TALLER I CALCULO INTEGRAL

Carlos A. Benavides Gallego

1. Problema I

Resuelva las siguientes integrales usando losmetodos de sustitucion o cambio de variable,integracion por partes, integracio por sustituciontrigonometrica y fracciones parciales.

1.∫ √

3− 2sds

2.∫

1√x(1+

√x)2

dx

3.∫

sin5(x3 ) cos(x

3 )dx

4.∫ sin(2t+1)

cos2(2t+1)dt

5.∫

4y√2y2+1

dy

6.∫

tan2 x sec2 xdx

7.∫

tan7 x7 sec2 x

2dx

8.∫

(θ4 − 2θ2 + 8θ − 2)(θ3 − θ + 2)dθ

9.∫

sin√

θ√θ cos3

√θdθ

10.∫ (2r−1) cos

√3(2r−1)2+6√

3(2r−1)2+6dr

11.∫

5x+3x2+2x−3dx

12.∫ (2x−1)

(x−1)(x−2)(2x−3)

13.∫

x(x2−1)(x−2)

14.∫

2x+1(3x−1)(2x+5)

15.∫

2x2+x−12x3+x2−5x+2

16.∫

x2exdx

17.∫

sec3 xdx

18.∫

e2x sin 3xdx

19. ln(1− x)dx

20.∫

x ln xdx

2. Problema II

Si no sabe que sustitucion hacer, intene reducirla interal paso a paso, usando una sustitucionde prueba para simplificar un poco la integral, ydespues otra para simplificarla un poco mas. Vera alo que nos referimos si se fija en la sustitucion delos siguientes ejercicios.

1.∫

18 tan2 x sec2 x(2+tan3 x)2 dx

a. u = tan x, seguido por v = u3, despuesde w = 2 + v.

b. u = tan3 x, seguido por v = 2 + u.

c. u = 2 + tan3 x

2.∫ √

1 + sin2(x− 1) sin(x− 1) cos(x− 1)dx

a. u = x− 1, seguido por v = sin u, despuesde w = 1 + v2.

b. u = sin(x− 1), seguido por v = 1 + u2.

c. u = 1 + sin2(x− 1)

3. Problema III

En electricidad y magnetismo el potencial electri-co, φ, de una distribucion de carga continua estadefinido por la integral

φ =1

4πε0

∫dq

r(1)

donde r es la distancia entre el diferencial de carga yel punto donde se quiere calcular el valor del poten-cial electrico. Supongamos que tenemos un anillo

1

cargado que reposa sobre el plano xy (Ver figura).Este anillo, de radio R, tiene una densidad linealde carga λ (carga/por unidad de longitud).

(a)

Figura 1: Esquema geometrico del problema

a. ¿Como es la integral que representa el poten-cial electrico, φ, en un punto en el eje z.

b. ¿Como es el potencial electrico φ en funcion dez, es decir: φ(z)

c. Haga una grafica, en computador, de φ(z).

d. ¿Como es el potencial en el centro del anillo?

4. Problema IV

En mecanica newtoniana algunos problemas (aque-llos que involucram movimientos circulares) puedenser resueltos, facilmente, usando coordenadas po-lares. Estas coordenadas estan definidas de la sigu-inete manera (ver figura 2 )

r = cos θi + sin θj

θ = − sin θi + cos θj(2)

Deacuerdo a lo anterior, el vector posicion es ~r =

(a)

Figura 2: Esquema geometrico del problema

rr. El vector velocidad sera

~v =dr

dt=

d(rr)dt

=dr

dtr + r

dr

dt= rr + r

dr

dt

dr

dt=

d

dt(cos θi + sin θj)

= −dθ

dtsin θi +

dθ

dtcos θj

= θ(− sin θi + cos θj) = θθ

(3)

a. Demuestre que que el vector aceleracion en es-tas coordenadas es ~a = (r− rθ)r + (2rθ + rθ)θdonde r = d2r

dt2 y θ = d2θdt2 . ¿Como es el vector

aceleracion para un movimiento circular convelocidad angular constante?

b. Un bloque de masa m se desliza sobre unamesa sin friccion. La masa esta constrenida amoverse dentro de un anillo de radio l el cualesta fijo a la mesa (ver figura 3 ) En t = 0,el bloque se mueve dentro del anillo con ve-locidad v0. El coeficiente de friccion entre elbloque y el anillo es µ. Usando la segunda leyde Newton, Muestre que θ = −µθ2.

c. Haga el cambio de variable ω = θ y muestreque la ecuacion θ = −µθ2 se reduce a ω =−µω2

d. Reorganizando la ecuacion ω = −µω2 e in-tegtrando tenemos que

∫ ω

ω0

dω′(ω′)2 = −µ

∫ t

0dt′.

2

Resuelva esta integral y muestre que ω(t) =ω0

1+µω0t

(a)

Figura 3: Esquema geometrico del problema

5. Problemas para pensar (Noentran en la nota del taller,pero dan desimas de mas enel parcial)

1. La bibliotecaria de la escuela de Ingenieros mil-itares ha estado muy ocupada. El lunes cata-

logo solamente algunos libros de los nuevos li-bros recibidos. El martes recibio tantos librosnuevos como no habıa catalogado el lunes, ycatalogo diez. el miercoles recibio doce masque el lunes, y catalogo tantos como ese dıa.El jueves recibio el triple de los libros quehabıa catalogado el miercoles, y catalogo ocho.El viernes llegaron seis libros y pudo cata-logar doce menos de los que habıa recibidoel miercoles. El sabado pudo catalogar losdieciseis libros que le quedaban porque la bib-lioteca estaba cerrada. ¿Cuantos libros llegaroel lunes?

2. Alberto, Ricardo, Jaime y Tomas han estadocontando los resultados de un dıa de pesca:1)Tomas ha cogido mas que Jaime; 2) Albertoy Ricardo han pescado, entre los dos, lomismoque Jaime y Tomas; 3) Alberto y Tomas no hancogido tantos como Ricardo y Jaime. ¿Quienha pesado mas, quien ha sido el segundo, quenel tercero y quien el ultimo?

3