche di un corpo k sono isomorfe (mediante

Nel caso dei polinomi in una variabile su di un corpo, l'uguaglianza a= bq+ r un isomorfismo che è l'identità su k, ma in generale non sono identiche).definisce q quale quoziente parziale e r quale resto nella divisione di a per b, d) Sia k = F~ = Z/pZ, p numero primo. Si possono ottenere descrizioni assaise il grado di r è strettamente minore del grado di b (r = o, se il grado di b è ze­ dettagliate dei polinomi irriducibili P nell'anello F>[x] e dei corpi K = F„[x]/ro, cioè se b appartiene a k). Con questa definizione la divisione con resto è PE~[x], detti corpi finiti di Galois.sempre possibile ed è univoca, e per l'anello k [x] si possono ripetere le dimo­ Sia P un polinomio irriducibile di grado m. Allora il corpo K è di gradostrazioni del $ r (sostituendo l'induzione sul valore del numero intero, con l'in­ m su E„e perciò consiste di p e lementi. Le stesse considerazioni svolte perduzione sul grado del polinomio ). dimostrare il teorema di Fermat in Z /pZ mostrano che a™ = a per ogni ac K.

Gli elementi primi dell'anello k [x] si dicono polinomi irriducibili sopra il Applicando questa uguaglianza a x = x modP (x), troviamo che il polinomiocorpo k. Per essi, con i metodi del ) i, si ottengono i seguenti risultati: xi' — x è divisibile per P (x) in E~ [x]. Poiché x i' — x è divisibile per xr" — x per

a) Il massimo comun divisore di due qualsiasi polinomi a,book[x]esiste, ogni d ~ m, si ricava che xi' — x è divisibile pure per ogni polinomio irriducibiledefinito univocamente a meno di un elemento di k~ e si rappresenta nella di grado d ~ m. Inversamente, se x™ — x è divisibile per un polinomio irriduci­

forma au+ bv ; u, z e k[x], bile P di grado d, allora è d ~ m. Altrimenti, se r è il resto della divisione di m perb) I polinomi irr iducibili (a meno dell'associatività) sono infiniti, Se k = C d, ne segue che xi'" — x è divisibile per P, ma allora ciò significa che tutti gli ele­

(numeri complessi), tutt i i p o l inomi i r r iducibili hanno la forma a(x — b), menti del corpo F„ [x]/PF„[x] sono radici di x>" — x, ciò che non può essere vero,ae C~, bc C. Se k = R, i polinomi irriducibili hanno la forma a (x — b), ac R~, poiché il numero di questi elementi è maggiore di p". Abbiamo cosi dimostratobe R e ax +bx+c , ac R~, b,cc R, b' — 4ac(o. Se il corpo k è finit (per esem­ che x™ — x= PP(x), dove i F var iano fra tutti i pol inomi irr iducibili con iPio> k = Z/pZ, p pr imo), vi è un numero finito di polinomi per ogni grado ; gradi d ~ m e con il primo coefficiente uguale a i: i l pr imo membro si dividePercio si hanno polinomi irriducibili di grado grande a piacere. Piu oltre preci­ per il secondo membro; inoltre il primo membro x> — x non ha fattori mul­seremo questo risultato. tipli perché, per esempio, la derivata di x> — x è uguale a — i. Indichiamo con

Divisibil i tàDivisibilità 30 3I

i(d) il numero di polinomi irriducibili di grado d in F~[x]. Da quanto precede, sformano A /i in un anello; l 'applicazione canonica A~A/ i : a~ a è un omo­

confrontando i gradi, si trova: p =/di( d). Ciò permette di trovare la fun­ morfismo di anelli

I <ii>» L'ideale i viene ricostruito a partire da <i> quale Ker <i> (nucleo di <p), cioèzione i (m) nella forma i(m) = ­ P ii, (d) d " , dove p.(d) è la funzione di Mo­ quale controimmagine dello o e A/i : i = <i> (o) = (a c A ~ <i> (a) = o}. Se $ : A ~ B

m<><i>>> è un qualsiasi omomorfismo di anelli commutativi, la controimmagine dellobius: essa è uguale a o, se d è divisibile per un quadrato ) r , e p,(p,...p>) =

zero dell'anello B è un ideale in A, e se $ è suriettiva, il diagramma$ : A ~B= ( — i)", se p„.. ., pt. sono numeri primi diversi tra loro. è isomorfo al diagramma A~A /Ker <]>. Pertanto la classificazione degli ideali

Non è difficile verificare che i(m ))o per ogni m; in particolare, in F„[x] in un anello è una variante strutturale della questione categoriale della classi­si hanno polinomi irr iducibili di ogni grado m. I corpi F~m= F [x]/PF [x]

ficazione degli omomorfismi di un anello A. Un ideale i si dice primo, se A /isono isomorfi per ogni scelta del polinomio irriducibile di grado m. Essi esau­ non ha divisori dello zero. Condizione equivalente: da abci segue che ae.i,riscono tutti i possibili corpi finiti.

La formula per i (m) risolve in un certo senso il problema della distribuzioneoppure b e t.

Un ideale i< A si dice principale, se esiste un elemento aeA, generatoredei polinomi irriducibili nell'anello F„[x]. Questo problema è notevolmente piu

di i, tale che i = aA = riab ~ bc A }. La teoria delle congruenze è la teoria deglielementare che quello della distribuzione dei numeri primi in Z e viene risoltoevitando la funzione zeta. Però, già per le estensioni finite degli anelli F„ [x] ideali principali nell'anello Z e degli anelli quozienti rispetto ad essi. Mostriamo

che in Z tutti gli ideali sono principali. Infatti, sia i<:Z un ideale. Se i= [o}, es­

il problema corrispondente diventa molto profondo e viene risolto con mezzi di so è principale. Se i+ [o}, sia a il piu piccolo numero positivo contenuto ingeometria algebrica. Esso è l'oggetto della teoria delle funzioni zeta delle curve esso. Mostriamo che i = aZ. Evidentemente i~aZ, poiché i è un sottogruppoalgebriche e, piu in generale, delle varietà algebriche sui corpi finiti. additivo di Z. Sia ora bei un numero arbitrario. Dividendo b per a con resto,

si ricava che r = b — aq appartiene ad i (be i ; a e i, perciò aq e i), Ma o < r < a — r ;

4.4. Esempi di anelli con fattorizzazione non unica. poiché a è il piu piccolo numero positivo in i, deve essere r = o e b =aq, cosi

che i< aZ. Gli ideali primi in Z sono (o} e pZ, p numero primo.Uno degli esempi piu semplici è fornito dall'anello Z [~g ] = [ a+b~ 5 ~ Analogamente si dimostra che, se k è un corpo, in k[x] tutti gl i ideali sono

a,bcZ}. In esso zr = 3 p = (4+~ g)( 4 — ~ g ) . Qui i fattori non sono scom­ principali (si considera nell'ideale un polinomio di grado minore e si dividonoponibili, né, a due a due, associati. L'assenza dell'univocità della fattorizzazione per esso con resto i polinomi dell'ideale). Gli ideali primi in k [x] sono [o} enegli anelli Z [~r], p ) g, è stata scoperta quale risultato dei tentativi di dimo­ P(x)k[x], dove P(x) è un polinomio irriducibile.strare la congettura di Fermat sull'assenza in Z d i soluzioni dell'equazione La semplicità dell'aritmetica negli anelli Z e k[x] in misura notevole è do­x" +y" + z" = o, xyz P o. vuta all'assenza in essi d'ideali non principali.

Lo studio profondo delle strutture moltiplicative negli anelli di numeri al­ Passando ad anelli piu grandi, quali Z[ ~ g ] , op pure k[x,, xs], perdiam<>gebrici, iniziato da Kummer, Dirichlet ed altri, si è accompagnato con l'in­ questa proprietà; per esempio, l'ideale (x„xa), che consiste dei polinomi introduzione nella teoria della divisibilità dell'importantissimo concetto di ideale. k[x„ x , ] con i l termine noto nullo, non consiste di tutti i mul t ipl i di un sol<>Intuitivamente si può dire che, negli anelli piu complessi di Z le strutture ad­ polinomio,ditive e moltiplicative siano piu fortemente legate l'una all'altra, e nel concetto La complessità della struttura degli ideali fu studiata classicamente in m<>­di ideale questo legame è espresso esplicitamente. do separato nella teoria dei numeri algebrici (per gli anelli del tipo Z [ ~ ( ) ,

estensioni finite di Z) e nell'algebra commutativa in geometria algebrica (pc>

le estensioni finite degli anelli k [x„ . .., x„]). L'unione degli aspetti di teoria <Ici4.5, Ideali di anelli commutativi. numeri e di quelli geometrici ha aperto la strada a molti successi ed a prospet­

In un anello commutativo A si chiama ideale i un qualsiasi sottoinsieme di tive ancora piu ampie, poiché le intuizioni geometriche e di teoria dei num«> i

A che: a ) sia un sottogruppo additivo in A ; b) sia chiuso rispetto al prodotto solitamente sono tra loro complementari. Qui ci l imiteremo ad esporre alcu»i

per elementi di A: per ogni ac A, bei, si ha abbi. elementi della teoria classica.

Se i è un ideale in A, imitando la costruzione dell'anello delle classi deiresidui Z /mZ, possiamo costruire l'anello quoziente A/i. Gli elementi di A /i 4.6. Caso della teoria dei numeri.sono i sottoinsiemi a+ i = [a+b ~ bei} in A . I n v ece di a + i sc r i veremo a,quando t è fissato ; a è un rappresentante della classe a. Si chiama somma a+b Un numero complesso <zc C si dice algebrico, se esiste un polinomio f(,r)

la classe a+b e prodotto ab la classe ab. L'indipendenza dalla scelta dei rappre­ con coefficienti interi, del quale <z sia radice. Il numero <z si dice intero alg<­

sentanti si verifica come nella teoria delle congruenze. Queste operazioni tra­brico, se esiste un tale polinomio con il coefficiente direttivo uguale a i .

Divisibil i tà 32 33 Divisibil i tà

Tutti i numeri algebrici formano un corpo Qc: C, la chiusura algebrica del tro lato, ogni elemento f e A viene considerato quale funzione sullo spaziocorpo Q. Esso non può essere generato da un numero finito di elementi su Q. Spec A, che assume valori in un insieme variabile: il valore di f nel punto gQuali approssimazioni si studiano corpi intermedi Qc K c :Q, d i d imensione è la classe dei residui di f mod p, considerata quale elemento del corpo deifinita (in quanto spazi lineari ) su Q. Sia K uno di tali corpi ; O l'anello di tutti quozienti dell'anello A /p. Queste funzioni sono continue nel senso che l'in­i numeri algebrici interi in esso. Le differenze principali dell'aritmetica in O sieme degli zeri di ogni funzione è chiuso. La geometria dello spazio Spec A.dall'aritmetica in Z sono legate alle unità non banali e agli ideali non principali. è un invariante molto fine di questo anello che rispecchia le sue strutture : sia

quella additiva che quella moltiplicativa; in particolare, la relazione di divisi­

4.7. Unità in O. bilità. Per meglio immaginare Spec A. consideriamo il caso A = C[xn ..., xQ.

Prima di tutto in O vi possono essere le radici dell'identità, che formano 4. r o. Ideali massimali.un sottogruppo abeliano finito pz. I l gruppo quoziente O~ /p< è abeliano li­bero. Il suo rango si calcola in termini d'immersioni isomorfe di K nel corpo In generale la topologia in Spec A è fortemente non separata; in partico­C dei numeri complessi. In tutto tali immersioni sono n = dimensione di K lare, in essa vi sono sottoinsiemi con un solo punto (o semplicemente punti )su Q. Di esse siano rr le immersioni in R e 2fz le immersioni in C (r, coppie non chiusi. Un punto pe SpecA è chiuso se, e solo se, l'ideale primo >AIAdi immersioni comPlesse coniugate). Allora i l rango di O~/P.rr è uguale a è massimale, cioè se ogni ideale intermedio tra p e A coincide con p, o con A.r,+r,— t (teorema di Dirichlet). In C [x„. . ., x„] tutti gli ideali massimali sono della forma (x, — x„..., x„— x„) =

n= Q A (x„— x;), dove x; c C sono costanti arbitrarie. Perciò lo spettro massi­

4.8, Ideali in O. lmale dell'anello A è lo spazio affine C"= ((xt, ..., x„) ~ x,cC}, (Un'afferma­

L'insieme degli ideali non nulli in O può essere trasformato in un monoide zione analoga è vera sostituendo a C un qualunque corpo k algebricamenterispetto alla legge di mol t iplicazione ij= (Pxzyz ~ x>e i, y<e j}. Questo mo­ chiuso).noide è commutativo e generato liberamente dagli ideali primi, cioè, per ogniip (o} ha luogo la decomposizione univoca i = )~ri...p~>~, dove i y; sono ideali 4. r r. Insiemi chiusi.primi. D'altro lato, ogni elemento a e O genera l'ideale principale aO ; gliideali aO, bO coincidono se, e solo se, ab — r è l'identità (oppure a = b = o), In SpecC[xn ..., x„] ogni insieme chiuso coincide con la chiusura dell'in­La decomposizione aO = p~i... )~z~ a livello di ideali è l'esatto analogo della de­ sieme dei punti chiusi in esso contenuti. A loro volta, questi insiemi chiusi dicomposizione di un numero intero in fattori primi. Però, usare questa decom­ punti sono sottovarietà algebriche, cioè soluzioni di sistemi di equazioni dellaposizione per concrete indagini di teoria dei numeri nell'anello O (per esempio, forma (F;(x„..., x„) = o}, dove F; sono polinomi. Tutto ciò significa che l'arit­per dimostrare la non-risolubilità delle equazioni ) è notevolmente piu difficile. metica dell'anello dei polinomi coincide, o, piuttosto, è duale della geometriaOltre alla presenza delle unità, che, per r, +rz) r, fa si che la ricostruzione di delle varietà algebriche nello spazio a n dimensioni.a, a partire dalla scomposizione di aO, abbia infiniti valori, non tutti gli idealip~r~...p~p sono principali. Una importante caratteristica della diversità è datadal gruppo delle classi di ideali del corpo K, che può essere definito quale 5. Aspetti topologici della divisibilità.gruppo quoziente di tutte le espressioni formali Pp,"i (divisori, o frazioni diideali) rispetto al sottogruppo generato dai divisori principali (cioè corrispon­ Per m molto grande l'anello Z /mZ è «vicino» all'anello Z nel senso che ladenti agli ideali aO ). Il gruppo delle classi di ideali è sempre finito, ma rara­ somma e il prodotto delle classi dei resti dei numeri naturali non molto grandimente risulta banale. ((m/z per la somma; (~ m p er i l prodotto), si esegue come per questi stessi

numeri naturali : il resto mod m è banale. Ma è piu comodo lavorare con l'anel­

4.g. Linguaggio della geometria algebrica, lo Z/mZ che non con Z, poiché esso è finito e tutte le questioni, per principio,si risolvono mediante procedure finite. Su ciò è basata la dimostrazione della

In geometria algebrica ad ogni anello commutativo A si associa lo spazio non-risolubilità di molte equazioni diofantee, quale conseguenza della non­topologico Spec A, spettro dell'anello A. I suoi punti sono gli ideali primi­ risolubilità delle corrispondenti congruenze.in A, mentre i suoi insiemi chiusi sono in corrispondenza biunivoca con gli Per esempio, se n— = 3 mod 4, n non è somma dei quadrati di due numeriideali radicali di A : a un ideale ic:A corrisponde l' insieme chiuso V(i) = interi: i quadrati modulo 4 hanno resto o, oppure r e la somma di due qua­= (pE SpecA ~ gai}; un ideale t è radicale, se da x" ai segue che xeni. D'al­ drati non può dare resto 3.

Divisibilità 34 Divisibilità

Entro certi limiti un'idea analoga, la sostituzione di un dominio infinito conuno grande ma finito, con successiva estensione periodica, viene spesso usata

topologia p-adica, definita analogamente. È facile vedere che Q„= p p- ' 'Z„ .i =O

in fisica (per esempio, nella teoria del corpo rigido, nella teoria di Dirac delle Il vantaggio di Z„e Q„r ispetto agli anelli Z/p'Z consiste nell'assenza di divisoriradiazioni, ecc.). La questione su come si possa formulare quest'idea in un dello zero e nella presenza di una topologia che permette di applicare mezziapparato matematico consistente non è banale e si r isolve in modi d iversi. d'indagine analitici. (Un esempiosemplicissimo :definiamo il logaritmo p-adicoNella teoria dei numeri essa fu risolta costruendo i corpi di numeri p-adici, le i(x — r)'loro estensioni, e cosi pure costruendo gli anelli di ideli e di adeli, nei quali mediante la serie log x =g( — r) . ; essa converge per xc r +pZ> e l'ap­

i = O l

topologia e aritmetica formano un tutto indivisibile. plicazione log : (r +pZ ) ~ ~ Z~, p ) z, definisce un isomorfismo di gruppi to­pologici).

g.r. Numeri p-adici. Questa topologia ha due caratteristiche che la distinguono dalla ordinariatopologia del continuo reale: essa è non-archimedea e totalmente sconnessa.

Fissiamo un numero primo p. Introduciamo nell'anello dei numeri interi Dire che una topologia non è archimedea significa che, se +AZ„è un ele­Z la topologia, nella quale un insieme UcZ è a perto se per ogni elemento mento piccolo nel senso p-adico, ogni suo multiplo intero mx è altrettanto pic­ae U esiste un numero intero k) o tale che a +p~Z c U. È facile vedere che la colo (cioè è divisibile per una potenza di p non inferiore ). Piu esattamente, l'a­somma, il prodotto e l ' inversione di segno sono continui in questa topologia. nello Z (o il corpo Q„) è dotato di una ultrametrica. Ponendo, per o.ap~Z~,In essa una successione (az) c:Z converge ad ac Z, se a — a< è divisibile per una ~o.)„=p — "', si ricava che l'applicazione ~ ~„: Z~~R è una norma p-adica conpotenza di p che cresca indefinitamente con k. Per esempio, n! ~o per n~ ~. le proprietà seguenti: a ) (x~~= o, se, e solo se, x = o ; b) ~x)~~= (<x(„)P(„; c) [x+P(~Questa topologia si chiama p-adica. (max ([cc(>, [P)z) (viene cosi rafforzata la disuguaglianza triangolare; da qui il

Il gruppo Z non è completo in questa topologia: esistono successioni di nome di ultrametrica per ~ ~~; per l'ordinario valore assoluto, o per il moduloCauchy che non hanno limite in Z (per esempio, az ­— r +p+ ... + p~). Cosi dei numeri complessi, si ha ~@+p~(~o.~+~p~). Ciò semplifica molti aspetti del­come si costruiscono i numeri reali a partire dai razionali, definiamo l'anello l'analisi p-adica. Per esempio, la serie gx.;, u;c Q„, converge se, e solo se,Zz quale completamento p-adico dell'anello Z. Un suo elemento è la classe delle fo(,Jp o.successioni di Cauchy nella topologia p-adica di Z, modulo le successioni che Il fatto che le topologie in Q„e Z si ano totalmente sconnesse significa checonvergono a zero. Somma e prodotto delle classi si definiscono coordinata vi è la possibilità di rappresentare ogni sottoinsieme chiuso come unione diper coordinata. L'applicazione a~ (classe (a, ..., a, ...)) definisce l'immersione due sottoinsiemi chiusi disgiunti. In altre parole, le componenti connesse mas­Z~Z„. Nell'anello Z> la topologia p-adica è definita esattamente come quella simali in Q~ e Z„sono i singoli punti. Ciò complica la teoria delle funzioni ana­in Z (sostituendo Z con Z„). Rispetto a questa topologia Z„è completo: ogni litiche p-adiche, poiché rende inapplicabile l'ordinaria definizione del prolun­successione di Cauchy ha limite. Il sottoanello Z è denso in Z„: la sua chiusura gamento analitico: i l teorema dell'unicità del prolungamento di un germe dicoincide con Z>. una funzione analitica secondo la definizione ingenua è falso senza speranza.

Gli elementi di Zz si chiamano numeri interi p-adici. L' immersione Z~Z> Per questo una analisi p-adica globale è stata formulata solo negli anni recen­induce un isomorfismo degli anelli delle classi dei resti Z /pZ~Z„/pZ„. Sce­ ti, quando la geometria algebrica e analitica hanno dato modelli di teorie nellegliamo in Z (oppure in Z~) un sistema arbitrario R di rappresentanti delle classi quali gli aspetti geometrici e analitici erano strettamente fusi sin dall' inizio.dei residui modulo p. Al lora ogni numero intero p-adico si rappresenta inmodo univoco mediante una serie ga,p' convergente in Z„. g.z. Estensioni finite dei corpi p-adici.

t>Oai sR

L'aritmetica in Z~ è semplice. I numeri non divisibili per p, e solo essi, Con la chiusura di Q nella topologia ordinaria otteniamo i numeri reali R.Questo corpo non è algebricamente chiuso, ma la sua chiusura algebrica C

sono invertibili. (Infatti, r+pa, con ac Z, è invertibile: (r+pa) =p( — r)'a'p'.t,=O

è di grado z su esso. Il corpo C dei numeri complessi è contemporaneamente al­

I numeri interi b n on divisibili per p sono invertibili: se bx+py= r , x , ye Z , gebricamente chiuso e topologicamente completo.si ha: bx = x — py invertibile e, quindi, b è un divisore dell'unità. Infine, ogni La situazione con il corpo Q„è notevolmente piu complessa. Esso pure nonnumero ceZ~, non divisibile per p, si rappresenta nella forma b(r+pa), dove è, come R, algebricamente chiuso, ma la sua chiusura algebrica Q„ha su Q„bcZ, aEZ„). Ogni ideale in Z è p r incipale; esso è generato da una certa po­ grado infinito. Di piu, Q non è topologicamente completo e il suo comple­tenza p', i)o , oppure è(o). Per ogni i si ha l ' isomorfismo Z /p'Z~Z„/p'Z~. tamento Q~ è ancora una estensione a infinite dimensioni su Q„. I l c orpo

Il corpo dei quozienti Q> dell'anello Z> si chiama corpo dei numeri p-adici. Q~ = C„è l'analogo p-adico dei numeri complessi; esso è algebricamente chiusoEsso si potrebbe ottenere direttamente quale completamento del corpo Q nella e topologicamente completo. Ma esso è molto piu lontano da Q che non C

Divisibilità 36 37 Divisibil i tà

da R. Inoltre in esso vi è una brutta topologia (per esempio, non localmentecompatto) ed è ancora molto poco studiato. Lo studio del gruppo di Galois del Fin dai tempi della fi losofia naturale dell'antica Grecia s'è posto il problema della

corpo Q„su Q> costituisce l'oggetto della teoria locale dei corpi di classi. divisibilità della materia, dello spazio/tempo e s'è rivelata l'opposizione continuo/Ogni estensione algebrica 6nita del campo Q„si puè ottenere come completa­ discreto, alla quale si riconducono in particolare le teorie atomistiche (cfr. atomo emento di un'estensione finita K del campo Q rispetto ad una topologia g-adica, molecola e, per le aporie relative alla divisibilità dello spazio ed al moto, dialett ica ).dove g è l'ideale primo, divisore di p nell'anello dei numeri interi del campo K. In questo articolo tuttavia si trattano precipuamente gli aspetti teoretico-numerici e al­

gebrici della divisibilità.I principali concetti di essa vengono presentati in rapporto ai numeri naturali ; in

5,3. Adeli e ideli. applicazioni si illustrano situazioni piu generali ove ha senso l'operazione di divisibilità.M a già l 'ambito r istretto dei numeri è sufi iciente a presentare concetti e st rument i ­

La topologia reale di Q e le sue topologie p-adiche esauriscono tutte le to­ come il massimo comun divisore o l 'algor i tmo d 'Eucl ide — di grande forza penetrativa.pologie che possono essere date mediante norme con la disuguaglianza trian­ Ed i problemi della teoria dei numeri (cfr. numero) sono tra i piu sottili ed intr icatigolare. Per molti aspetti è comodo considerare tutte queste topologie su uno della matematica. L'approssimazione dei reali mediante razionali è profondamente le­

stesso piano in un arco di questioni possibilmente piu esteso. Chiamiamo ognu­ gata, oltre che ad esigenze pratiche immediate (cfr. calcolo), ad una vasta gamma di fe­na delle immersioni Q ~ Q„, oppure Q ~ R del corpo Q in uno dei suoi comple­ nomeni, come la cosmologia teorica (cfr. stabilità/instabilità, cosmologie) o la teoria

tamenti punto di questo corpo; i punti Q~Q> si dicono 6niti, mentre il punto dei suoni musicali (cfr. suono/rumore) e l'armonia.

Q~ R si dice in6nito. (Questo linguaggio classico concorda con la terminologia Gli aspetti algebrici della divisibilità mettono in rilievo l'importanza delle strutture

della geometria algebrica, nella quale i punti Q ~ Q„corrispondono agli ele­matematiche. Nell'ambito generale della teoria degli anelli è possibile cogliere i legamifra la teoria dei numeri e la geometria algebrica (cfr. geometria/topologia, curve ementi massimali in Spec Z). L'oggetto piu grande, che riunisce tutte queste superfici), evidenziando il ruolo della dualità, e la distinzione fondamentale razionale /immersioni, è l'omomor6smo Q~ /Q „ , dove v si estende a tutti i punti di Q algebrico/trascendente.

sia finiti che infiniti. Gl i elementi di QQr sono successioni infinite (st„, st„x„ „ , ) , dove st„e R, st„s Q„ (al numero ac Q è associata la successione (st, ct, ...))e dove ogni coordinata di questo vettore viene considerata quale elemento delcorrispondente completamento.

L'anello QQs è molto grande. In esso gli elementi (ct, st, ...), ctc Q, soddi­8

sfano una limitazione ulteriore : tutte le loro coordinate, ad eccezione di un nu­mero finito, sono numeri interi nel corrispondente completamento (fanno ec­cezione i divisori del denominatore di x e, eventualmente, ~). L ' insieme ditutti gli elementi di QQ„ che soddisfano questa condizione si chiama anello

1i

degli adeli del corpo Q (questo insieme è chiuso rispetto alla somma e al pro­dotto e contiene o e r ). L'insieme di tutti gl i elementi invertibili di questoanello si chiama gruppo degli ideli del corpo Q.

Queste definizioni si estendono senza molte variazioni ad ogni estensione6nita K del corpo Q. I suoi punti finit i sono le immersioni K~ K s, dove gsono gli ideali primi dell'anello degli interi di K, mentre K< sono i completa­menti corrispondenti. I suoi punti infiniti sono l'immersione di K in R, o lecoppie di immersioni complesse coniugate di K in C; R o C sono i comple­tamenti corrispondenti. L'anello Az degli adeli è il sottoanello di QK„costi­

tuito dai vettori, le cui coordinate sono quasi ovunque intere; il gruppo degliideli di K è i l gruppo degli elementi invertibili di Az . i suoi elementi hannotutte le coordinate non nulle, e queste sono quasi ovunque unità g-adiche.

Il linguaggio degli adeli e degli ideli è largamente usato nelle indagini con­temporanee nella teoria dei numeri algebrici, nella teoria dei corpi di classi,nell'aritmetica delle varietà algebriche. [JU. r. M.].

r27 Dualità

Dualità assenza di contrassegni ». Il principio della classificazione dicotomica di alcuneclassi di oggetti consiste nel fatto che a ) si sceglie una certa famiglia di con­trassegni, e b) ogni oggetto viene caratterizzato in relazione a tale famiglia da unasuccessione, ad esempio, di zeri (assenza del dato contrassegno) ed uni (sua

Scopo principale di questo articolo è la descrizione dei differenti impieghi presenza). Cosi Jakobson, Fant, Halle hanno proposto una classificazione dicoto­della parola 'dualità' in quanto termine matematico. La dualità, e i termini ana­ mica di tutti i possibili suoni del discorso nelle diverse lingue del mondo, fondataloghi (coniugazione, reciprocità) figurano nella denominazione sia di costruzioni su dodici coppie di contrassegni differenziali, tra i quali vocalico/non-vocalico,generali (dualità degli spazi lineari, funtori aggiunti ) che di teoremi particolari consonantico /non-consonantico, nasale/orale, ecc. Secondo questi contrassegni(dualità di Poincaré, legge di reciprocità di Artin ). In tutte le varie utilizzazioni r è vocalico/consonantico/orale (i io ), e A (i-breve) è non-vocalico/non-conso­della parola è contenuta l'idea di simmetria bilaterale di un oggetto, una costru­ nantico/orale (ooo). La classificazione in generale è uno dei piu semplici e piu im­zione o una teoria matematica. Tale simmetria può non essere completa : gli og­ portanti strumenti dell ' indagine scientifica. La classificazione dicotomica dalgetti legati dalla dualità possono avere natura differente. punto di vista della matematica conduce ad una scoperta importante: la crescita

L'idea di dualità ha un carattere estremamente generale. È naturale che essa logaritmica, cioè molto lenta, della quantità d'informazione in dipendenza dallatrovi una sua espressione anche in altri campi della ricerca scientifica. Fra le cor­ molteplicità degli oggetti studiati. Sei risposte si /no permettono di descrivererelazioni piu vicine alla dualità matematica si trovano, ad esempio, il principio univocamente un qualsiasi oggetto (suono del discorso) scelto fra 64, il che ba­delle classificazioni dicotomiche, le «opposizioni » dello strutturalismo contem­ sta per la maggior parte delle lingue del mondo ; dodici segni, in linea di prin­poraneo (linguistica, etnografia), la «complementarità» nella fisica quantistica, cipio, possono bastare per la descrizione di 2 = 4096 suoni. Una risposta si/noinclusa l'interpretazione piu ampia che ne dà Niels Bohr. Una esposizione pura­ porta una unità d'informazione. L'organizzazione del materiale secondo l'anticomente matematica della teoria della dualità, senza alcun legame con tali conce­ principio della dicotomia conduce a numerare ogni oggetto con un numero bi­zioni, sarebbe unilaterale, Pertanto l'introduzione sarà dedicata a questi aspetti nario, come nella notazione posizionale molto diffusa nei calcolatori contempo­meno formali della dualità. ranei. Una buona classificazione dicotomica, evidentemente, si differenzia da

un'arbitraria numerazione binaria per il fatto che le posizioni degli zeri /uni nonDualità fenomenologiche. In varie discipline si possono individuare numerose sono arbitrarie, ma corrispondono a contrassegni rilevanti degli oggetti. Ogni po­

contrapposizioni a coppie nel sistema dei concetti fondamentali direttamente con­ sizione definisce una famiglia di oggetti contrapposti a due a due, che differi­nessi con il materiale osservato. Cosi, dai dati di sistemi mitologici differenti si scono solo per il contrassegno ad essa corrispondente.ricostruiscono le opposizioni fondamentali della concezione arcaica del mondo : Tutte queste caratteristiche della dicotomia, che spiegano la sua fondamen­caos/ordine (nei miti cosmologici ), terrestre/celeste, sinistro/destro, rosso/nero, tale importanza, raramente s'incontrano allo stato puro. La d iscretizzazionemaschile/femminile. Esse si fondano sull'esperienza diretta, anche se subiscono della scala continua di gradazioni di un contrassegno in due valori può risultareuna complessa simbolizzazione nel sistema. A questa stessa classe si possono ri­ troppo rozza per altri scopi. Non tutte le z" combinazioni di n contrassegni pos­condurre quelle coppie di categorie della scienza contemporanea come fenotipo / sono risultare possibili o equiprobabili :cosi la vocalicità del suono si combinagenotipo in biologia o particella/antiparticella in fisica. La scoperta di queste soprattutto con la sua non-consonanticità, e viceversa, in accordo con la gram­coppie spesso è accompagnata anche dalla scoperta di una loro disparità di ruoli matica elementare. (?ueste correlazioni o regole di interdizione definiscono una(rottura della simmetria ). Nel nostro mondo predomina nettamente la mate­ certa struttura nell'insieme dei contrassegni, che spesso è piu importante dellaria, e non l'antimateria. Negli organismi viventi viene usata e prodotta solo una struttura dell'insieme degli oggetti: le leggi scientifiche si possono formulare indelle due forme specularmente opposte di sostanze otticamente attive (Pasteur) : termini di proprietà, ma non di cose.ad esempio nell'uomo la forma destrogira del glucosio, e non quella levogiradel fruttosio. Le opposizioni, che regolano importanti aspetti della vita sociale e Complementarità. Al l i vello successivo l'idea di dualità si traduce nell'indi­della cultura, non sono simmetriche : uno degli elementi della coppia viene con­ viduazione di alcune coppie di categorie di carattere metodologico. In termini disiderato «proprio», «buono», «normativo», in contrapposizione a «estraneo» e queste categorie si può descrivere il metodo di un'indagine concreta, il proce­«cattivo». Si vedano le tracce dell'antica relazione della destra con il buono, con dimento di elaborazione del materiale e di rappresentazione dei risultati. Inol­il giusto, e della sinistra con il cattivo, con l'impuro, ecc., nella semantica delle tre in ogni indagine concreta domina in genere soltanto uno dei membri dellaparole moderne: in inglese right, sinister, in francese droit, in russo tit'aax m. coppia.

Categorie di questo genere sono : analisi/sintesi, soggetto/oggetto, causa/fineDicotomie e contrapposizioni. Ad un l ivello superiore di astrazione rispetto (in biologia: un organo esiste perché..., oppure affinché... ), immagine/sfondo,

alle coppie considerate in precedenza appartengono le opposizioni «presenza/ sincronia/diacronia (in linguistica ), continuo/discreto, ecc. Molte di queste cop­

Dualità rz8 DualitàI29

pie manifestano gli aspetti caratteristici della complementarità. Essa si manife­ naturali il soggetto osservante analizza alcune caratteristiche del sistema osser­sta nel fatto che la descrizione in termini di uno qualsiasi dei membri della cop­ vato, che egli si rappresenta come completamente isolato attraverso l'esclusionepia è incompleta, mentre le descrizioni simultanee in termini di entrambi i mem­ delle azioni estranee. In elfetti all'atto stesso della misura il sistema cessa di es­bri risultano incompatibili. Nello stesso tempo nessun elemento della coppia è sere isolato, diventando parte di un unico complesso osservatore+osservato.semplicemente la negazione dell'altro nel senso classico della parola. Perciò si analizzano in realtà alcuni parametri di questo sistema complessivo. È

Il termine stesso 'complementarità' è stato introdotto da Niels Bohr all'epo­ necessario ancora sottolineare che in meccanica quantistica l'unificazione di que­ca della fondazione della meccanica quantistica per caratterizzare opposizioni sti sistemi comporta dei legami forti e non classici tra le parti.quali onda/particella. Non è questo il luogo per entrare nei particolari del signi­ficato classico di tali termini. È sufficiente dire che la luce, descrivibile classi­ Dualità, matematica e linguaggio. An che i primi esempi di dualità matematicacamente con equazioni d'onda, manifesta la sua natura corpuscolare ad esempio hanno avuto origine da «materiale osservabile»: numeri e figure. Se ne porteran­nell'eAetto fotoelettrico, dove ogni atto di assorbimento di luce di frequenza v no qui due esempi: la costruzione del piano proiettivo e la legge di reciprocitàda parte di un atomo è accompagnato dal trasferimento di un'energia hv (o, con quadratica.piccola probabilità, di un multiplo intero di hv, ma mai di, ad esempio, hv/z). Piano p r o i e t t i vo . S u l consueto piano euclideo per due qualsiasi pun­Queste porzioni sono i fotoni. Viceversa, come è stato scoperto in seguito, una

ti passa esattamente una retta, ma non è detto che due rette arbitrarie si inter­particella come l'elettrone, che senza dubbio dal punto di vista classico è una par­ticella e non un'onda, nella diffusione in un reticolo cristallino manifesta la sua sechino esattamente in un punto : le coppie di rette parallele sono un'eccezione.

Poncelet e Gergonne (intorno al i8zo ) dimostrarono che di questa asimmetrianatura ondulatoria. Questo dualismo si concretizza oggi in apparecchi scientificici si può liberare estendendo il piano euclideo a quello proiettivo. Il piano proiet­di uso corrente: l'astronomo che, con esposizione di molte ore, raccoglie i fotoni l

tivo si ottiene da quello euclideo aggiungendovi una «retta all infinito», i cuisu una lastra fotografica, sfrutta i «corpuscoli di luce», mentre il biologo che la­punti siano in corrispondenza biunivoca con i fasci di rette parallele del pianovora col microscopio elettronico riesce ad ottenere un ingrandimento impossibileeuclideo. Ogni retta L interseca la retta all'infinito nel punto che corrispondenella banda ottica grazie alla piccolezza della lunghezza d'onda associata all'elet­

trone. al fascio delle rette parallele ad L.L'intero insieme dei punti e delle rette del piano proiettivo soddisfa alle se­Per Bohr la complementarità degli aspetti ondulatori %orpuscolare consi­

steva, in particolare, nell'impossibilità che entrambi questi aspetti si manifestas­ guenti condizioni :

sero simultaneamente in un unico esperimento. Solo l'interazione della radiazione r) Per due punti arbitrari distinti passa esattamente una retta,o del fascio di elettroni con un sistema macroscopico di tipo speciale (lo stru­ z) Due rette arbitrarie distinte si intersecano, esattamente in un punto.mento) conduce al fenomeno osservato, che noi classifichiamo nei casi estremi Una serie di altri assiomi della geometria piana assume un aspetto simme­come ondulatorio o corpuscolare. Nei casi intermedi entrambi i modi di descri­ trico rispetto allo scambio retta/punto con la conservazione della relazione «lazione classici risultano solo limitatamente applicabili. Inoltre alcune coppie di

retta ed il punto sono incidenti » (che è l'equivalente simmetrico delle relazionigrandezze classiche (come posizione/impulso di una particella) vengono a trovar­ «il punto giace sulla retta» e «la retta passa per il punto» ). Perciò tale sostitu­si, in meccanica quantistica, in rapporto di complementarità, cessando di esserezione permette di raddoppiare automaticamente il numero di teoremi sul pianocontemporaneamente misurabili con un arbitrario grado di precisione. Nel ) g del­ proiettivo. La peculiarità di questo esempio consiste nell'introduzione del nuovol'articolo si descriveranno i modelli matematici di tali coppie di variabili coniu­concetto di punti «ideali » o «all'infinito» del piano euclideo, le proprietà dei qualigate, e si darà la formulazione precisa del «principio d'indeterminazione» di Hei­sono dettate proprio dalla condizione che la simmetria incompleta di un oggettosenberg, che stima il prodursi di una dispersione attorno al valor medio di dueiniziale acquisti completezza.osservabili che non commutano. A questo principio si è attribuita un'importanza

La dualità proiettiva è stata una delle fonti della piu generale e profonda teo­particolare nei primi anni della fondazione della meccanica quantistica. Oggi noiria della dualità degli spazi lineari, per i cui aspetti algebrici cfr. ) z.t.

comprendiamo che esso è solo una semplice conseguenza dei suoi postulati fon­damentali, dalla quale questi stessi postulati non possono in alcun modo essere Legge d i r e c i p r o c i t à q u a d r a t i ca . S i ano n ed m due numeri interi,dedotti. Un numero m si chiama residuo quadratico modulo n se esiste un intero x tale

Senza riferirsi a modelli teorici particolari, Bohr mise in luce un aspetto qua­ che m ed xt divisi per n dànno lo stesso resto. Nel caso contrario m viene dettolitativo della complementarità quantistica: l'influenza inevitabile e non prevedi­ non-residuo quadratico. Ad esempio g è un non-residuo quadratico modulo 5bile dell'osservazione sul sistema osservato. In tale formulazione la complemen­ e p, ma è un residuo quadratico modulo r r (g' diviso r z dà resto g).tarità ha un'implicazione filosofica, presentando sotto una nuova luce il dualismosoggetto/oggetto che pervade tutta la scienza. In tutti i procedimenti delle scienze Si definisce il simbolo di Legendre ( — ), per due numeri interi m ed n primi

n

Dualità I30 13I Dualità

/mi di superamento della contraddizione onda/particella in meccanica quantistica.tra loro, mediante la condizione ( — ) = i. se m è residuo quadratico modulo n;n Questo esempio è caratteristico: esso mostra come la matematica svolga un

m= — i in caso contrario. ruolo di effettiva mediazione nella descrizione della sintesi dei membri com­

n plementari di una opposizione. La semantica della matematica, come linguag­La parte piu importante e di piu semplice formulazione del teorema detto gio, è libera; uno «spazio lineare» dal punto di vista di una interpretazione

legge di reciprocità quadratica afferma che se p e q sono due differenti numeri «realistica» è un recipiente vuoto, pronto per essere riempito di significati di­

primi dispari, allora ~ — ~ ­ = ( — i) ~ s . Per esempio, ( — ) ( — ) = ( — i) (i) =versi. Uno spazio lineare e lo spazio lineare ad esso coniugato formano una cop­pia universale di concetti, la simmetria della cui descrizione matematica libera il

Che questa simmetria sia inattesa dipende dal fatto che nella definizione del cervello dalle restrizioni accumulate dalla semantica del linguaggio comune. Le/P't. possibilità di quest'ultimo, in tale campo, sono estremamente limitate e non of­

simbolo — i numeri p e q entrano in modo molto asimmetrico : q come divisore(q) frono una valida alternativa (cfr. anche i modelli matematici e filosofici delle

e p come dividendo. opposizioni causa/fine, casuale/deterministico).D'altra parte il l inguaggio naturale possiede senza dubbio alcune qualitàCome fatto sperimentale la legge di reciprocità avrebbe potuto essere osser­

complementari (le quali hanno permesso, ad esempio, di descrivere propriovata 6n dai tempi dell'antichità (fornendo un bellissimo esempio di magia pita­ il concetto di complementarità senza essere legati a sue realizzazioni troppogorica dei numeri). In realtà fu scoperta da Eulero, e la prima (incompleta ) di­mostrazione fu data da Legendre. Gauss propose otto differenti dimostrazioni rigide).

Il pensiero mitologico, poetico, umanistico (ed a livelli diversi anche delledella legge di reciprocità quadratica. Esse si basano su principi diversi e mettonoscienze naturali ) trova un altro sbocco risolvendo i suoi problemi di sintesi me­in luce aspetti diversi di questa notevole simmetria. Dal punto di vista contem­diante la complementarità : esso edifica costruzioni linguistiche lontane dalla pre­poraneo essa è risultata inclusa nella profonda teoria dei corpi di classi, in cui cisione, ambigue, irritanti, ma che stimolano l'immaginazione, La correlazione,hanno importanza alcune dualità generali — la dualità di Galois (estensioni di già rilevata da Schleicher in molti linguaggi indoeuropei, dell'idea di 'due' concampi/gruppi); la dualità dei gruppi abeliani (gruppi/caratteri); la dualità di

Fourier — e le loro concrete realizzazioni aritmetiche. l'idea di 'dubbio', 'timore' (o 'duplicazione' ) (si veda il tedesco Zreei/Zzueifeln,il greco 8o<ác/8o<ii, il latino duo/dubius) è riscontrabile a tutti i l ivelli dell'atti­

Proprio queste signi6cative osservazioni matematiche furono storicamente vità linguistica sociale, fino alla comparsa della «doppiezza» come tema della let­il fondamento dell'individuazione del concetto generale di dualità. Nel $ x sa­ teratura mondiale (dai «romanzi del terrore» 6no a Dostoevskij ). La naturaleranno esposti alcuni esempi fondamentali che illustrano la struttura algebrica e reazione positivistica all'abbondanza di testi ambigui nella letteratura al confinele applicazioni della dualità. Il $ z è dedicato al ruolo del linguaggio categoriale, fra scienza e filosofia della natura era inevitabile. L'espressione piu concisa diche permette di formalizzare ed uni6care sotto dualità concrete una serie di os­ tale reazione è nella famosa tesi di Wittgenstein «ciò che in generale può essereservazioni in precedenza eterogenee. Infine il ) 3 è dedicato alla relazione fra detto può essere detto chiaramente, e di ciò di cui non si è in grado di parlaredualità e continuità. occorre tacere». Secondo l'ironica classificazione di Bohr questo detto esprime

Va sottolineato che, nonostante il continuo ampliarsi dello spettro delle co­ senza dubbio una profonda verità: esso è vero assieme alla sua negazione, che èstruzioni matematiche concrete, in matematica resta utile la stessa idea inde6nita anch' essa una profonda verità. Tuttavia val la pena di pensare agli enormi filonidi dualità, potenzialmente aperta e non ridotta a nessuno dei contesti in cui la della cultura e dell'attività umana sui quali incombe il divieto dell'imperativo diparola 'dualità' sia usata come termine tecnico. Wittgenstein inteso letteralmente. Il medico è disposto ad apprezzare grande­

A maggior ragione ciò riguarda la semantica delle dualità matematiche, quan­ mente la chiarezza di giudizio del 6siologo, ma egli stesso è costretto ad elabo­do esse appaiono nell'apparato delle scienze applicate. rare troppi fatti in troppo poco tempo ed a parlare, non riuscendo ad essere chiaro.

Per esempio si può notare che nella maggior parte delle dualità matematichesi considerano versioni concrete della opposizione generale locale/globale neisuoi diversi aspetti. Esempio tipico : un vettore nello spazio (locale) / un funzio­ Esempi fondamentali: discreti e a dimensionefinita.nale sullo spazio (globale). Oltre a ciò, le piu importanti costruzioni della dualitàammettono come sovrastruttura alcuni nuovi oggetti che sintetizzano i membri Dualità booleana.della coppia in un'unica struttura spesso simmetrica rispetto a questi membri.Allora il confronto dei singoli membri della coppia con il locale o con il globale Formalismo. Si consideri un insieme B, nel quale siano dati due elementiperde il suo significato assoluto : ciascuno di essi può essere locale da un certo pun­ specificati o,i eB, due leggi di composizione binarie A (intersezione o molti­to di vista e globale da un altro punto di vista. Proprio questo è il meccanismo plicazione) e V (unione o somma), e un'operazione ' (complemento). La strut­

Dualità i32 i33 Dualità

tura B = (B; o, i; R, V; ' ) si chiama algebra booleana se sono soddisfatti i se­ Q uesta osservazione conduce ad alcune conseguenze. La prima di queste è ilguenti assiomi : principio di dualità nella metateoria delle algebre booleane, che permette senza

i ) Per tutti gli aeB si ha (a')'=a, o'= i , i ' = o. sforzo di «raddoppiare» il numero delle identità booleane dimostrabili. Invero,

z) Le operazioni R, V sono associative e commutative, cioè per ogni a, b, c E B sia data una qualsiasi identità booleana di validità generale, cioè che rimane veracoinunque si sostituiscano le lettere che compaiono in essa con elementi arbitrari

a R b = b R a (a R b) R c = a R (b R c) di una qualsiasi algebra booleana. Allora, invertendo in essa o e i, e R e V, siaVb = bVa aV(bVc) = (aVb)Vc. ottiene ancora un'identità di validità generale.

Questo principio, che è un corollario della simmetria della teoria, è visibile3) Le operazioni R, V sono distributive l una rispetto all'altra, cioè per ogni già a livello di assiomi. Non ci sono molti esempi del genere; si può ancora ci­

a,b,c@B tare la dualità proiettiva e la dualità delle iper-algebre (cfr. $ i.g).aV(bRc) = (aVb) R(a Vc) a R (bV c) = (aRb)V(aRc). Un'altra conseguenza è la possibilità di costruire per ogni algebra booleana

B=(B; o, i ; R, V; ') l'algebra booleana ad essa duale B~ = (B~; o~, i~; R~,y) Le operazioni R, V sono duali rispetto a ', cioè per ogni a,bcB V ~; '~), dove B~=B , o~ = i, R ~= V , V ~ =R, ' ~ = ' . L a s immetria degli as­

(a V b)'= a'R b' (a R b)'= a' V b'. siomi mostra che B~ è un'algebra booleana; evidentemente (B~)* = B.L'esistenza di un oggetto duale è un aspetto caratteristico di una serie di teo­

g) Per ogni aeB si ha a Va= a Ra = a , i R a = a e o Va = a . rie. Tuttavia è raro che esso sia canonicamente isomorfo all'oggetto iniziale. Nella

Esempio . L 'i n sieme(o, x) costituisce la piu semplice algebra booleana teoria delle algebre booleane accade proprio cosi, nel che si manifestano le pro­

B, di due elementi con le operazioni aV b=max(a, b), aRb = min(a, b), prietà di simmetria dell'operazione '.a' = i ­ a. In generale l'insieme B dei «codici binari » di lunghezza n, cioè delle Invero, l'applicazione B~B~ : a~a' è un isomorfismo dell'algebra B con

successioni di n zeri/uni, forma un'algebra booleana di z" elementi. Per addizio­ l'algebra duale B~.

nare o moltiplicare due siffatte successioni occorre compiere la corrispondente Se s'interpreta ' come un'operazione di complemento (per esempio nelle al­

operazione sui simboli binari di ciascun posto, e scrivere il risultato nello stesso gebre J (S)), allora diventa chiaro fondamento significativo del principio di dua­posto. Per esempio, (oi io ) V (i ioo ) = ( i i io ), (o io ) R (ioi ) = (ooo). lità: il complemento insiemistico scambia di posto o = g co n i = S e U con A.

Gli schemi elettronici che realizzano tali operazioni booleane erano tra le La teoria delle algebre booleane, date dagli assiomi i-g come oggetti di teo­

fondamentali unità di struttura dei calcolatori delle prime generazioni. ria degli insiemi, ha un ulteriore aspetto logico. Essa si rivela, passando al lin­guaggio duale, un «calcolo degli enunciati » (alla nuova e non formale dualità

Nell'introduzione si è già parlato dei legami fra la numerazione binaria e la linguaggio/modello che appare qui si tornerà nel $ z).classificazione dicotomica. Se si interpreta il segno % nella i-esima posizionecome indicazione di presenza/assenza dell'i-esimo contrassegno, allora ogni ele­ Algebre booleane e logica.mento dell'algebra booleana B„descrive un certo insieme di oggetti classifica­bili : per esempio (o i io ) corrisponde agli oggetti che posseggono il secondo e il L inguaggio d e g l i e n u n c i a t i .

terzo contrassegno, ma non il primo e il quarto. In logica formale i segni R, V, ' sono usati per denotare connettivi logici:

Esempio . S e S è un insieme qualsiasi, allora l'insieme di tutte le sue parti le operazioni «e», «o» (non esclusivo: vel ), «non», usate per congiungere al­B = J (S) forma un'algebra booleana con dati strutturali (o = g , i = S; A, U ; cuni enunciati in uno nuovo. Il l inguaggio formale degli enunciati consiste di

complemento insiemistico in S ). espressioni in un alfabeto finito, ottenute da espressioni di una sola lettera o

Esempio . S e S è uno spazio topologico, allora il sistema dei suoi insiemi (falso), i (vero), p,, ..., p„(enunciati atomici) mediante applicazioni successi­aperti regolari, cioè gli insiemi aperti con la condizione a"= a, dove l'elemento a' ve di queste operazioni ; ad esempio ((pi Rps) Vps)'. Alcune espressioni risultanoè definito come l'insieme dei punti interni al complemento di a, è un'algebra boo­ equivalenti dal punto di vista logico, per esempio p, Rp, e p, Rp,. Proprio nellaleana. Le operazioni V, R coincidono con U, g r i spettivamente. descrizione di una tale equivalenza consiste la descrizione della logica del lin­

guaggio. Si considereranno brevemente due logiche: quella classica e quella in­Nel seguito è descritto il legame di questi esempi rispettivamente con la logica tuizionista. La logica classica modella il meccanismo delle inferenze deduttive,

classica e con quella intuizionista. utilizzate dalla matematica consueta. La logica intuizionista modella una rela­A fondamento della dualità booleana sta la seguente osservazione: se negli zione piu ristretta di equivalenza logica, elaborata come risultato dell'analisi de­

enunciati degli assiomi i-g si scambiano di posto dovunque o con i, e V con R, gli aspetti positivi della critica intuizionista ai fondamenti della matematica, ini­si ottiene un sistema di assiomi equivalente. ziata da Kronecker e da Brouwer. Dal punto di vista dell'argomento di questo

Dualità r34 r35 Dualità

articolo, la differenza fondamentale tra la logica intuizionista e quella classica nell'ambito della teoria classica degli insiemi, se si considera come universo la

consiste nel rifiuto della simmetria della negazione : l'enunciato p" è logicamente classe V di «tutti » gli insiemi di Neumann-Zermelo-Fraenkeh Il complementoequivalente a p da un punto di vista classico, ma non dal punto di vista intuizio­ di un insieme di questa classe è una classe, e non un insieme, cosicché V~ p V.nista. In altre parole, nella logica intuizionista non è vera la legge del terzo L'essenza di questa critica consiste nel fatto che anche nei nostri modelli di

escluso. pensiero l'universo idealizzato nel quale lavoriamo è spesso incomparabilmentepiu grande del dominio degli oggetti sottoposti realmente ad investigazione, e ilEquivalenza log ica ne l l a l o g ica c lassica. S i ano P e Q due enun­ complementare di questa regione risulta quasi ipso facto inaccessibile.

ciati formati da enunciati atomici p„ . .., p„. Si consideri un'algebra booleana deltipo J(S) e si attribuiscano a p„..., p„degli arbitrari valori di P(S). Interpre­

Il trascurare questa critica nel nome dei vantaggi di una dualità ideale sembraessere una delle importanti sorgenti della forza della matematica classica.tando poi p„ v e ' come le operazioni A, U e complemento in J(S), si pos­

sono assegnare a P e Q dei valori in J (S). Gli enunciati P e Q sono equiva­lenti dal punto di vista della logica classica se per qualunque S e per qualsiasi r.z. Dualità degli spazi lineari.valore di pn ..., p„ in S i valori di P e Q sono gli stessi. Questo paragrafo è dedicato ad una delle costruzioni piu importanti. Sia per

Equivalenza log ica n e l l a l o g ica i n t u i z i on is ta . S i ano P e Q due il numero delle applicazioni e dei casi particolari che per la struttura generale, laenunciati formati da enunciati atomici p„ . . . , p„come sopra. Sia S uno spazio dualità degli spazi lineari può essere considerata il prototipo delle dualità matema­topologico. Si consideri l'insieme 9 (S) degli aperti di S, e si assegnino a p„.. . ,

p„dei valori qualsiasi da 9 (S). Interpretando poi ~, v e ' come le operazionitiche. Nel ) 3 vi si ritornerà, considerando nella discussione anche gli aspettitopologici.

g, U e «l ' insieme dei punti interni del complemento» in 9 (S), si possono as­sociare a P e Q dei valori in 9(S). Gli enunciati P e Q sono equivalenti secondola logica intuizionista se per ogni spazio topologico S e per valori arbitrari di

Linearità e spazi lineari. Sia k un campo(per esempio il campo reale R oil campo complesso C). Si ricordi che uno spazio lineare (o vettoriale) L su k èp„ . .., p„ in 9(S) i valori associati a P e Q sono gli stessi. un insieme di elementi (vettori ) che possono essere addizionati tra loro e mol­Da questa descrizione si può evincere il seguente risultato di Godei: nell'am­ tiplicati per elementi di k. Queste operazioni sono regolate da semplici assiomi.bito degli enunciati consistenti in doppie negazioni la logica intuizionista coin­

cide con quella classica. Esempio . S i a X un insieme. Le funzioni su X a valori in k formano unospazio vettoriale su k. Se X = (x, ..., n), una qualsiasi funzione di questo tipo

D ual i tà l o g i c a . può essere rappresentata come una famiglia indicizzata di numeri, o vettore n­Se P è un enunciato (nel linguaggio degli enunciati ), allora l'enunciato ad dimensionale (a„ . .., a„), a,ek. Lo spazio vettoriale corrispondente si indica

esso duale P" si ottiene per sostituzione di h c on V, di o con r, di tu t t i g l i con k", ed è chiamato spazio coordinato n-dimensionale (su k). Lo spazio linea­enunciati atomici che entrano in P mediante le loro negazioni, e negando il re L si dice a dimensione finita se esiste un isomorfismo di L con k", per un nrisultato. (Nel linguaggio dei predicati, che ha come strumenti di espressione opportuno, e a dimensione infinita in caso contrario. Questo numero n, se esiste,anche i quantificatori universale V ed esistenziale 3, occorre anche sostituire è definito univocamente e si dice dimensione di L. La scelta di un isomorfismoV con 3, e viceversa). Nella logica classica P e P~ sono logicamente equivalenti, di L con k" equivale all'introduzione di un sistema di coordinate in L. Si puònella logica intuizionista ciò non è vero. sostituire questa scelta con la scelta di una base in L, cioè di una famiglia di vet­

A simmet r i a d e l l a n e g a z i o n e . tori (1„..., l„), l;eL ta le che ogni vettore di L sia esprimibile univocamenten

La critica intuizionista mette in luce caratteristiche di asimmetria della ne­ nella forma g a;l;, a;ek

gazione, o passaggio al complemento, significative, in una opportuna interpre­ i =1

tazione, anche nella matematica classica. Probabilmente nelle scienze naturali l'aspetto piu importante dell'idea di li­Un esempio tipico di questa asimmetria si manifesta nella teoria dei sottoin­ nearità è il principio della linearità dei piccoli incrementi. Nella sua forma piu

siemi computabili dell'insieme dei numeri naturali N. Diremo che un sotto­ semplice esso postula che una funzione di argomento realef(x) goda della pro­insieme Ec:N è computabile se esiste un algoritmo che assegna gli elementi di prietà: f(x~+s) — f~(x)= cost s+ (infinitesimi di ordine superiore rispetto adE in un certo ordine. Si può dimostrare che esiste un insieme computabile E s), per s~o. Questo è il fondamento del calcolo differenziale e variazionale.tale che il suo complemento non è computabile. In questo modo l'operazione di Il principio di sovrapposizione in meccanica quantistica, che introduce una

complemento porta fuori dai limiti dell'universo degli insiemi computabili, che struttura vettoriale complessa sullo spazio delle funzioni d'onda di ogni sistemada molti punti di vista è l'ambiente naturale per la matematica algoritmica. fisico, ha elevato ancora di piu lo status ontologico della linearità. Nel suo lin­

Un modello analogo di asimmetria del passaggio al complemento si ottiene, guaggio, in particolare, si dà una descrizione precisa del dualismo onda/corpusco­

Dualità r36 137 Dualità

lo (cfr. anche ( 3). Infine, nei modelli fondamentali della fisica (meccanica ga­lileiana, teoria della relatività ristretta ), lo spazio-tempo è lineare su R, e nei mo­ Principi di dualità. Fi s sato un vettore lcL , si c onsideri l 'applicazione

delli della relatività generale. esso è « localmente in piccolo» lineare su R, cioè è L~ ~k che all'elemento f c L~ fa corrispondere f(l) ck. L'applicazione risultan­

una varietà differenziabile. Il principio di linearità dei piccoli incrementi è de­ te è lineare in f e perciò è un e lemento dello spazio due volte coniugato

scrivibile nel linguaggio della geometria differenziale.L~~ = (L~)~, A sua volta quest'elemento dipende linearmente da f; ciò defi­nisce l'applicazione lineare canonica P : L~L~~: l~ (f~f(1)).

E sempio : sp azio t a n g e nt e i n un p u n t o . S i a X una varietà diffe­ Il primo principio di dualità lineare è il seguente: L'applicazione canonicarenziabile. Lo spazio T,X ta ngente ad essa nel punto xcX è q u e l lo spazio P : L~L~~ è un'applicazione lineare iniettiva. Essa è un isomorfismo di spazivettoriale sui numeri reali che può essere definito nel modo seguente. Sia vettoriali se L è a d imensione finita.f : (o, 1) ~X un'applicazione liscia, cioè una «curva», passante per il punto x. La linearità di P è evidente dalla definizione. L'iniettività sta ad indicare chePer ogni funzione liscia F su X si può definire la derivata di F in x lungo f come il per ogni lcL esistefc L~ con f(l) go. Ciò si verifica facilmente per induzione

Fof(t +At) — Fof(t )transfinita, prolungando f su sottospazi crescenti di I. contenenti l. Che P sia un

lim isomorfismo nel caso a dimensione finita si verifica facilmente servendosi di una6t base in L, cioè di un sistema di elementi (1„..., l„) cL tale che ogni lc L si espri­

se f(t«) = x. Si chiama vettore tangente E c T,X la c lasse di tutte le curve f me univocamente nella forma g a l,, a,c k. Allora i funzionali I ~ c L~, per i qualiaventi gli stessi valori delle derivate per tutte le F. In tu i t ivamente un vettore «= i

tangente definisce ed è definito dalla classe di curve lisce passanti per il punto x l,~(l,) = o perij e 1 peri =j formano una base di L~ e, inoltre, P(l,) = (l;~)~,con la stessa direzione e con la stessa velocità istantanea. dove (l.;~)~ è la base di L~~ costruita in modo analogo.

Il vettore tangente E c T~ X definisce una derivazione dell'anello delle funzioni Nel caso a dimensione infinita il «biduale» L~~ costituisce una estensionelisce su X a valori in R : E,(aF+bG) =aEF+bEG, g(FG) = G(x)EF+F(x)EG, non banale di L (cfr. ( 3). Un uso analogo della doppia «dualizzazione» per ladove a,bcR e FF è la derivata di F lungo E„. costruzione di oggetti generalizzati s'incontra spesso nella sua variante catego­

Si ricordi che, se L e 1VI sono due spazi vettoriali su k, l'applicazione f : L ~ Mriale (prefasci su categorie: cfr. ) z).

è detta (k)-lineare se f(al,gbl») = af(l,)+bf(ls) Per ogni a,bck; l„l~c L.Siano L, M due spazi vettoriali, y : L ~ M un'applicazione lineare. A partire

da questa si definisce l'applicazione aggiunta p~ : 1VI~ ~L~, che al funzionaleEsempio . S e X , Y sono varietà differenziabili, f : X~ Y un 'applicazio­ f : M~k fa corrispondere l'applicazione compostafo@ : L~k. Si vede facil­

ne liscia, xcX, y = f(x), allora è definita un'applicazione lineare (df) : T,X~ mente che p~ è lineare se lo è rp, e che ()op)~= rp~ o$~. Applicando ancora~ T Y degli spazi tangenti. È questo il modello standard del principio di« una volta questa operazione si ottiene l'applicazione lineare p~~ : L~~~M ~~.«linearità dei piccoli incrementi»; (df) è detto differenziale dell applicazione Il secondo principio di dualità lineare è il seguente : Nell'identificazione ca­

f nel punto xcX. nonica di L~~ con L e di M~~ con M (L ed 1VI a dimensione finita ), l'applica­zione q~~ si identifica con ~ii.

Spazio duale. Sia L uno spazio vettoriale su k. Si dice funzionale lineare Se negli spazi L, M si fissano le basi (I,), (m,), allora le applicazioni cp sono insu L un'applicazione linearef : L~k. L' i nsieme di tutti i f unzionali lineari corrispondenza biunivoca con le matrici di dimensione (dim L, dim M) su k:2(L, k) su L si indica con L~ e si chiama spazio duale o coniugato di L. alla matrice (a;.) corrisponde l'applicazione l,~g a; m . Allora nelle basi(m~),

Es e m p i o. Lo spazio (T~X) ~= T ~X, duale dello spazio tangente nel pun­ (l~) all'applicazione cp~ corrisponde la matrice (a!;), dove a'; = a~; («riflessio­to x, si chiama cotangente. Ogni funzione liscia f su X definisce un elemento ne rispetto alla diagonale principale»), e l'applicazione ~li~~ corrisponde alladello spazio cotangente (df) c T ~X, per il quale (df)~(E)= E f se F c T,X. (Si duplice riflessione di questa matrice, il che rende ovvia l'uguaglianza y~~ = ~p.ricordi che E f è la derivata di f nella direzione E). « l'

Esempio . S i a C[o, tj lo spazio vettoriale delle funzioni continue su [o, 1]. Siano L ~ M ~N applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Si dice che esse for­

L'integrale di Riemann f ~ J«f(x)dx è un funzionale lineare su C[o, r], e Perciò mano un coinplesso se )ohi è l 'applicazione nulla, cioè se Im@ (immagine di

un elemento di C [o, t]~. Fissato ge C[o, t], si può considerare anche il fun­ p )aKerg ( nucleo di $) . Si d ice che questo complesso è esatto in M s e

zionale f~ f~f (x)g(x)dx. Diverse varianti di questa costruzione conducono, Im~li = Kerg. Una terminologia analoga si usa per le coppie di applicazioni

ad esempio, alla teoria della misura nel linguaggio della dualità degli spazi fun­ consecutive in successioni di lunghezza arbitraria ... ~ L' i ~ L « ~ L ' ~ 1~ . P e r

zionali (g(x)dx può essere sostituita da una misura piu generale dp.(x)), ed an­ esempio, il fatto che la successione o ~ L ~ M sia esatta significa che p è una inie­che alla teoria delle funzioni generalizzate (distribuzioni ) (cfr. $ 3).

zione di L in M, e che lo sia la successione M ~ N~o indica che$ è una surie­

Dualità t38 '39 Dualità

zione di M su N . (Qui o è lo spazio vettoriale consistente del solo vettore L'applicazione bilineare f : L X M~k de f in isce un'applicazione l ineare

nullo ). Ogni applicazione lineare L ~ M è inc lusa in una successione esattaL ~ M~ : l~ (m ~f(l, m)} e M~L~ : m ~ (l~f(l, m)}. Se f è non-degenere a si­nistra, L ~ M~ è una immersione ; sef è non-degenere a destra, M~ L~ è una

o ~ Ker p ~ L ~ M~ Coker y ~ o, dove, per definizione, Coker <p= M/Im q> è lo immersione. Da ciò segue che se f è non-degenere, le applicazioni L ~ M~ espazio quoziente di M ri spetto all'immagine di cp. M~ L~ sono isomorfismi. Essi sono mutuamente coniugati nel senso definito

L'ultimo, importante principio di dualità lineare che si ritiene di dover indi­ sopra, cosi che l'assegnare un'applicazione bilineare non-degenere f : L x M~kcare in questa sede può essere formulato nel modo seguente : Se la successione è equivalente ad assegnare una identificazione L ~ M~ oppure M ~ L~.

v ù y(4 (p% Si consideri ora il caso in cui M = L. Secondo quanto detto sopra, l'assegna­L ~ M~ N è esatta in M, al lora la successione N~ ~ M~ ~ L~ è esatta in M~.zione di un isomorfismo L ~ L~ è equivalente all'assegnazione di un'applicazione

Nel ) z si darà una sintetica formulazione categoriale che unifica tutti questi bilineare non degenere L x L ~ k o forma bilineare sullo spazio L. Nello spazioprincipi. euclideo si ha una forma bilineare canonica: il prodotto scalare di vettori; perciò

Sintesi di L e L~. A d i f fe renza di quanto avviene nella dualità booleana, lo spazio euclideo è identificato canonicamente con il suo duale, cosi come avve­

non esiste un isomorfismo canonico fra gli spazi vettoriali L e L*. La «sintesi » niva nell'esempio portato sopra.

di L e de l lo spazio ad esso duale L" de ve effettuarsi mediante un'ulteriore Forme or togonale e s imp l e t t i c a .struttura esterna.

Tra le piu importanti di tali strutture figurano l'assegnazione di un prodotto La forma bilineare f : L x L ~ k può essere analizzata rispetto a un altro ti­

scalare in L e la scelta di una particolare base in L. po di simmetria : quella relativa alla permutazione dei suoi argomenti. Sef (li lg) =f (lp li) per tutti gli ln l~ e L, la forma si dice simmetrica ; se invece

Lsempio : sce l t a d i u n a b a se . S i a L uno spazio a dimensione finit, f (I„ I,) = ­ f (ls, li), si dice antisimmetrica e, nel caso non-degenere, simplettica.e sia fissata in esso una base(I„..., I„). Allora in L~ è determinata una base(l i~), Una qualsiasi forma f si decompone nella somma di una componente simmetricadove l~~(l~)= 8;., cosa che permette di definire un isomorfismo L ~L~ : I; ~ l~ e di una antisimmetrica f++fi = i, ..., n. Un caso tipico in cui si ha una base assegnata è lo spazio delle fun­zioni su un insieme finito, per esempio l'anello di gruppo di un gruppo finito f~(li ls) = (f(li l~)+f(l~> li))(cfr. oltre).

Esempio : p ro dotto s c a la re . S i a E uno spazio euclideo a dimensionef ( l i l s)= (f (ll l~) f (ls li) )finita. Ciò significa che, comunque dati due vettori x,y c E, è definito il loro

prodotto scalare (x,y) e R, lineare in x e y ; (x, x) è il quadrato della lunghezzadel vettore x. L'applicazione E~ E~, che al vettore x fa corrispondere il funzio­ La teoria delle coppie formate da uno spazio L e da una forma non-degenere

nale y ~ (x,y) è un isomorfismo canonico di E con E~. La struttura esterna f assegnata su di esso viene detta geometria ortogonale (astratta) se f è simme­supplementare che permette di costruire tale isomorfismo è il prodotto scalare. trica, geometria simplettica se f è antisimmetrica. Sebbene per noi al centro

dell'attenzione si trovi l'identificazione di L con L~, definita daf, l'intuizione geo­L'assiomatizzazione delle proprietà caratteristiche di questo esempio con­ metrica originaria si basa sulla rappresentazione di f (I, I) come «quadrato del­

duce all'importante concetto di applicazione e forma bilineare su uno spazio vet­ la lunghezza» del vettore I, in analogia con il caso euclideo k = R, L = Rs,toriale. L'isomorfismo di uno spazio con il suo duale in tale contesto si realizzaabitualmente mediante forme di una fra due classi : ortogonale o simplettica. f ((x„x„ xs), (xi xs xg)) = g x',. Ciò conduce, per esempio, allo studio del grup­

s=l

Appl icazioni 'b i l i near i . po dei movimenti dello spazio L, gli automorfismi lineari che conservano la«metrica» ~~ I ~ a= f (I, I), ecc.Siano L, M, N spazi vettoriali. L'applicazionef : L X M~N si d ice bilinea­

Sebbene storicarnente la geometria ortogonale si sia trovata a lungo al cen­re se è lineare in ciascuno dei due argomenti l e L, m e M, quando l' altro è

tro dell'attenzione, a poco a poco le strutture simplettiche si sono guadagnatefissato. Un esempio è l'applicazione bilineare canonica L~ x L~ k : (l~, I) ~ l~ (I), un ruolo di parità e si riconosce il loro ruolo fondamentale proprio nelle si­Nucleo sinistro (risp. destro) di un'applicazione bilineare f : L x M~N si d ice tuazioni in cui oggetti duali sono congiunti in uno unico.l'insieme di quei vettori l e L (risp. m e M) tali che f (I, m) = o per ogni m e M(risp. per ogni le L). Un'applicazione bilinearef si dice (algebricamente) non­ Esempio : geomet r i a s im p l etti ca su L~ X L. Si a L uno spazio vet­degenere (risp. non-degenere a sinistra, a destra), se entrambi i suoi nuclei toriale, L~ il suo duale. La somma diretta L~ x L consiste delle coppie (f,l),(risp. sinistro, destro ) sono uguali a zero. L'applicazione bilineare canonica f e L~, le L. Su L~ x L si ha una forma antisimmetrica canonica non-degenereL~ X L ~ k è non-degenere. ( ) ' (( fi li) ( fs ls))= fi (lg) fg (li) La restrizione di questa forma ai sotto­

I4I DualitàDualità I40

spazi L,L" c L~ x L è identicamente nulla. Inoltre L ed L~ sono sottospazi Una sezione liscia dell'applicazione ir : TX~ X si chiama allora campo vet­

massimali con questa proprietà. Si può dimostrare che ogni sottospazio a di­ toriale, una sezione liscia di ir~ : T~X~X, fo rma differenziale(di grado i) su

mensione finita M, su cui sia data una forma simplettica non-degenere, è iso­ X. Gli spazi D(X) dei campi vettoriali, e Q (X) delle forme differenziali sono

morfo ad uno spazio del tipo L ~ x L. La scelta di un tale isomorfismo equivale al­ lineari e ad infinite dimensioni; su di essi è definita un'applicazione bilineare

la scelta di due sottospazi lagrangiani complementari in M: i sottospazi di di­ canonica D (X) x Qi (X) ~ C (X) nello spazio delle funzioni lisce, cioè dei cam­

mensione massimale sui quali la restrizione della forma siinplettica sia identi­ pi scalari su X.

camente nulla. Se sulle fibre di TX è data una forma ortogonale(risp. simplettica ) non­

Esempio : a l g e br a d i G r as s m ann . S i ano k un campo e xi, ..., x„ degenere che dipende in modo liscio da x, allora X viene detta varietà pseudorie­

n variabili indipendenti su k. Si consideri un anello (non commutativo ) A su manniana (risp. simplettica).k, generato da x„ . . . , x„, con le relazioni anticommutative x;x~ = — x,x; per Una varietà pseudoriemanniana si dice riemanniana se tale forma è defi­

ogni i, j =i , „ „ n (in particolare, xe~= o). Se tutte le rimanenti relazioni sono nita positiva. Su una varietà pseudoriemanniana, in un sistema locale di coordi­

conseguenza di queste e degli assiomi di k-algebra, allora A si chiama algebra nate (x', ..., x"), il «quadrato della lunghezza» di un piccolo vettore tangente

di Grassmann con un sistema di generatori fissato xi, ..., x„, Sia A'c:A i l sot­ con origine in (x', , x") e fine in (x +dx' , ..., x" +dx"), per tradizione si in­

tospazio formato dai polinomi omogenei di grado i, A = k. Si può verificare dica con P g;.Cx'dx~.che la dimensione di A' è uguale a

Esempio : s t r u t t u r e r i e m a n n i ana e s i m p l e t t i c a i n m e c c a n i c a ,

(n) n(n ­i )...(n — i+i) Sia X lo spazio delle configurazioni di un sistema meccanico, TX il suo fi­i( i! brato tangente. Se (q„..., q„) sono coordinate locali su X, le coordinate locali

su TX si esprimono in genere nella forma(q„..., q„, q„ . .., q„) : nel vettore tan­in particolare A" = k x,...x„, e A~ = o per j) n. La moltiplicazione A' x A"-' ~A"gente (e T,X i l valore di q; è uguale a q; (x), e il valore di q; è uguale a Eq;.definisce una forma bilineare non-degenere y;: ab= pi (a,b)x,...x„, ove aeA',

beA" '. Perciò A' s ' identifica con(A" ')~. Sulla parte «dispari» dell'algebraL'energia cinetica del sistema spesso ha la forma P a,,(q„...,q„)q;q~, cioè di­pende quadraticamente dalla velocità. Se questa forma è positiva e non-dege­A '+' la forma ~p„+, è antisimmetrica se n è pari, sulla parte pari A ' è simmetrica.

L'algebra di Grassmann senza generatori fissati può essere definita come nere, essa definisce una metrica riemanniana Pa,,dq;dq, sullo spazio delle con­figurazioni X,l'algebra generata dalle applicazioni multilineari antisimmetriche

Le equazioni di evoluzione del sistema in forma hainiltoniana si scrivonof : Lx...x L~k, per una traiettoria nello spazio delle fasi di questo sistema, che è definito come

il fibrato cotangente T~X. Queste equazioni si scrivono in termini della strutturasimplettica canonica su T~X. Il meccanismo della sua costruzione è analogo a

dove L è uno spazio a dimensione finita. Essa si indica con AL*. quello del caso L~ x L: lo spazio lineare M = T„(T~X) contiene T~X, dove xNei modelli fisici i polinomi commutativi e anticommutativi corrispondono è l'immagine di y su X, in qualità di sottospazio, e lo spazio quoziente rispetto

a particelle elementari con statistiche diverse: bosoni e fermioni. La teoria uni­ ad esso è isoinorfo a T X. L' assenza di una decomposizione diretta è compen­ficata di entrambi i t ipi di particelle richiede l'esame di algebre una parte dei sata dalla condizione che la forma simplettica sia liscia e chiusa.cui generatori è commutativa, mentre l'altra è anticommutativa, e dell'interes­ Questa forma simplettica ha un ruolo fondamentale nella formulazione dellesante nuovo apparato della «supersimmetria». equazioni di evoluzione della meccanica hamiltoniana.

Nella geometria e nella topologia differenziali hanno un ruolo importante le Esempio : d u a l i t à d i Poin c a ré . I n t o pologia si ha una serie di co­

varietà differenziabili X sui cui spazi tangenti T,X, x@X, siano date strutture struzioni che permettono di associare a uno spazio topologico X e a un campo

del tipo del prodotto scalare, che variano in modo liscio con x. k il suo anello di coomologia a coefficienti in k : H~ (X, k). Per esempio, se X èLa regolarità rispetto ad x qui e nel seguito va intesa nel modo seguente: una varietà differenziabile, k = R, si può considerare il cosiddetto complesso di

l'unione di tutti gli spazi tangenti TX= QT~X può essere dotata di una strut­ De Rham su X; Esso è una successione di spazi lineari Q'X (le sezioni lisceaeX del fascio A' T*X ) e d i applicazioni d, : Q'X~Q'+ iX, che qui non si definiran­

tura di varietà differenziabile in modo tale che la proiezione ir : TX~X (chead un vettore tangente nel punto x associa il punto x ) sia un'applicazione liscia. no. Allora per definizione H~ (X, R) = Q+ H'(X, R) e H'(X, R) = Ker d;/I md;i.

i =O

Un'osservazione analoga si può fare per T~X= QT~~X, TX xz TX=Q (T X x La moltiplicazione in H~ (X,R) è indotta dalla moltiplicazione grassmannia­xcX xeX

x T X), ecc. TX prende il nome di fibrato tangente ad X, e T~X di fibrato co­ na, o esterna, in A'T~ (X). Se n = dim X, e X è connesso ed orientato, allora

tangente. H"(X) R , e la scelta di questo isomorfismo definisce una forma bilineare

Dualità I4z '43 Dualità

non-degenere H' (X) x H" '(X) ~R, che fornisce anche uno degli aspetti della Q+ L@> pxL~ "«si dice algebra tensoriale su L (la moltiplicazione è quella ten­dualità di Poincaré: H' (X) (H" '(X))~. Non si può qui accennare all'altro é> V~0

aspetto, la dualità fra coomologia ed omologia, ed anche alle sue molteplici soriale, con l'evidente commutatività dei fattori ).varianti e generalizzazioni. L'assegnare una forma non-degenere u : L x L~k definisce sull'algebra

tensoriale su L tutta una serie di strutture, che qui ora si elencherà con la no­

Algebra tensoriale e dualità. A p a r t i re da due spazi vettoriali L ed M, se ne menclatura classica. Sarà evidente che il ruolo di oi consiste proprio nel fissare

può costruire un terzo, il loro prodotto tensoriale LpxM. Questa costruzione ha un isomorfismo tra L e L».

un ruolo sempre crescente nella matematica contemporanea. Oltre alle appli­ T ensore m e t r i c o .cazioni classiche nella teoria delle rappresentazioni e nella geometria differen­ziale, i prodotti tensoriali sono stati molto usati nell'algebra commutativa: un È la stessa forma oi, considerata come tensore di (L pxL)~ L~ p xL~. Que­prodotto tensoriale di anelli si trasforma nel prodotto diretto dei loro spettri sta denominazione in genere si usa quando oi è simmetrica (su R).nella categoria duale (cfr. ) z). Il formalismo dei prodotti tensoriali viene usatoin modo essenziale nella descrizione quantistica dell'unione di piu sistemi: la I nnalzamento e abb a ssamento d e g l i i n d ic i .

funzione d'onda di un sistema unione di piu sistemi appartiene allo spazio pro­ Dal momento che to definisce un isomorfismo tra L e L~, allora, sostituen­dotto tensoriale degli spazi delle funzioni d'onda relative alle sue parti. do nel prodotto tensoriale LpxLQx... QxL~ px L~ Qx ... alcuni dei fattori L con I."

In questo paragrafo si descriverà il l inguaggio tensoriale della geometria e viceversa, si ottiene una serie infinita di isomorfismi fra spazi di tensori, chedifferenziale classica e si il lustrerà il ruolo della dualità lineare in operazioni non cambiano il rango totale. Tutti questi isomorfismi vengono detti innalza­sui tensori quali l'abbassamento o innalzamento degli indici e la contrazione. menti e abbassamenti di indici, in conformità con la tradizionale notazione in

termini di basi. Invero, se (l;) è una base di L, con (l'} si indica abitualmenteD efin i z i on e d i pr od o t t o t e n s o r i a l e . la sua immagine in L~ ri spetto all'isomorfismo scelto, e allora le operazioniSiano L, M due spazi vettoriali sul campo k. Si consideri lo spazio N, d'innalzamento ed abbassamento degli indici trasformano, ad esempio, liQxl~

con base {(I, m)), dove IEL, m@M sono tutte le possibili coppie di vettori. in l] Qxl', l'Qxls in l 'Qxl', ecc. In tal modo ogni tensore, grazie alla forma oi,Nello spazio N si consideri il sottospazio N«generato dagli elementi (al,m)­ ottiene un'esistenza in diverse «ipostasi» che differiscono per i gradi di co- e— a(l,m), (li +lg m) — (l„,m) — (l~,m), dove a @k; I, I;eL, me M; e , analoga­ controvarianza. In particolare il tensore metrico u può essere considerato nonmente, dagli e lementi (l,bm) — b(l,m), (l,m,+m,) — (I,mi) — (l,m~). Posto solo come elemento di L~ pxL~, ma anche di L pxL~ o di L pxL.L pxM = N/N~ si definisce l'applicazione canonica y : L X M~L pxM, y( l, m)=

C ontraz i on e .= classe (l,m) mod Ne = lpxm.L'applicazione y è bilineare e gode delle seguenti proprietà generali: per La forma bilineare simmetrica L~ x L~k de f inisce un'applicazione lineare

ogni applicazione bilineare p : L x M~N es iste un'unica applicazione lineare L~ pxL~k. Scegliendo nel prodotto tensoriale LpxLpx...pxL~... due termini$ : I. Qx M ~ N tale che rp= $ o y. L e L~ (non necessariamente consecutivi), e applicando ad essi quest'applica­

zione lineare, si ottiene un'applicazione nei tensori di rango inferiore, dettaP ropr ietà e l e m e n t a r i . contrazione rispetto alla corrispondente coppia di indici, uno in alto e l'altroSe (I;), (m-) sono basi di L, M, allora il sistema (I,pxm ) forma una base di in basso. Per esempio, la contrazione porta I,Qxl' in i, e l ,pxl' (per i+j) in o.

LpxM.Sono definite le identificazioni canoniche di LQxM con MQxL: lpxm~mpxl Esempio f o n d a menta le .

e di (LQxM)QxN con LPx (MQxN) : IQx (m Qxn) ~ (IPxm ) Qxn, che esprimono la Sia X una varietà differenziabile, TX il suo fibrato tangente. Nella teoriacommutatività e l'associatività del prodotto tensoriale. classica si chiamano tensori di rango (p, q) su X le sezioni del fibrato T" «(X) =

Ha luogo anche l'importante isomorfismo canonico di spazi vettoriali (nel = lJ (T„X) ""Qx (T~X) "', cioè i campi di tensori su T,X che variano in modocaso a dimensione finita), funtoriale rispetto ad L, M (cfr. $ z) : Hom(L, M) = SEX

= L ~ Qx M. All'elemento l~ px m c L~ Qx M esso associa l'applicazione lineare liscio con x. L'assegnazione su X di una struttura (pseudo)riemanniana defini­L~M ; l~ l ~ ( l )m. Si scriverà Loi' in luogo di LQx...PxL (P volte). sce un'identificazione fibra per fibra di T„X con T~~X, e le corrispondenti ope­

razioni di contrazione e d'innalzamento ed abbassamento di indici.Tensor i . Se (x', ..., x") è un sistema di coordinate locali su X, allora i campi vettoriali

Un elemento dello spazio Lai'pxL~ "«si chiama tensore sullo spazio L, pvolte covariante e q vo lte controvariante, di rango p+q . L ' i n tera somma

Dualità r45 Dualità

formano una base locale in T,X, ed i differenziali (dx,, ..., dx„) formano una ba­ VqcE, (q,p)( r )cL~ si dice il duale di E. Se L è euclideo, in particolare èse locale in T~X. La notazione classica dei tensori è la notazione in termini delle identificato canonicamente a L~, allora E~, come sottoinsieme di L, si diceloro coordinate in tali basi. Ad esempio, sef è una funzione su X, allora df è una polare di E.sezione tensoriale in T~X; nella notazione classica, (òf/òx") dx". Nel ) 3 si vedrà che gli insiemi convessi sono usati per definire una topolo­

Si osservi in conclusione che si sono introdotti i concetti fondamentali del­ gia negli spazi ad infinite dimensioni, ed i loro duali definiscono la topologial'algebra tensoriale, ma non si è affrontata l'analisi tensoriale (connessione, cur­ corrispondente nello spazio duale.vatura, integrazione di forme, ecc. ), in cui non è sufficiente considerare i ten­sori in ogni punto x separatamente, ma sono essenziali le proprietà delle loro Semilinearità e particolarità del caso complesso, Nel campo dei numeri com­variazioni con x. plessi C si ha un unico automorfismo continuo non-banale: la coniugazione

complessa. Nell'algebra lineare su C risulta assolutamente essenziale seguireDualità e convessità. l'azione della coniugazione complessa su tutti gl i oggetti che s'incontrano.

Ecco alcune definizioni.Dualità d i L e g endre-Young. Siano L, M due spazi vettoriali su C. Un 'applicazionef : L~M s i d i c eSia L uno spazio vettoriale a dimensione finita su k, e L~ il suo duale. Si scri­ semilineare se f(l,+is) = f(l,)+f( l,) e f(al) = af(l) per qualsiasi aeC; l , l „

verà (q, p) invece di q(p) per qe L~, p e L. l,eL. Una terminologia analoga si adopera per le applicazioni dipendenti daLe funzioni f : L~ k e g : L~ ~k si dicono duali secondo Young se per ogni piu argomenti vettoriali. Le forme che dipendono da due argomenti, linear­

punto qoeL~ (risp. pocL) esiste un unico punto poeL (r isp. qoeL~) tale che mente da uno di essi e semilinearmente dall'altro, si chiamano sesquilineari.

f(po)+g(qo)= (qo po). In una versione piu r istretta della definizione, questacondizione può essere soddisfatta solo quando (qo, po) varia in un sottoinsieme

La forma sesquilineare non-degenere (x, y) =g x,y, su C" possiede le pro­1=1

di L ~xL , prietà essenziali della metrica euclidea su R", quali la realtà e la positività delNelle applicazioni il caso piu importante è quello in cui k = R. quadrato della lunghezza di ogni vettore. Limitandosi alle forme bilineari sa­Sotto alcune condizioni su f si può dimostrare che la funzione ad essa duale rebbe stato impossibile ottenere ciò.

g esiste, è unica, e soddisfa le stesse condizioni. Un esempio di tali condizioni Sia L uno spazio vettoriale su C, e L' = L~, L ' = spazio delle applicazioniè che f sia una funzione liscia e la regione ((x,y) ~ y) f(x) ) c: L x R sia convessa,cioè contenga, insieme con due qualsiasi punti, tutto i l segmento che unisce

semilineari di L in C. Lo spazio Q+(L x L ') ~" a ppartiene all'algebra tenso­o,= o

tali punti. riale ampliata di L: esso consiste dei tensori che si trasformano semilinearmenteIn tale caso f e g si chiamano trasformate di Legendre l'una dell'altra. Tali rispetto a certi indici, con un cambio del sistema di coordinate.

sono le coppie q /x, p>/(I per u, P) r, (r /x)+ (r /P) = r (nella regione q) o, p) o ). Applicando questa costruzione alle forme differenziali su una varietà com­L'assegnare una coppia di funzioni duali secondo Young f, g definisce un'ap­ plessa, si arriva all'importante concetto di forma di tipo (p, q) (per esempio,

plicazione biiettiva molto importante, ma in generale non-lineare: don,A> dSr, da<) e di decomPosizione di Hodge. Qui non c'è sPazio Per at­­ ':qo-po - f (po ) +g(qo)= (qo po).

tardarsi su queste piu precisamente.

Esempio . S i a X lo spazio delle configurazioni di un sistema meccanico. I.3. Gruppi abeliani finiti e loro caratteri.La legge di evoluzione di questo sistema può essere data sia mediante la sualagrangiana X, sia mediante l 'hamiltoniana 3(.. La pr ima è una funzione G ruppo de i c a r a t t er i d e l g ru p p o G .

X : TX~R, la seconda una funzione 3f. : T~X~R. Per ogni x@X le restrizioni Sia G un gruppo, C il gruppo moltiplicativo dei numericomplessi. Si dicedi 2 a T X e di 3 ( . a T~ X ri s pettivamente costituiscono le trasformate di carattere (unidimensionale, complesso, unitario ) del gruppo G un omomorfi­Legendre l'una dell'altra. La traiettoria del sistema in TX si t rasforma nella smo y : G~C t ale che ~y(g)j =r per ogni g @G. Se G è finito, quest'ultimasua traiettoria in T~X, in seguito alla trasformazione sulle fibre T X~ T~~X condizione è soddisfatta automaticamente, poiché tutti i y (g) sono radici del­descritta sopra. Nei casi piu semplici la lagrangiana di un sistema è la differenza l'unità. Sull'insieme dei caratteri G~ si ha una struttura di gruppo abelianofra le sue energie cinetica e potenziale, e la hamiltoniana la loro somma. con moltiplicazione y,y, (g) =y, (g)y,(g).

Fissiamoge G e consideriamo l'applicazione )(g) : G~ ~ C', tale che y ~y(g).Dual ità d e l l e f i g u r e c o n v esse. Si vede facilmente che questa è un carattere di G~, cioè appartiene a G~~. L'ap­Sia di nuovo L uno spazio lineare a dimensione finita su R, Ec:L un insie­ plicazione risultante P : G~G~~ è un omomorfismo di gruppi. Come nel caso

me convesso chiuso contenente o come punto interno. L insieme E~ = (pe L della dualità lineare, si ha: L'applicazione canoriica P : G~ G~~ è una immer­

Dualità ry6 '47 Dualità

sione se e solo se G è un gruppo abeliano, ed è un isomorfismo se e solo se G moltiplicativo k del campo k il sottogruppo L', formato dagli elementi che so­è un gruppo abeliano finito. no potenze n-esime in K. Evidentemente (k')" aL' . Si pone H=L / ( k ) " e si

L'immagine di P è sempre un fattore abeliano massimale di G~~, perciò definisce l'applicazione G x H~k me d iante la formula(g,a(k')") ~g~a/~a.nelle costruzioni di dualità dei gruppi non commutativi occorre utilizzare nuovi In altre parole, si estrae da a la radice di grado n nel campo K, e si osservaprincipi. D'altra parte P è un isomorfismo anche per la piu ampia classe dei per quale radice dell'unità si moltiplica il suo automorfismo ge G del gruppogruppi abeliani topologici localmente compatti, se si considerano solo i caratteri di Galois del campo K. Si dimostra facilmente che quest'applicazione è un ac­continui. Questo è l'oggetto della teoria della dualità di Pontrjagin (cfr. ( g). coppiamento (a valori in k' ). Un aspetto piu sottile è il fatto che esso è non­

L'affermazione sull'isomorfismo ) si dimostra facilmente, tenendo conto del degenere e definisce la dualità di Kummer fra il gruppo di Galois G e un sotto­fatto che un gruppo abeliano finito si decompone nella somma diretta di sotto­ fattore del gruppo moltiplicativo k' del campo di base.

gruppi ciclici. Supponiamo dapprima che G sia ciclico di ordine d con gene­ Questa costruzione è del tutto generale ; invero essa non usa in nessun modo

ratore g. Allora y e G~ è definito univocamente dalla radice dell'unità y (g), che le proprietà specifiche del campo di base. Applicandola a campi particolaripuò essere di un ordine qualsiasi che divide d. Ciò implica che l'ordine di G~ si ottengono, per esempio, l'accoppiamento di Weil (per i campidi funzioniè uguale a d, come per G. Inoltre, se he G è un elemento diverso dall'identità, abeliane), o il simbolo di Hilbert del residuo normato.allora esiste sempre un ye G~ con y (h) pr (ad esempio, un y tale che y(g) R esidui n o r m a t i .sia una radice primitiva dell'unità di ordine d ). Perciò l'immagine di h in G~~è non-banale. Ciò significa che l'omomorfismo G~ G~~ ha un nucleo banale e, Sia Q> il campo dei numeri p-adici. Esso, come ogni campo, contiene r,dal momento che gli ordini dei gruppi G e G~~ coincidono, esso è un isomor­ la radice dell'unità di grado z, e il gruppo H= Q~/Q s è finito. La dualità difismo. È facile passare al caso generale, costruendo l'isomorfismo canonico Kummer definisce un accoppiamento non-degenere G x Q>/Q>a~ (-t r ), dove(G, x G~)~= Gr~x G~~: qui G t~ è l'insieme dei caratteri di Gr x G~, banali su G è il gruppo di Galois dell'estensione abeliana massimale di Q„di periodo z,G„e viceversa. ottenuta aggiungendo a Q„ le radici quadrate di tutti i suoi elementi.

Sia q : G~H un omomorfismo di due gruppi abeliani finiti. Si definisce a D'altra parte, si definisce l'applicazione Q' /Q'~ x Q /Q's~ (+ r ), ponendopartire da questo l 'omomorfismo coniugato p~ : H~~ G~, che al carattere per a,be Q>y : H~C' associa il carattere y oy : G~C'. Applicando l'operazione di coniu­ +r se ax +by' — s' = o per alcuni x,y,zE 'Qp,gazione ancora una volta, si ottiene l'omomorfismo p~~ : G*"~H ~ ~ . Come (aQ'«, bQ„s) = (a,b) non tutti nullinel caso della dualità lineare, si ha: In seguito all'identificazione di G~~ con G — r altrimenti.e di H~~ con H medianteP, l'applicazione q>~~ s'identifica con <p.

Le successioni esatte di gruppi abeliani si definiscono esattamente come le Questo è il simbolo di Hilbert, che costituisce un accoppiamento non-degenere.successioni esatte di spazi vettoriali. Di nuovo, come nel caso della dualità li­ Esso è contemporaneamente simmetrico e antisimmetrico : questi due concetti

coincidono per accoppiamenti a valori nei gruppi di periodo z.neare, si ha Se la successione di gruppi abeliani finiti F~G ~ H è e satta in G, In tal modo deve esistere un isomorfismo Q /Q' ~ G, dove G è il gruppo abe­

v"allora la successione H~ ~G~ ~F~ è esatta in G~. liano di Galois, introdotto sopra, della estensione di Q„. In effetti secondo

Siano G, H due gruppi abeliani. L'applicazionef : Gx H~C si di ce ac­ Kummer G (Q /Q )~, e secondo Hilbert Q' /Q (Q' /Q ) ~coppiamento (a valori in C' ) se essa è un omomorfismo nel primo argomento, Tale isomorfismo effettivamente esiste e può essere costruito indipendente­

per un valore fissato del secondo, e viceversa. Per esempio, si ha l'accoppiamento mente in una situazione molto piu generale. Invero, sia k un'estensione finita

canonico G* x G~C' : (y,g)~y (g). Come nel caso lineare, si definiscono i del campo Q„, G< il gruppo di Galois dell'estensione abeliana massimale dinuclei destro e sinistro dell'accoppiamento, e gli accoppiamenti non-degeneri. questo campo. Allora esiste un isomorfismo x : k' « G» che è un'immersione conIn modo analogo si dimostra che l'assegnazione di un accoppiamento non­ immagine densa, e «quasi» un isomorfismo di gruppi abeliani topologici, neldegeneref : Gx H~C' di g ruppi abeliani finiti è equivalente all'assegnazione senso che sui gruppi quoziente finiti esso induce un isomorfismo. Piu precisa­di un'identificazione G ~H~ e H~G ~ . mente, se Kak è un'estensione abeliana finita e H r a G» è il sottogruppo degli

Seguono alcuni esempi importanti per l'algebra e la teoria dei numeri. automorfismi banali su K, allora u induce un isomorfismo xz,' k' /N<<z(K')~~ G»/Hrr (= gruppo di Galois di K /k). Questo è l'isomorfismo della teoria lo­

D ual ità d i K u m m e r . cale dei corpi di classe.Sia k un campo contenente le radici dell'unità di periodo n) r, dove n è un Se lo stesso k contiene le radici dell'unità di ordine n, e K /k è un'estensione

numero naturale che non divide la caratteristica del campo k ; e K /k un'estensione abeliana massimale di periodo n, con gruppo di Galois G, allora Nrr>z(K') = (k')",finita di Galois con gruppo abeliano G di periodo n. Si consideri nel gruppo e x< induce un isomorfismo di k' /(k )" con G, cioè con il gruppo duale di

Dualità ry8 I$9 Dualità

k'/(k')" secondo Kummer. In tal modo la teoria dei corpi di classe realizza la spazio tale che T (g)mcM per ogni meM, ge G, allora la restrizione di T adsintesi di un certo oggetto con il suo duale e perciò, come è consueto in tali casi, M : g ~ T(g)~M si dice sottorappresentazione di T. In modo evidente si defi­è altamente signi6cativa. nisce anche la rappresentazione quoziente di T su L /M Se T non ammette sot­

I tentativi di generalizzare questi risultati al caso del gruppo di Galois com­ torappresentazioni non-banali, essa si dice (algebricamente) irriducibile.pleto della chiusura algebrica di un campo locale k hanno condotto negli ultimi Ad ogni carattere y : G ~C' corrisponde una rappresentazione unidimensio­

anni alla formulazione delle importanti ipotesi di Langlands. In questa teoria nale (e perciò irriducibile) di G in C : g ~ moltiplicazione per y (g). Inversamen­«non commutativa» dei corpi di classe il posto dei caratteri del gruppo di Ga­ te, ogni rappresentazione unidimensionale di G definisce un omomorfismolois è occupato dalle sue rappresentazioni lineari di dimensione finita, e il posto y : G~C' dipendente solo dalla classe di questa rappresentazione, a meno di iso­dei caratteri del gruppo moltiplicativo del campo dalle rappresentazioni di di­ morfismi. Essa sarà senz'altro un carattere se G è finito. In tal modo G~ è identi­mensione infinita dei gruppi di matrici su questo campo. Alcuni di questi con­ ficato canonicamente con l' insieme delle classi di rappresentazioni unidimen­cetti, in termini dei quali si formulano le dualità non commutative, saranno spie­ sionali del gruppo G. Questa osservazione è a fondamento di quella variante

gati in seguito (cfr. anche il ( 3). della dualità nella quale, come oggetto duale al gruppo G, si considera l'insieme Gdi tutte le possibili classi di rappresentazioni irriducibili del gruppo G: per ul­

r.g, Gruppi non abeliani 6niti e dualità. teriori dettagli si veda il ) 3.

Linearizzazione. Le note costruzioni di dualità per gruppi non necessaria­ Algebre, coalgebre e bialgebre. Uno spazio vettoriale L su un campo k simente commutativi si basano su oggetti che uni6cano la struttura di gruppo dice k-algebra (centrale) se su di esso è data una struttura di anello (non neces­con la struttura lineare, Due tipi fondamentali di tali oggetti sono l'anello di sariamente commutativo ) con unità i , e se l 'applicazione k~L : a~ a r è u ngruppo del gruppo G e le rappresentazioni lineari del gruppo G, Nel seguito si omomorfismo di anelli, la cui immagine commuta con tutto L, La moltiplica­considererà G come gruppo finito; per il caso piu generale, si veda il ) 3. zione in una k-algebra L può essere considerata come un'applicazione lineare

m : L ®L ~L, m(l iQxln) = lils Tutt i gl i assiomi di k-algebra possono essere for­A nello d i gru p p o . mulati in termini di commutatività di diagrammi di applicazioni lineari.Sia k un campo ; l'anello di gruppo k [G] del gruppo G è lo spazio vettoriale Uno spazio vettoriale L su k, con una data applicazione lineare strutturale

delle funzioni su G a valori in k con la moltiplicazione data dalla convoluzione (comoltiplicazione) p, : L~LQxL si d ice coalgebra se p. soddisfa gli assiomi(a~b)(g)= Pa(h)b(h-'g). Se si esprime una funzione aek[G] nella forma ottenuti dagli assiomi per m invertendo tutte le frecce. Un'altra possibile defi­

ac'g a(g)g, immergendo G in k[G] mediante l'identi6cazione g ~8e (dove 8e(h) =

nizione è la seguente : ((L, p,) è una coalgebra se (L~, p.~) è un'algebra con mol­

ecotiplicazione p~ : (LgxL )~ = L~(x3L~~L~ ). I morfismi di algebre e coalgebre,

=i pe r h =g, e o per h+g),allora la convoluzione è compatibile con la moltipli­ ed i loro prodotti tensoriali, si definiscono in modo evidente.

cazione in G: 8,e8> ­— 8~». In seguito si mostrerà come, in termini di anelli di Infine, uno spazio vettoriale L dotato di moltiplicazione m e di comoltiplica­

gruppo, si formuli una delle varianti della dualità. zione p. si dice bialgebra se (L, m) è un'algebra, (L, p.) una coalgebra, ii, : L~~LQxL un morfismo di algebre, e m : LgxL~L un morf ismo di coalgebre.

R appresentaz ion i l in e a r i . La simmetria completa di tutte le condizioni su m, p ed i l loro carattere

Sia L uno spazio vettoriale sul campo k, e sia Gl(L) il gruppo degli operatori (multi)lineare permettono di verificare automaticamente i seguenti principi dilineari invertibili L~ L . Si d ice rappresentazione del gruppo G sul campo k dualità: se L = (L, li,, m) è una bialgebra a dimensione finita, allora ancheun omomorfismo T : G~Gl (L) ; la dimensione di L si d ice dimensione della L~ = (L~, m~, p.~) è una bialgebra a dimensione 6nita; si ha un isomorfismorappresentazione. canonico L = L~~; per ogni morfismo di bialgebre p : L~M è un ivocamente

Siano T; : G~Gl(L;), i = i,z, due rappresentazioni. Si dice morfismo di definito un morfismo y~ : M~~L~, tale che (q> o$)~ = (~ op~ e q>~" =q>.

Ti in Tz un 'applicazione lineare qi : Li~L~ ta le che qi(Ti(g)l) = Ta(g)q~(l) Il ruolo di queste costruzioni nella teoria dei gruppi finit i è definito dalper leL, e ge G arbitrari (cioè un'applicazione compatibile con le azioni di G fatto che l'anello di gruppo k [G] di un gruppo arbitrario G è una bialgebra consu L e L ). Due rappresentazioni T, e T, sono equivalenti o isomorfe se esistel 2

la moltiplicazione definita sopra, e la comoltiplicazione p.(a) (g, h)= a (g) se g= h,un mor6smo di T, in T, che sia un isomorfismo lineare. Si dice somma diretta zero altrimenti.

delle rappresentazioni T, e T, la rappresentazione T = Ti® T~ in L,O+L, per Dal momento che in k [G] si ha una base particolare (8,), possiamo identi­la quale T (g)(li la) = (T(g)li T(g)lp) per l, sL„ l~ eL~. In modo analogo si ficare canonicamente lo spazio k[G]~ con k[G] ; ciò definisce su k[G] una cop­definisce il prodotto tensoriale T = Ti' T, in L,QxL,. Se T è una rappresenta­ pia duale di moltiplicazione e comoltiplicazione. Queste saranno la moltiplica­

zione di G nello spazio L, e M c: L è un sottospazio G-invariante, cioè un sotto­ zione (puntuale) degli elementi di k [G] come funzioni su G e la comoltiplicazione

Dualità I50 I5I Dualità

p.(a)(g,h)= a(g,h). In altre parole, l'origine della convoluzione in k[G] è la La classe R(G)~ delle rappresentazioni della categoria R (G) può essere do­seguente: la moltiplicazione nel gruppo G x G~G definisce un'applicazione tata della moltiplicazione q,y~ (T) =q, (T)p,(T).degli spazi di funzioni A [G] ~k[G x G] = k[G] Qxk[G], dopo di che questa viene Ognielemento geG definisce una rappresentazione [l (g) della categoria R(G)dualizzata e k [G] ~ s'identifica con k [G]. mediante la formula P(g)T = T(g). L'applicazione ottenuta [i : G~R(G)~ è un

Qui, invece di k [G], si sarebbe potuto prendere un altro funtore controva­ isomorfismo di gruppi (teorema di Tanaka). Si descriverà ora brevemente co­riante dalla categoria dei gruppi nella categoria degli anelli (cfr. ) z), per esem­ me si estende questo risultato ad una classe piu generale di gruppi topologici, epio l'anello di coomologia per un gruppo topologico G. In tale contesto questa come si ottiene una descrizione astratta di tutte le categorie R (G) corrispondenticostruzione è stata considerata per la prima volta da Hopf, cosicché le bialgebre a questi gruppi.e le loro varianti si chiamano anche algebre di Hopf. I gruppi finiti sono inclusi nella piu ampia categoria dei gruppi topologici

Se G è un gruppo abeliano finito, si possono identificare canonicamente le compatti (cfr. $ g). La categoria R(G) per un gruppo compatto G si definiscebialgebre k[G]~ e k[G~]. Questa identificazione si effettua mediante la seguente come la categoria delle rappresentazioni complesse continue a dimensione finitatrasformazione di Fourier: a~a : a (y) =g a (g)y(g). Essa è stata scoperta per di G. Il teorema di Tanaka sulla ricostruzione di G a partire da R (G) ~ si traspor­

gEGla prima volta per i gruppi topologici G = C; e G = R (serie e integrali di Fou­ ta letteralmente a questo caso piu generale. Inoltre appare la possibilità di definire

rier ), ed ha, in questa variante classica, numerose applicazioni (cfr, ) g). Per iin modo invariante la classe di categorie del tipo R (G).

gruppi finiti G = Z/mZ essa conduce a considerare le somme trigonometricheInvero Krein ha dimostrato che la categoria R degli spazi vettoriali a dimen­

a(g) e 'g ~, che dai tempi di Gauss fino ai nostri giorni sono oggetto disione finita, chiusa rispetto ai prodotti tensoriali (di spazi e di morfismi ) e al pas­

gmodmsaggio allo spazio (morfismo) duale, è equivalente ad R (G) per un opportuno

studio in teoria dei numeri e rivelano sempre nuove proprietà profonde. Gauss ha gruppo compatto G se e solo se :l'g)

calcolato tali somme per m primo e a (g) = ( — )= + I in d ipendenza del fatto a) Si ha un unico (a meno di isomorfismi) oggetto L»èR e un isomorfismodi funtori L»OxId ~Id.

che g sia un quadrato mod m o no, e si è servito di questi risultati per dimo­ b) Ogni oggetto R si decompone nella somma di oggetti minimali.strare la legge di reciprocità. In seguito (Davenport, Hasse, Weil, Serre, Deli­ c) Se L, e L, sono oggetti minimali, allora Hom>(L„L , ) r isulta o banale ogne) si è chiarito che queste somme sono connesse con le rappresentazioni del uno spazio unidimensionale e, in quest'ultimo caso, L, e Lz sono R-iso­gruppo di Galois del campo dei numeri algebrici e con le coomologie astratte del­ morfi.le varietà algebriche.

Se G è finito, ma non abeliano, allora la bialgebra k [G]~ non è isomorfa alla Negli ultimi tempi questo risultato è stato studiato in fisica teorica (Dopli­bialgebra di gruppo di nessun gruppo. La categoria delle bialgebre a dimensione cher, Haag, Roberts ). In diverse teorie dei campi svolge un ruolo importantefinita è sostanzialmente piu grande della categoria delle bialgebre di gruppo: il gruppo digauge G. La scelta di questo nei casi concreti è condizionata in parti­in effetti essa è tanto grande da essere chiusa rispetto al passaggio agli oggetti colare dalle cosiddette regole di superselezione, che dànno informazione propriolinearmente duali. La struttura dei suoi oggetti «spuri », a volte chiamati anelli sull'oggetto duale a G: R (G).di gruppo generali, con moltiplicazione e comoltiplicazione non commutative,è molto poco conosciuta.

Aspetti categoriali della dualità.Dualità di Tanaka-Krein. Ne l la costruzione che ora esporremo, il ruolo di

oggetto duale di un gruppo finito G è assunto dalla categoria R [G] di tutte le Come si è visto nel ) I, l'oggetto duale a uno spazio vettoriale o a un gruppo

rappresentazioni a dimensione finita di G sul campo C. La seconda dualizza­ abeliano consiste delle applicazioni di questo spazio (gruppo) in un certo og­zione, che permette di riottenere G a partire da R (G), si basa sul concetto di getto fissato.

rappresentazione della categoria R (G). Il punto di vista secondo il quale l'attenzione si sposta dalla struttura interna

Si dice rappresentazione di R(G) una funzione p che ad ogni oggetto di R (G), di un oggetto alla classe dei suoi morfismi verso altri oggetti viene detto catego­cioè ad ogni rappresentazione T : G~Gl (L) associa un operatore lineare inver­ riale, in contrapposizione a strutturale.tibile iii (T) : L~L con le seguenti proprietà: Padroneggiando il linguaggio categoriale, possiamo esaminare un'intera ge­

rarchia di dualità, a cominciare dai piu semplici effetti di « inversione dellea) Se f : T, ~ T, è un qualsiasi morfismo di rappresentazioni, allora f o q> (T,) = frecce» per finire con la poco formale complementarità «descrizione strutturale /= V(T.) f. categoriale degli oggetti matematici ».b) f(TI® Tg)= f(Ti) Oxf(T>). Già da tempo era stato notato che coppie di costruzioni come i l imit i pro­

Dualità i52 '53 Dualità

iettivi ed induttivi si trovano in una certa relazione di dualità: ciò si rifietteva goriali, e nel ) 4 è contenuta la descrizione di una serie di strutture matematiche

nella vecchia terminologia «spettro diretto» e «spettro inverso». Nella formu­e di loro applicazioni.

lazione del linguaggio categoriale è diventato chiaro che, accanto a qualunquecostruzione di un oggetto di una categoria mediante un diagramma di altri z.r. Inversione delle frecce.oggetti, è utile considerare la costruzione duale ottenuta per inversione di tuttele frecce nella definizione. Nonostante l'estrema semplicità di quest'idea, essa

Sia C una categoria. Si ricordi che la categoria duale Cp ha gli stessi og­

ha condotto rapidamente sia all'introduzione di nuovi concetti che alla miglio­ getti di C: ObC = ObC~. Si indichi con X~éObC~ l'oggetto corrispondente

re comprensione di vecchi. Per esempio, l'abbondanza di prodotti tensoriali di a XeObC. Per definizione, Homoo(X~, Y ) = Hom<(Y, X) e (fg)'i=g i f i, do­

anelli nelValgebra commutativa degli ultimi decenni si spiega completamente ve f eg sono morfismi in Ce f, gp i corrispondenti morfismi in C~i. In altre pa­

con il fatto che l' inversione delle frecce (cioè il passaggio alla categoria duale role, Co si ottiene da C per inversione di tutte le frecce.

degli spettri ) trasforma il prodotto tensoriale nel prodotto diretto (o in quello C ostruz ion i d u a l i .fibrato). Il ruolo stesso dei prodotti diretti in un'arbitraria categoria diventachiaro in analogia con il loro ruolo nella categoria degli insiemi dove i grafici

Supponiamo che in C sia definita una costruzione, applicabile anche in C~.

delle funzioni, le leggi di composizione e molte altre strutture sono definiti inAllora essa, trasportata in C~, e considerata poi come costruzione su C, si chia­ma costruzione duale a quella iniziale.

termini di prodotti.Seguendo l'azione dell'inversione delle frecce su una categoria globalmente, E s e m p i o, Si abbia in C un diagramma commutativo (quadrato) di mor­

e non soltanto sui diagrammi singoli, si giunge alla questione delle connessioni fismidella categoria con quella ad essa duale. La categoria duale C~ può essere equiva­lente a quella iniziale C: tale è il caso della dualità degli spazi lineari a dimen­sione finita, o della dualità di Pontrjagin. La categoria duale può acquistare pro­prietà «geometriche» inaspettate, come accade con varie costruzioni degli spettridi anelli. Infine la categoria duale può ammettere una realizzazione indipendente, S ~ Ycome nell'esempio classico della teoria di Galois. V

Il funtore Hom sul prodotto di una categoria e della sua duale, a valori nella Tale quadrato si dice cartesiano se per ogni oggetto su S : T~ S l'applicazio­categoria degli insiemi, è formalmente simile al prodotto scalare canonico ne Homo (T,Z)~Homo(T,X) x Homo(T, Y) :g~ (uog, @ag) è biiettiva. QuiL X L~ ~k (L è uno spazio lineare su k). Estendendo questa analogia, Kan ha Homo sono i morfismi nella categoria C> degli oggetti su S. In tal caso gli oggettiosservato che molti noti funtori si raggruppano in coppie i cui membri sono vnella stessa relazione reciproca rispetto a Hom in cui si trovano le coppie di ope­ Z e u, v sono definiti da X~S ~ Y un ivocamente a meno di isomorfismi, e Zratori lineari coniugati. Ciò ha condotto ad una trattazione categoriale unificata viene detto prodotto fibrato (su $) degli oggetti X, Y: Z = Xxz Y,di dualità differenti quali la dualità di Frobenius nella teoria delle rappresen­ La costruzione duale parte dal quadrato cartesianotazioni dei gruppi, e la dualità «sospension%pazio dei cappi » in topologia omo­topica. X ~ Z

Infine il confronto del linguaggio categoriale con quello strutturale rivela inessi le caratteristiche di una reciproca complementarità, tanto accentuata chegli specialisti di fondamenti della matematica considerano ora la possibilità diuna costruzione alternativa dei fondamenti sulla base delle categorie, e non degliinsiemi con struttura. Indipendentemente da ciò, per il topologo o per il geome­tra algebrico è già divenuta attuale la padronanza degli aspetti operativi di talecomplementarità: le regole d'introduzione di una struttura su di un oggetto di

e definisce la somma disgiunta Z= X s Y, Essa può essere espressa nel modo

una categoria, o il considerare, invece di un oggetto, il funtore che rappresenta piu rapido nella forma X s Y = (Xo x>, Y~), utilizzando l'identificazione na­turale (Cp)p= C.

questo oggetto.Questo paragrafo è dedicato al chiarimento di tutte queste idee per mezzo Ad esempio, nella categoria degli anelli commutativi con unità Ann, si ha

di esempi molto semplici. Per la definizione generale di categorie e di funtori, cB = A ®cB (prodotto tensoriale di anelli su C). La categoria Ann si chia­

si rimanda il lettore al ) 6 dell'articolo «Applicazioni » di questa stessa Enciclo­ma categoria degli schemi afFini. Invece di Ap si usa scrivere Spec A. In queste

pedia. Li sono anche portati i primi esempi di categorie e di costruzioni cate­notazioni SpecA xsp c SpecB = Spec(A p~cB).

Dualità t54 Dualità'55

Esempio . S i a X : .. .~ X ,~ X~~ X ,~ ... ~ X „~ ... una successione di+p di tutti i principi di dualità descritti nei $ ) t e 5. Anche la categoria LCAb dei

oggetti e morfismi nella categoria C. Si chiama morfismo di X nel l 'oggetto gruppi abeliani topologici localmente compatti è autoduale (cfr. ) 5) : in ciò

XeOb C la successione di morfismi v; : X,~X t al i che tutti i d iagrammi consiste il principio di dualità di Pontrjagin.

ni Realizzazion i i m p o r t a n t i d e l l a c a t e g o r i a C ~.X; ~ X ;~, Spesso accade che la categoria C~ non sia equivalente a C, rna ammetta una

costruzione indipendente da C. Alcune delle piu profonde costruzioni matema­tiche si interpretano in modo naturale in questi termini.

Esempio : teo r i a d i G a l o i s . S i a k un campo, k la sua chiusura al­gebrica. Per semplicità di formulazione limitiamoci al caso di caratteristica o.

siano commutativi. Supponiamo che un morfismo (v;) : X~X s i a universale Allora il gruppo degli automor6smi del campo k su k è un gruppo topologiconel senso che per ogni altro morfismo (w;) : X~ Y si abbia un unico morfismo di Galois G, e la teoria di Galois stabilisce l'equivalenza fra due categorie:w : X~ Y tale che il diagramma a) la categoria dei sottogruppi chiusi di G, con le inclusioni naturali quali

(~,) morfismi;X ~ X b) la categoria duale dei campi K, k c Kc k, con le inclusioni naturali quali

mor6smi.(m;) zo

L'equivalenza si realizza mediante i funtori : (sottogruppo H cG ) ~ (cam­po degli elementi di k, invarianti rispetto ad H) e (campo K) ~ (gruppo deglielementi di G che agiscono come l'identità su K ).

sia commutativo nel senso evidente della parola. Esempio : du a l i t à n e l l e a l g ebre d i B a n a ch . E ssa stabilisce l'e­Allora (e;) e X sono de6niti univocamente a meno di isomorfismi, e X si dice quivalenza della categoria degli spazi di Hausdor& compatti con una certa sotto­

limite induttivo della successione X = (X;) nella categoria C : X = lim X;. categoria delle algebre di Banach commutative : si veda la formulazione precisa

La costruzione duale si chiama costruzione del limite proiettivo: lim X; = nel ) 5.5.Questo esempio è una delle note concretizzazioni della dualità generale geo­

= (lim X>)<>. metria/algebra o spazio /funzioni su di esso.Ad esempio, se p è un numero primo, X „ = Z/p"Z per n)o , X " = o per Un altro esempio è fornito dagli schemi affini di Grothendieck, che si rial­

n)o, u „ è l 'applicazione di riduzione Z/p" Z~Z/p" Z o z ero per n)o, allora lacciano anche alla trattazione algebrica delle superfici di Riemann secondo Kro­l im X„ = Z„è l 'anello degli interi p-adici. Si vede facilmente che lim X~ = necker-Weber. Nella costruzione di Grothendieck si vede chiaramente come la= Q„/Z~, dove X~~ è il gruppo abeliano duale di X;, e il sistema (X,".) si ottiene dualizzazione della categoria degli anelli commutativi riveli in essi delle possi­

da (X;) applicando la dualità dei gruppi abeliani. bilità geometriche del tutto inaspettate. Gli schemi affini Spec A diventanosemplicemente degli oggetti geometrici locali, con i quali si possono comporre

C ategorie a u t o d u a l i . schemi globali, immergendo la categoria Ann~, che conserva ancora tracce dellasua origine algebrica, nella categoria già completamente geometrica di tutti gli

In alcuni casi importanti le categorie C e C~ risultano equivalenti. Questo schemi. La seconda caratteristica tipica della costruzione di Grothendieck è checoncetto sostituisce il concetto piu semplice, ma meno utile, di isomorfismo di in essa gli oggetti primitivi diventano le funzioni, e non lo spazio su cui esse sonocategorie. Invero siano B, C due categorie, e B~'C due funtori. I funtori F e G de6nite; inoltre queste funzioni non sono neppure definite univocamente dai

loro valori nei punti (i nilpotenti in A si annullano in tutti i punti di Spec A).definiscono una equivalenza di B e C se i funtori GoF : B~B e Fo G : C~ C

Tale dualizzazione, come strumento di generalizzazione di strutture note, è unsono isomorfi al funtore identico (per il concetto di morfismo e di isomorfismo procedimento ampiamente diffuso.di funtori si veda l'inizio del ) z.z).

Una categoria C si dice autoduale se le categorie C e C~ sono equivalenti.z.z. Funtori aggiunti.

Esempio . Le categorie FAb dei gruppi abeliani finiti, e FLin degli spazivettoriali a dimensione finita sono autoduali. L'equivalenza è realizzata dai fun­ Siano F,G: C~C ' due funtori. Si dice morfismo funtoriale, o trasforma­tori X~ (X")~e Yo~ Y~ nelle notazioni dei )( z e 5. In ciò consiste il contenuto zione naturale cp : F~G una famiglia di morfismi q><. F (X) ~G(X) nella ca­

Dualità zg6 Dualitàz57ftegoria C, uno per ogni oggetto Xe Ob C, tali che, se X~ Y è un arbitrario mor­I

Esempio . N e l la categoria Insiemi è de6nito il prodotto diretto e, per ar­fismo in C, il diagramma bitrari insiemi X, Y,Z, esiste l'identificazione canonica Hom(X,Hom( Y,Z)) =

Vx = Hom(Xx Y ,Z) , che all'applicazione x~ ( f, : Y~Z) a ssocia l'applicazioneF(X)~ G(X ) (x, y) ~f,(y). Verificando tutte le necessarie proprietà funtoriali, ci si può con­vincere del fatto che il funtore X ~ X x Y è a ggiunto a sinistra del funtore

F(f) <(f) Z~Hom(Z, Y).Esempio . An a logamente, nella categoria degli spazi vettoriali a dimen­F(V)~ G(V) s ione finita sono aggiunti i funtori X ~ X Qx V e Z~ H om (Z, Y).E sempio : dua l i t à d i F r o b e n i u s . Siano G un gruppo finito, Hc:G

è commutativo. La composizione di morfismi funtoriali si definisce in modo evi­ un suo sottogruppo, R (G) e R(H) le corrispondenti categorie delle rappresen­dente. Il morfismo funtoriale identico, ad esempio F ~F, è la famiglia delle ap­ tazioni 6nite sul campo h (cfr. ) z,4). Restringendo ogni rappresentazioneplicazioni identiche F (X) ~F(X). Un morfismo funtoriale si dice isomor6smo T : G~Gl(L) al sottogruppo H, si ottiene una rappresentazione di H. Ciò de­se è dotato d'inverso destro e sinistro, cioè di quei mor6smi che dànno il funtore finisce il funtore di restrizione res : R(G) ~R(H). Inversamente, da ogni rap­identico per composizione con esso. presentazione U del sottogruppo H nello spazio L si può ottenere la cosiddetta

Siano, ad esempio, V, Y' due oggetti di C, re : V~ Y' un morfismo, hz,hz i rappresentazione indotta ind U del gruppo G. Questa si può realizzare, adi due funtori da C~ in Insiemi (la categoria degli insiemi ) che rappresentano esempio, nello spazio delle funzioni f su G a valori in L per cuif(hg) = U(h) f(g)Ve V' . per ogni h E H, ge G. L'azione di G s i definisce nella maniera seguente :

Allora i morfismi [ind U(g)]f(gz)= f(g,g). Il teorema di dualità di Frobeniusafferma (nella for­mulazione categoriale ) che il funtore res è aggiunto a sinistra del funtore ind.

hz(X) = Hom<.(X, V) hz, (X) = Homo(X, Y') ;u~reu Esempio . S i a Gr la categoria dei gruppi, G: Gr~ I n s iemi il f untoredimenticante della struttura di gruppo, che associa ad ogni gruppo il gruppouno per ogni XeOb C, formano un morfismo funtoriale h~ ; hz~hz.. h facilestesso come insieme. Il funtore aggiunto ad esso F : Insiemi ~ Gr esiste, e de­vedere che h r , h yh.„,.

Sia Funct (C, C') la classe dei funtori da C in C'. La si considererà come la finisce per ogni insieme S il gruppo libero F ($) generato da questo insieme.

classe degli oggetti di una categoria (con le stesse notazioni ) i cui morfismi In effetti gli insiemi Hom« (F(S), T) e Homz„„,~;(S, G(T)) s'identi6canosono le trasformazioni naturali di funtori. Trascuriamo qui le questioni di teo­ naturalmente per ogni gruppo T: l'omomorfismo di F (S) in T è definito dal­

ria degli insiemi (la differenza fra insiemi e classi). Allora il risultato delle con­ l'assegnazione delle immagini dei generatori liberi da S in T, e queste immagini

siderazioni precedenti si descrive nel modo piu semplice come la costruzione possono essere scelte arbitrariamente.

di un morfismo canonico da un'arbitraria categoria C nella categoria C= In genere tutte le possibili strutture algebriche libere si definiscono nel mo­= Funct(C~, Insiemi). Quest'ultima si chiama categoria dei prefasci di insiemi su do piu comodo proprio mediante il funtore aggiunto al funtore dimentican­

C. Essa si ottiene da C con una specie di duplice dualizzazione: il passaggio a C~ te della corrispondente struttura. Le costruzioni abituali degli oggetti liberi di­ventano allora teoremi di esistenza.e poi ai funtori nella categoria universale degli insiemi.

Il funtore canonico C~ C : X~h> è pienamente fedele (pleinement fidèle) :l'applicazione naturale Hom< (X, V)~Homo(hz,hz) è biiettiva. In particolare, 2.3. Dualità struttura /categoria.l'immagine di C in C è una sottocategoria piena di C, equivalente a C.

Una descrizione un po' piu simmetrica di questa stessa situazione si ottiene Come si è già detto nell'articolo «Applicazioni », i punti di vista strutturale e

se si considera l'applicazione (X~,V)~Hom(X, Y) come bifuntore canonico categoriale su oggetti matematici quali i gruppi o gli spazi topologici sono com­

C x C~ I nsiemi, che ricorda formalmente l'accoppiamento di spazi vettoriali o plementari. Dal punto di vista strutturale un oggetto è dato come un insieme,formato da elementi, con determinate leggi di composizione fra elementi, o pro­di gruppi. Continuando in questa analogia, si considerino una categoria B e due

funtori F : B~ C e G : C ~B. Questi funtori si dicono aggiunti l'uno all'altro se prietà di elementi, relazioni, proprietà delle relazioni, ecc, Dal punto di v i­

i bifuntori sta categoriale un oggetto è considerato come elemento della classe di tutti glioggetti della stessa specie, e la sua individualità è de6nita dalla classe di tutte le

B X C~Ins iemi : (X~, Y) ~Hom<(F(X), Y') e (X<, V) ~Homo(X,G(V)) sue applicazioni in altri oggetti o di altri oggetti in esso, cioè dal funtore che es­so rappresenta. In altre parole l'approccio strutturale presenta un oggetto dal­

sono isomorfi. Nelle notazioni F è aggiunto a sinistra di G, e G è aggiunto a de­ l'interno, quello categoriale dall'esterno. Questa complementarità possiede varistra di F. aspetti piu particolari, alcuni dei quali saranno ora elencati.

Duahtà t58 I 59 Dualità

diante l'assegnazione dell'insieme ObC, degli insiemi Hom< (X, Y) per ogniNucleo / immagine. X, Yc Ob C, e delle leggi di composizione fra questi. Un funtore F : C~ C' da

una categoria piccola in un'altra è un morfismo di queste strutture. La classeSe X è un insieme dotato di struttura, Y un altro insieme con la stessa strut­ delle categorie piccole, con i funtori in qualità di morfismi, forma essa stessa

tura ef : X~ Y un morfismo suriettivo che conserva la struttura, allora f defi­ una categoria; se questa classe è un insieme, essa può essere considerata anisce su X una relazione di equivalenza di tipo particolare : le sue classi di equi­

sua volta come una struttura, ecc. In tal modo la contrapposizione struttura /ca­valenza sono lef-controimmagini dei punti di Y. Questa relazione di equivalen­ tegoria e il suo parallelismo con la contrapposizione locale/globale (in quest'or­za è una nuova struttura su X, che definiscef univocamente a meno di iso­ dine) non sono assoluti. Piuttosto si ha a che fare con una gerarchia di livelli dimorfismi. Nella maggioranza dei casi si può dare una comoda descrizione strut­ descrizione, al cui livello piu basso si trovano le descrizioni di alcune struttureturale di tutte le relazioni di equivalenza corrispondenti a tutte le possibili f. fondamentali come categorie (spazio topologico, insieme ordinato, ecc.).Ad esempio nella categoria dei gruppi tale relazione è definita dall'assegnazionedell'immagine inversa dell'identità, che può essere un qualsiasi divisore normale Oggetto / funtore ,Z~X, c ioè un sottogruppo di X con la proprietà xZx '= Z pe r ogni xeX .Nella categoria degli spazi vettoriali essa è definita dall'assegnazione di un arbi­ Il passaggio dall'esame di un insieme concreto dotato di struttura, per esem­

trario sottospazio Z~X. Nella categoria degli anelli commutativi essa è definita pio uno spazio topologico X, all'esame di questo come oggetto della categoria

dall'assegnazione di un ideale )aX, l ' immagine inversa dello zero. Queste im­ dei gruppi cancella l'individualità degli elementi di X. Tuttavia la successiva so­

magini inverse si dicono nuclei di f e gli Y-fattori di X r ispetto a questi nucleistituzione di X con il funtore hx, da esso rappresentato, permette di associare ad

immagini di f. In geometria algebrica gli ideali primi p di un anello A si chiama­ X il vastissimo nuovo insieme(classe) dei «punti categoriali » di X: QHom ( Y, X),Y

no punti schematici dello spettro, e gli omomorfismi di A nei campi algebricamen­ con la struttura formata dalle applicazioni derivanti dai morfismi Yt~ Y~.te chiusi punti geometrici di Spec A. Associando all'ideale p un omomorfismo Se anche inizialmente X era un oggetto di una categoria astratta, dopo l'im­di A nella chiusura algebrica del campo quoziente A /p, e ad un punto geo­ mersione canonica C~C esso «diventa» un insieme strutturato, dopo di chemetrico il suo nucleo, si ottiene una certa dualità tra i punti dei due tipi. La geo­ su di esso si possono trasportare le abituali costruzioni insiemistiche, per esem­metria algebrica classica considerava esclusivamente punti geometrici, in quella pio introdurre la definizione di «oggetto con una data struttura» : si veda la de­contemporanea i punti schematici hanno un ruolo importante. scrizione degli oggetti gruppali di una categoria nell'articolo «Applicazioni».

La dualità logica generale testo/significato o, in un'accezione piu particolare, Inoltre, ponendo X = h<, si ha Homo (X, Y) = Homo(X, Y), cosicché lalinguaggio/interpretazione, ammette una descrizione analoga. Un linguaggio for­ sostituzione di X con X r i flette in modo del tutto adeguato tutte le proprietàmale può essere considerato come una struttura (insieme dei simboli, insieme categoriali di X. Ma la categoria C contiene oggetti di tipo piu generale che ladelle formule, insieme degli assiomi, insieme delle deduzioni formali ). La sua categoria C, e può essere chiusa rispetto ad operazioni fondamentali rispetto alleinterpretazione è un morfismo di questa struttura nell'insieme, o classe, definito quali C non è chiusa. Per esempio, nella categoria degli schemi Sch non è pos­dall'assegnazione dei valori di tutti i simboli di operazione e di relazione (pre­ sibile fattorizzare rispetto a semplici relazioni di equivalenza, come l'azione didicati ) nel linguaggio : il valore del simbolo di operazione è un'operazione, quello un gruppo finito. Ciò è possibile in Sch . Aggiungendo all'immagine di Sch indel simbolo di relazione è una relazione, ecc. La correlazione interna di questo Sch i r i su ltati di tal i operazioni, otteniamo un'importante generalizzazioneconcetto esterno di interpretazione è fornita dall'insieme delle formule del lin­ del concetto di schema: gli «spazi algebrici » di Michael Artin.guaggio che diventano vere nella data interpretazione. Per i linguaggi del primoordine si possono descrivere tutti i sottoinsiemi di formule T che possono essereveri in un'appropriata interpretazione (modelli di T) : questi sono i sottoinsiemi Dualità e continuità.minimali di formule che contengano tutti gli assiomi logici e siano non-contrad­dittori e chiusi rispetto alle regole di deduzione. In ciò consiste il contenuto del g.t. Esempi classici.teorema di completezza di Godei che costituisce la parte principale della dualitàlinguaggio/interpretazione nell'ambito dei modelli formali di entrambi i membri S erie ed i n t e g r a l i d i F ou r ie r ,di questa coppia. Sia f : R~C u na funzione periodica a valori complessi di per iodo t :

Categoria / stru t t u r a . f(x+ t )= f(x). Il n u m ero f „ = f~f(x)e ~'"* s i d ice n-esimo coefficiente diFourier di f. Se f(x) è la somma d'una serie assolutamente convergente — la sua se­

Se la categoria C è piccola, cioè i suoi oggetti formano un insieme e non unaclasse, allora essa stessa può essere considerata una struttura, definibile me­ rie di Fourier ­ f(x) = g a„ e " ' "*, allora a„ = f„, il che giustifica il nome. Suppo­

Dualità r6o z6r Dualità

niamo chef(x) descriva un certo processo fisico periodico o una oscillazione (x razione piu profonda. A livello di funzioni sullo spazio essa è una immediataè il tempo). Se tale processo è lineare, allora le funzioni (e~"'n*} possono descri­ generalizzazione dell'idea classica di dualità proiettiva.vere un sistema di oscillazioni fondamentali (armoniche). La serie di Fourier

D ist r i bu z i on i d i Sch w a r t z .esprime una qualsiasi oscillazione come combinazione di oscillazioni fonda­mentali, e f„ r appresenta l'intensità della n-esima armonica. Sia S lo spazio delle funzioni complesse infinitamente differenziabili sullo

Nel caso non-periodico, se all'infinito la funzione f : R~C decresce abba­ spazio reale n-dimensionale, ciascuna delle quali è uguale a zero all'esterno distanza rapidamente, essa può ancora essere rappresentata come somma di ar­ una sfera di raggio sufficientemente grande. Nello spazio S è assegnato un con­moniche, ma con una distribuzione continua di frequenze. L'intensità dell'ar­ cetto di convergenza: una successione (q>~) di funzioni di S converge a zero semonica di frequenza p è tutte le q>~ si annullano al di fuori di una sfera fissata e se le loro derivate di

+oo ogni ordine (pPi-+n' ) tendono a zero uniformemente.f(P) = f(x) e-' n'P*dx

~zrr Cosi come ogni vettore in uno spazio vettoriale a dimensione finita può es­sere considerato un funzionale (sullo spazio duale), le funzioni sommabili su

e la funzione f(x) si r icostruisce a partire daf(p) per mezzo dell'integrale diR" possono essere considerate funzionali su S. A tale fine si associa alla funzione

Fourier f l'applicazione lineare T>' .S~C secondo la formula T>(g)= Janf(x„...,xn)+oo g(x» ...,x„) dx„...,dx„. Questa applicazione è continua in g.

f(x) = f(p) " nip* dp. In generale ogni funzionale lineare continuo T : S ~C si dice distribuzione„~ z ar o funzione generalizzata. Le distribuzioni formano uno spazio vettoriale S'

contenuto nello spazio S", duale algebrico di S. In esso è contenuto lo spazio deiPer esempio, f(x) può essere la funzione d'onda di una particella nella rap­ funzionali del tipo T>, ma tali funzionali non esauriscono affatto S'. Un noto

presentazione delle coordinate, ef(p) in quella degli impulsi (cfr. $ 3.3). La lo­ esemPio di funzione generalizzata è la funzione delta di Dirac 8n, aeRn, Per lacalizzazione di f(x) come pacchetto d'onda spazialmente compatto si ottiene quale 8n(f) = f(a) per ogni fe%. Anche il funzionale «f~valore della derivataa prezzo di una dispersione della regione degli impulsi p, con grandi valori di di f secondo una certa direzione in un dato punto» è una funzione generalizzata.~(p) Questa definizione si giustifica con le seguenti considerazioni fisiche. Ci si può

Nel caso di funzioni su R" le definizioni sono analoghe, ma esn'P è sostituito rappresentare una funzione continua f su Rn come densità di distribuzione dida e n'<»»+--+pn*n>, dove (pi, ..., p„) è un vettore in R"n, lo spazio duale. una certa grandezza (massa, carica, ecc.). Ciò significa che la quantità di que­

Il passaggio dalla funzionef a (f„} o a (f(p) } si dice trasformazione di Fou­ sta grandezza nella regione Uc R" è uguale a f< fdx. La funzione generalizzatarier. Una funzione periodica può essere considerata una funzione sulla circonfe­

8n rappresenta allora l'idealizzazione di una carica (o massa) isolata concentratarenza unitaria, che è un gruppo topologico compatto. Allora ( f } è una fun­n nell'unico punto a. La densità è allora infinita in questo punto e si annulla iden­zione sull insieme dei suoi caratteri (e~n'n~}, isomorfo al gruppo discreto dei ticamente negli altri, cosicché essa non può essere rappresentata da una fun­numeri interi. Analogamente, la trasformata di Fourier di una funzione f(x) zione sommabile, Analogamente, il funzionale «valore della derivata in un punto >)su R è una funzione f(p) sul g ruppo dei caratteri unitari del gruppo R: può descrivere, ad esempio, un dipolo isolato : il limite di un sistema di due ca­(x~e 2rcipx} pgR riche di grandezza s e — s alla distanza r/s, quando le cariche si avvicinano

Storicamente la serie e l'integrale di Fourier sono stati il punto di partenza nella direzione del vettore che individua la direzione di differenziazione.per molte costruzioni fondamentali: qui ci si l imiterà a considerarle come mo­ Caratterizzare una distribuzione come funzionale continuo sullo spazio Sdelli della teoria della dualità in una situazione topologica. delle «funzioni di prova >) corrisponde ad una delle idealizzazioni del processo

Trasformazione di Radon. di misura macroscopica in fisica : noi non siamo mai in grado di misurare la den­sità di una grandezza in un punto, ma solo un suo valor medio in una regione,

Sia E uno spazio euclideo, E l' insieme degli iperpiani in esso. La trasfor­ idealmente piccola ad arbitrio. Questo valor medio con «funzione peso» fe%mazione di Radon trasforma una funzione f su E in u na funzione j su É : è il risultato di un'unica misura, mentre l'intera famiglia di medie rispetto allef(P) = fpfdpr, dove p.z è la misura euclidea su P. La funzionef si può rico­ f e S, cioè il funzionale completo su S, è la massima informazione teoricamentestruire a partire da f : f(x) è una certa media della derivata seconda di j (P) (ri­ possibile sulla distribuzione. Ne segue che le medie possono esistere anche se nonspetto a tutti i Psx ) nella direzione perpendicolare a P, se E ha dimensione di­ esiste alcuna densità, per esempio se la distribuzione ha una struttura forte­spari. Dal momento che le superfici di livello del carattere e n'<p ~>, xe E, pe E, mente granulare.che compare nella formula per la trasformata di Fourier di f, sono gli iperpiani Quest'idea di media ha un carattere molto generale. Essa viene usata per(p, x) = cost, la trasformazione di Radon può spesso essere considerata un'ope­ esempio nella teoria dei processi stocastici e nella teoria quantistica dei campi,

Dualità z6z r6g Dualità

dove gli osservabili locali dei campi sono solo operatori generalizzati. Non è L X L ~L ' ( l i l») ~ l i + l~, e K x L ~ L : (a, l) ~ al siano continue. Si possonopossibile qui soffermarsi piu a lungo su questo punto. considerare come esempio gli spazi a dimensione finita K" con la topologia

prorodotto : questa è l'unica topologia che rende K" uno sv''. Nel seguito di questoCommento. Si è mostrato brevemente che le piu semplici idee algebriche capitolo c'interesseremo principalmente agli svT a dimensione infinita.

di dualità (gruppi abeliani e spazi vettoriali ) conducono, nell'ambito dell'ana­ I casi K = R e C sono gli unici considerati nell'analisi funzionale classica. Ne­lisi, ai modelli matematici di importanti complementarità quali onda /particella, l i ultimi decenni hanno richiamato un'attenzione sempre crescente gli sv' sudiscreto/continuo, locale/globale, ecc. campi topologici quali i numeri p-adici Q~ o il completamento C>, di una chiu­

Il ruolo di queste fondamentali idee algebriche non deve essere messo in sura di Q~. La costruzione dell'analisi funzionale su C~, che tenga conto dell'a­ombra dal fatto che in tutte le costruzioni concrete dell'analisi i problemi della zione del gruppo di base, probabilmente avrà applicazioni essenziali in teoria deiscelta dello spazio adatto, della sua topologia, la dimostrazione delle stime neces­ numeri.sarie, ecc., occupano uno spazio incomparabilmente piu ampio della semplice Gli svT concreti a infinite dimensioni si costruiscono spesso per stadi. Sia Xalgebra. Nel seguito si esporranno un piccolo numero di esempi caratteristici, un insieme. Il piu semplice spazio ad esso collegato è lo spazio di tutte le fun­tratti da alcuni importanti capitoli dell'analisi funzionale, che utilizzano in vari zioni su X a valori in R o C ; esso è a dimensione infinita se X è infinito. In generemodi l'idea di dualità. esso è eccessivamente grande, e se ne estrae un sottospazio di funzioni soddisfa­

centi condizioni supplementari. Quando X è uno spazio topologico, si possonog.z. Dualità lineare. considerare le funzioni continue; quando X è una varietà differenziabile, quelle

differenziabili, ecc. Altri t ipi di l imitazione saranno considerati in seguito. LaSpazi vettoriali topologici. non-univocità della scelta degli spazi funzionali associati a un dato X, e della to­

Modi generali per assegnare una topologia. pologia su di essi, è il motivo principale delle complicazioni rispetto al caso adimensione finita,

Nell'articolo «Applicazioni » si è spiegato che dare una topologia su un insie­ La topologia su un dato spazio di funzioni spesso si assegna in base alla ri­me X significa assegnare una famiglia di sottoinsiemi di questo, detti aperti. chiesta che alcuni funzionali, interessanti su questo spazio, siano continui. PerTale famiglia deve contenere g e X , ed essere chiusa rispetto a intersezioni esempio, una successione di curve lisce y = f„(x) su [o,r] converge a y = f(x)finite e unioni arbitrarie. Un insieme dotato di una topologia si chiama spazio se sup ~ f(x) — f„(x)~ ~o per n~ ~. Ma i l f unzionale «lunghezza della curva»topologico. in questa topologia non è continuo: ad esempio f„(x) = (r/n) sinnx tende a

Occorre ancora introdurre alcune definizioni di uso generale, necessarie per f­= o, mentre la lunghezza della curva f„ non tende a r. Per rendere continuoil seguito. I complementari degli insiemi aperti si dicono chiusi. Il piu piccolo questo funzionale occorre rafforzare la topologia richiedendo, ad esempio, lainsieme chiuso contenente il sottoinsieme V~X s i d ice chiusura d i K Un i n ­ convergenza uniforme non solo delle funzioni, ma anche delle loro derivate.sieme Y' contenente xeX e un aperto Uax si dice intorno di x. In altri casi può risultare utile indebolire la topologia, richiedendo solo la

Sia B una sottofamiglia di insiemi aperti di X c on la seguente proprietà: convergenza «in media», ad esempio f«~f(x) — f„(x)~' dx~o: qui sono ammesseper ogni intorno Y di un qualsiasi punto xe X si può trovare un UeB ta le che deviazioni locali arbitrariamente grandi di f„da f, purché siano concentrate suY~ Uax. Una tale famiglia B si dice sistema fondamentale di intorni, o base insiemi di misura piccola. Le «norme» e le «seminorme» mediante le quali sidella topologia di X. L' intera topologia di X si ricostruisce univocamente a par­ assegnano le topologie sugli sv' generali (cfr. oltre ) sono in genere scelte intire da una sua qualsiasi base. Per esempio, se X, V sono spazi topologici, si può modo tale da garantire la continuità dei funzionali per noi importanti.definire univocamente la topologia prodotto su Xx V , nella quale serviranno Può accadere che uno svT, ad esempio uno spazio di funzioni, dopo essereda base i prodotti U x V, dove UcX , V c V sono insiemi aperti arbitrari. stato costruito risulti non-completo, come non è completo lo spazio dei numeri

Un'applicazione tra spazi topologici f : X~ V si dice continua se laf-contro­ razionali nella topologia archimedea ; allora occorre completarlo. Si dànno delleimmagine di un qualsiasi insieme aperto di Y è un aperto di X. definizioni precise che è comodo formulare in termini di reti convergenti, le

Uno spazio topologico V si dice compatto se da ogni suo ricoprimento con quali generalizzano le successioni convergenti dell'analisi classica.insiemi aperti si può estrarre un sottoricoprimento finito, e discreto se ogni Sia A un insieme diretto (o filtrante a destra), cioè un insieme su cui siasuo sottoinsieme è aperto (e perciò anche chiuso). data una relazione d'ordine x> P soddisfacente l'ulteriore condizione: per ogni

S pazi ve t t o r i a l i t o p o l o g i c i . x, PeA esiste yeA talechey>x e y> ) . Ogni applicazione di A in Xsi dice una(A-)rete su X. È comodo indicare una A-rete con (x„~ xe A, x,e X}, o sempli­

Sia K uno dei campi R o C. Si dice spazio vettoriale topologico (svT) su K cemente (x„}. Se X è uno spazio topologico, (x„} una rete su X, x e X , scriveremouno spazio vettoriale L su K, su cui sia data una topologia tale che le applicazioni x , ~x o l im x „ = x, se per ogni intorno Ua x esiste un xe A tale che per ogni

Dualità r6g r65 Dualità

I3 e A, P > a, risulti x>e U. In questo caso si dice che la rete x„converge al punto x. tando Q come unioneQK, d i sottoinsiemi chiusi e limitati(e perciò compatti ),In uno spazio di Hausdorff una rete può convergere a un solo punto. L'assegna­ ts = l

si può assegnare questa topologia mediante il sistema di seminormezione di una topologia in X può, a volte, essere sostituita dalla descrizione ditutte le reti, convergenti ai punti di X, poiché un'applicazione f : X~ Y è con­ p,„(u) =sup g fu'< (x)l.tinua se e solo se da x„~x segue chef(x„) ~f(x) per ogni rete su X. sci~ i / [=O

Una rete {x„) in uno sv' L si d ice fondamentale se per ogni intorno dello òl<luQui x = (xi -" x~) q = (qr " qn) Iql= qr+" + q n, u'<'(x) = (x).zero Uc L esiste un u. tale che da[i) x e y> z segue x> — x~e U. Uno spazio L

si dice completo se ogni rete fondamentale ha un limite in esso. La costruzione Lo spazio delle funzioni fondamentali S (Q) c: C (Q) per definizione è for­classica di R a partire da Q si trasporta agli sv' e permette, per ogni sv' L , mato dalle funzioni a supporto compatto : ognuna di esse si annulla all'esternodi costruire il suo completamento L in s ieme con un'applicazione continua di un opportuno sottoinsieme chiuso e limitato di Q. Il piu piccolo sottoinsiemeL ~L . chiuso all'esterno del quale la funzione u sia uguale a zero si dice supporto

Infine, dagli svT iniziali, del tipo spazi di funzioni, si possono formare nuovi di u, e si indica con suppu.svT, come gli spazi dei funzionali lineari continui su essi, dei prodotti tensoriali, Se Kc Q è chiuso e limitato, lo spazio Sz delle funzioni ue C (Q) conecc. Gli effetti della non-unicità della topologia continuano ad agire anche in que­ suppuc:K è dotato di una topologia per mezzo del sistema di seminormesti casi; si tornerà in seguito su queste costruzioni. m

p~ „(u) = sup P fu'~'(x)l.$EE fg[=O

N orme e s e m i n o r m e .Se KrcK„ s i ha Sz,c%z,, e le topologie su Sz, e Sz, sono compatibili. Nello

Si dice seminorma p su uno spazio vettoriale L su K =R o C, l'applicazione spazio S(Q) = i J ~Pz si introduce la topologia piu debole che induca su ognip : L~R che soddisfa le condizioni: r) p(x)>o; z) p(x+y)<p(x)+p(y); EcQ

Sz la topologia descritta sopra. Lo spazio ottenuto si dice spazio delle funzioni3) p(Xx) = IXfp(x) per ogni x,yeL, ) éK. La seminorma p si dice norma se, fondamentali su Q. Le funzioni generalizzate su Q saranno in seguito definiteinoltre, da p (x) = o segue che x = o. Se p è una norma, invece di p (x) spesso si come funzionali lineari continui su S (Q).scrive ffxff. È necessario osservare che 9 (Q) è solo uno tra i possibili spazi di funzioniOgni famiglia di seminorme (p;) su L definisce una struttura di sv' nella fondamentali rispetto ai quali, per dualità, si definiscono spazi util i di fun­quale una rete x„c L converge a xe L se e solo se p;(x„— x) ~o per ogni i. Se la zioni generalizzate. Un'altra classe di spazi è descritta nel seguente esempio:topologia su L può essere assegnata da una famiglia consistente di una sola nor­Esempio . L o spazio Ss(z)o, I3)o) per definizione è formato da quellema, L si dice normato.

funzioni infinitamente differenziabili p (x) su R per cui esistono delle costantiUno sv' normato completo si dice spazio di Banach.A, B, C (dipendenti da <p) per cui: fx~cp'<'(x) l(CA~B~k~'q~a per ogni k, q.

Uno spazio di Banach la cui norma ll II soddisfa l'identità Ilx+ylla+ La topologia su Sa s' introduce nel modo seguente. Sia Sa>+ lo spazio+ ffx — ylfs= zllxff~+zffyff~ si chiama spazio di Hilbert.jq>(x) l fx~y'<'(x)f(CA~&k~"q@) per arbitrari k,q, A)A e B) B . S' i n t roduca

Esempio . S i a X uno spazio vettoriale, C(X) lo spazio delle funzioni con­ una topologia su Sa> mediante il sistema di norme

tinue su X. Si prenda in considerazione il caso X= [o,r] e per ogni p>o si r ' r ' — 1

ponga per f c C[o, r] Il cp ll „ = sup ,fx'y"'(X) I A+ — B+ — k 'q 'a

Il f II,= [fo ff(x) I" ~x]"" Esso è completo in questa topologia. Su Sa = Q Sa>+si introduce la topologiaIl f II­= sup I f I dell'unione, nella quale una successione di funzioni converge a zero se essa

Si può dimostrare che per ogni p) r o p = ~, ff ff„è una norma. Sia w~ la to­ è tutta contenuta in uno degli spazi Ss >~ e converge a zero in questo spazio.pologia definita dalla norma f f If„, L~[o,r] il completamento di C[o,z] in que­ Le costanti a e I3 impongono delle restrizioni sul modo in cui la funzionesta topologia. La norma ff If„si prolunga su L„[o,z] e lo rende uno spazio di e le sue derivate decrescono all'infinito. Se queste restrizioni sono troppo forti,Banach. Se p=~ esso coincide con C[o,r] ; se p(~ non coincide. Se p= z, può accadere che lo spazio SS si riduca al solo zero. Un risultato non-banaleL,[o,r] è uno spazio di Hilbert. è che Ss/ (o) solo per u+ I3) r, z) o , [ i) o, e anche per p) r , @= o e x) r ,

Esempio . S i a Qc:R" un aperto, C"(Q) lo spazio delle funzioni infinita­ I3= o. La trasformata di Fourier trasforma Ss in Sa, essenzialmente perchémente differenziabili su Q. La topologia abituale su C (Q) è definita dalla scambia di posto gli operatori di moltiplicazione per x e quelli di derivazioneconvergenza uniforme, con tutte le derivate, su ogni compatto in Q. Rappresen­ rispetto a x.

Dualità t66 t6p Dualità

Ad esempio, se la funzionef in Q è sommabile in ogni compatto, allora ad es­Topologia e c o n v e ss i tà . sa corrisponde la distribuzione T>. u~ f< u(x) f(x) dx. Tali T<si dicono regola­Sia L uno spazio vettoriale su R o su C, e x,y s L. L'intervallo di estremi x, y ri. L'applicazione f~ T>, limitata su S (Q), definisce un'immersione canonica

in L è i l s o t toinsieme(ex+(r — x)y), o< x < r . U n s o t toinsieme Uc:L s i S(Q) ~S(Q)', cosicché lo spazio J) (Q)' si comporta come un ampliamento dellodice convesso se contiene, insieme con due qualsiasi punti x,ye U, anche l'in­ spazio di funzioni $ (Q), il che spiega l'origine del termine russo 'funzione gene­tero intervallo di estremi x, y. Un sottoinsieme UcL si d i ce equilibrato se ralizzata'. Si userà questo termine come sinonimo di «distribuzione».da xc U, e )À~ < t segue che Àxe U. Un sottoinsieme UcL si d ice assorbente La convergenza delle distribuzioni è la convergenza nella topologia debole:se per ogni xeL esiste À)o con Àxe U. T„~ T se per ogni ucS (Q), T„(u) ~ T(u).

La connessione tra questi concetti e i p recedenti è la seguente: se nello Perle distribuzioni regolari T< confe%(Q) è verificata l'identità T>f/>,(u) =

sv' L la topologia è data mediante una famiglia di seminorrne(p;), allora si ha= ­ T>(àu/òx;) (integrazione per parti). È naturale esprimere il funzionale a

n ò òun sistema fondamentale di intorni dello zero in L : P(x ~ p; (x) <s), che risul­ sinistra dell'uguaglianza nella forma — T<, e quello a destra con — T>o —. Si

. E =tòx, ' ' òx ,

tano insiemi convessi, equilibrati ed assorbenti. È vero anche il viceversa: se osservi che quest'ultimo funzionale è definito per tutti i Te% (Q)'. Ciò conducelo sv' L è localmente convesso, cioè ammette una serie di intorni dello zero for­ alla definizione dell'operatore di derivazione parziale sulle funzioni generalizzate :mata da insiemi convessi, allora la sua topologia può essere assegnata medianteun sistema di seminorme.

La classe degli spazi localmente convessi (st.c) L sarà fondamentale nelle no­stre considerazioni. Il suo ruolo nella teoria della dualità si spiega già per il fattoche per ogni st.c L ed ogni punto xcL esiste un funzionale lineare continuo Tutti questi operatori sono continui nella topologia di 9 (Q)', i risultati del­f : L ~R tale che f(x) +o. l'applicazione di questi a T>, per una funzione f sommabile, ma non necessaria­

mente differenziabile, sono detti derivate generalizzate di f. Questo è uno degliSpazio topologico duale. effetti della dualizzazione: la derivazione diventa possibile per una classe molto

piu ampia di funzioni, a prezzo del fatto che il risultato della derivazione è unDefin iz i one d i L '. oggetto di natura differente.Sia L uno sv' su un campo K. Lo spazio topologico L', duale di L, è formato Per mezzo delle derivate generalizzate si può descrivere completamente la

da tutti i funzionali lineari continui L~ K . E sso è un sottospazio dello spazio classe delle funzioni generalizzate finite T, che si definisce nel modo seguente.duale algebrico L~, nella cui definizione non si tien conto della topologia di L. Si dice supporto di T, supp T, il piu piccolo insieme chiuso in Q tale che, per

usi (Q ) con supporto al di fuori di esso, sia T (u) = o. Una funzione genera­Topologie in L '. lizzata T è finita se il suo supporto è compatto in Q. Ogni funzione generaliz­In L' è naturale considerare almeno due diverse topologie: la debole e la forte. zata finita può essere rappresentata come somma finita di derivate generalizzate

Nella topologia debole una rete [f„) in L' converge ad f se e solo se per ogni d i funzioni continue con supporto compatto in Q. Per esempio, per Q=R, l ax c L si haf„(x) ~f(x) (convergenza puntuale). Nella topologia forte la conver­ funzione delta 8~, in un intorno dell'origine, coincide con la derivata seconda del­genza è la convergenza uniforme sugli insiemi limitati di L. (Un sottoinsieme la funzione che è uguale a zero per x<o, e uguale a x su un qualsiasi inter­Fc:L si d ice l imitato se per ogni intorno U d e l lo zero esiste ÀER ta le che vallo [o,c], c)o .Fc:ÀU; negli spazi localmente convessi ciò è equivalente alla limitatezza di Esempio . Lo spazio Ln[o,r]', nella topologia forte, è naturalmente iso­f(F) per ogni AL'). morfo a L [o, r], dove q è definito dalla condizione ( t /p)+ (r /q)= t. La forma bi­

Se L è uno spazio di Banach con norma p, su L' si ha una struttura naturale lineare (f,g) ~ fp fg dx, dove fe L„, g eLq, definisce contemporaneamente f co­di spazio di Banach con norma p', per la quale p' (f ) = sup ~f(x)~. La topologia me funzionale lineare continuo su L, e g su L~; essa definisce anche la corri­corrispondente a p' coincide con la topologia forte. spondente dualità, Inoltre la norma di Banach del funzionale g ~ fp fg dx coin­

Esempio : d i s t r i b u z i o n i , S i d i ce distribuzione ogni elemento dello cide con la norma (~ f ~(„della funzione f in L~.spazio $ (Q)', dove lo spazio delle funzioni fondamentali S (Q) è stato definito In particolare lo spazio di Hilbert L, [o,i] è isometrico al suo duale: su Rnell'esempio di p. r6y. In altre parole, una distribuzione T è un'applicazione l'isometria è realizzata dall'applicazione f~ funzionale (g~ f~fgdx) (su C oc­lineare T : $ (Q) ~R (o C) tale che per ogni compatto Kc: Q esistono C) o e corre Prendere fo fg dx). Piu in generale, se L è un qualsiasi sPazio di Hilbert

n su C con norma )~ ~(, su di esso si ha una forma R-bilineare canonica: il prodotton)o ta li che per ogni usi (Q) si ha )T(u)] <C sup g (u''O(x)(. scalare (x, y) = ( t /y)[//x+y//' — /fx — y]/~+i//x — iyj/' — if/x+iyf/s]. Rispetto ad xSEX ] g i =O

Dualità ?68 ?69 Dualità

essa è lineare anche su C, e rispetto ad y è antilineare su C: (x, ay) = a(x, y), Con questi dati è possibile continuare la descrizione degli spazi topologiciInoltre essa è continua e non-degenere in entrambi gl i argomenti: invero duali.(x, x) = ~~x~~~. Perciò essa definisce un'applicazione canonica L~L ' : x~ (y~ Esempio: l e m i s u r e c ome f u n z i onal i c o n t i n u i . S i a X u n o spa­~(y, x)), che è un isomorfismo (antilineare in C). zio di Hausdorff localmente compatto, K (X) lo spazio delle funzioni continue

Nel seguito occorreranno concetti fondamentali della teoria della misura. su X a supporto compatto. La topologia su K (X) è data dalla definizione diMisura e integrale. Sia X un insieme. Si dice v-algebra B su X una fami­ convergenza: f„~f se esiste un compatto KcX t a le che Kas uppf„,suppf e

glia di sottoinsiemi di X, chiusa rispetto ad unioni numerabili, intersezioni nu­ f„converge uniformemente adf.merabili e complementi. La piu piccola cr-algebra, contenente tutti gli insiemi D'altra parte si consideri lo spazio delle misure regolari su X; cioè delle mi­aperti di uno spazio topologico X, si chiama a-algebra di Borei. sure che godono della proprietà: per ogni insieme misurabile E con l?(E) ( ~ e

Si dice misura p. sulla o-algebra degli insiemi p,-misurabili B (o, per brevità, ogni s >o esistono un compatto K e un insieme aperto U tali che Kc E c Usu X) un 'applicazione p. : B~R (o C) tale che da E,+Es= g segue che e i V l(UXK) «.p.(E,UE,) =p,(E?)+i i, (Ez). La misura p. si dice numerabilmente additiva se Ogni misura regolare p. definisce su K (X) un funzionale lineare continuo

da E,AE~ = 8 per ip j s egue che p.(QE,)=pp.(E;), dove la serie a destra f ~ fz f dp,, e tutti gli elementi dello spazio duale K(X)' si ottengono in tale modo,?=l r = l Nello spazio delle distribuzioni S (Q)' si trovano i funzionali T„: u ~ f<u(x)

converge assolutamente. La misura p. è positiva se p,(E) ) o per ogni Ee B. Si dp,(x), corrispondenti alle misure <z-finite ii, su Q. La funzione delta di Dirac,dice variazione della misura numerabilmente additiva p. la misura ~p.~(E) = 8 (a e Q), per esempio, corrisponde alla misura unitaria concentrata nel punto a := sup /~p.(E;)~, dove il sup è preso su tutte le partizioni E = +E+, EzeB,

l?,(E) =? se aeE, i?,(E) = o altrimenti.Esempio : g l i sp a z i L>(X, p.). Se X è u no spazio con misura p,, è

E? AE, = p per i~ j. La misura p. è detta completa se da E„E~e B, E? cEc E~, possibile definire L„(X, p,), per po ?, come il completamento dello spazio delle~ p.~(E~+E?)= o segue che Ee B. Ogni misura numerabilmente additiva si estende funzioni su X con norma finita )~f ~~„= ~f<~ f(x)~~d~p.~(x)~"r. Tutti i risultatia una misura completa (mediante un opportuno ampliamento dell'algebra B ). formulati sopra per gli spazi L> [o,?] restano veri in questo contesto piu generale.

La consueta misura su R (che, sugli intervalli, coincide con la lunghezza), In particolare L>(X> p.)' è isomorfo a L (X, p ), dove (?/p) + (?/q) = ? ,

non soddisfa alla condizione che la serie g p.(E,) converga (necessariamente) Riflessiv i t à .a=l

per E; gE, = g. Ma R può essere rappresentato come. unione di una famiglia Se L è uno spazio lineare normato, allora L' è uno spazio di Banach, e si puònumerabile di semiintervalli disgiunti, su ciascuno dei quali la consueta misura costruire lo spazio L", biduale di L. Si ha, come nel caso a dimensione finita,

un'applicazione lineare canonica ) : L ~ L" : P (x) è f (x) come funzione di f e L'.di Borei soddisfa le nostre definizioni. Nel caso generale, se X= @X; (unione

1=1 ooSi può dimostrare che l'applicazione P è una isometria di L con P(L), e P(L)

disgiunta ), e su ogni X; è data una misura p,;, allora la misura p.=g i?? si dice è denso in L" nella topologia debole, ma non coincide necessariamente con L".Lo spazio L si dice riflessivo seP è una isometria di L con I ". Da quanto os­

o-finita. Essa è definita per quegli E c X per i quali E A X; è p.;-misurabile, e la servato a p. ? 67 si deduce che gli spazi di Hilbert sono riflessivi. Analogamenteserie g p,(EAX;) converge assolutamente. sono riflessivi gli spazi L„ (X) per p) ?.

'eUna funzione f : X~R (o C) si dice p,-misurabile se la f-controimmagine di Uno dei criteri di riflessività di L consiste nella condizione che ogni fun­

un qualsiasi insieme aperto è misurabile. Una funzione misurabile si dice sem­ zionalef e L' raggiunga il suo estremo superiore sulla sfera unitaria ~~x~) =? in L .

plice se assume un insieme al piu numerabile di valori distinti ( fz). Se la somma Un'altra condizione è la compattezza della sfera unitaria ~~x~~ (? nella cosiddetta

g f@p. (x ~ f(x) = f@) converge assolutamente, essa si chiama integrale della fun­ topologia debole in L. In questa topologia una base di intorni dello zero è for­mata da tutt i i possibili insiemi del tipo (xcL ~ j f i(x)~,...,~ f„(x)~ (s}, dovezione semplice f rispetto alla misura p., e si indica confz f(x) dl?,(x) o f fdp.. s) o ef„ . . ., f„c L' sono funzionali arbitrari.

Una funzione misurabile f)o si d ice p,-integrabile se esiste C)o ta le che pertutte le funzioni semplici g ( f si ha ~f<g dp. ~ ( C. In questo caso si dice integrale Operatori lineari, prodotti tensoriali e nuclearità. Se L„ L ~ sono spazi vet­J f dy, l'estremo superiore degli integrali f>gd'. rispetto a tutte le funzioni sem­ toriali a dimensione finita, si ha l'isomorfismo canonico Hom ( L„La) L?~QxL~.plici g (f . In esso sono unificate due idee di dualità : dualità degli spazi vettoriali e dualità

Una funzione misurabile complessaf si dice i?-integrabile o sommabile se secondo Kan dei due funtori Hom e ® (cfr. ) )?.z e z.z). Il trasporto di que­~ f ~ è ~p.~-integrabile. L'integrale f~ f dp, è univocamente definito su tali fun­ sta identità al caso di infinite dimensioni non è banale, dato che la definizionezioni dalle condizioni di l inearità rispetto ad f e p.. dell'analogo topologico del prodotto tensoriale non è univoca, e l'applicazione

Dualità t70 l7I Dualità

di questo nello spazio degli operatori cessa di essere un isomorfismo. Lo studio L'immagine del prodotto tensoriale hilbertiano (L' Qx L) in Z (I., L) consistedegli oggetti che si presentano naturalmente in questo contesto conduce all'in­ dei cosiddetti operatori di Hi lbert-Schmidt.dividuazione dell'importante classe degli operatori e degli spazi nucleari. Nell'immersione naturale Lip>< L~c:L,' ®L~ gli elementi di L,'pxLa sono tra­

Nel seguito si considereranno successivamente le varianti topologiche degli sformati in elementi dello spazio di operatori 2 (L„L ,) , che si dicono nucleari.spazi Hom (Ll, L~), Lf QxLa e le connessioni tra loro. Essi hanno la forma x~g f „ ( x ) x „, dove f„c L l X E L, e g ~~ f„(] ~~x„)((~.

S pazio d egl i o p e r a t o r i . n =l n,= l

Se L è uno spazio di Hilbert, si ha il seguente criterio di nuclearità di un ope­Siano l. l, La due svT. In questo caso, invece di Hom(L„La ), si considerano ratore A : L~L. Sia (x„) una base ortonormale di L, cioè tale che ~~x„~~= l e

le applicazioni lineari continue L ,~La (operatori lineari da L, in La). Gli ope­ (x„x>) = o per ogni a.+ P e (y, x,) = o per ogni x implica che y = o. La nuclea­ratori l ineari formano uno spazio vettoriale, che si i ndica con l '(L„La). rità di A equivale alla convergenza della serie g (Ax„, x>) per ogni base ortonor­Se L, ed Lz sono normati, anche in 2 (L„L~) si può definire una norma:

~(A~~= sup ([A(x) ~(. Nel caso generale, su 2(L„L~) si hanno alcune topologie na­ male. La somma di questa serie non dipende dalla scelta della base, e si diceIlsll i l traccia dell'operatore A.

turali, sulla cui definizione non ci si soffermerà.Lo spazio topologico duale L' è, evidentemente, 2 (L, K). S pazi n u c l e a r i .

O peratore a g g i u n t o . Si supponga ora che la topologia su L, sia data dal sistema di seminormeSia AeX(L„ L , ) . L 'operatore A~ : L~~L i~, aggiunto algebrico di A, può (p„), e in L, dal sistema di seminorme (q>). Le seminorme p Q>< q> e p„pxq>

essere ristretto al sottospazio topologico duale L,'i:La . Si ottiene un operatore in L l Q>< Lg sono definite esattamente dalle stesse relazioni di prima. I completa­d' : L~ ~ Ll che si dice aggiunto topologico di A. menti di L] QxLa rispetto ai sistemi di seminorme (p„p>< q>) e (p„pxq>) saranno

P rodott i t e n s o r i a l i d i sp a z i h i l b e r t i an i e nor m a t i . indicati rispettivamente con L l Q~Lg e L, Qx L,. Come sopra, si ha un'immersionenaturale LlQ)< Lac:LipxLa.

Siano (L„p , ) , (L „p , ) s pazi normati. Se questi sono hilbertiani, sul pro­ Uno si.c L si dice nucleare se per ogni sLc M r isulta LQxM = LpxM.dotto tensoriale algebrico Ll px L~ è definita un'unica norma hilbertiana che sod­ Tra gli spazi normati solo quelli a dimensione finita sono nucleari. Se sullodisfa la condizione p (x ipxxa) =p, (x,)pa(xa) per ogni x,cL „ x ~ c La. Rispetto sLc L è definito un sistema numerabile di seminorme (pt), allora la condizionea questa norma lo spazio LlpxL, è separato, ma non completo, Il suo comple­ di nuclearità per L è la seguente : per ogni k esiste un j) k tale che l'applicazionetamento (Ll AL~) si d ice prodotto tensoriale hilbertiano degli spazi L, e L,. di identificazione (L, p.) ~ (L, p>) sia nucleare.

Nel caso generale la condizione p (xlpxxg) =pi (xl) p~(x~) non definisce uni­ Gli spazi nucleari posseggono una serie di buone proprietà topologiche. Invocamente una norma su L, px L,. Tutte le norme con questa proprietà si chia­ essi la topologia debole e la forte coincidono, gli insiemi chiusi e limitati sonomano norme tensoriali. Tra queste ne esiste una massima, p, Qxp~, e una minima compatti, come nel caso a dimensione finita. La categoria degli spazi nuclearip,(x3p, Cioè plp>< p~= inf g p, (x,) pa(yt), dove inf è preso rispetto a tutte le rap­ è chiusa rispetto ai limiti proiettivi ed induttivi, e al passaggio a sottospazi chiu­

presentazioni di z nella forma a = g x, Qxy; ; analogamente (pi epa)= sup j f(z) ~, si e a spazi quoziente rispetto a questi. Infine, ogni operatore lineare continuodove sup è preso su tutte le f = f,p>< f~, fl EL,', f cLa, p,'(f ) (l . 1 corrisponden­ da uno spazio nucleare o in uno spazio nucleare è nucleare. Piu precisamente,ti completamenti si indicano con L] Q~ La e Ll Q>< L,. Si ha un'ilnmersione naturale l'applicazione canonica L', Qx La ­— L', Qx L, ~ 2(L„L.,) è un isomorfismo, cosicchéL,OxL,c:LlOxLa, si ottiene un'analogia completa con il caso a dimensione finita. L ' importanza

del concetto di nuclearità non è determinata solo da queste proprietà. L'indi­Connessione tra prodotti tensoriali ed operatori. viduazione di questo concetto ha rappresentato il compimento di un certo sta­Sia definita l 'aPPlicazione canonica LlpxLa~2 (L„La) che all 'elemento dio della geometrizzazione dell'analisi funzionale lineare.

f®x ( fe Ll xEL, ) associa l'operatore di rango l, y ~ f(y)x (si dice rango 'di L'introduzione dei concetti di spazio di Hilbert inizialmente, e poi di spazioun operatore lineare la dimensione della sua immagine). L'immagine di Ll p>< Lt di Banach, sono state le prime pietre miliari di questo stadio. Ma il contesto de­consiste di tutti gli operatori di rango finito. L'applicazione canonica descritta gli spazi di Banach è risultato ristretto per esempi importanti e naturali quali glisi estende ad un'applicazione Lippa La~2 (L„L~) che, in generale, non è né iniet­ spazi delle funzioni fondamentali e delle distribuzioni. L'assiomatizzazione delletiva né suriettiva. La sua immagine coincide con la chiusura in norma dello loro proprietà topologiche ha condotto alla definizione degli spazi localmentespazio degli operatori di rango finito. Tutti gli operatori di questo tipo sono convessi, ma questa categoria è risultata troppo ampia per tutta una serie dicompletamente continui, cioè trasformano insiemi limitati in insiemi con chiu­ scopi. Ora si ritiene che gli spazi nucleari, di cui fanno parte tutti gli spazi im­sura compatta. portanti di funzioni fondamentali e generalizzate, costituiscano la classe piu na­

Dualità I72 '73 Dualità

turale rispetto a tutta una serie di proprietà. La complessità della loro definizioneè bilanciata dalla semplicità dell'«algebra multilineare» in questa classe. Un ul­ T opologia s u l l o s p e t t r o .teriore esempio delle buone proprietà degli spazi nucleari è l'esistenza di una Ogni carattere di A è un elemento dello spazio di Banach A', duale topologico«analisi di Fourier» su di essi. Ogni rappresentazione unitaria di R" può essererappresentata come integrale di Fourier rispetto ad una certa misura sullo spazio

di A : si ha perciò un'immersione naturale M (A) c: A'. Si doti M(A) della topo­logia indotta dalla topologia debole su A'. Si può dimostrare che M (A) è chiusoduale R~". Se, invece di R~, si considera uno sz,c, questo risultato rimane vero e limitato e perciò compatto. Nell'esempio precedente l'applicazione canonica

se e solo se tale spazio è nucleare. X~ M ( C (X) ) è un omeomorfismo.

3.3. Algebre di Banach e loro spettri. E s e m p i o. A = (x = (xo, x„... ) f Il x ll= P Ixi l ( ~ ) con la moltiplicazioneOO a= O

(xy)„ = P x»y„<.. Lo spettro M(A) è i somorfo al cerchio unitario complessoLa geometria si occupa degli spazi, l'analisi delle funzioni su di essi. La ~o OO

relazione spazio /funzioni ha le caratteristiche della dualità già per il fatto che (fzf ( r f ze C). Il punto z corrisponde al carattere x ~ P x,z'.«inverte le frecce»: un'applicazione di spazi corrisponde al trasporto delle fun­ i =O

zioni nella direzione opposta (cfr. $ z). Punto di partenza possono essere tanto R elazioni d i dua l i t à .

gli spazi quanto le funzioni, eventualmente in senso generalizzato. La teoria L'applicazione M (spettro) è un funtore dalla categoria delle algebre di Ba­degli schemi in geometria algebrica ha origine dalla formulazione precisa del­ nach nella categoria duale della categoria degli spazi topologici compatti. È na­l'idea che ogni anello commutativo è un anello di funzioni su un appropriato og­ turale considerare lo spazio M (A) come oggetto duale dell'algebra A.getto geometrico : il suo spettro. Questa costruzione è stata preceduta dalla fon­ Per ogni A si ha un'applicazione naturale di algebre di Banach A C (M(A)) :dazione della teoria delle algebre di Banach e dei loro spettri nel contesto dell'a­ x~x, dove x (y) =y (x) per ogni xeA, ye M ( A) . I l secondo esempio mostranalisi. Nella sua accezione generale lo spettro di un anello è quello spazio na­ che esso non è necessariamente un isomorfismo: in esso l'immagine di A è for­turale sul quale gli elementi dell'anello siano funzioni. Si dànno qui di seguito mata dalle funzioni analitiche nel cerchio, ma non da tutte le funzioni analitiche.alcune definizioni precise. Una dualità precisa si ottiene soltanto per le algebre C (X) con X compatto.

A lgebre d i Ba n a c h .3.4. Gruppi topologici e trasformata di Fourier.Un'algebra, dotata di unità sul campo dei numeri complessi, si dice di Ba­

nach se è dotata di una struttura di spazio di Banach, con norma ff ff, per la La teoria della dualità per i gruppi topologici ha una forma compiuta soloquale ffxyff(ffxff ffyff, fft ff= r, e la moltiplicazione è continua. nel caso commutativo. Per gruppi non-commutativi un'appropriata definizione

Nel seguito ci si limiterà a considerare algebre di Banach commutative. di oggetto duale non è stata trovata, a quanto pare, neppure nel caso finito. Quici si limiterà perciò ad una breve discussione della dualità di Pontrjagin e dello

C arat ter i e sp e t t r o . spazio G delle rappresentazioni unitarie irriducibili.Sia A un'algebra di Banach commutativa. Si dice carattere di A un omo­

morfismo continuo non nullo y : A ~ C. Si dice ideale massimale in A un ideale Lo spazio G.ic: A tale che tra t ed A non vi siano ideali intermedi. A partire da ciascun ca­rattere y si può costruire un ideale massimale t, il nucleo di y; a part ire da G rupp i t o p o l o g i c i .

ogni ideale massimale, un carattere y : A~A /i C . Si dice spettro M (A) del­ Sia G un gruppo topologico, cioè un insieme G dotato della struttura dil'algebra A l'insieme dei suoi ideali massimali, o l'insieme dei suoi caratteri : per gruppo e di spazio topologico in maniera tale che sia continua l'applicazionequanto detto sopra essi sono in corrispondenza biunivoca. G x G ~ G : (x,y) ~ xy-'.

Esempio. L'anello delle funzioni continue C (X) su un compatto X con Rappresentazion i .ff ff= sup ff(x) f è un'algebra di Banach. Ogni punto xeX definisce a) il carat­

SEX Si dice rappresentazione T del gruppo topologico G in uno sv' L una rap­tere y : f~ f ( x) ; b) l' i deale massimale tz ­— (f f f(x) =o ). In tal modo si ha presentazione algebrica G x L~L : (g,x) ~ T (g)x, continua rispetto a (g, x).un'applicazione X~M (C(X)). Si può dimostrare che essa è biiettiva, cioè che Una rappresentazione T si dice unitaria se L è uno spazio di Hilbert e tutti gliX si ricostruisce come insieme a partire dal suo spettro M (C(X)). In effetti si operatori T (g) sono unitari, cioè conservano il prodotto scalare hilbertiano. Duepuò ricostruire anche la topologia. rappresentazioni unitarie T„T , ne gli spazi L„L « s o no isomorfe se esiste una

isometria di L, con L«che trasforma T, (g) in T.,(g) per ogni ge G. Una rappre­

Dualità i74 '75 Dualità

sentazione T si dice topologicamente irriducibile se nel suo spazio L non esiste TEQREMA. a ) L'applicazione X : G~ G è un funtore' dalla categoria dei gruppiun sottospazio proprio chiuso invariante rispetto a tutti i T (g). localmente compatti nella categoria ad essa duale.

b) Il funtore X è una equivalenza di categorie, ed il funtore Xo è il suo inverso,L o spazio G .nel senso che XXo e XoX sono equivalenti alfuntore identico.

Con G si indica l'insieme delle classi delle rappresentazioni unitarie irriduci­bili del gruppo G, con la seguente topologia. Sia T una rappresentazione unita­ Strut t ura de l la categoria de i g r u pp i a b e l i an i l o c a l m ente com­ria di G in L, [T] la sua classe di equivalenza. Una base di intorni del punto patti.[T] in G è costituita dagli insiemi indicati con U(K, E,, ..., F„, e), dove Kc: Gè un compatto, E,, ..., E„c L è un qualsiasi insieme finito di vettori, s) o è u n La decifrazione delle affermazioni del teorema e la loro dimostrazione

numero reale. Una rappresentazione T, nello spazio L, appartiene a tale insieme contengono come casi particolari tutte le considerazioni formulate nel $ i per i

se e solo se esistono q„. . . ,q„eL, t a l i che per ogni geK, i , j = i, . . . ,n, s i h a g ruppi abeliani finiti . In particolare l'applicazione canonica G~G :g~ y (g)l(T(g)<;, <,) — (Ti(g)~; n,)l( ' come funzione di y è un isomorfismo topologico.

Lo spazio G si dice spazio duale del gruppo G. Nel caso in cui quest'ultimo In effetti si può descrivere in modo molto soddisfacente la struttura della ca­

sia commutativo e localmente compatto, lo stesso G ha la struttura di gruppo tegoria LCAb e del funtore X nel modo seguente.

commutativo localmente compatto, e si dice duale di G secondo Pontrjagin a) La categoria LCAb contiene i gruppi «elementari» R, C» R/Z, Z e(cfr. oltre ). Nel caso generale G può essere uno spazio topologico con una strut­ Z/nZ; inoltre R R Ci — Z Z — Ci (Z/nZ) Z / nZ.tura abbastanza complessa, in particolare non-separato. Osserviamo ancora che b) Nella categoria LCAb sono definite le operazioni di somma, di prodotto,la restrizione alle rappresentazioni unitarie non è necessariamente la migliore; di limite proiettivo ed induttivo (con famiglia arbitraria di indici ).per i gruppi di Lie sono utili anche altre varianti. c) La categoria LCAb è equivalente alla piu piccola delle sue sottocategorie

Esempio . G s ia il gruppo diedrale infinito. Ciò significach G è generato contenente i gruppi elementari e chiusa rispetto alle operazioni descritte.da due generatori a, t con le relazioni t»= i , t a t - i = a-'. In tale caso G è omeo­ d) Il funtore di dualità di Pontrjagin X trasforma gruppi elementari in ele­morfo all'intervallo [o, i], con gli «estremi raddoppiati»: G = (o, i )U [oy]U mentari (a meno di isomorfismi ), e prodotti e limiti proiettivi rispettiva­

U [oa)U (i, )U [r,], dove (o, i ) ha la topologia abituale, ma per t~o+ in [o, i] mente in somme e limiti induttivi, e viceversa. Il gruppo G è compatto se

si ha t~ o , e oa in G, e per t~i — in [o, i] abbiamo t~t i e i z in G . e solo se G è discreto.

Esempio . G = SL(z, C), gruppo delle matrici z x z con elementi in Ce con determinante unitario. Oui G è identificato al sottoinsieme di R': [(n, r) ~ Trasformata di Fourier.n) o in tero, rc R, r) o pe r n = o], e la topologia su G coincide con quella in­dotta da Rz, con l'eccezione che, quando t ~ ( — i, o) nel senso consueto, t tende Integrazione i n v a r i an t e .

contemporaneamente anche a(z, o) in G. Su ogni gruppo localmente compatto G con una base numerabile (di intornidell'identità ) è definita una misura di Borei regolare o-finita non nulla invarianteDualità di Pontrjagin. rispetto alle traslazioni sinistre: G~G : x ~ gx, ge G. Essa è definita univoca­

Strut t u r a d i g r up po su G . mente a meno di una costante moltiplicativa, ed è detta misura di Haar (sinistra).Un affermazione analoga è vera per le misure invarianti a destra. La scelta dellaP

Sia G un gruppo commutativo localmente compatto. In questo caso G èformato esattainente dalle classi di rappresentazioni unitarie unidimensionali: costante moltiplicativa si dice normalizzazione ; se G è compatto, le misure spesso

le rappresentazioni di dimensione ) i sono riducibili. Come nel ) i, ciò permette si normalizzano in modo che la misura di G sia uguale a i. In notazione inte­

di identificare G con lo spazio dei caratteri unitari di G, cioè gli omomorfismi grale invece di dp,(g) per la misura di Haar sinistra scriveremo d<g, per quella

continui G C, = [zeC~ ~z~= i ]. La topologia su G è la topologia della con­ destra d„g, e per quella bilaterale (in particolare per i gruppi abeliani ) dg.vergenza uniforme sui compatti. Esempi di misure invarianti sono: dx su R, x 'dx su R~; la misura p, su

La teoria della dualità di Pontrjagin consiste di due parti: una riguarda i Z„, per la quale la misura del sottogruppo aperto Uc: Z„è uguale a i /[Z„; U].gruppi, l'altra le funzioni su di essi (trasformata di Fourier ). La prima parte può T rasformata d i F our i e r .essere descritta come una serie di affermazioni, esattamente parallele a quellefatte nel ) i per i gruppi abeliani finiti. Per non ripetere, si utilizza il linguag­ Sia G un gruppo localmente compatto abeliano. La trasformata di Fouriergio funtoriale del ) z, nel quale si possono formulare concisamente tutti i fatti può essere definita come l'applicazione F : L,(G, dg) ~L,(G, dy) : f ~f, doveprincipali. f(X) = fof(g) X(g) dg.

Dualità r76 r77 Dualità

Nel novero delle affermazioni sulla dualità rientrano i seguenti fatti: (h è la costante di Planck). Inversamente, nella rappresentazione degli impulsiLe misure di Haar dg e dx possono essere normalizzate in modo tale che l'ap­ sulle funzioni $(p„p2, ps) le osservabili di posizione hanno la f orma

plicazione inversa di F possa essere definita dalla formula f(g) = fz f(X) X(g) ' dX. òTali misure si dicono duali. Per esempio, se G è compatto e f+dg = r, allora X = ih —,

òp7

G è discreto e la misura duale di ogni punto di G è uguale ad r.Nel caso G = R/Z si ottiene la costruzione classica della serie di Fourier e gli impulsi P, = moltiplicazione per p,. L'isomorfismo delle due rappresenta­

(R/Z) Z ( e 2 '"* ) e f, come funzione su Z, cioè come successione (f„), zioni, che identifica le funzioni d'onda ) di uno stesso stato fisico, è dato dallaè la successione dei coefficienti di Fourier della funzione f. trasformata di Fourier dal gruppo localmente compatto Rs (coordinate) nel suo

Nel caso G = R si ottiene la costruzione classica dell'integrale di Fourier duale Rs (impulsi) :R = R (accoppiamento (p, x)~e ~'~*) e f(p) = (r/~z+) f+ f(x)e

Negli stessi casi è verificata l'uguaglianza di Parseval: $(pn p2, ps) =Ff(pn p2, p3)= e "*»i+~»2+*«>«' " g (x) dxr dx 2 dxa.

f I f(g) 12 dg = I.f(x) l' dx. Corrispondentemente si trasformano le osservabili: X; = FX,F ' , P = FP;FG (" Ciò spiega uno degli aspetti dell'uso del termine 'osservabili coniugate' in re­

lazione alla coppia coordinate-impulsi : le corrispondenti osservabili sono coniu­In particolare, per G = R/Z, si trova l'uguaglianza classica: gate rispetto alla trasformazione di Fourier. Per lo stesso motivo si dicono co­

fl niugate le rappresentazioni delle coordinate e quelle degli impulsi.I f(x)l'dx = g I f„l'. Se A e B sono due osservabili, le dispersioni dei risultati di una loro misura

nello stato g sono connesse dalla disuguaglianza (AA)~(AB)<) l(i[A, B])~j/z,Da ciò segue che la restrizione della trasformazione di Fourier su L2(G, dg) dove [A, B] = AB — BA. In tal modo, se A e B non commutano sullo stato $,

si estende ad una isometria degli spazi di Hilbert L, (G, dg)~L 2(G, dX). cioè l(i[A, B])~j go, allora in tale stato le grandezze fisiche A e B non possonoavere simultaneamente un valore esatto: il prodotto delle loro dispersioni è in­

E sempio : o s servab i l i c o n i u g at e i n m e c c a n ica q u a n t i s t i c a e feriormente limitato. Questa è la relazione d'indeterminazione di Heisenberg.princ i p i o d i i nd e t e r m i n a z i o ne . S i r i cordi che un sistema quantistico è Dato che [X,, Pz]= ih8;>(8,> ­— r per j= k e o per j pk ), la j-esima coordinatadescritto dallo spazio di Hilbert dei suoi stati, X, e dagli operatori lineari con­ della particella e la proiezione del suo impulso sul j-esimo asse coordinato nontinui autoaggiunti A agenti su di esso (osservabili ). Le osservabili A corrispon­ possono avere contemporaneamente valori esatti : Ax Ap,) h /z. I motivi intui­dono a grandezze fisiche classiche (energia, impulso, coordinate ) o non-classiche tivi di ciò (a livello di modelli matematici) sono stati discussi nell'articolo «Con­(spin). Uno stato puro del sistema è un raggio complesso in 3C; se $ è un vet­ tinuo /discreto»: una particella con valore definito dell'impulso (cioè ben loca­tore in esso, con ll)ll = r, la misura della grandezza A nello stato $ dà, in ge­ lizzata nello spazio degli impulsi ) ha come funzione $ un'onda armonica nellonerale, un risultato indefinito, per il quale si può predire soltanto una distri­ spazio delle coordinate, e perciò è assolutamente non-localizzata in esso, Per lo­buzione di probabilità. In particolare il valor medio di una misura è uguale a calizzare una particella nello spazio delle coordinate occorre raccogliere il «pac­(A$, $)= (A)«„e la dispersione è uguale a (AA)~ = ll [A — (A)«])jj. chetto d'onda», nel quale entrano le componenti armoniche con dispersione

Le osservabili A„ . . . , A„ formano un sistema completo di osservabili com­ delle componenti degl'impulsi (numeri d'onda) e, quanto piu è spazialmentepatibili se 3C può avere una realizzazione come L2 (M, p), dove M~ R" , p. è compatto questo pacchetto d'onda, tanto piu forte è questa dispersione.una misura su R~, e A, ) = moltiplicazione per la i-esima coordinata di R".Questa realizzazione si dice adattata alla famiglia A„ . . . , A„ ; gl i operatori A;, La circostanza che una funzione e la sua trasformata di Fourier, che si pre­A commutano. sentano da un certo punto di vista come un unico oggetto, posseggano nello

Per esempio, le osservabili di posizione Xu X2, Xa di una particella libera stesso tempo proprietà complementari per quanto riguarda le loro localizzazioni,(senza spin e nell'approssimazione non relativistica) agiscono come operatori di s'incontra in diversi contesti.moltiplicazione per x„ x „ x , su lle funzioni lisce a supporto compatto g(x„x„ Ad esempio, per una funzione f con supporto compatto in R" si definiscex,) di H = L2(R 2) (convenientemente estesi ad operatori autoaggiunti su tutto H). n ò 2In questa «rappresentazione coordinata» le osservabili corrispondenti a l le la norma j lf jl~ ~= fa+I( + jxj 2~+d') f I«dx, dove A = — g —. La ch iusuraproiezioni degli impulsi P „P„P 2 sono le estensioni degli operatori , r òx2

rispetto a questa include le funzioni che hanno zl derivate decrescenti all'infinitoa come lxl"+ 2 2~. La chiusura, nella topologia corrispondente a tutto il sistema di

P; = ­ ih­a. norme, è lo spazio di Schwartz. La trasformata di Fourier lo trasforma in sé, e

Dualità IP8

inoltre ]) f ][à I ­— ~~ f ~~> à. Ciò indica che dal punto di vista della trasformata diFourier risultano complementari le proprietà di regolarità da una parte, e quelledi decrescenza rapida all'infinito (cioè del tipo di localizzazione) dall'altra.

Infine, la trasformata di Fourier si può definire per alcuni spazi di funzionigeneralizzate (lentamente crescenti) mediante l'uguaglianza di Parseval. Po­nendo T (u) = T(u) (T è una distribuzione, u una funzione fondamentale), sitrova, ad esempio: 8s = [ I /(zw)""]T, (T, è la distribuzione u~ ftt„u dx, corri­spondente alla funzione f = I ). Qui il carattere complementare della localizza­zione di 8s e di 8a si presenta nella forma estrema: punto /spazio.

Cosi come uno spazio simplettico unifica uno spazio e il suo duale in un unicooggetto, si possono unificare uno spazio di funzioni e quello delle loro trasfor­mate di Fourier in uno spazio di funzioni con un numero di variabili doppio. Inquest'ultimo, oltre all'operatore trasformata di Fourier, agiscono operatori piugenerali, introdotti da Hormander. Questo approccio, che include necessaria­mente anche l'esame della struttura simplettica sullo spazio delle variabili, per­mette di considerare da un unico punto di vista molte questioni di teoria delleequazioni differenziali alle derivate parziali. [I. M. u. e JU, I. M.].

L'idea di dualità ha un carattere estremamente generale, sia nelle matematiche, sia

in fisica, in particolare nella meccanica quantistica (cfr. quanti, particella), sia in biolo­gia (cfr. genotipo/fenotipo). In effetti essa è presente in tutte le coppie filosofiche, siacome dualità fenomenologica (ad esempio puro/impuro, dipendenza /indipendenza,equilibrio/squilibrio) sia come presenza/assenza di un contrassegno(ad esempio uomo/donna, salute/malattia) sia infine come complementarità di carattere metodologico (adesempio analisi/sintesi, soggetto/oggetto, locale/globale).

ln questo articolo sono illustrati gli usi in matematica del termine 'dualità' : in logica(cfr. anche insieme, assioma/postulato), in algebra (cfr. continuo/discreto, appli­cazioni, simmetria, razionale/algebrico/trascendente, divisibilità), in geometria,in analisi funzionale (cfr. spettro, calcolo).

745 Insieme

Insieme solvere il problema del ruolo relativo delle strutture della conoscenza — innateo acquisite con lo studio —, e della loro formazione). Tuttavia qualsiasi ricercadel genere conduce oltre i confini propri della matematica. Queste definizionisvolgono il ruolo del diapason per accordare le diverse conoscenze individuali

r. I p r o b lemifondamentali. sullo stesso tono, ma esse stesse si trovano fuori della matematica, cosa che è ine­vitabile nell'introduzione dei concetti fondamentali, a meno di assumere in ma­

Se nella matematica contemporanea esiste un concetto «piu importante»,senza dubbio si tratta del concetto di insieme. Un accurato esame degli arti­

niera del tutto conseguente un altro punto di vista, quello formale.Le definizioni formali non sono propriamente considerate concetti, ma ter­

coli comparsi nelle maggiori riviste matematiche degli ultimi decenni farebbe mini. I termini iniziali non sono definiti ; solo i contesti nei quali sono usati cor­scoprire che la maggior parte dei concetti matematici piu studiati è costituitada insiemi dotati di una struttura. Le rassegne storiche della matematica del xx

rettamente sono suscettibili di una descrizione. I termini composti sono abbre­viazioni di determinati testi costituiti dai termini iniziali.

secolo sono, d'altro lato, dedicate in misura considerevole al ruolo della teoriadegli insiemi nei fondamenti della matematica, ai paradossi della teoria degli

Per le applicazioni agli insiemi, ciò significa che occorre fissare il linguaggio

insiemi, alla crisi dei fondamenti e alla constatazione dell'assenza di un accordonel quale si deve parlare degli insiemi. Questo linguaggio può essere completa­mente formalizzato, vale a dire costruito per intero in modo artificiale con regole

generale sul modo di uscire da questa crisi.In effetti la formulazione della teoria degli insiemi nei lavori di Georg Can­

sintattiche rigorose (cfr. ) z), o comprendere frammenti piu o meno grandi dilinguaggio naturale (cfr. l'articolo «Assioma/postulato» di questa stessa Enci­

tor negli anni '7o-8o del secolo scorso si è rivelata la causa fondamentale dellaristrutturazione di tutta la matematica, oltre che un catalizzatore di profondi e

clopedia). In ogni modo devono essere definite in maniera il piu possibile netta,in primo luogo, le regole di formazione delle frasi, includenti i nomi degli in­

difficili processi della propria autocoscienza. La penetrazione del pensiero in­ siemi, il predicato «appartenere a» e i termini logici («se ... allora», «e», «o»,siemistico in tutte le discipline matematiche si è accompagnata con il ricono­ «non», «per ogni», ecc. ), in secondo luogo, le regole di formazione delle suc­scimento dell'unità e della forza vitale dell'immenso organismo delle conoscenzematematiche, con la creazione di concetti e di formalismi efficienti non solo in

cessioni di frasi, da considerarsi dimostrazioni matematiche di teoria degli in­siemi. La semantica di un tale linguaggio, vale a dire le regole di comprensione

fisica e nella pratica, ma che hanno lasciato una profonda impronta anche sulcarattere delle scienze umanistiche. Contemporaneamente queste considerazio­

del «significato» delle frasi e delle dimostrazioni, in linea di principio, può esse­re completamente sottaciuta.

ni di linguaggio e di semantica della teoria degli insiemi hanno condotto a un; i Si capisce che le concezioni «intuitiva» e «formale» della teoria degli insiemiinterpretazione assolutamente nuova della natura della verità matematica, del­ (e della matematica in generale) sono in realtà strettamente connesse. I formali­la dimostrazione, dell'infinito; alla scoperta di problemi non decibibili; a un: i smi della teoria degli insiemi sono sorti come risultato della scoperta di conte­profonda divisione degli specialisti di logica e di filosofia della matematica in sti apparentemente naturali nei quali l'uso della parola 'insieme', nel senso didiverse scuole e gruppi. Cantor, conduce rapidamente a contraddizioni logiche (si veda la descrizioneL'esplicazione del concetto di insieme presenta notevoli difficoltà a caus;idella sua centralità, della sua irriducibilità a concetti matematici piu elementari.

del paradosso di Russell nel ( 5 dell'articolo «Assioma/postulato»). I tentatividi escludere la comparsa di questi contesti per mezzo di divieti puramente

Il metodo per introdurre i concetti fondamentali in matematica non è sostan­ linguistici, che conservassero le procedure semiintuitive della versione insiemi­zialmente cambiato dai tempi di Euclide, costretto a definire «punti» e «rette» stica della matematica classica, hanno condotto ad assiomatizzazioni della teoriaprima di formulare gli assiomi della sua geometria. È cambiato soltanto il grado degli insiemi quali il sistema di Zermelo-Fraenkel, di Neumann, di Godei-Ber­di consapevolezza delle nostre attività, cosa che ha permesso di chiarirne lc nays. Ma la scelta stessa di questi divieti era motivata proprio dalle rappresen­relazioni dal punto di vista della filosofia della scienza.

Tale metodo consiste nel condurre l 'esplicazione parallelamente da d««tazioni intuitive relative alle motivazioni delle difficoltà incontrate (come ladescrizione di insiemi definiti «da se stessi » o « troppo grandi », ecc.). Per questo

punti di vista fra loro complementari : quello «significativo» o « intuitivo» da un: i la cristallizzazione dei linguaggi formali si è accompagnata anche a una deter­parte, quello «formale» dall'altra.

La definizione intuitiva di insieme come «unione in un tutto di oggetti di­minata precisazione della forma intuitiva dell'«insieme», per la quale la defini­

stinti della nostra intuizione o del nostro pensiero» (Cantor) si appella ad alcu ifizione di Cantor risultava soltanto il punto storico d'inizio. Purtroppo in questomodo non si è sviluppata un'unica rappresentazione generale per l'insieme ma­

archetipi fondamentali ed eccessivamente generali del pensiero umano (a cui si tematico e un attento esame del problema fa vedere che è poco probabile cheriferisce anche la definizione euclidea di punto come «posizione senza lunghezza essa possa nascere.e larghezza»). Questi archetipi senza dubbio sono suscettibili di ulteriore i ii La consapevolezza della suddivisione della matematica in «testo» e «signi­dagine coi metodi della psicologia e della neurofisiologia (in particolare per i i ficato» è il frutto dell'introduzione del programma di Hi lbert come base per

Insieme 746 747 Insieme

la matematica. Questo programma non servi per la soluzione dei problemi po­ zione individuale; è un aspetto dell'attività della comunità delle coscienze indi­sti da Hilbert, ma presto permise di scoprire che essi erano mal posti. viduali nel mondo esterno, e solo tenendo conto di una quantità di fattori mag

Secondo Hilbert i l r uolo del formalismo doveva consistere nel garantire giore di quella considerata finora si può giungere alla costruzione di un modellol'attendibilità delle considerazioni matematiche, per mezzo della verifica della verosimile della matematica, nel quale gli aspetti intuitivo e formale risultinoloro non-contraddittorietà formale, indipendentemente dal contenuto. Questa elementi di una stessa unità.verifica, per ipotesi, doveva svolgersi con metodi piu attendibili (finitistici ) di Tornando al linguaggio della teoria degli insiemi (considerato in dettaglioquelli usati dalla teoria intuitiva degli insiemi. Tuttavia Godei dimostrò che lo piu oltre, come pure negli articoli «Assioma/postulato», «Applicazioni », «Strut­studio del formalismo intuitivo è un problema matematico di per sé tanto dif­ ture matematiche», che con questo articolo formano un complesso unitario ) èficile che nella dimostrazione della sua non-contraddittorietà non è sufficiente opportuno indicare subito i t ratt i caratteristici di questo linguaggi ' l'>nguaggro, r qua >usare neppure i metodi descrivibili con questo formalismo; e in ogni caso i l'hannoanno proprio posto al centro delle considerazioni precedenti. Dal nostrometodi finitistici non possono bastare. punto di vista sono la sua economicità, l'universalità e «l'accesso diretto» ai pro­

In un ambito piu ampio il ruolo del formalismo potrebbe almeno consistere blemi dell'infinito.nel contribuire al chiarimento dell'intuizione necessaria a garantire una com­ L'L economicità dei metodi espressivi del l inguaggio della teoria degli in­prensione unitaria dell'«insieme» e nel fondare la verità sulla non-contraddit­ siemi si manifesta nell'uso, oltre che dei metodi logici, di due soli predicati nontorietà della teoria degli insiemi, almeno nella stessa misura in cui ciò è corretto definiti, «essere un insieme» e «appartenere a». All'inizio (in particolare conper il concetto di numero e di aritmetica elementare. In qualche misura questo Cantor) a questi si aggiungeva un numero non grande di predicati del tiposcopo è stato raggiunto. Nicolas Bourbaki e le sue idee, accettate dalla grande «essere una funzione» oppure «essere una relazione», ma in seguito si dimostròcomunità matematica internazionale, dimostrano sia l'estesa diffusione di una come anche questi si riducano ai due originali (cfr. ) g). Grazie alla economicitàunità di punti di vista sugli insiemi, sia una grande produttività dei principi del linguaggio degli insiemi, la sua formalizzazione graduale e la sua analisiinsiemistici. In maniera grossolana si può dire che nella pratica è stato dimo­ logica furono comode pietre di paragone per la formazione di metodi di ricercastrato che, entro limiti noti e abbastanza ampi, la non-determinatezza del con­ metamatematica (fra l'altro questa stessa funzione è condivisa col linguaggiocetto stesso di insieme non altera la comprensione unitaria, la produzione, lo dell'aritmeti'ca elementare, la cui superiorità consiste in una trasparenza dellascambio e la valutazione dei testi matematici, nei quali svolge un ruolo fonda­ semantica notevolmente maggiore).mentale. Tuttavia non si possono chiudere gli occhi di fronte alla reazione di L'L universalità del linguaggio della teoria degli insiemi si è manifestata primagruppi di matematici (intuizionisti, costruttivisti ) poco numerosi ma con seri di tutto nella rapida formulazione di tecniche di traduzione di tutti i concett'conceargomenti, i quali mettono in guardia sui pericoli possibili lungo questa strada. della mella matematica classica in questo linguaggio, a seguito della quale si scopriQueste argomentazioni verranno riprese nell'ultimo paragrafo di questo articolo. a loro unità interna, mascherata da una varietà di termini e d'intuizioni delle

Sotto queste condizioni l 'assunzione di un punto di v ista unitario sugli epoche precedenti. Il successivo sviluppo della matematica ha dimostrato l'ec­insiemi conduce a una netta unificazione dell'intuizione, della tecnica e delle cezionale comodità del linguaggio degli insiemi, congiunto a variabili metalin­possibilità potenziali della matematica in quanto scienza. La stessa cosa è guistiche del tipo «strutture» di Bourbaki, per collegare, scoprire e precisaresenz'altro valida per l'esplicazione di qualsivoglia sistema alternativo di concetti, nuovi fatti matematici. Oltre a ciò i l l inguaggio degli i nsiemi si rivelò tantoche possa essere posto a fondamento della matematica in futuro. Si ritiene che adattabile d !a accogliere in sé un intero spettro d interpretazioni di approcci al­il carattere di complementarità (nel senso di Bohr) degli aspetti intuitivi e forma­ ternativi ai concetti principali della matematica, spesso contrari, nello spirito,li delle teorie matematiche sia una delle principali lezioni della metamatematica alla teoria degli insiemi. Ad esempio tutta la matematica costruttiva, eretta in­del xx secolo. È parallelo alle analoghe lezioni gnoseologiche della microfisica e torno al concetto di algoritmo, senza alcuna difficoltà «si immerge in manieradella biologia. La profonda dualità dei concetti di testo e significato manifesta­ isomorfa» nella matematica insiemistica, sebbene i costruttivisti contestino latasi inizialmente nei modelli matematici sia di testi (linguaggi formali) sia di sensatezza di questa immersione. Lo stesso vale per la logica intuizionista.significati (le loro interpretazioni ), ha senza dubbio un valore generale. Il signi­ Infine i problemi di Cantor sull'infinito attuale hanno svolto in matematicaficato non può essere esplicato e oggettivato al di fuori del testo; ma il testo un ruolo veramente particolare. «L'infinità nuda» di elementi distinguibili manon è in grado di trasmettere né «tutto il significato», né <(solo questo signifi­ non aventi alcuna altra individualità, secondo Cantor, ha aperto alla coscienzacato», In matematica ciò è vero piu che in altre scienze, i cui testi hanno spesso matematica una serie di procedimenti concettuali di valore unicò, quali i lun significato pragmatico esterno a loro. Una comprensione piu profonda sia procedimento di diagonalizzazione, l'induzione transfinita, l'assioma della scel­della semantica sia dei problemi dei fondamenti della matematica può essere rag­ ta. Questi procedimenti conservano il loro significato anche sotto interpre­giunta ampliando, e non restringendo, i fatti e i metodi in considerazione. La ma­ tazioni nettamente diverse. La possibilità stessa di considerare matematica­tematica non è un gioco puramente formale, né un prodotto della pura intui­ mente significativa l'infinità attuale, liberandola sia da strutture addizionali non

Insieme 748 749 Insieme

essenziali, sia dalla barriera psicologica di due millenni, è stata una scopertadi grandissima importanza che ha valore per tutte le scienze. In qualunque modosi valuti il r isultato del successivo periodo di dura critica alle eteorie dell'infi­

2.2. Formule del linguaggio L, Set.

nito», la dimostrazione della loro stessa esistenza è un momento cruciale nella Le espressioni sensate del linguaggio Lr Set si chiamano formule. L'insiemestoria della scienza, le cui lezioni sono imperiture. delle formule è definito mediante le seguenti regole di formazione:

a) se X, Y sono due variabili oppure g, e se ~ è uno qualunque dei sim­z. Teo r ieformali degli insiemi. boli =, c , a l lora Xe V è una formula;

b) se P e Q s o no f o rmule e se x è u n a v a r iabile, allora (P) ~ (Q),Nell'articolo «Assioma /postulato» sono stati descritti a l ivello qualitativo (P) ~(Q), (P)V(Q), (P)W(Q), ~(P), Vx(P), 3x(P) sono formule;

il linguaggio della teoria degli insiemi, i suoi assiomi e la semantica; nell'arti­ c) l'insieme delle formule è esaurito dalle espressioni che si possono costruire

colo «Applicazioni» sono state riportate alcune costruzioni fondament ali della applicando le regole a ) e b).teoria degli insiemi. Per questo si comincia qui con l'introduzione del linguag­gio formale della teoria degli insiemi.

Le formule descritte dalle regole a ) si dicono atomiche. Ogni formula cheLa descrizione di un linguaggio formale L si riduce in generale alle seguenti non sia atomica può essere univocamente rappresentata esattamente in una delle

componenti: a ) la descrizione dell'alfabeto A del linguaggio: l'insieme dei suoisette forme descritte dalle regole b). Le componenti P, Q che entrano nella

simboli; b) la descrizione delle regole di formazione di particolari successionicorrispondente rappresentazione di una formula originaria possono essere a loro

finite di simboli: le espressioni «sensate». Queste descrizioni solitamente si volta sia atomiche sia rappresentabili in una di queste forme. Questo procedi­

accompagnano con convenzioni relative ad abbreviazioni di scrittura (senza le mento di analisi sintattica si svolge meccanicamente e permette di costruire

quali i testi nel linguaggio formale diverrebbero rapidamente lunghi in manieraogni formula a partire da quelle atomiche. Le definizioni fondamentali e i teo­

eccessiva), con commenti relativi a equivalenze verbali di enunciati formali eremi metalinguistici relativi alle formule di L, Set si stabiliscono per indu­

con la spiegazione del loro significato intuitivo; c ) la descrizione delle regole zione sulla lunghezza delle formule, a partire da quelle atomiche.

di formazione di testi particolari — successioni finite di espressioni sensate, le Un esempio importante di questo procedimento è la definizione di occorren­

quali costituiscono le deduzioni formali, vale a dire i modelli formali delle di­ze libere e vincolate delle variabili in una formula. Tutte le occorrenze delle

mostrazioni matematiche. Queste regole di formazione possono essere sceltevariabili in una formula atomica sono considerate libere. Nelle formule Vx (P),

in diversi modi; uno dei metodi essenziali per variarle è assumere questi o'3x(P) tutte le occorrenze della variabile x sono considerate vincolate, mentre

quegli assiomi formali, queste o quelle regole di deduzione. Ogni scelta dellele occorrenze delle altre variabili dipendono da P. Nelle rimanenti cinque for­

1 d' d duzione formale definisce una teoria formale sul l inguaggio L. mule della regola b) le occorrenze delle variabili sono considerate le stesse delle

Si descriverà ora il particolare linguaggio del primo ordine della teoria eg i occorrenze a loro corrispondenti nelle sottoformule P, Q. La variabile x è li­insiemi L, Set, secondo l'assiomatica di Zermelo-Fraen e.k 1. bera in P se almeno una delle sue occorrenze è libera in P.

La traduzione verbale delle espressioni del linguaggio L, Set si realizza permezzo delle seguenti regole non formali:

z.r. Alfabeto del linguaggio della teoria degli insiemi L, Set.r) i simboli di variabile x, y, s, ... sono nomi di insiemi indeterminati; i l

Si suddivide nei seguenti gruppi : simbolo g è i l nome dell'insieme vuoto;

a) un insieme numerabile di simboli per le variabili x,y, z, ... dotati diz) la formula atomica xey si legge «L'insieme x appartiene all'insieme y»

indici ;o in qualche maniera sinonima; la formula atomica x =y si legge «L'in­sieme x è uguale all'insieme y»;

b) i l simbolo dell'insieme vuoto g ; 3) la lettura delle formule (P) ~ (Q), ..., 3x(P) deve risultare chiara dallec) il simbolo della relazione «appartenere a» e ;d) il simbolo della relazione di uguaglianza

denominazioni dei simboli dei connettivi e dei quantificatori. In tal modole formule sono scritture di enunciati relativi a insiemi indeterminati.

e) i simboli dei connettivi logici e dei quantificatori, ~ (equivalenza),(implicazione), V (o non esclusivo), R (e), ~ (non), V (quantifica­ Poiché la sintassi del linguaggio naturale non è normalizzabile tanto netta­

tore universale), 3 (quantificatore esistenziale) ; mente quanto la sintassi di L, Set e non ammette catene troppo lunghe dif) le parentesi «(» e «)». frasi connesse l'una all'altra, la traduzione richiede delle abbreviazioni, delle

approssimazioni espressive, ecc.

Insieme 75o 75' InsiemeSi dànno qui alcuni esempi di formule e di loro traduzioni: del numero di propr(età che si possono considerare. Soltanto un continuo pro­(Vz((sex) ~ (zey))) ~ (x =y ) : «Gli insiemi x e y sono uguali se e so­ cesso di traduzione della matematica nel linguaggio L, Set può mostrare chelo se ogni insieme z che appartiene a x appartiene anche a y e viceversa». le proprietà esprimibili in L, Set sono sufficienti.Si tratta della scrittura in linguaggio formale dell'assioma di estensionalità In secondo luogo nella formulazione degli assiomi ZFi-ZFio si sono spesso(cfr. l'articolo «Assioma/postulato», ) y, in questa stessa Enciclopedia). usate abbreviazioni per designare insiemi la cui esistenza era assicurata da

~(3x(xe g)) : «Non è vero che esiste x appartenente all'insieme vuoto». assiomi: (x, y), J(x), ecc. È comodo ottenere in due passi la traduzione delle

E naturale considerare la formula P come un enunciato precisamente relativoespressioni verbali in cui compaiono queste denominazioni in linguaggio for­

a quegli insiemi i cui simboli sono liberi in P. I s imboli vincolati dai quantifi­male. Al primo passo si costruisce una «quasiformula» per mezzo di e,

= , i

catori V ed 3 svolgono il ruolo di variabili ausiliarie nella formula considerata.connettivi e i quantificatori, nella quale possono rientrare sia le variabili sia

Con l'introduzione del concetto di modello, o interpretazione di un linguaggio i «termini» del tipo (x,y} o J (x). Al secondo passo ogni termine di questo

formale, alcune formule, fra cui tutte quelle chiuse, vale a dire non contenentitipo viene sostituito da una nuova variabile, ad esempio z, e per e si dà una

variabili l ibere, risultano univocamente determinate per quanto riguarda lacorrispondente «definizione» con variabili ausiliarie. Ad esempio la «quasifor­mula» J (x) ey si trasforma nella formulaloro verità: esse sono vere o false. In generale, per le formule contenenti va­

riabili l ibere risulta determinata la verità solo dopo che a queste variabili è (zey) A Vv(v c a ~ Vui(w e v ~ rc C y)).assegnato un determinato valore (per maggiori particolari cfr. ) g). Negli studi sulla teoria formale degli insiemi (e in generale sui linguaggi

formali) abbreviazioni di scrittura come l'uso di quasiformule si producono in2.3. Assiomi particolari formali del linguaggio L, Set. continuità.

Tutti gli assiomi di Zermelo-Fraenkel (ZF i-ZFio ) riportati nel ) y dell'ar­ticolo «Assioma/postulato» possono essere tradotti nel linguaggio formale, ana­ z.y. Assiomi logici del linguaggio L, Set.logamente a quanto è stato fatto per l'assioma di estensionalità e per l'assiomadell'insieme vuoto. Le formulazioni verbali degli assiomi ZFi -ZFio sono sta­ Fanno parte di questi alcune serie di formule chiaramente descrivibili, ad

te scelte in modo da facilitare al massimo la possibilità di questa traduzione alesempio le tautologie, come P~ (Q~P) oppure ~ ~P ~ P , assiomi con quan­

lettore interessato.tificatori come V x~P ~ 3 x P e V x P ~ P (y) (dove P(y) è la scrittura risul­tante dalla sostituzione del simbolo y al posto di tutte le occorrenze libere del

Due casi richiedono commenti a parte.In primo luogo negli assiomi ZF7-ZFq figurava il concetto di «proprietà

simbolo x nella formula P ), e i nfine assiomi di uguaglianza, come x=y ~- (P(x) -P(y)).dell'insieme degli z». Occorre sostituirlo con il concetto di «formula del lin­

guaggio L, Set nella quale solo la variabile a compare libera». In altri terminiGli assiomi logici sono equivalenti formali di espressioni di significato ge­

si riduce il concetto di «proprietà di un insieme» al concetto di «proprietànerale, la cui verità, di fatto, non dipende dall'interpretazione delle loro com­ponenti.

esprimibile nel linguaggio L, Set». Poiché nel linguaggio L i Set non ci sonometodi per t radurre l 'espressione «insieme qualsiasi» (i quantificatori VPsulle formule variabili P non sono ammessi), l'assioma ZF7 si trasforma in uno z.5. Deduzioni formali nel linguaggio L, Set.«schema di assiomi formali», un assioma formale per ogni formula P (z) con Sia 6 un insieme di formule del linguaggio L, Set. Si dice deduzione for­la variabile libera s, della forma male da 5 una successione di formule P„. . . , P„d el l inguaggio che abbia le

Vx3y Va (~ e y (~ e x A P(x))). seguenti proprietà: per ogni i<n, P;c K; oppure P, è della forma VxP conj

In questa scrittura, come è accettato, sono state omesse tante parentesi quantej< i ; oppure fra le formule P„. . . , P,, c'è una formula del tipo Pi,~Pi conk<i — i.

può ricostruire senza troppa difFicoltà il lettore attento. In maniera analoga,solo leggermente piu complicata, si tratta l'assioma ZF8, nel quale compaiono

In altri termini, ogni formula P; della deduzione è una formula di S oppure

le proprietà delle coppie ordinate di insiemi. Questa precisazione del significatoè una conseguenza immediata della formula precedente P; mediante la regola

da attribuire al concetto di «proprietà» è il primo apporto essenziale della for­GEN (generalizzazione), oppure è una conseguenza immediata di formule pre­cedenti Pi„P i ,~Pi me diante la regola Mp(modus ponens).malizzazione del linguaggio nella teoria intuitiva degli insiemi. Raggiungere La deduzione formale P„. . . , P„« d educe» da 5 l 'u l t ima formula P~.

questo scopo con metodi essenzialmente diversi sarebbe stato alquanto difFi­coltoso. D'altro lato questo scopo è raggiunto a caro prezzo: la l imitazione

Se K è la totalità degli assiomi particolari e degli assiomi logici del linguag­gio L, Set, allora le sue deduzioni formali sono corrispondenti alle dimostra­

Insieme 75z 753 Insieme

zioni di teoria degli insiemi : ogni deduzione formale «dimostra» la sua ultima Cosi la non-contraddittorietà formale degli assiomi di Zermelo-Fraenkel si­formula. La totalità delle formule deducibili da un dato sistema di assiomi gnifica che non esiste una formula P nel linguaggio L, Set tale che P e ~Pcostituisce (una delle) teorie formali degli insiemi. siano contemporaneamente deducibili dagli assiomi formali (affermazione equi­

valente: non tutte le formule di L, Set sono deducibili dagli assiomi formali).2.6. Proprietà collettive ed estensioni del l inguaggio L, Set. Sebbene il problema di determinare la non-contraddittorietà, in questa forma,

sia un problema matematico relativo a successioni di oggetti combinatori co­Come è stato osservato in «Assioma /postulato» quasi tutti gl i assiomi di struibili, esso risulta molto difficile. Una qualche argomentazione specifica a

Zermelo-Fraenkel postulano l'esistenza di un insieme x costruito a partire da sostegno di questa non-contraddittorietà, tranne la fiducia nella validità dell'in­alcuni insiemi dati y„ . . . , y, per mezzo di una qualche costruzione. Oltre a tuizione per la scelta del sistema di assiomi (confermata dallo sviluppo dellaciò, i piu importanti sono i casi in cui x è definito univocamente a partire da matematica nel corso di alcuni decenni ), non esiste ancora. D'altro lato, dalyi, ...,yr indicando che tutt i gl i e lementi yex devono possedere insieme a tempo dei primi lavori di Hi lbert, è mutata notevolmente anche la valutazioney„ . . . , y „ una certa proprietà P. Di questo tipo sono l'assioma della coppia dell'importanza di questi problemi. La non-contraddittorietà formale è solo unZF3 (ove P è y =-y, V y =y, ) l'assioma dell'unione ZFg (ove P è 3z(y e z R rozzo modello di alcune caratteristiche abbastanza sottili delle teorie mate­

z e y,)) e altri. matiche significative, e si può realmente dubitare del valore gnoseologico delleNella teoria formale la formula P (y; y„. . . ,y„) si d ice collettiva per y se deduzioni ottenute per simili modelli. Si tornerà su questo problema nell'ul­

in questa teoria è deducibile la formula 3x (y e x ~ P(y; y„. . . ,y,)). Nella timo paragrafo di questo articolo.teoria intuitiva degli insiemi a ogni proprietà collettiva P si può far corrispon­ Un serio progresso si è raggiunto nel problema della deducibilità di variedere l'operazione di riunione degli insiemi y con la proprietà P; il r isultato di classi di formule dagli assiomi di Zermelo-Fraenkel. Una pietra di paragonequesta riunione è l'insieme usualmente denotato (y ~ P(y ; y,, ..., y„) ). Per pro­ decennale per i metodi metateorici, in questo campo, è stata costituita dal pro­prietà P particolarmente importanti possono essere scelte speciali denomina­ blema del continuo di Cantor (cfr, l'articolo «Applicazioni », ( z, in questa stessazioni, come (y„y,) (la coppia) oppure P(x) (le parti di x). È stato spiegato Enciclopedia). Recentemente è stato dimostrato che la formula IC nel linguag­sopra come sia possibile fare a meno di questi insiemi «composti » o « termini », gio L, Set, la quale è una traduzione dell'espressione «Esiste un insieme dinella traduzione, nel linguaggio L, Set, di espressioni semiverbali contenenti potenza propriamente intermedia fra il numerabile e il continuo», non è dedu­questi termini. È tuttavia possibile anche un'altra strada: quella di estendere cibile dagli assiomi di Zermelo-Fraenkel, come pure la negazione di questail linguaggio formale aggiungendo alle espressioni ammissibili: a ) termini per formula (sotto la condizione che gli assiomi stessi di Zermelo-Fraenkel sianole operazioni, definiti induttivamente, rispondenti a qualche proprietà collet­ formalmente non-contraddittori ).tiva della data teoria; b) tutte le formule atomiche del t ipo t , c tg t i rg i n I metodi di d imostrazione dell'indipendenza di formule come IC daglicui si trovino termini, vale a dire tutti i nomi degli insiemi; c ) tutte le for­ assiomi comprendono uno studio minuzioso delle diverse interpretazioni delmule ottenibili da quelle atomiche per mezzo dei connettivi logici e dei quan­ linguaggio L, Set; qualcosa su ciò sarà detto nel f1 y. Soltanto in termini ditificatori. Aggiungendo all'elenco degli assiomi particolari della teoria le for­ queste interpretazioni si è cominciato a parlare di verità (piuttosto che deduci­mule che definiscono i termini corrispondenti ed estendendo alquanto l'elenco bilità) nelle teorie formali degli insiemi, la quale, in tal modo, ha un caratteredegli assiomi logici per includervi gli assiomi con termini, si ottiene un'esten­ incomparabilmente piu indeterminato e relativo che, ad esempio, la verità insione di questa teoria in un linguaggio ampliato. Si può dimostrare un teorema aritmetica. Si può dire che le ricerche sull'ipotesi di Cantor abbiano esaurito ildel tutto naturale sul fatto che, nella teoria estesa, sono dimostrabili solo le dubbio relativo al significato dell'impostazione stessa del problema della suaformule equivalenti a formule dimostrabili nella vecchia teoria, di modo che verità o falsità. Sebbene simili dubbi siano stati espressi nel corso di tutta laqueste estensioni di l inguaggio sono inessenziali da un punto di vista logico sua storia, il progresso consiste nel fatto che ora essi sono argomentati moltoe vi si può r icorrere se ciò risulta comodo da un punto di v ista tecnico. meglio; per questo motivo le obiezioni contrarie (ad esempio le proposte di

nuovi assiomi della teoria degli insiemi ) possono essere formulate in forma piu2.7. Problemi di metateoria delle teorie formali degli insiemi. concreta. La formalizzazione della vecchia intuizione ha detto, su questo pro­

blema, la sua ultima parola. Ai sostenitori della teoria intuitiva degli insiemi oc­Nel ) 3 di «Assioma/postulato» è stato dato un elenco dei concetti fonda­ corre scegliere fra la necessità di sviluppare l'intuizione fino al punto in cui i

mentali della metateoria delle teorie assiomatiche, con brevi commenti. Nel­ problemi relativi all'assunzione di nuovi assiomi ricevano una soluzione unani­l'applicazione alle teorie formali questi concetti sono sottoposti a una notevole me (cosa poco probabile) e la possibilità che esistano sistemi alternativi per laprecisazione e i problemi ad essi collegati diventano questioni formulabili in teoria degli insiemi, che ammettano, in particolare, soluzioni diverse del pro­maniera precisa dal punto di vista matematico. blema dell'infinito.

Insieme 754 755 Insieme

numeri e delle figure», che costituiscono degli argomenti fondamentali della

3. Matematica insiemistica. matematica classica, e alla considerazione dei problemi posti dall'uso del lin­guaggio delle categorie.

Quando si afferma che la matematica ha oggi, in larga parte, un carattereinsiemistico, vengono tenute presenti alcune circostanze, connesse ma etero­ 3.i. Numeri naturali.genee.

Prima di tutto la possibilità di tradurre nel linguaggio dei concetti della Il modello standard dello zero nella teoria degli insiemi è l'insieme vu t'insieme vuo oteoria degli insiemi e quindi nel l inguaggio formale L, Set qualunque con­ g ; eli unità (g} , del due (g , ( g } } ; in generale se l'insieme n, corrispon­'d

cetto, costruzione e affermazione relativa a sottoteorie matematiche diverse. dente al numero n, è già stato definito, allora (n+ i ) =np (n}. L' insieme nQuindi la possibilità di r icondurre le dimostrazioni con metodi formali agli è un ordinale finito con n elementi : esso è totalmente ordinato dalla relazione eassiomi di Zermelo-Fraenkel (a volte completati da assiomi dell'infinito di un fra i suoi elementi (cfr. ) 4). L'esistenza di ciascun numero naturale è garan­tipo piu forte, ad esempio l'esistenza di ordinali inaccessibili; fra l'altro questi tita dagli assiomi di Zermelo-Fraenkel, in particolare ZF3 e ZF6. In L, Setteoremi solitamente sono formulati come implicazioni ). La dimostrazione di non è possibile scrivere i termini che li designano, ma si possono utilizzarequesta possibilità richiede un grosso lavoro nelle applicazioni all'analisi clas­ espressioni approssimative, oppure estendere L, Set, come è stato spiegato nel

sica, la «nuova matematica» stessa ormai si formula in termini insiemistici, oiché l operazione n~n+ i si esprime nel linguaggio della teoria deglisenza però l'esplicazione costante del concetto di numero reale. Si vedano a insiemi, in questo stesso linguaggio si esprimono tutte le operazioni aritmetiche

questo riguardo gli Eléments de mathémati!lue di Bourbaki e alcune osservazioni sui numeri naturali, grazie alla definizione induttiva dell'aritmetica di Peano.

piu avanti. L' assioma di induzione è dimostrabile a partire dagli assiomi di Zermelo­

Fra le conseguenze a cui questa possibilità ha dato vita, la matematica ha in­ Fraenkel.dividuato un inetodo — iniziato con l'aritmetizzazione dell'analisi — per supe­rare la separazione fra continuo e discreto. Rimuovendo l'originale contrappo­ 3.z. Numeri relativi e razionali.sizione intuitiva continuo /discreto per mezzo della riduzione di entrambi al­l'intuizione degli insiemi, la teoria degli insiemi ha poi permesso di costruire un La riduzione classica dei numeri relativi ai naturali consiste nel conside­

immenso mondo gerarchico di strutture, manifestanti «gradi diversi » di con­ rare classi di equivalenza di coppie ordinate di numeri naturali in base allatinuità, una struttura continua del discreto (le topologie m-adiche dei numeri relazione di equivalenza (m, n) ( m ' , n') se m+n'= m'+n; la classe della cop­interi ), invarianti discreti del continuo (topologia algebrica e omotopia ), ecc. pia (m, n) corrisponde al numero m — n. Questa classe, ovviamente, è un insie­(cfr. l'articolo «Continuo /discreto» in questa stessa Enciclopedia). me descrivibile con una formula di L, Set; essa può anche essere assunta come

In seguito l'ideologia insiemistica ha condotto a una diffusione di una spe­ definizione del corrispondente numero relativo. Un lavoro abbastanza metico­ciale forma estensionale di pensiero. Invece di descrizioni in termini di proprietà loso è richiesto per definire le operazioni di somma e di moltiplicazione e persi assumono descrizioni in termini di insiemi di oggetti con date proprietà. I dimostrare le loro proprietà, ma in l inea di principio è chiaro come ciò vadaformalismi concreti sono scelti secondo la possibilità di eliminare la dipendenza fatto (cfr. anche l'articolo «Calcolo», ) 3.r, in questa stessa Enciclopedia).dei nomi degli oggetti dalle scelte derivate (sistemi di coordinate, sistemi di nu­ Analogamente un numero razionale è costruito come una classe di coppie

merazione, rappresentanti di classi di equivalenza, ecc.), è il principio di «scrit­ ordinate (a, b) di numeri interi, con b+o, secondo la relazione di equivalenzatura invariante» dei matematici o «scrittura covariante» dei fisici. Tutte le pos­ (a, b) ( a ' , b') se ab' = a'b, dopo di che si definiscono le leggi di composizionesibilità sono da ritenersi attualizzabili (ad esempio in alcuni calcoli di fisica e la relazione d'ordine.teorica la dimensione dello spazio-tempo è considerata un qualunque numerocomplesso (!)). 3.3. Numeri reali R.

L'esistenza va intesa nel senso piu ampio della parola: non si presupponené una dimostrazione di esistenza di un oggetto né la sua costruzione effettiva Si possono costruire col procedimento di Dedekind (sezioni) o col metodo die neppure la sua esprimibilità in un l inguaggio abbastanza povero. Cantor (classi di equivalenza di successioni fondamentali di numeri razionali ))1

Esaminando piu dettagliatamente il problema della traduzione delle diver­ i quali hanno un evidente carattere insiemistico e in tal modo sono anche presen­se «matematiche» nel linguaggio della teoria degli insiemi, si constata che pra­ tati nei corsi istituzionali di analisi (una successione è una funzione dei numeriticamente esso non si pone per quelle nuove discipline come la topologia o l'al­ naturali nei razionali, oppure il suo grafico, vale a dire un insieme ).gebra astratta, che fin dall'inizio sono state formulate entro l'ambito insiemi­ Vale la pena di osservare che ad ogni gradino di questa scala di costruzioni

stico. Per questo ci si può limitare a una breve descrizione insiemistica «dei gli oggetti costruiti al gradino precedente non s'identificano con gli oggetti

Insieme 756 757 Insieme

costruiti in seguito, ma si applicano soltanto canonicamente in essi, Se si de­ sugli universi si veda il paragrafo successivo). Una classe, nel linguaggio for­sidera considerare che ogni numero naturale «sia» allo stesso tempo reale, cioè male, si descrive con una «proprietà», o una formula avente una variabile li­che gli corrisponda uno ed un solo insieme, alla fine della costruzione occorre bera. Intuitivamente le classi si distinguono dagli insiemi per i l fatto che sucambiare la definizione di numero naturale. Allora, ad esempio, all'unità non esse non si possono eseguire le operazioni possibili sugli insiemi ; in primo luogocorrisponderà l'ordinale (g) , ma un insieme infinito «di successioni fonda­ una classe non può essere un elemento di un'altra classe o di un insieme (sonomentali di coppie ordinate di ordinali finiti» descrivibile con una formula ec­ formalmente vietate le espressioni linguistiche di questo tipo ). L'inosservanzacezionalmente lunga di L, Set. di tale divieto conduce immediatamente in prossimità del paradosso di Russell.

In altri termini l 'aritmetica si può immergere immediatamente nella teoria Fra l'altro le costruzioni categoriali piu in tuit ive si r i feriscono spesso edegli insiemi, oppure mediante l'analisi ; i risultati saranno isomorfi, ma diversi. volentieri alle classi. Ad esempio la t ipica costruzione del «gruppo Kp>) diCon questo esempio sono chiari i motivi per cui le versioni insiemistiche di Grothendieck consiste in quanto segue. Si consideri il gruppo libero generato datutte le discipline matematiche non sono univoche. classi [A] di gruppi abeliani finiti A, a meno di isomorfismi, e lo si quozienti

rispetto al sottogruppo generato dalle relazioni [B] — [A] — [C] per tutte le se­3.4. «Figure». quenze esatte o~A~ B ~ C ~ o . Questo è il gruppo K„ (SAb) per la categoria

%Ab dei gruppi abeliani finiti. I suoi elementi sono classi di classi; nelle as­È piu facile immergere la classica geometria euclidea nella teoria degli in­ siomatizzazioni standard della teoria degl'insiemi, simili costruzioni sono asso­

siemi, identificando il piano euclideo, munito di un sistema di coordinate car­ lutamente proibite.tesiane, con Rs= R x R. Dopo aver stabilito la possibilità di esprimere la rela­ Analoghi problemi fondazionali sorgono, ad esempio, nella realizzazione dizione di ordine e le operazioni standard di R in L, Set, è possibile sostituire la costruzioni come lo «spazio classificante» di una categoria. In questa costruzio­geometria euclidea con quella analitica, immersa nella teoria degli insiemi. ne, in maniera semplice, la categoria è paragonata a un grafo infinito i cui ver­

L'assiomatica della geometria secondo Hilbert è ovviamente coerente nel­ tici sono oggetti e i cui lati sono i morfismi. Dopo ciò, alcuni cammini lungo lel'ottica della teoria degli insiemi. frecce di questo grafo, secondo regole determinate, s'incollano in simplessi a

Anche le teorie geometriche contemporanee, che lavorano con spazi topo­ piu dimensioni. I gruppi di omologia e di omotopia di questi spazi sono oggettilogici, metrici, anellati, ecc., li immergono subito nel linguaggio insiemistico. importanti, spesso già di t ipo finito, ma i loro elementi sono ancora classi eSe inoltre si usano metriche riemanniane o modelli locali del t ipo di spazi classi di classi («gruppi d'ordine superiore K;» ).euchdei, allora la loro interpretazione insiemistica si riconduce direttamente La risposta ufficiale dei testi contemporanei, relativa alle difficoltà qui sol­all'interpretazione del continuo reale. levate, consiste nel presupporre che la categoria originaria sia «piccola», vale

Una posizione a parte occupa il linguaggio delle categorie, che diventa sem­ a dire che i suoi oggetti e i morfismi costituiscano un insieme, e non una classe,pre piu intuitivo e popolare (cfr. l'articolo «Applicazioni», ) 6, in questa stessa all'interno di un universo piu ampio. Le difficoltà allora si riconducono al pro­Enciclopedia). Come si è osservato in tale articolo, non esiste una formalizza­ blema dell'esistenza di una gerarchia di universi insiemistici con le proprietàzione del linguaggio delle categorie che sia completamente indipendente dal necessarie (la gerarchia è necessaria per utilizzare liberamente in seguito glilinguaggio della teoria degli insiemi. D'altro lato l'interpretazione insiemistica invarianti calcolati, in nuove costruzioni ) e al problema dell'indipendenza deidi costruzioni categoriali realmente utilizzate s'imbatte in due difficoltà carat­ risultati delle costruzioni intuitive dalla scelta di questa gerarchia. Poiché moltiteristiche. di questi problemi sono probabilmente indecidibili, nello stesso senso, ad esem­

La prima è che non c'è ragione per considerare subito come insiemi gli og­ pio, dell'ipotesi del continuo, essi sono semplicemente circondati dal silenziogetti e i morfismi di una categoria generale; essi hanno una natura indetermi­ [cfr. Artin, Grothendieck e Verdier tq63-64].nata. In una intuizione insiemistica e in una formalizzazione adeguata occorreper questo prevedere degli «atomi» — gli oggetti, che non sono insiemi, ma la cui«collezione» costituisce un insieme. L'assiomatica originaria di Zermelo si ri­ Problemi dell'infinito e modelli della teoria degli insiemi.feriva esattamente a questo caso, ma sembra che non sia stata perseguita asufficienza per ottenere tutte le deduzioni categoriali «intuitive». In questo paragrafo sono descritti il concetto di universo e alcuni universi,

La seconda difficoltà, probabilmente legata alla prima, consiste nel deciso utilizzati per dimostrare l'indecidibilità di problemi quali l'ipotesi del continuo.aumento del ruolo delle «classi» di Neumann-Godei-Bernays rispetto agli in­ In termini semplici, un universo è una classe di insiemi nella quale sono verifi­siemi abituali. cati tutti gli assiomi di una teoria assiomatica degli insiemi (nel nostro caso la

In senso intuitivo una classe è una collezione arbitraria di insiemi, ad esem­ teoria di Zermelo-Fraenkel ) ; si chiama anche modello di questo sistema dipio « tutti » gli insiemi oppure « tutti» gli ordinali (per chiarimenti piu precisi assiomi. Se gli assiomi sono non-contraddittori, allora esistono molti universi

Insieme 758 759 Insieme

isomorfi; in alcuni di questi una data formula, ad esempio IC, può essere vera, Nel paragrafo successivo verranno identificati gli ordinali finiti con i nu­in un altro falsa. In questo caso è indipendente dagli assiomi. meri naturali. La classe di tutti gl i ordinali è totalmente ordinata. L'ordinale

Una descrizione logica piu rigorosa deve essere formalizzata e il concetto minimo nella classe di tutti gli ordinali maggiori di p. si indica con >z+ i e si chia­di modello, in essenza, si riferisce a un'applicazione di due teorie formali l'una ma successore di >x. Nella definizione di Neumann >z+ i = u g [p~). L'ordinalenell'altra. Si riporta una variante semiformalizzata, nella quale i modelli della P si chiama limite se non esiste un ordinale x tale che >z = [1+ i. Il primo ordinaleteoria formale in L, Set saranno costituiti nella teoria intuitiva degli insiemi. limite cpp è isomorfo a (o, I, 2, 3, ... ). Se [1 è un limite, nella definizione di

Si comincia con la descrizione dell'universo che si può considerare come il Neumann [1= [J o.modello standard della teoria di Zermelo-Fraenkel. a<s

Tutti gli ordinali costituiscono una classe totalmente ordinata, ma non uninsieme: altrimenti la loro unione sarebbe l'ordinale piu grande, ma il seguente

y.t. Universo di Neumann-Zermelo-Fraenkel V. sarebbe ancora piu grande [Burali-Forti r896; Cantor t895-97].Primi stadi. L' u n i verso V è costruito per induzione a partire dall'insieme Gli ordinali sono utilizzati per tre scopi principali: per le dimostrazioni

vuoto, per successive applicazioni dell'operazione J (insieme delle parti ). Pre­mediante induzione transfinita, per le costruzioni mediante recursione trans­

c isamente: V p= ~ I V i = J(P) = ( ic') V p= J (V i) = ( P (P )) V~~i =finita e per le misure di potenza degli insiemi (cfr. «Applicazioni», ( z).

'

.2L'induzione transfinita si basa sul seguente principio : la classe degli ordinali

P( V>>)> . È facile vedere che V>> c: V„+„ lo stadio V„ è costituito da z che contiene g, che accanto a ogni ordinale contiene il successore e che accanto a

(n-i volte ) insiemi finiti, i cui elementi sono insiemi finiti, «messi insieme» a ogni insieme di ordinali contiene la sua unione, coincide con la classe di tutti gli

partire da g. Per uscire dai limiti degli insiemi finiti, si ponga V„, = Q V„;ordinali. L'applicazione del principio di induzione transfinita in questa forma

n =psolitamente richiede una scelta preventiva di un ordinamento totale dei vari

d opo ciò si può iterare questa costruzione e porre V , + , ­— J(U„,), V„+~ ­­ insiemi; la sua esistenza è stata dimostrata da Zermelo per mezzo dell'assioma

= P( Vcù>>+l)> ... V2co U V»>>>+tdi scelta, Nelle ricerche contemporanee, soprattutto di algebra, si preferisce di

i = i solito usare il cosiddetto lemma di Zorn, il quale fa a meno della necessità di que­Gli indici coi quali si numerano gli «stadi » di V sono gli ordinali di Cantor: sta scelta.

insiemi totalmente ordinati a meno di isomorfismi. Prima di completare la Per le misure di potenza s'introduce il concetto di cardinale: si chiama cosidescrizione, occorre dare gli elementi della teoria degli ordinali. un ordinale che non sia equipotente ad alcun ordinale inferiore. Tutti gli ordinali

fino a cpp compreso sono anche cardinali ; ma cpp+ i, cpp+ z e molti ordinali suc­Ordinali. Gl i i ns iemi ordinati sono stati definiti nel ) 3 dell'articolo «Ap­plicazioni ». Sia (X, <) un insieme ordinato; esso è detto linearmente ordinato

cessivi sono numerabili e per questo non sono cardinali. Ogni insieme è equi­potente a un unico cardinale e questi, in tal modo, costituiscono una scala di

se per ogni Y,ZeX, con Y +Z, si ha Y<Z oppure Z< Y; si dice totalmente potenze naturale.ordinato se, oltre a ciò, ogni sottoinsieme non vuoto di X h a u n e lementominimo.

Il primo cardinale maggiore di cpp si designa con cp, ; il cardinale della po­

Si dice isomorfismo degli insiemi ordinati X, X' un'applicazione biiettiva,tenza del continuo si denota con z""; per questo l'ipotesi del continuo si puòformulare come uguaglianza cp, =z <. La c lasse di tutt i i cardinali infinit i è

strettamente crescente, fra loro. Si d ice segmento iniziale dell'insieme total­ totalmente ordinata e per questo è naturale numerarla mediante gli ordinali ;m ente ordinato X o g n i s o t toinsieme della forma Y '= (Y' ~ Y'< Y), doveYe X. I segmenti iniziali di X sono totalmente ordinati dalla relazione c in X .

se cp è il cardinale relativo al numero u., allora l'espressione cp +, ­— z'"~ (poten­za di J (tp„)) si dice ipotesi del continuo generalizzata. I problemi sulla verifi­

Il risultato fondamentale sugli insiemi totalmente ordinati afferma che se cabilità di questo tipo di relazioni nell'aritmetica degli ordinali e dei cardinali,X e Y sono due di questi insiemi, allora o sono isomorfi, oppure uno di essi i problemi relativi ai cosiddetti cardinali inaccessibili e altri, formano la cer­è isomorfo a un segmento iniziale dell'altro. Per il momento si chiami ordinale chia dei problemi dell'infinito. Quelli a cui non è stata data una soluzione, co­una classe di insiemi 'totalmente ordinati, a meno di isomorfismi. Ogni coppiadi ordinali è legata da una delle relazioni >z= P, u < P, ) <x a seconda che i loro

me è noto oggi, sono formalmente indecidibili. Le loro correlazioni coi piutradizionali problemi matematici dell'analisi, della topologia o della teoria dei

rappresentanti siano isomorfi come insiemi totalmente ordinati, oppure uno sia numeri sono comprese molto male.isomorfo a un segmento iniziale dell'altro.

La formalizzazione del concetto di ordinale nel linguaggio L, Set si puòrealizzare comodamente seguendo Neumann. Secondo Neumann si chiama or­

Conclusione della costruzione dell'universo. Per ogni ordinale [l poniamo

dinale un insieme X totalmente ordinato dalla relazione e fra i suoi elemen­Vs ­— V(V„), se P= >z+ r ; V> ­— QV„'se [1 è limite, infine V=+V„. Ouesto è

n(P G(

t i e transitivo, vale a dire tale che da Zc YeX segua ZeX . l'universo, costruito per recursione transfinita.

27

Insieme p6o 76r Insieme

In particolare contiene tutti gli ordinali di Neumann: si può mostrare chexc V„~,.

La formalizzazione della costruzione descritta sopra consiste di due passi 4.3. Costruzione dell'universo di Godei L.

fondamentali: la costruzione della formula di L, Set designante «Per ogniinsieme x esiste un ordinale <x con xe V,» e la deduzione di questa formula da­

Godei defini una sottoclasse L<: V molto interessante: l'universo degli i»­

gli assiomi di Zermelo-Fraenkel. I fondamenti logici sono tali da consideraresiemi costruibili. La sua piu semplice definizione è la seguente: si tratta dclh>

che V sia un modello di questi assiomi. Di conseguenza alcune considerazionipiu piccola sottoclasse di V contenente tutti gl i ordinali e che sia un modcll<>

intuitive mostrano che V è chiuso rispetto alle abituali operazioni sugli insiemi :per gli assiomi di Zermelo-Fraenkel. Tuttavia questo fatto si ottiene assai l>i<'<

differenza, unione, intersezione, formazione di P(X) e di QY , formazione ditardi e come conseguenza di un'altra definizione intuitiva, la quale si usa anni><

YcX nelle dimostrazioni. Per definirla, vanno introdotte prima le operazioni di G><i

(f (X) ~ Xc I ' ) , dove f è una funzione, formazione dei prodotti diretti, delle del sui sottoinsiemi. Si tratta di tre operazioni binarie (formazione della c<>~>relazioni, delle applicazioni e delle immagini, ecc. pia, differenza e prodotto diretto ), due operazioni unarie (formazione dell'i»­

sieme dei primi elementi di tutte le coppie ordinate contenute in un dato i»­sieme, e formazione del grafico di una relazione di inclusione nel quadrato <li

4.z. Funzione di verità e modelli. retto di un dato insieme ) e sei operazioni unarie (formazione dell'insieme dcll<

Sia ora M< U una classe di insiemi, sia A l'alfabeto di L, Set, A~cA unterne ordinate, ottenute con una permutazione dalle terne ordinate contenni<

insieme di simboli di variabile. Si dice M-specializzazione una qualunque ap­in un dato insieme).

plicazione F di A~ in M, vale a dire la scelta, per ogni variabile xc A~, di unoPiu avanti s'indicherà con X la chiusura di qualunque insieme X: è il l>i«

dei suoi valori x<, il quale è un insieme di M. Per induzione sulla lunghezzapiccolo insieme contenente tutti gl i elementi di X i n m aniera chiusa rispcti<>

della formula P del l inguaggio Li Set si definisce il valore della funzione dialle operazioni di Godei.

verità ~P~,,<(E)= r (vero) oppure ~P~ir(E) = o (falso). Precisamente si pongaOra la definizione effettiva di universo L è questa : L = U L„ (unione risp«tt�<� >

~x cy~ <>r (E) = r se x"-cy< ; o se x< 4y< ; analogamente per le altre formule atomiche. agli ordinali <x), dove L~= lEl, L„+ ,­— P(L„) g (L„U (L„)), Ls ­— QL„sc (3

quindi » p o n ga i PI~r(E)=i ­ IPI~i(E,), IP~PI~(E)= IPI~(E,) IQl.ii(E.),<><(s

è definito. In altri termini ad ogni passo non si aggiungono tutti i sottoinsien>iecc., secondo le abituali regole della logica; infine si ponga ~3xP~~(E)= dello stadio già costruito, ma solo quelli che si possono ottenere dagli insicnii= max~P~ir(E'), ~VxP~~(E)= min~P~ ir(E'), dove E' percorre tutte le 1I7-spe­ a disposizione mediante le operazioni di Godei.cializzazioni e si distingue da E solo per il va lore della variabile x. I primi stadi di L e di V coincidono : L = V, p er <z(o i~; tuttavia a partin.

La formula P s i d ice M.-vera se ~P~~i (E)= i per ogni E„ e M - f a lsa se da <x= o><,+r l'inclusione L,<: V„d iventa propria. In effetti si può dimostran~P~~(E,)= o per ogni E. Ogni formula chiusa è M-vera oppure M-falsa: il che la potenza di L„è uguale alla potenza <><, già quando la potenza di V,„valore della sua funzione di verità non dipende da E. è uguale a z"«. Da un punto di vista logico ciò non esclude la possibilità che

La classe M si dice modello dell'insieme di formule K (ad esempio di un V<z3)(V < Lli), vale a dire L = V.sistema di assiomi), se tutte le formule a partire da S sono M-vere. Solitamente La proposizione L = V, piu precisamente la sua traduzione formale nels i considerano classi transitive, per le quali da I ' c X c M s egue VEM linguaggio L, Set, si chiama «assioma di costruibilità». Ha uno status molto

La formalizzazione del concetto di modello sostituisce il concetto di classe interessante. Gòdel ha dimostrato che non contraddice gli assiomi di Zermelo­M col concetto di formula P(x) con una variabile libera, la quale esprime M Fraenkel se questi stessi sono non-contraddittori, tuttavia sottolineò come nonin L, Set, e la verità alla deducibilità dagli assiomi. esista alcun fondamento per assumerlo «vero». Evidentemente egli era intui­

Piu in particolare, si definisce la P-relativizzazione P< della formula P del tivamente convinto che in V si t rovi una grande quantità di insiemi non co­linguaggio L, Set per induzione sulla sua lunghezza. Per le formule atomiche: struibili, di modo che l'assioma di costruibilità sarebbe falso.(xcy)< è Q(x)h P(y)~xcy, (x =y )O è P(x) RP(y)~x =y. Quindi (~P)< è Godei dimostrò che dagli assiomi ZFr-ZFq e dall'assioma L = V è deduci­

~(P<) ; (P, x P,)< è (P,)< ~ (P~)< per ogni connettivo ~ ; (VxP)~ è Vx(g (x) ~P) bile l'assioma di scelta ZFio. In tu i t ivamente ciò corrisponde alla possibilitàe (3xP)~ è 3x(Q(x) RP). Una formula si dice transitiva se dagli assiomi è di costruire in maniera ricorsiva una «funzione universale di scelta» per ognideducibile la formula Q(x) A yex ~ g(y). classe L, la quale ponga in corrispondenza ad ogni insieme costruibile non

La formula g definisce un modello interno del sistema di assiomi se tutte vuoto un suo elemento e che sia essa stessa costruibile.le g-relativizzazioni degli assiomi sono deducibili da questi. Questo modello Infine Godei dimostrò che dagli. assiomi ZF e dall'assioma L = V si deduceè transitivo se g è t ransitiva. l'ipotesi del continuo generalizzata, che in tal modo non contraddice gli as­

Verranno ora descritti alcuni modelli che risolvono dei problemi dell'infinito. siomi di Zermelo-Fraenkel, se questi stessi sono non-contraddittori. La parte

Insieme 76z 763 Insieme

«intuitiva» fondamentale di questa dimostrazione stabilisce che la potenza di Verranno ora presentate alcune implicazioni dell'esistenza di modelli nu­V(~,) AL è u „ + „ v a le a d ire i sottoinsiemi costruibili di un cardinale sono merabili della teoria degli insiemi.tanti quanto il cardinale successivo. Tuttavia se è «proprio» Lp V, vi possono Nel modello M c'è un insieme infinito x~, come segue dalla M-verità dol­essere molti piu sottoinsiemi. i'assioma di infinità. In M c ' è anche «l ' insieme di tutte le M-parti d i x<>»

L'assunzione dell'assioma L = V si può sostituire intuit ivamente col cal­ J (x~)~ in forza della verità dell'assioma di potenza. Sia x~ sia J (x~)~ non s<>­colo delle funzioni di L-verità per una serie di formule del linguaggio L, Set. no piu che numerabili, giacché il modello M è transitivo e numerabile. Per que­Ciò permette di fare la dimostrazione di Godei in maniera meno sintattica, sto deve esistere un'applicazione di xp su J (xp)~, Tuttavia anche il teorem;>ma rimane comunque una lunga e difficile componente sintattica, connessa al­ di Cantor è deducibile dagli assiomi, vale a dire anche la formula «non esistel'effetto di «variazione di significato» delle formule del linguaggio formale nei un'applicazione di xp su J (xp)» è M-vera. Questi fatti non si contraddicon<>modelli non standard. Si dimostrerà questo effetto sul cosiddetto «paradosso l 'un l'altro, né contraddicono il senso delle corrispondenti proposizioni in V,di Skolem», il quale è tecnicamente piu semplice e fu scoperto prima del mo­ poiché J (x~)~ ­— J(x~) gM, e ciò rende J (x,)„~ non piu che numerabile, e poi­dello di Godei. ché la M-verità del teorema di Cantor significa, «dal punto di vista di V»,

soltanto assenza di quelle applicazioni di x~ su J (x~)~ che sono a loro volta4.4. Modelli numerabili e paradosso di Skolem. elementi di M,

Per motivi storici si è preso a chiamare «paradosso di Skolem» tutti questiSia M~ V una sottoclasse di U. Stabilendo che M è un modello degli effetti di variazione di significato degli enunciati nei modelli, in particolare

assiomi, si calcoli la funzione ~P~~g) per ogni assioma P, sapendo che in quelli numerabili. Alcuni autori, fra cui lo stesso Skolem, pronti a lavorarc

jP~> (E)= >. Il concetto tecnico fondamentale risulta qui quello di formula con infinità numerabili, ma non superiori, consideravano questi effetti come unaassoluta: P si dice M-assoluta se per ogni M-specializzazione E si ha ~P~~ (F) = manifestazione di relatività dei concetti insiemistici, in particolare del continu<>.

= ~P~v(F). È chiaro che se la formula P è V-vera e M-assoluta, allora è anche Gli specialisti di analisi e di topologia, abituati a lavorare col continuo realeM-vera, mentre quello di essere assoluta è un concetto «piu sintattico» e per come con un qualsiasi formalismo della realtà, vedono nel paradosso di Skolernquesto risulta piu comodo verificarlo separatamente. Comunque ciò non è soltanto una manifestazione di inadeguatezza dei formalismi, in quanto metodisemplice come L = V se la formula non è scritta chiaramente, ma data sol­ per imitare le considerazioni intuitive. Questa convinzione è sostenuta soltant<>tanto con una complessa costruzione intuitiva. In ciò si trova la radice delle dall'esame di effetti analoghi nei modelli non standard del linguaggio dell'arit­difficoltà sintattiche della dimostrazione di Godei. metica, in cui l'intuitiva interpretazione standard appare alla maggior parte dci

Il metodo universale per spezzare l'assolutezza è il seguente: se la formula matematici assolutamente attendibile e univoca.

Q(x) contiene una variabile libera, allora AQ (x) può essere V-vera, in quanto In ogni caso, la costruzione di speciali modelli numerabili è un metodo po­in V si trova un insieme con la proprietà Q, ma non M-vera, poiché in M un tente per dimostrare l'indipendenza di diversi problemi di teoria degli in­simile insieme non si trova. siemi. Il metodo generale di costruzione di questi modelli, il forcing, fu sco­

Per questo, per conservare l'assolutezza, ad esempio, di un insieme nume­ perto da Cohen. Lo si descrive però in un'altra variante, secondo Scott e So­rabile di formule di L, Set, può r isultare necessario aggiungere un insieme lovay, i quali ut i l izzano considerazioni intuitive molto interessanti.per ogni formula vera 3x Q(x) alla classe scelta originariamente M~a V. Do­po ciò possono variare i valori delle funzioni di verità e di altre formule, ma y.g. Universo sopra un'algebra di Boole.l'iterazione di una quantità numerabile di simili passi è già sufficiente a garan­t ire l'assolutezza della classe ampliata M~ M ~. Algebre di Boole. Sia S un i ns ieme qualsiasi, 8= J($) l ' insieme delle

In questo modo è possibile costruire un modello numerabile Mc: V degli sue parti. In B si distinguono gli elementi g = o e S= r ; inoltre in B vi sonoassiomi di Zermelo-Fraenkel, a partire almeno da M~ = (g) . Per la verità due operazioni binarie U e g e una operazione unaria, il passaggio al comple­questo può non essere transitivo: alcuni insiemi di M conterranno elementi mento. Le operazioni U , A , ' sono legate da alcune identità, ad esempionon appartenenti a M M a , come ha dimostrato Mostowski, con un procedi­ (aAb)' = a'Ub' oppure aA (bUc) = (aAb) U(aAc). L' insieme J(S) con que­mento di eliminazione degli elementi «estranei» si può costruire un M, isomor­ ste operazioni e gli elementi distinti o, z è un'algebra di Boole,fo rispetto alla relazione e, che sia una sottoclasse transitiva di V, il quale, in Piu in generale un insieme B c on le operazioni A, v , ' e con gli elementitale modo, è un modello transitivo numerabile della teoria degli insiemi di distinti o, r si dice algebra di Boole se in esso è verificata ogni identità di unZermelo-Fraenkel. Si capisce che i principi descritti brevemente qui sono molto elenco finito (descritto nell'articolo «Dualità», ) t, d i questa stessa E<nciclo­generali, e mutatis mutandis, si riferiscono ai modelli insiemistici di altri linguag­ pedia).gi formali numerabili. Sia ad esempio S uno spazio con misura p.(cfr. l'articolo «Applicazioni », ) 3),

765 InsiemeInsieme 764

p.(S)= t, B( : J (S) sia l 'algebra degli insiemi misurabili, B = B mod o l'al­gebra delle classi di insiemi misurabili rispetto alla relazione di equivalenza

Costruzione di VD, Si procede per recursione transfinita su <r. l '<>s(<>

«misura della differenza simmetrica uguale a zero». Allora B costituisce un'al­V«D= g, s i supponga che per l 'ordinale c( sia già stato definito l ' insieme l' ',";

gebra di Boole; queste algebre svolgono un notevole ruolo nei modelli mate­per ciascuno dei suoi elementi Xe V+ sia definito un sottoinsieme D (X) u I,,";

matici della teoria delle probabilità. Ad esempio, rappresentazioni intuitive per ogni coppia di elementi X, Yc Vs siano definite le «probabilità» IIXe Yll (: B,

delle «grandezze casuali» sono ottenute col concetto matematico di funzione f IIX = Yll e B. Si supponga inoltre che questi dati soddisfino le seguenti c<»>­

sullo spazio S; la probabilità che la misura del valore della funzione f siadizioni: se P>((~<c (, allora V() <: Vs,, se )<c(, Xc V +( +Vs, allora D(X)

compresa fra a e b si ottiene dal numero j).((xe S I a<f(x)<b)) (si suppone= VDs. Infine si supponga che

che tutte queste misure esistano, vale a dire chef sia una funzione misurabile). Ilx~ Yll= v (Ilx = zll w ll«YII)In analogia con questo esempio è comodo figurarsi che gli elementi dell'u­ Z< D(Y)

niverso, descritto piu avanti, sull'algebra di Boole B, siano «insiemi casuali». IIX = Yll= ( > I IZeXII' v IIZe Yll) t<, ( > IIZe Yll' v IIZeXII).ZeD(X) Z+D(Y)

E ora possibile definire tutti i dati necessari allo stadio V + ( ­— V„(g V„Universo VD e «verità booleana». An c he questo universo, come U, si co­ Precisamente UD+, sarà costituito da tutte le funzioni possibili Z, con domini<>

struisce per stadi, numerati dagli ordinali: V =+V„. Per ogni coppia di di definizione V+ e a valori in B, le quali soddisfano alla condizione di estcn­

elementi X, Ye UD si definiscono induttivamente le «funzioni di verità a valori sionalità: IIX = Yll t<, Z(X) = IIX = Yll p, Z(Y) per ogni X, Ye VD. Oltre a ci<>booleani» IIXe Yll eB e IIX= Yll c B, che occorre rappresentarsi come «pro­ per Zc VD+, si ponga D (Z) = VD e per le precedenti Z la definizione di D (Z)babilità» di appartenenza di X a Y o di uguaglianza fra X e Y (nel consueto non cambia.

linguaggio delle probabilità le misure degli elementi dell'algebra B, e non gli Infine per gli ordinali limite P si ponga VD = QVD.

elementi stessi, si dicono probabilità ). Prima di descrivere esplicitamente la «( sUn ulteriore lavoro consiste nella verifica induttiva del fatto che le iden­

costruzione, dipendente solo da B, verrà indicato come la si utilizza nelle di­ tità per IIXe Yll e IIX = Yll si conservano allo stadio c(pt ; ciò conclude di fatt<>mostrazioni di indipendenza. la costruzione dell'universo VD = Q V+.

Come prima, sia A» un insieme di simboli d i variabile del l inguaggioL> Set ; si chiami V -specializzazione F un'applicazione di A<> in UD. Per ogni Si osservi che per formalizzare questa costruzione occorre considerare che

E e per ogni formula P del linguaggio L, Set è possibile definire il «valore di Be V. Se B = ( o,t) l ' universo ottenuto sarà essenzialmente isomorfo a l ' ,verità booleano» IIPII(F) per induzione sulla lunghezza di P. Per le formule sebbene non coincida esattamente con esso.

atomiche la definizione è esposta nella costruzione dell'universo UD: si trattadelle corrispondenti «probabilità». Quindi Il~PII = IIPII', IIP p, Qll = IIPI] t<, Il@ll, Verif(ca della (< verità» degli assiomi. Ne l la costruzione dell'universo V(' èecc. Questa associazione di valori di verità booleani agli enunciati è molto vi­ stata posta direttamente la condizione di B-verità dell'assioma di estensionalit <.cina alle idee originarie di Boole, uno dei fondatori della moderna logica formale. Le tre identità scritte sopra per la funzione di verità garantiscono la B-verità

Si dice che la formula P è B-vera se IIPII g)= r per ogni E, e B-falsa se d elle conseguenze di q uesto assioma: xcy ~ 3 z (x = z R zey ); x = y ~

IIPII g)= o per ogni E. Dal punto di vista delle probabilità una formula è B­ ++ (z ex ~ zcy) t< (zey ~ z c x) ; (x =y) R (x@z) ~ (x =y ) t<, (y@z) rispet­vera se l'enunciato che le corrisponde risulta in ogni caso «vero con proba­ tivamente, dalle quali si deduce la sua B-verità.

bilità La possibilità di garantire ciò è ben lungi dall'essere evidente : cosa significaTutti gli assiomi logici del linguaggio L, Set sono B-veri per ragioni abba­ che «gli insiemi coincidono quando sono costituiti dagl i stessi elementi»,

stanza banali, già scoperte da Boole. I pr incipi esposti nella costruzione di quando sia «insiemi coincidenti» sia «essere elementi» sono enunciati chcVD permettono di stabilire anche la B-verità di tutt i gl i assiomi di Zermelo­ possono essere veri soltanto con una certa probabilità> Qui i formalismi, sia ilFraenkel. Infine la B-verità si conserva per deduzioni a partire da formule linguaggio stesso sia le sue interpretazioni a valori booleani, appaiono inva­B-vere. rianti rispetto alla possibilità di «scrivere le idee sotto forma di calcoli».

Per questo nella dimostrazione di non-deducibilità di una qualunque for­ Tuttavia, dopo la verifica dell'assioma di estensionalità, quella dei rimanentimula, ad esempio IC, a partire dagli assiomi, è sufficiente scegliere un'alge­ assiomi, anche se tecnicamente difficile, risulta un compito abbastanza diretto.bra B tale che IIICII= o. Anche questo si realizza col metodo di Cohen-Solovayche verrà descritto piu avanti. Scelta dell'algebra B che ((confuta» l ipotesi del continuo. È s tato spiegato

prima che la L-verità dell'ipotesi del continuo nella dimostrazione di Godeiera garantita dall'assunzione di una «minore» quantità generale di i nsiemi, in

Insieme 766 767 Insiemeparticolare dei sottoinsiemi di ogni cardinale, ottenibile considerando soltantoi sottoinsiemi costruibili.

lità di significato determinato. Naturalmente quando questo processo di com­

L'introduzione dell'algebra B produce l'effetto contrario: essa «aumenta»prensione diventa l'oggetto di studio di psicologi, linguisti, psichiatri, rivela una

la quantità di insiemi, per tener conto della possibilità di variare le «proba­complessità enorme e una organizzazione gerarchica. Ma per gli scopi di que­

bilità» con cui un insieme è costituito dai suoi elementi. Questo approccio parti­sto articolo basta considerarlo come unitario e considerare il significato pro­dotto dall'interpretazione come un'autentica astrazione.

colare permette anche di costruire, ad esempio, u, «B-sottoinsiemi» di cardi­nalità w~, scegliendo l'algebra B di potenza abbastanza grande. Tuttavia, come

Il problema si presenta assai piu complesso con i l inguaggi della scienza.Nella formazione di un abituale concetto delle scienze naturali, di un sistema di

anche nella dimostrazione di Godei o del paradosso di Skolem, con le B-inter­pretazioni si ottiene una variazione di significato di tutte le proposizioni, non

concetti o di una teoria, e anche nel loro studio, i testi corrispondenti presen­

necessariamente in senso vantaggioso. Per questo il controllo di tutt i questitano anche le istruzioni per la loro interpretazione. Queste istruzioni possono

effetti richiede un lavoro ancora maggiore, i cui particolari verranno qui evitati.costituire una parte del testo ben delimitata, ma possono anche essere me­

Si osservi per concludere che sono note anche diverse varianti di universoscolate in costruzioni linguistiche, parallele a costruzioni linguistiche di testi

del tipo V , nelle quali il ruolo di «base» non è svolto da algebre di Boole, magià interpretati. Come se si riuscisse a capire l'espressione «L'elettrone è passa­

da insiemi ordinati o in generale da « topos» di Grothendieck. Alcune di questeto oltre la fenditura A (e non la fenditura B )» nei manuali di meccanica quan­

varianti si possono ritenere come la realizzazione delle idee della matematicatistica, avendo come « istruzione» per l'interpretazione la sua sintassi, parallela

intuizionista coi metodi della matematica classica.alla sintassi della frase, comprensibile in maniera univoca, «II sasso è passatooltre la fenditura A e non la B». Questa «istruzione» induce in errore e nu­merose spiegazioni seguenti sono dedicate all'introduzione della frase, ben for­

Critica e alternative.mata nel linguaggio della meccanica quantistica, «Ampiezza di passaggio diun elettrone oltre la fenditura A», e alle istruzioni per interpretarla. Proprioalla fine di questa gerarchia di istruzioni si trovano solitamente le descrizioni

Per quanto siano cambiati storicamente il contenuto e la forma dei testi ma­tematici nel corso di due millenni, i l loro carattere deduttivo rimane immu­

dei procedimenti operativi delle scienze sperimentali: misurazioni, osserva­

tabile: «Dopo i Greci, chi dice matematica dice dimostrazione»[Bourbakizioni, ecc. L ' interpretazione di un testo comprende una, piu o meno com­pleta, comprensione di questa gerarchia.

I954, p. r]. Per questo ogni critica e ogni controcritica sui fondamenti, fra cuila teoria degli insiemi, procedono lungo due linee: la validità dei concetti e

L'originalità dei testi matematici consiste solitamente nell'assenza di que­

delle premesse iniziali e l'aspettativa delle deduzioni (compresi i metodi persti procedimenti operativi, ai quali il contenuto del testo si riferisce, magari inultima analisi. Ciò nondimeno in determinate situazioni questo aspetto «rea­

ottenerle). listico» svolge un ruolo fondamentale nell'interpretazione dei testi matematici.Le argomentazioni riportate comportano invariabilmente un carattere non

matematico. La validità della scelta dei concetti iniziali e delle regole d'analisiInoltre, interpretando un testo matematico, il lettore utilizza forme visive,

è verificata per confronto con una «realtà», vale a dire appellandosi al signifi­cinematiche e altre, piu o meno determinate, che sorgono nella sua coscienza.L'aspetto corrispondente del significato lo si chiama «interno».

cato di un testo matematico. Perfino per la filosofia formalista della matematicaè cosi, giacché la scelta dei formalismi, in particolare situati entro la loro logica,

Finalmente il testo interpretato nelle sue relazioni con altri testi, reali o po­

e la loro metateoria sono fondati su considerazioni di contenuto.tenziali, vale a dire il costrutto delle sue traduzioni in altri sottolinguaggi, l'e­

Tuttavia la categoria del significato del testo matematico, di per sé, è un'a­splicitazione di definizioni, le formalizzazioni, ecc., rivolgono il matematicoverso l'aspetto «esterno» del significato.

strazione d'ordine superiore. A uno studio piu immediato si presentano i proce­ Si consideri come semplice esempio l'interpretazione del concetto «due»dimenti di interpretazione del testo, che si assumeranno quale materiale origi­nario. In questi procedimenti si distinguono alcuni aspetti, che a loro volta si

nei contesti «prendi due mele», «dualismo filosofico» e «la sesta cifra dopo la

manifestano in diversi atti individuali di interpretazione. Li si descriverà e sivirgola nello sviluppo decimale di vr: è due». Nel primo è piu essenziale l'aspetto

proseguirà mostrando come l'assolutizzazione di uno qualsiasi di questi aspettirealistico del significato. Nel secondo, quello interno, giacché la rappresenta­

definisca ciascuna delle posizioni filosofiche adottate sui problemi dei fondamenti,zione di «due» deve applicarsi a un sistema concettuale tanto complesso quan­to «le essenze originali, giacenti a priori a fondamento del mondo, all'interno

L'uomo impara dall'infanzia l'interpretazione dei testi correnti nella lin­ dei sistemi filosofici di una determinata classe». Infine nel terzo contesto domi­gua natale, parallelamente al possesso della stessa lingua, quando si trova inun ambiente linguistico omogeneo. In questo modo nella coscienza individuale

na il significato esterno, poiché la comprensione di questo testo fa appello

si forma un nucleo rapido e univoco di testi comprensibili. Questa indivisibilitàalla ricostruzione di un certo metodo di calcolo approssimato, di un metodo perottenere le cifre decimali della corrispondente approssimazione, di un metodo

del processo di comprensione dei testi quotidiani permette di assegnarle la qua­ di valutazione della precisione, ecc.

768 769Insieme Insieme

Ecco ora una descrizione piu dettagliata di questi aspetti del significato estruttiva. L'orientamento sulla realtà del mondo fisico e l'interpretazione del­

della loro influenza sulla scelta e sulla valutazione dei diversi sistemi di fon­la matematica in termini di scienze naturali predetermina la filosofia «appli­

damenti della matematica.cata» della matematica, a stento formulata sistematicamente ma creata quoti­dianamente dai fisici.

5.i. Aspetto realistico della semantica.5 z Aspetto mterno della semantica

Non v'è dubbio che svolga un ruolo fondamentale nella matematica «appli­cata» intesa in senso lato. Rientrano qui, in modo naturale, i calcoli ingegne­

Come si è detto, si manifesta in ogni atto individuale d'interpretazione e)

ristici ed economici. Si riferisce anche all'apparato della fisica teorica, seppureanche nel compito di esplicare il «significato intuitivo del testo», dipendente

qui sia nettamente ingigantito il ruolo e la complessità dei procedimenti di espli­dalla coscienza individuale.

cazione del significato fisico dei calcoli. Per questo il rigore matematico-formaleOgni persona ha accesso immediato solo alla propria coscienza. L'auto­

dei calcoli può passare, in fisica, in secondo piano, quando le regole d'interpre­osservazione e i metodi linguistici permettono di formare un modello esterno

tazione costituiscono un fattore formativo piu forte per la teoria. Vna situazionedei propri atti cognitivi, anche se del tutto inadeguato e incompleto. Inoltre

come quella delle procedure di r inormalizzazione in elettrodinamica quanti­la componente inconscia fondamentale esce completamente dalla descrizione,

stica, che per la matematica appaiono come regole introdotte ad hoc nel testooppure si deforma a seguito dei tentativi di esteriorizzarla.

formale hanno un significato e una giustificazione definitiva nella coincidenzaPer questo le descrizioni esistenti del significato intuitivo dei testi si riferi­

7

dei calcoli correttivi radiazionali con le misure sperimentali. La fisica costi­scono abitualmente a concetti separati e ad atti cognitivi elementari. Oltre ai

tuisce il piu importante modello di pluralità d'interpretazioni realistiche dellafilosofi e agli psicologi, hanno formato dei modelli notevoli di tali descrizioni

stessa teoria inatematica: l 'equazione delle onde puo descrivere la vibrazionePascal, Poincaré, Hadamard. La struttura anatomica e funzionale del sistema

di una corda e la difFusione degli elettroni; un integrale può corrispondere anervoso centrale, comune a tutti gli uomini, da un lato, e dall'altro, le comuni

un volume, a una carica, a un percorso o a una probabilità; gli esempi si pos­esperienze e consuetudini l inguistiche, permettono di isolare una totalità di

sono moltiplicare senza fine. L'accentuazione di questa idea conduce a conce­unità espressive elementari per <iil l inguaggio dei significati intuitivi». Fra

zioni tanto diverse quanto il «convenzionalismo» di Poincaré, il «relativismo queste possono rientrare termini paramatematici come 'quantità', 'vicinanza',

ins!emistico» di Skolem o l ' interpretazione insiemistica della logica intuizio­a un livello piu alto 'relazione', 'continuo /discreto', a un livello ancora superiore

nista.'algoritmo'. In qualità di unità espressive possono agire anche disegni sche­matici.

Per la matematica «pura» l'aspetto realistico del significato può essere do­minante, quando il testo è interpretato come la descrizione di un procedimento

L'assegnazione dello status di termine di un sottosistema assiomatizzato

algoritmico, condotto sul testo stesso. Sono di questo tipo gli algoritmi elemen­della matematica porta il concetto intuitivo dal l ivello di «semantica interna»

tari con le frazioni decimali o le regole matematiche di sostituzione di un ter­al livello di «semantica esterna». Inoltre la precisione del significato procede

mine in una formula. Infine il significato del programma per un calcolatore èper mezzo dell'eliminazione di possibilità, in potenza racchiuse nel modello

quella successione di stati, prodotta dal calcolatore quando opera seguendo quelintuitivo. Cosi il concetto intuitivo di «grandezza attuale infinitamente piccola»

programma. Con un po' d'esagerazione si può clire che il lavoro di un calcola­fu completamente eliminato nei fondamenti classici dell'analisi e comparve nei

tore è anche uno dei procedimenti d'interpretazione del programma.concetti precisi di «elemento nilpotente» della geometria algebrica e della geo­

La matematica egiziana e babilonese era quasi completamente «realistica»metria differenziale dei nostri tempi, e di «infinitesimo» nei modelli non-stan­

e tale è anche la semantica dei tradizionali manuali scolastici per le classidard dei numeri reali da parte dei logici. Conservando alcuni tratti dell'arche­

inferiori.tipo intuit ivo, queste interpretazioni «esterne» delle grandezze infinitamente

Occorre osservare che, nel nostro senso, la parola 'realistico' va interpretatapiccole non coincidono e portano in direzioni diverse.

in modo esteso. Perfino quando la sua interpretazione si eflettua in termini diLa totalità delle unità del significato interno è individualmente e storica­

procedimenti empirici, vengono sottintese in realtà certe astrazioni, spesso dimente variabile, aperta e debolmente strutturata. La conquista di nuovo mate­

livello molto elevato. Queste astrazioni possono riferirsi non solo alle scienzeriale porta alla formazione di nuove unità.

naturali, ma anche alla filosofia: il presupposto che esista un mondo «neopla­Ad esempio la mutua interazione fra le particelle elementari e col campo,

tonico» degli insiemi permette di annoverare nella filosofia «realistica» la clas­può essere descritta in fisica nel linguaggio dei «grafi di Feynmann». Ciascuno

sica matematica insiemistica. La negazione di questo mondo, in quanto nondi questi grafi «è» una configurazione di punti di vario genere, uniti da linee-lati

reale, e la sua sostituzione col piu reale mondo dei testi e dei procedimenti al­di vario genere. Interpretando «realisticamente» un dato grafo, un fisico vede

gebrici su di essi, caratterizza «Paltro realismo», quello della matematica co­in parte della sua struttura le linee universali delle particelle elementari. Un'al­

Insieme 77o 771 Insieme

tra parte della struttura, che non ammette questa interpretazione, sarà parago­ effetti, intuitivamente, la «verifica del fatto che un oggetto possiede una datanata a particelle «virtuali». Cosi sorge una nuova, comoda, unità di significato proprietà» si distingue nettamente dalla «raccolta di tutti gli oggetti con quellaintuitivo, rispondente ai fatti osservati, ma intermedia rispetto alle unità espres­ data proprietà».sive del linguaggio accettato. In modo analogo sono sorti i quark, corrispon­ Ciò nondimeno, nei sistemi di Russell-Whitehead, di Ouine e di altri autori,denti alle rappresentazioni irriducibili di un certo gruppo. Il problema dell'«esi­ la formalizzazione del linguaggio delle proprietà nella «teoria dei tipi » era usatastenza reale» di particelle virtuali o di quark necessita di una sottile interpre­ precisamente per fondare la teoria degli insiemi. Lo scopo pragmatico consiste­tazione, prima che si tenti di r isolverlo. va in una limitazione dell'universo e dei metodi linguistici, tale da rendere im­

Si osservi infine che l ' interpretazione «esterna» del grafo di Feynmann possibile la presenza di paradossi del tipo di quello di Russell.presuppone, ad esempio, la capacità di scrivere un termine che gli corrisponde Per la teoria dei tipi la «realtà» è l'universo, costituito da individui (di tiponella teoria delle perturbazioni, e l'interpretazione «esterna» dei quark, la ca­ zero), loro proprietà (di primo tipo), proprietà delle loro proprietà (di secondopacità di decomporre un prodotto tensoriale di due rappresentazioni nella som­ tipo ) e cosi via senza fine. Il paradosso di Russell non può verificarsi poiché lama delle loro componenti irriducibili. proprietà «essere una proprietà, non posseduta da se stessa» non appartiene al­

Ogni concezione coerente dei fondamenti della matematica tende a limitare l'universo.

al minimo necessario la base di unità di significato intuitivo che viene adottata. Tuttavia in questo universo non è comodo interpretare la matematica clas­Si producono con.ciò una scelta di unità espressive accettabili e una limita­ sica, già al livello del linguaggio, ed è quasi impossibile al livello degli assiomizione nella dimensione del loro contenuto intuitivo, dopo di che le rimanenti di esistenza: l'assioma di «riducibilità» introdotto da Russell non risulta sod­

unità da assumere sono strutturate per mezzo di quelle elementari. disfacente.L'accettazione del linguaggio della teoria degli insiemi, preparato dall'«arit­ Varianti della teoria dei tipi sono connesse alla tesi «logicista», secondo la

metizzazione del continuo», ha in effetti permesso di diminuire notevolmente quale la matematica è riducibile alla logica, per motivi storici e intuitivi; que­il campo delle unità elementari del significato «interno» o, secondo Bourbaki, sta tesi stessa possiede un contenuto appena percettibile.«delle varie intuizioni», necessario alla matematica, senza diminuire il volume Nella matematica intuizionista, il posto sia di «insieme» che di «proprietà»della matematica classica. Dopo aver imparato l' interpretazione intuitiva dei è occupato all'incirca dall'enunciato «legge di formazione», Tuttavia l'assunzio­concetti e delle costruzioni insiemistiche, il matematico poté cessare di rivolger­ ne fondamentale dell'intuizionismo, relativa alla non-essenzialità del «signifi­si all'intuizione come all'unica fonte di molt i al tr i concetti. Ad esempio la cato esterno» dei loro testi, in particolare all'inadeguatezza di qualunque loro

«curva» diventava complessa, ma rientrava in modo inequivocabile nei costrutti formalismo, non consente di portare molto avanti questo confronto.insiemistici. Per Brouwer e la sua scuola intuizionista l'oggetto dell'intuizione origi­

Il successivo approfondimento di questo concetto poté scoprire proprietà naria è la serie dei numeri interi o, t, z, g , . . ., inoltre considerata non come

«intuitivamente evidenti» in precedenza, o anche del tutto nuove, come l'esi­ realizzata, ma in divenire per mezzo della legge di passaggio da n ad n+ i.stenza della curva di Peano, che riempie un quadrato, la quale appariva netta­ Di conseguenza l'induzione è assunta come il modello fondamentale di tuttemente contraria all'intuizione (Poincaré). La teoria degli insiemi ha salvato la le costruzioni accettabili in matematica. Di per sé le costruzioni devono essere

maggior parte dei matematici dall'anarchia della diversità delle intuizioni in­ realizzate con metodi finitistici a partire da oggetti finiti e l'esistenza di un og­dividuali, lasciando per la verità questo fardello a una minoranza, che tenta di getto matematico è intesa come la possibilità di costruirlo. Ciò esclude le di­ottenere una spiegazione intuitiva e un accordo sul significato interno dell'unico mostrazioni di esistenza «per assurdo», non accompagnate da una rappresen­fondamentale concetto di insieme, che inizialmente era cosi intuit ivo. tazione dell'oggetto corrispondente, nei casi in cui occorra sceglierlo in un in­

Si considerino da questo punto di v ista alcune alternative al l inguaggio sieme potenzialmente infinito. È questo il noto principio di inaccettabilità delladella teoria degli insiemi. La prima è il linguaggio duale delle «proprietà», dei legge del terzo escluso nei domini infiniti.«predicati », ecc. Il suo enunciato elementare, «avere una proprietà», sostituisce Il continuo di Brouwer è difficilmente esplicabile nei termini classici dil'enunciato «appartenere a un insieme». La semantica del concetto di proprie­ «immediato divenire libero», ad esempio delle frazioni decimali, non attual­

tà, assunto come iniziale, non è intuitivamente obbligata ad essere completa­ mente, ma solo potenzialmente infinite; nello stesso tempo, tuttavia, la scelta

mente equivalente alla semantica del concetto «insieme di elementi con una delle successive cifre decimali non è sottoposta ad alcuna legge.

data proprietà», almeno per il fatto che la determinatezza del concetto «essere Kronecker fu i l pr imo predicatore delle limitazioni che questo punto dirosso» non richiede affatto la determinatezza «dell'insieme degli oggetti rossi», vista pone alla matematica, e uno dei piu influenti avversari di Cantor. Brou­che tenga conto almeno della presenza di una scala di sfumature di colore. wer e i suoi successori dedicarono molti sforzi al chiarimento dei limiti dellaOltre a ciò, nella matematica precedente a Cantor, i l l inguaggio delle pro­ matematica e della logica intuizioniste, sviluppando i loro principi positivi.prietà era usato proprio per sostituire l'infinità attuale, diventata un tabu. In Tuttavia essi, in particolare Heyting, sottolineavano costantemente il primato

Insieme 772 773 Insieme

dell'interpretazione interna dei testi matematici e le limitate possibilità di tra­ Quella «realtà» con la quale la matematica classica confronta le propriesmetterla in teorie assiomatiche intese in modo univoco. Con queste posizioni costruzioni, per la maggioranza appare come una specie di «realtà» neoplato­filoso6che, la mancanza di preparazione ad accogliere l'interpretazione interna nica del mondo delle idee. Dal punto di v ista del materialismo filosofico, sidella teoria degli insiemi nello spirito di Cantor può risultare infondata: molti tratta della realtà delle coscienze individuali che riflettono il mondo esterno,matematici accettano nel suo complesso l'interpretazione interna della teoria sublimata ed estetizzata; dal punto di vista del platonismo, la realtà è indipen­degli insiemi. Per le motivazioni gli intuizionisti si appellano ad argomenti dente dalle coscienze e si trova con queste in un accordo predisposto. È possi­psicologici a di fesa del pr imato dell' idea di suddivisibilità, discontinuità e, bile anche considerare questo mondo come la parte comune alle proiezionipare, numerabilità potenziale quale unico tipo legittimo di infinità. Agli intui­ verso l'esterno dei signi6cati interni della matematica nelle coscienze indivi­zionisti non sono estranei gli appelli al significato «realistico» della matematica; duali. Una rappresentazione di unità di questo mondo può sussistere finchéin uno dei suoi articoli Brouwer aFFerma che l'applicazione del principio del la voce discorde di eminenti matematici non dimostri i l contrario.terzo escluso nelle scienze naturali dipende dalle proprietà di finitezza e discre­ È difFicile tuttavia che qualsiasi argomento sulla semantica del concetto ditezza del mondo fisico. insieme in matematica possa ritenersi definitivo. Una sua analisi attenta mostra

I l costruttivismo della scuola di Markov cominciò a costituirsi alla fine un'estrema povertà del materiale scientifico riportato.degli anni '4o, come variante dell'intuizionismo, mediante l'utilizzazione del Ad esempio, criticando l'infinità attuale di Cantor delle essenze distingui­concetto di oggetto costruibile e algoritmo, precisato in base alla teoria delle fun­ bili, dalla posizione «realistica», si potrebbe osservare che essa non assolutizzazioni ricorsive o di qualche sua variante. Senza entrare qui nei particolari delle tanto l'esperienza di uso del finito, quanto la fisica quotidiana in senso corrente,definizioni, verranno indicate soltanto alcune posizioni fondamentali di questa per la quale il mondo consiste di cose separate, che si possono contare, ordi­scuola. nare, riunire, ecc. La fisica quantistica suggerisce allora astrazioni del mondo

La «realtà» dei costruttivisti è data dai testi su alfabeti finiti, sottoposti a di un tipo completamente diverso, nel quale un «insieme» di elettroni, ad esem­processi di elaborazione che sono algoritmici, in particolare anch' essi descritti pio, consiste di essenze diverse ma non separabili; nel quale la logica non ri­su un alfabeto finito. flette la logica del discorso comune, orientato verso il macromondo, ma non

L'infinità potenziale è ammessa come astrazione di testi, a priori di lun­ coincide con la logica dell'intuizionismo, e in generale con nessuna delle ver­ghezza non limitata, e di algoritmi che lavorano per un tempo a priori non li­ sioni proposte dai filosofi della matematica. L'infinità del micromondo è «in­mitato; l ' infinità attuale viene ri6utata. terna» ed «estesa», coi suoi aspetti probabilistici e relativi ai campi, assoluta­

L'esistenza di un oggetto matematico è trattata come la sua esibizione, op­ mente dissimile da quella di Cantor e de6nitivamente non riducibile a unapure come la possibilità di costruirlo algoritmicamente. La sottigliezza essenzia­ successione di «atti elementari di suddivisione»; è la stessa cosa considerarlale consiste nel fatto che, secondo Markov, la possibilità di costruzione algorit­ attuale piuttosto che potenziale. Il predicato stesso «appartenere a» ha nel mi­mica di per sé può essere stabilita con metodi classici e non ottenuta esclusiva­ cromondo uno status dubbio.mente esibendo questa costruzione. In particolare in queste dimostrazioni si D'altro lato, anche le considerazioni psicologiche di Brouwer, Heyting epuò utilizzare la riduzione all'assurdo. altri si richiamano soprattutto all'autoosservazione elementare e non prendono

I l continuo costruttivo è rappresentato da una coppia di algoritmi, il primo affatto in considerazione i risultati della psicologia scienti6ca e della neurofisio­dei quali fornisce la successione numerabile di Cauchy dei numeri razionali, logia. Si può dire che un'attenta osservazione agli aspetti costruttivi della mate­mentre il secondo fornisce chiare valutazioni sulla velocità del suo andamento matica ha permesso di isolare il concetto di macchina di Turing universale co­(in senso classico). Perciò, dal punto di vista della matematica classica, è nume­ me «minimo denominatore» di tutte le coscienze individuali. Il suo fondamentorabile ; oltre a ciò, a) la proprietà della coppia di algoritmi di definire un numero 6siologico è l'attività discreta di movimento che utilizza i piu semplici recettori,reale è algoritmicamente non decidibile, b) la proprietà di due di questi algorit­ ad esempio, tattili.mi di definire lo stesso numero non è decidibile; cosi pure non è decidibile la L'infinità potenzialmente numerabile degli intuizionisti e dei costruttivistiproprietà di rappresentare un dato numero. Per questi motivi l 'analisi costrut­ è un'infinità accessibile a questo denominatore. Tuttavia l ' intuizione geome­tiva si distingue nettamente da quella consueta. Ad esempio, al posto delle trica, sulla quale è fondata l'in6nità del continuo, viene completamente igno­funzioni di variabile reale si considerano gli algoritmi che trasformano un nu­ rata in questo approccio. Il suo fondamento fisiologico è l'attività di movimentomero reale costruttivo in un altro numero del genere. Ma allora una semplice dello stesso piano ampliato, che si basa sui procedimenti complessi di elabora­funzione quale sgnx ( = — t p e r x ( o , = o per x = o, = + t per x ) o ) non zione dell'informazione per mezzo di recettori visivi e di corrispondenti zoneesiste nell'analisi costruttiva, perché altrimenti sarebbe risolubile la proprietà corticali. La descrizione neurofisiologica di questi procedimenti è appena al­di un numero di «essere zero». In eFFetti tutte le funzioni costruttive sono con­ l'inizio, ma è del tutto chiaro che concezioni semplificatrici dell'intuizione ma­tinue nel senso classico della parola. tematica, proposte a scopo polemico, sono lontane dalla realtà.

Insieme 774 775 Insiemesull esistenza dei vari insiemi furono intesi come aventi un significato comune111

5.3. Aspetto esterno della semantica. a tutti. Gli stessi insiemi, di cui si affermava l'esistenza, potevano essere asse­

È complementare all'aspetto interno, nello stesso senso in cui la descrizionegnati indicando le proprietà del loro elemento generico o costruendoli a partireda qualche insieme già dato.

delle regole d'uso della parola 'insieme' è complementare alla sua definizionesecondo Cantor. Concependo il testo matematico come un modello «esterno»,

Il trasferimento dell'accento dal «significato» al «testo» fu richiamato pro­

il matematico può costruire le sue traduzioni in altri sottolinguaggi (dalle for­prio dalla critica di questa semantica, sia dalla scoperta di paradossi sia dal­11' para ossi, sia

mule ai grafici e viceversa), costituire diverse abbreviazioni del testo o, al con­l inaccettabilità intuitiva per molti del teorema di Zermelo sulla possibilità di

trario, ricostruire passaggi saltati nelle dimostrazioni; sperimentare variazioniordinare totalmente qualunque insieme. Il punto di vista di Hilbert consisteva

delle premesse; ecc. Il «significato esterno» di un testo matematico è il suo si­nel fatto che non tutti i concetti e le considerazioni matematiche debbano essere

gnificato d'uso per il matematico di professione, quando scrive un articolo, in­immediatamente interpretabili in termini finitistici. Quelle che non ammettono

segna la matematica agli studenti o comunica coi colleghi. Il procedimento diuna simile interpretazione sono costruzioni linguistiche «ideali», che sono ag­

interpretazione esterna non è obbligato, e raramente ciò accade, ad essere un'in­giunte al sistema per semplificare le dimostrazioni dei teoremi, standardizzare il

formazione completa, precisa, lineare sui concetti fondamentali (cosi è solo illinguaggio, ecc. La loro ammissione nel sistema, tuttavia, richiede il r ispetto

suo modello nella teoria formale). Esso contiene tortuosità, strade senza sboc­di determinate regole, la principale delle quali è la non-contraddittorietà del si­

co e ostacoli. L' interpretazione della retta euclidea come modello dei numeristema. La non-contraddittorietà deve essere garantita inizialmente per mezzo di

reali, e dei numeri reali come insieme dei punti della retta, non definisce nessu­un'accurata ricerca sulla sintassi del linguaggio, la quale deve essere condot­

no di questi concetti, ma chiarisce il significato di entrambi.ta senza fare ricorso all'infinità attuale. Il suo risultato principale fu la varietà

L'interpretazione «realistica» della funzione delta di D i rac (8(x) =o perdei modelli formali di logica e di matematica sorti in conseguenza di questo pro­

x~o, 8(o) = ~, f 8(x) dx= i ), ad esempio, per un fisico, è quella di una mas­gramma. In particolare la costituzione dei concetti matematici precisi di nu­merabilità e di algoritmo e di tutta la teoria delle funzioni ricorsive è strettamen­

sa puntuale con densità infinita. Per un matematico una variante piu astrattadi questa rappresentazione si rivolgerà piuttosto alla categoria della semantica

te legata al programma di Hilbert. L'impossibilità di realizzarlo nella sua tota­

«interna». Soltanto con la possibilità di concepire la funzione delta in manieralità, scoperta da Godei, costituisce un altro aspetto del problema. È difficiledecidere se questa impossibilità confermi l 'accettazione della teoria intuitiva

«esterna», come funzionale sullo spazio delle funzioni a supporto compattoe racchiuderla in tal modo nei formalismi dell'analisi, in quanto termine ben

degli insiemi, come la si conosce oggi, oppure la sua negazione; con gli stessi

definito, e nelle teorie matematiche generali in quanto autentico oggetto insie­fondamenti, questa domanda si può già porre per l 'aritmetica.

mistico, il matematico si sente completamente tranquillo. Tuttavia il fisico puòIn ogni caso, la visione della matematica come di un sistema formale è

ritenersi completamente soddisfatto dal formalismo esterno, in questo caso,molto produttiva, quando se ne comprendono le limitazioni. Essa dà la possi­

senza postulare affatto la sua riducibilità alla teoria degli insiemi.bilità di ottenere una notevole comprensione reciproca nell'esame di concezioni

La componente filosofica delle concezioni formalistiche della matematicacosi diverse quali la logica intuizionista e la fisica teorica, fornendo gli «schemisvuotati» dalle strutture complesse. La non-contraddittorietà di un sistema for­

è connessa proprio con l 'assolutizzazione del suo aspetto esterno, quando ilcontenuto viene completamente identificato con la forma. Con la cristallizza­

male, la cui utilità è verificata sperimentalmente, cessa di essere il compito pri­zione della matematica formale nei lavori di Hi lbert e della sua scuola, si è di

mario. La scelta di testi concretamente generati nel sistema, costituenti una

nuovo legati alle difFicoltà della teoria degli insiemi.parte assolutamente insignificante di tutti i testi ammissibili, si esegue comun­

Lo spirito innovatore di Cantor si è espresso prima di tutto nella forma­que secondo regole non formalizzate che sono piu importanti della non-contrad­

zione di una teoria intuitiva degli «ordini di infinità». Dal punto di vista lin­dittorietà formale, descritta nei termini di tutt i i testi sottoposti a generaz'

g razione.guistico ciò ha significato la confusa introduzione di alcuni assiomi di esistenza

ruolo dei testi scelti è quello fondamentale, sebbene poco studiato, di mediare

degli insiemi (fra cui l'assioma sull'insieme delle parti e l 'assioma di scelta),fra un cervello e un altro, fra un cervello e il mondo esterno come pure fra un

l'utilizzazione di costruzioni linguistiche di nuovo tipo (come la definizione dicervello e se stesso (il testo è una memoria esterna; il testo getta un ponte fra

ordinabilità totale) e, infine, la libera applicazione della logica del finito nel nuo­l'intuizione geometrica e quella aritmetica di ciascuna coscienza individuale,

vo mondo infinitario (in particolare la legge del terzo escluso).intuizioni che si basano su differenti meccanismi fisiologici ). In ultima analisi,

Questa valutazione del lavoro di Cantor, come si intende, si è resa possibilel'aspetto principale del testo è la sua possibilità di partecipare a questi atti di

solo a posteriori; per esso, e per molto tempo dopo di esso, al primo posto si èmediazione, e solo lo studio -di questa possibilità può risolvere l'enigma della

situata la semantica dell'infinità attuale di tipo neoplatonico, anche se, proba­matematica. La vecchia metafora di Victor Hugo che paragona un libro e unacattedrale ha un significato profondo se la strutturabilità del testo costituisce

bilmente, non portata fino in fondo. In ogni caso, le affermazioni e i problemi la premessa piu importante del suo ruolo sociale.

Insieme 776

Tutti questi problemi contribuiscono all'umanizzazione della matematica;insieme al movimento di matematizzazione della conoscenza umanistica, essiaiutano a ritrovare l'unità perduta delle due culture. Con una previsione sin­tetica, ci si può attendere una nuova concezione di « insieme» come uno dei piueccezionali miti del nostro tempo. []Il. I. M.].

Artin, M. ; G rothendieck, A. ; e Verdier, J. L .[tg63-64] Th é orie des Topos et Cohomologie Etale des Schémas, Séminaire de Géométrie

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Fin dai suoi inizi la teoria degli insiemi si è posta come un elemento unificante a un li­vello di grande generalità per le diverse discipline matematiche (cfr. calcolo, geo­metria e topologia, dualità) e, attraverso una profonda crisi fondazionale, ha determina­to il sorgere di diverse scuole e tendenze, relative ai problemi della verità in matematica,della dimostrabilità, dell'infin ito e dell'infin i tesimale (cfr. anche vero/falso, verifica­bilità/falsificabilità).

Oggigiorno il pensiero insiemistico è penetrato all'interno di tut ta la scienza graziealla creazione di formalismi efficienti (cfr. anche fisica, forza/campo, energia) e, postaattenzione alla definizione formale per non cadere in uno dei frequenti (e proficui) para­dossi che ne hanno caratterizzato lo sviluppo, la nozione generale di insieme rappresentail fondamento logico sul quale si eseguono le costruzioni e si conducono le dimostrazionirigorose di maggior parte della matematica (cfr. logica, assioma/postulato, deduzione/prova).

Accanto alla concezione formale della teoria degli insiemi, dal punto di vista del con­tenuto, si scopre che in molti casi lo studio generale di una disciplina matematica si risolvenello studio di insiemi dotati di struttura e delle loro proprietà invarianti rispetto alle ap­plicazioni compatibili con questa struttura (cfr. perciò strutture matematiche, appli­cazioni, funzioni, invariante, variazione, continuo/discreto, simmetria).

6oz

~) finito. Questa li­ Razionale/algebrico/trascendenteo (cfr. qualità/

la grandezzaa un profilo

naliti che r. In tr o duzione.olice/

ulla

r.r. I termini del discorso.

I termini nel titolo di questo articolo si applicano in primo luogo ai numerie alle funzioni.

Si dice numero razionale il rapporto fra due numeri interi, cioè un numerocommensurabile con l'unità. Si dice funzione razionale delle variabili x„ . . . , xail rapporto di due polinomi in queste variabili.

Si dice numero algebrico la radice di un polinomio i cui coefficienti sononumeri razionali. Si dice funzione algebrica delle variabili x„ . . . , x„una fun­zione legata a xr, ..., x„da una relazione polinomiale.

Si dice numero trascendente ogni numero non algebrico. Si dice funzionetrascendente ogni funzione non algebrica.

Tutti i numeri e tutte le funzioni razionali sono algebrici, ma il viceversanon è vero. Il numero ~z, radice dell'equazione x' — z = o è algebrico ma nonrazionale. Piu in generale, se a) o è un numero razionale, no z è un intero equalche numero primo p entra, nel numeratore o nel denominatore della rap­presentazione irriducibile di a, ad una potenza non divisibile per n, allora ~aè un numero reale algebrico, ma non razionale. Ciò deriva senza difficoltà dalteorema sulla decomposizione unica dei numeri razionali positivi come prodot­to di potenze intere di numeri primi (si veda il ( r .5 dell'articolo «Divisibili­tà» in questa stessa Enciclopedia, articolo cui si farà continuo riferimento in se­guito).

Sono esempi di numeri trascendenti il rapporto tra la circonferenza e il dia­I

metro rr = 3,?4I5927... e il numero di Nepero Q ­ = e = z,7t8z8r8... (cfr. ) 4).a = o nt

Sono esempi di funzioni trascendenti: z*, tutte le funzioni trigonometriche,logx, la funzione di Bessel, ecc.

L'etimologia del termine 'razionale' è legata alla rappresentazione delleoperazioni di divisione dell'unità in parti uguali e alla loro successiva moltipli­cazione per una quantità, che portano a tutti i numeri razionali positivi o, cheè lo stesso, alla costruzione delle relazioni di divisibilità intera dell'unità. Tuttii numeri che non è possibile ottenere in tale modo, come ~z, i numeri negativi(anche se interi ), i = ~i , so no stati chiamati in tempi diversi «impossibili»,«immaginari», «irrazionali»„ecc. Dal punto di vista moderno in questi nomi siriRette il fatto che lo sviluppo storico del formalismo per lavorare coi numeriprecedeva lo sviluppo della stessa rappresentazione del numero, vale a dire leinterpretazioni di questo formalismo, e questi numeri denotarono a lungo un'e­sistenza fantomatica. Nella terminologia moderna la parola 'irrazionale' si è

Razionale/algebrico/trascendente 6oy 6og Razionale /algebrico/trascendente

riempita di tutti i numeri non razionali e 'immaginario' o 'immaginario puro' con leggi di composizione naturali, come un «piccolo universo» non-contrad­coi numeri R ~t . dittorio della matematica. Inoltre questa, e analoghe, serie naturali sono riprese

Tutti i numeri razionali costituiscono il campo Q; tutti i numeri algebrici in considerazione da una scuola sui fondamenti della matematica (gli «ultra­costituiscono il campo Q; i numeri trascendenti C+Q non costituiscono un intuizionisti» ) con uguale, se non maggiore, diritto rispetto alla serie naturalecampo. Analoghe affermazioni valgono per le funzioni. Si ricordi che un campo standard della matematica classica. Tuttavia non si può sopravvalutare il si­è un insieme dotato delle operazioni di somma e di prodotto e degli elementi gnificato di questa raffinata ripresa di coscienza per i primi stadi e rifiutare laparticolari o e i ; tutta questa struttura soddisfa gli assiomi dell'algebra elenien­ potente idea di prosecuzione infinita, potenziale o anche attuale, della serie deitare, validi per i numeri. numeri interi.

Nella matematica dei ndstri giorni, la matematica dei razionali (degli al­ b) In alcune lingue si conservano varie serie di nomi dei naturali per contaregebrici, dei trascendenti ) costituisce un capitolo piuttosto rilevante dell'alge­ oggetti di diversa natura (dritti, curvi, animati, inanimati, ecc.). Ciò testimoniabra e della teoria dei numeri. In algebra questi termini si applicano, nel senso del lungo periodo di formazione delle idee sui numeri come di strumenti adattipiu ampio della parola, in relazione a elementi di campi e di anelli, non neces­ a contare «quanto si vuole». La coscienza umana per lungo tempo non è statasariamente numerici o funzionali, e acquistano un senso relativo (si può parlare pronta a riunire in una «classe di equivalenza» insiemi arbitrari (anche se pic­di elementi razionali, algebrici o trascendenti di qualche estensione di un anello, coli) di uguale potenza; quest'idea applicata agli insiemi infiniti è una conqui­o di un campo, in relazione a un anello, o un campo, fondamentale ). Nella sta della matematica ottenuta con i lavori di Cantor. Traccia di simili t ipi di­teoria dei numeri si studiano in dettaglio l'aritmetica dei campi e degli anelli versi per contare si è conservata nel cinese moderno, dove esiste un unico si­di numeri algebrici, i problemi di dimostrazione di trascendenza di varie classi stema di numerali, che è tuttavia completato da un evoluto sistema di parti­di numeri, i problemi di approssimazione dei numeri trascendenti coi numeri celle numerali uti l izzate con sostantivi di varie classi, del tipo Auài 'pezzo',algebrici, degli algebrici coi razionali, ecc. La parte principale di questo articolo ge 'cosa', bén 'radice', ecc.()( z-4) è dedicata all'esposizione di alcuni concetti e di alcuni risultati fon­ c) In numerose lingue si osservano diverse radici dalle quali si formano cor­damentali di queste teorie. rispondenti numerali d'ordine e di quantità (cfr. uno/primo, duo/secundo in la­

La suddivisione dei numeri in razionali, algebrici e trascendenti riflette una tino). In queste testimonianze si può vedere il primo sorgere dell'idea di or­classificazione dei numeri in base alla loro complessità. Questa classificazione dine (distinta da quella di quantità) che si costituirà come un concetto mate­ha una lunga storia, iriseparabile dalla storia dello stesso concetto di numero e, matico autonomo molto piu tardi (si vedano i «cardinali» e gli «ordinali» diin ultima analisi, dalla storia di tutta la matematica, in cui svolgono un ruolo Cantor e le strutture d'ordine di Bourbaki ).fondamentale i concetti di numero e di f igura geometrica. Si tracceranno qui I primi testi che ci sono giunti (babilonesi, egiziani ) riflettono già un quadrobrevemente le tappe di questa storia, organizzando l'esposizione intorno ad al­ evoluto delle conoscenze matematiche, in particolare la nascita di un linguaggiocune idee centrali, di significato matematico generale. Fra queste idee rientrano: di notazioni matematiche abbastanza nettamente distinto dal l inguaggio na­i linguaggi per rappresentare i numeri e le operazioni su questi; l ' interpreta­ turale. In esso il posto principale è occupato dal sistema per denotare i numerizione semantica dei numeri in termini d i m isure e l 'astrazione geometrico­ e le operazioni su questi. La preistoria del sistema posizionale di notazione dinumerica del continuo; i problemi del finit %nfinito, del continuo/discreto e tipo moderno è basata sull'idea di contare unità senipre piu grandi. Questedell'informazione. unità possono essere potenze di uno stesso numero (base del sistema posizio­

nale) ma non è necessario. Cosi nel sistema cronologico dei Maya le unità sono

r.z. I l concetto di numero, linguaggio ed algebra. r, t8, 36o e poi t8 zo' (si vedano le tracce della numerazione in base zo neinumerali francesi del tipo quatre-vingt-six). L'unità d'ordine superiore è no­

Dai dati della linguistica e dell'etnografia si possono estrarre informazioni tata con un simbolo speciale, che all'inizio può dipendere dal numero d'ordineindirette sui primi periodi della storia delle rappresentazioni numeriche, rela­ (presso gli Egiziani, i Greci, i Romani ). Quando questo simbolo cessa di dipen­t ive ancora al periodo orale. In particolare il periodo (<prematematico» è ri­ dere dal numero d'ordine e il successivo è determinato soltanto dalla posizioneflesso nei seguenti aspetti del sistema di denominazione dei numeri nelle di­ nell'allineamento allora, per una notazione non ambigua, diventa necessario ilverse lingue naturali. simbolo zero. Si ritiene che la sua comparsa sia abbastanza lontana; al termine

a) In alcune lingue primitive esistono denominazioni solo per numeri na­ della tradizione babilonese l'assenza di unità di un dato ordine viene denotataturali piccoli, i r imanenti sono denotati con l'unica parola 'molto', Cosi nelle con uno zero soltanto a metà della scrittura. L' idea che il simbolo zero non sialingue papuane ende, kati, kamoro, esistono i due numerali propri t e z, f ino soltanto un segno, ma la notazione di un autentico numero, compare molto piua zo si conta con le dita delle mani e dei piedi, a zo la serie naturale «finisce». tardi ed è attribuita agli Indiani, dai quali l'avrebbe adottata la matematica eu­Ovviamente il sistema tr, ..., zo, molto ) può essere formalizzato senza difficoltà, ropea attraverso l'influenza araba. La notazione posizionale contiene già il ger­

Razionale/algebrico /trascendente 6o6 6op Razionale /algebrico/trascendente

me della teoria delle operazioni algebriche sui numeri: la notazione richiede il presentano come oggetti di calcolo «ideali», vale a dire «non interpretabili».

prodotto di unità di ordine successivo per il numero di questa unità e la somma Ovviarnente quest'idea fu compresa completamente molto piu tardi e, fino

dei risultati. alla formazione della teoria degli insiemi da un lato e della metamatematica

Ulteriori sviluppi delle rappresentazioni numeriche sono legate all'uscita dall'altro, non poté essere totalmente assimilata. Tuttavia la compatibilità in­

dal dominio dei numeri naturali. terna dei buoni formalismi al di fuori del dominio della loro applicazione ori­

Alla matematica babilonese è attribuito lo sviluppo dell'apparato di calcolo ginaria è un fenomeno continuamente ricorrente nella storia della matematica

strettamente legato ai bisogni delle costruzioni e dell'economia, il quale ha e uno dei maggiori fattori di progresso. Uno degli esempi piu moderni è l'in­

condotto r ) all'abitudine ad operare con numeri non interi e relativamente tegrale di Feynmann (si veda il ) 3.3 dell'articolo «Dipendenza/indipendenza»

grandi, z) all'uso sistematico della prima operazione non razionale: l'estra­ in questa stessa Enciclopedia ).zione di radice quadrata, e alla scoperta che questa è sufficiente per risolvere le Occorre anche tener conto del fatto che ogni formalismo è «imrnediata­

equazioni quadratiche e biquadratiche. Nella maggior parte dei testi noti si mente accessibile» e che è un concetto fini to, mentre le interpretazioni sono

estrae la radice quadrata solo dei quadrati perfetti; in casi eccezionali si usano sottoposte a variazioni storiche e soprattutto sono semanticamente multiformi.

approssimazioni abbastanza grossolane. Numeri negativi (compresa la lorointerpretazione semantica come «debiti») si trovano nei documenti indiani. r.3. I l concetto di numero, geometria e teoria degli insiemi.Tuttavia le regole formali per manipolarli sono di molto successive al sorgeredel «modello standard» di continuo numerico, di modo che, in accordo con Una seconda corrente di idee risale alla matematica greca, nella quale sorge

Bourbaki [rg6o], «in pieno xvnr secolo, d'Alembert, discutendo la questione il concetto di continuo numerico come astrazione delle figure geometriche e

nell'Encyclopédie... si perde improvvisamente d'animo dopo una colonna di della teoria delle relazioni. Bourbaki sottolinea che sia la parola sia l'idea di

spiegazioni piuttosto confuse, e si accontenta di concludere che "le regole delle numero, nella teoria di Eudosso esposta da Euclide, si rivolgono esclusivamente

operazioni algebriche sulle quantità negative sono generalmente ammesse da ai numeri interi maggiori di r . I numeri sono considerati come un sistema con

tutto il mondo ed accolte generalmente come esatte, quale che sia l'idea che si somma e prodotto. I rapporti fra numeri, cioè i numeri razionali (positivi) nellaattribuisce a tali quantità" » (trad. it. p. 3o). terminologia moderna, sono introdotti come operatori che agiscono su domini

Non va assunto un atteggiamento ironico verso queste difficoltà, le quali, di grandezze di una stessa natura (lunghezze, aree, ecc. ) : il numero ab ' ècome mostra la storia, sorgono inevitabilmente ad ogni livello del pensiero ma­ l'operatore che consiste nel costruire a parti b-esime di una data grandezza.

tematico (si veda l'articolo « Insieme» in questa stessa Enciclopedia) ; le si deve Questi operatori possono moltiplicarsi, ma non comporsi. Grandezze della

considerare tappe di una graduale presa di coscienza dell'idea fondamentale di stessa natura possono essere confrontate e soddisfano il noto «assioma di Ar­

separazione del linguaggio matematico dalla sua interpretazione (oggi essen­ chimede»: la somma di un numero abbastanza alto di esemplari di una data

zialmente insiemistica) e dell' idea di non-contraddittorietà del formalismo, grandezza può diventare grande quanto si vuole. La struttura algebrica dei

come sostituti del concetto di «esistenza» degli oggetti matematici, formulata numeri reali, in tal modo, rimane suddivisa in un dominio degli operatori (pro­

chiaramente nello storico manifesto di Hilbert del rtloo. dotto) e in un dominio delle grandezze stesse (somma). Il concetto di ordine

In effetti, come è stato già ricordato, i numeri negativi e quelli complessi, svolge un ruolo fondamentale per dare un senso alla relazione fra grandezze

fino al xvm-xtx secolo figurano in matematica soprattutto come «interpreta­ incommensurabili, come la diagonale di un quadrato e il suo lato, e ciò permette

zioni potenziali» di qualche formalismo, piuttosto che come enti matematici di considerare Fudosso come un precursore della teoria dei numeri reali secondo

definiti per se stessi. Questo formalismo consiste nel considerare espressioni con Dedekind. Il concetto di continuo topologico si costituisce anch' esso in ricer­

radici dei vari ordini, anche «ripetute», e nell'elaborazione di alcune regole per che come il problema della duplicazione del cubo. La costruzione di ~»z, ne­

agire su esse. In questo modo occorre considerare, ad esempio, Ie formule di cessaria alla sua soluzione, si riduce alla ricerca del punto d'intersezione di due

Bombelli ( rdya) ~z + ~ rzr = a+ ~ r , d i L eoo d o da Pisa ~r + ~ gg =curve, le quali si costruiscono con un processo meccanico idealizzato. L'esi­stenza di un punto d' intersezione come conseguenza del fatto che la seconda

= ~ z5o, o, infine, le formule generali di Del Ferro (rgy5) per le radici del­ curva contiene punti che si trovano da parti opposte della prima, evidentemente,l'equazione xs +ax = b:

era considerata come ovvia. E noto il ruolo che svolge il corrispondente teorema3 3

nel sistema della matematica contemporanea.x= -+ — + — + — ­ — + Infine la rappresentazione del continuo geometrico come ricettacolo di re­

lazioni numeriche fu un'idea precorritrice della geometria analitica di Descartes,

Come è noto, nel caso (b/z) + (a/3) (o occorre calcolare la radice reale, per da un lato, e della teoria degli insiemi dall'altro. Dal punto di vista psicologico,

mezzo di queste formule, passando attraverso grandezze complesse, le quali si la percezione visiva che sta alla base delle rappresentazioni geometriche si con­

Razionale/algebrico/trascendente 6o8 609 Razionale /algebrico/trascendente

figura come l'unico canale di passaggio che collega l'uomo col mondo esterno. serviva da stimolo per queste ricerche. Un accenno a questa dimostrazione èA queste sue particolarità è legata la possibilità di astrazione del continuo in riportato piu avanti, nel ( 4. Nella nostra epoca la teoria dei trascendenti haquanto oggetto in cui un insieme di posizioni di un punto, fra due punti dati, molti r isultati e non meno problemi ir r isolti. Ad esempio la questione dellapossiede le proprietà di continuità e di estensione illimitata in profondità­ X I

un'idea che solo indirettamente e a fatica si formula nel linguaggio delle suc­ scostante dig le o» C= l i m g ­ — togN) t im n l i s o l ta L a a g g io tpa teivo' n=l +

cessioni potenzialmente infinite di simboli numerici, sviluppati rispetto a un dei problemi relativi alla trascendenza di numeri concreti è riferita a numeri as­dato sistema di numerazione. Soprattutto, l ' infinità del continuo si concepisce segnati «analiticamente», vale a dire come valori di varie funzioni, come loropiu facilmente come assegnata attualmente. zeri, ecc. Di regola questi numeri possono essere calcolati algoritmicamente

L'eliminazione del dualismo numeri discreti / relazioni continue fra gran­ con la precisione che si vuole. Allo stesso tempo essi costituiscono solo una pic­dezze nel significato generale dei numeri reali, richiese ancora molti secoli di cola parte di tutto il continuo, come è stato dimostrato in una famosa dimostra­sviluppo. Tuttavia l'accessibilità immediata del continuo alla intuizione, sep­ zione di esistenza dei numeri trascendenti da parte di Cantor.pure limitata, svolse un ruolo importante nell'assegnazione di uno status rico­ La dimostrazione di Cantor è basata sulla sua teoria delle potenze deglinosciuto ai numeri complessi, dopo la scoperta della loro interpretazione come insiemi infiniti e consiste nella constatazione del fatto che l'insieme dei numeripunti del piano complesso. Per questo, teorie come quella dei limiti di Cauchy, algebrici è numerabile, mentre l'insieme di tutti i numeri reali (e complessi)la costruzione dei numeri reali secondo Dedekind e Cantor, l'algebra complessa ha la potenza del continuo, nettamente maggiore. La considerazione di Cantore l'analisi, possono essere considerate il punto d'incontro nella formazione di presenta il difetto di non essere effettiva, vale a dire stabilisce l'esistenza (e laun formalismo che descrive l'idealizzazione di un dato quasi «fisico», «a priori », potenza) dei numeri trascendenti senza la possibilità di costruirne «esplicita­della realtà. L'unione di questi due indirizzi si verificò sulla base della teoria mente», cioè con i passaggi al limite consueti in matematica, anche uno solo didegli insiemi. essi. Allo stesso tempo possiede il notevole pregio di generalizzarsi a qualunque

Per tornare al tema immediato di questo articolo, il termine 'trascendente' classe numerica generata da un processo finito, o almeno descrivibile in un lin­appartiene a Leibniz. Fu introdotto, evidentemente, in relazione alle funzioni. guaggio formale di tipo finito, Fra le classi piu importanti di questo tipo rientraIn particolare Leibniz dimostrò ( t68z) che sinx non è una funzione algebrica il «continuo costruttivo».di x e risolvette allo stesso tempo il problema di Gregori ( t667) : l'area di unsettore circolare non si esprime algebricamente per mezzo del raggio e della t.4. Il concetto di numero e l'informazione.corda.

L'esistenza di numeri trascendenti fu dimostrata per la prima volta da Liou­ Il continuo costruttivo (in diverse varianti ) fu proposto dai moderni criticiville ( t844) per mezzo della seguente, considerevole, osservazione, che dette dei fondamenti della matematica come un'alternativa al continuo classico al­inizio alla moderna teoria dell'approssimazione. Sia iz una radice irrazionale l 'interno della «matematica alternativa», che non utilizza il concetto di infinitàdel polinomio irriducibile f(x) di grado n a coefficienti interi. Allora, per ogni effettiva. Elementi del continuo costruttivo di Markov sono classi di successioninumero razionale p/q si ha di Cauchy effettivamente computabili di numeri razionali (a„) per le quali esi­

f — go~ f — ) —. stono le funzioni effettivamente computabili f : Z~Q, f(n) ~o per n~ ~, eg : Z Z ta l i che ~a„— a ~(f(M) quando n,m)g(M).

Si riuniscono nella stessa classe le successioni che convergono allo stessoD'altro lato se p /q è abbastanza vicino a x, allora f(p/q)=[(p/q) — «C]f '(tz) e numero, in senso classico.f'(tz) po. Da qui si conclude facilmente che (x — (p/q)() C/q" per una costante La complessità dei problemi strutturali del continuo costruttivo è legataopportuna C) o e per ogni numeri razionale p/q. Di conseguenza,'se per il nu­ già al fatto che il problema di identificare due numeri reali, assegnati mediantemero dato ac R e per ogni C) o, v) o esistono p, qc Z tali che ~e.— (p/q)~((C/q'), algoritmi di calcolo delle loro successioni di Cauchy (a„) e (b„), non è algorit­

Iallora x non può essere algebrico. Un esempio semplice cL=g ,„ : c on le som­

micamente risolubile. Ma anche rinunziando alla proibizione di definizioni non

E pt=O effettive, il continuo costruttivo, in quanto oggetto della matematica classica,I

me parziali P —,„questo numero viene approssimato molto bene. è poco studiato, Fra l'altro si tratta di un oggetto assolutamente fondamentale,n=l 2 in quanto gran parte dei problemi di teoria dei numeri, sia algebrici sia trascen­

La trascendenza di numeri come e e ~, tuttavia, non si può dimostrare con denti, si pone essenzialmente al suo interno. I numeri costruttivi sono numeriil metodo di Liouville. La trascendenza di e fu stabilita da Hermite (r873) e per che portano una «quantità finita d'informazione» e come tali svolgono un ruolotr da Lindemann (r88z), dopo che aveva dimostrato in tal modo l'impossibilità particolare. I numeri non costruttivi si potrebbero chiamare «ultra-trascenden­di quadrare il cerchio per mezzo di riga e compasso — un antico problema che ti»: ciascuno di questi numeri, in qualche senso del termine, non è dato da una

Razionale /algebrico/trascendente 6?o 61? Razionale /algebrico/trascendente

computazione finita. Naturalmente sono possibili generalizzazioni e varianti,Ad esempio, piu ampia del continuo costruttivo è la classe dei numeri ir. per i

2.3. Costruzioni di anelli.quali è derivabile nella teoria degli insiemi la formula 3!o.(P( i?)), dove P(x) èuna formula del linguaggio della teoria degli insiemi, con la variabile libera x, La principale costruzione è l'aggiunta di una variabile indipendente. Perche assume valore in R. In qualche senso si può considerare che questi numeri descriverla si pongasiano ancora descritti in maniera finita, anche se non necessariamente computatiin maniera finita. B = [(ao, a„aa, ...) ~ aieA, 3i i i, Vi ) i o , a.;= o}.

L'argomento di Cantor mostra che tutti questi «continui» sono numerabili. In altri termini B è l'insieme delle successioni infinite di elementi di A che,Il loro studio è un compito del futuro. tranne un numero finito, sono nulli. S'introduca in B una struttura di anello

l >commutativo ponendo (a;)+(b,) = (a;+b,), (a;).(b,) = ( Pa; t,bt,). È facile ve­

k=oz. Ane l l i, campi e teoria di Galois. rificare gli assiomi per B; in particolare(o, o, ...) è lo zero, mentre (?, o, o, ... )

è l'unità in B. Si ponga quindi T= (o, ?, o, .. .) e B; allora (a,) = g a;T' (quasi2.? . La costruzione dei razionali. t=O

tutti i «monomi» a,T' sono uguali a zero) e la scrittura di ogni elemento di BIl campo dei numeri razionali Q si ottiene dall'anello dei numeri interi Z in questa forma è unica. Pertanto si può identificare l'anello B con l 'anello

con l'aggiunta di tutte le frazioni pq ', vale a dire dei risultati della divisione A[T] dei polinomi nella «variabile indipendente» T, a coefficienti in A. I te­formale di numeri interi, non realizzabile in Z. Il campo dei numeri algebrici rando questa costruzione un numero finito di volte si ottiene Vanello dei po­Q si ottiene dal campo Q con l'aggiunta delle radici dei polinomi a coefficienti linomi in n variabili A [T„ . . ., T„]. L'ordine con cui si aggiungono le variabi­razionali, che di per sé non appartengono a Q, Anche il campo dei numeri reali li è indifferente, nel senso che aggiungendo in ordine diverso le stesse variabiliR può essere descritto come il risultato che si ottiene da una «operazione in­ gli anelli ottenuti sono isomorfi in maniera canonica, Ciò permette di definirefinita» — il passaggio al limite per le successioni formate da elementi di Q. L'as­ l'anello dei polinomi A.[S] in un insieme qualsiasi di variabili S come l@A[S,],siomatizzazione di queste idee nell'algebra moderna conduce alla teoria degli dove ... c S, cS„.+, c... è una successione d'insiemi finiti che esaurisce S (se Sanelli e dei campi astratti, alle loro estensioni, ai completamenti topologici, ecc. non è numerabile, bisogna usare gli ordinali e non solo i numeri interi come indi­Il punto di partenza per lo studio dell'aritmetica degli anelli e dei campi nu­ ci della successione). Si ha un'immersione insiemistica canonica di S in A [$].merici e funzionali, è costituito proprio dai concetti generali cui tale assio­ Se A è un dominio d'integrità, allora anche A.[S] è un dominio d'integrità.matizzazione ha condotto. L'anello A[S] è caratterizzato dalla seguente proprietà universale: per ogni

omomorfismo di anelli f : A~ B e og ni applicazione insiemistica g : S~B,

z.z. Anelli commutativi e domini d' integrità. esiste un unico omomorfismo h : A [S] ~B, coincidente conf su A e con g su S.Da qui segue che ogni dominio d'integrità A. è isomorfo al quoziente di un

Si ricordi che un anello è un insieme A con due operazioni di somma e di anello di Polinomi Ao [S], dove A~ = Z oPPure Z/PZ è un anello Primo con laprodotto, con gli elementi distinti o e ?, i quali soddisfano agli abituali assiomi stessa caratteristica di A. Affinché il quoziente A /i dell'anello A rispetto al­dell'algebra elementare. Ci si limita qui al caso di anelli con prodotto commu­ l'ideale i sia un dominio d'integrità, è necessario e sufficiente che l'ideale t siatativo. Un anello si dice dominio d'integrità se non ha divisori dello zero, vale primo (cfr. i l ) 4.g dell'articolo «Divisibilità» in questa stessa Enciclopedia).a dire se da ab = o segue a = o oppure b = o. Un anello si dice campo quandoA~= A ­ (o} è un gruppo rispetto al prodotto. Ogni campo è un dominio 2.4. Campo dei quozienti di un dominio d'integrità.d'integrità. In ogni anello commutativo A esiste un sottoanello minimo con­tenente l'unità: è costituito da tutti i multipli interi dell'unità ed è isomorfo a Z Sia A un dominio d' integrità e sia S= (Ag[o}) x A. È cámodo denotareoppure a Z /mZ, ms Z, m) o. Se un dominio d'integrità contiene un sottoanello con T (q,p) l'elemento di $ corr ispondente alla coppia (q,p). Si consideri ilisomorfo a Z /mZ, allora m deve essere necessariamente un numero primo (al­ quoziente K = A[S]/t rispetto all'ideale t generato da tutti i polinomi di t ipotrimenti in Z /mZ esisterebbe un divisore dell'unità ), che si chiama caratteristi­ qT(q,p) — p. Non è difficile vedere che si tratta di un campo e che l'applica­ca di A. Se ZcA si dice che la caratteristica è zero. Gli anelli Z e Z/pZ, con p zione canonica A ~ A [S] ~ A [S]/t è un monomorfismo. Identificando A con laprimo, si dicono primi; ogni dominio d'integrità contiene un sottoanello primo. sua immagine in K, si può mostrare che ogni elemento di K si rappresenta nellaSe A e B sono due anelli e A c B, allora B si dice estensione di A. forma ab ', a,be A, b+o; in particolare l'immagine di T (q, p) in %èpq '. Una

costruzione equivalente di K è la seguente: si consideri lo stesso insieme $ e

Razionale /algebrico/trascendente 6iz 6rg Razionale/algebrico/trascendente

s'introduca in esso la relazione di equivalenza: (q,p) (q,'p') se e solo se esi­ tavia il numero di elementi trascendenti che occorre aggiungere a K per ottenerestono degli elementi r ,r'eA Q(o) tali che (rq,rp)= (r'q,'r p'). Si denoti con K M dipende solo da L. Questo numero è detto grado di trascendenza dell'esten­il quoziente di S rispetto a questa relazione di equivalenza e s'introducano in sione Kc:L.esso le operazioni di somma e di p rodotto: classe(q,p) x classe(q',p')= clas­se(qq,'pp'); classe(q,p)+classe(q',p')= classe(qq',pq'+q'p). Si può d imostrare z.7. Grado delle estensioni algebriche.che questa definizione è corretta e K costituisce un campo contenente A=

= (classi(r,p)) in cui classe(q, p)=pq — '. Se l'estensione Kc: L è algebrica, vale a dire il suo grado di trascendenza èIl campo K costruito sopra si dice campo dei quozienti del dominio d'inte­ nullo, allora la dimensione di L come spazio lineare su K si dice grado di L.

grità A. L'immersione A c:K dell'anello A nel suo campo dei quozienti possie­ Se questa dimensione è finita, l'estensione Kc: L è necessariamente algebrica:de la seguente proprietà universale : per ogni monomorfismo f : A~L de l l 'anel­ ogni elemento acL si può rappresentare con una matrice di prodotto per alo A nel campo L esiste un unico monomorfismo K~ L coincidente con f su A. rispetto a una opportuna base di L su K, e questa matrice, e con essa a, è la ra­

Il campo dei quozienti dell'anello dei numeri interi Z coincide col campo dice della sua equazione caratteristica. Tuttavia possono sussistere estensionidei nunieri razionali Q: si dice campo primo di caratteristica zero. Gli anelli algebriche di grado infinito: sono tali ad esempio le chiusure algebriche deiprimi Z/pZ stessi sono campi. Si tratta di campi primi di caratteristica finita. campi primi.Ogni campo possiede un sottocampo primo della stessa caratteristica.

Se K è un campo, T„. . ., T„sono variabili, il campo dei quozienti dell'anello 2.8. Estensioni algebriche separabili e non separabili.K[T„ , T„ ] s i denota con K(T„ . . . , T„) e si chiama campo delle funzioni ra­zionali in T„. . . , T~ a coefficienti in K. Sia Kc:L un'estensione di campi e ac L sia algebrico su K. Allora a è ra­

Entrambe le costruzioni del campo dei quozienti ammettono varianti e ge­ dice di un polinomio f ir r iducibile su K e questo polinomio è univocamenteneralizzazioni nel caso in cui non si supponga che A sia un dominio d'integrità. determinato a meno di un fattore non nullo di K. L 'elemento a si dice separa­La piu generale di queste è la costruzione dell'anello dei quozienti A> rispetto bile su K se f non ha radici multiple. Un'estensione algebrica L /K si dice se­a un sottomonoide (relativo al prodotto ) RaA : l ' anello A> è costituito dai parabile se tutti gli elementi di L sono separabili su K. Quando la caratteristicarapporti formali ar — ', dove aEA, r e R, con le abituali regole per operare sulle del campo K è zero, tutte le sue estensioni sono separabili. Sono separabili anchefrazioni. Si ha sempre un omomorfismo canonico A ~A<. a~a i ' , ma questo tutte le estensioni algebriche dei campi primi e, piu in generale, dei campi per­può non essere un'immersione, se R contiene divisori dello zero. fetti di caratteristica p, vale a dire i campi K con la proprietà Kr = z,r(ai' ~ ac K) =

Le operazioni di somma e di prodotto, e le loro inverse — sottrazione e di­ = K. Se K>pK l 'estensione K~c:K è algebrica e non separabile. Il motivo divisione — sono tradizionalmente dette operazioni razionali. La teoria degli anelli ciò risiede nel fatto che se t e K e t <Kr', il polinomio xi' — ti' è irriducibile su Ki'e dei campi è la teoria generale delle «operazioni razionali» negli insiemi. ma tutte le sue radici coincidono, giacché xi' — ti' = (x — t)i'.

2.5. Campi ed estensioni di campi. 2.9. Estensioni finite di Galois.

Siano K ed L due campi e sia Kc: L ; in questo caso il campo L si dice esten­ Sia L un campo, G un gruppo finito di suoi automorfismi, cioè di applica­sione del campo K e si denota a volte con L /K. Un elemento ae L si dice alge­ zioni biiettive L~L che portano la somma di elementi nella somma delle lorobrico su K se è radice di un polinomio a coefficienti in K. In caso contrario immagini e i l p rodotto nel prodotto delle immagini. Si denoti con L~ = Kl'elemento ae L si dice trascendente su K. Un'estensione L del campo K si dice l 'insieme dei punti uniti, vale a dire K= (x@L ~ gx = x per ogni ge G ). Non èalgebrica su K se tutti i suoi elementi sono algebrici su K. Un'estensione L si difficile vedere che K è un campo.dice trascendente pura su K se è isomorfa al campo dei quozienti di un anello Le affermazioni che seguono costituiscono la parte centrale della teoria didi polinomi K [Tn T~, ...]. In altri termini, L si ottiene aggiungendo a K degli Galois.elementi algebricamente indipendenti. a) L'estensione Kc:L è un 'estensione finita, separabile, di grado CardG

(cioè il numero di elementi di G ). Il gruppo G è il gruppo di tutti gli automor­2.6. Grado di trascendenza, fismi di L che lasciano invariati tutti gli elementi di K.

b) Si faccia corrispondere ad ogni sottogruppo H c: G il campo dei suoi ele­Per ogni estensione di campi Kc: L è possibile trovare un campo intermedio menti uniti L . Al l o ra la corrispondenza H~ L+ determina una biiezione fra

M, Kc Mc: L, tale che l'estensione K c M sia puramente trascendente e l'esten­ l'insieme dei sottogruppi di G e l ' insieme dei campi M, intermedi fra K e L.sione Mc:L sia algebrica. Il campo M non è univocamente determinato, tut­ Questa biiezione inverte l'ordine rispetto all'inclusione: H ,a H a ~L t i w L ~.

Razionale /algebrico/trascendente 6ry 6ig Razionale /algebrico/trascendente

Le estensioni KaL de l t ipo descritto si dicono estensioni di Galois con s'introduce la topologia di Krull, nella quale una base di intorni dell'unità è

gruppo di Galois G. data dai sottogruppi di automorfismi che lasciano fisse le sottoestensioni finite

c) Nella situazione descritta l'estensione Kc:L+ è un'estensione di Galois L su K. La corrispondenza H~L+ de termina allora una biiezione fra i sotto­

se e solo se Hc: G è un sottogruppo normale e, se questa condizione è soddi­ gruppi chiusi del gruppo di Galois dell'estensione Kc:L e i campi intermedisfatta, il gruppo di Galois di Kc: L+ è canonicamente isomorfo a G/H. fra K e L, non necessariamente di grado finito su K.

Se il campo K è perfetto e K è la sua chiusura algebrica, allora l'estensioneK/K è un'estensione di Galois. Il suo gruppo di Galois Gal (K/K) è il princi­z.io. Esempi. pale invariante del campo. Esso è computabile solo in alcuni casi. In particolare

a) K = Q, L = Q(F) dove F è una radice primitiva di ordine m dell'unità. per K = Q (o un'estensione finita di Q ) la sua struttura è ben lontana dall'es­

Per ogni numero intero n, primo con m, l'applicazione F ~(" induce un auto­ sere chiara. Numerosi risultati sul suo quoziente rispetto ai commutatori, cioè

morfismo di L su Q, dipendente solo dalla classe dei resti di n modm. Tutti gli sul gruppo di Galois dell'estensione abeliana massimale del campo numerico K,

automorfismi di questo tipo costituiscono un gruppo canonicamente isomorfo sono oggetto della profonda teoria dei campi di classi, di cui si t ratterà piu

al gruppo delle classi di resti (Z/mZ)~ rispetto al prodotto. Il suo ordine è dettagliatamente nel prossimo paragrafo. Ecco due esempi in cui si può cal­

uguale a rii (m) (funzione di Eulero) e tale è anche il grado dimgL = [L : Q]. colare il gruppo Gal (K/K).Pertanto L /Q è un'estensione di Galois. a) K = F>. Qui K è l'unione di tutti i campi F>m, m) i. Il gruppo Gal (F>/F~)

b) Sia ancora L = Q(F) e av Q(F) sia un elemento tale che l'estensione è generato topologicamente dall'automorfismo di Frobenius 8 : x~ x" . Ciò si­

M = L(~a abbia grado m su L, vale a dire il polinomio xm — a sia irriducibile gnifica che è il completamento rispetto alla topologia di Krull del gruppo ciclicosu L. Allora per ogni numero intero n, l'applicazione ~a~F"~a i nduce un libero Z (@m~ mcZ). Una base di intorni dello zero in questa topologia èautomorfismo di M rispetto a L. Tutto il gruppo di questi automorfismi è iso­ costituita da tutti i sottogruppi del tipo nZ, ncZ. Il completamento Z rispetto

morfo al gruppo p,~ delle radici di grado m dell'unità, e LaM è un'estensione ad essa è isomorfo a PZ> — prodotto di gruppi d'interi p-adici rispetto a tutti id i Galois con gruppo p. . numeri primi p, con la topologia del prodotto delle topologie p-adiche.

c) Sia p un numero primo, F~ = Z/pZ, q= p~ m ) i ; Fq è un campo finito con q b) K = C(t) sia il campo delle funzioni razionali in una incognita, a coef­elementi (cfr. ancora «Divisibilità», ) 4.3). L'applicazione 4 : F F~, ~l>(x) = x" ficienti complessi. Qui la descrizione del gruppo Gai(IZ/K) si basa sulle se­è un automorfismo del campo F ; F~ coincide col campo dei suoi elementi uniti. guenti considerazioni topologico-analitiche. Si rappresenti il campo K comeTutte le potenze di 4 costituiscono un gruppo ciclico di ordine m, il quale è campo delle funzioni meromorfe sulla sfera di Riemann X. Ogni estensioneil gruppo di Galois dell'estensione F„c:F~. algebrica finita Lc:K si può rappresentare, in maniera analoga, come campo

d) Sia K un campo di caratteristica diversa da z e da g, f(X) = X +aX+b, delle funzioni meromorfe sulla superficie compatta di Riemann Y, rivestimentoa, b e K. Si indichi con L il campo ottenuto aggiungendo a K tutte le radici di f. d'ordine finito di X . Questo rivestimento si ramifica in un numero finito diL'estensione Ka L è u n 'estensione di Galois con gruppo simmetrico Ss di punti P„. . . , P,e X, dipendenti da L. Una classificazione puramente topologicaordine 6 se e solo se il discriminante 6 = — 4b — z7b non è un quadrato nel di questi rivestimenti li associa ai sottogruppi di indice finito del gruppo fon­campo K. damentale iri (X (Pi ., P,)) il quale è il gruppo libero (non commutativo )

con s — i generatori. Ogni rivestimento topologico di questo tipo ha una strut­z.ii . Caratterizzazione delle estensioni di Galois. tura complessa naturale, di modo che ad esso si associa il corrispondente campo

delle funzioni meromorfe L (cfr. l'articolo «Locale/globale» in questa stessaUn'estensione algebrica Kc:L si dice normale se possiede la seguente pro­ Enciclopedia, ) g). Come risultato il gruppo Gal (C(t)/C(t)) si può identificare

prietà: ogni polinomio di K [T] ir r iducibile in K che ha una radice in L s i col limite proiettivo lim<, (X — S)/H, dove S varia lungo i sottoinsiemi finitidecompone in fattori lineari in L [T].

Un'estensione algebrica finita KwL è un 'estensione di Galois se e soltanto di X e H lungo i divisori normali di indice finito. Gal(C(t)/C(t)), in terminise è normale e separabile. tecnici, è un «gruppo libero profinito con un insieme continuo di generatori».

Queste considerazioni geometriche si trasferiscono al caso di campi piugenerali K', contenenti elementi trascendenti su sottocampi primi, a lmeno

z.iz. Estensioni generali di Galois. quando K ha un grado di trascendenza finito. Essi mostrano il profondo legameUn'estensione algebrica Kc: L si dice estensione di Galois se si può rap­ della teoria di Galois di questi campi con la topologia delle varietà. Inoltre la

presentare come unione di estensioni finite di Galois. I r isultati del ) z.8 si teoria di Galois del campo F~(t) e delle sue estensioni finite fornisce un buontrasferiscono a questo caso se nel gruppo totale degli automorfismi di L su K esempio di «poligono di prova» per l'aritmetica dei numeri algebrici. Infatti,

Razionale/algebrico/trascendente 616 6ip Razionale /algebrico/trascendente

da un lato la torre F„ [t] c:F„(t) cF„ (t ) possiede proprietà algebriche prossime mero primo ), f è il grado del campo delle classi di resti rispetto al proprio sot­alle proprietà della torre ZcQc Q . D' a l tro lato ad essa è applicabile una no­ tocampo primo. Il semigruppo di tutti gli ideali non nulli dell'anello A è ge­tevole tecnica algebro-geometrica nella quale si hanno analoghi per quasi tutti nerato in maniera libera dagli ideali primi : ogni à si rappresenta univocamentei metodi della topologia classica e della teoria delle funzioni su una superficie g

nella forma à = pt),.~. Se (p) = pt),'.1, allora g e;f, = n, dove N (tli) =pia (pdi Riemann, compreso la teoria della (co)omologia [si vedano i particolari in numero primo ) i =i

Safarevic iq6z ]. gUna descrizione esplicita delle leggi delle decomposizioni (p) = g t);'i o

i = l

almeno delle loro caratteristiche numeriche g, e;,fi in termini del numero primo3. Aritmetica dei numeri algebrici. p è uno dei principali problemi dell'aritmetica dei numeri algebrici. Una sua

variante è data dalle leggi relative di decomposizione degli ideali primi del­

3.1. Numeri algebrici interi.l'anello A, estesi al sopra-anello B, dove Ac:B è l 'anello dei numeri algebriciinteri di una coppia di estensioni finite del campo Q. L'informazione essenziale

Si consideri inizialmente la seguente situazione generale: sia A un anello sulle leggi di decomposizione delle estensioni abeliane è costituita dalla teoriacommutativo, K i l suo campo dei quozienti, Kc:L un 'estensione algebrica di dei campi di classi (si veda oltre) ; le leggi non abeliane di estensione sono stu­campi. In L si consideri l'insieme B di quegli elementi che sono radici di po­ diate molto poco.linomi a coefficienti in A e coefficiente direttore uguale all'unità. Evidentemente

Se (p) = g g,'i, un ideale t),, per il quale e;) z si dice ramificato (nell'esten­BaA; si può dimostrare che B è un anello. Si chiama chiusura intera dell'anello i =l

A nell'estensione L. sione K ). Se ei)z per qualchei, anche il numero primo p si dice ramificato nelSia ora Qc: K un'estensione finita. Si dice anello dei numeri algebrici interi campo K. I l numero ei si dice indice della ramificazione tli. Analoghe defini­

A in K la chiusura intera dell'anello dei numeri interi Z in K. Se il grado di K zioni si dànno nel caso relativo.

su Q è uguale a n, allora A è uno Z-modulo libero di rango n. In altri termini Se B = A[u], dove c è una radice del polinomio irriducibile f(X)eA[X]esiste una base libera oin ...,oi„eA : ogni elemento di A si rappresenta univo­ con coefficiente direttore i, e t) c:A è un ideale primo, la decomposizione del­

n l'ideale t)B in B è parallela alla decomposizionef(X) = f(X)modt)cA/t)[X].camente come combinazione lineare g a;oi;, a;eZ.i = l Piu precisamente se f(X) = g P i ( X) 'i è la decomposizione in fattori irriduci­

Ad esempio se K = Q(~m), con m+o numero intero non divisibile per g i =1

un quadrato, allora A = Z+Z~m per m=— z, 3 mody e A = Z+Z[(i+~m)/z] bili, allora t)B = P p';<, dove pi = t)B+Pi(ci)B.per m =— i mody. Se K= Q(F), dove E è una radice primitiva dell'unità di ordine i=1

q>(m) — i Ad esempio nel campo Q (F), dove E è una radice primitiva di ordine m del­m, allora A = P Z E' , dove rp(m) è la funzione di Eulero. l'unità, sono ramificati esattamente i divisori di m. Se p non divide m, allora

a=O

Se L/K è un'estensione algebrica finita di campi, aeL, allora il prodotto p = tl„ . .., t)g, N (tli) = pt per ogm 1, dove j è un numero intero minimale per il

per a si può rappresentare con una matrice ad elementi in K r i spetto a una quale pt = i modm, g = 1 li (m)/f.base lineare di L su K. I l determinante e la traccia di questa matrice non di­ Si dice ideale frazionario nel campo K un sotto A-modulo àc:K tale che

pendono dalla scelta della base ; si chiamano norma (Ni<< a) e traccia (Tri,<z a)càc:A per un opportuno ce K~. Gli ideali frazionari costituiscono un gruppo,

dell'elemento a. La norma e la traccia (su Q) di un numero algebrico interogenerato in maniera libera dagli ideali tl dell'anello A.

sono usuali numeri interi. Se Qc:K, a@K, la norma di a è il prodotto di tuttii numeri coniugati con a (immagini di a rispetto alle diverse immersioni iso­ 3.3. Differente e discriminante.morfe di K in C ) e la traccia di a è la loro somma.

Siano A c B gl i anelli dei numeri algebrici interi di Kc : L , Posto B'=

3.z. Ideali,= [bc L ~ Tri<<(bB) cA ), si può dimostrare che B' è un ideale frazionario diL. Il suo inverso B' si d ice differente(relativo ) del campo L su K; è un ideale

Sia A l'anello dei numeri algebrici interi di un'estensione finita del campo di A, La norma del differente del campo K su Q, moltiplicata per ( — x)"'"-" ',Q. Ogni ideale à non nullo dell'anello A è tale che il quoziente A /à è finito; il n = [K : Q], si dice discriminante del camPo K; è un numero intero dir.suo numero di elementi si chiama norma di à (N(à)). Se (a) = Aa, aeA, è I l discriminante del campo K consiste esattamente di quei numeri primiun ideale principale, allora N ((a))= N(a) = Nir>o(a). che sono ramificati in quel campo. I l d iscriminante del campo Q (e'~'1'") è

Se t)c:A è un ideale primo non nullo, allora N (t)) =pt (dove p è un nu­ uguale a +p" ~'1'"'-1'" '.

Razionale /algebrico/trascendente 6r8 61g Razionale/algebrico/trascendenteIl discriminante è il piu semplice e il piu importante invariante del campo

dei numeri algebrici. L'unico campo che ha come discriminante l'unità è Q; su tutto il piano complesso della variabile s. Nella sua regione di convergenza

un'altra formulazione dello stesso risultato è la seguente: il campo Q non haè valido un analogo del prodotto di Eulero : jz(s) = P(1 — N(tl)-') — ', dove tl èun qualunque ideale primo dell'anello A..estensioni non ramificate non banali. Questo risultato è analogo in teoria dei

numeri al fatto che il gruppo fondamentale della sfera di Riemann è banale. La funzione zeta contiene molte informazioni aritmetiche sul campo K.

Inoltre, esiste soltanto un numero finito di campi con dato discriminante (Min­Ci si limita qui a formulare il seguente, classico, risultato: nel punto s = r la

kowski). funzione gz(s) ha un polo del primo ordine e in esso il residuo è uguale a

Campi diversi da Q possono avere estensioni non ramificate ed anche di(z't+"Eqr"ERh)/m~~d~ dove R è il regolatore, h il numero di classi, d il discrimi­

o di e q l s i asi(Golod-Eafarevic). Esempi di tal i ca p i : Q ( v — — desio) enante e m il grado del campo.

Q(~969969o).Questa formula conduce a conseguenze particolarmente importanti nei ca­

Tuttavia l'estensione abeliana massimale non ramificata di un campo K èsi in cui il residuo di j< (s) si può calcolare immediatamente, senza rivolgersi

sempre finita e il suo gruppo di Galois è canonicamente isomorfo al gruppo delle agli invarianti aritmetici del campo K. Poiché m e d, nei casi concreti, si cal­colano senza difficoltà, la f ormula costituisce una relazione fra R e h.classi di ideali del campo (Hilbert). Ad esempio sia K l'estensione quadratica del campo Q con discriminante D.Ad essa è naturale porre in corrispondenza un carattere quadratico rispetto al

3.4. Unità e regolatore. modulo (D~, vale a dire l 'omomorfismo di gruppi X : (Z/~D~)~~(+1). SeD(o, vale a dire K è un campo quadratico complesso, allora r,= ra = o, R = r,Le unità del campo K sono gli elementi invertibili del suo anello dei numeri

algebrici interi. Esse costituiscono un gruppo abeliano. La sua torsione è finitae un calcolo diretto del residuo della funzione zeta conduce a una formula per

il numero di classi del tipo h = — ­ P X(x) x. Se D) o, allora il rango delI

ed è costituita dalle radici dell'unità che appartengono al campo K. Il suo rangoè uguale a r — r = r1+r2 — 1, dove rt è il numero delle diverse immersioni di IDI (., D)=1K in R mentre r2 è il numero delle diverse coppie di immersioni complesse gruppo delle unità è uguale a r e scegliendo il suo generatore rispetto al mo­

coniugate di K in C. Un invariante piu sottile del gruppo delle unità è il rego­ dulo di torsione («unità principale») z) r, si ottiene un'identità del tipol atore. Si scelgano r — t immersioni (r„: K ~ C (una per ogni coppia di com­plessi coniugati ) e i generatori u„ . . ., u„del gruppo delle unità rispetto al mo­ h iogs = — g X(x ) logsin —.

(d:, D)=1 Ddulo di torsione. Sia N; = r, se o.„(K) ( R, N ,; = z in caso contrario. Il deter­ O<X((Dr 2)

minante det (N; logo.;(u,)) non dipende da tale scelta e si dice regolatore del Quest'ultima formula può essere reinterpretata come segue: il numerocampo K.

rc xqt sin­

D D3.5. Gruppo di classi e numero d1 classi. l = o<x y~ — x(x) = — 1 x(y) =+r

qry 2'rr sin­

Tutti gli ideali frazionari del campo K costituiscono un gruppo 9, gli idea­ Dli frazionari del tipo aA, ae K costituiscono il suo sottogruppo 9Q degli ideali come si può verificare, è un'unità del campo K e s = r)». In altri termini, a menoprincipali; il quoziente 9 /9Q si dice gruppo delle classi di ideali del campo K. di un fattore inessenziale, il numero di classi di un campo quadratico realeÈ un gruppo finito; il suo ordine si dice numero di classi del campo K. coincide con l'ordine del quoziente di tutte le sue unità rispetto al sottogruppo

generato dalle unità costruibili q.

3.6. Funzione zeta e relazioni fra il discriminante, il regolatore e il numero Un analogo risultato ha luogo per il campo K= Qg+E '), dove F è unadi classi. radice primitiva d'ordine primo l de l l 'unità. Qui i & , = sinarr /l (sinrr/l) '

(numeri ) sono unità reali positive costruibili del campo e il numero di classiAd ogni campo di numeri algebrici K si può associare la sua funzione zeta di è uguale all'indice del sottogruppo da esse generato nel gruppo di tutte le unità

Dedekind, che generalizza la costruzione di Eulero del campo Q, Precisamente, reali positive del campo.I Questi risultati sorprendono già per il fatto di stabilire un'uguaglianza fra

si ponga (fr(s) = P — , do v e la sommatoria è estesa a tutti gli ideali a del­K N(n)p> gli ordini di due gruppi (il gruppo di classi e il quoziente delle unità), senza che

l'anello degli interi del campo K. Questa serie converge per ogni numero com­ i due gruppi siano isomorfi (essi in eBetti non sono sempre isomorfi, come mo­

plesso s con parte reale Re s) r e può essere prolungata in maniera meromorfastrano le tabelle ). A volte tuttavia, utilizzando l'azione del gruppo di Galoisdel campo K, si può stabilire un isomorfismo fra opportune componenti di

Razionale/algebrico/trascendente 6zo 6zr Razionale /algebrico/trascendente

questi gruppi e ciò conduce a risultati molto avanzati. Questi problemi costi­ topologico non è limite proiettivo di gruppi finiti, come deve essere un gruppo

tuiscono l'oggetto della moderna teoria di Iwasawa e di ulteriori, a volte ipo­ topologizzato secondo Krull : ciò è dovuto alla presenza di una componente

tetiche, generalizzazioni. connessa dell'unità C><c C< che proviene dal sottogruppo R~n x C~"~c j1;.Il quoziente rispetto ad essa Cz /C< è già profinito e il teorema fondamentaledella teoria dei campi di classi è costituito dalle seguenti affermazioni:

3.7. Gruppo di Galois e aritmetica.a) Tutti gl i omomorfismi di A r t in s i « incollano» in un omomorfismo

La piu semplice informazione sui legami del gruppo di Galois con gli ideali j11 ~Gai (K /K ) ; questo omomorfismo è suriettivo.primi è fornita dal seguente risultato. Sia KcL un ' estensione finita di Galois b) Questo omomorfismo induce un isomorfismo C</Cz ~ Gal(K' /K) = G' .con gruppo G, A cB i corrispondenti anelli dei numeri interi, t) cA un ideale c) Il sottogruppo jr< corrispondente agli elementi di G' che lasciano fissaprimo. Allora t)B = (p,...p«)', dove p,; sono ideali primi sui quali i l gruppo G un'estensione abeliana finita L /K, è uguale a K~ NL < jL (non ci siL«EC Lagisce transitivamente. In particolare i sottogruppi stazionari G> degli ideali soffermera a definire I applicazione N L<< . gL ~ L@, abbastanza evidente).)

p, sono a due a due coniugati. Il gruppo G> agisce naturalmente sulla estensionedei campi finiti A /t) c B/p,. Sia I>«c G>1 il sottogruppo normale degli elementi

Tutti gl i oggetti che figurano in questa descrizione possono essere cal­

che vi agiscono in maniera banale. Allora il quoziente G> /I>, è isomorfo alcolati molto chiaramente nel caso K= Q, grazie al classico teorema di Kronek­

gruppo completo di Galois dell'estensione A /t).;cB/p,. Quest'ultima è genera­ker-Weber per cui il campo Q'» coincide col campo generato su Q da tutte le

ta dall'automorfismo ( relativo) di Frobenius 4>,. x~x '»i'. Ciò permette di r adici dell'unità. Da qui segue l'isomorfismo canonico G = l i m(Z/mZ)~ li­considerare 4>1 come un elemento del gruppo G> 1/I>. Se l ' ideale t) non è

mmite rispetto al sistema proiettivo degli interi m con la relazione d'ordine m ) m

ramificato nel campo L, allora tutti i sottogruppi I> sono banali e si ottiene 1 2se mr è divisibile per mz, che determina un omomorfismo di restrizione rispetto

una classe di elementi coniugati 4t) = (classe cP> ) nel gruppo G = Gal(L/K). al modulo mz. Z /m,Z~Z/mzZ, Questo limite è isomorfo a QZg (Z>~ è il gruppoIn tal modo a ogni ideale non ramificato in L del campo K si associa la suaclasse di Frobenius 4> c G. Se il gruppo di Galois G è abeliano, i@> sono sem­ delle unità p-adiche), e non è difficile identificare quest'ultimo gruppo conplicemente gli elementi di G. In questo caso 4t) si denota spesso (t), L/K) e Co/Cosi dice simbolo di Artin. Si indica con I ($) il gruppo degli ideali frazionari del Nel caso di un campo generale K, le dimostrazioni della teoria dei campi dicampo K, mutuamente primi, con differente S, dell'estensione L/K e si estende classi sono eccessivamente indirette e basate, grosso modo, sul confronto degli

il simbolo di Artin a un omomorfismo di Artin dei gruppi I ($) ~G rispetto al ordini dei gruppi quoziente finiti C„­/NL<z(CL) e Gal(L/K) per le variabiliprodotto: a~ (a, L/K), dove (art),', L/K) = rr(tl;, L/K)"'. K e L. La presenza dell'omomorfismo di Artin e di disuguaglianze fra questi

ordini, da diversi lati permette alla fine di stabilire l'isomorfismo cercato. Le

3.8. Teoria dei campi di classi.valutazioni degli ordini nei gruppi di adeli sono basate su calcoli t)-adici locali,nei gruppi di Galois in esplicite costruzioni di estensioni abeliane per mezzo

Il risultato principale della teoria dei campi di classi è la dimostrazione che dell'aggiunta delle radici dell'unità e quindi di radici di elementi del campo.

l'omomorfismo di Artin I ($) ~ G è suriettivo e la descrizione del suo nucleo in In effetti un metodo banale per costruire un campo, che evidentemente contiene

termini del campo L. Insieme alle proprietà funtoriali di questo omomorfismo K' , consiste nell'aggiungere a KQ' = +K(e "" ) t u tte le radici degli elementi

(rispetto a L, ma anche rispetto a K ), questo risultato permette di dare unayg

di KQ' . Tu t tavia questa estensione non è abeliana e la descrizione della suadescrizione, sorprendente per bellezza e completezza, del gruppo di Galois del­ sottoestensione abeliana massimale, o almeno del gruppo di Galois di quest'ul­l'estensione abeliana massimale G'» = Gai(K /K ) d 'ogni campo di numeri al­ tima, non è afFatto banale. Il secondo problema, come si è visto, è già stato ri­gebrici K. Senza soffermarsi sui dettagli, si formulerà qui il risultato conclusivo. solto, ma il primo rimane, insieme alle generalizzazioni non abeliane della teo­

Si consideri il gruppo topologico (R~)"1 x (C~)"zx+Kgdove t) varia negli ria dei campi di classi, uno dei problemi fondamentali dell'aritmetica dei nu­11

ideali primi del campo K, K>~ è il completamento t)-adico di K. Si denoti con meri algebrici.

jz i l sottogruppo costituito dai vettori infiniti (a„eR~"1 x C~"z, a>cK~<) taliche a< sia un'unità t)-adica per ogni t), eccetto un numero finito. Il gruppo jz 3.9, Teoria locale dei campi di classi.si dice gruppo degli adeli del campo K. Si ha l'immersione canonica K~~ jz ..su ogni componente essa corrisponde all'immersione del campo K ne l suo In tutta l'esposizione precedente si è rimasti su un punto di vista globale;

completamento topologico R, C oppure K> rispetto a una metrica. Il quoziente il risultato del $ 3.8 conduce a pensare che la considerazione di completamenti

C>< ­— j</K si dice gruppo di classi degli adeli del campo K. Come gruppo locali del campo K 1„del gruppo dei suoi adeli jz, ecc. fin dall'inizio si sarebbe

Razionale /algebrico/trascendente 6zz 6z3 Razionale /algebrico/trascendente

rivelata piu utile. In effetti questo punto di vista è oggi quello principale. La zione si trasforma in un gruppo abeliano (in effetti è addirittura un gruppo disua realizzazione successiva è legata in primo luogo ai nomi di Chevalley, Artin e Lie su K).Whaples, Tate, Weil, Eichler, Ono, Tamagawi. In questo punto ci si limita a Ad esempio se F (X, Y) = X+ Y+ X Y ' , questo gruppo è soltanto (r+m)~.formulare il teorema fondamentale della teoria locale dei campi di classi per i Si dice endomorfismo di una legge formale F una seriefe A(X) tale checampi del tipo K>. Esso afferma che esiste un isomorfismo canonico fra il grup­ f(F(X, Y)) = F(f(X), f( Y)). Un'applicazione f : m ~m definisce in questo ca­po Gai(K~</K<) e il completamento del gruppo K>~ nella topologia di Krull . so un endomorfismo del gruppo (m, ~).A «livello finito» il gruppo di Galois di un'estensione abeliana finita K,>c:L> è Sia il = CardA/m, ir un generatore dell'ideale m. Esiste allora un'unicacanonicamente isomorfo al gruppo quoziente K>~/Ni, << (Lf). legge gruppale F„per la quale f(X) =i iX +X~ sia un endomorfismo. Si tratta

dell'endomorfismo di prodotto per ir .

3.io. I l problema di una costruzione esplicita delle estensioni abeliane. Si denoti con L l'estensione del campo K generata a) da tutte le radici del­l'unità di grado primo con q; b) da tutti i punti ir" secondo l'ordine del gruppo

Oltre al teorema di Kronecker-Weber, questo problema è risolto per le definito dalla legge F„, vale a dire dalle radici dei polinomi f(f...(f(X))...).estensioni quadratiche immaginarie K del campo Q nella classica teoria del Allora L è l'estensione abeliana massimale del campo locale K. L'azione di K~prodotto complesso di funzioni ellittiche, che rimane un modello per ulteriori su essa si può descrivere esplicitamente grazie all'isomorfismo di Gal (L/K)ricerche. con K", come nella teoria classica del prodotto complesso.

L'idea della costruzione consiste nel considerare le radici dell'unità comepunti d'ordine finito su un gruppo algebrico moltiplicativo G e quindi sosti­tuire G~ con un opportuno gruppo algebrico Xtr, legato al campo K, nella 3.ii . U l ter iori idee.

speranza che l'aggiunta a K dei suoi punti d'ordine finito fornisca K' o per lo A causa delle dimensioni limitate di questo articolo si sono dovute lasciarmeno una sottoestensione abbastanza grande di K' . da parte molte idee che si trovano al centro dell'attenzione degli studiosi mo­

Per i campi quadratici immaginari K quest'idea si realizza nel modo se­ derni. Fra queste rientrano, in particolare, i problemi di calcolo della coomo­guente. L'anello dei numeri interi A di questo campo reticola il piano complesso logia dei gruppi di Galois di campi globali e locali ; la descrizione delle rappre­C. L'insieme delle funzioni meromorfe su C, periodiche rispetto a questo re­ sentazioni dei gruppi di Galois, in particolare sulle varietà algebriche di coomo­ticolo, costituisce il campo delle funzioni ellittiche su una riemanniana alge­ logia l-adica; le connessioni di queste ultime con le funzioni zeta e con le formebrica. La curva algebrica corrispondente può essere data dall'equazione di automorfe e il <tprogramma di Langlands» di costruire una teoria non commu­Weierstrass y = 4x — gax — gs. Il suo invariante j = iqz8g, (g~ — z7gs) è un tativa dei campi di classi; il ruolo della K-teoria algebrica nell'aritmetica con­numero algebrico intero determinato a meno di coniugio sul campo K. Il primo temporanea [si vedano a questo riguardo Langlands i97y ; Tate i9pg].risultato della teoria del prodotto complesso consiste nel fatto che K = K( j) èun'estensione abeliana non ramificata massimale del campo K, cioè il cosiddettocampo di classi di Hilbert. Dal teorema fondamentale dei campi di classi () 3.9) Numeri trascendenti.si deduce che il suo gruppo di Galois è isomorfo al gruppo delle classi di idealidel campo K. Si aggiungano ora a K le coordinate di tutti i punti d 'ordinefinito sulla curva ellittica con invariante j descritta sopra. Il r isultato coincide

y.i. I l problema della trascendenza o dell'indipendenza algebrica.

col campo K'~. L'azione del gruppo di Galois G'~, rappresentata dai simboli di In questo paragrafo si darà un cenno sulla dimostrazione del teorema daArtin, su j e sulle coordinate dei punti d'ordine finito, si può pure descrivere in cui deriva la trascendenza dei numeri e, rc e x~ (ago, i numero algebrico, Pmaniera completamente esplicita, in analogia alla descrizione dell'azione di numero irrazionale algebrico ).Gai(Q"~/Q) sulle radici dell'unità. Il problema della trascendenza di u> fu posto da Eulero e incluso da Hilbert

Recentemente Lubin e Tate hanno dimostrato che un analogo di questa nel suo famoso elenco di problemi ( i9oo ). Esso fu risolto indipendentementecostruzione sussiste per ogni campo locale K. A questo scopo occorre sostituire da Gel'fond e da Schneider ( I934) dopo lavori anticipatori di Gel'fond della curva ellittica con un gruppo formale. Sia A l 'anello dei numeri interi del i929. Qui viene seguito Lang [i966j, il quale ha semplificato e generalizzato lacampo K. Un gruppo formale (piu precisamente una legge gruppale formale) dimostrazione di Gel'fond e Schneider. In conclusione è riportato un elencosu A è una serie formale di potenze F (X, Y) e A(X, Y) con le seguenti pro­ del tutto incompleto di altri r isultati e problemi.prietà: a ) F(X,F(Y,Z)) = F(F(X, Y),Z), b) F(X, Y) = F(Y X), F(X,o) = X. L'idea comune alla maggior parte dei metodi dimostrativi della trascen­Sia mc:A un ideale massimale. Per mezzo di F si puo introdurre in esso una denza o dell'indipendenza algebrica di numeri concreti e di funzioni è legatalegge di composizione ~: x~y = F(x,y). Rispetto a questa legge di composi­ alla loro rappresentazione sotto forma di valori di funzioni analitiche, la cui

Razionale/algebrico/trascendente 6z4 6zg Razionale /algebrico/trascendente

trascendenza e indipendenza algebrica sono incomparabilmente piu semplicida determinare. Dopo di ciò si costruiscono alcune funzioni analitiche ausiliarie : 4.3. Formulazione del teorema e sue conseguenze,i loro valori sono maggiorati con considerazioni analitiche e si dimostra che que­ste maggiorazioni contraddicono valutazioni aritmetiche dal basso, che si ot­ f„ . . ., fz siano funzioni meromorfe con ordine di crescenza finito, compren­

tengono con considerazioni aritmetiche, se i numeri originari sono algebrici. denti due funzioni algebricamente indipendenti. Si supponga che le f.„. sod­Le valutazioni dal basso, in ultima analisi, sono legate semplicemente al fatto disfino un sistema di equazioni differenziali del t ipo òf;./òz = P;(fn...,f>),

dove P, è un polinomio a coefficienti algebrici, i = i, ..., N. Allora il numero deic he un numero intero non nullo ha sempre modulo ) r .

Una funzione algebrica (eventualmente plurivoca) f(z) della variabile com­punti ui,c C (esclusi i poli delle funzioni f;) nei quali tutte le funzioni f; as­sumono valori in un dato campo K, [K : Q] < ~, è finito.plessa z possiede le seguenti proprietà: Supponendo f, = z, f, = e', si trova che il numero e" è trascendente se x+o

a) per prosecuzione analitica, f assume un numero limitato di valori in ogni è algebrico. In effetti, altrimenti, dal campo K= Q (x.,e ) si otterrebbe che f,punto, vale a dire ha un numero finito di fogli. e fa assumono valori di K in un insieme infinito di punti x, zx, 3x, ... In parti­

b) f assume ogni valore prefissato in un numero limitato di punti. colare è trascendente il numero w, poiché e~"' = r è algebrico.c) max ~ f(z)~ (R" per R) Re e n opportuno. Supponendo f~= e>', fz ­— e', dove [i è un numero algebrico irrazionale, si

Izl = tt ha che x~ = e~ ' s" (dove x+o, i è algebrico) è un numero trascendente: al­d) f non ha singolarità essenziali. trimenti f, e f~ assumerebbero valori algebrici in un campo di grado finito inPertanto, per dimostrare la trascendenza della funzione f(z) è sufficiente tutti i punti m logx, m) i. L' i nd ipendenza algebrica dif, e f, segue dall'ir­

verificare che non vale una delle proprietà elencate. Ad esempio e' è trascen­ razionalità di [l, vale a dire dall'indipendenza lineare fra i e [i su Q.dente poiché e' = i per ogni ze zwiZ (non vale la b)), e anche poiché e+ cresce Si osservi ancora che il numero dei punti in cui le f; possono assumere va­

piu velocemente di qualsiasi potenza di R (non vale la c )). La funzione logz lori di un dato campo K, si può valutare esplicitamente nelle ipotesi del teorema :

è trascendente perché non vale la condizione a). se K contiene i coefficienti dei polinomi P;, e gli ordini di f„non superano p,Le funzioni e" iz, ..., e"nz sono algebricamente indipendenti, se x„ . . . , x„ questo numero è < zop [K : Q].

sono numeri linearmente indipendenti su Q. In effetti, considerando per sem­plicità che x; sia reale, si supponga che sussista una relazione polinomiale fra le 4.4. Componenti aritmetiche della dimostrazione.e"iz. Sarà della forma Za e ' i ~ i+ " + ' "~i"~ ' = o . Dall'indipendenza linearemz.. Pl~ La dimostrazione è basata sulla costruzione di funzioni analitiche ausiliarie,su Q degli x; segue che tutti i numeri g m x sono diversi e non uguali a zero soggette a condizioni lineari e connesse all'insieme di punti nei quali le f; as­

j =i

per (m,) p (o). Si scelga fra questi il massimo, sia v. L'elemento a.„, e" sarà sumono valori algebrici.

dominante nella somma per xe R, vz~ ~ e non può essere ridotto con gli ele­ Nella costruzione delle funzioni ausiliarie svolgono un ruolo importante i

menti rimanenti : contraddizione.lemmi sulla soluzione delle equazioni lineari, applicati per la prima volta da

La maggior parte delle dimostrazioni necessarie per le applicazioni alla Siegel ad analoghe questioni.

indipendenza trascendente di funzioni non sono essenzialmente piu compli­cate di questa, benché i dettagli tecnici possano complicarsi. a) Valutazioni su Q. S ia (a; ) una matrice intera con r righe e n colonne,

nn)r , ~a,"~ (B. Si consideri il sistema di equazioni lineari g a ; x .= o: esso ha

4.z. Funzioni con ordine di crescenza finito. soluzione intera non nulla con ~x,~ (2 (nB)" '" "', j = i , . . . , n. t =i

La dimostrazione procede nel modo seguente : il numero dei vettori (y;) conPer la formulazione del teorema sulla trascendenza occorrono i seguenti

concetti. Una funzione intera è una funzione analitica (univoca) f : C~C. y; =g a,,x,, )xi] ((nB)' '" "', è maggiore del numero dei vettori tali che (y;) <j= l

Una funzione intera f ha ordine di crescenza ( p se esiste una costante C) r n

tale che per (z( <R sia verificata la valutazione [f(z)) <C+> per ogni R abba­ <P [a,i(]x~)(nB(nB)" '"-"'. Pertanto ogni coppia di vettori distinti (x~), (x')y=l

stanza grande. Una funzione meromorfa di ordine < p è il rapporto di due fun­ fornisce lo stesso valore (y;) e la loro differenza dà una soluzione non nulla delz ioni intere di ordine ( p . nostro sistema di equazioni.

b) Valutazioni su K, [K : Q] ( ~ . Si c o nsideri lo stesso problema delpunto a ), però con a,,cA, essendo A l'anello dei numeri interi del campo K.

6z7 Razionale /algebrico/trascendenteRazionale /algebrico/trascendente 6z6

Se ScK, poniamo ffSff= max fgsf, se S, ge(immersioni di K in C} Se II("t)ll­D'altro lato esiste una funzione intera 8 di ordine ( p c on &(ul,)+o e Sf,

(B es iste una soluzione del sistema di equazioni del punto a) con xlcA e &g intere. Allora & 'F è una funzione intera e G(z) = 9(z)'" F P (z — zo,)' èffxtff( Ct(CznB) "" ' , do ve C, e C, sono opportune costanti, dipendenti solo v = 1

da K. Per la dimostrazione occorre decomporre a;,, x rispetto a una base fis­ una funzione intera. Il valore G (ze,) digerisce da y = ­ F(m,) per un fattore=d'

sata di A su Z e applicare il risultato precedente insieme a evidenti valutazionidz'

l imitato dalla quantità C',s! D 'altro lato fG(zc,)f(maxfH(z)f se Rofrosf.di ffSff per mezzo di fSf. lzl =R

Prendendo n abbastanza grande, ad esempio s, e quindi ponendo R =s" >, sic) Valutazione di ffPff, dove P è un polinomio nelle fi. Sia Sc:K; se BeZ,

B) o è un numero intero tale che BS c A, si dice che B è il denominatore di Sottiene senza difficoltà la valutazione Cz s" ' ' i ' " per maxfH(z)f.

lzl = R

e si denota ogni denominatore di S con den S. f„. . . , ft' siano funzioni olomor­ Confrontando la maggiorazione che ne deriva per v con la valutazione dalfe nell'intorno di un punto zceC e fi(zc)eK, i = r, ..., N; sia òfi/òz = Pi(f„ basso al termine del precedente paragrafo si ot t iene una contraddizione se

..., fv), PieK[ T r , ..., Tti]. Sia infine P@K[T„. . . , Ttv] un polinomio di grado m)zop [K : Q]; ciò dimostra il teorema.< r f = P(ft " f iv) IIPII= I l(coefficienti di P)ll A l lora per ogni intero Ko ovalgono, con una opportuna costante C„ le valutazioni seguenti: 4.7. Ulteriori risultati e problemi.

— „f(ro) < ffPffr"k!Ck " a) II teorema di Gel'fond e Schneider sulla trascendenza di xl può essere

dkriformulato come segue: se x, P sono numeri algebrici non nulli e logx, logg

minden — kf( tc)(den(P) Ck+" sono linearmente indipendenti su Q, allora sono linearmente indipendenti suQ. Alla fine degli anni '6o Baker, sviluppando il metodo di Gel'fond e Schnei­

Questo risultato si dimostra per induzione non complicata rispetto a k, der, mostrò, per ogni n) z, che se x„. .., x„sono numeri algebrici non nulli e iloro logaritmi sono linearmente indipendenti su Q, allora sono linearmente indi­

Costruzione delle funzioni ausiliarie.pendenti su Q.

Un analogo risultato, con l'esponenziale al posto del logaritmo, era stato

Sotto le ipotesi del ( 4.z si scelgano m punti @vt nei quali fi (set)eK ( i stabilito da Weierstrass nel r855.

coefficienti dei P; cK ). Una maggiorazione di m si ottiene da valutazioni op­ b) Esistono numerosi risultati relativi all 'approssimazione di numeri tra­

poste per i valori della funzione ausiliaria e delle sue derivate nei punti rc~. Si scendenti noti per mezzo di numeri algebrici.r Sia F un numero algebrico ; si denoti con H (F) il massimo modulo dei coef­

scelga come F il p o l inomio F = P b,; fig', dove f,ge(f„ . . ., fz} sono alge­ ficienti di un polinomio irriducibile di cui F sia una radice. Allora per ogni s) oi, t = l

bricamente indipendenti. Come r si prenda un numero divisibile per zm; piuvale la valutazione

logxavanti lo si renderà molto grande. S'impongano inoltre le seguenti condizioni ai E )exp ( — flogHf +')

dk log Pcoefficienti di F: a) b,,e A; b) ffb;tff(Cn'"; c) ­ kF(w,) = o per x(j < m, r <

per H~H, (x , [ l,s,[Q(s) : Q]) (Gel'fond, rg49). Baker e Feldman hanno esteso(k ( n . Le valutazioni del ) 4.z permettono di mostrare l'esistenza di (b;,) g (o) queste valutazioni alle forme lineari di piu logaritmi.con queste proprietà, se n = r'/zm per un'opportuna costante C. Per essi I<'po, c) Molta attenzione è stata posta al problema della trascendenza dei valorigiacché f e g sono algebricamente indipendenti. di funzioni speciali, legate all'uniformizzazione delle varietà algebriche. Ad

esempio Schneider ha dimostrato che data la curva ellittica y'=xs — g,x — g,,

4.6. Valutazione dei valori delle derivate di F. g, e gs algebrici, i punti algebrici P su di essa hanno argomenti trascendenti diWeierstrass f+(dx/y). Analoghi risultati valgono per le funzioni di Bessel, ecc.

dsF d'F d) Schanuel ha formulato la seguente ipotesi: se i numeri x„ . . . , x„ sonoSia — (ws) +(o) ma — i(ws) = (o) per l( s — z. Allora s)n e si puòdz' dzl linearmente indipendenti su Q, fra i numeri x„ . . ., x„, e"z, ..., e"n ve ne sono un

ds numero ) n algebricamente indipendenti su Q. Recentemente Cudnovskij haritenere che' = ­ F(rc ) po. Il numero s tende a ~ insieme a r. In forza deldz' mostrato che per insiemi opportuni (x„ . .., x„), n ~ ~, la quantità di numeri al­

$ 4.4, c), esiste un numero intero ce Z, o<c< CC'„ tale che cye A. e ffyff < Cs '. gebricamente indipendenti fra (x„ . .., x„; e" i, ..., e'n) tende all'infinito. [Jti. t. M.].Allora r ( fNz>rt(cy)f < Cs~" r '

Razionale/algebrico/trascendente 6z8

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I termini si riferiscono in primo luogo a numeri e a funzioni (cfr. numero, funzione,divisibilità) e forniscono una classificazione legata, in un certo senso, alla loro complessità(cfr. semplice/complesso). A partire dal concetto di numero e di figura geometrica (cfr.geometria e topologia, curve e superfici, matematiche) la storia di questa classifi­cazione (cfr. sistematica e classificazione) si sviluppa attorno alle idee fondamentalidi linguaggio algebrico per rappresentare numeri e operazioni (cfr. applicazioni, rap­presentazione), di interpretazione dei numeri come misura, di loro applicazione aiproblemi dell'infinito (cfr. anche continuo/discreto, insieme). Oggi costituiscono uncapitolo importante dell'algebra (in cui si riferiscono a elementi delle principali strutturematematiche) e della teoria (cfr. teoria/modello) dei numeri, in cui s'impongono pro­blemi di dimostrazione della trascendenza di varie classi di numeri (cfr. anche deduzio­ne/prova, dipendenza/indipendenza) o di approssimazione mediante numeri diclasse inferiore.

9r7 Simmetria

Sirrtmetria Anassimandro, non aveva forma sferica, ma di cilindro circolare la cui altezzaera tre volte minore del diametro della base. Però in questo modo la direzionedella verticale rompe chiaramente la simmetria totale dell'Universo.

L'idea che «la conseguenza non può essere meno simmetrica della causa»La prima parte di questo articolo è costituita da osservazioni sulla storia del sorse nel xx secolo sotto il nome di principio di Curie. Probabilmente è un ca­

principio di simmetria; essa contiene anche una descrizione delle sue applica­ so particolare di qualche archetipo di pensiero teoretico: in Anassimandro, adzioni alla fisica moderna. Nella seconda parte vengono esposte in maniera fram­ esempio, è ancora chiara la sua connessione genetica con quel che, piu tardi,mentaria nozioni introduttive sul principale apparato matematico della teoria sarà detto «principio di ragione sufficiente» (si veda l'allegoria dell'asino di Bu­della simmetria : i gruppi e le loro rappresentazioni. La materia è talmente ampia ridano ). Negli ultimi anni, nella fisica teorica, ha acquisito un significato parti­che perfino il semplice tentativo di denominare i temi che le sono collegati non colare la concezione di «rottura spontanea della simmetria». Situazioni in cuiè possibile; si veda anche l'articolo «Dualità» in questa stessa Enciclopedia che «la conseguenza è meno simmetrica della causa» si verificano in un'ampia classesostanzialmente è dedicato a un aspetto della simmetria. di modelli teorici. Il meccanismo di rottura della simmetria può essere un'insta­

bilità particolare dello stato simmetrico in relazione a qualsivoglia piccola per­turbazione esterna. Ciò sarà esaminato in dettaglio in seguito.

r. Noz ioni generali. La connessione fra il contenuto del termine 'simmetria' e le idee di ugualpeso e commensurabilità, nella concezione moderna, si è indebolita. La mate­

i.i. Osservazioni storiche. matizzazione dell'idea di simmetria ha portato in primo piano la rappresentazio­ne di una ripetibilità regolare e quindi d'un gruppo di trasformazioni in sé d'un

La parola greca riuli.p.swpoq denota 'commensurato, proporzionale'. Euclide oggetto simmetrico. A questo aspetto della simmetria si riferiscono le idee del­utilizza questa parola in relazione ai segmenti commensurabili, cioè i segmenti l'antichità relative alla classificazione dei poliedri regolari e le loro connessioniil rapporto delle cui lunghezze è razionale (cfr. l'articolo «Razionale/algebrico( con gli «elementi» di cui è costituito l'universo. La classificazione dei poliedritrascendente» in questa stessa Enciclopedia). regolari è esposta da Euclide; il suo autore si pensa essere stato Teeteto. Quat­

Hermann Weyl, all'inizio della prima lezione del suo Symmetry [r952], scri­ tro elementi, fuoco, aria (etere), acqua e terra, dice Empedocle. Aristotele ag­ve che «la parola tedesca Ebenmass è un ottimo equivalente della parola greca giunse il quinto. Platone avanzò l'idea per cui le differenze fra gli elementi (o"simmetria" : entrambe esprimono anche l'idea di "misura mediana", il giusto csrotysiu 'lettere dell'alfabeto' [Teeteto, zord-zoze]) si spiegano con la formamezzo al quale dovrebbero tendere nelle loro azioni gli uomini virtuosi secondo delle particelle da cui sono costituiti questi elementi: fuoco-tetraedro, aria-ot­l'etica nicomachea di Aristotele, e che viene descritto da Galeno nel De tempe­ taedro, acqua-icosaedro, terra-cubo. Per quanto riguarda il quinto poliedro, ilramentis, come lo stato d'animo ugualmente distante dai due estremi : out',p.swpov dodecaedro, «dio se ne giovò per decorare l'universo» f Timeo, 55c].áirsp sicawápou ~rov áxpcov xiráyss» (trad. it. p. ro ). Senza dubbio la teoria di Platone appartiene a un diverso sistema di pensie­

Nel trattato di Aristotele Del cielo si attesta un'antica considerazione di filo­ ro rispetto alle concezioni della scienza naturale contemporanea. Ciò nonostan­sofia della natura per cui l'idea di simmetria è utilizzata in considerazioni cosmo­ te nella struttura dei concetti di teoria quantistica dei campi si trovano frammen­logiche vicine per spirito ai modelli moderni dell'Universo omogeneo. Scrive ti analoghi alle concezioni di Platone. La teoria della simmetria SU (5) (e i suoiAristotele: «Se nulla fa si che questo [il moto della Terra ] sia piuttosto verso il miglioramenti ), che ha condotto alla concezione dei quark, confronta famigliebasso che verso l'alto, e se l'aria che sta sopra non impedisce il moto verso l'alto, di particelle elementari osservabili sperimentalmente (le «lettere» dell'univer­neppure quella che si trova sotto la terra impedirà il moto verso il basso. F. ne­ so) con forme geometriche simmetriche di dimensione finita che sono dettecessario infatti che le medesime cause provochino nelle stesse cose eguali effetti » «diagrammi di peso». Un diagramma di peso è la collezione di un numero finito[295a, 26-29]. di vettori (o di punti) che non appartengono allo spazio tridimensionale f isico,

Questa idea di simmetria, che nella traduzione russa diventa rropo6+e 'simi­ ma a uno spazio astratto di operatori che agiscono nello spazio dei gradi di li­larità' (nell'originale greco Giù, ~riv op.oiáwqwx), è riferita ad Anassimandro se­ bertà interni del sistema quantistico. Questi gradi di libertà (come l'isospin) sicondo la seguente rappresentazione del mondo. La Terra si trova al centro d'un dicono interni perché non sono legati alla cinematica spazio-temporale, a diffe­involucro sferico di fuoco, senza appoggiarsi su alcunché: non c'è bisogno di renza delle coordinate, dell'impulso o del momento angolare. Diagrammi di pe­appoggio, giacché a causa della simmetria sferica la Terra non ha alcun motivo so corrispondenti a certe n-pie sono rappresentati, ad esempio, nell'articolodi muoversi in alcuna direzione. Per noi è difficile valutare tutta l'originalità ch< «Particella» in questa stessa Enciclopedia, X, pp. y6g-65 (cfr. anche $ z).questa concezione aveva quando fu elaborata per la prima volta: la Terra n<»i In tempi recenti la storia matematica della simmetria è legata al xrx secolo ;era sostenuta da una tartaruga, ma dalla logica. Fra l'altro la Terra stessa, pci il tema della simmetria riceve cosi voce autonoma in ritardo; l'analisi dell'infi­

Simmetria 9I8 9r9 Simmetria

nitamente piccolo occupava tutti. Evariste Galois, morto nel t832, fondò la teo­ zioni in un sistema inerziale variabile, Allora si pone appieno il problema rela­ria della simmetria delle equazioni algebriche in una indeterminata. Da proto­ tivo a ciò che non dipende da questo cambiamento («invarianza»), o almeno netipo utilizzò il lavoro di Gauss sulla teoria dei campi ciclici, cioè, se si vuole, dipende in maniera semplice («covarianza»). Questi invarianti e covarianti sonodei poligoni regolari piani. Un poligono regolare di n lati possiede una simme­ essenzialmente leggi fisiche.tria evidente: si trasforma in sé per rotazioni di angoli multipli di zx/n attorno Ma l'idea di cambiamento di coordinate può anche essere collegata global­al centro. Si può anche notare la presenza di n assi di simmetria. La scoperta mente alla sfera concettuale. Gli arbitrari cambiamenti di coordinate, differen­eccezionale di Gauss consisteva nel fatto che per la costruzione di un poligono ziabili e con inversa differenziabile in una regione locale dello spazio-tempo,regolare con riga e compasso non era tanto importante questa evidente simme­ che Einstein considerava nella formulazione del suo «principio generale di rela­tria, ma un'altra, nascosta. Si rappresentino i vertici del poligono con le radici tività» non corrispondono ad alcuna trasformazione di simmetria fisicamenten-esime dell'unità e "'r ' ' sul piano complesso. Si considerino le sostituzioni di realizzabile. Il «principio generale di relatività» è una richiesta di simmetria ap­queste radici (cioè dei vertici ) del tipo rr : e' n"~ "' ~ e'""'~ " ' , dove il numero plicata al linguaggio in cui si formula la legge fisica, molto maggiore della leggeo( m( n è i n tero e primo con n. Risulta <p(n)= n fj (r — p-') (p primo) il nu­ stessa. Altro affare è che le rappresentazioni intuitive legate a questo principio

yfn abbiano potuto svolgere, nella storia della scienza, un ruolo poco dipendentemero di sostituzioni, costituenti un gruppo che, nel caso generale, non è conte­ dal contenuto formale.nuto nel gruppo delle riflessioni e rotazioni. Questo gruppo non conserva la di­ Nella coscienza creatrice l'idea di simmetria si riferisce a una regione limi­stanza fra vertici, ma la struttura delle operazioni algebriche di somma e di pro­ tata dall'attività sistemica, razionalizzatrice, e alla percezione estetica. Quest'i­dotto, sull'insieme di tutti i numeri complessi che si possono ottenere dalle ra­ dea ha la capacità di comprendere attivamente i meccanismi emozionali delladici dell'unità applicando queste operazioni. La forma della «simmetria nasco­ coscienza. L'arte, che crea strutture spazio-temporali ritmiche, 'e la scienza, chesta» come della «simmetria spontaneamente distrutta» divenne una metafora le coglie in un materiale empirico non ordinato, s'incontrano qui su un territo­matematica popolare della moderna fisica teorica, rio comune. Ecco come uno studioso moderno descrive PInvenzione a tre voci

I lavori di Galois, per motivi storici casuali, rimasero in ombra per molti in fa minore di Bach : «Nella struttura di questa Invenzione, scritta in contrap­anni. Il successivo sviluppo della teoria della simmetria come teoria dei grup­ punto triplice e distinta da una ricchissima cromaticità, entrano dieci volte unpi e delle loro azioni è legato nella concezione dei posteri ai nomi di Klein, Jor­ tema emergente e tre intermedi, di cui uno compare solo una volta e gli altridan e Lie in primo luogo. Il Traité des substitutions et deséquations algébriques di due, ciascuno due volte... Le cinque comparse dei tre intermedi (x + z+ z) eJordan, che ebbe tanta influenza, apparve nel x8po. L'atmosfera in cui lavora­ le dieci comparse del tema formano congiunte una simmetria molto rigorosa...vano e comunicavano questi tre matematici non soltanto permise la scoperta di Ogni intermedio si trova fra due comparse del tema delle quali una è doppia, euna grande quantità di fatti matematici nuovi e la sistematizzazione di vecchi, l'altra semplice, unica... dopo la comparsa di tutti e tre gli intermedi comparema anche la formazione di un'ideologia. La piu nota formulazione di questa il secondo e poi il terzo... Con le proprie due comparse il secondo intermedio se­ideologia fu il programma di Erlangen pubblicato da Klein [x8qz], para l'Invenzione in tre segmenti omogenei

Brevemente, Klein inizia a definire il gruppo delle simmetrie di diverse teo­rie geometriche (euclidea, proiettiva, della geometria iperbolica). All'inizio que­sto gruppo serve da classificatore della teoria, ma in seguito Klein cambia punto T T

di vista e propone di considerare che il gruppo, dato insieme alla sua azione sullospazio, definisca in maniera essenziale tutto il contenuto della geometria corri­spondente in quanto teoria delle proprietà (delle figure) invarianti per le azioni 12 I3 I2 I3di questo gruppo.

Nei lavori di Lie (il corso di Lie-Fngel è del i888-93 ) gli stessi gruppi ditrasformazioni di carattere geometrico, compresi quelli a dimensione infinita, i cui ultimi due sono assolutamente identici, mentre il primo si distingue daidiventano l'oggetto di studi coi metodi dell'analisi. Parallelamente si sviluppa due restanti soltanto per un intermedio» [Gerskovic I979, pp. yg-g5].la tecnica del «calcolo assoluto», vale a dire la descrizione dell'analisi locale sulle In questo testo la simmetria si rivela come principio formatore. Prendendovarietà in maniera indipendente dalla scelta del sistema di riferimento. Questa la teoria matematica della simmetria in una concezione ampia, si potrebbero in­tecnica sarà chiamata a svolgere un ruolo importante nella teoria generale della trodurre in essa anche quelle concezioni in cui è importante l'idea di genera­relatività di Einstein (r9r6). L' idea di cambiamento delle coordinate può es­ zione ricorsiva di una struttura complessa per mezzo di un piccolo numero disere collegata all'idea di trasformazione di simmetria realizzabile fisicamente, regole. Il recente libro di Hofstadter e altri [r98o] è una raccolta eccellente diad esempio di boost, che accelera l'osservatore e l'obbliga a condurre le misura­ variazioni diverse su questo tema.

Simmetria 92I Simmetria920

servare che i gruppi di simmetria dei poliedri regolari non permettono didistinguerne alcuni: il cubo e l'ottaedro, come anche il dodecaedro e l'i­

r.z. Simmetria e leggi fisiche. cosaedro, hanno le stesse simmetrie. La presenza di un reticolo invarianterende naturale anche una diversa relazione di equivalenza sull'insieme

Le forme primitive della simmetria sono suggerite da osservazioni nelle dei gruppi finiti di rotazioni : coniugio a meno di trasformazioni invertibiliscienze naturali. intere. Questa classificazione risulta piu sottile e conduce a 73 classi d'e­

Gli oggetti della biologia permettono di distinguere alcuni aspetti di sim­ quivalenza.metria spaziale di rotazione, che di solito sono funzionali alla crescita dell'or­ c) Infine, le nominate z3o classi sono classi di gruppi contenenti sia le rota­ganizzazione. Una sfera solida è dotata di simmetria rispetto a qualunque rota­ zioni, sia le traslazioni; il gruppo delle traslazioni consiste precisamentezione attorno al centro, vale a dire del gruppo SO (3) delle rotazioni nello spazio negli spostamenti di vettori interi e la classificazione si effettua a meno dieuclideo tridimensionale. Un cerchio solido è simmetrico rispetto alle rotazioni coniugio per mezzo di trasformazioni invertibili intere.piane. Questi due aspetti della simmetria si realizzano approssimativamente peralcuni protozoi in sospensione nell'acqua e rispettivamente per protozoi che La simmetria dei cristalli fu scoperta durante le ricerche macroscopiche del­conducono una forma di vita sul fondo. le loro proprietà ottiche, meccaniche e chimiche. La struttura matematica dei

Organismi come le stelle marine corrispondono a un gruppo finito di rota­ gruppi cristallografici fu un argomento potente, ma non il principale, per ca­zioni piane. Ma piu diffusa è la simmetria speculare approssimata degli organi pire che queste proprietà riflettono la struttura di reticoli microscopici, nei nodiesterni, rispetto alla riflessione destra(sinistra. dei quali si trovano atomi di cristalli componenti la materia. Dopo l'elabora­

È naturale considerare le proprietà di simmetria della forma esterna in con­ zione dei metodi di ricerca roentgenografica questa comprensione ricevette unanessione con le caratteristiche delle sue interazioni col mondo esterno: col tipo base sperimentale.di ambiente in cui abita, col carattere della localizzazione, col tipo di alimen­ Si passerà ora a una breve rassegna del ruolo che le concezioni di simmetriatazione. Un organismo a simmetria destra/sinistra — con eccezione della testa svolgono nelle rappresentazioni contemporanee della fisica. La fisica ha in mol­sulla quale sono impressi la bocca e gli occhi — è un organismo-vettore, la cui to rotto con le forme di «simmetria visibile» di cui si è detto finora. Le rap­struttura è idonea ad essere attiva. presentazioni simmetriche si collegano alle idee di riproducibilità, indipenden­

La simmetria degli organi interni è determinata parzialmente dalla simme­ za dall'osservatore, leggi di conservazione, principi di media statistica e moltitria esterna, ma ammette notevoli eccezioni. Negli ult imi anni si è presa molto altri.in esame l'asimmetria funzionale, specifica dell'uomo, delle due metà del cer­ Secondo l'osservazione del fisico americano Lee [r97o] l'idea di simmetriavello, la destra e la sinistra, la quale è correlata con l 'asimmetria funzionale si può collegare all'idea di «inosservabilità di alcune grandezze fondamentali».delle mani destra e sinistra, ma è relativa a un livello molto piu profondo di at­ Per chiarire questo pensiero, Lee porta il seguente esempio.tività del sistema nervoso centrale. Secondo Pribram, l'emisfero sinistro elabora Si consideri l'energia di interazione V di due particelle come funzione dellel'informazione, per molti aspetti in maniera analoga a una calcolatrice nume­ loro posizioni x, y. Il postulato fisico per cui la posizione assoluta non è osserva­rica, mentre l'emisfero destro funziona piu rapidamente secondo i principi dei bile conduce all'affermazione che V deve essere funzione soltanto della diffe­sistemi ottici e olografici di elaborazione dei dati. renza x — y, in modo che ogni spostamento spaziale x ~ x+ a, y ~y+a non cam­

Nella struttura non viva dei cristalli si trovano, probabilmente, i primi ogget­ bi questa differenza, e viceversa la differenza è l'unico invariante dello sposta­ti la cui ricerca richiese una teoria matematica. Un risultato di questa teoria fu mento. Allo stesso tempo si ha la legge di conservazione del momento totale dila formazione di un elenco completo di z3o gruppi cristallografici. Questo elen­ quantità di moto, la cui velocità di variazione col tempo è ­ (V,+V„) V.co si ottiene come risultato della soluzione dei seguenti problemi: Da un punto di vista rigorosamente logico tutta questa considerazione è

a) Descrizione di tutti i gruppi finiti di rotazioni (inclusa la riflessione) del­ vulnerabile. In effetti presuppone a priori la possibilità di costruire la «diffe­

lo spazio tridimensionale, vale a dire dei sottogruppi finiti di O(3) a me­ renza» x — y, vale a dire postula l'esistenza e la struttura del gruppo di sposta­

no di coniugio in O (3). Questi gruppi sono numerosi : vi sono due serie in­menti spaziali. Né l'una né l'altra segue in alcun modo dal postulato sull'inos­

finite, essenzialmente perché sul piano esistono poligoni regolari con unservabilità delle posizioni assolute a meno che questo postulato non venga pre­

numero arbitrario di lati, e le rotazioni attorno a un asse passante per il cisato per mezzo della scelta di una struttura matematica, in questo caso d'un

loro centro possono essere d'ordine qualsiasi.modello galileiano di spazio-tempo. Dal punto di vista matematico, ad esempio,

b) La descrizione di quei gruppi del precedente elenco che trasformano inanche i punti di una sfera non hanno «posizioni assolute», ma la loro diflerenza

sé un reticolo di rango 3, vale a dire un sistema discreto di vettori isomorfo sulla sfera non è definita e una funzione della coppia di punti, invariante ri­

a Z~ come gruppo di traslazioni. Questi gruppi sono 32. Si può qui os­ spetto alle rotazioni della sfera, deve essere descritta in tutt' altro modo. Pertanto

Simmetria 922 9z3 Simmetria

l'esempio di Lee va considerato come esplicazione dell'idea di «inosservabilità Negli spazi generali di Einstein si sceglie tutto un repertorio di modelli co­delle grandezze fondamentali», piuttosto che della simmetria, In effetti, all'in­ smologici. La scelta di questi modelli è dettata, naturalmente, sia dai dati osser­terno dell'apparato matematico della fisica la rappresentazione dell'inosservabi­ vabili sia dall'accessibilità per la ricerca matematica. Entrambe le condizionilità è espressa in maniera incomparabilmente meno de6nita dell'idea di simme­ percorrono, in primo luogo, gli spazi nei quali si ha una qualche simmetria.tria, che ha un formalismo sviluppato e numerose applicazioni effettive. D'al­ Spesso la simmetria è introdotta in forma infinitesimale: come esistenza di cam­tro lato, nelle discussioni semintuitive, filosofiche, assiologiche, la «inosservabi­ pi vettoriali che conservano la metrica (nel senso che la sua derivata di Lielità» si presenta come una concezione molto preziosa. Nella tradizione filoso6ca lungo il campo tende a zero). Tali campi vettoriali costituiscono un'algebra dieuropea l'idea di inosservabilità si può ricondurre al mito della caverna di Pla­ Lie. Come sostituto del gruppo delle traslazioni spaziali Rs (assolute o con­tone. Negli esperimenti ideali di Galileo l'inosservabilità di un movimento iner­ nesse con un sistema di riferimento inerziale nello spazio di Minkowski ) si puòziale assoluto (a differenza di uno relativo) viene utilizzata ormai completamente usare allora un'algebra di Lie tr idimensionale dei campi vettoriali simili delnello spirito moderno. Le concezioni positiviste, popolari nel xrx secolo, fecero tipo descritto. Queste algebre di Lie furono classi6cate già da Bianchi, e ap­dell'«inosservabilità» uno spauracchio; i tentativi di espellere dalle teorie le partengono a nove tipi, I- IX. Le usuali traslazioni corrispondono a un'algebraquantità inosservabili occuparono studiosi molto seri, e questi tentativi giunsero di Lie abeliana (tipo I), le rotazioni di una sfera z-dimensionale costituisconotalvolta a importanti risultati. Tuttavia le rappresentazioni del posto preciso di il tipo IX. Gli spazi di Einstein dei tipi corrispondenti furono sottoposti a studiciò che è inosservabile nella struttura di una teoria scientifica furono spesso in­ accurati; in particolare, essi rivelano un'evoluzione ondulatoria molto interes­definite. Per questo l'idea di una connessione fra inosservabilità e simmetria, sante rispetto a movimenti indietro nel tempo 6no al momento di singolarità,almeno in fisica, richiede una maggiore considerazione. che modellizzano il big bang.

Proseguendo la propria analisi dei principi della simmetria, Lee produce il Fra i dati dell'osservazione che motivano lo studio di modelli spazio-omo­seguente elenco, presente in pressoché tutti i manuali di teoria quantistica dei genei dello spazio-tempo si possono osservare due fatti fondamentali: a ) lacampi : quasi omogeneità e l'isotropia della diffusione della materia, se la si guarda con

r) simmetrie di traslazione, che conducono alle statistiche di Bose-Einstein una scala abbastanza grande; b) l'isotropia della radiazione residua a tempera­e di Fermi-Dirac ; tura di circa 3 ~I< scoperta da Penzias e Wilson.

z) trasformazioni continue dello spazio-tempo: traslazioni, rotazioni, acce­ Il modello di spazio-tempo, utilizzato al di fuori delle scale cosmologiche,lerazioni, ecc.; ad esempio in 6sica atomica, che rimane è essenzialmente lo spazio-tempo di

3) trasformazioni discrete : inversione spaziale, inversione temporale ; coniu­ Minkowski M (o perfino la sua versione precedente la relatività ). Ciò si puògazione di carica, che scambia di posto le particelle e le antiparticelle; spiegare matematicamente col fatto che nelle situazioni considerate la curvatura

4) trasformazioni unitarie, che comprendono : U„ la simmetria che conduce dello spazio-tempo è tanto piccola che il suo spazio tangente fornisce localmen­alle leggi di conservazione della carica, del numero barionico e dei numeri te un'approssimazione molto buona. Questo spazio tangente è proprio il mon­

leptonici;SU(z), simmetria (isospin) ; SU(3), simmetria (di colore) ; ecc. do di Minkowski. Da un punto di vista 6sico, nella misura in cui la curvaturadello spazio-tempo si può interpretare come conseguenza dell'interazione gravi­

Proseguendo questo elenco di concezioni, che ora si valutano piu attiva­ tazionale, il fatto che sia piccola si spiega con la particolare debolezza dell'inte­mente, si possono aggiungere : razione gravitazionale in confronto con quelle forti e quelle elettromagnetiche

5) simmetrie di gauge; e anche che determinano essenzialmente le proprietà della materia per scale da labora­

6) supersimmetrie. torio. Il ruolo dell'interazione gravitazionale su scala cosmologica diventa pre­valente grazie al fatto di essere universale, agente a distanza (a differenza di

Si torni alla considerazione delle simmetrie spazio-temporali. La prima co­ quella forte) e non avere «cariche di diverso segno», che potrebbero compen­sa che si può dire è che, dopo il sorgere della teoria generale della relatività, sarsi (a differenza di quella elettromagnetica).i l contenuto stesso di queste simmetrie è divenuto dipendente dal modello. I l Lo spazio-tempo di Minkowski possiede un gruppo fondamentale di sim­modello generale einsteiniano dello spazio-tempo, cioè la varietà quadridimen­ metria: il gruppo di Poincaré, che è generato dal gruppo quadridimensionalesionale liscia con pseudometrica g~,dx~dx' che soddisfa alle equazioni di Ein­ delle traslazioni R4 e dal gruppo delle rotazioni che conservano la metrica distein con tensore di energia-impulso di aspetto qualsiasi, usualmente non ha Minkowski, vale a dire il gruppo di Lorentz. Il gruppo completo di Lorentz haalcuna simmetria. In altr i termini, non esistono trasformazioni biunivoche non quattro componenti connesse. Se nello spazio di Minkowski si fissa una base or­banali di questa varietà in sé, le quali conservino la pseudometrica. Si ricordi che togonale con tre componenti spaziali e una componente temporale (e~, e„e.„in questi modelli non esiste né tempo assoluto, né spazio assoluto in un dato es), allora le trasformazioni di cambiamento di segno del tempo T (x ~ — x,momento di tempo. x'~x' , a= r , z, 3 ), di inversione spaziale P (x ~x" , x ' ~ — x', a = r, z, 3) e la

9z5 SimmetriaSimmetria 9z4

loro composizione PT appartengono a componenti diverse. La terza trasforma­ Una conseguenza di questa teoria dell'elettrodinamica quantistica è la rap­

zione dell'elenco di Lee, la coniugazione di carica C, s'interpreta meno diret­ presentazione del vuoto, nel quale si verifica una nascita spontanea e l'annichi­

tamente in termini di spazio-tempo. Per introdurla occorre preliminarmente lazione delle coppie virtuali elettrone-positrone. In un campo abbastanza for­

osservare che la componente connessa dell'unità L~ del gruppo di Lorentz non temente classico (cioè multifotonico quantistico), le particelle virtuali possono

è semplicemente connessa: il suo ricoprimento universale è il gruppo Sl (z, C), trasformarsi in reali. Uno «smussamento», una riflessione semiclassica di ciò

il nucleo del ricoprimento consiste di (+ i ). L'isomorfismo di Sl (z,C)/(d r), cioè è la superposizione delle due componenti del campo spinoriale nell'originaria

del gruppo delle trasformazioni razionali lineari della sfera di Riemann CP', trattazione di Dirac.

con L„si esplica facilmente in maniera geometrica: anche L~ agisce sulla sfera, Questa breve descrizione della storia della simmetria di C può servire da

precisamente sulla «sfera assoluta» dell'origine delle coordinate di L~, vale a esempio della forza predittrice delle considerazioni sulla simmetria già a livello

dire sull'insieme delle direzioni uscenti dall'origine delle coordinate. quantistico. Da un punto di vista puramente matematico si può considerare che

Quello spazio complesso bidimensionale su cui agisce il gruppo Sl (z, C), ri­ con ciò sia giunta a compimento logico l'idea di Einstein relativa al fatto che il

coprente L~, si dice spazio (a due componenti ) degli spinori S~ (nel punto ini­ gruppo di Lorentz, compreso come gruppo delle simmetrie delle equazioni di

ziale). Accanto ad esso occorre considerare anche lo spazio complesso-coniu­ Maxwell, sia il gruppo universale delle simmetrie per tutte le leggi della na­

gato S~; esso corrisponde a una seconda possibile orientazione della sfera asso­tura. La circostanza per cui l' interpretazione fisica di un ricoprimento sempli­

luta, e queste orientazioni si trasformano l'una nell'altra invertendo il tempo T, cemente connesso del gruppo di Lorentz (o la sua «doppia rappresentazione»,

scambiando i pol i dell 'assoluto passato e dell'assoluto futuro. Associando a come dicono i fisici ) Sl(z,C) richiede già la teoria quantistica e, soprattutto,

ogni punto M i l p roprio spazio spinoriale, si ottiene su M un fibrato spino­l'introduzione della prima osservabile realmente quantistica — lo spin e ancor

riale quadridimensionale SQ+S sul quale si può definire in maniera naturale di piu la previsione dell'antimateria —, è un'illustrazione eccezionale della forza

l'azione di Sl (z,C), P e T, compatibile con le azioni su M. L 'operazione didelle considerazioni della simmetria.

coniugazione di carica C porta in ogni punto di M lo spinore se S nello spinore La storia delle applicazioni C, P, T, con ciò, è ben lungi dall'esser finita.

se S, e se S in se S. Un'importante interpretazione fisica di C è possibile sol­ In termini generali, sono le simmetrie dello spazio di stati di qualunque teoria

tanto entro la descrizione quantistica della materia (a differenza della descri­ quantistica del campo che opera con uno spazio-tempo piano e tiene conto delle

zione non-quantistica dello spazio-tempo a cui ci si è l imitati finora ). Dirac interazioni elettromagnetiche e degli spin. Ma la dinamica può non conservare

introdusse il fibrato spinoriale per la necessità della descrizione quantistica re­ le simmetrie dello spazio delle fasi per diversi motivi : a) le leggi stesse del moto

lativistica di una particella carica con spin r /z, ad esempio un elettrone. La possono non essere invarianti rispetto alle simmetrie; b) può avvenire che lefunzione $ di una simile particella, nella teoria di Dirac, è una sezione del fi­ leggi del moto siano invarianti, ma che i fenomeni osservati non lo siano a

brato spinoriale Sp+S. Lo sviluppo di Fourier di questa sezione permette di causa di qualche condizione iniziale o al contorno (non controllate dalla teoria) ;separare due componenti: a frequenza (o energia) positiva e negativa; la loro c) lo stesso a causa di fenomeni d'instabilità (queste alterazioni della simmetria

differenza è assoluta e i nomi, naturalmente, sono connessi a una scelta del­ si è preso a chiamarle spontanee).l'orientazione temporale dello spazio di M inkowski. Quando non era ancora L'alterazione dinamica della simmetria posseduta dallo spazio delle fasi è

formulata la concezione delle antiparticelle (dei «buchi» nella versione origi­ soggetta a una dimostrazione sperimentale. La scelta fra le alternative a ), b),naria), si riteneva che solo le sezioni a frequenza positiva avessero significato c) (o una loro opportuna combinazione) per spiegare questa asimmetria è di­

fisico. Proprio per questo la comparsa di componenti a frequenza negativa nel­ ventata un conseguente problema della teoria.

le soluzioni dell'equazione di Di rac, che descrivevano l'elettrone nel campo Un esperimento mostra che in quei processi in cui le interazioni elettroma­

elettromagnetico esterno (classico), era considerata un inspiegabile difetto del­ gnetica e forte possono essere considerate indipendenti dalle altre, le simmetrie

la teoria. C e P non sono alterate. Ciò significa che per ogni processo del genere può es­

Dopo la scoperta del positrone (antiparticella dell'elettrone) risultò chiaro sere realizzato un processo «specularmente simmetrico», nel quale le particelle

che l'operatore C attesta una fondamentale simmetria fra particelle e antiparti­ sono sostituite con antiparticelle. La «realizzazione» consiste nel preparare le

celle nella teoria semiclassica di Dirac, e le sezioni del fibrato spinoriale mo­ condizioni iniziali corrispondenti e nel misurare le probabilità degli stati finiti.

dellizzano uno spazio di stati di un unico campo elettrone-positrone. L'indi­ Solo queste probabilità sono P­ (oppure C-) invarianti.

visibilità delle corrispondenti componenti di Fourier riceve una profonda spie­ Nel r957 si scopri che nei processi in cui intervengono interazioni deboli

gazione in una teoria maggiormente conseguente, dove anche il campo elettro­ le simmetrie spaziali e di carica si alterano. Il K -mesone neutro a lunga vita

magnetico è trattato come campo quantistico e il campo dei positroni si sotto­ Kr, è uno stato C- e P-invariante. I suoi due modi possibili di decomposizione

mette a quanti secondari, cosa che permette di tener conto dei processi in cui K>~e+rr v, e K<~e — vr+v, si trasformano l'uno nell'altro per mezzo dell'ope­

il numero delle particelle non si conserva. ratore C. Il rapporto fra le loro probabilità è uguale a r,oo5. Nella decompo­

Simmetria 9z6 9z7 Simmetr ia

sizione dei mesoni K«si alterano anche la P-invarianza, la CP-invarianza com­ non abeliani posseggono un'autoazione che rende molto piu complessa la lorobinata e la T-invarianza. teoria, e i fenomeni osservabili in tutto distinguibili da quelli elettromagnetici.

Le concezioni moderne all'interno delle quali si costruisce la teoria quanti­ A questa descrizione schematica dei campi di gauge occorre aggiungere al­stica del campo che tiene conto dell'asimmetria delle interazioni deboli, si basa­ cuni dettagli e precisazioni. Nei modelli moderni di interazioni forti, i neutronino sull'idea di simmetria di gauge. La sua comparsa si può ancora far risalire al­ e i protoni non si considerano come costituenti elementari, il loro ruolo è as­l'esempio dell'originaria teoria di Dirac. Si ricordi che la costruzione degli spi­ sunto dai quark. Corrispondentemente quei gradi interni di libertà nei cui spazinori era connessa all'introduzione dello spazio delle rappresentazioni del grup­ agiscono gruppi di simmetrie, non sono piu d'isospin. Negli schemi piu sem­po Sl(z, C), ricoprente il gruppo di Lorentz. È lo spazio dei gradi spinoriali di plici e fondamentali svolgono il ruolo principale due gruppi : SU (3)> e SU (g),.libertà. Nel formalismo della meccanica quantistica si assume che lo spazio de­ Il primo mescola quark di tre tipi : è una simmetria approssimata, perché le mas­gli stati di un sistema quantistico isolato sia lo spazio dei raggi complessi (sot­ se di questi quark sono diverse. Il secondo mescola tre colori dei quark: questotospazi unidimensionali ) di uno spazio complesso di Hi lbert, vale a dire, in gruppo si considera ora esatto, e il lagrangiano del campo dei gluoni è invariantelinguaggio matematico, lo spazio proiettivo associato. Se si rappresenta un rag­ rispetto ad esso. Si pone intensivamente lo studio del modo con cui le pro­gio contenente il vettore $ di modulo t, allora $ si può sostituire con e'»yl, senza prietà d'una teoria di gauge non abeliana permettono di chiarire l'assenza spe­cambiare stato. « Il fattore non osservabile di fase» e'» non occorrerebbe conside­ rimentale dei quark in uno stato libero (confinamento del colore). L'introduzio­rarlo, se a ciò non obbligassero i principi di descrizione dell'unione dei sistemi ne del gruppo SU (g)< precedette, propriamente, la postulazione dei quark.quantistici: lo spazio degli stati di un'unione di sistemi è connesso al prodotto Le idee di simmetria di gauge svolsero un ruolo decisivo anche nella for­tensoriale degli spazi di stati originari — operazione che non si può formulare mazione della prima teoria unitaria delle interazioni elettromagnetiche e deboli,soltanto in termini di raggi, finché l'interazione dei sistemi (e anche la statistica la cosiddetta teoria di Salam-Weinberg. Nel loro modello il fotone e tre nuovequantistica) conduce a superposizione. A sua volta ciò rende osservabili effetti particelle S'*, Z , por tatori di interazioni deboli, sono i quanti di un campodi «differenza di fase». di gauge. I bosoni intermedi di K'*, Z non sono ancora stati scoperti sperimen­

La simmetria di gauge dell'equazione di Dirac si manifesta nel fatto che que­ talmente, ma le loro proprietà sono previste abbastanza precisamente ed espe­sta equazione è invariante rispetto a un simultaneo cambiamento del campo rimenti per la loro scoperta sono progettati per i prossimi anni.$(x) col campo e'»' *'yl (x) («fattori di fase indipendenti in punti diversi ») e del Si dirà infine qualche parola sulle statistiche di Fermi e di Bose-Einstein.potenziale elettromagnetico A c o n A — à~S, à = à/àx~ (ciò non cambia le Le particelle, le cui funzioni $ appartengono a una potenza tensoriale pari delcomponenti del tensore F , = à A,— à,A, che corrispondono a un'unica ca­ fibrato spinoriale, vengono dette bosoni; a una dispari, fermioni. Nell 'ultimoratteristica essenziale, locale, del campo). decennio si è cominciato a considerare le trasformazioni di supersimmetria,

Tuttavia l'invarianza di gauge può essere interpretata piu ampiamente: co­ che mescolano fermioni e bosoni. Dal punto di vista matematico ciò conduceme principio che postula la necessità d'introdurre i campi A , in grado di rea­ a considerare varietà sulle quali, oltre alle consuete funzioni, sono assegnatelizzare cambiamenti negli spazi dei gradi interni di l ibertà da punto a punto anche funzioni di coordinate «dispari », antisimmetriche e i gruppi con questedello spazio-tempo. Naturalmente il campo elettromagnetico non fu introdotto coordinate sono supergruppi di Lie. La supersimmetria di gauge si considerain questo modo. Tuttavia il campo portante l'interazione forte (i cui quanti si oggigiorno come principio fondamentale per la costruzione di una teoria unifi­chiamano gluoni ) fu introdotto proprio in questo modo. Inizialmente si os­ cata di tutte 1e interazioni.servò che le forze che uniscono nel nucleo un neutrone e un protone sono quasile stesse e si postulò che, dal punto di vista delle forze nucleari, con «esclu­sione» dell'interazione elettromagnetica, il neutrone e il protone si possono con­ Gruppi e loro azioni.siderare come stati degeneri della stessa particella. Dalla loro superposizioneè possibile costituire uno spazio d'isospin (in ogni punto dello spazio-tempo) z.t. Fsempi e illustrazioni.bidimensionale. Il campo A a va lori nelle matrici(z x z), che può realizzarecambiamenti nello spazio dell'isospin, è introdotto in modo naturale come og­ La maggior parte delle definizioni utilizzate piu avanti è stata data negli ar­getto portante un'interazione. La sua lagrangiana si costruisce secondo il mo­ ticoli «Applicazioni », «Dualità», «Strutture matematiche», «Razionale/algebri­dello della lagrangiana dell'equazione di Maxwell, con una differenza essenziale : c%rascendente» in questa stessa Enciclopedia. Qui non le si ripeterà, ma sem­poiché i potenziali matriciali di A , a d i ff erenza di quelli di Maxwell, non plicemente le si il lustrerà. Sia X un insieme di n elementi, ad esempio (r, z,sono commutativi, per la conservazione dell'invarianza di gauge (rispetto alla ..., n). S„sia l ' insieme dellémpplicazioni biunivoche di X in sé, o trasforma­sostituzione /~e'»$) occorre aggiungere dei termini non lineari all'equazione zioni di X. S„ è ch iuso rispetto alla composizione, la quale è associativa; indi moto, come fu rivelato da Yang e Mills. In termini tecnici, i campi di gauge S~ è contenuta l'applicazione identica e accanto a ogni applicazione esiste l'in­

Simmetria 9z8 9z9 Simmetria

versa. In tal modo S„è un gruppo. Analogamente l'insieme degli isomorfismi a) La struttura dell'insieme delle orbite, la topologia delle loro mutue posi­in sé (automorfismi ) di un oggetto arbitrario in una qualsiasi categoria è un zioni, le orbite di misura massimale e minimale, che attraggono o respin­gruppo (cfr. il citato articolo «Applicazioni» ). Il numero d'elementi, o ordine gono gli insiemi.di $» èn! b) II legame dell'azione con altre strutture, ad esempio una misura su X.

I l gruppo S„è assegnato insieme alle proprie azioni : S„x X~X , (g, x) ~g (x). L'esistenza di misure invarianti, la struttura degli insiemi instabili in­Ogni trasformazione ge S„genera un sottogruppo ciclico ( t, g, g~, ..., g~ '}, varianti.dove h è l'ordine di g. È comodo rappresentare un'azione g su (r, z, ..., n} sotto c) La decomposizione delle rappresentazioni di G in spazi funzionali su Xforma di collezione di cicli di t ipo ( tzg) (y) (g6) ; una simile scrittura indica di diverso tipo (analitici, lisci, misurabili, ecc.).che g(r ) = z, g(z) = 5, g(g)= r, g (y) = g, g (g) = 6 e g (6)= g. I sottoinsiemi di(r, z, ..., n} compresi fra parentesi sono le orbite del sottogruppo generato da Nello studio di questi problemi svolge un ruolo importante la teoria spet­g : sottoinsiemi minimali di X che il sottogruppo trasforma in sé. L'intero grup­ trale degli operatori : la piu importante caratteristica dell'azione di un operatore

po S„agisce transitivamente su X, vale a dire X è costituito da un'orbita. Il sot­ su uno spazio lineare.togruppo di S„che lascia fisso un punto xcX, cioè il sottogruppo stazionariodi questo punto, è isomorfo a $„ , : i l gruppo delle trasformazioni di Xg (x}. Spettro.Se si cambia il punto x, allora il sottogruppo stazionario S (x) si trasforma nelsottogruppo coniugato S (y) : $(y) =gS (x)g — ', dove ge S„è un elemento qual­ Caso a dimensionefinita. Si a L uno spazio lineare a dimensione finita sulsiasi per il quale g (y) =x. Un sottogruppo per il quale coincidono tutti i suoi

campo dei numeri complessi C; A : L~L sia un operatore lineare. Si diceconiugati si dice normale. I sottogruppi normali del gruppo G sono esatta­ spettro di A il sottoinsieme cr(A) c: C che ammette le seguenti descrizioni equi­mente i nuclei degli omomorfismi di G in un a l tro gruppo H: G ~ H . U n valenti :gruppo privo di sottogruppi normali non banali (diversi da tr } e da (G}) sidice semplice. Per n) g il gruppo S„ammette un unico sottogruppo normale a) ) e cr(A) ~1'operatore A — ) id non è invertibile (id : L~L è l ' opera­non banale A„, costituito dalle trasformazioni pari, le quali lasciano invariato tore identico).i l polinomio g (x „— x~) (qui X= (x,> x,> ..., x„ }). Il sottogruppo A„è già b) Xecs(A) ~ esiste un vettore non nullo Ic L tale che A (1) =AL Se l'ul­semplice. tima condizione è verificata, il numero ) si dice autovalore di A, i l vet­

Di nuovo, supponendo X = (x„x „ . . . , x„} è possibile definire l'azione di tore l è un autovettore associato e lo spazio Ker (A — ),.id) l'autospazioS„sullo spazio lineare dei polinomi omogenei F di grado d) t in x i . .. x„ a associato.coefficienti complessi: T~F(x i , ..., x„) = F(g (x i), ...,g — (x„)). Ogni operatore

Nel caso generale degli spazi lineari qualsiasi gli autovalori appartengonoT~ è un'applicazione lineare, e T~„ = T~T> per ogni g, he S„. Una tale azione li­

allo spettro, ma non lo esauriscono necessariamente. Il fatto che ogni elementoneare su uno spazio lineare si dice rappresentazione lineare del gruppo.dello spettro sia un autovalore, nel caso a dimensione finita, deriva dall'esisten­Il gruppo G = Gl(L) di tu tte le applicazioni lineari invertibili g : L ~L , za del determinante: det (A — ) id) come polinomio in X ammette tante radicidove L è uno spazio lineare a dimensione finita su R oppure su C, è uno spazio

t opologico ed è anche una varietà differenziabile. Le applicazioni Gx G~ G, complesse (tenendo conto delle molteplicità) quanta è la dimensione di L e

G x L~L che definiscono la legge di composizione e l'azione, sono morfismi per ogni radice X; il nucleo di A — X„"id non è banale.

delle corrispondenti categorie. In tal modo i gruppi lineari Gl (L) sono il prin­Lo spettro di A è invariante rispetto al coniugio con un arbitrario operatore

invertibile B : A~BAB ' . (Questo coniugio si può considerare come un au­cipale esempio di oggetti gruppo generali in una categoria e di loro azioni ca­tomorfismo del diagramma A : L~L ). Nella classe degli operatori diagona­tegoriali: i gruppi di Lie.lizzabili, cioè degli operatori per cui L si decompone come somma diretta diSi consideri la categoria delle supervarietà differenziabili. I suoi oggettiautospazi, la coincidenza degli spettri implica il coniugio.sono coppie formate da una varietà differenziabile e da un fascio di anelli che è

localmente isomorfo all'algebra esterna di un fibrato di d imensione finita. I Le seguenti importanti classi di operatori sono diagonalizzabili:morfismi sono gli abituali morfismi di spazi anellati. Gli oggetti gruppo in que­ t) Operatori con spettro semplice, cioè aventi tanti autovalori mutuamentesta categoria si dicono supergruppi di Lie. disgiunti quanta è la dimensione di L, Poiché è possibile con una defor­

Il gruppo di Lie G agisca sulla varietà X. Quest'azione può essere un mo­ mazione piccola quanto si voglia trasformare un arbitrario operatore indello d'evoluzione temporale nello spazio delle fasi del sistema, o di azione di un operatore a spettro semplice, ne segue che gli operatori diagonalizza­un gruppo di simmetria. I seguenti problemi relativi alla struttura dell'azione bili costituiscono un aperto ovunque denso nello spazio di tutti gli ope­sono fondamentali : ratori.

Simmetria 93o 93r Simmetria

z) Operatori che conservano il prodotto scalare non degenere, simmetrico strettamente contenuti entro il cerchio unitario. Questi ultimi contribuisconoo hermitiano. (Questi operatori si dicono rispettivamente ortogonali e al comportamento di A"1 con termini tendenti a zero per n~~, mentre i pri­unitari ). Questi operatori costituiscono un gruppo di Lie (quando è fis­ mi determinano il comportamento asintotico del sistema.sato il corrispondente prodotto scalare).

3) Operatori autoaggiunti, cioè operatori con la proprietà (A1,, lz) = (I„Alz),dove (1„1~) è il prodotto scalare in L di uno dei due tipi considerati nel Funzioni di operatori. In co n nessione coi modelli di evoluzione ci si è

già imbattuti in funzioni di operatori del tipo e'4' e A". Lo studio sistematicopunto precedente. Questi operatori costituiscono un'algebra di Lie corri­spondente a un gruppo di Lie. di queste funzioni di operatori negli spazi topologici permette di estendere la

teoria dello spettro al caso infinito. Per i concetti utilizzati piu avanti si veda

La distribuzione dello spettro d'un operatore svolge un ruolo importante l'articolo «Dualità» in questa stessa Enciclopedia, V, pp. t6z sgg.

in numerosi problemi. Piu diffuse sono le applicazioni a equazioni di evoluzione Sia A un operatore L~L, dove L è uno spazio topologico, per definizione

del tipo dl/dt = A1, dove 1 è un vettore di L dipendente dA tempo t. Nel caso sul campo dei numeri complessi. Si tenterà di definire f(A) per una classe didimL = t, l'operatore A è semplicemente il prodotto per un numero comples­ funzioni f piu ampia, estendendola per mezzo di alcuni procedimenti.

a) Chiusura rispetto alle operazioni di anello. Sef(A) e g(A) sono già defi­so X = a+bi e il comportamento qualitativo di ogni soluzione dell'equazione1(t) = e" +~"'1(o) è definito dalla distribuzione di a+bi come segue : il segno cor­ nite, si può definire (@f+ Pg) (A), dove x, Pc C, e (fg)(A) per mezzo delle for­risponde all'evoluzione della grandezza 1: ~1(t) ~ tende a zero per t ~ ~ se mule xf(A)+Pg(A) e f(A).g(A) rispettivamente. In particolare, partendo dal­

la funzione f(x) = x, si può definire p (A) per ogni polinomio in A.a(o, e tende ad ~ per t~~ se a) o. La parte immaginaria b fornisce la fase,o la componente ondulatoria del processo. b) Divisione. Se f(A) e g(A) sono già definite e f(A) è invertibile, si può

Il caso a < o può corrispondere a processi quali la disintegrazione radioattiva,definire (f 'g)(A) = f ( A) g ( A) . I n particolare per R>(x)= (x — j,) l ' ope­

il caso a) o a un'esplosione esponenziale. Poiché le equazioni di evoluzione li­ ratore Rz(A) è definito se A — ) id è invertibile, cioè se X non appartiene al­lo spettro di A: proprio questa definizione di spettro viene assunta al posto dineare sono spesso soltanto descrizioni approssimate di modelli non lineari piu

precisi in un intorno della posizione di equilibrio l = 0, il caso a<o corrisponde a quella usuale. È facile mostrare che sef(x) è un polinomio le cui radici non ap­un equilibrio stabile, a)o non stabile. Il caso intermedio a=o, b+o descrive partengono allo spettro di A, allora f(A) è invertibile.

c) Completamento topologico. È la prima operazione in cui si utilizza essen­la possibilità di movimento ciclico in un intorno del punto di equilibrio.zialmente il passaggio al limite. Si supponga di aver definito f(A) per la fun­Se dimL) t e l ' operatore A è diagonalizzabile, l'evoluzione è il prodotto zione f in qualche anello K. Si supponga che L sia uno spazio normato tale chediretto di un numero finito di processi omogenei del tipo descritto. In partico­A. abbia norma ~~A~~( ~, e che K sia dotato di una norma rispetto alla qualelare la distribuzione di o (A) nel semipiano Rek(o è un indice di stabilità del

baricentro1 = 0, e nel semipiano chiuso ReA(o di semistabilità. Il nuovo feno­l'applicazionef~f (A ) sia continua. Allora questa applicazione si può estendere

meno che si presenta qui è la possibilità che l'operatore A cessi di essere diago­nalizzabile e assuma una radice multipla X. In questo caso, anche per Re X = o, i al completamento K dell'anello K r ispetto alla sua norma. Utilizzando questa

astrazione si può, ad esempio, definire f(A) per ogni funzione continua, sec possibile un movimento di ampiezza illimitata, crescente in modo polino­ n= dimL( ~ e A è d iagonalizzabile, oppure per ogni funzione di A differen­

ziabile n volte in senso ordinario.miale nel tempo, vale a dire il caso semistabile può divenire instabile quando leradici coincidono. Sono possibili altri completamenti topologici ; in seguito si riporteranno solo

alcuni risultati.Essenzialmente si è considerato l'operatore e"' connesso all'equazione di

evoluzione. Un altro problema, la teoria delle catene di Markov, conduce aun'evoluzione con tempo discreto n~A~. In questo problema si considera un Operatori autoaggiunti limitati in uno spazio di Hilbert. Si a ora A un ope­insieme costituito da d stati di un sistema che, in successivi momenti interi di ratore limitato nello spazio di Hilbert H. Valgono i seguenti fatti:tempo, può passare casualmente da uno stato a un altro. La probabilità di pas­ a) Lo spettro di A è un sottoinsieme compatto, non vuoto di C. Lo spettrosaggio dallo stato i allo stato j sia p;, (dipendente solo dalla coppia di stati ). dell'operatore aggiunto A~ ha la formaSi denoti con A la matrice i cui elementi sono p,, Sia 1= (l;) la colonna cherappresenta la distribuzione di probabilità sull'insieme degli stati al momenton = o. Dopo il tempo n si ottiene la distribuzione di probabilità Ani. Gli ele­ b) Sia f(x) una funzione razionale di x, priva di singolarità in cz(A). Alloramenti della matrice A sono non-negativi e la somma degli elementi di ciascuna è definito l'operatore f(A) e il suo spettro ha la formacolonna è uguale a t ; i corrispondenti operatori si dicono stocastici. Lo spettrodi un operatore stocastico è costituito dalle radici dell'unità e anche da numeri o(f(A)) = f(~(A)) = (fP) l ~«(A)).

Simmetria 93z 933 Simmetria

c) Il numero supg) ~ ~ ) ea(A) ) = w(A) si dice raggio spettrale di A. Per nere dei punti del tipo oQ+h, h +o. Un operatore con grafico chiuso si diceogni operatore limitato è uguale a lim ~~A"~~'~" e per uno autoaggiunto a ~~A~(, chiuso. A~ è sempre chiuso e (A~)~, quando è definito, coincide con la chiu­

n-+ ~ sura di A.Lo spettro di un operatore autoaggiunto è reale e, in tal modo, è contenutonell'intervallo [ — ~~A~~, ~~A~~]. Se la funzione razionale f(x) non ha poli nello

Per gli operatori considerati, non necessariamente limitati, s'introduce unageneralizzazione della condizione di autoaggiunzione in alcune varianti non

IIf(A)II= , ma~ If(~)l. equivalenti.Un operatore per cui (Ax,y) = (x, Ay) per x,yc S,, ovvero Ac:A~, si di­

Completando rispetto alla norma corrispondente, si ottiene la definizione ce simmetrico.

di f(A) per ogni elemento f dell'anello C[ — r, r] delle funzioni continue nell'in­ Un operatore per cui Sz ­— Sz~ e A = A~ nel comune dominio di definizio­tervallo [ — r, r], dove r = ~)A~~. ne si dice autoaggiunto. Infine un operatore la cui chiusura è autoaggiunta si

d) Per ogni operatore autoaggiunto A esiste un unico omomorfismo conti­ dice essenzialmente autoaggiunto.

nuo dell'anello P [ — r, r] nell'algebra degli operatori limitati su H: f~ f ( a ) , per Ad esempio sia A l'operatore di prodotto per x in Ls (R, dx) con dominio dicui valgono le seguenti proprietà : t ~ id ; x ~ A ; se f ~ B, allora f ~ B ~ ; infine definizione S~ = $ (R) (funzioni a supporto compatto indefinitamente differen­l'omomorfismo non aumenta la norma. ziabili su R ). Allora A~ è l'operatore di prodotto per x con dominio di definizio­

Si consideri ora un'altra estensione B f — r, r] dell'algebra P..[ — r, r]: essa ne Sz~ ­— (AL~(R,dx) ~ xféLz(R,dx)). Cosi A~ è autoaggiunto, A è simme­consiste delle funzioni boreliane limitate nell'intervallo [ — r, r]. Gli elementi trico ed essenzialmente autoaggiunto.

di quest'algebra si ottengono dalle funzioni continue con un passaggio al li­ In maniera analoga, sia A = d /dx, S~ = S(R), L = L,(R, dx). Allora A ~ =

(Q<mite puntuale.

= ­ d/dx e ~z~ consiste di quelle funzioni la cui derivata generalizzata appar­

e) Sotto le condizioni del punto precedente, è possibile definire l'estensione tiene a L, (R,dx).a B[ — r, r] dell'omomorfismo descritto, con le seguenti proprietà: se (f„) è Gli operatori spesso sono dati con espressioni differenziali ; in questo caso

una successione di funzioni continue, limitate uniformemente, di 8[ — r, r], e non è difficile verificare la simmetria dell'operatore. Se A è simmetrico, allora

f(x) = limf„(x) per ogni xe [ — r, r], allora f(A) = limf (A). essere essenzialmente autoaggiunto equivale al fatto che Ker (A~+i id) = [o) eSi darà un esempio che, come si vedrà piu avanti, è tipico. Si consideri uno anche al fatto che l'immagine di A~+i . id è densa in H. Ad esempio l'operatore

spazio di misura (X, p.) e sia H = L,(X, p.) (si veda l'articolo «Dualità» in que­ i(d/dx) in La(R,dx) è simmetrico. L'equazione (A~+i id) f = o ha soluzionista stessa Enciclopedia ). Ogni funzione a@L (X, p.) definisce l'operatore A di f = c e+* che non appartengono a L, (R, dx) di modo che Ker (A~+i.id) = [o].prodotto per a in H. In questo casof(A) è l'operatore di prodotto per f(a(x)). Di conseguenza A è essenzialmente autoaggiunto.

Operatori autoaggiunti non limitati. Se nell'esempio del paragrafo prece­ Teorema spettrale. Ec cone la variante piu semplice. Siano A A1> 2> ' ' ' ) n

dente si prende per a una funzione che non appartiene a L (X, p,), l'operatore degli operatori autoaggiunti, limitati, a due a due permutabili nello spazio di

di prodotto per essa può risultare definito non su tutto L,(X, p). Ad esempio Hilbert H. Si può allora costruire un isomorfismo di H con L~(X, p) e dellese X = R, p.= misura di Lebesgue, a =x, allora xfeLa(X, p,) non per ogni funzioni a; (x)eL (X ,p.) di modo che A; diventi il prodotto per a;.

fcL (X, p), Utilizzando questo teorema si può definire una funzione a partire da ope­

Si assoceranno questi operatori A, non ovunque definiti, ai loro grafici ratori autoaggiunti; non necessariamente limitati. Piu p recisamente per un

I zc:H®H; il g r a f ico può essere un arbitrario sottospazio lineare algebrico tale operatore A esiste un unico omomorfismo dell'algebra B (R) delle fun­non contenente elementi del tipo o Q+h, h+o. La proiezione di I z sul primo zioni boreliane limitate su R nell'algebra EndH, che porta t in id e gode delle

addendo H si dice dominio di definizione Sz dell'operatore A, che definisce seguenti proprietà :

l'applicazione A : Pz ~H per mezzo della condizione xQ+AxcI'>. a) q)[(t pi)/(t — i)] = (A+i id )(A — i id) — '= B.Si definisce una involuzione t su HQ+H con la formula t(gQ+h)= — hQ+g

e s'introduce l'operatore aggiunto ad A mediante la formula I'z~ ­— comple­ b) Se ~ f„(t)~(C e f„(t)~ f ( t ) per ogni tc R, allora q>(f,) converge forte­mente af.

mento ortogonale a t (I'z). Il dominio di definizione di Sz~ può essere caratte­rizzato come il sottospazio [h ~ il funzionale g~(Ag,h) è limitato su S <). L'u­ La dimostrazione consiste nella costruzione di B come prodotto per una

suale uguaglianza (Ag, h) = (g, A~h) è valida per ge%~, he&~~. funzione misurabile e in un opportuno passaggio al limite.

L'operatore B si dice un'estensione di A,BaA, se l '>AHI'z. La principale Il metodo piu comodo per formulare il teorema spettrale generale consiste

estensione di A è la chiusura, corrispondente alla chiusura del grafico l'z. Tut­ nell introdurre un sistema di concetti connessi alla misura spettrale.1I>'

tavia essa non è sempre definita, poiché alla chiusura di l'z possono apparte­ Sia (A, B) uno spazio con una o.-algebra di sottoinsiemi, contenente X,

Simmetria 934 935 Simmetria

e sia H un o s pazio di H i l bert. Si chiama misura spettrale una funzione Se il gruppo G ha una struttura ulteriore, ad esempio di spazio topologicoX : B ~ End H che verifica le condizioni : o di varietà liscia, è naturale considerare quegli spazi H tali che Gl(H), o una

a) i valori di X sono proiettori ortogonali ;sua parte, sia dotato d i analoga struttura, e limitarsi alle rappresentazioniG~ Gl(H

b) X(E,AEs) = ) (Ei)X(E~) ; A(E,UE~) = À(E,)+X(E~), se E„E ,eB so no (H) che conservano questa struttura e ai corrispondenti operatori d'in­treccio.disgiunti ;

c) se esiste il l imite E = limE„, allora X (E) = s-limk (E„). Una situazione abbastanza consueta si ottiene quando H è uno spazio diX.+ oo Hilbert o di Banach, Gl (H) è il gruppo degli operatori limitati, G è un gruppo

Esempio caratteristico: sia p, una misura o.-additiva su B, H = L.,(X, p.), topologico. Le condizioni sulla continuità di T possono essere di tipo diverso,

X(E) = operatore di prodotto per la funzione caratteristica di E. poiché in un gruppo di operatori si possono introdurre piu topologie.Grazie al metodo di Lebesgue, è possibile definire l'integrale associato a

una misura spettrale; i suoi valori sono operatori. Rappresentazioni di dimensionefinita d'un gruppo ciclico. Sia G = (g" ~ ne Z)Il teorema generale sulla decomposizione spettrale di un operatore auto­ dove g è un generatore del gruppo G. Ogni rappresentazione T del gruppo G

aggiunto A, non necessariamente limitato, può ora essere formulato come se­ nello spazio H è univocamente determinata dall'operatore A = T(g)e H. Se Ggue. Esiste un'unica misura spettrale X sui sottoinsiemi di Borei B, per cui ha ordine infinito, A può essere qualsiasi se G ha ordine finito d all A d, a ora eveA. = f+ x d X(x). Inoltre, per ogni funzione boreliana limitata f su R, f(A) = soddisfso is are la condizione A"= id . Due rappresentazioni nello stesso spazio H,= j+„ f(x) d) (x). corrispondenti agli operatori A, e Az, sono equivalenti se e solo se gli operatori

Se f è misurabile, ma non limitata, si può definire questo integrale come sono coniugati, cioè se A,= BA,B ' per qualche Be Gl (H). Pertanto la classi­operatore con dominio di definizione D>(,() g c H ~f f( x)'dX<(x)(~ ), dove ficazione delle rappresentazioni di un gruppo ciclico infinito coincide con laXs(E) = (X(E) E, E). classificazione degli operatori, a meno di coniugio. Si è già visto che il princi­

Un'analoga caratterizzazione degli operatori autoaggiunti di dimensione fi­ pa e invariante di un operatore, in questa classificazione, è il suo spettro. S'in­Inita come generatori infinitesimali del gruppo unitario è il teorema di Stone. troducono pertanto alcuni concetti di teoria delle rappresentazioni che a questo

Sia (V(t)), tc R, una famiglia di operatori unitari in H, continua rispetto sono connessi. Sia H uno spazio a dimensione finita sul campo C.alla topologia debole degli operatori e tale che V(s+t) = V(s) V(t) per ogni a) Operatori diagonalizzabili. Se A è diagonalizzabile, in H esiste una bases, tc R. Una tale famiglia si chiama gruppo a un parametro. Il teorema di Stone di autovettori di A. Ciò significa che la rappresentazione T: G~Gl (H) si de­afferma che ogni gruppo a un parametro è del tipo (e"-~) dove A è un opera­ compone nella somma diretta di sottospazi unidimensionali. Soltanto la de­tore autoaggiunto. Questo teorema giustifica il fatto che, nei modelli della mec­ composizione in somma H= Q + H ) „ d o ve H),­— (he H ~ A(h) =Ah ), dimH> ­­canica quantistica, l'evoluzione temporale — un gruppo a un parametro di ope­ ),ea(A)

ratori unitari nello spazio di Hilbert degli stati — sia spesso data dall'operatore = molteplicità di X come radice di det (A — x id) = o, ha significato invariante.di Hamilton (A nel precedente capoverso). Per ogni sottorappresentazione T„ c ioè per un sottospazio H, c: H con la pro­

prietà A (H,)c:H„ e s iste una sottorappresentazione T, (cioè un sottospazio

2.3. Rappresentazioni lineari.A-invariante Hac:H ) tale che T = T,Q+ T, (cioè H = H,Q+Ha e l'azione T (g)è somma diretta delle azioni ). Questa proprietà molto importante si dice ridu­

Definizioni generali. Si ano G un gruppo, H uno spazio lineare e Gl(H) cibilità completa della rappresentazione T.

il gruppo dei suoi endomorfismi l ineari invertibili. Si dice rappresentazione b) Operatori non diagonalizzabili. Un esempio di tale operatore è dato da

T del gruppo G nello spazio H un omomorfismo di gruppi T : G~G1(H).Siano Ti e T, due rappresentazioni del gruppo G negli spazi H, e H~ rispetti­ = X id+vamente. Si dice operatore di intreccio o morfismo f : T i~ Ta un'applicazionelineare f : H, ~Ha tale che, per ogni gc G, valga la condizione f o Ti(g) = o piu in generale da un blocco di Jordan= T~(g)of. La rappresentazione T è (algebricamente) irriducibile se nel suospazio non vi sono sottospazi propri invarianti rispetto a tutti gl i operatori

o I o

T(g), gc G. Le rappresentazioni del gruppo G, come oggetti, e gli operatori di B„()) = X id+intreccio come morfismi, costituiscono la categoria delle rappresentazioni di G.

I

Gli isomorfismi di questa categoria si dicono usualmente equivalenze fra le rap­ o o .. . o

presentazioni corrispondenti. In essa si hanno anche somme dirette e prodot­ di dimensione n x n, n> z. Sebbene B„ (X) abbia un solo autovalore X, tutto loti tensoriali. spazio H su cui agisce B„P) non è un autospazio per B„, per n) z. In effetti

Simmetria 936937 Simmetr ia

dim Ker(B„(X) — ), id) = r e il corrispondente autospazio non ha un comple­ irriducibili a dimensione finita. (La dimensione finita delle rappresentazionitamento invariante. In tal modo una rappresentazione di un gruppo ciclico con irriducibili di un gruppo finito segue direttamente dal fatto che ogni vettoreT(g) = B„(X) non è completamente riducibile. h e H è contenuto nel sottospazio invariante g T (g) h ; questa osservazione pre­Si può dimostrare che ogni rappresentazione di dimensione finita di un t e@

gruppo ciclico su un campo algebricamente chiuso è equivalente a una somma suppone che si possa utilizzare l'integrazione-media nella dimostrazione ed an­diretta di rappresentazioni corrispondenti ad alcuni blocchi B~,(X,), dove P,;) che in generale, ma naturalmente ciò non è affatto banale).è lo spettro dell'operatore del generatore T (g). d) Caratteri. Come si è già visto, una rappresentazione di un gruppo ciclico

Su un campo non chiuso la classificazione si complica per il fatto che i punti è semisemplice se e solo se gli operatori sono diagonalizzabili. Inoltre per ritro­dello spettro possono non appartenere al campo. La classificazione delle rap­ vare la rappresentazione, a meno di equivalenze, in questo caso è sufficiente co­presentazioni di gruppo su un campo non chiuso richiede in maniera essen­ noscere gli spettri degli operatori T (g) (o anche di uno solo di essi che sia ge­ziale che si tenga conto dell"azione del gruppo di Galois della chiusura del cam­ neratore).po delle costanti su cui è definito lo spazio della rappresentazione. Questa osser­ Ma lo spettro di un operatore lineare a dimensione finita è univocamente de­vazione è generale e banale. A un livello superiore non è banale il fatto che la terminato quando sono note le tracce di tutti i suoi ordini : in effetti allora, me­classificazione di determinate rappresentazioni di gruppi, quali il gruppo delle diante la formula di Newton, si possono ritrovare le funzioni simmetriche ele­matrici su campi «aritmetici» (numeri razionali, numeri p-adici, ecc. ), è un mentari degli elementi dello spettro e in seguito questi stessi elementi comeproblema duale a quello della classificazione delle rappresentazioni del gruppo radici del polinomio caratteristico. In tal modo si ottiene il seguente risultato.di Galois corrispondente. Si dice carattere y d'una rappresentazione di dimensione finita T del gruppo

Nel seguito, salvo avviso contrario, si avrà a che fare soprattutto con rap­ G la funzione y : G~C: y (g)= Tr(T(g)). Se G è ciclico e T è completamentepresentazioni su C. riducibile, allora T è univocamente determinata dal suo carattere, a meno di

c) 1V1eccanismi di semisemplicità. Si supponga di voler dimostrare la semi­ equivalenza.semplicità di una data rappresentazione T del gruppo G (non necessariamente Entrambi questi risultati sono veri per le rappresentazioni di tutti i gruppiciclico). Ecco una tecnica standard: T è semisemplice se conserva un prodotto finiti, e anche per le rappresentazioni unitarie dei gruppi compatti. Valgonoscalare non degenere simmetrico (o hermitiano ) nello spazio delle rappresen­ sia la riducibilità completa di tutte queste rappresentazioni che la possibilitàtazioni di H, vale a dire se (T(g)h„T(g)h,) = (h„hs) per ogni ge G, h;eH. di ritrovare ogni rappresentazione a partire dal suo carattere.In effetti in questo caso è invariante il completamento ortogonale rispetto a unqualunque sottospazio invariante.

L'esistenza di un tale prodotto scalare viene spesso assunta. Rispetto ad es­ z.4. Alcuni risultati classificatori della teoria delle rappresentazioni.

so tutti gli operatori T (g) saranno ortogonali oppure unitari; da ciò prendononome le rappresentazioni.

Generalità. Sia G un gruppo topologico compatto, G lo spazio delle sue

A volte se ne può dimostrare l'esistenza. Ecco un metodo universale di me­ rappresentazioni unitarie irriducibili (si veda l'articolo «Dualità» in questa

dia: se il gruppo G è finito, allora, qualunque sia il prodotto scalare f (h„h,) stessa Enciclopedia). Per ogni classe di rappresentazioni (unitarie, complesse)in H, se ne può costruire uno invariante ponendo

isomorfe rcc G sia scelto un suo rappresentante ~ : G~U (H ) (gruppo deglioperatori unitari nello spazio di Hilbert H; rc è continua rispetto alla topologia

(h ) ha) = g f(T(g)h) T(g)h~), debole). Lo spazio H ha dimensione finita.IGI ~.a La misura invariante di Haar su G permette d'introdurre lo spazio L~ (G)

Naturalmente il caso non degenere va trattato in maniera separata.delle funzioni a quadrato integrabile. È lo spazio di due rappresentazioni di G:

In tal modo è possibile dimostrare il classico teorema di Maschke: ogni rap­ grazie alle traslazioni sinistre e destre, queste rappresentazioni si dicono rego­

presentazione di un gruppo finito G su C (o su un qualunque campo di carat­lari. Il teorema fondamentale di Peter-Weyl afferma che si ha una equivalenza

teristica che non divide l'ordine di G ) è completamente riducibile. di rappresentazioni L' (G) Q+ H QxH~, inoltre l'azione delle traslazioni sini­vtc (i

Nella categoria dei gruppi topologici compatti la media può essere sosti­ stre (destre) sulle funzioni corrisponde all'azione di G su H (su H~).tuita con l'integrale invariante di Haar. Grazie a ciò è possibile stabilire che In particolare, se G è un gruppo finito, L' (G) può essere identificato con l'a­ogni rappresentazione fortemente continua di un gruppo compatto G nello spa­ nello di gruppo C [G]. Ogni rappresentazione irriducibile di G è equivalente azio di Hi lbert H ammette un prodotto scalare invariante, la cui norma defini­sce in H la stessa topologia di partenza. Di conseguenza si dimostra che ogni

una rappresentazione unitaria, e pertanto è contenuta in una regolare (di mol­teplicità uguale alla sua dimensione, o ordine ).tale rappresentazione si decompone in somma diretta (hilbertiana) di addendi Sorgono i seguenti problemi: come descrivere l'insieme G? Come descri­

939 SimmetriaSimmetria 938

vere le realizzazioni concrete di H„i' Come descrivere la categoria delle rappre­ centrali su Q. La restrizione a un gruppo piu piccolo, spesso ancora abelia­

sentazioni (col suo prodotto tensoriale strutturale e le somme dirette ) di cui no, fornisce un utile metodo di classificazione delle rappresentazioni.

[H } sono i generatori> Quali sono le proprietà funtoriali di questa categoria alPiu avanti si descriverà brevemente come queste idee agiscono nel caso dei

variare di G, ad esempio per restrizione al sottogruppo Hc:G o per induzione gruppi connessi e compatti, in particolare dei gruppi di Lie. Prima comunque si

dal sottogruppo (questi due funtori sono aggiunti; si veda il già citato articolo considererà il caso dei gruppi localmente compatti, ma non compatti, che sod­disfino una condizione tecnica importante: sono di classe r. Questa condizione«Dualità»).

Le risposte a questi problemi sono connesse fra loro e non sono univoche;è soddisfatta, in particolare, da tutti i gruppi classici di matrici, come Sl (n,R),

in particolare risultano utili alcune realizzazioni concrete e lo studio delle con­ Sl(n, C), SO(p,q), ecc. In questo caso il ruolo del teorema di Peter-Weyl viene

nessioni fra queste. Seguono qui alcune informazioni sulle rappresentazioni assunto dalla formula astratta di Plancherel: su G esiste una misura dp. (rr)tale che L' (G) si decomponga come integrale diretto di spazi di Hilbert, in ge­dei gruppi finiti G.

P rima di t u t to, in L »(G) = Map(G,C) si in troduce il prodotto scalare nerale di dimensione infinita, f H QxH~dp.(rc). Nel caso piu semplice G = R,ecc G«

(p,$) = g q>(g)$(g)/~G~. Ogni carattere della rappresentazione di dimensione si ha G = R e questa formula riassume l'essenza della classica analisi di Fourier«cC

sulla retta: ai caratteri g„a c R, y, (x) = e"" corrispondono spazi unidimensio­finita T è una funzione centrale su G, vale a dire y(ghg- ) =y (h) per ogni nali che appartengono a L«(R) solo «infinitesimalmente». Fin dal suo inizio lag,hc G. Si denoti con H il sottospazio di tutte le funzioni centrali in L»(G). teoria dei caratteri richiede l'introduzione di funzioni generalizzate, poiché taliAllora i caratteri (y ~ xc G} costituiscono una base ortonormale dello spazio sono le tracce degli operatori unitari a dimensione infinita.H. Da qui segue, in particolare, che l'ordine di G è uguale al numero di classi dielementi coniugati nel gruppo G (h, e h» sono coniugati se h»=gh,g ' per un gopportuno ) . Se G è abeliano, allora G G ~= Hom(G,C~) = (y ~rreG} (si 2.5. Classificazione dei gruppi compatti di Lie.

veda «Dualità»), Inoltre è noto che l'ordine delle rappresentazioni irriducibilidel gruppo G divide l'ordine di G (e anche l'ordine dei gruppi quoziente di G In accordo con il teorema di Hurwitz, R (numeri reali ), C (numeri comples­

rispetto a un divisore abeliano normale ). Insieme a un corollario del teorema si) e H (quaternioni ) esauriscono i campi topologici su R. In ognuno di essi

sulla rappresentazione regolare: P y (id)' = ~G~', questi risultati spesso per­si ha un'operazione di coniugio (l'identità in R ) che permette d'introdurre

vie Gil concetto di forma quadratica (hermitiana, hermitiana per quaternioni ) defi­

mettono di stabilire se una famiglia di rappresentazioni irriducibili del gruppo,nita positiva sugli spazi a dimensione finita K~. (Rispetto a una base opportuna,

costruita in qualche modo, è completa.questa forma è del tipo gx,x, ). Il gruppo delle trasformazioni K-lineari di K"

Sia Fc:G un sottogruppo. La restrizione ReszG„o Res, di ogni rappresen­ che hanno determinante unitario e che conservano questa forma si denota ri­

tazione del gruppo G al sottogruppo F definisce un funtore dalla categoriaspettivamente SO (n), SU(n), Sp(n). Questi gruppi di tre tipi di rotazioni or­

delle rappresentazioni di G alla categoria delle rappresentazioni di F. Questo togonali, detti gruppi classici di Lie, costituiscono la fondamentale dotazionedei gruppi compatti di L ie e tutt i i r imanenti sono loro «parenti prossimi».

funtore è compatibile con le somme dirette e i prodotti tensoriali. Ammettecome funtore aggiunto l'induzione Ind>c o Ind. La forma concreta di Ind su­

Precisamente: a) con esclusione di alcuni fra i primi valori di n, questi gruppi

gli oggetti è la seguente: se F è rappresentabile nello spazio H, allora Ind>G(H) = sono semplici, a due a due non isomorfi, e hanno gruppi fondamentali finiti ;

= C[G] Qx H con azione attraverso il fattore sinistro. L'aggiunzione dei fun­ b) tutti i gruppi di Lie semplici e compatti sono esauriti dalle loro coperturee[rf finite, ed anche da una collezione finita di gruppi particolari ; questi ultimi han­

no realizzazioni canoniche sotto forma di sottogruppi chiusi dei gruppi classici.tori si riflette in coniugio dei caratteri delle rappresentazioni rispetto al pro­dotto scalare standard in L' (G) e L'(H). Precisamente, siano y e p i caratteri

Una dettagliata teoria classificatoria, di cui si parlerà piu avanti, completa

eli due rappresentazioni dei gruppi G e F rispettivamente. Allora (y, Ind p)G= questo semplice quadro in due aspetti essenziali: in primo luogo è data una ca­ratterizzazione assiomatica di quella naturale classe di gruppi a cui appartengono

= (Resy,y)rr (formula di reciprocità di Frobenius). In particolare se y e y le serie classiche, e si mettono in luce alcuni elementi particolari di questa clas­sono caratteri di rappresentazioni irriducibili, allora le molteplicità d'inclusione se, che da un punto di vista intuitivo non sono affatto evidenti ; in secondo luogodi y in Indcp e di rp in Resy coincidono. si elabora una tecnica per lo studio strutturale di questi gruppi e delle loro rap­L'induzione viene spesso usata nella costruzione dei caratteri e delle rappre­sentazioni di un gruppo piu ampio, partendo dall'insieme delle rappresentazio­ presentazioni, la quale ha un particolare valore in tutte le applicazioni: la tec­

ni di un gruppo piu piccolo, in particolare abeliano. Ad esempio, in accordonica delle radici e delle decomposizioni radicali.

col teorema di Artin, i caratteri indotti dalle rappresentazioni di tutti i possi­bili sottogruppi ciclici di un gruppo finito generano lo spazio delle funzioni

Simmetria 94o 941 Simmetria

Toro. Il p iu semplice gruppo compatto e connesso di Lie è la circonferen­ Sistemi astratti di radici. Il s i s tema delle radici di un gruppo compatto diza (ze C ~ ~z~= 1}. Il prodotto diretto di n circonferenze si dice toro n-dimensio­ Lie G è un insieme 6nito di vettori nello spazio euclideo L (T)~ (con metricanale. Ogni gruppo di Lie abeliano, compatto e connesso, è un toro. La teoria invariante rispetto alle rappresentazioni aggiunte ). Questo insieme finito pos­strutturale dei gruppi di L ie semplici e compatti si basa essenzialmente sullo siede notevoli proprietà di simmetria, che è comodo assiomatizzare introducen­studio dei tori massimali in essi contenuti. Il motivo di questo fatto si può ritro­ do la seguente definizione di sistema astratto di radici Z nello spazio euclideo E:vare osservando che il gruppo SO (z) delle rotazioni del piano euclideo è essostesso un toro unidimensionale, e che alle decomposizioni di R~" in somma di­ a) Z c:E è un sottoinsieme finito non contenente lo zero e tale che, se ac Z

retta di piani ortogonali corrisponde un toro n-dimensionale in SO (zn), relati­ e ca@Z, allora c = +r.

vo alle rotazioni indipendenti di questi piani. In tal modo, anche non sapendo b) Sia p.cZ e P „ = (y — E ~ (y,a) = o} sia l ' ipersuper6cie ortogonale ad a.

a priori che un dato gruppo è il gruppo delle rotazioni ortogonali da qualche Allora la riflessione rispetto ad essa porta Z in sé.

parte, i tori permettono di catturare le «piu semplici rotazioni». c) Si ponga (a, P}= z(a, P)/(P, P). Allora (a, P}c Z per ogni a,Pe Z.

Ogni sistema di radici di un gruppo compatto di Lie soddisfa queste con­Algebra di Lie. Og ni gruppo di L ie porta con sé anche lo spazio lineare dizioni. Inoltre nello spazio E = P(T)~ a cui appartengono le radici si isola un

sul quale si rappresenta: si tratta dello spazio tangente nell'unità di L( G), e reticolo di pesi A (G) delle funzioni che assumono valori interi nel nucleo dila rappresentazione Ad : G~AutL (G), detta aggiunta, è tangente nell'unità al­ exp in L (T). Tale reticolo è connesso con il sistema di radici come segue :l'applicazione di coniugio x~gxg , x ,ge G. Lo spazio L (G) è anche un'alge­bra di L ie: se con ad si denota l'applicazione tangente a Ad, l 'operazione Ap = g Z„c: A(G)

[x,yj = adx(y) è una parentesi di Lie.A1 = P E E ~(), a}eZ per ogni ac'}~ A(G).

Rappresentazione del toro su un'algebra di Lie. Sia Tc: G un toro. La rap­ La teoria della classi6cazione dei gruppi compatti di Lie si sviluppa ulterior­presentazione Ad del toro T su L (G) si decompone nella somma diretta mente in due parti : dapprima si dimostra che un gruppo è de6nito dal suo siste­

Lp Q+P Ls dove la raPPresentazione di T su Lp è banale e ogni L; è un Piano ma di radici e dal reticolo dei pesi; in secondo luogo queste coppie vengonor =l classificate.

euclideo su cui l'azione di tc T è la rotazione di angolo ztr&t(t). La strutturaeuclidea invariante su ogni L, è univocamente determinata, a meno di un fatto­ Gruppi e sistemi di radici. Si a Zc :E un arbitrario sistema di radici. A par­re scalare, di modo che i S.;(t) sono definiti modZ, ed anche a meno di cam­ tire da Z si costruiscano due reticoli Apc:A, come prima e si scelga un qualun­biamenti di segno, corrispondenti a cambiamenti di orientazione su Ls. que reticolo intermedio di rango massimale Apc:Ac A , . A l lora esistono un

gruppo di Lie G, connesso e coinpatto, un toro massimale in esso Tc: G e unRadici. Og n i t o ro di G è c o n tenuto in un t o ro massimale; ogni sotto­ isomorfismo p : E~L (T)~ che porta Z in Z ( G) e A i n A ( G ) .

gruppo abeliano connesso, contenente un toro massimale, coincide con esso. La costruzione di (G, T) è funtoriale rispetto agli isomorfismi di terneSe T è massimale, allora il sottospazio Lpc:L (G) definito sopra, su cui L(T) (E, Z, A) : gli isomor6smi sono indotti dalle applicazioni lineari di E che por­agisce in modo banale, coincide con L (T) (nel caso generale Lpc:L(T)). Sia tano Z in L' e conservano l'operazione (a, g (non il prodotto scalare, che non èinoltre T massimale. univocamente definito in L (T)).

L'applicazione exp : L (T)~ T è u n o m o mor6smo di g ruppi topologiciR'~ T, dove r = dim T; il suo nucleo è un reticolo, cioè un sottogruppo discreto Classificazione dei sistemi di radici. S e (E„, Z,) e (E», Z») sono due sistemidi rango r in L (T). Le funzioni &,; : T~ R/Z si possono estendere univocamen­ di radici, allora anche (E,Q+E,, Z,UZ,,) è un sistema di radici. I sistemi chete a funzioni, ancora denotate con &, : L (T)~R. Si t ratta di forme lineari che non si possono rappresentare in questa forma sono detti irriducibili. Ogni siste­assumono valori interi sul reticolo di L (T) che è il nucleo di exp. ma di radici si decompone univocamente come somma diretta di componenti

La famiglia delle forme (+&;} si dice sistema di radici Z(G) del gruppo irriducibili.G. Esso non dipende in maniera essenziale dalla scelta del toro massimale: tutti I sistemi irriducibili si possono classi6care come segue. Ogni ipersuperficiequesti sono a due a due coniugati, e il coniugio porta un sistema di radici nel­ di E divide Z in due parti Z+ e Z in modo corrispondente alla decomposizionel'altro. Ad esempio nel gruppo U (n) il toro massimale T è l'insieme delle ma­ in componenti del complemento dell'ipersuper6cie. Si dicono radici positivetrici diagonali diag (exp(zi tix, ), ..., exp(zirix„ )), e le radici sono le differenze gli elementi di Z+. Si distingue in Z+ il sottoinsieme delle radici semplici Il ,x„— x,, r+s. cioè tali che a/ P+y per ogni ),pc' .

Simmetria 94z 943 Simmetria

Il sistema di radici Z si ritrova a partire da un oggetto piu semplice, formato locali (cfr. modello, teoria/tnodello) dei fenomeni della natura. La rappresentazione

da Ii e da tutti i numeri (c<, )), ct, Pe II : ogni biiezione II ~ II ' che conserva matematica dello spazio-tempo, la progressiva messa in luce di «principi di conserva­

questi numeri si estende a un isomorfismo fra i corrispondenti sistemi di radici. zione» (cfr. conservazione/invarianza), la sostituzione dell'antica teoria degli elemen­ti con quella delle particelle elementari (cfr. particella) come premessa per la conce­Infine il numero (c<, g è determinato dall'angolo fra ct e P e dalla cono­ zione moderna della materia e dell 'energ ia, hanno fatto si che le considerazioni in ter­

scenza del vettore di modulo maggiore. Dalle proprietà del sistema di radici si mini di simmetria svolgessero un ruolo serupre piu r i levante sia nella teoria dei quantipuò dedurre che, se c<~ -+(3, gli angoli possono assumere soltanto i seguenti sia nella relatività: del resto, lo studio delle «rotture della simmetria» è oggi uno stru­valori: (o) 9o', ( r ) 6o" oppure lzoo; al lora ~<y~= ~P~ ; (z) 45 oppure 135o; mento essenziale per una teoria unificata (cfr. uno/molti, unità) nelle varie interazioniI~ /Ill = v z-, (3) 3oo oppure r5oo; allora I~l/I>l= W3 fondamentali (cfr. forza/campo, interazione). I, 'elaborazione entro le matematiche

L'oggetto combinatorio (II, (ct, P)) è utilizzato nelle rappresentazioni con si è proficuamente intrecciata a questa evoluzione del pat'adigma fisico, come l'indagine

diagrammi di Dynkin, nelle quali si presenta come un grafo con le seguenti pro­ matematica di quel che è invariante r ispetto a un gruppo di t rasformazioni sta a indi­

prietà : i vertici rappresentano gli elementi di II ; due vertici sono uniti da i spi­ care (cfr. anche applicazioni, dualità, funzioni). I.a t rattazione delle simmetrie a un

goli se i è il numero del punto che nel capoverso precedente descrive l'angolo; notevole livello d'astrazione (cfr. astratto/concreto) nelle varie strutture matemati­che consente infine piu adeguate concettualizzazioni per ogni sistema in cui pare r i­

se c<~)~P~, sullo spigolo corrispondente si traccia una freccia diretta verso P. levante l'idea di generazione ricorsiva (cfr. ricorsività) di una struttura complessa(cfr.Dopo questo teorema di classificazione dei sistemi di radici si può afferma­ semplice/complesso) per mezzo di,un piccolo numero di regole (cfr. formalizzazio­re che la figura 5 riportata nell'articolo «Invariante», VII , p. 9z9, di questa ne, grammatica, logica).stessa Enciclopedia mostra tutti i d iagrammi di Dynkin dei sistemi irriducibilidi radici.

I l legame con i gruPPi classici è i l seguente: rIn = Z(SU(n+r)), Bn=

= Z (SO (zn+ r ) ), C„ = Z (SP (n) ), Dn= Z (SO (zn) ). [I. Ivl. o. e JU. I.M. ].

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t979 Ob odnoj invcncii inganna Sebastj ana Bacha. /K v aprosu o prujscho "denii klassiceskojvenskoj sanatnoj formy), in «Trudy po znakovym sistemam», XI, pp. gy-7o.

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tritt in die philosophische Facultát und den Senat der k. Fricdrich-Alcxanders-Universitàtzu Erlangen, Deichert, Erlangen ( trad. it. in «Annali di Matematica», serie II , X V I I(<889) Pp. 3o7-49).

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s 9bz).

La nozione, in origine piuttosto vaga, di simmetria come armonia di p roporzioni,permea le piu varie manifestazioni culturali (cfr. cultura/culture), dai canoni dellabellezza e della salute del corpo alle produzioni delle arti, dallo studio del vivente (cfr.individualità biologica, organismo, vita) alle immagini (cfr. immagine) del mon­do (cfr. anche cosmologie, universo). Nel contesto della fisica le diverse concezionidella simmetria sono via via slittate dal piano della rappresentazione globale (cfr. lo­cale/globale) delle prime forme di pensiero razionale emergenti dal mito (cfr. mythos/logos) e delle grandi «architettoniche» di idee della metafisica, a modellizzazioni piu

764

Strutture matemat iche.h Press,

'Ct. No t e in t roduttive.

i.r . L 'uso comune del termine e lo strutturalismo.

La parola 'struttura' viene ampiamente utilizzata nelle matematiche, peresempio in locuzioni come 'struttura di gruppo' o 'struttura di spazio topolo­gico'. Questo termine appartiene però a un livello talmente elevato che già diper sé riflette nella sostanza un'astrazione metateorica. È bene allora confrontareil suo contenuto con l'idea piu vaga di struttura che si trova invece nelle altrescienze. Lo scopo di queste note introduttive è proprio quello di delineare taleconfronto.

Il ruolo dello «strutturalismo», come principio metodologico della scienzadel xx secolo, può essere significativamente paragonato a quello dell'«evoluzio­nismo» nella scienza del xix secolo. I concetti della coppia struttura /evoluzioneformano una delle opposizioni fondamentali entro le concezioni razionalistichedella conoscenza, che è a sua volta strettamente legata all'opposizione spazio­tempo. Semplificando al massimo, si può dire metaforicamente che l'evoluzionedel sistema è la sua struttura nel tempo, mentre la struttura è l'evoluzione nellospazio. In realtà la situazione è piu complessa. L'organismo biologico non evol­ve, si sviluppa soltanto. La specie può evolvere ; ma la specie non è il fattorebiologico primario, è un'astrazione, oltre tutto un'astrazione che si riferisce allasfera descrittiva della struttura del mondo vivente del pianeta. Quindi l'evolu­zione biologica non è la storia del mondo vivente, ma la storia della sua struttu­ra. A sua volta, la descrizione strutturale, ad esempio della lingua swahili, nonè la descrizione di una parte o di tutti i fatti linguistici compiuti in un dato lassodi tempo. Essa include la formulazione di regole che operano in un dato momen­to, le quali consentono di costruire testi di una lingua accettabili grammatical­mente, di interpretarli, di confrontarli con le situazioni, ecc. La descrizionestrutturale fissa piuttosto lo spazio delle possibilità che l'elenco delle loro rea­lizzazioni, e il motivo principale per cui tale azione fissante può in generale es­sere svolta consiste nel fatto che lo spazio delle possibilità evolve lentamente,è cioè stabile nel tempo. Quando la lingua evolve, questo spazio cambia; ilcambiamento degli atti discorsivi si compie molto piu rapidamente e non am­mette un confronto diretto con l 'evoluzione.

i.z. Struttura ed evoluzione: loro complementarità.

Già questa breve analisi mostra che i concetti di struttura /evoluzione si tro­vano in tipico rapporto di complementarità alla Bohr (cfr. l'articolo «Dualità»in questa stessa Enciclopedia ) e, come spesso avviene nelle coppie complemen­tari dei principi metodologici della scienza, intere scuole, e tsalvolta anche intere

Strutture matematiche 766 767 Strutture matematiche

epoche, sono legate, nella loro visione scientifica del mondo, a un'esagerata con­siderazione di uno dei principi a detrimento dell'altro, Questo eccesso è tal­volta esplicitamente teorizzato e i suoi vantaggi si pretendono solennemente r.g. Un cenno allo strutturalismo etnologico e linguistico.

confermati da risultati concreti ; talvolta esso è inconscio e può essere ricostrui­ È opportuno qui notare che, analizzando il concetto di struttura, è possi­to solo dallo storico della scienza. Il xix secolo ha proclamato in biologia, geo­ bile individuare fra i suoi innumerevoli impieghi due estremi del significato.logia, linguistica la propria concezione dell'evoluzione in maniera pienamente Il primo si riferisce al riconoscimento di una qualche unità e reciprocità delleconsapevole e, dopo Darwin, si è occupato molto piu dell'evoluzione delle di­ parti che formano il tutto, in applicazione agli oggetti reali della conoscenza o,verse strutture che delle strutture evolventi. Fra i maggiori pensatori che hanno esprimendosi con maggior cautela, in applicazione agli atti di pensiero che for­preparato la svolta verso lo strutturalismo del nostro secolo sono da annoverare mano l'oggetto della conoscenza. Il secondo appare quando viene applicato aiil fisico Maxwell e il l inguista Saussure. costrutti linguistici e simbolici che oggettivizzano l'atto del pensare e sono chia­

All'dba dell'atomismo scientifico Maxwell ha posto il problema di come la mati ad esprimere una concezione teorica degli oggetti della conoscenza.natura, a livello atomico, non conosca evoluzione, e comunque le concezioni La non-assolutezza di questa contrapposizione è evidente giacché l'atto delevoluzionistiche non siano in grado di spiegare l'esistenza né la forma delle leggi pensare che forma l'oggetto è esso stesso oggettivizzato nella costruzione lingui­fisiche oggi note. In particolare Maxwell ha scritto : «Di conseguenza ogni mo­ stica, e inoltre la concezione teorica può diventare, e diventa a sua volta, oggettolecola, in tutto l'universo, porta su di sé il marchio di un sistema metrico tanto di conoscenza a un grado successivo. Questa gerarchia di strutture si manifestapreciso quanto quello del metro delle Archives Nationales o del doppio cubito ad esempio nell'approccio alle concezioni dello strùtturalismo etnologico legatoregale del tempio di Karnak. Non è possibile costruire alcuna teoria evoluzioni­ in primo luogo al nome di Lévi-Strauss. La primitiva attività mitica, secondostica in grado di rendere conto della somiglianza delle molecole, giacché l'evo­ Lévi-Strauss, rappresenta, in misura considerevole, lo strumento logico perluzione sottintende necessariamente un cambiamento continuo, mentre una mo­ chiarire le fondamentali contrapposizioni binarie, «i dati della realtà», e la lorolecola non è capace né di crescita, né di decadenza, né di generare né di distrug­ soluzione dialettica, in particolare grazie a identificazioni diverse, trasposizionigere» [citato in Coulson rq6z, p. 7y6 ]. e mediazioni. D'altra parte la stessa concezione di Lévi-Strauss, nel piu ampio

D'altra parte la grande scoperta di Maxwell è stata quella di introdurre nella contesto dello strutturalismo linguistico e della critica letteraria, può essere sot­fisica un elemento strutturale di tipo nuovo, il campo. Lo studio dettagliato svol­ toposta ad analisi da un teorico della scienza, il quale scoprirà in essa la pre­to da Maxwell sulle equazioni del campo elettromagnetico e la loro interpreta­ senza particolare dei principi costruttivi del testo scientifico che influenzaronozione fisica ha aperto la strada alle concezioni di campo della teoria quantistica nel xx secolo logici, linguisti e matematici.e della gravitazione. Riunite in una cosmologia teorica, queste concezioni hannoportato a una teoria evoluzionistica del mondo fisico (in particolare degli atomi )di una portata che Maxwell non aveva potuto prevedere. D'altra parte la sco­ t.4. Matematica e strutturalismo.

perta dell'invarianza delle equazioni di Maxwell relativamente al gruppo di La matematica, infine, ha recato un contributo particolare all'ideologia delloPoincaré ha condotto successivamente all'unificazione di spazio e tempo in un strutturalismo, costituendo il modello (sia per imitazione sia per repulsione) diunico continuum quadridimensionale. Nelle costruzioni della fisica teorica ciò una disciplina che, mentre è altamente strutturalizzata, crea anche un proprioha significato per lo meno la fusione dei concetti di struttura e di evoluzione, linguaggio descrittivo, potenzialmente di qualunque strutturalizzazione. Tenu­cosa mai avvenuta prima. to conto dell'«apertura di significato» delle espressioni matematiche, piu volte

Lo strutturalismo nelle scienze umane del xx secolo deve a Ferdinand de sottolineata in altri articoli, cioè della possibilità di un ricco spettro per le in­Saussure l'introduzione di alcuni concetti fondamentali fra cui appunto l'op­ terpretazioni concrete, questo linguaggio per descrivere le strutture è diventatoposizione struttura /evoluzione, che Saussure, nel Cours de linguistique générale un modello quasi universale. L'autocoscienza della matematica si manifesta nel­(xgo6-tr), sulla base di materiale linguistico espone sotto forma della nota cop­ la creazione di un modello di se stessa al proprio interno: un'immagine idealepia oppositiva sincronia/diacronia. Le idee di Saussure sulla sistematicità della della matematica come gerarchia di linguaggi logici o dei loro referenti all'in­lingua sul piano sincronico sono state sottoposte a riproduzione industriale qua­ terno di concezioni di teoria degli insiemi o di altro tipo. La scoperta di trattisi di massa e a standardizzazione divenendo, per questa loro qualità, strumento comuni in costruzioni matematiche diverse, la loro reciproca correlazione e ildi lavoro per filologi, linguisti ed etnologi del nostro tempo. loro carattere iterativo hanno prodotto cosi una certa immagine dell'universo

matematico. In questa immagine un ruolo di primo piano è svolto dal concettoconcretizzato e precisato di «struttura matematica», al quale appunto è dedi­cato questo articolo.

Strutture matematiche 768 769 Strutture matematiche

Questa deduzione si compie nei casi piu semplici, come si vedrà in seguito2. Le strutture secondo Bourbaki: principr', generali. nell'esempio dell'aritmetica elementare, all'interno di un sistema simbolico, la

cui potenziale applicabilità al mondo esterno è assicurata dall'interpretazioneoperazionale in termini di enumerazione di oggetti materiali, di aggiunta di una

2.i. Bourbaki e l'emergenza del concetto di struttura matematica. quantità di oggetti materiali a un'altra, ecc. Tuttavia un ben noto paradosso con­L'espressione 'strutture matematiche' è stata introdotta, dotata di contenu­ siste nel fatto che nella maggioranza delle applicazioni reali del simbolismo non

to e divulgata dal gruppo di matematici francesi noti sotto lo pseudonimo col­ ci sono oggetti materiali, né processi fisici che rispondano a queste procedure

lettivo di Nicolas Bourbaki. Il concetto di struttura matematica, insieme a un di enumerazione e di aggiunta, e questi oggetti e processi non possono essere

piccolo numero di astrazioni metateoriche di alto livello (come il «metodo as­ neppure pensati come insospettabili intermediari di un processo fisico concreto.

siomatico»), è stato posto da questo gruppo a fondamento dell'attuale soluzione Per rendere piu chiaro questo pensiero, si consideri un esempio tratto da

del problema dell'unità delle nozioni matematiche. L'idea di struttura matema­ un testo di scienza naturale. «9. Produzione di energia di una pila. Il numero di

tica fornisce la chiave per la comprensione e la consapevole rielaborazione ar­ fissioni prodotte per cm per secondo in una pila è ( f,nv/A) (3,9/7,z), dove i fat­chitettonica dell'universo matematico; il possesso del metodo assiomatico per­ tori sono: la frazione di termici assorbita dall'uranio, la densità dei neutroni,

mette di orientarsi nei suoi spazi infiniti. Per questo, parlando di strutture ma­ il reciproco della vita di un neutrone termico, e la frazione di neutroni assorbita

tematiche, non si può trascurare la descrizione della matematica vista con gli dall'uranio che ha condotto alle fissioni. Assumendo zoo Mev per fissione, dob­

occhi di Bourbaki, benché si possa e si debba tener conto dei cambiamenti di biamo moltiplicare il numero di fissioni /sec cm per zoo Mev /fissione = o,ooo32

prospettiva. erg/fissione per ottenere erg/sec cm». Nell'espressione che ne deriva appare il pro­dotto nv, il flusso. Dovremmo però usare il flusso medio nv, e si può mostrareche per un cubo esso è legato a npv, il flusso al centro, dall'equazione nv =

2.2. Il problema dell'unità delle matematiche, = npv(8/n ). Infine, kW - npv [(8/ri ) V(fi/A) (3,9 x 3,2/7,2) Io ] . S ostituen­Il problema dell'unità della matematica non è nuovo ; si è posto fin dall'epo­ do i numeri appropriati, questa espressione vale approssimativamente (gx

ca in cui la matematica si è configurata come disciplina autonoma. Percorrendo x io» ) npv. Si possono ottenere delle potenze dell'ordine di 2,5 x io kW (ai tentativi storici di r isolvere tale problema, si scopre che le divergenze sono Clinton ) e questo significa che il flusso al centro è approssimativamente di io+".iniziate al momento di definire l'oggetto delle scienze matematiche. Le scienze A Hanford i Russi di neutroni al centro delle pile sono approssimativamente di

naturali si occupano del mondo esterno escludendone, per quanto possibile, io' n /sec cm» [Fermi r945, pp. 53I-32].l'uomo; le scienze umane individuano il posto dell'uomo nel mondo esterno e Si tratta di una breve descrizione di uno dei calcoli tecnologici legati alla

nella società dei suoi simili; ma quali problemi pone la matematica e qual è il conoscenza dell'energia atomica, simbolo del nostro secolo. La semantica ester­

senso delle risposte che essa dà > na di questo testo è molto complessa: collega le astrazioni profonde della fisi­

Non v'è alcun dubbio che una serie di concetti fondamentali della matema­ ca («reciproco della vita di un neutrone termico» ) con le concrete elaborazioni

tica, quali «numero» e «figura», «derivata» e «integrale», risalgano a rappre­ ingegneristiche. Il contenuto matematico, invece, si riduce quasi all'aritmetica

sentazioni della fisica, ma se i teoremi matematici che vi si riferiscono permetto­ elementare; in particolare, per ottenere il risultato finale occorre semplicemente

no un'interpretazione fisica diretta, piu spesso numerose interpretazioni fisiche moltiplicare 8/ir» per (3,9/7,2)3,2, mantenendo due-tre cifre significative delmettono in luce analogie insospettate e affinità tra i vari fenomeni del mondo risultato. Eppure proprio in queste operazioni aritmetiche, che costituiscono l'e­

esterno. Tale constatazione può indurre a considerare la matematica come un sempio piu semplice di deduzione, si riflette, come in una goccia d'acqua, uno

linguaggio ausiliario delle scienze naturali (soprattutto della fisica), che vive so­ dei misteri della scienza matematica: che rapporto hanno con il reattore atomi­

lo in quanto le scienze naturali gli garantiscono un «senso» e un'«applicazione». co le operazioni comuni segnate sul foglio, la moltiplicazione 2 x 9, il riporto

Quasi altrettanto evidente è però anche un'altra particolarità caratteristica dell'avanzo nella colonna successiva, ecc. > Lo svolgimento di questi conti sul

della matematica che induce a considerare con maggiore attenzione la sua pa­ calcolatore rende ancora piu evidente la paradossale assenza di parallelismo fra

rentela con le scienze dell'uomo. Neppure il frammento piu piccolo del linguag­ i processi fisici che avvengono nel corso del calcolo e quei processi fisici il cui

gio matematico ha una funzione meramente descrittiva, nemmeno nelle appli­ risultato o le cui caratteristiche hanno come modello questo calcolo.

cazioni alle scienze naturali. Le premesse possono avere un'interpretazione spe­ Ogni deduzione matematica sottintende la subordinazione di una catena di

rimentale e una giustificazione; le conclusioni possono essere verificate per via inferenze alle regole della logica, la spiegazione di costruzioni linguistiche che

sperimentale o falsificate; ma fra le une e le altre, nel corso della deduzione, che risultano legittime, in breve l'osservanza di alcune leggi di carattere linguistico.

costituisce l'essenza stessa del metodo matematico, avviene qualcosa che non Che rapporto c'è fra queste esigenze di una corretta costruzione del testo e la

sottostà al confronto diretto con una realtà descrivibile. speranza di una verità delle inferenze rispetto al contenuto>

Strutture matematiche 77o 77i Strutture matematiche

z.g. Filosofia della matematica e strutture matematiche. z.4. Il «paradigma» bourbakista.

La filosofia della matematica, esterna rispetto alla matematica stessa, pre­ Una concezione che soddisfa questa esigenza è stata realizzata negli ultimisuppone risposte diverse a queste domande e, di conseguenza, soluzioni diverse quarant' anni proprio dal gruppo Bourbaki. L ' inizio della sua attività si col­al problema dell'unità delle conoscenze matematiche. Il platonismo suppone loca negli anni 'go; nella cerchia dei fondatori rientravano André Weil, Jeanche, come la natura, anche la matematica dell'uomo sia il riflesso prestabilito Dieudonné, Claude Chevalley. Questo gruppo ha una composizione variabile,di un mondo ideale posto al di sopra di entrambi. Il realismo suppone che il soprattutto per l'accordo di ri t irarsi al compimento dei cinquant' anni. Fruttocervello umano, in quanto parte della natura, sia portatore dell'impronta com­ concreto del suo lavoro è il corso in piu volumi sugli Eléments de mathématique,plessa e mutevole di un grande mondo, il che spiega anche la concordanza dei uscito a partire dal rg5g e che conta attualmente alcune decine di volumi, in­nostri processi cognitivi sia all'interno della loro struttura organizzativa sia nel cluse le edizioni ampiamente riviste. In minor numero sono stati pubblicatiloro rapporto con questo mondo. singoli articoli firmati Bourbaki; particolare attenzione merita il famoso lavoro

Proprio i pensatori che hanno usato piu efficacemente la matematica per co­ programmatico L'architecture des mathémattques [ril48], che espone brevementenoscere la natura sono inclini a lasciare senza risposta la questione delle cause i principi fondamentali degli autori. Altra straordinaria produzione di questodi questa efficacia. Lo stesso Maxwell scrive : «Chi mi condurrà in quella regio­ gruppo sono i lavori del seminario Bourbaki, la cui pubblicazione è iniziata nelne ancor piu segreta e nebbiosa in cui il Pensiero si sposa al Fatto, in cui l 'o­ rrl48. Negli ultimi tempi si tengono tre sessioni di seminari l'anno, in febbraio,perazione mentale del matematico e l'azione fisica delle molecole appaiono nella in giugno e in novembre; ogni sessione comprende una mezza dozzina circaloro vera connessione? Non passa forse tale strada attraverso la tana del metafi­ di conferenze, i cui testi vengono preparati in precedenza e pubblicati successi­sico, disseminata delle ossa dei ricercatori precedenti, e verso cui tutti gli uo­ vamente. Attualmente le conferenze pubblicate sono piu di cinquecento. Se glimini di scienza provano disgusto?» [citato in Coulson rg6z, p. 745]. Eléments de mathématique [rggg sgg.] possono essere considerati un corso siste­

Il concetto di «struttura matematica» è il risultato del tentativo fatto per matico universale di scienze matematiche di tipo superiore, che espone i con­raggiungere una meta assai piu modesta di quella che si propone qualunque cetti fondamentali e i teoremi in ordine logico e col dovuto grado di generalità,altra filosofia universale della matematica. Tale meta non consiste nel voler spie­ le pubblicazioni del seminario Bourbaki rappresentano la piu ricca cronaca degligare i successi del pensiero matematicizzato, ma solo nel catalogare e sistema­ ultimi progressi in tutti i campi concreti della matematica. Nello stesso tempo,tizzare i suoi metodi. queste pubblicazioni si differenziano da qualunque rivista matematica ordinaria

Il gruppo Bourbaki fu costituito da professionisti di prim'ordine; la mate­ non specialistica. Poiché i lavori del seminario costituiscono in misura conside­matica vi era considerata dall'interno, nella sua viva integrità e nelle sue nuove revole una selezione ulteriore delle pubblicazioni, la scelta stessa dei temi e latendenze di sviluppo. Un ruolo non indifferente nell'impostazione del proble­ loro formulazione nelle relazioni risultano una chiara espressione del sistema dima sull'organizzazione delle conoscenze matematiche e nella soluzione proposta valori e dell'estetica di Bourbaki. Queste pubblicazioni influenzano l'attività deifu svolto da considerazioni pedagogiche del tutto ovvie. Quando intraprese la matematici forse anche piu degli Eléments, a cui, dopo gli anni studenteschi, cipropria attività Bourbaki era giovanissimo. Un giovane matematico si trova di si rivolge come a un manuale informativo. Una rassegna di matematica rifles­fronte alla necessità psicologica di capire che cosa abbiano in comune, ad esem­ sa nello specchio del seminario Bourbaki è stata pubblicata da Jean Dieudonnépio, la teoria della somma di variabili casuali indipendenti, che gli viene espo­ ['977]sta nel corso di calcolo delle probabilità, e la classificazione delle forme quadra­ Si è ritenuto necessario dedicare un certo spazio alla descrizione di partico­tiche del corso di algebra lineare. L'istruzione universitaria con la sua tradizio­ lari storici legati alla comparsa del concetto di «struttura matematica», giac­nale suddivisione della matematica in analisi, algebra e geometria ha contribui­ ché questo concetto porta in sé il marchio del nostro tempo e non si è ancorato, e in gran parte contribuisce tutt'ora, alla formazione di specialisti ristretti, tanto cristallizzato da diventare impersonale, né è tanto relegato al passato daesperti solo nella formalizzazione di una disciplina e capaci di usare un ristretto presentare un interesse esclusivamente storico. In realtà l'attività del grupponumero di procedimenti per risolvere problemi simili ad altri già risolti. Lo Bourbaki, vista come processo, ha un interesse straordinario per il sociologoscienziato che si forma e che desidera ampliare le proprie conoscenze e svol­ della scienza interessato alla formazione e al primo periodo di vita dei paradig­gere i propri impegni professionali con maggior efficacia ha bisogno di una chia­ mi scientifici nel senso di Thomas Kuhn (cfr. l'articolo «Paradigma» in questara formulazione dei principi generali di costruzione della propria scienza, i quali stessa Enciclopedia). In questo esempio sono visibili molti t ratti caratteristiciagiscano da principi sia organizzativi sia creativi. di tale processo. Purtroppo l'attività di Bourbaki è trattata dai sociologi della

scienza molto meno di quanto meriti; la fonte principale delle informazioni quiriportate sono gli articoli di Halmos [r957] e di Dieudonné [rg6il ]. Halmos di­

Strutture matematiche 772 773 Strutture matematiche

pinge a grandi linee il ritratto psicologico collettivo di una forte personalità po­ riflette il principio della scelta (o generazione selettiva) delle deduzioni utili eliedrica e creativa, l'impazienza e l'acutezza d'ingegno appena attenuata da un produttive rispetto a un oceano di ragionamenti implausibili, anche se formal­vivo senso dell'umorismo. Un ricercatore scientifico deciso a dedicarsi alla de­ mente corretti. Certamente essa non riflette neppure il processo di formazionescrizione di questo fenomeno eccezionale deve possedere notevoli qualità in­ storica concernente la scelta e il cambiamento degli assiomi accettati o la ge­tellettive e coraggio personale. nesi dei concetti fondamentali nei cui termini questi assiomi sono formulati.

Qualunque concezione che tenga conto di queste caratteristiche essenziali pre­

z.5. Metodo assiomatico e pratica matematica. suppone piu o meno chiaramente l'accettazione di un sistema di valori che pre­siedano alla scelta. Se per le tendenze costruttiviste questi principi si riducono

Il concetto di struttura si sviluppa, secondo Bourbaki, sulla base dell'uni­ all'ideale affidabilità dei giochi finitistici combinatori, e per quelle intuizionisti­ficazione di due aspetti sostanziali del ragionamento matematico. Il primo è una che si basano su criteri di convinzione intuitiva non completamente definiti, perrigorosa sistematizzazione dell'attività linguistica della matematica che si espri­ Bourbaki è determinante la fiducia del matematico nel valore e nella fondatezzame nella prevalenza del «metodo assiomatico». Come si spiega dettagliatamen­ di tutto il patrimonio della matematica classica e del suo moderno sviluppo. Unte nell'articolo «Assioma/postulato» di questa stessa Enciclopedia, questo meto­ po' meno preciso è l'atteggiamento di Bourbaki nei confronti del problema deldo si basa sul fatto che il matematico parte da un sistema fissato di premesse mutuo rapporto fra mondo sperimentale e mondo matematico. Come molti al­alle quali applica in seguito una successione di passi logici elementari, che co­ tri pensatori, fra cui i fisici Eugene P. Wigner e Richard Ph. Feynman, Bour­stituisce il metodo deduttivo. Anche l'elenco di questi passi viene catalogato. baki constata che per descrivere i fenomeni della natura, in particolare del mi­Tuttavia, come rileva Bourbaki, « il metodo delle considerazioni, racchiuso nella cromondo, risultano inaspettatamente necessarie le costruzioni matematiche checostruzione di una catena di sillogismi, è solo un meccanismo trasformazionale, compaiono come risultato di una logica interna di sviluppo e che non hanno si­applicabile indifferentemente a qualunque tipo di premesse e che, di conseguen­ curamente una «diretta» origine sperimentale. Bourbaki respinge ogni spiega­za, non può caratterizzare la loro natura. In altri termini, si tratta della forma zione ; è fuori dubbio tuttavia che il periodico inserimento di strutture matema­esterna che il matematico dà al proprio pensiero, lo strumento che la rende in tiche nel mondo delle scienze naturali, soprattutto della fisica teorica, serve agrado di collegarsi a altri pensieri e, per cosi dire, il linguaggio inerente la ma­ Bourbaki da conferma dei principi di valore che ha adottato.tematica, ma nient' altro. Ordinare il vocabolario di questo linguaggio e preci­ L'analisi della matematica classica intrapresa da Bourbaki porta anzitutto asare la sua sintassi significa fare un lavoro molto utile, che costituisce in effetti rivedere ciò che conviene considerare come suo sistema di concetti fondamen­

uno degli aspetti del metodo assiomatico, quello che si può propriamente chia­ tali (dal punto di vista del loro contenuto si dà per scontato che la struttura lo­mare formalismo logico (oppure, come si dice, "logicista" ). Ma, e su questo si gica del linguaggio matematico sia già stata analizzata). Si è già ricordato cheinsiste, si tratta solo di un aspetto, e il meno importante» [1948, ed. 196z p. 37]. nella matematica classica l'idea di «numero reale» appartiene ai concetti fonda­

La sistemazione del vocabolario e della sintassi del linguaggio matematico mentali. La differenza fra l'approccio « logicistico» e l'approccio di Bourbaki sisono state oggetto d'interesse di alcune generazioni di matematici. Le principali può opportunamente rilevare sull'esempio dell'elaborazione di quest'idea. In ma­tappe di questo lavoro sono legate ai nomi di Boole, Bolzano, Cauchy, Dedekind, niera breve e concisa, l'analisi logica di un numero reale porta alla sua «aritmetiz­Cantor, Peano, Frege, Russell e Whitehead, Hilbert, Bernays, Zermelo, Godei. zazione» : si chiarisce che, in qualità di concetto primitivo, è possibile prendereL'incompletezza di qualunque formalizzazione rilevata da Gádel, che si espri­ l'insieme dei numeri naturali col relativo sistema descrittivo di assiomi di Pea­

me nella mancanza d'identità fra deduzione formale e verità, ha portato una no ; quindi una serie di successive costruzioni insiemistiche conduce dai numerischiera di matematici a conclusioni pessimistiche riguardo al senso e al valore naturali agli interi, ai razionali, e infine ai reali (per mezzo delle sezioni di Dede­dell'astrazione matematica fondamentale: l'idea di infinito attuale su cui pog­ kind o del completamento secondo Cantor ). Con ciò l'ana!isi logica termina, segia il concetto di verità. Di fronte al rifiuto di questa idea una delle possibili tutti i pr incipi logici e insiemistici esplicitati durante il suo svolgimento sonoconcezioni positive consiste proprio nel sostenere le proprietà di «meccanismo riconosciuti come veri ; la teoria dei numeri reali può essere quindi separata dal­trasformazionale» della deduzione, il carattere algoritmico, la computabilità e l 'aritmetica e fissata in un corso, come avviene nel classico corso di Landaualtre simili «proprietà meccaniche» del ragionamento matematico. Per questo [ 1930]. Sc pelo l prlnclpl cspllcltail non sono flconosclutl vallcll, possono csscrcNicolas Bourbaki, che sostiene il punto di vista opposto, è costretto a insistere sostituiti da altri; tutto l'edificio delle considerazioni è sottoposto a rielabora­— e con buoni argomenti — sul fatto che queste proprietà meccaniche rappre­ zione e conduce a concezioni alternative dei numeri reali, ad esempio secondosentano solo la parte meno interessante del metodo assiomatico. In realtà l'im­ Brouwer, Heyting oppure Markov.magine idealizzata della matematica come processo generativo di tutte le dedu­ L'analisi secondo Bourbaki segue un altro progetto. Si studiano le proprietàzioni formali derivanti da un sistema accettato di assiomi non è semplicemente dei numeri reali che sono utilizzate ad esempio nelle dimostrazioni dell'analisilontana dalla realtà, ma non coglie un aspetto essenziale della realtà stessa: non classica. Si scopre che queste proprietà si suddividono in modo naturale in tre

Strutture matematiche 774 775 Strutture matematiche

gruppi nettamente distinti (si tornerà su questo argomento in seguito, nella de­ piu generale in cui tuttavia l'intuizione che l'ha generata non trova nutrimento.scrizione delle «strutture generatrici» ) : Ad esempio la conoscenza delle proprietà topologiche dei numeri reali in quan­

a) Proprietà algebriche. Ne fanno parte le leggi per la somma e il prodotto : to tali, prescindendo dalla concreta topologia reale, conduce all'idea di chiarireassociatività, commutatività, distributività... tutti i numeri r ispetto alla se nell'insieme dei numeri razionali non vi siano altre definizioni di «vicinanza»

somma e tutti i numeri diversi da zero rispetto al prodotto formano un che possano essere usate per il completamento di questo campo, diverso dal

gruppo. In particolare sono conseguenze di queste proprietà tutte le iden­ completamento reale. Hensel scopri queste definizioni, le topologie p-adiche;tità «letterali» dell'algebra elementare, tipo il binomio di Newton. Ostrowski dimostrò che oltre a quella reale esse esauriscono le topologie natu­

b) Proprietà di ordinamento. I numeri reali sono dotati di una relazione bi­ rali; e in seguito a lavori di Chevalley e Artin la considerazione congiunta di

naria di ordine, relazione che entra in numerose disuguaglianze e mag­ tutte le topologie è diventata lo strumento fondamentale dell'aritmetica, consi­

giorazioni dell'analisi classica. derata per molti secoli il regno del discreto (cfr. del resto quanto osservato in

c) Proprietà topologiche. Su queste si basano la definizione di continuità questa Enciclopedia negli articoli «Geometria e topologia», VI, pp. 695 sgg. ;delle funzioni, tutte le costruzioni del calcolo differenziale legate al pro­ «Numero», IX, pp. 939 sgg.).cesso di passaggio al limite, la proprietà di compattezza di un intervallo Va sottolineata una particolarità dell'analisi, qui brevemente tratteggiata.

chiuso, ecc. Passando dalla considerazione di un oggetto concreto — i numeri reali — allaconsiderazione delle sue «proprietà» isolate, ci si trova di fronte all'alternativa

Con ciò è chiaro che ciascuno dei tre gruppi di proprietà non è specifico di come intendere queste proprietà: come espressioni puramente linguistiche,della sola teoria dei numeri reali: ciò che è specifico è soltanto che tutti e tre o in modo estensionale, come classe di oggetti insiemistici dotati di queste pro­sono imposti contemporaneamente sul medesimo insieme (cfr. del resto quan­ prietà? Nell'articolo «Insieme» di questa Enciclopedia si è cercato di spiegareto osservato nell'articolo «Calcolo» di questa stessa Enciclopedia, II, pp. 393, che in realtà vanno considerati in modo complementare entrambi gli aspetti.396 e 4I7-I8 ). Si consideri, ad esempio, un insieme astratto con due leggi di Nella matematica contemporanea l'aspetto concettuale si esprime nel linguag­composizione, somma e prodotto, che siano commutative, associative, distri­ gio piu o meno intuitivo della teoria degli insiemi ; il formalismo linguistico dellabutive e che costituiscano un gruppo rispetto alla somma in tutto l ' insieme e teoria degli insiemi precisa le rappresentazioni intuitive e, a loro volta, le co­rispetto al prodotto in tutti gli elementi diversi dallo zero del gruppo additivo. struzioni util i che vengono selezionate all'interno di questo formalismo sonoUn tale insieme si dice campo o corpo (astratto ). Il campo o corpo ha nume­ definite da considerazioni intuitive. Per questo le ulteriori considerazioni sullerose proprietà algebriche comuni ai numeri reali e, in particolare, in esso si ve­ strutture si condurranno in termini di teoria intuitiva degli insiemi, sottinten­rificano le identità dell'algebra elementare. Ma una simile classe di oggetti con­ dendo una loro possibile formalizzazione.tiene anche campi del tutto diversi: i numeri razionali, algebrici e complessi, icampi finiti di Galois, i campi di funzioni razionali in uno o piu argomenti, ecc.

z.6. Strutture fondamentali secondo Bourbaki: un esempio.(si vedano gli articoli «Applicazioni» e «Razionale/aigebric%rascendente» inquesta stessa Enciclopedia). Se poi il concetto di campo si riduce immediata­ La seguente esposizione è da considerarsi preliminare : per ulteriori dettaglimente al fatto che su uno stesso insieme vengono contemporaneamente impo­ si veda il ) 3, mentre per i concetti fondamentali qui utilizzati, ma non definiti,ste due strutture di gruppo commutativo, è chiaro che piu fondamentale risulta si vedano gli articoli «Applicazioni» e « Insieme» in questa stessa Enciclopedia.il concetto di gruppo, che in genere deve essere studiato dettagliatamente pri­ Si segue qui il Fascicule de résultats di Bourbaki [r939].ma di considerare i campi. Infine, un gruppo è un insieme con una legge di Si ricordi che se è data una famiglia di insiemi S, è possibile costruire nuovicomposizione binaria dotato di proprietà particolari (associatività, esistenza del­ insiemi a partire da essa, considerando l'insieme delle parti degli elementi dellal'unità e dell'elemento inverso), e lo studio dei gruppi dev' essere preceduto dal­ famiglia e il prodotto diretto di elementi della famiglia in un ordine definito.lo studio delle proprietà delle leggi di composizione, che sono dotate di un minor Aggiungendo questi alla famiglia originale si possono ripetere le stesse opera­numero di condizioni. zioni e cosi via. Si indichi con 5 (83) la famiglia massimale ottenuta in tal modo

L'utilità di quest'approccio si basa sul fatto che, diminuendo la quantità di e la si chiami scala d'insiemi di base S. Ad esempio partendo da una base diproprietà iniziali assunte per gli oggetti, aumenta la quantità di oggetti che rien­ tre insiemi S = (M, N, P), al primo gradino della scala si ottiene la famiglia ditrano sotto la stessa considerazione e, liberandosi dall'ipnosi delle proprietà par­ quindici insiemi: M, N, P; J (M), J(N), J(P) ; Mx M, N x N, Px P; Mx N,ticolari di una situazione concreta, si comincia a vedere la profonda generalità M x P, N x P; N x 3f, P x M, P x N. Ogni elemento R della scala 5($) è as­e l'analogia fra oggetti matematici apparentemente indipendenti. Si facilita il segnato quando si indica la successione di operazioni fondamentali che occorrepassaggio di un'idea da un campo all'altro, giacché una considerazione suggeri­ applicare agli elementi della base 83 per ottenere R; questa successione si diceta dalle particolarità di'una situazione può essere applicabile a un caso molto schema di costruzione.

Strutture matematiche 776 777 Strutture matematiche

L'osservazione fondamentale di Bourbaki consiste nel fatto che gli usuali r~ che definisce la struttura (per lo meno se la teoria è formalizzata in un lin­concetti matematici, come gruppo, insieme ordinato, spazio topologico, ecc. pos­ guaggio del prim'ordine). Oppure può avvenire che gli assiomi di una datasono essere definiti dai seguenti dati : a ) una base S ; b) un elemento o di uno struttura la determinino univocamente a meno di isomorfismi (si veda piu avan­degli insiemi N della scala $(J3) ; c) alcune condizioni su questo elemento cr: ti). Da un punto di vista logico questa possibilità è considerevolmente piu sot­gli «assiomi». Queste condizioni possono essere espresse da una formula nel tile; presuppone una gerarchia di almeno due linguaggi in quanto, secondolinguaggio formale della teoria degli insiemi, come anche dall'indicazione di Skolem, la teoria del prim'ordine dei numeri naturali, ad esempio, se non è con­quell'insieme di $ (J3) di cui a è un elemento. In questa formula rientrano gli traddittoria, ammette infiniti modelli non isomorfi, e la scelta di uno di essi puòelementi della scala 5 ($). essere effettuata soltanto per mezzo di un l inguaggio piu potente (cfr. ancora

In una tale descrizione sono essenziali i seguenti oggetti: il termine che de­ l'articolo « Insieme»). Senza entrare nel merito di questi problemi va osservatoscrive N e la formula che descrive le condizioni su «r ; gli elementi della base pos­ che è possibile attribuire un significato all'affermazione che i numeri interi, isono essere considerati indeterminati, o variabili; questo termine e la formula numeri reali, la geometria euclidea classica, ecc. sono univocamente determinatidescrivono allora un certo tipo di struttura. L'assegnazione di una base con­ dai loro assiomi. È questo un aspetto caratteristico della matematica classica.creta S e di un elemento concreto o. corrisponde alla scelta di una struttura Infine la maggior parte delle strutture fondamentali di Bourbaki ammetteconcreta di dato tipo. piu realizzazioni non isomorfe, perfino nel senso classico della parola: sono tali

Si illustra ora quanto detto sull'esempio della struttura «spazio topologico». i gruppi, gli spazi topologici, le varietà differenziabili, ecc. Secondo Bourbaki,Le corrispondenti formule e termini saranno descritti nel l inguaggio esteso lo studio di teorie a piu realizzazioni è l'aspetto piu sorprendente che distingueLi Set che comprende in particolare le operazioni J e x , u t i l izzando le con­ la matematica contemporanea da quella classica.suete abbreviazioni di scrittura (si veda il già citato articolo «Insieme»). Labase è costituita da un insieme M, l ' insieme dei punti del futuro spazio topo­

z,7. Strutture «generative».logico. La topologia è data da un insieme di sottoinsiemi aperti di M, e cioèda un sottoinsieme Ta J (M) che si può anche considerare come elemento Bourbaki sottolinea che il metodo assiomatico, nel quale l'unità centrale del­crc J (P(M)). L ' insieme N = J (P(M)) appartiene alla scala $((M}), mentre o l'analisi è il concetto di struttura, si presenta come un metodo creativo, in quan­fornisce la struttura richiesta. Per descrivere la formula degli «assiomi di spazio to permette di osservare analogie esistenti fra teorie a prima vista relative a og­topologico» si scrivano ora nel linguaggio L, Set le consuete componenti verbali : getti diversi. Negli Eléments de mathématique la teoria di ciascuna struttura fon­

damentale viene sviluppata quanto piu è possibile e in maniera conseguente. Ila) M e il sottoinsieme vuoto di M sono aperti : Pi : ge T p, Mc T; matematico che riconosce nel proprio oggetto di r icerca delle strutture fonda­b) l'intersezione di c iascuna coppia di e lementi di T ap p artiene a T : mentali può allora consultare un arsenale già pronto d'informazioni e di metodi

P~ :VxVy(xETR y e T ~ x Bye T ) ; di lavoro su queste. Fra tutte le strutture si distinguono tre gruppi maggioric) l'unione di una famiglia qualsiasi di elementi di T ap partiene a T :di «strutture generatrici», tali che le altre si possano rappresentare come loro

P, :Vx(xc J (T) ~ Qy e T) . derivate. Ne fanno parte:@CS

a) Le strutture algebriche. Sono strutture connesse con varie leggi di com­La formula'6 : P, R Ps RPs è l'assioma di spazio topologico. La coppia (cz, as­ posizione, ossia applicazioni Xx Y ~ Z , come i gruppi, le algebre di Lie, glisioma 'V) definisce il tipo di struttura «spazio topologico». anelli, i campi, ecc. La cristallizzazione delle rappresentazioni relative alle strut­

Tutte le proposizioni derivabili in un l inguaggio del tipo L, Set dai suoi ture algebriche è legata al graduale riconoscimento degli aspetti comuni ai di­assiomi e dall'assioma G appartengono alla teoria degli spazi topologici. Ag­ versi processi di calcolo. Fra le piu note, le quattro operazioni dell'aritmeticagiungendo «nuovi assiomi», vale a dire rafforzando G, si ottiene la teoria di una elementare : somma, differenza, prodotto e divisione. Storicamente il successivostruttura piu ricca. Ad esempio, si può aggiungere ai consueti assiomi di topo­ ampliamento del concetto di numero — dai naturali, interi, reali ai complessilogia l'assioma di separazione secondo Hausdorff, pervenendo alla teoria degli calcolati in modulo, ecc. — si è accompagnato alla scoperta che la forma dell'ap­spazi separati. Oppure è possibile riunire in un insieme due strutture, ad esem­ parato di calcolo (operazioni fondamentali e identità) rimane immutata sebbenepio di spazio topologico e di gruppo richiedendo che siano compatibili, nel sen­ cambino gli oggetti sui quali si conduce il calcolo. Calcoli con matrici e sostitu­so che le operazioni di gruppo siano funzioni continue. Si perviene cosi alla teo­ zioni rivelarono la conservazione di alcune proprietà delle operazioni analogheria dei gruppi topologici. al prodotto (associatività, esistenza di unità ) e la mancanza di altre (commuta­

Può avvenire che gli assiomi di una data struttura siano contraddittori ; in tività). L'analisi del grande apparato algebrico di tutta la matematica ha condot­accordo con Godei ciò equivale al fatto che sia vuota la parte T, definita dagli to gradualmente alla nascita di astrazioni matematiche di due tipi, che sono sta­assiomi di qualche insieme della scala S(,)3) a cui deve appartenere l'elemento te codificate nel xx secolo : il concetto di linguaggio formale e il concetto di leg­

Strutture matematiche Strutture matematiche77l~ 779

ge di composizione astratta su una famiglia di insiemi. Nella matematica attuale zione successiva» degli elementi di un insieme qualsiasi di solito dà maggior ri­entrambi questi aspetti dell'astrazione sono talvolta inseparabilmente mescolati. lievo sia all'essenza delle applicazioni sia ai loro centri nevralgici, dal punto diUn'accurata analisi dei fondamenti mostra la loro complementarità, sebbene sia vista dei critici dell'infinito attuale.possibile ridurre i linguaggi a insiemi con leggi di composizione e gli insiemi Le strutture d'ordine assumono un significato sempre maggiore nei tenta­con leggi di composizione a modelli di un l inguaggio. Bourbaki naturalmente tivi di applicazione della matematica fuori dalla fisica, cioè in biologia e in so­dà la preferenza al punto di vista insiemistico. ciologia. La concezione fisica di «misura numerica» diventa spesso un letto di

La piu semplice legge di composizione è un'applicazione f : EX E~E che Procuste sul quale si dispongono male i massicci dati sociometrici o dello stessoassocia a ogni coppia di elementi (a,b) di un insieme E un terzo elemento genere. Spesso bastano solo valutazioni ordinali, e non è nemmeno detto chef (o, b) e E. Le leggi associative, quelle per cui (ab) c= a (bc), assumono usual­ quest'ordine sia sempre totale. L'assegnazione di un numero agli elementi dimente il nome di «prodotti », dove si è notato f(a,b) = ab. una successione è allora in larga misura arbitraria e la sua elaborazione median­

A volte un motivo piu profondo di importanza della proprietà associativa te formule può portare ad artifici metodologici (cfr. del resto il già citato arti­consiste nel fatto che è associativa la composizione insiemistica di applicazioni, colo «Numero», in particolare il ) 7).cioè il prodotto di morfismi nella categoria degli insiemi. Uno dei piu potenti c) Le strutture topologiche costituiscono infine l'ultima classe di struttureapprocci allo studio delle leggi di composizione non associative sta nella loro ri­ generative. Esse sono legate all'archetipo psicologico della «vicinanza», le cuiduzione a leggi associative: se ad un elemento ac E si associa l'applicazione radici riposano nei meccanismi biologici dell'organizzazione dello spazio percet­ad~ : E ~ E, ad, (b) = ab, allora la composizione di applicazioni ad„sarà associativa. tivo intorno a un centro, coincidente col corpo dell'osservatore. La valutazione

Una legge di composizione Ex E~E, re lativa a elementi di uno stesso in­ della vicinanza del cibo, del ricovero, del nemico è infatti vitale per l'esistenzasieme, si dice interna. Sono utili e s'incontrano spesso anche leggi di composi­ individuale e la continuazione della specie.zione esterne, ad esempio applicazioni F x E~ E o anche F x E~ G. Si dice che Con lo sviluppo della pratica produttiva le strutture di vicinanza si concre­gli elementi di F agiscono come operatori sull'insieme E. Leggi di operatori tizzano in procedure di calcolo approssimato. Poiché i risultati della misura sientrano nella definizione di strutture fondamentali quali moduli su un anello, esprimono con numeri, la topologia nasce prima di tutto come topologia dei nu­spazi vettoriali su un campo, ecc. Il caso in cui l ' insieme degli operatori è un meri reali. Avvicinandosi a quest'idea, la costruzione contemporanea, cioè il con­gruppo e la composizione in F corrisponde alla composizione delle applicazioni cetto di spazio metrico, dà un insieme dotato di una funzione biargomentale det­è il modello matematico fondamentale del concetto di simmetria (si veda l'o­ ta «distanza» con proprietà che generalizzano quelle usuali della distanza nellomonimo articolo in questa stessa Enciclopedia). spazio tridimensionale. Questa costruzione è eccezionalmente utile. Se ne os­

Leggi di composizione lineari, come moduli e spazi lineari, costituiscono i servino le principali diramazioni verso le varie linee di sviluppo della topologia.modelli fondamentali delle idee di teoria della misura e del principio di «linea­ Conservando la struttura euclidea infinitesimale e la dimensione finita si per­rità dei piccoli incrementi» che, insieme alle concezioni topologiche, sono alla viene alle varietà riemanniane. Separando poi il meccanismo algebrico del pro­base dell'analisi matematica, ossia del calcolo differenziale e integrale. Leggi di dotto scalare e rinunziando al fatto che esso sia una forma definita positiva, sicomposizione che definiscono strutture del tipo dei campi e degli anelli rien­ perviene alle varietà pseudo-riemanniane, in particolare ai modelli contempora­trano nella teoria dei corpi di numeri reali e complessi, degli anelli di operatori nei dello spazio-tempo. Conservando soltanto la struttura lineare e la disugua­lineari, nella teoria delle equazioni algebriche (anelli di polinomi e loro esten­ glianza triangolare, ma rinunziando alla dimensione finita, si perviene alle ideesioni), ecc. dell'analisi funzionale. Tuttavia qui non si è ancora rinunziato ai numeri reali.

b) Le strutture d'ordine costituiscono la successiva classe di strutture gene­ Piu tardi nacque la concezione di intorno e d'insieme aperto, cioè di struttu­ratrici secondo Bourbaki. In matematica gli esempi piu importanti sono forniti ra topologica nel suo aspetto moderno. Gli assiomi di spazio topologico secon­naturalmente dai numeri naturali, dai numeri reali e da qualsiasi insieme di nu­ do Hausdorff sono una prosecuzione del «linguaggio s-8» dell'analisi classica.meri reali. L'archetipo psicologico delle strutture d'ordine è l'idea di tempo, Altri aspetti della topologia sono legati al problema della descrizione discretareso discreto oppure continuo. Il motivo fondamentale per comprendere le strut­ delle forme geometriche, per mezzo di invarianti combinatori dei ricoprimenti oture d'ordine fra quelle generatrici è la scoperta dei numeri ordinali e del me­ dei complessi simpliciali, di classi d'omotopia delle applicazioni, di singolarità, ecc.todo di induzione transfinita da parte di Georg Cantor. Bourbaki preferisce uti­lizzare l'induzione transfinita nella forma del lemma di Zorn, la cui formulazio­ z.8. L'«architettura delle matematiche».ne e dimostrazione fanno a meno dell'introduzione dei numeri ordinali. Si puòdiscutere dei vantaggi e dei difetti di questa opzione. L'elegante costruzione de­ Il t ipo generale di oggetto matematico, secondo Bourbaki, è un insiemegli insiemi totalmente ordinati, realizzata dalla teoria di Cantor, è di fatto quasi astratto dotato di struttura. L'architettura della matematica è determinata dallasempre inessenziale per l'induzione transfinita. D'altro lato l'idea di «computa­ gerarchia, dal confronto, dal concatenamento di strutture, a partire da quelle

Strutture matematiche p8o q8r Strutture matematiche

generatrici che formano modelli sempre piu complessi; la specializzazione a agli insiemi ordinati, ai gruppi o agli spazi topologici, consiste in questo: primaesempi concreti, eventualmente numerici, è collegata al caso generale, che com­ di tutto si considera la classe di tutte le strutture del dato tipo, i cui elementiprende questi esempi in un contesto ampio talvolta fino all'inverosimile. Ciò è sono detti oggetti della categoria. Per rendere quanto è dovuto alle difFicoltàevidente in maniera particolarmente chiara nell'esempio della moderna teoria insiemistiche, occorre dare senso alla parola 'tutte' nella frase precedente, con­dei numeri. venendo ad esempio di lavorare in un universo insiemistico fissato, altrimenti

E lecito aflermare che i principi di Bourbaki risultano essenziali non solo ci si trova pericolosamente vicini al paradosso di Russell (cfr. ancora l'articoloperché gran parte della letteratura matematica degli ultimi decenni porta netto « Insieme»). Occorre quindi definire chiaramente i morfismi della categoria. Neiil marchio della loro influenza, ma anche perché nello sviluppo delle scienze na-. casi piu semplici la scelta della classe dei morfismi è evidente e univoca: nellaturali si manifestano tendenze analoghe. Il linguaggio della fisica teorica, con categoria dei gruppi sono le applicazioni insiemistiche compatibili con le leggila sua costante tendenza all'invarianza (o alla «covarianza») del formalismo, che di gruppo, vale a dire gli omomorfismi di gruppo. Tuttavia questa scelta spessoriflette l'indipendenza della descrizione dall'osservatore e da scelte particolari non si presenta né evidente, né univoca. Fra gli oggetti della categoria degli in­di unità, di sistemi di riferimento, ecc., soprattutto dopo l'unione dello spazio siemi ordinati può risultare ragionevole considerare applicazioni strettamentecol tempo in un unico continuo infinito, condusse a considerare le stesse strut­ crescenti, oppure crescenti ma non strettamente. Fra spazi topologici si posso­ture dell'analisi interna dei matematici. Le ricerche di Piaget e della sua scuola no considerare come morfismi le arbitrarie applicazioni continue, ma spesso èsulla psicologia della percezione infantile hanno rivelato la presenza di meccani­ produttivo considerare come tali le classi di omotopia di applicazioni continue.smi biologici, in un certo senso soggiacenti a «strutture generatrici ». Schemati­ Il concetto di morfismo fra oggetti con una data struttura non deriva cosi univo­camente, un'analisi sottile, storicamente realizzata molto tardi, al nuovo livello camente dalla definizione della struttura, ma dev' essere assegnato dall'esterno.riconduce a concezioni prematematiche del tipo «piu /meno», «vicino/lontano», La scelta della definizione dei morfismi è spesso dettata dalla necessità dila cui essenza vitale, non razionalizzata, appartiene al periodo iniziale della vita. adattarla a qualche tipo di costruzione naturale, interessante fra gli oggetti con

la data struttura. Ad esempio nella teoria delle varietà algebriche il punto di vi­z.q. Due cambiamenti di punto di vista. sta classico era essenzialmente «birazionale», in particolare si consideravano

morfismi delle applicazioni che potevano avere singolarità su sottovarietà di di­Ciò nonostante, qualunque particolarità nella formulazione concreta dei mensione minore. Il cambiamento di accento che si verificò con l'introduzioné

principi di Bourbaki può essere storicamente superata. Vanno sottolineati due formale della categoria delle varietà algebriche solo con applicazioni regolari incambiamenti di punto di vista, che si sono prodotti dal tempo in cui nacque il qualità di morfismi si consolidò definitivamente quando fu chiaro che la costru­progetto degli Eléments. Il primo è legato al fatto che Bourbaki sottovalutò le zione delle coomologie dei fasci coerenti ammette buone proprietà funtorialiidee di algoritmo, costruibilità, programma. Non c'è dubbio che oggi il con­ proprio per questa ristretta classe di morfismi.cetto di algoritmo, in una delle sue formulazioni moderne, debba essere colle­ Costruzioni naturali fra oggetti di categorie che si comportavano bene ri­gato a numerose strutture matematiche fondamentali e trovare un posto corri­ spetto ai morfismi furono in seguito dette funtori e il punto di vista per il qualespondente negli Eléments. Il fatto che ciò non sia avvenuto si spiega con moti­ le categorie e i funtori appartengono ai concetti matematici fondamentali, e levazioni storiche e psicologiche. Come si è già ricordato, all'inizio del suo gigan­ costruzioni fondamentali devono essere funtoriali, si diffonde sempre piu. Il ri­tesco lavoro Nicolas Bourbaki era notevolmente giovane. Nello stesso tempo ve­ conoscimento di ciò è legato ai successi della topologia e in seguito della geo­niva creata la teoria delle funzioni ricorsive; evidentemente non era del tutto metria algebrica: il fiorire rigoglioso di queste scienze, cominciato negli anni '5o,chiaro in quale misura questa teoria appartenesse alla matematica e in quale alla ha prodotto una grande influenza sul contenuto e sulla forma della matematicametamatematica, con cui i rapporti dei matematici attivi sono sempre stati tut­ contemporanea. Lo sviluppo di questo periodo è ben documentato nei lavorit'altro che univoci. Ritenendo necessario etichettare le convenzioni del forma­ del seminario Bourbaki, mentre nuove redazioni degli Eléments, con i naturalilismo nella grandiosa Théorie des ensembles[ i954], Bourbaki formulò di fatto il aggiornamenti temporali, riflettono tale cambiamento di punto di vista. Per suaproprio linguaggio di lavoro nel breve Fascicule de résultats [i93g] e in seguito propria essenza esso si accorda perfettamente alle concezioni fondamentali disi disinteressò di queste convenzioni. Per questo una parte essenziale di genuini Bourbaki : la matematica delle categorie rimane insiemistica e la generalità dellerisultati matematici della metamatematica fu trascurata, inclusa una delle strut­ considerazioni, che suggerisce analogie fra teorie, è raggiunta in misura ancorature fondamentali. maggiore di quando ci si limita alle strutture. Inoltre, come si è tentato di di­

Il secondo cambiamento di cui sarebbe in linea di principio possibile tener mostrare negli articoli «Dualità» e «Applicazioni» di questa Enciclopedia, i pun­conto in successive edizioni degli Eléments è piu recente e legato alla compren­ ti di vista categoriale e strutturale si trovano in un rapporto di complementa­sione del ruolo delle categorie (cfr. ancora «Applicazioni »). Va ricordato che il rità reciproca abbastanza complesso : essi non si escludono, ma si arricchisconopunto di vista categoriale applicato alle strutture di un dato tipo, ad esempio l'un l'altro.

Strutture matematiche 78z 783 Strutture matematiche

nozione di costanza è relativa, essendo derivata percettivamente o concettual­

z.ro. Ancora sul punto di vista categoriale. mente come caso limite della variazione, e l'indiscusso valore di queste nozioninello spiegare la variazione è sempre limitato da questa origine. Oiò è vero in

Negli ultimi anni il punto di vista categoriale ha cominciato a esercitare una particolare per la nozione di insieme costante e spiega cosi perché tanta parteprofonda influenza non solo sulla costruzione della matematica complessiva­ di teoria intuitiva degli insiemi si trasporti in qualche forma nella teoria deglimente, ma anche sulla concezione dei suoi fondamenti. In una serie di lavori insiemi variabili» [r973, p. ?36].Lawvere e la sua scuola hanno sintetizzato le idee di alcune tendenze sorte inmaniera completamente isolata : dalla logica, in particolare intuizionistica, dallateoria delle topologie astratte di Grothendieck, dalla teoria delle probabilità e, Le strutture secondo Bourbaki: descrizione formale.in una certa misura, dalla fisica teorica. Vale la pena di descrivere brevementeil senso generale di questi lavori. In questo paragrafo si daranno le definizioni fondamentali e le costruzioni

Nella teoria delle categorie esiste la costruzione generale di «relativizzazio­ legate al concetto di struttura secondo Bourbaki. Negli Eléments de mathéma­ne» : se sono dati una categoria C ed un suo oggetto B, si può considerare una ticlue queste de6nizioni sono esposte soltanto al livello del linguaggio formalenuova categoria Cz «di oggetti relativi », o «oggetti su B». I suoi oggetti sono della teoria degli insiemi. Per sempli6care il passaggio al punto di vista dellei morfismi X~B, dove X è un oggetto variabile di C, e i morfismi di X ~ B categorie e dei topoi, descritto piu avanti, si darà un'interpretazione parallelain V~ B sono costituiti dai mor6smi X~ V che commutano con le applicazioni utilizzando il concetto di universo.«strutturali» di X e di V su B. Se Fns è la categoria degli insiemi, è comodorappresentare gli oggetti della categoria Ensn come famiglie di insiemi X> ­­ 3.r. I l l inguaggio formale.= f — '(b) parametrizzate dai punti be B. In questo senso Ensz arricchisce l'u­suale categoria degli insiemi. In tal modo si possono relativizzare tutte le rela­ Si consideri fissato un linguaggio formale della teoria degli insiemi, del tipozioni e le costruzioni di teoria degli insiemi: ad esempio la relazione di inclu­ descritto nel ) z dell'articolo « Insieme» di questa stessa Enciclopedia: L, Set.sione Xc: Y in Ens, che da un punto di vista logico può essere solo veri6cata Per economia di scrittura, e per avvicinarla all'usuale standard matematico, sioppure non veri6cata, corrisponde ora a un piu sottile valore di verità: il sot­ lavorerà su una variante allargata del linguaggio, nel quale si abbiano terminitoinsieme [be B ~ X>c: Y>] c B come elemento dell'algebra di Boole dei sottoin­ del tipo J (x) (l'insieme delle parti dell'insieme x ) ; x xy (prodotto diretto deglisiemi di B. Sono possibili numerose varianti di questa interpretazione. Ad esem­ insiemi x e y ), [y ~ P(y,y„. . . ,y„)] (insieme di tutti gl'insiemi y che verificano lapio nella categoria degli «spazi topologici su B» è naturale talvolta considerare condizione P, formulata per mezzo di insiemi «parametrici » ausiliari y„...,y„ ), ecc.i mor6smi X~B non come famiglia di 6bre, ma come fascio delle sezioni localidi questo morfismo su tutti i possibili insiemi aperti di B. A sua volta questo 3. 2. L'universo.fascio può essere dotato della struttura di fascio di gruppi, o di spazi topologici,ecc. Dal punto di vista logico queste costruzioni costituiscono un potente me­ Si fissi un insieme 11 (i cui elementi sono pure insiemi) soddisfacente le se­todo per la formazione di modelli non standard di teorie classiche, nelle quali guenti condizioni :la motivazione «non standard» è intuitivamente ed eccezionalmente chiara: l'in­clusione di un insieme di parametri variabili della teoria B. L' interpretazionc a) se xe ll e yex, allora ye%.;di B come parametro temporale è possibile nello spirito dell'intuizionismo, con b) se x,yc 1l, allora [x,y}e ll;cui si realizza l'inclusione inaspettata del formalismo intuizionista nella mate­ c) se xe%, allora J (x)e%.;matica classica, d) se (x„) è una famiglia di elementi di l i , indiciata dall'insieme Ia%l, al­

Si riassumerà ora la parte non formale delle considerazioni qui esposte. La lora tJ x„e%..dialettica dell'opposizione struttura/evoluzione rifiette la generale opposizioncscientifica essere/divenire. Il successo della teoria degli insiemi come linguaggio Un insieme %1 di questo tipo sarà detto universo e l'interpretazione stan­universale della matematica e della concezione delle strutture matematiche come dard del linguaggio L, Set sarà considerata in "ll. Si consideri l'universo ll co­realizzazione concreta di questo linguaggio ha segnato uno spostamento d'ac­ me modello intuitivo della teoria degli insiemi. (Per le costruzioni e una de­cento sui primi elementi di queste opposizioni. Le concezioni relative sempre scrizione piu dettagliata degli universi cfr. ancora « Insieme», ) g). Utilizzandopiu difFuse nei fondamenti, gli assiomi categoriali, ecc. segnano il movimento una variante intuitiva degli assiomi di Zermelo-Fraenkel (cfr. l'articolo «Assio­inverso, quando «divenire» e «incompiuto» sono considerati primitivi. Le pa­ ma/postulato») si può mostrare che qualunque universo %l è chiuso rispetto allerole di Lawvere esprimono chiaramente questo cambiamento di valori: «Ogni seguenti costruzioni: passaggio alle parti di un insieme di il , quoziente rispet­

Strutture matematiche 784 785 Strutture matematiche

to a una relazione di equivalenza, formazione delle n-pie ordinate, costruzione b,+o allora A;= A«x A>,. L'ultimo termine A~ è il risultato dell'applicazionedi somma e prodotto di famiglie di insiemi di % indiciati da elementi di %l, dello schema S ai termini di base E„. . ., E~. L' interpretazione del linguaggioecc. Inoltre ogni applicazione x~y dove x,ye% (o piu precisamente il suo formale nell'universo %1 permette di passare da una definizione all'altra.grafico, si veda l'articolo «Applicazioni») appartiene a %. Considerando queste In altri termini, assegnare uno schema di costruzione non consiste soltantoapplicazioni come morfismi, con l'usuale composizione insiemistica, è possibile nell'assegnare un funtore di tipo J (J (X) x J (Y)), ma anche nell'assegnare unatrasformare ll in una categoria (cfr. ancora «Applicazioni» ). successione per la sua costruzione per mezzo di passi elementari. L'inclusione

di questa successione nella definizione è comoda per dare costruzioni induttive

3.3. L'universo come categoria. e dimostrazioni; pertanto uno stesso funtore può essere descritto da schemi di­versi. Ad esempio conducono a J (J (X) x J (Y)) gli schemi (o, r), (o,z), (r, o),

La categoria %. è dotata, oltre che degli usuali funtori id : 11~% e Hom, (3,o), (z,o), (4,5) oppure (o,z), (o, r), (r,o), (z,o), (4,o), (5,3).del funtore prodotto diretto e di una particolare applicazione sugli oggettiJ : 11~ 1l (insieme delle parti ). Si può trasformare in un funtore in due modi. 3.6. Relazioni trasportabili.All'applicazione f : X~ Y si può associare l'applicazionef ~ : P(Y) ~ J(X) chea ogni parte di Y associa la sua controimmagine in X; in tal modo J diventa Siano xr, ..., x„, $r $„ let t ere dell'alfabeto di un l inguaggio, Ar , A ~

un funtore controvariante. Si può anche associare a ogni parte di X la sua im­ termini non contenenti le lettere x; e $, (r <i ( n , r < j < p ) . Si scelgano deglimagine in Y: f~ : J (X) ~ J (Y). In tal modo J diventa un funtore covariante. schemi di costruzione a (n+m) termini S„. . . , S~ (nella variante linguistica) eSe f è un isomorfismo (vale a dire un'applicazione biunivoca di insiemi ), allora si consideri la relazione (formula) T(x„ . . . , x„, $r, $ >) ' $rF-$] (xr x „ A u

f ~ e f» sono isomorfismi inversi J (X) ~ ~J (Y). )R...R$pFS„ (xn,., X Ar ..., A ) . Una simile relazione si dice tipifi­Un ruolo importante è svolto anche dall'applicazione f i : P(X) ~ J (Y) che cazione delle lettere $„..., $„. Se è assegnata un'interpretazione del linguaggio

associa a ogni parte Zc X il sottoinsiemef r(Z) c Y costituito da quegli elemen­ nell'universo %1, i valori di x; sono detti insiemi fondamentali elementari e quelli

ti ye Y tali che f ' ( y ) sia interamente contenuto in Z. di A, insiemi ausiliari elementari.Sia R(xr, , X $r • $>) una relazione (formula) comprendente alcune fra

3.4. Schemi di costruzione nell'universo.le lettere x,;, $; e, eventualmente, altre lettere. Si scelgano due interpretazionidel linguaggio nelle quali A„ . . . , A~ assumano gli stessi valori (che si indiche­

Dai funtori id, x e J (nell'estensione controvariante o covariante ) è pos­ ranno ancora con A; ), e x rispettivamente i valori x' e x". Si supponga inoltresibile, per mezzo della composizione, formare nuovi funtori, ad esempio: che siano date delle biiezioni f; : x'~x" .. Per la prima interpretazione sia verifi­

J~(id x id x J ) :% x "ll x 1l~@l : (x,y,z) ~ l ( x xy x J (z)). Ogni funtore S che cata la relazione di tipificazione T (x,', ..., x,'„, $,', ..., $' ). Si ponga $," = immaginesi può ottenere in questo modo si dice schema di costruzione di scala. Sosti­ di $,' nelle applicazioni f, : x,'~x,", id : Ar.~ Az estese a S„. .., S„con la defini­tuendo al posto degli argomenti di uno schema di costruzione qualche insieme zione covariante di J. A l lora sarà verificata anche la relazione di tipificazione

di %1, si ottiene il risultato dell'applicazione di questo schema di costruzione ai T(xr ) x~ ~ $y y $p ). Se, sotto queste condizioni, le relazioni R (xr p x~

dati insiemi. Sia B un insieme di elementi di %. Il p iu p iccolo sottoinsieme $r $p) e R (xr X $r $> ) sono equivalenti, allora si dice che R è unacontenente B e chiuso rispetto alle applicazioni ai suoi elementi di tutti gli sche­ relazione trasportabile rispetto alla tipificazione T.

mi di costruzione si dice scala di insiemi di base B. Piu precisamente questa L'equivalenza di relazioni si può qui intendere in un senso della teoria for­definizione si può formulare in maniera comoda nei termini di un l inguaggio male degli insiemi anche piu forte di quello iniziale. Ad esempio, per la tipifica­formale. zione di $,ex ,R$sex, la relazione $r =$a è trasportabile, mentre la relazione

xr = xa non lo e.

3.5. Schemi di costruzione e linguaggio formale.3.7. Tipi di struttura.

Uno schema di costruzione a m-elementi è assegnato da una successione dicoppie di numeri naturali (ar br), ..., (a~,b~) soddisfacenti le seguenti condi­ Un tipo di struttura è descritto da un testo Z nel linguaggio della teoria degli

zioni: a) se b; = o allora r <a;<i — r ; b) se a,+o e b;+o allora r (a„<i — r e insiemi, il quale è costituito dai seguenti sottotesti:

r <b;<i — r. Un simile schema di costruzione si applica induttivamente a una a) una collezione non vuota di lettere x„ . . . , x„, $ appartenenti all'alfabetosuccessione di n termini E„. . . , E„del linguaggio, dove n = max b; (rispetto alle del linguaggio, fra le quali non vi siano simboli di costante ; queste letterecoppie (o, b;)) e fornisce una successione A„..., A d i termini di questa teoria. devono essere a due a due diverse ; x„..., x„denotano insiemi elementariPrecisamente, se a, = o allora A ; = E>,, se b; = o allora A; = q>(E„) ; se a; po e della struttura ;

Strutture matematiche 786 787 Strutture matematiche

b) una collezione di termini del linguaggio A„. . . , A~, non contenenti le let­tere x;, s. Questa collezione può essere vuota; i termini denotano insiemi 3.9. Gruppo.ausiliari della struttura;

c) una tipificazione T (x„ . .., x„, s) della forma se S (xr, ..., x„, A„..., A ) Anche qui si ha un insieme elementare x e nessun insieme ausiliario. Èdove S è uno schema di costruzione a (n+m) termini; comodo dare la t ipi ficazione per una terna d i e lementi s= (e,m,i), dove

d) una relazione R (xy x„s) trasportabile rispetto alla tipificazione T. eex,me J (x x x x x),ia J(x x x) sono rispettivamente l'unità, il graficodellaleg­ge di composizione (a, b) ~ ab e il grafico dell'applicazione di inversione a ~ a r.

La teoria formale del tipo di struttura Z è la collezione di formule logica­ Gli usuali assiomi di gruppo, associatività, assiomi di unità e dell'elemento in­mente derivate dagli assiomi della teoria degli insiemi e dall'assioma ulteriore verso, si scrivono senza difficoltà nel linguaggio formale. La loro trasportabilitàTRR. è oltremodo evidente.

Sia data un'interpretazione della teoria formale del tipo di struttura Z nel­l'universo intuitivo degli insiemi (o in una teoria formale piu forte ). Xn ...,X„, S siano i valori delle lettere x„ . .., x„, s in questa interpretazione (cioè in­

3 ro Strutture derivate

siemi o costanti di una teoria piu forte ) e siano A,', ..., A' i valori dei termini Partendo da alcuni tipi di struttura assegnati è possibile ottenerne di nuoviA„ . . ., A , S i d irà allora che S fornisce una struttura di tipo Z alla famiglia di per mezzo di una serie di costruzioni spesso utilizzate. Ne fanno parte :insiemi elementari X„ . . . , X„ e d i insiemi ausiliari A~, ..., A~. La condizione Tè una caratterizzazione tipica del tipo di struttura, mentre la condizione R un a) unione di piu strutture nello stesso sistema di insiemi fondamentali (grup­assioma del tipo di struttura. po topologico, spazio lineare metrico, ecc.) ;

Nel punto precedente è stata definita la tipificazione di una famiglia 6nita b) arricchimento della struttura con l'aggiunta di nuovi assiomi (insiemi to­di lettere sn ..., s.„; nella descrizione del tipo di struttura è sempre possibile talmente ordinati rispetto a quelli ordinati, gruppi di Lie rispetto ai grup­

limitarsi alla tipificazione di una sola lettera, pur di sostituire la famiglia di pi topologici, ecc, ) ;schemi di costruzione S„ . . ., S„ con lo schema di costruzione S, x ... x S~ e c) processo inverso : impoverimento della struttura (fino a dimenticare tuttos y sp c o n s = (s„..., s~). Analogamente una famiglia 6nita di assiomi R„ e lasciare soltanto la struttura insiemistica fondamentale ).Rq può essere sostituita dall'unico assioma R, h ... ~ Rq. In una descrizione non Una parte di questa procedura può essere descritta in maniera formale nellaformale del tipo di struttura, queste condizioni, come molte altre, non sono ne­ metateoria del linguaggio della teoria degli insiemi, come fa Bourbaki. Non cicessariamente rispettate. si soffermerà su questo argomento.

Nelle note introduttive si è indicata la descrizione del tipo di struttura «spa­zio topologico». Per chiarire la posizione generale si aggiungono ora due altredescrizioni di tipi di struttura, che fanno parte di quelle generatrici. 3.I I. Il p roblema dei morfismi.

Si consideri un tipo di struttura Z. Per semplicità si supporrà di avere un3.8. Insieme ordinato. unico insieme fondamentale e che la tipificazione sia data per un unico elemen­

to della scala. Il concetto di morfismo di strutture di t ipo Z può essere asse­Si ha qui un insieme elementare x e nessun insieme ausiliario. Il gra6co gnato per mezzo di un termine o (x,y, s, t) in cui le lettere sono a due a due di­

della relazione di ordine è definito dalla tipi6cazione se J (x x x). Per formula­ verse e non costanti. Questo termine deve soddisfare le seguenti condizioni:re gli assiomi occorre utilizzare due operazioni fra corrispondenze: la composi­ a) dagli assiomi del tipo di struttura Z per (x,s) e (y, t) segue che il terminezione e l'inversione. Una corrispondenza fra gli insiemi x, y è un sottoinsie­ o(x,y, s, t) è contenuto nell'insieme delle applicazioni di x in y; b) nelle mede­me ucx xy, cioè un elemento ue P (x xy). Sia ucx xy e vc:y x z; si ponga­ sime ipotesi, se ferr(x,y,s,t) e gcrr (y,z,t,u) allora gofco.(x,z,s,u) ; c) unano uo v = proiezione su x x z del sottoinsieme (u x z) > (x x v) c x xy >< z, e biiezione f : x~y è un i somorfismo di strutture se e solo se fe+(x,y,s, t) eu — '= ((b,a) ~ (a,b) eu) c:y x x. (Il lettore può scrivere queste formule nella piu f — 'eo(y, x, t,s). In questa scrittura vi sono alcune imprecisioni (abusi di lin-.semplice variante del linguaggio L, Set). Dopo questi chiarimenti, l'assioma di guaggio!), ma non vale la pena essere piu precisi.insieme ordinato può essere scritto nella forma sos = sA s g s ­ = A, dove È ormai completamente chiaro che il concetto di morfismo non deve essereA c:x x x è la diagonale: A = ((a,a) ~ aex). Non è difficile verificare la tra­ derivato da quello di struttura. In primo luogo i morfismi non sono univoca­sportabilità di questa relazione. mente definiti; in secondo luogo, non devono essere necessariamente delle ap­

plicazioni degli insiemi fondamentali, e la loro composizione non deve neces­sariamente essere la composizione di applicazioni. L'esempio classico, che fra

Strutture matematiche 788 789 Strutture matematiche

l'altro non si allontana troppo dal modello originale, è la categoria degli spazi lo «Geometria e topologia» in questa stessa Enciclopedia, al ) 6) e risultò inol­topologici in cui si assumono come morfismi le classi di equivalenza omotopica tre che il significato delle costruzioni del tutto generali di Grothendieck supe­di applicazioni continue. Un altro esempio è la categoria degli insiemi (senza rava i l imit i del problema inizialmente posto e destava un notevole interesse,ulteriore struttura ) quando si prendano come morfismi le corrispondenze, cioè in particolare presso gli specialisti di logica matematica e dei fondamenti dellaarbitrarie relazioni binarie. In terzo luogo, dal punto di vista categoriale, si può matematica. Attualmente le topologie e i topoi di Grothendieck e di Lawvereritenere che la definizione della struttura sia soltanto una costruzione interme­ possono essere considerati alternativi e complementari al linguaggio strutturale,dia; quello che in realtà interessa è la categoria delle strutture di un dato tipo, e con estrema naturalezza permettono di includere nell'ambito della matematicaed allora è possibile che risulti piu comodo assegnare la struttura come oggetto generale i modelli non-standard di oggetti matematici, in primo luogo degli stes­secondario, considerando principale una certa classe importante di morfismi. si insiemi, come pure la logica intuizionista, ecc. Allo stesso tempo vengono allaAd esempio, è naturale introdurre la struttura di topologia di Zariski sugli og­ luce i legami di queste costruzioni con temi da tempo assunti negli altri cam­getti della categoria delle varietà algebriche, su un campo algebricamente chiuso pi della matematica.k, come la topologia meno fine in cui k è topologizzato coi complementi degli Per iniziare, si espongono ora le idee topologiche che conducono alla teoriainsiemi finiti, e tutte le funzioni razionali sulle varietà sono continue al di fuori di Grothendieck.dell'insieme dei propri poli. In quarto luogo, ancora dal punto di vista catego­riale, un concetto come quello di equivalenza di diversi tipi di struttura (ad g.z. Contesto topologico.esempio la nozione di gruppo assegnata con diversi sistemi di assiomi ) si defini­sce in maniera naturale per mezzo di un funtore, che sia un'equivalenza delle Sia X uno spazio topologico, ad esempio una varietà differenziabile, com­corrispondenti categorie. N

patta, n-dimensionale, e si supponga dato un suo ricoprimento finito X = lJ U„.Esempi di questo tipo si potrebbero aumentare considerevolmente. Non si t= i

vuole tuttavia sostenere che si tratti di argomenti a favore di un totale rifiuto È noto che l'informazione essenziale sulla « forma» globale di X può essere ot­del concetto di struttura e di una sua sostituzione con quello di categoria. Negli t enuta da una tabella finita che indichi quali intersezioni U„, p ... A U;„, r < i>(N ,articoli «Applicazioni» e «Dualità» di questa stessa Enciclopedia ci si è sforzati sono non-vuote; ciò è vero, almeno, quando tutte queste intersezioni sono bolle.di mostrare che i concetti struttura /categoria hanno dei caratteri di complemen­ Piu precisamente, si scelga un gruppo abeliano A e si associ a ogni numero in­tarità, e che attualmente il miglior approccio è quello di una considerazione pa­ tero k) o i l gruppo delle cocatene di Cech C~(X,(U;) ; A)> costituito dalle fa­rallela dei due concetti, insieme alle loro complesse correlazioni e a parziali ridu­ miglie (a;, ;„c A ~ U; A ...A U,„p g ) , dove a„, , è e m isimmetrica rispetto azioni, in casi particolari, dell'uno all'altro. In particolare, alcune classi di strut­ i«, ..., ii,. Si costruiscano gli omomorfismi d» . C~~ C +' per mezzo delle formu­ture generatrici, come quelle di gruppo, di insieme ordinato e di spazio topolo­ le: (d»a).. . „ , = Z( — r)'a,, ;>, , dove i, denota che questo indice va tolto.gico, insieme ai loro morfismi naturali, continuano a mantenere un ruolo fon­ Allora d»+, o di ­— o, ossia (C~, di,) costituiscono un complesso. Si costruiscanodamentale anche nelle costruzioni categoriali, che a loro volta permettono di i suoi gruppi di coomologia: H~(X, (U;) ; A) = Ker d»/Im d<,. Nell'ipotesi checonsiderarne le varianti piu generalizzate. tutte le intersezioni non vuote U,,g . . .A U, s iano bolle, i gruppi H"(X,(U,) ;

A) non dipendono dalla scelta del ricoprimento (U;) e sono invarianti topo­logici della varietà X. D 'altro lato, come si è già osservato, sono completa­

Topologie di Grothendieck e topoi. mente determinati da una collezione finita di dati combinatori sul ricoprimento.Senza assumere a priori condizioni addizionali sul ricoprimento, si possono defi­

y.r. I l programma di Grothendieck. nire gli omomorfismi C~(X, (U,) ; A) ~ C~(X,( Vt) ; A) dove (V,) è un ricopri­mento piu fine di (U;) e dimostrare che inducono degli omomorfismi dei gruppi

In questo paragrafo viene descritto un sistema di concetti sorto originaria­ di coomologia e quindi costruire il limite induttivo di questi gruppi di coomo­mente in geometria algebrica. Tali concetti furono introdotti da Grothendieck logia rispetto al sistema dei ricoprimenti e dei raffinamenti. Il r isultato sarà loallo scopo di definire degli invarianti topologici delle varietà algebriche su un stesso.

campo astratto, ad esempio finito. Come ha affermato Weil alla fine degli anni'4o, la presenza di questi invarianti (piu precisamente la teoria della coomologia 4.3. Motivazioni dalla geometria algebrica.con proprietà che permettano di dimostrare una formula per il numero di puntifissi di un'applicazione) permetterebbe di capire in profondità problemi di ca­ N el tentativo di trasferire questa costruzione su varietà algebriche definite

rattere numerico (legati in particolare al numero di soluzioni di equazioni, mo­ su un campo arbitrario, ci si imbatte anzitutto nella difficoltà che la topologia

dulo un numero primo ). Questo programma venne poi realizzato (cfr. l'artico­ di Zariski è troppo grossolana. Piu precisamente, se la varietà algebrica X è ir­

Strutture matematiche 79o 79' Strutture matematiche

riducibile, allora ogni famiglia finita di sottoinsiemi aperti non vuoti ha inter­sezione non vuota. Ciò significa che i gruppi di cocatene di Cech a coefficienti y.g. Lo slittamento creativo proposto da Grothendieck.in A hanno un'unica struttura, dipendente da A, ma non da X, e portano ainvarianti omologici banali. Questa costruzione tuttavia non risolve ancora il problema della formulazio­

La soluzione di questa difficoltà consiste nell'introdurre un gruppo «varia­ ne di una teoria della coomologia adeguata alla risoluzione dei problemi arit­bile» A: le coordinate delle cocatene a,, ;„ v anno assunte in dipendenza da metici sollevati da Weil. Uno dei motivi consiste nel fatto che, in generale, con­U;,A ...A U;„e per di piu in maniera interna, di modo che questa dipendenza ducono a coomologie interessanti i fasci di moduli sul fascio strutturale 8 dirifletta le proprietà della varietà X. Il piu semplice modo per realizzare ciò par­ una varietà algebrica. Se questa varietà è definita su un campo di caratteristicate dall'osservazione che a ogni insieme aperto Uc:X è associato il gruppo na­ finita, come avviene nel contesto dei problemi di Weil, allora si ottengono gruppiturale 8 (U) delle funzioni razionali su X che non hanno singolarità in U. Se di coomologia della stessa caratteristica, mentre per sfruttare appieno le idee dia;, ; assume valore in 8 (U,,Q...A U„„), è possibile def inire nuovamente i Lefschetz è necessario avere una coomologia di caratteristica zero. Grothendieckgruppi C (X, (U,) ; 8). Nella descrizione di d>a per mezzo della formula prece­ propose una via d'uscita a questa situazione, nella quale si sottoponeva a ulte­dente occorre tener conto del fatto che a,, ; ,„è la restrizione della funzione riore cambiamento lo stesso concetto di topologia. Nella variante originaria, laall'insieme aperto piu piccolo U;,A ... g U; g...A U;„. Gli omomorfismi di C piu importante per le applicazioni, al posto degli insiemi aperti U di qualchee di H~, legati al passaggio a un ricoprimento piu fine, si possono definire come spazio X si considerano dei morfismi U~X dotati di una condizione piu de­prima e quindi è possibile introdurre i gruppi di coomologia di Cech come li­ bole di quella di essere immersioni aperte. Si espongono ora le principali de­mite rispetto al sistema di ricoprimenti e rafFinamenti. I gruppi che si ottengono finizioni di Grothendieck nella loro forma definitiva. Per brevità si evita di men­H" (X,8), in generale, sono già non banali e riflettono le caratteristiche omo­ zionare l'universo in cui occorre lavorare.logiche essenziali di X.

Questa costruzione è suscettibile di un'ulteriore generalizzazione. Prima di y.g. Famiglie coprenti e crivelli,tutto non c'è motivo di limitarsi a considerare le funzioni razionali su X, o ge­neralizzazioni di questo concetto a oggetti geometrici generali quali schemi, spa­ Sia E una categoria. Si introduce il concetto di «topologia su E» generaliz­zi analitici o varietà differenziabili, in cui l'analogo di 8 viene detto fascio strut­ zando i dati necessari per la costruzione della coomologia di Cech che si hannoturale. Un conveniente contesto è fornito dalla definizione (che per comodità quando E è la categoria degli insiemi aperti di uno spazio topologico. Questosi darà in due tempi ) di fascio di gruppi (di anelli, di moduli, di insiemi, ecc.) può essere fatto in due modi, il pr imo dei quali è piu vicino alla situazionesu uno spazio topologico: classica.

DEFiNizioNE i. Si d ice prefascio F sullo spazio X a valori nella categoria C(degli anelli, dei moduli, degli insiemi, ecc.) un funtore controvariante dalla cate­ Famiglie coprenti. Si d i rà che su E è data una topologia se per ogni og­

goria degli insiemi aperti di X nella categoria C. Un morfismo di insiemi aperti è getto $ della categoria E è definita una classe di famiglie di morfismi (wt : R,~un'inclusione Uc: V. Il corrispondente morfismo F(V) ~F(U) in C si dice restri­ ~$, ieI) , che saranno dette famiglie coprenti l'oggetto S. Ogni simile classe

zione ('da V a U). deve soddisfare le seguenti condizioni:

DEFINlzIoNE z. I l p refascio F si dice fascio se sono verificate alcune condizioni a) se (w; : R;~S, ieI) è una famiglia coprente, per ogni morfismo f : S' ~$di localizzazione: per un insieme aperto U e un suo ricoprimento aperto U = U U;, esistono i prodotti fib rat R,' = R; x S' e la famiglia (~,' : R,' ~ S', i eI) è co­l'oggetto F (U) è univocamente determinato dalle proprie restrizioni F(U,) e si può prente. Inoltre (id : $~ S) è una famiglia coprente ;ricostruire da una collezione FteF (Ut) se le restrizioni di F; e F, su U;g U b) se (w; : R;~$, ieI) è una famiglia coprente e per ogni icI è data una fa­coincidono, per ogni coppia i,j . miglia coprente (~t : R,~~R,,j eIi), allora (w,aw,, : R, ~R, i@I j sI, , ) è

In questo contesto è possibile ancora definire le cocatene e la coomologiauna famiglia coprente.

di X a coefficienti in un fascio arbitrario F se la categoria C dei valori di questo Nel caso classico, come si è detto, gli oggetti di E sono insiemi aperti di unofascio è una categoria abeliana, cioè se possiede le proprietà f ormali della cate­ spazio topologico, e le famiglie coprenti S sono tutti i ricoprimenti aperti di S.goria dei gruppi abeliani, Una categoria con una topologia si dice sito.

Se è data una categoria C (nelle applicazioni si tratta della categoria degliinsiemi, dei gruppi abeliani, dei moduli, ecc.), si chiama prefascio sul sito E avalori in C ogni funtore controvariante di E in C. Il prefascio F si dice fasciose sono verificate le due condizioni ulteriori:

Strutture matematiche 79z793 Strutture matemat iche

c) per ciascuna famiglia coprente (zt ; R»~S,ie I ) , l' applicazione indottax : F(S) ~g F(R,) è un monomorfismo ;

L'esempio tipico di topos è la categoria dei fasci di insiemi sopra uno spazio

ieItopologico X. Quando X consiste di un solo punto, questo topos è equivalente

d) l'applicazione x identifica F (S) con l'ugualizzatore della coppia di appli­ alla categoria degli insiemi : ogni fascio F è rappresentato da un insieme F (X).cazioni P F(R;) Q F ( R, xs R,). Nel caso generale ci si può rappresentare un fascio F come un «insieme varia­

teI (i j )sI x I bile», i cui elementi dipendono da un sottoinsieme aperto Uc:X. Molto vicini(Questa coppia di applicazioni corrisponde alle proiezioni di R, x>R, r i­ ai topoi di Grothendieck sono anche i modelli non-standard a valori booleani

fspettivamente sul primo e sul secondo fattore. Se M~N so no due ap­ della teoria degli insiemi, costruiti nella teoria di Cohen-Scott-Solovay (cfr. an­

cora l'articolo « Insieme»), per mezzo dei quali si stabilisce, ad esempio, l'indi­plicazioni insiemistiche, si chiama loro ugualizzatore l'insieme (m ~ f(m)= mostrabilità dell'ipotesi del continuo. Si passa ora ad esporre i concetti logici=g (m)). Se si tratta di applicazioni in una categoria astratta, si chiama che hanno condotto a una variante dei topoi.loro ugualizzatore un oggetto che presenta un corrispondente «funtoredei punti»: cfr. anche l'articolo «Trasformazioni naturali /categorie» in g.7. Topoi di Lawvere e Tierney.questa stessa Enciclopedia).

Una variante della definizione è legata al concetto di crivello. Si chiamerà qui topos un oggetto assegnato mediante altri assiomi che imi­tano direttamente le principali costruzioni insiemistiche. Questo concetto risul­ta piu vicino alle necessità della logica e, nello stesso tempo, è piu ampio di

Crivelli. Un a sottocategoria E' della categoria E si dice crivello se E' con­ quello di topos di Grothendieck.tiene ogni oggetto di E per il quale esiste un morfismo verso qualche oggetto Precisamente, si chiamerà topos una categoria T nella quale sono definiti idi E'. Si denoti con p (E) la classe di tutti i crivelli della categoria E. Ogni fun­ prodotti diretti finit i e in cui è dato un oggetto terminale r. Oltre a ciò, a ognitore p : E~ F induce un'applicazione p(p) : p (F) ~ p (E). Si può assegnare una oggetto X di T si associano un oggetto P (X) e un monomorfismo sA . Z+ ~ X xtopologia su E indicando, per ogni oggetto S della categoria E, un insieme x P(X), Se T è la categoria degli insiemi, allora P(X) è l'insieme delle parti dij(S) di crivelli nella categoria E> degli oggetti di E sopra S, con le proprietà: X e s> è l'immersione del grafico della relazione di appartenenza s. L'assioma­

a) per ogni morfismo T~S il r i levamento a T di ogni crivello di j ($) ap­ tizzazione delle proprietà di questo grafico conduce alla seguente postulazionepartiene a f (T) ; che rappresenta il principale assioma dei topoi di Lawvere e Tierney:

h) ogni crivello di oggetti su S, contenente qualche crivello di j (S), ap­partiene già a g($) ; AssIQMA. Per ogni coppia di oggetti X, Y e p er ogni monomorfismo i : S~

c) ogni crivello C di oggetti sopra $, per il quale esista un crivello Re j (S) ~ X x Y esiste un unico morfismo u : Y~ P(X) per il quale si ha un quadrato car­tesianotale che il rilevamento di C a ogni oggetto X di R appartenga a g (X), S ~ X x Y

appartiene già a j (S).Jldx x Q

Il passaggio dalle famiglie coprenti ai crivelli non è complicato. Alla fami­ X x P(X).glia coprente (xt : R»~ S, i eI) si associa il crivello di E> costituito dagli oggettif : X~S per i quali esiste unieI ta le che Hom>(X,R;)p8 .

Viceversa, per ogni morfismo u : Y ~P (X) esiste un unico rnonomorfismo i e il qua­drato precedente è cartesiano.

4.6. Topoi di Grothendieck. Applicando questo assioma al caso Y = r si ottiene un morfismo u : r ~P (X)in corrispondenza a ogni monomorfismo i : S~X. Questo morfismo si dice sot­

Sia E un sito, vale a dire una categoria con una topologia. I fasci di insiemi toggetto di X di immagine i. In particolare l'immagine dell'applicazione iden­su E costituiscono allora una categoria che è detta topos. Viene anche detta topos tica id+ . X~X è un morfismo r ~P (X) che si denota "X~.(di Grothendieck) ogni categoria equivalente a una costruita in tal modo. Pro­ Si ponga Q = P(t). Nella categoria degli insiemi questo è (p,(8)), la cop­prio questo concetto, e le sue modificazioni, assunsero un'importanza partico­ pia dei valori «falso, vero». Se nell'assioma di topos si scambiano di posto Xlare, oltre i limiti delle esigenze puramente algebrico-geometriche, connesse so­ e V, si ha la possibilità di associare a ogni sottoggetto V dell'oggetto X il mor­prattutto con lo studio di diverse topologie sugli schemi e delle relative teorie fismo p>. X~ Q, i l quale si dice morfismo caratteristico di Y. Viceversa ognidella coomologia, e condusse alla dimostrazione delle congetture di Weil. Il fat­ morfismo y : X~ Q è il morfismo caratteristico di qualche sottoggetto di X cheto è che i topoi possiedono numerose proprietà essenziali della categoria degli è comodo denotare con (xeX ~ p(x)) (nel topos degli insiemi questo è il sot­insiemi, «relativizzate» a una base che sia un sito. toinsieme xc X per cui è vera la proprietà p ). Il morfismo caratteristico del­

794 795 Strutture matematicheStrutture matematiche

l'immagine del monomorfismo diagonale hz. X ~ X x X s i d enota con= z eil morfismo caratteristico dell'immagine di s~ ' .Z> ~ X X P(X) si denota con c<. Strutture e fisica.

(f, e) = YSe sono dati due morfismi f,g : X ~ Y, la composizione X~ Y x Y ~ Q èil morfismo caratteristico di qualche sottoggetto di Y che corrisponde al nucleo g.r. Riferimenti alla fisica teorica. Relatività generale, campo unificato e teo­

della coppia (f, g) e che si può chiamare ugualizzatore di questa coppia.rie quantistiche.

Dall'assioma, inoltre, si deduce che P è un funtore controvariante, come Nell'esposizione precedente ci si è interessati della realizzazione modernanel topos degli insiemi. Utilizzando questa proprietà e le costruzioni precedenti, delle idee strutturaliste in matematica, compresi i dettagli di questa realizzazio­si può trasformare ogni topos in un modello del linguaggio L, Set nel quale sa­ranno verificati gli assiomi logici intuizionisti e una parte di quelli di teoria degli

ne e le particolarità della sua nascita storica. Tornando a un contesto piu ampio,si tenterà di valutare il significato delle strutture matematiche per la conoscenza

insiemi.Per stabilire un collegamento fra i topoi di Lawvere e Tierney con quelli

delle scienze naturali. Per non essere generici, si comincerà considerando bre­vemente le attuali relazioni fra matematica e fisica teorica.

di Grothendieck, si introducono ora ulteriori concetti. Si indichi con V : r ~ Q La matematica secondo Bourbaki, la matematica delle strutture e delle ca­il morfismo caratteristico del sottoggetto rr" dell'oggetto terminale r, e con tegorie ha un aspetto inconsueto per la fisica teorica, e i contatti fra la nuovaA : Q x Q~ Q il morfismo caratteristico dell'ugualizzatore dei morfismi id> x V,V x id>. Q xQ~Q. Si chiama operatore modale in T un morfismo j : Q~Q

matematica e la nuova fisica, molto indebolitisi a partire dagli anni '4o, soltantoora cominciano a ristabilirsi. Una premessa di ciò è la rinascita del programma

che soddisfi le seguenti condizioni: j V = V, j» = j, j (xRy ) =jxAjy, dove x ey di Einstein relativo alla geometrizzazione della fisica a un livello, essenzialmentesono le due proiezioni Q x Q ~ Q. (Questa definizione è motivata da quelle ana­ nuovo, su cui questo programma è considerato come un passo verso la costru­loghe nelle teorie delle algebre di Boole e di Heyting, relative rispettivamente zione dei fondamenti di una teoria quantistica unitaria del campo. È di Einsteinai modelli della logica usuale e di quella intuizionistica), Se è fissato un taleoperatore modale j, si denoti con j l 'ugualizzatore della coppia (j, V) e con Q,

il fondamentale merito di aver scoperto la struttura con cui si descrive lo spazio­

l'ugualizzatore della coppia (j, id>). Si dice che un monornorfismo u : X~ Y ètempo : una varietà quadridimensionale liscia con metrica di segnatura (+ ­— — ),e l'interpretazione delle proprietà della curvatura di questa metrica in termini di

chiuso (rispettivamente, denso) se esiste un quadrato cartesiano interazioni gravitazionali (cfr. l'articolo «Relatività» in questa Enciclopedia).X~ Y X~ Y Parallelamente avveniva nella meccanica quantistica la scoperta delle strut­

rispettivamente ) j ture con cui si descrivono la materia a livello microscopico e le sue interazioniQ, Q /~Q coi dispositivi macroscopici usati per l'osservazione. Gli sforzi congiunti di Bohr,

Un sottoggetto dell'oggetto X si dice chiuso (rispettivamente, denso) se è Heisenberg, Schrodinger, Born, Dirac (per ricordare soltanto i maggiori ) per­l'immagine di un monomorfismo chiuso (rispettivamente, denso). misero anche di identificare queste strutture con i principali oggetti dell'analisi

Rispetto all'operatore modale j è possibile costruire la sottocategoria piena funzionale negli spazi di Hilbert: operatori lineari autoaggiunti e loro proprietà

T, del topos T costituita dagli «oggetti fascio» F che soddisfano la condizione: spettrali. In seguito, a questi si aggiunsero i metodi gruppali per la costruzione

per ogni monomorfismo denso u : X~ Y e per ogni morfismo v : X~F esiste dei principali spazi e operatori, in sostituzione o a complemento del tradizionale

un unico morfismo x : Y ~F per il quale v= ux. linguaggio delle equazioni differenziali; il maggior contributo, in questo caso,

La categoria T; a sua volta è un topos. fu quello di Wigner (cfr. anche l'articolo «Quanti » in questa stessa Enciclopedia ).Si supponga che il topos T consista dei funtori controvarianti della categoria La teoria fisica fondamentale che attende di essere elaborata è indubbiamen­

C nella categoria S. L'oggetto Q associa a ogni oggetto U di C l ' insieme dei te la teoria dei campi quantistici. Dal punto di vista matematico una parte rile­

crivelli in C<- ed è possibile dimostrare che è equivalente assegnare un opera­ vante dei principi di base per la sua elaborazione può essere formulata come una

tore modale o una topologia nella categoria C. Il topos T, sarà allora precisa­ serie di «ricette», una parte delle quali si riferisce alla scelta di strutture della

mente il topos dei fasci sul sito corrispondente C. geometria differenziale (campi classici, oppure campi precedenti a una quantiz­

Se C è la categoria degli insiemi aperti di uno spazio topologico, allora il pre­ zazione secondaria) e la parte rimanente si riferisce alla quantizzazione di que­

fascio Q associa a ogni sottoinsieme aperto U l' insieme di tutte le classi F di ste strutture. Si descriverà qui piu in dettaglio la prima parte.

sottoinsiemi aperti di U, chiuse rispetto al passaggio a sottoinsiemi aperti. Sidefinisce il morfismo j : Q ~ Q in questo modo : se F è una tale classe di sottoin­ g.z. Strutture di geometria difFerenziale e loro motivazione fisica.siemi aperti di U, allora j (F) è l'insieme dei sottoinsiemi aperti di U che con­tengono nella loro unione gli elementi di F. In q uesto esempio concreto Tt Nei suoi tratti piu generali, ogni aspetto della materia o di un campo si de­

coincide con la categoria dei fasci sullo spazio topologico originario. scrive con una fibrazione sullo spazio-tempo M, nel senso che una sezione di

Strutture matematiche 796 797 Strutture matematiche

questo fibrato si interpreta come storia virtuale dell'aspetto della materia/campo. sione di qualunque fibrato della materia dotata di carica. L'idea che il campoUn metodo piu consueto per descrivere la storia di un punto materiale per mez­ elettromagnetico fosse una connessione fu espressa nel i9i8 da Weyl, ma a quelzo della sua curva d'esistenza in M può essere ricondotto al precedente, con­ tempo si consideravano soltanto fibrati tensoriali sullo spazio-tempo e lo schemavenendo che la curva d'esistenza del punto corrisponda a una sezione di tipo fisico concreto di Weyl non risultò valido. La sua prima realizzazione corretta8 del fibrato banale su M avente supporto su questa curva. Tuttavia le esigenze si compi con la scoperta di Dirac secondo cui il campo elettrone-positrone (re­della meccanica quantistica non permettono di limitarsi a considerare soltanto lativistico, ma non ancora quantistico secondario ) è una sezione del fibrato spi­curve di esistenza (una rigida localizzazione è incompatibile col principio di noriale. In questo fibrato, il campo elettromagnetico induce effettivamente unaindeterminazione e già una particella senza spin, con un impulso fissato, corri­ connessione, la cui forma F è la forma della curvatura. Quest'interpretazionesponde a un'onda armonica che si svolge in tutto lo spazio ), cioè sezioni del di F fu dimostrata sperimentalmente verso il i96o mediante l'osservazione del­fibrato banale sullo spazio di Minkowski. l'effetto Aaron-Bom, che prevede l'interferenza di due fasci coerenti di elettroni

La scelta del fibrato corrispondente al dato aspetto della materia/campo vie­ intorno a una regione di spazio che racchiude un campo magnetico. Questi fascine condotta con un alto grado di affidabilità per le interazioni gravitazionali e (nell'approssimazione quasi-classica) passano attraverso una regione con cam­elettromagnetiche, con un grado minore, trattandosi di un settore di r icerca, po nullo ; l'interferenza è il risultato della differenza di fasi quantistiche, la qualeper le interazioni forti e deboli. Occorre tuttavia ricordare che, in una futura si descrive come la curvatura del campo elettromagnetico nella regione tra i fasci.teoria unificata, anche quelle scelte che appaiono attualmente solide possono es­sere riviste. 5.3. Strutture e particelle «elementari ».

La contrapposizione materia/campo ha una lunga storia. Il ruolo autonomodel campo «nel vuoto», come qualcosa in grado di influire sul movimento della Un matematico che abbia osservato lo sviluppo della fisica delle particellemateria se questa capita nel raggio d'azione del campo, fu chiaro dopo la cono­ elementari negli ultimi anni può riassumerne lo stato in questa forma : a ) il tiposcenza delle teorie di Maxwell e di Einstein. Tuttavia la teoria quantistica forzò di struttura che regola il micromondo fisico può essere considerato relativa­la descrizione anche della materia (ad esempio degli elettroni ) in termini di mente stabile: si tratta del G-fibrato principale sullo spazio-tempo (G è ilcampi (per mezzo della funzione $). Questo, insieme alla scoperta delle proprie­ gruppo delle simmetrie ) e dei fibrati vettoriali ad esso associati; b) esiste unatà corpuscolari del campo elettromagnetico, condusse quasi alla scomparsa della serie di ricette pratiche per la scelta del gruppo delle simmetrie e della lagran­differenza fra «campo» e «materia». Ma nella rappresentazione contemporanea, giana, a partire da dati sperimentali; c ) si hanno fondate ipotesi, sebbene nonalmeno al livello dei modelli classici dei campi quantistici, tale differenza si ri­ definitive, per la scelta di G per le interazioni forti («cromodinamica quantisti­presenta. Dal punto di vista fisico i quanti dei campi si suddividono in particelle ca») e per le interazioni elettriche deboli (modello di Weinberg-Salam ) ; d) esi­fondamentali e particelle portatrici di interazioni. Rientrano fra le prime i lep­ stono delle ricette pratiche di passaggio da campi classici fittizi al computo de­toni e i quark, fra le seconde i fotoni e i gluoni. Nella descrizione geometrico­ gli effetti quantistici; e in queste ricette «c'è del metodo», come nella follia didiflerenziale, il campo di una particella fondamentale è una sezione del fibrato Amleto. Tutto ciò è incerto e non definitivo ; l'assenza di una teoria quantisticacorrispondente sullo spazio-tempo, mentre il campo che porta un'interazione della gravitazione o, meglio, dello stesso spazio-tempo, lancia una sfida alle ri­è una connessione su questo fibrato. cette pratiche. Gli schemi di supersimmetria o dei quanti spazio-temporali (se­

Nel linguaggio della fisica, le connessioni si chiamano campi di gauge. Il piu condo Wheeler e Hawking ) si distinguono su una fisica piu «realistica», in pri­semplice esempio di campo di gauge è il campo elettromagnetico; su di esso mo luogo per la fiducia nella matematica, cioè nell'idea di Einstein per cui lasi vedono bene le particolarità di tali campi. Il campo elettromagnetico può es­ compatibilità interna dei principi fondamentali conduce a una comprensionesere assegnato da un vet tore-potenziale, cioè da una t-forma differenziale della natura piu vera rispetto a una collezione caotica di fatti. Non è dato sapereA~dx~, dove (x~) sono coordinate locali nello spazio-tempo. Tuttavia, in ac­ quando questa fiducia comincerà a realizzarsi.cordo con la trattazione classica, sono osservabili soltanto i coefficienti dellaz-forma F = dA = ZF, dx~Rdx': le componenti del tensore del campo elettro­ 5.4. E in futuro>magnetico. Se si identifica il campo elettromagnetico col vettore (A ), allora oc­corre considerare che le variabili dinamiche (A„) contengano un'informazione Qual è il posto delle strutture in questo quadro? Una possibile risposta con­ridondante, non fisica: l'applicazione di gauge d'„ = A„+ò y conduce a un cam­ siste nel fatto che la concezione di struttura secondo Bourbaki ha rivelato perpo fisicamente indistinguibile. Se poi si identifica il campo con il tensore F „ prima un ampio universo di «significato» della matematica, in grado di mediareallora occorre considerare che valga l'equazione d(dA) = o, cioè la condizione tra il formalismo e i «significati» piu particolari delle costruzioni matematichedi chiusura della forma F. nelle scienze naturali, proposti insieme con le loro interpretazioni e pertanto di­

Di fatto occorre considerare che il campo elettromagnetico sia una connes­ pendenti dalla verità di queste interpretazioni, esterne alla matematica. Alla ri­

Strutture matematiche 798

flessione, liberata dalla necessità di credersi realtà, occorrono altri segni condut­tori per non smarrirsi nella cattiva inFinità del labirinto delle deduzioni formali.Il prodigio è nel fatto che questi stessi segni indicano anche alla matematicauna strada utile, oltre i suoi confini. [Jll. I. M.].

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Il concetto di struttura si formalizza, all'interno della matematica, soprattutto me­diante un insieme i cui e lementi sono dotati di proprietà tecnicamente esprimibili inun linguaggio della logica matematica (per questo si veda anche assioma/postulato,formalizzazione, matematiche). Una maniera alternativa è quella di assegnare lastruttura matematica di un oggetto mediante la sua appartenenza a una categoria (cfr.trasformazioni naturali / categorie) e di collegarlo mediante opportuni, o naturali,applicazioni a tutte le strutture dello stesso tipo. Questo atteggiamento, sorto nella geo­metria algebrica (cfr. curve e superfici, geometria e topologia, invariante, locale/globale), si rivela fruttuoso anche nelle considerazioni sui fondamenti della matematica,soprattutto per quanto riguarda la logica intuizionista. Attraverso il concetto di strutturala matematica si collega poi e interagisce con altre discipline, prima fra tutte con la fisicateorica (cfr. anche particella, quanti, relatività, spazio-tempo) e con le scienze natu­rali (cfr. scienza, natura), in generale, in cui effettua una mediazione costante tra ilformalismo e i concetti (cfr. concetto) rappresentati.

494

Trasformazioni natural i / categorie"echstes Kapitel,

F. Engel'sa»,' tt capitale,

«Le buone teorie generali non ricercano il mas­simo di generalità, ma la giusta generalità».

[MacI ane ignei, trad. it . p. i SS ].

I . Su l co ncetto di naturalità.

La riflessione sul carattere piu o meno naturale, spontaneo o piuttosto inna­turale o artiflcioso di enunciati, dimostrazioni o procedimenti matematici è dasempre intimamente connessa allo sviluppo della matematica stessa. È dunquedifficile trattare l'argomento in generale, ma per introdurre adeguatamente ilconcetto di «trasformazione naturale» può essere utile vedere come molti ele­menti del discorso si siano come cristallizzati intorno a una pur semplice pro­posizione: si tratta della quinta proposizione del primo libro degli Elementi diEuclide.

Eccone l'enunciato, nella versione di Frajese e Maccioni [I97o, p. Sg] :

PROPOSIzIONE. Nei triangoli isosceli gli angoli alla base sono uguali fra lo­ro, e venendo prolungati i lati uguali gli angoli sotto la base saranno [pure]j ugualifra loro.

La dimostrazione (cfr. flg. I) consiste nell'assumere i punti F e G, sui pro­lungamenti di AB e di AC, con AF = AG, e nell'osservare in primo luogo chei triangoli AFC e AGB sono uguali, il che si ricava da quanto precede nel testo.Da questo si conclude che anche i triangoli BFC e CGB sono uguali, e dunqueanche l'angolo BCF è uguale all'angolo CBG. D'altro lato già s'è visto che l'an­golo ABG è uguale all'angolo ACF e, per differenza di angoli uguali, si conclu­de inflne che gli angoli alla base sono uguali. Implicitamente già s'è visto cheanche gli angoli sotto la base sono uguali.

Certo tutto ciò che si utilizza nella dimostrazione ha carattere assai elemen­

l' igura i .

L'uguaglianza degli angoli alla base di un triangolo isoscele.

Trasformazioni naturali / categorie 496 497 Trasformazioni naturali / categorie

tare, ma è davvero necessario passare attraverso questa catena di uguaglianze? mente al suo concetto, egli stesso vi aveva posto» [x787, trad. it. pp. 4r-4z],Non può darsi una piu semplice dimostrazione, ad esempio con la considera­ Qui non interessa il carattere che Kant giudica proprio del dimostrare ma­zione della bisettrice dell'angolo BAC, come suggeriscono, in nota, Frajese e tematico ; si desidera portare l'attenzione sulla «gran luce», sulla verità che que­Maccioni? Per quale ragione Euclide non ha scelto una dimostrazione piu facile? sto teorema è in grado di arrecare, indipendentemente dalla tecnica dimostrati­

Si tratta forse, come osservano Frajese e Maccioni, d'un «pezzoforte in favore va. In qualche modo, il giudizio di Vico è ribaltato, ma con una considerazionedella teoria di Zeuthen sulla dimostrazione di esistenza, presso i Greci, median­ della matematica altrettanto globale, pur a partire da una singola proposizione.te la costruzione» [ibid.]? Luce od oscurità si riverberano sulla totalità, perché v'è omogeneità fra la parte

In realtà, critiche a questa dimostrazione si trovano già nell'antichità. Pro­ e il tutto. A proposito di questo problema è interessante rilevare come la scrit­

clo (Commento al primo libro degli Elementi di Euelide, z49, zo ­ zero sgg.] riferi­ trice Lalla Romano in Una giovinezzainventata ( I979, cap. xvii) riporti un gu­sce d'una dimostrazione di Pappo: «Pappo tuttavia svolge la dimostrazione in stoso aneddoto relativo a Peano sulla sua insofferenza per l'espressione «dimo­

modo piu conciso, senza bisogno di alcuna aggiunta: sia ABC il tr iangolo iso­ strò il triangolo isoscele». Non è inopportuno accostare quest'episodio agli esem­scele e la AB sia uguale alla AC. Immaginiamo quest'unico triangolo come se pi che si stanno qui svolgendo.fosse due e ragioniamo cosi : poiché AB è uguale ad AC, e AC è uguale ad AB, L'ultimo autore che si vuole considerare è Bergson: «Ma allorquando io

le due rette AB, AC sono uguali alle due AC, AB, e l'angolo BAC è uguale traccio grossolanamente sulla sabbia la base di un triangolo, e comincio a for­all'angolo CAB, perché sono lo stesso. Perciò le parti sono tutte uguali a tutte, mare i due angoli alla base, so in maniera certa e comprendo assolutamente che,

la BC è uguale alla CB, il triangolo ABC è uguale al triangolo ACB, l'angolo se questi due angoli sono eguali, anche i lati lo saranno, poiché la figura può ri­ABC è uguale all'angolo ACB, e l'angolo ACB è uguale all'angolo ABC, per­ girarsi su se stessa senza che nulla sia alterato. Lo so ben prima d'aver appresoché sono sottesi dai lati uguali AB, AC; per conseguenza gli angoli alla base dei la geometria. Cosi anteriormente alla geometria dotta, vi è una geometria natu­

triangoli isosceli sono uguali ». Il senso dell'argomentazione di Pappo può dun­ rale la chiarezza e l'evidenza della quale superano quella delle altre deduzioni»que riassumersi dicendo che, a suo giudizio, la dimostrazione euclidea ha un [i9o7, ed. x97o p. 674], Anche Bergson, in qualche modo, trascura gli aspetticarattere artificioso, complicato, dal momento che ne esiste un'altra ben piu dimostrativi nel far risalire la verità a un fatto intuitivo. È però evidente cheevidente. nel riproporre nella sostanza l'idea di Pappo, implicitamente giudica in favore

Una celebre osservazione di Vico trae tutt'altre conseguenze: «Però, osser­ della sua dimostrazione.

vando il Vico cosi da Aristotile come da Platone usarsi assai sovente pruove mat­ Gli esempi qui riportati, sostanzialmente uniti solo dal riferirsi a una stessa

tematiche per dimostrare le cose che ragionano essi in filosofia, egli in ciò si proposizione d'Euclide, mostrano una pluralità di idee e di giudizi. Ma premevide difettoso a poter bene interdergli ;onde volle applicarsi alla geometria e osservare come molti elementi che si troveranno nelle pagine seguenti siano già

inoltrarsi fino alla quinta proposizione di Euclide [che è quella in esame]. E, impliciti: l ' idea che si possa distinguere tra la verità d'un enunciato e il modoriflettendo che in quella dimostrazione si conteneva insomma una congruenza con cui esso si rivela per vero, la necessità d'una «coerenza» tra le singole pro­

di triangoli esaminata partitamente per ciascun lato ed angolo di triangolo, che posizioni, d'un ugual livello dimostrativo; oppure l'indifferenza verso questisi dimostra con egual distesa combaciarsi con ciascun lato ed angolo dell'altro, aspetti e l'enfasi sul risultato. Tutto questo, in modo implicito o esplicito, ap­

pruovava in se stesso cosa piu facile l' intendere quelle minute verità tutte in­ parirà nel seguito.sieme, come in un genere metafisico, di quelle particolari quantità geometriche.E a suo costo sperimentò che alle menti già dalla metafisica fatte universali nonriesce agevole quello studio propio degli ingegni minuti, e lasciò di seguitarlo» z. T ra sformazioni naturali.

[i 725-28, ed. i977 pp. i4- i g ].Come ben si vede, Vico argomenta a partire da questa proposizione sull'in­ Il concetto di trasformazione naturale è stato elaborato per la prima volta

tero carattere del dimostrare matematico. Anche un altrettanto celebre giudizio da Eilenberg e MacLane [i94z ] studiando l'isomorfismo tra un gruppo finito edi Kant, pur di segno contrario, è dello stesso tenore: «Innanzi a colui che di­ il suo doppio gruppo dei caratteri. L'argomento, ripreso in forma piu organica

mostrò i primi teoremi sul t r i an g olo i s oscele (fosse Talete o chiunque al­ dai due autori [r945], conduce alla prima esposizione sistematica della teoriatro) si accese una gran luce, poiché comprese che non doveva seguire ciò che delle categorie (si veda anche l'articolo «Funzioni » in questa stessa Enciclopedia,via via vedeva nella figura, né attenersi al semplice concetto della figura stessa, VI, p. 49I), Non c'è modo migliore per ripresentare organicamente l'argomentoquasi dovesse apprenderne le proprietà ; m a doveva produrre la figura (costruen­ di quello di rifarsi all'esempio addotto dai due autori.

dola) secondo ciò che con i suoi concetti pensava e rappresentava in essa a priori ; Sia L uno spazio vettoriale di dimensione finita sul campo reale; il suo spa­

comprese cioè che per sapere con sicurezza qualcosa a priori, non doveva attri­ zio duale T (L) è allora lo spazio vettoriale delle applicazioni da L a R (si vedabuire alla cosa se non ciò che risultava necessariamente da quanto, conforme­ anche l'articolo «Dualità» in questa stessa Enciclopedia, V, pp. ig6-g7). Come

Trasformazioni naturali / categorie 499 Trasformazioni naturali / categorie

è ben noto, lo spazio T (L) è a sua.volta uno spazio vettoriale su R della stessa plice calcolo. In parte sarà trattata in questo articolo, per la piu gran parte sidimensione di L. Gli spazi L e T (L) sono dunque isomorfi. Ma questo isomor­ fonda sull'esistere concreto della teoria delle categorie.fismo non può essere esplicitato se non scegliendo una base per lo spazio L; Intanto, l 'esempio stesso è suscettibile di un ' indagine piu approfondita,inoltre scelte differenti della base conducono a isomorfismi differenti. L' iso­ che consenta di cogliere elementi generali, al di là di questa particolare situa­mor6smo che collega L a T (L) è dunque legato a una nostra scelta. zione. Si può intanto isolare come un momento concettuale a sé della nostra

La situazione cambia completamente se si considera il doppio duale T (T(L)), spiegazione il passaggio da L a T~(L), evidenziandone le proprietà. Tale pas­che si indicherà con T' (L). In questo caso l'isomor6smo che collega L a Ta(L) saggio agisce a due livelli : al livello degli spazi vettoriali, poiché per ogni spaziopuò essere dato direttamente, senza ricorrere alla scelta di alcuna base in L; L dà uno spazio T~(L) ; al livello delle applicazioni tra spazi vettoriali, poichéla scelta è inoltre data in modo simultaneo per tutti gli spazi vettoriali di di­ per ogni A : L~L' dà T (X) : T (L) ~ T (L' ). Si può poi mostrare come le pro­mensione finita. Se infatti si considera un vettore x di L, per ogni applicazione prietà che agiscono in modo essenziale siano :lineare t di T (L) risulta definito un numero reale calcolando t su x, cioè t(x). r) all'identità rt . .L~L, T s (si indica con T' l' intero processo) associa l'i­Se ora si immagina, in t (x), non x ma t variabile, si ottiene un'applicazione da dentità r>~<t,) . .T' (L) ~ Ta(L) ;T(L) a R. Ogni elemento di L è dunque interpretabile come un'applicazione 2) alla composizione di due applicazioni X, ) ', T' associa la composizioneda T(L) a R, cioè come un elemento di Ta(L). In tal modo si ottiene un'appli­ di Ta(X) e di T (L')i cioè T (À,X') = T () )T (Y).cazione r (L) : L~ Ta(L) che, come si vede facilmente, è un isomorfismo (siveda ancora «Dualità», p. r g7). La r) e la z) definiscono T' come un funtore (cfr. ancora «Applicazioni»,

In che senso questo isomorfismo è «naturale»> Intuitivamente, si può dire p. 7yr) che agisce dalla totalità degli spazi vettoriali di dimensione finita; la siche, poiché la determinazione di v (L) è data da L stesso, senza alcun intervento indichi con V, in se stessa: Ta : V~V. (Due osservazioni: non v'è possibilitàdi scelta da parte nostra la naturalità si rivelerà tale «al variare di L». d'errore nell'indicare l'agire di T~ ancora con una freccia. Inoltre, la «totalità»

In termini precisi, sia ), : L ~ L' un'applicazione lineare fra due spazi vet­ degli enti di un certo tipo è naturalmente problematica anche nel contesto dellatoriali di dimensione finita (il modo con il quale si descrive la variazione in teoria delle categorie. Non si affronteranno qui tali questioni, rinviando perquesto contesto) ; essa induce una corrispondente applicazione fra T~(L) e esempio a MacLane [r97r, trad. it. pp. g6-yo] o a Lolli [r977] e si farà libera­T (L'). Si consideri infatti il d iagramma L~ L ~ R: es so suggerisce come mente uso della terminologia naiade).per ogni applicazione t' : L'~ R s i a bbia, per composizione, un'applicazione È opportuno anche pensare la situazione X : L~L' co me descritta da un

Xt' : L~R. Cioè l'operazione di comporre con À induce un'applicazione che si funtore: naturalmente sarà il funtore identico I : V~V per il quale I (L) =L e

dirà TP,) : T(L') ~ T(L), la quale è facilmente vista essere lineare a sua volta I(X) = X.

(T è un «funtore controvariante»; cfr. oltre, e anche l'articolo «Applicazioni» Si dispone ora di due funtori Ta e I da V a V ed è possibile definire r a par­

in questa stessa Enciclopedia, I, p. 7yr). tire dai ~(L) come una trasformazione naturale da I a T'. Si scriverà z. I ~ T ' .Data T () ) : T(L') ~ T(L), util izzando il medesimo procedimento si otterrà Il diagramma (r) diviene ora

T'P,) : T (L) ~ T'(L').Si dispone ora di tutti gli elementi; precisamente: a ) per ogni L, un iso­

mor6smo v(L) : L~ T'(L) ; b) per ogni applicazione lineare X : L~ L', una cor­rispondente applicazione lineare T (X) : T (L)~ T (L').

Con questi dati, è possibile considerare il diagramma che è la definizione di v come trasformazione naturale fra i due funtori I e T~,L ' T'(L) ossia il «dato» di tutte le applicazioni ~(L), per ogni I., con per ogni )< : L~ L'

(r ) )j fr' p,) la commutatività di (z).Legati ancora all'esempio particolare, si sono tuttavia evidenziati due con­L'~ T ' (L ' )

cetti generali, quello di funtore e quello di trasformazione naturale, Un nuovoed ecco ora come si può esplicitare il concetto di naturalità: il diagramma (r) concetto scaturisce dall'indagare quali proprietà in realtà siano richieste al «do­è commutativo, ossia, in termini di composizioni di applicazioni, ). v (L') = minio» e al «codominio» di un funtore; il concetto di categoria.

r(L) T~(X). Una definizione formale di categoria è ricorsa piu volte negli articoli di que­La verifica della commutatività di (r) segue facilmente dall'interpretare i sta Enciclopedia (si vedano «Applicazioni», p. 736, nel contesto insiemistico, e

simboli delle applicazioni che vi compaiono. La verifica del fatto che la commu­ «Funzioni», p. 49r, con una de6nizione analoga a quella di «metacategoria»tatività di (r) sia una spiegazione «adeguata» non è invece affidabile a un sem­ [cfr. anche MacLane r97r, trad. it. pp. r9-zo]). Disponendo di essa è facile

Trasformazioni naturali / categorie 500 50I Trasformazioni naturali / categorie

adattare la definizione di funtore da V a V al caso generale di due categorie A si riducessero a insiemi con una certa struttura e loro morfismi (gruppi, anelli,e B. Allora, se F e G sono due funtori A~ B , A ~ B, un a t rasformazioneG moduli, ecc. ). Era poco operante l'idea di utilizzare una descrizione intrinseca

naturale w : F~ G è assegnata dando per ogni oggetto A di A un morfismo delle categorie stesse (sebbene presente fin dall'inizio), e mancavano esempi si­

wz . F(A) ~ G(A) tale che per ogni morfismo f : A~B il d iagramma gnificativi di categorie non descrivibili come in precedenza. La situazione cam­bierà progressivamente, verso la fine degli anni '5o, con la scoperta da parte

F(A) ~ G( A ) di Grothendieck ( i957) «che le categorie di fasci (di gruppi abeliani) sopra~..u> uno spazio topologico erano categorie abcliane ma non categorie di moduli, e

che l'algebra omologica in queste categorie era necessaria per una trattazioneF(B) ~ G (B) completa della coomologia in un fascio (Godement, r958 )» [ibid., p. z56]. A

sia commutativo (cfr. ancora «Dualità», pp. r55-56 ). questa si affiancherà, nel r958, la scoperta da parte di Daniel Kan dei funtoriSi osserverà come in questa presentazione funtori e categorie appaiano co­ aggiunti.

me concetti subordinati per esprimere la naturalità. E tale era certo agli inizi Per procedere in modo non banale nell'esame degli sviluppi successivi oc­la situazione teorica. Va osservato tuttavia che in seguito la situazione si è equi­ corre ora illustrare qualche costruzione categoriale.

librata poiché le strutture descritte come categorie hanno rivelato intrinseca­mente grandi capacità euristiche. Oggi si parla senz'altro di teoria delle catego­rie, forse anche perché le trasformazioni naturali non sono l'unico caso ove si 3. Qualche costruzione categoriale.esplica il concetto di naturalità (si veda in seguito, ad esempio, il concetto dicoppia di funtori aggiunti ).

Per concludere, ecco ora alcune considerazioni. Osserva MacLane: «Una Le costruzioni che vengono qui esposte risultano molto chiare se vengono

trattazione diretta delle categorie in quanto tali apparve in Eilenberg e MacLane pensate con l'idea-guida che i morfismi X~ A , che hanno per codominio un og­

(I945). Ora la scoperta d'idee generali come queste è soprattutto la propensione getto A di una categoria C, debbano essere considerati come «elementi genera­a fare un'astrazione avventata o di carattere speculativo, in questo caso sostenu­ lizzati di A». Sviluppare quest'idea, dandole concretezza, richiede un appro­ta dal piacere di sottrarre parole ai filosofi: "categoria" ad Aristotele e Kant, fondimento teorico che, in parte, sarà sviluppato nelle pagine seguenti. Ci si"funtore" a Carnap (Logische Syntax der Sprache), e "trasformazione natura­ limiterà per ora a far notare come quest'idea sia una generalizzazione dell'abi­le" al linguaggio informale allora corrente» [ibid., p. 46]. Il tono scanzonato non tuale nozione di elemento negli insiemi.deve trarre in inganno (non si dimentichi fra l'altro che MacLane è stato al­ Sia S (dall'inglese set) la categoria degli insiemi [si rinvia ancora a MacLanelievo di Bernays) : fin dall'inizio la teoria si presenta con precise istanze filoso­ I 97I o a Lolli r977 per il senso con il quale si devono intendere « tutti gli in­fiche. Al termine dell'introduzione del loro articolo Eilenberg e MacLane osser­ siemi», nel contesto categoriale] e si consideri in essa l'insieme formato da unvavano: « Il carattere invariante di una disciplina matematica può essere formu­ solo elemento(s]. Si indica abitualmente tale insieme con i. La caratterizza­lato in questi termini. Cosi nella teoria dei gruppi tutte le costruzioni basilari zione di i in termini di morfismi è data dal fatto che, per ogni insieme A, esi­possono essere riguardate come definizioni di funtori covarianti o controvarian­ ste esattamente un morfismo A ~ i , cosa di immediata verifica. Complementar­

ti, cosi che è possibile formulare il detto: l'argomento della teoria dei gruppi è mente, gli elementi di A c o r r ispondono esattamente ai morfismi i ~ A , n e lessenzialmente lo studio di quelle costruzioni gruppali che si comportano in senso preciso che c'è una corrispondenza biunivoca fra questi morfismi e glimaniera covariante o controvariante per gli omomorfismi indotti. Piu precisa­ elementi di A.

mente, la teoria dei gruppi studia funtori definiti su ben specificate categorie Due generalizzazioni si presentano ora possibili: per ogni categoria C, ovedi gruppi, con valori in altre categorie simili. Questo può essere considerato vi sia un oggetto come r (oggetto terminale), è possibile definire gli elementicome una continuazione del Programma di Erlangen di Klein, nel senso che di un oggetto A come i morfismi i ~A. Si parla in tal caso di «elementi globali »uno spazio geometrico con il suo gruppo di trasformazioni è generalizzato a una o «eterni» (Lawvere) di A: una generalizzazione utile, ma piu utile è quellacategoria con la sua algebra di morfismi» [r945, p. z37]. che si è predescritta, ove viene generalizzato anche il dominio dei morfismi di

Ma nell'immediato i fatti non parvero accordarsi con le previsioni. Afferma codominio A,ancora MacLane: «Nel successivo decennio i945-55 le categorie sono state po­ Ecco ora qualche applicazione. Negli insiemi, una funzione f, con f : A ~ B,co studiate, la teoria delle categorie era solo un linguaggio, ed eventuali ricerca­ è detta iniettiva quando, dati due elementi a,a' di A, con a+a', si ha di conse­tori possono essere stati scoraggiati dal diffuso dubbio pragmatico di "nonsense guenza f(a) +f(a'). O anche: f(a) = f(a') implica a = a'. Questa stessa defini­

astratto generale" (teoria delle categorie)» [r97r, trad. it. p. r33]. In realtà la zione, data nel contesto categoriale, con la definizione di elemento generalizza­

situazione pareva suggerire che le principali istanze del concetto di categoria to conduce al concetto di monomorfismo (mono).

Trasformazioni naturali / categorie 502 5o3 Trasformazioni naturali / categorie

DEFINIzIoNE. f : A ~ B è un monomorfismo se, per ogni coppia di morfismi h hsia commutativo, Inoltre, se Z~ A e Z~ B so no altri due morfismi per i qualia: X ~A, a ' : X ~ A , hf = kg, allora esiste un unico morfismo q : Z~ Y'

X~ A Ba'

l 'uguaglianza af =a f implica a = a'.

Nel già citato articolo «Funzioni» si è descritto (p. g92) il prodotto carte­ lsiano cercando soprattutto di mettere in evidenza la sua proprietà universale. A XÈ facile ora rendersi conto del fatto che, con questa nuova definizione di ele­ fmento, essa consiste esattamente nel dire che il prodotto cartesiano è l' insie­ tale che pit, = h e cprr, = k.

me delle coppie di elementi (generalizzati ). I concetti di monomorfismo, ugualizzatore, prodotto cartesiano e prodottoNello stesso spirito, si veda ora l'ugualizzatore. Negli insiemi, date due fun­ fibrato, or ora presentati, costituiscono dispositivi essenziali della teoria delle

zioni f, g aventi lo stesso dominio A e lo stesso codominio B, A ~ B si può de­ categorie. Essi possono tutti essere unificati come «limiti finit i» [si veda Mac­Lane I9yr, trad. it. cap. III ]. Accanto a questi si dànno i concetti «duali», otte­

finire quel sottoinsieme S di A formato dagli elementi x di A tali che f(x) =g (x). nuti pensando ad essi nella categoria opposta (con gli stessi oggetti e le frecceIl sottoinsieme S di A, nel contesto che qui interessa, va pensato come un mo­ in senso contrario ). A titolo d'esempio:nomorfismo m : S~A [per una profonda discussione sul fatto che il concettodi sottoinsieme SáA è « t roppo astratto» e che un concetto piu adeguato è DEFINIzIONE. Dati i du e m orfismi f : A~B e g : A~B i l l o ro cougualizza­quello di «essere sottoinsieme in modo determinato», ossia l'assegnazione di tore è dato da un morfismo p : B~ T tale che, per ogni morfismo y : B~Y conun monomorfismo m : S~A che precisi il «modo»,in cui S è sottoinsieme di fy =gy vi sia esattamente un morfismo k : T~ Y' con pk = y .

A si rinvia a Lawvere i972-y3. L'argomento è effiicacemente ripreso in MeloniI9py-pp]. Ora, ogni elemento di A che renda uguali f e g è già in S. Ciò motiva A~ B ~ T

la seguente

DEFINIzioNE. L'ugualizzatore di due morfismi f : A~B e g : A~ B è un mor­fismo m : S~ A tale che, per ogni morfismo x : X~ A con xf = xg In modo analogo si hanno i concetti di epimorfismo (epi), duale di quello

S gru di monomorfismo, di coprodotto, duale di quello di prodotto e di coprodotto

hT A B fibrato, duale di quello di prodotto fibrato. In seguito si farà liberamente uso

X~ di tutti questi concetti.

vi sia esattamente un morfismo h con hm = x.4. Funtori aggiunti.

(Nella definizione, si preferisce richiedere l'unicità di h piuttosto che m sia unmonomorfismo). Il concetto di coppia di funtori aggiunti, isolato per la prima volta da Kan

In modo analogo si potrebbero motivare ora altre costruzioni. Per non es­ [I958], è certo fondamentale nella teoria delle categorie e corrisponde a unasere troppo didascalici si presenta direttamente la definizione di prodotto fibrato. pluralità di situazioni molto diversificata e articolata (e proprio la sua capaci­

DEFINIzIQNE. Dati due morfismi f : A~x e g : B~x tà unificante dà la sua gran carica concettuale).B Esso non è quindi ricavabile come generalizzazione da un esempio princi­

l« pale, come è stato fatto in precedenza. È piu opportuno quindi premettere ladefinizione astratta e mostrare poi con successivi esempi la ricchezza di con­

A ~ Xf tenuti.

il prodotto fibrato dei due morfismi è dato da un oggetto Y e da una coppia di mor­ DEFINIzIQNE. Siano A e B due categorie e F, G due funtori con F : A~B efismi rr, : Y~A e rr~ :Y~B tali cheil quadrato G ; B~A. Si d irà che F è l'aggiunto sinistro di G (e si scriverà F — lG) se, per

ogni coppia di oggetti A in A e B in B, è dato un isomorfismo pi i i , naturale in

l" ' j « A e B tra i due insiemi di morfismi B(F(A), B) e A(A, G(B)),

A ~ Xf y~ ii : B (F(A),B) A(A, G(B)).

Trasformazioni naturali / categorie 5o4 5o5 Trasformazioni naturali / categorie

(Con la notazione C (X, Y) si indica, dati X e Y oggetti di una categoria C, Esempio 5.l'insieme dei morfismi da X a Y, La definizione di funtori aggiunti si trova an­che nel già citato articolo «Dualità», funzionale tuttavia a un discorso diverso). Siano A e B due preordini (cioè categorie tali che per ogni coppia di oggetti

Di grande aiuto, forse per la persuasività dell'immagine, è raffigurare la si­ vi sia al piu un morfismo tra questi ). Allora la situazionetuazione di aggiunzione con lo schema A ~ G(B)

A ~ G (B) F(A) ~B

F(A) ~ B significa A <G (B) se e solo se F (A) (B . Nel caso B= C'B si ha una connessio­ne di Galois.

(si è semplificato indicando yz z con (l)). La naturalità rispetto agli oggetti Ae B può essere descritta in termini di t rasformazioni naturali introducendo i Esempio 4.funtori adeguati dalla categoria prodotto di A'(' e di B in S. Ma se ne può dare E questo l'esempio piu importante (almeno per chi scrive). Si tratta dellauna descrizione molto semplice utilizzando la figura seguente: descrizione dei quantificatori come funtori aggiunti [Lawvere t(I6(l].

B' B " G(B) G(B )Si consideri una situazione matematica ove intervenga uno dei quantifica­

tori 3, V. Si immagini per esempio di passare dalla formula xy =t alla formu­B(B') , „ , B(A) i

B ,B'

la 3x (xy = r).

La naturalità si può ora esprimere con (I)(F(h)f) = h(i)(f) e con (f (f- h)= ( f)(f) G(h)Passare dalla prima alla seconda formula è anche un fatto «linguistico»: una

Ecco ora alcuni esempi.formula diviene un'altra formula. Si possono dare delle regole che consentanodi dire che la seconda esprime in modo adeguato il concetto «esiste un x tale

Esempio z. che... » (cfr. l'articolo «Logica» in questa stessa Enciclopedia, VIII, pp. 5o6 sgg.).Ma si utilizza qui un punto di vista estensionale. x e y saranno variabili intese

Sia Vet la categoria degli spazi vettoriali su un determinato campo K, e a indicare gli elementi di un certo insieme A, per esempio un anello. AlloraU : Vet ~ S il funtore «dimenticante», che considera cioè per ogni spazio vetto­ con xy = t si individua quel sottoinsieme di A x A dato dalle coppie (x,y), leriale V i vettori di V semplicemente come un insieme (dimenticando la strut­ quali sono formate appunto dagli elementi il cui prodotto è l'unitàtura). Sia U(V) tale insieme. Sia B il funtore che a ogni insieme X associa lospazio vettoriale B (X) con base X su K. A l lora, per ogni insieme X e ogni S

spazio V si ha S = ((x,y) ~ xy=t ).AxA

B(X) ~ V Si può ora considerare la funzione «seconda proiezione» da A. x A ad A defi­

cioè B — I U, poiché un morfismo tra spazi vettoriali è individuato esattamente nita con r(, (x,y) = y .

assegnando le immagini dei vettori della base. La naturalità, come si vede, si­ È possibile infine considerare il sottoinsieme S' di A dato da quegli y che

gnifica che la corrispondenza è definita i modouniforme per X e V. provengono mediante rr, dagli elementi di S

S S'Esempio z.(5)

Si consideri la categoria degli insiemi S. Dati due oggetti A e B è possibile A x A ~formare il loro prodotto cartesiano A x B; dato ancora un oggetto C, è possibi­le considerare anche Bo, la totalità delle funzioni da C a B. Si ha ora Sono, naturalmente, gli elementi di A per i quali esiste un x con xy = r.

Tutta l'azione del quantificatore può allora essere descritta come l'associareA~C~ B

A xB~ Ca S ~ A x A (si evidenzia ancora il modo con cui S è contenuto in A x A ) un

/

S'~A , Come è definito s'l Esso non è che l'immagine della composizione srr».a causa del procedimento familiare con il quale una funzione di due variabili P er mettere in evidenza questo fatto si scriverà s' =3 , (s), Ma il modo stessosi può ridurre a una sola variabile cambiando in modo opportuno il codominio. della definizione suggerisce una generalizzazione. Si consideriQuesto significa che il funtore ( ) x B, definito dall'effettuare il prodotto car­ Stesiano di un insieme per B e in modo conseguente sui morfismi, è aggiunto 'lsinistro del funtore di altrettanto ovvia descrizione ( )~ : ( ) x B — (( ) . X ~ Y

f

Trasformazioni naturali / categorie 5o6 5o7 Trasformazioni naturali / categorie

ove X sostituisce(A x A) e Y ( A ) . Non è al trettanto facilmente definibile Uo U". Naturalmente, nel caso Uo U', si penserà U' come «uno stadio pius': S'~ Y come l'immagine di sfl Questa de6nizione è tuttavia suscettibile di profondo».essere riformulata in maniera ancora piu profonda. Il morfismo f : X~ Y de­ Occorre ora assumere un'ulteriore proprietà. In termini intuit ivi : dati due6nisce per ogni mor6smo h : R~ Y attraverso il prodotto 6brato stadi U e V, esiste'uno stadio che approfondisce entrambi UR V. In termini

Q~ R rigorosi, si dirà che l' insieme preordinato ammette un estremo inferiore perogni coppia di elementi.

)» Ecco ora il concetto di prefascio: un prefascio X è i l dato di un insiemeX Yf X(U) per ogni stadio U e di un'applicazione tra insiemi p<< per ogni coppia

di insiemi U) U , con le proprietà ulteriori: p<<z ­— r~<<.>, pp< • p<„t<„­— p<<„.1

un nuovo morfismof~(h) : Q~X. Nel caso degli insiemi è evidentemente l'im­ Per continuare nella metafora, si può pensare a un elemento xcX (U) come amagine inversa di h : R~ Y, ma, si osserverà, esso è de6nibile in ogni categoria un «individuo allo stadio U». p<< (x) sarà allora lo stesso individuo a uno sta­ove esistano i prodotti fibrati. Negli insiemi, poi, indicando l'immagine di sf dio ulteriore.con 3 (S) e considerato un morfismo t : T~ Y; si ha ( in termini di sottoin­. f È facile rendersi conto che tutti i dati di un prefascio sono racchiusi nell'os­siemi ) :

S T servazione che il preordine degli stadi U, U' , ... è una particolare categoria P,S <:f~ (T) se e solo se 3t(S) <- T. i cui oggetti sono gli stadi e i cui morfismi sono dati dalla corrispondenza

X ~ Y U) U' ~ U ~ U ' . Un p refascio X è semplicemente un funtore controvarian­f te P'» ~S. Dati due prefasci X, Y, un mor6smo tra prefasci, con tutta natura­

Ma occorre esprimersi con piu esattezza. Si osservi a tal fine che i morfismi lità, è de6nito come una trasformazione naturale f : X ~ Y'. Questo significa che,di codominio X possono considerarsi come gli oggetti di una nuova categoria per ogni U) U ' , si ha il quadrato commutativo

S/X per la quale si possono definire i morfismi «< : (S,~X)~ ( S , ~ X ) come X(U) ­" Y (U)triangoli commutativi

S,~ S, »va l l ev

~X> X( U') ~ Y'( U')

Considerando dunque le due categorie S/X e S/Y è ora possibile ridescrivereNaturalmente <st«<, sono le applicazioni corrispondenti di Y.

f~ come un funtore, con f~ : S/ Y~S/X. Pensando ora esattamente 3t (S) comeÈ facile interpretare la commutatività del quadrato: un elemento di X (U)

3t(s), cioè considerando l'immagine di sf come un'azione sui morfismi e nonviene mandato da fz in un e lementofz(x)c Y(U). Ma pz<.(x) è «lo stesso

sui sottoinsiemi, si ha un funtore Bt. Ora, come è immediato verificare,elemento» allo stadio U', cosi come cfr< (fz(x)) è «lo stesso elemento» allostadio U'. Al lora, ovviamente, chiedere la commutatività del quadrato prece­

s f ( t ) dente significa tener conto della particolare nozione di element %ndividuo che

3t(s) t 'si è data.

cioè 3t — <f~. Si immagini ora, in termini di prefasci, la situazione corrispondente a quella

Questa definizione del quantificatore esistenziale, che ha come parallela la esaminata all'inizio di questo lungo esempio:

descrizione del quantificatore universale comef~ — I Vt, è evidentemente suscet­ Stibile di applicarsi a ogni situazione ove le costruzioni categoriali necessarie sia­no possibili e dunque anche in contesti diversissimi dagli insiemi astratti. X ~ Y

Il caso dei fasci è molto istruttivo. Poiché piu volte in quest'Enciclopedia s è•

' > ' ' )

definito rigorosamente il concetto di fascio (si veda ad esempio l'articolo «Dif­ ove S, X, Y sono ora prefasci e s, f trasformazioni naturali. In questo caso 3tferenziale», IV, p. Sz6), si presenterà qui una descrizione intuitiva che ha il e V> non sono suscettibili di alcuna interpretazione se non nei termini descritti,merito tuttavia di suggerire le generalizzazioni presentate nel paragrafo se­ cioè come aggiunti sinistro e destro di f». E tali aggiunzioni si interpretano inguente. modo molto suggestivo. Si veda ad esempio Vt, i l piu interessante in questo

Si supponga di disporre di una serie di «stadi» U, U', U", ..., per i quali si caso. Occorre dunque che sia (con le stesse notazioni usate in precedenza)dia un concetto di «approfondimento». In termini tecnici, essi costituisconoun preordine. Si ha cioè una relazione tra le coppie U, U' che si indica con t ~ Vt (s)U)U ' r i flessiva e transitiva: cioè r) U) U ; z ) U ) U ' e U' o U" im p l i ca f 4(t) s

Trasformazioni naturali / categorie 5o8 5o9 Trasformazioni naturali / categorie

Come è facile verificare, questo conduce a descrivere Vt (s) in questo modo: seguente : yen<(S)(U) non solo quando esiste un x in S (U) con ftr(x) =y, ma

V<(s) = (y ~ f~(y) cs). Se in particolare si pensa a Sc X e a TC Y (senza ba­ anche quando ciò avviene per un numero sufficiente di livelli ulteriori. Esatta­dare al modo della inclusione) si ha V>(S) = (y ~ f~(y) ~ S). mente, esiste un ricoprimento I<U; ) tale che gli y, = p<< (y) sono in f< i(S(U,)).

Ma le inclusioni che compaiono nella formula precedente sono, si ricordi, L'elemento y può non stare nell'immagine a un certo l ivello, ma questotrasformazioni naturali, il che significa certo che per ogni l ivello U si debba può succedere a y in stadi «piu profondi ». Se questo avviene un numero suffi­avere V<(S)(U) = [yc Y(U) ~ f<~(y)uS(U)), ma anche che deve esservi com­ ciente di volte (per un ricoprimento ) allora y è in Z>(S) (U). Si dice anche chepatibilità tra i livelli. Non basta che y al livello U verifichi la definizione, oc­ y è «localmente» nell'immagine.corre anche che per un livello U, con U) U , i l t rasformato di y, oz< (y) verifi­ Queste profonde idee di Lawvere possono essere descritte in molti ulteriorichi la definizione al livello U. Cioè V>(S)(U) = [ye Y(U) ~ f<~(y) áS(U) e, per e fecondi sviluppi sui quali non ci si soffermerà. Ci si limiterà ad osservare cheogni U< U, o«z(y) verifichi f<~(o>r(y)) c: S(U) ). Si usa dire che l'interpreta­ l'interpretazione dei quantificatori nei fasci apre la via a una trattazione della

zione del quantificatore V è universale nei prefasci. L'interpretazione del quan­ « logica» in questa situazione che è ricca di sviluppi profondi. [Per un'esposizio­tificatore 3 è invece semplicemente quella livello per livello (attuale), e non è ne esauriente e dettagliata si veda Meloni I974-pp].perciò molto interessante. Diviene invece di grande interesse nel caso dei fasciche si illustreranno ora.

Occorre un concetto di «ricoprimento» (topologia di Grothendieck ) di uno Il concetto di topos elementare.stadio (se ne può trovare la definizione completa nell'articolo «Locale/globa­le» di questa stessa Enciclopedia, VIII, p. 486. Una trattazione dettagliata si Il concetto di topos di Grothendieck è già intervenuto in numerosi articoliha poi in Johnstone [I977]). Per ogni stadio U sono assegnate certe famiglie di questa stessa Enciclopedia (si veda ancora «Locale/globale», VIII, pp. 486­(U, ~ ieI) di sottostadi U,( U, le quali si giudicano «coprenti» (la terminolo­ 487) e già s'è accennato all'idea di Lawvere di considerare ogni topos comegia è presa dagli spazi topologici, dove queste famiglie sono i ricoprimenti aper­ l'ambito naturale di una « logica interna» ad esso canonicamente associata. Tut­

ti). In qualche modo, U è «rappresentato» dagli U,. Naturalmente, per avere tavia l'idea di Lawvere è anche intimamente connessa a una generalizzazione deluna teoria efficace occorre che queste famiglie siano descritte con opportuni concetto di topos di Grothendieck, senza la quale probabilmente essa sarebbeassiomi (si veda ancora «Locale/globale»), ma, per le esigenze di quest'articolo, assai meno efficace.

essi possono essere sottintesi. Per citare Johnstone, l'idea scaturisce dall'osservare che «ogni topos diSia ora F un certo prefascio. Esso sarà specificato come un fascio descri­ Grothendieck ha un oggetto dei valori di verità Q, e che la nozione di topolo­

vendo il suo comportamento rispetto alle famiglie coprenti. Sia (U;) un rico­ gia di Grothendieck è strettamente connessa agli endomorfismi di Q» [I977,primento dello stadio U. Si hanno allora i morfismi p<,<,, i quali associano a p. xiv]. Qui ci si l imiterà a presentare il primo punto, rinviando allo stessoogni individuo allo stadio U una collezione di individui x; agli stadi U,, con Johnstone [ibid., pp. 76 sgg.] per il concetto di topologia in un topos elementarex; =pi;<i (x). Si ottiene un fascio quando si specifica quali sono le famiglie x, e per altri interessanti sviluppi della teoria. Si vedrà nel paragrafo successivo

di elementi di F (U,) che provengono esattamente in questo modo. Se U, e U. un'importante direzione di r icerca non ancora oggetto di sviluppi sistematici.

sono due sottostadi di U del ricoprimento, l'ipotesi fatta sulla relazione d'ordi­DEFINIzIQNE. Un topos elementare è dato da una categoria E r ) con tutti ine è che esista U;h Ut. Si hanno allora anche i morfismi pz < « , p z < ~z , i limiti finiti; z) che ammetta per ogni oggetto X unfuntore esponenziale ( )­i ag­

quali consentono di trasportare un elemento di U, e un elemento di U, al l i­ giunto destro del funtore ( ) x X. (In tal caso, E si dice cartesianamente chiusa);vello U,A U.. Si ha allora il concetto di famiglia compatibile: una famiglia di3) che ha un sotto-oggetto classificatore Q; cioè un oggetto e un morfismo «vero»elementi x,.e F(U;) tale che p<i <i oz-.(x;) = p> < ~ I,. (x;). Ed ecco ora la v : I ~Q, tale che per ogni monomorfismo f : Y~X vi è una funzione classificante

DEFINIzIQNE. I l p refascio F è un fascio se per ognifamiglia compatibile x, co­ q><, con q>< . 'X~Q tale che sia un prodottofibrato il diagrammame quella precedente esiste esattamente un xe F (U) con p<< (x) = x;. Y ~ I

La situazione ,tJ fv

S X ' Ql ,

X ~ Y L'assioma piu caratteristico è certamente il terzo; se ne veda ora l'interpre­

tazione nel caso degli insiemi astratti. Q è dato semplicemente da (o, I ) (falsopuò ora essere esaminata in termini di fasci. Si vede l'interpretazione di 3>(s). O e vero) e v è definita v ( I ) = i. Un monomorfismof è un «modo» per descriverem eglio, semplificando ancora, con l'inclusione SuX, 3 >(S). Il r isultato è il Y come sottoinsieme di X. q>> è la funzione caratteristica, che vale I sugli ele­

Trasformazioni naturali / categorie 5 Io 5II Trasformazioni naturali / categorie

menti di X che sono immagini di elementi di Y e o altrimenti. Nel caso gene­ Ci si soffermerà brevemente sul punto (z) indicando uno sviluppo dovutorale Q non si ridurrà a due elementi, ma conterrà altri «valori di verità». essenzialmente a Kock, utilizzando il primo [Kock I975-76] di una serie di ar­

Come si vede, tutto è assai semplice, in questo caso. Ciò dipende da una ticoli su questo problema.contraddizione (sottolineata da Lawvere ) che si manifesta nel caso degli insie­ Cosa significa intanto l'incompatibilità con l'usuale teoria degli insiemi > Si­mi : da un lato gli insiemi, come il caso piu «astratto», rappresentano una situa­ gnifica essenzialmente che in essa non è possibile disporre di un'adeguata for­zione poco interessante (si tenga presente che gli insiemi possono pensarsi co­ malizzazione dei procedimenti differenziali con l'uso diretto degli infinitesimi.me i fasci sulla categoria formata da un solo oggetto con i morfismi ridotti alla Ciò è invece possibile per gli «insiemi variabili», i topoi, e si ottiene cosi il du­identità ) ; d'altro lato, quando viene colta negli aspetti essenziali una costruzio­ plice vantaggio di utilizzare strutture spesso piu «aderenti» a ciò che si esaminane che può essere effettuata negli insiemi — con attenzione ad utilizzare come — i topoi appunto —, ove i procedimenti differenziali si dànno in modo assaistrumenti dimostrativi solo quelli della logica intuizionista —, la costruzione può semplice.essere trasferita in ogni topos. Gli insiemi astratti sono dunque un formidabile L'idea-guida di quanto si esporrà ora è che per una funzione f, definita instrumento euristico. un valore a, se d è un infinitesimo, saràf(a+d) = f(a) pb. d. Cioè una funzione

Un teorema [se ne veda la dimostrazione ibid., p. z4] e un esempio da­ lineare. Ovviamente allora b = f'(a).ranno ora un'idea dell'estensione del concetto di topos elementare: Come si vede non è esattamente una novità, da un certo punto di vista:

TEQREMA. Ogni topos di Grothendieck è un topos elementare.lo è invece nel senso che esistono contesti non banali ove questo approccio èpossibile e agevole.

D'altro lato, come è assai facile verificare, la categoria degli insiemi finiti non Sia allora E un topos elementare (in realtà per molti sviluppi si può chie­è un topos di Grothendieck, pur essendo un topos elementare. dere meno, ma ci si pone direttamente in questo contesto per semplicità ) e sia

I topoi elementari sono dunque «piu generali» dei topoi di Grothendieck, il A un oggetto anello in esso. Ciò significa che sono dati certi morfismi A x A ~ A ,che, come ricorda l'epigrafe posto all'inizio di questo articolo, può essere di in­ A x A ~ A, A ~ A , I ~ A, I ~ A , ch e corrispondono alle abituali opera­— () IP1 l' 11

teresse assai scarso. Ma il fatto è che essi colgono, con la descrizione assiomati­ zioni di un anello, la somma, il prodotto, ecc, Naturalmente queste operazionica che s'è vista, gli aspetti realmente centrali della teoria, consentendone uno debbono soddisfare a determinati assiomi, il che significa che si richiede la com­sviluppo facile e diretto. La maggior generalità fornisce al tempo stesso un pre­ mutatività di certi diagrammi. Si vede, ad esempio a + o = a, per ogni elementozioso materiale per interpretare teorie logiche prive di modelli nel caso classico. a. Ciò significa che i due morfismiNel paragrafo seguente ci si soffermerà su un esempio di questo genere; nonsi accennerà invece agli sviluppi della teoria, per cui si può vedere Meloni A = A x I ~ A x A ~ A['974 77].

A 11

6. Il c a lcolo dif ferenzial dal punto di vista categoriale. debbono essere uguali. In modo analogo si procede per gli altri assiomi.Occorre ora l'oggetto D degli infinitesimi. Esso è fornito dall'ugualizzatore

In occasione della pubblicazione degli atti di un convegno su Topos- Theore­ dei due morfismitic Methods in Geometry and Analysis, tenuto ad Aarhus nel maggio I978, il A ~ A x A ~ Acuratore Kock ha posto come primo articolo Categorical Dynamics di Lawvere.Si tratta di una serie di conferenze che risalgono al I967, le quali, pur rimasteinedite per anni, hanno avuto larga infiuenza su molti ricercatori. In una notaesplicativa posta all'inizio, Lawvere osserva come: «In queste conferenze, io In termini di «elementi» si tratta dei d tali che d» =o. Accanto a D si hanno i

davo alcuni calcoli preliminari per favorire un programma per (g) assiomatiz­ due funtori ( ) x D e ( ), c on ( ) x Dp( p ( c f r . p. 5o9), e dunque i morfismizare la fondazione della meccanica dei continui nello spirito di Walter Nolisulla base di (z) una assiomatizzazione diretta dell'essenza della topologia dif­

A x D~ A .A

ferenziale usando risultati e metodi dei lavori francesi in geometria algebrica(alcuni dei quali ho appreso da Gabriel ) ; ma mi accorsi poi che questo richie­de ( I ) lo studio assiomatico delle categorie di insiemi lisci, simili ai topoi di ove + si ottiene per aggiunzione. Ancora, in termini di elementi, 4- è il mor­Grothendieck, poiché la forma piu naturale di (z) è incompatibile con la usuale fismo definito da a~a + ( ) ove la parentesi va «riempita» con gli infinitesimi.teoria degli insiemi» [I967, p. I]. a+ ( ) è la funzione che per ogni d vale a+d.

Trasformazioni naturali / categorie 5I2 5I3 Trasformazioni naturali / categorie

Sia ora Dt il morfismo A x A ~ AD che, descritto direttamente sugli elementi, teoria delle categorie si può riformulare, chiarire, penetrare piu a fondo se siè dato da (ai, aa) ~a,+a,( ) [cfr. ibid., P. 3 Per la descrizione in termini di dia­ vuole ; ma non si può in realtà «dimostrare». I suoi metodi sono troppo astrattigrammi]. e generali per intervenire con reale efficacia a promuovere risultati. Solo dopo

Ora è facile osservare che AD, come nel caso degli insiemi ove si definisco­ che un risultato è stato acquisito si può intervenire in maniera categoriale.no le operazioni «punto per punto», è a sua volta un anello ; cc si mostra facil­ È certo importante, si può osservare, che il lemma di Yoneda unifichi cosemente essere un omomorfismo di anelli. Ed ecco ora il fatto fondamentale [cfr. all'apparenza assai distanti come le sezioni di Dedekind e il teorema di rappre­ibid., p. 8]: sentazione di Cayley, ma questo è un fatto «concettuale», non un effettivo ri­

AssloMA. Il morfismo ot è invertibile. sultato suscettibile di incrementare lo sviluppo della ricerca matematica.— l A obiezioni di questo genere si potrebbe rispondere citando titoli di merito,

Sia ora y il morfismo definito da AD ~ A x A ~ A . , ove Pa è la seconda teoremi effettivamente dimostrati, ecc. Ma questa risposta sarebbe estrinseca.proiezione. Ed ecco ora l'operazione di derivazione: Si può invece farsi carico delle obiezioni e vedere che cosa esse realmente si­

DEFINIzIQNE, Dato il morfisrno f : A ~A, la sua derivata è data da gnificano. Che cosa, in eRetti> Riflettono una concezione della matematica cheA

tiene separati da un lato l'operare «concreto», l'effettivo ottenimento dei risul­fD

A . ~ AD ~ A D ~ A . . tati, dall'altro i l r i flettere sui metodi, sulle procedure sui legami tra le partidella matematica. Separazione forzata e insostenibile.

fD + fSi osserverà che A~ A ~ A ha per aggiunta A X D ~ A ~ A , che è il mor­ Hilbert, a detta di Gordan, avrebbe fatto teologia e non matematica scio­fismo definito sugli elementi con (a,d) ~f(a+d). Al lora, per il significato del­ gliendo il famoso problema degli invarianti, ma chi oggi non accetta, oltre ai

tD suoi risultati, anche le tecniche usate>l'aggiunzione, il morfismo A~ A. ~ AD è dato, ancora sugli elementi daf(a+ È certo vero che l'aritmetica di Frege non aiuta afFatto ad eseguire meglio le+ ( )). Ora, con y, prima si associa a questa funzione l'unica funzione lineare operazioni aritmetiche, ma è difficile sostenere che essa non abbia avuto esiticorrispondente (per l'assioma) — sia a, + a,( ) — e poi con la seconda proiezione importanti anche sulla «pratica» matematica: si pensi all'importanza dell'ana­si prende aa. lisi delle dimostrazioni dal punto di vista del calcolo con l'elaboratore. Cosi ciò

Questa nella sostanza la spiegazione della definizione. Da questa definizione che realmente viene a manifestarsi non è che la volontà di tenere separato ciòconseguono con grande facilità tutti i consueti sviluppi del calcolo differenziale che per sua natura è intimamente unito.sui quali, ovviamente, non è il caso di insistere. Infine un'osservazione: soprattutto a partire dagli anni '7o, ossia dai topoi

Ed ecco ancora un possibile modello [cfr. ibid., pp. I3-I4 ]. Sia R la catego­ elementari, s'è avuto uno sviluppo imponente della ricerca nel campo delle ca­ria degli anelli commutativi finitamente presentati, e sia ( la categoria dei fun­ tegorie: si hanno ormai molte centinaia di articoli. Difficile cosi dare una vi­tori covarianti verso la categoria degli insiemi. Allora l ' inclusione di Yoneda sione sistematica e unitaria, enucleare le idee centrali. Ma, in ogni caso, è que­R'n ~ ( va lutata su Z[X] dà un oggetto anello con le proprietà richieste. Si sto che occorre fare, e che certo quest'articolo avrà fatto solo in parte, rifiutan­tratta naturalmente del «riflesso» della abituale differenziazione formale dei do la comoda e sgradevole immagine d'un vasto inesplorato e inesplorabile ter­polinomi [ibid., p. I7]. ritorio ove l'«esperto» non può che manifestare la propria solidarietà al «pro­

Il lettore avrà osservato come spesso accanto ai diagrammi v'era una facile fano», consacrando cosi il proprio ruolo di funzionario. [M.o.].«lettura» in termini di elementi. Non è possibile perseguire direttamente que­sto punto di vista> In effetti molti degli ul t imi approcci stimolati ancora daLawvere vanno in questa direzione. Naturalmente occorre però rendersi contoche, poiché i modelli non sono negli insiemi ma negli «insiemi variabili», oc­ Bergson, H.-L .

corre trattare gli elementi con la logica intrinseca ad essi, cioè la logica intui­ I907 L' Ev o lu t ion creatrice, Alcan, Paris ; ed. Presses Universitaires de France, Paris 1970.

zionista [cfr. Casella e Meloni itI8o; Meloni I974-77]. Casella, A., e Meloni, G. C.t98o In t r o duaione alle quantità varialnli con infinitesimi, Is t i tuto di Ma tematica dell'Univer­

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Sciences of the Uni ted States of America», XXV I I I , pp . 537-43.

All'autore di quest'articolo è capitato, chiedendo a Takeuti un giudizio su 1945 Generai theory of natural equivalences, in «Transactions of the American MathematicalSociety», Lv l l l , pp . 231-9«..

una recente ridimostrazione, da parte di I awvere e Tierney, del risultato diFrajese, A., e Maccioni, L.

Cohen sull'ipotesi del continuo, d'avere nella sostanza questa risposta: con la »97o C o m m ento agli Elementi di Euclide, Utet, To r ino .

Trasformazioni naturali / categorie 5I4

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Al concetto di categoria si è giunti dopo che il concetto di trasformazione naturaleè stato astratto(cfr. astratto/concreto) dalla pratica della topologia algebrica (cfr. geo­metria e topologia). Ma esso è anche al termine di un processo (cfr. dialettica, storia,tempo/temporalità) non privo di interazioni con il pensiero filosofico (cfr. categorie/categorizzazione, filosofia/filosofie, sistematica e classificazione) e con le rifles­sioni della fine del secolo scorso sulla natura della geometria (cfr. invariante). La teoria(cfr. teoria/modello) delle categorie, limitata dapprima a un comodo linguaggio perdescrivere certe realtà (cfr. reale, spiegazione) matematiche, ha acquisito due im­portanti approfondimenti con la scoperta del concetto di aggiunzione e soprattutto coni l concetto di topos (cfr. applicazioni, strutture matetnatiche), proseguito poi conquello di topos elementare (cfr. elementi, infinitesimale, locale/globale). Di qui im­portanti interazioni con la logica, la geometria algebrica e, in generale, il dispiegarsi di unvasto programma fondazionale.