35

Stud model-prez

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Stud model-prez

������ �������� �����

����� ���� �������� ������

���� ����

���������� ��� ��� ���������� ���� �� ���

�� � � ����

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 2: Stud model-prez

� �� ����� ������������� �� ���������� !"! ����#��$����%�&'() *)+),) �-%'.)���% ���&�/(�%�&'() *)+),) �-%'.)���% ���&�)+),) �-%'.)���% ���& * %.0 )./ 1�'�0+/,(02-�

� �� ���3�4��""� 5���"�! 6��73��608/'�((& -�1�)�0*10+�� -�1�)�� (&((& ��+'0+/().�9/ -) )9%2-/9/�� (&((& 90�/ )(� 2-'%(/

� :

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 3: Stud model-prez

�"#"$% �&�'�"�%�(%) '�������� *����� ��������������

�� ������ ���� �������� ��������� ����� ����������

���� ������� �� ��� ��������������

"�;)< 210,)-9% p,q, ρ *)+0 0��(&=-� %.0 %>���� p ∈ C 1([0, �])? p(x) > 0? x ∈ [0, �]?

q, ρ ∈ C([0, �])? ρ(x) > 0? x ∈ [0, �]��0*��&(�.0 *)+),%>

(p(x)X ′(x))′ + q(x)X (x) = −λρ(x)X (x), x ∈ (0, �), (1.1)

b0 X′(0) + c0 X (0) = 0, (1.2)

b� X′(�) + c� X (�) = 0, (1.3)

+� b0, c0, b�, c� ∈ R? b20 + c20 > 0? b2

� + c2� > 0�������� �������� �� ������������� 10�&�)@ -0.%? A0B *()<-/ -)9�,/2�) λ ∈ C -) C%(9D�E X ∈ C 2((0, �)) ∩ C 1([0, �])? X �≡ 0? A0 *)+0 0��(&=-�'� (&((& F���G -) %.0 / F���G? F��HG�7� λ ()*/ )=-�2& ������� �������� *)+),�?) X = X (x) � ������� ��������� '� *� ������������ 6)') {��� ������� ��� ��� ��} ()*/ )@-�2& �������� �� � �����

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 4: Stud model-prez

�"#"$% �&�'�"�%�(%) '�������� *����� ��������������

I0B '0* #&*)-/ '� *� ����� -'�B) *()<-/ *)�)��(/< '0* #&*09 ��� ���0 10'&+9%F���G� ��( .)@ /��&+

X (x) = C1 X1(x) + C2 X2(x), x ∈ (0, �), (1.4)

+� X1? X2 � 5�� F���G� 6�+2-) / 8/ F��JG 9')<0 � %.0 / F���G? F��HG? +�&*();0+K�((& 2-)�/; C1? C2 0+�'K/.0 2/2-�.% )���B'/,(/; '� (&(�{

C1[b0 X′1(0) + c0 X1(0)] + C2[b0 X

′2(0) + c0 X2(0)] = 0,

C1[b� X′1(�) + c� X1(�)] + C2[b� X

′2(�)) + c� X2(�)] = 0.

(1.5)

�9A0 C1 = C2 = 0? -0 X ≡ 0 � (� �)2() C%(9D�&� �0.% %.0 ) |C1|+ |C2| �= 0 +�&2/2-�./ F��LG +/9-%@ /90()((& '� (02-�∣∣∣∣ b0 X

′1(0) + c0 X1(0) b0 X

′2(0) + c0 X2(0)

b� X′1(�) + c� X1(�) b� X

′2(�) + c� X2(�)

∣∣∣∣ = 0. (1.6)

���� !��"� ��)2(� *(),�((& *� ����� ()*/ )@-�2& ������� ������ �������?&9A0 <0.% �+10 �+)@ �/8� 0+() �)2() C%(9D�& F* -0,(�2-= +0 90(2-)(-/G? -0B-0?&9A0 X1? X2 � �)2(� C%(9D�E? A0 �+10 �+)=-� 0+(0.% �)2(0.% *(),�((=? -0 X1?X2 � ��(�<(0 *)��K(� C%(9D�E�

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 5: Stud model-prez

�"#"$% �&�'�"�%�(%) '�������� *����� ��������������

�!#� � F1'0 1'02-0-% �)2(/; *(),�(�G� �2� �)2(� *(),�((& '� *� ����� @ 1'02-/./����� !��"� z1? z2 ()*/ )=-�2& ���������������������� () �+'�*9% [0, �] * )�0= v ? &9A0

�∫0

v(x)z1(x)z2(x) dx = 0.

�9A0 v ≡ 1? -0 z1? z2 ()*/ )=-�2& 1'02-0 ������������� ��������� () [0, �]��!#� $ F1'0 0'-0�0()��(�2-� �)2(/; C%(9D�<G� "�;)< {λ1,X1}? {λ2,X2} � '0* #&*9/'� *� ����� �0+� &9A0 λ1 �= λ2? -0 X1 -) X2 0'-0�0()��(� () [0, �] * )�0= ρ��!#� % F1'0 (� 90.1��92(�2-� �)2(/; *(),�(�G� �� *� ����� (� .0K� .)-/90.1��92(/; �)2(/; *(),�(���!#� & F1'0 /��&+ �)2(/; C%(9D�<G� ��)2(� C%(9D�E '� *� ����� .)=-� /��&+

X (x) = K z(x), (1.7)

+� z � +�<2(0*(),() C%(9D�&? K ∈ C \ {0} � C�920 )(� ,/2�0��!#� ' F1'0 *()9 �)2(/; *(),�(�G� �9A0 /90(%=-�2& %.0 / ���?

b0 c0 ≤ 0, b� c� ≥ 0. (1.8)

-) %.0 )q(x) ≤ 0, x ∈ [0, �], (1.9)

-0 2� �)2(� *(),�((& '� *� ����� � (� �+#@.(���� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 6: Stud model-prez

�"#"$% �&�'�"�%�(%) '�������� *����� ��������������

�!#� ( F1'0 (%��0 � �)2(� *(),�((&G� �/2�0 λ = 0 @ �)2(/. *(),�((&. '� *������ -���9/ % /1)+9%? 90�/ q(x) ≡ 0 � 90�/ %.0 / F���G? F��HG @ %.0 )./ +'%�0�0'0+%��!#� ) F1'0 �2(% )((& �)2(/; *(),�(�G� 6'/ /90()((� %.0 ���? F��MG -) F��NG '�*� ����� .)@ -0,(0 *��,�((% 9���9�2-� '0* #&*9� { {λn,Xn} }n∈N? �)2(� *(),�((& *&9/; .0K() 10'&+9% )-/ -)9>

0 ≤ λ1 < λ2 < . . . < λn < . . . . (1.10)

� D�0.% /1)+9% limn→∞

λn = +∞�

"�;)< /90(%=-�2& %.0 / ��./ O � { {λn,Xn} }n∈N � 2� '0* #&*9/ *)+),� F���G�F��HG?���� !��"� 5%(9D�& f ()*/ )@-�2& ������������������� () (a,b) F10*(),)-/.�.0D� -)9 f ∈ PC(a, b)G? &9A0 �2(%@ -)9)? .0K�/ 0 10'0K(&? 29�(,�(() .(0K/() -0,09Mf = {x1, x2, . . . , xm} ⊂ [a, b]? A0 C%(9D�& f @ (�1�'�' () 90K(�< -0,D�x ∈ [a, b] \Mf ? � +�& 90K(0E -0,9/ y ∈ Mf ? .)-/.�.0>�G &9A0 y �= a? y �= b? -0 ∃ f (y + 0) -) f (y − 0)P�G &9A0 y = a? -0 ∃ f (y + 0)PHG &9A0 y = b? -0 ∃ f (y − 0)PJG 2).�< -0,D� y C%(9D�& f .0K� B%-/ (� /*(),�()���*+�,!��"� �'0*%.��0? A0 C([a, b]) ⊂ PC(a, b)�-./01�2� �9A0 g(x) = |x |? x ∈ [−1, 1]? -0 g ′ ∈ PC(−1, 1)�

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 7: Stud model-prez

�"#"$% �&�'�"�%�(%) '�������� *����� ��������������

!3.!#� � F�-@9�0 )G� "�;)< +�& f ∈ C([0, �]) �2(%@ f ′ ∈ PC(0, �)� �0+� &9A0 f*)+0 0��(&@ 9')<0 � %.0 / F���G? F��HG? -0 f .0K() '0*9�)2-/ )B20�=-(0 �'� (0.�'(0 *B�K(/< () [0, �] ��� ������� ��������� ���������� ��� ������������� !�!"� !�#"? -0B-0 *)1/2)-/ % /��&+�

f (x) =∞∑n=1

fnXn(x), x ∈ [0, �], (1.11)

+� {Xn}n∈N � 2� �)2(� C%(9D�E '� *� ����� * ��./ O?

fn =1

In

�∫0

ρ(x)f (x)Xn(x) dx , (1.12)

In =

�∫0

ρ(x)|Xn(x)|2 dx , n ∈ N. (1.13)

!3.!#� $ F1'0 '� (�2-� 6)'2� )�&G� �9A0 C%(9D�& f ∈ C([0, �]) *)+0 0��(&@9')<0 � %.0 / F���G? F��HG -) �2(%@ f ′ ∈ PC(0, �)? -0 /90(%@-�2& �������� $������

�∫0

ρ(x)|f (x)|2 dx =∞∑n=1

In|fn|2. (1.14)

6'/ D�0.% '&+ 1') �< ,)2-/(� D�@E '� (02-� @ *B�K(/.��� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 8: Stud model-prez

�"#"$% �&�'�"�%�(%) +,�������� *����� ��������������

���� ������� �� ��� ��������������

-./01�2� �0*��&(�.0 '� (&((&

(x y ′(x))′ = 0. (1.15)

0�0 .0K() *)1/2)-/ -)9/; /��&+);>

x y ′′ + y ′ = 0 �� x2 y ′′ + x y ′ = 0, (1.�L′)

y ′′ +1

xy ′ = 0. (1.�L′′)

�'0*%.��0? A0 D� 0+(0'�+(� '� (&((& 3<��') � <0�0 *)�)��(/. '0* #&*90. @ C%(9D�&

y(x) = C1 + C2 ln x , (1.16)

+� C1? C2 � +0 ���(� 2-)����0.%> &9A0 90�C�D�@(-/ ��(�<(0�0 '� (&((& /'0+K%=-�2& F≡ .)=-� '0*'/ G?()1'/9�)+ -0,D� r = 0? -0 .0K� (� �2(% )-/ C%(+).�(-)��(0E 2/2-�./ '0* #&*9� D�0�0 '� (&((&? 29�)+�(0E * + �,� (�1�'�' (0 +/C�'�(D�<0 (/; C%(9D�<� �0+�*)�)��(/< '0* #&*09 '� (&((& B%+� '0*'/ (0= C%(9D�@= -0,D� r = 0? ) -0.% (�*)+0 0��(&-/.�? ()1'/9�)+? %.0 % y(0) = ����� * /,)<(0.% 2�(2�� �%+�.0 +�&'� (&(� -/1% F���LG 9')<0 % %.0 % -0,D� x = 0 *)+) )-/ % /��&+�

|y(0)| < +∞. (1.17)

�0*%.�-/.�.0 EE -)9> C%(9D�& y *)+0 0��(&@ F���OG? &9A0 0() @ 0B.�K�() 1'/x → +0� �)9 C%(9D�& y * F���QG *)+0 0��(&@ F���OG &9A0 C2 = 0�

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 9: Stud model-prez

�"#"$% �&�'�"�%�(%) +,�������� *����� ��������������

��& %2%(�((& .0K�/ /; (�10'0*%.�(� -�1�' (� �+0.% C%(9D�= 10*(),)-/.�.0P = P(r) � *)+),% '0*��&+)-/.�.0 () �+'�*9% [0,R]? +� R > 0 � +�&9� ,/2�0�"�;)< -�1�' p, q, ρ *)+0 0��(&=-� %.0 %>�4�� p ∈ C 1((0,R])? p(r) > 0? x ∈ (0,R]? q, ρ ∈ C((0,R])? ρ(r) > 0? x ∈ (0,R]?p(0) = 0? bR , cR ∈ R? |bR |+ |cR | �= 0��0*��&(�.0 ���������� ��� �������������>*()<-/ -)9� ,/2�) λ ∈ C -) C%(9D�E P ∈ C 2((0,R])? P �≡ 0? A0

(p(r)P ′(r))′ + q(r)P(r) = −λρ(r)P(r), x ∈ (0,R], (1.18)

|P(0)| < +∞. (1.19)

bR P ′(R) + cR P(R) = 0. (1.20)

�!#� 5 F1'0 0'-0�0()��(�2-� �)2(/; C%(9D�<G� "�;)< {λ1,P1}? {λ2,P2} � '0* #&*9/*)+),� F���MG? F����G� �9A0 λ1 �= λ2? -0 P1 -) P2 0'-0�0()��(� () [0,R] * )�0= ρ��!#� 6 F1'0 (� 90.1��92(�2-� �)2(/; *(),�(�G� �)+),) F���MG�F����G (� .)@90.1��92(/; �)2(/; *(),�(���!#� �7 F1'0 *()9 �)2(/; *(),�(�G� �9A0

bR cR ≥ 0, q(r) ≤ 0, r ∈ (0,R], (1.21)

-0 2� �)2(� *(),�((& *)+),� F���MG�F����G � (� �+#@.(���!#� �� F1'0 (%��0 � �)2(� *(),�((&G� λ = 0 @ �)2(/. *(),�((&. F���MG�F����G-���9/ % /1)+9%? 90�/ q(r) ≡ 0 � %.0 ) F����G @ %.0 0= +'%�0�0 '0+%�

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 10: Stud model-prez

�"#"$% �&�'�"�%�(%) ������ �������������� * ������, -�����,���.��

���� �� ��� ��������������� ������� ���� ������

%�� ������������� ������ ������������� 10�&�)@ -0.%? A0B *()<-/ -)9�,/2�) λ ∈ C -) C%(9D�E Φ ∈ C 2([−π, π])? Φ �≡ 0? A0

Φ′′(ϕ) + λΦ(ϕ) = 0, ϕ ∈ (−π, π), (1.22)

Φ(−π) = Φ(π), Φ′(−π) = Φ′(π). (1.23)

�!#� �$ F1'0 0'-0�0()��(�2-� �)2(/; C%(9D�<G� "�;)< {λ1,Φ1}? {λ2,Φ2} �'0* #&*9/ *)+),� F����G? F���HG� �9A0 λ1 �= λ2? -0 C%(9D�E Φ1 -) Φ2 0'-0�0()��(� ()[−π, π]��!#� �% F1'0 (� 90.1��92(�2-� �)2(/; *(),�(�G� �)+),) �-%'.)���% ���& *%.0 )./ 1�'�0+/,(02-� (� .0K� .)-/ 90.1��92(/; �)2(/; *(),�(���0K() 109)*)-/? A0 λ0 = 0? Φ0(ϕ) ≡ 1 � '0* #&*09P +�& 90K(0�0 n ∈ N ,/2�0λn = n2 @ �)2(/. *(),�((&. *)+),� F����G? F���HG� 0.% �+10 �+)@ + � ��(�<(0(�*)��K(� �)2(� C%(9D�E

Φ1n(ϕ) = cos(nϕ), Φ2

n(ϕ) = sin(nϕ), ϕ ∈ [−π, π].���� !��"� ��.#& C%(9D�<

1, cos(ϕ), sin(ϕ), . . . , cos(nϕ), sin(nϕ), . . . (1.24)

()*/ )@-�2& �������� ���������������� �������� ������&��� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 11: Stud model-prez

�"#"$% �&�'�"�%�(%) ������ �������������� * ������, -�����,���.��

!3.!#� & F1'0 '0*9�)+ C%(9D�E '&+ *) 02(0 (0= -'/�� 2/2-�.0= C%(9D�<G� "�;)<h ∈ C([−π, π])? �2(%@ h′ ∈ PC(−π, π) -) h(−π) = h(π)� �0+� h '0*9�)+� )B20�=-(0 �'� (0.�'(0 *B�K(/< () [−π, π] ��� '���(

h(ϕ) = h0 +∞∑n=1

[h1n cos(nϕ) + h2

n sin(nϕ)

], (1.25)

+� �������(��� '���( h0, h11, h

21, . . . -)9�

h0=1

π∫−π

h(ϕ) dϕ,

h1n=

1

π

π∫−π

h(ϕ) cos(nϕ) dϕ,

h2n=

1

π

π∫−π

h(ϕ) sin(nϕ) dϕ. (1.26)

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 12: Stud model-prez

�"#"$% �&�'�"�%�(%) ������ �������������� * ������, -�����,���.��

")2��+90. D�@E -�0'�./ @ -)9) ��.)��!#� �& ��� �������(��� ����� '���( �����) ������&"� "�;)< f ∈ C([0, �]) -)�2(%@ f ′ ∈ PC(0, �)� �0+��G &9A0 f *)+0 0��(&@ %.0 / f (0) = f (�) = 0? -0 EE .0K() '0*9�)2-/ )B20�=-(0 �'� (0.�'(0 *B�K(/< () [0, �] ��� '���(

f (x) =∞∑n=1

fn sin(πn�x), x ∈ [0, �], (1.27)

+� fn =2

�∫0

f (x) sin(πn�x)dx , n ∈ N. $'�. -0�0? *B�K(/. @ ,/2�0 /< '&+

∞∑n=1

|fn|. (1.28)

�G &9A0? +0+)-90 0? f ∈ C 1([0, �]) -) f ′′ ∈ PC(0, �)? -0 *B�K(/. @ '&+∞∑n=1

n|fn|. (1.29)

HG &9A0? +0+)-90 0? f ∈ C 2([0, �])? f ′′(0) = f ′′(�) = 0 -) f ′′′ ∈ PC(0, �)? -0 *B�K(/<∞∑n=1

n2|fn|. (1.30)

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 13: Stud model-prez

��#/0("��) 1'�2/+%( 1�3,����� ��-��

$� ���8�9����� :������� -��;8���

���� ������ �� ���! �"� �����#�$�� ���%������� ������

�� "�;)< ./ .)@.0 2-�'K�(�? -0B-0 9'%�0 /< D/��(+' +0 K/(/ � > 0 * 1�0A�=101�'�,(0�0 1�'�'�*% S ? &9/< @ -�1�0�*0�� )(/< * B09� � +02/-� -0(9/<? A0B )K)-/ -�.1�')-%'% % 2�; -0,9); 101�'�,(0�0 1�'�'�*% 2-�'K(& 0+()90 0=�%��� '���( 10�&�)@ -0.%? A0 &9A0 -�.1�')-%') -��) @ (�0+(0'�+(0=? -0 -��� /(/9)=-� -�1�0 � 10-09/? &9� ()1'&.��(� * .�2D� * B���80= -�.1�')-%'0= .�2D&* .�(80= -�.1�')-%'0=� ��1�0 (�B/ 1�'�;0+/-� * 0+(�@E ,)2-/(/ 2-�'K(& �(8%��+/(/D& /.�'= )((& 9���902-� -�1�) � 9)�0'�&� ")1'/9�)+? 0+() ������ F,/ 0+()����������G � D� 9���9�2-� -�1�)? &9% -'�B) ()+)-/ � �').% 0+/? A0B ()�'�-/ EE() 0+/( �')+%2 �+ �N?L0C +0 ��?L0C �"�;)< [x1, x2] ⊂ [0, �]? Θ(x) � -�.1�')-%') -0,D� x ∈ [x1, x2] 2-�'K(&� �9A0 ()9�(D&; x = x1? x = x2 9%29) [x1, x2] 2-�'K(& 1�+-'/.% )-/ -�.1�')-%'% Θ(x1) -)Θ(x2) �+10 �+(0? -0 -�1�0 1�'�;0+/-/.� �+ B���8 ()�'�-0E ,)2-/(/ 2-�'K(& +0.�(8 ()�'�-0E ,)2-/(/� �9A0 Θ(x1) > Θ(x2)? -0 9���9�2-� -�1�)? A0 1'0;0+/-� ,�'�*,)2-/(% [x1, x2] 2-�'K(& * 1�'�'�*0. S *) 1'0.�K09 ,)2% [t, t +Δt] ()1'&.9% 02�−→OX *)+)@-�2& �921�'/.�(-)��(0= C0'.%�0=

Δq+ = kΘ(x1)−Θ(x2)

x2 − x1S Δt = −kΘ′(x̃) S Δt,

+� k � �������(�� ����������������? &9/< *)��K/-� �+ .)-�'�)�% 2-�'K(&?-�.1�')-%'/? -) .0K� .�(&-/2& * 1�/(0. ,)2%? x̃ ∈ (x1, x2)�

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 14: Stud model-prez

��#/0("��) 1'�2/+%( 1�3,����� ��-��

�9A0 Θ(x1) < Θ(x2)? -0 9���9�2-� -�1�)? A0 1'0;0+/-� ,�'�* [x1, x2] *) 1'0.�K09,)2% [t, t +Δt] ()1'&.9%? 1'0-/��K(0.% +0 ()1'&.9% 02�

−→OX *)+)@-�2& C0'.%�0=

Δq− = k Θ(x2)−Θ(x1)x2−x1

S Δt = kΘ′(x̂) S Δt, +� x̂ ∈ (x1, x2)� �1'&.% ) 8/ x1 -) x2 +0 x ?0-'/.)@.0? A0 9���9�2-� -�1�)? &9) 1'0;0+/-� ,�'�* 1�'�'�* S -0,D� x 2-�'K(& *)1'0.�K09 ,)2% [t, t +Δt] '� ()

q+(x) = −kΘ′(x)S Δt, (2.1)

&9A0 -�1�0 <+� ()1'&.9% 02�−→OX � '� ()

q−(x) = kΘ′(x) S Δt, (2.2)

&9A0 -�1�0 <+� ()1'&.9%? 1'0-/��K(0.% 02�−→OX �

�0*��&(�.0 09'�.0 /1)+09? 90�/ x = 0 -) x = l � .�K 2-�'K(�. -) *0 (�8(�.2�'�+0 /A�. () <0�0 9�(D&; F* -�.1�')-%'0= T0 -) T�G 1'0;0+/-� -�1�00B.�(����+(0 ���� *����� 9���9�2-� -�1�)? A0 1'0;0+/-� ,�'�* 9�(D� 2-�'K(& @1'010'D�<() '�*(/D� -�.1�')-%' -��) � () 90�/8(�0�0 2�'�+0 /A)� �0.% &9A0-�1�0 /;0+/-� ,�'�* 9�(�D� x = l F-0B-0 Θ(�) > T�G? -0

q+(�) = σ�(Θ(�)− T�) S Δt. (2.3)

�9A0 -�1�0 /;0+/-� ,�'�* 9�(�D� x = 0 FΘ(0) > T0G>

q−(0) = σ0(Θ(0)− T0) S Δt. (2.4)

�%- σ0, σ� > 0 � �������(��� ������+���� 2-�'K(& * *0 (�8(�. 2�'�+0 /A�.��� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 15: Stud model-prez

��#/0("��) 1'�2/+%( 1�3,����� ��-��

$� �������� ��������� �� � ������� "�;)<.)@.0 2-�'K�(� +0 K/(/ � > 0 * 1�'�'�*0. S ? &9/< @ -�1�0�*0�� )(/< * B09� �+02/-� -0(9/<? A0B )K)-/ -�.1�')-%'% % 2�; -0,9); 101�'�,(0�0 1�'�'�*%2-�'K(& 0+()90 0=� "�;)< u(x , t) � -�.1�')-%') .0.�(- ,)2% t -0,09 1�'�'�*%2-�'K(&? A0 1�'1�(+/9%�&'(/< +0 02�

−→OX � 1'0;0+/-� ,�'�* -0,9% x ∈ [0, �]� �9 ./

-���9/? A0 109)*)�/ F+/ � F���GG 9���9�2-� -�1�)? A0 1'0;0+/-� ,�'�* 1�'�'�* S -0,D� x 2-�'K(& *) 1'0.�K09 ,)2% [t, t +Δt] ()1'&.9% 02�

−→OX '� ()

Δq1(x) ≈ −kux(x , t̃) S Δt,

+� t̃ ∈ [t, t +Δt]� �0+� *) 1'0.�K09 ,)2% [t1, t2] D& 9���9�2-� 2-)(0 /-�

q1(x) = −S

t2∫t1

k(x , t, u(x , t)) ux(x , t) dt.

���/,/(% −kux ()*/ )=-� �������� ��������� ������ � D� 9���9�2-� -�1�)? A01'0;0+/-� *) 0+/(/D= ,)2% ,�'�* 10 �';(= 0+/(/,(0E 1�0A�� ���/,/(% -�1�0 0�010-09% )K)@.0 +0+)-(0=? &9A0 -�1�0 -�,� 2-0'0(% *'02-)((& )'�%.�(-% x ��-K�? *) ');%(09 -�1�0 /; 10-09� ? &9� @ 2-�'K(�? <0�0 ,)2-/() [x1, x2] *)1'0.�K09 ,)2% [t1, t2] R0-'/.%@R 9���9�2-� -�1�) q1(x1) � R �++)@R q1(x2) -�1�)�

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 16: Stud model-prez

��#/0("��) 1'�2/+%( 1�3,����� ��-��

�09'�.)?

q1(x1)− q1(x2) = −S

t2∫t1

k ux |x=x1 dt + S

t2∫t1

k ux |x=x2 dt =

=

t2∫t1

(k ux |x=x2 − k ux |x=x1 ) dt =

t2∫t1

dt

x2∫x1

(k ux)x dx .

�9A0 2�'�+/(� 2-�'K(& @ (%-'�8(� +K�'��) ,/ 2-09/ -�1�) * �%2-/(0= g F ���

��3·� G?

-0 9���9�2-� -�1�)? &9% 0(/ /+��&=-� () +��&(D� [x , x +Δx] *) ,)2 [t, t +Δt] '� ()Δq2 = g SΔxΔt� �0.% () +��&(D� [x1, x2] *) ,)2 [t1, t2] /+��/-�2&

q2 = S

x2∫x1

dx

t2∫t1

g(x , t) dt (2.5)

9)�0'�< -�1�)�� �(80�0 B09% +�& -0�0? A0B 1�+(&-/ -�.1�')-%'% ,)2-/(/ [x , x +Δx] 2-�'K(& �+u1 +0 u2 -'�B) E< ()+)-/ 9���9�2-� -�1�)

Δq3 = C m (u2 − u1),

+� C F ���

�·���� G � ����� �����(������ 2-�'K(&?m S �%2-/() · 0B#@. S �%2-/() · T · +0 K/() F�G

� <0�0 .)2)� �0.% +�& -0�0? A0B ,)2-/(% [x1, x2] 2-�'K(& ()�'�-/ 1'0-&�0. ,)2%[t1, t2] �+ 0+(�@E -�.1�')-%'/ +0 �(80E -'�B) *)-')-/-/ 9���9�2-� -�1�)

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 17: Stud model-prez

��#/0("��) 1'�2/+%( 1�3,����� ��-��

q3 = S

x2∫x1

C(x)ρ(x)(u(x , t2)− u(x , t1)) dx = S

x2∫x1

dx

t2∫t1

C(x)ρ(x)ut(x , t) dt, (2.6)

+� ρ F �

��3 G � �%2-/() 2-�'K(&�

�/90'/2-) 8/ ��� +���,���� �������? 0-'/.)@.0 �������� ��������� +���� >q3 = q1(x1)− q1(x2) + q2� �');0 %=,/ 0-'/.)(� ')(�8� /')*/? .)-/.�.0? A0

x2∫x1

t2∫t1

Cρ ut dxdt =

x2∫x1

t2∫t1

(k ux)x dxdt +

x2∫x1

t2∫t1

g dxdt.

�-K�?x2∫x1

t2∫t1

[Cρ ut − (k ux)x − g ] dxdt = 0 ∀ [x1, x2] ∀ [t1, t2].

�0.% Cρ ut − (k ux)x − g = 0 � +�& *();0+K�((& -�.1�')-%'/ u ./ 0-'/.)�/'� (&((&

C(x)ρ(x) ut = [k(x , t, u(x , t)) ux(x , t)]x + g(x , t). (2.7)

�9A0 C , ρ, k � 2-)��? -0 0-'/.)@.0 �������� ���������������� � ����,��

ut = a2uxx + f (x , t). (2.8)

�%- a2 = kC ρ

F ��2

G � �������(�� ���������������������? f F ����

�G � �(-�(2/ (�2-�

(%-'�8(�; +K�'�� -�1�)��� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 18: Stud model-prez

��#/0("��) 1'�2/+%( 1�3,����� ��-��

$� ��& 0+(0*(),(0E �+�(-/C�9)D�E 1'0D�2% 108/'�((& -�1�) 2-�'K(�? +0 F��MG 2��++0+)-/ �������� �����

u|t=0 = ϕ(x), x ∈ (0, �), (2.9)

-) +�&9� ��&��� ������ 5�*/,(/< *.�2- %.0 / F��NG 1'02-/< � C%(9D�& ϕ *)+)@'0*10+�� -�.1�')-%' 2-�'K(� % 10,)-90 /< .0.�(- ,)2% t = 0�5�*/,(/< *.�2- 9')<0 /; %.0 -)9/<��� �9A0 () 9�(D&; 2-�'K(& 1�+-'/.%@-�2& -�.1�')-%') μ0 -) μ�? -0 D�< 1'0D�201/2%=-� ��&��� ����� ���-��� ����

u|x=0 = μ0(t), u|x=� = μ�(t), t ∈ (0, t0). (2.10)

��� �9A0 k � 90�C�D�@(- -�1�01'0 �+(02-� � * 9�(D� 2-�'K(& /;0+&-� -�1�0 �10-09/ * �%2-/()./ g0? g� F+/ � F���G? F���GG? -0

k ux |x=0 = g0(t), −k ux |x=� = g�(t),

-0B-0 D�< C�*/,(/< 1'0D�2 01/2%=-� ��&��� ����� ������� ����

ux |x=0 = ξ0(t), ux |x=� = ξ�(t), t ∈ (0, t0), (2.11)

+� ξ0 = g0/k ? ξ� = −g�/k � �9A0 9�(D� 2-�'K(& -�1�0E*0��0 )(�? -0 %.0 ); F����G-'�B) *&-/ ξ0 = ξ� = 0�

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 19: Stud model-prez

��#/0("��) 1'�2/+%( 1�3,����� ��-��

���� ���+(0 C0'.%� F���G�F��JG % /1)+9%? 90�/ () 9�(D&; 2-�'K(& 1'0;0+/-�-�1�00B.�( * *0 (�8(�. 2�'�+0 /A�. * -�.1�')-%')./ z0(t)? z�(t) �+10 �+(0? -0 @��&��� ����� �������� ����

(ux − h0u)|x=0 = η0(t), (ux + h�u)|x=� = η�(t), (2.12)

+� h0 = σ0/k > 0? h� = σ�/k > 0? η0 = −σ0z0/k ? η� = σ�z�/k �

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 20: Stud model-prez

��#/0("��) 1'�2/+%( '�*-���� ��-��

���� ������ �� ���! �"� �����#�$�� ���������� ������

���������� �������� ��������� ��

� �� ����� �0*��&(�.0 (�'� (0.�'(0 ()�'�-% 1�029% 1�)2-/(% � 0-0-0K(/.0 EE *0B�)2-= Ω ⊂ R

2� "�;)< ∂Ω � .�K) 0B�)2-� Ω? f F�')+UVG � �(-�(2/ (�2-� (%-'�8(�;+K�'�� -�1�) Ω? ϕ F�')+G � 10,)-90 /< '0*10+�� -�.1�')-%' Ω? μ F�')+G �-�.1�')-%') () .�K� ∂Ω 1'/ t ≥ 0��9A0 u(x , y , t) � -�.1�')-%') -0,9/ (x , y) ∈ Ω 1�)2-/(/ .0.�(- ,)2% t ≥ 0? -0 u @'0* #&*90. .�8)(0E *)+),� +�& '� (&((& -�1�01'0 �+(02-� 1�)2-/(�

ut = a2(uxx + uyy ) + f (x , y , t), (x , y) ∈ Ω, t > 0, (2.13)

u|t=0 = ϕ(x), (x , y) ∈ Ω, (2.14)

u|∂Ω×[0,T ] = μ(x , y , t). (2.15)

"�;)< f (x , y , t) −→t→∞

g(x , y)? μ(x , y , t) −→t→∞

η(x , y)? -0B-0 * 1�/(0. ,)2% -�.1�')-%')

() .�K� ∂Ω -) �(-�(2/ (�2-� (%-'�8(�; +K�'�� -�1�) 2�'�+/(� 0B�)2-� Ω2-)B���*%=-�2&� �0+� u(x , y , t) −→

t→∞v(x , y)� �0.% ut = vt = 0 � 10,)-90 ) %.0 ) F���JG

K� (� 1�/ )-/.� () '0*10+�� -�.1�')-%' Ω� �-K�? C%(9D�& v = v(x , y)? &9)*)+)@ 2-)D�0()'(% -�.1�')-%'% Ω? *)+0 0��(&@ 21� �+(08�((&

a2(vxx + vyy ) + g(x) = 0, (x , y) ∈ Ω, (2.16)

v |∂Ω = κ(x). (2.17)

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 21: Stud model-prez

��#/0("��) 1'�2/+%( '������� ������,����4, �� �4�.�,4,

���� ������ �� ���! �"� �����#�$�� ����%������� ������

�& ����� �� � ����"� �� �"����"��� ��+'0+/().�D� '�+/()? )B0 �)* '0*��&+)=-�2& &9 2%D���(� 2�'�+0 /A�? -0B-0 90K�(.)�/< 0B#@. '�,0 /(/ .�2-/-� R+%K� B)�)-0R .0��9%�� "�;)< '�+/() *)<.)@ 1'02-�'R

3? �v = (v1, v2, v3) � 8 /+9�2-�? g � -/29? ρ � �%2-/() �)*% -0,D� (x , y , z) 1'02-0'% .0.�(- ,)2% t� �-'/.)@.0 C%(+).�(-)��(� 21� �+(08�((& .�K D/./ ��/,/()./�WG �������� ��������� ��� "�;)< V � 0B#@. �)*%? 0B.�K�(/< 10 �';(�= S *0+/(/,(/. �9-0'0. *0 (�8(�0E (0'.)�� ν� �9A0 2�'�+/(� V (�.)@ +K�'�� �2-09� �)*%? -0 *.�() *) 0+/(/D= ,)2% .)2/ '�+/(/? A0 @ V '� () 10-09% '�+/(/,�'�* S ? -0B-0

∂t

∫V

ρ dxdydz = −∫S

ρ(�v , ν) dS .

�).�(/.0 1') % ,)2-/(% D�@E '� (02-� * C0'.%�/ �)%2)��2-'0�')+2�90�0 () /')*− ∫

V��� (ρ�v) dxdydz >

∂t

∫V

ρ dxdydz = −∫V

��� (ρ�v) dxdydz ,

∫V

[ρt + ��� (ρ�v)] dxdydz = 0,

&9) /90(%@-�2& +�& +0 ���(0�0 0B#@.% V � �-K�? 0-'/.)@.0 '� (&((&ρt + ��� (ρ�v) = 0? )B0

ρt + ρ��� (�v) + (∇ρ,�v) = 0, (2.18)

&9� ()*/ )@-�2& ��������� ���������������� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 22: Stud model-prez

��#/0("��) 1'�2/+%( '������� ������,����4, �� �4�.�,4,

BG �������� ���� ������� ����� .������� ��� ()*/ )=-� -)9� +�C0'.� (�2%D���(� 2�'�+0 /A�? &90.% (%-'�8(� 2/�/ 1'/ '%2� ,/ 2-)(� 21090= 1'/* 0+&-�+0 (0'.)��(0�0 -/29%� �0.% () 0B#@. V '�8-% �)*% +�@ -)9? A0 /9�/9)@ 2/�%? &9)()1'&.��() () S 10 (%-'�8(�< (0'.)��? -0B-0 10 −ν� �0+� 2/�) -/29%? A01'/9�)+�() +0 S **0 (� '� () �9-0'% − ∫

Sgν dS � � C0'.%�/

�)%2)��2-'0�')+2�90�0>∫S

gν1 dS =

∫V

[gx + 0y + 0z ] dxdydz =

∫V

gx dxdydz .

�'0B/ 8/ -)9� K 1�'�- 0'�((& +�& ν2 -) ν3? 0+�'K/.0? A0∫Sgν dS =

∫V∇g dxdydz � �0+� 2/�) -/29%? A0 1'/9�)+�() +0 S **0 (� '� () �9-0'%

−∫V

∇g dxdydz .

"�;)< () �)* +�@ *0 (�8(& 2/�) �F = (F1,F2,F3) F"U9�G � EE �%2-/()? '0*');0 )() ()0+/(/D= .)2/� �0+� ρ�F F"U.3G ��%2-/() 2/�? '0*');0 )(/; () 0+/(/D= 0B#@.%��0.% () V D& 2/�) '� ()

∫Vρ�F dxdydz .

���+(0 +0 1'/(D/1% +#��).B�')? 2%.) + 0; 101�'�+(�; 2/� '� () �9-0'% 2/� �(�'D�E∫Vρ d�v

dt dxdydz � �-K�? +�& +0 ���(0�0 0B#@.% �)*% V /90(%@-�2& '� (�2-�∫V

ρd�v

dtdxdydz =

∫V

(−∇g + ρ�F ) dxdydz .

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 23: Stud model-prez

��#/0("��) 1'�2/+%( '������� ������,����4, �� �4�.�,4,

�0.% 1�2�& (�29�)+(/; 1�'�- 0'�(� 0-'/.)@.0 2/2-�.% -'�0; '� (&(�

d�v

dt= −1

ρ∇g + �F . (2.19)

7� �9-0'(� '� (&((& ()*/ )@-�2& ��������� ��)� �������� ��������? )B0��������� /&���� �)% )K/.0? A0 1'/ /');% )((� 1'/290'�((& -0,9/ -'�B) ');0 % )-/ EE 1�'�.�A�((&� �0.% d�v

dt = ∂�v∂x v1 +

∂�v∂y v2 +

∂�v∂z v3 +

∂�v∂t � 6'0-� 1'/ .)�/;

90�/ )((& �)*% .0K() *(�;-% )-/ +0+)(9)./ ∂�v∂x v1? � � � ? � *).�2-� F���NG '0*��&+)-/

�9-0'(� '� (&((&∂�v

∂t= −1

ρ∇g + �F , (2.�N′)

&9� -�K ()*/ )@-�2& ��������� /&���� G ������ �� ���� �� �� ��� � )K)-/.�.0> '%; '�+/(/ 1'0;0+/-� ��+�����?-0B-0 2/2-�.� -��? B�* -�1�00B.�(% EE * *0 (�8(�. 2�'�+0 /A�.� 6'/9�)+0.)+�)B)-/,(0�0 1'0D�2% .0K� B%-/ +%K� 8 /+9� '0*8/'�((& �)*% )-.02C�'%? 90�/�)* 10.�A�(0 -�1�0�*0��0 )(% *)9'/-% 102%+/(%? &9�< 8 /+90 �+9'/�/ 9')(F+/ � X�0 �+�? 2� �H�YG� � D�0.% /1)+9% /90(%@-�2& C0'.%�) ��+�� $�����

g = g0( ρρ0

, (2.20)

+� g0, ρ0 � 10,)-90 � -/29 -) �%2-/()? γ = cg/cV ?cg � -�1�0@.(�2-� '�+/(/ 1'/ 2-)�0.% -/29%?cV � -�1�0@.(�2-� '�+/(/ 1'/ 2-)�0.% 0B#@.��

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 24: Stud model-prez

��#/0("��) 1'�2/+%( '������� ������,����4, �� �4�.�,4,

�-'/.)(� ()./ /')*/ F���MG�F����G 29�)+)=-� 2/2-�.% 1#&-/ '� (&(� () 1#&-�(� �+0./; C%(9D�< v1? v2? v3? g ? ρ? &9� 10 (�2-= ;)')9-�'/*%=-� '%; �+�)��(0E '�+/(/)B0 �)*% 1'/ 2-)��< -�.1�')-%'�� �9A0 -�.1�')-%') �)*% *.�(=@-�2&? -0 '� (&((&F����G .)-/.� �(8/< /��&+ � ./ *.%8�(� B%�/ B *)1/2)-/ A� '� (&((&-�1�01�'�(02%��G ��������� ������ ��������� �)2-02%@.0 0-'/.)(� ()./ '� (&((&��+'0+/().�9/? +0 01/2% 1'0D�2% .)�0�0 90�/ )((& �)*%� ���/,/() s = ρ−ρ0

ρ0()*/ )@-�2& ���������(� �� � '� () �+(02(�< *.�(� <0�0 �%2-/(/� �0+�

ρ = ρ0(1 + s). (2.21)

6�+2-) �&=,/ F����G '� (&((& (�1�'�' (02-� F���MG? .)-/.�.0? A0

ρ0st + ρ0(1 + s) ��� (�v) + (�v ,∇ρ) = 0.

�(�;-% ) 8/ *�� ) + 0.) 02-)((�./ +0+)(9)./? 0-'/.)@.0 ρ0st + ρ0 ��� (�v) = 0?-0B-0

st + ��� (�v) = 0. (2.22)

� F����G -) F����G 0-'/.)@.0? A0

g = g0(1 + s)γ = g0(1 + γs +

γ(γ − 1)

2!s2 + . . .

)≈ g0(1 + γs), (2.23)

B0 1'/ .)�/; 90�/ )((&; �)*% <0�0 90(+�(2)D�& +%K� .)�) � 2-�1�(&./ �? H?� � � ��/,/(/ s .0K() *(�;-% )-/�

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 25: Stud model-prez

��#/0("��) 1'�2/+%( '������� ������,����4, �� �4�.�,4,

� '� (&((& 3<��') F���N#G 0+�'K/.0

�vt = − 1

ρ0(1 + s)∇[g0(1 + γs)] + �F , �vt = − 1

ρ0(1 + s)g0γ∇s + �F .

�29���9/

∇s

1 + s=(1−s+s2−. . .)∇s = ∇s − s∇s + s2∇s − . . . ≈ ∇s,

-0 10*(),/ 8/ a =√

g0γρ0

? .)-/.�.0

�vt = −a2∇s + �F . (2.24)

6'/1%2-/.0? A0 10,)-90 /< .0.�(- ,)2% t = 0 �2(%@ 10-�(D�)� 8 /+902-�<? -0B-0-)9) C%(9D�& u0? A0 �v |t=0 = −∇u0� "�;)< �F � 10-�(D�)��(� 10��? -0B-0 �F = −∇q��0+�? *�(-��'% ) 8/ '� (&((& F���JG? .)-/.�.0? A0

�v(x , y , z , t) = �v |τ=0 − a2t∫

0

∇s dτ −t∫

0

∇q dτ =

= −∇u0 −∇t∫

0

(a2s + q) dτ = −∇(u0 +

t∫0

(a2s + q) dτ),

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 26: Stud model-prez

��#/0("��) 1'�2/+%( '������� ������,����4, �� �4�.�,4,

-0B-0 1'0-&�0. 2�0�0 ,)2% �2(%@ 10-�(D�)� 8 /+902-�< � C%(9D�& u -)9)? A0�v = −∇u� 7& C%(9D�& '� ()

u(x , y , z , t) = u0(x , y , z) +

+ a2t∫

0

s(x , y , z , τ ) dτ +

t∫0

q(x , y , z , τ ) dτ. (2.25)

�*& 8/ * F���LG 10;�+(% *) t? 0+�'K/.0

ut = a2s + q. (2.26)

�*& 8/ * F���QG 10;�+(% *) t -) /90'/2-) 8/ C0'.%�% F����G? 0-'/.)@.0

utt = a2st + qt = −a2 ����v + qt = −a2 ��� (−∇u) + qt .

�29���9/ ���∇ = Δ? -0 02-)((& '� (�2-� 1�'�1/8�-�2& % /��&+�

utt = a2(uxx + uyy + uzz ) + f (x , y , z , t), (2.27)

+� f = qt � ��+0.0? A0 ,/2�0 a > 0 @ 8 /+9�2-= 108/'�((& * %9% 2�'�+0 /A���9A0 ./ *()<+�.0 C%(9D�= u? -0 10 (�2-= 01/8�.0 1'0D�2 108/'�((& ; /�� 1'02-0'�? B0

�v(2.�L)= −∇u, s

(2.�Q)=

1

a2(ut − q),

ρ(2.��)= ρ0

(1 +

1

a2(ut − q)

), g

(2.��)= g0

(1 +

γ

a2(ut − q)

).

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 27: Stud model-prez

��#/0("��) 1'�2/+%( '������� 4��,���5 .����,

�& ����� "�����$ �����"�;)< �, t0 > 0 � C�920 )(� ,/2�)? Q0,t0 = (0, �)× (0, t0)� "�;)< .)@.0 ������? -0B-0+0 �% -0(9% 1'%K(% (/-9% +0 K/(/ �� 6'/1%2-/.0? A0

�/2�> �-'%()? A0 90�/ )@-�2& FG� /90(%=-�2& %.0 />

2-'%() �+�)��(0 �(%,9)? -0B-0 2/�)./ 10-'�B(/./ +�& EE *�/(% .0K()*(�;-% )-/P

2-'%() 90�/ )@-�2& 1�0A/(� XOU � 90K() EE -0,9) '%;)@-�2& *+0 K1�'1�(+/9%�&') +0 1�' �2(0�0 ()-&�(%-0�0 2-)(%? &9/< ()*/ )@-�2&����,����� �������� 2-'%(/ � @ �+'�*90. 1'&.0E

−→OX P

() 90K(% -0,9% 2-'%(/ +�@ *0 (�8(& 2/�) * ��(�<(0= �%2-/(0= g F"U.GP

90�/ )((& 2-'%(/ .)���

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 28: Stud model-prez

��#/0("��) 1'�2/+%( '������� 4��,���5 .����,

� D/; 1'/1%A�(� /1�/ )@? A0 ./ .0K�.0 0-0-0K(/-/ 2-'%(% * �+'�*90.[0, �] ⊂ R

1� "�;)< u(x , t) � �+;/��((& -0,09 x 2-'%(/ �+ 10�0K�((& '� (0 )�/ .0.�(- ,)2% t F+/ � �/2� �G���*�.�.0 +0 ���(/< 9%209 2-'%(/ [x1, x2] ⊂ (0, �) � +0 ���(/< .0.�(- ,)2% t ∈ (0, t0)�$0�/ )((& 2-'%(/ .)��� �0+� -)(��(2 9%-) ();/�% +0-/,(0E +0 2-'%(/ @ .)�/.? )-0.% <0�0 9 )+')-0. .0K() *(�;-% )-/� �-K�? u2

x ≈ 0� � 1'0D�2� 90�/ )(� +0 K/()+��&(9/ [x1, x2] 2-'%(/ B%+� -)90=

S =

x2∫x1

√1 + u2

x dx ≈x2∫

x1

√1 dx = x2 − x1,

-0B-0 (� *.�(=@-�2&� �0.% 2/�) ()-&�% (� *)��K/-� �+ ,)2%> N = N(x)�

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 29: Stud model-prez

��#/0("��) 1'�2/+%( '������� 4��,���5 .����,

�/2�> �-'%()? A0 90�/ )@-�2& FG�

"�;)< α(x , t) � 9%- .�K +0-/,(0= +0 2-'%(/ -0,D� x ∈ (0, �) � �22= )B2D/2−→OX

.0.�(- ,)2% t� �1'0�9-%@.0 () 02� 900'+/()- 2/�/? A0 +�=-� () [x1, x2]��29���9/ 2� 2/�/? 9'�. 2/�/ ()-&�% @ 1�'1�(+/9%�&'(� +0

−→OX ? -0 1'0�9D�E () D=

�2� 0-'/.)@.0? A0

|N(x2)| cosα(x2, t)− |N(x1)| cosα(x1, t) = 0. (2.28)

�29���9/ cosα = 1√1+tg2 α

= 1√1+u2x

≈ 1, -0 .)-/.�.0 |N(x1)| = |N(x2)|� �-K�? 2/�)

()-&�% (� *)��K/-� � �+ x � E )B20�=-(% ��/,/(% 10*(),)-/.�.0 1'02-0 N�

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 30: Stud model-prez

��#/0("��) 1'�2/+%( '������� 4��,���5 .����,

�0*��&(�.0 1'0�9D�E 2/�? &9� +�=-� () 2-'%(% () �2�−→OU�

�0*�B#@.0 �+'�*09 [x1, x2] () ���.�(-)'(� 9%20,9/ +0 K/(/ Δx � ���+(0 1'/1%A�((&?() [x , x +Δx] 2-'%(/ +�@ *0 (�8(& 2/�)? &9) 1'/B�/*(0 '� () g(x , t)Δx �6�+2%.% ) 8/ D� 2/�/? 1'/ Δx → +0? 0+�'K/.0 ��/,/(% ����-���� ����? &9) +�@() ,)2-/(% 2-'%(/ [x1, x2]>

G =

x2∫x1

g(x , t) dx .

�29���9/? sinα = tgα√1+tg2 α

= ux√1+u2x

≈ ux , -0 () ,)2-/(% 2-'%(/ [x1, x2] +�@ -)9) ���

����� >N = N sinα(x2, t)− N sinα(x1, t) =

= Nux(x2, t)− Nux(x1, t) = N

x2∫x1

uxx(x , t) dx .

� +'%�0�0 *)90(% "�=-0() I = N + G ? +� S F.)2)G · F1'/290'�((&G S F�%2-/()G · F+0 K/(%G · F1'/290'�((&G

� 2/�) �(�'D�E ,)2-/(/ 2-'%(/�

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 31: Stud model-prez

��#/0("��) 1'�2/+%( '������� 4��,���5 .����,

"�;)< ρ(x) F9�U.G � ��(�<() �%2-/() 2-'%(/� �29���9/ () [x , x +Δx] 2-'%(/ +�@ 2/�)�(�'D�E ()B�/K�(0 '� () ρ(x)Δx utt(x , t)? -0 () +��&(9% [x1, x2] +�@ ��� �������

I =

x2∫x1

ρ(x)utt(x , t) dx .

�0.%x2∫

x1

ρ(x)utt(x , t) dx = N

x2∫x1

uxx(x , t) dx +

x2∫x1

g(x , t) dx .

�-K�?∫ x2x1[ρutt − Nuxx − g ] dx = 0 ∀ [x1, x2] ⊂ [0, �]� �0+� C%(9D�& u @ '0* #&*90.

'� (&((&ρ(x) utt − N uxx = g(x , t), (x , t) ∈ Q0,t0 . (2.29)

�9A0 2-'%() 0+(0'�+()? -0 ρ(x) ≡ ����� � * F���NG 0-'/.)@.0

utt = a2uxx + f (x , t), (x , t) ∈ Q0,t0 , (2.30)

+� a2 = Nρ

? f = gρ

F"U9�G � �%2-/() *0 (�8(�; 2/�? '0*');0 )() () 0+/(/D= .)2/2-'%(/� �'0*%.��0? A0 F��H�G @ '� (&((&. ��1�'B0��,(0�0 -/1%� �0(0 ()*/ )@-�2&��������� ���) ���������) ������� �������

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 32: Stud model-prez

��#/0("��) 1'�2/+%( '������� 4��,���5 .����,

$� I0B 0+(0*(),(0 �+�(-/C�9% )-/ C�*/,(/< 1'0D�2? &9/< ./ ;0,�.0 +02��+/-/ *)+010.0�0= D�0�0 '� (&((& -'�B) *)+)-/ +0+)-90 � %.0 / () <0�0 '0* #&*09�")1'/9�)+? +�& 10 (0�0 01/2% 1'0D�2% 90�/ )(� 2-'%(/ [0, �] -'�B) +0 '� (&((&F��H�G +0+)-/ �������� �����

u|t=0 = ϕ(x), ut |t=0 = ψ(x), x ∈ (0, �), (2.31)

-) ��&��� ������ 5�*/,(/< *.�2- 10,)-90 /; %.0 > ϕ * %.0 / F��H�G *)+)@10,)-90 % C0'.% 2-'%(/? ) ψ � D� 8 /+9�2-� -0,09 2-'%(/ .0.�(- ,)2% t = 0�5�*/,(/< *.�2- 9')<0 /; %.0 -)9/<��� �9A0 9�(D� 2-'%(/ ()1'&.9% 02�

−→OU '%;)=-�2& *) *)90()./ μ0? μ� F+/ � '/2�

HG? -0 D�< 1'0D�2 01/2%=-� ��&��� ����� ���-��� ����

u|x=0 = μ0(t), u|x=� = μ�(t), t ∈ (0, t0). (2.32)

�/2�> $�(D� 2-'%(/ '%;)=-�2& *) 9)*)(/. *)90(0.�

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 33: Stud model-prez

��#/0("��) 1'�2/+%( '������� 4��,���5 .����,

��� �9A0 N � )B20�=-() ��/,/() 2/�/ ()-&�%? -0 90�/ () 9�(D� 2-'%(/ % ()1'&.9%02�

−→OU +�=-� 2/�/ g0(t)? g�(t)? -0

−Nux |x=0 = g0(t), Nux |x=� = g�(t),

�/2�> $�(D� 2-'%(/ ���(��

-0B-0 D�< C�*/,(/< 1'0D�2 01/2%=-� ��&��� ����� ������� ���� >

ux |x=0 = ξ0(t), ux |x=� = ξ�(t), t ∈ (0, t0), (2.33)

+� ξ0 = −g0/N? ξ� = g�/N� ����(/. 9�(D&. 2-'%(/ �+10 �+)@ /1)+09 ξ0 = ξ� = 0F+/ � '/2� JG�

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 34: Stud model-prez

��#/0("��) 1'�2/+%( '������� 4��,���5 .����,

���� �) *)90(0. �%9) 1�'�.�A�((& 9�(D& 2-'%(/ () ��/,/(% μ % ()1'&.9% 02�−→OU

/9�/9)@ '�)9D�= ��/,/(0= R = −kμ? +� k � 90�C�D�@(- 1'%K(02-� 9'�1��((&��0.% &9A0 9�(D� 2-'%(/ *)9'�1��(� 1'%K(0 � -0,9/ 010'/ 9'�1��(� *.�(==-� 2 0@10�0K�((& % ()1'&.9% 02�

−→OU *) *)90(0. θ0(t)? θ�(t) F'/2� LG? -0

−Nux |x=0 = −k0(u − θ0(t))|x=0, Nux |x=� = −k�(u − θ�(t))|x=�,

+� k0, k� � �������(��� ���,����� �������� () 9�(D&;� 7�< C�*/,(/< 1'0D�201/2%=-� ��&��� ����� �������� ���� >

(ux − h0u)|x=0 = η0(t), (ux + h�u)|x=� = η�(t), (2.34)

+� h0 = k0/N > 0? h� = k�/N > 0? η0 = −k0θ0/N? η� = k�θ�/N�

�/2�> $')<0 � %.0 / -'�-�0�0 '0+%�

�9A0 9�(D� 2-'%(/ *)9'�1��(� 1'%K(0? -0 f0 = f� = 0�

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !

Page 35: Stud model-prez

6

:

����� �� ����

�� ������ �� ������ ��������������� ����������� ��� �� !