Embed Size (px)
Citation preview
Successioni e laboratorioGeogebra
Dalla teoriasuccessione [numerica] una funzione il cui dominio è
l’insieme dei numeri naturali . [ovvero una legge che associa ad ogni numero naturale
uno e un solo numero appartenente ad un dato insieme A]
Definiamo Dato un insieme numerico A si dice superiormente limitato quando esiste un numero k tale che ogni elemento di A è minore o uguale a k. [in simboli A superiormente limitato se ∃𝑘 ∈𝑅 𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑒 𝑎 ≤ 𝑘 ∀𝑎 ∈𝐴] Definiamo un valore k tale che 𝑎 ≤ 𝑘 ∀𝑎 ∈𝐴 si chiama maggiorante di A Definiamo Dato un insieme numerico A si dice inferiormente limitato quando esiste un numero k tale che ogni elemento di A è maggiore o uguale a k. [in simboli A inferiormente limitato se ∃𝑘 ∈𝑅 𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑒 𝑎 ≥ 𝑘 ∀𝑎 ∈𝐴] Definiamo un valore k tale che 𝑎 ≥ 𝑘 ∀𝑎 ∈𝐴 si chiama minorante di A
Usiamo Geogebra per sperimentare queste due definizioni Consideriamo la successione
൜3𝑛+ 3ൠ
Successione e Geogebra – superiormente e inferiormente limitata
• Apriamo Geogebra൜
3𝑛+ 3ൠ
Nella riga di inserimento digitiamo il comandoL=Successione[3/(n+3),n,1,10]
Successione e Geogebra – superiormente e inferiormente limitata
Sintassi del comando usato L = Successione [3/(n+3),n,1,10]
൜3𝑛+ 3ൠ
Comando.In inglese “Sequence”
Espressione
variabile
Valore iniziale
Valore finale
Successione e Geogebra – superiormente e inferiormente limitata
Osserviamo che Geogebra ha creato un insieme L con i valori della successione. Ma se vogliamo rappresentarli occorre creare dei punti; ovvero scegliamo di
assegnare ad ogni n il punto (n;an)
Portiamo il puntatore sull’oggetto L e cliccando con il tasto sinistro del mouse dal menù scegliamo Elimina (Delete)
Ora digitiamo nella riga di inserimento
൜3𝑛+ 3ൠ
L=Successione[(n,3/(n+3)),n,1,10]
In questo modo creiamo una lista (sequenza) di punti (x,y)
Successione e Geogebra – superiormente e inferiormente limitata
Riassumendo: per creare una sequenza di valori possiamo usare il comando Successione [<espressione>,<variabile>,<inizio>,<fine>]
൜3𝑛+ 3ൠ
Proviamo a scrivere nuovamente il comando questa volta, ad esempio, scegliendo come inizio 50 e come fine 100
Usiamo poi gli strumenti per modificare il punto di vista della finestra grafica
Successione e Geogebra – superiormente e inferiormente limitata
൜3𝑛+ 3ൠ
Torniamo al nostro obiettivo: 1) valutare se la successione è superiormente e
inferiormente limitata2) Individuare un maggiorante ed un minorante
Vedendo il grafico possiamo intuire che:- Un minorante è 0- Un maggiorante è 1
Occorre però provarlo algebricamente sfruttando le definizioni date inizialmente
Successione e Geogebra – superiormente e inferiormente limitatada un punto di vista grafico൜
3𝑛+ 3ൠ
Intuiamo che: un minorante è 0, un maggiorante è 1
Per provarlo graficamente seguiamo i seguenti passaggi:
Successione e Geogebra – superiormente e inferiormente limitatada un punto di vista grafico൜
3𝑛+ 3ൠ Intuiamo che: un minorante è 0, un maggiorante è 1Per provarlo graficamente vogliamo disegnare una retta y=k e verificare, al variare di k cosa accade. Seguiamo questi passaggi:
1
1) Creiamo uno “slider”. Ovvero un cursore che ci permetta di cambiare facilmente il valore di k.
Clicchiamo sulla penultima icona e poi in un punto della finestra grafica
Successione e Geogebra – superiormente e inferiormente limitatada un punto di vista grafico൜
3𝑛+ 3ൠ
1
Si apre una nuova finestra:- Nome indichiamo il nome M della
variabile- Intervallo: indichiamo il minimo e il massimo
valore che assumerà la variabile; l’incremento con il quale varierà.
Clicchiamo su Apply
Successione e Geogebra – superiormente e inferiormente limitatada un punto di vista grafico൜
3𝑛+ 3ൠ
1
23
3) Scriviamo nella barra di input l’equazione della retta y=M e diamo invio
4) Selezioniamo l’icona “Muovi” e con il puntatore muoviamo lo slider
4
Possiamo intuire che 1 è maggiorante e 0 è minorante
Successione e Geogebra – superiormente e inferiormente limitata
൜3𝑛+ 3ൠ
Sarebbe necessario dimostrare algebricamente che Maggiorante=1 Minorante=0
Per fare questo abbiamo numerosi strumenti oltre alla carta e alla penna
1na 0na
Computer Algebra System (CAS) di Geogebra
Successione e Geogebra – superiormente e inferiormente limitata൜
3𝑛+ 3ൠ Carta e penna: Maggiorante=1 Minorante=0
Computer Algebra System (CAS) di Geogebra
sempre vero
𝑎𝑛≥0↔3
𝑛+3 ≥0↔3≥0 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑜
In Geogebra: Visualizza - CAS
Digitiamo la nostra disequazione; • se premiamo invio … non otteniamo molto.• se premiamo «Risolvi» otteniamo il risultato
Poiché n è naturale, consideriamo solo n>=0
Possiamo ripetere quanto fatto anche per altre successioni
൜𝑛− 22𝑛 ൠ ሼ2𝑛 − 𝑛ሽ; ሼ𝑛− 𝑛2ሽ
Individuiamo se esistono maggioranti e minoranti
1) Creiamo uno slider h 2) Rappresentiamo y=h
Generiamo le coppie di punti (n,an)L = Successione [(n,espressione ),n,1,10]
Generiamo alcuni termini della successioneL = Successione [espressione ,n,1,10]
Possiamo ripetere quanto fatto anche per altre successioni
൜𝑛− 22𝑛 ൠ ሼ2𝑛 − 𝑛ሽ; ሼ𝑛− 𝑛2ሽ
Una cresce, l’altra decresce e sembra che nessuna sia limitata
In particolare la seconda successione ha minoranti, ma non maggiorantiLa terza ha maggioranti ma non minoranti.
Cerchiamo adesso di scoprire cosa accade ad una successione quando n→∞
൜𝑛− 22𝑛 ൠ Riconsideriamo la successione:
Per indagare su cosa accade per n grandi, potremmo chiedere a Geogebra di elencare alcuni termini della successione per n «grandi»
1. Poiché dovremo usare più volte la nostra espressione, assegniamole un nome: digitiamo nella riga di inserimento a(n):=(n-2)/(2n)
2. In CAS digitiamo il comando per creare la successione partendo ad esempio da n=1 e arrivando a n=10^5 con un incremento 10^4
Cliccando su «Calcolo numerico» otteniamo una informazione numerica.
Attenzione!!!• Il computer lavora in aritmetica finita, quindi avremo valori
approssimati.• Inoltre in Geogebra possiamo variare il numero di cifre
decimali.Opzioni - Arrotondamento
Osserviamo i risultati
Possiamo ipotizzare che i termini della successione, all’aumentare di n, si avvicinino a
Occorre:• Trovare un modo «più semplice» per scrivere questo risultato• Chiarire cosa intendiamo con «all’aumentare» e «si avvicinano»• Dimostrare la nostra congettura.
Cerchiamo adesso di scoprire cosa accade ad una successione quando n→∞
Possiamo ipotizzare che i termini della successione, all’aumentare di n, si avvicinino a
Questa affermazione può essere tradotta in simboli nel seguente modo:
21
nna Tende a
Chiariamo cosa significa «all’aumentare» e «si avvicinano»:
Per fare questo rappresentiamo i termini della successione sull’asse x:• Creiamo una successione di punti con ascissa e ordinata 0• Limitiamoci inizialmente a far variare n da 1 a 10 con incremento 1.
L=Successione[(a(n),0),n,1,10]
Usiamo lo zoom per vedere il risultato
Cerchiamo adesso di scoprire cosa accade ad una successione quando n→∞
21
nna Scopriamo il significato di «si avvicina»
Proviamo a parafrasare «i termini della successione si avvicinano a …»
Confrontiamo le risposte trovate con questa immagine:le linee tratteggiate indicano la distanza di ogni termine dal punto Proviamo a riformulare l’idea
Cerchiamo adesso di scoprire cosa accade ad una successione quando n→∞
21
nna Scopriamo il significato di «si avvicina»
«i termini della successione si avvicinano a …»
«la distanza del termine da tende a diminuire all’aumentare di n»
¿𝑎𝑛−12∨¿
Se la nostra idea è corretta questa distanza diventerà piccola quanto vogliamo.
Per scoprirlo costruiamo una tabella con i valori di queste distanze
• Possiamo utilizzare ancora il comando successione. Oppure il foglio di calcolo (Spreadsheet) di Geogebra
Da “Vista” (View) “Foglio di calcolo” (Spreadsheet)
Cerchiamo adesso di scoprire cosa accade ad una successione quando n→∞
21
nna ¿𝑎𝑛−12∨¿
Creiamo un foglio con 3 colonne:• Nella prima colonna: i valori di n• Nella seconda colonna: i valori assunti dalla successione in corrispondenza di n• Nella terza colonna: la distanza tra il termine della successione e il valore che
abbiamo individuato in precedenza.
• per generare ad esempio i primi 20 numeri naturali, procediamo nel seguente modo:
• In A6 scriviamo 1• In A7 scriviamo =A6+1• Copiamo per trascinamento
Cerchiamo adesso di scoprire cosa accade ad una successione quando n→∞
21
nna ¿𝑎𝑛−12∨¿
Nel primo rigo: [in A1] digitiamo l’etichetta «Limite»; [in B1] digitiamo il valore.
Sotto, ad esempio rigo 5: [in A5] digitiamo l’etichetta «n»; [in B5] l’etichetta «a_n»; in [C5] l’etichetta «|a_n-L|.
• In B6 calcoliamo il termine della successione «=a(A6)» Copiamo per trascinamento
• In C6 calcoliamo la distanza «=|B6-$B$1| Copiamo per trascinamento
Per aumentare il numero di cifre decimali scegliere “opzioni” (options) “approssimazione” (rounding)
Cerchiamo adesso di scoprire cosa accade ad una successione quando n→∞
21
nna
Vediamo dalla colonna C che la distanza tra L e an diviene sempre più piccola
¿𝑎𝑛−12∨¿
Per studiare cosa accade per un n iniziale maggiore:• In A3 etichettiamo: «n iniziale»• In B3 digitiamo il valore iniziale che desideriamo
Modifichiamo in A6: =B3
Ma quanto piccola può essere resa questa distanza?
Cerchiamo adesso di scoprire cosa accade ad una successione quando n→∞
21
nna ¿𝑎𝑛−12∨¿
Immaginiamo di scegliere un numero «piccolo», ad esempio • Cerchiamo nella lista (eventualmente
modificando n iniziale) per quale valore di n, la differenza risulta essere <
• Possiamo ripetere per un altro valore «piccolo»?
• Possiamo ripetere il ragionamento per un valore che stabiliremo successivamente?
Possiamo ripetere il ragionamento per un valore che stabiliremo successivamente?
Cerchiamo adesso di scoprire cosa accade ad una successione quando n→∞
21
nna ¿𝑎𝑛−12∨¿
Procediamo «carta e penna»:• Indichiamo con il valore «piccolo»• Vogliamo cercare n tale che: Poiché gli sono tutti < di possiamo considerare:
Dunque qualunque «piccolo» scegliamo, basterà prendere un valore di affinché otteniamo una distanza minore di
Si dice che una successione di numeri reali converge al limite l quando, fissato comunque un numero positivo (anche molto piccolo) esiste un indice (la cui scelta in genere dipende da tale che, per ogni sia verificata la relazione In simboli:
Per esprime che la successione converge al limite l si scrive e leggeremo “Il limite, per n che tende a + infinito, di è uguale a l”
Osservazione: ribadiamo il fatto che la successione in generale tende al numero l, ma nessun elemento della successione è = a l.
Una successione si dice diverge a + e si scrive se per ogni K>0 (anche molto grande) esiste un indice tale che per ogni n>.
In simboli K>0 t.c. e .
Una successione si dice diverge a e si scrive se per ogni K>0 (anche molto grande) esiste un indice tale che per ogni n>.In simboli K>0 t.c. e .
Una successione “speciale”
Iniziamo con una esperienza in Geogebrahttp://www.geogebratube.org/student/m21445
Lato poligono
𝑙 = 2∙𝑟∙𝑠𝑖𝑛180°𝑛
Perimetro
2𝑝= 2∙𝑛∙𝑟∙𝑠𝑖𝑛180°𝑛
Studiamo la successione
൜2∙𝑛 ∙𝑟∙𝑠𝑖𝑛180°𝑛 ൠ
Osserviamo per come abbiamo costruito la successione
2∙𝑛∙𝑟∙𝑠𝑖𝑛180°𝑛 < 2𝜋𝑟
La successione ቄ𝑛 ∙𝑠𝑖𝑛180°𝑛 ቅ converge a 𝜋
Possiamo utilizzare Derive o Geogebra per calcolare alcuni elementi della successione ed ottenere un valore approssimato di π
La successione ቄ𝑛 ∙𝑠𝑖𝑛180°𝑛 ቅ converge a 𝜋
Una curva particolare: curva di Von Koch o fiocco di neve
Si ottiene da un triangolo equilatero, dividendo ciascuno dei suoi lati in tre parti;Sul segmento centrale di ogni lato costruiamo esternamente ad esso un triangolo equilatero, Cancelliamo il segmento centrale.Ripetiamo il procedimento
Una curva particolare: curva di Von Koch o fiocco di neve
Calcoliamo la lunghezza della curva dopo n
iterazioni 𝑙𝑛 = 3𝑎ቀ43ቁ𝑛
dove a è il lato del triangolo iniziale
